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MAGNO DE SOUZA COSTA
MTODO MONTE CARLO APLICADO
AO MODELO DE ISING QUASIPERIDICO
MOSSOR
2012
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM FSICA
MESTRADO EM FSICA
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MAGNO DE SOUZA COSTA
MTODO MONTE CARLO APLICADO
AO MODELO DE ISING QUASIPERIDICO
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Fsica da Universidade do Estado doRio Grande do Norte / Universidade Federal Ruraldo Semi-rido, como requisito parcial obteno dottulo de Mestr e em Fsica.
ORIENTADOR: Prof. Dr. Idalmir de Souza Queiroz Jnior
MOSSOR2012
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COSTA, MAGNO DE SOUZA.MTODO MONTE CARLO APLICADO AO MODELO DE ISING
QUASIPERIDICO . / Magno de Souza Costa. MOSSOR, RN, 2012.
98 fORIENTADOR(A): PROF. DR. IDALMIR DE SOUZA QUEIROZ JNIOR.Dissertao (Mestrado em Fsica). Universidade do Estado do Rio Grande do
Norte. Programa de Ps-graduao em Fsica.
1. Modelo de ISING - Dissertao. 2. Mtodo de Monte Carlo- Dissertao.3. Estruturas quasiperidicas - Dissertao. I. Queiroz Jnior, Idalmir de Souza.
II.Universidade do Estado do Rio Grande do Norte. III.Ttulo.
UERN/BC CDD 530
Catalogao da Publicao na Fonte.
Bibliotecria: Elaine Paiva de Assuno CRB 15 / 492
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MAGNO DE SOUZA COSTA
MTODO MONTE CARLO APLICADO
AO MODELO DE ISING QUASIPERIDICO
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Fsica da Universidade do Estado doRio Grande do Norte / Universidade Federal Ruraldo Semi-rido, como requisito parcial obteno dottulo de Mestre em Fsica avaliada pela bancacomposta por:
Aprovado em 28 / 03 / 2012.
Banca Examinadora
______________________________________________________Orientador
Professor Dr. Idalmir de Souza Queiroz Jnior.Universidade Federal Rural do Semi-rido - UFERSA
______________________________________________________Examinador Interno
Professor Dr. Milton Morais Xavier Jnior.Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
______________________________________________________
Examinador ExternoProfessor Dr. Dory Hlio Aires de Lima Anselmo.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
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AGRADECIMENTOS
Ao Deus eterno, imortal, invisvel, mas real.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Idalmir de Souza Queiroz Jnior, pela confiana,
pacincia, incentivo no desenvolvimento deste trabalho, imprescindvel apoio
concluso e enorme contribuio para meu crescimento profissional.
Aos membros da banca examinadora Prof. Dr. Dory Hlio Aires de Lima Anselmo e o
Prof. Dr. Milton Morais Xavier Jnior pela contribuio nas observaes sobre o
trabalho e pelo incentivo.
A minha esposa Solange Santos e meu filho Petrus Magno pela pacincia e apoio
incondicional.
A todos os Professores do Programa de Ps-graduao em Fsica da UERN que
contriburam para minha formao neste mestrado.
A UERN e UFERSA, pelo compromisso de formar profissionais com qualidade.
A todos os meus colegas do mestrado, pela agradvel convivncia.
Aos meus colegas de trabalho, da Escola Estadual Prof. Maria Stella Pinheiro Costa,
que me incentivaram a crescer como pessoa e como profissional.
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Um sonho uma imagem inspiradora defuturo que energiza a sua mente, a sua
vontade e as suas emoes, dando-lhe
foras para fazer todo o esforo possvel a
fim de alcan-lo.
John C. Maxwell
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RESUMO
Foi investigado a relao entre as grandezas termodinmicas e magnticas, com o
sequenciamento quasiperidico de materiais magnticos, pela sequncia de Cantor, usando o
modelo clssico de Ising e simulao de Monte Carlo. Mostrou-se que o sistema se torna
sensvel ao sequenciamento, saindo das propriedades termodinmicas e magnticas de um
material, para as propriedades do outro material. O sistema tambm se mostrou sensvel
razo dos termos de troca dos dois materiais magnticos. Foi observado que estes dois fatores
influenciam na competio dos materiais magnticos atravs de suas grandezas fsicas.
PALAVRAS-CHAVES: Modelo de Ising. Mtodo de monte Carlo. Estruturas
Quasiperidicas.
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ABSTRACT
We investigated the relationship between the thermodynamic and magnetic properties, with
the sequencing quasiperiodic of magnetic materials, by Cantor sequence, and we use the
classical Ising model and Monte Carlo simulation. It was shown that the system becomes
sensitive to sequencing. The system was coming from thermodynamic and magnetic
properties of a material to another. The system also is sensitive to the ratio of exchange of the
two terms of magnetic material. It was observed that these two factors influence the
competition of magnetic materials through their physical quantities.
KEYWORDS: Ising Model. Monte Carlo Method. Quasiperiodic Structures.
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SUMRIO
AGRADECIMENTOS i
RESUMO iii
ABSTRACT iv
LISTA DE FIGURAS vii
LISTA DE TABELAS x
1 INTRODUO................................................................................................................. 15
1.1 INTRODUO E MOTIVAO .................................................................................... 15
2
SISTEMAS MAGNTICOS ........................................................................................... 18
2.1 INTRODUO ................................................................................................................. 18
2.2 O MODELO DE ISING .................................................................................................... 18
2.3 O MODELO DE GS DE REDE ..................................................................................... 20
2.4 A SOLUO DE ONSAGER .......................................................................................... 21
2.5 MAGNETISMO E MATERIAIS MAGNTICOS .......................................................... 23
2.5.1 Aspectos Histricos ....................................................................................................... 23
2.5.2
Conceitos Iniciais .......................................................................................................... 24
2.5.3 Propriedades Magnticas da Matria ............................................................................ 25
2.5.4 Sistemas Ferromagnticos e Antiferromagnticos ........................................................ 27
2.5.5 Ferromagnetismo ........................................................................................................... 29
2.5.6 Antiferromagnetismo .................................................................................................... 34
2.5.7 Curva de Histerese ........................................................................................................ 36
2.6 ENERGIAS MAGNTICAS ............................................................................................ 37
2.6.1
Energia de Troca (Exchange) ........................................................................................ 38
2.6.2 Energia Zeeman............................................................................................................. 38
3 SISTEMAS QUASIPERIDICOS ................................................................................. 39
3.1 ESTRUTURAS PERIDICAS E QUASIPERIDICAS ................................................ 39
3.2 APLICAES DAS ESTRUTURAS QUASIPERIDICAS .......................................... 40
3.3 SEQUNCIA DE CANTOR ............................................................................................. 41
3.4 SEQUNCIA DE FIBONACCI ....................................................................................... 42
3.5 SEQUNCIA DE THUE-MORSE ................................................................................... 44
3.6 SEQUNCIA DE PERODO DUPLO ............................................................................. 45
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4 MTODO DE MONTE CARLO .................................................................................... 47
4.1
INTRODUO ................................................................................................................. 47
4.2 HISTRIA DO MTODO DE MONTE CARLO ........................................................... 48
4.3
MEDIDAS DE GRANDEZAS TERMODINMICAS .................................................... 48
4.4
AMOSTRAGEM E ALEATORIEDADE ......................................................................... 51
4.4.1 Processos de Markov ..................................................................................................... 52
4.4.2 Ergodicidade.................................................................................................................. 54
4.4.3
Balano Detalhado ........................................................................................................ 54
4.4.4 Dinmicas de Evoluo ................................................................................................. 55
4.4.5 Algoritmo de Metropolis ............................................................................................... 56
5
MTODO MONTE CARLO APLICADO AO MODELO DE ISINGQUASIPERIDICO .............................................................................................................. 58
5.1 INTRODUO ................................................................................................................. 58
5.2
APRESENTAO DO MODELO ................................................................................... 58
5.3 RESULTADOS ................................................................................................................. 60
5.3.1 Verificao dos Valores mais Adequados para as Simulaes ..................................... 60
5.3.2 Resultados deste Trabalho ............................................................................................. 80
6
CONCLUSO ................................................................................................................... 94
7 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................ 95
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Ernst Ising, fsico alemo nascido em 10 de maio de 1900 e falecido em 11 de maio
de 1998. .................................................................................................................................... 15
Figura 2: Momentos Magnticos (esquemticos) das unidades elementares que constituem um
corpo slido [25]. ...................................................................................................................... 25
Figura 3: Representao de domnios num material [15]. ........................................................ 28
Figura 4: Alinhamento dos momentos magnticos na presena de um campo magntico
externo [16]............................................................................................................................... 28
Figura 5: Alinhamento dos momentos magnticos de um material antiferromagntico [16]. . 29
Figura 6: Representao do Ferromagnetismo [16]. ................................................................ 30
Figura 7: Representao do comportamento da susceptibilidade em funo da temperatura.
Observa-se que abaixo de Tc o material ferromagntico e acima de Tc o material em sua
fase paramagntica [15]. ........................................................................................................... 30
Figura 8: Representao do comportamento ideal para a lei de Curie-Weiss [16]. ................. 32
Figura 9: Domnios Magnticos [23]. ...................................................................................... 33
Figura 10: Paredes de Bloch [24]. ............................................................................................ 33
Figura 11: Orientao dos domnios magnticos com campo H [24]. ..................................... 34
Figura 12: Curva de histerese [16]. .......................................................................................... 37
Figura 13: Ilustrao esquemtica as sequncia de Cantor [47]. .............................................. 42
Figura 14: Ilustrao esquemtica as sequncia de Fibonacci a partir da gerao S2 [47]. ..... 43
Figura 15: Ilustrao esquemtica as sequncia de Thue-Morse a partir da gerao S1 [47]. . 44
Figura 16: Ilustrao esquemtica da sequncia de Perodo Duplo [47]. ................................. 45
Figura 17: Cinco sucessivos processos de Markov, formando uma Cadeia de Markov deestados. ..................................................................................................................................... 53
Figura 18: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de rede... 62
Figura 19: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de
rede. .......................................................................................................................................... 63
Figura 20: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de
rede. .......................................................................................................................................... 64
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Figura 21: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios tamanhos de
rede. .......................................................................................................................................... 65
Figura 22: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de Monte
Carlo. ........................................................................................................................................ 66
Figura 23: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de
Monte Carlo. ............................................................................................................................. 67
Figura 24: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de
Monte Carlo. ............................................................................................................................. 68
Figura 25: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios passos de
Monte Carlo. ............................................................................................................................. 69
Figura 26: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores deTermalizao. ........................................................................................................................... 70
Figura 27: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de
Termalizao. ........................................................................................................................... 71
Figura 28: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de
Termalizao. ........................................................................................................................... 72
Figura 29: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de
Termalizao. ........................................................................................................................... 73
Figura 30: Energia para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de campo
externo. ..................................................................................................................................... 74
Figura 31: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de
campo externo........................................................................................................................... 75
Figura 32: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores de
campo externo........................................................................................................................... 76
Figura 33: Susceptibilidade para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores decampo externo........................................................................................................................... 77
Figura 34: Energia versus campo para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores
de temperatura. ......................................................................................................................... 78
Figura 35: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para vrios valores
de temperatura. ......................................................................................................................... 79
Figura 36: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para = 0,5 e para as
geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 81
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Figura 37: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para = 0,5 e para as
geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 82
Figura 38: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para = 2 e para as
geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 83
Figura 39: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para = 2 e para as
geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 84
Figura 40: Calor especfico para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para as
geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 85
Figura 41: Magnetizao para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para as
geraes de 1 a 5. ...................................................................................................................... 86
Figura 42: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para a 1
gerao. ..................................................................................................................................... 87
Figura 43: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para a 3
gerao. ..................................................................................................................................... 88
Figura 44: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = 5 e para a 5
gerao. ..................................................................................................................................... 89
Figura 45: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = -1 e para a
1 gerao. ................................................................................................................................. 90
Figura 46: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = -1 e para a
3 gerao. ................................................................................................................................. 91
Figura 47: Histerese magntica para o modelo de Ising na rede quadrada para = -1 e para a
5 gerao. ................................................................................................................................. 92
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Temperatura crtica para o modelo de Ising bidimensional. .................................... 16
Tabela 2: Distribuio de probabilidades nas dinmicas de Banho Trmico, Metropolis e
Glauber. .................................................................................................................................... 55
Tabela 3: Temperaturas crticas = 0,5................................................................................... 93
Tabela 4: Temperaturas crticas = 2...................................................................................... 93
Tabela 5: Temperaturas crticas = 5...................................................................................... 93
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1 INTRODUO
1.1 INTRODUO E MOTIVAO
H dcadas se estuda o magnetismo com o intuito de se compreender
adequadamente e controlar tais sistemas, dada a complexidade do tema. O magnetismo
envolve alm de diversos tipos de interao, fenmenos cooperativos e vrios graus de
liberdade. Porm, o mais fascinante diz respeito classe de universalidade na qual o mesmomodelo que serve para estudar sistemas magnticos, tambm serve para estudar sistemas
fluidos, sistemas cosmolgicos, propagao de doenas, etc. Um dos modelos mais simples, e
com grande riqueza de aplicaes, o modelo de Ising, que entre 1966 e 2000 estava
relacionado a pelo menos 16000 artigos publicados.
Figura 1: Ernst Ising, fsico alemo nascido em 10 de maio de 1900 e falecido em 11 de maio
de 1998.
Uma grandeza importante que diversos mtodos e modelos se esforavam paracalcular a temperatura crtica (TC) do modelo de Ising, conforme a tabela a seguir [1]:
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Mtodo Temperatura Crtica kBTC/JCampo mdio 4Clculo Exato Onsager 2,2690Monte Carlo 2,3 (a preciso depende de vrios fatores)
Tabela 1: Temperatura crtica para o modelo de Ising bidimensional.
O trabalho pioneiro de Merlin e colaboradores [2], e a descoberta de materiais,
como a liga AlMn, que quando submetidos difrao dos raios X, manifestam ordem
orientacional de longo alcance e auto similaridade, porm no possuem simetria translacional,
caracterizada pela periodicidade d o incio ao estudo experimental de estruturas quasicristais.
Aliado a esses trabalhos surgiram diversos outros aplicando o modelo de Ising a estruturas
quasiperidicas, seguindo as mais diversas sequncias, como a de Fibonacci [3] e Thue-Morse[4], por exemplo. Na dcada de oitenta, tais ideias foram estendidas aos modelos de spins de
modo que suas interaes, geradas por regras de substituio, assumissem um carter
aperidico [5, 6]. A juno destes elementos motivaram este trabalho.
Neste trabalho, estudamos a aplicao do mtodo de Monte Carlo ao Modelo de
Ising submetido a uma sequncia de substituio de Cantor. Este trabalho visa analisar as
propriedades termodinmicas no equilbrio, como energia, magnetizao, calor especfico e
susceptibilidade. usado o modelo de Ising de spin -1/2 na rede quadrada junto ao Mtodo deMonte Carlo seguindo a dinmica evolutiva de Metropolis. A sequncia de Cantor utilizada
construda por dizimao devido aos enormes tamanhos gerados para a rede quadrada.
O captulo 2 trata de uma reviso bibliogrfica de modelos e propriedades
magnticas, exibindo conceitos bsicos necessrios compreenso de resultados e de
captulos posteriores. Temas como o Modelo de Ising, as propriedades bsicas de materiais
magnticos, as Energias envolvidas no processo, etc. O captulo seguinte trata de estruturas
peridicas e quasiperidicas, apresentando uma reviso acerca de aplicaes das estruturasquase peridicas e das principais sequncias: Cantor, Fibonacci, Thue-Morse e Perodo
Duplo. O quarto captulo apresenta o mtodo de Monte Carlo, a forma de se medir grandezas
termodinmicas e magnticas, as principais propriedades, como amostragem e aleatoriedade,
processos de Markov, ergodicidade e balano detalhado, principais dinmicas de evoluo,
aprofundando da dinmica de Metropolis.
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O trabalho, propriamente dito, apresentado no captulo 5, onde se mostra os
efeitos das sequncias quase peridicas sobre o modelo de Ising, e sobre suas propriedades.
Neste captulo se d mais detalhes tambm sobre a simulao de Monte Carlo implementada.
Por fim, apresentam-se as concluses deste trabalho, alm da proposta de novos
trabalhos como forma de continuidade.
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2 SISTEMAS MAGNTICOS
2.1 INTRODUO
Uma das metas dos fsicos nos primeiros anos do sculo XX foi compreender
como se comporta a magnetizao espontnea, e encontrar uma descrio quantitativa da
magnetizao em funo da temperatura. Com relao a isso, muitas suposies foram feitas,
e a mais simplificada foi, por exemplo, que tomos se comportem como minsculas agulhasde bssolas que interagem apenas com os seus primeiros vizinhos. As propriedades
magnticas dos materiais foram intensivamente estudadas por um grande nmero de
pesquisadores antes mesmo de que uma teoria adequada tivesse sido desenvolvida. Estas
propriedades foram analisadas com base na mecnica quntica, desenvolvida no comeo do
sculo XX. Atualmente, inmeras aplicaes baseadas nas propriedades magnticas da
matria so encontradas em diversas reas, como medicina, telecomunicaes, informtica,
etc. Entre estas propriedades destacamos: o ferromagnetismo, antiferromagnetismo,diamagnetismo e paramagnetismo.
2.2 O MODELO DE ISING
O modelo de Ising [7] trata do comportamento de elementos individuais como os
componentes de spins, presena de tomos ou molculas em stios, atividade neural, etc.Proposto em 1920 por Wilhelm Lenz ao seu aluno de doutorado Ernest Ising tinha o objetivo
de simular o comportamento de domnios magnticos de materiais como, por exemplo, ferro e
nquel, onde uma frao dos spins atmicos se torna espontaneamente polarizada em uma
dada direo, dando origem a um campo magntico macroscpico, que ocorre apenas abaixo
de certa temperatura, chamada de temperatura de Curie. Esse modelo foi resolvido em uma
dimenso pelo mesmo, que observou a no existncia de transio de fases nestas
circunstncias. Equivocadamente, Ising sugeriu que o mesmo ocorreria em dimensessuperiores, o que se mostrou um erro; de fato, a partir de argumentos qualitativos e de
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mtodos aproximados (Ansats de Bethe e teoria de campo mdio) ficou solidamente
estabelecido que o modelo pudesse exibir uma transio de fase, em dimenses superiores, o
que foi confirmado pelo famoso trabalho de Onsager [8] em redes bidimensionais.
O artigo original de Ising [9] apresentou um modelo simples para tratar sistemas
magnticos, porm diversos autores propuseram generalizaes que tem aplicaes em
diferentes reas que incluem fenmenos de ordem-desordem em magnetismo e outros
sistemas coordenados (ligas binrias, gs de rede, etc.), tambm com algum sucesso em
sistemas biolgicos, como, por exemplo, hemoglobina, enzimas alostricas e DNA. O que
existe em comum nestes sistemas (magnticos e biolgicos) o fenmeno de cooperatividade
entre os constituintes microscpios, dando origem a ordem local (curto alcance) e global
(longo alcance). Este fenmeno da cooperao deve-se exclusivamente s interaesmicroscpicas dos constituintes (spins, molculas, etc.). Devido a sua simplicidade
matemtica, o modelo de Ising tem sido aplicado numa variedade de sistemas, tais como
trfego, economia, propagao de doenas, etc., devido totalidade dos resultados dos
clculos efetuados antecipadamente em sistemas magnticos no qual tem dado os alicerces
para estudar diversos sistemas complexos.
O modelo proposto por Ising para o estudo de transies de fase em materiais
ferromagnticos definido pelo Hamiltoniano:
1
N
j ii j i
J S S B S=
= - - H (2.1)
onde Hrepresenta o Hamiltoniano,Ja energia de troca (exchange),B o campo magntico e
S os momentos de spins atmicos.
Tal modelo consiste em um sistema de momentos magnticos atmicos arranjados
nos stios de uma determinada rede cristalina regular, os quais so descritos apenas por suas
variveis de spin iS que podem assumir apenas dois valores ( )1=iS , correspondentes sduas orientaes (opostas) de um dipolo magntico. Outra contribuio importante vem da
agitao trmica, que age desfavorecendo a ordem magntica. Para temperaturas
suficientemente elevadas, os materiais no apresentam ordem magntica. Entretanto,
observando o comportamento de materiais magnticos, verifica-se que, medida que a
temperatura diminuda, uma ordem magntica estabelecida. Se os momentos magnticos
se ordenam paralelamente uns aos outros 0>jiJ , diz-se que o material ferromagntico. A
temperatura, abaixo da qual essa ordem alcanada, denominada temperatura de Curie TC.
Se a ordem magntica tal que os momentos magnticos se alinham antiparalelamente
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onde o potencial qumico e -e a energia de interao associada ocupao de dois stios
vizinhos. Neste caso a grande funo de partio definida como:
+=X = = =
N
ji
N
j
jji
n n n
nnnexpN
mbeb
1
0
1
0
1
01 2... (2.7)
A equivalncia entre o modelo de Ising e o gs de rede pode ser facilmente
comprovada fazendo uma simples mudana de varivel,2
1+=
jj
Sn . Desta forma a Eq. (2.7)
fica reescrita como:
( )( ) ( )
++=X ++
+
-=
+
-=
+
-=
N
ji
N
j
jji
S S S
SSSexp
N
1
24
... 111
1
1
1
1
11 2
mb
eb (2.8)
que equivalente a funo de partio de Ising feita as seguintes modificaes:
2B (2.9)
4
eJ (2.10)
12 - jj nS (2.11)
Um modelo um pouco mais complexo e muito estudado na fsica quando aspartculas de um dado stio interagem com os seus primeiros vizinhos. Este tipo de interao
ser a responsvel pelo sistema apresentar uma transio gs-lquido. Neste caso possvel
estabelecer uma correspondncia de um para um entre as variveis termodinmicas do gs de
rede e as de um sistema magntico de spins na rede, o que permite a transferncia de
resultados conhecidos de um sistema para outro. O sistema em questo, quando a interao
atrativa, pode ser mapeado no modelo de Ising ferromagntico, cuja soluo exata
conhecida em d=1 e 2 [8]. J uma interao repulsiva entre os primeiros vizinhos correspondea um sistema antiferromagntico. Porm, para a maioria dos gases de rede, no h um anlogo
magntico.
2.4 A SOLUO DE ONSAGER
Aps alguns anos, o modelo de Ising, ganhava importncia e, em 1944 foiresolvido analiticamente pelo qumico e fsico noruegus Lars Onsager [8]. O fato mais
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importante descoberto por Onsager que o modelo de Ising apresentava transio de fase,
para duas dimenses, tornando-se assim uma das bases do estudo dos fenmenos crticos e
transies de fase. Ainda que tenha sido resolvido na ausncia de campo externo, e ainda no
ter sido apresentada a soluo analtica em trs dimenses, a soluo de Onsager muito rica
e apresenta um formalismo singular. Vamos apresentar a funo de partio do sistema e a
matriz de transferncia utilizando como exemplo o modelo de Ising em uma dimenso, onde
os clculos so mais fceis.
Na presena de um campo magntico e com interaes do tipo primeiros vizinhos,
em uma dimenso a hamiltoniana que descreve o modelo de Ising assume a seguinte forma:
( )1 11 1
N N
i i i ii i
S S B S S + += =
= - - + H (2.12)
onde foram empregadas condies de contorno peridicas, ou seja, 11 SSN =+ .
A funo de partio pode ser escrita da seguinte maneira:
( ){ }
( )[ ] ( )[ ]
++++=
++=
= =++
1 2
112121N
1 111
...... ZS S S
NN
S
N
i
N
i
iiiiN
N
i
SSLSSKexpSSLSSKexp
SSLSSKexpZ
(2.13)
sendo2
e BLJK b == .
Definindo o elemento de matriz Ti jpor:
( )[ ]jijijiji SSLSSKexpSTST ++== (2.14)
temos que a funo de partio pode ser reescrita como:
( )
===
=
= i
N
i
N
S
N
N
S S S
N
TTrSTS
STSSTSSTSZN
l1 11N
13221
1
1 2
Z
......
(2.15)
Embora a Eq. (2.15) ter sido obtida para um caso particular, ela igualmente
vlida para outras dimenses. Consideremos agora que 1seja o maior autovalor associado
matriz de transferncia T de forma que:
==
i i
N
iNNiNZ
1 11
l
lll (2.16)
Assim, no limite termodinmico, a energia livre de Helmholtz por spin dada por:
NN
ZN
f ln1
lim
=-b (2.17)
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Podemos observar que:
11 1
1 lnln1
lnlimln1
lim ll
ll =
+=
i
N
i
NN
N NZ
N (2.18)
uma vez que:
0lim1
N
i
N l
l (2.19)
logo:
1lnlb =- f (2.20)
Desta forma, vemos que o problema se reduz ao clculo do maior autovalor da
matriz de transferncia.A soluo exata para duas dimenses, com campo magntico externo nulo, foi
realizado por Onsager [8], no qual a reproduo no ser feita aqui mas pode ser encontrada
uma verso simplificada em [10].
2.5 MAGNETISMO E MATERIAIS MAGNTICOS
2.5.1 Aspectos Histricos
Os primeiros fenmenos magnticos observados foram aqueles associados aos
chamados ims naturais (magnetos). Conta a lenda que esse minrio encontrado por um
pastor chamado Magnes, originou o nome, Magnetita (Fe2O3). Outros dizem que o nome veio
devido ao fato do minrio ser encontrado em uma regio da Turquia chamada de Magnsia.
Esses ims tinham a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, sendo que esta propriedade
era mais acentuada em certas regies desse material denominada, depois, de polos. Descobriu-
se ento que, quando uma barra de ferro era colocada perto de um im natural ela adquiria e
retinha essa propriedade do im natural e que, quando suspensa livremente em torno de um
eixo vertical, ela alinhava com a direo norte-sul. Surgiram, ento, os instrumentos de
navegao. Desde ento os materiais magnticos vm sendo utilizados em grande volume
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aproveitando-se dessa caracterstica desses materiais. Equipamentos como: transformadores,
motores, geradores, alto-falantes, eletroms, etc, contm ferro, ou ligas de ferro, em suas
estruturas, com o duplo propsito de aumentar a fluxo magntico e restringi-lo a uma regio
desejada.
Atualmente, pesquisas so feitas para se desenvolver outros tipos de materiais que
tenham essa propriedade ainda mais acentuada e que possam ser manipulados de maneira a
Permitir novas configuraes e formatos de ncleos reduzindo-se assim as perdas desses
ncleos, bem como seus tamanhos.
2.5.2 Conceitos Iniciais
A rea de magnetismo pode ser resumida como a combinao de trs pilares:
a) A origem do magnetismo, ou seja, da existncia dos momentos magnticos
(Mecnica Quntica).
b) O entendimento das interaes entre os momentos.
c) A Mecnica estatstica, necessria para descrever as propriedades
macroscpicas observveis.
Antes, porm precisamos discutir alguns conceitos e definies fundamentais:
Foras magnticas aparecem quando partculas eletricamente carregadas (no neutras)
se movimentam.
As linhas de fora saem do polo norte em direo ao polo sul.
Os dipolos magnticos so anlogos aos dipolos eltricos e podem ser imaginados
como pequenas barras compostas de polo norte e sul.
O momento magntico um vetor, que em presena de um campo magntico,
relaciona-se com o torque de alienao de ambos os vetores no ponto no qual se situa
o elemento. O vetor de campo magntico a utilizar-se o B (tesla).
Um campo magntico H gerado pela passagem de uma corrente i por uma espira
cilndrica de comprimento l e contendo N voltas. O campo magntico medido em
termos de fluxo magntico no vcuo Bo(Wb/m) [13].
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Figura 2: Momentos Magnticos (esquemticos) das unidades elementares que constituem umcorpo slido [25].
2.5.3 Propriedades Magnticas da Matria
Na presena de um campo magntico cada material responde de acordo com as
propriedades de seus tomos e molculas individuais bem como das interaes entre elas. As
respectivas propriedades magnticas do material esto diretamente ligadas magnetizao
Mr
, podendo representar, do ponto de vista microscpio, o estado magntico dos materiais
pelo vetor magnetizao, dado por:
=i
iV
M mr
r 1 (2.21)
onde ir
o momento do dipolo magntico total feito sobre o somatrio dos i-simos tomos
ou molculas no interior da rede cristalina V, que deve ser suficientemente grande para conter
um nmero elevado de momentos, porm pequeno em relao ao tamanho da amostra [13].
A grandezar
pode variar em relao a outras grandezas tais como temperatura T
ou o campo magntico Hr
no qual o material possa est submetido. A forma do
comportamento com respeito ao campo magntico tem origem nos vrios tipos de interaes
entre os momentos magnticos ir
. A estrutura da rede cristalina e os defeitos nela existentes
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influenciam na resposta a magnetizao com a variao do campo Hr
. Assim podemos
escrever:
HMrr
c= (2.22)
onde c a susceptibilidade magntica sendo uma grandeza que caracteriza um material
magntico segundo sua resposta a um campo magntico aplicado. Ela uma das mais
importantes grandezas fsicas no que se refere s propriedades fsicas dos materiais
magnticos, como por exemplo, sua determinao pode revelar a ocorrncia de transio de
fase de natureza variada, ou a existncia de estados com ordenamento magntico, com ou sem
magnetizao resultante.
Os fenmenos magnticos podem ser expressos por duas grandezas: o vetorinduo magntica B
r
e o vetor intensidade campo magntico Hr
. No entanto o vetor Hr
est
diretamente relacionado com a corrente que cria o campo, j Br
depende tanto da corrente
quanto da magnetizao do meio, assim Br
a resposta a um campo externo Hr
aplicado ao
material magntico. Desse modo, Br
e Hr
se relacionam pela equao:
( )MHBrrr
+= 0m (2.23)
podendo ser expresso tambm por:
HBrr
m= (2.24)
onde 270 10.4 AN-= pm a permeabilidade magntica no vcuo. A permeabilidade
magntica a facilidade com que um material permite estabelecer, atravs dele, um fluxo
magntico.
Outra caracterstica dos materiais magnticos a relutnciaque a dificuldade
que um material tem para deixar estabelecer nele um fluxo magntico. A expresso para a
relutncia dada por:
A
l
m= (2.25)
onde l o caminho do campo magntico e a rea da seo reta do material em estudo.
Materiais com alta permeabilidade possuem baixa relutncia.
Quando se aplica uma intensidade de campo magntico nas diversas direes de
determinado cristal que compe um material magntico observa-se que a densidade de fluxo
resultante varia de direo para direo, mostrando que a permeabilidade magntica umafuno da orientao do campo aplicado, caracterizando, portanto, a existncia de uma
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anisotropia cristalina. Isto significa que, em dependendo da regio, as perdas podem ser
maiores ou menores. Como a reduo das perdas uma preocupao constante nos projetos
magnticos justificvel se determinar, em cada conjunto de cristais que formam determinado
ncleo magntico, qual a direo em que se deve aplicar o campo magntico [13].
Alm da anisotropia cristalina, o campo magntico aplicado pode tambm alterar
as dimenses fsicas do cristal ferromagntico para tamanho maior ou menor. Esse fenmeno
denominado de magnetostrio. A grandeza da variao nas dimenses funo do eixo
cristalino sobre o qual incide o campo magntico. Materiais que sofrem esse fenmeno,
quando so submetidos trao ou compresso sofrem um aumento ou reduo da
permeabilidade, como o nquel. Essa propriedade utilizada em sistemas de controle de
presso nas prensas hidrulicas, por exemplo [13].
2.5.4 Sistemas Ferromagnticos e Antiferromagnticos
O ferromagnetismo, assim como o paramagnetismo, ocorre em materiais cujos
tomos possuem momentos de dipolo magntico permanentes. O que diferencia os materiaisferromagnticos dos paramagnticos que nos primeiros existe uma forte interao entre
momentos de dipolo atmicos vizinhos que os mantm alinhados, mesmo quando o campo
magntico retirado, ou seja, os momentos magnticos interagem entre si [14].
Os materiais ferromagnticos, quando no esto na presena de um campo
magntico externo, possuem seus momentos de dipolo seguindo uma orientao aleatria, no
alinhados em uma direo preferencial, assim apresentam uma magnetizao resultante nula.
Mas, aos serem submetidos presena de um campo externo seus campos magnticos tendema se alinharem na direo do campo aplicado, aumentando o momento do dipolo resultante at
atingir a saturao. Mesmo aps a retirada do campo externo, os momentos de dipolos so
capazes de manter uma magnetizao remanescente. Apesar disso, possvel encontrar um
material ferromagntico em estado desmagnetizado [15]. Isso possvel, pois, os materiais
ferromagnticos podem ser divididos em domnios magnticos, onde, determinadas regies do
material possuem momentos magnticos apontando na mesma direo preferencial (Figura 3).
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Figura 3: Representao de domnios num material [15].
Os domnios magnticos do material podem apontar para direes aleatrias,
sendo apenas alinhadas na presena de um campo magntico externo.
O ferromagnetismo caracterizado por, na presena de um campo magntico
externo, possuir alinhamento paralelo dos momentos magnticos e como j foi citado, na
mesma direo do campo externo. Na figura 4 possvel observar o alinhamento dos
materiais de diferentes ordens magnticas.
Figura 4: Alinhamento dos momentos magnticos na presena de um campo magntico
externo [16].
Em (a) a direo aleatria dos momentos magnticos em um material
paramagntico e em (b) o alinhamento na presena do campo magntico. Em (c) observa-se
os domnios magnticos de um material ferromagntico e em (d) os momentos magnticos
alinhados em uma direo preferencial na presena do campo magntico externo.
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Os materiais antiferromagnticos caracterizam-se por possurem momentos de
dipolo magnticos antiparalelos, o que resulta em uma magnetizao total nula [15]. A
representao pode ser observada na figura 5 abaixo.
Figura 5: Alinhamento dos momentos magnticos de um material antiferromagntico [16].
2.5.5 Ferromagnetismo
Um material ferromagntico possui momento magntico espontneo, denominado
de momento de saturao [17]. O processo de magnetizao de um material ferromagnticoconsiste em converter os diversos domnios magnticos, no qual cada domnio aponta para
uma determinada direo, em um nico domnio magntico, no sentido de que seja
magnetizado em uma nica direo preferencial. Isso ocorre na presena de um campo
magntico externo, onde os domnios so alinhados na mesma direo do campo at o limite
da magnetizao de saturao. Ao remover o campo externo parte dos domnios ainda
permanecem alinhados, resultando em uma magnetizao remanescente [15]. O
ferromagnetismo ocorre em ferro, cobalto e nquel puros, bem como na liga desses metais uns
com os outros. Ele tambm ocorre com o gadolnio, disprsio e outros compostos. Ele surge
de uma forte interao entre eltrons em uma banda parcialmente preenchida em um metal ou
entre os eltrons localizados que formam momentos magnticos em tomos vizinhos. Esta
interao, chamada de interao de troca, diminui a energia de um par de eltrons com spins
paralelos [22]. Quando um material ferromagntico colocado num campo externo, dois
efeitos podem ocorrer: (1) nas fronteiras dos domnios alinhados com o campo, os dipolos
alinhados em outros sentidos podem girar at ficar alinhados com o campo e, desse modo, tais
domnios crescem custa dos domnios vizinhos; e (2) os dipolos de domnios no alinhados
podem girar em conjunto tendendo a alinhar-se com o campo aplicado (Fig. 6).
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Figura 6: Representao do Ferromagnetismo [16].
A caracterizao do ferromagnetismo est relacionada, tambm, com a
temperatura. Por exemplo, o CrO2, ferromagntico, porm, nem o cromo e nem o oxignioso ferromagnticos temperatura ambiente. De acordo com a temperatura, alguns materiais
sofrem uma transio de ordem magntica, atravs da orientao de seus spins. Em baixas
temperaturas, alguns slidos paramagnticos sofrem uma transio de fase em que grandes
domnios de spins se orientam em direes paralelas [17]. Esse alinhamento d origem ao
ferromagnetismo. Essa transio, de paramagnetismo para ferromagnetismo, ocorre na
chamada temperatura de Curie. De acordo com Kittel [17], a Temperatura de Curie TC a
temperatura acima da qual a magnetizao espontnea se anula. Essa temperatura separa a
fase paramagntica da ferromagntica, conforme representado na figura 7.
Figura 7: Representao do comportamento da susceptibilidade em funo da temperatura.
Observa-se que abaixo de Tco material ferromagntico e acima de Tc o material em sua
fase paramagntica [15].
Em T= 0,M tem valor igual ao da magnetizao de saturao,MS, porque todos os
momentos esto alinhados (Figura 7). medida que a temperatura aumenta M diminui
gradualmente devido agitao trmica dos momentos. Em T > Tc, a energia trmica
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predomina sobre a energia de ordenamento, de modo que o material passa a ter
comportamento paramagntico, com M = 0. A fim de determinar, matematicamente, a
temperatura de Curie, considere um material paramagntico. Considerando ainda uma
interao interna que tende a alinhar os momentos magnticos paralelamente uns aos outros,
tem-se um material ferromagntico, a essa interao d-se o nome de campo de troca que
pode ter o efeito de orientao contrariada pela agitao trmica e para altas temperaturas a
ordem dos spins destruda.
Suponha o campo de troca sendo equivalente a um campo magntico EH
proporcional magnetizaoM. Numa aproximao do campo de troca, supe-se que o tomo
magntico sofra a ao de um campo proporcional magnetizao, sendo dado por:
MHE l= (2.26)
onde uma constante independente da temperatura. Na fase paramagntica considerada, um
campo magnticoB aplicado, produzindo uma magnetizao finita que criar um campo de
troca EB . Tomando como sendo a susceptibilidade paramagntica, temos:
( )EHHM +=c (2.27)
e que:
TC=c
(2.28)
onde a constante C denominada de constante de Curie.
Substituindo a Eq. 2.28 na Eq. 2.27 e em Eq. 2.26, fica como:
CT
C
H
MCHMCMTMCCHMTMH
T
CM
llll
-==++=+= )()(
(2.29)
da Eq. 2.22, temos queH
M=c , dessa forma a equao acima pode ser reescrita como:
CT
C
lc
-= (2.30)
Chamando CTc l= , observe que quando cTT= a susceptibilidade magntica
apresenta uma divergncia, isso significa o comeo do ordenamento magntico dentro do
material [18]. Podemos escrever a Eq. 2.30 da seguinte forma:
cTT
C
-=c (2.31)
A Eq. 2.31 representa aLei de Curie-Weisse, de acordo com Martins [16], umacorreo Lei de Curie, Eq. 2.28. Esta expresso descreve muito bem a variao da
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susceptibilidade na regio paramagntica acima da temperatura de Curie. O sinal para Tc
determina se a interao ferromagntica ou antiferromagntica, a dependncia do material
magntico com a temperatura analisada observando a susceptibilidade magntica conforme
se varia a temperatura. Assim, para:
a) ,0>> lCTT a interao ferromagntica;
b) ,0
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as propriedades magnticas de um corpo fossem originadas por um grande nmero de
minsculas correntes circulares dentro desse corpo. O campo magntico total no material
seria, ento, a soma do campo gerado pela corrente externa com o campo gerado por estas
correntes microscpicas. Mais tarde, foi desenvolvida a teoria dos domnios onde se mostra
que, os eltrons apresentam uma propriedade chamada spin que faz com que eles se
comportem como pequenos ims. Nos materiais magnticos, o campo total devido aos spins
dos eltrons zero, seja porque eles se anulam naturalmente, seja porque esto orientados de
forma aleatria. Em materiais magnticos, como o ferro e o ao, os campos magnticos dos
eltrons (grupos de at 1012eltrons) se alinham (acoplamento de troca) formando regies que
apresentam magnetismo espontneo. Essas regies so chamadas de domnios (Fig. 9). Os
domnios esto separados por limites de domnio designados porparedes de Bloch(Fig.10).
Figura 9: Domnios Magnticos [23].
Figura 10: Paredes de Bloch [24].
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Em uma amostra no magnetizada de um material magntico os domnios esto
distribudos de forma aleatria e o campo magntico total em qualquer direo zero. Quando
expostos a um campo aplicado externo, os domnios tendem a alinhar-se segundo a direo do
campo aplicado, custa do crescimento dos domnios com orientaes favorveis ou da
reorientao dos dipolos (Fig.11). Se o campo externo aplicado for suficientemente intenso,
todos os domnios se orientaro nessa direo e, da em diante, qualquer aumento do campo
externo no causar nenhum aumento na magnetizao do material. Nesse caso diz-se que o
material atingiu a saturao.
Figura 11: Orientao dos domnios magnticos com campo H [24].
Quando o campo magntico externo removido, o grau de alinhamento diminui e
o campo no interior do material cai para um valor, no necessariamente igual ao anterior, ouseja, a remoo da fora magnetizante faz com que alguns domnios voltem a ficar
desalinhados. Essa perda do alinhamento, porm, no total e os domnios alinhados
remanescentes so os responsveis pela existncia dos ims permanentes.
Um material ferromagntico, aps ser aquecido acima da temperatura de Curie e
resfriado, se divide, espontaneamente, em domnios magnticos nos quais os momentos
magnticos esto alinhados paralelamente. Por outro lado, o material no apresenta um campo
magntico externo, uma vez que os domnios magnticos esto dispostos aleatoriamente de
maneira que a resultante externa nula [11]. A explicao para isso est no balano das
energias magnticas envolvidas neste processo.
2.5.6 Antiferromagnetismo
O antiferromagnetismo caracterizado pelo ordenamento de todos os momentosde um material de forma antiparalela (Fig. 1.4). Sua natureza a mesma do ferromagnetismo,
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ou seja, determinado pela interao de troca. Analogamente ao ferromagnetismo, as
caractersticas antiferromagnticas desaparecem a alta temperatura devido entropia, a essa
temperatura d-se o nome de temperatura de Nel, TN, que pode ser observado na figura 8.
Acima dessa temperatura os compostos so tipicamente paramagnticos [19]. De acordo com
Marques [18], Nel foi um dos primeiros a predizer este tipo de ordenamento magntico, no
qual publicou uma srie de artigos a partir de 1932.
A temperatura de Nel, TN, na aproximao do campo dada por:
CTN m= (2.32)
Dessa forma, a susceptibilidade na regio paramagntica :
CT
C
mc +=
2
(2.33)
que pode ser reescrita como:
NTT
C
+=
2c (2.34)
A Figura 12 mostra a dependncia com a temperatura de material
antiferromagntico, nela possvel observar, em (a), onde ocorre a transio de fase do
antiferromagnetismo para o paramagnetismo de Curie-Weiss [16]. A lei de Curie-Weiss
dada pela Eq. 2.31. Em (b), temos que a susceptibilidade atinge seu valor mximo na
temperatura de Nel, TN, onde existe um pico bem definido na curva de contra T.
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Figura 12 Comportamento antiferromagntico. O1-c diminui com o aumento da
temperatura at TN, quando este transita para o estado paramagntico, agora, crescendo
linearmente com a temperatura [16].
2.5.7 Curva de Histerese
Do ponto de vista experimental, as curvas de magnetizao contra a intensidade
do campo magntico informam sobre a dureza dos materiais magnticos, que est
relacionada com sua anisotropia cristalina. Quando um campo magntico aplicado sobre umsistema magntico, como um pedao de ferro, suas paredes de domnio se movimentam,
aumentando a regio de momentos magnticos na mesma direo do campo e causando uma
diminuio de sua energia interna. Para pequenos valores do campo este processo reversvel.
Entretanto, quando o campo no fraco, o processo torna-se irreversvel, impedindo o sistema
de retornar a sua configurao inicial quando o campo removido. Este o bem conhecido
fenmeno de histerese [12].
A histerese a tendncia de um material ou sistema de conservar suaspropriedades na ausncia do estmulo que as gerou. Podem-se encontrar diferentes
manifestaes desse fenmeno. Conforme a Figura 12, quando o campo magntico H
aplicado em um material ferromagntico inicialmente desmagnetizado for aumentado este
seguir a curva pontilhada at atingir um patamar constante chamado de magnetizao de
saturao (MS). Em seguida diminuindo o campo a partir deste valor, M decresce mais
lentamente seguindo o sentido dado pela seta at um valor residual da magnetizao para um
campo H nulo, chamado de magnetizao remanente (MR). Para que
r
chegue a zero, necessrio aplicar um campo negativo, chamado de fora coercitiva. Se H continuar
aumentando no sentido negativo, o material magnetizado com polaridade oposta. Desse
modo, a magnetizao inicialmente ser fcil, at quando se aproxima da saturao, passando
a ser cada vez mais difcil. A reduo do campo novamente a zero deixa uma densidade de
fluxo remanescente, e, para reduzirHa zero, deve-se aplicar uma fora coercitiva no sentido
positivo. Aumentando-se mais ainda o campo, o material fica novamente saturado, com a
polaridade inicial.
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Figura 12: Curva de histerese [16].
A magnetizao apresenta valores diferentes para um mesmo campo magntico
aplicado dependendo do estado magntico anterior da estrutura. H duas grandezas que
merecem destaque na curva de magnetizao:
A Remanncia que a magnetizao do material quando removido o campo
externo a partir da saturao e a coercividade que indica o campo magntico onde ocorre a
reverso da magnetizao de uma saturao para outra.
2.6 ENERGIAS MAGNTICAS
As energias magnticas explicam a configurao magntica do material em
estudo. Como o mnimo de energia se d quando o momento magntico aponta na direo do
respectivo campo local, assim, a configurao deve ser sempre a que apresente a menor
energia possvel ou que os momentos magnticos apontem para o campo efetivo local [20].
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2.6.1 Energia de Troca (Exchange)
Foras eletrostticas so geralmente, muito mais intensas que foras magnticasde interao. A mecnica quntica fornece a explicao para essas interaes eletrostticas
pela interao de troca. De acordo com o princpio de excluso de Pauli, dois eltrons no
podem existir em um mesmo estado quntico, portanto devem ter momentos magnticos
intrnsecos contrrios. De maneira oposta, a repulso eletrosttica entre dois eltrons tende a
manter os momentos magnticos alinhados paralelamente.
Para os materiais ferromagnticos, o equilbrio destas foras, faz com que haja um
momento magntico intrnseco resultante. O alinhamento varia se o coeficiente de troca (J)for positivo (para ferromagnticos) e negativo (para antiferromagnticos).
A energia de troca de um dado tomo icom seus vizinhos dado por:
-=j
jijie SSJHrr
. (2.35)
Se a integral de troca isotrpica igual Je, temos:
-=j
jiee SSJHrr
. (2.36)
2.6.2 Energia Zeeman
A energia Zeeman nos informa como o momento magntico atmico interage com
um campo magntico externo Hr
. Quando um campo magntico externo aplicado, a
magnetizao sofre um torque fazendo com que os momentos magnticos se alinhem na
direo do campo. No entanto a orientao de cada momento magntico ser dada pela
minimizao da energia magntica total do sistema [21].
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3 SISTEMAS QUASIPERIDICOS
3.1 ESTRUTURAS PERIDICAS E QUASIPERIDICAS
Em um trabalho de 1984, Dan Schechtman [70] e colaboradores [26] mostraram a
existncia de um slido metlico que exibia um padro de difrao de um cristal
monocristalino, mas com simetria icosadrica, inconsistente com as translaes da rede
cristalina conhecidas para um cristal. Estudos tericos desenvolvidos por Levine e Steinhardt[27] explicaram esta simetria mediante as figuras geomtricas de Penrose em 2D e 3D [28],
que preenchem todo o espao, mas que so aperidicas, ou seja, no exibem uma estrutura
peridica regular. O desafio colocado pelos estudos experimentais foi desenvolver modelos
tericos para caracterizar estas estruturas artificiais.
Este novo slido cristalino, sem periodicidade translacional, foi denominado de
quasicristalou cristal aperidico. Embora o termo quasicristal seja mais apropriado quando
aplicado aos compostos naturais ou as ligas artificiais, em 1D, no h diferenas entre este eas estruturas quasiperidicas formadas pelo arranjo incomensurvel de clulas unitrias
peridicas. Uma motivao para o estudo destas estruturas que elas exibem um espectro de
energia fragmentado semelhante ao conjunto de Cantor [34], revelando um padro de auto
similaridade, que uma caracterstica fundamental em sistemas fractais. Outro aspecto
fascinante devido s propriedades coletivas nestes sistemas, como as correlaes de longo
alcance que so observadas em quasicristais e que tambm esto presentes em sistemas
quasiperidicos, fornecendo uma nova descrio de desordem [29,30], tema bastante
investigado em fsica estatstica.
De fato, a anlise dos espectros da propagao da luz, da transmisso eletrnica,
da densidade de estados, dos polaritons, por exemplo, mostra que estes espectros so fractais
[31]. Em outras palavras, o comportamento macroscpico do sistema distinto do
comportamento das suas partes constituintes tomadas separadamente. Uma consequncia
importante, que sistemas distintos podem exibir o mesmo comportamento crtico, ou seja,
podemos classificar os vrios sistemas fsicos em poucas classes de universalidade [32]. Por
analogia, podemos considerar o tpico de transies de fase contnua: sabe-se que o
comportamento crtico depende somente das propriedades globais, isto , da dimenso
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geomtrica do sistema e das simetrias de seus parmetros de ordem, sendo insensvel aos
detalhes das interaes microscpicas entre tomos ou molculas [33]. Um exemplo o uso
do modelo de Ising de interao entre spins para descrever um fluido. O modelo de spins
clssicos de Ising orientados para cima (up) ou para baixo (down) escolhido para indicar a
presena (ou ausncia) de uma molcula no stio da rede, enquanto as complicadas interaes
entre estas molculas so substitudas por um acoplamento de troca entre primeiros vizinhos.
Apesar da sua simplicidade, este modelo reproduz completamente muitos aspectos do
comportamento do fluido prximo da sua temperatura crtica [34, 35].
Neste contexto, os trabalhos pioneiros de Merlin e colaboradores em sistemas
quasiperidicos para a sequncia de Fibonacci [2],[36-37] e a sequncia de Thue-Morse [38]
em super-redes nanoestruturadas de GaAs-AlAs tm gerado uma atividade de pesquisaexpressiva no campo dos quasicristais. Basicamente, estes sistemas envolvem a definio de
dois blocos constituintes (A e B, por exemplo), cada um deles contendo a informao fsica
necessria, ordenados segundo uma determinada sequncia. Isto , eles podem ser descritos
em termos de uma srie de geraes que obedecem a uma relao recursiva particular. Alm
disso, eles podem ser considerados como sistemas intermedirios entre os cristais peridicos e
os slidos amorfos [39], sendo um dos aspectos que tornam estes materiais interessantes para
estudo.
3.2 APLICAES DAS ESTRUTURAS QUASIPERIDICAS
As estruturas quasiperidicas consideradas ao longo deste trabalho so conhecidas
como sequncias substitucionais, as quais tm sido estudadas em muitas reas da matemtica
[40-42], da cincia da computao [43-44] e da criptografia [45]. Apesar de utilizar conceitos
elementares, a abordagem a ser apresentada produziu resultados de bastante interesse na
matemtica e na fsica. Seguem ento algumas definies importantes quanto quase
periodicidade das sequncias de substituio.
Definio 1:Um conjunto finito , cujos elementos so = {A, B}, (com A eB sendo dois
blocos constituintes diferentes), que denominamos de alfabeto.
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Definio 2: Chamamos de * o conjunto de todas as palavras de comprimento finito (tal
como AABAB) que podem ser escritas a partir do alfabeto.
Definio 3: Definimos como como uma quantidade que age sobre uma palavra,
substituindo cada letra (por exemplo, A) desta palavra por uma imagem correspondente,
chamada de (A).
Uma sequncia ento denominada de sequncia substitucional se ela um ponto
fixo de , isto , se ela permanece invariante quando cada letra na sequncia substituda por
sua imagem em . As sequncias substitucionais mais interessantes e que tm atrado a
ateno dos fsicos so:
a) A sequncia de Cantor, onde as regras de substituio so
( ) ( ) BBBBBABAA == zz ,A ;
b) A sequncia de Fibonacci, onde ( ) ( ) ABBABA == zz ,A ;
c) A sequncia de Thue-Morse, onde ( ) ( ) BABBABA == zz ,A ;
d) E a sequncia de perodo duplo, onde ( ) ( ) AABBABA == zz ,A .
Vamos agora continuar as definies das sequncias de substituio mencionadas.
3.3 SEQUNCIA DE CANTOR
Provavelmente a mais conhecida e simples geometria fractal determinstica a
tridica sequncia de Cantor [46]. Esse conjunto obtido atravs da repetio de uma regrasimples: dividir qualquer segmento em trs partes iguais, e em seguida, eliminar a central
(podemos chamar isso de sequncia de Cantor inicial), e com isso repetir este processo
continuamente. Por exemplo, se comearmos algebricamente com o conjunto fechado
[ ]3,00=S de todos os nmeros de 0 a 3 e retira-se o tero central aberto, ficamos com um par
de intervalos fechados [ ] [ ]3,21,0 e representando S1. Os teros mdio abertos em cada um
destes intervalos seria removido novamente para produzir quatro intervalos menores
representando S2, e assim por diante. Depois de diversas etapas, teramos um grande nmerode pequenos intervalos, separados por intervalos de vrios tamanhos.
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Para aplicaes em blocos de construo de estruturas de multicamadas, mais
apropriado considerar em vez disso a chamada sequncia de Cantor de sada. Isto tem sua n-
sima fase definida em termos da fase anterior pelo 11 --= nnnn SBSS , com as condies
iniciais considerando AABSeAS 110 == . Nesse caso Bn, para uma sequncia de n-sima
fase difere da base B1 ( )B para a primeira fase s pela sua espessura, 113 B
nB dd n
-= .
Podemos tambm construir a mesma sequncia, mais diretamente usando as transformaes
., BBBBABAA
Figura 13: Ilustrao esquemtica as sequncia de Cantor [47].
As geraes de Cantor so (Fig. 14)
.;;; 210 etcABABBBABASABASAS === (3.1)e so mais claramente representados pelo esquema de expanso diagramtica mostrado na
figura 2.
3.4 SEQUNCIA DE FIBONACCI
A sequncia de Fibonacci o exemplo mais antigo de uma cadeia aperidica de
nmeros. Ela foi desenvolvida pelo matemtico e comerciante Leonardo de Pisa em 1202,
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cujo apelido era Fibonacci, que significa filho de Bonacci. Essa sequncia surgiu quando ele
investigava o crescimento de uma populao de coelhos em um cenrio ideal, onde um casal
inicial de coelhos em um ambiente fechado, sem mortes e admitindo que cada casal de
coelhos nascem de um par frtil depois de dois meses, d origem a uma populao que cresce
segundo uma sequncia bem definida, que : {1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}, onde o prximo
termo da srie obtido somando os dois termos anteriores [47]. Na literatura, vamos
encontrar estudos que mostram que a sequncia de Fibonacci est associada aos voos das aves
predadoras que descem sobre suas presas seguindo uma espiral, disposio dos galhos nos
troncos das rvores e das folhas nos galhos, as espirais formadas pelos gomos na casca do
abacaxi, entre outras evidncias [48,49]. Este o aspecto particularmente interessante da
sequncia de Fibonacci, pois instiga o pesquisador a procurar entender a razo da escolha pelanatureza desta sequncia especfica.
Na Fsica de materiais, a estrutura de Fibonacci pode ser realizada
experimentalmente por justaposio de dois blocos constituintes de base A e B, de tal forma
que a n-sima fase do processo, nS , dada pela regra recursiva: 21 --= nnn SSS para 2n ,
comeando com BS =0 e AS =1 . Ela tem a propriedade de ser invariante sob a
transformao: ABeABA .
Figura 14: Ilustrao esquemtica as sequncia de Fibonacci a partir da gerao S2 [47].
As geraes de Fibonacci so (Fig. 15):
.;;;;; 43210 etcABAABSABASABSASBS ===== (3.2).
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O nmero de blocos aumenta em conformidade com o nmero de Fibonacci:
21 -- += nnn FFF , com 110 ==FF . Alm disso, a razo entre o nmero de blocos de Ae o
nmero de blocos de B na sequncia tende ao nmero conhecido como razo urea;
) 62,1251 @+=t , para ngrande. interessante notar que todos os nmeros de Fibonacci
podem ser gerados a partir da razo urea da relao: ( ) 5][ nnnF ---= tt . Isso significa
que uma sequncia de nmeros racionais, ou seja, os nmeros de Fibonacci de valores inteiros
podem ser obtidos de potncias de nmeros irracionais [47].
3.5 SEQUNCIA DE THUE-MORSE
A sequncia de Thue-Morse surgiu a partir dos resultados de estudos sistemticos
sobre cadeias aperidicas iniciadas por Thue [46] em 1906. Depois, em 1921, Morse [51,52]
fez uma importante contribuio para esta sequncia no contexto da dinmica topolgica.
Embora haja vrias maneiras de definir a sequncia de Thue-Morse, pode-se provar que todas
so equivalentes. Em sua forma mais simples, a sequncia de Thue-Morse pode ser definida
pela relao recursiva: 1111 -+-++-- == nnnnnn SSSeSSS (para n 1), com BSeAS oo == + .
Outro modo de construir esta sequncia atravs da regra de inflao: BABeABA .
Figura 15: Ilustrao esquemtica as sequncia de Thue-Morse a partir da gerao S1 [47].
As geraes de Thue-Morse so (Fig. 16):
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.;;;; 3210 etcABBABAABSABBASABSAS ==== (3.3)
O nmero de blocos neste sistema quasiperidico aumenta com 2n, onde n = 0, 1,
2, 3,... indica a gerao da sequncia de Thue-Morse, enquanto a razo do nmero de blocos
de Aem relao ao nmero de blocos de B constante e igual a unidade.
3.6 SEQUNCIA DE PERODO DUPLO
A sequncia de perodo duplo uma das cadeias aperidicas mais recentes. Ela
tem origem no estudo de sistemas dinmicos [53] e em aplicaes a laser para fibras pticasno lineares [54]. Sua relao recursiva um pouco semelhante ao caso de Thue-Morse: o n-
simoestgio dado por 1111 --++
-- == nnnnnn SSSeSSS para 1n , com BSeAS == +
00 .
tambm invariante sob a transformao AABeABA , o que torna a distino mais
clara.
Figura 16: Ilustrao esquemtica da sequncia de Perodo Duplo [47].
As geraes de perodo duplo so (Fig. 17):
.;;;; 3210 etcABAAABABSABAASABSAS ==== (3.4)
O nmero de blocos para esta sequncia aumenta com ncomo na sequncia de
Thue-Morse, ou seja, 2n, onde n o nmero da gerao. Contudo, a razo entre o nmero deblocos de A em relao ao nmero de blocos de Bno constante: ela tende a 2quando o
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nmero de geraes vai para infinito. Alm disso, os blocos Bocorrem sempre isoladamente,
como no caso da sequncia de Fibonacci, mas ao contrrio da sequncia de Thue-Morse.
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4 MTODO DE MONTE CARLO
4.1 INTRODUO
Nos ltimos anos, graas aos avanos dos computadores (hardware), das
tcnicas de programao (software) em contraposio das grandes dificuldades exigidas dos
mtodos tradicionais experimentais de alterar certos parmetros fsicos aplicados ao estudo
das propriedades dos fenmenos crticos, as simulaes computacionais, que antes usavamum conjunto de operaes no qual deveria se repetir centenas de vezes, agora passou a ser
feita de uma nica vez facilitando a obteno dos resultados, passando a exercer uma
profunda influncia no progresso das pesquisas em Mecnica Estatstica [55].
Na Mecnica Estatstica as simulaes computacionais tm como princpio de que
com um computador e um programa que tenha sido construdo apropriadamente, ir servir
para simular um comportamento real de um ensemble de sistemas, de forma a obter uma
anlise estatstica da trajetria nos permitindo estimar determinadas previses daspropriedades do mesmo.
H duas classes gerais de simulaes: O Mtodo da Dinmica Molecular, e o
Mtodo de Monte Carlo (MMC). Este ltimo muito utilizado para o estudo do
comportamento termodinmico de sistemas macroscpicos, cuja diferena do mtodo de
dinmica molecular o uso de uma sequncia de nmeros aleatrios [56]. Neste trabalho
usaremos o MMC em modelos de rede de Ising. O MMC em fsica computacional
possivelmente uma das mais importantes ferramentas de abordagens numricas para estudar
os problemas matemticos que abrangem todas as disciplinas cientficas, tais como, fsica,
qumica e at das cincias sociais e econmicas [57,58]. A ideia desse mtodo baseia-se na
realizao de experimentos de amostragem estatstica em computador das configuraes do
sistema a ser estudado, que dependem de parmetros com N-pontos em M-dimenses de
espao para calcular os valores aproximados das grandezas desse sistema usando nmeros
aleatrios.
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4.2 HISTRIA DO MTODO DE MONTE CARLO
O MMC surgiu nos anos quarenta durante o projeto Manhattan na SegundaGuerra Mundial pelos fsicos S. Ulam, E. Fermi, J Von Neumann e N. Metropolis (entre
outros) trabalhando no projeto de armas nucleares no laboratrio Nacional Los Alamos. Eles
consideraram a possibilidade da utilizao desse mtodo, que envolvia a simulao direta de
problemas probabilsticos relacionados com o coeficiente de difuso do nutron em certos
materiais. Apesar de chamar a ateno dos cientistas, o desenvolvimento ordenado dessa ideia
teve de aguardar o trabalho de Harris e Herman Kahn em 1948 no qual Fermi, Metropolis e
Ulam usaram o MMC para determinar estimativas para autovalores da equao deSchrodinger. Muito antes disso, nmeros e grandezas aleatrias j tinham sido usados na
investigao de problemas matemticos, mas Von Neumann e Ulam em 1945 contriburam
para mostrar que vrios problemas matemticos poderiam ser tratados atravs de um anlogo
probabilstico [59].
O nome desse mtodo uma referncia ao principado de Mnaco, por causa de
uma roleta, um gerador de nmeros aleatrio simples. O nome e o desenvolvimento
sistemtico do mtodo de Monte Carlo datam de cerca de 1940.
4.3 MEDIDAS DE GRANDEZAS TERMODINMICAS
A mecnica estatstica de equilbrio tem por objetivo descrever as propriedades
macroscpicas de um sistema por meio de mdias sobre os seus estados microscpicos e
descritas por meio do ensemblecannico. A funo de partio, a partir da qual possvelobter as propriedades termodinmicas do sistema, para um sistema em contato com um
reservatrio trmico temperatura T, pode ser escrita como:
-- ==i
E
i
TkE iBi eeZ b (4.1)
ondeTkB
1=b , ( Bk a constante de Boltzmann) e T a temperatura e onde a soma feita
sobre todos os estados i do sistema com energia Ei e, portanto, depende do tamanho do
sistema e o nmero de graus de liberdade para cada partcula. Tambm possvel escrever a
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funo de partio para sistemas sujeitos a alguma outra restrio alm da temperatura, como
por exemplo, serem mantidos a presso constante ou submetidos a campos magnticos.
Uma quantidade que pode ser definida a partir da Eq. (4.1) e que estabelece a
relao entre a termodinmica e a parte estatstica chamada distribuio de Boltzmann, a
qual dada pela seguinte expresso:
iEi e
Zp
b-=1
(4.2)
e estabelece a probabilidade do sistema ser encontrado em um dado estado microscpico i.
Com o conhecimento desta probabilidade, possvel calcular o valor esperado Q do
observvel Qpor meio da expresso:
=== - 1;1 ii
E
ii
i
i peQZ
pQQ ib (4.3)
ou seja, a mdia do observvel os microestados i ponderada pelo peso de Boltzmann de cada
estado.
Uma vez que determinamos os potenciais de interao entre as partculas e os
vnculos aos quais o sistema est submetido, podemos escrever a funo de partio. O
problema est na realizao explcita do clculo devido ao nmero muito grande de
microestados no somatrio da Eq. (3.1). Neste contexto, modelos bastante simplificados setornam importantes na tentativa de descrever os fenmenos fsicos observados em sistemas
reais (muito mais complexos), dentre os quais destacamos o modelo de Ising [60]. A soluo
usual para sistemas grandes realizar o clculo utilizando apenas um subespao dos estados
do sistema, o que implica em tornar os resultados imprecisos. Nas simulaes de MC escolhe-
se aleatoriamente um subconjunto com N estados de acordo com uma dada distribuio de
probabilidadepi. A estimativa dada pela quantidade Q, medida por:
=
--
=
--
=N
i
Ei
N
i
Eii
N
i
i
ep
epQ
Q
1
1
1
1
b
b
(4.4)
NQ , o estimador de Q, torna-se uma estimativa mais precisa de Q a medida que N
aumenta, no limite em que N , temos QQN= . Dois detalhes a considerar: (1) se os N
estados forem escolhidos ao acaso, isto , todos tem a mesma probabilidade, apenas uma
frao muito pequena do espao de fase do sistema ser usada no calculo do estimador; (2)
diz respeito a contribuio dos estados visitados no clculo do estimador, j que o peso de
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Boltzmann uma funo exponencial, somente estados com energias prximas do estado de
equilbrio tero uma contribuio expressiva na soma.
Com a funo de partio podemos determinar as funes termodinmicas. Assim
vamos definir: Energia interna, calor especfico, entropia e susceptibilidade magntica.
A energia interna U do sistema calculado pelo valor mdio de E esperado
para a energia, da seguinte forma,
-=i
E
iieE
ZU
b1 (4.5)
Com as equaes (4.2) e (4.4) temos:
-=-=
=
--
i
E
ii
E
ZUeEe
Zii bb
bb (4.6)
ou seja,
.log1
bb
-=
-=
ZZ
ZU (4.7)
J o calor especfico C obtido atravs da derivao da energia interna U, assim:
.1
2 bb
-=
=
=
U
Tk
U
TT
UC
B
(4.8)
Partindo da equao (3.6), conclui-se que:
2
22 log
bb
=
ZkC B (4.9)
A entropia determinada por:
-=
-=
b
b Z
ZZk
T
FS B ln (4.10)
onde ZTkF ln0-= a energia livre de Helmholtz.
A susceptibilidade magntica mede a resposta na magnetizao devido variaodo campo magntico. Assim temos:
1
2
21 --
=
=
TTT
TM
F
M
H
H
Mc (4.11)
j que,
HM
F
-=c (4.12)
Com isso, temos.
( )22222 ZBzzB SSS D=-= mbmbc (4.13)
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4.4 AMOSTRAGEM E ALEATORIEDADE
A amostragem aleatria simples o tipo de amostragem probabilstica maisutilizada. D exatido e eficcia amostragem, alm de ser o procedimento mais fcil de ser
aplicado a todos os elementos do sistema a ser estudado, que tem a mesma probabilidade de
pertencerem amostra. O processo consiste em selecionar uma amostra na partir de um
sistema N. Geralmente a seleo feita sem reposio e cada amostra feita unidade a
unidade at que se atinja o nmero pr-determinado.
A palavra aleatoriedade utilizada para exprimir quebra de ordem, propsito,
causa, ou imprevisibilidade em uma terminologia no cientfica. Um processo aleatrio oprocesso repetitivo cujo resultado no descreve um padro determinstico, mas segue uma
distribuio de probabilidade. O termo aleatrio frequentemente utilizado em estatstica para
designar uma propriedade estatstica bem definida tal como uma quebra de uma neutralidade
ou correlao. Um nmero aleatrio um nmero que pertence a uma srie numrica e no
pode ser previsto a partir dos membros anteriores da srie. O conceito de nmero aleatrio
um conceito relativo srie numrica a que o nmero pertence. Um nmero pode ser aleatrio
numa srie numrica e no aleatrio noutra.
O fato dos sistemas reais terem um nmero muito grande de estados
microscpicos faz com que o resultado das observaes experimentais seja uma manifestao
de somente uma parte dos estados do sistema, notadamente aqueles que foram visitados
durante a realizao da simulao. Esta observao um indcio de que o sistema est
realizando uma espcie de amostragem por importncia, o que fortalece a ideia da
possibilidade de determinao das propriedades termodinmicas de interesse, utilizando
apenas uma pequena frao dos estados presentes no sistema e com isso preservando a
semelhana entre a simulao e experimento.
A forma usual de reproduzir as observaes nas simulaes feita por meio da
utilizao de um algoritmo capaz de gerar, a partir de um estado inicial, outros estados
semelhantes de acordo com o seu peso de Boltzmann. Ento, ao invs de escolher os estados
de forma uniforme, isso feito de forma que um dado estado iseja escolhido de acordo com a
distribuio de Boltzmann. Esta escolha far com que a Eq. (4.4) seja:
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=
=N
i
iN QN
Q1
1 (4.14)
Resultando em uma equao mais simples onde os fatores de Boltzmann foramcancelados e no h referncia explcita funo de partio. Como esta expresso funciona
muito melhor que a Eq. (4.4) devido o sistema estar passando a maior parte do tempo em um
nmero pequeno de estados j que estes estados sero escolhidos mais frequentemente e que
possuem pesos expressos no clculo do estimador. Ser necessrio um mecanismo que
permita que cada estado escolhido tenha o mesmo peso de Boltzmann, para isso vamos fazer
uso dosprocessos de Markov[60,65].
4.4.1 Processos de Markov
Este consiste em uma ferramenta matemtica, na qual se podem gerar sucessivos
estados independentes do estado anterior. Esse tipo de processo (estocstico) aplicado a um
sistema no estado num determinado tempo, o qual gera um estado n num tempo seguinte
de forma que, se partirmos do mesmo estado inicial, nem sempre ser gerado o mesmo estadofinal. A probabilidade do estado final n ser gerado a partir do estado denominada de
probabilidade de transio ( )nmP que caracterizada por depender somente das
propriedades dos estados inicial e final, no mais do tempo. O significado que uma vez que
o sistema esteja no estado a probabilidade do sistema gerar o estado n sempre a mesma,
no importando o que tenha acontecido anteriormente. As probabilidades de transio esto
sujeitas aos vnculos.
( ) ( ) 1,0 = n
nmnm PP (4.15)
pois a partir do estadon , outro estado gerado ou o sistema permanece no estadon .
Numa simulao de Monte Carlo, uma sequncia de passos realizada nos
processos de Markov, o qual d origem a uma cadeia de Markov de estados[60]. A Figura 18
mostra um exemplo dessa cadeia de um sistema com apenas quatro estados.
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Figura 17: Cinco sucessivos processos de Markov, formando uma Cadeia de Markov de
estados.
Temos um sistema com apenas quatro estados e inicialmente ele se encontra no
estado = 3, e a partir deste escolhemos aleatoriamente um novo estado n seguindo as
condies do processo de Markov [63].Partindo desta cadeia podemos estimar a probabilidade np de o sistema estar no
estado n no tempo ( )nn tpt n, , dado que este se encontrava num estado anteriormente,
1-nt ,
( )nmmn = - Ptptp nn 1)( (4.16)
A chamada equao mestra considera a mudana desta probabilidade, com o
tempo, )( ntpn , tratado de forma contnua ao invs de discreta [6].
( )( ) ( ) ( ) ( )nmmn
m
m
m
nn +-= PtpPtpdt
tdp (4.17)
A caracterstica principal do processo de Markov pode ser vista na equao
mestra: conhecendo o estado inicial do sistema no tempo tpodemos estimar completamente a
evoluo temporal da distribuio de probabilidades que est associada a ele, isto , uma vez
que o prximo estado gerado com base no conhecimento do estado anterior.Os processos de Markov so indispensveis quando so executados por um tempo
relativamente grande, pois possvel gerar a comear deles uma sucesso de estados com
probabilidades obedecendo distribuio de Boltzmann. Para que isto ocorra outras duas
condies devem ser satisfeitas: a ergodicidade e o balano detalhado.
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4.4.2 Ergodicidade
A condio de ergodicidade assegura que qualquer estado do sistema pode seratingido a partir de qualquer outro estado via sequncia de processos de Markov. Esta
condio permite que algumas das probabilidades de transio entre estados sejam zero, mas
deve existir pelo menos um caminho de probabilidades de transio diferente de zero entre
quaisquer dois estados do sistema. Se isto no ocorrer, um estado no poder ser gerado a
partir do estado inicial e a probabilidade do estado lp ser zero e no o valor correspondente
distribuio de Boltzmann [60].
4.4.3 Balano Detalhado
O balano detalhado consiste na garantia que quando uma longa cadeia de
Markov realizada, a distribuio obtida a distribuio de Boltzmann. Desde que o sistema
atinja o equilbrio, as probabilidades de o sistema ir para o estado e sair deste devem ser
iguais, isto :
( ) ( ) =m
n
n
m mnnm PpPp (4.18)
Esta condio garante a existncia de uma distribuio de equilbrio [61]. Esta a
chamada condio de balano detalhadoe nos diz que na mdia o sistema deve ir de para
n da mesma forma que ele vai de n para . Esta condio garantir que a cadeia de Markov
ir gerar uma distribuio de probabilidade nica para tempos longos. Desejamos que a
distribuio obtida seja a distribuio de Boltzmann, devemos escolher as probabilidades de
transio entre os estados paran de acordo com a condio:
( )( )
( )mnb
m
n
mn
n EEe
p
p
P
P --==
(4.19)
Nessas condies, agora se faz a escolha conveniente para a distribuio de
probabilidades ( )nmP que deve satisfazer as Equaes 4.15 e 4.19. Feito is