: Общие сведения об уравнениях, . определение классификация

. Равносильность уравнений , 1 ЭМиПРМЗ Лекция

. . ., . к п н доц Пырков Вячеслав Евгеньевич

pyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.rupyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.ru

План1. Понятие уравнения2. Классификация уравнений3. Равносильность уравнений4. Общие методы решения уравнений5. Частные методы решения уравнений

Из истории уравнений

≈3000 лет до н.э. – древнеегипетские папирусы

≈2000 лет до н.э. – древневавилонские таблички

≈3 в. до н.э. – геометрическая алгебра + Диофант …

IX-ХV в. – арабы + Омар Хайям

XVI в. – итальянцы + французы

Становление теории уравнений – трудный и длительный процесс (≈ 46 веков)

1. Понятие уравненияОпределение: Предложение с переменной, имеющее вид

равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением.

Основные термины:- переменная;- неизвестное;- уравнение;- корень уравнения;- что значит решить уравнение?- система уравнений;- решение системы уравнений;- равносильность;- логическое следование и др.

Основные преобразования:1. Тождественные (скобки, подобные);2. Согласованные преобразования обеих

частей в результате применения арифметических действий (прибавление, умножение);

3. Преобразования, изменяющие логическую структуру:а) f(x)g(x)=0 → f(x)=0 или g(x)=0;б) почленное сложение, умножение или деление уравнений;в) способ подстановки;г) введение новой переменной.

2. Классификация уравнений

3. Равносильность уравнений

Пусть даны два алгебраических уравнения с одним R(x) = Q(x) S(x) = ( ). неизвестным и Т х Эти уравнения

, называются равносильными если любой корень первого , .уравнения является корнем второго уравнения и наоборот

Примерыравносильных переходов

1. R(x) = Q(x) R(x) - Q(x) = 0. ⇔

2. R(x) = Q(x) ⇔ R(x) + a = Q(x) + , а ∀ а∊R.

3. R(x) = Q(x) ⇔ aR(x) = aQ(x), ∀ а∊R/{0}.

4. ⊐ ∀ x∊R → R(x) = ( ), R(x) = Q(x) Т х то ⇔ ( ) = Q(x). Т х

3. Равносильность уравнений

Теоремыравносильности

1.Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, не меняющее области определения.

2.Если умножить (разделить) каждую часть уравнения на одно и то же выражение, не равное нулю и не меняющее области определения.

3.Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень;

4.Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то возведя обе части уравнения в четную степень, получим уравнение, равносильное данному.

3. Равносильность уравнений

25х-19=37-3х

25х+3х=27+19

28х=56

х=2

Равносильное преобразование

Тождественное преобразование

Равносильное преобразование

4. Общие методы решения уравненийАлгебраический метод (метод равносильных преобразований)

Сущность метода

1.Последовательный переход с помощью тождественных и равносильных преобразований от данного уравнения к более простым до тех пор, пока не получится одно или несколько простейших данного вида.

2.Решение простейших уравнений по известной формуле или алгоритму.

Два способа установления равносильности

1.Убедиться в совпадении множеств корней.

2.Применять преобразования, не нарушающие равносильность.

4. Общие методы решения уравненийАлгебраический метод (метод равносильных преобразований)Алгебраический метод (метод равносильных преобразований)

Равносильные преобразования уравненийРавносильные преобразования уравненийОбщие для всех видов:•перенос слагаемых из одной части в другую;•деление всех членов уравнения на одно и то же число;•приведение уравнения к целому виду;•смена знаков всех членов;•замена уравнения f(x)g(x)=0 на совокупность f(x)=0 и g(x)=0;•замена переменной.

Специальные:•возведение обеих частей в степень с натуральным показателем;•извлечение из обеих частей уравнения корня;•логарифмирование и потенцирование;•использование основных тригонометрических тождеств.

4. Общие методы решения уравненийНаглядно-графические приемы

Графический метод

Отыскание значений переменной х, соответствующей равным значениям функции f(x) и g(x) с помощью точки пересечения их графиков.

Метод интервалов•Найти корни уравнения, соответствующего данному неравенству.•Отметить их на числовой прямой, разбиваемой на интервалы.•Исследовать значение неравенства на каждом из полученных интервалов.

5. Частные методы решения уравненийУравнение первой степени

Уравнение второй степени

5. Частные методы решения уравненийУравнение второй степени

1.Замечание :Квадратное уравнение имеет

1) , Мнимые сопряженные корни еслиD<0;2) , Два совпадающих корня еслиD=0;3) , Два различных корня еслиD>0.

2.Замечание =1, :Если а то уравнение называется приведенным

Д/з: Выписать методы решения неполных квадратных уравнений и схему решения биквадратного уравнения.

5. Частные методы решения уравнений

5. Частные методы решения уравненийСимметричное уравнение третьей степени

Симметричное уравнение четвертой степени

Д/з: Выписать схему решения симметрического уравнения 4-й степени