第1 回 数学Ⅱ・数学 b - ckt販売 | 小学校低...
TRANSCRIPT
センター試験 40 分模試
第 1 回
数学Ⅱ・数学 B
第1問 (配点 30 点)
[1] 0≦ 2 の範囲で関数 123 1
2 cossinf を考える。
tsin とおけば
2ウ
イア tcos
であるから, fy とおくと
ク
キカ
オ
エ ウ tty
である。したがって, y の最大値は サ
ケコであり,最小値は
ス
シ である。
また, が 2
0 を満たす角で
27 38
f のとき
6
チ
タソセ
sin
である。
2
[2] 不等式
82 1
2 xx loglog ≦2
5 ……(*)
が成り立つような xの値の範囲を求めよう。
(1) 不等式(*)において, xは対数の底であるから
ツx かつ テx
を満たさなければならない。また
xx
2
8
loglog
ト
である。
(2) 不等式(*)は
テツ x のとき
22
2 ヌニナ xx loglog ≧0
テx のとき
22
2 ヌニナ xx loglog ≦0
と変形できる。したがって,求める xの値の範囲は
x ツ ≦
ノ
ネ , x テ ≦ ハ
である。
3
第2問 (配点 43 点)
tk, を実数とし,座標平面上に点 P( 1 0 2t, )をとる。曲線
kxxxy 32 23
をCとする。
(1) 点 Q( ktttt 32 23, )における曲線Cの接線が点 P を通るとすると
1 23 ttk イア
が成り立つ。
1 23 tttp イア)(
とおくと,関数 )(tp は
ウt で極大値 エ をとり,
オt で極小値 カ をとる。
したがって,点 P を通る曲線Cの接線の本数がちょうど 2 本となるのは, kの値が
キ または ク のときである。(ただし, キ < ク とする)
4
(2) 0k とする。このとき,曲線Cを原点に関して対称移動して得られる曲線をD,
x軸方向に-1, y 軸方向に6平行移動して得られる曲線を Eとする。
曲線Dを表す式は
xxxy 23 コケ
であり,曲線 Eを表す式は
23 シサ xxxy
である。したがって,曲線Dと曲線 Eの交点の x座標は
スセx , ソ
である。よって,曲線D, Eと直線 2x , y 軸で囲まれた二つの図形の面積の和は
タ
である。
5
第3問 (配点 27 点)
数列 na は 3 から始まり 2 ずつ増えていく自然数の列である。これを次のように群に
分ける。
・・・,|,,,,,,|,,,,|,, 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3
第 1 群 第 2 群 第 3 群
ここで,一般に第 n群は 12 n 個の項からなるものとする。第 n群の末項を nb で表す。
(1) アイ,,, 4321 31 17 7 bbbb である。
一般に,第 k群の末項 kb は
2 オエウ kkbk 3 2 1 ,,,k
と表せる。
よって,2011 は第 カキ 群の小さい方から クケ 番目の項である。
6
(2) 数列 nb と na の第 n項の差をとった数列 nn ab を数列 nc とする。
nncn 2 サコ
であるから
1
ソセス
シ
nnncn
k
k (ただし, セ < ソ とする)
また,
1
1
1
1
チタ nncn
であるから
)(
1
1 テツ
nn
c
n
k k
である。
7
センター試験 40 分模試 第 1 回
問題番号
(配点) 設問 解 答 記 号 正 解 配点 採点
第1問
(30)
[1]
ウイア t 221 t 3
ク
キカ
オ
エ ウ tt 22 22
3 3t t 3
サ
ケコ
310 3
ス
シ
32 3
チ
タソセ
6223 3
小 計 点
[2]
ツ 0 2
テ 1 2
x2
log
ト
x2
3log
2
22
2 ヌニナ xx loglog 352 22
2 xx loglog 3
ノ
ネ
22 3
ハ 8 3
小 計 点
第2問
(43)
1 23 tt イア 132 23 tt 3
ウ 0 3
エ 1 3
オ 1 3
カ 0 3
キ 0 4
ク 1 4
xxx 23 コケ xxx 32 23 4
23 シサ xxx 2423 xxx 4
スセ -2 4
ソ 1 4
タ 3 4
小 計 点
第3問
(27)
アイ 49 3
2 オエウ kk 142 2 kk 3
カキ 31 3
2
クケ 45 3
nn 2 サコ nn 22 2 3
ソセ
ス
シ nnn 21
3 2 nnn 4
1
1
1
チタ nn
1 1
1
2 1
nn 4
)( テツ nn
12 nn 4
小 計 点
合 計 点
第1問
[1]2 倍角の公式から 22 21212 t sincos …(答)
であるから 32
232
12131
2 22 ttttfy …(答)
65
23
32 2
t
0≦ 2 のとき 1 ≦ sin ≦1 ⇔ 1 ≦ t≦1
であるから, 右のグラフより
1t のとき最大値 3
1032
232
y …(答)
1t のとき最小値 32
32
232
y …(答) また, 2738
f のとき
2738
32
232 2 tt ⇔ 010279 2 tt ⇔ 013103 tt ⇔
31
3
10,t
1 ≦ sin ≦1 であるから 31
sint また 2
0 より 0cos
よって 3
2291
11 2 sincos 加法定理を用いて
6
22321
322
23
31
666
・・
sincoscossinsin …(答)
[2](1) 対数の底の条件から 0x かつ 1x …(答)
また,底の変換の公式から xxx
22
2 388
loglog
loglog …(答)
(2) 不等式(*)は x
x2
23
21
loglog ・ ≦
25
(ⅰ) 02 xlog すなわち 10 x のとき
32 22 )(log x ≧ x25 log ⇔ 352 2
22 xx loglog ≧0 …(答)
⇔ 312 22 xx loglog ≧0
O
3
条件より x2log ≦21
⇔ x0 ≦ 21
2
22
(ⅱ) 02 xlog すなわち 1x のとき
312 22 xx loglog ≦0
条件より x20 log ≦3 ⇔ x1 ≦ 823
(ⅰ)(ⅱ)より x0 ≦22, x1 ≦8 …(答)
第2問
(1) kxxxy 32 23 より 343 2 xxy だから,点 Q における接線の傾きは 343 2 tt
となり,接線の方程式は
txttkttty 34332 223
である。これが点 P 21 0 t, を通るとき
tttktttt 0343321 2232 ⇔ 132 23 ttk …(答)
が成り立つ。 132 23 tttp )( とおくと
1666 2 tttttp )( , 10 )(p , 01 )(p
だから,増減表は次のようになる。
これより, 0t で極大値 1, 1t で極小値 0
をとる。 …(答)
次に, 132 23 tty と ky の共有点を考える。
共有点の数だけ接線を決定する tの値があるので,
右図より,接線が 2 本となるのは
0k または 1 のときである。 …(答)
(2) 0k のときCは, xxxy 32 23 である。
Dを表す式は, yx, の代わりに yx , を代入して
xxxy 32 23 ⇔ xxxy 32 23 …(答)
Eを表す式は, yx, の代わりに 6 1 yx , を代入して
131216 23 xxxy
⇔ 2423 xxxy …(答)
したがって,Dと Eの交点の x座標は
2432 2323 xxxxxx
を解いて, 1 2,x …(答)
10 ≦≦ x の範囲では, EがDの上方にあり, 21 ≦≦ x
の範囲では,Dが Eの上方にあるので,求める面積は
dxxxxxxx 1
0
2323 3224 dxxxxxxx 2
1
2323 2432
… … …
O
O
4
dxxxdxxx 2 2 2
1
21
0
2
2
1
231
0
23 2 2
1 3
12
2 1
3 1
xxxxxx
32 2
1 3
142
3 8
2 2
1 3
1
…(答)
第3問
(1) もとの数列 na は,初項 3,公差 2 の等差数列だから 12123 nnan である。
また,初項から第 4 群の末項までにある項数は
244 15 4 2
1 212
4
1
・・・・k
k
だから, 49124 2244 ・ab …(答)
一般に,初項から第 k群の末項までにある項数は
kkkkkmk
m
21 2
1 212 2
1
・・
だから, 142122 2222 kkkkabkkk …(答)
これを用いて, 1921130 430 2 230 ・・b , 2047131 431 2 2
31 ・・b
だから,2011 は第 31 群に属している。
第 31 群は初項 1923,公差 2 の等差数列だから,これを nd とおくと
19212121923 nndn
201119212 n とおくと 45n
すなわち,2011 は第 31 群の 45 番目の項である。 …(答)
(2) nnnnnabc nnn 2212142 22 …(答)であるから
1 2
1 2121
6 1
2221
2
1
nnnnnkkcn
k
n
kk ・・
21 3
2 312 1
3 1
nnnnnn …(答)
また
1 1
1
2 1
1 1
2 1
22
1
12 nnnnnncn
・ …(答)
であるから
1 1
1
2 1
1
11 kkc
n
k
n
k k
1 1
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
11
2 1
nn・・・
= 12 1 2 1
1 1
1 2
1
n
n
n
n
n・ …(答)
5