03-Pemecahan PersamaanLinier (2)

Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc

Gasal 2011-2012

Anny2011 1

Agenda

• Bagian 1: Matriks Invers

• Bagian 2: Eliminasi = Faktorisasi: A = LU

• Bagian 3: Transpos dan Permutasi

Anny2011 2

MATRIKS INVERSBagian 1

Anny2011 3

Pendahuluan

• Matriks invers dari sebuah matriks persegi A dinotasikan dengan A-1.– A-1A = I– A-1Ax = x

• Sebuah matriks A mungkin juga tidak memilikiinversnya (A-1 tidak eksis)

• Perkalian A-1 dengan Ax = b menghasilkanA-1Ax = A-1b

x = A-1b

Anny2011 4

Definisi

• Sebuah matriks dikatakan invertible jika terdapatsebuah matriks A-1 sedemikian hingga A-1A = I danAA-1 = I.

• Tidak semua matriks memiliki invers

• Invers akan ada jika dan hanya jika eliminasimenghasilkan n pivot (pertukaran baris dibolehkan).

• Eliminasi dapat menghasilkan solusi Ax = b tanpasecara eksplisit menghitung A-1.

Anny2011 5

Definisi (2)

• Sebuah matriks tidak mungkin memiliki duamatriks invers yang berbeda. Misal BA = I, AC = I, maka B = CB(AC) = (BA)C BI = IC B = C

• Jika A memiliki invers (invertible), maka satu-satunya solusi Ax = b adalah x = A-1b.

• Misal terdapat vektor bukan nol x sedemikianhingga Ax = 0, maka A tidak memiliki invers. – Jika A invertible, maka Ax = 0 hanya memiliki solusi

x = A-10 = 0 (zero vector)

Anny2011 6

Definisi (3)

• Sebuah matriks 2x2 mempunyai invers(invertible) jika dan hanya jika ad – bc tidaksama dengan nol

– Nilai ad – bc adalah determinan matriks A.

• Sebuah matriks diagonal memiliki invers jikatidak terdapat nilai nol pada diagonalnya.

Anny2011 7

Contoh 1

• Apakah matriks A berikut memilikiinvers? Sebutkan tiga alasannya.

• Tidak1. Determinan A = 02. Jumlah pivot yang tidak sama dengan 0

hanya 1 (bukan 2)3. Ax = 0 untuk x = (2, -1)

Anny2011 8

21

21A

Invers Perkalian Matriks AB

• Hasil perkalian matriks AB memiliki inversjika dan hanya jika matriks A dan B masing-masing memiliki invers dan ukurannya sama.

• Invers matriks AB: AB-1 = B-1A-1

– AA-1 = I– (AB) B-1A-1 =A(BB-1)A-1 = AIA-1 =AA-1 = I

• Aturan reverse order :

Anny2011 9

Contoh 2

• Jika matriks eliminasi E mengurangi 5 kali baris pertama dari baris kedua, invers matriksE-1 menambahkan 5 kali baris pertama ke bariskedua.

• Matriks persegi memiliki karakteristik

jika AB = I maka BA = I

Anny2011 10

Eliminasi Gauss-Jordan

• Meski persamaan Ax = b dapat dipecahkan denganx = A-1b, menghitung A-1 kemudian mengalikannyadengan b kadang kurang efisien.

• Dengan eliminasi solusi x dapat langsung dicari.

• Dengan eliminasi juga, matriks invers A-1 juga dapatdihasilkan

• Ide dasar Gauss-Jordan adalah mencari solusiAA-1 = I, yakni dengan menentukan setiap kolommatriks A-1.

Anny2011 11

Eliminasi Gauss-Jordan (2)

• Matriks A dikalikan kolom pertama matriksA-1 (sebut kolom ini x1) menghasilkan kolompertama matriks I (sebut kolom ini e1)

• Persamaannya: Ax1 = e1 = (1, 0, 0)

• Dua persamaan yang lain:Ax2 = e2 = (0, 1, 0)Ax3 = e3 = (0, 0, 1)

Anny2011 12

Eliminasi Gauss-Jordan (3)

• Metode Gauss-Jordan menghitung A-1 dengan mencari solusiketiga persamaan tsb (jika matriksnya 3x3), atau n persamaanjika matriksnya nxn.

• Misal terdapat sebuah matriks K:

• Matriks identitas I:

• Untuk mencari K-1:– Matriks gabungan [K I]:

– Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot pertama:

– Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot kedua:

Anny2011 13

210

121

012

100

010

001

100210

010121

001012

100210

0110

001012

21

23

100

0110

001012

32

31

34

21

23

Eliminasi Gauss-Jordan (4)

• Matriks diatas 3 kolom pertamanya adalah U (upper triangular), pivot pada diagonalnya adalah 2, 3/2, dan 4/3.

• Selanjutnya metode Gauss-Jordan menghasilkanbentuk reduksi (nilai nol diatas pivot:

Anny2011 14

100

0110

001012

32

31

34

21

23

100

00

001012

32

31

34

43

23

43

23

100

00

1002

32

31

34

43

23

43

23

21

23

Eliminasi Gauss-Jordan (5)

• Langkah terakhir metode Gauss-Jordan adalahmembagi setiap baris dengan nilai pivot pada barisyang bersangkutan, sehingga pivot yang baru adalah1:

• Tiga kolom terakhir matriks diatas adalah K-1 yang dicari

Anny2011 15

43

21

41

21

21

41

21

43

100

1010

001

100

00

1002

32

31

34

43

23

43

23

21

23

Karakteristik Matriks K dan K-1

321

242

123

4

1

4

3

2

1

4

12

11

2

14

1

2

1

4

3

210

121

0121KK

Anny2011 16

• Matriks K symmetric pada diagonal utamanya, begitu pula matriks K-1.

• Matriks K tridiagonal (hanya tiga nilai bukan nol padadiagonalnya). Matriks K-1 adalah dense matrix tanpa adanilai nol.

• Hasil perkalian pivot matriks U: 2*(3/2)*(4/3) = 4. Nilai 4 ini merupakan determinan dari K.

Contoh 1

• Untuk matriks A = , tentukan A-1 dengan eliminasi Gauss-Jordan.

• [A I] =

• Langkah 1 Eliminasi:

• Langkah 2 Eliminasi:

• Dibagi dengan pivot:

• A-1 =

Anny2011 17

74

32

1074

0132

1210

0132

1210

3702

12102

3

2

701

122

3

2

7

Contoh 2

• Untuk matriks L = ,

tentukan L-1 dengan eliminasi Gauss-Jordan.

• [L I] =

• Langkah 1 Eliminasi:

• Langkah 2 Eliminasi:

• Langkah 3 Eliminasi :

• L-1 =

Anny2011 18

154

013

001

100154

010013

001001

100154

013010

001001

104150

013010

001001

1511100

013010

001001

1511

013

001

ELIMINASI = FAKTORISASI: A = LU

Bagian 2

Anny2011 19

Faktorisasi Matriks

• Matriks A merupakan hasil perkalian dua atau tigamatriks spesial yang lain.

• Dari eliminasi, faktor matriks A adalah matrikstriangular L dan U: A = LU.– U: matriks upper triangular dengan nilai-nilai pivot pada

diagonalnya. Dengan eliminasi matriks A dapat diubah menjadi U.

– L: matriks lower triangular yang dapat digunakan untukmengubah matriks U kembali menjadi A.

Anny2011 20

Faktorisasi Matriks (2)

• Matriks A berukuran 2x2:

• Baris kedua diatas adalah faktorisasi matriks A: LU = A

• Untuk matriks 3x3, matriks A akan dikalikan dengan E21, E31, dan E32 untuk menjadi matriks U.– asumsi tidak ada pertukaran baris pada matriks A

• Jika invers dari matriks-matriks eliminasi dikalikan dengansistem, dihasilkan A = (E21

-1E31-1E32

-1)U = LU.

Anny2011 21

86

12

Faktorisasi Matriks (3)

• A = LU adalah eliminasi tanpa ada pertukaran baris pada A. • Matriks U memiliki nilai-nilai pivot pada diagonalnya.• Matriks L memiliki nilai 1 pada diagonalnya.• Pengali lij berada di bawah diagonal matriks L.• Misal, matriks A =

• Eliminasi akan mengurangkan ½ kali baris 1 dari baris 2, l21= ½, kemudian mengurangkan 2/3 kali baris 2 dari baris 3, l32 = 2/3.

• Berapa L? Berapa U?• Perkalian LU menghasilkan A:

Anny2011 22

210

121

012

Contoh

• Sebuah matriks 4x4:

• Tentukan matriks L dan U!

• Pola spesial:– Jika sebuah baris pada A berawal dengan nol,

begitu pula baris pada L– Jika sebuah kolom pada A berawal dengan nol,

begitu pula kolom pada U

Anny2011 23

A = LDU

• Diagonal matriks L bernilai 1

• Diagonal matriks U berisi nilai pivot

• Jika matriks U dibagi dengan pivotnya, akandihasilkan matriks U yang diagonalnya bernilai 1

Anny2011 24

TRANSPOS DAN PERMUTASIBagian 3

Anny2011 25

Transpos

• Transpos matriks lower triangular adalahmatriks upper triangular

• Transpos A + B = (A + B)T = AT + BT

• Transpos AB = (AB)T = BTAT

• Transpos A-1 = (A-1)T = (AT)-1

Anny2011 26

Jika A = LDU, berapa AT?

Inner Product

• Jika ada dua vektor x dan y, berapa inner product dari x dan y?

• Nilai tsb dapat juga diperoleh menggunakanperkalian matriks: xTy

• AT adalah matriks yang menjadikan dua nilaiinner product dari x dan y sama:

Anny2011 27

Matriks Simetrik

• Matriks simetrik: AT = A

• Contoh:

• Invers matriks simetrik menghasilkanmatriks simetrik juga

• Contoh:

Anny2011 28

Matriks Simetrik

• Sebuah matriks berukuran m x n jika ditransposkemudian dikalikan dengan matriks tsbmenghasilkan matriks persegi simetrik– (m x n)T

n x m– (n x m)(m x n) (n x n)

• Menggunakan karakteristik transpos perkalianmatriks, berapa transpos dari RTR?

• (RTR)T = RT(RT)T = RTR

Anny2011 29

Matriks Simetri pada Eliminasi

• Jika A matriks simetrik, bentuk A = LDU berubah menjadi A = LDLT

• Perhatikan transpos dari LDLT!

• (LDLT)T = (LT)TDTLT

= LDLT

Anny2011 30

Matriks Permutasi

• Karakteristik matriks permutasi P: – Memiliki satu nilai “1” di setiap baris dan di

setiap kolom

– Jika ditranspos akan menghasilkan matriks permutasi juga

– Perkalian antar matriks permutasi menghasilkan matriks permutasi juga

– Dibentuk dari matriks identitas I, kemudian baris-barisnya ditukar

Anny2011 31

Matriks Permutasi 3x3

• Terdapat 6 matriks permutasi 3x3:– I, P21, P31, P32, P32P21, P21P32

• Untuk matriks dengan orde n, ada berapa matriks permutasi?n!

• P-1 juga matriks permutasi

• P-1 = PT

Anny2011 32

PA = LU

• Pada eliminasi, kadang pertukaran baris diperlukan, sehingga P…E…P…E…A = UA = (E-1…P-1…E-1…P-1…)U

• Jika pertukaran baris direpresentasikan menggunakan sebuah matriks permutasi P, ada dua kemungkinan cara melakukan semua pertukaran baris yang diperlukan:– sebelum eliminasi, sehingga PA = LU– sesudah eliminasi, sehingga A = L1P1U1

Anny2011 33

MATLAB menggunakan PA = LU

Latihan Pertemuan 3

• Chapter 2.5– Problem 3, 4, 25, 27

• Chapter 2.6– Problem 1, 2, 5

• Chapter 2.7– Problem 20, 24, 31

Anny2011 34