1 chopper - walkingitaly.com · 7 controllo dei converitori dc/dc ... e buck-boost converter...

Conversione statica - Convertitori c.c. /c.c. - Cap. XI A.A. 2008/2009

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1 Chopper ..............................................................................................................................2

1.1 Influenza della frequenza di funzionamento (saltare) ................................................4 2 Convertitori c.c. /c.c. a Tiristori (Saltare)..........................................................................7 3 Convertitore Buck ............................................................................................................10

3.1 Modalità Continua ....................................................................................................11 3.1.1 Convertitore Step-down con carico R-L serie (saltare)....................................12

3.2 Modalità di conduzione discontinua.........................................................................12 4 Convertitore Boost............................................................................................................14

4.1 Modalità Continua ....................................................................................................15 4.2 Modalità di conduzione discontinua.........................................................................16

5 Convertitore Buck-Bust....................................................................................................17 6 Convertitore CUK (saltare) ..............................................................................................20 7 Controllo dei converitori dc/dc.........................................................................................21 8 Convertitore a ponte .........................................................................................................21 9 Confronto fra i convertitori cc/cc non isolati ..................................................................26 10 Appendice I ..................................................................................................................27 11 Appendice II .................................................................................................................28


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XI CONVERTITORI C.C./C.C. I convertitori c.c./c.c, sono dispositivi che permettono di alimentare un carico, mediante una tensione regolabile con continuità da un valore minimo a un valore massimo, a partire da una sorgente in c.c.. Idealmente essi possono essere assimilati ad un interruttore interposto tra la sorgente in c.c. ed il carico: variando il rapporto (duty cycle) tra il periodo di tempo ton in cui l'interruttore è chiuso e il periodo complessivo T di un ciclo in cui l'interruttore viene chiuso ed aperto, è possibile variare con continuità il valore medio della tensione "continua" applicata al carico.

Fig. 11.1 - Principio di funzionamento di un chopper; a)schema circuitale, b)tensione e corrente I convertitori dc/dc utilizzano come interruttori dei componenti elettronici di potenza, lavorano con frequenze di interruzione elevate e generano in uscita una tensione unidirezionale , somma della tensione continua voluta e di una tensione alternata ad elevata frequenza. Quest’ultima componente può essere abbattuta con un opportuno filtro non dissipativo passa-basso, che può fare parte integrante del convertitore o del carico. Questi convertitori possono essere classificati come Buck Converter (abbassatore), Boost Converter (innalzatore) e Buck-Boost Converter (abbassatore innalzatore); tutti gli altri schemi possono essere derivati da questi. Prima di analizzare ciascuno dei predetti convertitori e di quelli che vengono da questi derivati, anche per ragioni storiche, verrà trattato il cosiddetto chopper.

1 Chopper

Il chopper utilizzato già dagli anni 70 in molte applicazioni di potenza ( per es. nelle motrici ferroviarie) altro non è che un convertitore Step Down o Buck. In fig.11.1-a è mostrato lo schema di principio dell'apparecchiatura base in esame che alimenta un carico costituito da un motore in c.c. L'interruttore H dello schema di figura è realizzato nella realtà attraverso un componente elettronico di potenza ( Tiristore, GTO, IGBT, o Mosfet). Il diodo D è detto di "libera circolazione" e consente la conduzione della corrente nel carico, dovuta all'energia magnetica immagazzinata nel motore, allorche' l'interruttore H viene aperto. L'induttanza L posta in serie al carico, è un'induttanza di spianamento che limita l'ondulazione presente nella corrente di carico ed immagazzina l'energia necessaria alla circolazione di tale corrente durante il periodo di


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apertura dell'interruttore H. Il suo dimensionamento è quindi legato sia alla ondulazione ammessa dal carico da alimentare sia alla frequenza di apertura e chiusura dell'interruttore H (frequenza di funzionamento del chopper f=1/T). Con riferimento alla fig. 11.1-b si vede che, indicata con E la tensione fornita dalla sorgente in c.c., ton il tempo di conduzione, toff il tempo di non conduzione e T somma di ton e toff dello switch H, la tensione media Vm applicata al carico è pari a:

δETt

EV onm =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (11.24)

Fig. 11.2 - Modalità di funzionamento di un chopper; a)frequenza fissa, b)frequenza variabile, c)tempo di conduzione e frequenza variabili E’ quindi possibile variare con continuità il valore di questa tensione variando il rapporto δ= ton/T (duty cicle), tale variazione può essere realizzata in 3 modi (fig. 11.2): 1 - Mantenendo fisso il valore di T e variando il tempo di conduzione ton tra 0 e T (funzionamento a frequenza fissa) 2 -Mantenendo fisso il valore di ton e variando il valore del periodo T (funzionamento a frequenza variabile) 3 -Variando contemporaneamente sia il valore di ton che quello di T, Consideriamo ora le due fasi di funzionamento: A) Interruttore H chiuso (0 < t < ton) Indicata con R la resistenza offerta dal carico, la corrente Ih che attraversa H, pari a quella IR che assorbe il carico, cresce esponenzialmente da un valore minimo Imin,per t=0, ad un valore massimo Imax per t=: ton

h RtR LI I I eE R E R= = + − ( )min

/ (11.25)


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per cui:

max min/( )I I eE R E R R L= + − ϑ (11.26)

L'espressione (11.25) può essere facilmente ricavata, se si considera un generico periodo di chiusura dell'interruttore H, con condizione iniziale tale che Ih= IR =Imin. B) Interruttore H aperto (ton < t < T). Se all'istante t= ton si apre l'interruttore, l'energia immagazzinata dall'induttanza L consente la circolazione nel carico e nel diodo D di una corrente che decresce esponenzialmente dal valore massimo Imax al valore minimo Imin per t=T:

D RR t LI I I e= = − − max

( ( )/ )ϑ (11.27) per cui: I I R t L

min max( ( )/ )= − − e ϑ (11.28)

Il rapporto:

I II

R t Lmax min

max

( ( )/ )− − −= 1- e ϑ (11.29)

mostra che l'ondulazione di corrente nel carico è tanto minore, quanto piu' grande è la costante di tempo L/R rispetto al tempo di apertura (T- ton ) di H. Quindi il carico sarà attraversato da una corrente IR debolmente ondulata il cui valore medio sarà:

R

VI m

m = (11.30)

Generalmente i choppers vengono utilizzati in funzionamento a frequenza fissa e a tempo di conduzione variabile. La scelta della frequenza di funzionamento è un problema che viene affrontato effettuando un compromesso tra le esigenze di dimensionamento del chopper e quelle di filtri a monte e a valle di esso.

1.1 Influenza della frequenza di funzionamento (saltare)

a) Influenza della frequenza di funzionamento sui componenti del chopper I dispositivi elettronici di potenza utilizzati per realizzare la funzione dell'interruttore H hanno perdite legate sia al periodo di conduzione (H chiuso) sia alla fase di commutazione (apertura o chiusura di H). Tali perdite aumentano con la frequenza di funzionamento del chopper con un conseguente declassamento delle sue prestazioni. In più nei choppers a tiristori è necessario un tempo minimo di conduzione, θmin, per la preparazione del circuito ausiliario di spegnimento (ciò apparirà piu' chiaro in seguito). Ne segue che il campo di regolazione della tensione media sul carico è:

Vmin ≤ Vm ≤ E (11.31-a)


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in cui Vmin è il valore di tensione minimo pari a:

VT

Eminmin=

θ (11.31-b)

è evidente quindi come per ottenere valori piccoli di Vm , fissato θmin sia necessario scegliere un valore abbastanza elevato di T e quindi limitare il valore della frequenza di funzionamento prescelta. D'altra parte si può notare che al diminuire di T e quindi all'aumentare di f aumentano le perdite. Queste due condizioni spiegano il motivo per il quale, tenendo conto del comportamento dei diversi componenti elettronici, si tende a lavorare nell'ordine, compatibilmente con i livelli di potenze in gioco, con Mosfet, IGBT e GTO. b) Influenza della frequenza di funzionamento sul carico. Se il carico, alimentato attraverso chopper, è costituito da un motore a c.c., l'ondulazione presente nella corrente di uscita del chopper ha effetti negativi sia sulle perdite addizionali del motore che sulla qualità della commutazione. Come detto precedentemente, l'ondulazione di corrente è influenzata dalla costante di tempo del motore e dalla frequenza di funzionamento del chopper. Un valore troppo basso di frequenza porta a dover prevedere una induttanza di spianamento L molto ingombrante, pesante e di elevato costo. L'ondulazione di corrente può essere espressa nella forma:

Lf

EtLVE

I onm

m )1( δδ−=

−=Δ (11.32)

e raggiunge il valore massimo:

Lf

EImk 4 =Δ (11.33)

per δ= 0.5 c) Influenza della frequenza di funzionamento sulla sorgente di alimentazione. Come mostrato in fig. 11.1 la corrente prelevata dalla sorgente di alimentazione è di tipo impulsivo. Nel caso in cui la sorgente presenti una impedenza non trascurabile (e' il caso di un sistema di trazione elettrica, in cui la sorgente di alimentazione in c.c. è costituita da una sottostazione di conversione che alimenta il carico attraverso una linea di trazione con induttanza trascurabile), è necessario introdurre un filtro per "spianare" la corrente di linea; ciò al fine sia di limitare le sovratensioni all'ingresso del chopper, sia di evitare perturbazioni agli altri utilizzatori. Utilizzatori che nel caso di un sistema di trazione elettrica sono per esempio i circuiti di segnalazione e telecontrollo. Il filtro è costituito da una induttanza L e da un condensatore C , per evitare eventuali fenomeni di risonanza, il periodo corrispondente alla frequenza di funzionamento del chopper non dovrà essere multiplo intero del periodo proprio del filtro e dovrà essere verificata la condizione: 2 0 0π C L T≥ (11.34) Con calcoli che qui tralasciamo è possibile mostrare che l'ondulazione, sulla corrente di linea, diminuisce quanto piu' elevati sono sia valori di L0 e C0, sia il valore della


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frequenza di funzionamento del chopper. In particolare il valore di tale ondulazione di corrente diminuisce con il quadrato di f. Ciò porta ad avere interesse a frequenze di funzionamento del chopper sufficientemente grandi, al fine di minimizzare il dimensionamento del filtro. Valori di un certo interesse sono quelli che vanno dai 500 ai 2000 Hz, ma mentre con i GTO si possono facilmente ottenere valori compresi tra i 1000 e i 2000 Hz, con i tiristori è difficile oltrepassare i 500 Hz: attualmente per chopper di potenza elevata i tiristori disponibili consentono frequenze di funzionamento dell'ordine dei 300÷400 Hz. Quindi nel caso di choppers di potenza elevata (P > 1000 kW) in cui era necessario utilizzare tiristori, si cercava di contenere il dimensionamento dei filtri aumentando artificialmente la frequenza di funzionamento ricorrendo all'accoppiamento di n choppers elementari, funzionanti ciascuno alla frequenza f, che alimentano in parallelo il carico. In fig. 11.3 è mostrato un esempio per n=3, il funzionamento di ciascuno degli n choppers è sfasato rispetto agli altri di T/n, e che dal punto di vista del dimensionamento ognuno di essi erogherà un valore medio di corrente pari a Im /n, se Im è il valore medio di corrente assorbito dal carico. La frequenza di pulsazione della corrente di linea sarà nf, e l'ampiezza di ciascuna pulsazione sarà n volte piu' piccola di quella che si otterrebbe con un unico chopper, che eroga al carico lo stesso valore medio di corrente. Si dimostra che l'ondulazione della corrente di linea è inversamente proporzionale al cubo del numero di chopper elementari accoppiati in parallelo. Ne segue che, a parità di ondulazione della corrente ammessa, la disposizione adottata consente di ridurre considerevolmente il dimensionamento del filtro di linea, inoltre la condizione di non risonanza del filtro diventa in questo caso: 2 0 0π C L T / n≥ (11.35) e cioé meno onerosa da realizzare. Nei capitoli successivi verrà prima mostrato il funzionamento di un chopper a tiristore, sopratutto per mostrare i limiti e le difficoltà di utilizzare tale componente e quindi i motivi che hanno portato allo sviluppo e all’impiego degli altri componenti; successivamente verranno trattati i principali schemi di convertitori c.c./c.c. oggi adottati.


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Fig. 11.3 - Filtro di alimentazione; a)schema elettrico, b) - Accoppiamento in parallelo

di tre chopper elementari;

2 Convertitori c.c. /c.c. a Tiristori (Saltare)

Un tiristore, alimentato attraverso una sorgente in c.c., necessita di un circuito ausiliario per interrompere la sua conduzione. è proprio per il tipo di circuito di spegnimento utilizzato che si differenziano tra di loro gli schemi di choppers impiegati. Se è vero che i choppers a frequenza variabile utilizzano un circuito di spegnimento relativamente piu' semplice e quindi piu' economico dei choppers a frequenza fissa, tuttavia il loro impiego è limitato a potenze di valore modesto. D'altra parte i choppers a frequenza fissa sono generalmente preferiti oltre che per le potenze piu' elevate ottenibili, anche per la semplicità delle operazioni di regolazione e controllo, nonche' per la possibilità di dominare gli effetti che essi hanno sulla sorgente di alimentazione quando questa presenti una impedenza propria non trascurabile. Ci occuperemo, di seguito, dei choppers a tiristori a frequenza fissa descrivendo le modalità di funzionamento del tipo di chopper mostrato in fig. 11.4. Questo tipo di chopper è costituito essenzialmente da un tiristore principale Th1 e da un diodo di "libera circolazione" D. Gli altri elementi del circuito permettono lo spegnimento di Th1 attraverso la scarica del condensatore Cd e quindi la regolazione del tempo di conduzione del chopper. La scarica del condensatore Cd è provocata portando in conduzione il tiristore ausiliario Th2. Il tiristore Th1' consente l'inversione della carica immagazzinata in Cd attraverso l'induttanza Ld. Le induttanze μ , utilizzate per limitare


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Fig. 11.4 - Chopper a tiristori a frequenza fissa; a)schema elettrico; b)tensioni e correnti il di/dt all'istante in cui vengono posti in conduzione i tiristori Th1' e Th2, saranno considerate nulle per semplificare la descrizione delle fasi di funzionamento del circuito. A) Conduzione del tiristore principale Th1 All'istante t = 0 vengono portati in conduzione il tiristore principale Th1 ed il tiristore d'inversione Th1'. A partire da questo istante quindi la tensione applicata al carico è quella fornita dalla sorgente (+E), e la corrente I assorbita attraverso Th1 inizia a crescere a partire da un valore minimo Imin. Contemporaneamente, l'innesco di Th1' permette al condensatore Cd (inizialmente carico con le polarità indicate in fig. 11.23-a ad una tensione circa pari a +E) di oscillare con l'induttanza Ld: dopo un tempo pari al semiperiodo del circuito oscillante, la corrente Ic si annulla e produce lo spegnimento del tiristore Th1' con il conseguente arresto del fenomeno oscillatorio. Il condensatore Cd resta quindi carico ad una tensione pari circa a -E. Il tiristore ausiliario Th2 che prima dell'istante t=0 si trovava in conduzione, all'accensione del tiristore principale Th1 viene interdetto. Nella descrizione dei fenomeni si è ipotizzata per semplicità la contemporanea accensione dei tiristori Th1 e Th'1. In realtà è necessario ritardare l'accensione di Th1' rispetto a Th1 in modo da applicare su Th2 una tensione inversa per il tempo sufficiente, affinche' questi recuperi le sue proprietà di blocco. Successivamente l'inversione di polarità del condensatore Cd lo pone in uno stato di "disponibilità" alla conduzione, cioe' Th2 si trova sottoposto ad una polarizzazione diretta che consentirà il passaggio allo stato di conduzione non appena verrà inviato un opportuno segnale all'elettrodo di comando del tiristore.

L

Vm

E

+

-

Id

D

t

t

t

t

Ir Imax

Imin

Vm

Im

Co

Th1

Th2L1

L2

Ld

T'h1 Vc

Cd

Lo

ic


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B) Conduzione del tiristore ausiliario Th2 All'istante t= T1 viene portato in conduzione il tiristore ausliario Th2 attraverso un segnale inviato al suo elettrodo di comando. Ne segue che istantaneamente una tensione inversa pari a circa -E è applicata ai capi del tiristore principale Th1 provocandone l'interdizione. La corrente viene fornita al carico dalla scarica del condensatore Cd attraverso il tiristore Th2. Mentre il condensatore Cd si scarica sul circuito di carico, la sorgente provvede a ricaricarlo con polarità inversa (uguale a quella di fig. 11.23-a) sino al valore +E. Il fenomeno di inversione di carica del condensatore Cd dura un tempo pari a T= 2E Cd/I, tale intervallo di tempo dovrà essere molto grande rispetto al tempo necessario al tiristore Th1 per recuperare le proprietà di blocco. La tensione applicata al carico decresce durante la scarica del condensatore dal valore +2E fino ad annullarsi nell'istante in cui la sorgente ha ricaricato con polarità inversa +E il condensatore Cd. A causa della ricarica con polarità inversa del condensatore Cd anche la tensione ai capi dei tiristori Th1 e Th1' si inverte divenendo una tensione di polarizzazione diretta che pone i tiristorei in uno stato di "disponibilità" alla conduzione. C) Conduzione del diodo di libera circolazione D Allorche' all'istante t= T1+ T2= θ la tensione di carica del condensatore Cd è uguale a quella della sorgente, il diodo D, fino ad allora sottoposto ad una tensione inversa, inizia a condurre, poiche' come detto al punto B) in questo istante si annulla la tensione applicata al carico. La corrente di carico si richiude perciò attraverso il diodo di libera circolazione D ed è sostenuta dalla energia immagazzinata nella induttanza di spianamento L. Tale corrente decresce da un valore massimo IM ad un valore minimo Imin dall'istante t= θ all'istante t= T pari al periodo corrispondente alla frequenza di funzionamento del chopper. All'istante t= T le fasi di funzionamento del circuito riprendono secondo la sequenza descritta nei precedenti punti A) e B).


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3 Convertitore Buck

Questo convertitore del tipo c.c./c.c., detto anche abbassatore (step-down), produce una tensione di uscita Vo inferiore alla tensione di ingresso Vd. Se si suppone che il carico sia resistivo puro, che lo switch1 (fig.11. 5) abbia un tempo di chiusura pari a ton e di apertura pari a toff con T= ton +toff, la tensione di uscita può scriversi: Vo=Vd δ, con δ = ton/T.

Fig. 11. 5 - Schema del Buck (step-down) Converter In figura 11. 5 è mostrato lo schema realizzativo di questo convertitore, in esso compare oltre allo switch2 anche un filtro LC, passa basso, per diminuire la fluttuazione sulla tensione di uscita la cui frequenza di taglio deve essere inferiore alla frequenza di switching. Nella figura si può anche osservare la presenza di un diodo che consente nel periodo toff il passaggio della corrente induttiva del filtro o del carico se questo non è resistivo puro. Infine la capacità deve essere scelta abbastanza grande in modo che la tensione sul carico resti per quanto possibile costante, cosicché la corrente che scorre nell'induttanza del filtro resti quasi uguale alla corrente sul carico, essendo molto piccola la corrente assorbita dalla capacità. Tale tipo di convertitore può funzionare sia in modalità continua che discontinua, a seconda che la corrente che scorre nel carico sia continua o discontinua.

1 La presenza dello switch rende i circuiti tempo varianti, quindi vngono rappresentati in modo diverso a seconda che questo è nella modalità ton o toff.

2 Il cui comando è a logica PWM (power wave modulation).


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3.1 Modalità Continua

In questo modo di funzionamento la corrente Io che scorre nel carico è sempre unidirezionale e diversa da zero; allorché lo switch è nell'intervallo di tempo ton il diodo è polarizzato inversamente e la corrente nell'induttanza cresce in modo da aumentare l'energia magnetica nell'induttore, ai cui capi verrà a cadere una d.d.p. Vd-Vo. Quando lo switch è , invece , nell'intervallo di tempo toff la corrente che scorre nell'induttanza decresce ed ai capi di questa vi sarà una d.d.p. Vl= -Vo .

Fig. 11.6 - Buck converter in modalità di conduzione continua, a) circuito nel periodo ton, b) circuito nel periodo toff In condizioni di regime l'energia immagazzinata nell'induttanza nel periodo ton deve essere uguale a quella ceduta durante il toff, o considerando costante la corrente il flusso all’inizio ed alla fine del periodo T resta invariato, quindi l'integrale della tensione in un periodo deve essere nullo. Pertanto il flusso nell’induttanza vale: (Vd -Vo ) ton = Vo toff =Vo (T- ton )

δ==Tt

VV on

d

0

inoltre, trascurando le perdite di potenza nei diversi elementi circuitali, si ha:

δ10 ==

ond tT

II

In questa modalità di funzionamento, il circuito si comporta come un trasformatore, in cui il rapporto spire è sostituito dal rapporto δ che varierà tra 0 ed 1.


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3.1.1 Convertitore Step-down con carico R-L serie (saltare) Si consideri il circuito di fig. con un carico R-L serie, l’equazione differenziale che lo regola può essere vista nei due modi di funzionamento , il modo 1 in cui lo switch è on e quello in cui lo switch è off. Modo 1 per 0<t<ton

( ) ( ) ( )dt

tdiLtRitV 1

1 +=

La cui soluzione come può ricavarsi dagli sviluppi riportati in appendice vale:

( ) ( ) ( )ττ tt eRtVeIti −− −+= 111

con I1 pari al valore di i1(t) nell’istante t=0+, alla fine del modo cioè per t=ton la corrente i1(t)=I2. Modo 2 per ton<t<ton+toff. L’equazione differenziale che governa il sistema vale:

( ) ( )dt

tdiLtRi 2

20 +=

ricordando che la corrente nell’istante iniziale del modo vale I2, la corrente può scriversi:

( ) τteIti −= 22 ed alla fine del modo, cioè per t= ton+toff. la corrente i2(t) è pari ad I1.

3.2 Modalità di conduzione discontinua

Si può osservare che al variare dei valori dei parametri del circuito si giunge a una modalità di conduzione della corrente nel carico discontinua; nella zona di confine tra questa modalità e quella di conduzione continua prima analizzata, la corrente Il nell'induttanza, al termine del periodo T, giunge ad annullarsi, per poi crescere per il periodo ton, e decrescere fino ad annullarsi nuovamente al termine del periodo toff. Il valore limite medio della corrente che scorre nell'induttanza, vale:

( ) ( ) ( )δδδ−=−=−== 1

2

2

22 00,

LVT

VVLTVV

LtI

I ddd

onpiccollb

se il valore medio della corrente il (t) scende al di sotto di Ilb il funzionamento diventa discontinuo.

δ

Fig.11.7 – Corrente limite al variare di δ


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Analizziamo di seguito il caso di funzionamento discontinuo con Vd costante e Vo variabile al variare di δ . Si può osservare che che il valore massimo di corrente limite Ilb si ha per un valore di δ pari a 0.5, e quindi

IT V

Llbmsxd=

8

e quindi Ilb = 4 Ilb,max δ(1-δ). Se si mantengono costanti tutti i parametri del circuito, aumentando solo il valore della resistenza di carico, il valore medio di corrente nell'induttanza diminuisce mentre aumenta il valore Vo, vi sarà pertanto un periodo di tempo δ2T in cui la corrente non scorre piu' nel carico, e quindi solo in una parte del tempo toff, pari a δ1 , la corrente di carico sarà diversa da zero. Si può pertanto scrivere:

Tt

Tt offon =+= 21 ; δδδ

( )( ) ( ) TVTV

TVTVV

d

d

110

100

δδδδδ

+=−=−

1

0

δδδ+

=dV

V

il valore di picco della corrente che scorre nell'induttanza sarà:

TL

VI L 1

0picco δ=

e quindi il valore medio di corrente Io può ricavarsi a partire dal valore massimo, tenendo conto che il tempo in cui passa la corrente nell’induttanza è pari a (δ +δ1 )T

lpiccoII2

10

δδ +=

δ

δ

δ

δ

Fig.11.7 - Convertitore Buck, caratteristiche di funzionamento di conduzione continuo e discontinuo nel piano V0/VD, I0/ILB,max sostituendo ad Il,picco il valore massimo della corrente limite, si ottiene il valore del rapporto V0/Vd.

δδmax

01 4 lbI

I= ;

max.

02

20

4 lb

d

IIV

V

δ

δ=


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Nella figura 11. 7 è riportata la zona di funzionamento continuo e discontinuo al variare di Vd. Infine per il circuito di fig. 11. 5, sono mostrati in fig.11. 7 i valori della tensione ai capi dello switch, dell'induttanza e del carico, e le relative correnti per il caso continuo e per quello discontinuo. Il ripple di tensione in uscita può essere calcolato, considerando un valore di capacità finito, a partire dal valore picco-picco della Vo .

LTI

CCQV L

2

21 1 0

Δ=

Δ=Δ

con 2LIΔ picco del ripple di corrente che scorre nell’induttanza per un tempo Ts/2.

TLVIL )1( 0 δ−=Δ

222

0

0 )1( 2

)1( T81 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

Δ

s

c

ff

LCVV

δπδ

in cui fc è la frequenza di oscillazione del filtro LC ed fs la frequenza di switching.

4 Convertitore Boost Questo convertitore del tipo c.c./c.c., detto anche innalzatore (step-up), produce una tensione di uscita V0 superiore alla tensione di ingresso Vd, è per es. utilizzato nella frenatura a recupero dei motori in cc. Si suppone che il carico sia resistivo puro, che lo switch abbia un tempo di chiusura pari a ton e di apertura pari a toff con T= ton +toff. In figura 11. 8 è mostrato lo schema realizzativo di questo convertitore, in esso compaiono oltre allo switch con blocco di comando a logica PWM anche un diodo di ricircolo con filtro LC, passa basso, ed una capacità, i cui significati ed impieghi sono già stati trattati nel convertitore buck. Tale tipo di convertitore può funzionare sia in modalità continua che discontinua, a seconda che la corrente che scorre nel carico sia continua o discontinua.


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Fig.11. 8 - Convertitore Boost, circuito realizzativo(a) tempo variante, schema elettrio nell’intervallo ton (b), schema elettrico nell’itervallo toff (c), e caratteristiche della tensione e corrente nell’induttanza.

4.1 Modalità Continua

In questo modo di funzionamento la corrente Io che scorre nel carico è sempre unidirezionale e diversa da zero; allorché lo switch è nell'intervallo di tempo ton il diodo è polarizzato inversamente e la corrente nell'induttanza cresce in modo da aumentare l'energia magnetica nell'induttore, ai cui capi verrà a cadere l'intera tensione applicata Vd. Quando lo switch è, invece, nell'intervallo di tempo toff la corrente che scorre nell'induttanza decresce ed ai capi di questa vi sarà una d.d.p. Vl= Vd- Vo . In fig. 11.8 sono riportati i circuiti elettrici lineari relativi all’intervallo ton (b)e T-ton (c). In condizioni di regime l'energia immagazzinata nell'induttanza nel periodo ton deve essere uguale a quella ceduta durante il toff, pertanto:

( )

δ−==

=−−

11

I

0

l0

offd

ondoffld

tT

VV

tVtIVV

inoltre, trascurando le perdite di potenza nei diversi elementi circuitali, si ha:

δ−== 10

0

VV

II d

d


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4.2 Modalità di conduzione discontinua

Si può osservare che al variare dei valori dei parametri del circuito si giunge a una modalità di conduzione della corrente nel carico discontinua; nella zona di confine tra questa modalità e quella di conduzione continua prima analizzata, la corrente nell'induttanza Il al termine del periodo T giunge ad annullarsi, per poi crescere per il periodo ton, e decrescere fino ad annullarsi nuovamente al termine del periodo toff.

δ

Fig.11. 9 - Convertitore Boost, caratteristiche di funzionamento di conduzione continuo limite e discontinuo. In fig. 11.9 è tracciato l’andamento del rapporto Io/Iomax al variare di δ, per diversi valori del rapporto Vd/Vo tenendo costante Vo, evidenziando la zona di discontinuit. Il valore limite della corrente che scorre nell'induttanza, vale:

( )δδ−=== 1222

0,

LTV

VL

tII d

onpiccollb

molto importante in questo tipo di convertitore è il valore medio della corrente di uscita sul carico, poiché il valore della corrente nell’induttanza e quello che viene dalla sorgente è lo stesso (Il=Id), si può scrivere ( )20

00 1

2 ;

1δδ

δ−=

−=

LTV

II

I bb

lb

se il valore medio della corrente il(t) scende al di sotto di Ilb il funzionamento diventa discontinuo. Posto Vo costante e quindi la tensione di ingresso variabile, si osserva che il valore massimo di corrente limite si ha per un valore di δ pari a 0.5, e quindi

ITV

Llbd

,max =8


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e quindi Ilb = 4 Ilb,max δ(1-δ), mentre il valore massimo di corrente di uscita si raggiunge per δ= 0.33, con

( ) max,02

0 14

27bb II δδ −=

Se si mantengono costanti tutti i parametri del circuito diminuendo solo il valore della resistenza di carico, e quindi della potenza di carico, pur mantenendo costanti Vd e δ, la corrente nell'induttanza diventa discontinua, e aumenta il valore V0. Effettuando l’uguaglianza del flusso assorbito e ceduto dall’induttanza si ha: (Vd- Vo) δ1T = (- Vd)δ T

0

10 II

VV d

d

=+

=δ

δδ

il valore medio della corrente fornta dalla sorgente in ingresso, uguale al valore di corrente nell'induttanza, può scriversi:

) ( 2

= 1 TL

VI d

d δδδ +

Poiche' V0 dovrà rimanere costante, in caso di funzionamento discontinuo δ dovrà variare in funzione del carico. Se tale regolazione non viene effettuata V0 non resta costante, ed una energia pari a

LTV

IL dpiccol 2

) (

2

22,

δ=

viene fornita dalla sorgente al condensatore ed al carico, con possibilità di danneggiare il condensatore stesso. Nel caso di funzionamento discontinuo il ripple di tensione in uscita ΔVo è pari all’integrale del ripple di corrente che scorre nel diodo. Infatti assumendo costante la corrente Io, il ripple della corrente nel diodo viene assorbito dal condensatore, e va a formare il ripple di tensione. Tale variazione se il carico è resistivo può scriversi:

CT

RV

CQV =

CT I 0

0δδ

=Δ

=Δ

5 Convertitore Buck-Bust Il convertitore, cosidetto buck-bust, è ottenuto dalla connessione in cascata dei due convertitori: quello step down e quello step up. Trova applicazione nei regolatori di tensione continua in cui il morsetto negativo della tensione in uscita ha un valore in modulo maggiore o minore del valore di tensione in ingresso, la polarità in questo caso è invertita rispetto al terminale comune della tensione in ingresso. In regime permanente, il rapporto tra la tensione di ingresso e di uscita è, anche in questo caso, funzione del l duty cycle δ .


18

Fig.11.10- Convertitore Buck-Bust, schema elettrico e funzionamento in conduzione continua In fig. 11.10 (a) è riportato lo schema del convertitore , si può osservare che quando lo switch è chiuso fig.11.10 (b) l'energia dalla sorgente va a caricare l'induttanza, quando invece lo switch è aperto, fig 11.10 (c), l'energia immagazzinata nell'induttanza è trasferita al carico, si tenga presente che il valore di capacità C deve essere elevata affinche' la tensione ai capi del carico resti costante. In fig. 11.10 ( c) è riportato infine l'andamento della tensione e della corrente sull'induttanza, e dall’esame del verso di Io si può osservare l’inversione di polarità nella tensione di uscita. Pertanto lungo un intero periodo Ts la variazione di flusso e quindi l'integrale della tensione vale: Vd δ T + (-Vo) (1-δ) T = 0 da cui

1 ; 1

00

δδ

δδ −

=−

=dd I

IVV

Dalle equazioni precedenti si può osservare come al variare del duty cycle il valore di tensione in uscita può essere maggiore o minore di quella in ingresso. Il punto di psssaggio tra la conduzione continua e quella discontinua si ricava tenendo conto che per tale funzionamento la corrente al termine di T deve annullarsi. Pertanto il valore medio della tensione sull'induttanza e quello in uscita saranno :

)-(1 2

2

0, δδ

LVT

LVT

II dpiccollb ===


19

( )

200

0

)-(1 2

1

δ

δδ

LVT

I

IIIIII

b

lblblbdlbb

=

−=−=−=

In fig.11.11(a) è riportato l'andamento della corrente e della tensione ai capi dell'induttanza nel caso di funzionamento discontinuo, scrivendo l'integrale di tale tensione per il periodo δT, eguagliato all’integrale dell’energia magnetica nell’induttanza nel periodo (δ1)T a zero, si ottiene il valore di Il al variare di δ, ed in fig. 11.31 (b) è riportata la caratteristica Vd/V0

mantenendo V0 costante, ponendo sull’asse delle ascisse il rapporto max,0

0

bII tra la corrente sul

carico e la corrente sul carico massima al limite della zona di conduzione. Vd δ T + (-Vo) δ1 T = 0 con T = δ T + δ1 T + δ2 T

δδ

δδ 10

1

0 ; ==dd I

IVV

) ( 2 1δδδ += TL

VI dl

δ

Fig.11.11. - Convertitore Buck Bust, a) forme d'onda in funzionamento discontinuo, b) caratteristiche del rapporto Vd/V0 al variare di δ (duty cycle).


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6 Convertitore CUK (saltare)

Questo convertitore prende il nome dal suo inventore, è simile come funzionamento al convertitore Buck Bust ed è ottenuto da questo utilizzando il principio di dualità. In fig. 11.32 è riportato lo schema circuitale.

Fig.11.12 - Convertitore Cuk, schema circuitale. allorche' lo switch è chiuso l'energia dalla sorgente và a caricare l'induttanza L1, mentre il carico, la capacità C di livellamento e l'induttanza L2 sono alimentati dalla capacità C1, quando invece lo switch è in condizione di off, l'energia immagazzinata nell'induttanza viene trasferita alla capacità C1 e il carico è alimentato dalla induttanza L2. Pertanto l'integrale delle tensioni sia ai capi di L1che di L2, fatto in un periodo, può scriversi:

( )( )

( ) ( )( )δ

δδ

δδδ

1 01 V

11 01

0100c12

111

VVTVTVL

VVTVVTVL

c

dccdd

=⇒=−−+−⇒

−=⇒=−−+⇒

da cui si ottiene:

δ

δδ

δ −=

−=

1 ; 1

00

dd II

VV

CR

Vo

i

V d

-

+

+

-

iL1 iL2

V L2V L1Vc1

o

o

c1VL1V L2V

L2iL1i

-

+

+

-

dV

i

oV

RC

t

t

t

t

VL1

V L2

iL1

iL2

off

on

Vd

-Vo

V c1 -V o

Vd-V

c1=Vo

on

off

Il1

Il2

Fig. 11.13- Forme d'onda di corrente e tensione nel convertitore Cuk.


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Un vantaggio di questo circuito rispetto al convertitore Buck-Bust è dato dal fatto che in questo la corrente di ingresso e quella pilotata sono abbastanza libere da ripple, contrariamente al primo convertitore in cui tale fenomeno è molto accentuato, uno svantaggio significativo è invece rappresentato dall'elevato ripple di corrente che passa nel condensatore C1.

7 Controllo dei converitori dc/dc

Nei convertitori sopra trattati il valore medio della tensione desiderata è ottenuto, per una fissata frequenza di switching fs (fs=1/Ts), variando opportunamente le durate dei tempi di switch on ed off del componente switching. Evidentemente ogni tipo di convertitore ha un rapporto tra tensione di ingresso e di uscita diverso, come si è visto uno dipende da δ uno da 1 /(1-δ) ecc., ma tutti sono funzione dello stesso parametro δ=ton/Ts. Di seguito viene mostrato uno schema per la determinazione del parametro δ legato ad una tensione di ingresso V0, questo schema è direttamente legato al convertitore buck, ma è facile estendere questo tipo di schema a tutti gli altri convertitori switching. Si effettua un confronto fra una tensione triangolare Vtri di periodo Ts, sempre positiva, e la tensione continua desiderata V0. La tensione triangolare ha un valore massimo pari al massimo possibile della tensione ottenibile ed è sempre positiva essendo questi convertitori attivi in un solo quadrante. Se V0>Vtri il componente switching risulta chiuso, in caso contrario è aperto, tale tipo di regolazione viene detto PWM, pulse wave modulation.

Fig.11.13b - modulazione PWM per convertitori switching .

8 Convertitore a ponte

Il chopper a ponte (full-bridge) ha una struttura che ne consente l'impiego anche come inverter (cc/ca), ciò che differenzia il funzionamento nei due casi è il controllo degli switches, cioè la loro sequenza di commutazione. Esso può funzionare nei quattro quadranti del piano V0-I0 o C-n, il che lo fà preferire in molti casi per l'alimentazione di un azionamento in corrente continua in cui si vuole il rovesciamento sia della coppia che della velocità. Lo schema del convertitore è riportato in fig.11.14, in cui vi sono due switch e due diodi di libera circolazione per ramo posti in antiparallelo. La tensione di ingresso è fissa e pari a Vd, mentre quella di uscita è pari a V0 può essere controllata in ampiezza e polarità , variando gli istanti di conduzione degli switches. Si ricordi che gli switch dello stesso ramo non possono condurre simultaneamente, per evitare ct. ct. che distruggerebbero i componenti del ramo, in pratica anzi vi sarà un intervallo di tempo (blanking-time) molto piccolo in cui ambedue gli


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switch sono in condizione di off, e si trascura tale condizione allora la corrente scorrerà sempre in un ramo. La presenza dei diodi in antiparallelo comporta una distinzione fra lo stato on e quello di conduzione di uno switch. Infatti se uno switch è acceso ma la corrente ha verso opposto a quello ammesso dallo switch stesso allora la corrente scorrerà nel diodo in antiparallelo, se invece la corrente scorre nel verso ammesso dallo switch, si può dire che questo è nello stato conducting time, ovviamente nello stato off tale distinzione non esiste. Si consideri il ramo A di fig.11.14, la tensione Van rispetto al polo negativo n può dedursi da: 1) quando Ta è on la corrente scorre attraverso Ta se Io è positivo o attraverso Da se negativo, in ambedue i casi si avrà: van =Vd 2)quando Tc è on, la corrente scorre in Tc se negativa ed in caso contrario scorre in Dc, quindi: van=0 Da quanto sopra emerge che Van dipende, in un periodo Ts, solo dallo stato degli switch Ta e Tc del ramo A ed è indipendente dal verso della corrente Io, dipende pertanto solo da Vd e dal duty cicle δ. Pertanto può scriversi:

d

s

offondan V

TttV

V 0

δ=+

=

Per il ramo B è possibile, ragionando nello stesso modo di quanto fatto per il ramo A, giungere alle conclusioni sinteticamente sotto riportate: 1) TB=on e TD=off Vbn= Vd 2) TB=off e TD=on Vbn= 0 quindi in un periodo Ts la tensione Vbn, in funzione del duty cycle β può scriversi: Vbn = β Vd Pertanto la tensione di uscita Vo ai capi del carico è data dalla differenza tra Van e Vbn ed è indipendente dalla grandezza e direzione della corrente.

Fig.11.14 - Convertitore c.c./c.c. a ponte. Quindi l'uscita del convertitore V0=Van-Vbn può essere controllata regolando i duty cycle degli switch ed è indipendente dall'ampiezza e dal verso di I0. Il controllo di questo convertitore è diverso da quello degli altri convertitori cc/cc che funzionano in un solo quadrante ed in cui V0 non cambia polarità. In quelli è infatti sufficiente confrontare la Vcontrol con una a dente di sega che non cambia polarità, in questo invece il confronto deve essere realizzato con una tensione triangolare di frequenza pari a quella della portante, e che cambia


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polarità. Vi sono due possibilità' di funzionamento, quella PWM bipolare in cui la coppia Ta etc e la coppia Tb e Td passano insieme dallo stato on allo stato off e viceversa , e quello cosiddetto PWM unipolare in cui i singoli elementi di una coppia lavorano scollegati. Nel caso bipolare i segnali di gate si identificano dal confronto tra una funzione triangolare Vtri, a frequenza 1/Ts e una funzione di controllo Vcontrol. Finché Vcontrol>Vtri la coppia TA e TD è on mentre TC e TB sono off, ne segue che: Van = Vd e Vbn = 0 Quando Vcontrol<Vtri, la coppia TA -TD va in off mentre la TB e TC va in on e si ha: Van = 0 e Vbn = Vd In fig. 11.15 è riportato a) l'andamento della Vcontrol e della Vtri, b) la tensione Van ai capi del ramo A del convertitore, c)la tensione Vbn ai capi del ramo B del convertitore, d) la tensione Vo =Van-Vbn ai capi del carico, e)la corrente di carico nel caso I0>0, f) la corrente di carico nel caso I0<0.

Fig. 11.15 - Grandezze caratteristiche in un chopper a ponte nel funzionamento bipolare Come si può osservare l'istante t1 in cui Vcontrol =Vtri può ricavarsi a partire dall’espressione della triangolare nel tempo:

V Vt

T tVV

Ttri mx

s

control

mx

s= =

441 ;

con Vmx valore massimo della triangolare, dalla figura si può inoltre osservare che il periodo di tempo in cui conducono TA e TD è :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += s

mx

controls

son T

VV

TTtt21

42 1


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Il duty cycle della coppia TA TD sarà allora

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

mx

control

s

on

VV

Tt

121δ

mentre il duty cycle β della coppia TB TC è il complemento di δ cioè β=1-δ. La tensione V0, che dà il nome di bipolare al tipo di funzionamento, può allora scriversi in funzione del duty cycle come

( ) ( ) dmx

controlddbnan V

VV

VVVVV =−=−=−= 120 δβδ

Il controllo del secondo tipo di funzionamento, detto di modulazione unipolare in quanto la tensione V0 è sempre maggiore di zero, si basa sulla proprietà che disponendo TA e TB simultaneamente on si portano i morsetti ai capi del carico allo stesso potenziale V0=0, lo stesso effetto si ottiene portando simultaneamente on TC e TD. Questo fatto può essere sfruttato per migliorare la forma d'onda della tensione di uscita, e può essere realizzato confrontando la Vtri con una Vcontrol1 per determinare i segnali di commutazione del ramo A e con una –Vcontrol2 per i segnali del ramo B. In fig. 11.16 è riportato a) l'andamento della Vcontrol1 , della –Vcontrol2 e della Vtri, b) la tensione Van ai capi del ramo A del convertitore, c) la tensione Vbn ai capi del ramo B del convertitore, d) la tensione Vo =Van-Vbn ai capi del carico, e) la corrente di carico nel caso I0>0, f) la corrente di carico nel caso I0<0.

Fig. 11.16 - Grandezze caratteristiche in un chopper a ponte nel funzionamento unipolare Si può osservare che la tensione V0 assume sempre lo stesso segno mentre le correnti possono essere sia positive che negative, inoltre l'espressione che lega il valore medio di V0 alla Vcontrol resta ancora valida. Se la fs è la stessa nei due tipi di funzionamento, la modulazione unipolare genera una forma d'onda della tensione di uscita migliore, ciò in quanto l'effettiva frequenza di switching è


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doppia e quindi le armoniche hanno frequenza multipla non di fs ma di 2fs, ed il contenuto armonico è minore perché le armoniche dispari hanno minore ampiezza e tutto ciò porta ad un ripple ridotto. .


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9 Confronto fra i convertitori cc/cc non isolati I convertitori step-down, step-up, buck-boost e cuk consentono il passaggio della corrente solo in un senso, mentre ciò non avviene nel full bridge che lavora invece nei quattro quadranti. Per valutare come gli switch sono utilizzati nei diversi chopper, si effettuino le seguenti ipotesi: 1) la corrente media sul carico I0, nel funzionamento non discontinuo, è pari alla corrente

nominale ammessa dal convertitore ed ha un ripple trascurabile. 2) la tensione di uscita v0(t) ha un valore medio V0 pari alla tensione nominale ed ha un ripple

trascurabile. 3) nel caso in cui la tensione di ingresso Vd varii, il duty cycle δ deve essere fatto variare in

modo da mantenere costante V0. 4) la potenza P0=V0 I0 è dunque la potenza nominale di uscita dal convertitore. Sotto le ipotesi sopradette, può essere calcolato il massimo valore Vt di tensione cui è sottoposto lo switch ed il massimo valore di corrente It che scorre nello stesso, da queste grandezze è possibile fissare la potenza nominale dello switch e la potenza di dimensionamento (Pt=Vt It). In fig. 11.17 è mostrato per alcuni convertitori il fattore di utilizzazione P0/Pt al variare del duty cycle δ, con Po e Pt rispettivamente potenza di uscita e di dimensionamento. Si può osservare che per il buck-boost ed il Cuk il valore di δ per cui l’utilizzazione è massima cade per un valore di δ intorno a 0.5. Dal grafico si può vedere che dove è possibile è meglio utilizzare il buck ed il boost, il full bridge è preferibile se si deve lavorare sui quattro quadranti, mentre il Cuk ed il buck - boost sono da preferirsi se si vuole una inversione di polarità della tensione in uscita. Invece per quanto riguarda il buck ed il boost poiche' il massimo di utilizzazione si ha per δ=0 e per δ=1 una buona utilizzazione si ha se la tensione di uscita V0 nel suo range di variazione è dello stesso ordine di quella di ingresso Vd.

Fig.11.17 - Confronto tra diversi convertitori cc/cc, in funzione del duty-cycle.


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10 Appendice I

Si consideri un circuito R-L serie al quale dall’istante t=0 in poi viene applicata una tensione V. Applicando la seconda legge di Kirchhoff si può scrivere:

)()()( tVdt

tdiLtRi =+

effettuando la trasformata di Laplace per ciascun termine dell’equazione precedente si ha:

ssVLissLIsRI )()0()()( =+−+

in cui i(0+) rappresenta la corrente che scorre nel circuito R-L prima dell’applicazione della tensione V(t). Nel caso in cui questa corrente è nulla si può scrivere:

LRssLVsI

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

11)(

la cui antitrasformata risulta pari a:

( )RLe

RVti t =−= − ττ con 1)(

Se la corrente prima della applicazione della V(t) è diversa da zero e vale Io, supponendo il sistema, nei suoi componenti, lineare applichiamo la sovrapposizione degli effetti, l’equazione in termini di trasformata di Laplace si può scrivere:

LRsI

sI+

= 0)(

la cui antitrasformata risulta pari a:

( )RLeIti t == − ττ con )( 0

Se contemporaneamente si hanno ambedue le sorgenti, la corrente che scorre nel circuito è pari a:

( )RLe

RVeIti tt =−+= −− τττ con 1)( 0


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11 Appendice II

Fig. – Convertitori cc/cc a ponte, modulazione bipolare. Nello schema di sinistra gli switch TA e TD sono chiusi, mentre gli switch TC e TB sono aperti. Nello schema di destra gli switch TA e TD sono aperti, mentre gli switch TC e TB sono chiusi; l’induttanza del carico forza la corrente a passare attraverso i diodi DC e DB.

Fig. – Convertitori cc/cc a ponte, modulazione unipolare. Nello schema di sinistra sono chiusi TA e TD, nello schema di destra invece TA e TB.

Fig. – Convertitori cc/cc a ponte, modulazione unipolare.Sono chiusi gli switch TC e TB , lo schema di sinistra mostra il percorso della corrente se ancora è presente energia nell’induttanza, lo schema di destra presuppone chelinduttanza successivamente alla commutazione sisia scaricata.

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