07.4 kombinasi

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

1/36

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT :KOMBINASI

MATEMATIKA DISKRIT

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

2/36

Matematika Diskrit 1

IlustrasiMisal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) danhijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.

Kelereng

m hKaleng

1 2 3

Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3

sama

sama

sama

3 cara

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

3/36


Ilustrasi (Cont.)

Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalamkaleng

32

23

!2

!1

!3

!2

2,3

2

2,3

PP

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

4/36


Definisi

Kombinasi relemen dari nelemen adalah :jumlah pemilihan yang tidak terurut relemen yang diambil dari nbuah elemen

Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi Perbedaan permutasi dengan kombinasi :

Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan

Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari relemen yangdiambil dari nelemen disebut dengan kombinasi-r:

!!

!),(

rnr

nC

r

nCrnC

n

r

C(n,r) dibaca n diambil r r objek diambil dari n buah objek

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

5/36


Interpretasi Kombinasi

1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknyahimpunan bagian yang terdiri dari relemen yang dapatdibentuk dari himpunan dengan nelemen. Dua atau lebihelemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yangsama meskipun urutan elemen-elemennya berbedaContoh :

Misal A = {1,2,3}Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk darihimpunan A :

{1,2} = {2,1}{1,3} = {3,1} 3 buah

{2,3} = {3,2}

3!1!2

23

!23!2

!3

2

3)2,3( 32

CCC

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

6/36


Interpretasi Kombinasi (Cont.)

2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih rbuah elemen dari nbuah elemen yang ada, tetapi urutanelemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak pentingContoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudiandipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakankelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalampanitia kedudukannya sama).Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yangterdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 oranganggota adalah :

caraCCC 15504

!520!5

!20

5

20)5,20( 205

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

7/36


Contoh 1

Ada berapa cara dapat memilih 3 dari4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

8/36


Solusi

Merupakan persoalan kombinasi karenaurutan kemunculan ketiga elemen tersebuttidak penting

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}

Sehingga :

caraCCC 4

!34!3

!4

3

4)3,4( 43

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

9/36


Contoh 2

Berapa cara menyusun menu nasigoreng 3 kali seminggu untuk sarapan

pagi ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

10/36


Solusi Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali

Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari

Maka :

caraCCC 35

!37!3

!7

3

7)3,7( 73

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

11/36


Contoh 3

Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran1 byte atau 8 bit (1 atau 0)

a) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?b) Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?c) Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah

genap ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

12/36


Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)

1 bit terdiri dari 1 atau 0 Maka :a) Posisi bit dalam 1 byte :

7 6 5 4 3 2 1 0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)::

Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :

(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

caraCCC 56

!38!3

!8

3

8)3,8( 83

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

13/36


c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1sejumlah genap :

C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

14/36


Contoh 4

Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5wanita.

Berapa banyak cara memilih panitia yangterdiri dari 4 orang dengan jumlah prialebih banyak daripada jumlah wanita ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

15/36


Solusi

Pria = 7 orang Wanita = 5 orang Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak

daripada jumlah wanita Maka :

Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35 Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

Sehingga jumlah cara pembentukan panitia

seluruhnya :C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

16/36


Contoh 5

Sebuah rumah penginapan ada 3 buahkamar A, B dan C. Tiap kamar dapat

menampung 3 atau 4 orang.Berapa jumlah cara pengisian kamaruntuk 10 orang ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

17/36


Solusi Diketahui :

Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang

Misalkan :i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang.Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)

Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600

atauC(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

18/36


Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

Misal nbuah bola tidak seluruhnya berbeda warna

(ada beberapa bola yang warnanya sama)n1 bola diantaranya berwarna 1n2 bola diantaranya berwarna 2

nk bola diantaranya berwarna kSehingga n1 + n2+ + nk = n. Bola-bola tersebutdimasukkan ke dalam nbuah kotak, masing-masingkotak berisi paling banyak 1 buah bola.Berapa banyak jumlah cara pengaturan nbuah bola

ke dalam kotak-kotak tersebut ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

19/36


Jika nbuah bola dianggap berbeda semua, makajumlah cara pengaturan nbuah bola ke dalam n

buah kotak adalah : P(n,n) = n ! Karena tidak seluruh bola berbeda makapengaturan nbuah bola :

n1! cara memasukkan bola berwarna 1n2! cara memasukkan bola berwarna 2nk! cara memasukkan bola berwarna k

Sehingga permutasi nbuah bola dikenal denganpermutasi bentuk umum:

!!...!

!

!!...!

,),...,,;(

2121

21

kk

k

nnn

n

nnn

nnPnnnnP

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

20/36


Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalamnbuah kotak ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1

Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2

Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3

Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkandalam kotak

Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalamkotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :

!!...!

!

!...!!...

!!!

!!!

,......,,),...,,;(

21

121

121

212

1

11

12121121

k

kkk

k

kkk

nnn

n

nnnnnnnnnn

nnnnnn

nnnn

nnnnnCnnnCnnCnnnnC

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

21/36


Jika S adalah himpunan ganda dengan nbuah objek yang di dalamnya terdiri dari k

jenis objek berbeda dan tiap objek memilikimultiplisitas n1, n2, ,nk (jumlah objekseluruhnya n1 + n2+ + nk = n) maka jumlahcara menyusun seluruh objek adalah :

!!...!

!),...,,;(),...,,;(

21

2121

k

kk

nnn

nnnnnCnnnnP

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

22/36


Contoh 6

Berapa banyak stringyang dapatdibentuk dengan menggunakan huruf-

huruf dari kata MISSISSIPPI?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

23/36


Solusi

S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah

Sehingga n= 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah

jumlah elemenhimpunan S Ada 2 cara :

i. Permutasi :Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

ii. Kombinasi :

Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

24/36


Contoh 7

Ada 12 lembar karton akan diwarnaisehingga ada 3 diantaranya berwarna

merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarnaungu dan sisanya berwarna coklat.Berapa jumlah cara pewarnaan ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

25/36


Solusi

Diketahui :n1 = 3n2 = 2n3 = 2

n4 = 5 Jumlah cara pewarnaan :

n = 12

cara

PPnnnnnP 166320

!5!2!2!3

!12

!5!2!2!3

12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

26/36


Kombinasi Pengulangan

Misalkan terdapat rbuah bola yang semua warnanya samadan nbuah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka

jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n,r)

Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, makajumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n+r-1, r)

C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemennbuah objek akan diambil rbuah objek dengan

pengulangan diperbolehkan

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

27/36


Contoh 8

Ada 20 buah apel dan 15 buah jerukdibagikan kepada 5 orang anak, tiapanak boleh mendapat lebih dari 1

buah apel atau jeruk, atau tidak samasekali.

Berapa jumlah cara pembagian yang

dapat dilakukan ?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

28/36


Solusi

Diketahui :

n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk

20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak

C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20) 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jerukmaka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut

adalah :C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3

= 41.186.376 cara

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

29/36


Contoh 9

Toko roti Lezat menjual 8 macamroti.

Berapa jumlah cara mengambil 1 lusinroti ? (1 lusin = 12 buah)

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

30/36


Solusi

Diketahui :n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti

Misalkan macam-macam roti dianalogikansebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisilebih dari 1 buah roti.

Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti(sama dengan jumlah cara memasukkan 1lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :

C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

31/36


Contoh 10

Ada 3 buah dadu dilempar secarabersama-sama.

Berapa banyaknya hasil berbeda yangmungkin terjadi ?

l

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

32/36


Solusi

Diketahui :n = 6 6 buah mata dadu

r = 3 3 dadu dilemparkan bersamaan

Sehingga banyaknya hasil berbeda yangmungkin terjadi adalah :

C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)

= C(8,3) = 56 cara

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

33/36


Latihan1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang

mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara

membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :a. Tidak ada batasan jurusanb. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik

Informatikac. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektro

d. Semua anggota panita harus dari jurusan yang samae. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili2. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil

dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukankartu = 52 buah)

3. Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku

yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan bukuPemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki palingsedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyakcara memilih 6 buah buku ?

L tih ( t )

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

34/36


Latihan (cont.)

4. Carilah jumlah himpunan bagian dari A =

{a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2elemen ?5. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa,

40 orang diantaranya pria.a. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10

orang ?b. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus samadengan banyaknya wanita

c. Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6pria dan 4 wanita atau4 pria dan 6 wanita

6. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunanB = {1, 2, , 10} yang mempunyai anggota palingsedikit 6?

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

35/36


Latihan (Cont.)5. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5

orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri

dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapatdibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 priadan 1 wqanita ?

7. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orangpria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapatdibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2

orang wanita di dalamnya ?9. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlahpengurutan 4 huruf jika :

a. Tidak ada huruf pengulanganb. Boleh ada huruf pengulanganc. Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d

harus adad. Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada

7/16/2019 07.4 KOMBINASI

36/36


Latihan (Cont.)

10. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata WEAKNESS sedemikian sehingga 2 buahhuruf S tidak terletak berdampingan ?

07.4 kombinasi

Documents