04 mat d s2 f1 guy brouseau

8/17/2019 04 Mat d s2 f1 Guy Brouseau

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

MatemáticaSerie 2 para docentes de SecundariaDidáctica de la MatemáticaFascículo 1: ASPECTOS METODOL!"COS E#EL AP$E#D"%A&E DE LOS S"STEMAS DE#'ME$OS #AT($ALES) E#TE$OS)$AC"O#ALES * $EALES E# SEC(#DA$"A+

© Ministerio deEducaci,n -an de -elde1./) San 0ora

Primera edici,n) 2// Tirae: 13 /// eemplares"mpreso en Empresa Editora El

Comercio S+A+ &r+ &uan del Mar 40ernedo 1516)C7acra $íos Sur) Lima /1

8ec7o el Dep,sito Le9al enla 0ilioteca #acional delPer; #ro+ 2//ue E4?a9uirreEspino -eri@caci,n de estiloMED Mi9uel 8umertoFuentes 8uerta

AutoríaEdiciones El #ocedal S+A+C+Coordinador$un 8ilderando !ál=e? ParedesElaoraci,n peda9,9icaFelipe Eduardo Doroteo Petit"tala Esperan?a #a=arroMontene9ro Ed9ar &usto C7ac,n#ietoDaniel &os Arro4o !u?mánColaoraci,n especialMarisol Edit7 %elara4an Adauto$e=isi,n peda9,9ica8no+ Marino La Torre

MariBo $e=isi,nacadmica Armando%enteno $ui? DiseBo 4dia9ramaci,n -ir9inia$osalía Artadi Le,n

"lustracionesPatricia #is7imataOis7i 0renda $omán!on?ále? Foto9raíaEnri>ue 0ac7mann Corrector de estilo Marlon A>uino$amíre?

Z_Creditos S2 F1 D.indd 1 6/13/07 6:54:49 PM


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PRESENTACIÓN

En la actualidad, ser docente en Matemática es un gran reto, pues es una tareacompleja que requiere multiplicidad de saberes. No es suficiente dominar loscontenidos temáticos del área, sino ser capaces de que los estudiantes desa-rrollen las capacidades del área (razonamiento y demostracin, comunicacinmatemática y resolucin de problemas!, los "alores y las actitudes que les

permitan una educacin integral para alcanzar su autorrealizacin. Esto e#igeque los docentes se encuentren actualizados y $amiliarizados con las nue"astendencias curriculares y metodolgicas.

La sumilla del Fascículo 1: %spectos metodolgicos en el aprendizaje de lossistemas de n&meros naturales, enteros, racionales y reales, en secundaria,indica' )omprenderá el desarrollo de los principios, estrategias y algoritmosque rigen los procesos de desarrollo de capacidades que permitan comprender y, además, operar con los sistemas de n&meros naturales, enteros, racionalesy reales. *esarrollará, asimismo, ejercicios, problemas, juegos matemáticos ysugerencias de construccin y utilizacin del material educati"o respecti"o+.

%s, nos sumergiremos en un proceso didáctico de estudio, pues aprender esun medio al ser"icio de un fin que es el estudio, que no es ensear lo que se aaprendido, sino responder a una cuestin que se a planteado. En mucoscasos, para responder a las cuestiones planteadas, se tendrá que aprender aaprender, aprender a acer, aprender a con"i"ir y aprender a ser.

En la sociedad, ensear y aprender son slo medios para que cierto n&merode personas adquieran los conocimientos necesarios para realizar ciertasacti"idades. /in embargo, no debemos ol"idar que la Matemática sir"e, sobretodo, para resol"er problemas, y no slo para que se aprenda y se ensee.

En este $ascculo nos internaremos dentro de un proceso de estudio de lossistemas num0ricos , , y , a tra"0s de la teora de situaciones didácticas de1rousseau y el aprendizaje de las mismas a tra"0s de las seis etapas de*ienes, pues 0ste postula básicamente el aprendizaje de la Matemáticamediante juegos. No se trata de jugar por jugar, sino jugar basándonos enuna teora didáctica para conseguir el desarrollo del pensamiento a tra"0sde la Matemática, as como las capacidades inerentes a ella.


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ÍNDICE2resentacin................................................................................................................................................34ndice...........................................................................................................................................................56rganizador "isual de contenidos.......................................................................................................7Moti"acin..................................................................................................................................................89ogros de aprendizaje.................................................................................................................................8:ecuperacin de saberes pre"ios................................................................................................................8

1. LA TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDCTICAS DE !U" #ROUSSEAU $S. LASSEIS ETAPAS DE APRENDI%A&E SE!'N %. DIENES......................................................................................;3.3 Estrategia didáctica.....................................................................................................................;

3.5 2ropuestas didácticas seg&n 1rousseau......................................................................................<3.7 Etapas de *ienes "s. situaciones didácticas................................................................................=3.8 %plicacin de las seis etapas de >oltan *ienes en el aprendizaje del teorema de

2itágoras......................................................................................................................................?

(. SITUACIONES DIDCTICAS EN EL APRENDI%A&E DEL SISTE)A DE LOS N')EROS NATURALES.....................335.3 /ituacin didáctica' palitos y cuas..........................................................................................33

Actividad 1.........................................................................................................................................38

*. SITUACIONES DIDCTICAS EN EL APRENDI%A&E DEL SISTE)A DE LOS N')EROS ENTEROS........................3;7.3 /ituacin didáctica' descubriendo al n&mero entero................................................................3;7.5 /ituacin problemática' ciudadanos buenos y malos...............................................................3=

7.7 /ituacin a-didáctica' casinos para la adicin y sustraccin den&meros enteros.........................................................................................................................3= Actividad 2.........................................................................................................................................5@

+. SITUACIONES DIDCTICAS EN EL APRENDI%A&E DEL SISTE)A DE LOS N')EROS RACIONALES...................53

8.3 /ituacin didáctica' :epartiendo una rodaja de jamonada.......................................................538.5 /ituacin a-didáctica' domin de $racciones............................................................................57

Actividad 3.........................................................................................................................................5;

,. SITUACIONES DIDCTICAS EN EL APRENDI%A&E DEL SISTE)A DE LOS N')EROS REALES..........................5<

;.3 /ituacin didáctica' un cuadrado de más..................................................................................5<

Actividad 4.........................................................................................................................................5=-. E$ALUACIÓN........................................................................................................................................5?

. )ETACO!NICIÓN.................................................................................................................................7@

1ibliogra$a comentada............................................................................................................................. 73

Enlaces web...............................................................................................................................................75



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ASPECTOS )ETODOLÓ!ICOS EN EL APRENDI%A&E DE LOS SISTE)ASDE N')EROS NATURALES/ ENTEROS/ RACIONALES " REALES

comprende elestudio de

/ituacionesdidácticas

en el

bajo un Marco terico

desarrollado por

de los

e

Auy1rousseau

en sus

>oltan *ienes

en sus

N&meros N&meros

de los

N&meros N&meros

o$reciendo un

m

Naturales enteros racionales realesde

proponiendo

/ituacionesdidácticas /ituaciones

problemáticas/ituaciones

% -didácticas

0aa doce23es

%prendizaje

/ist mas

Bases didácticas/eis etapas

eje plo

%plicacin

7


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ASPECTOS )ETODOLÓ!ICOSen el APRENDI%A&E

de losN')EROS NATURALES/ENTEROS RACIONALES 4REALES

Motivació

n

2arece que la e#presin colegio in"isible+ la emple por primera "ez el ingl0s :obert 1oyle (3


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Fascículo 1 %/2E)O6/MEO6*69PAF)6/ EN E9

%2:EN*F>%DE *E 96/ /F/OEM%/ *E NQME:6/ N%OR:%9E/, ENOE:6/,

:%)F6N%9E/ S :E%9E/

1. La TEORÍAde las

SITUACIONESDIDCTICAS de!U"#ROUSSEAUvs.

Es3a3e5ia

2uede definirse como lamejor $orma de alcanzar losobjeti"os buscados al iniciode una situacin conTicti"a.

El conTicto no implicanecesariamente una pelea,

sino la luca por obtener unade dos o más situaciones

ipot0ticas que no puedendarse simultáneamente.

%lgunos dicen queestrategia+ es todo lo que

las SEISETAPAS

se ace antes de ingresar alconTicto. 9uego empieza la

táctica+.

de APRENDI%A&E

según%. DIENESEn esta seccin se describe una e#plicacin detallada de los juegos

como estrategias de aprendizaje en la Matemática, relacionándolos a las seis

etapas de aprendizaje seg&n >. *ienes "ersus la teora de las situaciones

didácticas, seg&n 1rousseau.

En primer lugar, "eamos qu0 significa estrategia didáctica, y cmo se

estructura un juego seg&n *ienes, relacionando dica estructuracin dentro

de una situacin a-didáctica.

1.1Estrategiadidáctica

Establecer una estrategia+implica conocer de antemano

las distintas $ormas enlas que se "a a dirimir un

conTicto y de qu0 $ormaen$rentarlo conociendolas metas que se desean

alcanzar. 9a estrategia puede"erse como un plan que

debera permitir la mejor distribucin de los recursos ymedios disponibles a e$ectos

de poder obtener aquellosobjeti"os deseados.

http://www.estrategia.com/

Estrategia:

Es un proceso regulable, el conjunto de las

reglas que aseguran una decisin ptima en

cada momento.

*e esta definicin se puede afirmar que' la

estrategia didáctica es el conjunto de m0todos y

procedimientos acompaados de los medios ymateriales didácticos.

9uego, las estrategias

didácticas o$recen situaciones

en las cuales el estudiante

estimula, educa su Estr ategia

didáctic

a

M0todos

http://www.estrategia.com/http://www.estrategia.com/


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2rocedimientos O0cnicas

Medios ymateriales

;



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Serie 2 *F*)OF)% *E9% M%OEMOF)%

http://math.unipa.it/~grim/

brous.jpg

!U" #ROUSSEAU

Naci en Brancia en3?77. *istingue entrelas situaciones' lasdidácticas (aprendizajede un conocimiento!U lasa-didácticas (no tienenen "ista un conocimientosino el desarrollo de

comportamientos, modos deactuar, de decir, de e#plicar,de argumentar, de e#presar,de escribir, de escucarG! ylas no didácticas (tiene lugar $uera del aula!.

libertad de eleccin y decisinU propicia situaciones en las que debe pensar,

organizar, proyectar, imaginar y llegar a conclusionesU $acilita el ambiente para

que los estudiantes se sientan a s mismos y se e#presen libremente.

1.2 Propuestas didácticas segúnBrousseau

2ara 1rousseau, la didáctica de la Matemática es la ciencia que tiene la

misin de e#plicar los $enmenos didácticos.

*esarrolla su teora sobre la base del sistema didáctico $ormado por el

pro$esor, el alumno y el saber actuando en el aula. (Microsistema!.

Rna situacin didáctica es el conjunto de relaciones establecidas e#plcita o

implcitamente entre el alumno, un cierto medio -otros alumnos,

e"entualmente instrumentos u otros objetos- y un pro$esor con el fin de que

estos alumnos se apropien de un saber constituido o en "as de construccin.*e esta descripcin se desprende inmediatamente que el uni"erso de la

situacin didáctica es la sala de clases.

Entre las situacioes did!cticas, 1rousseau distingue las situaciones o $ases

de' accin, de $ormulacin, de "alidacin, institucionalizacin y e"aluacin. %

estas situaciones están asociadas $ormas dial0cticas que tienen $unciones

di$erentes.

Dial6c3ica de la acci72: en esta etapa el alumno es con$rontado a unasituacin que le plantea un problema, para buscar una solucin, el alumno

realiza acciones que pueden desembocar en la creacin de un saber acer. Vl

puede e#plicar más o menos o "alidar sus acciones, pero la situacin no se lo

e#ige.

Dial6c3ica de la 8omulaci72: esta etapa está dedicada al necesariointercambio de in$ormaciones y la creacin de un lenguaje para asegurar el

intercambio. El alumno podra justificar sus posiciones, pero la situacin de

$ormulacin no se lo e#ige.

Dial6c3ica de la 9alidaci72: en esta etapa los intercambios no conciernensolamente a las in$ormaciones sino a las declaraciones. ay que probar lo

que se afirma, no por acciones, sino dando razones apoyadas en los datos

iniciales (iptesis! o en relaciones pertinentes (teoremas o propiedades!.

Weamos cmo estas situaciones se dan en los momentos principales de

una situacin didáctica en el educando'

Fase o mome23ode la secue2cia

Cues3io2es didc3icas Accio2es del doce23e

%ccin

9as situaciones de enseanza tienen que ser tales que representen un problema (en senti-do amplio! para el alumno.

El docente traspasa la responsabilidad de la

situacin al alumno.

E#pone la situacin y las consignas, y se ase-gura que an sido bien comprendidas' si es ne-cesario parte de los conocimientos anteriores uorganizadores pre"ios+ mediante acti"idades

especiales para este fin.

http://math.unipa.it/~grim/http://math.unipa.it/~grim/


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%ccin

En la base de todo el proceso cogniti"o estála percepcin. 2or lo tanto, el proceso que

de- nominaremos de :esolucin desituaciones problemáticas+ debe comenzar analizando los $actores que definen al problema como tal y la $actibilidad delsolucionario.

/e comienza a concebir la solucin. %parecementalmente una representacin mediadoraentre el sujeto y la situacin. Fmaginar la si-tuacin requiere de conocimientos implcitoso en acto+.

Esta $ase in"olucra tanto aspectos cogniti"oscomo cuestiones de ndole práctica, ambos

dirigidos a la solucin de problemas que es preciso resol"er en condiciones especficas y

%dopta el rol de un coordinador descentrado+que inter"iene solamente como $acilitador de la

b&squeda, pero se abstiene de brindar in$orma-ciones que condicionen la accin de los alum-nos' aclara las consignas, alerta sobreobstáculos ine#istentes agregados por losalumnos, seala contradicciones en los procedimientos, etc.

2romue"e la aparicin de mucas ideas, puesesta $ase es la más creati"a y la que debe poner en juego la imaginacin, la in"enti"a, la intui-cin, y el intercambio entre los miembros delgrupo, asegurándose que el grupo no siga ade-lante sin antes tomarse el tiempo para la discu-

sin y los acuerdos.

Bormulacin

Es la $ase en que se materializan+ el plan proyecti"o que ordena los recursos y el pro-ducto que resuel"e los problemas. )oncretar la solucin e#ige al alumno que e#plicite losconocimientos en un lenguaje que los demás puedan entender. 2ara ello se utilizan medioscon"encionales de representacin que permi-ten la comunicacin tecnolgica.

/e pone 0n$asis en el manejo de lenguajesmuy "ariados, ya sea de tipo "erbal, escrito,gráfico, plástico, in$ormático y matemático./e busca la adquisicin de destrezas para lautilizacin de decodificacin de loslenguajes más apropiados, y se mejora progresi"amente la clari- dad, el orden y la precisin de los mensajes.

Estimula a los alumnos, mantente siempre "igi-lante para e"itar que pierdan el ilo+ del pro-ceso, y procura que se organicen de modo que puedan disear y materializar la solucin (se-leccionar los materiales, las erramientas, di-"idir las tareas etc.!. /i es necesario, indica las pautas para que los alumnos utilicen losmedios de representacin apropiados.

/ondea el estado del saber+ y los aspectose$ecti"os y actitudinalesU detecta procedimien-tos inadecuados, prejuicios, obstáculos, y difi-cultades, para trabajarlos con los alumnos, enese momento o más adelante, seg&n con"engaa su estrategia.

Walidacin

Es una $ase de balance y representacin deresultados, y de con$rontacin de procedi-mientos.

9a situacin debe permitir la auto"alida-cin+U es decir que la "erificacin de los

pro- ductos o de los resultados pueden ser e$ec- tuados por el propio alumno - como parte de las situaciones mismas sin tener que recurrir al dictamen del o la docente.Rn caso tpico de estas situaciones es elmomento de ensa- yos y pruebas a los quelos alumnos someten sus producciones.

/e trata de someter las producciones alcon- trol ajeno+, un proceso demetacognicin+ que se completa en la $asesiguiente.

El docente estimula y coordina las pruebas, losensayos, las e#posiciones, los debates y las jus-tificaciones.

%bsuel"e las dudas y las contradicciones queaparezcan, seala procedimientos di$erentes,

lenguajes inapropiados, y busca que elconsenso "alide los saberes utilizados. En estemomento crece el "alor de las inter"encionesdel docente, que debe recurrir a lase#plicaciones tericas y metodolgicasnecesarias de acuerdo con las di- ficultadessurgidas.

Esta es una buena oportunidad para tomar datos e"aluati"os y para introducir nue"as"ariantes de problematizacin.

)oordina y resume las conclusiones que son cla-

C




:%)F6N%9E/ S :E%9E/


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Fnstitucionalizacin

El saber se desconte#tualiza y se desperso-naliza para ganar el estatus cultural y socialde objeto tecnolgico autnomo, capaz de

$uncionar como erramienta eficaz en otrassituaciones.

%qu se debe e#plicar y redondear el len-guaje apropiado y a"anzar en los ni"eles deabstraccin correspondientes. 9a sntesisconceptual, además de producir un e$ecto decierre+ en la elaboracin del saber, contri- buye a resignificar el aprendizaje en el con-te#to global del alumno.

Es un proceso de objeti"acin, generali-zacin y abstraccin de los contenidos, encierta medida es in"ersa al de la primera

$ase donde la situacin es una situacin particular que se busca que seaconte#tualizada y per- sonalizada por losalumnos.

:escata la semántica y los medios de represen-tacin apropiados. Vste es un aspecto decisi"odel rol del docente como mediador de cdigos

de comunicacin.Esta al$abetizacin o transmisin cultural es propia de la escuela como institucin, yrelati"a a los cdigos que caracterizan anuestra sociedad tecnolgica+.

E#plica, sintetiza, resume y rescata los conoci-mientos puestos en juego para resol"er la situa-cin planteada. abrá contenidos "iejos y nue-"os (pero que puedan consolidarse o ampliar-se! y 0ste será el momento en el que el docentedestaca su $uncionalidad.

Mediante esta reTe#in (metacognicin! com- partida con sus alumnos sobre lo que

icimos+, e#trae de la e#periencia realizada enel aula los contenidos que quiere ensear.:escata el "alor de las nociones y los m0todosutilizados. /eala su alcance, su generalidad ysu importancia.

E"aluacin

Oanto la e"aluacin de los aprendizajes querealiza el docente, como la auto e"aluacindel alumno y la co-e"aluacin entre pares,deben ser tambi0n instancias de aprendizaje'de este modo, en el aula, aprendizaje y e"a-luacin debieran marcar juntos en un pro-ceso recursi"o.

2ara que el cierre de la secuencia no signifi-que un corte que le deje aislada, o descol-gada+ de la planificacin anual, se plantea elescenario de una nue"a secuencia articuladacon los temas aqu tratados.

El seguimiento del docente desde la aparicinde los primeros borradores y bocetos asta el producto final, pasando por las demás $ases, esuna de las $ormas de e"aluar la situacin y eldesempeo de los alumnos.

2uede presentar algunos trabajos adicionales

con el propsito de obtener más datos e"aluati-"os y permitir la trans$erencia y la ni"elacin.

%nticipa una nue"a secuencia articulada conlos temas yo contenidos tratados en esta.

9a situacin didáctica es un aspecto más general+ que engloba a unasituacin a-didáctica+, luego una situacin a-didáctica es un aspecto particular+.

%s, las $ases de' accin, $ormulacin, "alidacin, institucionalizacin y e"a-luacin están presentes en las seis etapas de *ienesU "eamos.

1.3 Etapas de Dienes vs. situaciones didácticas

2ara que el alumno aprenda, seg&n *ienes, debe aber modificado sucomportamiento respecto a su medio. %s, seala tres procesos de aprendizaje'

3. 2roceso de abstraccin.5. 2roceso de generalizacin.7. 2roceso de comunicacin.

Es en el primero donde distingue las seis etapas de aprendizaje enmatemática, all se debe tener en cuenta la organizacin de la enseanza parael aprendizaje significati"o, es decir, que parta del medio del aprendiz+ paraque as pueda construir sus conocimientos.

=



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/in embargo, le compete al docente disear situaciones didácticas o a-didácticas para lograr el aprendizaje significati"o.

En este caso, las seis etapas de aprendizaje en la Matemática seg&n >oltan*ienes quedan enmarcadas dentro de una situacin a-didáctica, pues

partiendo de un medio natural, como es el juego, se pretende llegar a laabstraccin de cuestiones matemáticas, mediados en primera instancia por la sensacin, percepcin e intuicin, para luego, con la lgica del pensamiento llegar a abstraer los objetos matemáticos y, es más,interrelacionar dicos objetos para poder seguir en este proceso deabstraccin.

Este proceso tan delicado, mediado por el docente, es el que se consigna en lassiguientes etapas, a saber'

E

"

a%ccin

lu



:%)F6N%9E/ S :E%9E/

3X3Y7

9a Matemática es unaciencia que no se aprende

pasi"amente, no basta con

obser"ar al docente en el aula

2:FME:% EO%2%' *E9 DREA6 9F1:E.

/e produce la adaptacin mediante el juego libre.

/EARN*% EO%2%' *E 9%/ :EA9%/ *E DREA6.

Bormulacin a

c

Walidacin i

Fnstitucionalizacin

n

y en sus di$erentes espacios,sino por el contrario, es

necesario comprometerse conla acti"idad matemática enel aula y $uera de ella, estoes culti"ando tres aspectos

$undamentales como'ROF9F*%*, *F/B:ROE

S )6NBF%N>%Uluego es $undamental

que los o

las estudiantes, se "uel"an/e dan las reglas de juego (restricciones! que conlle"arán a lo que se pretendelograr.

OE:)E:% EO%2%' *E 9%%1/O:%))FPN.

9os nios obtienen la estructura com&n de los juegos y se desacen de losaspectos carentes de inter0s.

)R%:O% EO%2%' *E 9% :E2:E/ENO%)FPN.

/e representa la estructura com&n de una manera gráfica o esquemática.

KRFNO% EO%2%' *E 9% *E/):F2)FPN *E 9%/ :E2:E/ENO%)F6NE/(E9 9ENAR%DE!.

/e estudian las propiedades de la representacin, es decir, las propiedades dela estructura abstracta. 2ara ello es necesario in"entar un lenguaje.

/EZO% EO%2%' *E 9% B6:M%9F>%)FPN.

9imitamos la descripcin a un n&mero finito de palabras, porque no se puedendescribir todas las propiedades, pero se in"enta un procedimiento paradeducir las demás.

1+3 Aplicaci,n de las seis etapas de %oltan Dienes enel aprendi?ae del teorema de Pitá9orasPimea e3a0a: del juegolibre.

/e les presenta a los estudiantes el material (rompecabezas pitagrico! y seles pide que jueguen con 0l.

concientes de la utilidadde la Matemática en su

"ida diaria y en la $orma deculti"ar la mente, dis$rutando

de sus aportes y sobre todoteni0ndole la respecti"a

confianza, debido a que esuna creacin importante del

ombre.

?

Etapas 2roceso de abstraccin

F %daptacin ' juego libre

FF Estructuracin' restricciones, reglas de juego

FFF%bstraccin' cone#iones de naturalezaabstracta, juego de isomorfismo.

FW :epresentacin' gráfica o esquemática

W *escripcin de las representaciones' el lenguaje

WF Bormalizacin' M0todo.


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Serie 2 *F*)OF)% *E 9%M%OEMOF)% Se5u2da e3a0a: de las reglas de juego.

%ora se les pide que primero armen las dos figuras pequeas y luego con lasmismas piezas armen la figura grande.

5 7 " A3 8 ;

3 5

; # 8 7

http://cantemar.com/ Pitagoras.jpg

PIT!ORAS

Naci en el ao ;C5 a. ).en la isla de /amos, filso$oy matemático griego,cuyas doctrinas inTuyeronmuco en 2latn. Bueinstruido en las enseanzasde los primeros filso$os jonios Oales de Mileto,%na#imandro y%na#menes. /e dice que2itágoras aba sidocondenado a e#iliarse de/amos por su a"ersina la tirana de 2olcrates.Muri en Metapontoalrededor de 8?C a. ).

3@

Tecea e3a0a: de la abstraccin.

/e les pregunta a los estudiantes'

3. JKu0 figuras geom0tricas obser"asL

5. JKu0 obser"as con respecto al armado de las dos primeras figuras y elarmado de la segunda figuraL

7. J)uál es la relacin que e#iste entre el armado de las figuras y la figuraubicada en el centroL

8. JKu0 relacin guardan las figuras A y " con la figura # L

;. )omprueba tomando las medidas de cada uno de los lados de las figurasy luego determina las áreas. :elaciona los resultados.


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:%)F6N%9E/ S :E%9E/

(. SITUACIONESDIDCTICASen el APRENDI%A&Edel SISTE)A de los

N')EROS NATURALES"nteresante

En los primeros grados de Educacin /ecundaria, es $undamental iniciar las

enseanzas con el uso de n&meros naturales, pero destacándolo como un

sistema num0rico. 2ara tal e$ecto, es inprescindible priorizar el conocimiento

y dominio de las propiedades de los n&meros, y sus relaciones entre los

mismos. 2ara ello se necesita introducir intuiti"amente este sistema, para

luego $ormalizarlo y considerar sus aplicaciones instrumentales y

$ormati"as, en $uncin de las capacidades matemáticas especficas que an

de desarrollarse en el estudiante.

El pro$esor $omentará la comunicacin de ideas entre los estudiantes que

analizarán los patrones num0ricos utilizando el material, para as, ir más allá.

/e plantea una situacin didáctica puesta en aula para un tema especfico.

2.1 Situación didáctica: palitos y cuñas

3. OEM%' /R)E/F6NE/ y /E:FE/.

5. OFEM26' ?@ minutos.

7. A:%*6 *E E/OR*F6 ' 2rimero de/ecundaria.

8. EZ2E)O%OFW% *E 96A:6 *E 9% /FOR%)FPN*F*)OF)%.

*estreza' interpreta (razonamiento y demostracin!.

[ Fnfiere y deduce estrategias, propiedades y conceptos al determinar unasucesin en situaciones de su "ida diaria.

[ Es perse"erante al inducir las simbolizaciones de sucesin ensituaciones de su "ida diaria (perse"erancia!.

;. MVO6*6/, 2:6)E*FMFENO6/ y OV)NF)%/ KRE /E /RAFE:EN.

=SA#ÍAS ;U>?

9os n&meros naturalestienen su origen en una

necesidad tan antigua comolas primeras ci"ilizaciones'

la necesidad de contar.El ombre primiti"o

identificaba objetos concaractersticas iguales y poda distinguir entre uno

y mucosU pero no le era posible captar la cantidad

a simple "ista. 2or ello,empez a representar las

cantidades aciendo marcasen uesos, trozos de madera

o piedra. 2or cada objetoobser"ado, colocaba una

marca que $uera $amiliar, asconcibi la idea del n&mero.

2ara contar tambi0n utilizsu propio cuerpo' los dedosde la mano, los de los pies,

los brazos, las piernas,el torso y la cabeza, las

$alanges y las articulaciones.

http://www.itc.edu

. co/carreras$itc/ Sistema

%2&'umerico/ide(.

html

33

http://www.itc.edu/http://www.itc.edu/http://www.itc.edu/http://www.itc.edu/


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9os estudiantes escriben en la fica de trabajo presentada, tratando de dar respuestas a las interrogantes all mencionadas.

%l plantearles el problema sobre series mediante un material, el educandoutilizará sus conocimientos pre"ios, especficamente el saber conceptual,

e intentará encontrar solucin para el problema, razonando y aplicando procedimientos lgicamente "álidos.

Manipulará el material y realizará acciones para solucionar el problema'] 9os estudiantes pueden dibujar torres de todos los pisos.] )uadros más grandes a partir del cuadro

presentado.] *espejar las ci$ras de los casilleros para determinar una relacin entre

los n&meros, dibujando, etc.

C.5 B6:MR9%)FPN'

/e intercambian las in$ormaciones obtenidas y se crea un lenguaje $ormal,adecuado, simple y coerente para e#plicar los procedimientos que se

realizaron a los demás de una manera entendible, el intercambio deconocimientos y aprendizajes obtenidos durante la etapa de accin.

9os estudiantes cotejan sus resultados y estrategias empleadas para asescoger la más acertada y llenar en la oja grupal.

C.7 W%9F*%)FPN'

2ara "alidar los intercambios de in$ormacin procesada se requiere deuna situacin terica-práctica de los contenidos matemáticos utilizados.

2robar lo que se afirma significa $undamentar el contenido matemático dela sucesin basándose en las etapas de accin y $ormulacin.

C.8 FN/OFOR)F6N%9F>%)FPN'Rna "ez "alidadas las estrategias de solucin, se $ormaliza el conceptode sucesin y serie, de una manera entendible y au#iliándose del trabajoeco en todo el proceso anterior.

El docente debe in"estigar acerca del saber cientfico (en un te#to de ni"elsuperior!, al que se denomina un saber desconte#tualizado para no distor-sionar los conceptos matemáticos que se transmitirán a los estudiantes (saber del aprendizaje!, por tal moti"o debe ser el más adecuado, sin salirsedel marco del saber cientfico.

%s, el saber desconte#tualizado se conte#tualiza para su aprendizajeme- diante las acti"idades planteadas, luego, en la institucionalizacin setrata de llegar a lo sumo a la desconte#tualizacin y para ser másentendible, se plantea el aspecto práctico, conte#tualizando nue"amente,obser"ando la utilidad que tiene el nue"o saber aprendido, y es as comose "a a"anzando en la construccin de los conocimientos matemáticosU esdecir, buscando las nue"as zonas de desarrollo pr#imo.

C.; EW%9R%)FPN'

*espu0s de aber $ormalizado, y aber trabajado ejercicios y problemas,se "erifica el aprendizaje de los estudiantes.

] %N9F/F/ %-2:F6:F *E 9% /FOR%)FPN*F*)OF)%.

Es el análisis que se ace antes de lle"ar a cabo la situacin

didácticaU es decir, aqu el docente ace la solucin pre"ia de la ficade trabajo



:%)F6N%9E/ S :E%9E/

http://aula.almundo.es/aula/

laminas/numeros.pdf

"nteresanteLos 2meos 2a3uales

=SA#ÍAS ;U>?

acia el ao 77@@ a.).,apareci la representacin

escrita de los n&meros, paralelamente al nacimiento

de la escritura, en /umer (Mesopotamia!. En las

primeras tablillas de arcilla

que an re"elado la escritura,aparecen signos especficosdestinados a representar los

n&meros. En cada culturase emple una $orma

particular de representar losn&meros. 2or ejemplo, los

babilonios usaban tablillascon "arias marcas en $orma

de cua y los egipciosusaban jeroglficos, que a&n

aparecen en las paredes ycolumnas de los templos.

9as ci$ras que oy utilizamostienen su origen en lasculturas ind& y árabe.

http://www.itc.edu

. co/carreras$itc/

Sistema

%2&'umerico/

ide(.html

37

http://aula.almundo.es/aula/http://www.itc.edu/http://www.itc.edu/http://aula.almundo.es/aula/http://www.itc.edu/http://www.itc.edu/


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(nmate+++

u le dice el 1 al1/G

Para ser como 4o)dees ser sincero

propuesta a los estudiantes, para sacar el má#imo pro"eco posible ala situacin durante el trabajo en el aula.

] %N9F/F/ %-26/OE:F6:F *E 9% /FOR%)FPN *F*)OF)%.

Es el análisis que se ace despu0s de aplicar la situacin didácticaU

por ejemplo' [ Kuizás alg&n grupo encontr una manera más sencilla de

determinar el n&mero de cuas, dándose cuenta que la cantidad decuas de cada torre era igual a la mitad de palitos de dica torre, undetalle que quizá no se aba pre"isto.

[ Kuizás alg&n grupo no pudo encontrar la relacin correcta, porque no se le agreg a los n&meros de este cuadro el n&mero 3@, para que lograsen tener un mejor panorama.

Acti=idad1

en9rupo+++in=esti9a con tuscolegas*iscute con tus colegas sobre la solucin de lossiguientes problemas y luego arma, a partir de ello,una situacin problemática en clase. J)mo loarasL

3. Base de accin' /ituacin problemática'En la e#presin' ^ representa un dgito primomayor que 3.

^ ^ ^ # ̂ ̂

^ ^ ^ ^ X^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^ ^

E#presa esta situacin en n&meros naturales, deacuerdo con las condiciones planteadas.9uego de aberse $amiliarizado con la situacinse $ormulan las posibles soluciones y solucinde$initi"a a la situacin.

5. Base de $ormulacin'/e socializa la solucin a la situacin $ormulada,as'

C C ; #7 7

7. Base de"alidacin'

/e con$rontan soluciones di"ersas a la solucin planteada, as como a los procedimientosutilizados. Esto es' los estudiantes someten a prueba sus producciones realizadas.

8. Base de lainstitucionalizacin'

%qu, se establecen las generalizaciones a to-das las soluciones particulares y se sealan ydesarrollan $ormalmente los contenidos ma-temáticos necesariosU en este caso' adicin ymultiplicacin en , as como n&meros pri-mos.

;. Bas

edee"aluacin

/e pone en práctica la autoe"aluacin y la co-laboracin, y se deja establecido el tratamientode otros contenidos matemáticos como sustrac-cin y di"isin en .

2ara presentar tu propuesta didáctica, considera

un contenido matemático que o$rezca mayor di$icultad en su compresin, $ormula las $ases deacuerdo con el aporte didáctico de Auy 1rousseauy trabájalo con tus estudiantes en el aula de clases,$inalmente e#pn esta e#periencia a tus colegas.

5 7 5 ;5 7 5 ;

5 ; ; C ;


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38

Z_Serie2-Fasc1-Doc.indd 14 6/13/07 1:53:32 AM


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:%)F6N%9E/ S :E%9E/

*. SITUACIONESDIDCTICASen elAPRENDI%A&E

"nteresanteLos 2meos e23eos

=SA#ÍAS ;U>?

acia los siglos WF yWFF, los ind&es $ueron

los pioneros en el usode las

del SISTE)A delos

cantidades negati"as comomedio para representar las

deudas./in embargo, la aceptacin

N')EROS ENTEROS

9os docentes deben animar a los estudiantes a que deduzcan y justifiquen susconclusiones, asimismo, los estudiantes deben entender ntegramente elconcepto de conjunto num0rico, comprender los n&meros, las $ormas derepresentarlos y las relaciones entre ellos.

% continuacin, se presenta la $ormacin del concepto de n&mero entero atra"0s de una situacin didáctica.

3.1 Situación didáctica: descuriendo al nú!ero entero

3. OEM%' E9 NQME:6

ENOE:6.5. OFEM26' ?@ minutos.

7. A:%*6 *E E/OR*F6' 2rimero de /ecundaria.


*estreza' )odifica. [ )onceptualiza los n&meros enteros a partir de situaciones de su "ida

diaria. [ 2articipa acti"amente en el trabajo en equipo. (/olidaridad y cooper-

acin!.

;. MVO6*6/, 2:6)E*FMFENO6/ y OV)NF)%/ KRE /E /RAFE:EN.Fnducti"o-deducti"o, acti"os colecti"izados, interrogacin didáctica, llu"iade ideas, entre otros.


27/56

de n&mero negati"o en occidente $ue un proceso de una lentitudsorprendente, pues, por "arios siglos,

los n&meros negati"os no eran considerados como cantidades"erdaderas, dada la imposibilidad de representarlos en el mundo

$sico. )on muca dificultad, losn&meros negati"os $ueron

finalmente considerados en la resolucin de ecuaciones, seg&n se reTejaen los escritos del matemático italiano Dernimo )ardano' ol"idad las

torturas mentales que esto os producirá e introducid estas cantidades en

la ecuacin.+En el siglo ZFZ, a&n e#ista entre los matemáticos de occidente, una gran

desconfianza en el

manejo de las cantidadesmatemáticas, asta que en

el mismo siglo _eisrestrassizo la construccin $ormal

de los n&meros enterosa partir de los n&meros

naturales.

http://www.itc.edu

. co/carreras$itc/ Sistema

%2&'umerico/ide(.

html

3;




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Serie 2 *F*)OF)% *E9% M%OEMOF)% FIC@A DE TRA#A&O

Duan le a prestado a Mara oco soles. 2asada una semana, Mara le ade"uelto a Duan solamente cuatro soles. :epresenta este eco

simblicamente en la tabla siguiente y coloca el numeral'% Duan le pagan cuatro soles

Mara debe cuatro soles a Duan

3. /i Duan le ubiera prestado a Mara < soles y ella ubiese pagado 7 soles,Jcmo puedes representar este eco simblicamenteL

% Duan le pagan tres soles

Mara debe tres soles a Duan

5. 2ero, si Duan le ubiera prestado a Mara 8 soles y pagado slo 5 soles,Jcmo sera esta representacin en smbolosL

% Duan le pagan dos soles

Mara debe dos soles a Duan

curiosidadesmatemáticas

Para "ue un todo# dividido en

dos partes desiguales pare$ca %er!oso desde el punto de vista

de la &or!a# dee presentar

entre la parte !enor y la !ayor#la !is!a relación "ue entre 'sta

y el todo. Esta notale división

se lla!a división áurea o división

!edia y e(tre!a ra$ón.

)a proporción es la siguiente.

seg!ento total*

par te !ayorparte !ayor parte!enor

Esta división es !ás o

!enos: +,-

* 1#1+.

/,,

En las l0neas

principales del rostro

&e!enino

!ate!ática!ente %er!oso

resulta constante a"uella

relación.

3<

7. /i Duan le ubiera prestado a Mara 5 soles y luego, pagado slo un sol,Jcmo representas simblicamente este ecoL

% Duan le pagan un sol

Mara debe un sol a Duan

8. J)mo representaras simblicamente, aora, el eco de queMara aya pagado toda su cuenta, si Duan le prest oco solesL

% Duan le pagan oco solesMara no debe a Duan

C. %29F)%)FPN' (/FOR%)F6N *F*)OF)%!.

C.3 %))FPN'

9os estudiantes trabajan en la fica de trabajo presentada tratando de dar respuestas a las interrogantes all planteadas.

C.5 B6:MR9%)FPN'

9os estudiantes sacan sus conclusiones y representan en una rectanum0rica todas las simbolizaciones ecas en su material.

C.7 W%9F*%)FPN'

)uando decimos, cmo puede justificar la e#istencia de n&merosnegati"os, su posible respuesta será' por las deudas.

)on la gua del docente' ellos afirmarán que ay la misma distancia delcero a cierto n&mero negati"o y del cero a dico numeral, pero positi"o.

C.8 FN/OFOR)F6N%9F>%)FPN'

9a institucionalizacin se ará respecto a los siguientes t0rminosmatemáticos' N&meros enteros, representacin en la recta num0rica, "alor absoluto de un n&mero entero. Nociones de comparacin de n&merosenteros.


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%N9F/F/ %-2:F6:F *E 9% /FOR%)FPN *F*)OF)%.

] 9uego de que los estudiantes salen a e#poner las conclusiones del grupo,se les pide que representen en una sola recta num0rica todas lassimbolizaciones que ayan eco en cada uno de los cuadros.

] /e apro"eca esta situacin de la gráfica para poder dar la idea del "alor absoluto para cada cuadro en la gráfica y la preser"acin de distancias delmismo con respecto al cero, aadimos tambi0n que el cero es neutro y, por lo tanto, no lle"a signo.

.; EW%9R%)FPN'

/e puede aplicar, por ejemplo, una fica de trabajo como e"aluacin, muysimilar a la anterior, pero de manera indi"idualU "eamos'

TE)PERATURAS

%2E99F*6/ S N6M1:E/'

A:%*6 S /E))FPN'

9os estudiantes del primer ao de secundaria decidieron salir de e#cursina los distintos lugares del 2er&, para esto $ueron a a"eriguar lastemperaturas de los sitios a "isitar.

9os sitios son' 9ima, Dunn, 2asco, )uzcoy 9oreto.



:%)F6N%9E/ S :E%9E/

2ara esto, la meteorloga les dijo'

En 9ima la temperatura es dediecisiete grados centgrados ()!.

En Dunn la temperatura es de oco

grados

TUMBES

PIURA

LAMBAYEQUE

LA LIBERTAD

SANMARTIN

LORETO

centgrados ()!.

En 2asco la temperatura es de ocogrados centgrados ()! bajo cero.

C E A N

ANCASHHUANUCO

LIMA

JUNIN

UCAYALI

MADREDE DIOS

En )uzco la temperatura es de dos gradoscentgrados ()! bajo cero.

P A C I F I C

HUANCAVELICA CUZCO

APURIMAC

ICA AYACUCHO

PUNO

En 9oreto la temperatura es de"einticinco grados centgrados ()!.

AREQUIPA

MOQUEGUA

TACNA

LAGO

TITICACA

3.- J)mo representaras el numeral de la temperatura de Dunn que es deoco grados centgrados y la temperatura de 2asco que es de ocogrados centgrados bajo ceroL

2asco Dunn

:epresentacin del n&mero de la temperatura

5. /on iguales el n&mero de las temperaturas de Dunn y 2asco.

J/ o NoL J2or qu0L

7. En los casilleros blancos, completa el numeral de las temperaturas delos lugares indicados.

)uzco 9ima 9oreto

8.- En una recta num0rica, escribe los numerales de las distintastemperaturas de los departamentos indicados.

@

3C


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Serie 2 *F*)OF)% *E 9%M%OEMOF)% 3.2 Situación prole!ática: ciudadanos uenos y !alos

Rna situacin problemática es una situacin didáctica, donde partiendode un problema se trata de e#plicar de una manera más comprensible,conceptos matemáticos, acercándolos a los casos reales.

% continuacin se presenta una situacin problemática para e#plicar lasreglas de los signos+ en los n&meros enteros' 2ara el desarrollo del mismotiene un tiempo de treinta minutos.

En la isla de /an 9orenzo ay ciudadanos buenos+ a los que se les asigna elsigno X, y ciudadanos malos+ a los que se les asigna el signo [ . /e acuerdaque' salir+ de la isla equi"ale al signo [, y entrar+ a la isla equi"ale al signoX.

] /i un ciudadano bueno (X! entra (X! a la isla de /an 9orenzo, elresultado para la isla es positi"o' (X! (X! Y (X!.

] /i un ciudadano malo (-! sale de la isla de /an 9orenzo, el resultado parala isla es positi"o' (-!(-! Y (X!.

] /i un ciudadano bueno (X! sale (-! de la isla de /an 9orenzo, el resultado para la isla es negati"o' (X! (-! Y (-!.

] /i un ciudadano malo (-! entra (X! a la isla de /an 9orenzo, el resultado para

Casinos para la adicin y

sustraccin de n!meros enteros.

nmate+++

Este nú!ero resulta de una

operación !uy peculiar:

2/

( -2

* 2 /-2

3=

la isla es negati"o' (X! (-! Y (-!.

/in embargo, tambi0n se cita otra manera de abordar la e#plicacin de lasreglas de los signos+ en los n&meros enteros, "eamos'

] El amigo de mi amigo es mi amigo' (X!(X! Y (X!

] El amigo de mi enemigo es mi enemigo' (X!(-! Y (-!

] El enemigo de mi amigo es mi enemigo' (-!(X! Y (-!

] El enemigo de mi enemigo es mi amigo' (-!(-! Y (X!

3.3 Situación a4didáctica: casinos para la adición ysustracción de nú!eros enteros

)uando un estudiante manipula ciertos conceptos toda"a no claros para 0l, puede resultar ciertamente complejo y desalentador dico intento"oluntario. Entonces es necesario esclarecer de manera práctica y sencilla lateora mediante un juego.

%demás, cuando el docente presenta un juego didáctico en el aula, tambi0nle es posible trabajar muy arduamente el aspecto actitudinal que el estudiantede manera natural muestra en el proceso.

Esquematizar0, aora, la aplicacin de las seis etapas de aprendizaje enMatemática de *ienes, en el aprendizaje de la adicin y sustraccin den&meros enterosU se ará a tra"0s de una situacin a-didáctica' )%/FN6/2%:% 9% %*F)FPN S /R/O:%))FPN *E NQME:6/ ENOE:6/.

3. OEM%' %*F)FPN S /R/O:%))FPN *E NQME:6/ENOE:6/.




*estreza' aplica (razonamiento y demostracin!.] %plica los procedimientos adecuados para determinar la suma y resta

de n&meros enteros.


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] %ct&a de manera disciplinada.

;. MVO6*6/, 2:6)E*FMFENO6/ S OV)NF)%/ KRE /E /RAFE:EN.

Fnducti"o-deducti"o, acti"os colecti"izados, rall), entre otros.


35/56


9es preguntamos a nuestrosestudiantes si ellos realmentecreen que la escritura, lalectura y los conocimientosde la Matemática, sonimportantes para su "ida presente y $uturaU al respecto podemos decirles que por la nue"a 0poca que nos atocado "i"ir, es $undamental

que se dominen estas tresáreas y no slo en un idioma,sino en más de dos.

Cua3a e3a0a:

/e les pide a los estudiantes que representen gráficamente el eco de quesignos iguales se suman y, signos di$erentes se restan y se coloca el signodel n&mero que posee mayor "alor absoluto.

;ui23a e3a0a:/e les pide a los estudiantes que describan tal representacin en lenguajeusual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.

Se


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+. SITUACIONESDIDCTICAS enel

APRENDI%A&E



:%)F6N%9E/ S :E%9E/

del

SISTE)Ade los

N')EROS RACIONALESEs importante que el estudiante tenga e#periencia, primero con $raccionessencillas relacionadas con situaciones de la "ida diaria y con problemas &tiles,empezando con las $racciones comunes e#presadas en el lenguaje que traen ala clase. 2or ejemplo' mitad+. % este respecto, es muy importante que losestudiantes se den cuenta de cuándo las cosas están di"ididas en partes iguales.*eberán ser capaces de identificar tres partes entre cuatro partes iguales, otres cuartos de un papel doblado que an sido sombreados, y entender que

cuartos+ significa cuatro partes iguales de un todo. Esto ayudará a crear una base para un aprendizaje más pro$undo de la notacin de $raccin.

6.1 Situación didáctica: repartiendo una rodaa de a!onada

*espu0s de aber trabajado los n&meros enteros, "emos que 0stos noalcanzan para comprender, e#presar y trabajar sobre otros problemas que se presentan en la realidad.

2ara comenzar la b&squeda de la solucin a situaciones imposibles de resol"er solamente con n&meros enteros, se propone una situacin didáctica sencilla'de repartir una rodaja de jamonada. Weamos'

3. OEM%' B:%))FPN.5. OFEM26' ?@ minutos.



*estreza' reproduce (razonamiento y demostracin!.

[ )onceptualiza los n&meros $raccionarios a partir situaciones de su"ida diaria.

[ *ice la "erdad (onestidad!.

;. MVO6*6/, 2:6)E*FMFENO6/ S OV)NF)%/ KRE /E/RAFE:EN.

Fnducti"o-deducti"o, acti"os colecti"izados, interrogacin didáctica, llu"iade ideas, entre otros.

"nteresanteLos 2meos acio2ales

=SA#ÍAS ;U>?

9a nocin general de n&meroracional como relacin entredos enteros $ue utilizada por

los pitagricos en el sigloWF a.). %os antes, los

babilonios y los egipciosaban utilizado algunas

$racciones, las que tenancomo numerador 3, por

ejemplo'

y algunas en particular como'

http://www.itc.edu

. co/carreras$itc/

Sistema

%2&'umerico/

ide(.html

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Serie 2 *F*)OF)% *E 9%M%OEMOF)%


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[ E#pliquen un m0todo para encontrar $racciones equi"alentes a una$raccin dada.

[ S si la $raccin $uera , Jcuál es el equi"alente de ella, tal que el

numerador y denominador sean los n&meros naturales más pequeos posiblesL

38.%notar las conclusiones en asamblea.

C. %29F)%)FPN' (/FOR%)F6N*F*)OF)%!.

C.3 %))FPN'

/e les presenta la fica de trabajo.

C.5 B6:MR9%)FPN'

9os estudiantes intercambian in$ormacin para ir respondiendo

paulatinamente a las preguntas.C.7 W%9F*%)FPN

'

Oodos los grupos mostrarán la solucin dada al problema, e"idenciando lanecesidad de n&meros $raccionarios, en primer lugarU luego justificarán sudefinicin de $racciones equi"alentes.

C.8 FN/OFOR)F6N%9F>%)FPN'

El docente institucionalizará la necesidad de e#tender a . El conceptode $raccin. Bracciones equi"alentes.

C.; EW%9R%)FPN

'/e lle"ará a cabo mediante los tems planteados en la fica de trabajo.

6.2 Situación a4didáctica: do!inó de &racciones

*ebemos recordar que las situaciones a-didácticas son casos particulares+de una situacin didáctica.

9a siguiente situacin es un juego de un domin de $racciones equi"alentescon con"ersiones de $racciones decimales o $racciones comunes y el cálculode la generatriz de una $raccin decimal e#acta y decimal peridica pura.

3. OEM%' B:%))F6NE/.

5. OFEM26' ?@ minutos.7. A:%*6 *E E/OR*F6' 2rimero de /ecundaria.


*estreza' interpreta (comunicacin matemática!.

[ )odifica la in$ormacin recibida de $racciones (transfiere lain$ormacin del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático!.

[ *ecodifica la in$ormacin de $racciones Fdentifica $racciones(trans$orma el lenguaje simblico al lenguaje cotidiano!.

[ %ct&a de manera disciplinada.

;. MVO6*6/, OV)NF)%/ KRE /E /RAFE:EN.Fnducti"o-deducti"o, acti"os colecti"izados, acti"os indi"idualizados,rall)

interrogacin didáctica, llu"ia de ideas, entre otros.



:%)F6N%9E/ S :E%9E/

n mate+++

89u' es un niño co!pleo;

n niño con la !adre real y

el padre i!aginario.

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45/56

Cua3a e3a0a:

/e les pide a los estudiantes que representen gráficamente el eco de'

[ 6btener $racciones equi"alentes.

[ 6btener la $raccin generatriz.

;ui23a e3a0a:

/e les pide a los estudiantes que describan tal representacin en lenguajeusual o materno, ideando una estrategia para recordarlo siempre.

Seoltan *ienes y para la solucin de la situacin 7, combine con n&meros, dgitos y n&meros compuestos adecuadamente.

5;



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"nteresante

,. SITUACIONESDIDCTICAS

Los 2meos iacio2ales

=SA#ÍAS ;U>?

%l parecer $ueron los griegosacia el siglo W a.)., losdescubridores de lae#istencia

en el

del

APRENDI%A&E

SISTE)Ade losde n&meros no racionales.Este descubrimiento izotambalear uno de los principios de los pitagricos,que consista en considerarque la esencia de todas lascosas, tanto en la geometracomo en los asuntos tericosy prácticos del ombre,

era e#plicable en t0rminosde aritmos, es decir, de propiedades de los n&merosenteros y de sus razones.2uesto que la e#istencia detales n&meros era e"idente,los griegos no tu"ieron másremedio que aceptarlos conel nombre de irracionales.*e esta manera, el campo delos n&meros se e#tendi para superar la incapacidadde los racionales para

representar todas lasmedidas de magnitudes.

N')EROS REALES)uando planteamos una situacin didáctica, o situacin problemática,debemos sacar el má#imo pro"eco posible de la situacin durante el actoeducati"o.

/e plantea aora, una situacin problemática para descubrir el n&mero de oro

o n&mero irracional.

/.1 Situación didáctica: un cuadrado de !ás

3. OEM%' NQME:6 F::%)F6N%9.


7. A:%*6 *E E/OR*F6' /egundo de /ecundaria.

8. EZ2E)O%OFW% *E 96A:6 *E 9% /FOR%)FPN *F*)OF)%.

*estreza' procesa (resolucin de problemas!.

[ :elaciona las "ariables pertinentes. [ E#presa las "ariables, de acuerdo con el enunciado.

[ :esuel"e las ecuaciones aplicando los procedimientos adecuados paraencontrar el n&mero de oro.

[ Es perse"erante al encontrar el n&mero de oro.

;. MVO6*6/, 2:6)E*FMFENO6/ S OV)NF)%/ KRE /E /RAFE:EN.

Fnducti"o-deducti"o, acti"os colecti"izados, interrogacin didáctica, llu"iade ideas, entre otros.


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?ctividad 6

en 9rupo+++in=esti9a con tus colegas

*iscute con tus colegas sobre la solucin del siguiente problema y luego arma a partir de ello unasituacin problemática en clase. J)mo lo arasL

ay dos crculos que delimitan una corona y, en el crculo pequeo, ay una $oto en $orma de cuadradoinscrito. /i el lado del cuadrado di"ide el radio del crculo mayor por la mitad y la di$erencia entrelos radios de los dos crculos es de 8;cm'

] *etermina el tamao real de la$oto.

] *etermina el radio r del crculo e#terior.

3. Fase de acci72: si3uaci72 0olem3ica del 8u3uo

Rn ombre cobr el ceque de su pensin. El cajero automático se equi"oc y le entreg tantossoles como centa"os figuraban en el ceque y tantos centa"os como soles le corresponda. *e lasuma recibida, el ombre di cinco centa"os a un medigo y cont entonces el dinero' tena en susmanos el doble del importe del ceque. J)uál era la cantidad que apareca en el cequeLBamiliarzate con la situacin problemática y encuentra la solucin adecuada.

5. Fase de 8omulaci72:

/e socializa la solucin obtenida para la situacin, esto es'

( . ) representa n&mero de soles representa en n&mero de centa"os

figuraba en el ceque. 9uego

entoncesU se tiene'

7. Fase de 9alidaci72

9os estudiantes ponen a prueba sus di"ersas soluciones, discuti0ndolas y aciendo que se adoptela mejor solucin.

8. Fase de i2s3i3ucio2aliJaci72/e establece generalizaciones para estos casos particulares y se re$uerza los contenidos de' N&meros *ecimales, relaciones de 6rden en .

;. Fase de e9aluaci72

/e pone en práctica la autoe"aluacin y coe"aluacin, y se inicia el estudio de la solucin deecuaciones en .

%ora, selecciona un problema matemático que aya o$recido mayor dificultad en su comprensindel sistema de n&meros reales, y resu0l"elo siguiendo el modelo de situaciones didácticas de Auy1rousseau.

5=



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C. )ETACO!NICIÓN etacogici+ es la habilidad de pesar sobre el discurso del propio pesamieto, es decir,

sirve para daros cueta c+mo apredemos cuado apredemos.

:esponde en una oja aparte'

3. J*e qu0 manera te organizaste para leer el $ascculo y desarrollar las acti"idades

propuestasL

5. JOe $ue $ácil comprender el enunciado de las acti"idadesL J2or qu0L

7. /i no te $ue $ácil, Jqu0 iciste para comprenderloL

8. JKu0 pasos as seguido para desarrollar cada una de las acti"idadesL

;. J)uáles de estos pasos te presentaron mayor dificultadL


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#I#LIO!RAFÍAcometad a



:%)F6N%9E/ S :E%9E/

3. )e"allard, S.U 1os, M.U Aascn, D. Es3udia )a3em3icas: el esla72 0edidoe23e e2seKa2Ja 4 a0e2diJaGe. 1arcelona. F)E 6:/6:F, 3??C.

*esarrolla una pro$unda reTe#in sobre el estudio de la Matemática, la conte#tualizacinde los problemas y las situaciones didácticas, y sobre aspectos prácticos.

5. )irinos M., *aniel. Didc3ica de la )a3em3ica. 9ima. 9a )antuta, 5@@@.

Entre otros aspectos, trata la didáctica de la Matemática como ciencia y esboza la teorade situaciones didácticas.

7. )irinos M., *aniel. DiseKo 4 Elaoaci72 de )a3eiales Educa3i9os. 9ima. 9a)antuta, 5@@8.

Orata sobre aspectos generales de los medios y materiales, as como su aplicacin en elaula, a la luz de la teora de las situaciones didácticas.

8. )olecti"o de %utores. Didc3ica !e2eal 4 O03imiJaci72 del 0oceso de e2seKa2Jaa0e2diJaGe. 9a abana. Fnstituto 2edaggico 9atinoamericano y )aribeo (F29%)!,

5@@3.2resenta los principios didácticos y aspectos pro$undamente reTe#i"os sobre unadidáctica desarrolladora.

;. 9abinoIicz, E. I23oducci72 a Pia5e3: Pe2samie23oa0e2diJaGee2seKa2Ja. M0#ico.Bondo Educati"o Fnteramericano, 3?=


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ENLACwEe

Sb

3. http://es.wi0ipedia.org/wi0i/'%#3%"Amero$de$Fiboacci

2ágina web que contiene aspectos sobre la sucesin de Bibonacci.

5. http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/*idactica$'umeros$'aturales.pd

*e )arlos 9uque %rias y 9yda Mora Doana Oorres. Es una didáctica sobre la notacin den&meros naturales, contiene antecedentes istricos y acti"idades de aula.

7. http://www.elhuevodechocolate.com/acertio.htm4

2ágina web que contiene aspectos recreati"os como acertijos y cistes en Matemática.

8. http://www.o)a5es.et/reportaes/

)ontiene biogra$as de matemáticos notables, as como situaciones didácticas e istricasde contenidos matemáticos di"ersos.

;. http://www.eoural.uam.m(/ciecias/

)ontiene di"ersos artculos de la comunidad cientfica de M0#ico y del mundo. Oiene

aportes de contenidos matemáticos y sus respecti"as sugerencias didácticas.

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