（付録） 「パウリ行列（スピン角運動量）」 1. スピン角運動量、パウリ行列 2. 密度行列とパウリ行列 3. 密度行列：二準位系 4. パウリ行列の固有状態 5. σｚ→σｘ、σｚ→σｙ基底変換 6. 回転操作演算子 7. アダマール変換 8. 二価表現

暫定版 修正・加筆の可能性あり

付録（８０９、８１０）のアプローチ：角運動量 1. 本付録ではスピン角運動量とパウリ行列の関係を調べる。 2. パウリ行列の様々な性質について比較検討するため、本付録では以下のルールで色分けをする。 3. 直交基底空間：σｘの固有状態で基底ベクトルを構成する場合、赤色 4. 直交基底空間：σｙの固有状態で基底ベクトルを構成する場合、緑色 5. 直交基底空間：σｚの固有状態で基底ベクトルを構成する場合、青色 6. 但し、特に色分けをする必要がない場合、「黒色」を使用 7. 回転操作演算子はブロッホ球上での回転操作に対応する。

８１０－1

スピン角運動量（１）

スピン角運動量：spin angular momentum

0 1 0ˆ ˆ ˆˆˆ ,1 0 02 2 2

1 0 1 0ˆ ˆ ˆ,0 1 0 12 2 2

x y

z z z

iS S

i

S S a S b

−= = → = =

= → =

= −

−

S σ J

交換関係：commutation relation

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

y z y z z y x z x z x x z y

x y x y y x z

y z y z z y x z x z x x z y

x y x y y x z

S S S S S S i S S S S S S S i S

S S S S S S i S

J J J J J J iJ J J J J J J iJ

J J J J J J iJ

= − = = − = = − = = − = = − = = − =

スピン角運動量：ｚ成分

半整数：エネルギー固有値

σｚ基底：青色

８１０－2

スピン角運動量（２）

パウリ行列： Pauli matrices

( )

1 1 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 1 0 1 0, ,

1 0 0 0 1

, ,

, ,

, 2ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

x y z

T T Tx x x y y y z z z

x y z y z x z x y

x x y y z z

y z y z z y x x x

y z x

ii

i i iI

i i i

i

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

− − −

−= = =

−

= = = = = =

= = =

= = =

= − = − − =

=

( )

[ ],

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ 2 , , 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

T T T Ty z x z y x y z x

z x z x x z y x y x y y

T

x z

i i i

i i

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

→ = − → = − → = −

= − = = − =

交換関係：commutation relation

８１０－3

復習：パウリ行列（１）

パウリ行列： Pauli matrices 参照419-10：σｚ基底（青色）

( ) ( )

1

2

3

0 11 0

00

1 00 1

1 00 1

0 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ

2

0 01 02

x

y

z

x yab

x yba

a b b a

ii b a a b i

i

a

I

a b b

a a b b

ia b

ib a

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ

σ σσ σ

σ σσ σ

+ −

− +

+

−

= = = + = +

−= = = − = −

= = = −−

= = +

+= = = ≡

−=

=

= ≡

特徴

2 2 2ˆ ˆ ˆx y z Iσ σ σ= = =

( ) ( )0, detˆ ˆ 1i iTr σ σ= = −

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

x y z y z x

y x z x x

i ii I

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ

= =

= − =

二準位系：two-level system

エネルギー差

ω

10

a

=

01

b

=

参考：414

８１０－4

パウリ行列（２）

行列表示： Pauli matrices

[ ]

[ ]

( )

1 0,

0 1

1 0 10,1

0 0 0

0 0 01,0

1 1 0

0 1 0 0 0 10 0 1 0 1 0

0 0 0 1 01 0 0 0 0

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ0

ˆ

ab

ba

x

y

z

a b

a b

b a

a b b a

ii b a a b i

i

a a b b

σ σ

σ σ

σ

σ

σ

+

−

= =

≡ = = =

≡ = = =

= + = + =

−= − = − =

= − =

[ ] [ ]0 1 0 0 0 1 01,0 0,1

1 0 0 0 1 0 1

= − =−

−

８１０－5

二準位系：two-level system

エネルギー差

ω

10

a

=

01

b

=

密度行列とパウリ行列（１）

密度行列： Density matrices

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 0, ,

0 1

1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 1

1 1 0 01 0 0 1 1 0 0 1

0 0 1 1

aa ab

ba bb

aa ab ba bb

aa ab ba bb

aa ab ba bb

a b

a a a b b a b b

ρ ρρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ

= = =

= + + +

= + + +

= + + +

比較：密度行列とパウリ行列

ˆ ˆˆ ˆ

ˆˆ

2, ,

2

zba

aa abab ba

ba bbba ab

zab

I

I

σ σρ

ρ ρρ ρ

ρ ρσ σ

σσ

+ = = = = −

注意：添え字

８１０－6

密度行列とパウリ行列（２）

計算例：抜粋

[ ]

[ ]

( ) ( )

( )

1 0 10 1

0 0 0

10 1

0

0 1Tr Tr Tr

0 0

Tr

1 0 1 0 2 02

0 1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆˆ0 1 0 0 2

aa abb

ab

ab ab

z z

aba bb

ba

aa bb

a

z

zz a

a b

b a

b a a b

a a b b

a a II

ρ ρρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

σ

ρ

ρ ρ ρσ ρ σ

σ σ ρσ

σσ

= = =

→ = =

→ = = = = =

= − → = = −

++ = + =

= → =−

８１０－7

二準位系：two-level system

エネルギー差

ω

10

a

=

01

b

=

密度行列とパウリ行列（３）

平均値：パウリ行列

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ

ˆ

Tr Tr

Tr Tr

Tr Tr

ˆ

ˆ ˆ

x x

y y

z

ba ab

ab ba

aa bbz

a b b a

i b a a b i

a a b b

σ ρσ ρ

σ ρσ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρσ ρσ ρ

= = + = +

= = − = −

= = − = −

別解：パウリ行列

( )

( ) ( )

0 1Tr

1 0

0Tr

0

ˆ ˆ ˆ

1 00

ˆ

ˆ1

ˆ ˆ

aa ab ab aaab ba

ba bb bb ba

aa ab ab aaab ba

ba bb bb ba

aa ab aa ab

ba bb b

x x x

y y y

za bb

i iii

i ii

ρ ρ ρ ρρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρρ ρ

ρσ σ ρσ

ρσ σ ρσ

ρσρ ρ

= = → = = +

−−= = →

= = −−

−= =

− −( )Trˆ ˆz z aa bbσ ρ ρ ρσ

→ = = −

８１０－8

密度行列：二準位系（１）

密度行列：二準位系

( ) ( ) ( )1 , , , sin coˆ s ,sin sin ,cos2

I U V W θ φ φ θρ θ= + • = =aσa

ブロッホ・ベクトル：Bloch vector

パウリ行列： Pauli matrices

( ) ( )1ˆ , , ,2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z x y zU VI Wσ σ σ ρ σ σ σ= = + + +σ

各成分：ブロッホ・ベクトル

( ) ( ) ( )

( )

( )( )Tr

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ Tr Tr 0,ˆ Tr 2ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

T

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

r , Tr , Tr

12

12

Tr

x x x y z z x y

x y z

x x y y z z

x x x x x y z x

Ix x z y

Ix

i i

U V W

U V W

U iV i

I

W

U

Iσ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ ρσ σ ρσ σ ρσ

ρσ σ σ σ σ σ σ σ

ρσ σ σ σ

ρσ

= = =

= = = =

= = = = = =

= + + +

→ = + + +

→ =

参考：417

８１０－9

密度行列：二準位系（３）

密度行列：二準位系

1112

aa ab

ba bb

W U iVU iV W

ρρ

ρρ

ρ+ −

= =+ −

ブロッホ・ベクトル：Bloch vector

ブロッホ球：Bloch sphere

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

球のつもり

θ( ), ,U V W=a

[ ]Re bx aσ ρ∝

[ ]Im by aσ ρ∝

aa bbz ρσ ρ= −

ブロッホ・ベクトル：各成分

[ ] [ ]

[ ] [ ]( )

*

*

2Re 2Re

. .

2 Im 2Im

. .

aa bb

ab ba

ab ba ab ba ab

ba ab

ab b

z

x

y

a ab ab

ab

W

U

c c

V

i i ii c c

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

σ

σ

σ

ρ

= = −

= = =

= + = + = +

= = = −

= − = −

= +

お詫び：ブロッホ・ベクトルの表示例 •右図：Ｗ＞0である。 •通常、吸収媒質では下準位占有確率が上準位占有確率より大きいためW＜0。 •W＞0は反転分布（増幅媒質）。

( )( )

, ,

sin cos ,sin sin ,cos

a U V W

θ φ θ φ θ

=

=

参考：417

８１０－10

パウリ行列の固有状態（１）

パウリ行列成分：固有状態

ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆ,x x y y

z z

D D A A L L R R

a a b b

σ σ σ σ

σ σ

= = − = = −

= = −

直交基底空間：σｚ（青色）の固有状態で基底ベクトルを構成

1 0,

0 1

1 2 1 2,

2 21 2 1 2

1 2 1 2,

2 22 2

, , ,2 2 2 2

a b

a b a bD A

a i b a i bL R

i i

D A D A L R L Ra b a b

i

= =

+ −= = = =

−

+ −= = = =

−

+ − + −= = = =

８１０－11

パウリ行列の固有状態（２）

計算手順：σｚ基底（青色）

0 1 1 2 1 21 02 21 2 1 2

0 1 1 2 1 2 1 21 02 2

ˆ

ˆ

ˆ

1 2 1 2 1 2

0 1 2 1 202 22 2

x

x

y

a b a b

a b a b

ia i b a i bi i i

σ

σ

σ

+ += = =

− − −= = = − = −

− −

− + += = =

0 1 2 1 2 1 202 22 2

ˆ2

y

ia i b a i bi i i i

σ

− − − −= = = − = −

− −

８１０－12

参照：702 • 基底変換では逆行列＝転置行列 • σｚ→σｘ基底変換では更に以下の

ような特徴がある。

基底変換前の量子状態： σｚ基底（青色）で展開

σｚ→σｘ基底変換（１）

青色括弧：σｚ基底

1 0, ,

0 1a b a b

αα β

β

=

=

= +

1 1 0 11 1,0 1 1 12 2

D D A A

= = = ↔ =−

↔

基底変換：色の交換（赤色から青色へ）

1 1 1 1 11 1ˆ ˆ1 1 1 12 2zx zxT T

α µ µ µ α αβ ν ν ν β β

−

= = → = = − −

1 0, ,

0 1D A D A

µµ ν

ν

=

=

= +

基底変換後の量子状態： σｘ基底（赤色）で展開

赤色括弧：σｘ基底

1ˆ ˆ ˆTzx zx zxT T T−= =

８１０－13

σｚ→σｘ基底変換（２）

平均値：基底変換と無関係

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, Tr Tr

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆT

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

r Tr

ˆ ,

ˆˆ

ˆ

zx zx zx zx zx zx zx zx

z

x

x zx zx zx

x

x x x

x

x

x

x x

x y y

zz

y

z

T T T T T T T T

T T T T

U V

W

ρ σ σ ρσ ρ σ

ρ σ

σ σ

ρ σ

ρσ

σ σ

σ

σ

σ σ

σ σ

− − − −

− −

= = → = =

= = =

= = ≡ = = ≡

= = ≡

参照：419-8, 15

( )( )

ˆ

ˆ

Tr ,...

Tr ,...

x DD AA

z aa bb

DD

aa

U

W

D D D D

a a a a

σ ρ ρ

σ ρ ρ

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ

= = −

= = −

= =

= =

ブロッホ球：Bloch sphere

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

θ( ), ,U V W=a

ˆ x DD AAσ ρ ρ= −

yσ

ˆ z aa bbσ ρ ρ= −

８１０－14

σｚ→σｘ基底変換（3）

( ) ( )

1

1

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

1 0ˆ ˆ0 1

0ˆ ˆ0

0 1ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ1 0

1 1 0 1 1 1 1 11 1ˆ ˆ1 1 1 0 1 1 1 12 2

ˆ

ˆ

zx zx DD AA

zx zx AD DA

zx zx AD DA

zx z

x

y

z

x

z

x

x x

y y

z

T T D D A A

iT T i D A A D i

i

T T D A A D

T T

σ σ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

σ

σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

−

−

−

= = = − → = −−

= = = − → = −−

= =

= + → = +

= = − − −

1

1

1 1 1 01 1 0 1

1 1 0 1 1 1 1 01 1ˆ ˆ1 1 0 1 1 1 1 02 2

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 11 1ˆ ˆ1 1 0 1 1 1 1 1

ˆ

1 1 1ˆ

02 2

zx zxy

zx zxz

i i i iT T

i i i i

T T

σ

σ

−

−

− = −

− − = = = − − − −

= = = − − − −

−

σｘ基底のパウリ行列

８１０－15

σｚ→σｘ基底変換（４）

注目：二重下線部 • 一回基底変換するとパウリ行列のｘ成分とｚ成分が交換、ｙ成分は「符号」が反転 • 二回基底変換すると再度、パウリ行列のｘ成分とｚ成分が交換、ｙ成分は「符号」が反転して元に戻る。

( )

( )

( )

1

1 1

0 1 0 1ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

0, , , ,

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1ˆ ˆ , , , ,0 1 0 1 0

0 1 0 1 0ˆ ˆ ˆ ˆ , , , ,1 0 0 0

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

1

zx zx

zx zx zx zx

x y z

x y

x y z

z

ii

iT T

i

iT T T T

i

σ σ σ

σ σ

σ

σ

σ σ−

− −

− = =

−

= = = − −

−=

= =

−

σ

σ

σ σ

σ

σｚ→σｘ基底変換：アダマール変換（Hadamard transform）

11 11ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,1 12

Tzx zx zx zx zx zxT T T T T T I− = → = = = −

σｚ基底

σｘ基底

σｚ基底

一回基底変換

二回基底変換

８１０－16

参照：410-18 • 基底変換では逆行列＝転置行列 • σｚ→σｙ基底変換では更に以下のよう

な特徴がある。

• 複素数を含む基底変換なので上記のよう

なglobal phaseが生まれて、やや不自然さが残る。

基底変換前の量子状態： σｚ基底（青色）で展開

σｚ→σｙ基底変換（１）

青色括弧：σｚ基底

1 0, ,

0 1a b a b

αα β

β

=

=

= +

1 1 0 11 1,0 12 2

L L R Ri i

= ↔ = = ↔

=

−

基底変換：色の交換（緑色から青色へ）

1 1 1 11 1ˆ ˆ12 2zy zy

iT T

i i iα ζ ζ ζ α αβ η η η β β

−

−

= = → = = −

1 0, ,

0 1L R L R

ζζ η

η

=

=

= +

基底変換後の量子状態： σｙ基底（緑色）で展開

緑色括弧：σｙ基底

14

4

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i Tzy zy zy zy

i

zy zy zy

e T T T T

e T T T I

π

π

−= =

=

ギリシャ文字：ζ（ゼータ）、η（イータ, エータ）

８１０－17

σｚ→σｙ基底変換（２）

特徴：基底変換行列

11

4 4 414

4 4

4 4

1 1 1 11 1 1ˆ1 12 2 2

1 1 1 11 1ˆ ˆ ˆ1 12 2 2

1 1 1 2 0ˆ ˆ ˆ1 0 22 2

T

zy

i i ii

zy zy zyi i

i i

zy zy zy

i iT

i i i i

i i e e eT T e Ti i i i

e e

ie eT T Ti i i

π π ππ

π π

π π

−

−

− − −− −

− −

− − = = = −

− − + = = = = + − − − −

− = = −

4 41 00 1

i ie e I

π π− −

= =

ややこしいかな：σｚ→σｙ基底変換 • 逆行列は転置行列に等しい。 • 二回基底変換すると逆行列（転置行列）となる。但し、global phaseが付加される。 • 三回基底変換すると単位行列となり元に戻る。但し、global phaseが付加される。 • 複素数を含む基底変換なので上記のようなglobal phaseが生まれて、やや不自然さが残る。

８１０－18

σｚ→σｙ基底変換（３）

平均値：基底選択と無関係

ˆ ˆ,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ ˆˆˆx yx yx y

xz z

x y

z

U V

W

σ σσ σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ= = = ≡ = = = ≡

= = = ≡

( )( )( )

ˆ

ˆ

ˆ

Tr ,...

Tr ,...

Tr ,...

x DD AA

y LL RR

z aa bb

DD

LL

aa

U

V

W

D D D D

L L L L

a a a a

σ ρ ρ

σ ρ

ρ ρ

ρ

σ ρ ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

= = −

= = −

= = −

= =

= =

= =

参照：419-8, 15, 20 ブロッホ球：Bloch sphere

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

θ( ), ,U V W=a

ˆ x DD AAσ ρ ρ= −

y LL RRσ ρ ρ= −

ˆ z aa bbσ ρ ρ= −

８１０－19

σｚ→σｙ基底変換（４）

( ) ( )

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

00

1 00 1

0 11 0

1 0 1 1 1 1 01 1ˆ ˆ1 1 0 1 1 1 02

ˆ

ˆ ˆ

2

ˆ

LR RL

LL RR

RL LR

zy zyx

x x

y y

z z

x

y yzy

ii R L L R i

i

L L R R

L R R L

i i i i iT T

i i i i i

T

σ σ

σ σ

ρ

σ

ρ

ρ ρ

σ σ

σ

σ

ρ ρ

σ

−

−= = − → = −

= = − → = −−

= = + → = +

− − − − = = = = −

=

1

1

1 0 1 1 1 1 1 1 01 1ˆ1 0 1 0 12 2

1 1 0 1 1 1 1 1 0 11 1ˆ ˆ1 0 1 1 1 0

ˆ ˆ2 2

zy

zz y zz y

i i iT

i i i i i i i

i iT T

i i i i i iσ σ

−

−

− − − − = = = − −

− − = = = = − − −

σｙ基底のパウリ行列

８１０－20

注目：二重下線部 • 基底変換毎に左循環で役割交換となる。 • 一回基底交換でσｙ基底、二回基底交換でσｘ基底、三回基底変換でσｚ基底、元に戻る。 • 逆行列の場合、基底変換毎に右循環で役割交換となる。 • σｚ→σｙ基底変換を二回実施するとσｘ基底となる。 • σｚ→σｘ基底変換ではパウリ行列のｘ成分とｚ成分が交換、ｙ成分は「符号」が反転した。（参照：419-16） • 複素数を含む基底変換で見られるglobal phaseは「キャンセル」され、影響を与えない。

1 1 1

1 1 1

1 1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

0 1 0 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,1 0 0 0 1

0 1 0 0 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,0 0 1 1 0

1 0 0 1ˆ ˆ ˆ ˆ ,0 1 1

ˆ

zy zy zy zy zy zy

zy zy zy zy zy zy

zy zy zy zy

iT T T T T T

i

iT T T T T T

i

T T T T

− − −

− − −

− −

− = = − − = = = −

= =−

σ σ

σ σ

σ σ

σ

1

1 1 1

0 ˆ ˆ,0 0

0 1 0 1 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,1 0 0 0 1

ˆ

ˆ ˆ

zy zy

zy zy zy zy zy zy

iT T

i

iT T T T T T

i

−

− − −

− =

− = =−

σ

σ σ

σｚ→σｙ基底変換（５）

左循環

逆行列の場合 右循環

８１０－21

反時計回りｚ軸： 回転角θ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

ˆ ˆ 2

2

2

2

ˆˆ ˆ ˆcos 2 sin 2 , 2

ˆ ˆcos 2 sin 2 ,

1 0 1 0 0cos 2 sin 2

0 1 0 1 0

z zi J iz z z z z

z z

i

i

U e e i J

i I

ei

e

θ θσ

θ

θ

θ θσ θσ σ

θ σ θ σ

θ θ

− −

−

= = = − =

= − =

= − = −

反時計回りｘ軸：回転角θ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ 2

2

ˆˆ ˆ ˆcos 2 sin 2 , 2

ˆ ˆcos 2 sin 2 ,

1 0 0 1cos 2 sin 2

0 1 1 0

cos 2 sin 2sin 2 cos 2

x xi J ix x x x x

x x

U e e i J

i I

i

ii

θ θσθ θσ θσ σ

θ σ θ σ

θ θ

θ θθ θ

− −= = = − =

= − =

= − −

= −

回転操作演算子（１）

８１０－22

反時計回りｙ軸： 回転角θ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

ˆ ˆ 2

2

ˆˆ ˆ ˆcos 2 sin 2 , 2

ˆ ˆcos 2 sin 2 ,

1 0 0cos 2 sin 2

0 1 0

cos 2 sin 2sin 2 cos 2

y yi J iy y y y y

y y

U e e i J

i I

ii

i

θ θσθ θσ θσ σ

θ σ θ σ

θ θ

θ θθ θ

− −= = = − =

= − =

− = − −

=

回転操作演算子（２）

整理：反時計回り回転

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ 2

2ˆ 2 ˆ 2

2

cos 2 sin 2,

sin 2 cos 2

cos 2 sin 2 0,

sin 2 cos 2 0

x

y z

ix

ii i

y z i

iU e

i

eU e U e

e

θσ

θθσ θσ

θ

θ θθ

θ θ

θ θθ θ

θ θ

−

−− −

−= = −

− = = = =

８１０－23

回転操作演算子（３）

一般化： 回転角θ

( ) ( ) ( ) ( )ˆˆˆ ˆ2 2 ˆcos sin

2 2iiU e e iθ

θ θ θθ= −−

= → = −σJ n σn J

n n σ

パウリ行列：Pauli matrices

( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ

0 1 0 1 01 0 0 0 1

x y z

x x y y z z

x y z

ii

σ σ σ

σ σ σ

=

= + +

− = + + −

σ

e e e

e e e

ブロッホ球：Bloch sphere

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

$$$

Α

球のつもり

Βn

θ

任意回転軸：単位ベクトル 注意：ブロッホ・ベクトルと混同しない！

( )sin cos ,sin sin ,cossin cos sin sin

cosx y

z

β β= Β Α Α

= Β Α + Β Α

+ Β

ne e

e

xe

ye

ze

８１０－24

回転操作演算子（４）

回転操作演算子： σｚ→σｘ基底変換

( )

( ) ( ) ( )

( )

ˆ

ˆ ˆ

2

1 12 2

1

ˆ2

ˆ2

'' , , '

'

'ˆ ˆ, ' ''

' ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ''

ˆ ˆ ˆ cos

i

zx zx

i i i

zx zx zx zx zx zx zx

i

zx zx zx

e

T T

T T e T e T T T e T

T e T T

θ

θ θ θ

θ

α αφ φ φ φ

β β

µ µφ φ φ φ

ν ν

µ µφ φ φ

ν ν

−

− − −− −

− −

= =

=

= = = =

= =

= =

=

n

n n n

n

σ

σ σ σ

σ

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ

2ˆ

2

ˆ ˆ ˆsin cos sin2 2

ˆ ˆ2 2

ˆ ˆcos sin2 2

ˆ zx zx zx zx

zx zx zx

i T T i T T

zx zx

i T iT T

i T T e eθ θ

θ θ θ θ

θ θ − −

− −

− −−

− = −

= − = =σ n σn

σ σ

σ

n n

n

( ) ( )1ˆ ˆ2 2ˆˆ ˆ ˆ' 'zx zx

i iT Te eθ θ

φ φ φ φ−− −== → =

n nσ σσ σ

整理：基底変換前後の回転操作演算子 省略：σｚ→σｙ基底変換

８１０－25

８１０－26

アダマール変換

σｚ→σｘ基底変換：アダマール変換（Hadamard transform）

11 11ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,1 12

Tzx zx zx zx zx zxT T T T T T I− = → = = = −

回転操作演算子：アダマール変換

( ) ( ) ( ) ( )ˆ

2

1 1,0,2 2

0 1 1 0 1 11 1 1 ˆˆ1 0 0 1 1 12 2 2

ˆˆ ˆcos sin sin2 2 2

zx

i

zx

T

U e i i iTθ

θ πθ θ πθ− =

=

= + = = − −

= = − →− = −n σ

n

n

n σ

n σ n σ

( )1 1,0,2 2

1 11ˆ1 12zxT iU θ π =

= = = − n

二価表現

一般化： 回転角θ

( ) ( ) ( ) ( )ˆˆˆ ˆ2 2 ˆcos sin

2 2iiU e e iθ

θ θ θθ= −−

= → = −σJ n σn J

n n σ

一回転：符号反転

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2ˆ2 cos sin2 2

ˆcos sin2 2

ˆcos sin2 2

U i

i

i U

θ π θ πθ π

θ θπ π

θ θ θ

+ ++ = −

= + − +

= − + = −

n

n

n σ

n σ

n σ

二回転：もとに戻る

( ) ( )4U Uθ π θ+ =n n８１０－27