1 Überschrift 1 - qucosa

Professur für Dynamik und Mechanismentechnik

Implementierung eines EMKS-Programms in MATLAB zur Verifikation von reduzierten FE-Modellen aus MORPACK Implementation of an EMBS-Program in MATLAB for the Verification of FE-Models reduced by MORPACK

Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades

Diplom-Ingenieur (Dipl.-Ing.)

von: Tobias Vonstein B. Eng.

Betreuender Hochschullehrer: Prof. Dr.-Ing. Michael Beitelschmidt

Prüfer: Prof. Dr.-Ing. habil. Rolf Schmidt

Betreuer: Dipl.-Ing. Claudius Lein

Termin der Abgabe: Dresden, 15.04.2015

überarbeitete Version vom: 08.07.2015

Fakultät Maschinenwesen Institut für Festkörpermechanik

Selbstständigkeitserklärung i

Selbstständigkeitserklärung Hiermit versichere ich, Tobias Vonstein, dass ich meine Diplomarbeit

„Implementierung eines EMKS-Programms in MATLAB zur Verifikation von redu-

zierten FE-Modellen aus MORPACK“

selbstständig und ohne fremde Hilfe angefertigt habe und dass ich alle von anderen Autoren wörtlich übernommenen Stellen wie auch die sich an die Gedankengänge anderer Autoren eng anlegenden Ausführungen meiner Arbeit besonders gekennzeichnet und di e Quellen zitiert habe.

Die Arbeit habe ich in dieser oder ähnlicher Form oder auszugsweise im Rahmen einer an-deren Prüfung noch nicht vorgelegt.

Brilon, den 15.04.2015 _______________________________ (Unterschrift)

Kurzfassung ii

Kurzfassung Für die elastische Mehrkörpersimulation bzw. die FEM-MKS-Kopplung sind reduzierte FE-Modelle von großer Bedeutung. Die Erstellung reduzierter Modelle mit hoher Abbildungsgüte im Rahmen einer Modellordnungsreduktion erfordert einerseits ein geeignetes Reduktions-verfahren und andererseits zuverlässige Korrelationsmethoden. Beides wird durch die Soft-ware MORPACK bereitgestellt. Die Korrelation reduzierter FE-Modelle basiert in MORPACK derzeit ausschließlich auf modalen Eigenschaften. Ausgehend von der Annahme, dass sich die Abbildungsgüte eines reduzierten FE-Modells erst im Rahmen einer Zeitbereichssimula-tion vollständig beurteilen lässt, ist eine dahingehende Erweiterung von MORPACK geplant. Für einfache Topologien muss die Möglichkeit bestehen, das dynamische Verhalten, redu-zierter Modelle, direkt in MORPACK zu simulieren. Mit Hilfe der resultierenden Zeitsignale werden die reduzierten Modelle bewertet. Für die Umsetzung dieser Idee muss in MOR-PACK zunächst ein eigenständiges EMKS-Programm implementiert werden.

Die Implementierung des EMKS-Programms in MORPACK (bzw. MATLAB) stellt den Schwerpunkt dieser Arbeit dar. Es werden zunächst die Anforderungen an das EMKS-Programm formuliert. Nach der Behandlung aller erforderlichen theoretischen Grundlagen werden die Systemgleichungen hergeleitet. Anschließend wird ein Formalismus bereitge-stellt, der den A ufbau der Systemgleichungen, auf Basis der Nutzereingaben ermöglicht. Nach der Implementierung des Formalismus wird das EMKS-Programm verifiziert und e r-probt.

Abstract Reduced FE-Models are very important for elastic multibody simulation and FEM-MKS-coupling. The generation of reduced FE-models with high approximation quality in a model order reduction requires on the one hand a suitable reduction method and on the other hand reliable correlation methods. Both are provided by the MORPACK software. In MORPACK the correlation of reduced FE models based currently only on modal properties. An extension of the MORPACK software is planned on the assumption, that the approximation quality of a reduced FE-model can be completely assessed only in a time domain simulation. For simple topologies, it must be possible to simulate the dynamic behavior of reduced models directly into MORPACK. With the correlation of resulting time signals, the reduced models are as-sessed. To realize this idea, an i ndependent EMKS program must be implemented in MORPACK.

The implementation of the EMKS program in MORPACK (respectively MATLAB) represents the focus of this thesis. The first part is to formulate the necessary requirements for the EMKS program. After handling of all the necessary theoretical foundations, the system equa-tions are derived. Subsequently, formalism is provided that allows a construction of the sys-tem equations based on the user input. After the implementation of the formalism, the EMKS program will verify and tested.

Inhaltsverzeichnis iii

Inhaltsverzeichnis Formelzeichen und Abkürzungen........................................................................................... v

Vorwort .................................................................................................................................. xi

1 Einleitung ........................................................................................................................ 1

1.1 Motivation ................................................................................................................ 1

1.2 Zielsetzung .............................................................................................................. 2

1.3 Lösungsweg ............................................................................................................ 3

2 Verifikation und Optimierung durch Zeitbereichssimulationen ......................................... 5

2.1 Erweiterung von MORPACK .................................................................................... 5

2.2 Anforderungen an das EMKS-Programm ............................................................... 10

2.3 Korrelation von Zeitsignalen .................................................................................. 12

3 Grundlagen der elastischen Mehrkörpersimulation ....................................................... 16

3.1 Berücksichtigung elastischer Deformationen in Mehrkörpersystemen.................... 16

3.2 Kinematik freier Einzelkörper ................................................................................. 19

3.2.1 Räumliche Drehungen von Bezugssystemen .............................................. 19

3.2.2 Methode des bewegten Bezugssystems ..................................................... 23

3.2.3 Diskretisierung und Variablen für die Zustandsbeschreibung ...................... 25

3.2.4 Kinematik der Schnittstellenknoten ............................................................. 28

3.3 Kinetik freier Einzelkörper ...................................................................................... 31

3.4 Wahl des Körperbezugssystems ............................................................................ 40

3.4.1 Kinematische Zwangsbedingungen ............................................................. 40

3.4.2 Kinetische Zwangsbedingungen .................................................................. 42

3.5 Gebundene Mehrkörpersysteme ............................................................................ 44

3.6 Daten von elastischen Körpern .............................................................................. 48

4 Bewegungsgleichungen und EMKS Formalismus für zwei beliebig gekoppelte Körper . 52

4.1 Modellbildung ........................................................................................................ 52

4.2 Bewegungsgleichungen in einem Satz natürlicher Koordinaten ............................. 54

4.3 Transformation auf Minimalkoordinaten ................................................................. 62

4.3.1 Formalismus ............................................................................................... 63

4.3.2 Herleitung der notwendigen Vektoren und Matrizen .................................... 65

5 Erweiterung des EMKS-Algorithmus für die festgelegte Topologie ................................ 76

Inhaltsverzeichnis iv

6 Implementierung in MORPACK ..................................................................................... 84

6.1 Struktur der Eingabe- und Definitionsdaten ........................................................... 84

6.2 Grafische Benutzeroberfläche und Einbindung in MORPACK ............................... 90

6.3 Implementierung des EMKS-Formalismus ............................................................. 92

7 Verifikation und Erprobung ............................................................................................ 98

7.1 Verifikation mit SIMPACK ...................................................................................... 98

7.2 Erprobung der Prozesskette ................................................................................ 101

7.2.1 Erprobungsmodell ..................................................................................... 101

7.2.2 Ergebnisse der Zeitbereichssimulation im Vergleich zu modalen Korrelationskriterien ................................................................................................... 103

7.2.3 Optimierung durch Zeitbereichssimulation................................................. 108

8 Zusammenfassung und Ausblick ................................................................................ 112

Literaturverzeichnis ............................................................................................................ 115

Abbildungsverzeichnis ....................................................................................................... 118

Tabellenverzeichnis ........................................................................................................... 120

A Anhang ...................................................................................................................... 121

A.1 Beispiel: Formalismus für die Transformation auf Minimalkoordinaten ...... 121

A.2 Screenshots der grafischen Benutzeroberfläche des EMKS-Programms .. 123

A.3 Topologie und Eingabedaten des Modells zur Verifikation mit SIMPACK .. 129

A.4 Bedeutung der Symbole im Programmablaufplan ..................................... 130

A.5 Erprobungsmodell Triebsatzwelle – Topologie und Eingabedaten ............ 131

A.6 Erprobungsmodell Triebsatzwelle – Ergebnisse ........................................ 141

Formelzeichen und Abkürzungen v

Formelzeichen und Abkürzungen In dieser Arbeit werden alle Formelzeichen in der Schriftart Times New Roman dargestellt. Variablen werden hierbei kursiv dargestellt. Konstante Größen und Zahlen werden nicht kur-siv dargestellt. Matrizen werden fett gedruckt, ansonsten gelten die gleichen Konventionen, wie bei skalaren Größen. Grundsätzlich werden in dieser Arbeit Körper und Bezugssysteme durchnummeriert oder mit Laufvariablen bezeichnet. Knoten werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Die an einem Körper wirkenden Lasten sind in Kräfte und Momente zu untertei-len. An vielen Stellen steht die Bezeichnung Kraft stellvertretend für Kräfte und Momente. Die Vektoren, welche Kräfte und Momente zusammenfassen, werden in dieser Arbeit auch als Kraftvektoren bezeichnet.

Nach [1] lassen sich verschiedene Typen von Vektoren unterscheiden. Für die unterschiedli-chen Typen werden folgende Darstellungen vorgeschlagen:

Typ Darstellung

koordinatenfreier Vektor im 3 a

Koordinatendarstellung eines Vektors bzgl. eines Bezugssystems B Ba

zusammengesetzte Koordinatendarstellung von zwei Vektoren mit je drei Komponenten

a

allgemeiner Vektor im n , ohne klare Untergliederung a

Diese Darstellungen werden auch in dieser Arbeit verwendet. Nachfolgend werden die we-sentlichen Formelzeichen und Abkürzungen definiert. Formelzeichen, die an dieser Stelle nicht definiert sind, werden in dieser Arbeit nur einmalig oder selten verwendet. Sie werden deshalb an den z ugehörigen Textstellen erläutert. Dies gilt auch, wenn Formelzeichen an einigen Stellen eine andere Bedeutung haben.

Lateinische Formelzeichen, Kleinbuchstaben

f Freiheitsgrad

i Laufvariable für Elemente oder Knoten

Laufvariable für Elemente Koordinate bzw. Zeile in einem Vektor

k Laufvariable für Körper oder Bezugssystem

m Masse

j

n beliebige Laufvariable

ne Anzahl der elastischen Koordinaten

Formelzeichen und Abkürzungen vi

nq Anzahl der Minimalkoordinaten

nK Anzahl der angehängten Starrkörper

w Wertigkeit einer Gelenks (Gelenkfreiheitsgrad)

x

y

z

kartesische Koordinaten

Lateinische Formelzeichen, Großbuchstaben

A

B

C

D

E

Knoten (Schnittstellenknoten, Masterknoten)

AB Gelenk zwischen den Knoten A und B (Auch für andere Knotenbezeichnun-gen gültig.)

V Volumen

S Schwerpunkt

O Koordinatenursprung

I Inertialsystem

δP virtuelle Leistung

Griechische Formelzeichen, Kleinbuchstaben

α

β

γ

Kardanwinkel

δ Variation

e Dehnung

σ Spannung

ρ Dichte

ϑx

ϑy

ϑz

Drehwinkel um die x-, y- und z-Achse infolge kleiner elastischer Deformatio-nen

Formelzeichen und Abkürzungen vii

Matrizen

A Drehmatrix, Transformationsmatrix

C Kopplungsmatrix (Methode des bewegten Bezugssystems)

D Dämpfungsmatrix

E Einheitsmatrix

H Kinematikmatrix

HR rotatorischer Anteil der Kinematikmatrix

I Trägheitstensor

J Jacobi-Matrix

K Steifigkeitsmatrix

M Massenmatrix ( )RΦ

Matrix der ortsabhängigen globalen Ansatzfunktionen (translatorischer Anteil) ( )RΨ

Matrix der ortsabhängigen globalen Ansatzfunktionen (rotatorischer Anteil)

NΦ Matrix ( )RΦ

bezogen auf den Knoten N ( )( )N NR=Φ Φ

NΨ Matrix ( )RΨ

bezogen auf den Knoten N ( )( )N NR=Ψ Ψ

0 Nullmatrix

Vektoren

a Beschleunigungsvektor (translatorisch)

e Basisvektor, Einheitsvektor

F

Kraftvektor

M

Momentenvektor

F

F

Kraftvektor (eigentlich Lastvektor), welcher die Kräfte und Momente zusam-menfasst. (oben: 6

bei Starrkörper, unten: n bei elastischem Körper)

zF

Fz

Zwangskräfte infolge kinematischer Bindungen (oben: 6 bei Starrkörper,

unten: n bei elastischem Körper)

ωF

ωF Trägheitskräfte(oben: 6

bei Starrkörper, unten: n bei elastischem Körper)

g Vektor der Erdbeschleunigung

L

Drehimpuls

Formelzeichen und Abkürzungen viii

J

Impuls

r Ortsvektor

R

materielle Koordinate (Lagrangesche Koordinate)

q Minimalkoordinaten

qe elastische Koordinaten

u elastische Deformation (translatorisch)

v Geschwindigkeitsvektor (translatorisch)

x Zustandsvektor allgemein

y Zustandsvektor auf Geschwindigkeitsebene

z Zustandsvektor auf Lageebene

α Vektor der die Kardanwinkel zusammenfasst

δ

Relativverschiebung

ϕ Vektor der Gelenkkoordinaten bei ungebundenen System

ϑ Vektor der Drehwinkel infolge kleiner elastischer Deformationen

ω Winkelgeschwindigkeitsvektor

0

Nullvektor

Indizes, tiefgestellt

( )... A B bezogen auf Gelenk AB (Auch für andere Knotenbezeichnungen gültig.)

( )c... bezogen auf elastisches Verbindungselement

( )ext... extern

( )... FE bezogen auf Daten aus einem FE-Programm

( )g... Gewichtskraft

( )G... bezogen auf Gelenke

( )... j n Ortsvektor oder Kardanwinkel gemessen von j nach n oder Drehmatrix von n

nach j

( )n... Bewegungsgleichung bezogen auf einen Satz natürlicher Koordinaten

( )... N bezogen auf den Knoten N mit { }A,B,C,D,EN ∈

( )q... bezogen auf Minimalkoordinaten

( )u... bezogen auf ungebundenes System

( )... x in x-Richtung

( )... y in y-Richtung

Formelzeichen und Abkürzungen ix

( )... z in z-Richtung

( )...ϕ

bezogen auf Gelenkkoordinaten des ungebundenen Systems

( )tt... translatorischer Anteil einer Systemmatrix

( )rr... rotatorischer Anteil einer Systemmatrix

( )ee... elastischer Anteil einer Systemmatrix

( )rt... gemischter Anteil einer Systemmatrix (Kopplung rotatorischer mit elastischem

Anteil)

( )t... translatorische Koordinaten, bezogen auf translatorischen Anteil

( )r... rotatorische Koordinaten, bezogen auf rotatorischen Anteil

( )e... elastische Koordinaten, bezogen auf elastischen Anteil

( )rel... Relativwert

Indizes, hochgestellt

( )... Ableitung nach der Komponente

Mathematische Symbole

( )~

...

( )~...

Tilde Operator

( ) 1... − invertiert

( )( )... n n-te Ableitung nach dem Ort (ab der vierten Ableitung)

( )( )... a Ableitung nach einer beliebigen Variablen a

( )T... transponiert

( ).

...

( ).....

( )......

erste, zweite und dritte Ableitung nach der Zeit

( )... ′

( )... ′′

( )... ′′′

erste, zweite und dritte Ableitung nach dem Ort

diag[…] Diagonalmatrix

∂ partielle Ableitung

min Minimum

Formelzeichen und Abkürzungen x

Abkürzungen DAE Differentialgleichungssystem mit algebraischen Nebenbedingungen

(differential algebraic equations)

EMKS elastisches Mehrkörpersystem

FE Finite Elemente oder Finite Element-

FEM Methode der Finiten Elemente (Finite Element Method)

CMS Component Mode Synthesis

MKS Mehrkörpersystem oder Mehrkörpersimulation

MOR Modellordnungsreduktion

ODE Gewöhnliches Differentialgleichungssystem

(ordinary differential equations)

PDGL partielle Differentialgleichungen

KSM Krylov Unterraumverfahren (Krylov Subspace Method)

NRFD Normalized Relative Frequency Difference

modMAC modified Modal Assurance Criterion

MORPACK Model Order Reduction PACKage

REF Referenz(modell)

RSL Radsatzlager

RSWL Radsatzwellenlager

Vorwort xi

Vorwort Diese Arbeit bildet den Abschluss meines berufsbegleitenden Diplomstudiums in der Fach-richtung allgemeiner und konstruktiver Maschinenbau. Die Wahl des Themas war vor allem durch meinen Wunsch motiviert, einen tieferen Einblick in die Methode der Mehrkörpersimu-lation sowie in die Methode der Finiten Elemente zu bekommen. Die Implementierung eines eigenen EMKS-Programms hat genau diesen Zweck erfüllt. Zusätzlich habe i ch durch die Implementierung einen guten Eindruck von der computerorientierten Umsetzung der ent-sprechenden Formalismen bekommen.

Ich danke Prof. Dr.-Ing. Beitelschmidt für die aufschlussreichen Gespräche und die wertvol-len Hinweise im Rahmen der Vorbesprechung und der Zwischenpräsentation. Aufgrund mei-ner parallelen Berufstätigkeit war ich leider während der Bearbeitung nur selten vor Ort.

Mein Betreuer Dipl.-Ing. Claudius Lein war deshalb größtenteils meine einzige Schnittstelle zur Professur. Ich möchte mich an di eser Stelle bei ihm für die hervorragende Betreuung bedanken. Die Zusammenarbeit über die große räumliche Distanz war hierbei sicher die be-sondere Herausforderung. Während zahlreicher Telefonkonferenzen und bei einigen persön-lichen Treffen haben w ir viele fachliche Diskussionen geführt. Die hierdurch entstandenen Impulse haben wesentlich zum Erfolg dieser Arbeit beigetragen.

Ich habe diese Arbeit während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Labor für Technische Mechanik und Computersimulation der Fachhochschule Südwestfalen ange-fertigt. Die primäre Herausforderung bei der Erstellung dieser Arbeit war der zwangsläufige Zeitmangel durch meine parallele Berufstätigkeit. Ich bedanke mich deshalb bei allen Vorge-setzten und Arbeitskollegen, insbesondere Dipl.-Ing. (FH) Dirk Brune, die mir während der Bearbeitungszeit den Rücken freigehalten haben. Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr.-Ing. Uwe Riedel und Prof. Dr.-Ing. Willi Klein für ihr Verständnis und ihre Flexibilität.

Abschließend möchte ich mich bei meiner Freundin Carina Wegener und meiner Familie für ihre Unterstützung und Ihren Rückhalt in den letzten Monaten bedanken.

1 Einleitung 1

1 Einleitung

1.1 Motivation Die rechnerunterstützte Analyse und Entwicklung technischer Systeme ist heute in vielen Bereichen Stand der Technik. In der Festkörpermechanik sind zwei Methoden von besonde-rer Bedeutung. Es handelt sich hierbei um die Methode der Mehrkörpersimulation (MKS) und um die Methode der Finiten Elemente (FEM). [2]

Mit der klassischen Mehrkörpersimulation wird das dynamische Verhalten technischer Sys-teme untersucht. Die technischen Systeme bestehen hierbei fast immer aus mehreren Kör-pern, welche über Gelenke miteinander und m it der Umgebung verbunden sind. Derartige Systeme werden als Mehrkörpersysteme bezeichnet. Bei dieser Methode werden die elasti-schen Bauteildeformationen nicht berücksichtigt. Jedoch sind große räumliche Drehungen zulässig. [2]

Mit der Methode der Finiten Elemente werden die elastischen Deformationen von Bauteilen untersucht. Hierbei sind beliebig komplizierte Geometrien zulässig. Häufig wird eine lineare FE-Formulierung verwendet. Bei dieser Formulierung sind nur kleine elastische Deformatio-nen und kleine Rotationen zulässig. Auch dynamische Fragestellungen können mit der Me-thode der Finiten Elemente untersucht werden. Trotz einiger nichtlinearer Ansätze für große Deformationen und große räumliche Drehungen ist die Analyse von Mehrkörpersystemen mit der Methode der Finiten Elemente häufig nicht möglich oder zumindest nicht effizient. [2]

Für die Analyse technischer Systeme hat sich deshalb in der Vergangenheit eine Aufteilung der Analyse in zwei Bereiche etabliert. Es wurde eine dynamische Simulation mit Starrkör-pern durchgeführt (MKS). Auf Grundlage dieser Ergebnisse wurden die elastischen Defor-mationen und S pannungen in kritischen Bauteilen mit der Methode der Finiten Elemente untersucht. Aufgrund immer komplexer werdender technischer Systeme und teilweise extre-mer Leichtbauweise ist eine derartige Aufteilung jedoch in vielen Fällen nicht mehr möglich. Die Dynamik technischer Systeme wird in solchen Fällen wesentlich von den elastischen Deformationen beeinflusst und muss aufgrund der Wechselwirkungen schon bei der dynami-schen Analyse berücksichtigt werden. Die Lösung für diesen Konflikt bietet die elastische Mehrkörpersimulation. [3]

Es existieren verschiedene Ansätze für die Berücksichtigung elastischer Deformationen in Mehrkörpersystemen. Der derzeit gebräuchlichste ist die Methode des bewegten Bezugssys-tems. Hierbei werden reduzierte FE-Modelle in ein Mehrkörpersystem eingebunden (FEM-MKS-Kopplung). Reduzierte FE-Modelle werden aus einem FE-Modell mittels einer Modell-ordnungsreduktion erstellt. (Kapitel 3.1)

Die Erstellung reduzierter Modelle mit hoher Abbildungsgüte, im Rahmen einer Modellord-nungsreduktion, erfordert einerseits ein geeignetes Reduktionsverfahren und ander erseits zuverlässige Korrelationsmethoden. Beides wird durch die Software MORPACK (Kapitel 2.1)

1 Einleitung 2

bereitgestellt, welche in MATLAB implementiert ist. Die Korrelation reduzierter FE-Modelle basiert in MORPACK derzeit ausschließlich auf modalen Eigenschaften.

Ausgehend von der Annahme, dass sich die Abbildungsgüte eines reduzierten FE-Modells erst im Rahmen einer Zeitbereichssimulation vollständig beurteilen lässt, ist eine dahinge-hende Erweiterung von MORPACK geplant. Für einfache Topologien muss die Möglichkeit bestehen, das dynamische Verhalten reduzierter Modelle direkt in MORPACK zu simulieren. Mit Hilfe der resultierenden Zeitsignale werden die reduzierten Modelle verifiziert. Zusätzlich ist, wenn nötig, eine Optimierung der reduzierten Modelle möglich. Für die Umsetzung dieser Idee muss in MORPACK zunächst ein eigenständiges EMKS-Programm implementiert wer-den. Zusätzlich werden Module für die Verifikation und die Optimierung benötigt. (Kapitel 2.1)

1.2 Zielsetzung Das primäre Ziel dieser Arbeit besteht in der Implementierung eines eigenständigen EMKS-Programms in MORPACK bzw. MATLAB. Hierfür müssen zunächst die Anforderungen an das EMKS-Programm definiert werden. Diese folgen aus dem, in dieser Arbeit erstellten Konzept für die Verifikation und Optimierung mittels einer Zeitbereichssimulation. Auf Grund-lage dieser Anforderungen müssen die Bewegungsgleichungen und die kinematischen Diffe-rentialgleichungen hergeleitet werden. Die Modellierungsparameter (z.B. Beschreibung der elastischen Körper) werden hierbei an di e Anwendung im Zusammenhang mit MORPACK angepasst.

Eine wesentliche Herausforderung liegt darin, dass die Gleichungen sowie deren Struktur, von den Nutzereingaben abhängen. Ziel ist es, die Gleichungen mit den Standardzeitintegra-tionsverfahren in MATLAB zu lösen. Dies wird durch die Transformation auf Minimalkoordi-naten erreicht, wodurch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen entsteht. Es muss ein Formalismus für den automatischen Aufbau der Bewegungsgleichungen in Minimalkoor-dinaten bereitgestellt werden. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt jedoch in der Berücksich-tigung elastischer Deformationen in Mehrkörpersystemen. Deshalb wird zunächst ein Forma-lismus gesucht, der überschaubar und leicht zu debuggen ist. Es geht nicht darum, den nu-merisch effizientesten Algorithmus zu finden.

Nach der Implementierung in MATLAB muss das EMKS-Programm an MORPACK ange-bunden werden. Die wesentlichen Aufgaben hierbei sind, der Import reduzierter FE-Modelle aus MORPACK und d ie Definition der Topologie durch den Nutzer. Für die Anbindung an MORPACK muss eine Datenstruktur bereitgestellt werden. Sie enthält alle Definitions- und Eingabedaten. Auf Grundlage dieser Datenstruktur wird eine grafische Benutzeroberfläche für die Definition der Topologie und anderer Analyseparameter entworfen. Die eigentliche Implementierung dieser Schnittstellenfunktionen ist jedoch nicht Bestandteil dieser Arbeit. Sie wird von der Professur für Dynamik und Mechanismentechnik übernommen.

Nach der Implementierung steht in MORPACK ein eigenständiges EMKS-Programm zur Ver-fügung. Im Rahmen der festgelegten Topologie können durch den Nutzer beliebige Modelle

1 Einleitung 3

in einer grafischen Benutzeroberfläche definiert werden. Für die Beschreibung elastischer Körper können reduzierte FE-Modelle aus MORPACK verwendet werden.

Abschließend muss das EMKS-Programm verifiziert und erprobt werden. Um das fehlerfreie Aufstellen aller Systemgleichungen sowie die korrekte Implementierung zu gewährleisten, ist der Vergleich mit einer etablierten EMKS-Software (z.B. SIMPACK) notwendig. Zusätzlich werden die Ergebnisse der Verifikation, mit Hilfe der Zeitbereichssimulation, mit der Korrela-tion auf Basis modaler Eigenschaften verglichen. Die Unterschiede werden diskutiert. Ab-schließend wird das, zu Beginn erstellte, Konzept zur Verifikation und Optimierung reduzier-ter FE-Modelle erprobt. Es werden erste Ansätze für die Automatisierung und Weiterentwick-lung dieses Konzepts formuliert.

1.3 Lösungsweg In Kapitel 2 wird zunächst ein Grobkonzept für die Verifikation und Optimierung reduzierter FE-Modelle durch eine Zeitbereichssimulation aufgestellt. Aus diesem Grobkonzept lassen sich die Anforderungen an das EMKS-Programm ableiten. Die Anforderungen werden in Form einer Topologie formuliert. Die Besonderheit hierbei ist, dass viele Parameter (Gelenk-definition, Anzahl der Körper usw.) variabel sind. Sie hängen von den Nutzereingaben bei der Implementierung ab.

In Kapitel 3 werden die notwendigen theoretischen Grundlagen für die Bearbeitung der Auf-gabe hergeleitet und beschrieben. Die nachfolgende Anwendung wird hierbei teilweise schon berücksichtigt. Ziel ist es, die notwendigen Gleichungen, allgemeingültig, aber mit Bezug auf ihre spätere Anwendung, in den Kapiteln 4 und 5 herzuleiten.

In Kapitel 4 werden die Gleichungen aus Kapitel 3 auf die Topologie bezogen, welche wiede-rum aus Kapitel 2 folgt. Hierfür wird die Topologie in Kapitel 4.1 zunächst auf die wesentli-chen Aspekte, welche die Gleichungsstruktur stark beeinflussen, vereinfacht. In Kapitel 4.2 werden die Bewegungsgleichungen und di e kinematischen Differentialgleichungen für die vereinfachte Topologie hergeleitet. Die Transformation dieser Gleichungen auf Minimalkoor-dinaten erzeugt ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches in MATLAB mit den Standardintegrationsverfahren gelöst werden kann. Der Aufbau der Bewegungsglei-chungen bzw. deren Transformation auf Minimalkoordinaten muss in Abhängigkeit von den Nutzereingaben erfolgen. Dies erfordert einen Formalismus, der den Aufbau der Gleichun-gen in MATLAB automatisch erledigt. Dieser Formalismus wird in Kapitel 4.3 bereitgestellt.

In Kapitel 5 werden die Gleichungen und der Formalismus aus Kapitel 4 auf die in Kapitel 2 geforderte Topologie erweitert. Der erweiterte Formalismus wird in Kapitel 6 in MATLAB im-plementiert. Neben der eigentlichen Implementierung muss auch der Import reduzierter FE-Modelle aus MORPACK und di e Modelldefinition über eine grafische Benutzeroberfläche gewährleistet werden. Hierfür wird in Kapitel 6.1 zunächst die Struktur der erforderlichen Eingabe- und Definitionsdaten festgelegt. Auf Basis dieser Datenstruktur wird dann eine gra-fische Benutzeroberfläche entwickelt (Kapitel 6.2) und die Anbindung an das Export-Modul von MORPACK hergestellt.

1 Einleitung 4

Die Implementierung und Umsetzung dieser zusätzlichen Module ist nicht Bestandteil dieser Arbeit. Sie wird von der Professur für Dynamik und Mechanismentechnik übernommen. Eine genaue Abgrenzung der Aufgabengebiete ist in Kapitel 2 zu finden. In Kapitel 6.3 wird ab-schließend Implementierung des EMKS-Formalismus beschrieben.

Nach der Implementierung in Kapitel 6 wird das EMKS-Programm in Kapitel 7 verifiziert und erprobt. Um eine fehlerfreie Implementierung zu gewährleisten, wird in Kapitel 7.1 zunächst eine Verifikation mit SIMPACK durchgeführt. Hierfür wird ein Testmodell sowohl mit SIM-PACK als auch mit dem EMKS-Programm analysiert. Der Vergleich der Ergebnisdaten er-möglicht die Verifikation. Zusätzlich ist eine Bewertung der ausgewählten Zeitintegrationsve-fahren und der eingestellten Integrationstoleranzen möglich. Die für den Vergleich der Er-gebnisdaten (Zeitsignale) erforderlichen Korrelationsverfahren werden in Kapitel 2.3 vorge-stellt.

In Kapitel 7.2 wird die Erprobung des Grobkonzepts aus Kapitel 2 durchgeführt. Als Erpro-bungsmodell wird hierfür ein realer Anwendungsfall gewählt. Es handelt sich um die Analyse der Triebsatzwelle einer dieselhydraulischen Lokomotive. Es werden zunächst vier reduzier-te FE-Modelle der Triebsatzwelle, mit Hilfe der Zeitbereichssimulation korreliert. Die Ergeb-nisse werden mit der Korrelation auf Basis modaler Eigenschaften verglichen und diskutiert. Anschließend wird die Optimierung eines reduzierten Modells erprobt und bewertet. Es wer-den erste Empfehlungen für die Konzeption des Moduls zur Verifikation und Optimierung gegeben.

In Kapitel 8 werden die Ergebnisse abschließend zusammengefasst. Im Hinblick auf nach-folgende Arbeiten, werden Ansätze für die Vervollständigung und Automatisierung der Pro-zesskette aus Kapitel 2 gegeben. Zusätzlich werden Ideen für die Erweiterung des EMKS-Programms festgehalten.

2 Verifikation und Optimierung durch Zeitbereichssimulationen 5

2 Verifikation und Optimierung durch Zeitbereichs-simulationen

In diesem Kapitel wird eine Möglichkeit beschrieben, um reduzierte FE-Modelle in MOR-PACK durch eine Zeitbereichssimulation zu verifizieren und zu optimieren. Hierfür wird in Kapitel 2.1 zunächst die MORPACK-Schnittstelle vorgestellt. Es wird beschrieben, wie sich die neuen Module in die bestehende Prozesskette eingliedern. Anschließend wird ein Ar-beitsablauf für die Verifikation und Optimierung festgelegt.

Aus diesen Rahmenbedingungen ergeben sich die Anforderungen an das EMKS-Programm. Sie werden in Kapitel 2.2 definiert. Die Verifikation und O ptimierung mit Hilfe von Zeitbe-reichssimulationen erfordert die Korrelation von Zeitsignalen. In Kapitel 2.3 werden geeigne-te Methoden hierfür vorgestellt. Zusätzlich werden die notwendigen Gleichungen beschrie-ben.

2.1 Erweiterung von MORPACK Die Methode des bewegten Bezugssystems ist die derzeit praxisrelevanteste Methode zur Berücksichtigung elastischer Deformationen in Mehrkörpersystemen. Für die Abbildung der elastischen Körper werden hierbei FE-Modelle verwendet (Kapitel 3.1). Die Lösung der nicht-linearen Bewegungsgleichungen eines Mehrkörpersystems erfordert im Zeitbereich viele iterative Lösungsschritte. Der Freiheitsgrad von praxisrelevanten FE-Modellen ist häufig grö-ßer als 10.000. Diese Größenordnung führt in einem Mehrkörpersystem zu nicht hinnehmba-ren Rechenzeiten. Aus diesem Grund ist eine Modellordnungsreduktion vor der Einbindung eines FE-Modells unerlässlich. Ziel einer Modellordnungsreduktion ist es, den Freiheitsgrad des vollen FE-Modells wesentlich zu reduzieren. Legitimierend ist hierbei, dass die dynami-schen Eigenschaften des vollen FE-Modells hinreichend gut durch das reduzierte FE-Modell approximiert werden müssen. [4]

Es existieren unterschiedliche Reduktionsverfahren, deren Auswahl erheblichen Einfluss auf die Qualität der reduzierten FE-Modelle besitzt. Gleiches gilt für die gewählten Reduktions-parameter, z.B. die Auswahl der Masterknoten. Die Qualität der reduzierten Modelle muss aus diesem Grund zwingend überprüft werden (Modellkorrelation). [4]

In der Praxis wird aus den CAD-Daten eines Körpers zunächst mittels eines FE-Programms, ein FE-Modell erstellt. Anschließend wird eine Modellordnungsreduktion durchgeführt und so ein reduziertes FE-Modell erzeugt. Abschließend wird aus dem reduzierten FE-Modell eine Eingabedatei in einem Format (z.B. SID) erzeugt, welche von dem gewünschten MKS-Programm (z.B. SIMPACK) interpretiert werden kann. Die meisten kommerziellen FE-Programme (z.B. ANSYS oder ABAQUS) unterstützen diese Funktionalitäten. Jedoch exis-tieren bei der Verwendung kommerzieller FE-Programme derzeit einige Einschränkungen. Sie werden in [4] wie folgt beschrieben.


„Bei Standard-FE-Software existieren drei entscheidende Einschränkungen:

• Gängige FE-Programme unterstützen nur zwei Reduktionsverfahren (Guyan und CMS), wobei die Reduktionsqualität stark von der Wahl der Master-Freiheitsgrade abhängt. Weiterhin bedeutet jeder zusätzliche CB-Mode einen zusätzlichen elasti-schen Freiheitsgrad, was zu erhöhten Rechenzeiten bei der Mehrkörpersimulation führt.

• Die automatische Erzeugung der Eingabedatei, bspw. der SID-Datei, über kommerzi-elle Schnittstellen ist nur für die o. g. Standardverfahren möglich. Der Import von al-ternativ reduzierten Modellen in ein Mehrkörpersimulationsprogramm wird durch kommerzielle Schnittstellen nicht unterstützt.

• Kommerzielle FE-Software enthält keine Modellkorrelationskriterien, wie bspw. MAC, FDAC o.ä.

Um diesen Einschränkungen begegnen zu können, wird ein alternativer Arbeitsablauf vorge-sehen und mit Hilfe der MORPACK-Schnittstelle (Model Order Reduction PACKage) umge-setzt. MORPACK ist vollständig in der kommerziellen Software MATLAB implementiert und kann qualitativ bessere Modelle bei geringerer Rechenzeit liefern.“ [4]

Bild 2-1 Standardarbeitsablauf für die Einbindung eines reduzierten FE-Modells [2]

Wie in [4] beschrieben, wurde die Modellordnungsreduktionssoftware MORPACK1 entwi-ckelt, um diesen Einschränkungen zu begegnen. Bild 2-1 zeigt den Standardarbeitsablauf für die Einbindung eines reduzierten FE-Modells mit MORPACK am Beispiel von ABAQUS und

1 MORPACK (Model Order Reduction PACKage) wird an der Professur für Dynamik und Mechanis-

mentechnik (TU-Dresden, Institut für Festkörpermechanik) entwickelt.

ABAQUS

Analyse eines MKS oder

EMKS

FE- Modell

Geometrie er-zeugen und vernetzen

FE-Modell oder Starrköper

Textdateien: Systemmatrizen

Knotenkoordinaten Masterknoten

MAKRO

Analyse eines EMKS

SIMPACK

SID-Datei

MORPACK


SIMPACK. Die Verwendung von MORPACK überwindet eine Reihe von Nachteilen, die in [4] beschrieben werden. Ebenso wird hier der Programmaufbau im Detail beschrieben.

Eine wesentliche Eigenschaft von MORPACK sind die umfangreichen Funktionalitäten zur Modellkorrelation, welche in dieser Arbeit noch erweitert werden. Bisher erfolgt die Verifikati-on reduzierter FE-Modelle ausschließlich auf Basis modaler Eigenschaften. Die Abbildungs-güte reduzierter FE-Modelle zeigt sich jedoch in vielen Fällen, erst im Rahmen einer Zeitbe-reichssimulation in einer MKS-Software.2 Deshalb kann die Abbildungsgüte der reduzierten Modelle in diesem Fall erst nach dem Import in eine MKS-Software beurteilt werden. Ist sie nicht ausreichend, muss in MORPACK ein neues Modell erstellt werden. [5]

Bild 2-2 Erweiterung der MORPACK-Prozesskette

Um diesem Nachteil zu begegnen, werden in MORPACK neue Module implementiert. Ein eigenes EMKS-Programm soll die Zeitbereichssimulation ermöglichen. Ein Verifikations- und Optimierungsmodul soll die Beurteilung reduzierter Modelle auf Basis dieser Daten ermögli-chen. Bild 2-2 zeigt die geplante Erweiterung der MORPACK-Prozesskette. Es werden nur die relevanten Module dargestellt. Die Implementierung des grün eingefärbten Moduls ist Ziel dieser Arbeit. Die blau eingefärbten Module werden von der Professur für Dynamik und Me-chanismentechnik bereitgestellt. Die rot eingefärbten Module werden in nachfolgenden Ar-

2 Diese Aussage basiert auf den ges ammelten Erfahrungen an der Professur für Dynamik und Me-

chanismentechnik. Sie wird zusätzlich in [5] bestätigt.

Import

Datenkonvertierung

FE-P

rogr

amm

MK

S-Pr

ogra

mm

Modalanalyse

Modellordnungs-

reduktion

Modellkorrelation

Export (SID) EMKS-Export (*.mat)

Korrelation Zeitverläufe

Modelldefinition

EMKS-Programm

Optimierung

(elast. FHG elimi-

nieren)

1 2

3

4

5

MORPACK


beiten erstellt. In dieser Arbeit werden jedoch schon erste Empfehlungen für die Konzeption der rot eingefärbten Module gegeben (Kapitel 7.2).

Das EMKS-Programm muss die Zeitbereichssimulation des Verhaltens eines reduzierten FE-Modells bei festgelegten Einbausituationen (Topologien) ermöglichen. Für die Umsetzung wird zusätzlich ein Modul benötigt, welches die Daten der reduzierten FE-Modelle für die Verwendung im EMKS-Programm aufbereitet (Kapitel 3.6 und 6.1). Außerdem muss die Festlegung der Topologie und der Simulationsparameter über eine grafische Benutzerober-fläche ermöglicht werden. Hierfür wird MORPACK um die Module EMKS-Export und EMKS-Modelldefinition erweitert.

Das geplante Vorgehen für die Verifikation und Optimierung wird nachfolgend beschrieben. Dieses Vorgehen wird in Kapitel 7 zunächst manuell erprobt. Aufbauend auf den gesammel-ten Erfahrungen, können in nachfolgenden Arbeiten Module implementiert werden, welche die Verifikation und Optimierung automatisch durchführen. Hierfür sind die Module Korrelati-on-Zeitverläufe und Optimierung geplant.

Ziel der Optimierung ist es, den Freiheitsgrad des reduzierten FE-Modells zu minimieren. Die dynamischen Eigenschaften des Vollmodells müssen hierbei jedoch weiterhin hinreichend gut approximiert werden. Im Rahmen der Zeitbereichssimulation lassen sich die freien Koor-dinaten ermitteln, die nur einen geringen Beitrag zu den Modelleigenschaften leisten. Diese Koordinaten werden iterativ aus dem reduzierten Modell eliminiert. Begonnen wird mit einem reduzierten Modell mit hoher Approximationsgüte. Es wird davon ausgegangen, dass die Abbildungsgüte des reduzierten Modells mit wachsendem Freiheitsgrad gegen die des rea-len Modells konvergiert. So ergibt sich mit dieser Vorgehensweise zwangsläufig ein Abfall der Abbildungsgüte entlang der Konvergenzkurve gemäß Bild 2-3. Hierbei ist x ein zunächst noch nicht festgelegtes Kriterium zur Beurteilung der Abbildungsgüte.

Bild 2-3 Konvergenzverhalten reduzierter FE-Modelle

Für die Optimierung des reduzierten FE-Modells werden in mehreren Iterationsschleifen freie Koordinaten eliminiert, bis eine gewisse Toleranzschwelle überschritten wird (Bild 2-3). Hier-bei werden immer die Koordinaten mit den geringsten Ausschlägen in der Zeitbereichssimu-

xref xreal

x

ne ne,ref ne,1 ne,2 ne,3

Toleranzschwelle

ne,2e,3

x


lation gewählt. Ein ähnliches Vorgehen wird auch in [5] vorgeschlagen. Bild 2-4 zeigt die Prozesskette für dieses Vorgehen.

Bild 2-4 Prozesskette für die Optimierung

Nachfolgend werden die wesentlichen Arbeitsschritte aus Bild 2-4 im Detail beschrieben. Die Nummern in Bild 2-2 geben die Reihenfolge an, in der die Daten bei der Optimierung zwi-schen Modulen ausgetauscht werden.

a) Simulation eines reduzierten FE-Modells mit hoher Abbildungsgüte

Dieser Schritt wird unter Verwendung noch zu definierender Simulationsszenarien durchgeführt. Das Simulationsszenario beschreibt hierbei die Topologie und di e Anre-gung des Mehrkörpersystems. Es besteht einerseits die Möglichkeit allgemeingültige Simulationsszenarien zu definieren, andererseits ist auch die Verwendung, von auf den Anwendungsfall zugeschnittenen Simulationsszenarien möglich.

Ziel ist es, mit dem EMKS-Programm zunächst einfache Topologien abbilden zu können. Die Verwendung der gleichen Topologie wie im kommerziellen MKS-Programm, wird hierdurch für komplexe Modelle zunächst ausgeschlossen. Hierfür ist der volle Funktion-sumfang einer kommerziellen MKS-Software notwendig. Bei Bedarf kann das EMKS-Programm in nachfolgenden Arbeiten um die benötigten Funktionalitäten erweitert wer-den.

Die erforderliche Abbildungsgüte eines reduzierten FE-Modells wird maßgeblich durch die angebundenen Starrkörper und den k inematischen Einbauzustand beeinflusst.3 Die-se Kriterien müssen mit dem EMKS-Programm für ein breites Spektrum an Modellen, näherungsweise abgebildet werden (Kapitel 2.2).

3 Diese Aussage basiert auf den ges ammelten Erfahrungen an der Professur für Dynamik und Me-

chanismentechnik. Sie wird zusätzlich in [5] bestätigt.


b) Eliminieren der Ansatzfunktionen mit geringer Beteiligung an den M odelleigen-schaften

Ansatzfunktionen mit geringer Beteiligung an den Modelleigenschaften lassen sich aus dem Zeitsignal der zugehörigen elastischen Koordinate ermitteln. Zeitsignale mit kleinen Ausschlägen weisen auf eine geringe Beteiligung hin. Als Kriterium wird eine Kombinati-on von Mittelwert und Maximalwert vorgeschlagen. Auch in [5] werden die elastischen Koordinaten für die Beurteilung der Ansatzfunktionen herangezogen.

c) Simulation des in b) entstandenen Modells

Die Simulation liefert ein zweites Zeitsignal, welches in d) mit dem Zeitsignal des Refe-renzmodells verglichen wird.

d) Abweichung zwischen den Zeitsignalen prüfen

Die Korrelation eines Zeitsignals liefert einen Wert (Abweichung bzw. relativer Fehler) pro Zeitschritt. Für die einfache Beurteilung der Zeitsignale ist es wichtig, diese Daten-menge auf einen skalaren Wert zu reduzieren. Mit der Kreuzkorrelation lassen sich zwei Zeitverläufe vergleichen. Das Ergebnis ist ein skalarer Wert, der ein Maß für die Über-einstimmung darstellt. Die Kreuzkorrelation soll für den Vergleich der Zeitsignale ver-wendet werden. Sie wird in Kapitel 2.3 beschrieben. Ist die Abweichung zu groß, muss das Vorgängermodell verwendet werden. Ist die Abweichung im Toleranzbereich kann eine weitere Iterationsschleife angehängt werden. Wenn die Abweichung schon im ers-ten Schritt zu groß ist, muss geprüft werden ob die Abbildungsgüte des Referenzmodells hoch genug ist.

Die Schritte a) bis d) stellen ein Grobkonzept für die Verifikation und Optimierung reduzierter Modelle mit Hilfe einer Zeitbereichssimulation dar. Einige Details müssen noch festgelegt werden (Simulationsszenarien, Toleranzschwellen usw.). Um erste Erfahrungen zu sam-meln, wird dieses Konzept in Kapitel 7 erprobt. Mit den gesammelten Erfahrungen kann das Konzept in einer nachfolgenden Arbeit präzisiert werden.

Aus dem in diesem Kapitel erstellten Konzept lassen sich die Anforderungen an das EMKS-Programm ableiten. Sie werden in Kapitel 2.2 definiert.

2.2 Anforderungen an das EMKS-Programm In diesem Kapitel werden die Anforderungen an das EMKS-Programm definiert. Das EMKS-Programm wird zunächst ausschließlich für die Verwendung reduzierter FE-Modelle aus MORPACK ausgelegt. Die Beschreibung der elastischen Körper wird deshalb auf die von MORPACK verwendeten Standardeingabedaten ausgelegt (Kapitel 3.6 und 6.1). Die nach-folgenden Voraussetzungen und Vereinfachungen aus MORPACK werden auch für das EMKS-Programm berücksichtigt. Die von MORPACK erstellten Modelle bauen grundsätzlich auf der Methode des bewegten Bezugssystems auf. Da die elastischen Deformationskoordi-naten der reduzierten FE-Modelle linearisiert sind, dürfen die Modelle nur bei hinreichend


kleinen elastischen Deformationen verwendet werden. Die Berücksichtigung geometrischer Steifigkeiten ist derzeit nicht vorgesehen.

Das EMKS-Programm muss die Definition von Topologien, gemäß Bild 2-5 ermöglichen. Es handelt sich hierbei um eine Baumstruktur ohne Schleifenschluss. Diese Topologie ermög-licht die Einbindung von einem elastischen Körper. Die Einbindung mehrerer elastischer Körper ist nicht notwendig, da immer nur ein Körper gleichzeitig verifiziert und optimiert wer-den kann. Der elastische Körper 0 wird über ein Gelenk mit dem Inertialsystem verbunden. Die Gelenkkoordinaten können unabhängig voneinander blockiert werden. Dieses Inertialge-lenk kann an einem beliebigen Masterknoten definiert werden.

Bild 2-5 Topologie des EMKS-Programms

Zusätzlich müssen an jedem Masterknoten folgende Elemente definierbar sein:

• Starrkörper, angebunden mit einem beliebigen Gelenktypen (Gelenkkoordinaten kön-nen unabhängig voneinander gesperrt werden.).

• Elastische Verbindungselemente (Feder-Dämpfer-Elemente). • Externe Lasten mit beliebig definierbaren zeitlichen Verläufen.

An jedem angehängten Starrkörper müssen in einem beliebigen Anbindungspunkt folgende Elemente definierbar sein:

• Elastische Verbindungselemente (ermöglichen u.a. einen Schleifenschluss in der To-pologie).

• Externe Lasten mit beliebig definierbaren zeitlichen Verläufen.

0 …6 0 …6

Körper 0 (elastisch)

0 …6

Körper 1 Körper k

Körper 0 (elastisch)A

B1 Bk

Di Ei

Dk,i E1,i

Körper 1C1 Ck

K0 D0

Ki Di

Kk Dk K1 D1

K1,i D1,i

ext,iF

ext, ,k iF

ext,iM

g


In Richtung der nicht blockierten Gelenkkoordinaten müssen zusätzlich Gelenkdämpfung und Federelemente definierbar sein. Die in Kapitel 6.2 vorgestellte grafische Benutzerober-fläche ermöglicht dem Nutzer die Definition der o.g. Elemente und Einstellungen. Im Anhang A.2 sind Screenshots der grafischen Benutzeroberfläche dargestellt.

Wie in Kapitel 2.1 beschrieben, hängt die erforderliche Abbildungsgüte eines reduzierten FE-Modells maßgeblich von den angehängten Starrkörpern und dem kinematischen Einbauzu-stand ab. Die in diesem Kapitel vorgegebene variable Topologie, ermöglicht die Definition eines breiten Spektrums an realen Anwendungsfällen.4 Kompliziertere Topologien können zumindest näherungsweise abgebildet werden.

Die Auswirkung von angehängten Starrkörpern, elastischen Verbindungselementen und ex-ternen Lasten in den Masterknoten kann immer berücksichtigt werden. Mit den zusätzlichen Verbindungselementen an den Starrkörpern ist auch ein Schleifenschluss möglich. Auf die-sem Wege ist nicht nur die Verifikation und Optimierung eines reduzierten FE-Modells mög-lich. Es können auch einfache Simulationen direkt mit MORPACK durchgeführt werden. Auf Grundlage der in diesem Kapitel vorgegebenen Topologie, werden in den Kapiteln 4 und 5 die dem EMKS-Programm zugrundeliegenden Bewegungsgleichungen aufgebaut.

2.3 Korrelation von Zeitsignalen Mit Hilfe der Kreuzkorrelation lassen sich zwei verschiedene Zeitsignale x(t) und y(t) verglei-chen. Der Kreuzkorrelationskoeffizient K(t) liefert einen skalaren Wert, welcher die Ähnlich-keit dieser Zeitsignale quantifiziert. Er berechnet sich im allgemeinen Fall nach Gleichung (2.1). Die Zeitsignale in dieser Arbeit liegen jedoch nicht als mathematische Funktionen son-dern als diskrete Zeitsignale vor. In diesem Fall wird die Berechnung mit Gleichung (2.2) durchgeführt. [6]

( ) ( ) ( )dK x t y t tt t∞

−∞

= ⋅ +∫ (2.1)

( ) ( ) ( )1

n

iK k i i k

=

= ⋅ +∑ x y (2.2)

In Gleichung (2.2) entspricht n der Anzahl der Messpunkte. Der Laufindex i gibt die entspre-chende Stelle im Vektor x bzw. y der Zeitsignale an. Mit k bzw. t wird das zweite Signal zeit-lich verschoben. [6], [7, p. 170 ff.]

Nach [8, p. 100] liefert K(t) einen hohen Wert für bestimmte k bzw. t wenn die Signale ähn-lich sind. Die Werte k bzw. t geben hierbei die zeitliche Verschiebung der Zeitsignale ge-geneinander an. Sind die Signale unterschiedlich, ist der Wert für alle k bzw. t sehr klein. Um diese eher unspezifische Aussage weiter zu präzisieren, existieren verschiedene For-

4 Die Topologie wird gemeinsam mit der Professur für Dynamik und Mechanismentechnik festgelegt.

Die getroffenen Annahmen basieren auf den gesammelten Erfahrungen an der Professur für Dyna-mik und Mechanismentechnik.


men der Normierung. In [6] wird z.B. eine Normierung auf den Effektivwert vorgeschlagen. Der normierte Korrelationskoeffizient wird in diesem Fall nach Gleichung (2.3) berechnet. Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass der Korrelationskoeffizient corr(k) immer zwischen eins und minus eins liegt. Sind die Signale für ein k gleich, liefert er den Wert eins. Sind die Signale gegenphasig, liefert er den Wert minus eins.

( )( ) ( )

( ) ( )1

2 2

1 1

n

in n

i i

i i kcorr k

i i k

=

= =

⋅ +=

⋅ +

∑

∑ ∑

x y

x y (2.3)

Für die Untersuchungen in dieser Arbeit hat die Anwendung von Gleichung (2.3) jedoch ei-nen Nachteil. Wird von näherungsweise harmonischen Zeitsignalen ausgegangen, können sich diese in Frequenz, Phasenlage und A mplitude unterscheiden. Abweichungen in der Amplitude machen sich bei der Verwendung von Gleichung (2.3) nicht bemerkbar.

Aus diesem Grund wird eine Normierung gemäß Gleichung (2.4) vorgeschlagen. Bei dieser Normierung sind auch Abweichungen der Amplitude deutlich erkennbar. Nachteilig ist, dass der Korrelationskoeffizient nicht immer zwischen eins und minus eins liegt. Der Vorteil dieser Darstellung gegenüber Gleichung (2.2) ist jedoch, dass der Korrelationskoeffizient bei glei-chen Signalen immer eins ist. Der Korrelationskoeffizient gemäß Gleichung (2.4) wird in Ka-pitel 7 erprobt. Die Erprobung zeigt, dass zwei Zeitsignale gut korreliert sind, wenn der Wert corr zwischen 0,95 und 1,05 liegt.

( ) ( )

( ) ( )1

1

n

in

i

i icorr

i i

=

=

⋅=

⋅

∑

∑

x y

x x (2.4)

Durch die Zeitverschiebung werden mögliche Abweichungen (z.B. Phasenverschiebung) abgeschwächt. Aus diesem Grund werden die Zeitsignale in dieser Arbeit ohne zeitliche Ver-schiebung in ihrem Ausgangszustand beurteilt. Deshalb wird in Gleichung (2.4) k zu null ge-setzt. Der Korrelationskoeffizient hängt in diesem Fall nicht mehr von k ab.

Um die Sensitivität dieser Methode zu beurteilen wird exemplarisch die Korrelation zweier Sinussignale durchgeführt. Bild 2-6, Bild 2-7 und Bild 2-8 zeigen den Verlauf des Korrelati-onskoeffizienten über der prozentualen Abweichung der entsprechenden Größe. Der Bereich zwischen null und zehn Prozent ist für die Anwendung relevant. In diesem Bereich wird deut-lich, dass die Sensitivität bei einer Abweichung der Amplitude am stärksten ist. Bei einer Ab-weichung von Frequenz und Phasenlage ist die Sensitivität ungefähr gleich.

Es wird angenommen, dass diese Eigenschaften für die Beurteilung der reduzierten FE-Modelle gut geeignet sind. In Kapitel 7 werden Zeitsignale sowohl visuell, mit Hilfe von Dia-grammen, als auch mit Hilfe von Gleichung (2.4) verglichen. Die Eignung des Korrelations-verfahrens wird in Kapitel 7 abschließend bewertet.


Bild 2-6 Verlauf des Kreuzkorrelationskoeffizienten corr bei Abweichung der Amplitude

Bild 2-7 Verlauf des Kreuzkorrelationskoeffizienten corr bei Abweichung der Frequenz


Bild 2-8 Verlauf des Kreuzkorrelationskoeffizienten corr bei Abweichung der Phasenlage

3 Grundlagen der elastischen Mehrkörpersimulation 16

3 Grundlagen der elastischen Mehrkörpersimulation In den Kapiteln 1 und 2 wird die Motivation und die Zielsetzung für diese Arbeit beschrieben und ein Lösungsweg erläutert. In diesem Kapitel werden die wichtigsten Grundlagen zur elastischen Mehrkörpersimulation beschrieben. Hierzu wird in Kapitel 3.1 zunächst ein Ein-blick in die unterschiedlichen Methoden zur Berücksichtigung elastischer Deformationen ge-geben. Die Modellierungsansätze für die nachfolgenden Herleitungen werden beschrieben und festgelegt. In den Kapiteln 3.2 und 3.3 werden die Gleichungen zur Beschreibung der Kinematik und K inetik eines freien elastischen Einzelkörpers hergeleitet. Hierbei wird deut-lich, dass die Wahl des Körperbezugssystems von entscheidender Bedeutung ist.

Auf die unterschiedlichen Möglichkeiten zur Wahl des Körperbezugssystems wird deshalb in Kapitel 3.4 eingegangen. In Kapitel 3.5 werden die Bewegungsgleichungen der freien Ein-zelkörper zusammengesetzt. Unterschiedliche Methoden für die Berücksichtigung von Bin-dungen zwischen den Körpern und für den Aufbau des gesamten Gleichungssystems wer-den diskutiert. Die für die Beschreibung eines elastischen Körpers erforderlichen Daten wer-den abschließend in Kapitel 3.6 zusammengestellt. Dies geschieht im Hinblick auf die Im-plementierung in Kapitel 6.

Nachdem in Kapitel 2 die Anforderungen an das EMKS-Programm festgelegt werden, wer-den die Grundlagen aus diesem Kapitel in den Kapiteln 4 und 5 genutzt um die Bewegungs-gleichungen für das EMKS-Programm herzuleiten. Diese Bewegungsgleichungen werden in Kapitel 6 in MATLAB implementiert.

3.1 Berücksichtigung elastischer Deformationen in Mehrkörpersys-temen

„Die Aufteilung der numerischen Lösung in dynamische Simulationen mit starren Körpern (klassische MKS) und in statische Berechnungen, bei denen mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) elastische Deformationen berücksichtigt werden, ist nicht immer zielführend.

Die Berücksichtigung elastischer Bauteildeformationen in Rahmen einer Mehrkörpersimulati-on erfordert einen enormen Mehraufwand. Neben der Einbindung von Finite-Element-Strukturen werden deshalb auch vereinfachte Modell-Ansätze verwendet.

So lassen sich einfache Strukturen (Körper) direkt über die Kontinuumsmechanik beschrei-ben oder durch geeignete Schnitte in ein System von mehreren starren Körpern unterteilen.“ [3, p. 147]

Wie schon im Kapitel 1.1 verdeutlicht wird der Einfluss elastischer Deformationen auf die Dynamik technischer Systeme immer bedeutender. Dieser Sachverhalt wird auch durch das einleitende Zitat aus dem Buch „Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation“ von Rill und Schaeffer [3] verdeutlicht. War die Berücksichtigung elastischer Deformationen vor einigen Jahrzehnten noch ein reines Forschungsgebiet, wird sie mittlerweile immer mehr ein fester Bestandteil der Grundlagenliteratur zum Thema Mehrkörpersimulation.


Für die Berücksichtigung elastischer Deformationen existieren unterschiedliche Ansätze. Die in [3] vertiefend behandelte explizite Lösung der Bewegungsgleichungen für einfache Model-le, ist auch bzgl. der Rand- und Anfangsbedingungen auf wenige Sonderfälle beschränkt. Zudem erfordert sie einen hohen Modellierungsaufwand von Seiten des Berechnungsingeni-eurs. Ähnliches gilt für die in [3] erläuterte Zerlegung elastischer Bauteile in mehrere starre Körper, die mit elastischen Verbindungselementen verbunden werden. Die hieraus resultie-renden Modelle werden auch als Lumped-Mass-Systems bezeichnet. Zwar sind diese Mo-delle mit den s tandardmäßigen Funktionen in einem MKS-Programm einfach aufzubauen. Jedoch erfordert hier die Bestimmung der einzelnen Systemparameter einen hohen Model-lierungsaufwand. Zu diesen Parametern zählen die Masse und die erforderliche Anzahl der starren Einzelkörper sowie die Steifigkeits- und Dämpfungsparameter der einzelnen elasti-schen Verbindungselemente. Diese Parameter müssen so gewählt werden, dass sie die dy-namischen Eigenschaften des elastischen Körpers bestmöglich widerspiegeln. Das ist bei komplexen elastischen Körpern nicht nur sehr aufwendig, es gelingt meistens nur in grober Näherung. [3]

Diese Sachverhalte haben dazu geführt, dass die Einbindung von FE-Modellen in ein Mehr-körpersystem die derzeit etablierteste Methode ist. Es existieren unterschiedliche Ansätze für die Einbindung eines FE-Modells, von denen die derzeit bekanntesten

• die Methode des bewegten Bezugssystems, • die Co-Rotational Procedure, • die Absolute Coordinate Formulation nach [9] und • die Absolute Nodal Coordinate Formulation [10, p. 25 ff.]

sind. [11, p. 4 ff.], [4], [12]

Bei der Co-Rotational Procedure wird üblicherweise das vollständige FE-Modell verwendet. Die Methode des bewegten Bezugssystems und die Absolute Coordinate Formulation benö-tigen ein reduziertes FE-Modell, um mit hinnehmbarer Rechenzeit gute Ergebnisse zu erzie-len. Die Absolute Nodal Coordinate Formulation ist speziell für die Lösung von Problemen mit großen elastischen Deformationen gedacht, während die vorher genannten Methoden derzeit nur für kleine elastische Deformationen verwendet werden. [12]

Die Methode des bewegten Bezugssystems mit der Verwendung reduzierter FE-Modelle ist die derzeit praxisrelevanteste Methode bei der Einbindung elastischer Körper in Mehrkörper-systeme. Ein Standardwerk hierzu ist das Buch „Dynamik flexibler Mehrkörpersysteme“ von Schwertassek und Wallrapp [11]. In diesem Buch wird die gesamte Theorie zu diesem The-ma hergeleitet. Zusätzlich werden computerorientierte Ansätze für die Implementierung ge-geben. Die theoretischen Grundlagen vieler anderer Arbeiten zu diesem Thema (z.B. [13]) basieren auf diesem Buch. Aus diesem Grund ist auch ein Großteil der theoretischen Grund-lagen in dieser Arbeit aus [11] entnommen.

Die Bewegung der Körperpunkte kann in eine große Translations- und Rotationsbewegung eines Körperbezugssystems und eine elastische Deformation zerlegt werden. Die Methode des bewegten Bezugssystems macht sich dies zu Nutze. Die Aufteilung ermöglicht das Line-


arisieren der Bewegungsgleichungen für kleine elastische Deformationen. Im Zusammen-hang mit großen elastischen Deformationen wurde diese Methode nach [11, p. 8] noch nicht verwendet.

Jedoch besteht die Möglichkeit, die im Zuge der Linearisierung vernachlässigten geometri-schen Steifigkeiten über Zusatzterme zu berücksichtigen. In [11] wird eine Vorgehensweise hierzu vorgeschlagen.

Nach [12] ist eine Modellordnungsreduktion vor der Einbindung eines FE-Modells unerläss-lich. Hierdurch entsteht ein reduziertes FE-Modell, welches im Gegensatz zu einem vollstän-digen FE-Modell nicht mehr auf einem lokalen Ritz-Ansatz sondern auf einem globalen Ritz-Ansatz basiert. Der Zwang zur Modellordnungsreduktion hat somit eine zusätzliche Disziplin erforderlich gemacht, welche sich mit der Bereitstellung geeigneter Reduktionsverfahren be-schäftigt. [4], [12]

Mit MORPACK können FE-Modelle mittels aktuell führender Verfahren reduziert werden. Hierauf wird in Kapitel 2 eingegangen. Unabhängig vom Reduktionsverfahren kann ein redu-ziertes FE-Modell als diskreter elastischer Körper gesehen werden. Die Diskretisierung er-folgt immer über einem globalen Ritz-Ansatz. Das Deformationsfeld wird hierbei über ne zeit-abhängige elastische Koordinaten im Vektor qe(t) und ne diskrete Ansatzfunktionen in der Matrix ( )RΦ

gegeben. Diese Vereinbarungen dienen in diesem Kapitel für die Herleitung der Gleichungen.

In der Realität überlagern sich in vielen technischen Systemen große Referenzbewegungen mit kleinen elastischen Deformationen. Dies ist nach [11] und [3] der Grund dafür, dass sich ein überwiegender Teil der Forschungsarbeiten mit gerade dieser Modellierung beschäftigt. Hierbei ist jedoch der Einfluss geometrischer Steifigkeiten in vielen Fällen nicht vernachläs-sigbar [11, p. 6]. Die Berücksichtigung dieser Effekte ist also trotz kleiner Deformationen ein wichtiger Aspekt. Im EMKS-Programm werden geometrische Steifigkeiten nicht berücksich-tigt. Sie werden derzeit auch von MORPACK nicht unterstützt. In nachfolgenden Arbeiten kann eine Erweiterung vorgenommen werden.

Weiterhin wird in [11, p. 7 ff.] angemerkt, dass Forschungsarbeiten zur Modellierung großer Deformationen in Mehrkörpersystemen eher selten sind. Die Entwicklung von Verfahren für große Deformationen wird in [11] bei der Veröffentlichung im Jahr 1999 als „noch nicht abge-schlossen“ bezeichnet. Aktuelle Arbeiten wie z.B. [14] bestätigen dies auch für die heutige Zeit.

Für die Modellierung einzelner elastischer Körper im Zusammenhang mit dynamischen Prob-lemen und g roßen Deformationen wird in vielen Fällen die Methode der Finiten Elemente bzw. die Incremental Finite Element Formulation verwendet [11, p. 8]. Auch hierbei kann die Verwendung der Methode des bewegten Bezugssystems und reduzierter Modelle Vorteile bringen. [15]

Alle Ausführungen in dieser Arbeit beziehen sich auf die Methode des bewegten Bezugssys-tems und kleine elastische Deformationen. Die elastischen Körper werden generell durch


reduzierte FE-Modellen aus MORPACK beschrieben. Dies bedeutet, dass sie örtlich mit ei-nem globalen Ritz-Ansatz diskretisiert werden.

3.2 Kinematik freier Einzelkörper In diesem Kapitel wird die Kinematik freier elastischer Einzelkörper beschrieben. In Kapitel 3.2.1 wird die Beschreibung räumlicher Drehungen mit Hilfe von Bezugssystemen erläutert. Hierbei wird auch auf die Linearisierung der Drehmatrizen für kleine Verdrehungen einge-gangen. In Kapitel 3.2.2 werden die Gleichungen zur kinematischen Beschreibung aller Punkte eines Kontinuums mit dem bewegten Bezugssystem hergeleitet. Diese Gleichungen werden in Kapitel 3.2.3 durch einen globalen Ritz-Ansatz örtlich diskretisiert. Hierdurch ent-steht eine endliche Anzahl von Variablen zur kinematischen Beschreibung. Sie werden in den Zustandsvektoren z und y zusammengefasst.

Bei reduzierten FE-Modellen werden die Rand- und Koppelbedingungen an S chnittstellen-knoten definiert. Ihre Kinematik wird separat in Kapitel 3.2.4 behandelt.

Das Inertialsystem I I{ , }eO wird mit dem Index I gekennzeichnet. Einzelkörper tragen den Index k mit k = 0…nK. Ihre Körperbezugssysteme { , }k keO werden ebenfalls mit dem Index k bezeichnet. An vielen Stellen wird der Index k nur für die Zuordnung einer Größe zum Körper k verwendet. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird der Index k an diesen Stellen wegge-lassen, wenn nur ein Körper behandelt wird. Dies gilt z.B. für die Masse mk oder den Träg-heitstensor Ik. Wenn in der restlichen Arbeit zwischen einzelnen Körpern unterschieden wer-den muss, wird er einfach hinzugefügt.

Knoten und Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Wenn sie mehrfach vorkommen tragen sie den Index i.

3.2.1 Räumliche Drehungen von Bezugssystemen

Voraussetzung für die eindeutige Beschreibung räumlicher Drehungen ist ein Bezugssystem bzw. Koordinatensystem. Die Lage eines Koordinatensystems { , }k keO gegenüber dem Iner-tialsystem I I{ , }eO wird mit Hilfe des Vektors Ikr gegeben. Die Orientierung von { , }k keO gegenüber I I{ , }eO wird mit Hilfe der Drehmatrix AIk gemäß Gleichung (3.1) gegeben. [3, p. 3 ff.]

I Ik ke e= ⋅A (3.1)

Die Drehmatrix AIk wird mit für die Berechnungsaufgabe geeigneten Winkeln bzw. Drehbe-schreibungen parametrisiert. Es existiert eine Vielzahl etablierter Beschreibungsformen für räumliche Drehungen, von denen an dieser Stelle nur die Kardanwinkel, die Eulerwinkel und die Eulerparameter genannt werden sollen. Bei Kardan- und Eulerwinkeln wird die räumliche Drehung aus drei Elementardrehungen (Drehungen um die Koordinatenachsen) zusammen-gesetzt. Der Unterschied besteht in der Drehreihenfolge. In dieser Arbeit werden für die Pa-rametrisierung der Drehmatrizen ausschließlich Kardanwinkel verwendet (Kap. 4.2). Deshalb


beschränken sich die Ausführungen in diesem Kapitel bis auf wenige Ausnahmen auf Kar-danwinkel. [3, p. 5 ff.], [1]

Bei Kardanwinkeln wird zuerst um die x-Achse des Inertialsystems gedreht. Im hierdurch entstandenen Zwischensystem wird um die y-Achse gedreht. Es entsteht ein zweites Zwi-schensystem. Die dritte Elementardrehung wird in diesem Zwischensystem um die z-Achse ausgeführt.

Die drei Kardanwinkel werden in der Drehreihenfolge mit αIk, βIk und γIk bezeichnet. Sie wer-den im Vektor αIk zusammengefasst. Mit den Abkürzungen cos(αIk)=cα, sin(αIk)=sα usw. ergibt sich die Drehmatrix aus den drei Elementardrehungen gemäß Gleichung (3.2). [3, p. 7]

Ik

c c c s sc s s s c c c s s s s cs s c s c s c c s s c c

β γ β γ β

α γ α β γ α γ α β γ α β

α γ α β γ α γ α β γ α β

−

= + − − − +

A (3.2)

Die Indizes von AIk ergeben sich aus der Transformationsbeziehung. Mit Gleichung (3.1) wird der Einheitsvektor ke ins Inertialsystem transformiert. Hierfür wird die Matrix AIk ver-wendet. Somit gibt der erste Index das Zielsystem und der zweite Index das Ausgangsystem an. Soll die Transformation in umgekehrter Richtung stattfinden wird die Matrix AkI benötigt (Gl.(3.3)). [1, p. 30]

k I Ike e= ⋅A (3.3)

1 TI I Ik k kA A A−= = (3.4)

Für alle Drehmatrizen, die orthogonale Koordinatensysteme ineinander überführen, gilt die Orthogonalitätsbedingung. Die Drehmatrix AkI wird deshalb nach Gleichung (3.4) durch die Transponierte der Matrix AIk gegeben. [3, p. 12]

Die Verwendbarkeit, des in dieser Arbeit erstellten EMKS-Programms, beschränkt sich auf kleine elastische Deformationen (Kap. 2.2). Die hieraus resultierenden kleinen relativen Ver-drehungen zwischen dem Körperbezugssystem und den Knoten des Körpers erlauben bei den zugehörigen Drehmatrizen eine Vereinfachung. Es wird zunächst festgelegt, dass in einem beliebigen Knoten N des Körpers auch ein Bezugssystem mit dem Index N liegt (Kap. 3.2.4).

Die kleinen elastischen Verdrehungen von System N gegenüber dem Körperbezugssystem k werden mit den Winkeln ϑNx, ϑNy und ϑNz für die Drehungen um die x-, y-, und z-Achse be-zeichnet. Für kleine Verdrehungen ergeben sich folgende Vereinfachungen:

• sin(ψ)=ψ und cos(ψ)=1 für alle ψ ∈ { ϑNx , ϑNy , ϑNz }, • 1 2 0ψ ψ⋅ = für ψ1 , ψ2 ∈ { ϑNx , ϑNy , ϑNz }. [1, p. 117]

Die vereinfachte Drehmatrix AkN für die Orientierung von { , }N N eO gegenüber { , }k keO ergibt sich nach Gleichung (3.5). [1, p. 117] [16]


z y

z x

y x

11

1

N N

kN N N

N N

ϑ ϑϑ ϑϑ ϑ

−

= − −

A (3.5)

Wird die Drehmatrix ANk nach Gleichung (3.4) berechnet drehen sich lediglich die Vorzeichen der Winkel gemäß Gleichung (3.6).

z y

z x

y x

11

1

N N

Nk N N

N N

ϑ ϑϑ ϑ

ϑ ϑ

−

= − −

A (3.6)

Setzt sich eine Drehung aus der Hintereinanderausführung zweier Teildrehungen zusam-men, wird dies generell durch Multiplizieren der Drehmatrizen ausgedrückt. In Gleichung (3.7) ergibt sich z.B. die Drehung vom System i ins System k als Hintereinanderausführung der Drehungen von i nach l und von l nach k. [3], [16]

ik il lk= ⋅A A A (3.7)

Speziell bei Drehmatrizen für kleine Verdrehungen führt die Multiplikation der Drehmatrizen Ail und Alk zu einer Addition der Drehwinkel gemäß Gleichung (3.8). Der Index oben rechts an den Drehwinkeln ϑ gibt hierbei die Zuordnung zu den Teildrehungen an.

( )( )

( )

z z y y

z z x x

y y x x

1

1

1

il lk il lk

il lk il lkik

il lk il lk

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

− + + = + − + − + +

A (3.8)

Mit Gleichung (3.5) wird deutlich, dass sich AkN auch als Summe von vier Teilmatrizen dar-stellen lässt. Hierbei handelt es sich um eine Einheitsmatrix E und drei Produkte einer kon-stanten Matrix mit dem jeweiligen Drehwinkel ϑNx, ϑNy und ϑNz. Diese Darstellung gemäß Gleichung (3.9) hat sich für die Herleitung der Bewegungsgleichungen in Kapitel 4.3 und die Implementierung in Kapitel 6 als besonders vorteilhaft erwiesen. Für die drei konstanten Mat-rizen werden (wie in Gleichung (3.9) dargestellt) die Abkürzungen A1x, A1y und A1z verwen-det.

x y z

x y z

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

1 1 1

kN N N Nϑ ϑ ϑ−

= + − + + −

A

E A A A

(3.9)

In der Struktur von Gleichung (3.9) lässt sich Gleichung (3.6) gemäß Gleichung (3.10) dar-stellen. Gleichung (3.8) wird gemäß Gleichung (3.11) dargestellt.

Tx x y y z z1 1 1Nk kN N N Nϑ ϑ ϑ= = − ⋅ − ⋅ − ⋅A A E A A A (3.10)


( ) ( ) ( )x x x y y y z z z1 1 1il lk il lk il lkki il lk ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ= ⋅ = + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +A A A E A A A (3.11)

Nach [3, p. 12] definiert sich die Winkelgeschwindigkeit I Ikω infolge einer Drehbewegung von { , }k keO gegenüber I I{ , }eO aus der Zeitableitung der Drehmatrix AIk gemäß Gleichung (3.12). Die Matrix I Ikω entspricht dem schiefsymmetrischen Winkelgeschwindigkeitstensor. [3, p. 12 ff.]

TI I I Ik k kω = ⋅A A (3.12)

Aus diesem Zusammenhang lässt sich der rotatorische Anteil der kinematischen Differential-gleichungen herleiten. Hierbei wird die Kinematikmatrix HR,I genutzt um die Winkelgeschwin-digkeit I Ikω zu berechnen. Mit der Kinematikmatrix HR,K wird die Winkelgeschwindigkeit

Ik kω berechnet. Mit den G leichungen (3.13) und (3.14) ergeben sich so zwei Formen der kinematischen Differentialgleichungen für Kardanwinkel. Hierbei ist die Definition der Winkel-funktionen in den Gleichungen (3.13) und (3.14) gleich denen in Gleichung (3.2). [3, p. 14 f.], [1, p. 54 f.]

I

I I I

I

IR,I

1 000

k

k k

k

k

sc s cs c c

β

α α β

α α β

αω β

γ

= −

αH

(3.13)

I

I I

I

IR,

00

0 1

k

k k k

k

kk

c c sc s cs

β γ γ

β γ γ

β

αω β

γ

= −

αH

(3.14)

Durch Umstellen der Gleichungen (3.13) und (3.14) wird in [3, p. 15] gezeigt, dass die kine-matischen Differentialgleichungen bei cos(βIk) = 0 singulär werden. Kardanwinkel dürfen nur dann verwendet werden, wenn das Erreichen dieser singulären Lagen im mechanischen Modell ausgeschlossen wird. Eulerwinkel besitzen Singularitäten bei anderen Winkellagen. Eulerparameter sind frei von singulären Lagen. Sie eignen sich deshalb in besonderem Ma-ße zur Beschreibung beliebiger räumlicher Drehungen. Dies kann z.B. der freie Fall eines ungebundenen Körpers im Schwerefeld der Erde sein. Jedoch kann durch Euler-Parameter ein mit der Zeit anwachsender Fehler (Drift) bei der numerischen Zeitintegration auftreten. Dieser Drift kann bei der Zeitintegration durch Zusatzterme stabilisiert werden. [3, p. 24 f.]

In der Praxis werden trotzdem häufig Kardan- oder Eulerwinkel verwendet. In vielen techni-schen Anwendungen können nicht alle Drehungen beliebig groß werden. Eine angepasste Wahl der Drehreihenfolge verhindert in diesem Fall singuläre Lagen. Deshalb wird die Ent-scheidung zwischen Kardan- und Eulerwinkeln in den m eisten Fällen stark durch die Ver-meidung singulärer Lagen geprägt. [3, p. 25]


3.2.2 Methode des bewegten Bezugssystems

Die kinematische Beschreibung eines flexiblen (elastischen) Körpers umfasst die Beschrei-bung der Lage ( , )r R t

, Geschwindigkeit ( , )v R t

und Beschleunigung ( , )a R t

aller Punkte des Körpers. Mit der Methode des bewegten Bezugssystems wird die Kinematik der Körper-punkte derart beschrieben, dass eine Linearisierung der Bewegungsgleichungen für kleine Deformationen möglich ist (Kap. 3.1). Die Linearisierung vereinfacht die Bewegungsglei-chungen und deren Lösung erheblich. [11, p. 249]

Zunächst wird jedem Körper ein Körperbezugssystem { , }k keO zugewiesen. Auf die Wahl seiner Lage und Orientierung wird in Kapitel 3.4 eingegangen. Das Zuweisen eines Bezugs-systems zur Beschreibung der Dynamik eines Körpers ist auch in der starren Mehrkörpersi-mulation allgemein üblich [3, p. 3 ff.]. Im Zusammenhang mit flexiblen Körpern und der Me-thode des bewegten Bezugssystems dient das Körperbezugssystem insbesondere der Tren-nung der Absolutbewegung in zwei Anteile. Es handelt sich hierbei einerseits um die große Referenzbewegung des Körperbezugssystems, andererseits um die elastische Deformation. In dieser Arbeit wird ausschließlich von linear-elastischen Materialmodellen ausgegangen. Die elastische Deformation wird deshalb nachfolgend nur noch als Deformation bezeichnet. [11, p. 249]

Bild 3-1 Elastischer Körper im dreidimensionalen Raum

Bild 3-1 zeigt einen flexiblen Körper im Raum. Lage und Orientierung seiner nicht deformier-ten Referenzkonfiguration (grau umrandet) gegenüber dem Inertialsystem werden durch das körperfeste Bezugssystem { , }k keO festgelegt. Die Lage eines beliebigen Punktes P′ auf dem nicht deformierten Referenzkörper gegenüber { , }k keO , wird durch die materielle Koor-dinate (Lagrangesche Koordinate) k R gegeben. [11, p. 249]

Der Punkt P auf dem deformierten Körper (schwarz umrandet) hat sich gegenüber dem Punkt P′ um den Vektor ( ),k ku R t verschoben. Der Vektor ( ),k ku R t repräsentiert das von den materiellen Koordinaten k R und der Zeit t abhängige Deformationsfeld. Die Vektoren

yI

xI

zI

yN

xN

zN zk

yk

xk

ku ( )I ,r R t

I IkrI I Nrk R

k NR

P′

P

N

N ′

k Nu


k R und ( ),k ku R t werden im Körperbezugssystem { , }k keO angeben. Die Lage eines belie-bigen Punktes P im Inertialsystem I I{ , }eO ist somit durch Gleichung (3.15) gegeben. [11, p. 252]

( ) ( )( )I I I I, ,k k k k k kr R t r R u R t= + +A (3.15)

Der Vektor ( )I ,kr R t definiert das Verschiebungsfeld im Inertialsystem, also die absolute Lage aller Körperpunkte im Inertialsystem. Im Vergleich zu ( ),k ku R t hängt ( )I ,kr R t auch von Lage und Orientierung des Körperbezugssystems ab.

Das Geschwindigkeitsfeld ( )I ,kv R t ergibt sich aus der Zeitableitung von Gleichung (3.15). Im zweiten Term sind sowohl die Drehmatrix AIk wie auch das Deformationsfeld ( ),k ku R t von t abhängig. Aus diesem Grund wird die Produktregel angewendet. Die Zeitableitung der Drehmatrix (3.16) wird mit Hilfe von Gleichung (3.12) als Winkelgeschwindigkeit I Ikω aus-gedrückt. [11, p. 253]

( )

( )( ) ( )I I I I I I I

II

, , ,k k k k k k k k k k

k

v R t r R u R t u R tv

ω= + + +A A (3.16)

Abschließend ergibt sich das Beschleunigungsfeld ( )I ,ka R t aus der Zeitableitung von Glei-chung (3.16) mit Gleichung (3.17). [11, p. 253]

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

I I I I I I I I I I

II

I I I I

, , ...

2 , ,

k k k k k k k k k

k

k k k k k k k

a R t v R u R ta

u R t u R t

ω ω ω

ω

= + + + +

+

A

A A

(3.17)

In vielen Fällen werden in der Mehrkörpersimulation der translatorische Anteil der Bewe-gungsgleichungen im Inertialsystem und der rotatorische Anteil im Körperbezugssystem for-muliert. Diese Konvention wird auch in dieser Arbeit verwendet. Sie hat u.a. die Angabe der Winkelgeschwindigkeiten im Körperbezugssystem zur Folge. Die Gleichungen (3.16) und (3.17) werden mit Hilfe der Tensortransformation umgeformt. Hierdurch ergeben sich die für diese Konvention passenden Gleichungen mit (3.18) und (3.19). [3, p. 13]

( )

( )( ) ( )I I I I I I

II

, , ,k k k k k k k k k k k

k

v R t r R u R t u R tv

ω= + + +A A (3.18)

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

I I I I I I I

II

I I I

, , ...

2 , ,

k k k k k k k k k k k k

k

k k k k k k k k

a R t v R u R ta

u R t u R t

ω ω ω

ω

= + + + +

+

A

A A

(3.19)

Alle weiteren Gleichungen werden basierend auf den Gleichungen (3.15), (3.18) und (3.19) mit Bezug auf die gewünschte Konvention hergeleitet. Sie können jedoch mit der Koordina-ten- oder Tensortransformation einfach für andere Anwendungsfälle umgeformt werden.


3.2.3 Diskretisierung und Variablen für die Zustandsbeschreibung

Die Gleichungen (3.15) bis (3.19) sind Vektorfelder in Abhängigkeit von den materiellen Ko-ordinaten k R und der Zeit t. Werden die Bewegungsgleichungen auf Grundlage dieser Vek-torfelder formuliert entsteht ein partielles Differentialgleichungssystem. Die analytische Lö-sung eines derartigen Gleichungssystems gelingt nur bei sehr einfachen Modellen und Randbedingungen. Bei praxisrelevanten Systemen muss in vielen Fällen eine örtliche Dis-kretisierung vorgenommen werden. Diese Diskretisierung wird am häufigsten mit der Metho-de der Finiten Elemente durchgeführt. Sie basiert auf dem Verfahren von Ritz und Galerkin und der Verwendung lokaler Ansatzfunktionen. [11, p. 167 ff.]

Das in dieser Arbeit erstellte EMKS-Programm verwendet für die Beschreibung elastischer Körper ausschließlich reduzierte FE-Modelle aus MORPACK. Der Deformationsansatz redu-zierter FE-Modelle basiert auf dem Verfahren von Ritz und G arlekin und der Verwendung globaler Ansatzfunktionen. (Siehe auch Kapitel 3.1 und 2.)

Nach [11, p. 171] ergibt sich der Deformationsansatz in diesem Fall mit Gleichung (3.20).

( ) ( ) e, ( )k k ku R t R t≈ ⋅Φ q (3.20)

In Gleichung (3.20) ist ( )k RΦ die Matrix der ortsabhängigen globalen Ansatzfunktionen. Die Ansatzfunktionen ergeben sich im Allgemeinen bei der Diskretisierung. Im Fall reduzierter FE-Modelle werden die Ansatzfunktionen während der Modellordnungsreduktion berechnet (Kapitel 2). Durch diesen Deformationsansatz sind die elastischen Koordinaten qe(t) die ein-zigen Unbekannten bei der Berechnung des Deformationsfelds ( ),k ku R t .

Das Geschwindigkeitsfeld ( ),k ku R t und das Beschleunigungsfeld ( ),k ku R t ergibt sich durch differenzieren von Gleichung (3.20) nach der Zeit t mit Gleichung (3.21) und (3.22).

( ) ( ) e, ( )k k ku R t R t≈ ⋅Φ q

(3.21)

( ) ( ) e, ( )k k ku R t R t≈ ⋅Φ q

(3.22)

Die bisher in diesem Kapitel aufgestellten Gleichungen (3.15) bis (3.20) beziehen sich auf ein allgemeines Kontinuum. Das bedeutet die Körperpunkte besitzen keine rotatorischen Koordinaten. Deshalb beinhaltet das Deformationsfeld keine Verdrehungen. Jedoch gibt es eine Vielzahl von mechanischen Modellen, deren Körperpunkte auch rotatorische Koordina-ten besitzen. Dies trifft z.B. auf alle mechanischen Balken- und Schalenmodelle zu. Einen Sonderfall stellen hierbei die Master- bzw. Schnittstellenknoten eines reduzierten FE-Modells dar. Sie werden in Kapitel 3.2.4 besprochen. [11, p. 253 f.]

Existieren rotatorische Koordinaten, wird die Orientierung der Körperpunkte bzw. Knoten durch separate Knotenbezugssysteme beschrieben. In Kapitel 3.2.1 wird mit den Gleichun-gen (3.9) bis (3.11) bereits ein Vorschlag für die Beschreibung der Orientierung des Bezugs-systems { , }N N eO gemacht. Hierbei stellt { , }N N eO das Knotenbezugssystem dar, welches kleine Verdrehungen gegenüber { , }k keO ausführt. Die Orientierung von { , }N N eO wird hier-


bei mit den drei Kardanwinkeln ϑNx, ϑNy und ϑNz gegeben. Werden diese im Vektor ϑ zu-sammengefasst, ergibt sich für einen kontinuierlichen Körper das Verdrehungsfeld ( ),k R tϑ . Dieses Verdrehungsfeld wird äquivalent zu Gleichung (3.20) mit dem globalen Ritz-Ansatz (3.23) diskretisiert. [11, p. 253 f.]

( ) ( ) e, ( )k kR t R t= ⋅Ψ qϑ (3.23)

In Gleichung (3.23) entspricht ( )k RΨ den globalen Ansatzfunktionen für die Drehwinkel. Sie werden ebenfalls durch MORPACK gegeben. Somit sind die elastischen Koordinaten qe(t) auch bei der Berechnung von ( ),k R tϑ die einzigen Unbekannten.

Auch bei Gleichung (3.23) ergeben sich die Geschwindigkeit und die Beschleunigung durch Differenzieren nach der Zeit t gemäß den Gleichungen (3.24) und (3.25).

( ) ( ) e, ( )k kR t R t= ⋅Ψ qϑ (3.24)

( ) ( ) e, ( )k kR t R t= ⋅Ψ qϑ (3.25)

Die Gleichungen (3.23) bis (3.25) werden erst bei der Beschreibung der Kinematik der Schnittstellenknoten in Kapitel 3.2.4 benötigt.

Die Deformationsansätze aus den Gleichungen (3.20), (3.21) und (3.22) werden in die Glei-chungen (3.15), (3.18) und (3.19) eingesetzt. Die Argumente von Φ und qe entfallen zuguns-ten der Übersichtlichkeit. Es ergeben sich die Gleichungen (3.26) bis (3.28).

( ) ( )I I I I e,k k k kr R t r R= + + ⋅A Φ q (3.26)

( ) ( )I I I I I e I e,k k k k k k kv R t r Rω= + + ⋅ + ⋅ ⋅A Φ q A Φ q

(3.27)

( ) ( )( )T

I I I I I I I I I I I I e

I I e I e

, ...

2

k k k k k k k k k k k k k k k

k k k k

a R t v v Rω ω ω ω

ω

= + + + + ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

A A A Φ q

A Φ q A Φ q

(3.28)

Gleichung (3.26) beschreibt die Lage aller Punkte des Körpers k. Das Deformationsfeld ( ),k ku R t hängt durch den Deformationsansatz gemäß Gleichung (3.20) nur noch von einer

endlichen Anzahl elastischer Koordinaten ab. Sie sind im Vektor qe zusammengefasst.

Das absolute Verschiebungsfeld ( )I ,kr R t hängt zusätzlich von Lage und Orientierung des Körperbezugssystems ab. Die Lage des Bezugssystems ist durch den Vektor I Ikr gegeben. Seine Orientierung wird durch die Drehmatrix AIk gegeben. Die Drehmatrix AIk hängt gemäß Gleichung (3.2) von drei Kardanwinkeln ab. Sie werden im Vektor αIk zusammengefasst. Die Lage aller Körperpunkte ist somit eindeutig durch die drei Vektoren I Ikr , αIk und qe be-schrieben. Sie werden deshalb gemäß Gleichung (3.29) im Zustandsvektor auf Lageebene zk zusammengefasst. [11, p. 260]


I I

I

e

k

k k

r =

zq

α (3.29)

Gleichung (3.27) beschreibt die Geschwindigkeit aller Körperpunkte. Zusätzlich zu den durch zk gegebenen Größen hängt Gleichung (3.27) von den Zeitableitungen I Ikr und eq sowie der Winkelgeschwindigkeit Ik kω ab. Die Geschwindigkeit aller Körperpunkte wird also ein-deutig durch diese drei Vektoren beschrieben. Aus diesem Grund werden sie gemäß Glei-chung (3.30) im Zustandsvektor auf Geschwindigkeitsebene yk zusammengefasst. [11, p. 260]

I I

I

e

k

k k k

rω

=

yq

(3.30)

Der Freiheitsgrad des freien Einzelkörpers fk,u ergibt sich aus den voneinander unabhängi-gen Koordinaten zur Lagebeschreibung, also aus der Länge von zk. Die Anzahl der elasti-schen Koordinaten des Körpers k wird mit nek gegeben. Unter Berücksichtigung der Tatsa-che, dass die anderen beiden Vektoren [3 x 1]-Vektoren sind, ergibt sich fk,u mit Gleichung (3.31).

,u e6k kf n= + (3.31)

Somit wird klar, dass yk nicht unabhängig von zk sein kann. Der Zusammenhang zwischen den beiden Vektoren wird über die kinematischen Differentialgleichungen gemäß (3.32) ge-geben. In Gleichung (3.32) wird mit der Kinematikmatrix Hk die Zeitableitung des Zustands-vektors auf Lageebene zk in den Zus tandsvektor auf Geschwindigkeitsebene yk umgerech-net. [11, p. 259 f.], [1, p. 71 ff.]

k k k= ⋅y H z (3.32)

Der Aufbau der Kinematikmatrix Hk ergibt sich aus der Formulierung der Bewegungsglei-chungen und den Drehwinkeln mit denen die Drehmatrizen parametrisiert werden. Gleichung (3.33) zeigt (3.32) aufgeteilt nach translatorischem, rotatorischem und elastischem Anteil. Aus dem Vergleich der Gleichungen (3.29) und (3.30) wird deutlich, dass für den translatori-schen und den elastischen Anteil keine Umrechnung erforderlich ist. Bei der gewählten For-mulierung entsprechen die Zeilen von yk direkt der Zeitableitung der zugehörigen Zeile von zk. HT und He entsprechen deshalb Einheitsmatrizen. [3], [11, p. 259 f.], [1, p. 71 ff.]

t T t

r R r

e e e

y zy

=

H 0 00 H 0 z

y 0 0 H z

(3.33)


In dieser Arbeit werden Kardanwinkel für die Drehbeschreibung gewählt. Der zu dieser Drehbeschreibung zugehörige rotatorische Anteil der kinematischen Differentialgleichungen wird in Kapitel 3.2.1 entweder durch die Gleichung (3.13) oder durch (3.14) gegeben. Wer-den die rotatorischen Größen im Körperbezugssystem formuliert, muss Gleichung (3.14) bzw. die Matrix HR,k verwendet werden. Basierend auf diesen Überlegungen ergibt sich Hk für die in dieser Arbeit gewählten Formulierungen gemäß Gleichung (3.34).

I I I I

I R, I

e e

k k

k k k k

r rω

=

E 0 00 H 0

q 0 0 E qα

(3.34)

Es sei an dieser Stelle noch auf den Unterschied zu den kinematischen Differentialgleichun-gen aus [11, p. 260] Gleichung (6.66) verwiesen. Er entsteht dadurch, dass in [11] die Ge-schwindigkeiten im Körperbezugssystem gegeben werden.

Für die Herleitung der Bewegungsgleichung in Kapitel 3.3 aber auch für die Implementierung in Kapitel 6 ist es vorteilhaft wenn die Möglichkeit besteht ( )I ,kv R t aus (3.27) und

( )I ,ka R t aus (3.28) direkt aus dem Zustandsvektor auf Geschwindigkeitsebene yk zu be-rechnen. Mit einigen Umformungen ergeben sich die Gleichungen (3.35) und (3.36) die dies ermöglichen. [11, p. 260 f.]

( ) ( )I t e, ,k k kv R t R= ⋅T q y (3.35)

( ) ( ) ( )I t e I t e, , , ,k k k k ka R t R Rζ= ⋅ +T q y q y (3.36)

Die von den materiellen Koordinaten k R und dem Zustand abhängigen Matrizen Tt und I tζ ergeben sich mit den Gleichungen (3.37) und (3.38). Die Argumente werden ab jetzt wegge-lassen. [11, p. 260 f.]

( )t I e Ik k kT R = − + ⋅ ⋅

~E A Φ q A Φ (3.37)

( )( )I t I I e I e2k k k k k k Rζ ω ω= ⋅ + + ⋅A Φ q Φ q

(3.38)

3.2.4 Kinematik der Schnittstellenknoten

Bei einem starren Körper wird für die Modellierung von Rand- und Koppelbedingungen ledig-lich die nicht zeitabhängige Lage des Anbindungspunktes benötigt. Mit Rand- und Koppelbe-dingungen sind hierbei im Wesentlichen kinematische Bindungen, elastische Verbindungs-elemente und externe Lasten gemeint. Die kinematischen Größen in den Anbindungspunk-ten solcher Elemente werden durch die Starrkörperformel auf das Körperbezugssystem um-gerechnet.

Bei einem elastischen Körper müssen zusätzlich die Deformationen des Anbindungspunktes gegenüber dem Körperbezugssystem berücksichtigt werden. Hierfür werden sog. Schnittstel-


lenknoten verwendet. Bei der Verwendung reduzierter FE-Modelle müssen diese Schnittstel-lenknoten bereits im FE-Programm bzw. der Reduktionssoftware definiert werden. Warum dies der Fall ist, wird bei der nachfolgenden Herleitung der Kinematik dieser Schnittstellen-knoten deutlich. Schnittstellenknoten werden häufig auch als Masterknoten bezeichnet. [17, p. 512], [4, p. 550 f.]

In Abhängigkeit vom zugrundeliegenden FE-Modell, der Schnittstellenmodellierung und dem Reduktionsverfahren besitzen die Schnittstellenknoten drei oder sechs freie Koordinaten. Im allgemeinen Fall wird für die kinematische Beschreibung also die Orientierung benötigt. Aus diesem Grund besitzt jeder Schnittstellenknoten ein eigenes Knotenbezugssystem. Ausführ-liche Informationen zur Schnittstellenmodellierung sind unter anderem in [4], [12] und [17] zu finden.

In Bild 3-1 (Seite 23) stellt den Schnittstellenknoten N (nachfolgend Knoten N) mit seinem Bezugssystem { , }N N eO dar. In Kapitel 3.3 werden unterschiedliche Arten von Knoten defi-niert, die mit den Buchstaben A, B, C, D und E bezeichnet werden. Der Knoten N steht in diesem Kapitel stellvertretend für diese Knoten. Es gilt

{ }A,B,C,D,EN ∈ . (3.39)

Die Lage von Knoten N auf dem nicht deformierten Referenzkörper wird durch die materielle Koordinate k NR gegeben. Mit Gleichung (3.26) ergibt sich seine Lage im Inertialsystem gemäß Gleichung (3.40). [11, p. 261]

( ) ( )( )I I I I I I e,N k N k k k N k Nr r R t r R R= = + + ⋅A Φ q (3.40)

( )N k NR=Φ Φ (3.41)

In Gleichung (3.40) entspricht ( )k NRΦ den Werten der ortsabhängigen Ansatzfunktion be-rechnet für die Stelle k NR . Diese auf den Knoten N bezogenen Ansatzfunktionen werden gemäß Gleichung (3.41) nachfolgend mit NΦ bezeichnet. Grundsätzlich liegen die Ansatz-funktionen bei einem reduzierten FE-Modell aus MORPACK in diskreter Form vor. Sie gehen nur indirekt in die Beschreibung des reduzierten Modells ein und gehören deshalb nicht zu den Standardeingabedaten. (Siehe auch Kap. 3.3 und 3.6.)

Die auf den K noten N bezogenen Ansatzfunktionen NΦ werden für die kinematische Be-schreibung des Knotens N im EMKS-Programm jedoch direkt benötigt. Das Gleiche gilt für die materielle Koordinate k NR . Dies ist der Grund dafür, dass die Schnittstellenknoten be-reits vor der Modellordnungsreduktion definiert werden müssen. MORPACK berechnet dann auf Grundlage der durch den N utzer gegebenen materiellen Koordinate k NR die Ansatz-funktionen NΦ an dieser Stelle. Die Größen k NR und NΦ werden dann den Standardeinga-bedaten hinzugefügt. Die Definition der Schnittstellenknoten darf nicht mit der für manche Reduktionsverfahren erforderlichen Definition der Masterknoten verwechselt werden. Schnittstellenknoten sind immer auch Masterknoten. Jedoch sind Masterknoten nicht zwangsläufig Schnittstellenknoten. [4, p. 550]


Die Geschwindigkeit I Nv und die Beschleunigung I Na des Knotens N ergibt sich mit den Gleichungen (3.35) und (3.36) gemäß Gleichung (3.42) und (3.43).

I tN N kv = ⋅T y (3.42)

I t I tN N k Na ζ= ⋅ +T y (3.43)

Die in den Gleichungen (3.42) und (3.43) enthaltenen Matrizen TtN und I t Nζ sind die auf den Knoten N bezogenen Matrizen aus den Gleichungen (3.37) und (3.38).

( )t I e IN k k N N k NT R = − + ⋅ ⋅

~E A Φ q A Φ (3.44)

( )( )I t I I e I e2N k k k N k k k N NRζ ω ω= ⋅ + + ⋅A Φ q Φ q

(3.45)

Die Orientierung des Koordinatensystems { , }N N eO gegenüber dem körperfesten Bezugs-system { , }k keO wird durch die Drehmatrix AkX mit den drei Winkeln ϑNx, ϑNy und ϑNz be-schrieben (Gl.(3.9)). Werden die drei Winkel im Vektor ϑN zusammengefasst, ergeben sie sich äquivalent zu den Gleichungen (3.40) und (3.41) mit dem Deformationsansatz aus Glei-chung (3.23) gemäß Gleichung (3.46).

( ) e,N k N NR t= = ⋅Ψ qϑ ϑ (3.46)

Hieraus ergibt sich, dass zusätzlich zu NΦ auch NΨ durch MORPACK zu den Standardein-gabedaten hinzugefügt wird.

In Gleichung (3.9) werden die Komponenten von ϑN benötigt. Sie ergeben sich aus den Zei-len von Gleichung (3.46) gemäß den Gleichungen (3.47) bis (3.49).

x x eN Nϑ = ⋅Ψ q mit x ,1*N N=Ψ Ψ (3.47)

y y eN Nϑ = ⋅Ψ q mit y ,2*N N=Ψ Ψ (3.48)

z z eN Nϑ = ⋅Ψ q mit z ,3*N N=Ψ Ψ (3.49)

Hierbei ist zu beachten, dass z.B. xNΨ der ersten Zeile von NΨ entspricht. Gemäß den Notationen steht die 1 (erster Index) für die erste Zeile. Das Zeichen * (zweiter Index) steht für „alle Spalten“. Mit dem Deformationsansatz (Gl. (3.47) bis (3.49)) hängt auch die Dreh-matrix AkN nur noch von den elastischen Koordinaten qe ab.

Für die Definition von Gelenken werden häufig die Gelenk-Relativkoordinaten zu Minimalko-ordinaten. Für ein Gelenk im Knoten N wird die Orientierung von { , }N N eO gegenüber dem Inertialsystem mit den Kardanwinkeln αIN beschrieben. Es ist notwendig αIk aus Gleichung (3.29) in Abhängigkeit von αIN und ϑN zu beschreiben. Dies ist z.B. für die Formalismen, welche in Kapitel 3.5 beschrieben und in Kapitel 4.3 angewendet werden, der Fall. Da die


Verdrehung des Knotenbezugssystems { , }N N eO gegenüber dem Körperbezugssystem { , }k keO klein ist, dürfen diese Winkel einfach addiert werden (Gl.(3.50)). [11, p. 254]

I IN k N= +α α ϑ (3.50)

Bei kleinen Drehungen berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit k k Nω direkt aus der Zeit-ableitung der Winkel Nϑ . Bei direktem Einsetzen des Deformationsansatzes aus Gleichung (3.24) ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit k k Nω mit Gleichung (3.51). [11, p. 254]

ek k N N Nω = = ⋅Ψ qϑ (3.51)

Gleichung (3.51) gibt die Winkelgeschwindigkeit des Knotens N bzw. von { , }N N eO gegen-über dem Körperbezugssystem an. Die Winkelgeschwindigkeit von Knoten X gegenüber dem Inertialsystem wird analog zu Gleichung (3.50) durch Addition berechnet. Sie ergibt sich als Summe von der Winkelgeschwindigkeit des Körperbezugssystems Ik kω und k k Nω aus Gleichung (3.51) gemäß Gleichung (3.52). [11, p. 255]

I I ek N k k Nω ω= + ⋅Ψ q (3.52)

Die Winkelbeschleunigung ergibt sich durch Ableiten von Gleichung (3.52) gemäß Gleichung (3.53). [11, p. 255]

I I e I ek N k k N k k Nω ω ω= + ⋅ + ⋅Ψ q Ψ q

(3.53)

Analog zu den Gleichungen (3.42) bis (3.45) lassen sich die Gleichungen (3.52) und (3.53) auch in der Form der Gleichungen (3.54) und (3.55) ausdrücken. [11, p. 262]

I rk N N kω = ⋅T y (3.54)

I r rk N N k k Nω ζ= ⋅ +T y

(3.55)

Die in den G leichungen (3.54) und (3.55) enthaltenen Matrizen TrN und rk Nζ sind in den Gleichungen (3.56) und (3.57) definiert. [11, p. 262]

( )r N NT = 0 E Ψ (3.56)

r I ek N k k Nζ ω= ⋅Ψ q

(3.57)

3.3 Kinetik freier Einzelkörper In diesem Kapitel werden die Bewegungsgleichungen eines freien Einzelkörpers hergeleitet. Hierfür wird zunächst davon ausgegangen, dass die Bewegungen der Körperpunkte eines allgemeinen Kontinuums in keiner Weise eingeschränkt sind. Ein solches Kontinuum hat unendlich viele freie Koordinaten. Die in Kapitel 3.2 hergeleiteten Gleichungen beschreiben die Kinematik eines freien elastischen Einzelkörpers in Abhängigkeit der Zustandsvektoren zk und yk. In diesem Fall stellt die Beschreibung Kinematik aller Körperpunkte nur mit den Vek-


toren zk und yk eine Einschränkung der Bewegungsmöglichkeiten dar. Diese Einschränkung resultiert aus der Diskretisierung der elastischen Deformation mit dem globalen Ritz-Ansatz in Kapitel 3.2.3. Die Diskretisierung erzeugt innere Bindungen im elastischen Körper. Des-halb werden die Gleichungen in Kapitel 3.2 in [11] auch als Zwangsbedingungen bezeichnet. [11, p. 81 ff.]

Durch die inneren Bindungen wirken am Körper k neben den bekannten eingeprägten Kräf-ten auch unbekannte innere Zwangskräfte. Aus diesem Grund wird für die Angabe der Be-wegungsgleichungen eines der Prinzipe der Mechanik [11, p. 97] benötigt. Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen wird häufig das Jourdainsche Prinzip ein-gesetzt. Es besagt, dass die Zwangskräfte virtuell leistungslos sind. Gegenüber anderen Prinzipien wird es bevorzugt, da sich die virtuellen Geschwindigkeiten häufig bequemer als die virtuellen Verschiebungen ermitteln lassen. [11, p. 105 f.]

Bild 3-2 Elastischer Körper mit eingeprägten Kräften

Bild 3-2 zeigt den elastischen Körper aus Bild 3-1 mit den auf ihn wirkenden eingeprägten Kräften. Der Schwerpunkt des Körpers wird mit S bezeichnet. Auf den gesamten Körper wirkt die Erdbeschleunigung g . Im Punkt Di wirken die externen Kräfte ext,iF

und die externen Momente ext,iM

. Im Punkt Di wird der Körper durch ein elastisches Verbindungselement mit der Umgebung verbunden. Es wird über seine Steifigkeitsmatrix Ki und seine Dämpfungs-matrix Di definiert. Die aus der Relativverschiebung iδ

resultierende Kraft wird mit c,iF

be-zeichnet. Ihre Ermittlung wird später in diesem Kapitel erläutert. Der Index i bezieht sich da-rauf, dass es an einem Körper k mehrere externe Kräfte und elastische Verbindungselemen-te geben kann.

Nachfolgend wird die virtuelle Leistung δP der am Körper k wirkenden Kräfte definiert (Jourdainsches Prinzip) (Gl.(3.58)). Die einzelnen Anteile können als Teile der Bewegungs-gleichung des Körpers k gedeutet werden. Auf diesem Wege wird die Bewegungsgleichung formuliert. [11, p. 291 f.]

yI

xI

zI

yEi

xEi

zEi zk

yk

xk

zDi yDi

xDi

Sk

Ki Di

I Ikr

I IEir

I IDir

Sk kr

ext,iF

ext,iM

g


( )

( )

F

0 0 0

c

T T T T TD ext, D ext,

1

TE ,

1

δ δ d δ d δ d δ δ

δ

n

i i i iiV V V

n

i c ii

P v a m V v g m v F M

v F

ω=

=

= + − − +

−

∑∫ ∫ ∫

∑

e σ

(3.58)

Ziel ist es mit Gleichung (3.58) die Bewegungsgleichungen in den K oordinaten der Zu-standsvektoren zk und yk aufzustellen. Dazu werden die virtuellen Geschwindigkeiten in Glei-chung (3.58) mit Hilfe der Gleichungen aus Kapitel 3.2 in Abhängigkeit von den Zustands-vektoren zk und yk ausgedrückt. Die Integrale werden nacheinander abgearbeitet um die ein-zelnen Bestandteile der Bewegungsgleichung herzuleiten. [11, p. 293]

Das erste Integral enthält die am Körper k wirkenden Trägheitskräfte. Die Größe V0 ent-spricht hierin dem Volumen des Körpers in seiner Referenzkonfiguration. Das infinitesimale Massenelement dm kann als Produkt von der Dichte in Referenzkonfiguration ρ0 und dem infinitesimalem Volumen dV ausgedrückt werden (Gl.(3.59)).

0d dm Vρ= (3.59)

Die transponierte virtuelle Geschwindigkeit TIδ kv ergibt sich mit (3.35) gemäß Gleichung

(3.60). Die Beschleunigung Ia ergibt sich gemäß Gleichung (3.36). Es ist zu beachten, dass ab jetzt die Koordinatendarstellungen der Vektoren verwendet werden. So wird die Bewe-gungsgleichung direkt in einer auf den Koordinatensatz yk angepassten Form hergeleitet.

T T TI tδ δk kv = y T (3.60)

Die Gleichungen (3.36), (3.59) und (3.60) werden jetzt in das erste Integral von Gleichung (3.58) eingesetzt. Es ergibt sich Gleichung (3.61) die durch einige Umformungen in die Form von Gleichung (3.62) gebracht wird.

( )0 0

T T TI I t t I t 0δ d δ dk k

V V

v a m Vζ ρ= +∫ ∫y T T y (3.61)

0 0 0

T T T TI I t t 0 t I t 0

ω

δ d δ d dk kV V V

kk

v a m V Vρ ζ ρ

= + −

∫ ∫ ∫y T T y T

FM

(3.62)

Der erste Term von Gleichung (3.62) entspricht dem Produkt eines Volumenintegrals mit dem Beschleunigungsvektor ky . In Analogie zur Struktur der dynamischen Bewegungsglei-chung wird dieses Volumenintegral als Massenmatrix Mk bezeichnet. Der zweite Term ent-spricht den restlichen Trägheitskräften, die unter anderem die gyroskopischen Terme bein-halten. Er wird im Hinblick auf die Umformungen am Ende dieses Kapitels mit Fωk bezeich-net. [11, p. 294]


Um die nachfolgenden Gleichungen übersichtlicher zu gestalten, wird der Vektor vom körper-festen Bezugssystem zu einem beliebigen Körperpunkt gemäß Gleichung (3.63) mit k r be-zeichnet.

ek kr R= + ⋅Φ q (3.63)

In die Massenmatrix Mk aus Gleichung (3.62) werden die Gleichungen (3.37) und (3.63) ein-gefügt. Durch Umformen wird Mk zu einem Volumenintegral über eine [3 x 3]-Blockmatrix (Gl.(3.64)). Bei näherer Betrachtung der Matrixstruktur wird deutlich, dass Mk symmetrisch ist. Es müssen insgesamt sechs Teilmatrizen berechnet werden. [11, p. 294]

0

I ITI 0

T T T TI

dk k k

k k k k k kV

k k

rr r r r V

rρ

−

= − −

∫E A A Φ

M A ΦΦ A Φ Φ Φ

(3.64)

Das Volumenintegral über die gesamte Matrix entspricht dem Volumenintegral über die Teilmatrizen. Die Teilmatrizen werden gemäß Gleichung (3.65) benannt. Sie werden nach-folgend berechnet. [11, p. 294]

T Ttt rt t

Trt rr r

t r ee

k

=

M M CM M M C

C C M (3.65)

Die Matrix Mtt ergibt sich mit Gleichung (3.66). Diese Teilmatrix ist als Masse des starren Referenzkörpers zu interpretieren. Sie ist äquivalent zum translatorischen Anteil der Mas-senmatrix bei einem starren Mehrkörpersystem. [11, p. 294], [1, p. 102]

0

tt 0 d kV

V mρ

= = ∫M E E (3.66)

Die Matrix Ct ist als Koppelterm zwischen der translatorischen Starrkörperbewegung und der Deformation zu interpretieren. Wird die Matrix Ct

T mit den elastischen Beschleunigungen eq multipliziert, ergeben sich die Trägheitskräfte, die infolge der Deformationen auf das Kör-perbezugssystem wirken. Die Matrix Ct ergibt sich mit Gleichung (3.67). Besonders zu be-achten sind hierbei die unterschiedlichen Bezugssysteme, in denen die Zeilen der Bewe-gungsgleichungen formuliert sind. Die translatorischen Anteile (erste Zeile) werden im Iner-tialsystem formuliert. Die Deformationen bzw. die Ansatzfunktionen beziehen sich auf das Körperbezugssystem (Kap. 3.2.3). Wird der translatorische Anteil yt aus Gleichung (3.33) mit Ct multipliziert, muss er vorher ins körperfeste Bezugssystem umgerechnet werden. Dies geschieht mit der Drehmatrix T

IkA am Ende von Gleichung (3.67). Die auf den Koordinaten-satz zugeschnittene Herleitung der Gleichungen aus Kapitel 3.2 gewährleistet also die kon-sistente Verwendung der korrekten Bezugssysteme. [11, p. 295]


0

T Tt 0 Id k

V

Vρ

=

∫C Φ A (3.67)

Der Vektor Sk kr gibt die Lage des Schwerpunkts gegenüber dem Körperbezugssystem an. Die Schwerpunktlage ist gemäß Gleichung (3.68) gegeben. Wird das Integral der Matrix Mrt mit Hilfe von Gleichung (3.68) interpretiert, ergibt sich Mrt gemäß Gleichung (3.69). In Glei-chung (3.69) wird die Masse des Körpers mit dem schiefsymmetrischen Tensor, der mit dem Tilde-Operator aus Sk kr folgt, multipliziert. Dieser Term taucht auch in der Bewegungsglei-chung starrer Mehrkörpersysteme immer dann auf, wenn das Bezugssystem nicht im Schwerpunkt liegt. [11, p. 295], [1, p. 102]

0

S1 dk k k

k V

r r mm

= ∫ (3.68)

0

T Trt 0 I S Idk k k k k k

V

r V m rρ

= =

∫M A A (3.69)

Die Matrix Mrr ergibt sich nach Gleichung (3.70). Nach einer einfachen Umformung wird Gleichung (3.63) eingesetzt, es folgt Gleichung (3.71). Durch Ausmultiplizieren der Klam-mern wird das Integral in drei Anteile gemäß Gleichung (3.72) zerlegt. [11, p. 295]

0 0

Trr 0 0d dk k k k

V V

r r V r r Vρ ρ= − =∫ ∫M (3.70)

( )( ) ( )( )0

T~ ~rr 0 e e dk k

V

R R Vρ= + ⋅ + ⋅∫M Φ q Φ q (3.71)

( ) ( )( )

( ) ( )

0 0

0

~T ~T Trr 0 0 e e

0 1~ ~T

0 e e

2

d d

d

k k k kV V

V

R R V R R V

V

ρ ρ

ρ

= + ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫

M Φ q Φ q

I I

Φ q Φ q

I

(3.72)

Der erste Term I0 entspricht dem Trägheitstensor des starren Körpers. I1 und I2 erfassen die Änderung des Trägheitstensors infolge der Deformation. Sie hängen von den elastischen Koordinaten qe ab. Der Term I2 repräsentiert das Produkt der Deformationen. Er kann im Zuge der Linearisierung für kleine Deformationen vernachlässigt werden. In Analogie zum starren Mehrkörpersystem wird deutlich, dass die Matrix Mrr dem Trägheitstensor (Mrr = I) entspricht. Der Term I1 wird nach Gleichung (3.73) berechnet.

( ) ( )e e

0

TT

1 0 * * e e1 1

d 4 4n n

k klV

R R V q qρ= =

= − + = − +

∑ ∑∫I Φ Φ C C

(3.73)


0

0 *4 dkV

R Vρ= ∫C Φ

(3.74)

Die in den B ewegungsgleichungen enthaltenen Terme folgen aus Volumenintegralen über den Körper k. Sie sind in vielen Fällen zustandsabhängig. Bei der Lösung der Bewegungs-gleichungen können die zustandsabhängigen Größen erst während der Zeitintegration be-rechnet werden. Sie ändern sich in jedem Zeitschritt. Die Implementierung erfordert also eine Zerlegung der Terme in einen Anteil, der die Eigenschaften des Körpers beschreibt und ei-nen Anteil, der den Zustand beschreibt. Ersteres entspricht z.B. C4

aus Gleichung (3.73). Während der Zeitintegration wird dieser Term in jedem Zeitschritt mit den elastischen Koor-dinaten, verrechnet um zustandsabhängigen Anteil I1 des Trägheitstensors I zu berechnen. Die Matrizen C4

(mit =1…ne) gehören hierbei zu den S tandardeingabedaten aus MOR-PACK (Kap. 3.6).

In [11, p. 334 ff.] wird eine Reihe von zu C4

äquivalenten Variablen eingeführt, die die Be-rechnung aller erforderlichen Terme in den Bewegungsgleichungen ermöglichen. Sie werden als Standardeingabedaten bezeichnet (Kap. 3.6). Die Herleitungen dieser Größen ist in [11] ausführlich dokumentiert und wird an dieser Stelle nicht im Detail besprochen. Es wird ledig-lich auf die zugehörige Seitenzahl in [11] verwiesen.

Die Matrix Cr ist als Koppelterm zwischen der rotatorischen Starrkörperbewegung und den Deformationen zu interpretieren. Wird die Matrix Cr

T mit den elastischen Beschleunigungen

eq multipliziert ergeben sich die Trägheitskräfte, die infolge der Deformationen auf das Kör-perbezugssystem wirken. Die Matrix Cr ergibt sich mit Gleichung (3.75). Durch Einsetzen von Gleichung (3.63) wird klar, dass Cr gemäß Gleichung (3.76) in einen konstanten und einen von eq abhängigen Anteil zerlegt werden kann. Der konstante Anteil ergibt sich mit Glei-chung (3.77) und der Matrix C2 aus [11, p. 337 f.].

( )0 0

~TT Tr 0 0 ed dk k

V V

r V R Vρ ρ= = + ⋅∫ ∫C Φ Φ Φ q (3.75)

r r0 r1= +C C C (3.76)

0

T T Tr0 0 d 2k

V

R Vρ= =∫C Φ C (3.77)

Der linear von eq abhängige Term Cr1 ergibt sich mit Gleichung (3.78) und den Matrizen Kr1, Kr2 und Kr3 aus [11, p. 338]

( ) ( )0

~TTr1 0 e r1 e r2 e r2 ed

V

Vρ= ⋅ =∫C Φ Φ q K q K q K q (3.78)

Die Matrix Mee entspricht der zu den el astischen Koordinaten zugehörigen Massenmatrix. Sie berechnet sich gemäß Gleichung (3.79), gehört aber auch zu den A usgabedaten von MORPACK. [11, p. 339]


0

Tee 0 d

V

Vρ= ∫M Φ Φ (3.79)

Der zweite Term von Gleichung (3.62) entspricht per Definition den Trägheitskräften Fωk ge-mäß Gleichung (3.81). Werden die Gleichungen (3.37) und (3.38) in diesen Term eingesetzt ergibt sich Gleichung (3.82). Mit den Standardeingabedaten gemäß [11, p. 297 ff.] wird Fωk nach Gleichung (3.83) berechnet. Die Ermittlung von Gr

, Ge

und Oe aus den MORPACK-Ausgabevariablen wird in Kapitel 3.6 erläutert und m it den G leichungen (3.126) bis (3.80) beschrieben.

0

Tω t I t 0 dk

V

Vζ ρ= −∫F T (3.81)

( )( )( ) ( )( )

( )( )0

I I e I e

ω e I e I e 0

I e I e

2

2 d

2

k k k k k k

k k k k k k kV

k k k k k

R

R R V

R

ω ω

ω ω ρ

ω ω

⋅ + + ⋅ = − + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅

∫~

A Φ q Φ q

F Φ q Φ q Φ q

Φ Φ q Φ q

(3.82)

( )I I t e I S

ω r e I I I1

e e I e q1

2e

e

k k k k k k k k k

n

k k k k k k k k

n

k k

q r m

q

q

ω ω

ω ω ω

ω ω

=

=

+

= − +

+

∑

∑

A C

F G I

G O

(3.83)

Das zweite Integral aus Gleichung (3.58) repräsentiert die inneren Kräfte. Mit den kinemati-schen Gleichungen aus Kapitel 3.2.3, einem linear elastischen Materialmodell und einem Ansatz für geschwindigkeitsproportionale Dämpfung, kann Gleichung (3.58) in die Form von (3.84) gebracht werden.

0

T T Te

e e e e

0δ d δ δ 0k k k k k

V

V = − = +

∫ y F yK q D q

e σ

(3.84)

In Gleichung (3.84) entspricht Ke der Steifigkeitsmatrix und De der Dämpfungsmatrix. Beide Matrizen werden von MORPACK ausgegeben und gehören zu den Standardeingabedaten. Die Umformung des Integrals wird in [11, p. 300 ff.] ausführlich beschrieben. Zu beachten ist hierbei, dass der Ausdruck noch für kleine Deformationen linearisiert wird [11, p. 309 ff.].

Das dritte Integral aus Gleichung (3.58) steht für Gewichtskräfte Fgk infolge der Erdbe-schleunigung I g . Sie wird sinnvollerweise im Inertialsystem gegeben. Durch Einsetzen von Gleichung (3.60) wird das Integral in Abhängigkeit von yk ausgedrückt (Gl.(3.85)).

0 0

T T T TI 0 g t 0 Iδ d δ δ dk k k k

V V

v g V V gρ ρ= =∫ ∫y F y T (3.85)


Das Einsetzen von Gleichung (3.36) und der bisher ermittelten Größen liefert dann Glei-chung (3.86) für die Berechnung von Fgk. [11, p. 300]

Tg S I I

t

k

k k k k k k

mm r g

=

EF A

C

(3.86)

Der vierte Term in Gleichung (3.58) entspricht der Wirkung externer Lasten im Punkt Di. Es wird hierbei davon ausgegangen, dass nF externe Lasten ext,iF

und ext,iM

in nF zugehörigen Angriffspunkten Di wirken können. Die virtuellen Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindig-keiten des Knotens Di werden zunächst in Abhängigkeit der virtuellen Geschwindigkeit yk ausgedrückt. Dies geschieht mit Hilfe der Gleichungen (3.42) und (3.54) in gleicher Weise wie bei Gleichung (3.59) gemäß Gleichung (3.87). Bei den G leichungen aus Kapitel 3.2.4, die jetzt auf den Knoten D angewendet werden, gilt N=Di. [11, p. 306 f.]

( ) ( )F F

ext,T T T T T TD D ext, D ext, t D rD

1 1 ext,

δ δ δ δn n

ik k i i i i k i i

i i i

Fv F M

Mω

= =

= + =

∑ ∑y F y T T

(3.87)

Anschließend ergibt sich die Berechnungsvorschrift für die Kraft FDk mit Gleichung (3.88) durch Einsetzen der Gleichungen (3.44) und (3.56). Der Vektor vom Körperbezugssystem zum Knoten D wird hierbei verkürzt mit Gleichung (3.89) ausgedrückt. [11, p. 306 f.]

F

I ext,TD D I

1 ext,T T TD I D,

ni

k k i ki k i

i k i

Fr

M=

=

∑E 0

F A EΦ A Ψ

(3.88)

D D D ek i k i ir R= + ⋅Φ q (3.89)

Für eine konsistente Verwendung der Bezugssysteme müssen auch bei den externen Lasten die translatorischen Größen im Inertialsystem und die rotatorischen Größen im Körperbe-zugssystem angegeben werden. Wenn die Größen in anderen Bezugssystemen vorliegen, muss Gleichung (3.88) dementsprechend umgeformt werden (Kap. 5).

Die aus einem elastischen Verbindungselement im Punkt Ei resultierende Kraft I c,iF be-rechnet sich nach Gleichung (3.90). Die Matrix Ki entspricht hierbei der Steifigkeitsmatrix des elastischen Verbindungselements, Di entspricht der Dämpfungsmatrix. Hierbei ist zu beach-ten, dass die Steifigkeits- und Dämpfungsparameter in diesem Fall immer in dem Bezugs-system gegeben sind indem auch Gleichung (3.90) formuliert ist. [3, p. 29 ff.]

I c, I E I Ei i i i iF δ δ= − ⋅ − ⋅K D (3.90)

Die Lage- und Geschwindigkeitsdifferenz berechnet sich bei einem elastischen Verbin-dungselement zur Umgebung immer aus der Differenz vom aktuellem Zustand und dem An-


fangszustand gemäß Gleichung (3.91) und (3.92). Die Lage und di e Geschwindigkeit des Punktes Ei ergibt sich dabei mit den Gleichungen (3.40) und (3.42) für N=Ei.

I I IE I IE( ) ( 0)Ei i ir t r tδ = − = (3.91)

I I E I E( ) ( 0)Ei i iv t v tδ = − = (3.92)

Äquivalent zu Gleichung (3.87) wird dann auch der fünfte Term in Abhängigkeit der virtuellen Geschwindigkeit yk ausgedrückt. Hierdurch ergibt sich die Kraft FEk gemäß Gleichung (3.93).

( )c c

T T T TE E c t E c

1 1δ δ δ

n n

k k i i k i ii i

v F F= =

= =∑ ∑y F y T

(3.93)

Anschließend ergibt sich die Berechnungsvorschrift für FEk mit Gleichung (3.94) durch Ein-setzen von Gleichung (3.44). Der Vektor vom Körperbezugssystem zum Knoten Ei wird hier-bei verkürzt mit Gleichung (3.95) ausgedrückt. [11, p. 306 f.]

c

TE E I I ,

1 T TE I

n

k k i k c ii

i k

r F=

=

∑E

F AΦ A

(3.94)

E E E ek i k i ir R= + ⋅Φ q (3.95)

Ziel ist es nun, Gleichung (3.58) mit Hilfe der in diesem Kapitel definierten Massenmatrix und Kraftvektoren auszudrücken. Diese lassen sich mit den Gleichungen aus diesem Kapitel aus den Standardeingabedaten von MORPACK ermitteln. Sie sind deshalb für ein reduziertes FE-Modell aus MORPACK eindeutig definiert. Aus Gleichung (3.58) lässt sich dann die Be-wegungsgleichung bilden. [11, p. 307 f.]

Um dieses Ziel zu erreichen werden die Gleichungen (3.62), (3.81), (3.84), (3.85), (3.87)und (3.93) in Gleichung (3.58) eingesetzt. Für den vorliegenden freien Einzelkörper besagt das Jourdainsche Prinzip, dass die virtuelle Leistung δP zu null wird. Deshalb gilt Gleichung (3.96). [11, p. 307 f.]

( )Tω e g D Eδ δ 0k k k k k k k kP = ⋅ − − − − − =y M y F F F F F (3.96)

Die virtuellen Geschwindigkeiten δ ky sind bei Systemen ohne Gelenke voneinander unab-hängig und können beliebige Größen annehmen. Gleichung (3.96) kann also nur null wer-den, wenn die Klammer null wird. Mit dieser Feststellung ergibt sich die Bewegungsglei-chung gemäß (3.97). [11, p. 307 f.]

( )ω e g D E 0k k k k k k k

k

⋅ − + + + + =M y F F F F F

F

(3.97)


Abschließend werden noch alle Kräfte im Kraftvektor Fk zusammengefasst (Gl.(3.98)) und auf die rechte Seite der Gleichung gebracht. Die Bewegungsgleichung ist dann durch Glei-chung (3.99) gegeben.

ω e g D Ek k k k k k= + + + +F F F F F F (3.98)

k k k⋅ =M y F (3.99)

Tabelle 3-1 fasst die in der Bewegungsgleichung enthaltenen Größen abschließend zusam-men. Alle Anteile der Massenmatrix und der Kraftvektoren sind durch die Standardeingabe-daten aus MORPACK für ein reduziertes FE-Modell eindeutig definiert. Sie werden mit den Gleichungen aus diesem Kapitel ermittelt. Kapitel 3.6 enthält weitere Informationen hierzu.

Tabelle 3-1 Zusammenfassung der Größen in der Bewegungsgleichung

Formelzeichen Bedeutung

ky Beschleunigungen (Zeitableitung des Zustandsvektors auf Geschwindig-keitsebene.)

kM Massenmatrix

ωkF restliche Trägheitskräfte

ekF Innere Kräfte (infolge elastischer Deformation)

gkF Gewichtskräfte

DkF Kräfte infolge externer Lasten

EkF Kräfte infolge elastischer Verbindungselemente

3.4 Wahl des Körperbezugssystems Alle bisher in diesem Kapitel hergeleiteten Gleichungen beziehen sich auf das Körperbe-zugssystem { , }k keO . Eine eindeutige Beschreibung der Kinematik und K inetik des elasti-schen Körpers k ist deshalb erst möglich, wenn auch { , }k keO eindeutig festgelegt ist. Aus Kapitel 3.2.1 ist abzuleiten, dass sich Lage und Orientierung eines Bezugssystems durch sechs unabhängige Variablen eindeutig beschreiben lassen. Es werden also sechs Bin-dungsgleichungen (Zwangsbedingungen) für die Festlegung benötigt. Das Körperbezugssys-tem kann entweder durch kinematische oder kinetische Zwangsbedingungen festgelegt wer-den. Sie werden nachfolgend besprochen. [11, p. 257]

3.4.1 Kinematische Zwangsbedingungen

Bei der Festlegung mit Hilfe kinematischer Zwangsbedingungen wird { , }k keO an ausgewähl-te Punkte des Körpers gefesselt. Ein reduziertes FE-Modell verfügt immer über ein eindeutig festgelegtes Bezugssystem FE FE{ , }eO welches aus der Modellierung im FE-Programm resul-


tiert. In diesem Bezugsystem werden die Ansatzfunktionen ( )RΦ

und ( )RΨ

durch MOR-PACK ermittelt. Das bedeutet, auch die materielle Koordinate R

, mit deren Hilfe die Ortsab-hängigkeit beschrieben wird, ist in FE FE{ , }eO formuliert.

Die Lage von { , }k keO wird festgelegt, indem mit den Gleichungen (3.26) und (3.9) geometri-sche Randbedingungen formuliert werden. Diese Randbedingungen definieren die Lage von { , }k keO gegenüber FE FE{ , }eO . Die einfachste Forderung ist hierbei, dass beide Bezugssys-teme zusammenfallen. In diesem Fall lässt sich mit den Gleichungen (3.26) und (3.9) die Forderung

( )0R = =Φ 0

und ( )0R = =Ψ 0

(3.100)

ableiten. Werden Eigenmoden als Ansatzfunktionen verwendet, lassen sich diese Forderun-gen bei der Modalanalyse umsetzen. Im Punkt FE FE0R = werden hierfür einfach die Ver-schiebungen und die Verdrehungen blockiert. In diesem Fall wird die Kopplung des Kör-perbezugssystems mit dem elastischen Körper wie in Bild 3-3 umgesetzt. [11, p. 257 f.]

Bild 3-3 Festlegung des Körperbezugssystems mit kinematischen Zwangsbedingungen

Der größte Nachteil bei dieser Methode ist, dass die elastische Deformation im Punkt

FE FE0R = auch bei der nachfolgenden Mehrkörpersimulation immer null ist. Die Lage von

FE FE{ , }eO und die Formulierung der geometrischen Randbedingungen müssen also an den späteren Einbauzustand im Mehrkörpersystem angepasst werden. Ändern sich die Gelenk-definitionen im Mehrkörpersystem, muss der elastische Körper neu erstellt werden. Zusätz-lich passt sich das körperfeste Bezugssystem { , }k keO nicht an die Deformationen aller Kör-perpunkte an. Die Festlegung des Bezugssystems mittels kinematischer Zwangsbedingun-gen ist deshalb wenig praxisrelevant und wird nicht weiter betrachtet. [11, p. 257]

yFE = yk

Sk

xFE = xk zFE = zk


3.4.2 Kinetische Zwangsbedingungen

Gerade bei der Modellierung kleiner elastischer Deformationen ist ein Bezugssystem wün-schenswert, das den Referenzkörper bzgl. der elastischen Deformation optimal ausrichtet. Dies gelingt mit Hilfe kinetischer Zwangsbedingungen und wird nachfolgend erläutert. Die Festlegung mit kinematischen Zwangsbedingungen formuliert eine kinematische Bindung für einzelne Körperpunkte. Das nachfolgend vorgestellte Vorgehen definiert eine Kraftkopplung zwischen allen Körperpunkten und { , }k keO . Die Lage von { , }k keO hängt in diesem Fall we-der von FE FE{ , }eO noch von der Modellierung im FE-Programm ab. Die Berücksichtigung der kinetischen Bindungen gelingt über das Streichen bestimmter Terme aus der Bewegungs-gleichung (Gl.(3.99)) und die Berücksichtigung einer allgemeinen Vorschrift bei der Ermitt-lung der Ansatzfunktionen. Hierauf wird nachfolgend eingegangen. [11, p. 322 ff.]

Im Wesentlichen gelingt die Formulierung der kinetischen Bindungen mit zwei Größen. Es handelt sich hierbei einerseits um den relativen Impuls relJ

, der aus der Deformation des Körpers resultiert, und andererseits um den zugehörigen Drehimpuls relL

. Mit den Ausfüh-rungen aus Kapitel 3.3 ergeben sie sich durch die Gleichungen (3.101) und (3.102). [11, p. 323 f.]

Trel S t ek kJ m r= ⋅ = ⋅C q

(3.101)

( )0

Trel 0 r ed

V

L R u u Vρ= + = ⋅∫ C q

(3.102)

Nachfolgend werden drei Arten der Definition über kinetische Zwangsbedingungen vorge-stellt. Sie resultieren in drei unterschiedlichen Bezugssystemen, dem Hauptachsensystem, dem Tisserand-System und dem Buckens-System.

Beim Hauptachsensystem liegt der Ursprung kO des Bezugssystems im Schwerpunkt des Körpers k. Zusätzlich besitzt das Bezugssystem die gleiche Orientierung wie das Hauptach-sensystem des Körpers. Diese Bedingungen lassen sich einfach in die Bewegungsgleichun-gen einarbeiten. Liegt der Ursprung kO im Schwerpunkt, wird der Vektor Sk kr zu null. Mit Gleichung (3.69) führt dazu, dass auch Mrt null wird. Mit Gleichung (3.101) wird relJ

zu null, was bedeutet, dass Ct null sein muss, da eq nicht null werden kann. Ist das Bezugssystem ein Hauptachsensystem, sind die Deviationsmomente des Trägheitstensors I gleich null. [11, p. 324 f.]

Beim Tisserand-System wird { , }k keO so festgelegt, dass der relative Impuls relJ

und der relative Drehimpuls relL

zu null werden. Mit Gleichung (3.101) folgt wie beim Hauptachsen-system, dass Sk kr und Ct null werden, da weder die Masse mk noch eq null werden können. Das Tisserand-System ist nicht achsparallel zum Hauptachsensystem. Im Trägheitstensor I dürfen wieder Deviationsmomente vorkommen. Die kinetischen Bindungsgleichungen beim Tisserand-System sind für beliebig große Deformationen gültig. In dieser Arbeit wird generell von kleinen Deformationen ausgegangen. [11, p. 325 f.]


Das Buckens-System stellt eine Vereinfachung des Tisserand-Systems für kleine Deforma-tionen dar. Wie schon in Kapitel 3.2.1 bei Gleichung (3.5) und in Kapitel 3.3 bei Gleichung (3.103) dürfen auch hier die Produkte kleiner Deformationen u und ϑ vernachlässigt werden. Dies beeinflusst die Bedingung rel 0L =

. Gleichung (3.102) kann zerlegt werden in einen Anteil aus dem Vektorprodukt von materieller Koordinate R

und Deformationsgeschwindig-keit u und einen Anteil aus dem Produkt von Deformation u und u . Diese Anteile lassen sich mit den Gleichungen (3.75) bis (3.78) als

0

T0 r0 ed

V

Ru Vρ = ⋅∫ C q

und (3.104)

0

T0 r1 ed

V

uu Vρ = ⋅∫ C q

(3.105)

interpretieren. Wird das Produkt von u und u nun wegen kleiner Deformationen vernachläs-sigt, muss nur noch die Bedingung

Tr0 e 0⋅ =C q

also r0 0=C

(3.106)

erfüllt werden. Die Bedingung rel 0J =

verändert sich gegenüber dem Tisserand-System nicht. [11, p. 326 f.]

Aufgrund seiner Formulierung besitzt das Buckens-System [11, p. 327] eine besondere Ei-genschaft. Das Integral der Quadrate der Verschiebungen u wird beim Buckens-System minimal (Gl.(3.107)). [11, p. 237]

0

T0

1 d min2 V

u u Vρ =∫

(3.107)

Wird die Definition von u gemäß Gleichung (3.15) berücksichtigt kann diese Eigenschaft im weitesten Sinne als Ausrichtung des Referenzkörpers mit der Methode der kleinsten Fehler-quadrate interpretiert werden. Bild 3-1 verdeutlicht die Ausrichtung des elastischen Körpers gegenüber dem Körperbezugssystem { , }k keO bei der Verwendung des Buckens-Systems. Der einzige Unterschied zu Bild 3-1 ist, dass { , }k keO beim Buckens-System im Schwer-punkt liegt. Wird Bild 3-1 mit Bild 3-3 verglichen, so werden die beschriebenen Unterschiede zwischen der kinetischen und kinematischen Festlegung deutlich. Im Gegensatz zu Bild 3-1 oder Bild 4-3 ist { , }k keO in Bild 3-3 an einen Punkt des Körpers gefesselt.

Der Vergleich dieser Bilder zeigt die beschriebenen Unterschiede zwischen der kinemati-schen und der kinetischen Festlegung des Körperbezugssystems. [11, p. 327]

Das Körperbezugssystem { , }k keO und somit der Referenzkörper ist beim Buckens-System immer so ausgerichtet, dass die Deformation u minimal wird. Werden die Bewegungsglei-chungen für kleine Deformationen linearisiert ist das Buckens-System somit das am besten geeignete Körperbezugssystem. Deshalb wird es für das in dieser Arbeit erstellte EMKS-Programm gewählt. [11, p. 327]


Durch die sechs kinematischen Bindungsgleichungen, welche aus

Tt e 0⋅ =C q

(3.108)

und Gleichung (3.106) resultieren, sind die Zeitableitungen der elastischen Koordinaten eq nicht mehr unabhängig voneinander. Die Ansatzfunktionen ( )RΦ

und ( )RΨ

dürfen deshalb keine Starrkörpermoden enthalten. Aus der Anschauung heraus ist dies auch damit zu be-gründen, dass der elastische Körper gegenüber dem Körperbezugssystem keine Starrkör-perbewegungen ausführen darf.

Bei der Festlegung des Körperbezugssystems durch kinetische Zwangsbedingungen dürfen die Ansatzfunktionen nicht zusätzlich durch geometrische Randbedingungen an bestimmten Körperpunkten null werden. Werden deshalb z.B. die Eigenmoden einer ungelagerten Struk-tur als Ansatzfunktionen verwendet, enthalten diese Starrkörpermoden. In diesem Fall müs-sen nach der Berechnung alle Starrkörpermoden aus den Ansatzfunktionen entfernt werden. Diese Option kann in MORPACK umgesetzt werden. [11, p. 326]

Zusätzlich zu dieser Forderung an die Ansatzfunktionen entfallen Terme aus den bisher her-geleiteten Gleichungen. Sie werden für das Buckens-System abschließend mit den G lei-chungen (3.109) bis (3.112) zusammengestellt.

Tt =C 0 (3.109)

r0 =C 0 (3.110)

S 0k kr =

(3.111)

Trt S I 0k k k km r= =M A

(3.112)

Diese Vereinfachungen sind bei der Verwendung des Buckens-Systems in Kapitel 4 in den Bewegungsgleichungen zu berücksichtigen.

3.5 Gebundene Mehrkörpersysteme In den Kapiteln 3.2 und 3.3 werden die Bewegungsgleichungen für einen freien Einzelkörper aufgestellt. Hierbei folgen aus Gleichung (3.32) die kinematischen Differentialgleichungen. Aus Gleichung (3.99) folgt die Bewegungsgleichung. Freie Einzelkörper werden entweder mit kinematischen Bindungen oder mit elastischen Verbindungselementen miteinander ge-koppelt. Die Kopplung mittels elastischer Verbindungselemente ist mit den Gleichungen (3.90) bis (3.95) einfach durchzuführen.

Kinematische Bindungen (Gelenke) erzeugen aufwändig zu berechnende Zwangskräfte bzw. beeinflussen die Gleichungsstruktur. Hierauf wird nachfolgend genauer eingegangen. Zu-nächst wird Gleichung (3.99) um eine noch unbekannte Zwangskraft Fzk erweitert. Mit Glei-chung (3.113) folgt so die Bewegungsgleichung des gebundenen Körpers. Auf Gleichung (3.32) haben die kinematischen Bindungen zunächst keinen Einfluss. [1, p. 144]


zk k k k⋅ = +M y F F (3.113)

Für das Zusammensetzen der Bewegungsgleichungen der Einzelkörper und die anschlie-ßende numerische Berechnung existieren unterschiedliche Formalismen, die aber im We-sentlichen auf zwei Prinzipien der Mechanik basieren. [11, p. 247]

Mit den Lagrange-Gleichungen erster Art werden die Bewegungsgleichungen für die freige-schnittenen Einzelkörper formuliert. Die Wirkung der Zwangskräfte Fzk infolge kinematischer Bindungen wird durch Lagrange-Multiplikatoren und kinematische Bindungsgleichungen be-rücksichtigt. Die Bewegungsgleichungen werden in redundanten natürlichen Koordinaten zk, yk aufgestellt. Anschließend wird die Bewegungsgleichung für das Gesamtsystem aus den Bewegungsgleichungen der Einzelkörper nach einem einfachen Formalismus zusammenge-setzt. Das Resultat wird häufig als Bewegungsgleichungen in Deskriptorform bezeichnet. Hierbei entsteht ein Satz von Differentialgleichungen mit algebraischen Nebenbedingungen (DAE5-System). Ein solches DAE-System erfordert spezielle numerische Lösungsverfahren. [11, p. 247], [3, p. 66], [1]

Bei den Lag range-Gleichungen zweiter Art sowie bei den P rinzipien nach D´Alembert und Jourdain werden die Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten q aufgestellt. Die Zwangskräfte Fzk entfallen hierbei aus dem Gleichungssystem. Es entsteht eine Satz ge-wöhnlicher Differentialgleichungen (ODE6-System) das problemlos mit numerischen Stan-dardintegratoren gelöst werden kann. Sie werden häufig als Bewegungsgleichungen in Mi-nimalkoordinaten bezeichnet.

Bei der ersten Methode ist die numerische Zeitintegration die größte Herausforderung. Bei der zweiten Methode liegt die wesentliche Herausforderung im Aufstellen der Bewegungs-gleichungen. Diese Herausforderung bezieht sich einerseits auf das Festlegen der Minimal-koordinaten q, andererseits auf das Aufstellen der Bewegungsgleichungen in diesen Mini-malkoordinaten. Es existieren eine Reihe von Formalismen die beide Aufgaben automatisch erledigen, wenn sie einmal implementiert werden. Es sei an dieser Stelle auf das in [1, p. 225] beschriebene Coordinate Partitioning oder den in [3, p. 84] erläuterten rekursiven O(n) Algorithmus verwiesen. Nach [3, p. 88] machen sich die Vorteile rekursiver O(n) Algorithmen erst bei Mehrkörpersystemen mit vielen Einzelkörpern bemerkbar. [11, p. 247], [3, p. 66], [1]

Eine weitere Möglichkeit ist dadurch gegeben, die Arbeitsschritte manuell zu erledigen. Häu-fig bietet es sich hierfür an, zunächst die Bewegungsgleichungen in natürlichen Koordinaten zu formulieren und diese dann in Deskriptorform zusammenzusetzen. Die Zwangskräfte Fzk werden hierfür zunächst als Unbekannte eingeführt. Dieses Vorgehen ist von Vorteil, da die meisten Systemgrößen in natürlichen Koordinaten formuliert sind. Das gilt z.B. für den Träg-heitstensor Ik oder die wirkenden Kräfte Fk. Das Zusammensetzen der Bewegungsgleichun-gen in Deskriptorform soll hier nicht im Detail erläutert werden. Es geschieht nach einem

5 DAE: Differential Algebraic Equation 6 ODE: Ordinary Differential Equation


einfachen Formalismus der z.B. in [11, p. 382 ff.] oder [1, p. 169] beschrieben wird. Das Vor-gehen wird auch in den Kapiteln 4.2 und 5 bei der Anwendung auf die hergeleiteten Glei-chungen deutlich. Die zusammengesetzten Bewegungsgleichungen seien hier durch (3.114) und (3.115) gegeben.

= ⋅y H z (3.114)

z⋅ = +M y F F (3.115)

Um die nachfolgende Transformation auf Minimalkoordinaten zu vereinfachen ist es sinnvoll und übersichtlich die Gleichungen auf einen Satz natürlicher Koordinaten zu transformieren. Hierbei wird die Beschleunigung y durch die zweite Zeitableitung des Zustandsvektors auf Lageebene ausgedrückt. Dies wird erreicht, wenn Gleichung (3.114) zweimal nach der Zeit abgeleitet und i n Gleichung (3.115) eingesetzt wird. Hieraus folgt dann eine Transformati-onsvorschrift gemäß den Gleichungen (3.116) und (3.117). Mit den eingeführten Abkürzun-gen kann die Bewegungsgleichung zusammengefasst, in der Form von Gleichung (3.118) dargestellt werden. Erklärungsbedürftig ist hierbei die Berechnung des Terms H z

. Dieser wird jedoch in gleicher Weise berechnet wie der Term J q weiter unten in Gleichung (3.123). Deshalb sei auf diese Erklärung verwiesen. [1, p. 119]

( )T T Tz⋅ + = +H M H z H M H z H F F

(3.116)

( )

T T Tz

nzn n

⋅ = − +

FM F

H M H z H F M H z H F

(3.117)

n n nz⋅ = +M z F F (3.118)

Im ersten Schritt werden die Minimalkoordinaten im Vektor q zusammengefasst. Das Ermit-teln der Minimalkoordinaten kann bei einfachen Systemen durch eine empirische Untersu-chung der Systemeigenschaften erfolgen. Bei baumstrukturierten Systemen kann ausgenutzt werden, dass hier die Gelenk-Relativkoordinaten immer den M inimalkoordinaten entspre-chen. [1, p. 188]

Sind die Minimalkoordinaten gefunden, wird der Zustandsvektor auf Lageebene z in Abhän-gigkeit der Minimalkoordinaten q aufgestellt werden. Diese Größe wird sinnvollerweise mit

( )z q bezeichnet. Für die Transformation von Gleichung (3.118) auf Minimalkoordinaten wird eine Transformationsmatrix benötigt. Diese ergibt sich aus der partiellen Ableitung von ( )z q nach q (Gl.(3.119)). Sie wird deshalb als Jacobi-Matrix J bezeichnet. [1, p. 179 ff.]

( )∂

=∂z q

Jq

(3.119)

Die Gleichungen (3.120) und (3.121) liefern die Transformationsvorschrift für den Fall, dass die Minimalkoordinaten mit einem Koordinatensatz ausgedrückt werden. Besonders zu er-


wähnen ist, dass die Zwangskräfte Fnz bei der Projektion auf Minimalkoordinaten nach z.B. dem Prinzip von Jourdain in Gleichung (3.121) zu null werden. [1, p. 184]

( )T T Tn n n nz⋅ + = +J M J q J M J q J F F

(3.120)

( )

T T Tn n n nz

qzq q0

⋅ = − +

=M F

J M J q J F M J q J F

F

(3.121)

q q⋅ =M q F (3.122)

Die Bewegungsgleichung in Minimalkoordinaten lässt sich mit Gleichung (3.122) in verkürz-ter Form darstellen. Erklärungsbedürftig ist an dieser Stelle noch der Term J q . Es sei er-wähnt, dass die partielle Ableitung einer Matrix nach einem Vektor nicht zulässig ist. Die Ab-leitung muss also komponentenweise nach Gleichung (3.123) erfolgen. Für den Term J

wird die Kettenregel angewendet. Die Matrix wird nach jeder Komponente des Vektors q ab-geleitet und sofort wieder mit der zugehörigen Komponente der Zeitableitung q

multipliziert. Die so entstandenen Matrizen werden für die nq Komponenten von q aufsummiert. Hierdurch entsteht die Matrix J die anschließend mit dem gesamten Vektor q multipliziert wird. [1, p. 180 f.]

q

1

n

qq=

∂= ∂

∑

J

JJ q q

J

(3.123)

In dieser Arbeit wird ein speziell auf die Problemstellung zugeschnittener Formalismus für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten verwendet. Er wird in Kapi-tel 4.3 hergeleitet und erklärt. Dieser Formalismus enthält Aspekte der in diesem Kapitel be-schriebenen Methoden. Die Erklärungen in diesem Kapitel werden bewusst kurz und allge-mein gehalten, da die einzelnen Arbeitsschritte in Kapitel 4 bei der Anwendung beschrieben werden.

Abschließend wird der Freiheitsgrad eines gebundenen elastischen Mehrkörpersystems er-läutert. Es wird hierbei speziell auf ein baumstrukturiertes System ohne Schleifenschlüsse eingegangen. Dies entspricht der geplanten Topologie für das EMKS-Programm welches in dieser Arbeit erstellt wird (Kap. 2). Die Freiheitsgrade fk,u ergeben sich gemäß Gleichung (3.31). Der Freiheitsgrad des ungebundenen Gesamtsystems fu ergibt sich aus der Summe der Freiheitsgrade aller Einzelkörper fk,u gemäß Gleichung (3.124).

K

u u1

n

kk

f f=

= ∑ (3.124)

Der Freiheitsgrad des gebundenen Mehrkörpersystems in Minimalkoordinaten ergibt sich bei einem baumstrukturierten System gemäß Gleichung (3.125). Hierin ergeben sich die Frei-


heitsgrade des gebundenen Einzelkörpers aus der Differenz von fk,u und wk. Die Variable wk entspricht der Wertigkeit des Gelenks, welches den jeweiligen Blattkörper mit seinem Vor-gänger verbindet. Bei einem Wurzelkörper handelt es sich um das Gelenk welches diesen mit dem Inertialsystem verbindet.

K

u1

n

k kk

f f w=

= −∑ (3.125)

Gleichung (3.118) besteht aus fu skalaren Einzelgleichungen. Deshalb hat auch z die Länge fu. Das System besitzt jedoch nur f Minimalkoordinaten q, es gilt nq=f. Mit Gleichung (3.119) wird deutlich, dass J die Dimension [ fu x f ] besitzt. Bei der Transformation auf Minimalkoor-dinaten (Gl(3.120)) wird das Gleichungssystem aus Gleichung (3.118) also von fu auf f Glei-chungen reduziert. Es handelt sich hierbei um die f Gleichungen die notwendig sind um das gebundene Mehrkörpersystem eindeutig zu beschreiben. [3]

3.6 Daten von elastischen Körpern Die bisher in diesem Kapitel hergeleiteten Gleichungen enthalten an vielen Stellen Daten, die den elastischen Körper beschreiben. Im vorliegenden Fall handelt es sich hierbei primär um reduzierte FE-Modelle aus MORPACK. Für die Beschreibung reduzierter FE-Modelle werden [11, p. 343 ff.] bzw. [18] und [19] Standardeingabedaten vorgeschlagen. Diese als SID7 be-zeichneten Datensätze haben das Ziel, die Beschreibung reduzierter FE-Modelle zu stan-dardisieren und die Implementierung zu erleichtern (Kap. 6).

MORPACK ist in der Lage, die Daten reduzierter FE-Modelle im SID-Format auszugeben. In Kapitel 3.3 werden Variablen aus dem SID-Format teilweise schon für die vereinfachte Dar-stellung genutzt. In diesem Kapitel werden die Gleichungen aus den vorhergehenden Kapi-teln mit den in MORPACK verfügbaren SID verknüpft. Dies geschieht im Hinblick auf die Im-plementierung in Kapitel 6. Wie in Kapitel 3.4 beschrieben, wird in dieser Arbeit ausschließ-lich das Buckens-System verwendet. Die hieraus resultierenden Vereinfachungen werden beim Zusammenstellen der Daten berücksichtigt.

Die Variablen werden zunächst in Tabelle 3-2 zusammengestellt und kurz beschrieben. Die Bezeichnung der Variablen8 entspricht dabei den g eplanten Bezeichnungen bei Ausgabe aus MORPACK. Anschließend werden einige weiterführende Erklärungen zu den Variablen gegeben. Die Anzahl der Masterknoten wird hierbei mit nMK bezeichnet, ne gibt die Anzahl der elastischen Freiheitsgrade an.

Die Variable mRK gibt die materiellen Koordinaten der Masterknoten gegenüber dem körper-festen Bezugssystem an. Sie wird gemäß den Ausführungen in Kapitel 3.2.4 zur Definition von Rand- und Koppelbedingungen in den Masterknoten benötigt, die als Schnittstellenkno-ten verwendet werden. Hierfür werden die in Kapitel 3.2.4 hergeleiteten Gleichungen ver-

7 SID: Standard Input Data 8 MATLAB-Variablen werden in dieser Arbeit mit der Schriftart Courier New dargestellt.


wendet. Das gleiche gilt für die Variablen mPHI0 und mPSI0. Bei der Ausgabe aus MOR-PACK besitzen die Masterknoten eine Knotennummer i. Bei der Modelldefinition werden die Rand- und Koppelbedingungen über die Knotennummer i dem entsprechenden Masterkno-ten zugeordnet. Für die Gleichungen aus Kapitel 3.2.4 gilt dann N=i.

Tabelle 3-2 Zusammenstellung der für das EMKS-Programm benötigten Daten im SID-Format

Variable Beschreibung

mRK Materielle Koordinate iR

der Masterknoten bezüglich des Körperbezugssys-tems. Die Dimension ist [nMK x 3]. Die Zeile i enthält iR

des Masterknotens i.

mPhi0 Ansatzfunktionen iΦ bezogen auf die Masterknoten i. Die Dimension ist

e MK[3x x ]n n . Es gilt: iΦ = mPhi0(:,:,i).

mPsi0 Ansatzfunktionen iΨ bezogen auf die Masterknoten i. Die Dimension ist

e MK[3x x ]n n . Es gilt: iΨ = mPsi0(:,:,i).

dM Masse mk des Referenzkörpers aus Gleichung (3.66) bzw. Mtt aus (3.65).

mI0 Konstanter Anteil I0 des Trägheitstensors I aus Gleichung (3.72) bzw. Mrr aus (3.65).

mC4 Variable C4, die gemäß der Gleichungen (3.73) und (3.74) für die Berechnung von I1 aus (3.72) und gemäß (3.130) für die Berechnung von Gr

benötigt wird.

mMe Massenmatrix Mee aus Gleichung (3.65), die gemäß Gleichung (3.79) berech-net wird.

mKe Steifigkeitsmatrix Ke aus Gleichung (3.84).

mDe Dämpfungsmatrix De aus Gleichung (3.84).

mKr Variable Kr, die gemäß Gleichung (3.78) zur Berechnung von Cr1 benötigt wird.

mOe0 Variable Oe0 zur Berechnung von Oe aus Gleichung (3.83) gemäß Gleichung (3.126).

mKomega Variable ωK zur Berechnung von Oe aus Gleichung (3.83) gemäß den Glei-chungen (3.127) und (3.128).

Diese drei Variablen und der Trägheitstensor I beziehen sich auf das körperfeste Bezugs-system { , }k keO . Von MORPACK werden sie in dem Koordinatensystem ausgege-ben, welches im FE-Programm verwendet wurde, also FE FE{ , }eO (Kap. 3.4). Mit den in Kapitel 4 aufgestellten Bewegungsgleichungen entspricht hierdurch die Ausgangs-lage des elastischen Körpers im EMKS-Programm, der Lage des FE-Modells im FE-


Programm. Diese Aussage gilt selbstverständlich nur, wenn die Anfangsbedingungen für die Lage null sind.

Die anfängliche Orientierung des verwendeten Buckens-Systems ist durch die Orientierung von FE FE{ , }eO beliebig wählbar. Bezüglich der Lage besteht jedoch die Forderung, dass { , }k keO im Schwerpunkt liegt (Kap. 3.4). Dies gilt selbstverständlich auch für die Ausgangs-lage, weshalb auch FE FE{ , }eO immer im Schwerpunkt liegen muss. Ansonsten liefert das EMKS-Programm falsche Ergebnisse. In MORPACK wird im Zuge der Implementierung eine Option vorgesehen, mit der FE FE{ , }eO von einer beliebigen Lage in den Schwerpunkt ver-schoben werden kann (Kap. 6 und 7).

Die Variable Oe aus Gleichung (3.83) ergibt sich gemäß Gleichung (3.126) aus einem kon-stanten Anteil Oe0 und einem linear von qe abhängigen Anteil Oe1. Die Variable mOe0 ent-spricht hierbei dem konstanten Anteil. [11, p. 340]

0 1e e e= +O O O (3.126)

Die Matrix Oe1 wird aus der Variable mKomega gemäß Gleichung (3.127) berechnet. Zu be-achten ist hierbei das Ausgabeformat von MORPACK. [11, p. 341]

( ) ( ) ( )( )T T Tω11 e ω22 e ω33 e ω12 ω12 e ω23 ω23 e ω31 ω31 e= + + +e1O K q K q K q K K q K K q K K q (3.127)

( ) ( ) ( )T T Tω ω11 ω22 ω33 ω12 ω12 ω23 ω23 ω31 ω31

= + + + K K K K K K K K K K (3.128)

Die Variable mKomega entspricht einer [ ne x ne x 6 ]-Matrix, die die sechs erforderlichen Mat-rizen direkt in der passenden Darstellung enthält (Gl.(3.128)). Diese werden noch mit qe mul-tipliziert und anschließend direkt in Oe1 eingefügt. Für die Berechnung der einzelnen Anteile von Gleichung (3.128) wird auf [11, p. 341] verwiesen. Der Zugriff auf z.B. ω22K erfolgt in MATLAB mit dem Befehl

ω22K = mKomega(:,:,2).

Die Summe des Produkts aus Ge

und eq

über alle elastischen Koordinaten in Gleichung (3.83) lässt sich in einem Rechenschritt mit Hilfe der Variablen mKr berechnen. Das Ergebnis ist eine [ ne x 3 ]-Matrix, die anschließend noch mit Ik kω multipliziert wird. Die Variable mKR ist hierbei eine [ ne x 3 x 3 ]-Matrix. Es gilt Kri = mKR(:,:,i) (Kap. 6). [11, p. 340]

( )e e r1 e r2 e r2 e1

2en

q=

=∑G K q K q K q

(3.129)

Die Variable mC4 ist eine [ 3 x 3 x ne ]-Matrix. Die Größe Gr

berechnet sich aus mC4 gemäß Gleichung (3.130). Hierbei ist zu beachten, dass gilt C4=mC4(:,:,l) (Kap. 6).

r 2 4= −G C

(3.130)


Im Vergleich zu Gleichung (6.403) aus [11, p. 339] entfällt in Gleichung (3.130) der aus C6 resultierende Term. Nach Tabelle 6.9 aus [11, p. 346] entfällt dieser Term bei einer Lineari-sierung für kleine Deformationen.

4 Bewegungsgleichungen und EMKS Formalismus für zwei beliebig gekoppelte Körper 52

4 Bewegungsgleichungen und EMKS Formalismus für zwei beliebig gekoppelte Körper

In Kapitel 2 wird die Topologie des EMKS-Programms festgelegt. In Kapitel 3 werden die theoretischen Grundlagen der elastischen Mehrkörpersysteme hergeleitet. Elastische Ver-bindungselemente und externe Lasten sind in den Bewegungsgleichungen einfach zu be-rücksichtigen. Das Anbinden mehrerer starrer Blattkörper an den elastischen Wurzelkörper erfordert nur eine Wiederholung der Arbeitsschritte für den ersten starren Blattkörper.

Die wesentliche Herausforderung steckt im Aufstellen der Bewegungsgleichungen für belie-big gebundene Körper in Minimalkoordinaten. In diesem Kapitel wird sich zunächst diesem Thema gewidmet. Dazu wird die in Kapitel 2.2 entwickelte Topologie (Bild 2-5, Seite 11) in Kapitel 4.1 zunächst vereinfacht und dann konkretisiert. In Kapitel 4.2 werden die Bewe-gungsgleichungen des gebundenen Systems, in einem Satz redundanter natürlicher Koordi-naten aufgestellt (siehe Kapitel 3.5).

Anschließend wird in Kapitel 4.3 zuerst ein Formalismus zur Transformation der Bewe-gungsgleichungen auf Minimalkoordinaten vorgestellt. Nachfolgend werden die für die Trans-formation erforderlichen Vektoren und Matrizen hergeleitet (siehe Kapitel 3.5).

In Kapitel 5 werden die Bewegungsgleichungen für die in Kapitel 2.2 festgelegte Topologie erweitert. In Kapitel 6.3 werden die Bewegungsgleichungen und For malismen in MATLAB implementiert.

4.1 Modellbildung Die Berücksichtigung der kinematischen Bindungen stellt zunächst die wesentliche Heraus-forderung beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen dar. Deshalb werden elastische Ver-bindungselemente und ex terne Lasten in diesem Kapitel nicht berücksichtigt. Die Bewe-gungsgleichungen lassen sich später einfach erweitern. Hierbei verändert sich die Glei-chungsstruktur nicht. Zusätzlich wird auf eine beliebige Anzahl starrer Blattkörper verzichtet. Die Bewegungsgleichung wird in diesem Kapitel für einen starren Blattkörper hergeleitet. Mehrere Blattkörper werden angebunden, indem die Arbeitsschritte für den ersten Blattkör-per in einer Schleife wiederholt werden. Diese Option wird in den Kapiteln 5 und 6.3 behan-delt. Werden diese Vereinfachungen in den Topologieplan (Bild 2-5, Seite 11) eingearbeitet, ergibt sich der vereinfachte Topologieplan (Bild 4-1).

Bei der vorliegenden Topologie handelt es sich um ein baumstrukturiertes Mehrkörpersystem ohne Schleifenschluss. Es besteht aus einem Wurzelkörper und einem Blattkörper. Körper 0 wird elastisch modelliert und ist der Wurzelkörper. Er wird in einem beliebigen Masterknoten durch ein Gelenk mit dem Inertialsystem verbunden. Dieser Masterknoten wird nachfolgend als Knoten A bezeichnet. Das zugehörige Gelenk wird als Gelenk IA bezeichnet. Körper 1 ist der starre Blattkörper.


Ein Gelenk verbindet einen beliebigen Masterknoten von Körper 0 mit einem beliebigen An-bindungspunkt auf Körper 1. Dieser Masterknoten von Körper 0 wird nachfolgend als Knoten B bezeichnet. Der Anbindungspunkt auf Körper 1 wird als Punkt C bezeichnet. Das zugehö-rige Gelenk wird als Gelenk BC bezeichnet. Jedes Gelenk hat zunächst drei translatorische und drei rotatorische Gelenkkoordinaten. Diese sechs Gelenkkoordinaten müssen durch den Anwender unabhängig voneinander blockiert werden können (Kapitel 2.2). In Kapitel 4.3 wird ein Formalismus bereitgestellt, der diese Möglichkeit eröffnet. Als externe Last wird in die-sem System lediglich die Gewichtskraft der Körper berücksichtigt.

Bild 4-1 vereinfachte Topologie

Für die Herleitung der Bewegungsgleichungen wird der Topologieplan in eine mechanische Skizze überführt. Da die Gelenke beliebig sind, wird hier zunächst ein populärer Anwen-dungsfall skizziert: Das räumliche Doppelpendel. Um die Skizzen übersichtlicher zu gestal-ten, wird die Projektion in die x-y-Ebene verwendet.

Bild 4-2 zeigt die mechanische Skizze. Knoten A ist über ein Kugelgelenk (Gelenk IA) mit dem Inertialsystem I I{ , }eO verbunden. Punkt S0 stellt den Schwerpunkt von Körper 0 dar. In Kapitel 3.4 wird das Buckens-System als Körperbezugssystem gewählt. Deshalb entspricht der Schwerpunkt S0 auch dem Ursprung des Körperbezugssystems 0 0{ , }eO . Das Körperbe-zugssystem beschreibt Lage und Orientierung des nicht deformierten Referenzkörpers. Lage und Orientierung der Punkte A und B werden mit der Methode des bewegten Bezugssys-tems beschrieben (siehe Kapitel 3.2.4). Wichtig ist, dass die Orientierung von A A{ , }eO und

B B{ , }eO nicht gleich der Orientierung von 0 0{ , }eO ist, so wie es bei einem starren Körper der Fall wäre.

0 …6

Körper 0 (elastisch)

0 …6

Körper 1

Körper 0 (elastisch)A

B1

Körper 1C1

g


Bild 4-2 mechanische Skizze

Der Schwerpunkt S1, des starren Körpers 1, legt letztlich seine Lage fest. Das in ihm liegen-de Bezugssystem 1 1{ , }eO gibt die Orientierung von Körper 1 an. Da es sich um einen star-ren Körper handelt, legt es auch die Orientierung des Anbindungspunktes C, also C C{ , }eO fest.

Nach dieser kurzen Vorstellung des Systems am Anwendungsfall „räumliches Doppelpendel“ werden nachfolgend in Kapitel 4.2 die Bewegungsgleichungen für natürliche Koordinaten hergeleitet.

4.2 Bewegungsgleichungen in einem Satz natürlicher Koordinaten Es werden zunächst die Bewegungsgleichungen und die kinematischen Differentialgleichun-gen der freien Einzelkörper aufgestellt. Dann folgt das Erweitern der Gleichungen für den gebundenen Körper. Abschließend werden die Bewegungsgleichungen in Deskriptorform zusammengesetzt und auf einen Koordinatensatz transformiert (siehe Kapitel 3.5).

Die in den nachfolgenden Gleichungen dieses Kapitels verwendeten Größen werden aus-führlich in Kapitel 3 erläutert. Für die in Kapitel 3 hergeleiteten Gleichungen gilt bei Körper 0 k = 0 und bei Körper 1 k = 1.

Bild 4-3 zeigt Körper 0, ungebunden im Raum bei der Wahl eines Buckens-Systems. Die Lage des Körperbezugssystems wird mit dem Vektor I0r vom Ursprung des Inertialsystems zum Punkt S0 beschrieben. Seine Orientierung ist durch die Drehmatrix AI0 gegeben. Für die Parametrisierung von AI0 werden Kardanwinkel verwendet (Kap. 3.2.1). Die drei Kardanwin-kel werden im Vektor αI0 zusammengefasst und beschreiben AI0 eindeutig nach Gleichung (3.2).

yI

xI

zI

xB

zB

z0

y0

x0

zA yA

xA

S0

z1

y1

x1

S1

yB

Gelenk IA

Gelenk BC


Bild 4-3 Körper 0 ungebunden im Raum

Die Entscheidung zwischen Kardan- und Eulerwinkeln wird primär vor dem Hintergrund der Vermeidung singulärer Lagen getroffen (Kap. 3.2.1). Da die Gelenkdefinitionen vom Nutzer festgelegt werden, ist in diesem Fall eine sinnvolle Entscheidung auf dieser Grundlage nicht möglich. Die Wahl von Kardanwinkeln ist zunächst willkürlich. Das Erreichen singulärer La-gen muss bei der Modelldefinition vom Nutzer vermieden werden. Eine andere Möglichkeit zum Vermeiden singulärer Lagen, wäre die Verwendung von Euler-Parametern. Jedoch ist die Implementierung von Euler-Parametern aufwendiger (Kap. 3.2.1). Aus diesem Grund wird hierauf zunächst verzichtet. Die Implementierung weiterer Beschreibungsformen für räumliche Drehungen könnte in nachfolgenden Arbeiten näher betrachtet werden (Kapitel 8).

Die Änderung von Lage und Orientierung des Knotens A durch die Deformationen, wird rela-tiv zu 0 0{ , }eO mit dem Vektor 0Ar und der Drehmatrix A0A angegeben. Gleiches gilt für Kno-ten B mit dem Vektor 0Br und der Drehmatrix A0B. Die Lage der Knoten A und B im Inertial-system, wird mit Gleichung (3.40) in Abhängigkeit von I0r und qe definiert. Die Drehmatrizen A0A und A0B werden gemäß den Gleichungen (3.9) und (3.47) bis (3.49) eindeutig durch die Kardanwinkel ϑA und ϑB und somit durch die elastischen Koordinaten qe beschrieben. Hier-bei gilt N=A für Knoten A und N=B für Knoten B.

Mit Hilfe dieser Definitionen sind Lage und Orientierung des Körperbezugssystems 0 0{ , }eO und der Knoten A und B eindeutig durch I0r , αI0 sowie die elastischen Koordinaten qe be-schrieben. Deshalb werden diese Größen gemäß Gleichung (4.1) im Zustandsvektor z1 zu-sammengefasst (siehe auch Kap. 3.2.3 Gl. (3.29)). Die Freiheitsgrade f0,u des ungebunde-nen Körpers 0 ergeben sich dann mit Gleichung (3.31).

I0

0 I0

e

r =

z αq

(4.1)

yI

xI

zI

xB

zB

z0

y0

x0

zA

yA xA

S0

yB

0 Au I I0r

0 0BR

0 Bu0 0AR 0 0Br

0 0Ar

A′

B′


Als Körperbezugssystem wird das Buckens-System verwendet (Kapitel 3.4). Die Bewe-gungsgleichung von Körper 0 ergibt sich gemäß Gleichung (3.99). Für die Festlegung des Buckens-Systems müssen noch die Bindungsgleichungen (3.109) bis (3.112) in Gleichung (3.99) eingearbeitet werden. Hieraus resultiert mit (4.2) die Bewegungsgleichung von Körper 0. Der Index 0 wird an den Stellen hinzugefügt, wo er zur Unterscheidung notwendig ist. Es gibt nur einen elastischen Körper. Deshalb ist die Unterscheidung der Daten, die nur beim elastischen Körper vorkommen, nicht notwendig.

0 1

T0 r1 I0 ω0 e0 g0

r1 e e

0 0

I

0

0

m aω

= + +

E 0 00 I C F F F0 C M q

FM y

. (4.2)

Durch die Wahl des Buckens-Systems ist die translatorische Bewegung entkoppelt von der rotatorischen Bewegung und den Deformationen. Es bietet sich an, die Vorteile einer ge-mischten Berechnung zu nutzen. Die translatorischen Größen werden in I I{ , }eO formuliert, alle restlichen Größen werden in 0 0{ , }eO formuliert.

Wegen der vereinfachten Topologie enthält der Vektor 0F nur die restlichen Trägheitskräfte

ω0F , die inneren Kräfte e0F und die Gewichtskräfte g0F . Sie ergeben sich mit den Forde-rungen für das Buckens-System aus den Gleichungen (3.83), (3.84) und (3.86).

ω0 r e 0 I0 0 I0 0 0 I01

e e 0 I0 e q01

e

e

n

n

q

q

ω ω ω

ω

=

=

= − +

+

∑

∑

0

F G I

G O ω

(4.3)

e0

e e e e

= − +

0F 0

K q D q (4.4)

0

g0 I

mg

=

EF 0

0 (4.5)

Zusammengefasst lässt sich die Bewegungsgleichung von Körper 0 in der Form:

0 0 0⋅ =M y F (4.6)

darstellen.


In Gleichung (4.6) ist 0y der Zustandsvektor auf Geschwindigkeitsebene. Der Zusammen-hang zwischen 0y und der Zeitableitung des Zustandsvektors auf Lageebene z0 ist über die kinematischen Differentialgleichungen von Körper 0 gegeben. Sie ergeben sich aus Glei-chung (3.32) mit k = 0 gemäß Gleichung (4.7). Mit Gleichung (3.34) ergeben sich die Größen y0 und H0 im Detail gemäß Gleichung (4.8). Die weiter oben für die Formulierung der einzel-nen Zeilen gewählten Bezugssysteme werden hierbei in Kapitel 3.2.3 schon berücksichtigt. Die Matrix HR,0 ergibt sich gemäß Gleichung (3.14) aus den Kardanwinkeln αI0.

0 0 0= ⋅y H z (4.7)

I 0 I I0

0 I0 R,0 I0

e e

0

v rω

= ⋅

E 0 00 H 0 α

q 0 0 E q

H

(4.8)

Bild 4-4 zeigt Körper 1 ungebunden im Raum. Seine Lage wird mit dem Vektor I1r vom Ur-sprung des Inertialsystems I I{ , }eO zum Schwerpunkt S1 beschrieben. In Analogie zu Körper 0 wird auch bei Körper 1 der Schwerpunkt als Ursprung des Körperbezugssystems 1 1{ , }eO gewählt. Die Orientierung von 1 1{ , }eO wird relativ zu Körper 0 durch die Drehmatrix A01 ge-geben. Die Angabe der Orientierung relativ zu Körper 0, erleichtert die nachfolgende Projek-tion auf Minimalkoordinaten (siehe Kapitel 4.3). Basierend auf den Ausführungen zur Wahl der Drehwinkel von Körper 0 werden auch bei Körper 1 Kardanwinkel verwendet. Die drei Kardanwinkel werden im Vektor α01 zusammengefasst und beschreiben A01 eindeutig nach Gleichung (3.2). Die Lage des Anbindungspunktes C wird durch den Vektor 1Cr beschrieben. Da es sich um einen starren Körper handelt ist 1Cr konstant.

Bild 4-4 Körper 1 ungebunden im Raum

Somit sind Lage und Orientierung von Körper 1 eindeutig durch I1r und α01 beschrieben. Deshalb werden diese Größen im Zustandsvektor z1 zusammengefasst (Gl.(4.9)). Der unge-bundene Körper 1 hat sechs Freiheitsgrade (Gl.(4.10)).

yI

xI

zI

C

z1

y1

x1S1

I I1r

1 C1r


I11

01

r =

z

α

(4.9)

1,u 6f = (4.10)

Die Bewegungsgleichung eines starren Körpers ergibt sich aus Gleichung (3.99), wenn die den Deformationen zugehörigen Zeilen und Spalten gestrichen werden. Zusätzlich entfällt der Vektor für die inneren Kräfte, wenn die elastischen Koordinaten und deren Zeitableitun-gen null sind. Die Koppelmatrizen Mrt entfallen, wenn der Schwerpunkt als Ursprung des Körperbezugssystems gewählt wird. Die Bezugssysteme für die Formulierung der translato-rischen und rotatorischen Größen werden äquivalent zu Körper 0 gewählt. Die Bewegungs-gleichung von Körper 1 ergibt sich gemäß Gleichung (4.11).

21

ω1 g1I11

11 1

I

1

amF F

Fy

ω

= +

E 00 I

M

(4.11)

Die Kräfte ω1F und g1F ergeben sich durch Streichen, der den Deformationen zugehörigen Zeile aus den Gleichungen (3.83) und (3.86). Zusätzlich werden aus der ersten und zweiten Zeile die Terme gestrichen, die den Deformationen zugehörig sind. Mit den G leichungen (4.12) und (4.13) ergeben sich die, aus der starren Mehrkörpersimulation bekannten Ausdrü-cke für die gyroskopischen Kräfte und die Gewichtskräfte.

ω22 2 2 2 2

Fω ω

= −

0I

(4.12)

2g2 0

mF g

=

E0

(4.13)

Zusammengefasst lässt sich die Bewegungsgleichung von Körper 1 in der Form:

1 1 1y F⋅ =M

(4.14)

darstellen.

Wie schon bei Körper 0 wird auch bei Körper 1 der Zusammenhang zwischen 1y und 1z über die kinematische Differentialgleichung gegeben (Gl. (3.32)). Mit k = 1 legt Gleichung (4.15) den, für die Berechnung notwendigen Zusammenhang zwischen den Gleichungen (4.9) und (4.14) fest.

1 1 1y = ⋅H z

(4.15)

Bei der Herleitung der Kinematikmatrix H1 muss die Angabe der Orientierung von Körper 1 relativ zu Körper 0 beachtet werden. Da die Kardanwinkel α01 in z1 (Gl.(4.9)) relativ zu Körper 1 gemessen werden, ergibt die standardmäßige Transformation mit der Matrix HR,k aus Glei-


chung (3.14) auch die Winkelgeschwindigkeit 1 01ω relativ zu Körper 0. Dieser Zusammen-hang wird in Gl. (4.16) dargestellt.

1 01 ,1 01Rω = ⋅H α (4.16)

I 11

1 I1

vy

ω

=

(4.17)

Der Vektor 1y aus Gleichung (4.17) enthält jedoch nach Gleichung (4.11) die Winkelge-schwindigkeit 1 I1ω , welche gegenüber dem Inertialsystem angegeben wird (Absolutbe-schleunigungen). Zur Berechnung von 1 I1ω wird zunächst die Orientierung von Körper 1 gegenüber dem Inertialsystem I I{ , }eO benötigt. Diese wird mit Gl. (4.18) als Hintereinan-derausführung der Drehungen von I I{ , }eO nach 0 0{ , }eO und 0 0{ , }eO nach 1 1{ , }eO defi-niert.

I1 I0 01= ⋅A A A (4.18)

TI I1 I1 I1ω = ⋅A A (4.19)

Nach Gleichung (3.12) ergibt sich der schiefsymmetrische Winkelgeschwindigkeitstensor

I I1ω gemäß Gleichung (4.19). Wird Gleichung (4.18) in (4.19) eingesetzt, ergibt sich nach Anwendung der Produktregel Gleichung (4.20) und nach einigen Umformungen Gleichung (4.21).

( ) T TI I1 I0 01 I0 01 01 I0ω = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅A A A A A A (4.20)

T T TI I1 I0 I0 I0 01 01 I0

I 1I0 01

ω

ω ω

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅A A A A A A

(4.21)

In Gleichung (4.21) lassen sich durch nochmaliges Ausnutzen von Gleichung (3.12) die Win-kelgeschwindigkeitstensoren I I0ω und 1 01ω identifizieren. Es ergibt sich Gleichung (4.22), worin der letzte Term mit Hilfe der Tensortransformation (siehe z.B. [3, p. 13]) in I 01ω umge-formt wird.

TI I1 I I0 I0 1 01 I0

01I

ω ω ω

ω

= + ⋅ ⋅A A

(4.22)

Somit ist gezeigt, dass der Winkelgeschwindigkeitstensor I I1ω sich als Summe der Tenso-ren I I0ω und I 01ω ergibt. Nach [3, p. 14] gilt der Zusammenhang (4.23) auch für die Win-kelgeschwindigkeitsvektoren.

I I1 I I0 I 01ω ω ω= + (4.23)


Um die gesuchte Winkelgeschwindigkeit 1 I1ω zu berechnen, muss Gleichung (4.23) in

1 1{ , }eO transformiert werden. Hierfür wird die Transponierte der in Gl. (4.18) definierten Drehmatrix AI1 verwendet, es ergibt sich Gleichung (4.24).

T T T1 I1 I1 I I1 I1 I I0 I1 I 01

011

ω ω ω ω

ω

= ⋅ = ⋅ + ⋅A A A

(4.24)

I I0 R,I I0ω = ⋅H α (4.25)

Die in Gleichung (4.24)enthaltene Winkelgeschwindigkeit I I0ω ergibt sich mit der Kinema-tikmatrix HR,I aus Gleichung (3.13) gemäß Gleichung (4.25). Der letzte Term von Gleichung (4.24) entspricht 011ω und wird in Gl. (4.16) schon mithilfe der Kinematikmatrix HR,1 definiert. Gleichung (4.26) definiert abschließend die Winkelgeschwindigkeit 1 I1ω in Abhängigkeit von αI0 und α01.

T1 I1 I1 R,I I0 R,1 01ω = ⋅ ⋅ + ⋅A H α H α (4.26)

So wird deutlich, dass Gleichung (4.26) nicht nur von α01 bzw. z1 abhängt, sondern auch von αI0 bzw. z0. Für die Berechnung von y1 in den kinematischen Differentialgleichungen wird deshalb zusätzlich zu z1 auch z0 benötigt.

Beim abschließenden Zusammensetzen der Bewegungsgleichungen in Deskriptorform (sie-he Kapitel 3.5) wird der Vektor z nach Gleichung (4.27) aus den Vektoren z0 und z1 zusam-mengesetzt. Er entspricht dem Zustandsvektor auf Lageebene des Mehrkörpersystems aus Körper 0 und Körper 1 (Gesamtsystem) und hat die Länge fu (Gl.(4.34)).

I I0

I00

e1

I I1

01

r

r

= =

αz

z qz

α

(4.27)

1 1y = ⋅H z

(4.28)

Gleichung (4.15) wird dahingehend erweitert, dass 1y aus dem Produkt von 1H und z be-rechnet wird. So stehen z0 und z1 für die Berechnung von 1y zur Verfügung. 1H hat die Di-mensionen [6 x (12+ne)] bzw. [ f2,u x fu ]. Gleichung (4.29) entspricht der Aufteilung von (4.28) nach translatorischem und r otatorischem Anteil. Die Matrix 1H entsteht nach Glei-chung (4.29) unter Berücksichtigung von Gleichung (4.26) durch Einfügen der zugehörigen Teilmatrizen in 1H .


I I0

I0I 1 3x3 3x3 3x3 3x3 3x3

T e1 I1 3x3 I1 R,I 3x3 3x3 R,1

I I1

1 01

r

v

rω

= ⋅ ⋅

α0 0 0 E 0q0 A H 0 0 H

H α

(4.29)

Wegen I 1 I I0v r= ist in der ersten Zeile von Gleichung (4.29) keine Transformation erforder-lich. Es wird lediglich eine Einheitsmatrix in die zugehörige vierte Spalte eingefügt. Die zwei-te Zeile wird derart aufgebaut, dass sich nach der Multiplikation mit z Gleichung (4.26) ergibt. Die Indizes der Null- und Einheitsmatrizen geben deren Dimension an.

Aus den Bewegungsgleichungen der ungebundenen Körper ergeben sich die Bewegungs-gleichungen der gebundenen Körper durch Hinzufügen der jeweiligen Zwangskräfte z0F und

z1F

. Sie berücksichtigen die Kräfte welche infolge der Bindungen auf den Bezugspunkt wir-ken (Kap. 3.5). Die Zwangskräfte werden an dieser Stelle nicht näher betrachtet. Sie werden bei der in Kapitel 4.3 durchgeführten Projektion auf Minimalkoordinaten ohnehin null. Die Bewegungsgleichungen der gebundenen Körper ergeben sich somit durch Erweitern der Gleichung (4.6) um z0F für Körper 0 nach Gleichung (4.30). Für Körper 1 wird Gleichung (4.14) um z1F

erweitert, es folgt Gleichung (4.31).

0 0 0 z0⋅ = +M y F F (4.30)

1 1 1 z1y F F⋅ = +M

(4.31)

Abschließend werden die Gleichungen (4.30) und (4.31) nach dem in Kapitel 3.5 vorgestell-ten Formalismus in Deskriptorform zusammengesetzt. Gl. (4.32) zeigt die zusammengesetz-ten Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems. Sie werden in Gl. (4.33) noch weiter zu-sammengefasst. Der Freiheitsgrad des ungebundenen Gesamtsystems fu ergibt sich mit Gleichung (3.124) gemäß Gleichung (4.34). Wobei sich f0,u und f1,u aus den Gleichungen (3.31) und (4.10) ergeben.

0 0 0 z0

1 1 1 z1y F F

= +

M 0 y F F0 M

(4.32)

z= +M y F F (4.33)

u 0,u 1,u e12f f f n= + = + (4.34)

Auch die kinematischen Differentialgleichungen (4.7) und (4.28) werden in Deskriptorform zusammengefasst. Gleichung (4.35) zeigt die zusammengesetzten kinematischen Differenti-algleichungen des Gesamtsystems. Da die erste Zeile nicht von 2z abhängt, muss an der entsprechenden Stelle eine Nullmatrix eingefügt werden. In Gleichung (4.36) werden die kinematischen Differentialgleichungen zusammengefasst.


1 1 3x6 1

2 2 2y H

= ⋅

y H 0 zz

(4.35)

= ⋅y H z (4.36)

Die Herleitungen in Kapitel 4.3 vereinfachen sich, wenn bei der Beschreibung der natürlichen Koordinaten nur der Koordinatensatz z verwendet wird (Kap. 3.5). Die notwendige Transfor-mation erfolgt so in zwei Schritten. Es wird zunächst (in diesem Kapitel) auf den Koordina-tensatz z transformiert. In Kapitel 4.3 wird dann auf die Minimalkoordinaten q projeziert.

Wird die Transformationsvorschrift gemäß der Gleichungen (3.116) bis (3.118) auf Gl. (4.33) angewendet, ergibt sich Gleichung (4.37). Um Gleichung (4.37) in die gleiche Form wie Gl. (4.33) zu bringen, wird sie zunächst zu Gleichung (4.38) umgeformt. Die Matrix Mn ergibt die transformierte und zustandsabhängige Massenmatrix. Der Vektor Fn ergibt die transformierte rechte Seite der Gleichung. Er enthält den Term H z

, dessen Berechnung in Kapitel 3.5 erläutert wird. Die Definition von H z

erfolgt im MATLAB-Skript EMKSv06_FCN (siehe Daten-CD). Der Vektor Fnz entspricht den transformierten Zwangskräften.

( )T T Tz⋅ + = +H M H z H M H z H F F

(4.37)

( )

T T Tz

nzn n

⋅ = − +

FM F

H M H z H F M H z H F

(4.38)

n n nz⋅ = +M z F F (4.39)

Gleichung (4.39) zeigt abschließend die Bewegungsgleichung des gebundenen Gesamtsys-tems. Sie enthält noch die unbekannten Zwangskräfte Fnz, welche eine Lösung des Glei-chungssystems als DAE-System erfordern (Kap. 3.5). Eine Möglichkeit, die Zwangskräfte zu eliminieren ist die Projektion auf Minimalkoordinaten, die in Kapitel 4.3 vorgenommen wird. Wird die Bewegungsgleichung in Minimalkoordinaten dargestellt, werden die Zwangskräfte automatisch null. Die Bewegungsgleichung kann als ODE-System gelöst werden (Kap. 3.5).

Die in den G leichungen dieses Kapitels enthaltenen Daten bzw. Eigenschaften des elasti-schen Körpers werden nach der Implementierung in MATLAB (Kap. 6) durch MORPACK (Kap. 2) bereitgestellt. Die hierfür erforderlichen Zusammenhänge werden in Kapitel 3.6 be-schrieben.

4.3 Transformation auf Minimalkoordinaten In diesem Kapitel wird ein Formalismus für die Transformation auf Minimalkoordinaten be-reitgestellt. Hierfür wird der Formalismus in Kapitel 4.3.1 zunächst vorgestellt. In Kapitel 4.3.2 werden dann die Vektoren und Matrizen hergeleitet, welche für die Transformation benötigt werden.


4.3.1 Formalismus

Gleichung (4.39) aus Kapitel 4.2 stellt die Bewegungsgleichungen des gebundenen Gesamt-systems bereit. Ziel ist es, in diesem Kapitel einen Formalismus bereitzustellen mit dem Gleichung (4.39) auf einen Satz von geeigneten Minimalkoordinaten q transformiert wird. Hierdurch werden die Zwangskräfte Fnz aus Gleichung (4.39) zu null. Das Gleichungssystem ist dann in MATLAB als ODE-System (Kap. 3.5). Zusätzlich zum Festlegen des Formalismus werden die entsprechenden Vektoren und Matrizen benötigt um den Formalismus in MAT-LAB zu implementieren.

In Kapitel 2.2 wird gefordert, dass diese Gelenkfreiheitsgrade unabhängig voneinander blo-ckiert werden können. Weitere Forderungen bzgl. der kinematischen Bindungen werden nicht gestellt. Somit sind alle Bindungen geometrisch, das System ist holonom. Die Minimal-geschwindigkeiten sind gleich der Zeitableitung der Minimalkoordinaten. Gemäß Kapitel 3.5 werden für die Transformation auf Minimalkoordinaten die in Tabelle 4-1 zusammengestell-ten Größen benötigt.

Tabelle 4-1 Erforderliche Größen für die Transformation auf Minimalkoordinaten

Formelzeichen Bezeichnung

q Vektor der Minimalkoordinaten

z(q) Vektor z in Abhängigkeit von den Minimalkoordinaten q

J Jacobi-Matrix

J q Produkt von Zeitableitung der Jacobi-Matrix mit der Mini-malgeschwindigkeit q

Für die Transformation von Gleichung (4.39) müssen die Minimalkoordinaten zunächst be-kannt sein. Die Minimalkoordinaten q folgen direkt aus der Definition der Gelenke, welche wiederum von den Einstellungen des Nutzers abhängen. Der Formalismus muss den Vektor der Minimalkoordinaten q und die von ihm abhängigen Größen (siehe Tabelle 4-1) automa-tisch in Abhängigkeit von den Einstellungen des Nutzers aufbauen.

Für das automatische Festlegen der Minimalkoordinaten gibt es in der Mehrkörpersimulation unterschiedliche etablierte Formalismen (Kap. 3.5). Bei dem in dieser Arbeit behandelten System handelt es sich um ein baumstrukturiertes System ohne S chleifenschluss. Hierfür bietet sich grundsätzlich ein rekursiver Algorithmus an. (Siehe auch Kap. 3.5.)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich primär mit der Einbindung reduzierter FE-Modelle in Mehrkörpersysteme. Der Formalismus zum Aufbau der Bewegungsgleichungen bei ver-schiedenen Gelenkdefinitionen ist zunächst nur eine sekundäre Aufgabe. Aus diesem Grund ist es an dieser Stelle das Ziel, einen einfachen und übersichtlichen Formalismus zu erstel-len, der leicht zu debuggen ist. Es geht nicht darum, den numerisch effizientesten oder ele-


gantesten Formalismus zu finden. Deshalb wird darauf verzichtet einen rekursiven Algorith-mus im Zusammenhang mit der Einbindung reduzierter FE-Modelle zu verwenden.

Aufbauend auf dem in dieser Arbeit erstellten EMKS-Programm können in einer nachfolgen-den Arbeit andere Formalismen erprobt werden (Kap. 8). Die Effizienz der unterschiedlichen Algorithmen kann dadurch beurteilt werden. Zusätzlich kann das Spektrum der möglichen Topologien im EMKS-Programm durch andere Formalismen erweitert werden (anhängen eines dritten Blattkörpers, mehrere elastische Körper, Schleifenschlüsse usw.).

In dieser Arbeit wird ein von den etablierten Vorschlägen abweichender Formalismus ver-wendet. Inspiriert durch den rekursiven Algorithmus werden die Gelenk-Relativkoordinaten (Gelenkfreiheitsgrade) als Minimalkoordinaten verwendet. In Kapitel 3.5 wird erläutert, dass die Gelenkfreiheitsgrade bei einem baumstrukturierten Mehrkörpersystem automatisch die Minimalkoordinaten sind.

Die Gelenke 0A und BC besitzen, im ungebundenen Zustand, je sechs Gelenkkoordinaten (Bild 4-1). Alle Gelenkkoordinaten, die vom Nutzer blockiert werden, werden zu null. Die Mi-nimalkoordinaten entsprechen somit der Menge aller Gelenkkoordinaten, abzüglich der Ge-lenkkoordinaten, die vom Nutzer null gesetzt werden. So bietet sich folgendes Vorgehen für die Bestimmung der Minimalkoordinaten q an. Es wird zunächst ein Vektor ϕ aufgebaut, der die zwölf ungebundenen Gelenkkoordinaten sowie die elastischen Koordinaten qe enthält (Gl.(4.41)). Die elastischen Koordinaten qe sind immer Minimalkoordinaten. Anschließend werden die vom Nutzer blockierten Gelenkkoordinaten in ϕ null gesetzt. Jedoch besitzt der Vektor so noch zu viele Zeilen.

Der Vektor ϕ hat die Länge fu, was den Fr eiheitsgraden des ungebundenen Systems ent-spricht. Die Freiheitsgrade f des gebundenen Gesamtsystems entsprechen der Anzahl der Minimalkoordinaten nq und somit der Länge des Vektors q (Kap. 3.5). Die Freiheitsgrade f des gebundenen Systems ergeben sich nach Gleichung (3.125) aus den Freiheitsgraden des ungebundenen Systems fu, abzüglich der Wertigkeiten der Gelenke wIA und wBC gemäß Gleichung (4.40). Für die eindeutige Beschreibung des Gesamtsystems werden f Gleichun-gen benötigt.

e IA BC12f n w w= + − − (4.40)

Der Vektor ϕ muss also noch von der Länge fu auf die Länge nq gekürzt werden. Durch Streichen der nullgesetzten Zeilen geht der Vektor ϕ in den Vektor der Minimalkoordinaten q über, er hat jetzt die Länge nq.

Nachdem ein Formalismus für den Aufbau von q somit gefunden ist, müssen nachfolgend noch die restlichen Größen aus Tabelle 4-1 aufgebaut werden. Hierfür werden die Größen z(ϕ), Jϕ und ϕJ ϕ

zunächst bzgl. des Koordinatensatzes ϕ aufgebaut. Die Dimensionen von z(q) und J q sind unabhängig von der Anzahl der Minimalkoordinaten. Daraus folgt, dass in diesen Vektoren nur die blockierten Gelenkfreiheitsgrade null gesetzt werden.

Wie in Kapitel 3.5 beschrieben, wird durch die Transformation mit der Jacobi-Matrix J das Gleichungssystem mit fu Gleichungen auf ein Gleichungssystem mit nq Gleichungen trans-


formiert. Die Jacobi-Matrix muss hierfür die Dimensionen [ fu x nq ] besitzen. Die Matrix Jϕ besitzt jedoch die Dimensionen [ fu x fu ]. Aus Gleichung (3.119) folgt, dass das Streichen von Zeilen aus ϕ auch das Streichen der zugehörigen von Spalten aus Jϕ erfordert. Die Mat-rix J entsteht also aus Jϕ einerseits durch Nullsetzen der gesperrten Gelenkfreiheitsgrade, andererseits durch Streichen der den gesperrten Gelenkfreiheitsgraden zugehörigen Spal-ten.

Im Detail werden für den Formalismus folgende Arbeitsschritte vorgeschlagen:

a) Abfragen der Gelenkdefinition vom Nutzer. b) Die gesperrten Gelenkfreiheitsgrade werden nullgesetzt und aus ϕ gestrichen. Hie-

raus folgt der Vektor q mit der Länge nq. c) Aus der Jacobi-Matrix Jϕ werden die den gesperrten Gelenkfreiheitsgraden zugehöri-

gen Spalten gestrichen. d) Die gesperrten Gelenkfreiheitsgrade werden in z(ϕ), Jϕ und ϕJ ϕ

nullgesetzt. Hier-durch gehen sie über in z(q), J und J q .

e) J und J q werden genutzt, um die Bewegungsgleichung (4.39) mit den Gleichungen (3.120), (3.121) und (3.122) auf die Minimalkoordinaten q zu transformieren. Es ent-steht ein Gleichungssystem mit nq Gleichungen. Die Zwangskräfte entfallen aus Glei-chung (4.39). Es folgt Gleichung (4.82), die in MATLAB als ODE-System gelöst wird.

Auf die computerorientierte Umsetzung der Arbeitsschritte a) bis e) wird in Kapitel 6 einge-gangen. Im Anhang A.1 wird der Formalismus an einem einfachen Beispiel demonstriert.

4.3.2 Herleitung der notwendigen Vektoren und Matrizen

Die bisherigen Ausführungen dienten dem Festlegen und E rklären des Formalismus. Im zweiten Teil dieses Kapitels werden die Vektoren und Matrizen hergeleitet, die für die Im-plementierung in MATLAB (Kap. 6) benötigt werden. Es handelt sich hierbei um die Größen z(ϕ), Jϕ , und ϕJ ϕ

.

Zu Beginn der Ausführungen werden die in ϕ zusammengefassten Gelenkfreiheitsgrade nä-her beleuchtet. Sie sind in Gleichung (4.41) dargestellt.

I IA

IA

e

0 BC

BC

r

r

=

qα

ϕ

α

(4.41)

Die Gelenkfreiheitsgrade werden in Bild 4-5 dargestellt und nachfolgend erklärt. Auf die Dar-stellung der rotatorischen Gelenkkoordinaten wird zu Gunsten der Übersichtlichkeit verzich-tet. Die translatorischen Freiheitsgrade von Gelenk 0A werden mit den Komponenten des Vektors I IAr definiert. Er gibt die Lage des Punktes A gegenüber dem Inertialsystem

I I{ , }eO an. Wird z.B. die x-Komponente von I IAr null gesetzt, ist der Gelenkfreiheitsgrad in


x-Richtung blockiert. Der Vektor wird im Inertialsystem definiert. Hierdurch sind auch die translatorischen Gelenkfreiheitsgrade von Gelenk 0A im Inertialsystem definiert. Im Vektor αIA sind die drei Kardanwinkel zusammengefasst, die die Orientierung von Punkt A gegen-über dem Inertialsystem festlegen. Sie entsprechen den dr ei rotatorischen Gelenkfreiheits-graden des Gelenks 0A. Da es sich bei Körper 0 um einen elastischen Körper handelt, ist die Orientierung der Punkte A und B nicht gleich der Orientierung von 0 0{ , }eO . Hierauf wird später in diesem Kapitel eingegangen.

Äquivalent zu Gelenk 0A definiert 0 BCr die translatorischen und αBC die rotatorischen Frei-heitsgrade des Gelenks BC. Der Vektor 0 BCr wird in 0 0{ , }eO angegeben, so dass die trans-latorischen Freiheitsgrade sinnvoller Weise in 0 0{ , }eO definiert werden. Die Kardanwinkel in αBC definieren die Orientierung des Punktes C relativ zu Punkt B. Hierdurch sind die Kar-danwinkel zwischen den Punkten B und C als rotatorische Freiheitsgrade definiert. Sinnvoll-erweise wird so das Nullsetzen der Verdrehungen von Körper 1 relativ zu Körper 0 ermög-licht.

Für die Herleitung von z(ϕ) muss der Vektor z (Gl.(4.27)) in Abhängigkeit der generalisierten Koordinaten ϕ (Gl.(4.41)) ausgedrückt werden. Nachfolgend werden die Herleitungen sepa-rat für die einzelnen Zeilen von z durchgeführt.

Die erste Zeile von z entspricht dem Vektor I I0r , der den translatorischen Anteil von Körper 0 repräsentiert. In Bild 4-5 wird deutlich, dass sich der Vektor I I0 ( )r ϕ gemäß Gleichung (4.42) als Vektorkette von I IAr und 0 0Ar ergibt. Auf diese Weise wird die Abhängigkeit von ϕ be-rücksichtigt. Hierbei ist zu beachten, dass 0 0Ar in 0 0{ , }eO angeschrieben ist und m it der Drehmatrix AI0 ins Inertialsystem transformiert werden muss.

( )I I0 I IA I0 0 0Ar r r= − ⋅Aϕ (4.42)

Bild 4-5 Darstellung der Gelenkfreiheitsgrade

yI

xI

y

zI

xB zB

z0

y0

x0

zA

yA xA

z1

y1

x1

C

yB z

y

I I1r0 0Br

I IAr

I I0r0 0Ar

0 BCr1 C1r


Weiterhin ist die Abhängigkeit der Drehmatrix AI0 und der Vektors 0 0Ar von ϕ zu beachten. Die Drehbewegung von 0 0{ , }eO kann als Hintereinanderausführung der Drehbewegungen von A A{ , }eO gegenüber I I{ , }eO und 0 0{ , }eO relativ zu A A{ , }eO beschrieben werden. Da-raus folgt, dass AI0 von den Kardanwinkeln αIA und ϑA abhängt und als Produkt von AIA und

T0AA geschrieben werden muss. AIA hängt von den generalisierten Koordinaten αIA ab. A0A

hängt von ϑA ab und dadurch mit Gleichung (3.46) von den elastischen Koordinaten qe, die Bestandteil von ϕ sind. Mit Gleichung (3.40) zeigt sich, dass auch 0 0Ar von qe abhängt. Gleichung (4.43) zeigt diese Zusammenhänge.

( ) ( )TI I0 I IA IA IA 0A e 0 0A A e( ) ( )r r R q= − +A A q Φϕ α (4.43)

Die zweite Zeile von z entspricht dem Vektor αI0, der den rotatorischen Anteil von Körper 0 repräsentiert. Wie schon bei der Herleitung von I I0 ( )r ϕ beschrieben, hängt die Orientierung von 0 0{ , }eO gegenüber dem Inertialsystem von αIA und qe ab. In Gleichung (4.43) wird das hintereinander Ausführen der Drehungen durch Multiplizieren der Drehmatrizen ausgedrückt. Der Zusammenhang zwischen αI0, αIA und ϑA wird mit Gleichung (3.50) beschrieben. Mit Gleichung (3.46) wird der Zusammenhang zwischen ϑA und qe ausgedrückt. Hiermit ergeben sich die Drehwinkel αI0(ϕ) gemäß Gleichung (4.44).

( )I0 IA A e= −Ψ qα ϕ α (4.44)

Die dritte Zeile von z entspricht dem Vektor qe, der die elastischen Koordinaten von Körper 0 repräsentiert. Die elastischen Koordinaten sind immer auch Minimalkoordinaten und hängen von keiner der anderen Größen in ϕ ab. Deshalb wird qe unverändert in die dritte Zeile von z(ϕ) eingefügt.

Die vierte Zeile von z entspricht dem Vektor I I1r , der den translatorischen Anteil von Körper 1 repräsentiert. Äquivalent zu ( )I I0r ϕ wird ( )I I1r ϕ durch eine Vektorkette gebildet (Gl.(4.45)). Bild 4-5 stellt die Vektorkette grafisch dar.

( ) ( )I I1 I IA I0 0 0B 0 0A 0 BC I1 1 C1

0 AC

r r r r r r

r

= + − + + ⋅A Aϕ

(4.45)

Wie schon zuvor ist auch hier die Abhängigkeit der Drehmatrizen von den generalisierten Koordinaten ϕ zu beachten. Die Matrix AI0 wird äquivalent zu Gleichung (4.43) ausgedrückt. Die Drehmatrix AI1 setzt sich aus der Hintereinanderausführung der Drehungen von I I{ , }eO nach A A{ , }eO , von A A{ , }eO nach 0 0{ , }eO , von 0 0{ , }eO nach B B{ , }eO und von B B{ , }eO nach C C{ , }eO zusammen. Da die Drehmatrizen A0A und A0A für kleine Verdrehungen linea-risiert werden, ist es vorteilhaft sie gemäß Gleichung (3.11) in der Matrix AAB zusammenzu-fassen. Auf den Aufbau der Drehmatrizen A0A, A0A und AAB wird später in diesem Kapitel eingegangen. Die Abhängigkeit der Vektoren 0 0Ar und 0 0Br von qe wird durch Gleichung (3.40) ausgedrückt. Der Vektor I I1r ergibt sich nach Gleichung (4.46).


( ) ( )( )T

I I1 I IA IA IA 0A e 0 0B 0 0A B A e 0 BC

IA IA AB e B1 BC 1 C1

( ) ( ) ...

( ) ( ) ( )

r r R R q r

r

= + − + − +

+ ⋅

A A q Φ Φ

A A q A α

ϕ α

α (4.46)

Die fünfte Zeile von z entspricht dem Vektor α01, der den rotatorischen Anteil von Körper 1 repräsentiert. Äquivalent zur Herleitung von αI0(ϕ) ergibt sich α01(ϕ) mit den G leichungen (3.46) und (3.50) aus der Summe der Winkel αBC und ϑB. Der Vektor α01(ϕ) ergibt sich mit Gleichung (4.47).

( )01 BC B e= −Ψ qα ϕ α (4.47)

Der Vektor z(ϕ) ist durch die Gleichungen (4.43), (4.44), (4.46), (4.47) und die elastischen Koordinaten qe eindeutig beschrieben. Nachfolgend wird die Jacobi-Matrix Jϕ hergeleitet. Sie ergibt sich gemäß Gleichung (3.119) als partielle Ableitung des Vektors z(ϕ) nach ϕ. In Glei-chung (4.48) wird dieser Zusammenhang nochmal dargestellt.

( )

ϕ

∂=

∂z

Jϕ

ϕ (4.48)

Für die Berechnung von Jϕ ist es vorteilhaft die Struktur der Matrix in einer Tabelle darzustel-len. Tabelle 4-2 zeigt das Schema für die Berechnung der Jacobi-Matrix. Der grau hinterlegte Bereich stellt den Vektor z(ϕ) in vertikaler Richtung und den Vektor ϕ in horizontaler Rich-tung dar. So ist einfach zu erkennen, wie sich die Ableitungen in den einzelnen Zellen erge-ben. In den farblich hinterlegten Zellen von Jϕ steht die partielle Ableitung der zugehörigen Zeile von z(ϕ) nach der zugehörigen Spalte von ϕ. Für die Ableitungen nach αIA und αBC wird zusätzlich beachtet, dass eine Matrix nicht nach einem Vektor abgeleitet werden kann. Die Ableitung der Drehmatrizen nach den Kardanwinkeln erfolgt komponentenweise.

In den grün hinterlegten Bereichen hängen die entsprechenden Zeilen von z(ϕ) nicht von den zugehörigen Spalten von ϕ ab. Die Ableitungen sind deshalb Nullmatrizen 0 oder null. In den blau hinterlegten Bereichen werden in z(ϕ) enthaltene Vektoren nach sich selbst abgeleitet was zu einer Einheitsmatrix E mit der zugehörigen Dimension führt.

In den rot hinterlegten Bereichen ergeben sich Ableitungen, die formelmäßig einfach auszu-drücken sind. Da in diesen Bereichen nicht nach qe abgeleitet wird, werden die Ausdrücke, wie in den Gleichungen (4.42) und (4.45) durch die Vektoren 0 0Ar und 0 ACr komprimiert dargestellt. Der eingeklammerte Index, rechts oben an den Drehmatrizen, kennzeichnet den Kardanwinkel nach dem die Drehmatrix abgeleitet wird.

Bei der Ableitung der Drehmatrizen ist zu beachten, dass sich AI0 und AI1 gemäß den Glei-chungen (4.43) und (4.46) aus mehreren Drehmatrizen zusammensetzen. Bei den Ableitun-gen ist immer nur eine Matrix der Matrizenprodukte, von dem jeweiligen Kardanwinkel ab-hängig. Es wird also einfach die zugehörige Matrix abgeleitet. Die detaillierte Definition der Drehmatrizen ist in den MATLAB-Skripten im Ordner „MORPACK“ auf der Daten-CD nach-zuvollziehen.


Tabelle 4-2 Schema für die Herleitung der Jacobi-Matrix J

ϕT

z(ϕ) I IAr αIA β IA γ IA qe 0 BCr

αBC βBC γBC

I I0r E ( )IAI0 0 0Arα−A 1

( )IAI0 0 0Arβ−A

2 ( )IAI0 0 0Arγ−A

3 A 4

0 0 0 0

αI0 0 E ΨA 0 0 0 0

qe 0 0 0 0 E 0 0 0 0

I I1r E ( )

( )

IA

IA

I0 0 AC

I1 1 C1

r

r

α

α

+A

A5

( )

( )

IA

IA

I0 0 AC

I1 1 C1

r

r

β

β

+A

A6

( )

( )

IA

IA

I0 0 AC

I1 1 C1

r

r

γ

γ

+A

A7

B 8

I0A

9

( )BCI1 1 C1rαA

10

( )BCI1 1 C1rβA

11 ( )BCI1 1 C1rγA

12

α01 0 0 0 0 ΨB 0 E

Die gelb hinterlegten Bereiche mit der Kennzeichnung A und B werden nachfolgend abgelei-tet. In Bereich A wird der Vektor ( )I I0r ϕ nach qe abgeleitet. Um die Ableitung herzuleiten, wird die in ( )I I0r ϕ enthaltene und von qe abhängige Drehmatrix A0A näher betrachtet wer-den. Wie weiter oben b eschrieben, wird die Matrix A0A für kleine Drehungen linearisiert. Nach Gleichung (3.9) kann A0A dann in nachfolgender Form dargestellt werden (Gl.(4.49)).

0A x Ax y Ay z Az1 1 1ϑ ϑ ϑ= + + +A E A A A (4.49)

Kennzeichnend für diese Darstellung ist, dass sich die Drehmatrix aus der Summe von drei Anteilen bzgl. ϑAx, ϑAy und ϑAz und einer Einheitsmatrix ergibt. Die Terme können als Pro-dukt von Matrix und Drehwinkel dargestellt werden, was für die nachfolgenden Ableitungen von Vorteil ist. Das Transponieren von A0A führt nach Gleichung (3.10) zu einem Vorzei-chenwechsel gemäß Gleichung (4.50).

T0A x Ax y Ay z Az1 1 1ϑ ϑ ϑ= − − −A E A A A (4.50)

Beim Ableiten von ( )I I0r ϕ (Gl.(4.43)) nach qe verschwindet der Vektor I IAr , da er nicht von qe abhängt. Im zweiten Term von Gleichung (4.43) hängen sowohl AI0 als auch 0 0Ar von qe ab. Die Produktregel muss gemäß Gleichung (4.51) angewendet werden.

( ) ( ) ( )( )e eI I0

I0 0 0A I0 0 0Ae

rr r

∂= − ⋅ + ⋅

∂q qA A

qϕ

(4.51)

Das Berechnen des ersten Terms ist zunächst problematisch, da die Ableitung einer Matrix nach einem Vektor nicht zulässig ist. Die Ableitung müsste deshalb komponentenweise vor-genommen werden. Da die Länge ne des Vektors qe nicht konstant ist würde die Implemen-


tierung hierdurch verkompliziert. Jedoch ist das Produkt von AI0 und 0 0Ar ein Vektor, dessen Ableitung nach qe zulässig ist. Deshalb wird der Term zunächst umgeformt (Gl.(4.52)).

( )TI0 0 0A IA 0A 0 0A IA 0 0A x 0 0A Ax y 0 0A Ay z 0 0A Az1 1 1r r r r r rϑ ϑ ϑ⋅ = ⋅ = − − −A A A A E A A A (4.52)

Die Winkel ϑAx, ϑAy und ϑAz sind Skalare und werden deshalb ans Ende der jeweiligen Ter-me gestellt werden. Wird die Produktregel beachtet und nur AI0 abgeleitet, sind in Gleichung (4.52) sind nur noch die drei Winkel von qe abhängig. Die drei Komponenten von ϑA lassen sich mit den Gleichungen (3.47) bis (3.49) in Abhängigkeit von qe ausdrücken. Werden sie nach qe abgeleitet, bleiben jeweils die Zeilenvektoren ΨAx, ΨAy und ΨAz übrig. Sie entspre-chen der ersten, zweiten und dritten Zeile von ΨA. Obwohl der gesamte Ausdruck nach qe abgeleitet wird, wird trotzdem die Produktregel beachtet. Der Vektor 0 0Ar wird nicht nach qe abgeleitet. Die Ableitung ergibt sich nach Gleichung (4.53).

( ) ( )eI0 0 0A IA x 0 0A Ax y 0 0A Ay z 0 0A Az1 1 1r r r r⋅ = − + +qA A A Ψ A Ψ A Ψ (4.53)

Das Berechnen des zweiten Terms ist nach dem Einsetzen mit Gleichung (4.43) problemlos möglich (Gl.(4.54)). Abschließend werden die Gleichungen (4.53) und (4.54) in (4.51) einge-setzt. Das Ergebnis ergibt mit Gleichung (4.55) eine [3 x ne]-Matrix, was der Dimension der zugehörigen Zelle in der Jacobi-Matrix entspricht.

( ) ( )e0 0A 0 0A A e A

e

r R q∂= + =

∂q Φ Φ

q (4.54)

( ) ( )I I0 T

IA x 0 0A Ax y 0 0A Ay z 0 0A Az 0A Ae

1 1 1r

r r r∂

= + + −∂

A A Ψ A Ψ A Ψ A Φq

ϕ (4.55)

In Bereich B wird der Vektor ( )I I1r ϕ aus Gleichung (4.46) nach qe abgeleitet. Das Vorgehen hierbei ist äquivalent zu Bereich A, das Ergebnis wird in Gleichung (4.56) angegeben.

( ) ( )( )( )( )( )

e TI I1 IA 0A B A x 0 AC Ax y 0 AC Ay z 0 AC Az

IA x B1 1 C1 Bx Ax

IA y B1 1 C1 By Ay

IA z B1 1 C1 Bz Az

1 1 1 ...

1 ...

1 ...

1

r r r r

r

r

r

= − − − − +

− +

− +

−

q A A Φ Φ A Ψ A Ψ A Ψ

A A A Ψ Ψ

A A A Ψ Ψ

A A A Ψ Ψ

(4.56)

Im Zusammenhang mit der Herleitung von Gleichung (4.56) ist an dieser Stelle eine kurze Erklärung zum Aufbau der Drehmatrix AAB notwendig. Sie ergibt sich durch hintereinander ausführen der Drehungen von A A{ , }eO nach 0 0{ , }eO und von 0 0{ , }eO nach B B{ , }eO mit Gleichung (4.57). Nach Gleichung (3.11) führt die Multiplikation linearisierter Drehmatrizen zur Addition der Winkel. Die Drehmatrix AAB ergibt sich dann mit dem Vorzeichenwechsel gemäß Gleichung (3.10) nach Gleichung (4.58).

TAB 0A 0B= ⋅A A A (4.57)


( ) ( ) ( )AB x Bx Ax y By Ay z Bz Az1 1 1ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ= + − + − + −A E A A A (4.58)

Abschließend wird in diesem Kapitel der Vektor ϕJ ϕ

berechnet. Wie in Kapitel 3.5 beschrie-ben, gestaltet sich seine Herleitung besonders aufwendig. Das hängt einerseits mit der gro-ßen Anzahl an Ableitungen zusammen, andererseits muss an einigen Stellen komponenten-weise abgeleitet werden, da die Ableitung einer Matrix nach einem Vektor nicht zulässig ist. Für viele Ableitungen sind die Strukturen und Herleitungen jedoch sehr ähnlich. In diesem Kapitel wird ein allgemeiner Eindruck vermittelt und auf die Besonderheiten eingegangen. Im Detail ist der Vektor ϕJ ϕ

in den MATLAB-Skripten im Ordner „MORPACK“ auf der Daten-CD definiert. Die Ausführungen in diesem Kapitel sollen beim Nachvollziehen der Gleichun-gen helfen.

Die Berechnung erfolgt nach Gleichung (3.123) elementweise. Die Matrix Jϕ wird hierbei zu-nächst nach allen Komponenten ϕ

von ϕ abgeleitet und dann sofort mit der Zeitableitung q

der entsprechenden Komponente multipliziert. Die so entstandenen Teilmatrizen ϕJ

wer-den aufsummiert und so zu einer Matrix ϕJ zusammengefasst. Die gesamte Matrix ϕJ wird dann noch mit dem Vektor ϕ multipliziert. Die Zusammenhänge ergeben sich gemäß Glei-chung (4.59). An einigen Stellen kann das komponentenweise Ableiten durch Umformungen umgangen werden. Es wird dann direkt nach Teilvektoren von ϕ abgeleitet.

q

1

n

q

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ=

∂ = ∂

∑

J

JJ

J

ϕ ϕ

(4.59)

Im vorliegenden Fall ist der Großteil von Jϕ konstant oder null. Diese Terme werden bzw. bleiben beim nochmaligen Ableiten nach den Komponenten ϕ null. Alle Submatrizen, deren Ableitung verschieden von null ist, sind in Tabelle 4-2 mit einer Nummer von eins bis zwölf versehen. Dieser Nummer steht nachfolgend für die Submatrizen Jϕ,i mit i=1…12. Es wer-den zunächst alle Submatrizen ,iJϕ

von Gleichung (4.59) berechnet. Der hochgestellte Index repräsentiert hierbei die entsprechende Zeile von ϕ. In den na chfolgenden Herleitungen werden (zu Gunsten der Übersichtlichkeit) an dieser Stelle für die Formelzeichen der ent-sprechenden Komponenten verwendet. Keine der Submatrizen ,iJϕ

ist von I IAr abhängig. Somit werden alle Ableitungen nach diesem Vektor null, es gilt IArJϕ = 0 .

Die Ableitungen nach den Kardanwinkeln in αIA und αBC gestalten sich alle nach dem glei-chen Muster. Alle Submatrizen Jϕ,i, bzw. deren Summanden, sind auf eine Form nach Glei-chung (4.60) zurückzuführen.

,iϕ = ⋅J B C (4.60)

Hierin ist B eine beliebige Drehmatrix, die von den Kardanwinkeln im Vektor α abhängt. Na-türlich darf es sich bei B auch um eine Drehmatrix handeln, die bereits einmal nach einem


der Kardanwinkel abgeleitet wird. C ist eine Matrix oder ein Vektor, der nicht von den Kar-danwinkeln in α abhängt. Die Ableitung ϕJ α

nach den Kardanwinkeln im Vektor α ergibt sich dann nach Gleichung (4.61).

( ) ( ) ( )α β γϕ α β γ= ⋅ + ⋅ + ⋅J B C B C B Cα

(4.61)

Wird Gleichung (4.61) exemplarisch für die Ableitung IA,1ϕJ α

der Submatrix Jϕ,1 nach αIA an-gewendet, ergibt sich das Ergebnis nach Gleichung (4.62). Die von null verschiedenen Ablei-tungen IA

,iϕJ α für i=2…12 und BC

,iϕJ α für i=1…12 ergeben sich nach dem gleichen Muster. Die

Ergebnisse sind in den MATLAB-Skripten im Ordner „MORPACK“ auf der Daten-CD darge-stellt.

( ) ( ) ( )IA IA IA IA IA IAIA , , ,,1 I0 0 0A IA I0 0 0A IA I0 0 0 IAAr r rα α α β α γ

ϕ α β γ= ⋅ + ⋅ + ⋅J A A Aα

(4.62)

Auch für die Ableitungen der Submatrizen

e,iϕ

qJ mit { }1, 2,3,5 ,6,7 ,10,11,12i ∈ (4.63)

wird ein einheitliches Vorgehen gefunden. Durch eine Umformung wird das komponenten-weise Ableiten nach qe umgangen. Das Vorgehen wird zunächst exemplarisch an ( )e

,1ϕqJ er-

klärt. Die erforderliche Ableitung kann in der Form nach Gleichung (4.64) dargestellt werden.

( ) ( )e,1 I I0 e

e IA

rϕ α ∂ ∂

= ∂ ∂

qJ qq

ϕ

(4.64)

Nach dem Satz von Schwarz [20, p. 378] dürfen die partiellen Ableitungen in Ihrer Reihenfol-ge vertauscht werden. Dadurch wird auch eine Darstellung nach Gleichung (4.65) zulässig. Die Ableitung von ( )I I0r ϕ nach dem Vektor qe wird bereits in Gleichung (4.55) berechnet. Somit darf ( )e

,1ϕqJ durch Ableiten von Gleichung (4.55) nach αIA berechnet werden (Gl.(4.66)).

( ) ( )e,1 I I0 e

IA e

rϕ α ∂ ∂

= ∂ ∂

qJ qq

ϕ

Gl.(4.55)

(4.65)

Die Ableitung nach allen Komponenten von qe wird so in einem Schritt erledigt. Das Ergebnis der Ableitung von Gleichung (4.55) nach αIA ist eine [3 x ne]-Matrix. Durch Multiplikation mit dem [ne x 1]-Vektor eq ergibt sich die für die Submatrix ( )e

,1ϕqJ erforderliche Dimension [3 x

1].

( ) ( ) ( )IAe T,1 IA x 0 0A Ax y 0 0A Ay z 0 0A Az 0A A e1 1 1r r rα

ϕ = + + −qJ A A Ψ A Ψ A Ψ A Φ q

(4.66)

Die Submatrizen ( )e,2ϕqJ und ( )e

,3ϕqJ berechnen sich nach dem gleichen Muster. Auch bei den

Submatrizen ( )e,5ϕqJ bis ( )e

,7ϕqJ wird äquivalent vorgegangen. Jedoch dient hier Gleichung

(4.56) anstatt Gleichung (4.55) als Grundlage der Berechnungen. Bei den Submatrizen ( )e,10ϕqJ

bis ( )e,12ϕqJ dient der zugehörige Teil von Gleichung (4.56) als Grundlage.


Die Ableitungen ( )e,4ϕqJ und ( )e

,8ϕqJ müssen komponentenweise durchgeführt werden. Das Vor-

gehen wird exemplarisch an ( )e,4

iϕ

qJ erklärt. Die partielle Ableitung von ,4ϕJ , nach einer belie-bigen Komponente qei in der Zeile i des Vektors qe, erfolgt gemäß Gleichung (4.67). Im ers-ten bis dritten Term ist der Vektor 0 0Ar von qei abhängig. Im letzten Term ist nur die Dreh-matrix T

0AA von qei abhängig.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )e e e e eT,4 IA x 0 0A Ax y 0 0A Ay z 0 0A Az 0A A e1 1 1i i i i iq q q q q

ir r r qϕ = + + −J A A Ψ A Ψ A Ψ A Φ

(4.67)

Die Drehmatrix T0AA ist in Gleichung (4.50) dargestellt. Wird Gleichung (4.50) nach einer

Komponente qei von qe abgeleitet wird die Einheitsmatrix im ersten Term null. In den übrigen Termen wird jeweils qe nach der entsprechenden Komponente abgeleitet. Gl. 65 stellt T

0AA exemplarisch für drei elastische Koordinaten dar.

( )

( )

( )

e1T0A x A11 A12 A13 e2

e3

e1

y A21 A22 A23 e2

e3

e1

z A31 A32 A33 e2

e3

1 ...

1 ...

1

qqq

qqq

qqq

Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

= − − −

A E A

A

A

(4.68)

Wird z.B. nach der zweiten Komponente qe2 abgeleitet, ergibt sich Gleichung (4.69). Durch die Ableitung entsteht ein Vektor mit einer eins in der zweiten Zeile. Die restlichen Zeilen enthalten Nullen. Wird dieser Vektor mit den Zeilenvektoren ΨAx, ΨAy und ΨAz multipliziert bleiben nur die zugehörigen Spalten Ψ12, Ψ22 und Ψ32 erhalten (Gl.(4.70)).

( ) ( )

( )

( )

e 2T0A x A11 A12 A13

y A21 A22 A23

z A31 A32 A33

01 1 ...

0

01 1 ...

0

01 1

0

q Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

=− − −

A A

A

A

(4.69)

( ) ( )e 2T0A x A12 y A22 z A321 1 1q Ψ Ψ Ψ= − + +A A A A (4.70)

Aus Gleichung (4.70) kann ein Formalismus für die Ableitung von T0AA nach einer beliebigen

Komponente qei abgeleitet werden. Bei einer beliebigen Komponente qei entsteht äquivalent


zu Gleichung (4.69) immer ein Vektor mit einer eins in der zugehörigen Zeile i. Hieraus ergibt sich, dass immer die entsprechende Spalte i von ΨAx, ΨAy und ΨAz in der Gleichung erhal-ten bleibt. Der Formalismus ergibt sich nach Gleichung (4.71).

( ) ( )eT0A x A1 y A2 z A31 1 1iq

i i iΨ Ψ Ψ= − + +A A A A (4.71)

Der Vektor 0 0Ar ergibt sich aus Gleichung (4.43). Hierin ist der Vektor 0 0AR konstant und wird beim Ableiten null. Im zweiten Term der Gleichung wird qe nach einer beliebigen Kom-ponente qei abgeleitet. Das Ergebnis ergibt sich nach der gleichen Struktur wie in Gleichung (4.69). Wird der abgeleitete Vektor mit der Matrix AΦ multipliziert, bleibt lediglich die i-te Spalte A*iΦ 9 übrig. Die Ableitung ( )e

0 0Aiqr ergibt sich nach Gleichung (4.72).

( )e0 0A A*

iqir = Φ (4.72)

Werden die Gleichungen (4.71) und (4.72) in (4.67) eingesetzt, ergibt sich nach einigen Um-formungen Gleichung (4.73). Gleichung (4.73) muss für alle Komponenten qei (i=1…ne) be-rechnet und gemäß Gleichung (4.59) aufsummiert werden.

( ) ( )( )( )

e,4 IA x A* Ax A A1 e

IA y A* Ay A A2 e

IA z A* Az A A3 e

1 ...

1 ...

1

iqi i i

i i i

i i i

q

q

q

ϕ Ψ

Ψ

Ψ

= + +

+ +

+

J A A Φ Ψ Φ

A A Φ Ψ Φ

A A Φ Ψ Φ

(4.73)

Das Vorgehen für ( )e4

iqϕJ lässt sich einfach auf ( )e

8iq

ϕJ übertragen. Gleichung (4.74) stellt den Formalismus für die Berechnung von ( )e

8iq

ϕJ dar. Gleiches gilt für die Submatrix ( )e9

iqϕJ , deren

Formalismus in Gleichung (4.75) dargestellt wird.

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

e,8 IA x B* A* Ax B A A1 e

IA y B* A* Ay B A A2 e

IA z B* A* Az B A A3 e

1 ...

1 ...

1

iqi i i i

i i i i

i i i i

q

q

q

ϕ Ψ

Ψ

Ψ

= − + − +

− + − +

− + −

J A A Φ Φ Ψ Φ Φ

A A Φ Φ Ψ Φ Φ

A A Φ Φ Ψ Φ Φ

(4.74)

( ) ( )e,9 IA x A1 y A2 z A3 e1 1 1iq

i i i iqϕ Ψ Ψ Ψ= + +J A A A A

(4.75)

Es verbleiden die Ableitungen nach 0 BCr , welche nur die Submatrizen ( )BC,5r

ϕJ

bis ( )BC,8r

ϕJ

be-treffen. Die restlichen Submatrizen hängen nicht von 0 BCr ab. Der Vektor 0 BCr ist gemäß Gleichung (4.45) Bestandteil der Vektorsumme 0 ACr , die in den Submatrizen ( )BC

,5r

ϕJ

bis ( )BC,7r

ϕJ

enthalten ist. Wird 0 ACr nach 0 BCr abgeleitet werden alle konstanten Terme zu null. Der Vek-tor 0 BCr selbst wird zu einer Einheitsmatrix. Von den Submatrizen bleibt nur die zugehörige Ableitung der Drehmatrix AI0 erhalten. Wird diese noch mit 0 BCr multipliziert, ergeben sich die Submatrizen ( )BC

,5r

ϕJ

, ( )BC,6r

ϕJ

und ( )BC,7r

ϕJ

nach den Gleichungen (4.76), (4.77) und (4.78).

9 A*iΦ bedeutet alle Zeilen, i-te Spalte. Das Zeichen * steht immer für alle Zeilen oder alle Spalten

einer Matrix.


( ) ( )BC 0A,5 I0 0 BCr rα

ϕ = ⋅J A

(4.76)

( ) ( )BC 0A,6 I0 0 BCr rβ

ϕ = ⋅J A

(4.77)

( ) ( )BC 0A,7 I0 0 BCr rγ

ϕ = ⋅J A

(4.78)

Die Submatrix ( )BC,8r

ϕJ

muss komponentenweise berechnet werden. Äquivalent zum Forma-lismus aus den Gleichungen (4.68) bis (4.71), folgt eine Ableitung pro Komponente von 0 BCr , welche dann direkt mit der jeweiligen Zeitableitung multipliziert wird. Die Ergebnisse müssen für alle Komponenten von 0 BCr berechnet und gemäß Gleichung (4.79) aufsummiert werden.

( ) ( )( )( )

BC,8 IA x*1 Ax 0 BCx x*2 Ax 0 BCy x*3 Ax 0 BCz

IA y*1 Ay 0 BCx y*2 Ay 0 BCy y*3 Ay 0 BCz

IA z*1 Az 0 BCx z*2 Az 0 BCy z*3 Az 0 BCz

1 1 1

1 1 1

1 1 1

r r r r

r r r

r r r

ϕ = ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅

J A A Ψ A Ψ A Ψ

A A Ψ A Ψ A Ψ

A A Ψ A Ψ A Ψ

(4.79)

Mit den obenstehenden Gleichungen (4.60) bis (4.79) kann die [ fu x f ]-Matrix ϕJ gemäß (4.59) berechnet werden. Abschließend wird ϕJ mit dem [ f x 1]-Vektor ϕ multipliziert. Es entsteht der [ fu x 1]-Vektor ϕJ ϕ

.

In diesem Kapitel wird ein Formalismus für die Transformation auf Minimalkoordinaten be-schrieben. Mit den durch diesen Formalismus bereitgestellten Größen J und J q kann Glei-chung (4.39) mit den Gleichungen (3.120), (3.121) und (3.122) auf die Minimalkoordinaten q transformiert werden. Mit den Umformungen und Bezeichnungen aus Gleichung (4.81) ergibt sich Gleichung (4.82). Die auf Minimalkoordinaten transformierten Zwangskräfte Fqz werden zu null und entfallen aus Gleichung (4.82). Gleichung (4.82) wird hierdurch zu einem ODE-System, welches in MATLAB einfach gelöst werden kann.

( )T T Tn n n nz⋅ + = +J M J q J M J q J F F

(4.80)

( )

T T Tn n n nz

qzq q0

⋅ = − +

=M F

J M J q J F M J q J F

F

(4.81)

q q⋅ =M q F (4.82)

In Kapitel 4.1 wird die in Kapitel 2 erstellte Topologie für die Herleitung der Bewegungsglei-chungen zunächst vereinfacht. Gleichung (4.82) stellt abschließend die Bewegungsgleichun-gen dieser vereinfachten Topologie in Minimalkoordinaten bereit. In Kapitel 5 wird Gleichung (4.82) für die in Kapitel 2 geforderte Topologie erweitert.

5 Erweiterung des EMKS-Algorithmus für die festgelegte Topologie 76

5 Erweiterung des EMKS-Algorithmus für die fest-gelegte Topologie

In Kapitel 2 werden die Anforderungen an die Topologie des EMKS-Programms festgelegt. In Kapitel 4.1 wird diese Topologie zur Herleitung der Bewegungsgleichungen auf die wich-tigsten Aspekte vereinfacht. Für diese vereinfachte Topologie werden dann in Kapitel 4.2 die Bewegungsgleichungen in einem Satz natürlicher Koordinaten hergeleitet. Sie werden zu-sammengefasst, durch Gleichung (4.39) gegeben. In Kapitel 4.3 wird ein Formalismus be-reitgestellt, mit dem Gleichung (4.39) auf Minimalkoordinaten transformiert wird. Die Bewe-gungsgleichung in Minimalkoordinaten wird abschließend in Gleichung (4.82) definiert. In diesem Kapitel werden die Gleichungen (4.39) und (4.82), bzw. ihre Bestandteile für die in Kapitel 2 festgelegte Topologie erweitert.

Hierzu sind folgende Arbeitsschritte notwendig:

a) Erweitern der Gleichungsstruktur, so dass das Anhängen eines starren Körpers durch den Nutzer an jedem Masterknoten des elastischen Körpers 0 möglich ist.

b) Erweitern des Kraftvektors F0 aus Gleichung (4.6) dahingehend, dass die Definition beliebiger externer Lasten und el astischer Verbindungselemente an jedem Master-knoten des elastischen Körpers 0 möglich ist.

c) Erweitern des Kraftvektors F1 (in diesem Kapitel Fk) aus Gleichung (4.14) dahinge-hend, dass die Definition beliebiger externer Lasten und elastischer Verbindungsele-mente an einem frei wählbaren Anbindungspunkt der angehängten starren Körper k möglich ist.

d) Erweitern von Gleichung (4.82) so dass die Definition von Gelenkdämpfung und Fe-derelementen in Richtung der freien Gelenkkoordinaten möglich ist.

Hierbei erfordert das Anhängen zusätzlicher starrer Körper in Schritt a) einen größeren Ein-griff in die Gleichungsstruktur, der jedoch gut algorithmierbar ist. Das Hinzufügen elastischer Verbindungselemente und externer Lasten in den Schritten b) und c) erfordert lediglich ein Erweitern der Kraftvektoren F0 und F1.

Für die Herleitungen in diesem Kapitel werden überwiegend die in Kapitel 4 gegebenen zu-sammengefassten Gleichungen verwendet. Die in diesen Gleichungen enthaltenen Block-matrizen setzen sich in vielen Fällen aus mehreren Vektor- bzw. Matrixblöcken zusammen. Werden in den Ausführungen Zeilen und Spalten erwähnt, so beziehen sich diese Angaben auf die einzelnen Blöcke, die in den Gleichungen definiert sind. Es sind hiermit nicht die ein-zelnen (skalaren) Komponenten der Gleichungen gemeint.

Bei allen Größen, die sich auf einen Starrkörper, ein elastisches Verbindungselement oder eine externe Last beziehen, wird in den Gleichungen ein Index der jeweiligen Laufvariablen ergänzt. Dies dient der Unterscheidung, da diese Elemente mehrfach vorkommen können.

Bei der Implementierung werden alle Variablen bzgl. der o.g. Ausführungen erweitert. Diese Erweiterungen sind sehr ähnlich und werden deshalb hier im Detail nicht näher beschrieben.


Die detaillierte Deklaration der Variablen ist in den MATLAB-Skripten im Ordner „MORPACK“ auf der Daten-CD nachzulesen. In Kapitel 6 wird hierauf und auf die notwendigen Eingangs-daten näher eingegangen.

a) Anhängen weiterer starrer Körper

Diese Erweiterung ermöglicht es dem Nutzer, an jeden Masterknoten des Körpers 0 einen starren Körper k anzuhängen. Die Anzahl der angehängten starren Köper nK wird deshalb durch den Nutzer festgelegt. Sie ist Null wenn kein starrer Körper angehängt wird und kann maximal der Anzahl der Masterknoten nMK entsprechen (Gl.(5.1)). Dies stellt jedoch keine Einschränkung dar. Die Anzahl und Position der Masterknoten wird wiederum durch den Nutzer beim Erstellen des elastischen Körpers festgelegt.

K MK0, ... ,n n= (5.1)

K1, ... ,k n= (5.2)

Die den starren Körpern zugehörige Laufvariable k ist mit Gleichung (5.2) definiert. Der Frei-heitsgrad des Gesamtsystems hängt jetzt zusätzlich von der Anzahl der starren Körper nK ab. Gleichung (5.3) definiert den Freiheitsgrad des ungebundenen Gesamtsystems (vgl. Gl.(4.34)).

u K e6 6f n n= + ⋅ + (5.3)

Die Bewegungsgleichung und die kinematische Differentialgleichung des elastischen Kör-pers sind mit den Gleichungen (4.6) und (4.7) gegeben. Der elastische Körper trägt, wie in Kapitel 4 den Index 0. Der starre Körper trägt in Kapitel 4 den Index 1. In diesem Kapitel existieren mehrere starre Körper, die gemäß den Ausführungen weiter oben den Index k tra-gen. Mit dieser Änderung ergeben sich die Bewegungsgleichungen und die kinematische Differentialgleichung des Körpers k mit den G leichungen (5.4) und (5.5). Sie entsprechen den, an die Notationen dieses Kapitels angepassten Gleichungen (4.14) und (4.28).

k k ky F⋅ =M

(5.4)

k k ky = ⋅H z

(5.5)

Die erweiterten Größen M, y, F und Fz aus Gleichung (4.33) sowie die Größe z aus Glei-chung (4.36) ergeben sich nach dem Formalismus zum Aufbau der Bewegungsgleichungen in Deskriptorform (Kap. 3.5). Dieser Formalismus wird schon in Kapitel 4.2 zum Zusammen-setzen der Gleichungen (4.33) und (4.36) verwendet. Der Unterschied in diesem Kapitel ist, dass die Anzahl der starren Körper nK Variabel ist. Die Größen ergeben sich nach den Glei-chungen (5.6) bis (5.10).

( )K0 1diag k n=M M M M M (5.6)


K

0

1

k

n

y

y

y

=

y

y

(5.7)

K

0

1

k

n

F

F

F

=

F

F

(5.8)

K

z0

z1

zz

z

k

n

F

F

F

=

F

F

(5.9)

K

0

1

k

n

=

zz

zz

z

(5.10)

Für den A ufbau der Matrix H aus Gleichung (4.36) muss die Kinematikmatrix des starren Körpers k zunächst umgeformt werden. Es handelt sich hierbei um die Matrix H1 aus Glei-chung (4.29). Zunächst werden die Gleichungen (4.29) und (4.27) auf die Notationen dieses Kapitels übertragen, es folgt Gleichung (5.11). Sie verdeutlicht, dass die ersten drei Spalten der Blockmatrix Hk mit z0 multipliziert werden. Die vierte und fünfte Spalte von Hk wird mit zk multipliziert. Die Blockmatrix wird gemäß Gleichung (5.11) zerlegt in eine Matrix H0k, die mit z0 multipliziert wird und eine Matrix Hkk, die mit zk multipliziert wird.

3x3 3x3 3x3 3x3 3x3T 0

3x3 I R,I 3x3 3x3 R,

0

k kk k

kkk

y

= + ⋅

0 0 0 E 0z z

0 A H 0 0 H

HH

(5.11)

Die übrigen Starrkörper haben keinen Einfluss auf die k-te Zeile von y . Wird dieser Zusam-menhang auf den vollständigen Vektor z aus Gleichung (5.10) angewendet, ergibt ky nach Gleichung (5.12). Die k-te Zeile von H (Hk*) wird an den entsprechenden Stellen mit Nullmat-rizen ergänzt.

( )

K

0

1

0 6x6 6x6 6x6

*

k k kk

k

n

y

= ⋅

zz

H 0 H 0 0z

Hz

(5.12)

K K

0

01 1

0

0

k k

n n

=

H 0 0 0H H 0 0

HH 0 H 0

H 0 0 H

(5.13)

Nach diesem Schema ergibt sich die vollständige Matrix H mit Gleichung (5.13). In der ers-ten Zeile und ersten Spalte wird noch die Matrix H0 des elastischen Körpers eingefügt. Sie wird durch Gleichung (4.8) gegeben.


Die Bewegungsgleichungen in natürlichen Koordinaten für nK starre Körper sind mit den Gleichungen (5.6) bis (5.13) definiert. Zusätzlich müssen noch die Vektoren und Matrizen zur Transformation auf Minimalkoordinaten aus Kapitel 4.3 für beliebig viele Körper nK hergelei-tet werden. Hierfür wird zunächst Gleichung (4.41) umgeformt. Wie schon in Gleichung (5.11) für z durchgeführt, wird auch ϕ in einen Anteil für den elastischen Körper ϕ0 und einen Anteil für den k-ten starren Körper ϕk zerlegt. Gleichung (5.14) zeigt die Zerlegung.

0

k

=

ϕϕ

ϕ (5.14)

Der Vektor ϕ0 enthält die Gelenkfreiheitsgrade des Gelenks 0A, das immer vorhanden ist. Er ist durch die ersten drei Zeilen von Gleichung (4.41) definiert. Jeder starre Körper k ist durch ein Gelenk BCk mit dem jeweiligen Masterknoten verbunden. Gibt es nK starre Körper exis-tieren also auch nK Gelenke BCk. Das dem Körper k zugehörige Gelenk wird nachfolgend mit Gelenk BCk bezeichnet. Der Vektor ϕk enthält die Gelenkfreiheitsgrade des Gelenks BCk. Sie werden mit der dritten und vierten Zeile von Gleichung (4.41) in Gleichung (5.15) durch Anhängen des Index k definiert.

0 BC

BC

kk

k

r =

αϕ (5.15)

Der erweiterte Vektor ϕ baut sich dann nac h dem gleichen Schema wie z in Gleichung (5.10) auf und ist in Gleichung (5.16) definiert. Die Größen z(ϕ), Jϕ und ϕJ ϕ

ergeben sich nach den Gleichungen (5.17), (5.18) und (5.19).

K

0

1

k

n

=

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

(5.16) ( )

( )( )

( )

( )K

0

1

k

n

=

zz

z z

z

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

(5.17)

Wie schon bei den vorherigen Herleitungen muss auch bei diesen drei Größen eine Zerle-gung der Vektoren und Matrizen aus Kapitel 4.3 in einen Anteil für den elastischen Körper 0 und einen Anteil für den k-ten starren Körper durchgeführt werden. Der Vektor z0 ist mit Glei-chung (4.1) gegeben. Der Vektor z(ϕ)0 ergibt sich, wenn die Zeilen von Gleichung (4.1) durch die Gleichungen (4.43), (4.44) und qe ausgedrückt werden. Der Vektor z zk ist mit Gleichung (4.9) gegeben. Der Vektor z(ϕ)k ergibt sich, wenn die Zeilen von Gleichung (4.9) durch die Gleichungen (4.46) und (4.47) ausgedrückt werden.


K K

0

01 1

g0

0

k k

n n

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

=

J 0 0 0J J 0 0

JJ 0 J 0

J 0 0 J

(5.18)

( )( )

( )

( )K

0

1

k

n

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

=

J

J

JJ

J

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

(5.19)

Mit Tabelle 4-2 und den Gleichungen (4.55) und (4.56) wird in Kapitel 4.3 die Jacobi-Matrix Jϕ definiert. Die Matrix Jϕ0 ergibt sich mit der ersten bis dritten Zeile und der ersten bis vier-ten Spalte von Tabelle 4-2. Die Matrix Jϕ0k ergibt sich mit der vierten und fünften Zeile und der ersten bis vierten Spalte von Tabelle 4-2. Die Matrix Jϕk ergibt sich mit der vierten und fünften Zeile und der sechsten bis neunten Spalte von Tabelle 4-2. Das Schema zum Aufbau von Jϕ in Gleichung (5.18) ergibt sich äquivalent zum Aufbau von H in Gleichung (5.13). Bzgl. der Gleichungsstruktur beruht es auf der gleichen Herleitung.

Der Vektor ϕJ ϕ

wird in Kapitel 4.3 mit den Gleichungen (4.59) bis (4.79) definiert. Hier ergibt sich der Anteil 0( )ϕJ ϕ

mit den ersten drei Zeilen des Vektors. Der Anteil ( )kϕJ ϕ

ergibt sich mit der vierten und fünften Zeile des Vektors.

Wie in Kapitel 4.3 ergeben sich die Freiheitsgrade des gebundenen Systems aus den Frei-heitsgraden des ungebundenen Systems, abzüglich der Gelenkwertigkeiten. Die Gelenkwer-tigkeiten des nK Gelenke BCk werden mit wBCk bezeichnet und in Gleichung (5.20) aufsum-miert.

K

u 0A BC1

n

kk

f f w w=

= − − ∑ (5.20)

b) Definition externer Lasten und elastischer Verbindungselemente an beliebigen Mas-terknoten von Körper 0

Dieser Arbeitsschritt erfordert das Erweitern des Kraftvektors F0, in dem alle Lasten definiert sind, welche an Körper 0 angreifen. Er ist im Detail in Gleichung (4.2) definiert. Gleichung (5.21) zeigt den erweiterten Kraftvektor F0, die beiden rot eingefärbten Kräfte FD0 und FE0 werden ergänzt. Bei der Herleitung der Bewegungsgleichung und der Erstellung der Topolo-giepläne wird generell davon ausgegangen, dass eine externe Last i immer in einem Punkt Di angreift. Alle hieraus folgenden Lasten werden für den K örper k im Kraftvektor FDk zu-sammengefasst. Ein elastisches Verbindungselement i verbindet immer einen Ei mit der Umgebung. Alle hieraus folgenden Lasten werden für den Körper k im Kraftvektor FEk zu-sammengefasst. (Siehe Kapitel 3.3 Gleichungen (3.87) bis (3.99))

0 ω0 e0 g D0 E00= + + + +F F F F F F (5.21)


Der Vektor FD0 infolge nF externer Lasten I ext,iF und 0 ext,iM ergibt sich mit Gleichung (3.88). Hierbei ist zu beachten, dass gemäß den gewählten Bezugssystemen der Kraftvektor I ext,iF im Inertialsystem und d er Momentenvektor 0 ext,iM im Körperbezugssystem von Körper 0 gegeben werden müssen. Wenn die externen Lasten in anderen Bezugssystemen gegeben werden sollen, müssen sie vor dem Einsetzen in Gleichung (5.22) entsprechend transfor-miert werden. Diese Option wird bei der Implementierung in Kapitel 6 vorgesehen.

F

I ext,TD0 0 D I0

1 0 ext,T T TD I0 D,

ni

ii i

i i

Fr

M=

=

∑E 0

F A EΦ A Ψ

(5.22)

Der Nutzer kann an jedem Masterknoten eine externe Last definieren. Hierbei ist die i-te ex-terne Last durch die Vektoren I ext,iF und 0 ext,iM definiert. Der Vektor 0 Dir definiert die Lage des Kraftangriffspunktes und ergibt sich automatisch aus der Wahl des Masterknotens mit Gleichung (3.89). Wie in Kapitel 3.6 beschrieben werden die hierfür erforderlichen Daten aus den Matrizen mRK und mPhi0 gewonnen. Genau wie bei den nK angehängten starren Körpern kann es per Definition maximal so viele Kraftelemente wie Masterknoten geben (Gl.(5.23)). Die Laufvariable i ist mit Gleichung (5.24) gegeben.

F MK0, ... ,n n= (5.23)

F1, ... ,i n= (5.24)

Die Eigenschaften der elastischen Verbindungselemente sind gemäß Gleichung (3.90) mit der Steifigkeitsmatrix Ki und der Dämpfungsmatrix Di definiert. Die Matrizen Ki und Di wer-den im Inertialsystem formuliert. Hierdurch ist auch die entstehende Last I c,iF gemäß Glei-chung (5.25) im Inertialsystem gegeben. Es werden nur translatorische Feder- und Dämpferelemente verwendet. Momente infolge des elastischen Verbindungselements entfal-len also.

I c, I E I Ei i i i iF δ δ= − ⋅ − ⋅K D (5.25)

Die Lagedifferenz und die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen dem momentanen und dem Anfangszustand ergibt sich dann mit den Gleichungen (3.91) und (3.92).

Die Kraft FD0, welche infolge der elastischen Verbindungselemente in der Bewegungsglei-chung auftritt, ergibt sich aus Gleichung (3.94) gemäß (5.26).

c

TE0 0 E I0 I ,

1 T TE I0

n

i c ii

i

r F=

=

∑E

F AΦ A

(5.26)

Der Vektor 0 Eir definiert die Lage des Kraftangriffspunktes und ergibt sich automatisch aus der Wahl des Masterknotens mit Gleichung (3.95). Wie in Kapitel 3.6 beschrieben, werden die hierfür erforderlichen Daten aus den Matrizen mRK und mPhi0 gewonnen.


Die Gleichungen (5.27) und (5.28) ergeben sich äquivalent zu den Gleichungen (5.23) und (5.24). Der Nutzer kann nc elastische Verbindungselemente definieren.

c MK0, ... ,n n= (5.27)

c1, ... ,i n= (5.28)

c) Definition externer Lasten und elastischer Verbindungselemente an einem beliebi-gen Anbindungspunkt von Körper k

Die Herleitungen in Schritt c) sind denen in Schritt b) sehr ähnlich. Deshalb wird nachfolgend nur auf die Unterschiede eingegangen. Gleichung (5.29) zeigt die Erweiterung des Kraftvek-tors von Körper k.

ω Ee Dgk k k k k kF F F F F F= + + + +

(5.29)

Der Vektor DkF

ergibt sich äquivalent zu Schritt b) mit Gleichung (3.88). Die dritte Zeile von Gleichung (3.88) ist den Deformationen zugehörig. Da es sich um einen starren Körper han-delt, wird die dritte Zeile in Gleichung (5.30) gestrichen. Der Vektor Dk ir gibt die Lage des Anbindungspunktes an. Er muss vom Nutzer bei der Modelldefinition gegeben werden.

F

I ext,TD

D I1 ext,

ni

kk i ki k i

FF

r M=

=

∑

E 0A E

(5.30)

Gleiches gilt für die Berechnung der Kraft EkF

. Sie ergibt sich, wenn Gleichung (3.94) auf den starren Körper angepasst wird, mit Gleichung (5.31). Der Vektor Ek ir gibt die Lage des Anbindungspunktes an. Er muss vom Nutzer bei der Modelldefinition gegeben werden. Der Kraftvektor I ,c iF ergibt sich äquivalent zum elastischen Körper mit Gleichung (5.25).

c

TE I ,E I1

n

k c ik i ki

F Fr=

=

∑

EA

(5.31)

d) Erweitern von Gleichung (4.82) so dass die Definition von Gelenkdämpfung und Federelementen in Richtung der freien Gelenkkoordinaten möglich ist.

Für die Definition von Gelenkdämpfung und Federelementen in Richtung der freien Gelenk-koordinaten wird Gleichung (4.82) gemäß Gleichung (5.32) erweitert.

q q G G⋅ = − ⋅ − ⋅M q F K q D q (5.32)

Dies ist damit zu begründen, dass Gleichung (4.82) nur die freien Gelenkkoordinaten und die elastischen Koordinaten enthält. Die Größen KG und DG in Gleichung (5.32) entsprechen hierbei der Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix. Die gewünschte Gelenksteifigkeit bzw. Ge-lenkdämpfung wird in die zugehörigen Zellen von KG und DG eingetragen. Besonders zu beachten ist hierbei, dass die den elastischen Koordinaten zugehörigen Spalten mit Nullele-menten befüllt werden müssen.


In diesem Kapitel werden die Bewegungsgleichungen aus Kapitel 4 für die in Kapitel 2 gefor-derte Topologie erweitert. Diese Bewegungsgleichungen werden in Kapitel 6 in MATLAB implementiert.

6 Implementierung in MORPACK 84

6 Implementierung in MORPACK In den vorhergehenden Kapiteln werden die Voraussetzungen für die Umsetzung eines EMKS-Programms in MATLAB geschaffen. In Kapitel 2 wird die Integration des EMKS-Programms in die MORPACK-Prozesskette beschrieben. Zusätzlich werden die Anforderun-gen an das Programm festgelegt. Auf dieser Basis werden dann in den Kapiteln 4 und 5 die notwendigen Gleichungen hergeleitet. Hierdurch stehen in diesem Kapitel die Bewegungs-gleichungen eines elastischen Mehrkörpersystems für die geforderte Topologie zur Verfü-gung. Die Topologie hängt von den Definitionen des Nutzers ab. Deshalb wird in Kapitel 4.3 ein Formalismus für den Aufbau der Bewegungsgleichungen in Abhängigkeit von den Defini-tionen des Nutzers bereitgestellt.

Das EMKS-Programm verwendet für die Beschreibung der elastischen Körper reduzierte FE-Modelle aus MORPACK. In Kapitel 6.1 werden zu Beginn die erforderlichen Eingangsdaten definiert und strukturiert. In Kapitel 6.2 wird dann die Eingliederung des EMKS-Programms in MORPACK beschrieben. In Kapitel 6.3 wird die eigentliche Umsetzung des EMKS-Formalismus in MATLAB erläutert. MATLAB-Variablen und Befehle werden in diesem Kapitel in der Schriftart Courier New dargestellt.

6.1 Struktur der Eingabe- und Definitionsdaten Die für das EMKS-Programm erforderlichen Eingangsdaten lassen sich in zwei Gruppen un-terteilen. Hierbei handelt es sich einerseits um die Daten für die Beschreibung des elasti-schen Körpers. Andererseits werden die Daten für die Definition der Topologie benötigt. Bei-de Gruppen werden nacheinander besprochen.

Die Daten für die Beschreibung des elastischen Körpers folgen direkt aus MORPACK. Die benötigten Daten basieren auf dem in Kapitel 3.3 und 3.6 beschriebenen SID-Format. Für die Datenaufbereitung wird im Export-Modul von MORPACK eine neue Option hinzugefügt. Hierdurch werden die benötigten Daten in die MORPACK-Variable handles geschrieben. Die erforderlichen Daten werden in Kapitel 3.6 zusammengestellt und erläutert. In Tabelle 3-2 werden die MATLAB-Variablen zusammengefasst. Die Funktion fEmbsLoad schreibt die Variablen aus Tabelle 3-2 in eine Strukturvariable cSid und stellt sie dem EMKS-Programm zur Verfügung.

In den Kapiteln 2 und 5 werden die Definitionsmöglichkeiten durch den Nutzer ausführlich beschrieben. Der Nutzer gibt die Einstellungen in MORPACK in einer grafischen Benutzer-oberfläche ein. Diese wird auf Grundlage der Datenstrukturen entworfen und wird in Kapitel 6.2 beschrieben. Die Datenstruktur wird in der Strukturvariablen cData zusammengefasst.

Zunächst werden für die Verwendung des Programms in MORPACK nicht alle Optionen in vollem Umfang benötigt. Im Hinblick auf eine übersichtliche Gestaltung der grafischen Be-nutzeroberfläche werden die Einstellmöglichkeiten teilweise eingeschränkt. Hierbei wird in vielen Fällen eine Entscheidung mittels einer Integer-Variablen beschrieben und s päter in einer Fallunterscheidung umgesetzt. Bei der Gestaltung der Datenstruktur werden diese As-


pekte berücksichtigt. Der erste Buchstabe in den Variablennamen gibt den Datentyp gemäß Tabelle 6-1 an.

Tabelle 6-1 Kürzel für die Festlegung des Datentyps

Kürzel Datentyp

c Strukturvariable oder Cell

i Integer

d Double

v Vektor

m Matrix

Bild 6-1 Erforderliche Datenstruktur von cData

cData

Gen

(allgemeine Daten)

Kk

(Starrkörper k)

vG

sSimEnd

dSimOut

iSimSolver

dSimAbsTol

sSimRelTol

iSimResult

iSimType

iInitPos

iInitVel

vS

vD

vR2G

vL

vR2E

vKOS

vSpring

vDamper

vL

vKOS

vDoF

vStiff

vDamp

mInterface

SDi

Loadi

dM

dRcmx

dRcmz

mI

vDoF

vStiff

vDamp

SDi

Loadi

K0

(elast. Körper)


Tabelle 6-2 Variablen in der Struktur cData.Gen

Name Beschreibung

vG [3 x 1]-Vektor zur Angabe von Richtung und Größe der Erdbeschleunigung

I g aus Gleichung (3.86).

dSimEnd Simulationsdauer

dSimOut Ausgabeschrittweite für die Ergebnisdaten

iSimSolver Auswahl des Zeitintegrationsvefahrens über eine Fallunterscheidung. Ak-tuelle Auswahlmöglichkeiten: ode15s und ode45.

dSimAbsTol Absolute Toleranz für Zeitintegration

dSimRelTol Relative Toleranz für Zeitintegration

iSimResult Festlegen der gewünschten Ergebnisdaten über eine Fallunterscheidung.

iSimType Festlegen des Simulationsszenarios über eine Fallunterscheidung.

iInitPos Festlegen der Anfangslage über eine Fallunterscheidung.

iInitVel Festlegen der Anfangsgeschwindigkeit über eine Fallunterscheidung.

Auf Grundlage der erforderlichen Definitionsmöglichkeiten ergibt sich eine Datenstruktur ge-mäß Bild 6-1. Es wird deutlich, dass sich die Strukturvariable cData wiederum in drei große Gruppen unterteilen lässt. Sie werden nachfolgend im Detail besprochen. Die Strukturvariab-le cData.Gen enthält die allgemeinen Daten. Die einzelnen Variablen werden in Tabelle 6-2 beschrieben.

Bezüglich der Ergebnisdaten besteht die Option, die Lage, Geschwindigkeit und Beschleuni-gung entweder in Minimalkoordinaten oder in natürlichen Koordinaten auszugeben. Bei der Auswahl natürlicher Koordinaten werden diese für alle Masterknoten und die Schwerpunkte der Starrkörper ausgegeben. Die Festlegung des Simulationsszenarios bezieht sich auf die externen Lasten. Im Hinblick auf die Anwendung in MORPACK müssen unterschiedliche Lastfälle mit verschiedenen Amplituden definiert werden. Geplant sind hier vordefinierte Si-mulationsszenarios, welche Größe und Zeitverlauf aller Lasten festlegen. Die genaue Gestal-tung der Simulationsszenarios ergibt sich erst bei der Erprobung des Verfahrens in Kapitel 7.

Beim Festlegen der Anfangsbedingungen werden drei Optionen jeweils für die Lage und die Geschwindigkeit vorgesehen. Die Anfangsbedingungen können alle null oder alle eins sein. Zusätzlich ist die Definition eines Zufallsvektors mit Elementen zwischen null und eins mög-lich.

In der Strukturvariablen cData.K0 sind alle Daten für die Definition des elastischen Körpers enthalten. Diese Daten beziehen sich auf die Rand- und Koppelbedingungen und dürfen nicht mit den D aten zur Beschreibung des elastischen Körpers cSid aus Tabelle 3-2 ver-wechselt werden. Die Bestandteile von cData.K0 werden in Tabelle 6-3 beschrieben. Bei


den Variablen, die gemäß einer Gleichung definiert sind, werden nachfolgend auch der Formelbuchstabe und die Gleichungsnummer angegeben.

Tabelle 6-3 Variablen in der Struktur cData.K0

Name Gleichung Beschreibung

vDoF --- --- Definition der gesperrten Gelenkfreiheitsgrade in Gelenk IA

vStiff KG (5.32) Definition von Federelementen in Richtig der nicht gesperrten Gelenkfreiheitsgrade im Gelenk IA.

vDamp DG (5.32) Definition Gelenkdämpfung in Richtig der nicht gesperrten Gelenkfreiheitsgrade im Gelenk IA.

mInterface --- --- Definition der Belegung der Masterknoten.

SDi.vSpring Ki (5.25) Diagonalelemente der Steifigkeitsmatrix des i-ten Kraftelements. (Angabe im Inertialsystem.)

SDi.vDamper Di (5.25) Diagonalelemente der Dämpfungsmatrix des i-ten Kraftelements. (Angabe im Inertialsystem.)

Loadi.vL ext,

ext,

i

i

FM

(3.88) Vektor für die Definition der i-ten externen Last gemäß dem Simulationsszenario.

Loadi.vKOS --- (3.88) Auswahl des Bezugssystems in dem die i-te ex-terne Last gegeben wird. Entweder Inertialsystem oder Körperbezugssystem.

Im [6x1]-Vektor cData.K0.vDoF steht jede Zeile für einen Gelenkfreiheitsgrad des Gelenks IA. Die Zuordnung bzw. Reihenfolge ergibt sich hierbei gemäß der Gelenkfreiheitsgrade ϕ aus Gleichung (4.41). Die Gelenkdefinition erfolgt über das Eintragen von Nullen und Einsen. Eine Null steht hierbei für einen gesperrten Gelenkfreiheitsgrad. Dieser Vektor lässt sich mit Hilfe der grafischen Benutzeroberfläche einfach erstellen.

Mit der Matrix mInterface wird die Belegung der Schnittstellenknoten (Masterknoten) defi-niert. Die Anzahl Ihrer Zeilen entspricht der Anzahl der Masterknoten. An jedem Masterkno-ten kann wahlweise ein angehängter Starrkörper, ein elastisches Verbindungselement oder eine externe Last definiert werden. Deshalb besitzt die Matrix drei Spalten. Wenn eines der drei Elemente in einem Schnittstellenknoten definiert werden soll, wird in der entsprechen-den Zelle eine eins eingetragen.


Tabelle 6-4 Aufbau der Matrix mInterface (exemplarisch)

Schnittstellenknoten Starrkörper elast. Verbindungselement externe Last

i=1 1 0 0

i=2 0 0 0

i=3 0 1 0

i=4 0 0 0

Tabelle 6-4 stellt die Matrix mInterface exemplarisch für vier Schnittstellenknoten dar. Bei den Variablen aus Tabelle 6-3 beziehen sich die Laufvariablen i in Loadi und SDi auf die Nummer des Schnittstellenknotens gemäß Tabelle 6-4. Nach dieser Definition ist an Knoten 1 ein Starrkörper K1 angehängt. In Knoten 3 wird ein elastisches Verbindungselement SD3 definiert. Aus dieser Matrix ermittelt das EMKS-Programm die Anzahl und die Position der angehängten Elemente.

In der Strukturvariablen cData.Kk sind alle Daten für den k-ten Starrkörper enthalten. Sie werden in Tabelle 6-5 zusammengestellt. Wie oben beschrieben bezieht sich die Laufvariab-le k (für Starrkörper) hierbei auf den Schnittstellenknoten, an den der Starrkörper angehängt ist. Die Struktur cData.Kk kann also mehrfach vorhanden sein. Mit den in diesem Kapitel zusammengestellten Variablen, ist sowohl die Topologie als auch der elastische Körper ein-deutig beschrieben.


Tabelle 6-5 Variablen in der Struktur cData.Kk

Name Gleichung Beschreibung

dM mk (4.11), 1=k Masse des starren Körpers k

dRcmx

dRcmy

dRcmz

1 C1r (4.45) Vektor vom Punkt C zum Schwerpunkt (Ursprung des Körperbezugssystems). Definiert die Lage des Gelenks BC.

mI Ik (4.11), 1=k Trägheitstensor

vDoF --- --- Definition der gesperrten Gelenkfreiheitsgrade in Gelenk BC

vStiff KG (5.32) Definition von Federelementen in Richtung der nicht gesperrten Gelenkfreiheitsgrade im Gelenk IA.

vDamp DG (5.32) Definition Gelenkdämpfung in Richtig der nicht gesperrten Gelenkfreiheitsgrade im Gelenk BC.

SDi.vS Ki (5.25) Diagonalelemente der Steifigkeitsmatrix des i-ten Kraftelements. (Angabe im Inertialsystem.)

SDi.vD Di (5.25) Diagonalelemente der Dämpfungsmatrix des i-ten Kraftelements. (Angabe im Inertialsystem.)

SDi.vR2G Ek ir (5.31) Definiert die Lage des i-ten elastischen Verbin-dungselements bzgl. des Körperbezugssystems.

Loadi.vL ext,

ext,

i

i

FM

(5.30) Vektor für die Definition der i-ten externen Last gemäß dem Simulationsszenario.

Loadi.vR2E Dk ir (5.30) Definiert die Lage des i-ten elastischen Verbin-dungselements bzgl. des Körperbezugssystems.

Loadi.vKOS --- (5.30) Auswahl des Bezugssystems in dem die i-te ex-terne Last gegeben wird. Entweder Inertialsystem oder Körperbezugssystem.


6.2 Grafische Benutzeroberfläche und Einbindung in MORPACK Wie in Kapitel 2 beschrieben interagiert das EMKS-Programm über die grafische Benutzer-oberfläche von MORPACK mit dem Nutzer. Hierfür wird im Export-Modul eine zusätzliche Option ergänzt. Hiermit werden die Daten des reduzierten FE-Modells in einem Format ex-portiert bzw. gespeichert, welches mit dem EMKS-Programm kompatibel ist (Kap. 3.6 und 6.1).

Das EMKS-Programm stellt ein neues Modul in MORPACK dar. Jedes Modul in MORPACK verfügt über eine eigene grafische Benutzeroberfläche. Die Erstellung der grafischen Benut-zeroberfläche für das EMKS-Programm war nicht Bestandteil dieser Arbeit. Sie wird von der Professur für Dynamik und Mechanismentechnik bereitgestellt10. Alle Nutzereingaben, die für die Anwendung des EMKS-Programms in MORPACK erforderlich sind, werden mit der Vari-ablen cData aus Kapitel 6.1 festgelegt. Die grafische Benutzeroberfläche ermöglicht dem Nutzer die Definition dieser Daten. Weiterhin wird das EMKS-Programm aus ihr gestartet und sie führt durch die nachfolgende Ergebnisauswertung.

Für die Optimierung reduzierter FE-Modelle müssen zunächst einige Erfahrungen gesam-melt werden. Deshalb sind noch nicht alle Optionen vollständig festgelegt. Dies gilt vor allem für die Ergebnisauswertung. Eine Optimierung ist derzeit nur manuell möglich. In Kapitel 7 wird die Optimierung erprobt. Mit den Erkenntnissen werden Empfehlungen für die weitere Gestaltung der Prozesskette gegeben.

Screenshots der grafischen Benutzeroberfläche werden im Anhang A.2 dargestellt. Der Auf-bau wird hier nur kurz beschrieben. Bild A-2 zeigt den Startbildschirm von MORPACK. Wenn das EMKS-Programm genutzt werden soll, muss die Option EMBS-Programm angewählt werden. Nach dem Durchlauf der Prozesskette erscheint dann di e Benutzeroberfläche für das EMKS-Programm. Die Bilder Bild A-3 bis Bild A-7 zeigen, wie die unterschiedlichen Teile von cData definiert werden können.

Mit dem Button Start EMBS wird die Funktion fEmbsMain gestartet. Das zugehörige MAT-LAB-Skript ist im Ordner „MORPACK“ auf der Daten-CD enthalten. Bild 6-2 zeigt den Pro-grammablaufplan dieser Funktion. Die Bedeutung der Symbole ist im Anhang A.4 beschrie-ben.

Der Funktion fEmbsMain wird die Variable handles übergeben. Anschließend werden nach-einander die Funktionen fEmbsData und fEmbsLoad gestartet. Die Funktion fEmbsData ex-trahiert die Nutzereingaben aus der Variable handles und erstellt die Variable cData gemäß Kapitel 6.1. Die Funktion fEmbsLoad extrahiert die Daten des reduzierten FE-Modells aus der Variable handles und erstellt die Variable cSid gemäß Kapitel 3.6 und 6.1.

10 Die Struktur der Eingabedaten wird im Hinblick auf den Entwurf der grafischen Benutzeroberflächen

und die Einbindung in MORPACK in Absprache mit Claudius Lein entwickelt. Herr Lein hat dann die grafischen Benutzeroberflächen entworfen und programmiert. Außerdem hat er die entsprechenden Schnittstellen zu MORPACK bereitgestellt.


Bild 6-2 Programmablaufplan fEmbsMain

Start EMBS

fEMBSMain

fEMBSData

Animation?

Plot?

fEMBSload

fEMBSInt

cSid

cData

T, X, Z, s

fAnimate

fPlotMK

handles

return (Ende)

Ja Nein

Ja

Nein

handles

Modelldefinition EMKS-Export


Die Variablen cData und cSid werden dann an die Funktion fEmbsInt übergeben. Diese Funktion stellt den Kern des EMKS-Programms dar. Sie wird im Detail in Kapitel 6.3 behan-delt. Zusammengefasst gesagt, führt sie die numerische Zeitintegration und das Postproces-sing durch. Die Variablen T, X, Z und s enthalten die Ergebnisvariablen. Sie werden an die Funktionen für die Ergebnisauswertung übergeben.

Der Nutzer kann zunächst wählen, ob er eine dreidimensionale Animation der Ergebnisse sehen möchte oder diesen Schritt überspringen will. Wird die Animation gewählt, erscheinen alle Masterknoten und Starrkörper in dreidimensionaler Darstellung und werden zeitlich ani-miert (Bild 7-2, Seite 99). Die Masterknoten werden hierbei als Quader variabler Größe dar-gestellt. Ihre Größe kann im Skript eingestellt werden. Für die Darstellung der Starrkörper wird ein Ersatzquader aus der Lage des Gelenks BC gegenüber dem Schwerpunkt des Starrkörpers berechnet. Weiterhin sind im Skript die Farbe der Körper und ein Verzögerungs-faktor für zeitliche Animation einstellbar.

Nach der Animation bzw. dem Überspringer der Animation kann der Nutzer wählen, ob Zeit-verläufe unterschiedlicher Größen von ausgesuchten Punkten geplottet werden sollen. Die-ser Punkt hängt derzeit stark von der weiteren Gestaltung der Prozesskette ab. Der aktuelle Stand ermöglicht das Plotten von Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines ausge-suchten Masterknotens. Der Masterknoten kann im Skript gewählt werden. Die zugehörigen MATLAB-Skripte zu den Funktionen animate und plotMK sind im Ordner „MORPACK“ auf der Daten-CD enthalten.

Nach dem Plotten der Verläufe, bzw. dem Überspringen dieser Option, gelangt der Nutzer zurück zur grafischen Benutzeroberfläche. Er kann von hier entweder eine neue Simulation starten, oder auch zurück zum Export- oder Reduktionsmodul gehen. Dies gibt ihm die Mög-lichkeit, die reduzierten Modelle nach der Simulation zu verändern und erneut zu simulieren.

6.3 Implementierung des EMKS-Formalismus Für die in den Kapiteln 4 und 5 hergeleitete Bewegungsgleichung (4.82) sind keine analyti-schen Lösungen verfügbar. Für die Lösung wird in MATLAB eine numerische Zeitintegration durchgeführt. Hierfür wird einer, der in MATLAB zur Verfügung stehenden Standardintegrato-ren ausgewählt. Auf die Auswahl des Integrators wird später in diesem Kapitel eingegangen. Die ausgesuchten Integratoren sind für die Lösung von Differentialgleichungssystemen ers-ter Ordnung gedacht. Gleichung (6.1) stellt hierbei die erforderliche Form dar. Sie wird spe-ziell bei Mehrkörpersystemen auch als Zustandsform bezeichnet. [1, p. 204 f.]

( ),f t=x x (6.1)

Die numerische Zeitintegration setzt sich nach [1, p. 205 f.] aus zwei Arbeitsschritten zu-sammen.


a) Bereitstellen einer Funktion gemäß Gleichung (6.1) in MATLAB. b) Durchführen der eigentlichen Zeitintegration. Hierbei wird Gleichung (6.1) in einem

iterativen Prozess viele Male aufgerufen um die Zeitableitung des Zustandsvektors x in Abhängigkeit vom Zustand x und der Zeit t zu berechnen. Der Zeitintegrator be-rechnet dann aus x den neuen Zustand x zum aktuellen Zeitpunkt t und fährt in glei-cher Weise fort.

Zum Zeitpunkt t=0 muss der Zustand durch Anfangsbedingungen gemäß Gleichung (6.2) vom Nutzer gegeben werden (Kap. 6.1).

( ) 00x t x= = (6.2)

Gleichung (6.1) ergibt sich mit Gleichung (4.82). Die Matrizen und Vektoren in Gleichung (4.82) werden zuvor auf Basis, der in den Kapiteln 4 und 5 hergeleiteten Gleichungen und Formalismen aufgebaut. Hierauf wird später in diesem Kapitel eingegangen. Gleichung (4.82) wird zunächst in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung umgeformt. Hierfür wird der Zustandsvektor x gemäß Gleichung (6.3) definiert.

=

qx

q (6.3)

In Gleichung (6.3) entspricht q den Minimalkoordinaten und q den Minimalgeschwindigkei-ten11. Die Zeitableitung x von Gleichung (6.3) ergibt sich mit Gleichung (6.4).

=

qx

q

(6.4)

In Gleichung (6.4) ergibt sich q aus der zweiten Zeile von Gleichung (6.3). Die Beschleuni-gungen q ergeben sich durch Umstellen von Gleichung (4.82) nach q . Gleichung (6.1) ergibt sich somit den Gleichungen und Formalismen aus den Kapiteln 4 und 5 gemäß Glei-chung (6.5).

1q q−

= ⋅

qx

M F

(6.5)

In Gleichung (6.5) sind die Massenmatrix Mq und der Kraftvektor Fq zustandsabhängig. Sie müssen bei jeder Auswertung von Gleichung (6.5) explizit aufgebaut werden. Zusätzlich muss die Massenmatrix Mq invertiert werden. Es handelt sich deshalb bei dieser Art der Im-plementierung um einen O(n³)-Algorithmus. [1, p. 206]

Durch die Verwendung von Minimalkoordinaten und den elastischen Körper sind die Mas-senmatrizen der einzelnen Körper voll besetzt. Der erhebliche Rechenaufwand für den Auf-bau und die Inversion der Systemmatrizen ließe sich mitunter durch einen O(n)-Algorithmus verringern. In Kapitel 4.3 wird beschrieben, warum auf die Implementierung eines O(n)-

11 Bei einem holonomen System mit ausschließlich geometrischen Bindungen entsprechen die Mini-

malgeschwindigkeiten der Zeitableitung der Minimalkoordinaten (Kap. 3.5). [1, p. 182]


Algorithmus zunächst verzichtet wird. Dies kann eine Aufgabe für nachfolgende Arbeiten sein. [11, p. 7]

Die Funktion fEMBSInt erledigt zunächst folgende Arbeitsschritte:

• Umformen einiger Variablen aus cSid und cData in das für den Aufbau der Bewe-gungsgleichungen erforderliche Format.

• Berechnen zusätzlicher Größen aus den Dimensionen der Systemmatrizen in cSid. (z.B. ne die Anzahl der elastischen Koordinaten oder nq die Anzahl der Minimalkoor-dinaten.)

• Berechnen der Anfangslage aller Punkte Ei die mittels elastischer Verbindungsele-mente mit der Umgebung verbunden sind.

• Darstellen der Topologie mit Hilfe der Funktion animate und der Anfangslage. • Aufrufen des Integrators in Abhängigkeit vom gewählten Integrationsverfahren. • Postprocessing in Abhängigkeit von den gewählten Ergebnisdaten. • Speichern der Ergebnisdaten.

Die Funktion EMKSv06_FCN entspricht der Implementierung von Gleichung (6.5). Zusätzlich berechnet diese Funktion die einzelnen Systemmatrizen und baut die Bewegungsgleichun-gen in Deskriptorform auf. Alle Arbeitsschritte die mehrfach erforderlich sind, werden in for-Schleifen automatisiert. Dies gilt z.B. für alle Operationen, die von den definitionsabhängigen Anzahlen der Starrkörper, externen Lasten und elastischen Verbindungselemente abhängen.

Für den A ufbau der Bewegungsgleichungen werden zunächst die Gelenkfreiheitsgrade ϕ und die Minimalkoordinaten q benötigt. Hierbei ist zu beachten, dass die blockierten Gelenk-freiheitsgrade für die Berechnung der weiteren Größen null sein müssen. Diese Forderung wird durch den nachfolgenden Auszug aus EMKSv06_FCN umgesetzt.

%% Gelenkfreiheitsgrade vPhi = zeros(fu,1); % Initialisieren vPhiDot = zeros(fu,1); % Initialisieren

% Zuweisen der Zeilen welche verschieden von null sind aus dem % Zustandsvektor vPhi(s.FHG==1) = x(1:nq); % Lage vPhiDot(s.FHG==1) = x((nq+1):(2*nq)); % Geschwindigkeiten

%% Minimalkoordinaten vQ = vPhi(s.FHG==1); % Lage vQDot = vPhiDot(s.FHG==1); % Geschwindigkeiten

Es werden zunächst die Vektoren vPhi und vPhiDot als Nullvektoren mit der Länge der Freiheitsgrade des ungebundenen S ystems fu initialisiert. Der Zustandsvektor enthält im ersten Teil (1:nq) die Minimalkoordinaten und im zweiten Teil ((nq+1):(2*nq)) die Mini-malgeschwindigkeiten. nq entspricht hierbei der Anzahl der Minimalkoordinaten bzw. der


Freiheitsgrade. Der Vektor s.FHG entspricht der zusammengesetzten Definition der Gelenk-freiheitsgrade vDoF für die Gelenke IA und BC. Mit dem Befehl vPhi(s.FHG==1) werden deshalb nur die von null verschiedenen Zeilen von vPHI angesprochen. Die Werte aus x werden so in die zugehörigen Zeilen geschrieben, die restlichen Zeilen behalten den Wert null. Der Vektor vPhi(s.FHG==1)entspricht somit auch den Minimalkoordinaten vQ.

Die Funktionen K0Kin und K1Kin berechnen alle Größen für den Aufbau der Bewegungs-gleichung, die die Kinematik betreffen. Sie werden gemäß dem Formalismus aus Kapitel 4.3 zunächst mit dem Vektor vPHI berechnet. Anschließend werden die entsprechenden Spal-ten gestrichen. Die Funktion K0Kin berechnet die kinematischen Größen für den elastischen Körper 0. Die Funktion K1Kin berechnet die kinematischen Größen für die angehängten star-ren Körper k in Abhängigkeit der Laufvariable k. Sie wird für jeden Starrkörper einmal ausge-führt. Tabelle 6-6 stellt die Variablen, welche von den beiden Funktionen berechnet werden, zusammengefasst dar.

Tabelle 6-6 Ausgabevariablen der Funktionen K0Kin und K1Kin

K0Kin K1Kin

Variable Gleichung Variable Gleichung

zGes(1:(6+ne)) z0 (6.6) zGes(row1:row6) zk (6.7)

zdotGes(1:(6+ne)) 0z (6.8) zdotGes(row1:row6)

kz (6.9)

J_ges(1:(6+ne),:) J0 (6.10) J_ges(row1:row6,:) Jk* (6.11)

JdqdGes(1:(6+ne)) ( )0

Jq (6.12) JdqdGes(row1:row6) ( )k

Jq (6.13)

H_ges(1:(6+ne),:) H0 (6.14) H_ges(row1:row6,:) Hk* (6.15)

HdzdGes(1:(6+ne)) ( )0

Hz

(6.16) HdzdGes(row1:row6 ( )k

Hz

(6.17)

row1 = 7+ne+6*(k-1) row6 = 12+ne+6*(k-1)

In der ersten Spalte werden jeweils die MATLAB-Variablen dargestellt. In der zweiten Spalte stehen die Formelbuchstaben bzgl. der Gleichungen, deren Nummer in der dritten Spalte gegeben ist. Die Gleichungsnummern verweisen auf die zugehörigen Gleichungen, in denen jeweils die Größen des Gesamtsystems assembliert werden. Ausgehend von diesen Glei-chungen kann auch die Berechnung der einzelnen Größen nachvollzogen werden. Die MAT-LAB-Variablen entsprechen direkt den entsprechenden Matrizen und Vektoren des Gesamt-systems. Durch die Zeilen- und Spaltennummern in Klammern, werden die Werte den zuge-hörigen Zellen zugewiesen. Diese sind beim k-ten Starrkörper variabel und ergeben sich mit der Laufvariable k gemäß den Variablen row1 und row6.


Nach dem gleichen Schema assemblieren die Funktionen K0_M und K1_M die Massenmatrix M gemäß Gleichung (5.6). Der Kraftvektor F wird durch die Funktionen K0_F und K1_F ge-mäß Gleichung (5.8) zusammengesetzt.

Die auf diesem Wege entstandene Bewegungsgleichung des Gesamtsystems wird anschlie-ßend gemäß Gleichung (4.38) auf einen Satz natürlicher Koordinaten und gemäß Gleichung (4.81) auf Minimalkoordinaten transformiert. Die Beschleunigungen q werden gemäß Glei-chung (6.5) berechnet. Anschließend wird der Vektor x zurückgegeben.

Die wesentlichen Aspekte und di e Besonderheiten der Implementierung werden im ersten Teil dieses Kapitels erläutert. Die zugehörigen MATLAB-Skripte sind auf der Daten-CD im Ordner „MORPACK“ enthalten. Mit Hilfe der Skripte und der enthaltenen ausführlichen Kommentare kann die Implementierung im Detail nachvollzogen werden.

Nachfolgend wird die Auswahl der Zeitintegratoren beschrieben. Nach [3, p. 48] sind die Steifheit des Differentialgleichungssystems, die Genauigkeitsanforderungen und der Algo-rithmus für den Aufbau der Bewegungsgleichungen die wesentlichen Aspekte für die Aus-wahl des Zeitintegrationsverfahrens. Die Steifheit eines Differentialgleichungssystems ist nach [21, p. 138] eine vielschichtige Eigenschaft, die in der Literatur nicht einheitlich ge-handhabt wird. Es werden folgende charakteristische Merkmale genannt:

• „Die allgemeine Lösung steifer Dgl. setzt sich aus Lösungsfunktionen mit stark unter-schiedlichem Wachstumsverhalten zusammen.

• Es gibt sowohl langsam als auch schnell veränderliche Lösungsfunktionen, wobei mindestens eine schnell fallende auftritt.“ [21, p. 138]

In [3, p. 49] wird folgende Definition des Begriffs verwendet:

„Ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen ist steif, wenn explizite Verfahren aus Sta-bilitätsgründen extrem kleine Schrittweiten verwenden müssen, implizite Verfahren dagegen mit deutlich größeren Schrittweiten stabile Lösungen erzeugen.“

Des Weiteren zeigen Untersuchungen in [3, p. 54], dass ein implizites Zeitintegrationsverfah-ren bei einem Mehrkörpersystem mit steifen elastischen Verbindungselementen geringere Rechenzeiten benötigt als ein explizites Verfahren. Bei weichen elastischen Verbindungs-elementen ist dies genau umgekehrt. Hieraus lässt sich eine Anwendungsempfehlung ablei-ten. Ein elastischer Körper hat in der Bewegungsgleichung eines Mehrkörpersystems eine ähnliche Wirkung wie ein elastisches Verbindungselement. Es wird angenommen, dass er auf die Steifheit des Differentialgleichungssystems einen äquivalenten Einfluss hat.

Mit dieser Erweiterung wird folgendes festgestellt: Bei einem elastischen Mehrkörpersystem mit überwiegend weichen elastischen Körpern und Verbindungselementen empfiehlt sich die Verwendung eines expliziten Zeitintegrationsverfahrens. Sind die elastischen Körper und Verbindungselemente jedoch vorwiegend steif, muss ein impliziter Solver verwendet werden. Da sich das EMKS-Programm nur für elastische Mehrkörpersysteme mit kleinen Deformatio-nen und somit eher steifen Körpern eignet, wird primär ein impliziter Solver benötigt. Diese Feststellungen werden durch die Verifikationsrechnungen in Kapitel 7 bestätigt.


Im EMKS-Programm wird die Möglichkeit gegeben zwischen, einem impliziten und einem expliziten Integrationsverfahren umzuschalten (Bild A-3, „Solver for Integration“). Nach [22] sind die Integratoren ode4512 und ode15s13 in MATLAB für die überwiegende Zahl der Diffe-rentialgleichungssysteme am besten geeignet. Auch in [3] werden diese Integratoren emp-fohlen und verwendet. Zusätzlich haben Tests mit anderen Integratoren die Auswahl bestä-tigt. Bei diesen Tests war der Integrator ode15s auch bei grenzwertig großen Deformationen immer effizienter. Es ist anzunehmen, dass er für alle zulässigen Systeme gut geeignet ist.

Mit den Integratoren ode45 (expl.) und ode15s (impl.) stehen dem Nutzer ein implizites und ein explizites Verfahren zur Verfügung. Auf Grundlage der Empfehlungen in diesem Kapitel kann der Nutzer in Abhängigkeit der Systemeigenschaften einen geeigneten Integrator aus-wählen.

Bezüglich der Integrationstoleranzen hat sich bei den V erifikationsmodellen schon bei den Standardwerten Konvergenz gezeigt. Trotzdem sind die Integrationstoleranzen durch den Nutzer wählbar. Wie allgemein üblich, wird bei neuen Modellen eine Konvergenzuntersu-chung für die Festlegung der Integrationstoleranzen empfohlen.

12 „Runge-Kutta-Verfahren 4./5. Ordnung nach Dorman und Price“ [3, p. 54] 13 „Implizites Mehrschrittverfahren mit Numerical Differentiations Formulas (NDFs)“ [3, p. 54]

7 Verifikation und Erprobung 98

7 Verifikation und Erprobung Die vorhergehenden Kapitel haben die Implementierung des EMKS-Programms behandelt. In diesem Kapitel wird das EMKS-Programm abschließend verifiziert und er probt. Hierfür wird die Software in Kapitel 7.1 zunächst mit SIMPACK verifiziert. Es wird ein Testmodell in beiden Programmen aufgebaut und ber echnet. Anschließend werden die Ergebnisse aus dem EMKS-Programm mit denen aus SIMPACK verglichen. Hierdurch wird eine fehlerfreie Implementierung sichergestellt. Zusätzlich wird eine Aussage zur Genauigkeit der Ergebnis-se getroffen. Die ausgewählten Integrationsverfahren und -toleranzen werden bewertet.

In Kapitel 7.2 wird die Prozesskette aus Kapitel 2 manuell erprobt. Mit den Ergebnissen wird das erstellte Konzept bewertet. Es werden Anwendungsempfehlungen gegeben. Die ge-sammelten Erfahrungen dienen der Implementierung eines Verifikations- und Optimie-rungstools in nachfolgenden Arbeiten.

7.1 Verifikation mit SIMPACK Für die Verifikation mit SIMPACK wird ein einfaches Testmodell erstellt. Als elastischer Kör-per wird ein Balken verwendet. Der elastische Körper wird in ABAQUS dreidimensional mo-delliert und in MORPACK reduziert. Bild 7-1 zeigt den elastischen Körper in ABAQUS. Für die Modellordnungsreduktion werden zwölf Masterknoten ausgewählt. Sie sind in Bild 7-1 rot dargestellt. In Anlehnung an Bild 4-2 (Seite 54) wird das Inertialgelenk IA im Punkt A defi-niert. In Punkt B wird über das Gelenk BC ein starrer Körper angehängt. Bild 7-2 zeigt das Testmodell, dargestellt im EMKS-Programm. Bild A-8 im Anhang A.3 zeigt das Testmodell in SIMPACK. Die Eingabedaten des Testmodells sind in Tabelle A-1, Tabelle A-3 und Tabelle A-2 im Anhang A.3 dargestellt.

Bild 7-1 elastischer Körper bei der Modellierung in ABAQUS

A

B


Bild 7-2 Testmodells, dargestellt im EMKS-Programm

Um alle Koordinaten der aufgestellten Bewegungsgleichungen (Kapitel 4 und 5) und deren Implementierung (Kapitel 6) zu verifizieren, werden für die Gelenkdefinition sechs unter-schiedliche Testfälle definiert. Die Gelenkdefinitionen werden in Tabelle 7-1 dargestellt. Der Eintrag 0 (rot) steht hierbei für eine gesperrte Gelenkkoordinate. Der Eintrag 1 (grün) steht für eine freie Gelenkkoordinate.

Die Modelle werden in SIMPACK und im EMKS-Programm 60 s simuliert. Verglichen wird die Lage des Punktes B. Für den V ergleich wird der Korrelationskoeffizient gemäß Gleichung (2.4) aus Kapitel 2.3 verwendet.

Tabelle 7-1 Gelenkdefinition der Testfälle

Modell

x IA y IA z IA α IA β IA γ IA x BC y BC z BC α B C β B C γ B C Testfall1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 räumliches Doppelpendel2 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Test translatorische FHG erster Körper3 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 Test translatorische FHG zweiter Körper4 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 Test translatorische FHG beide Körper 5 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 Test β IA

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 Test β BC

Freiheitsgrade Gelenk IA (Basiskörper mit Inertialsystem)

Freiheitsgrade Gelenk BC (Körper 1 mit Basiskörper)

Die ersten zwei Sekunden der Simulation sind in Bild 7-3 dargestellt. Die Ergebnisse für die x-, y- und z-Koordinate aus dem EMKS-Programm sind jeweils in rot, blau und grün geplottet. Die zugehörigen Ergebnisse aus SIMPACK sind in schwarz geplottet. Bild 7-3 zeigt gute Übereinstimmungen zwischen den Ergebnissen. Diese gute Übereinstimmung wird auch durch die Korrelationskoeffizienten für Modell 1 in Tabelle 7-2 bestätigt. Der Übersichtlichkeit halber erfolgt der Vergleich für die restlichen Modelle mit Hilfe der Korrelationskoeffizienten. Korrelationskoeffizienten im Bereich von 0,95 bis 1,05 stehen hierbei für eine sehr gute Übereinstimmung. Korrelationskoeffizienten im Bereich von 0,9 bis 1,1 stehen für eine hinrei-chend gute Übereinstimmung. In Kapitel 7.2 werden entsprechende Beispiele zu dieser Aus-sage vorgestellt.


Tabelle 7-2 Korrelationskoeffizienten

Modell 1 2 3 4 5 6 Ko

rrel

atio

nsko

-ef

fizie

nt

x 1,0066 1,0264 0,9222 0,9292 1,0619 1,0056

y 0,9930 1,0054 0,9962 0,9912 1,0660 1,0631

z 1,0704 0,9634 0,9914 1,0080 1,0143 0,9970

Bild 7-3 Simulationsergebnisse (SIMPACK und EMKS-Programm) für die Lage des Punktes B

Die Korrelationskoeffizienten aus Tabelle 7-2 zeigen für zwölf Zeitsignale eine sehr gute Übereinstimmung. Für die restlichen sechs Zeitsignale ergibt sich nur eine hinreichend gute Übereinstimmung. Es wird angenommen, dass die Gründe hierfür in der Numerik liegen. MATLAB und SIMPACK benutzen unterschiedliche Zeitintegrationsverfahren und Methoden für den A ufbau der Bewegungsgleichungen (Kapitel 6.3). Zusätzlich kommt erschwerend hinzu, dass das verwendete Testmodell in vielen Fällen chaotisches Systemverhalten auf-weist (räumliches Doppelpendel).

Durch die Untersuchungen in diesem Kapitel ist sichergestellt, dass das EMKS-Programm für die untersuchten Testfälle hinreichend genaue Ergebnisse liefert. Es wird davon ausge-


gangen, dass das ausgewählte Zeitintegrationsverfahren und die eingestellten Integrations-toleranzen auch für andere Berechnungen empfehlenswert sind.

Unabhängig davon wird empfohlen, andere Modelle aus der täglichen Anwendung mit SIM-PACK zu verifizieren. Besonders in der Anfangsphase sind Konvergenzuntersuchungen bzgl. der Integrationstoleranzen unerlässlich. Auf diesem Wege können Erfahrungen mit der Einstellung der Integrationstoleranzen gesammelt werden.

7.2 Erprobung der Prozesskette In diesem Kapitel wird die, in Kapitel 2 vorgestellte Prozesskette zur Verifikation und Opti-mierung reduzierter FE-Modelle manuell erprobt. Hierfür wird die Triebsatzwelle einer diesel-hydraulischen Lokomotive als realitätsnahes Erprobungsmodell gewählt. Das Erprobungs-modell wird bereits in [23] und [24] verwendet und wird in Kapitel 7.2.1 im Detail vorgestellt.14

In Kapitel 7.2.2 werden die Simulationsergebnisse von vier reduzierten FE-Modellen der Triebsatzwelle verglichen. Hierfür wird einerseits eine visuelle Beurteilung mit Diagrammen durchgeführt, andererseits wird der in Kapitel 2.3 vorgestellte Korrelationskoeffizient verwen-det. Ein reduziertes Modell mit hoher Abbildungsgüte dient als Referenzmodell. Die Abbil-dungsgüte der übrigen Modelle wird durch den Vergleich mit dem Referenzmodell ermittelt. Diese Beurteilung wird anschließend mit der in MORPACK durchgeführten Korrelation, auf Basis modaler Kriterien verglichen. Zusätzlich wird die Verwendbarkeit und Sensitivität des Korrelationskoeffizienten beurteilt.

In Kapitel 7.2.3 wird abschließend die Optimierung eines reduzierten Modells erprobt. Hierfür wird mit den Ergebnissen aus Kapitel 7.2.2 ein geeignetes Modell ausgewählt.

7.2.1 Erprobungsmodell

Bild 7-4 zeigt die Triebsatzwelle mit Rädern und Bremsscheiben in SIMPACK. Bild 7-5 stellt die Bezeichnungen der angeschlossenen Elemente dar. Sie werden in Tabelle 7-3 von links nach rechts aufgezählt. Beim reduzierten FE-Modell wird jedes Element an einem Master-knoten angeschlossen. Die zugehörigen Masterknotennummern werden in der letzten Spalte von Tabelle 7-3 angegeben. Bild A-11 im Anhang A.5 zeigt das FE-Modell in ANSYS. Es wird mit 67.639 Hexaeder-Elementen diskretisiert (Freiheitsgrad 204.576). Die sieben Mas-terknoten liegen auf der Symmetrieachse (Rotationssymmetrie). Sie besitzen den Freiheits-grad sechs. Mit der Zwangsbedingung CERIG werden sie in ANSYS an jeweils vier Umfangs-knoten gebunden, wie in Bild A-11 dargestellt. Bild A-12 zeigt die Lage der Masterknoten mit ihren Knotennummern.

14 Das Modell wird für diese Arbeit von der Professur für Dynamik und Mechanismentechnik bereitge-

stellt.


Bild 7-4 Triebsatzwelle mit Rädern und Bremsscheiben auf einem Schienenmodell in SIMPACK [23]

Tabelle 7-3 Bezeichnungen der angeschlossenen Elemente mit Beschreibung und Masterknotennummer

Komponente Bezeichnung Masterknotennummer

Radsatzlager links RSL 2998

Rad und Bremsscheibe links RAD 2466

Getriebelager (Radsatzwellenlager) links RSWL 2022

Stirnrad MITTE 1812

Getriebelager (Radsatzwellenlager) rechts RSWL 1101

Rad und Bremsscheibe rechts RAD 418

Radsatzlager rechts RSL 34

Bild 7-5 Triebsatzwelle mit Bezeichnungen der angeschlossenen Elemente [24]

RSL

RSWL

MITTE RSWL RAD RSL RAD


In Bild A-10 zeigt die Topologie bei der Simulation in SIMPACK, wie sie in [23] verwendet wird. Da die Analyse der Triebsatzwelle nicht Bestandteil dieser Arbeit ist, wird auf den Ein-bauzustand und die Topologie nicht näher eingegangen. Die Triebsatzwelle wird lediglich als Erprobungsmodell verwendet. Wie in Kapitel 2 beschrieben, wird nachfolgend eine verein-fachte Topologie entwickelt, die den Einbauzustand hinreichend genau abbildet. Hierfür wer-den folgende Annahmen getroffen:

• Die Trägheiten der einzelnen Elemente werden über angehängte Starrkörper berück-sichtigt. Es wird grundsätzlich davon ausgegangen, dass die Schwerpunkte der an-gehängten Körper im Masterknoten liegen.

• Die Trägheiten von Rad und Bremsscheibe werden addiert. Die Gesamtmasse des Getriebes wird gleichmäßig auf das rechte und linke Getriebelager verteilt.

• Die Triebsatzwelle ist am Radsatzlager und am Getriebelager mit Chassis der Loko-motive verbunden. Die Verbindung wird mit elastischen Verbindungselementen in den zugehörigen Masterknoten modelliert. Die Steifigkeits- und Dämpfungsparameter werden den Technischen Daten der zugehörigen Lager entnommen.

• Die Triebsatzwelle wird über ein Moment um die y-Achse im Masterknoten 1812 an-getrieben (Koordinatensystem aus Bild 7-4).

• Um einen Stoß im Rad-Schiene-Kontakt zu modellieren wird in den Masterknoten 418 und 2466 eine Einzellast in z-Richtung eingeleitet (Koordinatensystem aus Bild 7-4).

• Die Lasteinleitung erfolgt mittels einer Sprungfunktion bei t=1s.

Die Eingabedaten, welche von der Professur für Dynamik und Mechanismentechnik bereit-gestellt werden, sind auf der Daten-CD im Ordner „Erprobungsmodell-Triebsatzwelle“ abge-legt. Aus ihnen werden die Eingabedaten für das EMKS-Programm entwickelt. Sie können im Detail anhand der Screenshots im Anhang A.5 nachvollzogen werden.

7.2.2 Ergebnisse der Zeitbereichssimulation im Vergleich zu modalen Korrela-tionskriterien

In diesem Kapitel wird eine Analyse des in Kapitel 7.2.1 vorgestellten Erprobungsmodells mit dem EMKS-Programm durchgeführt. Für die Beschreibung der Triebsatzwelle werden vier reduzierte FE-Modelle verwendet, welche mit unterschiedlichen Reduktionsverfahren bzw. Reduktionsparametern erstellt werden. Ein Modell mit hoher Abbildungsgüte dient hierbei als Referenzmodell. Der Vergleich der Zeitsignale, der übrigen Modelle mit dem Referenzmodell ermöglicht deren Verifikation für den in Kapitel 7.2.1 gewählten Einbauzustand. Die Zeitsig-nale werden auf zwei Arten verglichen. Zunächst wird mittels Diagrammen eine visuelle Be-urteilung durchgeführt. Anschließend wird der in Kapitel 2.3 vorgeschlagene Korrelationsko-effizient berechnet. Vor dem Hintergrund des visuellen Vergleichs wird die Verwendbarkeit und Sensitivität des Korrelationskoeffizienten bewertet.

Bei der Modellordnungsreduktion der Modelle in MORPACK, wird zusätzlich eine Korrelation auf Basis modaler Kriterien durchgeführt. Die Ergebnisse der Verifikation durch die Zeitbe-reichssimulation werden abschließend mit der modalen Korrelation verglichen.


Als Reduktionsverfahren werden die Component Mode Synthesis (CMS-FIXED) und die Kry-lov Subspace Method (KSM, Krylov Unterraumverfahren) ausgewählt. Mit CMS-FIXED wird ein Standardverfahren verwendet, welches in vielen kommerziellen FE-Programmen imple-mentiert. Die Abbildungsgenauigkeit dieses Verfahrens wird jedoch häufig kritisiert (z.B. in [12] und [4]). Nach [12] werden hochfrequente Bewegungen bei einer Modellordnungsreduk-tion mit dem Krylov Unterraumverfahren gut approximiert. Die Frequenzantwort des reduzier-ten FE-Modells stimmt in der Regel gut mit der des vollen FE-Modells überein. Tabelle 7-4 zeigt die wesentlichen Parameter der reduzierten Modelle. Die vollständige Definition der Reduktionsparameter ist auf der Daten-CD im Ordner „Erprobungsmodell-Triebsatzwelle“ abgelegt.

Tabelle 7-4 wesentliche Parameter der reduzierten FE-Modelle

Modell Reduktionsverfahren CB- bzw. Krylov-Moden elastischer Freiheitsgrad

CMS52 CMS-FIXED 42 + 10 Zusatzmoden 20

CMS62 CMS-FIXED 42 + 20 Zusatzmoden 20

KSM52 KSM 52 20

REF KSM 62 20

Mit dem Korrelationskoeffizienten gemäß Gleichung (2.4) werden die Zeitsignale der Ge-schwindigkeit des Masterknotens 1812 korreliert. Das Modell REF besitzt die höchste Abbil-dungsgüte und dient hierbei als Referenzmodell. Die Ergebnisse sind in Tabelle 7-5 darge-stellt. Sie werden nachfolgend mit den zugehörigen Diagrammen verglichen, um die Ver-wendbarkeit und Sensitivität des Korrelationskoeffizienten zu beurteilen.

Wie in Kapitel 2.3 beschrieben liefert der Korrelationskoeffizient für identische Zeitsignale den Wert eins. So wird zunächst festgestellt, dass das Modell KSM52 eine hervorragende Übereinstimmung mit dem Referenzmodell aufweist. Bild 7-6 zeigt die zugehörigen Zeitver-läufe. Die Kurven des untersuchten Modells sind hierbei farbig dargestellt. Die Kurven des Referenzmodells sind in schwarz dargestellt. Die Aussage, welche auf Basis der Korrelati-onskoeffizienten getroffen wird, wird durch die Diagramme in Bild 7-6 bestätigt. Die Verläufe zeigen eine gute Übereinstimmung.


Tabelle 7-5 Ergebnisse der Korrelationskoeffizienten

Modell vx vy vz ωx ωy ωz

CMS52 0,6349 -0,1564 -0,0421 0,9383 0,0092 0,0053

CMS62 0,0061 -0,1121 -0,0011 0,9382 0,0008 0,0006

KSM52 1,0007 1,0028 1,0010 1,0000 1,0001 1,0000

Bild 7-6 Ergebnisse Modell KSM52


Bild 7-7 Ergebnisse Modell CMS52

Bild 7-7 zeigt die Ergebnisse der Zeitbereichssimulation von Modell CMS52. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Ergebnisse stark abweichen. Die dynamischen Eigenschaften des Referenzmodells werden nicht hinreichend approximiert. Diese Aussage wird durch die Er-gebnisse des Korrelationskoeffizienten bestätigt. Es wird deutlich, dass die Zeitsignale eine schlechte Übereinstimmung aufweisen, wenn der Korrelationskoeffizient nicht im Bereich von 0,9 bis 1,1 liegt.

Besonders auffällig ist der Verlauf der Winkelgeschwindigkeit ωx. Das Ergebnis von Modell CMS52 (rote Kurve) stellt den M ittelwert der Schwingbewegung des Referenzmodells dar. Der zugehörige Korrelationskoeffizient hat den W ert 0,9383. Es wird deutlich, dass die Er-gebnisse in einem solchen Fall deutlich näher an eins liegen als bei den restlichen Kurven. Der Korrelationskoeffizient ist in einem solchen Fall weniger sensitiv. Es wird angenommen, dass der Korrelationskoeffizient zwischen 0,95 und 1,05 liegen muss um eine sehr gute Übereinstimmung der Ergebnisse zu gewährleisten.

Die für Modell CMS52 getroffenen Aussagen sind auch für das Modell CMS62 gültig. Auffäl-lig ist, dass die Ergebnisse trotz einer höheren Anzahl von CB-Moden schlechter korreliert sind als bei Modell CMS52. Die Diagramme zum Modell CMS62 sind im Anhang A.6 in Bild Bild A-22 dargestellt.


Im nächsten Schritt werden die Ergebnisse der Verifikation aus Tabelle 7-5 mit den Ergeb-nissen der modalen Korrelation verglichen. Die Gemeinsamkeiten und Unterschiede werden diskutiert. Abschließend wird festgehalten welche Vorteile aus der durch diese Arbeit bereit-gestellten Korrelationsmethode gezogen werden können. Als modale Korrelationskriterien werden in MORPACK NRFD und modMAC verwendet. [4, p. 553]

NRFD ist ein eigenfrequenzbezogenes Kriterium und das gängigste Verfahren aus dieser Kategorie. Es liefert für jede Eigenfrequenz einen Wert zwischen 0% und 100%. Dieser Wert entspricht der relativen Abweichung der Eigenfrequenz des reduzierten Modells, von der des Vollmodells. Abweichungen von mehr als einem Prozent gelten als kritisch.

Nach [4, p. 553] bedeutet eine gute Übereinstimmung der Eigenfrequenzen nicht, dass auch die Eigenmoden hinreichend gut übereinstimmen. Deshalb wird zusätzlich das eigenvek-torbezogene Kriterium modMAC verwendet, welches das gängigste Verfahren aus dieser Kategorie ist. Bei modMAC gelten zwei Eigenvektoren als gut korreliert, wenn der MAC-Wert über 80% liegt. Eine detaillierte Beschreibung des modMAC ist in [4, p. 554] zu finden.

Das Modell CMS52 weist gemäß Tabelle 7-5 eine schlechte Übereinstimmung mit dem Refe-renzmodell auf. Gemäß der Verifikation mittels Zeitbereichssimulation, besitzt das Modell CMS52 also eine schlechte Abbildungsgüte. Bild A-23 zeigt das NRFD-Kriterium für die aus-gewählten Eigenfrequenzen. Die relative Abweichung liegt nur bei drei der 20 Eigenfrequen-zen unterhalb von einem Prozent. Die Abbildungsgüte des Modells ist also auch nach dem NRFD-Kriterium schlecht.

Das modMAC-Kriterium (Bild A-24) liefert für die ersten 17 Eigenvektoren MAC-Werte von über 95%. Für die restlichen Moden wird ein Wert von über 80% berechnet. Deshalb gilt das Modell CMS52 nach dem modMAC-Wert als gut korreliert.

Es wird davon ausgegangen, dass mit der Zeitbereichssimulation die Abbildungsgüte für die modellierte Topologie korrekt beurteilt wird. In diesem Fall liefert das NRFD-Kriterium ein übereinstimmendes Ergebnis. Der modMAC-Wert beurteilt die Abbildungsgüte des Modells zu gut.

Das Modell CMS62 besitzt nach dem Korrelationskoeffizient aus Tabelle 7-5 für einige Koor-dinaten eine schlechtere Abbildungsgenauigkeit als CMS52. Die Beurteilung durch das NRFD-Kriterium (Bild A-25) fällt jedoch besser aus. Im relevanten Frequenzbereich weichen nur neun Eigenfrequenzen um mehr als ein Prozent ab. Der Vergleich mit der Zeitbereichs-simulation zeigt, dass diese Abweichung nicht hinnehmbar ist. Auch der modMAC-Wert (Bild A-26) korreliert Modell CMS62 besser als Modell CMS52.

Das Modell KSM52 zeigt bei der Zeitbereichssimulation als einziges eine hervorragende Übereinstimmung. Bei diesem Modell werden auch die Eigenfrequenzen mit dem NRFD-Kriterium (Bild A-27) sehr gut korreliert. Die relativen Abweichungen liegen im Bereich von 0,01% und 0,0001%. Sie sind somit wesentlich geringer als bei den Modellen CMS52 und CMS62. Das modMAC liefert für alle verwendeten Eigenvektoren (Eigenmoden) einen Wert von 100%.


Es wird zusammenfassend festgestellt, dass die Korrelationsergebnisse aus der Zeitbe-reichssimulation mit der Aussage des NRFD-Kriteriums übereinstimmen. Es sei dahinge-stellt, ob eine realitätsgetreue Beurteilung der Abbildungsgüte der Modelle CMS52 und CMS62 allein mit dem NRFD-Kriterium möglich ist. Das modMAC-Kriterium korreliert die Modelle CMS52 und CMS62 zu gut. In den Kapiteln 1.1 und 2.1 wird die Annahme getroffen, dass sich die Abbildungsgüte reduzierter FE-Modelle erst im Rahmen einer Zeitbereichssi-mulation zeigt. Diese Annahme wird durch die Untersuchungen in diesem Kapitel bestätigt.

Die hohe A bbildungsgüte des Modells KSM52 wird auch bei den m odalen Kriterien durch sehr gute Werte deutlich. Dieser Sachverhalt wirft die Frage auf, ob die Bewertungsgrenzen der modalen Kriterien verschärft werden müssen. Bei den untersuchten Modellen zeigt sich eine hohe Abbildungsgüte erst bei NRFD-Werten, die kleiner als 0,01% sind und bei MAC-Werten, die annähernd 100% sind.

7.2.3 Optimierung durch Zeitbereichssimulation

In diesem Kapitel wird die Optimierung reduzierter FE-Modelle mittels Zeitbereichssimulation erprobt. Hierfür werden die, in Kapitel 2.1 vorgeschlagenen Schritte a) bis d) (siehe auch Bild 2-4, Seite 9) angewendet.

a) Simulation eines reduzierten FE-Modells mit hoher Abbildungsgüte Dieser Schritt wird schon in Kapitel 7.2.2 abgearbeitet. Das Modell KSM52 zeigt als ein-ziges Modell eine gute Übereinstimmung mit dem Referenzmodell. Es wird deshalb für die Optimierung ausgewählt. Das vorliegende Modell mit zwanzig globalen Ansatzfunkti-onen, wird als Ausgangskonfiguration für die Optimierung gewählt.

b) Eliminieren der Ansatzfunktionen mit geringer Beteiligung an den M odelleigen-schaften Wie in Kapitel 2.1 beschrieben, werden Ansatzfunktionen mit geringer Beteiligung an den Modelleigenschaften mit Hilfe des Zeitsignals der ihnen zugehörigen elastischen Koordinate ermittelt. Kleine Ausschläge weisen auf eine geringe Beteiligung hin. Für die Bewertung der zwanzig elastischen Koordinaten wird folgendes Vorgehen verwendet:

• Aus dem Zeitsignal wird der Maximalwert ermittelt. • Aus dem Zeitsignal wird der Mittelwert ermittelt. • Für die Bewertung wird wiederum der Mittelwert von Maximalwert und Mittelwert

gebildet.

Die Berechnung des Bewertungskriteriums wird mit dem MATLAB-Skript SelMode.m durchgeführt. Das Skript wird auf der Daten-CD abgelegt. Bild 7-8 zeigt die Ergebnisse des Bewertungskriteriums für alle Ansatzfunktionen. Im nächsten Schritt werden die An-satzfunktionen mit einem niedrigen Bewertungskriterium eliminiert. Es existiert derzeit noch kein formales Kriterium für die Auswahl dieser Ansatzfunktionen.

Für die Untersuchungen in diesem Kapitel werden fünf Ansatzfunktionen mit einer sehr niedrigen Beteiligung gewählt. Es handelt sich hierbei um die Ansatzfunktionen

10 11 13 17 19.


Durch das Eliminieren dieser Ansatzfunktionen wird der elastische Freiheitsgrad des Modells von 20 auf 15 reduziert. Auf diesem Wege entsteht das optimierte Modell.

Das eliminieren der Ansatzfunktionen erfolgt durch Löschen der entsprechen Zeilen und Spalten aus den S ystemmatrizen (Daten zur Beschreibung des elastischen Körpers, Kapitel 3.6 und 6.1.). Hierfür wird das Skript delModes.m vorgeschlagen. Bei der An-wendung müssen die relevanten Ansatzfunktionen, wie nachfolgend dargestellt, in den Zeilenvektor del geschrieben werden. Das Skript delModes.m wird auf der Daten-CD abgelegt.

del = [ 10 11 13 17 19 ];

Bild 7-8 Bewertungskriterium für Ansatzfunktionen

c) Simulation des in b) entstandenen Modells Das optimierte Modell wird erneut mit dem gleichen Simulationsszenario simuliert.

d) Abweichung zwischen den Zeitsignalen prüfen Im letzten Schritt wird das optimierte Modell mit dem Ausgangsmodell (KSM52) vergli-chen. Der Vergleich wird wie in Kapitel 7.2.2 mit Diagrammen und dem Korrelationskoef-fizienten durchgeführt. Die Ergebnisse werden nachfolgend diskutiert.

Die Korrelationskoeffizienten (Tabelle 7-6) zeigen eine gute Übereinstimmung der Zeitsigna-le des optimierten Modells mit dem Ausgangsmodell (KSM52). Es wird deutlich, dass die Winkelgeschwindigkeiten besser korreliert werden als die translatorischen Geschwindigkei-ten. Der Korrelationskoeffizient für die Geschwindigkeit vz liegt nicht mehr im empfohlenen Bereich (Kapitel 7.2.2).


Der visuelle Vergleich der Zeitsignale in Bild 7-9 bestätigt dieses Ergebnis. Bei den translato-rischen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind Abweichungen deutlich sichtbar. Die Winkelgeschwindigkeiten zeigen eine sehr gute Übereinstimmung.

Tabelle 7-6 Korrelationskoeffizienten des optimierten Modells im Vergleich zum Ausgangsmodell

vx vy vz ωx ωy ωz

1,0219 0,9838 0,9412 1,0000 1,0098 1,0040

Bild 7-9 Ergebnisse optimiertes Modell

Tabelle 7-7 Vergleich der Rechenzeiten und des elastischen Freiheitsgrads

Modell elastischer Freiheitsgrad Rechenzeit

KSM52 20 72 min

optimiertes Modell 15 41 min


Der Vergleich der Rechenzeiten in Tabelle 7-7 zeigt eine Verringerung dieser von 43%. Die Untersuchungen in diesem Kapitel haben somit gezeigt, dass die Optimierung eines redu-zierten FE-Modells mit der vorgeschlagenen Prozesskette, eine erhebliche Einsparung der Rechenzeit zur Folge haben kann. Als nachteilig muss jedoch angemerkt werden, dass bei den translatorischen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, Abweichungen zwischen den Zeitsignalen erkennbar sind.

Im vorliegenden Fall werden die elastischen Koordinaten im ersten Schritt relativ stark redu-ziert (25%). Für zukünftige Untersuchungen wird empfohlen, die elastischen Koordinaten in kleineren Schritten zu reduzieren. Weiterhin enthält das Simulationsszenario nur einen Anre-gungsfall. Die Ergebnisse werden nur an einem Masterknoten ausgewertet. Es wird ange-nommen, dass komplexere und somit allgemeingültigere Simulationsszenarien und eine ge-zieltere Reduktion der elastischen Koordinaten, zu besseren Optimierungsergebnissen füh-ren. Es wird erwartet, dass die Verringerung der Rechenzeit hierbei etwas geringer ist. Die Ergebnisqualität wird dafür jedoch sicher erhöht.

Abschließend wird darauf hingewiesen, dass das primäre Ziel dieser Arbeit die Implementie-rung des EMKS-Programms in MATLAB ist. Die Erprobung in diesem Kapitel wird nur in ei-nem geringen Umfang durchgeführt. Um die Erkenntnisse aus diesem Kapitel zu vertiefen, werden weitere Untersuchungen empfohlen. Hierauf wird in Kapitel 8 nochmals eingegan-gen.

8 Zusammenfassung und Ausblick 112

8 Zusammenfassung und Ausblick Das primäre Ziel dieser Arbeit ist die Implementierung eines EMKS-Programms in MATLAB und die Anbindung an MORPACK. Ziel der Implementierung ist es, reduzierte FE-Modelle aus MORPACK mit dem EMKS-Programm zu verifizieren. Um die Anforderungen an das EMKS-Programm zu definieren, wird in Kapitel 2 zunächst eine Prozesskette für die Verifika-tion und Optimierung durch eine Zeitbereichssimulation konzipiert. Es wird festgestellt, dass für die Umsetzung dieses Konzepts, zusätzlich noch Module für die Korrelation von Zeitver-läufen und für die Optimierung nötig sind. Ziel dieser Arbeit ist jedoch nur die Implementie-rung des EMKS-Programms. Deshalb wird empfohlen, die Implementierung der zusätzlichen Module in nachfolgenden Arbeiten zu erledigen. Einige Empfehlungen hierfür werden am Ende dieses Kapitels gegeben.

Die Anforderungen an das EMKS-Programm werden in Kapitel 2 in Form einer Topologie formuliert. Diese Topologie hängt von den Nutzereingaben ab; viele Parameter sind variabel. In Kapitel 3 werden die theoretischen Grundlagen hergeleitet, welche für die Bearbeitung der Aufgabe notwendig sind. Auf Basis dieser Grundlagen wird in den Kapiteln 4 und 5 ein For-malismus bereitgestellt, welcher die Bewegungsgleichungen in Abhängigkeit von den N ut-zereingaben aufstellt. Nachfolgend werden wesentliche Aspekte der Umsetzung genannt und ein Ausblick auf die Weiterentwicklung des EMKS-Programms gegeben.

Für die Beschreibung räumlicher Drehungen werden in dieser Arbeit Kardanwinkel verwen-det. Das Erreichen singulärer Lagen muss deshalb bei der Modelldefinition ausgeschlossen werden. Im Zuge einer Weiterentwicklung wird empfohlen, weitere Drehbeschreibungen zu implementieren. So besitzen z.B. Euler-Parameter keine singulären Lagen. Jedoch führt ihre Verwendung häufig zu einem Drift, welcher aber durch geeignete Maßnahmen verhindert werden kann (Kapitel 3.2.1).

Als Körperbezugssystem wird das Buckens-System verwendet. Im Rahmen der Betrachtung der gebräuchlichsten Körperbezugssysteme in Kapitel 3.4 hat es sich herausgestellt, dass das Buckens-System für die vorliegende Aufgabe am besten geeignet ist.

Für den Aufbau der Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten wird in dieser Arbeit ein Formalismus verwendet, der überschaubar und einfach zu debuggen ist. Dies ist damit zu begründen, dass das primäre Ziel in der Berücksichtigung elastischer Deformationen in Mehrkörpersystemen liegt. Es ist nicht das Ziel, den flexibelsten und numerisch effizientesten Formalismus zu finden. Aufbauend, auf dem in dieser Arbeit erstellten EMKS-Programm, können andere Formalismen implementiert und erprobt werden.

Der verwendete Formalismus ist an den rekursiven Algorithmus angelehnt. Die Verwendung eines vollständigen rekursiven Algorithmus erweitert das Spektrum der möglichen Topolo-gien. Zusätzlich wird eine Verkürzung der Rechenzeiten erwartet. Schleifenschlüsse sind derzeit nur mit elastischen Verbindungselementen möglich. Mitunter ist es sinnvoll auch Schleifenschlüsse durch kinematische Bindungen (DAE-System) zu ermöglichen. Im Rah-men der Anwendung wird sich zeigen, ob der derzeitige Funktionsumfang des EMKS-


Programms ausreichend ist. Evtl. müssen komplexere Topologien definiert werden, oder die Rechenzeiten sind kritisch. In diesem Fall ist es empfehlenswert, die Verwendung anderer Formalismen in einer nachfolgenden Arbeit zu untersuchen.

Durch das EMKS-Programm ist es derzeit schon möglich einfache Mehrkörpersysteme (sie-he Triebsatzwelle in Kapitel 7.2) direkt in MORPACK zu analysieren. In diesem Fall wird kein externes MKS-Programm mehr benötigt. Bei Bedarf kann diese Funktionalität in einer nach-folgenden Arbeit erweitert werden.

Das Ergebnis dieser Arbeit ist ein eigenständiges EMKS-Programm. Der Nutzer kann Topo-logien, im Rahmen, der in Kapitel 2 festgelegten Grenzen, über eine grafische Benutzerober-fläche definieren. Für die Beschreibung elastischer Körper werden reduzierte FE-Modelle aus MORPACK verwendet. Die Ergebnisse werden dreidimensional animiert und i n Dia-grammen dargestellt. Die Verifikation mit SIMPACK in Kapitel 7.1 hat gezeigt, dass der EMKS-Formalismus fehlerfrei aufgestellt und implementiert ist.

In Kapitel 7.2 wird die Prozesskette aus Kapitel 2 erprobt. Als Erprobungsmodell wird die Triebsatzwelle einer dieselhydraulischen Lokomotive verwendet. Die Implementierung der Module, zur Verifikation und Optimierung, wird erst in nachfolgenden Arbeiten durchgeführt. Deshalb wird die Erprobung manuell durchgeführt. Die Ansatzfunktionen mit geringer Beteili-gung am dynamischen Verhalten des reduzierten Modells, werden über die Ausschläge der zugehörigen elastischen Koordinaten im Zeitsignal ermittelt. Die für die Beurteilung verwen-dete Kombination aus Mittelwert und Maximalwert, hat sich als gut geeignet erwiesen.

Aus dem Ausgangsmodell werden die fünf Ansatzfunktionen mit der geringsten Beteiligung eliminiert. Dies führt zu einer Rechenzeitersparnis von 43%. Die Abweichungen vom Aus-gangsmodell zum optimierten Modell werden hierbei als hinreichend genau eingestuft. Je nach Anwendungsfall sind jedoch mitunter geringere Abweichungen erforderlich. Es wird deshalb empfohlen, pro Iterationsschritt nur ein bis zwei Ansatzfunktionen zu eliminieren.

Der in Kapitel 2.3 vorgestellte Korrelationskoeffizient wird für den Vergleich der Zeitsignale als gut geeignet angesehen. Bei einer idealen Übereinstimmung besitzt er den Wert 1. Als Toleranzbereich für die Optimierung wird, je nach Genauigkeitsanforderung, entweder 0,95 bis 1,05 oder 0,975 bis 1,025 empfohlen.

Abschließend wird darauf hingewiesen, dass das primäre Ziel dieser Arbeit die Implementie-rung des EMKS-Programms in MATLAB ist. Die Erprobung der Optimierung wird nur in ei-nem geringen Umfang durchgeführt. Um die Erkenntnisse aus diesem Kapitel zu vertiefen, werden weitere Untersuchungen empfohlen.

Zunächst ist die Bestätigung der gewonnenen Erkenntnisse, mit einer größeren Anzahl an Erprobungen mit verschiedenen Modellen notwendig. Im vorliegenden Fall wird ein Simulati-onsszenario mit einer Anregung verwendet. Die Auswertung erfolgt nur an einem Masterkno-ten. Bei der Weiterentwicklung müssen komplexere Simulationsszenarien mit unterschiedli-chen Anregungen an mehreren Masterknoten erfolgen. Zusätzlich müssen die Zeitsignale an allen Masterknoten korreliert werden. Auf Grundlage der hierbei gesammelten Erfahrungen,


kann das Optimierungsverfahren weiter präzisiert werden. Für die Weiterentwicklung des Optimierungsverfahrens wird [5] als vertiefende Literaturquelle empfohlen.

Eine weitere Frage ist hierbei, ob für die Optimierung ein weitgehend allgemeingültiges oder ein auf den Anwendungsfall bezogenes Simulationsszenario verwendet wird. Ein auf den Anwendungsfall bezogenes Simulationsszenario ist hierbei sicher effizienter. Es erfordert jedoch auch einen höheren Arbeitsaufwand und größeres Fachwissen des MORPACK-Nutzers für die Erstellung dieses Simulationsszenarios.

Anschließend wird festgestellt, dass die in dieser Arbeit vorgestellte Methode für die Verifika-tion und Optimierung reduzierter FE-Modelle positiv zu bewerten ist. Der Vergleich der vor-liegenden Methode mit der modalen Korrelation hat ergeben, dass die reduzierten Modelle auf Grundlage einer Zeitbereichssimulation wesentlich genauer beurteilt werden. Die vorge-schlagene Optimierungsmethode ist ein vielversprechender Weg, um ein reduziertes Modell mit guter Abbildungsgüte und minimalem Freiheitsgrad zu erhalten. Durch das in MORPACK implementierte EMKS-Programm sind beide Methoden jetzt problemlos durchführbar.

Literaturverzeichnis 115

Literaturverzeichnis

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Abbildungsverzeichnis 118

Abbildungsverzeichnis Bild 2-1 Standardarbeitsablauf für die Einbindung eines reduzierten FE-Modells [2] .............. 6

Bild 2-2 Erweiterung der MORPACK-Prozesskette ................................................................ 7

Bild 2-3 Konvergenzverhalten reduzierter FE-Modelle ........................................................... 8

Bild 2-4 Prozesskette für die Optimierung .............................................................................. 9

Bild 2-5 Topologie des EMKS-Programms ........................................................................... 11

Bild 2-6 Verlauf des Kreuzkorrelationskoeffizienten corr bei Abweichung der Amplitude ...... 14

Bild 2-7 Verlauf des Kreuzkorrelationskoeffizienten corr bei Abweichung der Frequenz ..... 14

Bild 2-8 Verlauf des Kreuzkorrelationskoeffizienten corr bei Abweichung der Phasenlage ... 15

Bild 3-1 Elastischer Körper im dreidimensionalen Raum ...................................................... 23

Bild 3-2 Elastischer Körper mit eingeprägten Kräften ........................................................... 32

Bild 3-3 Festlegung des Körperbezugssystems mit kinematischen Zwangsbedingungen .... 41

Bild 4-1 vereinfachte Topologie ............................................................................................ 53

Bild 4-2 mechanische Skizze ............................................................................................... 54

Bild 4-3 Körper 0 ungebunden im Raum .............................................................................. 55

Bild 4-4 Körper 1 ungebunden im Raum .............................................................................. 57

Bild 4-5 Darstellung der Gelenkfreiheitsgrade ...................................................................... 66

Bild 6-1 Erforderliche Datenstruktur von cData ................................................................... 85

Bild 6-2 Programmablaufplan fEmbsMain ............................................................................ 91

Bild 7-1 elastischer Körper bei der Modellierung in ABAQUS ............................................... 98

Bild 7-2 Testmodells, dargestellt im EMKS-Programm ......................................................... 99

Bild 7-3 Simulationsergebnisse (SIMPACK und EMKS-Programm) für die Lage des Punktes B ........................................................................................................................................ 100

Bild 7-4 Triebsatzwelle mit Rädern und B remsscheiben auf einem Schienenmodell in SIMPACK [23].................................................................................................................... 102

Bild 7-5 Triebsatzwelle mit Bezeichnungen der angeschlossenen Elemente [24] ............... 102

Bild 7-6 Ergebnisse Modell KSM52 .................................................................................... 105

Bild 7-7 Ergebnisse Modell CMS52 .................................................................................... 106

Bild 7-8 Bewertungskriterium für Ansatzfunktionen ............................................................ 109

Bild 7-9 Ergebnisse optimiertes Modell .............................................................................. 110

Bild A-1 Beispielquader ungebunden in der Ebene ............................................................ 121

Bild A-2 Startbildschirm von MORPACK ............................................................................ 123

Bild A-3 Definition der allgemeinen Daten .......................................................................... 124

Bild A-4 Definition der Daten des elastischen Körpers ....................................................... 125

Abbildungsverzeichnis 119

Bild A-5 Definition der Daten eines angehängten Starrkörpers .......................................... 126

Bild A-6 Definition der Daten einer externen Last ............................................................... 127

Bild A-7 Definition der Daten eines elastischen Verbindungselements ............................... 128

Bild A-8 Testmodell in SIMPACK ....................................................................................... 129

Bild A-9 Bedeutung der Symbole im Programmablaufplan ................................................. 130

Bild A-10 Topologie der Triebsatzwelle bei der Simulation in SIMPACK [23] ..................... 131

Bild A-11 FE-Modell der Triebsatzwelle in ANSYS [23] ...................................................... 131

Bild A-12 Darstellung der Masterknoten in ANSYS [23] ..................................................... 131

Bild A-13 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, allgemeine Daten .......... 132

Bild A-14 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, Daten für den elastischen Körper ................................................................................................................................ 133

Bild A-15 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, Daten für Masterknoten 34 .......................................................................................................................................... 134

Bild A-16 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, Daten für Masterknoten 418 .......................................................................................................................................... 135

Bild A-17 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, Daten für Masterknoten 1101 .................................................................................................................................. 136





Bild A-22 Ergebnisse Modell CMS62 ................................................................................. 141

Bild A-23 NRFD Modell CMS52 ......................................................................................... 142

Bild A-24 modMAC Modell CMS52 .................................................................................... 142

Bild A-25 NRFD Modell CMS62 ......................................................................................... 143

Bild A-26 modMAC Modell CMS62 .................................................................................... 143

Bild A-27 NRFD Modell KSM52 ......................................................................................... 144

Bild A-28 modMAC Modell KSM52 .................................................................................... 144

Bild A-29 NRFD Modell REF .............................................................................................. 145

Bild A-30 modMAC Modell REF ......................................................................................... 145

Tabellenverzeichnis 120

Tabellenverzeichnis Tabelle 3-1 Zusammenfassung der Größen in der Bewegungsgleichung ............................ 40

Tabelle 3-2 Zusammenstellung der für das EMKS-Programm benötigten Daten im SID-Format ................................................................................................................................. 49

Tabelle 4-1 Erforderliche Größen für die Transformation auf Minimalkoordinaten ................ 63

Tabelle 4-2 Schema für die Herleitung der Jacobi-Matrix J .................................................. 69

Tabelle 6-1 Kürzel für die Festlegung des Datentyps ........................................................... 85

Tabelle 6-2 Variablen in der Struktur cData.Gen ................................................................ 86

Tabelle 6-3 Variablen in der Struktur cData.K0 .................................................................. 87

Tabelle 6-4 Aufbau der Matrix mInterface (exemplarisch) ................................................ 88

Tabelle 6-5 Variablen in der Struktur cData.Kk ................................................................. 89

Tabelle 6-6 Ausgabevariablen der Funktionen K0Kin und K1Kin ......................................... 95

Tabelle 7-1 Gelenkdefinition der Testfälle ............................................................................ 99

Tabelle 7-2 Korrelationskoeffizienten ................................................................................. 100

Tabelle 7-3 Bezeichnungen der angeschlossenen Elemente mit Beschreibung und Masterknotennummer ........................................................................................................ 102

Tabelle 7-4 wesentliche Parameter der reduzierten FE-Modelle ........................................ 104

Tabelle 7-5 Ergebnisse der Korrelationskoeffizienten ........................................................ 105

Tabelle 7-6 Korrelationskoeffizienten des optimierten Modells im Vergleich zum Ausgangsmodell ................................................................................................................ 110

Tabelle 7-7 Vergleich der Rechenzeiten und des elastischen Freiheitsgrads ..................... 110

Tabelle A-1 Allgemeine Eingabedaten ............................................................................... 129

Tabelle A-2 Eingabedaten des angehängten Starrkörpers ................................................. 129

Tabelle A-3 Eingabedaten für den elastischen Körper ....................................................... 130

A Anhang 121

A Anhang A.1 Beispiel: Formalismus für die Transformation auf Minimalkoor-

dinaten In diesem Kapitel wird der Formalismus an einem einfachen Beispiel in der Ebene erklärt. Bild A-1 zeigt einen Quader in der Ebene. Seine Lage ist durch den Vektor I I0r gegeben. Die Orientierung hängt nur vom Drehwinkel γ um die z-Achse ab. Das Gelenk 0A hat in der Ebene nur zwei translatorische Koordinaten, die in diesem Beispiel mit xA und yA bezeichnet werden. Da es sich um einen starren Körper handelt, wird auch die Orientierung des Knotens A durch γ beschrieben. Der Winkel γ entspricht somit der rotatorischen Gelenkkoordinate. Der Vektor 0 0Ar definiert die Lage des Knotens A auf dem starren Körper. Der Vektor z ergibt sich nach Gleichung (6.18).

Bild A-1 Beispielquader ungebunden in der Ebene

Der Vektor ϕ, welcher zunächst den generalisierten Koordinaten entspricht, ergibt sich nach Gleichung (6.19). Der Vektor z(ϕ) ergibt sich, wenn die Koordinaten von z in Abhängigkeit von ϕ ausgedrückt werden. Es ist zu beachten, dass der Vektor 0 0Ar hierfür ins Inertialsys-tem transformiert wird. Der Vektor z(ϕ) wird durch Gleichung (6.21) gegeben. Die Matrix Jϕ entsteht durch partielles Ableiten von z(ϕ) nach ϕ und ist in Gleichung (6.23) dargestellt. Der Vektor ϕJ ϕ

ergibt sich durch die Berechnungsvorschrift aus Gleichung (3.123) und ist in Gleichung (6.25) dargestellt.

I0x

I0y

rrγ

=

z (6.18)

A

A

yx

γ

=

ϕ (6.19) Ayγ

=

q (6.20)

y0

x0

z0

A

ϕ

y1

x1 S1

0 01r

1 1Ar

0 0Ar

A Anhang 122

( )( ) ( )( ) ( )

0Ax 0Ay

A 0Ax 0A

A

y

cos sinsin cos

ry r rx rγ γ

γ γγ

− ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅

z ϕ (6.21)

( )( ) ( )

( ) ( )0Ax 0Ay

A 0Ax 0Ay

cos sinsin cos

r ry r r

γ γγ γγ

− ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅

z q (6.22)

( ) ( )( ) ( )

0Ax 0Ay

0Ax 0Ay

0 sin cos1 co

1s sin

0 100

r rr rϕ

γ γγ γ

⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅

J (6.23)

( ) ( )( ) ( )

0Ax 0Ay

0Ax 0Ay

0 sin cos1 cos sin0 1

r rr r

γ γγ γ

⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅

J (6.24)

( ) ( )( ) ( )

0Ax 0Ay2

0Ax 0Ay

cos sinsin cos

0

r rr rϕ

γ γγ γ γ

⋅ − ⋅ = = ⋅ + ⋅

J Jqϕ

(6.25)

Das ungebundene System besitzt drei freie Koordinaten. Zur Veranschaulichung des Forma-lismus wird der Gelenkfreiheitsgrad xA gesperrt und die Schritte b) bis d) durchgeführt. Das gebundene System besitzt in diesem Fall zwei Freiheitsgrade (yA und γ).

b) Der gesperrte Freiheitsgrad xA ist in Gleichung (6.19) bereits rot markiert. Er wird null gesetzt und aus dem Vektor ϕ gestrichen. Hierdurch entsteht aus ϕ der Vektor der Mi-nimalkoordinaten q mit den Dimensionen [2 x 1] (Gl.(6.20)).

c) Aus ϕ wird die erste Zeile gestrichen. Deshalb muss aus Jϕ die erste Spalte gestrichen werden, die in Gleichung (6.23) bereits rot markiert ist. Aus Jϕ entsteht die Matrix J mit den Dimensionen [3 x 2] (Gl.(6.24)).

d) Der gesperrte Freiheitsgrad xA wird in z(ϕ), J und ϕJ ϕ

null gesetzt. In diesem einfachen Beispiel ist nur z(ϕ) von xA abhängig. Der entsprechende (rot eingefärbte) Term wird aus Gleichung (6.21) entfernt, es folgt z(q) (Gl.(6.22)).

A Anhang 123

A.2 Screenshots der grafischen Benutzeroberfläche des EMKS-Programms

Bild A-2 Startbildschirm von MORPACK

A Anhang 124

Bild A-3 Definition der allgemeinen Daten

A Anhang 125

Bild A-4 Definition der Daten des elastischen Körpers

A Anhang 126

Bild A-5 Definition der Daten eines angehängten Starrkörpers

A Anhang 127

Bild A-6 Definition der Daten einer externen Last

A Anhang 128

Bild A-7 Definition der Daten eines elastischen Verbindungselements

A Anhang 129

A.3 Topologie und E ingabedaten des Modells zur Verifikation mit SIMPACK

Bild A-8 Testmodell in SIMPACK

Tabelle A-1 Allgemeine Eingabedaten

Anfangsbedingungen alle 0

externe Lasten Erdbeschleunigung -9,81 m/s² in negative y-Richtung

Zeitintegrator ode15s

relative Integrationstoleranzen 1e-6

absolute Integrationstoleranzen 1e-4

Gelenkdämpfung 1 Ns/m (für alle freien Gelenkkoordinaten)

Tabelle A-2 Eingabedaten des angehängten Starrkörpers

Länge 0,3 m

Breite 0,05 m

Höhe 0,05 m

Masse 5,8875 kg

Trägheitstensor diag( 0,0025 ; 0,0454 ; 0,0454 )

Vektor vom Schwerpunkt zum Anbindungspunkt -[ 0,15 ; 0,025 ; 0,025 ]

A Anhang 130

Tabelle A-3 Eingabedaten für den elastischen Körper

Geometrie

und

Werkstoffkennwerte

Länge 0,3 m

Breite 0,015 m

Höhe 0,015 m

Dichte 2700 kg/m³

E-Modul 1050 N/mm²

Vernetzung in ABAQUS Knoten 921

Elemente 120 quadratische Hexaeder Elemente

Modellordnungsreduktion in MORPACK

Verfahren CMS FIXED

gewählte Moden Frequenz

7 23,675 Hz

8 23,675 Hz

9 64,267 Hz

10 64,267 Hz

11 123.386 Hz

12 123.386 Hz

13 128,131 Hz

14 199,19 Hz

15 199,19 Hz

Modale Dämpfung 0.01

A.4 Bedeutung der Symbole im Programmablaufplan

Bild A-9 Bedeutung der Symbole im Programmablaufplan

Schnittstelle Ein- /Ausgabe Funktion / Operation

Unterfunktion Verzweigung

A Anhang 131

A.5 Erprobungsmodell Triebsatzwelle – Topologie und E ingabeda-ten

Bild A-10 Topologie der Triebsatzwelle bei der Simulation in SIMPACK [23]

Bild A-11 FE-Modell der Triebsatzwelle in ANSYS [23]

Bild A-12 Darstellung der Masterknoten in ANSYS [23]

A Anhang 132

Bild A-13 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, allgemeine Daten

A Anhang 133

Bild A-14 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, Daten für den elastischen Körper

A Anhang 134

Bild A-15 Eingabedaten für Triebsatzwelle im EMKS-Programm, Daten für Masterknoten 34

A Anhang 135


A Anhang 136


A Anhang 137


A Anhang 138


A Anhang 139


A Anhang 140


A Anhang 141

A.6 Erprobungsmodell Triebsatzwelle – Ergebnisse

Bild A-22 Ergebnisse Modell CMS62

A Anhang 142

Bild A-23 NRFD Modell CMS52

Bild A-24 modMAC Modell CMS52

A Anhang 143

Bild A-25 NRFD Modell CMS62

Bild A-26 modMAC Modell CMS62

A Anhang 144

Bild A-27 NRFD Modell KSM52

Bild A-28 modMAC Modell KSM52

A Anhang 145

Bild A-29 NRFD Modell REF

Bild A-30 modMAC Modell REF

1 Überschrift 1 - qucosa

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