hTTij (t, r) =

2G

c4r

d2

dt2

hQTT

ij (t� r

c

iQTT

ij = PijklQkl = Pijklqkl qkl =µ

2l20Aij

Aij(t) =

0

@cos 2!Kt sin 2!Kt 0

sin 2!Kt � cos 2!Kt 0

0 0 0

1

A

h0 =4 µ M G2

r l0 c4hTTij (t, r) = �h0 [PijklAkl]

SISTEMA  BINARIO  IN  ORBITA  CIRCOLARE  

dEorb

dt+ L

GW

= 0

assumendo  che  l’energia  si  conservi  l0(t) = lin0

1� t

tcoal

�1/4

⌫GW

(t) =!K

⇡= ⌫in

GW

1� t

tcoal

��3/8

h0(t) =4⇡2/3 G5/3 M5/3

c4r⌫2/3GW (t)

!K =

sGM

l30

M = m1 +m2, µ =m1m2

M

M = µ3/5 M2/5 massa  di  chirp  

Segnale  emesso  durante  la  fase  di  spiraleggiamento  di  un  sistema  binario      (fino  all’ISCO)  :    CHIRP  

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

chirp

retarded time

ampiezza  e  frequenza  aumentano  nel  tempo  come  avviene  nel    cingueJo  degli  uccelli  

hTTij (t, r) = h0

hPijklAkl(t�

r

c)i

h0(t) =4⇡2/3 G5/3 M5/3

c4r⌫2/3GW (t)

Aij =

0

@cos 2!Kt sin 2!Kt 0

sin 2!Kt � cos 2!Kt 0

0 0 0

1

A

�(t) =

Z t

2!K(t)dt =

Z t

2⇡⌫GW (t) dt+ �in, where �in = �(t = 0)

dato  che    ωK          e’  funzione  del  tempo,      la  fase  che  compare  in  A    deve  essere    sosNtuita  dalla    fase  integrata  del  segnale:  

⌫in

t3/8coal

=⇣53/8

⌘ 1

8⇡

✓c3

GM

◆5/8

essendo  

⌫GW

(t) =!K

⇡= ⌫in

GW

1� t

tcoal

��3/8

, ⌫inGW

=1

⇡

sGM

(l0 in

)3

⌫GW

(t) =1

8⇡

✓c3

GM

◆5/8 5

tcoal

� t

�3/8�(t) = �2

c3 (t

coal

� t)

5GM

�5/8+ �

in

hTTij = �4⇡2/3 G5/3 M5/3

c4r⌫2/3GW (t)

hPijklAkl(t�

r

c)i

Aij(t) =

0

@cos �(t) sin �(t) 0

sin �(t) � cos �(t) 0

0 0 0

1

Asia  ampiezza  che  fase  dipendono  dalla  massa  di  chirp  

Antenne risonanti:  EXPLORER  (CERN)  in  funzione  dal  1990  NAUTILUS  (FrascaN)  AURIGA  (Legnaro  )                                                                                                                ν    ~  1    kHz                                                    ALLEGRO  (Lousiana)  per  es.  EXPLORER  e'  un  cilindro  di  una  lega  di  alluminio    lungo  3  metri,    60  cm  di  diametro,  peso  2300  kg,  opera  a  2  K        

Rivelatori risonanti proposti in passato: Stumpy cilinders d ~ L ~ 70 cm ν ~ 5 kHz Sfera piena d ~ 3 m, ν ~ 1 kHz Sfera cava d ~ 3 m, ν ~ 200 Hz

Rivelatori di onde gravitazionali ricerca iniziata da J. Weber in America e in Italia da Edoardo Amaldi negli anni sessanta

EXPLORER    (  CERN  )  

In  funzione    dal  1990  

MiniGRAIL Gravitational Radiation Antenna In Leiden

Kamerlingh Onnes Laboratory, Leiden University, The Netherlands MiniGRAIL cryogenic run 5

Last update: August 18 - 2003 Webmaster

The MiniGRAIL is a cryogenic 65 cm diameter spherical gravitational wave antenna made of CuAl(6%) alloy with a mass of 1150 Kg, a resonance frequency of 3250 Hz and a bandwidth around 230 Hz, possibly higher. The quantum-limited strain sensitivity dL/L would be ~4x10-21. The antenna will operate at a temperature of 20 mK. Two other similar detectors will also be built, one in Rome and one in São Paulo (already financed), which will strongly increase the chances of detection by looking at coincidences. The sources we are aiming at are for instance, non-axisymmetric instabilities in rotating single and binary neutron stars, small black-hole or neutron-star mergers etc.

This project is financially supported by

Rivelatori interferometrici L’onda gravitazionale cambia la distanza propria tra gli specchi: i due raggi laser fanno un cammino ottico diverso rispetto a quando l’onda e’ assente, quindi arrivano al fotodetector con una differenza di fase

Misurando la variazione delle frange di interferenza possiamo rivelare l’onda gravitazionale

Equazione della deviazione geodetica

Se  l'onda  e'  perpendicolare  al  braccio,  questo  varia  di      ∆  l  =    ½    h  l    Le fluttuazioni nel numero di fotoni laser che vengono usati simula una variazione della lunghezza del braccio pari a

 ∆  l  =    √ ( h c λ ∆  ν    /  π  P    )  λ lunghezza d'onda della luce di potenza P∆  ν    banda  di  frequenza  del  segnale  

Quindi  il  limite  per  la  misura  e'    

h  >    2  ∆  l  /l  =  2  √ ( h c λ ∆  ν    /  π  P  l2  )      

Perche'  i  bracci  dell'interferometro  devono  essere  cosi'  lunghi?  

limite  per  la  misura  e'    

h  >    2  ∆  l  /l  =  2  √ ( h c λ ∆  ν    /  π  P  l2  )      λ lunghezza d'onda della luce di potenza P∆ ν banda di frequenza del segnale

Se  P  =  1000  W    ,    λ =0.6    µ  m                    ∆  ν  ~  1000  Hz                                      per  avere                        h  >  10  -­‐20                                                            

Dovrebbe  essere      l=  15  km!!!  

Se  l'onda  e'  perpendicolare  al  braccio,  questo  varia  di      ∆  L  ~  ½  h0  L    

Le  flueuazioni  nel  numero  di  fotoni  laser  che  vengono  usaN    simula  una  variazione  della  lunghezza  del  braccio  pari  a  

 ∆  L  =    √ (ħ c λ ∆  ν    /  π  P    )    λ  lunghezza  d'onda,  P  potenza,              ∆  ν    banda  di  frequenza  del  segnale  

Quindi  il  limite  per  la  misura  e'    h0  >    2  ∆  L  /L  =  2  [√  (ħ  c  λ  ∆  ν    /  π  P)]  /  L            

Perche'  i  bracci  dell'interferometro  devono  essere  cosi'  lunghi?  

                                   Se        P  =  1000  W    ,    λ =0.6    µ  m                    ∆  ν  ~  1000  Hz                                      per  avere                        h0  >  10  -­‐20                                                            

     L  >    15  km  

L    >  (  2/h0  )√ (ħ c λ ∆  ν    /  π  P)          

10-­‐40  Hz    <  ν    <  1-­‐2  kHz  

Interferometri terrestri: VIRGO  (Pisa)    (3  km)  LIGO  (Hanford  (WA)-­‐  Livingston  (CA))          (3,4  km)                    GEO600  (Hannover)    (600  m)  TAMA300  (Giappone)    (300  m)  

recycling:  ‘trucco’  per  aumentare  il  cammino  oJco          

GravitaNonal  wave  interferometric  detectors:  first  generaNon  

Virgo  interferometer  (Cascina,  Italy)  

GEO600  (BriNsh-­‐German)  Hannover,  Germany  

LIGO-­‐  I  (USA)  Hanford,  WA    

TAMA300  (Japan)  LIGO-­‐II  (USA)  Livingston,  LA  

100 101 102 103 104

Frequency (Hz)

10-25

10-24

10-23

10-22

10-21

Stra

in (H

z-1/2

)

ET-BET-D

near  future  (  ~2015  LIGO,    Virgo)  

 future  Third-­‐generaNon  detectors:  Einstein  GravitaNonal-­‐Wave  Telescope  (ET)    design  study  funded  by  the  European  Framework  Programme  FP7    

Design  sensiNvity  curves  for  the  Advanced  LIGO,  Advanced  Virgo  and  LCGT  second-­‐generaNon  detectors.        The  Kamioka  GravitaNonal  Wave  Detector  (KAGRA),  is  a  planned  Japanese  detector    to  be  sited  underground  in  the  Kamioka  mine.    (expected  to  be  operaNng  in  ~2018)  

Advanced  detectors  

IniNal  detectors  

a  factor  10  in  sensiNvity  will  allow  us  to  see  sorces    in  a  space  volume  1000    Nmes  larger  

eLISA: 3 spacecraft in orbita eliocetrica. Formano un triangolo equilatero inclinato di 60° rispetto all’eclittica

equilateral triangle L=106 km : sensitiviy range ~10-4 Hz < ν < 1 Hz

LISA path finder verra’ lanciato nel 2015 per testare la tecnologia di eLISA. Se tutto va bene, eLISA volera’ nel 2034

NEL  FUTURO:  per  esplorare  le  basse  frequenze  bisogna  andare  nello  spazio  

Compact Binary systems in the last phases of coalescence

lISCO0 � 6GMtot/c2, �ISCO

GW =c3

⇥G⇥

63

1Mtot

Expected waveform before the ISCO (Innermost Stable Circular Orbit)

lISCO0 ⇠ 6GM

c2M = m1 +m2

⌫GW =2!K

2⇡=

sGM

l30=

1

⇡

rGM

c6

63G3M3

la  frequenza  del  segnale  emesso  all’ulNma  orbita  circolare  instabile  e’  inversamente  proporzionale  alla  massa  totale  del  sistema  

LIGO [40 Hz- 1-2 kHz] Interferometri  di  prima  generazione     Virgo [10 Hz- 1-2 kHz]

eLISA [10-4-10-1] Hz in  futuro,  nello  spazio  

consideriamo  tre  sistemi  binari          a)    m1=m2=  1.4  M¤

b)    m1=m2=  10  M¤

     c)    m1=m2=  106  M¤  

calcoliamo  la  distanza  orbitale    tra  i  due  corpi  quando  raggiungono    l’ISCO  e  la  frequenza  di  emissione  

⌫ISCOGW =

1

⇡

sGM

(lISCO0 )3lISCO

0 ⇠ 6GM

c2

a) l0ISCO = 24.8 km ⌫GW = 1570.4 Hz

b) l0ISCO = 177.2 km ⌫GW = 219.8 Hz

c) l0ISCO = 17.720.415, 3 km ⌫GW = 2.2 · 10�3 Hz

a)  e  b)    possono  essere  rivelaN  da  LIGO/Virgo,      c)  da  eLISA  

⌫GW

(t) =⌫inGW

t3/8coal

[tcoal

� t]3/8t = t

coal

"1�

✓⌫inGW

⌫GW

(t)

◆8/3#

calcoliamo  ora  il  tempo  che  un  dato  segnale  sta  nella  banda  del  rivelatore  

ponendo   ⌫max = ⌫ISCO⌫in = minima ⌫ rivelabile

a) (m1 = m2 = 1.4 M�) [40� 1570.4 Hz] [10� 1570.4 kHz]

�t = 24.86 s �t = 16.7 m

b) (m1 = m2 = 10 M�) [40� 219.8 Hz] [10 � 219.8 kHz] �t = 0.93 s �t = 37.82 s

se  la  banda  e’  piu’  larga  a  basse  frequenze  il  segnale  viene  caeurato  per    un  tempo  maggiore  

VIRGO: distanza di orizzonte per coalescenza di NS-NS d ~ 3 Mpc : Segnale emesso durante la fase di spiraleggiamento (prima del merging)

14

Maggiore  e’  la  massa,  minore  e’  il  range  di  frequenza  del  segnale  di  inspiralling  nella    banda  del  rivelatore    

interferometri di prima

generazione  

il  segnale  graficato  in  ordinata  e’  la  trasformata  di  Fourier  del  chirp,  molNplicata  per  la  radice  quadrata  della  frequenza:  strain-­‐amplitude  

VIRGO: distanza di orizzonte per coalescenza di NS-NS d ~ 3 Mpc : Segnale emesso durante la fase di spiraleggiamento (prima del merging)

14

I  Segnali  stanno  nella  banda  di  VIRGO  per  un  tempo  piu’  lungo:  NS-­‐NS  :    LIGO  ~  25  seconds    VIRGO  ~  17  minutes  BH-­‐BH:  LIGO  ~1  second            VIRGO  ~  38  seconds     Maximum  mass  that  can  be  seen  

~  130  Msun  

Maggiore  e’  la  massa,  minore  e’  il  range  di  frequenza  del  segnale  di  inspiralling  nella    banda  del  rivelatore    

interferometri di prima

generazione  

VIRGO: distanza di orizzonte per coalescenza di NS-NS d ~ 3 Mpc : Segnale emesso durante la fase di spiraleggiamento (prim del merging)

14

Maggiore  e’  la  massa,  minore  e’  il  range  di  frequenza  del  segnale  di  inspiralling  nella    banda  del  rivelatore    

interferometri di prima

generazione  

COSA  SUCCEDE  QUANDO  I  DUE  CORPI  RAGGIUNGONO  L’ISCO?  

100 1000Frequency (Hz)

1e-26

1e-25

1e-24

1e-23

1e-22

1e-21

Gra

vita

tiona

l Stra

in

0 0.05 0.1 0.15Time (s)

-5e-21

0

5e-21

Gra

vita

tiona

l Stra

in

ç           inspiral  (chirp) è                             inspiral  

çè  ç Merging        è  

çè  

ç  è    

COALESCING  BLACK  HOLES:  (25+25)  M¤  at  100  Mpc  

ringdown                        

Baker,  Campanelli,  Pretorius,  Zlochower  PRD  2007  

this  part    can  be  computed  only  by    direct  integraNon  of  Einstein’s  equaNons.  

u The  ringdown  is  a  superposiNon  of  damped  sinusoids:  the  black  hole  quasi-­‐normal  modes.                          MBH=  n  M¤              ν  ~  12/n    kHz          τ  ~  n  5.5  10-­‐5  s      (fundamental  mode  eigenfrequencies)        

u  Chirp  mass  can  be  measured  by  detecNng  the  inspiral  part  of  the  signal  

u  Modes  amplitude  depends  on  the  mass  raNo    Kamaretsos,Hannam,Husa,  Sathyaprakash                                                                                                                                                                            PRD85,  2012      

Mchirp = (m1m2)3/5/(m1 + m2)1/5

well  described  by  Post-­‐Newtonian    expansions  

perturbaNve    approaches  

u    Frequency  increases  up  to  30%  if  black  hole  rotates  

Coalescing  neutron  stars:  waveforms  depend  on  the  equaNon  of  state  of  maeer  

BaioR,  Giacomazzo,  Rezzolla,  PRD  (2008)  

When  the  two  stars  are  close  to    merging,  equaNon  of  state  effects  becomes  important  and  leave  an  imprint  on  the  waveform  

-­‐  EOS  cold  -­‐  EOS  hot  

The  evoluNon    is  different    

Cold  EOS.      The  merging    stops  abruptly:  the  peak  at  ~  4  kHz  signals  the  formaNon  of  a  BH.  The    cutoff  at  ~6.7  kHz  corresponds  to  the  fundamental  mode  of  oscillaNon  of  the  formed  BH.  

BaioR,  Giacomazzo,  Rezzolla,  PRD  (2008)  

When  the  two  stars  are  close  to    merging,  equaNon  of  state  effects  becomes  important  and  leave  an  imprint  on  the  waveform  

-­‐  EOS  cold  -­‐  EOS  hot  

The  evoluNon    is  different    

 Hot  EOS.  The  two  stars  merge,  then  bounce  several  Nmes  (emiJng  several  peaks),  then  a  supermassive  neutron  star  forms  which  finally  collapses  to  a  Bh.  Again  the  cutoff  at  6.7  kHz  corresponds  to  the  fundamental  mode  of  oscillaNon  of  the  formed  BH.    

Coalescing  neutron  stars:  waveforms  depend  on  the  equaNon  of  state  of  maeer  

Se  i  corpi  coalescenN  sono  una  stella  di  neutroni  e  un  buco  nero,  si  possono  avere    scenari  diversi,  a  secondo  del  rapporto  di  massa,  dei  momenN  angolari    e  dell’equazione  di  stato  della  materia    all’interno  della  stella  

1)  La  stella  viene  ingoiata  dal  buco  nero  e  la  forma  d’onda  e’  simile  a  quelle  viste  prima  

2)      La  stella  viene  distruea  dall’interazione  mareale  con  il  BH  prima  di  venire    ingoiata;                quando  accade,    il  segnale  gravitazionale  ha  una  brusca  caduta,  e  la  frequenza                corrispondente    indica  a  che  distanza  tra  I  corpi  e’  avvenuta  la  distruzione  della  stella.              POSSIBILE  MECCANISMO  DI  INNESCO  DI  Short  Gamma-­‐Ray  Burts  

La  frequenza  di  cutoff  dipende  dall’equazione  di  stato    della  stella.  V.  Ferrari,  L.  GualXeri,  F.  Pannarale,  CQG  26,  2009,  V.  Ferrari,  L.  GualXeri,  F.  Pannarale,  PRD  81,  2010  V.  Ferrari,  L.  GualXeri,  A.  MAselli  ,  PRD  85,  2012    A.  Maselli,  V.  Ferrari,  L.  GualXeri,  F.  Pannarale,  PRD  86,  2012              

m1 = m2 = 102M�

�t = 556.885 years

m1 = m2 = 106M� [10�4 � 2.2 · 10�3 Hz]

�t = 0, 12 years = 43 d 18 h 43 m 24 s