07_otpornost celicnih konstrukcija kod potresa - numericki primjer 14_15
DESCRIPTION
NUMERIČKI PRIMJER MODELIRANJA ČELIČNIH ZGRADA NA POTRESTRANSCRIPT
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 1
OTPORNOST ČELIČNIH KONSTRUKCIJA
KOD POTRESA - NUMERIČKI PRIMJER
SADRŽAJ
1. OPĆENITO ........................................................................................................................................................ 3
1.1. KARAKTERISTIKE MATERIJALA ................................................................................................................... 3 1.2. GEOMETRIJA ............................................................................................................................................... 3 1.3. STATIČKI SUSTAV ....................................................................................................................................... 4
2. OPTEREĆENJA ............................................................................................................................................... 4
2.1. ANALIZA OPTEREĆENJA .............................................................................................................................. 4 2.1.1. Međukatna konstrukcija ........................................................................................................................ 4 2.1.2. Pregradne stijene .................................................................................................................................. 5 2.1.3. Stupovi ................................................................................................................................................... 5 2.1.4. Nosači.................................................................................................................................................... 5
3. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE ....................................................................................................... 6
3.1. KRITERIJI ZA KONSTRUKCIJSKU PRAVILNOST.............................................................................................. 6 3.1.1. Općenito ................................................................................................................................................ 6
3.1.1 KRITERIJI ZA GEOMETRIJSKU PRAVILNOST U TLOCRTU ............................................................................... 6 3.1.2. Kriteriji za geometrijsku pravilnost u presjeku ..................................................................................... 6 3.1.3. Zaključak ............................................................................................................................................... 6
4. POTRESNO DJELOVANJE ............................................................................................................................ 6
4.1. OPĆENITO ................................................................................................................................................... 6 4.2. FAKTOR PONAŠANJA Q ................................................................................................................................ 7 4.3. RAČUNSKI SPEKTAR ODZIVA ....................................................................................................................... 7 4.4. KOMBINACIJE DJELOVANJA ZA SEIZMIČKU RAČUNSKU SITUACIJU .............................................................. 8
5. ANALIZA UČINKA POTRESA PREMA MODALNOJ METODI NA TEMELJU SPEKTRA
ODZIVA ............................................................................................................................................................. 9
5.1. OPĆENITO ................................................................................................................................................... 9 5.2. ANALIZA U POPREČNOM SMJERU (SMJER X) ................................................................................................ 9
5.2.1. Proračun masa ...................................................................................................................................... 9 5.2.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti .......................................................................... 10 5.2.3. Učinak potresa .................................................................................................................................... 12 5.2.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa ........................................................... 13 5.2.5. Djelovanje torzije ................................................................................................................................ 15 5.2.6. Unutarnje sile i momenti u poprečnom smjeru x ................................................................................. 17
5.3. DOKAZ ZA POPREČNI SMJER ...................................................................................................................... 17 5.3.1. Općenito .............................................................................................................................................. 17 5.3.2. Krajnje granično stanje ....................................................................................................................... 18 5.3.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja) .............................................................................. 19
5.4. ANALIZA U UZDUŽNOM SMJERU (SMJER Y) ............................................................................................... 19 5.4.1. Proračun masa .................................................................................................................................... 19
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 2
5.4.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti .......................................................................... 20 5.4.3. Učinak potresa .................................................................................................................................... 22 5.4.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa ........................................................... 23 5.4.5. Djelovanje torzije ................................................................................................................................ 24 5.4.6. Unutarnje sile i momenti u uzdužnom smjeru y ................................................................................... 26
5.5. DOKAZ ZA UZDUŽNI SMJER ....................................................................................................................... 27 5.5.1. Općenito .............................................................................................................................................. 27 5.5.2. Krajnje granično stanje ....................................................................................................................... 27 5.5.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja) .............................................................................. 28
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 3
1. OPĆENITO
U ovome primjeru analizira se ponašanje čelične konstrukcije uslijed djelovanja potresa. Vertikalna
stabilizacija u poprečnom smjeru osigurana je dvoetažnim okvirom koji su zglobno oslonjeni na temelje.
U uzdužnom smjeru stabilizacija konstrukcije osigurana je vezovima izvedenim s vlačnim dijagonalama.
Horizontalna stabilizacija predviđena je AB pločama koje djeluju kao posmične dijafragme u korovnoj
ravnini kao i u ravnini kata.
1.1. Karakteristike materijala
Kvaliteta čelika: S 235
Gustoća: 3m/kN5,78 odnosno:
3m/kg7850
Modul elastičnosti: E = 210 000 N/mm2
Poissonov koeficijent: 3,0
Modul posmika: 25
/76980)3,01(2
101,2
)1(2mmN
EG
1.2. Geometrija
Slika 1. Tlocrt, uzdužni presjek i poprečni presjek
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 4
1.3. Statički sustav
Slika 2. Poprečni presjek
Slika 3. Uzdužni presjek
2. OPTEREĆENJA
2.1. Analiza opterećenja
2.1.1. Međukatna konstrukcija
Stalna djelovanja:
Debljina ploče 28 cm: 3,85 kN/m2
Slojevi poda, 10 cm: 1,60 kN/m2
Vapneno-cementna žbuka debljine 1,5 cm: 0,30 kN/m2
Karakteristično stalno djelovanje: kg = 5,75 kN/m2
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 5
Promjenjiva djelovanja:
Karakteristično promjenjivo djelovanje kq = 5,00 kN/m2
Dodatno korisno djelovanje na zahtjev naručitelja: 4,00 kN/m2
Ukupno karakteristično promjenjivo djelovanje: kq = 9,00 kN/m2
Krovna konstrukcija: 0,40 kN/m2
Karakteristično stalno djelovanje kg = 0,40 kN/m2
Dodatno promjenjivo djelovanje: kq = 1,00 kN/m2
Opterećenje snijegom: ks = 1,70 kN/m2
Opterećenje vjetrom kw =:-0,8 kN/m2; 0,6 kN/m2
Za slučajeve opterećenja vjetrom i snijegom usvajaju se pojednostavljene pretpostavke.
2.1.2. Pregradne stijene
Pregradne stijene predviđene su kao sendvič elementi težine kg = 1,00 kN/m2
2.1.3. Stupovi
Prema konceptu niske razgradnje seizmičke energije svi primarni elementi (seizmički) pripadaju klasama
poprečnih presjeka 1, 2 ili 3. Za početnu vrijednost stupa odabrana je vrijednost HEB 300 s vlastitom
težinom 1,17 kN/m. Poprečni presjek stupa svrstan je u klasu 1.
Stup (HEB 300): 1,17 kN/m (Klasa presjeka 1)
2.1.4. Nosači
Za uzdužne i poprečne nosače na koti +3,00 odabrani su:
Uzdužni nosači: IPE 300
Poprečni nosači: HEB 300
Za uzdužne i poprečne nosače na koti +6,00 odabrani su:
Uzdužni nosači: IPE 300
Poprečni nosači: IPE 300
Uzdužni nosači (IPE 300) : 0,42 kN/m (Klasa presjeka 1)
Poprečni nosači (IPE 300): 0,42 kN/m (Klasa presjeka 1)
Poprečni nosači (HEB 300): 1,17 kN/m (Klasa presjeka 1)
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 6
3. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE
3.1. Kriteriji za konstrukcijsku pravilnost
3.1.1. Općenito
Konstrukcijska pravilnost prema EN 1998-1:2004, točka 4.2.3 predviđena je za tlocrt (horizontalna
pravilnost) i presjek (vertikalna pravilnost).
3.1.1 Kriteriji za geometrijsku pravilnost u tlocrtu
Konstrukcijska pravilnost u tlocrtu se ocjenjuje prema EN 1998-1:2004
EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (2) Kriterij je zadovoljen
EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (3) Kriterij je zadovoljen
EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (4) Kriterij nije mjerodavan
EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (5) 414,20,7
0,15
l
l
min
max Kriterij je zadovoljen
EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.2 (6) Provjera pravilnosti u tlocrtu je relativno jednostavna tako da nema
ekscentriciteta e0x i e0y tako da nije potreban točan dokaz konstrukcije na torziju.
3.1.2. Kriteriji za geometrijsku pravilnost u presjeku
Konstrukcijska pravilnost u presjeku se ocjenjuje prema EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.3
EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.3 (2) Kriterij je zadovoljen
EN 1998-1:2004, točka 4.2.3.3 (3) Kriterij nije zadovoljen
Mase na koti +3,00 su daleko veće od onih na koti + 6,00. To znači da uvjet postupnog smanjenja masa
od temelja do vrha zgrade nije zadovoljen.
EN 1998-1:2004, Točka 4.2.3.3 (4) Kriterij nije zadovoljen
Nejednolika raspodjela masa daje različita naprezanja u katovima. Dimenzije stupova između katova su
jednake, tako da u drugoj etaži omjer stvarne otpornosti i potrebne otpornosti u odnosu na taj omjer u
prvoj etaži osjetno odstupa.
EN 1998-1:2004, Točka 4.2.3.2 (5) Kriterij nije mjerodavan
3.1.3. Zaključak
Kriteriji pravilnosti tlocrta su zadovoljeni. Međutim, kriteriji pravilnosti presjeka nisu zadovoljeni. U tom
slučaju potrebno je provesti modalnu analizu pomoću spektra odziva.
4. POTRESNO DJELOVANJE
4.1. Općenito
Faktor važnosti konstrukcije odabran je za kategoriju 2 tako da je: 0,1I
Horizontalno ubrzanje tla gRIg aa prema EN 1998-1:2004, točka 3.2.2.2
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 7
2gR s/m03,1a
Vertikalno ubrzanje tla 0,45vg gRa a prema EN 1998-1:2004, točka 3.2.2.3 (1);
20,46 /vga m s
Vertikalni učinak potresa nije potrebno uzeti u obzir ukoliko je zadovoljen uvjet 22,5 /vga m s . U ovom
slučaju ovaj je uvjet zadovoljen.
U ovisnosti kategorije tla B definirani su parametri elastičnog spektra odziva tipa 1:
S = 1,2; TB = 0,15 s; TC = 0,5 s; TD = 2,0 s;
Kriterij za vrlo nisku razinu seizmičnosti:
2 21,0 1,03 1,2 1,236 / 0,49 /I gRa S m s m s Uvjet nije zadovoljen
Kriterij za nisku razinu seizmičnosti:
2 21,0 1,03 1,2 1,236 / 0,98 /I gRa S m s m s Uvjet nije zadovoljen
Prema kriterijima iz EN 1998:2004, točka 3.2.1(4), razina seizmičnosti je visoka.
Proračun će se provesti pomoću dva ravninska modela.
4.2. Faktor ponašanja q
Faktor ponašanja q može se odabrati sa vrijednosti q = 2,0 jer je predviđeno ponašanje konstrukcije s
niskom razgradnjom seizmičke energije (kozervativno). Obzirom na to da nije zadovoljen uvjet
pravilnosti presjeka faktor ponašanja treba reducirati s vrijednošću 0,8. Faktor ponašanja za određivanje
računskog spektra odziva iznosi:
6,18,02q
4.3. Računski spektar odziva
Za horizontalne komponente potresnog djelovanja, računski spektar Sd(T) je definiran prema sljedećim
izrazima (vidi sliku 4.)
3
2
q
5,2
T
T
3
2Sa)T(S:TT0
BgdB
3
2
6,1
5,2
15,0
T
3
22,103,1)T(S:15,0T0 d
q
5,2Sa)T(S:TTT gdCB
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 8
93,16,1
5,22,103,1)T(S:5,0T15,0 d
g
Cg
dDC
a
T
T
q
5,2Sa
)T(S:TTT
03,12,0
T
5,0
6,1
5,22,103,1
)T(S:0,2T5,0 d
g
2
DCg
dD
a
T
TT
q
5,2Sa
)T(STT
03,12,0
T
0,25,0
6,1
5,22,103,1
)T(ST0,2 2d
Računski spektar odziva prikazan je na slici 4.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.0
0
0.5
0
1.0
0
1.5
0
2.0
0
2.5
0
3.0
0
3.5
0
Sd(T)
T
Slika 4. Računski spektar odziva
4.4. Kombinacije djelovanja za seizmičku računsku situaciju
1i
i,ki,2Edj,k Q""A""P""G ( EkIEd AA )
8,0skladište,2 (za kategoriju E prema EN 1990:2002,točka A.1.2.2)
0,0krov,2 (za kategoriju H prema EN 1990:2002, Točka A.1.2.2)
0,0snijeg,2 (za mjesta niža od 1000 m.n.v. prema EN 1990:2002, točka A.1.2.2)
0,0vjetar,2 (prema EN 1990:2002, točka A.1.2.2)
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 9
5. ANALIZA UČINKA POTRESA PREMA MODALNOJ
METODI NA TEMELJU SPEKTRA ODZIVA
5.1. Općenito
Učinak potresa i analiza provest će se prema modalnoj analizi.
Za određivanje progiba tj. horizontalnih pomaka primijenit će se princip virtualnih sila.
dxEI
MMw
5.2. Analiza u poprečnom smjeru (smjer x)
5.2.1. Proračun masa
Utjecajne površine za proračun masa po katovima prikazane su na slici 5.
Slika 5. Mjerodavne površine za proračun masa
Matrica masa dobiva se uzimanjem u obzir utjecajnih površina prema tablicama 1. i 2.
kg405000,0
00,051240m~
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 10
Tablica 1. Masa m1 na koti +3,00
Element Količina
Utjecajne dužine Opt. Težina Masa
Faktor
Komb.
masa lE bE hE kN/m
kN/m2 m kN t i,E t
Stalna djelovanja
Uzdužmi nosač IPE
300 2,00 5,00 0,42 4,20 0,43 0,43
Poprečni nosač
IPE 300 1,00 7,00 1,17 8,19 0,83 0,83
Stupovi
HEB 300 2,00 3,00 1,17 7,02 0,72 0,72
Ploča 1,00 5,00 7,00 5,75 201,3 20,51 20,51
Zid 2,00 5,00 3,00 1,00 30,0 3,06 3,06
Ostala djelovanja
Korisno opterećenje
ploči 1,00 5,00 7,00 9,00 315,0 32,11 0,80 25,69
Masa m1: 51,24
Tablica 2. Masa m2 na koti +6,00
Element Količina
Utjecajne dužine Opt. Težina Masa
Faktor
Komb.
masa lE bE hE kN/m
kN/m2 kom m kN t i,E t
Stalna djelovanja
Uzdužni nosač IPE 300 2,00 5,00 0,42 4,20 0,43 0,43
Poprečni nosač
IPE 300 1,00 7,00 0,42 2,94 0,30 0,30
Stupovi
HEB 300 2,00 1,50 1,17 3,51 0,36 0,36
Ploča 1,00 5,00 7,00 0,40 14,0 1,43 1,43
Zid 2,00 5,00 1,50 1,00 15,0 1,53 1,53
Ostala djelovanja
Opterećenje snijegom 1,00 5,00 7,00 1,70 59,50 6,07 0,00 0,00
Korisno opterećenje na
krovu 1,00 5,00 7,00 1,00 35,00 3,57 0,00 0,00
Masa m2: 4,05
5.2.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti
Horizontalni pomaci sustava određuju se jediničnim silama na koti +3,00 i koti +6,00
Horizontalni pomaci uslijed jedinične sile na koti +3,00 prikazani su na slici 6.
Kota +3,00: mm17,0u11
Kota +6,00: mm24,0u12
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 11
Slika 6. Jedinična sila na koti +3,00
Horizontalni pomaci uslijed jedinične sile na koti +6,00 prikazani su na slici 7.
Kota +3,00: mm24,0u21
Kota +6,00: mm41,0u22
Slika 7. Jedinična sila na koti +6,00
Matrica fleksibilnosti glasi:
N/m7,0E10,407E40,2
07E40,207E70,1
uu
uua~
2221
1211
Matrica krutosti:
N/m78,5860491474,71083419
74,7108341952,29788433a~k
~ 1
Dinamička matrica
03E661,102E230,1
04E720,903E711,8m~a~d
~
Za dinamičku matricu odredit će se samo vlastite vrijednosti i vlastiti vektori. Na slici 8. su prikazane
koordinate prvog vlastitog oblika 1 i drugog vlastitog oblika 2 iz matrice vlastitog vektora (modalne
matrice), koji su normirani na vrijednost 1 (vidi sliku 8).
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 12
115,0688,0
00,100,1
21
x
Slika 8. Vlastiti oblici
5.2.3. Učinak potresa
Vlastite kružne frekvencije iz kojih slijede vlastite frekvencije f mogu se odrediti iz vlastitih
vrijednosti dinamičke matrice:
04E48,2
02E01,1j ;
f21
;
Hz11,10
58,1f j
;
s099,0
63,0Tj
.
Za određene vlastite periode dobivaju se iz računskog spektra odziva sljedeće vrijednosti spektra odziva
(vidi sliku 4.):
554,1
931,1)T(Sd
Za proračun spektra odziva potrebna je modalna analiza, kako bi se povezani sustav jednadžbi sustava sa
više stupnjeva slobode raščlanio na sustav jednadžbi sa jednim stupnjem slobode.
oblik
oblik
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 13
Faktor učešća iznosi:
.kg23,8351
48,31139em~
~ T*j
Ukoliko se svi stupnjevi slobode sustava nalaze u smjeru ubrzanja tla, faktor prijenosa e
postaje jedinični
faktor.
Modalne mase dobivaju se korištenjem uvjeta ortogonalnosti vlastitih oblika:
,kg96,725400,0
00,065,31528~m~
~m~ T*
U gornjem izrazu sa *m~ označena je matrica modalnih masa.
Iznos j-tog stanja vlastitih oblika za djelovanje potresa k-tog kata dobiva se prema sljedećem izrazu:
).T(Smm
F jdj,kk*j
*j
j,k
Doprinosi stanja 1 i 2 vlastitih oblika predočeni su u sljedećoj matrici:
Mod.2Mod.1
2
1j,k
03,444251,85710
53,551331,53194
)m0,6(F
)m0,3(FF~
Efektivne mase (zamjenske mase) dobivaju se iz:
*2
, *e jmm
Omjer efektivnih udjela masa u odnosu na ukupnu masu (faktor zamjenske mase) dobiva se iz izraza:
m
m je
j
,
U konkretnom slučaju dobivaju se sljedeći faktori
.013,0;987,0 21
Prema EN 1998-1:2004 suma efektivnih modalnih masa mora iznositi najmanje 90% ukupne mase
građevine. Također, modalni doprinos efektivnih modalnih masa mora se uzeti u obzir ukoliko je taj
doprinos veći od 5% ukupne mase. Na taj način potrebno je uzeti u obzir samo prvi vlastiti oblik.
5.2.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa
Horizontalne sile koje su dobivene iz prvih vlastitih oblika iznose:
kN86,10
kN53,94
)m0,6(F
)m0,3(F
2
1
Raspodjele momenta savijanja, poprečnih i uzdužnih sila prikazane su na slikama 9., 10. i 11.
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 14
Slika 9. Momenti savijanja u kNm
Slika 10. Poprečne sile u kN
Slika 11. Uzdužne sile u kN
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 15
5.2.5. Djelovanje torzije
Prema normi EN 1998 kod razmatranja dva ravninska modela potrebno je uzeti u obzir slučajno
djelovanje torzije. Istovremeno, kod primjene ta dva ravninska modela potrebno je za slučajni
ekscentricitet uzeti dvostruku vrijednost. Napone u pojedinim elementima potrebno je pomnožiti s
koeficijentom .
2,1L
x)26,0(1
e
Slika 12. Slučajno djelovanje torzije
Na slici 13. prikazane su oznake elemenata:
Slika 13. Oznake elemenata
Unutarnje sile i momenti savijanja koji su dobiveni uzimajući u obzir slučajno djelovanje torzije prikazani
su na slikama 14., 15. i 16.
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 16
Slika 14. Momenti savijanja
Slika 15. Poprečne sile
Slika 16. Uzdužne sile
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 17
Unutarnje sile i momenti savijanja (Mz, Fy, Fx) prikazani su u tablici 3.
Tablica 3. Unutarnje sile i momenti savijanja
Element Čvor Moment savijanja Mz Poprečna sila Fz Uzdužna sila Fx
kN.m kN kN
1 I 0,000 -63,556 59,786
1 J 190,67 -63,556 59,786
2 I 16,959 -6,1731 10,166
2 J 35,478 -6,1731 10,166
3 I 35,478 10,166 -6,8569
3 J -35,684 10,166 -6,8569
4 I -35,684 -6,8569 -10,166
4 J -15,114 -6,8569 -10,166
5 I -188,74 -62,914 -59,786
5 J 0,000 -62,914 -59,786
6 I 173,71 49,62 -56,057
6 J -173,63 49,62 -56,057
5.2.6. Unutarnje sile i momenti u poprečnom smjeru x
Kombinacija djelovanja u slučaju seizmičke računske kombinacije glasi:
;QAGE i,ki,2Edj,kd
).Q0,0Q0,0QQ8,0(AGE snijegvjetarkrov_korisnospremište_.korEdj,kd
5.3. Dokaz za poprečni smjer
5.3.1. Općenito
Dokaz mora sadržavati krajnje granično stanje (izbjegavanje kolapsa) i granično stanje uporabe
(ograničenje oštećenja). Dokaz važi za zgrade, koje u pogledu važnosti ne pripadaju kategoriji 4, ukoliko
su sadržani sljedeći uvjeti:
EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2a) Uvjet nije zadovoljen
Ukupna poprečna sila u slučaju djelovanja potresa iznosi:
kN47,126)556,63914,62(0,1VEd
Ukupna poprečna sila u kombinaciji s vjetrom dobiva se iz opterećenja vjetrom za visinu zgrade koja
iznosi 6 m:
;m/kN0,4wD ;m/kN0,3wS
kN63)6364(5,1VEd
Prema EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2b) zahtjev nije zadovoljen.
Kriterij pravilnosti presjeka također nije zadovoljen (vidi točku 3.1.3)
Napomena: Na temelju EN 1998 točka 4.4.1. za provedbu dokaza potresa može se provesti procjena
postoji li druga mjerodavna kombinacija djelovanja koja daje veći učinak od potresne.
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 18
Kod pravilne zgrade obzirom na tlocrt i presjek, koja nije svrstana u kategoriju 4. preporuča se provjeriti
uvjet prema točki 4.4.1. (2a) prije modalne analize.
Ako se držimo ovog zahtjeva osjetno se skraćuje postupak proračuna.
Procjena ukupne poprečne sile dobiva se prema izrazu: .mSF db
Za određivanje računskog spektra Sd faktor ponašanja q može se usvojiti konzervativno s vrijednosti q
=1,5. Masa i faktor korekcije odrede se prema EN 1998:2004, točka 4.3.3.2.2.
Ako je ukupna poprečna sila uslijed potresa manja od druge računske kombinacije (npr. vjetar) nije
potreban dokaz prema EN 1998 i dimenzioniranje se provodi prema EN 1993-1-1.
5.3.2. Krajnje granično stanje
Krajnje granično stanje definirano je izrazom:
dd RE
Utjecaj teorije 2. reda nije potrebno uzeti u obzir ukoliko je zadovoljen slijedeći uvjet:
.10,0hV
dP
tot
rtot
Za prvi kat vrijedi:
;81,9mmP 21tot
;kN39,54281,905,424,51Ptot
;kN47,126VV Edtot
.mm84,35ddd 00,0kota,s00,3kota,sr
Proračun horizontalnog pomaka dobiva se prema izrazu
;dqd eds
;mm00,0d 00,0kota,s
.mm84,354,226,1d 00,3kota,s
Koeficijent za kat iznosi:
10,005,0000374,126
84,3539,524
Za krov vrijedi:
;81,9mP 2tot
;kN73,3981,905,4Ptot
;kN03,13857,6173,6Vtot
mm2,15ddd 00,3kota,s00,6kota,sr
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 19
Proračun horizontalnog pomaka iznosi
;dqd eds
.mm84,354,226,1d 00,3kota,s
.mm04,519,316,1d 00,6kota,s
Koeficijent za krov iznosi:
10,00015,0300003,13
2,1573,39
Uvjeti za kat i za krov su zadovoljeni što znači da se utjecaj teorije drugog reda ne uzima u obzir.
Napominje se da je potrebno dokazati i ostale kriterije krajnjeg graničnog stanja.
5.3.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja)
Međusobni pomak katova potrebno je ograničiti. U ovom slučaju uvjet za zgrade koje posjeduju duktilne
ne konstrukcijske elemente vrijedi:
hdr 0075,0
Koeficijent smanjenja usvaja se s vrijednosti 5,0
Za kat: 5,2282,17:vrijedimm64,35dr
Za krov : 5,226,7:vrijedimm2,15dr
5.4. Analiza u uzdužnom smjeru (smjer y)
5.4.1. Proračun masa
Utjecajne površine za proračun masa po katovima prikazane su na slici 17.
Slika 17. Mjerodavne površine za proračun masa
Matrica masa dobiva se uzimanjem u obzir utjecajnih površina prema tablici 4. i tablici 5.
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 20
.kg746000,0
00,079770m~
Tablica 4. Masa m1 na koti +3,00
Element Količina
Utjecajne dužine Opt. Težina
Ma
sa
Faktor
Komb.
masa lE bE hE kN/m
kN/m2 kom m kN t i,E t
Stalna djelovanja
Uzd. nosač IPE
330 1,00 15,00 0,42 6,30 0,64 0,64
Popr. nosač
IPE 300 4,00 3,50 1,17 16,38 1,67 1,67
Stupovi
HEB 300 4,00 3,00 1,17 14,04 1,43 1,43
AB rebr. ploča 1,00 15,00 3,50 5,75 301,9 30,77 30,77
Poprečni zid 2,00 3,50 3,00 1,00 21,00 2,14 2,14
Uzdužni zid 1,00 15,00 3,00 1,00 45,00 4,59 4,59
Ostala djelovanja
Kor. opt.na krovu 1,00 15,00 3,50 9,00 472,5 48,17 0,80 38,53
Masa m1: 79,77
Tablica 5. Masa m2 na koti +6,00
Element
Količina Utjecajne dužine Opt. Težina Masa
Faktor
Komb.
masa kom
lE bE hE kN/m
kN/m2 m kN t i,E t
Stalna djelovanja
Uzd. nosač IPE 300 1,00 15,00 0,42 6,30 0,64 0,64
Popr. nosač
IPE 330 4,00 3,50 1,50 0,42 5,88 0,60 0,60
Stupovi
HEB 300 4,00 1,17 7,02 0,72 0,72
Krovna ploča 1,00 15,00 3,50 0,40 21,00 2,14 2,14
Poprečni zid 2,00 3,50 1,50 1,00 10,50 1,07 1,07
Uzdužni zid 1,00 5,00 1,50 1,00 22,50 2,29 2,29
Ostala djelovanja
Optereć. snijegom 1,00 15,00 3,50 1,70 89,25 9,10 0,00 0,00
Korisno opterećenje na
krovu 1,00 5,00 3,50 1,00 52,50 5,35 0,00 0,00
Masa m2: 7,46
5.4.2. Određivanje matrice krutosti i matrice fleksibilnosti
Horizontalni pomaci sustava određuju se jediničnim silama na koti +3,00 i koti +6,00
Horizontalni pomaci uslijed jedinične sile na koti +3,00 prikazani su na slici 18.
Kota +3,00: mm016,0u11
Kota +6,00: mm016,0u12
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 21
Slika 18. Jedinična sila na koti +3,00
Horizontalni pomaci uslijed jedinične sile na koti +6,00 prikazani su na slici 19.
Kota +3,00: mm016,0u21
Kota +6,00: mm033,0u22
Slika 19. Jedinična sila na koti +6,00
Matrica fleksibilnosti glasi:
N/m08E30,308E60,1
08E60,108E60,1
uu
uua~
2221
1211
Matrica krutosti:
.m/N41,5298235841,52982358
41,5298235841,529323121a~k
~ 1
Dinamička matrica
04E462,203E267,1
04E194,103E267,1m~a~d
~
Određivanje vlastitih vektora:
1 : prvi vlastiti oblik;
2 : drugi vlastiti oblik;
103,0910,0
00,100,1
21
x
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 22
Vlastiti oblici prikazani su na slici 29.
Slika 20. Vlastiti oblici
5.4.3. Učinak potresa
Vlastite kružne frekvencije i vlastite frekvencije f mogu se odrediti iz vlastitih vrijednosti
dinamičke matrice:
04E15,1
03E41,1j ;
f21
;
Hz84,14
24,4f j
;
.s067,0
236,0Tj
Za određene vlastite periode dobivaju se iz računskog spektra sljedeće vrijednosti spektra (vidi sliku 4.):
.319,1
931,1)T(Sd
Faktor učešća iznosi:
.kg73,738
48,04280em
~ T*j
Modalne mase dobivaju se korištenjem uvjeta ortogonalnosti vlastitih oblika:
.kg66,830200,0
00,058,50273~m
~m~ T*
Iznos j-tog stanja vlastitih oblika za djelovanje potresa k-tog kata dobiva se prema sljedećem izrazu:
oblik
oblik
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 23
.)T(Smm
F jdj,kk*j
*j
j,k
Doprinosi stanja 1 i 2 vlastitih oblika predočeni su u sljedećoj matrici:
mod.2mod.1
2
1d*
*j
j,k83,87497,68615
46,96124,627152
)m0,6(F
)m0,3(F)T(Sm~
m~F~
Efektivne mase (zamjenske mase) dobivaju se iz:
*
2*
j,em~
m
,
Omjer efektivnih udjela masa u odnosu na ukupnu masu (faktor zamjenske mase) dobiva se iz izraza:
m
m j,ej
U konkretnom slučaju dobivaju se sljedeći faktori
001,0,999,0 21
Potrebno je uzeti u obzir samo prvi vlastiti oblik.
.N97,68615
24,627152
)m0,6(F
)m0,3(FF~
2
1x,k
5.4.4. Unutarnje sile i momenti savijanja uslijed djelovanja potresa
Unutarnje sile koje su dobivene iz prvih vlastitih oblika iznose:
kN69,15
63,152
)m0,6(F
)m0,3(F
2
1
Raspodjele momenta savijanja, poprečnih i uzdužnih sila prikazane su na slici 21, slici 22. i slici 23.
Slika 21. Moment savijanja u kNm
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 24
Slika 22. Poprečne sile u kN
Slika 23. Uzdužne sile u kN
5.4.5. Djelovanje torzije
Prema normi EN 1998 kod razmatranja dva ravninska modela potrebno je uzeti u obzir slučajno
djelovanje torzije. Istovremeno, kod primjene ta dva ravninska modela potrebno je za slučajni
ekscentricitet uzeti dvostruku vrijednost. Naponi u pojedinim elementima potrebno je pomnožiti s
koeficijentom .
.6,1L
x2,11
e
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 25
Slika 24. Slučajno djelovanje torzije
Unutarnje sile i momenti savijanja koji su dobiveni uzimajući u obzir slučajno djelovanje torzije prikazani
su na slici 25., slici 26. i slici 27.
Slika 25. Raspodjela momenta savijanja u kNm
Slika 26. Raspodjela poprečnih sila u kN
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 26
Slika 27. Raspodjela uzdužnih sila u kN
5.4.6. Unutarnje sile i momenti u uzdužnom smjeru y
Kombinacija djelovanja u slučaju seizmičke računske kombinacije (pogledaj točku 5.2.6):
Na slici 28. prikazane su oznake elemenata:
Slika 28. Oznake elemenata
Tablica 6. Unutarnje sile i momenti savijanja za seizmičku računsku kombinaciju
Unut. sile Element A B C
kota ±0,00 +3,00 +3,00 +6,00 ±0,00 +3,00
NSd,max kN -38,98 -24,97 -14,16 -0,15 -80,24 -76,73
NSd,min kN -204,12 -190,12 -26,82 -12,81 -291,84 -288,33
Unut. sile Element D E F
kota +3,00 +6,00 ±0,00 +3,00 +3,00 +6,00
NSd,max kN -11,52 -8,01 -70,54 -67,03 -3,32 0,19
NSd,min kN -16,18 -12,67 -301,5 -298,0 -24,38 -20,87
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 27
Tablica 6. Unutarnje sile i momenti savijanja za seizmičku računsku kombinaciju (nastavak)
Unut. sile Element G H
I J kota ±0,00 +3,00 +3,00 +6,00
NSd,max kN -38,72 -24,71 -12,49 1,51 155,83 92,22
NSd,min kN -204,39 -190,38 -28,49 -14,48 -152,46 -91,76
Unut. sile Element K L M N Mjerodavna dijagonala
NSd,max kN 44,01 18,97 25,27 10,77 90,41
NSd,min kN -40,64 -19,93 -27,55 -11,73 -92,88
5.5. Dokaz za uzdužni smjer
5.5.1. Općenito
Dokaz mora sadržavati krajnje granično stanje (izbjegavanje kolapsa) i granično stanje uporabe
(ograničenje oštećenja). Dokaz važi za zgrade, koje u pogledu značenja ne pripadaju kategoriji 4, ukoliko
su sadržani sljedeći uvjeti:
EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2a) Uvjet nije zadovoljen
Ukupna poprečna sila u slučaju djelovanja potresa iznosi:
kN3,269)4,6036,5732,8122,70(0,1VEd
Kontrola pomoću usporedbe s učinkom potresa uključujući torziju
kN3,269)69,1563,152(6,1VEd
Ukupna poprečna sila u kombinaciji s vjetrom dobiva se iz opterećenja vjetrom za visinu zgrade koja
iznosi 6 m:
;m/kN8,2wD
;m/kN1,2wS
kN1,44)61,268,2(6,1VEd
Prema EN 1998-1:2004, točka 4.4.1 (2b) zahtjev nije zadovoljen.
5.5.2. Krajnje granično stanje
Krajnje granično stanje definirano je izrazom:
dd RE
Utjecaj teorije 2. reda nije potrebno uzeti u obzir ukoliko je zadovoljen slijedeći uvjet:
.10,0hV
dP
tot
rtot
Za prvi kat vrijedi:
;81,9)mm(P 21tot
Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije
http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)
Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 7: Otpornost čeličnih konstrukcija kod potresa - numerički primjer
prof.dr.sc. Darko Dujmović; dr.sc. Ivan Lukačević 28
;kN7,85581,9)46,777,79(Ptot
;kN3,269VV Edtot
.mm88,6ddd 00,0kota,s00,3kota,sr
Proračun horizontalnog pomaka dobiva se prema izrazu
eds dqd
.mm0,0d 00,0kota,s
.mm88,63,46,1d 00,3kota,s
Koeficijent za kat iznosi:
.10007,030003,269
88,67,855
Za krov vrijedi:
;81,9)m(P 2tot
;kN2,7381,9)46,7(Ptot
kN1,25Vtot
.mm16,0ddd 00,3kota,s00,6kota,sr
Proračun horizontalnog pomaka iznosi
eds dqd
.mm88,63,46,1d 00,3kota,s
.mm72,62,46,1d 00,6kota,s
Koeficijent za krov iznosi:
10,000015,000031,25
16,02,73
Uvjeti za kat i za krov su zadovoljeni što znači da se utjecaj teorije drugog reda ne uzima u obzir.
Napominje se da je potrebno dokazati i ostale kriterije krajnjeg graničnog stanja.
5.5.3. Granično stanje uporabe (ograničenje oštećenja)
Međusobni pomak katova potrebno je ograničiti. U ovom slučaju uvjet za zgrade koje posjeduju duktilne
nekonstrukcijske elemente vrijedi:
h0075,0dr
Koeficijent smanjenja usvaja se s vrijednosti 5,0
mm88,6dr : 5,2244,3
mm16,0dr : 5,2208,0