Lección 7: Combinación de factores (Factores Múltiples)

1. ¿Combinar factores?

Para una secuencia de flujos de efectivo dada, en general, hay muchas formas de determinar el valor presente equivalente P, el valor futuro F o el valor anual A.

En esta lección vamos a aprender a combinar los factores de ingeniería económica para resolver situaciones complejas que involucren series uniformes diferidas y series gradiente.

2. Cálculo para series uniformes que son diferidasUna serie uniforme que se inicia en un momento diferente del

final del periodo 1 es una serie uniforme diferida:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Año

Son varios los métodos que se pueden utilizar para calcular el valor presente de una serie uniforme diferida. El más común es El más común es usar el factor P/A. Observemosusar el factor P/A. Observemos:

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Año

A $50El valor presente se sitúa en un año que no es el año cero, en este caso en el año 3

P3 ? Valor presente obtenido mediante el factor P/A

0

2. Cálculo para series uniformes que son diferidas

Cuando se utiliza el factor P/A, el valor presente siempre está situado un periodo antes de la primera

cantidad de la serie uniforme

La figura anterior ubica P en el año 3 y no en el año 1

Ahora vamos a ver cómo determinar un valor futuro F:

El factor F/A que ya conocemos, sitúa el valor F en el mismo periodo que la última cantidad de la serie uniforme.

2. Cálculo para series uniformes que son diferidas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Año 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

A $50

F ?

El factor F/A, sitúa el valor F en el mismo periodo que la última cantidad de la serie uniforme.

También debe tenerse presente que el número de periodos n en los factores F/A o P/A, es igual al número de flujos de la serie uniforme. Es una buena idea renumerar el diagrama de flujo para evitar errores en el conteo.

Diagrama de flujo renumerado para determinar n 10

2. Cálculo para series uniformes que son diferidasYa dijimos que hay diversos métodos para resolver los problemas que tiene una serie diferida; pero en general, es más conveniente emplear los factores de la serie uniforme que factores de cantidad única. Para evitar errores, es mejor seguir los siguientes pasos:

Trazar un diagrama de flujos de efectivo positivo y negativo.

Ubicar el valor presente o el valor futuro de cada serie en el diagrama.

Determinar n para cada serie volviendo a numerar el diagrama.

Trazar otro diagrama que represente el flujo de efectivo equivalente deseado.

Determinar y resolver las ecuaciones.

3. Cálculos en los que intervienen series uniformes y cantidades únicas colocadas aleatoriamenteCuando el flujo de efectivo incluye tanto una serie uniforme como cantidades únicas colocadas aleatoriamente, los procedimientos que acabamos de ver se aplican a la serie uniforme y las fórmulas de cantidad única se aplican a los flujos de efectivo que se realizan de una vez.

Se trata de una combinación de los procedimientos anteriores

Veamos un diagrama de flujo que incluye una serie uniforme y cantidades únicas:

Año0 1 2 3 4 5 6 7 15 16 17 18 19 20

$10 000

A $20 000

$15 000

i 16% anualP ?

La serie uniforme de $20 000 empieza al final del año 1, de manera que el factor P/A determina el valor presente en el año 0.

Diagrama de flujo que incluye una serie uniforme y cantidades únicas

3. Cálculos en los que intervienen series uniformes y cantidades únicas colocadas aleatoriamente

3. Cálculos en los que intervienen series uniformes y cantidades únicas colocadas aleatoriamenteCuando se calcula el valor A para series de flujo de efectivo que incluyen cantidades únicas colocadas aleatoriamente y series uniformes, primero debe convertirse todo a un valor presente o a un valor futuro.

Luego debe obtenerse el valor A al multiplicar P o F por el factor apropiado A/P o A/F

Veamos un diagrama de flujo para ilustrar este procedimiento

PT ?

n

0 1 2 3 4 5 6 7 15 16 17 18 19 20

$10 000

$20 000

$15 000

i 16% anual

0 1 2 3 4 5

P '

A ?

13

2122

20

F ?

3. Cálculos en los que intervienen series uniformes y cantidades únicas colocadas aleatoriamente

Diagrama de flujo que incluye una serie A diferida 2 años hacia adelante

Año

4. Cálculos para gradiente diferido

En lecciones pasadas derivamos la relación P G(P/G, i,n) para calcular el valor presente de la serie gradiente aritmético. El factor P/G en esa ecuación se derivó para un valor presente en el año 0 empezando el gradiente entre los periodos 1 y 2.

Una serie gradiente convencional empieza entre los periodos 1 y 2 de una serie de flujo de efectivo. Un

gradiente que inicia en algún otro momento se denomina gradiente diferido

El valor n en los factores P/G y A/G para un gradiente diferido se determina mediante la renumeración de la escala de tiempo.

El periodo donde aparece por primera vez el gradiente se etiqueta como periodo 2.

El valor n para el factor se determina por medio del periodo renumerado, cuando ocurre el último aumento de gradiente.

4. Cálculos para gradiente diferidoEs importante observar que el factor A/G no puede utilizarse para encontrar un valor A equivalente en los periodos 1 hasta n para flujos de efectivo que involucran un gradiente diferido. Veamos:

Gradiente n

0

$10

1 2

$10

3

$10 $10 $10

0

$50

4 6

$65

9

4

10

5

$80

8

3

7

21

$95

$110

Año5

Determinación de valores G y n usados en los factores para gradientes diferidos

Para hallar la serie anual equivalente durante los años 1 hasta 10, sólo para la serie gradiente, es necesario encontrar primero el valor presente del gradiente en el año 5, retornar este valor presente al año 0 y luego anualizar el valor presente para 10 años, con el factor A/P.

G $15 n 5 (P/G, 6%, 5) 7.9345 (A/G,6%, 5) 1.8836

Si se aplica directamente el factor gradiente de serie anual (A/G,i, 5), el gradiente se convierte en una serie anual equivalente solo durante los años 6 hasta 10.

Recordar: Para encontrar la serie equivalente A de un gradiente diferido, a lo largo de todos los periodos, primero hay que encontrar el valor presente del gradiente en el momento actual 0 y luego aplicar el factor (A/P,i, n)

0

5. Gradientes aritméticos diferidos decrecientesEl uso de los factores de gradiente aritmético es el mismo para los gradientes que crecen y para los que decrecen, excepto que en este último caso se cumple lo siguiente

La cantidad base es igual a la cantidad mayor en la serie gradiente, es decir, la cantidad en el periodo 1 de la serie.

La cantidad gradiente se resta de la cantidad base en lugar de sumarse.

Los términos G(P/G,i,n) o G(A/G,i,n) se utilizan en los cálculos y en las ecuaciones que ya vimos para PT y AT, respectivamente.

El valor presente del gradiente aún tendrá lugar dos periodos antes de que el gradiente empiece, y el valor equivalente A empezará en el periodo 1 de la serie gradiente y continuará hasta el periodo n.

5. Gradientes aritméticos diferidos decrecientes

Veamos cómo en las siguientes figuras se fracciona una serie gradiente decreciente con G $100, que está diferida un año hacia adelante. PG ocurre en el año real 1, PT es la suma de los tres componentes.

PT $800(P/F, i,1) $800(P/A, i,5) (P/F, i,1) 100(P/G, i,5) (P/F, i,1)

PT ?

Gradiente n

0

1

$800

1

$700

2 3

2

$600

3

4

$500

5

4

0

$400

6

5

Año

$800

Flujo de efectivo fraccionado de un gradiente aritmético diferido, a) b) c)

Año

$800

1 2 3 4 50 6

Ag $800

PA ? b)

Año

1 2 3 4 50 6

PG ?

c)

$100

$200

$300$400

G $100

a)

TAREA:

1. Hacer 7 grupos de estudiantes (uno de los grupos será de una sola persona)

2. Cada grupo escogerá un tipo de problema de los expuestos en las páginas 119 y siguientes del libro. El grupo de 1 persona tomará el tema «Cálculos de valor futuro».

3. Cada grupo analizará y resolverá los problemas escogidos y presentará un reporte escrito en la próxima lección. Ese día el profesor escogerá un representante de cada grupo y uno de los problemas asignados para que lo resuelva en clase.

4. La calificación del grupo será la obtenida en el reporte escrito.

GRADIENTES ARITMÉTICOS DIFERIDOS

Levi Strauss contrató con la compañía independiente U.S. Garmet Corporation algunos de sus pantalones deslavados. Si el costo de operación por máquina de esta ultima empresa es de $22000 en los años 1 y 2, y después se incrementan en $ 1000 anuales hasta el año 5 ¿Cuál es el costo uniforme equivalente´por máquina (años 1 a 5) con tasa de 12% anual?

SOLUCIÓN

3.40

Una compañía que comienza, dedicada a la venta de cera de colores pulidora para autos, recibe un préstamos de $40000 con una tasa de interés de 10% anual, y se desea reembolsarlo en un periodo de cinco años con pagos anuales tales que del tercer al quinto sean de $200000 más que los dos primeros. Determine el monto de estos dos primeros pagos.

SOLUCIÓN

P = [4,100,000(P/A,6%,22) – 50,000(P/G,6%,22)](P/F,6%,3)

+ 4,100,000(P/A,6%,3) = [4,100,000(12.0416) –

50,000(98.9412](0.8396) + 4,100,000(2.6730) = $48,257,271