04 radicales
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Radicales
En algunos casos es de utilidad expresar cantidades en términos de radicales en lugarde emplear exponentes racionales. Las leyes de los radicales están relacionadasampliamente con las definiciones y propiedades de los exponentes.
índice radical
3 9 radicando
Si m y n son enteros positivos, siendo a y b números positivos:
( )
( )
( )
mnnm
1m
1
n
1
m n
n
n
n
1
n
1
n
1
n
nnn
1
n
1
n
1n
n n
n
n
mnn mn
m
aaaa
,b
a
b
a
b
a
b
a
,babaabab
,aaa
,aaa
=
=
=
=
⋅
=
=
Ejemplo 1:
Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa.
2
5
4
( ) 322445
52
5
===
Otro Método:
3210244452
5
===
Uso exclusivo para el Sistema ITESM. Prohibida su reproducción parcial o total sin consentimiento por escrito del ITESM
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Ejemplo 2:
Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa.
( ) 32
27
( ) ( ) ( ) 9327 27 22
33
2
=
Ejemplo 3:
Escribe la siguiente expresión como radical y evalúa.
( ) ( ) 25 1
5 1
125
1
125
1125 22
3
3
2
3
2
=
−
Ejemplo 4:
Simplifica: 50
2522522550 =•=•=
Forma estándar de los radicales.
Se dice que un radical está en forma estándar si se cumplen las siguientescondiciones:
1. El radicando es positivo.2. El índice del radical es el menor posible.3. El exponente de cada factor del radicando es un número natural menor qu
el índice del radical.4. No hay fracciones en el radicando.5. No hay radicales en el denominador.
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Ejemplo 5:
Simplifica: 3
27
4
3
4
27
4
27
43
3
3
3 ==
Ejemplo 6:
Simplifica: 6 27
32727 36==
Ejemplo 7:
Simplifica, (Expresa: 3 7581 y x en forma estándar)
3 223 23 633 2633 753332732781 y x xy y x y x y x y x y x =•=•=
Ejemplo 8:
Expresa: 37 en un solo radical
14734937 =•=
La expresión3
2, contiene la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado
perfecto, el cual es un número irracional. Para simplificar esta expresión, se deberacionalizar el denominador, significa, quitar todos los radicales del denominado
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Racionalización:Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la raíz cuadrada queaparece en el denominador, o por la raíz de un número que haga deldenominador la raíz cuadrada de un número que sea cuadrado perfecto.
332
3332
32 =
•
•=
Ejemplo 9:
Simplifica:2
3
2
6
2
2
2
3
2
3=•=
Ejemplo 10:
Simplifica: 4
2
4264
z
y x
z
xz y
z
z x y
z
z
z
x y
z
y x
z
y x
z
y x 222482264
2
1
2
1
2
3
4
1
2
426
4
2
42
=••
=•==
=
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Ejercicios:
Escribe las siguientes expresiones como radicales. Evalúa cuando sea posible.
1) =2
1
16
2) =2
1
81
3) =2
1
49
4) =2
1
64
5)=
2
1
49
6) =3
1
27
7) ( ) =3
1
8
8)=
4
1
16
9) =5
1
32
10) ( ) =− 3
1
125
11) ( ) =− 3
1
27
12)=
5
1
243
13) =3
2
64
14)=
4
3
16
15)=
4
3
81
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16)=
2
5
4
17) ( ) =− 3
2
8
18) ( ) =− 3
4
27
19)=
3
2
125
20)=
2
3
16
21)=
6
5
64
22) =
−2
3
4
1
23) =
3
2
27
1
24) =
−
4
3
81
1
25) =
−
21
16
9
26) =
−3
2
8
27
27) =
2
3
16
100
28) =
−5
3
32
243
29) =
−4
1
16
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30) =
− 3
4
8
125
Expresa con exponentes positivos:
31) 14 =
32) 34 =
33) 56 =
34) =3 7
35) =
5
2
36) =4 3
37) =5 2 x
38) =3 7c
39) =5 3q
Expresa como un solo radical:
40) =32
41) 53
42) =67
43) =712
44) =115
45) =212
46) =66
47) =144
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- 244 -
48) =2a
49) =32a3ab
50) x xy 25
51) =cc 32
52) =2
24
53) =3
55
54) =7
73
55) =2
3 x x
56) =
bab
abba
22
22
3
2
57) =2325 rs sr
Simplifica (Escribe los radicales en forma estándar):
58) =324
59) =3 125
60) =4 81
61) =3 40
62) =4 32
63) =3 54
64) =4112
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- 245 -
65) =3 320
66) =4 1250
67) =3 3320 y x
68) =532 x
69) =523
8 z y x
70) =3 105 6 4 z y x 2
71) =3 4 11ba2
72) =4 104
64 nm
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Suma y Resta de expresiones radicales.
Para sumar o restar radicales, es necesario que tengan el mismo índice y elmismo radicando, “radicales semejantes”. Si no son semejantes no pueden ser sumados ni restados.
Ejemplo 1:
Suma: 2526 +
2526 + = ( ) 211256 =+
Ejemplo 2:
Resta: 33 3234 −
33 3234 − = ( )33
32324 =−
Ejemplo 3:
Calcula: 6836234 −−+
6836234 −−+ = ( ) ( ) 6633682314 −=−+−
Ejemplo 4:
Suma: 8327 +
24383 •= = 26223 =••
8327 + = 2132)67(2627 =+=+
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Ejercicios:
Realiza las operaciones indicadas:
1) =+ 7573
2) =− 11181115
3) =+ 315323
4) =+−+ 5825725
5) =− 90250
6) =+ 1850
7) =+ 6328
8) =− 4499
9) =+− 804520
10) =−− 482775
11) =+ 903402
12) =− 18502
13) =− 724983
14) =− 3484
15) =−− 1122632283
16) =−+ 964543242
17) =+− 12524510805
18) =+− 11771325212
19) =−+− 242838578
20) =−−+ 2045612748
21) =+−+ 634988175183
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22) =+−− 207755484804
23) ( =−−− 9957344263
24) =−+−333
2352 y y y x x
25) =−+ 96243542 aaa
26) =+−22
4525453 x x x
27) =+−
5
62
4
6
2
6
28) =−
7
28
7
635
29) =−+
3
18
5
504
2
8
30) =+−
18
543
40
965
8
242
31) =+−−
7
986
2
963
3
544
3
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Multiplicación de Radicales.
Únicamente se pueden multiplicar radicales que tengan el mismo índice.
Ejemplo1:
Multiplica: 253352 +−
253352 +− = 55246553065954256 −=−−=−−+
Ejemplo 2:
Multiplica: ( )( ) y p y p 2323 +−
( )( ) y p y p 2323 +− = y p y p y y p p 494669 22−=−•−•+
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Ejercicios:
Multiplica las siguientes expresiones. Simplifica cada resultado.
1) ( )( )=2553
2) =− 6375
3) ) ) =17734
4) ) ) =10753
5) =65242
6) =− 2184
7) ( =+ 752
8) =+1337
9) ( ) =− 22352
10) =− 133213
11) =+ 453263
12) =−215533
13) =+− 6253
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14) ( ( =+− 2535
15) =−− 1122117
16) ( )( ) =7 5 37 5 5
17) ( )( )=−+ 242253
Multiplica.
18)=+−
5252
19) ( ( =+− 2727
20) =−+ 562562
21) =+− 2253)2253(
22) =−+ 24342434
23) =+− 61126112
Eleva al cuadrado.
24) ( ) =+
2
12
25) ( ) =−
2
53
26) ( ) =+
2
263
27) ( ) =−
2
3265
28) ( ) =+
2
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- 252 -
29) ( ) =−
2
511
30) ( ) =−+
2
323
31) ( ) =++
2
1052
32) ( ) =+−
2
1623
Eleva al cubo.
33) =32
34) =+12
35) =− 52
36) =− 327
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Multiplica y Simplifica:
37) =3 x 3
38) =2 x 2 x
39) =33 25 5
40) =33 2 y10 xy4
41) =34 2
42) =3 5 5
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División de Radicales.
Las expresiones radicales solamente se pueden dividir cuando tienen el mismoíndice.
Ejemplo 1:
72
14
2
14==
Ejemplo 2:
x y xy y x
y x
y x
y x24
2
53
2
53
===
Ejemplo 3:
355
15
2
10
52
1510=•=
Una expresión radical está simplificada cuando es escrita sin radicales en eldenominador. A este proceso se le conoce como “racionalización”. Pararacionalizar, multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la raízcuadrada que aparece en el denominador o por la raíz de un número que hagaque el denominador sea la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto.
Ejemplo 4:racionaliza
2
6
6
63
3
3
32
23
32
23==•=
Ejemplo 5:
(12
3
123
3
323
3
329
3
318
3
3
3
36
3
36−=
−=
−=
−•=
−=•
−=
−
Ejercicios
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Divide y simplifica las siguientes expresiones radicales:
1) =3
15
2) =14
28
3) =2
18
4) =
18
72
5) =11
555
6) =13
267
7) =32
1812
8) =48
2016
9) =−
106
308
10) =
3
1
11) =
7
5
12) =
26
13) =
7
14
14) =54
25
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15) =5
34
16) =103
185
17) =182
246
18) =82
125
19) =3 2
3 23
27ab
y x
20) =3 24
3 5
6
3
y x
y x
21) =4 53
4 4
32
2
ba
ba
22) =
+5 x
x
23)( )
=+
3
184122
24) =−
5
152105
25) =− xy
y x
21
314
Denominadores con Binomios.
Cuando el denominador de una expresión es un binomio que contiene algúnradical, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado deldenominador. A esta operación se le llama “racionalización”.
El conjugado de ba + es ba −
El conjugado de 232+ es 232−
El conjugado de 15 − es 15 +
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Ejemplo 1:
Racionaliza la siguiente expresión:32
4
−
3481
348
34
348
32
32
32
4
32
4+=
+=
−
+=
+
+•
−
=
−
Ejercicios
Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
1) =
+
−
13
6
2) =
+37
15
3) =
−
−
15
2
4) =
− 335
32
5) =
+423
25
6) =
− 115
75
7) =
+352
54
8) =
+ 532
34
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9) =
− 542
24
10) =
+ 31
4
11) =
− 21
3
12) =
−
+
32
32
13) =
+
−
56
56
14) =
+
+
234
2332
15) =−+
5 23
5 25
16) =+−
35 4
6 15
17) =−+
y2 x 3
y2 x
18) =−
+
y2 x
y x 2
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