02 dinh thuc

1

BÀI 2a

a

c db

bd c= −

Đại Số Tuyến Tính

∑ §2: Định Thức1. Với mỗi ma trận vuông A cấp n

tồn tại một số thực được gọi là định thức của

ma trận A, được ký hiệu

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...A

... ... ... ...

...

=

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...det(A); |A|;

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a


∑

3

Định thức cấp 2:

§2: Định Thức

11 1211 22 12 21

21 22

.= −a a

a a a aa a

Ví dụ:

2 32.6 5.3 3.

5 6= − = −


∑

4

Định thức cấp 3:

§2: Định Thức

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 22 33 31 12 23 13 32 21

13 22 31 33 21 12 11 32 23

( )

( )

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

= + +− + +


∑

5

Ví dụ: Tính

§2: Định Thức

1 2 3

2 4 1

3 5 6

= (1.4.6+3.2.1+3.2.5)-(3.4.3 +1.1.5)+6.2.2

=(24+6+30)-(36+24+5)=60-65=-5


∑

6

§2: Định Thức

Bài tập: Tính

3 1 4

5 2 0

6 1 7

−−

=[ 3.(-2).7+6.1.0+4.5.(-1) ]-[ 4.(-2).6+7.1.5+3.0.(-1) ]

= -62+13= - 49


∑

7

§2: Định Thức

Ví dụ: Tính

2 1 5

1 4 0

3 6 2

−−

2 1 5

1 4 0

3 6 2

−−

2

1

3

−1

4

6

=[2.4.(-2)+1.0.3+5.(-1).6]-[5.4.3 +2.0.6+1.(-1).(-2)]

=[-16+0-30]-[60+0+2]=-108

= -108


∑

8

§2: Định Thức

3 1 2

3 4 0

1 2 5

−−

−

Bài tập: Tính2 4 1

3 5 6

0 2 3

−=

−36 12 24− + = −

= -55


∑

9

§2: Định Thức


∑

10

§2: Định Thức

Ví dụ: Cho ma trận

−

−=

063

125

341

A

1 111 11( 1) det( )A M+= − =

2 2 1( 1)

6 0−

6−=

=−= + )det()1( 1221

12 MA 3 5 1( 1)

3 0−

−3= −

1 313 13( 1) det( )A M+= − = 4 5 2

( 1)3 6

−−

36=


∑

11

§2: Định Thức

Bài tập: Với

−

−=

063

125

341

A

Tính21

23

33

A

A

A

=

=

=


∑

12

§2: Định Thức


∑

13

§2: Định Thức


∑

14

§2: Định Thức

Ví dụ: Tính định thức sau:

1 4 3

5 2 1

3 6 0

−

−11 12

1

11 12 1313

i

A Aa a a A== + +

.( 6) .( 3)1 4 ( 3 .36

126

)= + − += −

−−

1 4 3

5 2 1

3 6 0

−

−13 23

3

13 23 3333

j

A Aa a a A=

= + +


∑

15

§2: Định Thức

Ví dụ: Tính định thức sau:2 2 1 03 1 2 1

0 4 3 05 0 4 2

−−

−

4

14 24 3414 2 44 34 44 4

j

a aA A A Aa a=

= + + +

6 814 34

2 2 1 2 2 1

. ( 1) 0 4 3 .0 1 0 ( 2)( 1) 3 1 2

5 0 4 0 4 3

A A= + − − + + − −−

−

= -18-2(-52) = 86


∑

16

§2: Định Thức

1 2 3 0

4 1 5 1

0 2 2 3

1 0 6 0

−−

−−

45 7

2 3 0 1 2 0

( 1) 1 5 1 ( 1) 4 1 1

2

( 1)

2 3

6

0 2 3

i=−

−= − − + − −

−

(24 5) 6( 3 26)= − − − −

Ví dụ: Tính định thức sau:

19 174 193= + =


∑

17

§2: Định Thức

Bài tập: Tính định thức sau

1 2 3 1

0 2 4 2

1 3 0 4

2 0 1 5

−−−

−

= 102


∑

18

§2: Định Thức

Tính ch t c a nh th cấ ủ đị ứ


∑

19

§2: Định Thức

Ví d :ụ

1 2 1 32. 2

3 4 2 4= − = −


∑

20

§2: Định Thức


∑

21

§2: Định Thức

1 2 3 42; 2.

3 4 1 2= − =

VD:


∑

22

§2: Định Thức


∑

23

§2: Định Thức


∑

24

§2: Định Thức

VD:

2 4 .1 .2 1 22; 2.

3 5 3 5

22

5

2

3= − = = −

2 32 2 3 3c d a b

a b c d= + − −

+ +

2 3 2 32 3 2 3c a d b

a c b d+ = − + −


∑

25

§2: Định Thức


∑

26

§2: Định Thức

Ví d :ụ4 10

; 22 5

3 6 84A A

= =

2

4 10 2.2 2.5 2 5det(2 ) 2

6 8 6 8 2.3 2.4

2 5

3 42.2 2 det( ).

A

A

= = =

= =


∑

27

§2: Định Thức

(5) Nếu nhân mỗi phần tử của hàng thứ i với cùng một số rồi cộng vào hàng k thì định thức không đổi


∑

28

§2: Định Thức

VD:

1 3

1 2 3 1 2 3

5 7 9 5 7 9

1 2 3 1 2 3

h hA B A↔

= → = =

det( ) det( ) det( )

det( ) det( )

det( ) 0.

= = −⇒ = −⇒ =

A B A

A A

A


∑

29

§2: Định Thức


∑

30

§2: Định Thức

Ví dụ:

2 0 0 0

0 3 0 0

0 0 5 0

0 0 0 1

−1

1

111 2

3 0 0

0 5 0

0 0 1

i

Aa=

−= =

1 5 02.( 3).5.1

0.

12 ( 3)

i=−= = −


∑

31

§2: Định Thức


∑

32

§2: Định Thức

Ví dụ:

1 5 8 2

0 3 6 0

0 0 2 9

0 0 0 5

−

1.3.2.5 30= =


∑

33

§2: Định ThứcDùng các tính chất của định thức để

tính định thức:

Phương pháp: Dùng các phép biến đổi có

dạng sau

ta đưa định thức đã cho về dạng tam giác.

( ), 0

( )

( )

det( ) det( ),

det( ) det( ),

det( ) det( ),

= = ≠

↔ ↔

= + = +

→ ⇒ =

→ ⇒ = −

→ ⇒ =

i i i i

i j i j

i i j i i j

h h c c

h h c c

h h h c c c

A B B A

A B B A

A B B A

λ λ λ

λ λ

λ


∑

34

§2: Định Thức

Ví dụ: Tính định thức1 2 1 3

2 3 1 5

1 6 5 2

3 4 2 7

D

−

=− −

−

2 2 12= −

=h h h

1 2 1 3

0 1 3 1

1 6 5 2

3 4 2 7

−− −

− −−

3 3 1= +

=h h h

4 4 13= −h h h

1 2 1 3

0 1 3 1

0 8 4 1

0 2 1 2

−− −

− −

3 3 28= +

=h h h

4 4 22= −h h h

1 2 1 3

0 1 3 1

0 0 28 7

0 0 5 0

−− −

=−

−


∑

35

§2: Định Thức

3 4↔

=c c

1 2 3 1

0 1 1 31.( 1).( 7).( 5) 35.

0 0 7 28

0 0 0 5

−− −

− = − − − − =−

−


∑

36

§2: Định Thức

Hay1 2 1 3

2 3 1 5

1 6 5 2

3 4 2 7

D

−

=− −

−

2 2 12= −

=h h h

1 2 1 3

0 1 3 1

1 6 5 2

3 4 2 7

−− −

− −−

3 3 1= +

=h h h

1 2 1 3

0 1 3 1

0 8 4 1

3 4 2 7

−− −

−

4 4 13= −h h h

1 2 1 3

0 1 3 1

0 8 4 1

0 2 1 2

−− −

− −

1 3 1

. 8 4 1 ...

2 1

1

2

− −= =

− −


∑

37

§2: Định Thức

Bài tập: Tính định thức0 2 3 5

1 0 2 2

2 3 0 6

4 1 7 0

D−

=−

1 0 2 2

0 2 3 5

2 3 0 6

4 1 7 0

−

−−

1 2h h↔

=

3 3 1

4 4 1

2

4

= +

= −=

h h h

h h h

1 0 2 2

0 2 3 5...

0 3 4 2

0 1 1 8

−

− =

−


∑

38

§2: Định Thức

Bài tập: Tính định thức sau

1 1 2 0

3 1 0 4

2 0 5 2

0 3 6 1

D

−−

=− −

= ?


∑

39

§2: Định Thức

Ví dụ: Tính định thức cấp n sau1 1 1 ... 1

1 0 1 ... 1

1 1 0 ... 1

... ... ... ... ...

1 1 1 ... 0

nD =2 1h h−

=

1 1 1 ... 1

0 1 ... 0

1 1 0 ... 1

... ... ... ... ...

1 1 1 ... 0

−

Tiếp tục hàng 3 trừ hàng 1, hàng 4 trừ hàng 1, …


∑

40

§2: Định Thức

Ta được:

1 1 1 ... 1

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0 ... 1

nD

−= −

−

1( 1)n−= −


∑

41

§2: Định Thức


∑

42

§2: Định Thức

Ví dụ: Cho 2 ma trận

2 3 1 5;

1 4 2 7A B

= =

8 31

9 33AB

⇒ =

det( ) 5;det( ) 3A B= = −

det( ) 15 5.( 3) det( ).det( )AB A B= − = − =

02 dinh thuc

Documents