01 - sinais e sistemas (diego viot)

8/17/2019 01 - Sinais e Sistemas (DIEGO VIOT)

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Sinais e SistemasProf. Diego Viot

[email protected]

DEPARTAMENTO DE E NGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

SINAIS E SISTEMAS 2016.1


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• É uma disciplina sobre sistemas e sinais, comotantas outras.

• Pensaremos em sistemas como uma coisa comentrada e saída.

• A abordagem de sinais e sistemas é amplamenteusada: elétrica, mecânica, ótica, acústica, biológica,financeira...

Sinais e Sistemas


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• Sistema massa-mola

• Escolher uma entrada e uma saída!

Sinais e Sistemas- Exemplos


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• Sistema massa-mola

• Escolher uma entrada e uma saída!


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• Sistema de tanques

• Abstração permite suprimir alguns aspectos para daratenção a outros


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• Sistema de tanques

• Abstração permite suprimir alguns aspectos para daratenção a outros


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• Sistema celular

• Aumenta-se a abstração em sistemas mais complexos epode-se combinar sistemas componentes


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• Sistema celular

• Aumenta-se a abstração em sistemas mais complexos epode-se combinar sistemas componentes


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• A abstração de Sinais e Sistemas permite representarum sistema apenas pela forma como ele transformauma entrada numa saída.


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Sinais

• Sinais são funções matemáticas• Variável independente: tempo

• Variável dependente: tensão, velocidade...

• posição (metros)

• fluxo (m³/s)

• pressão sonora (Pa)


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• Dado o sinal f(t)

• Ouça os 4 sinais alterados: f 1(t), f 2(t), f 3(t) e f 4(t)• Quantas relações estão corretas?

• f 1

(t) = f( 2t)

• f 2(t) = - f(t)

• f 3(t) = f( 2t)

• f 4(t) = 0,3 f(t)


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• Dado o sinal f(t)

• Ouça os 4 sinais alterados: f 1(t), f 2(t), f 3(t) e f 4(t)• Quantas relações estão corretas?

• f 1

(t) = f( 2t)

• f 2(t) = - f(t)

• f 3(t) = f( 2t)

• f 4(t) = 0,3 f(t)


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• Dada a imagem f(x ,y)

• Quantas imagens estão de acordo com as expressõesabaixo delas?


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• Dada a imagem f(x ,y)

• Quantas imagens estão de acordo com as expressõesabaixo delas?


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h d Si l


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Tamanho do Sinal- Potência do Sinal

• Sinais de energia infinita• A amplitude do sinal () não→ 0 quando || → ∞• A integral da energia não converge

• Para esse tipo de sinal, usa-se a energia média, se ela

existir

• Potência do sinal

• Para existir essa medida, o sinal deve ser periódico

• Potência é valor quadrático médio, então sua raiz é o

valor rms


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Tamanho do Sinal

• Determine as medidas adequadas dos sinais abaixo

• 1.

• 2.

• 3.


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Tamanho do Sinal

• 4.

• 5.


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Classificação de Sinais

• Sinais contínuos e discretos no tempo

• Sinais analógicos e digitais

• Sinais periódicos e não periódicos

• Sinais determinísticos e aleatórios

• Sinais de energia e de potência

Cl ifi ã d Si i


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Classificação de Sinais- Contínuos x Discretos e Analógicos x Digitais

Cl ifi ã d Si i


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Classificação de Sinais- Periódicos x Não Periódicos

• Sinais periódicos são aqueles que satisfazem

para todo •

Período fundamental é o menor valor que satisfaz acondição de periodicidade• Se é periódico o sinal é também infinito

Cl ifi ã d Si i


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Classificação de Sinais- Sinais de Determinísticos e Aleatórios

• Sinais determinísticos• Representados por funções analíticas

• Pode-se determinar precisamente o valor em um dadoinstante de tempo

• Ex.:

cos()onde

e

são constantes

Cl ifi ã d Si i


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Classificação de Sinais- Sinais de Determinísticos e Aleatórios

• Sinais aleatórios• Sinais sobre os quais há incerteza antes de sua ocorrência

• Não se pode determinar precisamente o valor em um dadoinstante de tempo

• Só podem ser representados por suas características

estocásticas (média, variância, autocorrelação, etc)• Ex.: cos() onde é uma variável aleatória• Ex.: Sinal de voz

Cl ifi ã d Si i


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Classificação de Sinais- Sinais de Energia e de Potência

• Sinal com energia não nula finita: Sinal de energia

0 < < ∞• Sinal com potência não nula finita: Sinal de potência

0 < < ∞• Regra geral• Sinais periódicos e aleatórios são sinais de potência

• Sinais aperiódicos e determinísticos são sinais de energia

Ú


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Operações Úteis com Sinais

• Deslocamento temporal

• Escalamento temporal

• Reversão temporal

O õ Út i Si i


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Operações Úteis com Sinais- Deslocamento Temporal

• O que acontecer em

()acontecerá em

()T

segundos depois:

• Para deslocar () por T ,usa-se ( )

• T positivo, deslocamento

para a direita = atraso• T negativo, deslocamento

para a esquerda = avanço

O õ Út i Si i


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Operações Úteis com Sinais- Escalamento Temporal


()no instante t também

acontecerá em () no instante t/2:

• Para escalonar () pora, usa-se ()

• a>1, compressão

• a


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Operações Úteis com Sinais- Reversão Temporal


()no instante t também

acontecerá em () no instante -t :

• Para reverter (), usa-se ()



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Operações Úteis com Sinais- Operações Combinadas

• Operação geral seria

( )• As operações de deslocamento e escalonamento podemser feitas em quaisquer ordem, mas os métodos devem serobservados com cuidado

• Caso a seja negativo, faz-se também a reversão

• Método 1: Deslocamento – Escalonamento – Reversão

• Método 2: Escalonamento – Deslocamento – Reversão



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• Operação geral seria

( )• As operações de deslocamento e escalonamento podemser feitas em quaisquer ordem, mas os métodos devem serobservados com cuidado• Caso a seja negativo, faz-se também a reversão

• Método 1: Deslocamento – Escalonamento – Reversão

• Método 2: Escalonamento – Deslocamento – Reversão

b/a



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(2 5) ?



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(2 5) ?Método 1 Método 2

Deslocamento

Escalamento

Reversão

Escalamento

Deslocamento

Reversão

Si i T Di t


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Sinais em Tempo Discreto

• Sinal discreto: sequência de números

[]• Podem aparecer como resultado da amostragem de

sinais contínuos• Quando obtido pela amostragem uniforme de

(), é

expresso por • []



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Sinais em Tempo Discreto- Tamanho do Sinal

• Energia do sinal em tempo contínuo

• E em tempo discreto

• Potência do sinal em tempo contínuo

• E em tempo discreto



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Sinais em Tempo Discreto- Tamanho do Sinal

• Exemplos



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Sinais em Tempo Discreto- Operações Úteis com Sinais

• Deslocamento• O que acontecer em também vai acontecer em []M amostras depois

• M positivo, deslocamento para a direita: avanço

• M negativo, deslocamento para a esquerda: atraso

[ ]• Reversão no tempo

• O que acontecer em [] na amostra , acontece em []na amostra -

• Rotação com relação ao eixo vertical



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• Decimação e Interpolação• Similar ao escalamento temporal de sinais contínuos

• Alteração da taxa de amostragem

• Decimação• O fator M deve ser inteiro []

• Interpolação• O fator L deve ser inteiro [ ]



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• Decimação []=[]• Reduz o número de amostras• Se [] é obtido pela amostragem de um sinal contínuo no

tempo, esta operação implica em reduzir a taxa deamostragem

•Geralmente resulta na perda de informação



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• Interpolação []=[ ∕ ]• Aumenta o número de amostras e a taxa de amostragem• Dois passos: expansão e interpolação

• Não resulta em ganho de informação



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Alguns Modelos Úteis de Sinais


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• As funções impulso unitário e degrau unitário

desempenham papel importante na análise de sinaise sistemas.

• Podem ser utilizadas para simplificar vários aspectosde sinais e sistemas

• A função impulso unitário constitui um elemento básico deconstrução e de representação de outros sinais

• A função degrau unitário é conveniente na descrição desinais causais, aqueles que começam em =0

• A função exponencial complexa é conveniente nadescrição de sinais senoidais e é de fácil manipulaçãomatemática



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Alguns Modelos Úteis de Sinais- Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário

• Impulso unitário discreto

0, ≠ 01, 0• É uma das funções mais simples• Também conhecida como delta de Dirac



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• Degrau unitário discreto

0, < 01, ≥ 0

• A sequência impulso discreto pode ser expressa como aprimeira diferença do degrau discreto: [ 1]



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• A sequência degrau discreto pode ser expressa por

uma soma cumulativa de impulsos discretos: =− []



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• Alternativamente, a sequência degrau discreto pode

ser expressa por uma soma de impulsos discretosdeslocados:

[ ]• Propriedade de amostragem da sequência impulso

discreto:

0 • De maneira geral:



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• Que sinais contínuos servem ao mesmo propósito?

• Supondo que o impulso contínuo fosse definidocomo

() 0, < 01, 00, > 0• Não seria uma boa opção, pois sua integral é zero!



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• Impulso unitário contínuo• Age como um pulso de área unitária, mas com largura zero

• Só é não nula em

• Sua integral definida é um!



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• A integral do impulso unitário contínuo é o degrau

unitário contínuo() 0, < 01, ≥ 0



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• As relações entre degrau e impulso contínuos são

análogas às relações em tempo discreto:

• Pode-se expressar o degrau contínuo no tempo como umaintegral de impulsos deslocados

• Para ∆ suficientemente pequeno e utilizando a definição

formal , pode-se chegar à propriedade daamostragem


Exercício MATLAB


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Exercício MATLAB

• Entender, mexer e verificar código Matlab

Fs = 100; % 1

dt = 1/Fs;

StartTime = -10;

StopTime = 10;

t = StartTime:dt:StopTime-dt;

x = (t>=0) + (t>=2)–2*(t>=4);

figure;

stairs(t,x); % plot, stem...

ylim([-1.2 1.2]);

•

Altere o código substituindo as partes sublinhadas(frequência de amostrage Fs e funções de plote). Quais asdiferenças entre eles?

• O que são os sinais que compõem o sinal ? Plote-osseparadamente

• Adicionar ao código o cálculo da energia de



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• Exponencial

Em que (cos sin)• As seguintes funções são um caso especial ou podem

ser descritas em termos da exponencial• Uma constante, se 0• Uma exponencial monotônica, se

0• Uma senoide cos, se 0• Ou uma senoide variando exponencialmente

Alguns Modelos Úteis de Sinais- Exponencial



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• A sequencia exponencial

ou ln•

Exponenciais reais: e reais• Se > 1, módulo cresceexponencialmente• Se < 1, módulo decresce

exponencialmente•

Se > 0, todos os valores terão omesmo sinal• Se < 0, os valores terão sinaisalternados

• Se , módulo constante

• Se , alterna e




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• Sequencia senoidal

cos(Ω )Sendo

cos(Ω ) sin(Ω )Então

cos Ω 2 {−−}




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• Senoidal complexa generalizada

, em que e Então

[] (+)

cos Ω sin(Ω )




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• Senoidal complexa generalizada

cos Ω sin(Ω )


• Se

> 1sequência senoidal multiplicadapor senoidal crescente• Se

< 1sequência senoidal multiplicada porsenoidal decrescente

• Se 1partes real e imaginária sãosequências senoidais



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• Sinais exponenciais contínuos x discretos

Principal diferença: periodicidade

• Em sinais contínuos:• Frequência de oscilação de cresce com a magnitudede • é periódica para qualquer valor de

• Para sinais discretos essas propriedades não sãoválidas! Veja a seguir



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• Para a exponencial complexa com frequência

Ω2 + Ou seja, as sequências

Ω2são idênticas, para

qualquer inteiro• As frequências

Ω, então, são consideradas altas e

baixas quando:• Baixas:Ω em torno de 2, ∀ ∈ ℤ• Altas: Ω em torno de π 2, ∀ ∈ ℤ



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g- Exponencial

0 +π/8 +π/8

+2π/8 +4π /8 +4π/8

+2π/8 +2π/8 +π/8π



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g- Exponencial

• A condição de periodicidade para uma exponencial

complexa discreta é (+) O que implica em

1O que só acontece se Ω for múltiplo de 2, entãoΩ 2 → Ω2 • Conclusão: é periódica se, e somente se, Ω 2

for um número racional



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Ω

Ω

g- Exponencial

ΩΩ

ΩΩ

Ω Ω

Funções Pares e Ímpares


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• Sinal par []• Sinal ímpar

[]



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• Qualquer sinal

pode ser decomposto em uma

soma de dois sinais: um com simetria par e outrocom simetria ímpar

•

Parte par 12 [ ]• Parte ímpar

12 [ ]• Tem-se, então




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u ções a es e pa es

−()

12 [− ]

12 [− ]

Lista de Exercícios


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LATHI – Problemas

• Sinais contínuos (cap.1)• 1.1: 1, 3, 4, 5

• 1.2: 2, 3, 5• 1.3: 1, 2, 3

• 1.4: 1, 2, 3, 4

• 1.5: 1, 4, 5, 7

• Sinais discretos (cap.3)• 3.1: 1, 2, 4

• 3.2: 1, 2, 3• 3.3: 1, 3, 4, 7

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