11

22

pressione e densitàpressione e densità

SS

S

Un elemento di superficie può essere rappresentato da un

vettore SS che ha come modulo S e direzione perpendicolare all’elemento stesso

Si definisce pressionepressione p , , il modulo della forza normalenormale per unità di superficie p = F F /SS

La pressione è una grandezza scalare: si misura in pascal pascal : Pa: Pa

Altre unità di misura sono il bar bar ( 1 bar = 105 Pa); l’atmosfera atmosfera (101325 Pa) e il millimetro di mercurio millimetro di mercurio o torr (760 mmHg = 1 atm)

33

Per i liquidi, in generale, la Per i liquidi, in generale, la densitàdensità ρρ è dappertutto è dappertutto costante e si può vedere che la pressione aumenta costante e si può vedere che la pressione aumenta linearmente con la profonditàlinearmente con la profondità.

                                                                                                                  

La La densitàdensità ρρ di un fluido omogeneo (massa / volume) di un fluido omogeneo (massa / volume) può dipendere da molti fattori, quali la temperatura e può dipendere da molti fattori, quali la temperatura e la pressione del fluido stesso. la pressione del fluido stesso.

44

F

F

La pressione in un fluidoLa pressione in un fluido

applichiamo una forza perpendicolare alla superficie di un fluido in quiete

(la reazione elastica è maggiore nei liquidi che non nei gas)

aprendo dei fori in punti qualunque della superficie, il fluido fuoriesce in direzione perpendicolare alla superficie

(con “violenza” tanto maggiore quanto maggiore è l’intensità della forza)

55

FF

FF

La pressione in un fluidoLa pressione in un fluido

la forza F F si trasmette all’interno del fluido in modo tale che su ogni punto della superficie del fluido esiste una forza perpendicolare alla sup. , rivolta verso l’interno, che tende a ridurre il volume del fluido

FF esercita una pressione sul fluidoesercita una pressione sul fluido

in un fluido in equilibrio possono agire solo forze che si equilibrino tra loro la pressione esercitata da una forza sulla superficie di un elemento (ossia un

piccolo volume) viene trasmessa in ogni punto del fluido e in ogni direzione

66

Il principio di PASCALIl principio di PASCAL

La pressione esercitata su un fluido racchiuso in La pressione esercitata su un fluido racchiuso in un recipiente si trasmette invariata a qualsiasi un recipiente si trasmette invariata a qualsiasi punto del fluido e alle pareti del recipiente che lo punto del fluido e alle pareti del recipiente che lo contienecontiene

Un applicazione comune del principio di Pascal è il torchio idraulicotorchio idraulico

FF11

FF22

pistone piccolo

pistone grande Una piccola forza F1 sul

pistone piccolo produce una variazione di pressione, che si trasmette attraverso il liquido al pistone grande

F1FF11/A/A1 1 = F= F22/A/A22

AA11 AA22

Poiché l’area del pistone grande è molto maggiore di quella del pistone piccolola forza F2 è molto maggiore di

77

Prendiamo una colonna di liquido di sezione di area A Prendiamo una colonna di liquido di sezione di area A ed altezza ed altezza hh (la risultante delle forze sul piano (la risultante delle forze sul piano orizzontale sarà nulla in quanto la colonna orizzontale sarà nulla in quanto la colonna considerata si suppone non avere accelerazione in considerata si suppone non avere accelerazione in senso orizzontale)senso orizzontale)                                                                                                                  

il peso è : P = m g = il peso è : P = m g =

== ρρ A h g A h g

LaLa massamassa di tale di tale colonna liquidacolonna liquida èè: m = : m = ρρ V = V = ρρ A hA h

La legge di StevinoLa legge di Stevino

ρρ A h = m A h = m (def. di densità)(def. di densità)

88

la legge di la legge di StevinoStevino

Indichiamo con pIndichiamo con p00 la pressione in cima alla colonnala pressione in cima alla colonna

pApA = = pp00 AA + + P P = = pp00 AA + +ρρ A h g A h g p = pp = p00 ++ρρ h g h g

99

Alla base della colonna la pressione sarà maggiore di quella alla Alla base della colonna la pressione sarà maggiore di quella alla sommità, perché oltre alla forza di pressione sarà presente il peso sommità, perché oltre alla forza di pressione sarà presente il peso della colonna. Indicando con della colonna. Indicando con pp la pressione sul fondo, la forza verso la pressione sul fondo, la forza verso l'alto esercitata dalla superficie inferiore per bilanciare la forza l'alto esercitata dalla superficie inferiore per bilanciare la forza esercitata dalla parte superiore sarà ( dalla definizione, per i moduli esercitata dalla parte superiore sarà ( dalla definizione, per i moduli si ha  si ha  F = p · AF = p · A ): ):                                                                                                                                                                                                            

ovvero ovvero                                                                                                    

Il risultato è appunto che la pressione aumenta linearmente con la Il risultato è appunto che la pressione aumenta linearmente con la profondità e ad una profondità profondità e ad una profondità hh essa è aumentata di una quantità essa è aumentata di una quantità        rispetto alla pressione       rispetto alla pressione ppoo della quota di riferimento rispetto della quota di riferimento rispetto

cui è misurata la profondità cui è misurata la profondità hh..

Questo risultato è noto come Questo risultato è noto come legge di Stevinolegge di Stevino..

pApA = = pp00 AA + + P P = = pp00 AA + +ρρ A h g A h g

p = pp = p00 ++ρρ g h g h

ρρ g hg h

1010

Se si pesa un corpo immerso in acqua si nota che Se si pesa un corpo immerso in acqua si nota che la bilancia segna un valore inferiore a quello che la bilancia segna un valore inferiore a quello che segnerebbe se il corpo venisse pesato in aria. segnerebbe se il corpo venisse pesato in aria. Evidentemente il processo di pesatura in acqua Evidentemente il processo di pesatura in acqua implica l'esistenza di una forza che bilanci implica l'esistenza di una forza che bilanci parzialmente la forza di gravità.parzialmente la forza di gravità.Ciò va sotto il nome di Ciò va sotto il nome di

Principio di ArchimedePrincipio di Archimede

ARCHIMEDE (287-212 a.C.)ARCHIMEDE (287-212 a.C.)

1111

Il principio di Archimede:Il principio di Archimede:

Qualsiasi solido più leggero di un fluido, se collocato nel fluido, si immergerà in misura tale che il peso del solido sarà

uguale al peso del fluido spostato (Lib. I, Prop. 5).

Un solido più pesante di un fluido, se collocato in esso, discenderà in fondo al fluido e se si peserà il solido nel fluido, risulterà più leggero del suo vero peso, e la differenza di peso sarà uguale al peso del fluido spostato (Lib. I, Prop. 7).

Un corpo immerso in un fluido in equilibrio subisce Un corpo immerso in un fluido in equilibrio subisce una spinta una spinta direttadiretta dal basso verso l'alto di intensità dal basso verso l'alto di intensità pari al peso del volume del fluido spostatopari al peso del volume del fluido spostato.

1212

VVS

In un fluido stazionario di densità In un fluido stazionario di densità ρρ  isoliamo un  isoliamo un volume V per mezzo di una superficie di contorno volume V per mezzo di una superficie di contorno impermeabile e priva di massa, di area S.impermeabile e priva di massa, di area S.

Essendo la massa Essendo la massa mm del fluido del fluido contenuto in S in equilibrio, contenuto in S in equilibrio, il suo peso mg = il suo peso mg = ρρ V g         V g         sarà controbilanciato dalle forze sarà controbilanciato dalle forze esercitate su esso dal fluido esercitate su esso dal fluido circostantecircostante e poiché tali forze e poiché tali forze dipendono solo dalle condizioni dipendono solo dalle condizioni all'esterno di S, all'esterno di S,

qualsiasiqualsiasi altro oggetto avente la stessa superficie esterna S altro oggetto avente la stessa superficie esterna S necessariamente verrà sospinto verso l'alto dalle stesse forze, necessariamente verrà sospinto verso l'alto dalle stesse forze, cioè da forze la cui risultante è sempre uguale al peso del cioè da forze la cui risultante è sempre uguale al peso del fluido spostato.fluido spostato.

il principio di il principio di ArchimedeArchimede

1313

FF22

FF11

Un fluido che circonda un corpo Un fluido che circonda un corpo esercita una esercita una forza forza di di galleggiamento verso l’alto,galleggiamento verso l’alto,

La forza La forza FF22 che agisce sul corpo verso l’alto è maggiore che agisce sul corpo verso l’alto è maggiore della forza della forza FF11 che agisce verso il bassoche agisce verso il basso

Le forze che agiscono verso destra e verso sinistra si Le forze che agiscono verso destra e verso sinistra si eliminano a vicenda, avendo lo stesso moduloeliminano a vicenda, avendo lo stesso modulo

dovuta al fatto che la dovuta al fatto che la pressione aumenta con la pressione aumenta con la profonditàprofondità

il principio di il principio di ArchimedeArchimede

L

ρ

(ρ: densità del fluido)

1414

il principio di Archimedeil principio di Archimede

FF11 = P = P11 A = P A = P11 LL22

faccia inferiore del cubettofaccia inferiore del cubetto

FF22 = P = P22 A = (P A = (P11 + + ρρ g L) L g L) L2 2 = P= P1 1 LL22 + + ρρ g L g L33 = F = F1 1 + + ρρ g L g L33

faccia superiore del cubettofaccia superiore del cubetto

Calcoliamo questa Calcoliamo questa forza forza (di galleggiamento) (di galleggiamento)

PP22 = P = P11 + + ρρ g L g L (h = L : legge di Stevino; (h = L : legge di Stevino; ρρ: densità : densità del fluido)del fluido)

FFtottot = F= F22 – F – F11 = = ρρ g L g L33 = = ρρ g V g V dove dove ρρ g V è il peso del g V è il peso del fluido che occuperebbe lo stesso volume del cubofluido che occuperebbe lo stesso volume del cubo

Più in generale, se una parte di volume V di un corpo viene Più in generale, se una parte di volume V di un corpo viene immersa in un fluido di densità immersa in un fluido di densità ρρ, la forza di galleggiamento , la forza di galleggiamento può essere espressa come può essere espressa come FFgg = = ρρ g V g V

Se fissiamo la direzione positiva verso l’alto, la forza verticale risultante esercitata dal fluido sul cubetto è:

1515

Il principio di ARCHIMEDEIl principio di ARCHIMEDE

Quale frazione del volume totale di un iceberg emerge dall’acqua?

La densità del ghiaccio è ρ = 0,92 g/cm3 del mare è ρ = 1,03 g/cm3 Il peso dell’iceberg è: Pi = ρi

Vi gil peso di vol. dell’acqua spostata dà la forza di spinta: Pa = ρa Va g, ma

Pa =Pi,poiché l’iceberg è in equilibrio

ρi Vi gρa Va g = Va

Vi=

ρi

ρa= 0,92

1,03= 89%

PROBLEMAPROBLEMA

Il volume dell’acqua spostata è il volume della parte immersa dell’iceberg

quindi l’ 11% dell’iceberg emerge

1616

equazione di BERNOULLIequazione di BERNOULLI

P + 1 P + 1 ρρ v v2 2 + + ρρ g h = costante g h = costante

hh : altezza relativa ad un arbitrario punto di riferimento

pressione statica

In un fluido incomprimibile, in moto stazionario

22

pressione dinamica

E’ DERIVABILE DAL TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

Viene utilizzata per determinare la velocità di un fluido Viene utilizzata per determinare la velocità di un fluido per mezzo di misure di pressioniper mezzo di misure di pressioni

dinamica dei fluididinamica dei fluidi

1717

APPLICAZIONI dell’EQUAZIONE di BERNOULLI

1) Liquido che esce da un foro su un recipiente1) Liquido che esce da un foro su un recipiente

Poiché il liquido che esce dal foro è a contatto con l’atmosfera, la pressione in quel punto e Patmosfera proprio come sulla superficie superiore del fluido ; la velocità con cui esce è

2 g hv =

modulo della velocità di un corpo che cade in caduta libera

1818

2) flusso d’aria e portanza in un’ala di aeroplano2) flusso d’aria e portanza in un’ala di aeroplano

3) effetto Bernoulli su un foglio di carta 3) effetto Bernoulli su un foglio di carta CURIOSITA’CURIOSITA’

L’ala è disegnata in modo che l’aria scorra più rapidamente sulla superficie superiore che non su quella inferiore

la pressione sulla superficie superiore è ridotta e viene generata una forza risultante verso l’alto detta portanza

Se teniamo un foglio di carta per un estremo si piega verso il basso.

Soffiando parallelamente alla superficie della carta riduciamo la pressione superiore . . .

La carta si solleva in direzione quasi orizzontale

1919

Un paradosso idrostaticoUn paradosso idrostatico

Sebbene l’acqua nel recipiente più grande pesi di più, parte del peso è sostenuta dalla forza normale esercitata dai lati

La pressione esercitata alla stessa quota è la stessa in La pressione esercitata alla stessa quota è la stessa in tutti i recipienti ( principio di Pascal)tutti i recipienti ( principio di Pascal)

I tre recipienti hanno la stessa base e sono pieni di acqua fino allo stesso livello

2020

““altra avventura” sono le bolle di sapone . altra avventura” sono le bolle di sapone . . . . .. . . .

2121

Considerazioni liberamente tratte da :

Fondamenti di fisica 1 Halliday- Resnick

Fisica 1 Wilson- Buff

Fisica. Meccanica Walker

Invito alla fisica 1 Tipler

di