03 anÁlisis econÓmico regional

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Jordi Suriach Caralt 1\.1anuel Arts Ortuo Enrique Lpez Bazo

Andreu Sans Rossell Universidad de Barcelona

ANLISIS ECONMICO REGIONAL Nociones bsicas de la Teora

de la Cointegracin

FIINDACI

BOSCH i GIMPERA Antoni Bosch O editor UNIVERSITAT DE BARCELO~A

Coeditado por: Antoni Bosch, editor. Manuel Girona,61. 08034 Barcelona,

Tel. (93) 205 2606 Fax (93) 280 48 02, Y

Fundad Bosch i Gimpera. Balmes 21, pral. 08007 Barcelona

1995, Jordi Suriach, Manuel Arts, Enrique Lpez y Andreu Sans de esta edicin: Antoni Bosch, editor, S.A. y Fundaci Bosch i Gimpera ISBN: 84-85855-76-0 Depsito legal: B-5523-1995

Diseo de la cubierta: Helena Rosa

Fotocomposicin: Alemany, SCCL Impresin: Libergraf Encuadernadn: 1.N.R.E.S.A.

Primera edicin: Febrero de 1995

No se permite la reproduccin total o parcial de este libro, ni su incorporacin a un sistema informtico, ni su transmisin en cualquier forma o por cualquier medio, sea ste electrnico, mecnico, reprogrfico, gramofnico u otro, sin el permiso previo y por escrito del editor.

CONTENIDO

1 Introduccin 1

1.1 Presentacin 1

1.2 Escenario histrico 4

2 Estacionariedad e integrabilidad 11

2.1 Introduccin 11

2.2 Tendencias estocsticas versus deterministas 17

2.3 Efectos de no considerar la presencia de tendencias

estocsticas 22

2.3.1 Relaciones espurias 22

2.3.2 Eliminacin de la tendencia en variables

integradas 24

2.3.3 Implicaciones para la poltica econmica

ante la presencia de tendencias estocsticas

en magnitudes econmicas 26

2.4 Contrastes de races unitarias 27

2.4.1 Contraste de Durbin-Watson (DW) 28

2.4.2 Contraste de Dickey-Fuller (DF) y

Dickey-Fuller Ampliado (ADF) 29

2.4.3 Contraste de Schmidt-Phillips (SP) 38

2.4.4 Contraste de races unitarias de variables

instrumentales de Hall (VI) 39

2.4.5 Contrastacin de ms de una raz unitaria 40

ApNDIcE 1. Correccin no paramtrica del contraste ADF:

contraste de Phillips y Perron 42

ApNDICE 2. Cambios estructuralel' y contrastes de

raz unitaria 44

VII CONI'ENIOO

3 Cointegracin 53

3.1 Introduccin 53

3.2 Definicin e implicaciones de la cointegracin 55

3.3 Mecanismos de Correccin del Error (MCE)y el

Teorema de Representacin de Granger 60

3.4 Estimacin y contraste de relaciones de cointegracin 65

3.4.1 Estimacin bietpica de Engle y Granger 66

3.4.1.1 Estimacin directa de la relacin

de cointegracin 67

3.4.1.2 Contrastes de cointegracin sobre

los residuos 72

3.4.1.3 Estimacin del Mecanismo de Correccin

del Error 75

3.4.2 Estimacin directa en el Mecanismo de Correccin

del Error 77

3.4.3 Estimacin dinmica de la relacin de

cointegracin por mnimos cuadrados ordinarios

(MCOD) 79

3.4.4 Procedimiento mximo verosmil de Johansen 80

3.5 Prediccin en sistemas cointegrads 88

ApNDICE 1. Contraste de cointegracin del estadstico de

la traza multivariante de Phillips y Oularis 89

APNDICE 2. Obtencin de los autovalores en el

Procedimiento de Johansen 91

4 Integrabilidad y cointegracin en datos estacionales 93

4.1 Introduccin 93

4.2 Concepto y tratamiento de]a estacionalidad 94

4.3 Anlisis de integrabilidad en frecuencias estacionales 99

4.4 Contrastes de integrabilidad estacional 103

4.4.1 Contraste de Hasza-Fuller (HF) 103

4.4.2 Contraste de Dickey-Hasza-Fuller (DHF) 105

4.4.3 Contraste de HyIleberg-Engle-Granger-Yoo

(HEGY) para datos trimestrales 107

CONTENlOO I VII

4.4.4 Contraste de Beaulieu-Miron (BM)

para datos mensuales 109

4.5 Cointegracin entre variables con estacionalidad 113

4.5.1 Cointegracin en la frecuencia cero 115

4.5.2 Cointegracin en todas las frecuencias 117

5 Aplicacin de la cointegracin al anlisis de la

convergencia entre magnitudes econmicas regionales 127

5.1 Introduccin 127

5.2 Homogeneidad en la evolucin econmica y

convergencia regional 128

5.3 Descripcin e interpretacin de la especificacin

utilizada 132

5.4 Convergencia en el empleo de las CCAA espaolas 138

5.4.1 Integrabilidad en el empleo regional y nacional 138

5.4.2 Cointegracin entre el empleo regional y nacional 145

5.5 Convergencia en el componente alimentario de los

ndices de precios de consumo de las CCAA espaolas 154

5.5.1 Anlisis de la integrabilidad en frecuencias

estacionales 156

5.5.2 Cointegracin en el componente alimentario de

los ndices de precios de consumo de las CCAA

espaolas 159

ApNDICE. Paquetes informticos que incorporan contrastes

de races unitarias y de cointegracin 163

Bibliografa 167

ndice analtico 177

l

1. INTRODUCCIN

1.1. Presentacin

Este libro es el resultado de un proceso iniciado por los autores hace aproximadamente una dcada en el campo del anlisis econmico regional. A lo largo de la misma, y especialmente durante los ltimos aos, ha sido imprescindible profundizar en el conocimiento de la Teora de la Cointegracin para avanzar en mltiples enfoques de la modelizacin economtrica aplicada al mbito regional. Como resultado de esta profundizacin surge este libro que incorpora la doble vertiente terico-aplicada de esta tcnica de modelizacin.1

La Teora de la Cointegracin ha despertado en los ltimos aos un fuerte inters en el mbito economtrico, tanto en su vertiente terica como aplicada. El hecho deque esta estrategia de modelizacin se centre en las relaciones de equilibrio a largo plazo entre variables, la ha situado como un instrumento fundamental de cara al contraste de las relaciones de equilibrio postuladas por la Teora Econmica, a la vez que permite la estimacin de modelos economtricos que incorporan la informacin que proporcionan estas relaciones. Estos modelos economtricos pueden utilizarse tanto para el anlisis estructural y, por tanto, de las relaciones entre variables econmicas, como para la prediccin de magnitudes de inters o la simulacin de polticas alternativas. Esta metodologa tambin es usada en el anlisis de la convergencia entre diferentes economas (pases o regiones), en la construccin de modelos economtricos regionales, en la explicacin del ciclo econmico, etc ...

1Este libro se ha realizado en el marco del Proyecto de la DGICYT PB91-0438.

j

2/ ANLISIS ECONMICO REGIONAL

Desde las aportaciones de Fuller en la segunda mitad de los aos setenta -en las que se establecan las bases para la contrastacin del orden de integrabilidad-, de la generalizacin del uso de los modelos de Mecanismo de Correccin del Error, tambin en la misma poca, y de la introduccin del concepto de cointegracin por Granger en 1981, hasta nuestros das, no ha cesado la aparicin de literatura referida al tema, con aportaciones tanto tericas como aplicadas.

Tanto es as, que hoy difcilmente podrn ser analizadas y estudiadas modelizaciones macroeconomtricas, utilizando informacin temporal, sin tener un conocimiento mnimo de los conceptos de integrabilidad, cointegracin y Mecanismo de Correccin del Error. As, por ejemplo, el modelo MOISEES (Modelo de Investigacin y Simulacin de la Economa Espaola), elaborado por la Direccin General de Planificacin del Ministerio de Economa y Hacienda, especifica algunas de las relaciones entre sus variables a partir de la consideracin de estos conceptos. Lo mismo se puede afirmar en otros campos como el de la Econometra financiera, regional, etc.

La Teora de la Cointegracin ha supuesto un cambio en la estrategia de modelizacin dinmica de variables econmicas, poniendo de manifiesto las posibles limitaciones de la modelizacin de series temporales basada en los modelos de Funcin de Transferencia, y proporcionando una explicacin a los problemas de relaciones espurias entre series temporales ya puestos de manifiesto por Yule en el primer cuarto de este siglo.

El objetivo de este libro es el de realizar una introduccin a esta Teora, presentand9 los conceptos bsicos y los principales desarrollos que se han planteado, as como los problemas y crticas que ha recibido. Se ha primado la aplicacin prctica y se ha dado preferencia a la interpretacin de los conceptos, intentando huir de un exceso de formalismo. Por ello, muchos de los desarrollos se explican de forma intuitiva y .se remite al lector que quiera profundizar en los mismos a la literatura especfica referida al tema. Pretende ser til a aquella persona que, teniendo unos conocimientos bsicos de Estadstica y Econometra, quiera introducirse en este campo tanto para aplicarlo en sus' trabajos cQmo para interpretar los resultados y valorar su uti-

L_

Introduccin (c.1) I 3

lidad en otros estudios de Economa Aplicada que deba analizar o interpretar.

En consecuencia, pretende ser til tanto para alumnos de ltimos cursos de licenciaturas que incluyan este tema en alguna de sus asigp.aturas, como para alumnos de doctorado que necesiten complementar su formacin en Economa Aplicada (tanto para especificar modelos propuestos por la Teora Econmica, como para valorar los resultados obtenidos de la evidencia emprica en cuanto al anlisis de las relaciones entre variables y la prediccin o simulacin de escenarios alternativos .de Poltica Econmica).

Lgicamentel dependiendo de la formacin inicial del lector, se podr profundizar y entender en mayor o menor medida el detalle del contenido de los distintos captulos. As, entendemos que los conocedores de las tcnicas estadsticas y economtricas. pueden encontrar en este libro una buena recopilacin sobre esta Tera; as como las etapas que deben seguir para poderla aplicar. En cambio, los menos conocedores de aqullas, aunque no profundicen en los aspectos ms formales, podrn obtener una amplia visin de las razones que justifican su estudio, as como de la interpretacin de los resultados que sederivan de su aplicacin. .

Para conseguir estos objetivos, el libro se ha dividido en dos grandes partes, una primera terica y una segunda aplicada. Por lo que se refiere a la primera, a continuacin y dentro de esta introduccin, se enmarca la Teora de la Cointegracin en la reciente historia de la modelizacin economtrica. A continuacin, en el captulo 2 se abordan los conceptos de estacionariedad e integrabilidad. Se muestran las implicaciones de ambos sobre el comportamiento de las series temporales y sobre el anlisis de relaciones entre variables. Termina el captulo presentando una batera de contrastes de integrabilidad. .

El captulo 3 intr~duce los conceptos de cointegracin y de modelo de Mecanismo de Correccin del Error. Se examinan las implicaciones de la cointegracin en la modelizacin de relaciones de largo plazo y se pone de manifiesto la asociacin entre ambos conceptos. Posteriormente se estudia la estimacin de relaciones de cointegracin y de modelos de Mecanismo de Correccin del Error y la forma de contrastar la existencia

-------~-_ .... ~--~~~~~.~=~=


de relaciones a largo plazo entre variables. Termina el captulo haciendo referencia a la prediccin de sistemas cointegrados.

Los captulos 2 y 3 van acompaado~ de apndices en los que se extienden los conceptos o desar.rollos tratados en los mismos.

En el captulo 4 se extienden los conceptos presentados en los dos captulos anteriores a los datos con periodicidad inferior a la anual. Se ofrece una introduccin al concepto de estacionalidad y se define la integrabilidad estacional para, posteriormente, abordar los contrastes de integrabilidad estacional y la estimacin y contraste de relaciones de cointegracin para datos con estacionalidad no estacionaria.

La segunda parte del libro, constituida por el captulo 5, est destinada a p~entar dos aplicaciones concretas de la Teora de la Cointegracin, centradas en el anlisis de las variables regionales de poblacin ocupada y de precios al consumo.

Asimismo, y debido a que la orientacin de la obra es hacia la aplicacin de los 'mtodos asociados a la Teora de la Cointegracin, se ha aadido un apndice donde se hace referencia al tratamiento que sobre este tema hacen algunos de los paquetes informticos d~ perfil economtrico ms extendidos, centrndose en aquellos que tienen implementados procedimientos y contrastes que se exponen en el texto.

Por ltimo, se presentan las referencias bibliogrficas utilizadas a lo largo del texto y otras que se ha credo oportuno incorporar, a pesar de no haber sido referenciadas, dado que pueden permitir allectot interesado profundizar en la Teora-de la Cointegracin.

1.2. Escenario histrico

El periodo de inestabilidad que comienza en los aos sete.nta con la crisis del petrleo supuso el fin de una poca ~e crecimiento estable en las economas occidentales que se haba venido manifestando desde la posguerra. Ello produjo un cambio en el comportamiento histrico observado en los principales agregados econmicos, que mostraban hasta entonces tasas de crecimiento positivas y sostenidas.

Introducci6n (c.l) / 5

Por lo que se refiere al mbito economtrico, signific un cambio radical en cuanto a la bondad de los resultados asociados a los modelos formulados hasta entonces, esto es, los Modelos de Ecuaciones Simultneas (MES) con incorporacin de restricciones dadas por la Teora Econmica a fin de identificar las ecuaciones del modelo. Es evidente que el ajuste y la capacidad predictiva de un modelo es mayor en un escenario de crecimiento sostenido que en uno de profundas oscilaciones. La inestabilidad de los setenta y de la primera mitad de la dcada de los ochenta influy en el replanteamiento de la modelizacin economtrica realizada hasta aquel momento.

Es en este contexto donde surge con fuerza la metodologa de modelizacin univariante ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) y de Funcin de Transferencia, propuesta por Box y Jenkins (1970), t:;n la que se resalta_la propiedad de estacionariedad de las variables como requisito bsico para su rrodelizacin. Ello conduce habitualmente a la diferenciacin de las variables, por lo que se estudian los cambios que se dan en las mismas en lugar de analizar las relaciones entre los niveles. Como se apuntar ms adelante, sta es una de las principales crticas que se ha dirigido a este enfoque de modelizacin de relaciones entre variables, al eliminarse la informacin a largo plazo retenida en los niveles de las mismas. Por otro lado, estos modelos, que no utilizan la informacin extramuestral ofrecida por la Teora: Econmica, mostraban, aparentemente y en'aquel periodo concreto, ~a mejor capacidad predictiva a corto plazo que los"anteriormnte citados MES. Ello condujo a cuestionar los MES jra que, en teona, al utilizar ms informacin que los modelos univariantes de series temporales deberan tener una mejor capacidad predictiva que estos ltimos.

Zellner y Palm (1974) ofrecen una justificacin terica de estos resultados, mostrando cmo los modelos univariantes utilizados en la estrategia Box-Jenkins pueden ser derivados como forma final univariante de un modelo estructural lineal de ecuaciones simultneas. Ante ello, se han dado respuestas distintas por parte de los econmetras. Por un lado, unos optan por integrar plenamente los mtodos del anlisis de series temporales con el anlisis economtrico tradicional -entre stos se encuentran Wallis'y Zellner y Palm-, dando lugar a la estrate

6/ ANUSIS ECONMICO REGIONAL Introduccin (c.1) /7

gia SEMTSA (Structural Econometric Modelling Time Series Analysis), que se basa en la modelizacin VARMA (Vector AutoRegressive Movng Average). Por otro, los economistas relacionados con la London School of Economics (LSE) utilizan mtodos de series temporales apropiadamente modificados para permitir la existencia de relaciones a largo plazo, superando as la importante crtica apuntada a los modelos de Funcin de Transferencia. De este modo, se empieza a generalizar el uso de modelos de Mecanismo de Correccin del Error (MCE) a partir del trabajo de Davidson et al. (1978). A estos modelos, que fueron utilizados por primera vez por Sargan (1964) y que conjugan la modelizacin a largo plazo de las variables con una estructura dinmica rica, nos referiremos ms adelante.

Paralelamente al desarrollo de la metodologa Box-Jenkins se plantea, a raz del trabajo de Granger y Newbold (1974), la necesidad de prestar una mayor atencin a los peligros que supone especificar relaciones espurias, es decir, relaciones no de causalidad sino de casualidad. Este tipo d~ reJaciones ya fueron tratadas por los primeros estudiosos de las series temporales. Como seala Pesaran (1987) fue'R. H. Hooker en 1901 el primero en mostrar los problemas del anlisis de la correlacin cuando el elemento tiempo est presente. Este autor sugiri analizar las correlaciones entre variables a partir de 'las desviaciones de dichas variables respecto a su tendencia, a fin de evitar encontrar altas correlaciones inducidas por los componentes tendenciales en series que estn poco o nada relacionadas. Posteriormente, en Yule (1926) se discute formalmente y se enfatiza el problema de las relaciones espurias.2 Como aade Pesaran, estos problemas, conjuntamente con la correlacin serial de las series temporales, originan el ms importante factor explicativo del escepticismo de la profesin respecto al uso del anlisis de regresin en Economa. Aunque posteriormente se encontr solucin al problema de la autocorrelacin del trmino de perturbacin con el desarrollo del procedimiento de estimacin de Cochrane-Orcutt, no se le encontr al problema de las relaciones espurias.

2Yule utiliza el trmino de regresiones sin sentido.

Comose ha sealado, en 1974 Granger y Newbold recalcan de nuevo la posibilidad de incurrir en relaciones espurias al estimar relaciones entre series temporales. Estos autores, a partir de un experimento de simulacin, muestran que la estimacin por ml).imos cuadrados ordinarios (MCO) de relaciones lineales entre series que requieren la aplicacin del operador diferencia para conseguir una perturbacin ruido blanco en su modelizacin univariante, y que son independientes unas de otras, origina un valor elevado del R2 y un valor muy bajo del DW, indicativo de una fuerte autocorrelacin de los residuos. Adems, se da un im

. portante nmero de rechazos de la no significacin de los parmetros estimados. Con ello, muestran que, a partir de los"resultados de la estimacin por MCO, pueden darse como vlidas relaciones que son de tipo espurio.3 En cambio, la estimacin de relaciones entre las variables diferenciadas no conduca a resultados errneos.

Como consecuencia de este h~cho, y unido a la bue~a capacida


Como ya se ha comentado, a partir del trabajo de Davidson et al. (1978), esta corriente aboga por los modelos de Mecanismo de Correccin del Error. El MCE plantea una relacin de equilibrio a largo plazo entre las variables -solucionando as uno de los problemas de la diferenciacin-, pero a la vez permitiendo la existencia de desajustes a corto plazo mediante la introduccin de trminos dinmicos. Este tipo de especifi~cin se ha mostrado adecuada para la modelizacin de un importante nmero de variables macroeconmicas, como lo demuestra su amplia difusin en los ltimos aos.

Por otro lado, a partir del trabajo de Fuller (1976) se abre un nuevo enfoque para determinar la necesidad de aplicar el operador diferencia a fin de conseguir series estacionarias. Este nuevo enfoque se basa en el concepto de integrabilidad y plantea su anlisis mediante contrastes especficos. A partir de entonces, pero sobre'todo a partir de la dcada de los ochenta, no ha cesado de aparecer literatura referida a estos contrastes y a analizar las propiedades de las series integradas.

La introduccin del concepto de cointegracin por parte de Granger en 1981, conjug tanto los conceptos de estacionariedad y orden de integrabilidad implcitos en la metodologa de Box y Jenkins como los avances de los ltimos aos en la modelizacin economtrica dinmica -los MCE-, con las ideas de relaciones estructurales de equilibrio marcadas por la Teora Econmica y que se manifiestan en los niveles de las variables. Adems, a partir del momento de la introduccin de esta teora, se opta por contrastar la integrabilidad de las variables, es decir, si deben ser diferenciadas, como complemento a la utilizacin de la representacin grfica y de las funciones de autocorrelacin simple y parcial, comnmnte utilizadas a partir de la estrategia Box-Jenkins.

El concepto de cointegracin permite discriminar relaciones a largo plazo "reales" existentes entre variables de relaciones espurias. Adems, Granger tambin muestra de manera inform~lla relacin entre cointegracin y modelos de MCE. No es hasta 1987 en que se demuestra formalmente esta relacin, conocida como Teorema de Representacin de Granger, por parte de Engle y Granger (1987).

La posibilidad de contrastar la existencia de relaciones de equilibrio o de largo plazo entre variables econmicas mediante la tcnica de la~

Introducci6n (c.l) /9

cointegracin, unido a la posibilidad de modelizarlas conjuntamente a corto plazo a travs del modelo de MCE, hacen sumamente atractivo su conocimiento. Estos conceptos y tcnicas no estn, sin embargo, exentos de problemas y de duras crticas: potencia de los contrastes, tratamiento previo de las variables, etc., que trataremos de comentar a lo largo del

. libro.

2. ESTACIONARIEDAD E INTEGRABILIDAD

1..1. Introduccin

Una gran cantidad de los trabajos (sobre todo empricos) que se venan realizando en el mbito de la Econometra estaban basados en el supuesto de que las variables utilizadas eran estacionarias, es decir, que su distribucin de probabilidad no dependa del tiempo. Sin embargo, Nelson y Plosser (1982) mostraron que un amplio conjunto de variables econmicas de Estados Ur.idos incumplan dicho supuesto. A lo largo de este siglo, estas variables en la mayora de economas han sufrido variaciones tanto en su media como, frecuentemente, en su varianza. Es decir, no presentan momentos de primer y segundo orden constantes, siendo stos, en muchas ocasiones, funcin del tiempo. AS, se observa que muchas de estas variables presentan una tendencia a crecer a lo largo del tiempo, a la vez que la variabilidad de las mismas tiende a acentuarse.

La no consideracin c.e este fenmeno puede llevar al investigador a cometer errores tanto en la modelizacin econmica, al aceptar como vlidas relaciones de tipo espurio} como en el proceso de inferencia, al analizar las caractersticas de las estimaciones obtenidas. La solucin clsica dada a este problema ha sido diferenciar las variables para eliminar el componente no estacionario. Sin embargo, esta medida ha sido criticada porque mediante este procedimiento se est eliminando la informacin de largo plazo existente en los niveles de las magnitudes econmicas.

lVase apartado 2.3.


El concepto de estacionariedad es, pues, clave para todo nuestro anlisis posterior. A lo largo de este libro utilizaremos el concepto de estacionariedad en sentido dbil, o de segundo orden, y nos referiremos a la misma simplemente como estacionariedad. Considerando una serie temporal como la realizacin de un proceso estocstico, diremos que ste es estacionario en sentido dbil si tiene momentos de primer y segundo orden finitos y que no varan en funcin del tiempo. Formalmente, un proceso estocstico x(t) es estacionario en sentido dbil si

E [x(t i )] = E [x(t i + h)] = J.Ll < 00 E (X(t i )2] =E [x(t i + h)2] =J.L2 < 00

E [X(ti)X(tj)] = E [X(ti + h)x(tj + h)] = J.Lij < 00

con J.Ll, J.L2 YJ.Lij constantes a lo largo del tiempo. De ahora en adelante consideraremos nicamente procesos estocsticos en tiempo discreto,2 sin hacer referencia a los de tiempo continuo.

La presencia de no estacionariedad nicamente en la media, es decir, en el momento de primer orden, puede recogerse introduciendo elementos deterministas -tales como tendencias lineales o polinmicas, tendencias segmentadas, variables ficticias, etc ...- en la especificacin

~el proceso. En caso de que la introduccin de estos elementos deterministas capture la no estacionariedad en media del proceso, la inferencia estndar es aplicable bajo los supuestos bsicos clsicos. As, por ejemplo, los estimadores MCO tendrn distribuciones asintticas normales. En cambio, como tendremos ocasin de observar, la presencia de tendencias en la varianza (momento de segundo orden) origina que las distribuciones utilizadas en la inferencia estndar no sean aplicables, y que algunos estadsticos (contrastes de la t, P, etc...) converjan hacia

2Es decir, procesos medidos en intervalos regulares de tiempo. Por ejemplo, el consumo elctrico de una ciudad puede entenderse como un proceso estocstico en tiempo continuo ya que en cada momento del tiempo hay un consumo instantneo de electricidad. Tambin puede. estudiarse como un proceso estocstico en tiempo discreto observando el consumo diario (semanal, mensual, trimestral, anuaL.) de electricidad. Dado que las variables econmicas suelen observarse en tiempo discreto nos referiremos nicamente a este caso.

Estacionariedad e integrabilidad (c.2) / 13

distribuciones no degeneradas en lugar de hacerlo hacia distribuciones degeneradas.3

Las tendencias en varianza, es decir, que la varianza sea funcin del tiempo, pueden estar pro,,-ocadas, entre otros motivos, por la existencia de races unitarias en el polinomio de la representacin autorregresiva 'del proceso.4 El ejemplo ms simple de no estacionariedad en varianza causada por una raz unitarta en el polinomio autorregresivo es el paseo aleatorio (random walk):

Xt -

I


Cuando un proceso estocstico presenta una raz unitaria en el polinomio autorregresivo (tendencia estocstica, en varianza), es decir, presenta el factor (1 - L), diremos que el proceso es integrable -o integrado- de orden 1, y se suele escribir como 1(1).6 Una explicacin intuitiva de por qu se llama integrado se obtiene a partir de (2.1), donde Xt se puede expresar como:

Xt = ___t_ _ t-1 (1 - L) - Xo + t- (2.3)

i=O

donde se observa que Xt es la "integracin" -entendida como suma de (posiblemente infinitos) trminos- de t. Ello ocasiona que dichos procesos tengan memoria ilimitada, frente a los no integrados que la tienen limitada, ya que el valor actual de Xt depende de todos los shocks aleatorios (et) pasados, sin que el efecto de stos se vaya diluyendo en el tiempo hasta desaparecer.

La aplicacin del operador diferencia, ). = (1 L), a una variable con una raz unitaria en su polinomio autorregresivo la transforma en una nueva variable estacionaria en varianza. Si hubisemos de aplicar d diferenciaciones para conseguir que la variable fuese estacionaria estaramos ante un proceso l(d), de la misma manera que si el proceso ya fuera estacionario en varianza sera 1(0)7 El valor de d se denomina orden de integrabilidad de Xt. Dado que a una serie integrada de orden d, l(d), para transformarla en estacionaria se le deber aplicar el polinomio {1- L)d, Y ste tiene d races (soluciones) de valor 1, es decir, d races unitarias, al referirnos al contraste del orden de integrabilidad de una serie nos referiremos habitualmente a l como test de races unitarias.

Por otro lado, determinados modelos de la Teora Econmica sugieren la presencia de races unitarias en las variables. Por ejemplo, la existencia de mercados financieros eficientes implica que los precios de

6Tambin son races unitarias las races complejas de mdulo unidad y la raz asociada al factor (1 +L). Este tipo de raz genera integrabilidad de tip.o estacional. Vase para ello el captulo 4.

7Ejemplos de estos procesos son el ruido blanco y todos los procesos ARMA estacionarios, es decir, con todas las races del polinomio autorregresivo fuera del crculo de radio unidad.

Estacionariedad e integrabilidad (c.2) / 15 ~}f\ ~ (

los activos sigan paseos aleatorios, es decir, que sus cambios ().Xt) sean ''-, impredecibles; el modelo de Hall (1978) para el consumo, que conjuga la hiptesis del ciclo vital con las expectativas racionales, muestra que ste debe seguir un paseo aleatorio. Adems, tal y como mostraron Nelson y Plosser (1982), y como fcilmente se deduce de la experiencia de 'modelizacin siguiend.;) la metodologa de Box y Jenkins, multitud de series econmicas en trmin::>s .reales son 1(1), y en trminos nominales

-~~. Por tanto, de ahora en adelante nos centraremos en los casos parti

. culares de series 1(0), In) e 1(2). Siguiendo a Engle y Granger (1987), un procesO'1(0) se caracteriza

por tener:

una media constan:e y una tendencia de la serie a volver a esta media cuando se ha desviado de ella. Por lo tanto, tiende a fluctuar alrededor de la meda8

una funcin de au:ocorrelacin simple que decrece rpidamente cuando aumentan los ret3.rdos

varianza finita e independiente del tiempo; "memoria limitada" de su comportamiento pasado. Por lo tanto,

los efectos de un shock aleatorio tan slo son transitorios y van decreciendo (perdiendo fuerza) en el tiempo,

mientras que las caractersticas de un proceso 1(1) son, segn los mismos autores:

el tener un comportamiento divagante, en el sentido que no se mantiene sobre un valor medio a lo largo de su historia;9

las autocorrelaciones tienden a 1 para cualquier retardo la varianza depende del tiempo y tiende a infinito cuando ste tiende

a infinito;

8Si la serie presenta una tE::ldencia determinista, no siendo, por tanto, estacionaria en media pero s en varianza, se c-bservar que la serie flucta siguiendo la senda marcada por dicha tendencia.

9Para.un paseo aleatorio y para un valor arbitrario, el tiempo esperado hasta que el proceso pasa por este .valor es infinito.


el proceso tiene "memoria ilimitada" y, por tanto, un shock aleatorio tendr efectos permanentes en el proceso.

Grfico 2.1. Serie 1(0) Grfico 2.2. Serie 1(1)

Un proceso 1(2) presentara, bsicamente, las mismas caractersticas que un proceso 1(1), si bien, haciendo un smil fsico, si definimos la primera diferencia de una variable como una velocidad del proceso10 podramos decir que: un proceso 1(0) tendra velocidad nula (sera estacionario), un proceso 1(1) tendra velocidad constante no nula y un proceso 1(2) tendra una velocidad variable (pero con aceleracin constante).

As pues, la presencia de races unitarias en la representacin autorregresiva del proceso, es decir, que ste sea integrado, origina momentos de segundo orden que cambian a lo largo del tiempo. Esto provoca que la inferencia clsica no sea utilizable ya que sta se basa en el supuesto de estacionariedad. Por ejemplo, si en un modelo de regresin simple se introduce como variable explicativa una variable integrada no se cumple el supuesto del teorema de Mann-Wald segn el cual:

X'Xproblim T ha de existir y ser distinto de cero, por lo que no queda garantizada la consistencia de los parmetros estimados por MCO.

lOEs decir:

velocidad =~t = .6.Xt si.6.t =1.

Estacionariedad e integrabilidad

18/ ANUSIS ECONMICO REGIONAL Estacionariedad e integrabilidad (c.2) I 19

de tendencia son muy distintas. Se presentan cuatro procesos generado de la no estacionariedad en media. Los parmetros del modelo se pueres de datos como ejemplos de cada una de las posibles combinaciones: den estimar por MCO, obtenindose estimadores con las propiedades

deseadas. 1) Ausencia de tendencias. Supongamos que Xt viene generado por el Ajas variables que siguen procesos de dicho tipo se las denomina

proceso autorregresivo estacionario 1 < 1) Xt = J.L + 4>Xt-l + el. con et estacionarias sobre una tendencia (trend-stationary, TS). Ntese que ruido blanco. Su media y su varianza sern: contrariamente a los dos siguientes casos que se mostrarn, no es nece

sario diferenciar las variables para llegar a la estacionariedad. En caso J.L

E(x) = 1 - 4> de diferenciar la serie se obtendra un proceso con media mvil no invertible: ~:Cl = tJ + 4>~;;t-l + ~t. En todo caso, la estimacin MeO de2

Ue: V AR(x) = 1 - 2 los parmetros de esta ltima ecuacin seguiral}. siendo consistentes,

aunque no eficientesP En el grfico 2.3 vemos el comportamiento de un esquema ARO)Puede observarse que las mismas son finitas y no dependen del tiempo

con tendencia determinista, Xt =O,4t + O,3Xt-l + t. Se observa cmo la (estacionariedad en media y en varianza). serie flucta ligeramente sobre dicha tendencia.La estimacin por mnimos cuadrados ordinarios (MCO) del par

metro 4> ser consistente, aunque sesgada (por la presencia como regre3) Tendencia estoc:istica. Supongamos que el proceso generador desor de la variable endgena retardada), siendo su distribucin asinttica

normal. datos (peD) viene dado por el paseo aleatorio sin deriva14 (2.1) o equivalentemente (2.2). Es decir, Xt es la suma de un valor inicial ms todosUn ejemplo grfico de este caso podra ser el del siguiente proceso: los shocks aleatorios. Suponiendo Xo O, su media y varianza son: Xt = 0,3Xt-l +et. Su representacin se muestra en el grfico 2.1 donde se

observa cmo, para toda la muestra, la serie oscila sobre su valor medio E(x) =O(cero eneste caso) con una amplitud constante.

VAR(x) = tu2 2) Tendencia determinista. Por ejemplo, sixt viene determinada porun

proceso autorregresivo estacionario sobre una tendencia determinista, constatndose que la media de la serie es constante, pero la varianza es funcin del tiempo, por lo que crecer al aumentar el tamao muestral yXt = J.L+{3t+4>Xt-l+et, con 14>1 < 1 Yet ruido blanco, su media y varianza

son: tender a infinito cuando el tiempo tienda a infinito. El tomar primeras diferencias transforma el proceso en otro estacionario que tendr media

(3 nula y varianza constante (u2). .J.L + __'_ t E(x) = 1 - 4> 1 - 4> La estimacin MeO de 4> sigue siendo consistente pero es sesgada

u; tendiendo a subestimar el valor poblacional (4) = 1) del parmetro. A V AR(x) = 1 - 2 diferencia de lo que sucede en el proceso autorregresivo estacionario (el

Se comprueba cmo la varianza sigue siendo independiente del tiempo, 13Es fcil comprobar cmo la varianza de los residuos sera el doble de la del modelo correcto (sin difere:l.ciar). pero la media es funcin de ste. La especificacin de la tendencia deter

14Se denomina deriva al trmino constante de un paseo aleatorio. Obsrvese que minista en la estimacindel modelo elimina completamente el problema ~

no es ms que la variacin :onstante (deriva) experimentada por el proceso.

20/ ANUSIS ECONMICO REGIONAL

primer caso de los aqu mostrados), dicho estimador no se distribuye asintticamente como una normal sino que su distribucin es funcin de procesos de Wiener. Por tanto, hay una discontinuidad en la distribucin asinttica del estimador MCO de 4> cuando ste vale 1.15 Esta circunstancia impide la aplicacin de la inferencia estndar sobre dicho parmetro.

Grfico 2.3. Serie con tendencia determinista.

En el grfico 2.2 se observa el ejemplo ms sencillo de proceso no estacionario en varianza o con tendencia estocstica: un paseo aleatorio sin deriva, Xt = Xt-l + t. Se aprecia cmo la serie divaga ampliamente y cmo con poca frecuencia repetir valores alcanzados anteriormente. Ello indica que un shock externo tiene un efecto permanente sobre la serie y que no existe ninguna "fuerza" que tienda a situarla en su nivel de equilibrio cuando se aparta del mismo.

4) Tendencia determinista junto con estocstica. Supongamos que el PGD de Xt es Xt = .t + Xt-l + t, :: "" R. B., es decir, un paseo aleatorio con deriva. Sustituyendo recursivamente, si suponemos Xo = O, se llega a Xt = .tt + 2:::01 t-. La media y la varianza sern entonces:

ISEn el caso de que > 1, la distribucin asinttica del estimador se basa en una distribucin de Cauchy.

Estacionariedad e integrabilidad (c.2) /21

E(x) =t.t 2V AR(x) = tcr

por lo que tanto la media como la varianza son funciones del tiempo y, en consecuencia, el proceso presenta tendencia tanto en media como en varianza. Debe notarse la diferente interpretacin de .t en este proceso frente al autorregresivo estacionario (caso 1): en aqul determinaba la media de la variable, en ste es la pendiente de la tendencia determinista.

Al igual que en el caso 3, la distribucin asinttica del estimador . MCO de q; en Xt = i-' + 4>Xt-l + t es funcin de;procesos de Wiener

cuando


Grfico 2.4. Serie con tendencia determinista y estocstica.

De los cuatro casos mostrados, son de especial inters para modelizar el comportamiento de variables econmicas los casos 2 (TS) Y 4 (DS) que presentan una tendencia a crecer o a decrecer. Dicho comportamiento es observado en mltiples series temporales econmicas. Ms adelante, cuando se presenten los contrastes de raz unitaria, se ver la forma de determinar si el comportamiento de una serie temporal econmica se aproxima mejor con el modelo TS o con el DS.

2.3. Efectos de no considerar la presencia de tendencias estocsticas

En este apartado se comentarn brevemente los efectos de no considerar la presencia de tendencias estocsticas. Concretamente, se har referencia a las relaciones espurias, a la modelizacin de tendencias deterministas en lugar de estocsticas y a las distintas implicaciones que para las decisiones de poltica econmica tiene la presencia de races unitarias en las variables macroeconmicas.

2.3.1. Relaciones espurias

La inclusin de variables 1(1), o de un orden de integrabilidad mayor, en ecuaciones de regresin origina una serie de problemas que en ocasiones no han sido tenidos en cuenta y que incluso en la actualidad son, en algunos casos, pasados por alto.


El que dos variables presenten comportamientos sistemticos similares puede no ser debido tanto a una relacin de causalidad como a una situacin de casualidad, y, por tanto, deberse a una relacin de tipo espurio. . Este prob:ema fue tratado formalmente por primera vez en la obra

de Yule (1926). Sin embargo no se obtuvo ninguna receta que permi

tiera discriminar entre relaciones de tipo espurio y relaciones "reales".

Granger y Newbold (1974) observaron los bajos valores que presentaba

el estadstico Durbin-Watson -indicativo de una fuerte autocorrelacin

. residual de primer orden- asociado a regresiones ~purias, y plantea

ron la conveniencia de estimar las relaciones entre tariables tomando

primeras dife::encias.16 De esta forma, se estaran eliminando las races

unitarias en las variables, causantes como se ha visto anteriormente, de

la presencia de tendencias estocsticas.

En Phillips (1986) se formalizan estos conceptos y se desarrolla una teora asintti:a para regresiones que incluyan procesos 1(1). Sus aportaciones son las siguientes: si planteamos una regresin MCO como:

Yt =;, + aXt + Ut (2.4)

donde Xt e Yt son dos paseos aleatorios sin deriva e independientes, se obtienen los siguientes resultados:

no se cumplen las propiedades estadsticas estndar derivadas bajo el supuesto de estacionariedad: los coeficientes estimados no convergen en probabilidad cuando aumenta la muestra y, por lo tanto, son inconsistentes; 17

16Es decir, como DW ~ 2(1 - p), si DW ~ Oentonces p = 4> ~ 1, por lo que: 'Jt = J.L + aXt + 1 ~t~L si ~ = 1 ::;.. 6Yt = a6xt + EtI

17Ntese que la regresin planteada viola el supuesto del teorema Mann-Wald antes sealado. Adems, como Yt =Yt-l +Et se comprueba que la regresin propuesta no contiene anidado el PGD de la variable Yt.


el estadstico R2 tiene una distribucin no degenerada, es decir, converge a una variable estocstica en lugar de hacerlo a su valor poblacional (que sera cero);

las distribuciones de los estadsticos t-Student no convergen y, por lo tanto, no son utilizables las tablas con los valores crticos estndar;

el estadstico DW tiende a cero, lo que le convierte en un buen instrumento para detectar la presencia de relaciones espurias, como ya hicieran notar Granger y Newbold.18

Es decir, que las conclusiones que se extraeran de una relacin como (2.4) podran ser errneas y, ms concretamente, aceptar como tal una relacin que no lo fuera.

A la vista de estas circunstancias, como ya se ha sealado, la propuesta que generalmente se adopt fue la de analizar las relaciones entre las variables econmicas en primeras diferencias, ya que as se aseguraba en la mayora de ocasiones su estacionariedad. La crtica que ha recibido este proceder se ha centrado en el hecho de que con la diferenciacin, que implica analizar la relacin entre los cambios de las variables, se elimina toda la informacin sobre las posibles relaciones de largo plazo recogidas en los niveles de las variables. Es decir, que por ejemplo no se considera si las mismas, a lo largo del perodo analizado, han experimentado un sistemtico incremento o disminucin. Es por ello que se plantea como una solucin excesivamente drstica a la prevencin de regresiones espurias. Como se ver posteriormente el desarrollo del concepto de cointegracin ha permitido dar otra solucin a dicho problema.

2.3.2. Eliminacin de la tendencia en variables integradas

Otra posibilidad de especificacin incorrecta, y que origina resultados errneos, es la consideracin de la serie como un proceso estacionario en varianza que evoluciona sobre una tendencia determinista, cuando en realidad la serie es generada por un proceso no estacionario en varianza

18En el captulo 3 se ver que el estadstico DW puede utilizarse como instrumento de discriminacin frente a relaciones espurias.


(tendencia estocstica). Cono se ha visto en el apartado 2.2, las propiedades que presentan las variables con uno u otro tipo de tendencia son muy distintas, por lo que su consideracin y anlisis es imprescindible como paso previo a la modelizacin de relaciones entre variables que puedan presentarlas.

El intento de sustraer una tendencia determinista de la serie cuando el proceso generador de datos presenta en realidad una tendencia estocstica lleva a resultados inconsistentes, como demuestran formalmente Durlauf y Phillips (1988). Si suponemos que elproceso generador

. (PGD) es un paseo aleatorio sin deriva, pero el mod~ .9ue se especifica es el de una tendencia temporal determinista: .

PGD 6.Xt = et Modelo estimado Xt = l +13t +et

los resultados que se obtienen presentan las siguientes caractersticas:

13 es consistente y converge a su verdadero valor de Opero el estadstico t-Student asociado, t!3, tiende a infinito y es inconsistente, por lo que la hiptesis nula de no significacin resultar rechazada errneamente;

l y t, divergen (no tienen distribuciones lmite), al igual que la varianza estimada de los residuos (ya que no son estacionarios); R2 converge a una distribucin lmite no degenerada;

el estadstico DW tiende a O, mostrndose muy adecuado para detectar este tipo de error e:t la especificacin del proceso.

En resumen, no se rechazara la significacin de la tendencia determinista, siendo de nuevo el estadstico DW el instrumento que nos indica la mala especificacin del modelo.

En los dos casos anteriores se ha observado cmo el estadstico DW sirve para detectar una especificacin errnea. Dicho estadstico tambin es un -instrumento adecuado para detectar una mala especificacin de la tendencia en series no estacionarias en media. As por ejemplo, si se especifica una tendencia lineal en una variable que en


realidad presenta una tendencia cuadrtica, el DW tender a cero. En el apartado 2.4 se mostrar cmo el estadstico D~V puede ser utilizado como un contraste de integrabilidad.

2.3.3. Implicaciones para la poltica econmica ante la presencia

de tendencias estocsticas en magnitudes econmicas

La importancia que para el anlisis del sistema o relacin econmica analizada y, en ltimo trmino, para la toma de decisiones de poltica econmica, tiene el determinar el orden de integracin de las macrovariables se pone de manifiesto en la distinta respuesta de las variables ante shocks no anticipados. Por ejemplo, supongamos que una macrovariable de inters siga, a efectos de simplificacin, un esquema ARO): Xt =


chos casos ser interpretados discrecionalmente.19 Por ello, adems de examinar la varianza de la serie con distintos rdenes de diferenciacin, se han ido planteando diversos contrastes de races unitarias, algunos de los cuales (los ms utilizados) exponemos a continuacin. Concretamente se har referencia al test de Durbin y Watson, las diferentes versiones del test de Dickey-Fuller, el test de Schmidt-Phillips, el test de variables instrumentales de Hall y, finalmente, se considerar la contrastacin de ms de una raz unitaria. En la exposicin de los mismos se primar su interpretacin e implementacin prctica, remitiendo al lector ms interesado a la literatura especfica.

2.4.1. Contraste de Durbin-Watson (DW) Sargan y Bhargava (1983), para determinar la presencia de una raz unitaria en una variable Xt, proponen estimar Xt e + Ut y analizar el estadstico DW:

"T (" " )2 "T 2DW = L.."t=2 Ut - Ut-l _ L.."t=2 (Xt - Xt-l) (2.5)"T "2 - "TL.."t=l U t L.."t=l (Xt - 5:)2

Si Xt es 1(1), Ut tambin ser de dicho orden ya que nicamente se habr eliminado de Xt su media muestral. Como DW ~ 2(1- p), si en Ut = PUt + et, p ~ 1, entonces el DW ser aproximadamente nulo. Por tanto, el contraste consiste en determinar si este estadstico (el DW) es

19Es necesario indicar que la metodologa Box-Jenkins tambin se apoya en los tests de Ljung-Box y Box-Pierce, basados en los coeficientes de autocorrelacin simple estimados. Estos contrastes, que mantienen bajo la hiptesis nula que el proceso es ruido blanco, detectan cualquier tipo de mala especificacin, denominndose por ello tests portmanteau. Este hecho, juntamente con que los coeficientes de autocorreladn simple no son un instrumento eficiente de cara a la especificacin del modelo, conduce a la necesidad de utilizar contrastes ms formales de integrabilidad. Desde otro punto de vista, puede interpretarse el orden de integrabilidad d como un parmetro ms del modelo que debe estimarse. Ante ello, parece conveniente determinar ste utilizando un procedimiento expreso. De todos modos los contrastes de races unitarias propuestos incorporan tambin un grado importante de discrecionaUdad, entre otras cosas por el desconocimiento del PGD.


significativamente distinto de cero. Los valores crticos para el mismo se encuentran tabulados en el citado trabajo.

El problema que plantea es que al estar basado en el DW, slo discrimina entre un paseo aleatorio y un proceso autorregresivo de primer 'orden estacionario. Su principal virtud es que no depende de la presencia de un trmino constante y/o de una tendencia determinista.

2.4.2. Contraste de Dickey-Fuller (DF) y Dickey-Fuller Ampliado . (ADF)

,.,0 fo

El primero de estos dos contrastes fue propuesto por Dlckey y Fuller (1979) para el caso en que el proceso sea un paseo aleatorio bajo la Ho y un proceso AR(l) estacionario bajo la alternativa. Posteriormente, en el ao 198110 amplan para el caso en que el proceso siga un esquema AR(p) estacionario bajo la hiptesis alternativa. Esta generalizacin del anterior se conoce como contraste de Dickey-Fuller Ampliado.

Supongamos que Xt sigue un esquema AR(p) sin deriva (trmino constante):

v

Xt 1>iXt-i + et, con et "'" RB. (2.6) i=l

La ecuacin caracterstica del polinomio autorregresivo de Xt es:

AV - Lp dJiAP-~ = O i=l

siendo Al,A2,. .. ,Av las races caractersticas del proceso. Si IAi I < 1 entonces Xt converge a un proceso estacionario.

La contrastacin de dicha hiptesis en el caso de un ARO) (el caso general AR(p) ser comentado ms adelante) se puede plantear mediante la estimacin de:

Xt = fj>Xt-l + et (2.7)


estableciendo la Ho: )'1 = 1 como 4> = 1, es decir, que Xt rv 1(1), frente a la Ha: 4> < 1. Es, por tanto, un contraste a una cola. Dicho contraste puede efectuarse con dos estadsticos: 1) el sesgo normalizado, T(~ -1), obtenido a partir de la estimacin MeO de (2.7); y 2) con un contraste de la t de la estimacin MeO de 4>, siendo la Ho el valor unitario de este parmetro. En la prctica es habitual utilizar este ltimo, aunque al ser ms directa y cmoda la contrastacin de la hiptesis de significacin de un parmetro (nulidad del mismo), se puede estimar por MeO el modelo equivalente al anterior:

~Xt == aXt-1 + t (2.8)

donde a = (4) - 1). Por tanto, contrastar la hiptesis nula de existencia de una raz unitaria (4) == 1) en (2.7) equivale a contrastar a == Oen (2.8). La hiptesis alternativa sera Ha: a < O. Por tanto, los valores crticos sern negativos, por lo que si se obtiene un valor inferior a esos valores crticos del estadstico de prueba se rechazar la hiptesis nula.

La estimacin del parmetro 4> (o equivalentemente a) es consistente pero sesgada. Sin embargo, la distribucin de dicho estimador es distinta segn el valor del parmetro. Recordando 10 sealado en el apartado 2.1, la distribucin del estimador es asintticamente normal si 14>1 < 1, Yfuncin de procesos brownianos (procesos de Wiener) si 4> == 1. Debido a ello no podremos utilizar las tablas de la distribucin t de Student, ya que bajo la Ho: 4> = 1, tex no sigue una distribucin estndar. Se debern utilizar las distribuciones empricas de este estadstico tabuladas en Fuller (1976). En la misma referencia se encuentra tabulada la distribucin del sesgo normalizado bajo la misma Ho.

Adems, la distribucin del estimador de a no es independiente de la presencia de un trmino constante y / o de una tendencia determinista en la especificacin de la ecuacin del contraste.20 Por lo tanto, se deben considerar separadamente estas posibilidades. As tendremos:

20Recurdese lo sealado para la estimacin de < 1; -2 < a < O) sobre una tende::tcia determinista. Por tanto, este modelo tiene anidadas las especificaciones T S YD S, es decir, los casos 2 y 4del apartado 2.2, que sirven para representar procesos con tendencia creciente (decreciente) en el tiempo. P:!r otro lado, la expresin (2.9c) es la forma reducida del modelo:

Xt =60 + 61t + Ut Ut =4>Ut-l + t

con .t = 60 (1 - + 619 y (3 = 61(1 - 4. As, bajo la Ho: 4> == 1, tenemos que .t = 61 Y/3 = 0, por lo que se constata la irrelevancia de este ltimo parmetro bajo la Ho. El mismo tan slo se introduce en el contraste para hacerlo consiste::tte frente a una hiptesis alternativa de estacionariedad sobre una tende::tcia determinista. A tal tipo de parmetros se les denomina parmetros molestos (nuisance). Adems, las estimaciones de los tres parmetros del modelo (2.9c) estarn fuertemente correlacionadas, al ser combinaci':'n de los parmetros estructurales (60,611 4.

21En MacKinnon (1991) se presenta la formulacin que permite calcular los valores crticos de todos estcs estasticos para cualquier tamao muestra!.

.~~~~~-~~~~~ --...,.--------~--


El modelo (2.9b) plantea la hiptesis nula de paseo aleatorio sin deriva frente a una alternativa de esquema AR(1) estacionario sin tendencia. Sera la forma reducida de:

Xt 80 +Ut Ut = 4>Ut-l + et

donde .L = 80(1- 4. Tambin en este caso el parmetro .L es irrelevante bajo la hiptesis nula. El mismo se introduce para permitir que bajo la hiptesis alternativa el proceso autorregresivo tenga media no nula. Es, por tanto, un parmetro molesto.

Finalmente, el modelo (2.9a) contrasta la hiptesis nula de paseo aleatorio con Xo = O frente a una alternativa de proceso autorregresivo estacionario con media nula. Dicha hiptesis nula es poco realista para la mayora de las series temporales econmicas.

Para efectuar la contrastacin conjunta de parmetros en las ecuaciones (2.9b) y (2.9c), Dickey y Fuller (1981) proponen la construccin de un test de la F que nos permite contrastar las hiptesis nulas:22

H1 : .L =a =O en (2.9b)

Hz : .L = {3 =a = O } en (2.9c) H3:{3 a O

Dichos contrastes de la F se denominan 4h, ~z y ~3 respectivamente. De nuevo el problema se plantea al no seguir estos estadsticos distribuciones estndar. Por ello, en el trabajo antes citado, se tabulan los valores crticos correspondientes mediante simulaciones.

22Recurdese que:

F = (SCRo SCRa)' (T - k)

SCRa m

donde SCR es la suma de residuos al cuadrado, los subndices O y a hacen referencia al modelo bajo la hiptesis nula y alternativa respectivamente, m es el nmero de restricciones y k el nmero de parmetros que se estiman en el modelo bajo la hiptesis alternativa.

l

Estaconariedad e integrabilidad (c.2) /33

Debe tenerse en cuenta que los valores crticos en muestra finita de los distintos contrastes se han tabulado bajo el supuesto de que las perturbaciones se distnbuyen normalmente con media nula y varianza constante. En cambio, los valores crticos asintticos son vlidos con carcter general. Por ello, Davidson y Mackinnon (1993) sugier,en. usar los valores crticos asintticos e interpretar los resultados con precaucin.

Por otro lado, como se3.1an estos ltimos autores, la inclusin de variables ficticias estacionales en (2.9b) y (2.9c) no cambia la distribucin asinttica de los estadsticos debido a que las mismas so~ del mismo orden que la constante introducida en las regresiones. TAmbin sealan que las distribuciones asintticas de los estadsticos no dependen de la asuncin de que la varianza ::lel trmino de perturbacin sea constante. Por tanto, dichas distribuciones asintticas son las mismas si hay heteroscedasticidad. No obstante, como se comentar ms adelante, estas distribuciones dependen delsupuesto de que el trmino de perturbacin no est correlacionado.

Se ha mostrado la irrelevancia de los parmetros .L en (2.9b) y {3 en (2.9c) bajo la hiptesis nula. Bajo dicha condicin se han tabulado los valores crticos de los distintos contrastes. Para corroborar el supuesto de nulidad de estos parmetros se han mostrado tambin los estadsticos (tanto t-ratios como de la F) propuestos por los autores. Sin embargo, es posible que en la prctica se rechace este supuesto. Es decir, que .L resulte significativo en (2.9b) o {3 en (2.9c). En dicho caso la distribucin asinttica de los estadsticos para contrastar la presencia de races unitarias ya no es la tabulada por Fuller (1976).

En concreto, West (1988) muestra que cll:ando el modelo estimado para el contraste coincide con el PCD y ste incluye elementos deterministas no nulos, entonces los estimadores de los parmetros y de los t-estadsticos se distribuyen asintticamente como una normal bajo la hiptesis nula. Es decir, si por ejemplo la constante es distinta de cero en (2.9b) y esta ecuacin constituye l PGD, entonces los valores crticos asintticos a utilizar para los contrastes seran los de la normal. Intuitivamente esto puede explicarse observando el grfico 2.4, correspondiente al modelo DS, donde se comprueba que la presencia de la


deriva -la constante en (2.9b)-, que induce una tendencia determinista en el proceso, domina el comportamiento a largo plazo del mismo. En cambio, si se estima (2.9c) cuando en realidad el PGD es (2.9b), los valores crticos siguen siendo los de D F.

Sin embargo, para muestras finitas y como recogen Davidson y Mackinnon (1993), la aplicabilidad de la distribucin asinttica normal puede ser escasa. AS, la distribucin de los t-estadsticos podra aproximarse por la normal en muestra finita cuando los valores de Jit en (2.9b) o /3 en (2.9c) fueran muy superiores en relacin a la desviacin estndar (o-) del trmino de perturbacin. Sin embargo, para los valores usuales de Jit/0-, /3/ o- y del tamao muestral (T) que se dan en series econmicas temporales, las distribuciones de D F, en general, supondrn una mejor aproximacin a la distribucin de los t-estadsticos que la distribucin normal.2.3

Debido a las distintas implicaciones de los tres modelos sobre el comportamiento de la variable y con la intencin de maximizar la potencia de esta batera de estadsticos, varios autores han propuesto seguir la estrategia de partir del modelo ms general:24

examinar la ecuacin (2.9c), el modelo ms general. Si no rechazamos la hiptesis de raz unitaria y /3 es no significativa,

examinar la ecuacin (2.9b). Si la hiptesis nula de raz unitaria no es rechazada y Jit es no significativa,

examinar la ecuacin (2.9a).

Al plantear este contraste se est suponiendo que et no est autocorrelacionado. Pero este supuesto no tiene por qu cumplirse, por lo que la inferencia en cualquiera de las tres ecuaciones planteadas se ver afectada. Se han propuesto dos tipos de solucin a este problema:

2.3Por ejemplo, mediante una simulacin, Banerjee et al. (1993a) muestran que para el PGD: Xt =JL +Xt-l + 't, con 't IV N(O,1), Xo O y estimando Xt = JL +


unos nuevos estadsticos z(t), z(tl') y z(t.,.) que tienen las mismas distribuciones lmite de los estadsticos tabulados en Fuller (1976). Sin embargo, los resultados asintticos de esta solucin deben ser tomados con prudencia cuando trabajamos con muestras finitas. En el apndice 1 de este captulo se muestra, de forma esquemtica, la implementacin de esta correccin de los contrastes de DE

Molinas (1986) ySchwert (1987, 1989) mediante simulaciones probaron que ambas soluciones, paramtrica y no paramtrica, tienen valores crticos que estn bastante por debaj0 27 de los valores tabulados por Fuller cuando el proceso generador de los datos contenga un esquema MA con parmetro prximo a la unidad y, por tanto, conduciran frecuentemente a la conclusin errnea de que los procesos son estacionarios. Schwert tambin comprueba que en estos casos el contraste ms acertado es el ADF.

Finalmente, sealar que, siguiendo a Charemza y Deadman (1992), la sobrediferenciacin de una serie temporal llevar normalmente a valores altos y positivos del t-ratio del contraste de DF acompaado por un elevado R2 de la regresin del contraste.

Las principales crticas que se han realizado del test de DF (y ADF) son:28

1) el test de DF implica que bajo la hiptesis nula, con la tendencia determinista significativa, Xt tiene una tendencia cuadrtica y bajo la Ha una tendencia linea1.29 Esto provoca confusin sobre el significado de los parmetros. Por ejemplo, para el caso en que {3 = O, J-L determina la media de la variable bajo la hiptesis alternativa y la pendiente de la misma bajo la nula;

27Dado que, al ser contrastes a una cola, los valores crticos de referencia son negativos, ello significa que stos deberan ser en valor absoluto mayores que los tabulados por Fuller (1976).

28Para un examen general de los problemas que representa este test vase Schmidt y Phillips (1992).

29Esto se puede comprobar sin ms que reescribir la ecuacin del test de DF como: Xt =JL + Jt + (1 + 0:)Xt_1 +t


2) que la distribucin de los estadsticos no es independiente de los parmetros .t y (3;

3) que la tendencia determinista temporal es introducida en el contraste (2.9c) para que ste sea consistente frente a una Ha de estacionariedad sobre una tendencia lineal, pero que es una variable irrelevante

. bajo la hiptesis nula de paseo aleatorio con deriva, como se ha mostrado anteriormente;3C

4) el orden del esquema autorregresivo de Xt, p, suele ser desconocido en la prctica, y los resultados sobre la presencia de una raz unitaria pueden variar en funcin de la eleccin de dicho val,or;

5) y, finalmente, presenta una baja potencia para esqu~mas AR(p) con una raz cercana a la unidad, si bien se ha de decir que esta baja potencia es general en todos los tests de races unitarias.

que bajo la Ha : -2 < o: < O es un AR(1) que oscila en tomo a una tendencia determinista y bajo la Ho: u =Ocontiene una tendencia cuadrtica si fJ es distinto de cero, como se comprueba sustituyer.do recursivamente en la anterior ecuacin:

t-l t-l Xt = JL + Jt + JL + J(t -1) + Xt-2 + t + et-l = ... = JLt + Jt2 - J i + Xo + t-i

;=1 i=O

considerando que:

t-l 2

Li= ~ ;=1

se obtiene:

t-l Xt=xo+(JL+~)t+ +et i t=l

30Por otra parte, el test DW, ya citado, y el de Schmidt y Phillips (1992), que se expondr seguidamente, no presentan este problema.

~ ~~~.' ~. ~~~=.


2.4.3. Contraste de Schmidt-Phillips (SP) Un tercer contraste de races unitarias es el propuesto por Schmidt y Phillips (1992). Como en los dems contrastes mostrados, plantea la hiptesis nula de existencia de una raz unitaria. La alternativa es de estacionariedad en varianza sobre una tendencia determinista. Es decir, el modelo del caso 4 (modelo DS) frente al del caso 2 (modelo TS) del apartado 2.2. El test se basa en el contraste de los multiplicadores de Lagrange y tiene una especificacin muy parecida al del DF. La principal diferencia respecto a este ltimo es que permite la presencia de una tendencia determinista lineal tanto bajo la hiptesis nula como bajo la alternativa. As, no se introduce un parmetro molesto o irrelevante para permitir una tendencia lineal bajo la hiptesis alternativa. El test parte de la parametrizacin:

Xt =Jt + {3t + Ut Ut =CPUt-1 + Ct

donde se permite una tendencia lineal tanto bajo la Ho : c/J = 1 como bajo la Ha : c/J < 1. En esta parametrizacin, que fue introducida por Bhargava (1986), la interpretacin de los parmetros Jt y {3 no depende de si la Ho es verdadera o falsa: Jt representa el nivel de la serie y (3 la tendencia lineal tanto bajo una hiptesis como bajo la otra:

Las etapas del contraste son:

11) estimar Jt y {3 mediante: /3 = xf = y f, = Xl -/3. La estimacin de (3 equivale a realizar una regresin de ~Xt sobre una constante; es decir, es la media muestral de ~Xt. A partir de estas estimaciones de la pendiente y de la constante de la variable, se calcula la serie St = Xt - f, - /3t. Obsrvese que esta ltima no es ms que una estimacin de Ut,

2) estimar por MCO:

(2.10)~Xt = cte + aSt-1 + lit t =2, ... , T

.. ..


y contrastar la significacin de a mediante el t-ratio utilizando los valores crticos tabulados en Schmidt y Phillips (1992).31 Estos valores crticos son inferiores en valor absoluto a los del test de DE Tambin muestran con simulaciones que su contraste es ms potente que el de DF para valores de c/J prximos pero inferiores a la unidad.

Por otra parte, como sealan los autores, la especificacin (2.10) equivale al test de DF sin ms que sustituir en la primera etapa los parmetros estimados /3 por las respectivas estimaciopes MCO en x t = J. +{3t +e t. Es decir, la nica diferencia entre ambos tesis se encuentra en que en el contraste DF se estiman Jt y (3 en una regresin en niveles, yen el de SP se estiman en el modelo en diferencias. Este hecho explica, a nivel intuitivo, por qu el test deSP es ms potente que el de DF: en este ltimo, bajo la Ho : Xt 1(1), al plantear la regresin de Xt sobre una constante I"V y una tendencia determinista obtenemos una regresin espuria en el sentido de Durlauf y Phillipa (1988).32 Este hecho aade aleatoriedad al test de DFpor lo que el contre:ste basado en St-l (que se estima utilizando la variable a contrastar diferenciada), tendr propiedades ms simples y, es de esperar, mayor potencia.

2.4.4. Contraste de races unitarias de variables instrumentales de Hall (VI)

Los contrastes vistos hasta ahora se haban propuesto para esquemas autorregresivos. La presencia de esquemas media mvil ocasiona una prdida de potencia considerable de los mismos.33 Said y Dickey (1984) sugieren, en caso de presenc:a de esquemas MA en el proceso, utilizar

31 El mismo resultado numcco del contraste se obtiene planteando el test como:

~Ih = cte + aSt-l + Vt t=2, ... ,T el cual presenta, a diferencia de. anterior, una. constante que no es significativa pero que hay que mantener para que lOE resultados sean los mismos.

32Vase subapartado 2.3.2. 33Vase por ejemplo Molinas (1986) y Banerjee et al. (1993a).

40/ ANUSIS ECONMICO REGIONAL Estacionariedad e integrablidad (c.2) /41

el test ADF haciendo que p crezca, como mximo, segn T 1/ 3 Phi en su representacin autorregresiva- Dickey y Pantula (1987) sugieren llips y Perron (1988) sugieren realizar una correccin no paramtrica una estrategia de contraste partiendo del orden de integrabilidad ms del test DF, que se muestra en el apndice 1 de este captulo, utili elevado. Esto es debido a que si la variable es 1(2) y se contrasta la Ho de zando el anlisis espectral. En cambio, Hall (1989) propone estimar la que es 1(1), el modelo bajo la hiptesis alternativa no ser estacionario, regresin del contraste por variables instrumentales como alternativa ,es decir, estar mal especificado ya que en realidad la variable es 1(2). a las correcciones paramtricas o no paramtricas sugeridas, las cuales Ntese que los contrastes propuestos toman como hiptesis alternativa tienen problemas ante la presencia de perturbaciones MA de parmetro la total ausencia de races unitarias. La idea, por tanto, es contrastar en negativo.34 primer lugar la hiptes:'s del mayor nmero de races unitarias consi

Por ejemplo, si Xt est generado por: deradas, para ir dismi:myendo ste a medida que 'se vaya rechazando . su presencia. Por ello.. si se quiere contrastar si xt'es 1(2) los autores

Xt =4>X t-t + 'Ut 'Ut '" MA(1) (2.11) sugieren el siguiente procedimiento basado en el teSt ADF:

la estimacin MCO de 4> es sesgada e inconsistente y los estadsticos 1) estimar: de contraste basados en ella no siguen las distribuciones de DF bajo la Ho : 4> =1. Ello es debido a la correlacin entre Xt-l Y'Ut. Ante ello, Hall P

2 '" 2~ Xt =al~Xt-l + L...J li~ Xt-i + tpropone utilizar Xt-2 como instrumento de Xt-l. As, el estimador por i=l variables instrumentales de (2.11) es:

y contrastar:

~VI = (2.12) Ho : Xt '" 1(2) (al = O) { Ha : Xt '" 1(1) (al < O)

Un posible contraste a utilizar sera el basado en el sesgo normalizado: utilizando los valores crticos del test de DF (Fuller, 1976). Puede

incluirse, si es necesario, trminos deterministas en la regresin del T(~v[ -1) contraste, siempre y cuando se utilicen los valores crticos adecuados

a cada caso. el cual se distribuye como el del contraste de DF equivalente bajo la Ho.

2) En caso de rechazar la hiptesis nula de existencia de dos races Alternativamente, si 'Ut '" MA(q) el instrumento a utilizar sera Xt-q-l unitarias se contrastara la presencia de una estimando:35que sustituira Xt-2 en la expresin (2.12).

P

~2Xt =alAX t-l + a2X t-l + '"L...J li~2Xt-i + t2.4.5. Contrastacin de ms de una raz unitaria =l

Cuando se trata de contrastar ms de una raz unitaria -por ejemplo y contrastando: deseamos contrastar si Xt es 1(2), es decir, si presenta dos races unitarias

35Si Xt""'" AR(2): (1- (Pt-i..)(1- 4>2L)Xt =Et entonces ~2Xt =al~Xt_l +a2Xt-l +t34Vase Schwert (1989). con al = (2 1) Ya2 =-(1 - 2).

j


f',.JHo : Xt [(1) (al < O Y a2 = O) {

f',.JHa: Xt [(O) (al < O Y a2 < O)

donde et es ruido blanco en todos los casos. Algunos de los contrastes de races unitarias presentados en este

libro se encuentran implementados en programas informticos economtricos de extendido uso. En el apndice final se comentan algunos de ellos. Por otro lado, se han propuesto otros contrastes de raz unitaria que no han sido expuestos aqu por estar ms all del nivel introductorio de este libro y por no ser los utilizados habitualmente en los trabajos aplicados. Entre estos contrastes cabe sealar los propuestos en Bhargava (1986), Kahn Y Ogaki (1990) y Kiviet y Phillips (1992).

Para finalizar este captulo, apuntamos la importancia que para la determinacin del verdadero orden de integrabilidad tiene el tratamiento de los cambios estructurales que se manifiestan en la variacin

-del comportamiento (nivel-pendiente) de la serie analizada. Un cambio estructural puede determinar un cambio en el nivel y/o la pendiente de la serie sin que esto sea debido a la no estacionariedad en varianza. El problema se plantea si no tenemos en cuenta estos shocks, de forma que se puede acabar no rechazando la hiptesis de integrabilidad cuando sta es falsa. La consideracin de este tema y su introduccin en los contrastes de races unitarias se exponen en el apndice 2 a este captulo.

ApNDICEl

Correccin no paramtrica del contraste ADF:

contraste de Phillips y Perron

La distribucin asinttica del t-ratio de los parmetros a en los modelos (2.9a), (2.9b) y (2.9c) del test DF depende de la relacin q;/q2 donde:

q; =J~ [T-1t E(e;)] y =J~ [T-1E(t et ) 2] .q2 t==l t=l


La diferencia entre 0-; y 0-2 es que la ltima considera las autocovarianzas entre los trminos de perturbacin. Si stos no son ruido blanco q2 y 0-; sern distintas y el ratio q; / q2 ser distinto de uno. Ello provoca que las distribuciones tabuladas por Fuller (1976) y utilizadas en el contraste de DF no sean adecuadas, ya que se tabularon bajo tal supuesto. As, para 'cada valor del ratio 0-; /q~ hay una distribucin asinttica distinta bajo la Hu de integmbilid"d.

Por ello, Phillips (1987) y Phillips y Perron (1988) sugieren -cuando Xt sigue un proceso AR(p), o ARMA(p, q), con posible presencia de una

. raz unitaria en el polinonUo autorregresivo- corregir las estimaciones de los t-ratios para hacerlos independientes de la relacin q;/0-2 Y poder utilizar los valores crticos de Fuller (1976). Dicha correccin no paramtrica consiste en realizar una transformacin de los estadsticos T, T.t Y Tr mediante las estimaciones muestrales de q2 y q; a partir de los residuos del contraste de DE Las estimaciones sugeridas para q; y 0-2 son, respectivamente:

""T ""T"2 1- ) _ ~ Y 82 - itI L/=,-! - T 1'1 - T

S~l depende del parmetro de truncamiento, l, elegido. Por ello se sugiere analizar la sensibLidad de los resultados para diferentes valores de ste. Schwert (1987 y 1989) sugiere elegirlo en funcin del nmero de datos tomando l =ent (4V"T/100) o bien l = ent (12V"T/100). Por otro lado, se observa crr.o S~l incorpora una suma ponderada de las autocovarianzas muestrales de los residuos MeO (et).

Las correcciones no paramtricas de T, T.t YTr, denotadas por Z (.), son:

8 ! (S~l - S;) E:,. _~2~===;;~:-

Z(r) =STl r - ST'VT - 2 'L,;=2 X;_I para el modelo (2.9a), y donde" A indica valor estimado en el test de" DE Para el modelo (2.9b). Z(T.t) presenta la misma expresin sin ms


que sustituir el valor T estimado por el de T,., y sustituir la expresin dentro de la raz cuadrada cambiando xLI por (Xt-I - X_l)2. Para el modelo (2.9c), la correccin no paramtrica, Z(TT), viene dada por:

Se ~ T3(S~1 - S~) Z(TT) =STl TT - 4STP./3D:x: con

T2 T 2 -1) T .. T)2 T T D.= (._ ~X;_I-T (~tX'_1 +T(T+l)~tx,_,~X'_'-

T(T + 1)(2T + 1) (t Xt-I) 2 6 t=2

Los estadsticos Z(T), Z(T,.) Y Z(TT) siguen asinttica mente, bajo la hiptesis nula de una raz unitaria, las distribuciones tabuladas en Fuller (1976).

ApNDICE 2

Cambios estructurales y contrastes de raz unitaria

En el contraste de DF la hiptesis alternativa viene dada por la regresin que se estima. Para que este contraste tenga validez, dicha hiptesis ha de ser lo suficientemente general como para incluir el posible proceso generador de los datos. En este sentido, si este proceso viniese dado por una tendencia cuadrtica en la media, por una tendencia lineal que cambia en determinados momentos del tiempo36 (tendencia segmentada) o por cualquier otro esquema de comportamiento del componente determinista de la serie distinto al de una tendencia lineal, la aplicacin de los anteriores tests no sera correcta, ya que suponen explcitamente

36Debido por ejemplo a shocks externos, a cambios en la poltica econmica, cambios estructurales ...


un determinado modelo de comportamiento determinista, que puede ser distinto al que realmente genera los datos. En caso de realizar estos contrastes, al estar la hiptesis alternativa mal especificada, ya que no recoge la correcta modelizacin determinista del proceso, po.demos cometer importantes errores debido a la mala especificacin del contraste" por lo que la inferencia a partir de stos quedara en entredicho.

En este sentido, Rappoport y Reichlin (1989) y ~erron (1989) pusieron de manifiesto que estos tests estn sesgados hacia la aceptacin de

. races unitarias cuando existe un cambio estructurat Segn los primeros autores, el resultado surge porque los residuos obtenidos al regresar la variable sO-:Jre una tendencia lineal cuando en realidad est presente una tendencia segmentada son crecientes segn va creciendo el tamao de la muestra,. mientras que la primera diferencia de una tendencia segmentada es una variable impulso, por lo que el residuo resultante slo recoge el efecto del cambio en la tendencia en un nico momento del tiempo. Como resultado, el modelo diferenciado (con una raz unitaria) produce un ajuste mejor que el modelo alternativo mal especificado, ya que los errores al cuadrado inducidos por una variable impulso omitida en el modelo en diferencias contribuyen menos a la suma de cuadrados de los residuos que las desviaciones respecto a la tendencia lineal nica en el modelo alternativo.

Un ejemplo visual de estas cuestiones se puede observar en los grficos 2.5 y 2.6. E:.1 el primero de ellos aparece una serie y su diferenciacin, estando la primera generada por una tendencia que se quiebra en la mitad de la muestra y un componente estocstico que sigue un esquema AR(l) estacionario. En el segundo grfico aparecen las series de residuos resultado de regresar la variable en niveles y la variable en diferencias frente a una deriva y una tendencia lineal constante. Esto se podra interpretar como la eliminacin del componente determinista de la serie que explicitan los contrastes de DF, por lo que el resultado (los residuos) seran el componente estocstico. Claramente, ambos grficos nos indican que la serie diferenciada parece estacionaria y, en cambio, la serie en niveles parece no serlo, al presentar una alta correlacin en los residuos debido a la mala especificacin, cuando en realidad cono


cemos, por el proceso de generacin de los datos, que la serie en niveles es estacionaria y su diferencia est sobrediferenciada.

Por todo ello es necesario considerar la existencia de cambios estructurales de tendencia cuando se realizan contrastes de races unitarias.

, Existen dos enfoques a la hora de abordar esta cuestin. El primero supone que el punto de ruptura de la tendencia es conocido por el econmetra. Un ejemplo podra ser cuando el investigador conoce que la crisis del petrleo comport un cambio en la tendencia de la serie analizada. Este enfoque, por ejemplo, ha sido seguido en la elaboracin del modelo MOISEES. El segundo enfoque no supone exgenamente ningn punto de ruptura y deja que los datos manifiesten si lo ha ha

:1 bido. Un examen de los contrastes de races unitarias en presencia de cambios estructurales puede encontrarse en Noriega-Muro (1993). En este apndice nos ceiremos al primero de dichos enfoques.

1_ serie nivel _serie diferenciada __ residuos niveles __ residuos diferencia IGrfico 2.5. Serie en niveles y Grfico 2.6. Residuos I su 1il diferencia. resultantes de la eliminacin

de componentes deterministas.

El objetivo de este apndice ser mostrar un esquema general de ontrastacin de races unitarias que pueda ser aplicable tanto para ',rdenes elevados de integrabilidad, como para esquemas complejos en ,a parte determinista del proceso, entre los cuales puede haber cambios e tendencia. Posteriormente se sistematizarn los tests aplicables para eterminados esquemas deterministas que se podran encontrar en la rctica.

Estacionaredad e integrabilidad (c.2) / 47

Supongamos que Xl satis:ace el Teorema de la Representacin de Wald,

~d(x~ - mt) = e(L)et

donde mt es la parte determinista del proceso, el cual, una vez se le ha extrado dicho componente determinista, sigue un esquema media mvil de orden infinito e invertible. A partir de esta representacin puede derivarse la expresin ms general del test de Dickey y Fuller,

.que viene dada por: ;,.. ~'

fldXt a*(L)fldmt+ 0.(1)fld-lmt a(1)fld-lXt _ 1_ 1 (A2.1) - a,.**(L)fldXt _ 1 + et

en la cual podemos contrastar la existencia de d races unitarias. Los polinomios a*(L) y a**(L).. donde a*(L) =1+a**(L)L, no tienen ninguna raz en el crculo de radio unidad bajo la hiptesis nula.

La derivacin de los tests para diferentes esquemas del componente determinista se realiza partiendo de la expresin ms general del test de Dickey y Fuller dada por (A2.1), en la cual se sustituye el esquema que supuestamente sigue la tendencia determinista. Dicho de otra manera, sustituiramos fl dmt y .6,d-lmt_1 en la expresin (A2.1). A continuacin se mostrarn algunas derivaciones del test para contrastar la existencia de races unitarias cuando el mecanismo generador del componente determinista no es simplemente una tendencia lineal y/o una deriva. En concreto, se mostrarn las derivaciones de tres esquemas alternativos del componente determinista que podran darse en la prctica:

a) la que resulta cuandu mt tiene n tendencias segmentadas, es decir, n - 1 cambios de tendencia, y se contrasta d =1 o d =2,

b) la resultante de una tendencia cuadrtica, y se contrasta d = 1 o d=2,y

c) la que resulta de una tendencia cuadrtica con dos segmentos para las Ho: d = 1 o Ho: d =2.


a) Caso de n tendencias lineales segmentadas en la media

Supongamos que mt son n tendencias segmentadas:

Cl + bIt t ~ t~ mt ;:: C2 + b2t t~ ~ t ~ ti

( cn + bnt t ~ t~-l

donde t; son los momentos de ruptura en la tendencia, y en la que se establecen las siguientes restricciones de continuidad:

Ci + bit;_l =Ci-1bi - l t:_ l

para que no se produzcan discontinuidades en los momentos de ruptura del componente determinista. Esta restriccin significa que el comienzo del segmento i ha de coincidir con el final del segmento i - 1.

Se definen n - 1 variables ficticias que recogen un efecto escaln y valen 1 a partir del punto de ruptura:

o. t < t: Di, t = 1 i =1, ... , n - 1 (A2.2){ t ~ t~

'or 10 que su primera diferencia recoge un efecto impulso:

O t :. t: (1 - L)D i , t = '" r { 1 t =ti

kpartir de estas expresiones y considerando (A2.1) puede demostrarse ~ue el test de la Ho : d = 1, consistira en estimar:

Estacionaredad e integrablidad (c.2) / 49

n

AXt =a(1)(cl - b1) + a(1)b1t + a(1) (bi - bi - 1)Di - l , t-lti=2

n

- a(l) (bi - b-I)Di - 1, t-l(1 + t:-1) - a(l)Xt-l+ (A2.3) i=2

+a'(L) [b, +t, (~, -b'_I) D'_I, '-1] - a"(L)AxH +, Y contrastar la significacin del parmetro estimao a(1) asociado a Xt-l. En la prctica se toman trminos en a.... (L) hasta conseguir que la perturbacin de (A2.3) sea aproximadamente un ruido blanco, ya partir de la relacin a"'(L) ;:: 1+a"" (L)L fijaramos el orden de a"'(L). Por ejemplo, en el caso que a...... (L) valiese 0, tendramos que a"'(L) =1, Y si fuese igual a ai, tendra::nos que a"'(L) =1 + aiL. AS, para el primer caso tendramos que la regresin del contraste es:

n n

AXt = J.1. + {jt+ "{,D i - l , t-lt + bi D i - 1, t-l - a(1)Xt-l + et. i=2 i=2

Los valores crticos del t~estadstico del parmetro asociado a Xt-l se encuentran en Rappoport y Reichlin (1989) para muestras de 100 observaciones y 2 o 3 segmentos en la media, observndose, para el caso de 2 segmentos, que los valores crticos no dependen demasiado del punto de ruptura. La expresin del test para tres segmentos es:

AXt = a(1)(cl - bl) - a(1)Xt-l + a(1)blt + a(1)(b2 - bl)Dl, t-lt+ + a(l)(b3 - ~)D2, t-It - a(1)(~ - b1)D1, t-l(1 + ti)

a(1)(b3 - b2)D2, !":1 (1 + ti)+ + a"'(L)[b1 + (~ - b1)D1, 1-1 + (b3 - b2)D2, t-l] - a"'*(L)AXt_l + et.

La derivacin para contrastar la Ho : d = 2 I se obtiene sin ms que obtener (1 - L)mt-l y (1 - L)2mt y sustituir en (A2.1). AS,


n

Llmt-l =bl + L(b - bi - 1)Di - 1,t-2 i=2

y

n

Ll2mt = L(bi - bi - 1)(1 - L)Di - 1, t-l i=2

por lo que el componente determinista, despus de dos diferenciaciones, es una suma de variables impulso retardadas un periodo. La expresin del test que resultar es:

Ll2Xt =a(l) [b1 + t(bi - bi - l )Di - 1, t-2] a(l)LlXt_l+ ~=2

+ a*(L) [t(bi - bi - 1)(1 - L)Di- 1, t-l] + a.... (L)Ll2Xt_l + et ~=2

expresin que para tres segmentos resulta:

Ll2Xt = a(1)bl - a(1)LlXt_t + a(1)(~ - bl)Dl , t-2 + a(1)(bs - ~)D2, t-2+ i + a"(L) [(~ - bl)LlDl , t-l + (bs - b2)LlD2, t-t] - a.... (L)Ll2Xt_l + et ~ agrupando tnninos:

2 Ll Xt =l' - a(1)LlXt_t + "I1Dl , t-2 + "I2D2, t-2+

I I + a*(L) [61LlD1, t-l + 62LlD2, t-l] - a**(L)Ll2Xt_l + et.

~) easo de una tendencia cuadrtica en la media ~l igual que en el caso anterior, partiremos del esquema que sigue ~ tendencia, y tomaremos diferencias, para despus incorporarlo a la rxpresin general derivada para el test:

Estaciollariedad e integrabilidad (c.2) / 51

2mt = b + et + dt

2mt-l = b + et e + dt - 2dt + d b.mt =e - d + 2dt

siendo, por tanto, la expresin del test para contrastar la Ho : Xi rv 1(1),

2LlXt a(l)(b - e + d) + a(1)(e - 2d)t + a(1)dt - a(l)Xt-l+ + a"(L)[e d + 2dt] a .... (L)b.Xt-l + et

...

~\ Y como que (1 - L)2mt =2d,.1a expresin para la Ho : Xt rv 1(2) es:

Ll2Xt =a(1)(e 3d) + a(1)2dt a(1)LlXt-l + a*(L)2d a**(L)Ll2Xt_l + et.

Agrupando trminos:

Ll2Xt = l' + (3t - a(l)Llxt_l - a**(L)Ll2Xt_l + et

que es equivalente al contraste ADF con presencia de tendencia lineal.

c) Caso de tendencia cuadrtica segmentada en la media Para el caso que se suponga que el componente determinista del proceso es una tendencia cuadrt:.ca con dos segmentos:

2 t ~ t*mt" = { el + bl t + dI t C2 + b2t + d2t2 t* ~ t

la restriccin de continuidad es:

e2 + b2t" + d2t",2 =el + blt* + dlt*2

donde t* es el punto de ruptura. Definiendo una variable ficticia del tipo dado por (A2.2), para d =1 obtendremos la siguiente expresin del

52/ ANI.JSIS ECONMICO REGION AL

contraste:

,1.Xt = a(1)[(Cl + dI - b1) + (bt - 2dl )t + d1t2 + [(d2 - dl)(l - t*2)_ - (~ - b1)(l + t*)]D1, t-l + [(b2 - b1) - 2(d2 - d1)]D1, t-lt+ + (d2 - dt)D1, t_lt2D - a(1)Xt-l + a*(L)[(bl - dI) + 2d1t+ + (~ - bl - d2+ dl)D1, t-l + 2(d2 - d1)D1, t-ttD - a**(L),1.Xt_t + t

La expresin para contrastar la Ho : d = 2 ser:

,1.2Xt = -a(1),1.Xt-l + a(1)[(~ - bl - 3d2 + 3dl )D1, t-2+ + (bt - 3dl ) + 2d1t + 2(d2 - dl)DI, t-2t] + a*(L)[2dl + + (~ - bl - d2 - d1),1.D1, t-l + 2(d2 - dt)Dl , t-2]- a**(L),1.2Xt_I + t.

3. COINTEGRACIN

3,,1. Introduccin '(

En este captulo se abordar el estudio de variables no estacionarias en un contexto multivariante. Es decir, se considerarn las relaciones que pueden establecerse entre variables que presentan tendencias estocsticas.

La Teora Econmica sugiere relaciones de equilibrio que son funciones estacionarias de las variables originales. Es decir, los desequilibrios son transitorios y, por tanto, estacionarios. No obstante, como se ha apuntado en el captulo 2, un numeroso conjunto de variables econmicas son no estacionarias en varianza. Adems, la propia Teora Econmica postula comportamientos no estacionarios para distintas variables, tales como, por ejemplo, los precios de activos, los tipos de inters, o el consumo en el modelo de Hall (1978).

Todo ello, junto con la posibilidad de la aparicin de relaciones espurias al regresar dos o ms variables integradas que son independientes una de la otra, condujo a la prctica habitual de transformar las variables en estacionarias siguiendo la estrategia propuesta por BoxJenkins. Segn la misma, las relaciones entre variables no estacionarias se estimaban mediante Funciones de Transferencia, aunque de este modo se ignoran las relaciones a largo plazo que existen entre las variables. Estas relaciones se manifiestan en los niveles de las variables. Es decir, los modelos de Funcin de Transferencia, al transformar por diferenciacin las variables integradas en estacionarias, modelizan relaciones entre los cambios de las variables (corto plazo) y no las relaciones a largo plazo. Lo mismo sucede con otros tipos de estrategias que

54/ ANuSIS ECONMICO REGIONAL

pretendan evitar al mximo el riesgo de incurrir en relaciones de tipo espurio.

Supongamos, por ejemplo, que se estudia la relacin entre el consumo (Ct) y la renta (Yt) medidas ambas en logaritmos. Si se especifica la relacin lineal Ct =J-L + aYt + Ul ,t, en ella a mide la elasticidad a largo plazo del consumo ante variaciones en la renta. En cambio, en la relacin ~Ct = J-L' +a'~Yt +UZ,t, a' es la elasticidad a corto plazo.1 Con ello se constata la distinta interpretacin de los parmetros segn la especificacin propuesta. Adems, podemos esperar que la elasticidad del consumo sea menor a corto que a largo plazo. Ello significa que a partir del modelo en diferencias no pueda inferirse la relacin a largo plazo entre consumo y renta.

Debe tenerse en cuenta que en un contexto univariante la integrabilidad de un conjunto de variables no implica necesariamente la no estacionariedad de ste en otro multivariante. Es decir, pueden existir relaciones estables entre los niveles de variables integradas que sean estacionarias, tal y como postula en numerosas ocasiones la Teora Econmica. Este tipo de relaciones, que no sern espurias, se conocen como relaciones de cointegracin y sern objeto de estudio en este captulo. La definicin formal del concepto de cointegracin, as como el estudio de sus implicaciones, se trata en el apartad~ 3.2.

Por otro lado, economistas relacionados con la London School of Economics popularizaron y extendieron el uso de los modelos de Mecanismo de Correccin del Error (MCE). Dichos modelos fueron introducidos por Sargan (1964). El MCE combina la presencia de los niveles de las variables, que recogen las relaciones a largo plazo sugeridas por la Teora Econmica, junto con las diferencias de dichas variables, que captan los desajustes existentes en el corto plazo. De esta forma, los modelos MCE permiten modelizar tanto las relaciones a largo plazo como la dinmica a corto de las variables. La denominacin de MCE se debe a la especificacin del modelo en la cual las desviaciones de la relacin a

1Adems, como se indica en el apartado 3.3, si existe una relacin a largo plazo, en este caso, entre el consumo y la renta, en la ecuacin en diferencias se est omitiendo un trmino relevante por lo que la estimacin en dicha especificacin se ver afectada. Su consideracin, como ser expuesto seguidamente, conduce al planteamiento del modelo de Mecanismo de Correccin del Error.

Cointegraci6n (c.3) /55

largo plazo entre los niveles de las variables funcionan como un servomecanismo que impulsa a los cambios de las variables a acercarse a su nivel de equilibrio cuando se han alejado de ste. Es decir, se corrigen los errores de desequilibrio de periodos anteriores de forma gradual. . No es hasta el trabajo de Granger (1981) cuando se muestra, de ma

nera informal, la equivalencia entre MCE y cointegracin. Dicho autor seala que un conjunto de variables cointegradas puede modelizarse mediante un .l-.1CE y, a la inversa, si la especificacin de un MCEes correcta, existe una relacin de cointegracin e

03 anÁlisis econÓmico regional

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