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Capital budgeting and Value at Risk: un commento critico
F. Cetta
Istituto Italiano degli Attuari 6 giugno 2002
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1. Rischio operativo
Intervento del Comitato di Basilea (2001): Rischio associato a possibili perdite derivanti da
inefficienti procedure interne di monitoraggio e controllo nella gestione del portafoglio.
Nel sistema bancario internazionale: - rischio di credito (50%) - rischio di mercato (15%) - rischio operativo (35%)
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2. Asset allocation risk budgeting Organizzazione di un corretto mapping delle
posizioni aperte sulle singole business units. Individuazione dei fattori di rischio: ponderazione
dei fattori. Calibratura degli asset con diversi coefficienti di
rischio. Profilo di rischio del portafoglio attraverso parametri
di volatilità. Matching tra i risultati di gestione e la stima della
potenziale perdita: analisi di sensibilità dei cash-flow.
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3. VAR (Value at Risk)
Risk Metrics: J.P. Morgan (1995)
VAR: perdita attesa (potenziale) indotta da movimenti avversi del mercato (market risk) su posizioni aperte.
Fissato il periodo di gestione (holding period) “h”:
= P [L > VAR]
1 - = livello di confidenza
= 5% cutoff = 1,645 (distribuzione normale)
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Analisi della volatilità giornaliera:
2h,g= 2
g•h h,g = g • h
Livello di rischio sistematico:
VAR = [2 2(Rm)]1/2 • k • h
k = cutoff nella distribuzione normale
Hp: portafoglio composto da due asset:
E( V) = X11 + X2 2
2(V) = X12 1
2 + X22
22 +2X1X212 12
VAR = - [E( V) - 1,645 ( V)]
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Hp: portafoglio composto da n asset w = aliquota d’impiego = matrice delle varianze-covarianze k = coefficiente di cutoff h = holding period
VAR = ( wT w)1/2 · k · h
Livello di rischio sistematico:
VAR = [p2 2(Rm)]1/2 · k · h
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4. EVT (Extreme Value Theory)
Analisi delle perdite aleatorie mark-to-market connesse ad eventi di bassa frequenza.
Applicazioni in ingegneria idraulica ed in climatologia.
Connessioni con la teoria dell’affidabilità dei sistemi e la Teoria del Rischio.
In ambiente finanziario è considerato un approccio embrionale del risk-management: P.Embrechts (2000), F.Longin (1997).
Modelli peaks-over threshold (POT) basati sulla distribuzione di Pareto generalizzata.
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5. Analisi EVT VAR X = perdita aleatoria mark-to-market F(x) = funzione di ripartizione X - u = eccesso di perdita rispetto al treshold (u) F(x|X>u) = f.d.r. condizionata: probabilità che
l’eccesso di perdita (X-u) sia minore di (x), dato che la perdita superi (u).
1- F(x|X>u) = probabilità condizionata che l’eccesso di perdita (X-u) sia maggiore di (x).
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Posizione asintotica
lim F(x|X>u) u
Convergenza alla distribuzione di Pareto generalizzata
1 - [1+ · x/]-(1/) 0
G(x) =
1 - e-(x/) = 0
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= parametro di inclinazione delle code = parametro di scala
Prima osservazione strutturale
Se > 0 otteniamo la ordinaria distribuzione di Pareto (stima delle perdite rilevanti nelle applicazioni assicurative);
Se = 0 ricaviamo la distribuzione esponenziale
negativa
Se < 0 ricaviamo la distribuzione di Pareto del
2° tipo
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Seconda osservazione strutturale
Sia > 0. Approssimazione:
P[X – u > x|X > u] 1 - G(x) = [1+ ·(x/)]-(1/)
P[X-u > x] = P[X > u]·P [X – u > x|X > u]
P[X > u]· [1+ (x/)]-(1/)
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Enunciato: la distribuzione generalizzata di Pareto fornisce un’approssimazione del VAR
P[X-u > x] = P[X > x+u] x+u = VAR
= P[X > VAR] = P[X > x+u]
= P[X > u] · [1+ (x/)]-(1/)
=P[X > u] · 1+ [(VAR –u)/]-(1/)
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Stima del VAR attraverso EVT
VAR = u + ( /)·{ /[P(X>u)]- -1}
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Bibliografia
N.D.Pearson (2002): “Risk Budgeting”, J. Wiley
M.G.Cruz (2002): “Modeling, measuring and hedging operational risk”, J. Wiley
P.Embrechts (2000): “Extremes and Integrated Risk Management”, Risk Publication, Londra
F.Longin (1997): “From VAR to stress testing: the Extreme Value approach”, Ceressec working paper