01. medidas de concentración

8/15/2019 01. Medidas de Concentración

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MAT 233 Estadística

Msc. Ing. Franklin Torres E.1

Medidas de Concentración ó Medidas de Tendencia Central.

Las medidas de tendencia central son valores representativos, es decir, se trata de valores

que generan una representación de un conjunto de datos obtenidos en un determinadoexperimento.

Estas medidas representativas se les llaman Medidas de Tendencia Central y son lassiguientes:

Media Aritmética.

La Media Aritmética o simplemente Media, de un conjunto de Números x1, x2, x3,… xn es

denotado por x y se define por:

n

x x x x x n

++++= K321

n

x

x

n

i∑= 1

_

La suma de cada uno de los valores entre la cantidad de estos.

Si los números están organizados en una Distribución de Frecuencias donde x1, x2, x3,… xk ,

son las Marcas de Clase y además f 1, f 2, f 3,… f k , son sus respectivas frecuencias, entonces

la Media Aritmética es:

k

k k

f f f f

x f x f x f x f x

++++

++++=

K

K

321

332211 ****

∑∑=

fi

xi fi x

* _

Donde la suma de las frecuencias es equivalente a la cantidad total de valores observados.


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∑ fi = n

Propiedades.

- La Suma Algebraica de las Desviaciones de un conjunto de números, respecto de su

Media Aritmética, es siempre igual a cero.

Ejemplo:

Sean los siguientes números:

13, 25, 31, 37, 42, 55, 63, 65, 70, 72, 75, 81

13 di = xi - Ma 52.417 -39.41725 52.417 -27.417

31 52.417 -21.417

37 52.417 -15.417

42 52.417 -10.417

55 52.417 2.583

63 52.417 10.583

65 52.417 12.583

70 52.417 17.583

72 52.417 19.583

75 52.417 22.583

81 52.417 28.583

629 0.000Media Aritm. 52.417

x1 13 d1 = x1-MA 49.8181818 -36.82 1355.58 1 144

x2 25 d2= x2-MA 49.8181818 -24.82 615.94 1 576

x3 31 d3 49.8181818 -18.82 354.12 1 900

x4 37 d4 49.8181818 -12.82 164.31 1 1296

x5 42 d5 49.8181818 -7.82 61.12 1 1681

x6 55 49.8181818 5.18 26.85 1 2916

x7 63 49.8181818 13.18 173.76 1 3844

x8 65 49.8181818 15.18 230.49 1 4096

x9 70 49.8181818 20.18 407.31 1 4761

x10 72 49.8181818 22.18 492.03 1 5041

x11 75 49.8181818 25.18 634.12 1 5476

548 0.00 4515.64 30731

Media Aritmética = 49.8181818

- La Suma Algebraica de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de valores

respecto a su Media Aritmética siempre en un Valor Mínimo.


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El valor resultante es siempre un Valor Mínimo, es decir:

Si se expresase un valor diferente a la Media Aritmética, la suma de los cuadrados de las

desviaciones respecto a ese valor, diferente de la Media Aritmética, será mayor al valor

obtenido, que determinando respecto a la Media Aritmética. Con el Ejemplo citado podremos demostrar como:

La Mediana.

Es un valor representativo también, se puede determinar como el valor que se encuentra en

el centro de una serie de valores, siendo estos ordenados en forma creciente o decreciente.Si la cantidad de valores que se está analizando fuese par, La mediana será el Valor Medio

de los dos valores que se encuentran en el centro de esa serie de valores.

12, 25, 34, 55, 60, 75, 90, 95, 98, 100, 112

La mediana 75

12, 25, 34, 55, 60, 75, 90, 95

La mediana será 57.5

Si estamos analizando una Distribución de Frecuencias La Mediana es posible calcularmediante la siguiente relación:

c fm

f n

Lm x l

*2~⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+=

Donde:

Lm: Es el límite real inferior o límite verdadero de clase inferior de la Clase

mediana.

La Clase Mediana es aquel intervalo donde su frecuencia acumulada es

equivalente a la mitad de los valores observados.

n/2: La mitad de los datos observados.

fl: Frecuencia acumulada por debajo de la Clase Mediana.fm: Frecuencia de la Clase Mediana.

c: La magnitud del intervalo de clase.


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La Moda.

La Moda en un conjunto de números obtenidos en forma experimental o de una base de

datos, es aquel valor que ocurre con mayor frecuencia, es decir, el valor mas frecuente.

12, 25, 34, 34, 55, 60, 75, 90, 95Moda = 34

12, 12, 25, 34, 34, 55, 60, 75, 90, 95

Moda = 12, 34

12, 12, 25, 34, 34, 34, 55, 60, 75, 90, 95

Moda = 34

La moda puede no existir e incluso no ser única en caso de existir.

En una Distribución de Frecuencias La Moda es posible determinar mediante la siguiente

Relación.

c Lm Moda *21

1

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+∆

∆+=

Lm: Limite real inferior o limite verdadero de clase inferior de la Clase Modal.Clase Modal. Es aquel intervalo de clase que tiene Mayor Frecuencia.

∆1: Es el exceso ó diferencia de la frecuencia de la Clase Modal sobre la

frecuencia de la clase Contigua Inferior.

∆2: Es el exceso ó diferencia de la frecuencia de la Clase Modal sobre la

frecuencia de la clase Contigua Superior.

C: Magnitud del Intervalo de Clase.

La Media Geométrica.

La Media Geométrica, lo denotamos como G, de un conjunto de n números x1, x2, x3,… xn

es la raíz n-enésima del producto de esos números.

Esta medida de concentración viene del resultado representativo de una progresión

geométrica.

nn x x x xG **** 321 K=


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Simplificando:

ni

n

xG1π =

Cuando la cantidad de valores que se está analizando son muy grandes y los valores sonaltos. Entonces, se puede utilizar propiedades de logaritmos.

Que resultaría de la siguiente manera.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n x x x xn

G loglogloglog*1log 321 ++++= K

Simplificando:

∑=n

i Logxn

LogG1

*1

Si estamos trabajando con una distribución de frecuencias.

Donde x1, x2, x3, … xk son las marcas de clase y f1, f2. f3. … fk son sus frecuencias.

La media geométrica se determinará:

n xk x x x x x x x xG *...*3*3...*2*2*2*....1*1*1=

k f

k

f n f f x x x xG *...** 321 321=

n f

ii xG π =


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]k k x f x f x f x f n

G loglogloglog*1

log 332211 ++++= K

∑=k

ii Logx f n

LogG1

*1

La Media Armónica

La media armónica, lo denotamos como H de un conjunto de números x1, x2, x3,… xn, esla recíproca de la Media Aritmética de los reciproco de esos Números.

n x x x x

n H

1111

321

++++

=

K

Simplificando

∑

=n

i x

n H

1

1

Si se está analizando una Distribución de Frecuencias donde x1, x2, x3,… xk , Son lasMarcas de clase y f 1, f 2, f 3,… f k , son sus respectivas frecuencias la Media Armónica se

puede expresar de la siguiente forma:

k

k

k

x

f

x

f

x

f

x

f

f f f f H

++++

++++=

...

...

3

3

2

2

1

1

321

La Media Cuadrática

La media cuadrática ( c x ) de un conjunto de números x1, x2, x3,… xn, se suelen denotar por:

n

x x x x x nc

22

3

2

2

2

1 _ ...++++

=


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Simplificando:

n

x

x

n

i

c

∑= 1

2

_

Si en caso de que estuviésemos trabajando con una Distribución de Frecuencias, donde x1,x2, x3,… xk son las marcas de clase y f1, f2, f3. … fk son sus respectivas frecuencias,

tendremos:

n

x f x f x f x f x k k

c

22

33

2

22

2

11 _ ...** ++++

=

Simplificando:

∑=

=n

i

iic x f n

x1

2**

1

Cuartiles, Deciles y Percentiles

Si a una serie de datos se colocasen en orden creciente de acuerdo a su magnitud, el valor

medio que divide al conjunto de datos en dos partes iguales es la Mediana.

Mediana

Partiendo de esa idea se puede pensar en valores que dividen al conjunto de datos en cuatro

partes iguales, a estos valores se les denomina Cuartiles y se les denotará como Q1, Q2 y

Q3. Se les llamará Primer Cuartil, Segundo Cuartil y Tercer Cuartil y de esta manera elsegundo cuartil corresponderá al valor de la Mediana.


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58 64 12

65 71 13

72 78 27

79 85 1286 92 7

93 99 7

TABLA 2-3

50

-

54

53

55

-59

59,57

60

-

64

62,60,61,62,63,60,61,63,62,62,63

65

-

69

68,68,65,66,69,68,67,65,65,67

70-

74

73,73,71,74,72,74,71,71,73,74,73,72

75-79

75,76,79,75,75,78,78,75,77,78,75,79,79,78,76,75,78,76,76,75,77

80

-84

84,82,82,83,80,81

85

-89

88,88,85,87,89,85,88,86,85

90

-

94

90,93,93,94

95

-

99

95,96,95,97


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TABLA 2-13

Duración Número de

(horas) Tubos300 - 399 14

400 - 499 46

500 - 599 58600 - 699 76

700 - 799 68800 - 899 62

900 - 999 48

1000 - 1099 221100 - 1199 6

TOTAL 400


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