0018 ho es aramlastan 2

© Sánta Imre, BME www.tankonyvtar.hu

HŐTAN-II.

A „Hő- és áramlástan” jegyzet két kötetből áll, ebben, a második rész-

ben mind a hőtan, mind az áramlástan második részét ismertetjük. A első

részben az anyag első részének ismertetésére került sor.

A második kötet az első szerves folytatása: a vonatkozó tananyag elsa-

játítását az első rész megtanulásával kell kezdeni és csak ezután követ-

kezhet a második kötet.

A második kötet fejezetszámozása tantárgy részenként folytonos: pél-

dául a hőtan első kötetbeli záró fejezete a 11. fejezet, ezért a második kö-

tetben a hőtan anyag a 12. fejezettel kezdődik.

A képletszámozás ezzel egyértelmű és – természetesen – számos hi-

vatkozás történik az első rész képleteire.

Az irodalomjegyzék mindkét hőtan jegyzet résznél azonos, a hivatko-

zás ezért itt is egyértelmű.

A fentiekben vázolt, modulárisnak nevezhető felépítés megengedi a

jegyzet részek ittenitől eltérő csoportosítását.

www.tankonyvtar.hu © Sánta Imre, BME

Tartalomjegyzék HŐTAN-II.......................................................................................................................... i

Tartalomjegyzék ............................................................................................................... ii

Termodinamika II. ............................................................................................................ 1

12. Ideális gázkörfolyamatok ........................................................................................ 1

12.1. Carnot-körfolyamat ........................................................................................ 1 12.2. Belsőégésű hőerőgépek ideális körfolyamatai ............................................... 5

12.2.1. Otto-körfolyamat .................................................................................. 5 12.2.2. Diesel-körfolyamat ............................................................................... 7 12.2.3. Sabatier-körfolyamat........................................................................... 10 12.2.4. Brayton-körfolyamat ........................................................................... 12

13. Nevezetes körfolyamatok összehasonlítása ........................................................... 23

13.1. Összehasonlítás azonos nyomáshatárok között ............................................ 24 13.2. Összehasonlítás azonos térfogathatárok között ........................................... 26 13.3. Összehasonlítás azonos hőmérséklethatárok között ..................................... 28

14. Reverzibilis és irreverzibilis körfolyamatok sajátosságai ...................................... 31

14.1. Reverzibilis körfolyamatok ........................................................................... 31 14.2. Irreverzibilis körfolyamatok ......................................................................... 33

15. Az entrópia és irreverzibilitás ................................................................................ 36

15.1. Entrópiaváltozás és irreverzibilitás kapcsolata ........................................... 36 15.2. Az irreverzibilis folyamatok hatása a hőszigetelt rendszer munkavégző-

képességére ................................................................................................. 41 15.3. Az entrópia és a termodinamikai állapotvalószínűség ................................. 43

16. Súrlódásos adiabatikus folyamatok ....................................................................... 50

16.1. Súrlódásos adiabatikus kompresszió ............................................................ 50 16.2. A súrlódásos adiabatikus expanzió .............................................................. 56

17. Gőzök termodinamikája ........................................................................................ 63

17.1. Alapfogalmak ............................................................................................... 63 17.2. A gőzök jellemzői, diagramjai ...................................................................... 65

17.2.1. A p - v - T állapotfelület ..................................................................... 65 17.2.2. A vízgőz p - v diagramja ..................................................................... 66 17.2.3. A vízgőz T - s diagramja ..................................................................... 68 17.2.4. A vízgőz i-s diagramja ........................................................................ 69 17.2.5. A gőztermeléshez felhasznált hőmennyiség és felosztása .................. 70 17.2.6. A párolgáshő és összetevői ................................................................. 71 17.2.7. Clausius–Clapeyron-egyenlet ............................................................. 72

17.3. Gőzök egyszerű állapotváltozásai ................................................................ 73 17.3.1. Izobár (p = áll) folyamat ..................................................................... 73 17.3.2. Izochor (v = áll.) folyamat .................................................................. 74 17.3.3. Izotermikus (T = áll.) folyamat ........................................................... 75

TARTALOMJEGYZÉK iii


17.3.4. Adiabatikus ( 021

q,q, ) folyamat ................................................. 76

17.4. A Rankine–Clausius-gőzkörfolyamat ........................................................... 76 17.4.1. A körfolyamat sajátosságai ................................................................. 76 17.4.2. Gőzkörfolyamat súrlódásos (valóságos) adiabatikus expanzióval a

turbinában ........................................................................................... 79

18. Nedves levegő termodinamikája............................................................................ 84

18.1. Alapfogalmak ............................................................................................... 84 18.2. A nedves levegő jellemzői: ........................................................................... 84

18.2.1. A nedves levegő i - x diagramja .......................................................... 87 18.2.2. A nedves levegő állandó nyomású hűtése, fűtése, szárítása és szárítás

nedves levegőben ................................................................................ 89

Hőközlés ......................................................................................................................... 93

19. Hővezetés .............................................................................................................. 93

19.1. A Fourier-féle hipotézis ............................................................................... 93 19.2. A hővezetés általános differenciálegyenlete ................................................. 94

19.2.1. Sík fal állandósult, egydimenziós, belső hőforrás nélküli hővezetése 99 19.2.2. Hengeres fal állandósult, egydimenziós, belső hőforrás nélküli

hővezetése ......................................................................................... 101

20. Hőátadás .............................................................................................................. 106

20.1. A hőátadás fizikai lényege .......................................................................... 106 20.2. A hőátadással átszármaztatott hőmennyiség számítása ............................. 108 20.3. A hasonlóságelmélet alapjai ...................................................................... 109

21. Hőátbocsátás ........................................................................................................ 114

21.1. Sík fal állandósult hőátbocsátása............................................................... 114 21.2. Hengeres fal állandósult hőátbocsátása .................................................... 115

21.2.1. A hengeres fal kritikus átmérője ....................................................... 116 21.2.2. A hőátbocsátás intenzívebbé tétele a fal bordázásával. Bordázott fal

hőátbocsátása .................................................................................... 117 21.3. Speciális feladatok a hőátbocsátás témaköréből........................................ 119

21.3.1. Állandó keresztmetszetű egyenes rúd állandósult hővezetése .......... 119 21.3.2. Sík fal egydimenziós, állandósult hővezetése belső hőforrás esetén. 125 21.3.3. Homogén körkeresztmetszetű rúd egydimenziós, állandósult

hővezetése belső hőforrás esetén. ..................................................... 127 21.3.4. Hengeres fal hővezetése hőleadással a külső, és a belső felületen .... 129

22. Hősugárzás (Hőközlés sugárzás útján) ................................................................ 131

22.1. Sugárzási alapfogalmak ............................................................................. 131 22.1.1. Effektív sugárzóképesség .................................................................. 136 22.1.2. A hősugárzás alaptörvényei .............................................................. 137 22.1.3. Hőcsere sugárzás útján ...................................................................... 146

Irodalomjegyzék ........................................................................................................... 159

Ábrajegyzék .................................................................................................................. 161


Termodinamika II.

12. Ideális gázkörfolyamatok

Alapvető feltételek a körfolyamatok elemzésekor:

– körfolyamatot ideális folyamatok alkotják;

– munkaközeg ideális gáz;

– hőközlés kívülről történik.

A munkaközeg jellemzői: R és adottak.

A szokványos kiindulási adatokból – melyek száma a körfolyamatot alko-

tó folyamatok számának kétszerese – meghatározzuk a

- körfolyamat sarokpontjainak jellemzőit az 1. pont (illetve a Carnot-

körfolyamat esetében a pont) jellemzőivel kifejezve,

- bevezetett és elvont hőmennyiséget,

- hasznos munkát és

- körfolyamat termikus hatásfokát.

12.1. Carnot-körfolyamat

1824-ben Sadi Carnot francia

mérnök a termodinamika egyik

megalapozója elméletileg vizs-

gálta egy olyan ideális hőerőgép

működését, amely hengerből, a

benne elmozduló dugattyúból,

hőforrásból (melegtest) és hűtő-

közegből (hidegtest) áll (12.1.

ábra). A munkaközeg egységnyi

tömegű ideális gáz.

A henger oldalfala és a dugaty-

tyú tökéletesen hőszigetelt, míg

a henger fenéklapja tökéletes

hővezető, de a K jelű szigetelő

lappal az egész henger hőszige-

teltté tehető. Súrlódás és hő-

veszteség nincs.

Vizsgáljuk meg ennek a beren-

dezésnek a működését. 12.1. ábra – Carnot-körfolyamat

2 HŐ- ÉS ÁRAMLÁSTAN II.


A rendszer állapotváltozása p - v diagramban, míg az adott pontokhoz tar-

tozó dugattyú helyzetek az alatta levő sémán láthatók (12.1. ábra).

– Az a-b folyamat izotermikus expanzió (hőbevezetés T1 hőmérsékle-

ten);

– b-c folyamat adiabatikus expanzió (a gáz közben T2 hőmérsékletre

hűl);

– c-d folyamat izotermikus kompresszió (hőelvonás T2 hőmérsékleten);

– d-a folyamat adiabatikus kompresszió (a gáz hőmérséklete Tl-re nő).

Ez a négy folyamat körfolyamatot alkot, amelyet megalkotójáról Carnot-

körfolyamatnak nevezünk.

Az a-b izotermikus expanzió során a munkaközeg wa,b munkát végez, mi-

közben a hőforrástól qa,b = wa,b hőmennyiséget vesz fel.

A b-c adiabatikus expanzió folyamán a munkaközeg belső energiája rová-

sára wb,c munkát végez.

A c-d izotermikus kompresszió alatt külső erők a munkaközegen wc,d

munkát végeznek miközben az qc,d = wc,d hőmennyiséget lead a hűtőkö-

zegnek.

Végül a d-a adiabatikus kompresszió során a külső erők wd,a munkát vé-

geznek a munkaközegen és ezzel belső energiáját az eredeti (ua), hőmér-

sékletét T1 értékűre növelik.

Szeretnénk hangsúlyozni, hogy ez a berendezés és az általa megvalósított

körfolyamat kizárólag elvi jelentőségű, mivel gyakorlati kivitelezése ne-

hézségekbe ütközik.

A Carnot-körfolyamat jelentősége az alábbi tulajdonságaiból ered:

1. Bármely körfolyamat felépíthető elemi Carnot-körfolyamatokból, így

az utóbbira kapott eredmények felhasználhatók különféle körfolyama-

tok általános természetű termodinamikai vizsgálatára.

2. Mint látni fogjuk, termikus hatásfokát egyszerű, ugyanakkor termodi-

namikailag nagyon értékes következtetések levonására alkalmas kife-

jezés írja le.

12. IDEÁLIS GÁZKÖRFOLYAMATOK 3


A körfolyamat jellemzői:

Adatok: 1

TTTba ;

2TTT

dc ;

bap;p (vagy a fajtérfogatok).

A körfolyamat jellegzetes pontjainak paraméterei (hőmérséklet, nyomás,

fajtérfogat):

a - pont: a1a

p,TT adott; a

a

ap

RTv .

b - pont: b1b

p,TT adott; b

b

bp

RTv .

c - pont: 2TTc ;

1

1

2

T

Tpp bc ;

1

2

1

T

Tvv bc .

d - pont: 2TTd ;

1

1

2

T

Tpp ad ;

1

2

1

T

Tvv ad .

A körfolyamattal kapcsolatos hőmennyiségek:

bevezetett hő b

a

p

plnRTq

11 , (12.1)

elvont hő d

c

p

plnRTq

22 , (12.2)

12.2. ábra – Carnot-körfolyamat p - v és T - s diagramban



hasznos munka 21

qqwh

. (12.3)

A körfolyamat termikus hatásfoka

b

a

c

d

t

p

plnRT

p

plnRT

q

q

1

2

1

211 . (12.4)

Az adiabatikus folyamatoknál

1

1

2

T

T

p

p

c

d ; 1

1

2

T

T

p

p

b

a ; c

d

b

a

p

p

p

p . (12.5)

Ezzel a Carnot-körfolyamat termikus hatásfokának kifejezése

1

21

T

Tt

vagy fels ő

alsó

tT

T 1 . (12.6)

Termodinamikai szempontból a belsőégésű hőerőgépeket Carnot-

körfolyamat szerinti működésűre kellene tervezni, mivel ez biztosítja a

legnagyobb termikus hatásfokot az adott hőmérséklethatárok között.

Az ilyen körfolyamat megvalósíthatóságának alapvető akadálya az, hogy

izotermikus hőbevezetés és hőelvonás nem realizálható gáz munkaközeg

esetén.

Bebizonyosodott, hogy gázoknál az állandó térfogat vagy állandó nyo-

más, illetve a kettő kombinációját tartalmazó folyamat melletti hőközlés a

legalkalmasabb. A hőelvonás is történhet e paraméterek állandósága mel-

lett.

A továbbiakban az ilyen folyamatokat tartalmazó körfolyamatokat tár-

gyaljuk. Ezek a körfolyamatok alapvetően belsőégésű hőerőgépekben ke-

rülnek alkalmazásra: dugattyús motorokban, gázturbinákban. Az előbbi-

eknél a körfolyamat folyamatai egy helyen – a hengerben játszódnak le, a

gázturbináknál más és más részegységekben. A dugattyús motorokban

ezek a körfolyamatok periodikusan ismétlődnek, míg a legelterjedtebb

gázturbinában a működés folyamatos. A hőelvonás a környezetben megy

végbe (nyitott körfolyamatoknál).



12.2. Belsőégésű hőerőgépek ideális körfolyamatai

12.2.1. Otto-körfolyamat

Az Otto-körfolyamat a szikragyújtású belsőégésű motorok elméleti körfo-

lyamata, mely mint a 12.3. ábrán látható

1-2 adiabatikus kompresszióból,

2-3 izochor hőközlésből,

3-4 adiabatikus expanzióból és

4-1 izochor hőelvonásból áll.

Adatok: 11p;T a kompresszióviszony

2

1

v

v ; nyomásviszony

2

3

p

p .

a) b)

c)

12.3. ábra – Otto-körfolyamat p – v és T-s diagramja

valamint termikus hatásfokának változása



A körfolyamat egyes sarokponti jellemzőinek (fajtérfogat, hőmérséklet,

nyomás) meghatározása:

1. pont: 1

1

1p

RTv .

2. pont:

1

2

vv ;

1

1

1

2

1

12

Tv

vTT ;

12

pp .

3. pont:

1

23

vvv ;

1

1

2

3

23

T

p

pTT ;

123

ppp .

4. pont: 14vv ;

1

1

1

11

1

1

4

3

34T

v

vT

v

vTT

;

1

1

4

14p

T

Tpp .

A bevezetett hőmennyiség, elvont hőmennyiség és a hasznos munka

23

TTcqvbe

; 41

TTcqvel

; elbehqqw . (12.7)

Termikus hatásfok

23

1411

TTc

TTc

q

q

v

v

be

el

t

. (12.8)

A hőmérsékletek behelyettesítése után a körfolyamat termikus hatásfoka

11

1

1

1

11 111

TT

TTt (12.9)

vagy 2

11

T

Tt

. (12.10)

Az Otto-körfolyamat termikus hatásfokának változását mutatja a

kompresszióviszony és függvényében a 12.3/c. ábra.

A diagramból kitűnik, hogy a kompresszióviszony növelésével nő az ide-

ális Otto-körfolyamat termikus hatásfoka.

Megjegyezzük, hogy az Otto rendszerű valóságos motoroknál az növe-

lésének határt szab a sűrített keverék idő előtti öngyulladása ( 10 ),

amely károsan befolyásolja a motor üzemét.



Adott kompresszióviszony esetén a nagyobb adiabatikus kitevő nagyobb

hatásfokot eredményez

12.2.2. Diesel-körfolyamat

A Diesel-körfolyamat a kompresszió-gyújtású belsőégésű motorok elmé-

leti körfolyamata mely (12.4. ábra)


2-3 izobár hőközlésből,

3-4 adiabatikus expanzióból és


Adatok: 11p;T ; a kompresszióviszony

2

1

v

v ;

12.4. ábra – Diesel-körfolyamat p - v és T - s diagramja,


a) b)

c)



előzetes expanzióviszony .



1. pont: 1

1

1p

RTv .

2. pont:

1

2

vv ;

1

1

1

2

1

12

Tv

vTT ;

12

pp .

3. pont:

1

23

vvv ;

1

1

2

3

23

T

v

vTT ;

123

ppp .

4. pont: 14vv ;

1

1

1

11

1

1

4

3

34T

v

vT

v

vTT

;

1

1

4

14p

T

Tpp .

A bevezetett hőmennyiség, elvont hőmennyiség és a hasznos munka:

23

TTcqpbe

; 41

TTcqvel

; elbehqqw . (12.11)

Termikus hatásfok

23

1411

TTc

TTc

q

q

p

v

be

el

t

. (12.12)

A hőmérsékletek behelyettesítése után a körfolyamat termikus hatásfoka

1

111

11

1

1

1

11

TT

TTt

. (12.13)

A 12.4/c. ábrán a Diesel-körfolyamat termikus hatásfokának változása

látható az () kompresszióviszony, és függvényében.

A diagramból látható, hogy az ideális Diesel-körfolyamat termikus hatás-

foka a kompresszióviszonnyal nő, ugyanakkor az előzetes expanzió-

viszony növekedésével csökken. Mivel a dízelmotor nem keveréket sűrít,

itt nem áll fenn az öngyulladás veszélye, így lényegesen nagyobb

kompresszióviszonyt alkalmaznak ( = 10÷25 vagy nagyobb). Az adiaba-

tikus kitevő növelése szintén növeli a termikus hatásfokot.

2

3

v

v



A fentiekben tárgyalt Otto- és Diesel- körfolyamatok a belsőégésű du-

gattyús motorok elméleti, ideális körfolyamatai – melyek reverzibilis fo-

lyamatokból állnak. A valóságos motorokban lejátszódó folyamatokat az

u.n. indikátor diagramban tudjuk nyomon követni. Az indikátor diagram a

hengerben uralkodó nyomás változását mutatja a hengerben lévő gáztér-

fogat vagy dugattyúelmozdulás függvényében, és mérés útján kerül meg-

határozásra.

A 12.5/a. ábra egy Otto-rendszerű (karburátoros vagy másképpen külső

keverékképzéses) négyütemű motor indikátordiagramját szemlélteti, ahol

a 0-a szakasz az (FHP) felső holtponttól induló szívó, a-b sűrítési, b-z a

hőközlési, z-c az alsó holtpontig (AHP) terjedő expanzió, c-0 a kipufogási

ütem során szemlélteti a hengerben lejátszódó mennyiségi-, illetve álla-

potváltozásokat.

A 12.5/b. ábrán egy négyütemű dízelmotor indikátor diagramját láthatjuk.

Itt a négy ütem hasonlóan tagolódik, a legjelentősebb különbség a

hőközlési b-z ütem kisebb – az állandó nyomás felé közelítő - nyomásnö-

vekedésében és nagyobb térfogatváltozásában van. A b-z’ szaggatott vo-

nal az állandó nyomású folyamatot jelöli.

A két diagramból is kitűnik, hogy az Otto- és Diesel-körfolyamatot a va-

lóságban nem lehet megvalósítani. Mint az 12.5/a. ábrából is látható, az

Otto-motornál a hőközlés nem mehet végbe teljes egészében állandó tér-

fogaton a felső holtpontban, mivel a véges égési sebesség (40-50 m/s) mi-

att a dugattyú égés közben elmozdul és az állandó nyomást közelítve foly-

tatódik.

12.5. ábra – Az Otto- és dízelmotor indikátor diagramja

a) b)



A dízelmotoroknál (12.5/b. ábra) pedig a nagy kompresszióviszony kö-

vetkeztében az égés elég gyorsan megy végbe, így nem biztosítható az ál-

landó nyomású hőbevezetés.

A hőközlési folyamat jobban közelíthető kezdeti izochor, majd azt követő

izobár szakasszal.

12.2.3. Sabatier-körfolyamat

A fentiekből következőleg a mai dugattyús motorok ideális körfolyamata

többnyire a 12.6. ábra szerinti Sabatier-körfolyamat, mely az

12.6. ábra – Sabatier-körfolyamat p - v és T - s diagramja, va-

lamint termikus hatásfokának változása

a) b)

c)




2-3 izochor hőközlésből,

3-4 izobár hőközlésből,

4-5 adiabatikus expanzióból, és


Az Otto-motorok esetében a 2-3 izochor hőközlési hányad a nagyobb és a

3-4 izobár hőközlés a kisebb, míg dízelmotoroknál fordítva van.

Adatok: 11p;T ; kompresszióviszony

2

1

v

v ; nyomásviszony

2

3

p

p ;

előzetes expanzióviszony .



1. pont: 1

1

1p

RTv .

2. pont:

1

2

vv ; 1

1

1

2

1

12T

v

vTT

;

12

pp .

3. pont:

1

23

vvv ;

1

1

2

3

23

T

p

pTT ;

123

ppp .

4. pont:

1

34

vvv ;

1

1

3

4

34

T

v

vTT ;

134

ppp

5. pont: 15

vv ;

1

1

1

11

1

1

5

4

45T

v

vT

v

vTT

;

1

1

4

14p

T

Tpp .

Az állandó térfogaton és állandó nyomáson bevezetett hő:

23

TTcqv

'

be ;

34TTcq

p

"

be . (12.14)

Az állandó térfogaton elvont hő

51

TTcqvel

. (12.15)

2

3

v

v



A körfolyamat hasznos munkája

el

"

be

'

behqqqw . (12.16)


3423

15

"'11

TTcTTc

TTc

qq

q

pv

v

bebe

el

t

. (12.17)

A hőmérsékletek behelyettesítése és egyszerűsítés után

11

11

11

t . (12.18)

Sabatier-körfolyamat = 1 esetén a Diesel-körfolyamatot, míg ρ = 1 he-

lyettesítésnél az Otto-körfolyamatot jeleníti meg.

Ezekkel a helyettesítésekkel a Diesel- és Otto-körfolyamatok termikus ha-

tásfok képletei is származtathatók a Sabatier-körfolyamat termikus hatás-

fok (12.18) összefüggéséből.

A 12.6/c. ábrán a Sabatier-körfolyamat termikus hatásfokának változása

látható a kompresszióviszony , és függvényében.

A diagramból kitűnik, hogy a kompresszióviszony és a nyomásviszony

növeli, az előzetes expanzióviszony pedig csökkenti az ideális Sabatier-

körfolyamat termikus hatásfokát. Az adiabatikus kitevő hatása hasonló,

mint az előző két körfolyamat esetében volt.

12.2.4. Brayton-körfolyamat

A korszerű gázturbinák (repülőgép, jármű és ipari) általában Brayton-

(Humprey-) körfolyamat szerint működnek, mely állandó nyomású

hőközlési és hőelvonási, adiabatikus expanzió és kompresszió folyamat-

ból áll (12.7. és12.8. ábrák).

Ezek a folyamatok külön gépegységekben játszódnak le:

1-2 sűrítési folyamat a kompresszorban,

2-3 hőközlési folyamat az égéstérben,

3-4 expanzió a turbinában játszódik le.



A körfolyamat alapjellemzője a körfolyamat nyomásviszonya

4

3

1

2

p

p

p

p és a turbina előtti hőmérséklet

3T , melyet a rendelkezésre

álló turbinaanyagok hőállósága korlátoz. Ez a körfolyamat maximális

hőmérséklete, mely lényegesen kisebb, mint a belsőégésű dugattyúsmoto-

rok körfolyamatának legnagyobb hőmérséklete, mivel turbinánál hiá-

nyoznak az intenzív hűtés lehetőségei, és ugyanakkor ez a hőmérséklet ál-

landóan igénybe veszi a turbinát, míg a dugattyús motoroknál ez a hatás

csak pillanatnyi ideig tart.

A közlekedésben két típusával találkozunk: a tengelyteljesítményt adó

gázturbinával és a sugárhajtóművel.

a) Tengelyteljesítményt adó gázturbina körfolyamata

A tengelyteljesítményt adó gázturbina turbinája a rajta átáramló forró gáz

energiájából hajtja a saját munkaközegét biztosító kompresszort és - szük-

ség esetén áttételen keresztül - a meghajtott egységet (légcsavart, hajó-

csavart, jármű kereket, generátort stb.

Adatok: 1T , 1

p , a körfolyamat nyomásviszonya 4

3

1

2

p

p

p

p ; turbina

előtti hőmérséklet. A levezetés során feltételezzük, hogy a sebességek a

gépegységekbe való ki- és belépésnél közel azonosak.

A közbenső pontok jellemzői (nyomás, hőmérséklet):

12.7. ábra – Tengelyteljesítményt adó gázturbina kapcsolási rajza



2. pont: 12

pp ;

1

12

TT .

3. pont: 123

ppp .

4. pont: 14 pp ;

1

3

4

TT .

A körfolyamat munkája

elbekörfqqw , (12.19)

ahol

a) b)

c)

12.8. ábra – Brayton-körfolyamat p - v és T - s diagramja,




14

TTcqpel

; 23

TTcqpbe

. (12.20)

A körfolyamat (hasznos) munkája felírható, mint a turbinamunka ( Tw ) és

a kompresszor munkaszükségletének ( Kw ) különbsége is.

433443

TTciiwwp,tT

; (12.21)

121221

TTciiwwp,tK

; (12.22)

KTkörf

www . (12.23)

A tengelyteljesítmény

körfwmP . (12.24)

A termikus hatásfok

be

el

be

elbe

be

körf

tq

q

q

qq

q

w

1 . (12.25)

Behelyettesítve a hőmennyiségeket

11

13

11

3

23

141

111

TT

TT

TT

TTt

. (12.26)

A termikus hatásfok változása a nyomásviszony és az adiabatikus kitevő

függvényében látható a 12.8/c. ábrán.

A diagramból kitűnik, hogy a körfolyamat nyomásviszonyának növeke-

désével az ideális Brayton-körfolyamat termikus hatásfoka nő. A növeke-

dés kezdetben gyors, majd a nagyobb nyomásviszonyoknál a növekedés

üteme csökken. Hatásfok növekedést eredményez az adiabatikus kitevő

növekedése is.

b) A sugárhajtómű körfolyamata

A sugárhajtóműben az égéstérből kilépő gáz energiatartalmából a turbina

csak a kompresszor hajtásához szükséges energiát „veszi ki”, így a turbi-

nából távozó gáz lényegesen nagyobb energiával (entalpiával, nyomással,

hőmérséklettel) rendelkezik, mint a tengelyteljesítményt adó gázturbinák



esetében. Ez a környezetinél nagyobb nyomással rendelkező gáz a fúvó-

csőben expandál, miközben entalpiájának jelentős része makroszkopikus

mozgási energiává alakul. A fúvócsőből nagy sebességgel kilépő gázáram

az impulzustétel értelmében tolóerőt hoz létre - és ez az erő mozgatja a

repülő objektumot.

12.9. ábra – Sugárhajtómű metszete, kapcsolási rajza és

T – s diagramja

p4

T

s

1

2

s

4

3

5

p5=p1 p3=p2

c)

2

s 1

s Kompresszor Fúvócső Turbina Szívócsatorna

3

s 4

s

5

s

Égéstér v0

c5

b)

a)



Egy tipikus (egyszerűsített) sugárhajtómű metszetet mutat be a 12.9/a. áb-

ra [32], melyen jól látható a gázáram a hajtóműben. Az ábrán a levegő

kék, az égéstérben keletkező forró gázok piros színnel vannak jelölve.

A sugárhajtómű kapcsolási rajzát a 12.9/b., míg T - s diagramját a 12.9/c.

ábrán láthatjuk. A következő összefüggésekben a T - s diagram jelöléseit

alkalmazzuk.

A turbina munkája

43

TTcwpT

.

A kompresszor munkaszükséglete

12

TTcwpK

.

Sugárhajtóműnél a turbina csak a kompresszort hajtja, így

KTww , (12.27)

1243

TTcTTcpp

. (12.28)

Ebből a turbina utáni hőmérséklet a

1234

TTTT (12.29)

összefüggéssel, míg a nyomás a Poisson-egyenletből számítható:

1

3

4

34

T

Tpp . (12.30)

A tolóerőt az impulzus tétellel tudjuk meghatározni

05t

vcmF , (12.31)

ahol m - a fúvócsövön kiáramló gáz tömegárama; 5

c - sebessége; 0

v - a

repülési sebesség.

c) Hőcserélős gázturbina körfolyamat

A körfolyamat termikus hatásfokának javítása céljából az égéstér elé hő-

cserélőt építenek be, ahol a turbinából távozó gáz viszonylag nagy hőmér-

sékletét felhasználják a kompresszorból kilépő levegő előmelegítésére

(12.10/a. ábra). Ezáltal az adott turbina előtti hőmérséklet eléréséhez ke-

vesebb tüzelőanyagot kell az égéstérbe juttatni - a termikus hatásfok ja-

vul.



Ideális hőcserélő (végtelen nagy hőcsere felület) esetén a hőmérsékletek

(12.10/b. ábra)

2'4TT ; 4'2

TT . (12.32)

Valóságos hőcserélő esetén

2'4TT ; 4'2

TT . (12.33)

Ideális hőcserélő feltételezésével az elvont hőmennyiség

1214

TTcTTcqp'pel

. (12.34)

12.10. ábra – Hőcserélős gázturbina kapcsolási rajza és

T – s diagramja

a)

b)



a bevezetett hő

4323

TTcTTcqp'pbe

. (12.35)

A T - s diagramban a hőcserélőben hasznosuló hőmennyiségnek megfele-

lő területet vonalkázással jelöltük.

Mint az összefüggésekből látható a hőcserélős körfolyamatban az égés-

térbe bevezetett hő a turbina munkájával ( Tw ), az elvont hő abszolút ér-

téke pedig a kompresszor munkájával ( Kw ) egyezik meg.

bep,tT

qTTcww 4343 ;

elpKqTTcw

12 . (12.36)

Hőcserélő alkalmazásával ideális esetben a körfolyamat munkája nem

változik, mivel sem a turbina, sem a kompresszor jellemzőiben nem kö-

vetkezett be változás.

elbekTkörf qqwww . (12.37)

A termikus hatástok

be

el

be

elbe

be

körf

tq

q

q

qq

q

w

1 ,

1

3

1

43

12

'23

1'4111

T

T

TT

TT

TT

TTt . (12.38)

12.11. ábra – Hőcserélős és hőcserélő nélküli

gázturbina hatásfokának összehasonlítása



A termikus hatásfok változása a nyomásviszony függvényében hőcserélős

és hőcserélő nélküli ideális gázturbina körfolyamatok esetében látható a

12.11. ábrán.

A diagramból kitűnik, hogy a hőcserélős gázturbina kis nyomásviszonyok

esetén rendelkezik jobb termikus hatásfokkal, mint a hőcserélő nélküli.

A két görbe metszéspontja a hőcserélő alkalmazhatóságának határa, ami-

kor a kompresszor és a turbina kilépő hőmérséklete megegyezik (T2=T4).

Ez a nyomásviszony-határ a két hatásfok azonosságából határozható meg

1

3

1

11

11

T

T;

12

1

3

T

Thatár

. (12.39)

d) A legnagyobb hasznos munka

A gázturbina működését alapvetően a környezeti hőmérséklet (T1), a kör-

nyezeti nyomás (p1 ) és a fentiekben részletezettek következtében a turbi-

na előtti hőmérséklet (T3) határozza meg.

A 12.12/a. ábra szemlélteti azt a tartományt a T - s diagramban, ahol az

adott feltételek mellett a gázturbinás körfolyamat megvalósítható. Az

ábrából jól látható, hogy a határoló vonalak közé berajzolható gázturbinás

a) b)

12.12. ábra – Gázturbinás körfolyamatok munkájának

változása adott T3, T1, és p1 esetén



körfolyamatok a körfolyamat nyomásviszonyától függően különböző

hasznos-munka területtel rendelkeznek. Ezek két szélső esetben zérus

értékűek: egyrészt ha a nyomásviszony 1 , másrészt ha az izentrópikus

sűrítés véghőmérséklete eléri a 3T értéket (T3 = T2), vagyis a

nyomásviszony

1

1

3

T

T. (12.40).

A két nyomásviszony érték között a körfolyamat munkája a 12.12/b. ábra

szerint változik és egy bizonyos nyomásviszonynál, eléri legnagyobb ér-

tékét.

A körfolyamat munkája (a hasznos munka)

1

11

1

113

TTcwpkörf

. (12.41)

A wkörf maximumának helye e függvény deriváltjának zérus értékénél ha-

tározható meg, vagyis a

0

körfw

,….. illetve a 0

1

1

körfw

(12.42)

egyenletből, mely a deriválás után a következő alakot ölti

011

2

3

1

pp

körfcT

Tc

w

. (12.43)

Az egyenlet megoldása az a nyomásviszony ahol a hasznos munka maxi-

mális

12

1

3

max

T

Tkörfw

. (12.44)

Ez a kifejezés megegyezik a hőcserélős gázturbina nyomásviszony-

határával, vagyis a legnagyobb hasznos munkát szolgáltató körfolyamat-

ban is megegyezik a kompresszor és turbina kilépő hőmérséklete (T2=T4).

Ebből következik, hogy az ilyen körfolyamatban nincs értelme hőcserélőt

alkalmazni.



A legnagyobb hasznos munka értéke (12.41) és (12.44) alapján:

1313

1

3

1

3

1

3211 TTTTc

T

TT

T

TTcw

ppkörf

(12.45)

Példa:

Ideális hőcserélős gázturbina körfolyamat fajlagos hasznos munkája

4,27.104 J/kg, t = 55 %. Meghatározandó: a) a berendezés turbinája által

szolgáltatott fajlagos munka; b) a kompresszió kezdeti hőmérséklete, ha a

turbina előtti 1000 oC. R=287 J/(kg K), =1,4.

Megoldás:

a) be

h

tq

w kgJ

wq

t

h

be /107636,755,0

1027,4 44

.

Ideális hőcserélős gázturbinánál beT qw ezért

kgJqw beT /107636,74

.

b) 3

2

1

3

1

höcstT

T1

T

T1

,

ebből

K,,TThöcst

8557212735501132

,

KTh www , melyből kgkJwww hTK /936,347,42636,77

,

másrészt

12 TTcw pK , K

c

wTT

p

K38,538

1005

3493685,57221 .

c) 067,085,572

38,53811

11

2

1

1

T

Tnht

.

mivel 1

2

1

T

T

.


13. Nevezetes körfolyamatok összehasonlítása

A körfolyamatok termikus hatásfok szerinti összehasonlítása meghatáro-

zott feltételek között történik, melyek:

– azonos nyomáshatárok között,

– azonos térfogathatárok között,

– azonos hőmérséklethatárok között.

Az összehasonlítás úgy történik, hogy az összehasonlítandó körfolyama-

tokat p - v vagy T - s diagramban egyberajzoljuk. Az egyberajzolás során

az azonos folyamatoknak lehetőség szerint egybe kell esniük.

A Carnot-körfolyamat T - s diagramban könnyebben ábrázolható, ezért az

ezzel történő összehasonlítást T - s diagramban végezzük, és célszerű a

körfolyamat képletek és a T - s diagram együttes használata.

Hasonlóan T - s diagramban hasonlítjuk össze a körfolyamatokat azonos

hőmérséklethatárok között (az izotermák egyszerűbb ábrázolása miatt).

(Az egyszerűbb ábrázolhatóság kedvéért a T - s diagramokban a p = ál-

landó és v = állandó – bár azok ténylegesen exponenciális görbék – egye-

nesekkel ábrázoltuk).

A vonatkozó körfolyamathoz tartozó pontokat, munkákat és hőmennyisé-

geket az indexekben a körfolyamat nevének kezdőbetűjével jelöljük.

Az egyberajzolt körfolyamatokat a 13.1. – 13.3. ábrákon láthatjuk.

Az elemzésnél alkalmazott alapelvek:

- az azonos folyamatokhoz azonos hőmennyiségek tartoznak

- mind a p - v, mind a T - s diagramban a körfolyamat által körbezárt terü-

let a körfolyamat munkájával (wkörf vagy wh) egyenlő.

A termikus hatásfok meghatározásához a diagramokból megállapítható

adatok függvényében az

be

h

tq

w (13.1)

vagy

be

el

tq

q 1 (13.2)

összefüggéseket használjuk, szem előtt tartva, hogy

elhbeqwq . (13.3)



13.1. Összehasonlítás azonos nyomáshatárok között

a) Brayton- és Diesel-körfolyamatok összehasonlítása (13.1/a. ábra)

A feltételeknek megfelelően elkészített 13.1/a. ábrából következik:

A két körfolyamatban a bevezetett hőmennyiség azonos

DlbeBbe

qq .

A két körfolyamat által bezárt területek összehasonlításából

DhBhww .

A termikus hatásfok (13.1) kifejezését alkalmazva a két körfolyamatra,

kapjuk

Dbe

Dh

Dt

Bbe

Bh

Btq

w

q

w .

b) Diesel- és Sabatier-körfolyamatok összehasonlítása (13.1/b. ábra)

qbeD

qbeS1

qbeS2

qelS = qelD

1D, S

4D,5S

3D,4S

3S

2S

2D p

v

p1

p2

qbeB = qbeD

qelB

qelD

p

p1

p2

2B,D 3B,D

1B,D

4D

4B

v

p

p1

p2

v

qelS = qelO

1S,O

4O,5S

3O,4S

2O

3S

qbeS1

qbeO

qbeS2 T

s

1O

2O

3O

4O

1C 4C

2C

3C

p1

p2

13.1. ábra – Körfolyamatok egyberajzolása azonos

nyomáshatárok között

a) b)

c) d)

13. NEVEZETES KÖRFOLYAMATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA 25


A 13.1/b. ábrából következőleg az elvont hőmennyiségek azonosak

SelDel

qq .

A területekből következik

ShDhww .

A bevezetett hőmennyiség (13.3)

elhbe

qwq ,

így

SbeDbeqq .

A termikus hatásfok (13.1) kifejezéséből következik

StDt .

c) Sabatier- és Otto-körfolyamatok összehasonlítása (13.1/c. ábra)

Az ábra alapján

OttoelSabatierelqq ,

OhShww .

A bevezetett hőmennyiség

elhbeqwq ,

így

ObeSbeqq .

A termikus hatásfok kifejezését alkalmazva a két körfolyamatra, kapjuk

OtSt .

d) Otto- és Carnot-körfolyamatok összehasonlítása (13.1/d. ábra)

Az Otto-körfolyamat termikus hatásfoka

O2

O1

1tOT

T1

11

.

A Carnot-körfolyamat termikus hatásfoka

C1

C2

tCT

T1 .



Mint a 13.1/d. ábrából kitűnik,

O2

O1

C1

C2

T

T

T

T , ezért CtOt

.

Tehát a körfolyamatok termikus hatásfok szerinti sorrendje azonos nyo-

máshatárok között:

Brayton-, Diesel-, Sabatier-, Otto- és Carnot-körfolyamat.

13.2. Összehasonlítás azonos térfogathatárok között

qbeO

qbeS1

qbeS2

qelS = qelO

p

v v1 v2

1O, S

2O, S

3O

3S

4S

4O

a)

qbeS1

qbeS2

qelS = qelD

qbeD

p

v v1 v2

1D, S

3S 4S

3D

4D,5S

2D,S

b)

qbeB = qbeD

qelD

qelB

p

v v1 v2

3D,B

4D,B

2D,B,

1B

1D

c)

T

s

v1

v2

1C

3C

1B

2B,4C

3B

4B,2C

d)


térfogathatárok között



Azonos térfogathatárok között végezve az összehasonlítást, a 13.1. pont-

ban alkalmazott eljárást követjük. Mivel a levezetés módja megegyezik,

ezért csak a fő lépéseket és az összehasonlítás eredményét közöljük.

a) Otto- és Sabatier-körfolyamatok összehasonlítása (13.2/a. ábra)

OelSelqq , OhSh

ww elhbe

qwq ,

melyből a fentiek alapján következik

OtSt .

b) Sabatier- és Diesel-körfolyamatok összehasonlítása (13.2/b. ábra)

SelDelqq , ShDh

ww , SbeDbeqq .

Az összehasonlítás eredménye

StDt .

c) Diesel- és Brayton-körfolyamatok összehasonlítása (13.2/c. ábra)

DbeBbeqq , DhBh

ww .

A termikus hatásfokok viszonya

Dbe

Dh

Dt

Bbe

Bh

Btq

w

q

w .

d) Brayton- és Carnot-körfolyamatok összehasonlítása(13.2/d. ábra)

B2

B1

1tBT

T1

11

, C1

C2

tCT

T1 .

Mivel B2

B1

C1

C2

T

T

T

T , ezért

CtBt .

Tehát a körfolyamatok termikus hatásfok szerinti sorrendje azonos térfo-

gathatárok között:

Otto-, Sabatier-, Diesel-, Brayton- és Carnot-körfolyamat.



13.3. Összehasonlítás azonos hőmérséklethatárok között

a) Carnot- és Brayton-körfolyamatok összehasonlítása (13.3/a. ábra)

A Brayton-körfolyamat termikus hatásfoka

B2

B1

1tBT

T1

11

.

A Carnot-körfolyamat termikus hatásfoka

C1

C2

tCT

T1 .

s

Talsó

Tfelső

T

1B,3C

2B

4B

3B,1C

2C

4C

T

Tfelső

Talsó

s

1B,D

4B

2D,B

3B,D

4D

Tfelső

T

Talsó

s

1D,S

2D

3D,4S

4D,.5S

3S

2S

Talsó

Tfelső

4S,3O

3S

2S

1S,O

2O

5S,4O

T

s

d) c)

b) a)


hőmérséklethatárok között



Mivel a 13.3/a. ábrából következőleg B2

B1

C1

C2

T

T

T

T , ezért

CtBt .

b) Brayton- és Diesel-körfolyamatok összehasonlítása (13.3/b. ábra)

Az ábrából következik

DbeBbe

qq ,

DhBhww ,

melyekből a két körfolyamat termikus hatásfokának viszonya

Dbe

Dh

Dt

Bbe

Bh

Btq

w

q

w .

c) Diesel- és Sabatier-körfolyamatok összehasonlítása (13.3/c. ábra)

Az. ábrából látható

SelDelqq ,

ShDhww .

A bevezetett hőmennyiség (13.3)

elhbeqwq ,

így

SbeDbeqq .

Ezekből a (13.1) alapján következik

StDt .



d) Sabatier- és Otto-körfolyamatok összehasonlítása (13.3/d. ábra)

A 13.3/d ábra alapján

OelSelqq ,

OhShww .

Így a bevezetett hőmennyiség (13.3) alapján

elhbeqwq ,

ennek figyelembe vételével

ObeSbeqq .

A termikus hatásfok (13.1) kifejezését alkalmazva a vizsgált két körfo-

lyamatra

OtSt .

Tehát a körfolyamatok termikus hatásfok szerinti sorrendje azonos hő-

mérséklethatárok között:

Carnot-, Brayton-, Diesel-, Sabatier- és Otto-körfolyamat.

A folyamatok különböző feltételek melletti összehasonlításából megálla-

píthatjuk, hogy mindig az a körfolyamat rendelkezik a legjobb termikus

hatásfokkal, ahol a teljes hőközlés az egyik, míg a teljes hőelvonás a má-

sik határon megy végbe.

A körfolyamatok közötti sorrendet az dönti el, hogy az egyes körfolyama-

tok hőközlési, illetve hőelvonási folyamatai mennyire közelítik meg a ha-

tárokat.


14. Reverzibilis és irreverzibilis körfolyamatok sajátosságai

14.1. Reverzibilis körfolyamatok

A reverzibilis Carnot-körfolyamat termikus hatásfokát az

1

21

T

Tt

(14.1)

(12.6) kifejezéssel számíthatjuk, míg legáltalánosabb esetben a termikus

hatásfok

1

21

q

qq

t

. (14.2)

A (14.1) és (14.2) egybevetéséből következik, hogy

2

21

1

21

q

qq

T

TT

,

ahonnan

1

2

1

2

T

T

q

q , illetve

1

1

2

2

T

q

T

q

vagy

0

2

2

1

1

T

q

T

q. (14.3)

Mivel az elvont hőt negatívnak tekintjük, akkor a

0

2

2

1

1

T

q

T

q (14.4)

kifejezés általános esetben

2

1

0

i i

i

T

q (14.5)

alakba írható.

A bevezetett, vagy elvont hőmennyiség és a megfelelő (bevezetési és el-

vonási) abszolút hőmérsékletek hányadosát redukált hőmennyiségnek ne-

vezzük. Így a (14.5) egyenlőséget szavakban a következőképpen fejezhet-

jük ki: a redukált hőmennyiségek algebrai összege a reverzibilis Carnot-

körfolyamatban zérus.



Ez a következtetés általánosítható bármilyen reverzíbilis körfolyamatra.

Vegyünk egy tetszés szerinti reverzibilis körfolyamatot (14.1. ábra).

A 14.1 ábrából látjuk, hogy bármely reverzibilis körfolyamat felépíthető

elemi reverzibilis Carnot-körfolyamatokból, melyek mindegyike rendel-

kezik saját hőforrással, melytől 1q hőmennyiséget kap és saját hűtőkö-

zeggel, melynek 2q hőmennyiséget lead. (Megjegyezzük, hogy a rever-

zibilis körfolyamat megvalósításához végtelen sok hőforrásra és hőelvo-

nási lehetőségre van szükség.)

A (14.5) egyenlet alapján ezen elemi Carnot-körfolyamatok mindegyikére

(legyen összesen n db) felírható:

0

1

2

1

2

1

1

1

1

T

q

T

q (az első körfolyamatra),

0

2

2

2

2

2

1

2

1

T

q

T

q (a második körfolyamatra),

………………………

0

2

2

1

1

n

n

n

n

T

q

T

q (az "n"-ik körfolyamatra).

14.1. ábra – Körfolyamat felbontása elemi

Carnot-körfolyamatokra

14. REVERZIBILIS ÉS IRREVERZIBILIS KÖRFOLYAMATOK… 33


Az egyenleteket összegezve kapjuk:

n

j ij

iT

ji

q

1

2

1

0 . (14.6)

Ezzel az egyenlőséggel közelítően jellemeztük az adott körfolyamatot.

Pontos eredményt akkor kapunk, ha n . Ez esetben a (14.6) egyenlet

n

1j

2

1ij

i

j

i

n

0T

qlim

alakú lesz, amely - mint a matematikából ismeretes

0T

q (14.7)

formában írható.

Azaz a redukált hőmennyiségek integrál összege bármely reverzibilis kör-

folyamat esetén zérus. Ezt az összefüggést 1854-ben Clausius vezette le

és ezért Clausius első integráljának is szokás nevezni.

14.2. Irreverzibilis körfolyamatok

Vegyünk egy irreverzibilis Carnot-körfolyamatot. Az ilyen körfolyamat

termikus hatásfoka az irreverzibilitásból adódó veszteségek következté-

ben kisebb, mint a reverzibilis Carnot-körfolyamaté.

Az

revtirrevt

(14.8)

kifejezésből, következik, hogy

1

21

1

21

T

TT

q

qq

irrev

,

illetve elemi Carnot-körfolyamatokra felírhatjuk

1

21

1

21

T

TT

q

qq

irrev

,

továbbá



1

2

1

2

T

T

q

q

irrev

,

ahonnan

0

2

2

1

1

irrevirrevT

q

T

q,

majd a hőmennyiségek előjelének figyelembevételével

2

1

0

i i

i

T

q,

ahol Ti - a hőtartályok hőmérsékletét jelöli.

Tekintsük most a 14.1. ábra szerinti körfolyamatot olyan irreverzibilis

körfolyamatnak, amelyben a körfolyamatot megvalósító munkaközegnek

minden pontban meghatározott hőmérséklete van és adiabatákkal osszuk

elemi körfolyamatokra. Minden ilyen módon képzett elemi körfolyamat

irreverzibilis Carnot-körfolyamatnak tekinthető.

A reverzibilis körfolyamat vizsgálatánál alkalmazott módszert felhasználva

n

j i

j

i

j

i

T

q

1

2

1

0 ,

illetve

0T

q. (14.9)

A (14.7) és (14.9) összefüggésekben az integrálás a munkaközeg állapot-

változását (körfolyamatot) leíró teljes zárt görbe mentén értendő.

A két kifejezés helyes értelmezéséhez a következőket kell megjegyezni:

- mivel reverzibilis körfolyamat esetén a munkaközeg és a hőtartály kö-

zött reverzibilis hőáramlás van (egyensúlyi állapotok), a (14.7) egyenlet-

ben szereplő T hőmérséklet mind a hőtartályra, mind a munkaközegre vo-

natkozik, ezért ez az egyenlet a hőtartályokból és munkaközegből álló

rendszer teljes egészére érvényes;

- ugyanakkor irreverzibilis körfolyamatoknál a (14.9) egyenlőtlenségben

a T a levezetés gondolatmenetéből következőleg csak a hőforrás hőmér-

sékletét jelöli - amely a hőáramlás irreverzibilis volta miatt nem egyezik

meg a munkaközeg hőmérsékletével - így a (14.9) összefüggés a

14. REVERZIBILIS ÉS IRREVERZIBILIS KÖRFOLYAMATOK… 35


hőtartályokból, munkaközegből álló rendszer egészére érvényes, de külön

a munkaközegre nem.

Például reverzibilis Carnot-körfolyamat esetén a (14.3) egyenlet alapján

0

2

2

1

1 T

q

T

q,

ahol T1 = T1hőforrás

= T1munkaközeg

míg T2= T2 hűtőközeg

= T2munkaközeg

.

Tételezzük fel, hogy egy irreverzibilis Carnot-körfolyamatban a munka-

közeg hőmérséklete minden pontban megegyezik a reverzibilis Carnot-

körfolyamat megfelelő pontjainak hőmérsékletével.

Az irreverzibilitást a hőforrás és a munkaközeg, valamint a munkaközeg

és hűtőközeg közötti véges hőmérsékletkülönbség melletti hőáramlás

okozza. Ekkor

T1hőforrás

>T1munkaközeg

és T2munkaközeg

>T2 hűtőközeg

.

A (14.3) egyenlet alapján nyilvánvaló, hogy az adott irreverzibilis Carnot-

körfolyamatban

0

2

2

1

1 hütöközeghöforrás

T

q

T

q,

azaz

0T

q. (14.10)


15. Az entrópia és irreverzibilitás

Az előzőekben láttuk, hogy reverzibilis körfolyamatokra

0T

q

.

A matematikából ismeretes, hogy ez az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha

T

q teljes differenciálja valamilyen függvénynek. Mint már más úton is

bizonyítottuk – ez a mennyiség az entrópia elemi változása:

T

qds

. (15.1)

Az entrópia fogalmát ideális (reverzibilis) folyamatokkal kapcsolatban

vezettük be. Ebből arra a következtetésre juthatnánk, hogy az entrópia

nem alkalmazható irreverzibilis folyamatok analízisekor. Emlékeznünk

kell azonban arra, hogy az entrópia állapotjelző, tehát változásának értéke

csak a kezdeti- és végállapotoktól függ, nem attól, hogy milyen volt a fo-

lyamat.

15.1. Entrópiaváltozás és irreverzibilitás kapcsolata

Tételezzük fel, hogy egy

rendszer irreverzibilis fo-

lyamattal jut el az 1 állapot-

ból 2-be. Ezt a 15.1. ábrán

feltételesen szaggatott vonal-

lal ábrázoltuk, mivel belső

egyensúly hiányában a fo-

lyamat nem ábrázolható gra-

fikusan. A 2 állapotból jut-

tassuk vissza a rendszert az

1-be valamilyen reverzibilis

folyamattal (folytonos vo-

nal). A két folyamat eredmé-

nyeképpen egy irreverzibilis

körfolyamatot kapunk.

irreverzibilis

reverzibilis

T

s

1

2

15.1. ábra – Irreverzibilis és reverzibilis

folyamat két állapot között

15. AZ ENTRÓPIA ÉS IRREVERZIBILITÁS 37


Így a (14.9) egyenlet figyelembevételével, ha a körintegrált két vonalin-

tegrál összegével helyettesítjük:

0

1

2

2

1

revirrevT

q

T

q

T

q . (15.2)

Mivel reverzibilis folyamatoknál

1

2

21ss

T

q

rev

, (15.3)

így a (15.2) összefüggés a következő alakú lesz

irrev

T

qss

2

1

12

, (15.4)

illetve differenciál alakban

irrev

T

qds

. (15.5)

A fenti kifejezések helyes értelmezéséhez a következőket kell figyelembe

venni:

1. A vizsgált irreverzibilis és reverzibilis folyamat ugyanazon két állapot

között megy végbe (15.1. ábra), így - mivel az entrópia állapotjelző - az

entrópiaváltozás abszolút értéke mindkét esetben azonos lesz

( 12sss ).

2. A reverzibilis folyamatok során bekövetkező entrópiaváltozás meg-

egyezik az

2

1T

q integrállal, míg irreverzibiliseknél nagyobb annál.

[Pl. izentropikus expanzió esetén s2-s1 = 0. A súrlódásos (irreverzibilis)

expanzió végén a munkaközeg ugyanazon 2 állapotba juttatható, mint az

izentropikus expanzió végállapota, de közben q1,2 hőmennyiséget el kell

vonni, azaz 0

2

1

irrevT

q.]

Tehát a

irrev

T

qss

2

1

12

(15.6)

különbség a folyamat irreverzibilitása mértékének tekinthető. Ha a (15.1)

és (15.5) kifejezéseket egybevetjük a



T

qds

(15.7)

relációt kapjuk, amely a termodinamika második főtételének matematikai

kifejezése.

Amennyiben a folyamat adiabatikus rendszerben megy végbe, úgy -

mivel a q = 0 - a (15.7) kifejezés a következő alakot ölti:

0ds . (15.8)

A (15.6) különbségből következik q = 0 helyettesítéssel, hogy adiabati-

kus rendszerekben az entrópiaváltozás az irreverzibilitás mértéke.

Megjegyezzük, hogy a (15.5)-(15.7) kifejezésekben a T a munkaközeggel

érintkező hőtartály hőmérsékletét jelöli, amelyek csak reverzibilis folya-

matoknál azonos a munkaközeg hőmérsékletével.

Tudjuk, hogy a valóságos folyamatok irreverzibilisek, ezért a (15.8) alap-

ján leszögezhetjük, hogy a véges, hőszigetelt rendszerben minden valósá-

gos folyamat a rendszer entrópiájának növeléséhez vezet.

Ez tulajdonképpen az entrópianövekedés elve, ugyanakkor a második fő-

tétel egy újabb megfogalmazása.

Az entrópianövekedés elvére példaként vizsgáljuk meg a szigetelt rend-

szerben levő két különböző hőmérsékletű test között lejátszódó hőátadás

folyamatát. Az egyik test hőmérséklete T1, a másiké T2 és T1 > T2. Az első

test lead Q, a másik felvesz Q hőmennyiséget (15.2. ábra). Legyen ez a

hőmennyiség olyan kicsiny, illetve a test tömege ehhez képest olyan

nagy, hogy a test hőmérsékletváltozását elhanyagolhatjuk. Így a testek

entrópiaváltozását mint izotermikus állapotváltozás során bekövetkező

entrópiaváltozást határoz-

hatjuk meg.

Az 1. és 2. test entrópiavál-

tozása rendre

1

1T

QdS

;

1

2T

QdS

.

A rendszer entrópiájának változása egyenlő a rendszert alkotó testek

entrópiaváltozásainak összegével, vagyis

15.2. ábra – Véges hőmérsékletkülönbség

melletti hőátvitel



12

21T

Q

T

QdSdSdS

rendsz

, (15.9)

011

12

TTQdS

rendsz . (15.10)

Így, bár a hőcsere eredményeképpen a rendszer energiatartalma nem vál-

tozik (az első főtétel szerint) entrópiája nő (a második főtétel értelmében).

Most vizsgáljuk meg, hogyan változik meg a szigetelt rendszer entrópiája,

ha irreverzibilis körfolyamatok játszódnak benne. Vegyünk egy irrever-

zibilis Carnot-körfolyamatot, amelynél az irreverzibilitást kiváltó ok a

hőtartályok és a munkaközeg közötti véges hőmérsékletkülönbség mellet-

ti hőáramlás (15.3. ábra).

A T1 hőmérsékletű hőforrás Ql hőmeny-

nyiséget ad át a 1T hőmérsékletű munka-

közegnek egy körfolyamat alatt

(T1 > 1T ), amely azután 2

T hőmérsékle-

ten Q2 hőmennyiséget ad le a T2 hőmér-

sékletű hűtőközegnek ( 22TT ).

Az adott rendszer entrópiaváltozása - a

benne lejátszódó irreverzibilis körfolya-

mat eredményeképpen - a rendszerben

levő testek (hőforrás, munkaközeg, hűtő-

közeg) entrópiaváltozásának összegével

egyenlő, azaz

hütöközmunkaközeghöforrásrendsz

SSSS

(15.11)

A hőforrás entrópiaváltozása

1

1

T

QS

höforrás , (15.12)

a hűtőközegé

2

2

T

QS

hütöközeg , (15.13)

15.3. ábra – Irreverzibilis

Carnot-körfolyamat



a munkaközegé

2

2

1

1

T

Q

T

QS

munkaközeg

. (15.14)

A rendszer entrópiaváltozása

22

2

11

1

1111

TTQ

TTQS

rendsz, (15.15)

amelyből nyilvánvalóan következik, hogy

0Srendszer

(15.16)

vagy a 14.2. pontban tárgyaltaknak megfelelően általánosítva

0Sdrendszer

. (15.17)

Tehát irreverzibilis körfolyamatok következtében a véges szigetelt rend-

szer entrópiája nő.

A munkaközeg a körfolyamat végén kiindulási állapotú lesz, így entrópia-

változása zérus. A rendszer entrópiaváltozását tehát így is felírhatjuk

0

1

1

2

2 T

Q

T

Qs

rendszer. (15.18)

A szigetelt rendszer entrópianövekedése azzal kapcsolatos, hogy amíg a

munkaközeg entrópiája az irreverzibilis körfolyamat eredményeképpen

nem változik, a hőforrás entrópiacsökkenése abszolút értékre nézve ki-

sebb, mint a hűtőközeg entrópia növekedése.

Lássunk még egy példát. Legyen a hőszigetelt rendszerben pl. 1 kilomol

gáz és a tehetetlenségénél fogva forgó m tömegű tárcsa. A súrlódás kö-

vetkeztében a tárcsa kinetikai energiájának egy része hővé alakul és a

rendszer hőmérséklete T1-ről T2-re nő.

A gáz által felvett hőmennyiség

dTcQvM

, (15.19)

míg a tárcsa

mcdTQ , (15.20)

hőmennyiséget kap, ahol

Mvc - a gáz kilomolhője, c - a tárcsa anyagának fajhője, dT - a rendszer

hőmérsékletváltozása.



A gáz entrópiaváltozása

0

1

2

12

2

1

2

1

T

Tlnc

T

dTc

T

QSS

Mv

T

T

Mv

T

T

, (15.21)

a tárcsáé

0

1

2

12

2

1

2

1

T

Tlnmc

T

dTmc

T

QSS

T

T

T

T

, (15.22)

vagyis 12SS és 12

SS azaz mindkét alkotó entrópiája nőtt. Így azt

tapasztaljuk, hogy ez esetben is változatlan maradt a rendszer energiája,

de entrópiája nőtt.

Az energia mennyiségileg nem változott. Változott viszont minőségileg.

A mechanikai energia (a tárcsa rendezett mozgása) átalakult hővé (a mo-

lekulák kaotikus mozgásává). Azaz az energia minőségének romlása, az

energia elértéktelenedése ment végbe.

Az energia elértéktelenedésén azt kell érteni, hogy elveszti azt a képessé-

gét, hogy önmagától más energiákká alakuljon át. Valóban minden más

energiafajta (mechanikai, elektromos, fény stb.) képes önmagától - még-

pedig teljesen - hővé alakulni, ugyanakkor a hő más energiákká így nem

alakul át.

A hőszigetelt rendszer entrópianövekedése tehát arra utal, hogy a rend-

szerben az energia elértéktelenedése megy végbe. Ilyen értelemben az

entrópiát, mint az energia elértéktelenedésének mértékét lehet felfogni.

Mivel a hőmozgás sajátossága a legnagyobb rendezetlenség (a molekulák

kaotikus mozgása), azt mondhatjuk, hogy az entrópianövekedés egyenér-

tékű a rendszerben levő rendezetlenség növekedésével. Ebben az értelem-

ben az entrópia a szigetelt rendszerben levő rendezetlenség mértékének

tekinthető.

15.2. Az irreverzibilis folyamatok hatása a hőszigetelt rendszer

munkavégző-képességére

Vegyünk egy hőszigetelt rendszerben Carnot-körfolyamat szerint üzeme-

lő ideális gépet, amelyben a munkaközegben T1 hőmérsékleten Ql hő-

mennyiséget közlünk, valamint attól a hűtőközeg segítségével T2 hőmér-

sékleten Q2 hőmennyiséget elvonunk (15.4/a. ábra).



Ekkor a hasznos munka, amit a rend-

szerből nyerhetünk:

21QQW .

A körfolyamat termikus hatásfoka:

1

2

11

211

T

T

Q

W

Q

QQ

t

.

Ez utóbbi kifejezés alapján a hasznos

munka:

1

2

111

T

TQQW

t . (15.23)

Tegyünk a T1 hőmérsékletű hőforrás és a

munkaközeg közé egy 1T hőmérsékletű

( 112TTT ) közvetítő közeget.

A T1 hőmérsékletű hőforrástól a Ql hőmennyiség irreverzibilis folyamattal

jut el a közvetítő közeghez (véges hőmérsékletkülönbség mellett), majd

ettől 1T hőmérsékleten reverzibilis folyamattal megy tovább a munkakö-

zeghez, amely reverzibilis Carnot-körfolyamatot valósít meg (15.4/b. áb-

rán belső szaggatott vonallal jelölt rész-rendszer).

A körfolyamat termikus hatásfoka ez esetben:

1

21T

Tt

.

Mivel 11TT , ezért

tt .

Ebből következik, hogy ez esetben a rendszerből nyerhető W' munka ki-

sebb lesz, mint az előző esetben volt.

1

2

111

T

TQQW

t . (15.24)

A hasznos munka értéke az irreverzibilis hőközlés miatt csökkent. Hatá-

rozzuk meg a csökkenés W mértékét:

1

2

1

2

1

1

2

1

2

111

T

T

T

TQ

T

T

T

TQWWW

vagy

15.4. ábra – Reverzibilis és

irreverzibilis Carnot-gép



rendszer

STT

Q

T

QTW

2

1

1

1

1

2. (15.25)

A fenti kifejezés szerint a hőszigetelt rendszer - irreverzibilis folyamatok

következtében bekövetkező – hasznos munkavégző-képesség csökkenése a

rendszerben levő minimális hőmérséklet (a hűtőközeg hőmérséklete T2)

és a rendszer entrópiaváltozásának szorzatával egyenlő.

15.3. Az entrópia és a termodinamikai állapotvalószínűség

Az entrópia bizonyos mértékben matematikai meghatározásából

(T

QdS

) nehéz megérteni fizikai lényegét. Ezen a téren Boltzmann

végzett kiemelkedő munkát, aki statisztikus vizsgálataival megállapította,

hogy valamely rendszer adott állapotában az entrópia értéke és termodi-

namikai állapotvalószínűsége (későbbiekben termodinamikai valószínű-

sége) között egyértelmű kapcsolat van.

Ahhoz, hogy ezt a kapcsolatot feltárjuk, meg kell ismerkednünk néhány

alapvető fogalommal.

Vegyünk egy edényt (15.5/a. ábra), amit képzeletben két egyenlő részre

osztunk. Legyen az edényben csupán 1 db molekula, mely rendszertelenül

mozogva lehet mind az edény bal, mind jobb felében.

Felvetődhet a kérdés, mekkora annak a valószínűsége, hogy a molekula a

jobb oldali térben tartózkodik?

A matematikában valamely esemény bekövetkezésének valószínűsége (v)

a kedvező esetek (k) és az összes lehetséges esetek számának (n) hánya-

dosaival egyenlő, azaz

n

kv . (15.26)

A mi esetünkben k = 1, míg összesen két eset lehetséges, így

2

1v .

Ugyanennyi a valószínűsége annak is, hogy a molekula a bal térfélben

van. Most tegyünk az edénybe két molekulát és számozzuk meg azokat

(15.5/b. ábra). Mekkora a valószínűsége annak, hogy pl. mindkét moleku-

la a jobb térfélben van?



A matematikában annak a valószínűsége, hogy az egymástól független

események mindegyike egyidejűleg bekövetkezzen egyenlő az egyes

események külön-külön számított valószínűségének szorzatával. (A való-

színűség szorzási tétele.)

A mi esetünkre visszatérve, annak a valószínűsége, hogy az egyes számú

molekula a jobb térfélben tartózkodik2

11v , a kettes számú molekuláé

15.5. ábra – Molekula-eloszlások két térben



szintén 2

12v . Így a két esemény egyidejű bekövetkezésének valószínű-

sége

2

212

1

vvv .

Ugyanannyi a valószínűsége a 15.5/b. ábrán látható többi elrendezés be-

következésének is.

A 15.5/c. ábrán három, míg a 15.5/d. ábrán négy számozott molekula kü-

lönféle elrendezése látható. Egy-egy elrendezés bekövetkezésének való-

színűsége N db molekula esetén N

v2

1 , azaz a molekulák számának nö-

vekedésével az egyes individuális molekula-elrendezések valószínűsége

csökken.

Most térjünk rá a rendszer makroszkopikus és mikroszkopikus állapotai-

nak meghatározására.

A rendszer makroszkopikus állapota (makroállapota) a termodinamikai

paraméterekkel (p, v, T stb.) meghatározható állapot. A rendszer termodi-

namikai állapotán, vagy egyszerűen állapotán az eddigiekben makro-

állapotot értettünk.

A rendszer mikroszkopikus állapota (mikroállapota) az egyes molekulák

állapotát meghatározó paraméterek segítségével írható le. Visszatérve a

15.5. ábrára, a molekulák számozásával tulajdonképpen mikroállapotokat

adtunk meg és a különböző mikroállapotok bekövetkezésének valószínű-

ségét vizsgáltuk.

Most tekintsünk el a számozástól, valóságban úgysem lehetséges a mole-

kulákat egymástól megkülönböztetni. A rendszer makroállapota nem vál-

tozik meg, ha a jobb oldalon levő kettes számú molekula helyet cserél a

bal oldali négyessel. Ha tehát eltekintünk a számozástól, a rendszer

makroállapotát kapjuk meg. Az ábrákon kapoccsal megjelölt mikro-

állapotok azonos makroállapotot adnak. Egy-egy ilyen makroállapot be-

következésének valószínűsége az adott makroállapotot leíró mikro-

állapotok valószínűségeinek összegével egyenlő. Ezeket a valószínűség

értékeket az ábrákon a kapcsok után szintén feltüntettük.

Végignézve még egyszer az ábrákat, azt tapasztaljuk, hogy minden eset-

ben a legnagyobb valószínűsége az egyenletes eloszlás állapotának



(egyensúlyi állapotnak) van. Szeretnénk megjegyezni, hogy az egyenletes

eloszlás egyben a legrendezetlenebb is, azaz a rendszer legvalószínűbb ál-

lapota egyben a legrendezetlenebb állapot. Ez utóbbi mondatot úgy is fo-

galmazhatjuk, hogy a rendszer állapotának valószínűsége egyben a rende-

zetlenség mértéke is.

Az eddigiekből láthatjuk, hogy a magára hagyott szigetelt rendszernek a

legvalószínűbb (egyensúlyi) állapotába kell átmennie.

Térjünk vissza az irreverzibilis folyamatokhoz és vizsgáljuk meg azokat a

rendszer állapotának valószínűsége szempontjából.

Pl. miért irreverzibilis a szabad expanzió? Azért, mert az expandáló gáz a

rendelkezésre álló térfogatot egyenletesen kitöltve átmegy a legvalószínűbb

állapotába. Az önmagától végbemenő fordított folyamat (önkompresszió)

azt jelentené, hogy a molekulák az edény egyik felében gyülekeznének,

ami a legkevésbé valószínű.

Miért irreverzibilis a véges hőmérsékletkülönbség melletti hőátadás?

Azért, mert a hő átáramlása a melegebb testtől a hidegebb testhez megfe-

lel a "gyors" és "lassú" molekulák adott rendszerben történő legrendezet-

lenebb (egyenletes) eloszlásának. A hidegebb testtől a melegebb felé vég-

bemenő hőáramlás a molekulák eloszlásában a rendezettség növekedését

jelentené. (A "gyors" molekulák az egyik, míg a "lassúak" a másik testben

gyülekeznének, vagyis a rendszer önmagától kevésbé valószínű állapotá-

ba menne át.

Ugyanez a helyzet a mechanikai energia hőenergiává történő átalakulása

esetében is.

A véges szigetelt rendszerben zajló irreverzibilis folyamatok analízisekor

tehát arra a következtetésre jutunk, hogy ezek a folyamatok azért megfor-

díthatatlanok, mert a rendszer közben a nagyobb valószínűségi állapotba

megy át, azaz a rendszer állapotának valószínűsége nő.

Visszatérve az előző pontban leírtakhoz, arra a megállapításra jutottunk,

hogy hőszigetelt rendszerben az irreverzibilis folyamatok következtében

az entrópia nő.

Ezek szerint van két mennyiségünk, az entrópia és a rendszer állapotának

valószínűsége, amelyek mindegyike nő, ha a rendszerben irreverzibilis fo-

lyamatok játszódnak le.

Így természetes feltételezni, hogy a kettő között kapcsolat van.



Megjegyezzük, hogy a termodinamikában nem az eddig tárgyalt matema-

tikai valószínűség, hanem a termodinamikai valószínűség a használatos.

Termodinamikai valószínűségen (w) az adott makroállapotot megvalósító

mikroállapotok számát értjük. A matematikai valószínűségtől eltérően,

amely mindig valódi tört, a termodinamikai valószínűség egész - rendsze-

rint nagy - szám. Pl. négy molekula esetén az egyenletes eloszlás termo-

dinamikai valószínűsége w = 6.

Az entrópia és a termodinamikai valószínűség kapcsolatát fejezzük ki a

S=(w) (15.27)

Boltzmann-függvénnyel.

Ebből kiindulva a függvénykapcsolat konkrétan is megállapítható, figye-

lembe véve az entrópia additivitására és a valószínűségek szorzatára vo-

natkozó tételeket. Tekintsünk két termikusan gyengén kapcsolt rendszert.

A termikus kapcsolás az entrópia additivitásának szükséges feltétele, a

kapcsolás gyenge voltát pedig azért tételezzük fel, mert így a két rend-

szert jó közelítéssel, mégis egymástól függetlennek tekinthetjük és a való-

színűségek szorzási tételét alkalmazhatjuk esetünkben.

Jelöljük a két rendszer entrópiáját rendre S1 és S2-vel, termodinamikai va-

lószínűségét pedig wl, ill. w2-vel. Az előbbi feltételek mellett az egyesített

rendszer "S" entrópiáját és "w” termodinamikai va1ószinüségét a követ-

kező módon nyerjük:

S = Sl + S2 , (15.28)

21www . (15.29)

Így:

2121

wwSSwS , (15.30)

illetve

2121

wwww . (15.31)

A w függvénykapcsolat ebből a függvényegyenletből már megállapít-

ható. Az itt szereplő függvénykapcsolatnak a logaritmus függvény tesz

eleget

wlnkS . (15.32)



Eszerint az entrópia a termodinamikai valószínűség logaritmusával ará-

nyos.

Az összefüggésben szereplő k arányossági tényező univerzális állandó,

tehát értékét elegendő egyetlen konkrét esetben (pl. T = áll. folyamatnál)

meghatározni. Ez a Boltzmann-féle állandó. (Mivel az ln w dimenzió nél-

küli szám, a k dimenziójának entrópia jellegűnek kell lennie.)

Ezek alapján a második főtételt a következőképpen is megfogalmazhat-

juk:

a véges szigetelt rendszerben zajló irreverzíbilis folyamatok esetén a

rendszer állapotának valószínűsége nő, míg reverzibilis folyamatok során

változatlan marad.

Meg kell jegyezni, hogy a második főtétel (az entrópianövekedés elve)

nem annyira univerzális, mint az első főtétel.

A második főtétel statisztikus tétel. Az entrópiacsökkenés nincs kizárva,

elvileg lehetséges, csak kevésbé valószínű. Az entrópia növekedés elve

csak véges szigetelt rendszerekre alkalmazható, vagyis olyan rendszerek-

re, amelyek megfelelően nagy, de véges számú molekulából állnak. A ke-

vés molekulából álló rendszerekben az egyensúlyi állapot valószínűsége

nem jelentősen nagyobb, mint a nem egyensúlyi állapotoké.

P1. a 15.5/b. ábrán látható két molekulából álló rendszerben az egyensúlyi

állapot valószínűsége csupán kétszerese a nem egyensúlyi állapoténak. Az

ilyen rendszer nem egyensúlyi állapotba való jutása és entrópia-

csökkenése eléggé valószínű és előfordul.

Ami a végtelen ( N ) rendszerekre vonatkozik, ebben az esetben a

lehetséges állapotok száma végtelen nagy. Végtelen nagy lesz az egyes

makroállapotokat megvalósító mikroállapotok száma is (mind egyensúlyi,

mind nem egyensúlyi állapotokat tekintve). Belátható, hogy ilyen feltéte-

lek mellett a rendszer legvalószínűbb állapotáról beszélni értelmetlen, hi-

szen minden állapot azonos valószínűségű. Ezért végtelen rendszerben az

állapot-valószínűség, ill. termodinamikai va1ószinűség és az entrópia áll-

adó marad, tehát az entrópianövekedés elve nem alkalmazható végtelen

rendszerekre.

A „hőhalál" elmélet és kritikája

A XIX. század második felében a második főtétel alapján Clausius arra a

megállapításra jutott, hogy a világmindenségnek, mint szigetelt rendszer-

nek entrópiája állandóan nő és egy maximumhoz tart. Így az energia kü-



lönböző formái mind jobban elértéktelenednek hővé alakulva. A hő a me-

legebb testektől átáramlik a hidegebbekhez, végül a világmindenségben a

hőmérsékletek kiegyenlítődnek, beáll a teljes termikus egyensúly, és így

minden folyamat megszűnik, azaz bekövetkezik a világmindenség

hőhalála.

Maga az elmélet a fizikában és a csillagászatban sohasem nyert polgárjo-

got. A szakemberek körében egy időben valóban felmerült ennek a kér-

désnek a lehetősége, de komoly formában sohasem tekintették egyenran-

gúnak a többi fizikai tétellel. Már ezelőtt 100 évvel sem akadt egyetlen fi-

zikus sem, aki ne illette volna kritikával a "hőhalál"-ra vonatkozó népsze-

rűsítő megállapításokat.

A "hőhalál" elmélet hibás volta abban áll, hogy Clausius az entrópia-

növekedés elvét végtelen rendszerre (világmindenségre) alkalmazta, ez

pedig, mint az előző pontban láttuk, nem lehetséges.

Nem lehet kétséges, hogy a földi feltételek között meglevő energia elér-

téktelenedési folyamat mellett a kozmosz más részein a világmindenség-

ben még általunk kevéssé ismert önfejlesztési folyamatok is lejátszódnak,

ami a hő koncentrálódásához és más energiafajtákba történő átalakulásá-

hoz vezet.

A világmindenség egészében nincs egyensúlyban és nem tart semmilyen

határhoz, állandóan fejlődik, fejlődésének lehetőségei kimeríthetetlenek

és határtalanok. Ezt a megállapítást a csillagászat és az űrkutatás eredmé-

nyei még inkább alátámasztják.

Természetesen azt is el kell mondanunk, hogy a fizika törvényei százszá-

zalékosan még nem bizonyítják a világ örökös fejlődésére vonatkozó té-

telt, de azt sok mindenben alátámasztják és nincs a fizikának egyetlen

olyan törvénye sem, amely kifejezetten az ellenkezőjét állítaná.

Mindezeket figyelembe véve mostani ismereteink szerint a világegyetem-

re vonatkoztatott "hőhalál" lehetőségét tudományos szempontból képte-

lenségnek kell minősíteni.


16. Súrlódásos adiabatikus folyamatok

A valóságos adiabatikus folyamatokat minden esetben súrlódás kísér. Ez

a súrlódás egyrészt a gáz és a határoló falak (lapátok) között, másrészt a

gázon belül ébred. A súrlódás azt jelenti, hogy az expanzió vagy

kompresszió folyamat végén nagyobb lesz a munkaközeg hőmérséklete,

mint súrlódásmentes esetben, vagyis a végállapot a kilépő nyomáshoz

tartozó izobáron a T - s diagrammban jobbra mozdul el (16.1. ábra). Ez a

hatás következik a termodinamika II. főtételéből (az entrópianövekedés

elvéből) is, vagyis, hogy a szigetelt rendszerben a lejátszódó

irreverzibilitások következtében az entrópia nő. Súrlódás okozta egyéb

eltéréseket a T - s diagrammban – gyakorlatilag bonyolultabb matematikai

összefüggések nélkül – szemléletesen be tudjuk mutatni.

16.1. Súrlódásos adiabatikus kompresszió

A 16.1. ábrán az 1-2s folyamat az izentrópikus, míg az 1-2 a súrlódásos

(valóságos) adiabatikus kompressziót jelöli. Az előbbit folytonos, míg az

utóbbit szaggatott vonallal jelöltük, ezzel is hangsúlyozva, a valóságos fo-

lyamat irreverzibilis voltát.

Az adiabatikus folyamat technikai munkáját – legyen az reverzibilis vagy

irreverzibilis – az első főtétel értelmében torlóponti entalpiaváltozásként

határozzuk meg:

– a valóságos folyamatnál

2

2

1

2

2

12

*

1

*

22,1

cciiiiw t

, (16.1)

– az ideális adiabatikus esetében pedig

2

2

1

2

2

12

*

1

*

22,1

cciiiiw

ssst

. (16.2)

Amennyiben a mozgásenergia-változást a folyamat során elhanyagolhat-

juk 12

cc , a munkák statikus entalpiaváltozásként számíthatók

122,1 iiw

sst , (16.3)

illetve

122,1 iiwt . (16.4)

16. SÚRLÓDÁSOS ADIABATIKUS FOLYAMATOK 51


A két munkának megfelelő területeket vonalkázással az 16.1/a és b. ábra

szemlélteti.

A diagramok összehasonlításából kitűnik, hogy a súrlódásos adiabatikus

folyamat b-c-2-2s-b területnek megfelelő munkával több munkát igényel,

vagyis a többletmunka

)bcb(területwwwss,t,tt 22

2121. (16.5)

Az 1-2 súrlódásos folyamat a T - s diagrammban a súrlódás miatt tér el az

izentrópikus 1-2s folyamattól. Így a folyamat vonala alatti terület a súrló-

dás során keletkező hőmennyiségnek felel meg (16.2. ábra). Amennyiben

összevetjük a t

w munkaeltérést a

súrlódás során keletkező hőmennyi-

séggel, azt látjuk, hogy

súrlt

qw

vagyis, hogy a súrlódás miatt igé-

nyelt többletmunka nagyobb, mint a

súrlódás során keletkező hőmennyi-

ség.

A különbség az 1-2-2s-1 terület.

Vizsgáljuk meg, mi a magyarázata

ennek a látszólagos ellentmondás-

nak?

Ehhez hasonlítsunk össze T - s diagrammban egy az 1-2 súrlódásos fo-

lyamat mentén (szaggatott vonal) haladó – azt lefedő – ideális politró-

pikus 1-2p folyamatot (folytonos vonal) az 1 állapotból kiinduló 1-2s ideá-

16.2. ábra – A súrlódási hő és wt

összehasonlítása

T

1

2

2s p1

p2

b c

qsúrl

s

T

1

2

2s

1’

p1

p2

a b c s

wt1,2s

a.) T

1

2

2s

1’

p1

p2

a b c s

wt1,2

b.)

16.1. ábra – Ideális és valóságos adiabatikus kompresszió

összehasonlítása



lis adiabatikus folyamattal. Ez a politrópikus folyamat abban különbözik

a vizsgált súrlódásos folyamattól, hogy ebben az esetben a folyamat gör-

béjének eltérése az izentrópától a kívülről bevezetett hő miatt következett

be. A politrópikus folyamat munkaszükséglete az 16.3. ábrán vonalkázot-

tan van feltüntetve, az ideális adiabatikusé ugyanitt, mint az a-b-2s-1’-a

terület látható.

Az ábrából kitűnik, a két – az

ideális adiabatikus és az ideális

politrópikus - folyamat technikai

munkája az 1-2-2s-1 területnek

megfelelő munkával tér el egy-

mástól. Ez az u.n. politrópikus

többletmunka-szükséglet, melyet

a folyamat fűtése miatt kell be-

vezetni.

stptpolwww

2,12,1 . (16.6)

Ugyanekkora területeltérést ta-

pasztalunk a súrlódás során ke-

letkező hőmennyiség és a súr-

lódás miatti munkaszükséglet-

növekmény között (16.2. ábra).

A súrlódás során keletkező hőmennyiség hatása a sűrítési folyamatra tehát

ugyanaz, mint a kívülről bevitt hőmennyiségnek, vagyis ugyanolyan

mértékben növeli meg a sűrítés munkaszükségletét. Ez logikus is, hiszen

a kompresszorban, pl. az első fokozatban a súrlódás következtében

keletkezett, vagy kívülről bevitt hő hatása a következő fokozatokban a

sűrítés kezdeti hőmérsékletének növekedésében mutatkozik meg. Ez

pedig a sűrítési munkaszükséglet növekedését eredményezi. Gondoljunk

az ideális adiabatikus folyamat munkaszükségletére – mely adott

nyomásviszony esetén – a belépő hőmérséklet lineáris függvénye:

1

1

1

2

112122,1

p

pTcTTciiw pspsst

. (16.7)

Tehát a súrlódás miatti többletmunka-szükséglet és a súrlódás során ke-

letkező hő különbsége a politrópikus többletmunka-szükséglettel meg-

egyező, vagyis

polsúrlt

wqw (16.8)

16.3. ábra – Ideális adiabatikus és

politrópikus kompressziómunkák

összehasonlítása

p1

T

1

2p

2s

1’

p2

a b c

s

wt1,2p

2



A valóságos adiabatikus folyamatok jellemzésére két hatásfokot használ-

nak. Ezek a valóságos és a vonatkozó hatásfok elnevezésében levő ideális

folyamat technikai munkáinak viszonyát fejezik ki úgy, hogy a tört értéke

1-nél kisebb legyen.

A kompresszió adiabatikus (vagy izentrópikus) hatásfoka az ideális adia-

batikus (izentrópikus) és a valóságos adiabatikus folyamatok technikai

munkáinak hányadosa.

2,1

2,1

t

stk

sw

w

munkájatechnikaifolyamatsadiabatikuValóságos

munkájatechnikaifolyamatusIzentropik , (16.9)

kifejtve

1

1

1

2

1

1

2

12

12

12

12

*

1

*

2

*

1

*

2

2,1

2,1

T

T

p

p

TT

TT

ii

ii

ii

ii

w

wsss

t

stk

s

, (16.10)

Hasonló módon értelmezzük a kompresszió politrópikus hatásfokát

2,1

2,1

t

ptk

pw

w


munkájatechnikaifolyamatusPolitropik , (16.11)

mely behelyettesítésekkel a következő alakokat ölti:

1

1

12

2,112

*

1

*

2

2,1

*

1

*

2

2,1

2,1

f

f

p

np

t

ptk

pn

n

c

cc

ii

qii

ii

qii

w

w

. (16.12)

A politrópikus hatásfok – mint látjuk – nem függ a nyomásviszonytól.

Az izentrópikus hatásfok és a politrópikus hatásfok kapcsolata:

12cc

Ideális gáz

12cc

12cc

Ideális gáz



Amennyiben bevezetünk egy olyan politrópikus folyamatot, amelyik fo-

lyamatának görbéje lefedi a súrlódásos adiabatikus folyamat görbéjét, an-

nak egyenletét – mint matematikai összefüggést – felhasználhatjuk a súr-

lódásos adiabatikus folyamat paraméterei közötti kapcsolat leírására. A

bevezetett fiktív politrópikus folyamat, melynek kitevője legyen nf, nem

helyettesíti a valóságos adiabatikust, de segítségével összefüggést nye-

rünk az állapotjelzők között és kifejezhetjük a súrlódás során keletkezett

hőmennyiséget. Így a súrlódásos adiabatikus folyamat kezdeti és vég ál-

lapotjelzői között írható a Poisson-egyenlet

f

f

n

n

p

p

T

T

1

1

2

1

2

. (16.13)

A súrlódási hő számítására pedig a

)(12

TTcqnfsúrl

, (16.14 )

ahol a fiktív politrópikus folyamat fajhője

1

f

f

vnfn

ncc

. (16.15)

A politrópikus többletmunka-szükséglet (16.6) alapján

stptpol

www2,12,1

(16.16)

vagy a 16.2. ábra alapján

12nfs22ppol

TTcTTcw . (16.17)

A (16.10) összefüggés nevezőjében (16.13) -at behelyettesítve, valamint a

politrópikus hatásfok (16.12) egyenletéből az f

f

n

n 1 értékét kifejezve

kapjuk

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

k

pf

f

p

p

p

p

p

p

p

p

n

n

k

s

. (16.18)

A (16.18) egyenletben a nevezőben szereplő nyomásviszony kitevője

nagyobb, mint a számlálóban lévő nyomásviszonyé, ezért az izentrópikus

hatásfok – adott politrópikus hatásfok mellett – a nyomásviszony

növekedésével csökken.



Amennyiben a nyomásviszony tart az 1-hez, az izentrópikus hatásfok ha-

tárértékét a Bernoulli–l’ Hospital szabály alkalmazásával kapjuk meg:

k

p

k

p

p

p

p

p

k

s

p

p k

p

k

p

p

p

p

p

p

p

p

p

lim

lim

lim

1

1

1

2

1

11

1

2

1

1

1

2

1

1

2

1 1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

, (16.19)

vagyis 1

1

2

p

pesetén az izentrópikus és a politrópikus hatásfok meg-

egyezik.

Az izentrópikus hatásfok változását szemlélteti az 16.4. ábra. A diagram-

ból kitűnik, hogy a fokozat izentrópikus hatásfoka nagyobb, mint a teljes

kompresszoré.

Az 16.5. ábra a kom-

presszió izentrópikus

és politrópikus hatás-

fok képleteket terüle-

tekkel szemlél-teti. A

két diagram egybeve-

tése mutatja, hogy a

kompresszió politró-

pikus hatásfoka na-

gyobb, mint az izen-

trópikus (a nevezők

azonossága mellett a

politrópikus hatásfok

számlálója nagyobb).

Ez a megállapítás az 16.4. ábrából is következik.

Amennyiben összehasonlítjuk a 16.5/a. és 16.5/b. ábrákat, a diagrammok-

ból látszik, hogy míg a politrópikus hatásfokok számlálója és nevezője

(16.5/b. ábra) csak a súrlódás során keletkező hőmennyiséggel tér el

egymástól – amely egyértelműen az aerodinamikai tökéletesség függvé-

nye – az izentrópikus hatásfok értékét (16.5/a. ábra) ezen kívül befolyá-

solja a nyomásviszony is [(16.10) egyenlet]. Tehát a politrópikus hatásfok

jobban jellemzi a turbinák lapátozásának aerodinamikai tökéletességét,

mint az izentrópikus hatásfok.

16.4. ábra – Az izentrópikus hatásfok függése a

kompresszió nyomásviszonyától

k

p 1

k

p 1 = const

k

p 2

k

p 2 = const

k

s

p2/p1

1



16.2. A súrlódásos adiabatikus expanzió

A valóságos adiabatikus expanzió – hasonlóan a kompresszióhoz –

entrópia növekedéssel jár, s a véghőmérséklete is nagyobb lesz, mint az

izentrópikus folyamaté (16.6. ábra szaggatott vonal). Itt a folyamat

kezdőpontja a gázturbina jelölésrendszerét követve 3, végpontja 4

sorszámot kapott.

A súrlódásos adiabatikus expanzió folyamat technikai munkája ebben az

esetben is entalpiaváltozásként határozható meg

T

3

4

4s

4’ p4

p3

a b c

s

4s’

wt3,4s

a.) 3

4

4s

4’ p4

p3

a b c

s

4s’

T

wt3,4

d

b.)

16.6. ábra – Ideális és valóságos adiabatikus expanziómunkák

összehasonlítása

p2

s

p1

T 2

1

s

p2

p1

2

1

T

p2

k

p

b.)

16.5.ábra – Az expanzió izentrópikus és politrópikus

hatásfokának összehasonlítása

k

s

T

1

p1

p2

s

2

p2 2

p1

1

s

T

a.)

;



2

2

3

2

4

34

*

3

*

44,3

cciiiiw t

, (16.20)

izentrópikus folyamatnál

2

2

3

2

4

34

*

3

*

44,3

cciiiiw

s

ssst

. (16.21)

Ezek a munkák negatívak.

Abszolút értékük értelemszerűen

2

2

4

2

3

43

*

4

*

34,3

cciiiiw t

(16.22)

és

2

2

4

2

3

43

*

4

*

34,3

s

ssst

cciiiiw

(16.23)

kifejezésekkel számíthatók. Amennyiben eltekintünk a mozgásenergia

változástól (43

cc ), a munkákat statikus entalpia-különbségként számít-

juk

434,3 iiw t és

sst iiw 434,3 . (16.24)

Az ideális adiabatikus folyamat technikai munkáját a 16.6/a., a valóságo-

sét a 16.6/b. ábra szemlélteti. A két diagramm összevetéséből látható,

hogy a súrlódás az a - d - 4’ - 4s’ - a te-

rülettel jellemzett 4,34,3 tstt

www

technikai munka csökkenést okoz.

Ez a terület a T - s diagram sajátosságai

alapján megegyezik a b - c - 4 - 4s - b

területtel.

Amennyiben összehasonlítjuk a súrló-

dás miatti technikai munka csökkenését

és a súrlódás során keletkező hőmeny-

nyiséget (16.7. ábra), a diagramból azt

látjuk, hogy a munkaveszteség kisebb,

mint a súrlódási hőmennyiség. Ez az eredmény ellentétes előjelű a

kompressziónál tapasztaltnál. Az eredmény magyarázatához itt is

kövessük a kompressziónál alkalmazott módszert.

16.7. ábra – A súrlódási hő és

wt összehasonlítása

3

4 4s

p4

p3

b c

s

T

wt



Ebben az estben is hasonlítsuk össze az ideális adiabatikus expanziót

azzal az ideális (fűtött) politrópikus folyamattal, amelyik a T - s

diagramban ugyanazon két állapot között ugyanazon állapotokon

keresztül halad, mint a súrlódásos (16.8/a. ábra). A 3 - 4p folyamat

politrópikus munka területét az ábrán vonalkázással jelöltük. A

diagramon jól követhető, hogy a b - c - 4p - 4s - b területrész megegyezik

az a - d - 4’- 4s’ - a területtel, tehát oda áttolható.

Az ilyen módon átszerkesztett politrópikus technikai munkaterületet a

16.8./b ábra szemlélteti. Ezen az ábrán látható az izentrópikus technikai

munka területe (a - b -3 - 4s' - a) is, melyet a politrópikus munkával

összehasonlítva azt kapjuk, hogy a kívülről bevezetett hőmennyiség

eredményeképpen a fűtött politrópikus folyamat a 3 - 4s - 4p - 3 területnek

megfelelő munkával többet szolgáltat az ideális adiabatikusnál, vagyis a

bevezetett hő ezen része munkává alakul.

Ezt a munkatöbbletet politrópikus többletmunkának, illetve hővissza-

nyerésnek nevezzük.

Ez a terület pontosan ugyanakkora, mint amennyivel a súrlódás során

keletkező hőmennyiség nagyobb a munkaveszteségnél (16.8. ábra), azaz a

súrlósási hő akkora része alakul munkává, mint amekkora a kívülről

bevezetettnek. Tehát az expanzió során is azt tapasztaljuk, hogy a kívülről

bevezetett és a súrlódás során keletkezett hő hatása a folyamatra ugyanaz.

A súrlódásos adiabatikus expanzió folyamat izentrópikus (adiabatikus)

hatásfoka

16.8. ábra – Ideális politrópikus és ideális adiabatikus

expanziómunkák összehasonlítása

T

3

4

4s

4’ p4

p3

a b c

s

4s’

4p

d

a) 3

4p

4s

4’ p4

p3

a b c

s

4s’

T

b)



st

te

s

w

w

munkájatechnikaifolyamatsadiabatikuIdeális


4,3

4,3

,

(16.25)

összefüggés szerint értelmezett, illetve kifejtve

1

3

4

3

4

43

43

43

43

*

4

*

3

*

4

*

3

4,3

4,3

1

1

p

p

T

T

TT

TT

ii

ii

ii

ii

w

w

sssst

te

s . (16.26)

A súrlódásos adiabatikus expanzió politrópikus hatásfoka

,

4,3

4,3

pt

te

p

w

w

munkájatechnikaifolyamatuspolitrópikIdeális


(16.27)

f

f

np

p

pt

te

pn

n

cc

c

qii

ii

qii

ii

w

w 1

14,343

43

4,3

*

4

*

3

*

4

*

3

4,3

4,3

.

(16.28)

A továbbiakban vezessük be a 4

3

p

p jelölést. Ezzel a (16.27) alapján a

fiktív politrópikus folyamat segítségével, illetve az f

f

n

n 1 kitevő politró-

pikus hatásfokból (16.28) történő kifejezése és a behelyettesítés után a

kompresszió esetével analóg módon kapjuk

12 cc

12cc

Ideális gáz

12cc

12cc

Ideális gáz



1

1

1

1

11

11

11

11

e

pf

f

n

n

e

s. (16.29)

A kifejezés azt mutatja, hogy valóságos adiabatikus expanziónál a

nyomásviszony () növelésével – adott politrópikus hatásfoknál – az

izentrópikus hatásfok nő.

Hasonlóan a kompresszió

folyamathoz bizonyítható,

hogy amennyiben a nyo-

másviszony tart az 1-hez, az

izentrópikus hatásfok tart a

politrópikushoz. Ez azt is

jelenti, hogy az egész

turbina izentrópikus hatás-

foka nagyobb, mint a foko-

zat hatásfoka. A 16.9. és

16.10. ábrából az is kitűnik,

hogy az expanzió izentró-

pikus hatásfoka nagyobb,

mint a politrópikus.

p3

16.10. ábra – Az expanzió izentrópikus és politrópikus

hatásfokának összehasonlítása

e

s

T

T

s

p4

p3

s

3

4

p4

p3 3

4

a.)

e

p

s

T 3

4

p4 b.)

p4

T

p4

p3

3

4

s

16.9. ábra – Az izentrópikus hatásfok

függése az expanzió nyomásviszonyától

e

p1 = const

e

p 2 = const

e

s

e

p 2

e

p 1

4

3

p

p

1



Az 16.10. ábra a kompresszióhoz hasonlóan a hatásfok összefüggéseket

munkaterületekkel szemlélteti. Az ábra jól mutatja, hogy a politrópikus

hatásfok jobban jellemzi az expanziós gép áramlástechnikai

tökéletességét, mint az izentrópikus.

A súrlódásos adiabatikus expanzió és kompresszió folyamatok elemzése

után megállapítható, hogy míg a kompresszornál az első fokozatok, addig

a turbina esetében az utolsó fokozatok áramlástechnikai kialakítása

befolyásolja nagyobb mértékben a kompresszor, illetve turbina

harásfokát. Ez abból következik, hogy a kompresszor első fokozataiban

súrlódás során keletkező hőmennyiség az ezeket követő fokozatokban

növeli a sűrítési munka igényét. A turbinák esetében az első fokozatokban

keletkező hő egy része a további fokozatokban megtérül, míg az utolsó

fokozatokban keletkező hőmennyiség kisebb mértékben tud munkává

alakulni.

Példa:

Egy légturbina előtti szabályozószelepen a po = 20 bar nyomású 600 oC

hőmérsékletű levegő fojtást szenved. A turbinában súrlódásos adiabatikus

expanzió zajlik p2 = 1 bar nyomásig ( , )s

e 0 9 . Meghatározandó a sza-

bályzó szelep utáni p1 nyomás, ha az irreverzibilitások következtében a

rendszer hasznos munkavégző képessége 60 kJ/kg értékkel csökkent

(tkörny=27 o

C). Meghatározandó: a politrópikus hatásfok, fajlagos technikai

munka. R = 287 J/(kg K);=1,4.

Megoldás:

Fojtás során 01

TT .

Hasznos munkavégző képesség csökkenés

sTwminh

.

Melyből az entrópiaváltozás

kg/JT

ws

min

h200

300

60000

.

Másrészt 0

2

0

2

pp

plnR

T

Tlncs , ebből

p0 p1

p2 T

s s

0 1

2 2s



K,lneeTTp

pln

c

R

c

s

pp

545220

1

1004

287873 1004

200

02

0

2

.

Az expanzió izentrópikus hatásfoka

12

12

TT

TT

s

e

s

, ebből K,

,

,TTTT

e

s

s78405

90

8735452875

12

12

.

A p1 nyomás a Poisson-egyenletből

bar,,T

Tpp

,

s

61478405

8731

531

2

1

21

,

f

f

n

1n

1

2

1

2

p

p

T

T

, melyből 2450

614

1

873

5452

1

1

2

1

2

,

,ln

,ln

p

pln

T

Tln

n

n

f

f

.

A politrópikus hatásfok 857502450531

1,,,

n

n

f

fe

p

.

A fajlagos technikai munka

kg/kJ,,,TTciiwp,t

392422873545251004121221

.


17. Gőzök termodinamikája

17.1. Alapfogalmak

Az ipari termelés, az energetika minden területén használják a különböző

anyagok (víz, ammónia, széndioxid stb.) gőzeit technológiai folyamatok-

ban, energiatermelésben. A legszélesebb alkalmazási területe a vízgőznek

van. A vízgőz munkaközeg a gőzturbinákban, gőzgépekben, atomerőmű-

vekben és hőhordozó a különböző hőcserélő berendezésekben, stb.

Kiterjedt alkalmazásának indokai:

- a víz a természetben a legnagyobb mennyiségben előforduló anyag,

- a víz és gőze viszonylag jó termodinamikai jellemzőkkel rendelkeznek,

- a víz és gőze nem veszélyes hatású a fémekre és az élő szervezetekre.

A továbbiakban alapvetően a vízgőz jellemzőivel foglalkozunk, de nyil-

vánvalóan a megismert fogalmak, összefüggések valamennyi anyag gőzé-

re használhatók.

Gőz – a cseppfolyósodáshoz közel álló gáz.

Gőzök folyadékból párolgás és forrás útján fejleszthetők hőfelvétellel.

Azt a folyamatot, melyben az anyag cseppfolyós halmazállapotból gőzzé

alakul gőzképződésnek nevezzük.

Párolgás – mindig, bármilyen hőmérsékleten a folyadék felszínéről törté-

nik. A párolgás során az egyes nagysebességű molekulák legyőzik a ko-

héziós erőket és kirepülnek a környezetbe. A párolgás teljes, ha határtalan

térben történik.

A párolgás intenzitása növekszik a folyadék hőmérsékletével.

A forrás – a hőközlés hatására egy bizonyos hőmérsékleten - és az anyag

fizikai tulajdonságaitól függő nyomáson - a folyadék egész tömegében

megindul a gőzképződés. A keletkező gőzbuborékok a környezetbe re-

pülnek. Az elnyelt gázok buborékainak belső felületén kezdődik a gőz-

képződés és a belső és külső nyomások különbsége eredményezi a bubo-

rékok méretváltozását és felemelkedését. A forrásban lévő folyadék a telí-

tett folyadék.

A tiszta (szennyezőktől és elnyelt gázoktól mentes) folyadék nem forr,

csak a felületéről párolog (túlhevített folyadék). Ez egy metastabil állapot,

amikor a folyadék kis rázkódás vagy más megzavarás (pl. tea-levél bedo-

bása) hatására a folyadék robbanásszerűen forrni kezd.



Kondenzáció – ha a gőztől hőt vonunk el (p = áll., t = áll.) a gőz konden-

zálódik (lecsapódik). A lecsapódott folyadékot kondenzátumnak is nevez-

zük.

Olvadás – a kristályos szilárd test állandó nyomáson hevítve egy bizo-

nyos hőmérsékleten megolvad (olvadáspont). A hőmérséklet addig állan-

dó marad, míg az egész anyag át nem alakul folyadékká. Az olvadás a

nyomástól függő olvadási hőmérséklet elérésekor mindig megindul.

Fagyás – az olvadás fordítottja. A folyadék hűtésével elérve a fagyáspon-

tot, a hőmérséklet addig nem csökken tovább, míg az egész folyadék meg

nem fagy. A folyadék rázkódásmentes hűtéssel lényegesen fagyáspontja

alá hűthető (túlhűtött folyadék). Amennyiben ebbe a folyadékba egy kis

kristályt bedobunk, vagy megrázzuk – a folyadék fagyása megkezdődik

és felmelegszik fagyáspontjára.

Szublimáció – átmenet szilárd halmazállapotból közvetlenül gázzá (gőz-

zé). A fordított folyamat a deszublimáció.

Zárt edényben a kirepülő molekulák kitöltik a rendelkezésre álló teret.

Ekkor azon molekulák egy része – amelyik közvetlenül a felszín felett

mozog – visszatér a felszínbe.

Egy adott pillanatban a párolgás és visszatérés között egyensúly létre. A

gőz ebben az állapotban a maximális sűrűséggel rendelkezik és ezt a gőzt

telített gőznek nevezzük.

A folyadékával érintkező, vele termikus egyensúlyban lévő gőz a telített

gőz. A hőmérséklet megváltozásával az egyensúly megbomlik. Az utolsó

csepp folyadék elpárolgásának pillanatában keletkezik a száraz telített

gőz, melynek állapota 1 paraméterrel (hőmérséklet, nyomás vagy fajtér-

fogat) megadható.

A telített gőzben a folyadéktükör fölött kis vízcseppecskék vannak a gőz

egész térfogatában egyenletesen eloszolva. Az ilyen mechanikai keveré-

ket a vízcseppek és a gőz között nedves gőznek nevezzük.

A folyadékával érintkező, azzal termikus egyensúlyban levő gőz a nedves

telített gőz. A nedves telített vízgőz nem átlátszó, a száraz telített – igen.

A száraz telített gőz hevítése után nyerjük a túlhevített gőzt. Ezt folyadék-

felszín fölött nem lehet nyerni.

A folyadék hevítését és elgőzölögtetését nagyobb nyomáson ismételve, a

forrás nagyobb hőmérsékleten indul meg.

17. GŐZÖK TERMODINAMIKÁJA 65


17.2. A gőzök jellemzői, diagramjai

17.2.1. A p - v - T állapotfelület

A gőzök állapotjelzői a gázokhoz hasonlóan – de annál jóval összetettebb

- állapotfelületet alkotnak. Megkülönböztetünk olyan folyadékokat, me-

lyek térfogata fagyáskor csökken – a legtöbb folyadék így viselkedik –

(17.1/a. ábra), és olyanokat (pl. víz), melynek térfogata fagyáskor nő

(17.1/b. ábra).

17.1. ábra – Háromdimenziós fázisdiagram [12]

a)

b)



Mint a 17.1. ábrán látható, a bonyolult, nehezen leírható állapotfelület he-

lyett annak p - v, p - T és v - T síkokra vonatkozó vetülete képezhető és a

vizsgálatoknál ezeket használjuk.

A továbbiakban a gőzök jellemzőit a vízgőzre, mint leggyakrabban alkal-

mazott munkaközegre nézve tárgyaljuk.

17.2.2. A vízgőz p - v diagramja

Az 1 kg (1) állapotú vizet az átlátszó falú hengerben állandó nyomáson

(pl. p=p1) hevítve, kezdetben a folyadék hőmérséklete és térfogata nő

(17.2. ábra)

Az 1’ pontban a folyadék egész tömegében megindul a gőzképződés (for-

rás) → az átláthatóság megszűnik. Ez a telített folyadék állapot.

Ezután a további hőközlés hatására nő a víz – gőz keverék térfogata és a

gőzfázis mennyisége (párolgás) de a hőmérséklet nem változik Majd egy

bizonyos térfogaton a henger újra átlátható lesz. Ebben a pillanatban az

utolsó csepp folyadék is elpárolgott → ez a száraz telített gőz állapot

(1’’).

Ezt követően a további hőközlés hatására nőni kezd a gőz hőmérséklete

→ túlhevített gőzt kapunk (1’’’).

17.2. ábra – A vízgőz p - v diagramja



A kísérletet más nyomásokon is elvégezve, hasonló állapotváltozásokat

figyelhetünk meg (2’, 2’’). A p - v diagramban megjelölve ezeket a jel-

legzetes pontokat és azokat összekötve két határgörbét (a telített folyadék

állapotokat reprezentáló alsó és a száraz telített gőz állapotokat összekötő

felső határgörbét) kapunk. A két határgörbe a kritikus pontban találkozik

ahol a telített folyadék és száraz telített gőz állapot egybeesik.

A telített folyadék jellemzőit ’-vel, míg a száraz telített gőzét ’’-vel (pl. v’

vagy v”) jelöljük.

A kritikus pont minden folyadék alapvető fizikai jellemzője: adott nyo-

más (pkr), hőmérséklet (Tkr) és fajtérfogat (vkr) tartozik hozzá. A kritikus

hőmérséklet fölött a gőz csak nyomásnöveléssel nem cseppfolyósítható.

Mint a 17.2. ábrából látható, a p - v diagram felosztható egyfázisú és két-

fázisú zónákra. Egyfázisú zónákban a fizikai tulajdonságok mindenütt

azonosak. Az olvadás, szublimáció és párolgás (telítés) zónájában két fá-

zis van egyensúlyban – ekkor a szabadon választható paraméterek száma

(8.1) alapján

12212 FASz

A két fázis termikus egyensúlyban van.

A két határgörbe közötti tartomány a nedves telített gőz tartománya. A

17.2. ábrán láthatók az izotermák is, melyek a két határgörbe között víz-

szintes szakasszal, míg a kritikus pontban az izoterma vízszintes érintővel

rendelkezik.

A nedves telített gőzt, mint telített folyadék és száraz telített gőz mecha-

nikai keverékét értelmezzük és az

"m'm

"m

mm

mx

foly.telg.tel.sz

g.tel.sz

(17.1)

fajlagos gőztartalommal jellemezzük.

A telített folyadék esetében x = 0, míg a túlhevített gőznél x = 1.

A gőzjellemzők többségét táblázatokból (gőztáblázatokból) vehetjük. A

telített folyadék és száraz telített gőz jellemzőit (alsó és felső határgörbék)

a Műszaki hő- és áramlástan példatár [17] Függelék F.9 és F.10, a folya-

dék és túlhevített gőz jellemzőit pedig az F.11 táblázat tartalmazza.

A gőzök belső energiáját az entalpia fizikai tartalmát definiáló összefüg-

gés (7.39) alapján számíthatjuk

pviu . (17.2)



A gőzökre az ideális gázokra levezetett állapotegyenlet, valamint az ideá-

lis folyamatokra az állapotegyenlet felhasználásával nyert összefüggések

nem alkalmazhatók.

A gőz tömegét a térfogat és fajtérfogat alapján határozhatjuk meg.

v

Vm . (17.3)

A nedves telített gőz térfogata a telített folyadék és a száraz telített gőz

térfogatának összegével egyenlő:

VVV , (17.4)

vmvmmv , (17.5)

melyből

vxvx1vm

mv

m

mv

(17.6)

vagy másképp

vvxvv . (17.7)

Hasonló módon számítható az entalpia

iix'ii , (17.8)

és az entrópia

ssx'ss . (17.9)

A gőztáblázatok és a fenti összefüggések alapján a gőz jellemzői T - s, il-

letve i - s diagramban szemléltethetők, így nem csak táblázatok, hanem e

diagramok segítségével is elvégezhetők a gőzökkel kapcsolatos számítá-

sok.

17.2.3. A vízgőz T - s diagramja

Az izobárokra az ideális gázoknál tanultaknak megfelelően írható:

pp

c

T

ds

dT

. (17.10)

A diagramot az ideális gáztól eltérően táblázati adatok alapján építik fel.

A telítési mezőben p

c , általában 0p

c .



vvc

T

ds

dT

. (17.11)

A v = állandó görbéket az

izobárokon különböző

pontokban meghatározott

v értékek közül az azonos

értékűek összekötésével

nyerjük.

A határgörbéken ugrást

szenved mindkét fajhő,

ezért a vonalakban törés

van (17.3. ábra).

A folyadék mezőben az

izobárok majdnem a ha-

tárgörbével esnek egybe.

A diagramban a területek

ugyanúgy értelmezettek,

mint az ideális gázoknál.

Az állandó entalpia vona-

lakhoz tartozó állandó nyomásgörbe alatti területek azonosak.

(Az A-B-C-D-E-A pontozottan határolt terület egyenlő az A-B-F-G-H-A

területtel.)

17.2.4. A vízgőz i-s diagramja

A diagram felépítése a T - s diagramhoz hasonlóan táblázati adatok alap-

ján történik (17.4. ábra).

A két határgörbe közötti tartományban

dTcdip

, és didTcqp

.

Továbbá, mivel

T

qds

,→ Tdsq ,

Tdsdi ,

ebből

17.3. ábra – A vízgőz T - s diagramja



Tds

di

p

. (17.12)

A két határgörbe között ál-

landó nyomáshoz állandó

hőmérséklet tartozik, így itt

mind az izobár, mind az

izoterma egyenes.

A gyakorlati számításokban

a 17.4. ábrán szaggatottan

körbejelölt (a gyakorlatban

kinagyított) diagramrészt

használjuk. ([17] Függelék

F.2. ábra.)

Az i - s diagramban a terü-

leteket nem értelmezzük.

Állapotokat és metszékeket,

változásokat határozhatunk meg (pl. az izobár hőmennyiséget és az adia-

batikus technikai munkát entalpiaváltozásként kapjuk meg).

17.2.5. A gőztermeléshez felhasznált hőmennyiség és felosztása

A 4 állapotú folyadékból 1

állapotú (17.5. ábra) túlheví-

tett gőz nyeréséhez állandó

nyomáson szükséges hő-

mennyiség (a kazánban a

hőközlést állandó nyomáson

tételezzük fel):

411,4iiq .

Ez a hőmennyiség három

részre bontható:

Folyadékhő – az a hőmeny-

nyiség, mely a telített folya-

dékká alakításhoz szükséges

411,4iiq .

17.5. ábra – A gőztermelésre fordított

hőmennyiség megoszlása

17.4. ábra – A vízgőz i - s diagramja



Párolgáshő az a hőmennyiség amelyet 1kg telített folyadékkal kell közöl-

ni állandó nyomáson (és hőmérsékleten) hogy száraz telített gőzt nyer-

jünk.

111,1 iirq .

Jelölése: r, mértékegysége J/kg.

Túlhevítési hő – az a hőmennyiség, amelyet ahhoz kell közölni, hogy a

száraz telített gőzből kívánt állapotú túlhevített gőzt kapjunk.

111,1 iiq .

17.2.6. A párolgáshő és összetevői

Párolgáshő az a hőmennyiség, amelyet 1kg telített folyadékkal kell kö-

zölni állandó nyomáson (és hőmérsékleten) hogy száraz telített gőzt nyer-

jünk. Jelölése r, mértékegysége J/kg.

Mivel a párolgáshő állandó nyomáson kerül közlésre ezért értéke entalpi-

aváltozásként

'i"ir (17.13)

vagy mivel a hőmérséklet is állandó az entrópiaváltozás és a hőmérséklet

szorzataként határozható meg:

's"sTr . (17.14)

Behelyettesítve az entalpia (17.2) kifejezését

'pv'u"pv"ur , (17.15)

melyet átrendezve kapjuk

'v"vp'u"ur . (17.16)

A belső párolgáshő ahhoz szükséges, hogy a molekula ki tudjon lépni a

folyadékból. Ez a párolgáshő hányad a belső potenciális energia megvál-

toztatására (a molekulák közötti vonzóerők legyőzésére), vagyis a szét-

kapcsolódási munkára fordítódik

A külső párolgáshő a kilépett gőz expanziómunkája .

Belső() Külső()

párolgáshő



17.2.7. Clausius–Clapeyron-egyenlet

A párpolgáshő meghatározása a tenziógörbe és a termikus állapotjelzők

ismeretében.

A 17.6 ábrán az 1-2-3-4-1 terület mindkét diagramban azonos (elemi

munka w )

's"sdT'v"vdpw . (17.17)

A (17.14) egyenletből következőleg

T

r's"s . (17.18)

Ezt behelyettesítve (17.17)-be majd ki-

fejezve a párolgáshőt, kapjuk:

dT

dp'v"vTr . (17.19)

Ez a Clausius–Clapeyron-egyenlet,

ahol dT

dp a p = f(T) tenziógörbe

(17.7 ábra).

17.6. ábra – Elemi gőzkörfolyamat p - v és T - s diagramban

17.7. ábra – Érintő a

tenziógörbéhez



17.3. Gőzök egyszerű állapotváltozásai

A gőz munkaközeggel lejátszódó folyamatok esetében a folyamat alap-

egyenletét (állapotjelzők meghatározásához), illetve a termodinamika első

főtételének összefüggéseit alkalmazhatjuk a számításokban. Az ideális

gázokra levezetett egyenletek nem használhatók.

17.3.1. Izobár (p = áll) folyamat

A folyamat egyenlete .állp , 12pp .

Hőmennyiség

122,1

iiq ; 2,12,1

mqQ ; . (17.20)

Belsőenergia-változás

121212

vvpiiuu .

Térfogatváltozási munka

212,1

vvpw ; 2,1212,1

mwVVpW . (17.21)

Technikai munka (teljesítmény)

; . (17.22)

Bármelyik mennyiség meghatározására alkalmazhatjuk a termodinamika

első főtételének kifejezéseit is

212112 ,,

WQUU , (17.23)

212112 ,t,

**wqii . (17.24)

2,12,1qmQ

2

ccqiiw

2

1

2

2

2,1

*

1

*

22,1t

2,1twmP

17.8. ábra – Izobár folyamat p - v, T - s és i - s diagramban



17.3.2. Izochor (v = áll.) folyamat

A folyamat egyenlete .állv , 12vv .


11221212

vpvpiiuu ; 1212

uumUU .

Hőmennyiség

122,1uuq ;

2,1122,1mqUUQ . (17.25)

Térfogatváltozási munka

021

,W .

Technikai munka (c1 = c2 = 0 és v = állandó esetén)

12

p

p

2,1tppvvdpw

2

1

. (17.26)

Figyelembe véve a (17.2), (17.25) és (17.26) összefüggést – ha a gőzt az

adott folyamatban összenyomhatatlannak tekinthetjük (v1=v2) – az idő-

egység alatti munka

2

ccppV

2

ccppvmwm

2

1

2

2

12

2

1

2

2

1212,1t .

(17.27)

Bármelyik mennyiség meghatározására értelemszerűen alkalmazhatjuk a

termodinamika első főtételének (17.23), (17.24) kifejezéseit is.

17.9. ábra – Izochor folyamat p - v, T - s és i - s diagramban



17.3.3. Izotermikus (T = áll.) folyamat

A folyamat egyenlete .állT , 12TT .

Hőmennyiség

122,1

ssTq ; 2,12,1

mqQ ; 2,12,1

qmQ . (17.28)


0vpvpiiuu11221212 ,

1212

uumUU . (17.29)

Térfogatváltozási munka az első főtételből következőleg

2,1122,1

QUUW . (17.30)


2,1

2

1

2

2

122,1

*

1

*

22,1tq

2

cciiqiiw

; .

17.31)

Bármelyik mennyiség meghatározására értelemszerűen alkalmazhatjuk a

termodinamika első főtételének (17.23), (17.24) kifejezéseit is.

2,1twmP

17.10. ábra – Izotermikus folyamat p - v, T - s és i - s diagramban



17.3.4. Adiabatikus ( 021

q,q, ) folyamat

A folyamat egyenlete .álls , 12ss .

Hőmennyiség

021

,Q .

Térfogatváltozási munka az első főtételből következőleg

122,1

uuw ; 212,1

uumW . (17.32)


2

cciiiiw

2

1

2

2

12

*

1

*

22,1t

, . (17.33)

17.4. A Rankine–Clausius-gőzkörfolyamat

17.4.1. A körfolyamat sajátosságai

A gőztermelés a kazánban valósul meg, ahol a tüzelőanyag kémiai ener-

giája átalakul a gőz entalpiájává. A kazánban három fűtőfelületet külön-

böztetünk meg: a tápvíz előmelegítőt, az elpárologtatót és a túlhevítőt.

A gőz (általában túlhevített) gőzturbinában vagy más expanziós gépben

expandál és munkát végez, majd a munkát végzett gőz egy hőcserélőben

– kondenzátorban – telített folyadék állapotig kondenzálódik. A kisnyo-

mású lecsapatott vizet (kondenzátumot) tápszivattyú juttatja vissza a ka-

zánba.

2,1twmP

17.11. ábra – Adiabatikus folyamat p - v, T - s és i - s diagramban



A körfolyamat kapcsolási rajza látható a 17.12. ábrán.

A 17.13. ábra a Rankine–Clausius-körfolyamatot szemlélteti p - v, T - s és

i - s diagramban.

A kazánban állandó nyomáson közölt hőmennyiség

4114

iiqq,be

. (17.34)

17.13. ábra – A Rankine – Clausius-körfolyamat

p - v, T - s, i - s diagramja

Turbina

Kondenzátor

Tápszivattyú

Túlhevítő

Elpárologtató

Tápvíz

előmelegítő

Hűtővíz

kilépés

Hűtővíz

belépés

Generátor

1

2

3 4

1’

1”

Szabályzó szelep

Kazán

17.12. ábra – A Rankine–Clausius-gőzkörfolyamat elemei



A kondenzátorban állandó nyomáson elvont hőmennyiség

2332

iiqq,el

. (17.35)

A kondenzátorból kilépő közeg telített folyadék állapotú, így 'ii33

. Ez-

zel

'iiqel 32

. (17.36)

A gőzturbina fajlagos munkája

2121iiww

,tT . (17.37)

A tápszivattyú fajlagos munkaszükséglete 43

cc és összenyomhatatlan

közeg esetén (17.27) összefüggés alapján

34334

ppv'iiwsz

. (17.38)

A körfolyamat fajlagos hasznos munkája

'iiiiqqwelbeh 3421

. (17.39)

Amennyiben a tápszivattyú teljesítményigényét a turbina teljesítményé-

hez képest elhanyagoljuk, ez azt jelenti, hogy 'ii34

. Ezzel

21

iiwh

. (17.40)

A turbina teljesítménye

21ghg

iimwmP . (17.41)

A Rankine–Clausius-gőzkörfolyamat termikus hatásfoka (a tápszivattyú

teljesítményigényének elhanyagolásával)

,

31

21

be

h

tii

ii

q

w

. (17.42)

Amennyiben a tápszivattyú teljesítményigényét figyelembe vesszük

41

3421

be

h

tii

'iiii

q

w

. (17.43)

A Rankine–Clausius-körfolyamat termikus hatásfokának növelése a friss

gőz p1 nyomásának, t1 hőmérsékletének emelésével, illetve a p2 konden-

zátornyomás csökkentésével érhető el. Jelenleg a turbina előtti nyomás

maximális értéke meghaladja a 300 bar, a hőmérséklet pedig a 600oC ér-

téket. E paraméterek növelésének határt szab a csővezetékek szilárdsága.

A kondenzátornyomás a hűtővíz hőmérsékletétől függ, mivel az intenzív

hűtés érdekében a gőz és a hűtővíz között 10 – 15oC hőmérséklet-



különbségre van szükség. Például 33oC telítési (kondenzációs) hőmérsék-

letnél a kondenzátornyomás 0,05 bar. A gőz tömegáram (gőzfogyasztás)

az egységteljesítménytől (max. ~1000 MW) függően több száz ton-

na/órában fejezhető ki.

A kondenzátor hőmérlege (17.14. ábra)

bevízkivízvízvízg

ttcm'iim 32

. (17.44)

A (17.44) egyenlet bal oldala

a körfolyamatból elvont hő

abszolút értéke ( elq ).

17.4.2. Gőzkörfolyamat súrlódásos (valóságos) adiabatikus ex-

panzióval a turbinában

A gőzturbinában a valóságban megvalósuló expanzió során súrlódás van

jelen, ezért a végállapot változatlan nyomása mellett a gőz hőmérséklete

nagyobb lesz, mint ideális adiabatikus esetben (lásd 16. fejezet). Ez a fo-

lyamat irreverzibilis és a II. főtétel szerint entrópianövekedéssel jár. A fo-

17.15. ábra – Súrlódásos adiabatikus expanzió gőz és gáz

munkaközeggel

17.14. ábra – Kondenzátor vázlat

Hűtővíz kiléépés

kivizvizt,m

Hűtővíz belépés

bevizvizt,m

Gőz

2g

i,m

Telített víz

'i,m3g

2

3



lyamat T - s diagramja a 17.15. ábrán (szaggatott vonal) látható. Mellette

szemléltettük az ideális gázzal lejátszódó folyamatot is.

A folyamat szaggatott vonallal

történő ábrázolása az irreverzibi-

litást hívatott jelölni. A

gőzkörfolyamat többi alkotó fo-

lyamatát továbbra is ideálisnak

tekintjük, de szem előtt kell tar-

tani, hogy az így ábrázolt körfo-

lyamat által bezárt terület nem

egyenlő a körfolyamat hasznos

munkájával.

A 17.16. ábra a súrlódásos adia-

batikus expanziófolyamatot

szemlélteti i - s diagramban.

Az adiabatikus expanzió folyamatban a súrlódást az adiabatikus

(izentrópikus) hatásfokkal vesszük figyelembe, mely a 17.16. ábra jelölé-

seivel a következő összefüggés szerint határozzuk meg (16.25):

ss,t

,t

sii

ii

w

w

munkája.technfolyamatsadiabatikuIdeális

munkája.technfolyamatsadiabatikuValóságos

21

21

21

21

.

(17.45)

Az entalpia értékeket i-s diagramból ([17] Függelék F.2. ábra), vagy gőz-

táblázatból ([17] Függelék F.9.-F.11.Táblázat) határozhatjuk meg.

Példa (1):

Milyen nyomásra kell fojtani az 50 bar nyomású, 85% gőztartalmú ned-

ves gőzt, hogy száraz telítetté váljék? Gőztáblázat használandó!

Megoldás:

Fojtás előtti és utáni entalpiaérték megegyezik: i2=i1.

11111

iixii ,

17.16. ábra – Súrlódásos adiabatikus

expanzió i - s diagramban



[17] F.10. táblázata alapján

kg/kJ,i 411541 ,

kg/kJi 27941 .

A fojtás előtti (1) állapot entalpiája

kg/kJ,,,,i 62548411542794850411541

.

A fojtás utáni (2) állapot

kg/kJ,iii 62548212 .

Az F10. táblázatból interpolációval meghatározandó a p2 nyomás

barp 034,025456,25489

03,004,003,0

2

.

Példa(2):

Gőzturbinába belépő gőz jellemzői: p1=200 bar, t1=650 oC, a kondenzá-

tornyomás 0,05 bar. A körfolyamat termikus hatásfoka 37,12%. Meghatá-

rozandó az expanzió izentrópikus hatásfoka.

Megoldás:

A feladatot i-s diagram használatával oldjuk meg. Az i - s diagramban

[17] (17.17. ábra) a p1, t1 állapotjelzők alapján (a 200 bar-os nyomásgörbe

és 650 oC hőmérséklet-görbe metszéspontjaként) meghatározzuk az i1 en-

talpia értékét: i1=3690 kJ/kg.

A kondenzátorból kilépő telített folyadék entalpia ([17] Függelék F.10.

táblázatból 0,05 bar nyomásnál) i3’=137,83 kJ/kg.


,

31

21

tii

ii

, (17.46)

melyből a turbina kilépő entalpiája

,

31t12iiii 3690-0,3712(3690-137,83)=2371,43 kJ/kg,

majd az izentrópikus hatásfok



s21

21

sii

ii

, (17.47)

ahol i2s – az i - s diagramból határozható meg, mint a p2 nyomásgörbe és

az „1” állapothoz tartozó izentrópa (az 1 pontból bocsátott függőleges)

metszéspontjához tartozó entalpia-érték.

2si =2040 kJ/kg. Ezzel az izentrópikus hatásfok

799020403690

4323713690

21

21,

,

ii

ii

s

s

.

Gőztáblázat használatával:

A p1, t1 állapotjelzők alapján az [17] Függelék F 11. táblázatból meghatá-

rozzuk az i1 entalpia és s1 entrópia értékét:

i1 = 3667 kJ/kg.; s1 = 6,660 kJ/(kgK).

a turbina kilépő entalpiája

,

31t12iiii 3667-0,3712(3667-137,83)=2357 kJ/kg.

A telitett folyadék és száraz telített gőz entalpiák, valamint entrópiák

meghatározása p2 = 0,05 bar nyomáson:

'i2

137,83 kJ/kg; "i2

2561 kJ/kg;

's2

0,4761 kJ/(kgK); "s2

8,393 kJ/(kgK).

Az izentrópikus folyamatból következőleg

's"sx'sss22s221s2

, melyből

7810476103938

47610666

22

21

2,

,,

,,

's"s

'ssx

s

.

az i2s entalpia

'i"ix'iiss 22222

137,83+0,781(2561-137,83)=2030 kJ/kg,

majd az izentrópikus hatásfok.

8020303667

23573667

21

21,

ii

ii

s

s

.



17.17. ábra – A feladat megoldása

i - s diagramban


18. Nedves levegő termodinamikája

18.1. Alapfogalmak

A száraz levegő és vízgőz mechanikai keverékét nedves levegőnek ne-

vezzük.

A nedves levegő a műszaki számítások szempontjából ideális gázok keve-

rékének tekinthető, mivel a vízgőz a levegőben döntően túlhevített for-

mában van jelen és parciális nyomása olyan kicsi, hogy tulajdonságai kö-

zel vannak az ideális gázokéhoz.

(Dalton törvénye szerint

gszlnl

ppp , (18.1)

ahol pnl-a nedves levegő nyomása, pszl – a száraz levegő, pg – a vízgőz

parciális nyomása. Mivel pg<<pszl az ideális gázokra érvényes összefüg-

gések használhatók.)

A nedves levegő állapotát a benne levő gőz állapota határozza meg.

A vízgőz mennyiségétől és a nedves levegő hőmérsékletétől függ a ned-

ves levegő telítettsége.

A telítetlen nedves levegőben a vízgőz túlhevített állapotú, míg a telített-

ben száraz telített vagy nedves telített állapotú.

A nedves levegő jellemzőit általában 1kg száraz levegőre vonatkoztatjuk,

mivel a nedves levegős folyamatokban a száraz levegő mennyisége nem

változik.

18.2. A nedves levegő jellemzői:

Abszolút nedvességtartalom az 1 m3 nedves levegőben levő vízgőz töme-

ge. Ez a vízgőz sűrűsége a vízgőz parciális nyomásával és a nedves leve-

gő hőmérsékletével egyező állapotban

nlg

g

gTR

p

3

m

kg. (18.2)

A nedves levegőben levő vízgőz állapota ábrázolható a vízgőz p - v diag-

ramjában (18.1. ábra)

18. NEDVES LEVEGŐ TERMODINAMIKÁJA 85


Amennyiben t1 hőmérsékleten növeljük gőztartalmat (ρg) akkor az B

pontban a vízgőz száraz telített állapotú lesz, a nedves levegő pedig telí-

tett állapotú. Ehhez a ponthoz az adott hőmérsékleten

"v

1gmaxg (18.3)

maximális abszolút gőztartalom tartozik.

További víztartalom növelés-

sel (B-D folyamat) megkez-

dődik a vízgőz kicsapódása,

megjelenik a köd. Tehát a B

pont a nedves levegő határ

(telített) állapota az adott hő-

mérsékleten.

A telített állapot elérhető a

nedves levegő állandó ned-

vességtartalma (a vízgőz par-

ciális nyomása) esetén is,

amennyiben állandó nyomá-

son hűtjük (A - C folyamat).

A C pontban a nedves leve-

gőben levő gőz száraz telített állapotú lesz és egy bármilyen kismértékben

alacsonyabb hőmérsékletű felületen harmat jelenik meg.

Az a hőmérséklet amelynél az állandó nyomás melletti hűtés során a ned-

ves levegőben lévő vízgőz száraz telített állapotú lesz – a harmatponti

hőmérséklet (th).

A harmatponti hőmérséklet tehát az a hőmérséklet, amelyhez tartozó telí-

tési gőznyomás megegyezik az adott nedves levegőben levő vízgőz parci-

ális nyomásával (pg):

g

)t(

spp hatrmat . (18.4)

A diagramból látható, hogy t>t1 hőmérsékleten a maximális abszolút gőz-

tartalom nagyobb lesz.

A telítési állapot a hőmérséklet függvénye.

Tehát a nedves levegő telítettségi viszonyairól a nedves levegő adott kö-

rülmények közötti abszolút gőztartalom és a nedves levegő hőmérsékleté-

hez tartozó maximális abszolút gőztartalom hányadosa, az u.n. relatív

nedvességtartalom ad képet.

18.1. ábra – A vízgőz p - v diagramja



)t(

maxg

)t(

g

. (18.5)

Mivel

TR

p

g

g)t(

g és

TR

p

g

)t(

s)t(

m axg

)t(

s

)t(

g

p

p , (18.6)

ahol )t(

sp - a t - hőmérséklethez tartozó telítési gőznyomás.

Fajlagos nedvességtartalom az 1 kg száraz levegőre jutó nedvesség

szl

g

m

mx

az állapotegyenlet felhasználásával

TR

Vpm

g

)t(

g

g ;

TR

Vpm

szl

)t(

szl

szl ; )t(

gnlszlppp ;

ezzel

)t(

gnl

)t(

g

)t(

gnl

)t(

g

g

szl

pp

p622,0

pp

p

R

Rx

lev.szkg

kg. (18.7)

A telített nedves levegő fajlagos nedvességtartalma

)t(

snl

)t(

s

smax

pp

p,xx

6220 . (18.8)

A telítési parciális gőznyomás

max

max

nl

)t(

sx622,0

xpp

. (18.9)

A nedves levegő entalpiája 1 kg száraz levegőre vonatkoztatva

gszlx1

xiii

. (18.10)

Az entalpia zéruspontja 0 oC-on értendő.



Amennyiben s

xx és t>0

tcrxtcipg0pszlx1

, (18.11)

ahol pszl

c =1,005 kJ/(kgK) – a száraz levegő izobár fajhője; t – a nedves

levegő hőmérséklete [oC];

0r =2500 kJ/kg – a 0

oC-hoz tartozó párolgás-

hő; pg

c =1,96 kJ/(kgK) – a gőz izobár fajhője.

Ha s

xx és t>0

tcxxtcrxtcivízspg0spszlx1

, (18.12)

itt cvíz=4,189 kJ/(kgK) – a víz fajhője.

sxx és t<0 esetén

tcLxxtcrxtcij0spg0spszlx1

, (18.13)

ahol L0 =19,1 kJ/kg –a jég olvadáshője 0 0C-on;

jc =0,119 kJ/(kgK)

18.2.1. A nedves levegő i - x diagramja

A (18.11)-(18.13) egyenletek segítségével felépíthető a nedves levegő

i - x diagramja, mely a nedves levegőben lejátszódó folyamatok ábrázolá-

sát és gyakorlati számítások gyorsabb elvégzését teszi lehetővé. Termé-

szetesen az adott diagram csak egy adott nyomású nedves levegőre lesz

alkalmas.

18.2. ábra – Eredeti és módosított i - x diagram

a) b)



Az izotermákat a (18.11)-(18.13) egyenletekből t = állandó helyettesítés-

sel, mint egyeneseket kapjuk meg.

Az izotermákon bejelölhetjük és összeköthetjük az azonos relatív nedves-

ségtartalomhoz tartozó pontokat (18.2. ábra = 1 telítési görbe).

Az entalpia kifejezésekből következik és az ábrán látható, hogy a telítési

mezőben a t = állandó egyenesek meredeksége a hőmérséklettel nő.

Ugyanakkor a =1 görbén az izotermák törést szenvednek és közel az i =

állandó vonalakkal (az eredeti diagramban vízszintes) párhuzamosan foly-

tatódnak.

Ez azzal magyarázható, hogy míg s

xx , az egyenes iránytangense

tcrpg0

2500 kJ/kg nagyságrendű, addig x>xs-nél – folyadék hal-

mazállapot esetén tcvíz

4,19t kJ/kg, jég halmazállapot esetén

tcLj0

20 kJ/kg.

A t=0 oC-hoz tartozó izoterma a telítési görbétől jobbra (köd mező) ketté-

ágazik. A felső ahhoz az esethez tartozik, amikor a kicsapódott víz folya-

dék, míg az alsó, ha jég halmazállapotban van jelen.

18.3. ábra. – Az i - x diagram jellemző adatai



A 18.2/a. ábrán látható, hogy az ilyen módon felépített diagram a gyakor-

lati számításokban legtöbbet használatos telítetlen nedves levegő tarto-

mányt (a = 1 görbétől balra eső rész) keskeny sávban tartalmazza. Ezt

módosítandó Mollier javasolta a diagram görbéinek olyan elforgatását,

hogy a t = 0 oC-hoz tartozó izoterma vízszintes legyen (18.2/b. ábra).

Ilyen módon megalkotott i - x diagramot szemlétet [17] Függelék F.3. áb-

rája, melynek értelmezése látható a 18.3. ábrán.

18.2.2. A nedves levegő állandó nyomású hűtése, fűtése, szárítása

és szárítás nedves levegőben

A nedves levegő fűtési, hűtési, szárítási és a nedves levegőben lejátszódó

szárítási folyamatokat szemlélteti i-x diagramban a 18.4. ábra.

Az 18.4/a. ábrán a fűtési és hűtési folyamat látható.

A nedves levegő fűtési folyamata során:

- a fajlagos nedvességtartalom (x) állandó,

- a hőmérséklet (t) nő,

- a relatív nedvességtartalom () csökken,

- az entalpia (i) nő.

A hűtési folyamat során:

- a fajlagos nedvességtartalom (x) állandó,

- a hőmérséklet (t) csökken,

- a relatív nedvességtartalom () nő,

- az entalpia (i) csökken.

18.4. ábra – Nedves levegőben lejátszódó

folyamatok

i

1

1 2

2

x

=1

a)

1

2

3

i

x

i =áll.

=1

c)

1

2 3

4 i

x

t

=1

b)

Δx



A nedves levegő szárítási (abszolút-, illetve fajlagos nedvességtartalom

csökkentési) folyamata a 18.4/b. ábrán látható. Ekkor

- az (1) állapotú levegőt le kell hűteni a végállapot (4) harmatponti (3)

hőmérsékletéig és

-a folyamat során kicsapódott 41

xxx mennyiségű vizet le kell vá-

lasztani.

- Ezután visszamelegítés következik x = áll. mellett a (4) állapotig.

A folyamat eredményeképpen

- a fajlagos nedvességtartalom (x) csökken,

- a hőmérséklet (t) azonos lesz,

- a relatív nedvességtartalom () csökken,

- az entalpia (i) csökken.

Nedves levegőben történő szárítás előtt (18.4/c. ábra)

- a levegő szükség szerint előmelegítendő (1-2),

- majd ez a levegő elpárologtatja a szárítandó anyagban lévő nedvességet

úgy, hogy az ehhez szükséges hőmennyiséget leadja,

- ezután a keletkező gőz a levegőbe jutva ezt a hőmennyiséget visszaadja

a szárító levegőnek.

Ideális esetben a nedves levegőben a szárítás állandó entalpia mellett ját-

szódik le (2-3).

A szárítóban

- a fajlagos nedvességtartalom nő,

- a hőmérséklet csökken,

- a relatív nedvességtartalom () nő,

- az entalpia állandó.

Példa:

mnl1 = 50 kg, t1 = 25 oC hőmérsékletű nedves levegőből kicsapattunk,

majd leválasztottunk m = 0,12 kg vizet. Meghatározandó a kiindulási re-

latív nedvességtartalom t = 25 oC hőmérsékleten, ha végállapotban ugya-

nezen a hőmérsékleten 2 = 40 %. A folyamat során p =2 bar. Mekkora a

harmatponti hőmérséklet az 1 állapotban?



Megoldás:

A végállapot fajlagos nedvességtartalma

2

2

2 622,0

gnl

g

pp

px

.

A gőz parciális nyomását a relatív nedvességtartalomból határozzuk meg.

2

2

2 t

s

g

p

p barpp

t

sg12664,04,03166,0

22

2 ,

ezzel kgkgpp

px

gnl

g/109636,3

12664,02

12664,0622,0622,0

3

2

2

2

.

A fajlagos nedvességtartalom-változás (a szárazlevegő tartalom változat-

lan marad):

szlm

mx

,

11 1 xmm szlnl , melyből

1

1

1 x

mm

nl

szl

,

111

1

12 10024,0150

12,01 xxx

m

m

m

mxxx

nlszl

,

ebből kgkgx

x /0063789,00024,01

003936,00024,0

0024,01

0024,0 2

1

.

A gőz parciális nyomása az 1 állapotban a fajlagos nedvességtartalomból:

barx

pxp

nl

g 0203027,0622,00063789,0

20063789,0

622,01

1

1

.

A relatív nedvességtartalom

%,,,

,

p

p

t

s

g2646420

031660

02030270

1

1

1 .

A harmatponti hőmérséklet az 1 állapotban az a hőmérséklet, melyen a

gőz parciális nyomása telítési gőznyomás lesz.

Ez gőztáblázatból ([17] Függelék F.10. táblázat)– interpolálással határoz-

ható meg.

pA = 0,020 bar nyomásnál tsA =17,514 oC,



pB = 0,030 tsB =24,092 oC,

pg1 = 0,020327 bar nyomásnál a harmatponti hőmérséklet:

.713,1702,00203027,002,003,0

514,17097,24514,17

1

1

C

pppp

ttttt

Ag

AB

AB

Ah

p

s

g


Hőközlés

19. Hővezetés

Szilárd testekben a hő kizárólag vezetés útján terjed, míg folyadékokban

és gázokban egyidejűleg van hővezetés, hőátadás (konvekció) és hősugár-

zás. A gázokban és folyadékokban amikor a konvekció kizárt és ameny-

nyiben a sugárzásos hőcsere elhanyagolható, a hőterjedés vezetéssel való-

sul meg.

Fémek esetében és más elektromos vezetőkben a hőenergia a kristályrá-

csok rezgése és döntően a szabad elektronok segítségével terjed. A nem

fémekben és elektromos szigetelőanyagokban a hővezetést a kristályrá-

csok atomjainak rezgése biztosítja.

Folyadékoknál és gázoknál a hővezetés csak lamináris áramlás során va-

lósul meg.

Gázoknál a hőenergia hordozói a kaotikus mozgást végző molekulák, fo-

lyadékok esetében a molekulák rendezetlen rezgőmozgása.

19.1. A Fourier-féle hipotézis

A Fourier-féle hipotézis szerint a dA elemi izotermikus felületen d idő

alatt átáramló dQ hőmennyiség arányos a hőmérséklet gradienssel vagyis

ddAgradtdQ , (19.1)

ahol - arányossági tényező, mely jellemzi az adott anyag hővezetési ké-

pességét hővezetési tényezőnek nevezzük.

Az egységnyi izotermikus felületen időegység alatt átáramló hőmennyi-

ség a hőáramsűrűség vektor:

dn

dtntgradq

o

. (19.2)

A q és a tgrad vektorok egy egyenesen fekszenek, de ellentétes irány-

ba mutatnak, mivel a hő a második főtétel értelmében a nagyobb hőmér-

sékletű helyről áramlik a kisebb felé, míg a hőmérséklet gradiens a hő-

mérséklet növekedési irányába mutat. Ez magyarázza a mínusz előjelet a

(19.1) és (19.2) egyenletekben.



Hővezetési tényező

A hővezetési tényező értéke függ az anyag fajtájától, hőmérsékletétől és

kevésbé a nyomástól.

– A színfémek esetében, ha a hőmérséklet nö, akkor csökken,

folyékony fémeknél a hőmérséklet növekedésével a hővezetési té-

nyező nő.

– Ötvözeteknél a hőmérséklet növekedésével a hővezetési tényező nő.

Építő- és szigetelőanyagok hővezetési tényezője a hőmérséklettel

intenzíven nő, és erősen változik a porozitással és a nedvességtar-

talommal.

– A folyadékok esetében t a hőmérséklet növekedésével a hővezetési

tényező csökken - kivétel a víz és a glicerin.

– Gázoknál a hőmérséklet növekedésével a hővezetési tényező nő.

19.2. A hővezetés általános differenciálegyenlete

Az adott testből kiválasztunk egy dV elemi térfogatot (19.2. ábra), mely-

ben a d idő alatt lejátszódó hővezetési folyamatot vizsgáljuk. A matema-

tika szempontjából dV és d végtelen kis mennyiségek, de a fizika szem-

19.1. ábra – Különböző anyagok hővezetési tényezői [10]

19. HŐVEZETÉS 95


pontjából még elég nagyok ah-

hoz, hogy a határaikon belül el-

tekinthetünk a közeg diszkrét fel-

építésétől, homogénnek és

kontinumnak tekintsük. Az így

kapott összefüggés a vizsgált fo-

lyamat általános differenciál-

egyenlete lesz. A differenciál-

egyenlet integrálásával analitikus

összefüggést kapunk a mennyi-

ségek között a teljes integrálási

tartományra és az egész vizsgált

időtartamra.

A levezetést - annak egyszerűsítése céljából - a következő feltételek mel-

lett hajtjuk végre:

– a test homogén és izotróp;

– fizikai paraméterei állandók;

– a vizsgált térfogat hőmérsékletváltozással kapcsolatos deformációja

nagyon kicsi magához a térfogathoz képest;

– a belső hőforrások – melyek általános esetben ,z,y,xfq v alak-

ban adhatók meg – a testben egyenletes eloszlást követnek.

A hővezetés általános differenciálegyenletének levezetése az energia-

megmaradás törvényén alapul.

Az elemi térfogatba az adott idő alatt a környezetéből hővezetéssel bejutó

dQ1 és a belső hőforrásokból ott felszabaduló hőmennyiség dQ2 összege

egyenlő az elemi térfogatban tartózkodó anyag belső energiájának meg-

változásával. Vagyis

dUdQdQ21 .

Az x - irányból érkező hőmennyiség ddzdyqdQxx

,

Az x - irányba távozó hőmennyiség ddzdyqdQdxxdxx

,

az elemi térfogatban az x - irányú hővezetésből maradó hőmennyiség

dxxxx1dQdQdQ

,

ddzdyqqdQdxxxx1

,

ahol

x

x

y

z

dQy+dy dQy

dQx

dQx+dx

dQz+dz

dQz

dx

dz

dy

19.2. ábra – Elemi térfogatrész a

testben



...!2

1 2

2

2

dx

x

qdx

x

qqq

xx

xdxx

A másodrendűen kicsiny mennyiségek elhanyagolásával

ddzdxdyx

qdQ

x

x

1

.

Az y és z irányokban hasonlóan eljárva kapjuk

ddzdydxz

q

y

q

x

qdQ

zyx

1

.

A belső hőforrásokból felszabaduló hőmennyiség

ddVqdQV2 .

A test belső energiájának megváltozása

dVdt

cdmdt

cdUvv

,

A kapott kifejezések behelyettesítése az elemi térfogat energia egyenleté-

be, és további átalakítások:

v

zyx

vq

z

q

y

q

x

qtc

,

vv

qqdivt

c

, ahol tgradq

,

vv

qtgraddivt

c

,

v

v

vc

qtgraddiv

c

t

,

(19.3)

Ez az összefüggés a hővezetés általános differenciálegyenlete, ahol

vc

a

[m

2/s] - hőmérsékletvezetési tényező, az egyenlőtlenül felme-

legített test hőmérséklet-kiegyenlítődési sebességét jellemzi.

v

v2

c

qta

t

19. HŐVEZETÉS 97


Descartes-koordináta rendszerben 2

2

2

2

2

2

2

zyx

, (19.4)

Hengerkoordináták esetén 2

2

2

2

22

2

2

zr

1

rr

1

r

. (19.5)

A hővezetés általános differenciálegyenletéből származtatott egyenletek

Fourier egyenlete

tat 2

. (19.6)

Poisson egyenlete

0q

z

t

y

t

x

t v

2

2

2

2

2

2

. (19.7)

Laplace-egyenlet

02

2

2

2

2

2

z

t

y

t

x

t. (19.8)

A hővezetés általános differenciálegyenlete a fizika általános törvényei

alapján került levezetésre, a hővezetés jelenségét a legáltalánosabb for-

mában írja le.

Ahhoz, hogy a végtelen sok folyamatból a konkrét esetnek megfelelőt ki

tudjuk választani, a differenciálegyenlethez hozzá kell kapcsolni az adott

folyamat sajátosságait tükröző, u.n. egyértelműségi feltételeket.

Ezek a következők:

a test méreteit, alakját megadó geometriai feltételek;

a közeg és test fizikai jellemzőit, paramétereit megadó fizikai feltételek;

a kezdeti időpillanatban meglévő hőmérsékleteloszlást megadó kezdeti

feltételek 0 esetén z,y,xft ;

az adott test és környezete közötti kölcsönhatást jellemző peremfeltételek:

- elsőfajú peremfeltétel hőmérsékleteloszlás a test felületén az idő függ-

vényében

,z,y,xft , (19.9)



- másodfajú peremfeltétel hőáramsűrűség-eloszlás a test felületén az idő

függvényében

,z,y,xfq , (19.10)

- harmadfajú peremfeltétel, melynél megadásra kerül a környezet hőmér-

séklete f

t és a test felülete, valamint a környezet közötti hőcsere tör-

vényszerűsége

fw

ttq , (19.11)

ahol w

t – a test felületének hőmérséklete; – hőátadási tényező, mely jel-

lemzi a hőáramlás intenzitását a test felülete és a környezet között.

Az energiamegmaradás törvénye szerint a test egységnyi felületéről idő-

egység alatt elvezetett hőmennyiség megegyezik a test egységnyi felüle-

téhez időegység alatt a test belsejéből hővezetéssel áramló hő mennyisé-

gével, vagyis

o

fwn

ttt

, (19.12)

illetve a harmadfajú feltétel végleges alakja

fw

o

ttn

t

. (19.13)

- Negyedfajú peremfeltételről akkor beszélünk, ha a test és a környezete

közötti hőcsere vezetés útján megy végbe. Feltételezzük, hogy a testek

között ideális érintkezés van (az érintkező felületek hőmérséklete azonos).

Az energiamegmaradás törvényéből következőleg

o

2

2

o

1

1n

t

n

t

. (19.14)

A hővezetés általános differenciálegyenletének az adott esetre vonatkozó

egyértelműségi feltételekkel történő megoldása, az adott testben kialakuló

hőmérséklet megoszlás.

Állandósult, belső hőforrás nélküli hővezetés

Állandósult (stacioner) esetben a (19.3) egyenletben az idő szerinti diffe-

renciálhányados zérus értékű.

A belső hőforrás hiánya a 0qv feltétel teljesülését jelenti.

19. HŐVEZETÉS 99


Így állandósult, belső hőforrás nélküli esetben a (19.3) egyenlet

0t2

. (19.15)

alakot ölti.

19.2.1. Sík fal állandósult, egydimenziós, belső hőforrás nélküli

hővezetése

a) Egyrétegű sík fal hővezetése

A folyamatot leíró differenciálegyenlet

0dx

td

2

2

, (19.16)

melyet integrálva

1

Cdx

dt , (19.17)

a második integrálás után az általános megoldás

21CxCt . (19.18)

Az integrálási állandók meghatározásához felhasználjuk az elsőfajú pe-

remfeltételt (19.3/a. ábra)

19.3. ábra – Egy- és többrétegű sík fal

t

t

x

tw1

tw2

t

t

x

1

tw1

tw1

tw2

tw3

tw4 tw4

3 2

2

tw n+1

n

q q 1

2

3

n

a) b)



x=0 esetén 1w

tt ; 1w2

tC .

x= esetén 2w

tt ;

2w1w

1

ttC

.

Behelyettesítve az állandókat

xtt

tt2w1w

1w

, (19.19)

vagyis a hőmérsékleteloszlás lineáris.

A hőáramsűrűség a Fourier-féle hipotézisből

tgradq ,

2w1w

ttdx

dtq

. (19.20)

A idő alatt átáramló hőmennyiség

AttQ

2w1w . (19.21)

b) Többrétegű sík fal hővezetése

Írjuk fel a hőáramsűrűséget az egyes rétegekre (19.3/b. ábra)

2w1w

1

1ttq

, (19.22)

3w2w

2

2ttq

, (19.23)

………………….

1nwnw

n

nttq

. (19.24)

A (19.22)-(19.24) egyenletek alkotta egyenletrendszert a hőáram-

sűrűségre megoldva (az egyenletekből kifejezve a hőmérsékletkülönbsé-

geket, majd az egyenleteket összeadva és a hőáramsűrűséget kifejezve)

kapjuk:

19. HŐVEZETÉS 101


n

1ii

i

1nw1wtt

q

. (19.25)

19.2.2. Hengeres fal állandósult, egydimenziós, belső hőforrás

nélküli hővezetése

a) Egyrétegű hengeres fal hővezetése

A hővezetés általános differenciálegyenletének (19.15) kifejezésébe a

t2

hengerkoordinátás alakját (8.5) helyettesítjük, vagyis

0z

tt

r

1

r

t

r

1

r

t

2

2

2

2

22

2

, (19.26)

mivel a hőmérséklet a feltételek szerint csak a sugár mentén változik,

0t

és 0

z

t

.

t

r

D1=2r1

D2=2r2

l

0

tw1 tw1

tw2 tw2

a) b)

t

r1

r2

l

0

tw1

twn+1

tw3

rn

rn+1

r3

1 2 n

19.4. ábra – Egy- és többrétegű hengeres fal



Ezek figyelembevételével a folyamatot leíró közönséges differenciál-

egyenlet

0rd

td

r

1

rd

td

2

2

. (19.27)

A peremfeltételek (19.4/a. ábra)

1rr esetén

1wtt ;

2rr esetén

2wtt .

Az (19.27) egyenlet megoldása megadja a hőmérsékleteloszlást a henge-

res falban.

Vezessünk be új változót rd

tdu ,

így

rd

ud

rd

td

2

2

; és r

u

rd

td

r

1 . (19.28)

Ezeket a kifejezéseket (19.27) egyenletbe helyettesítve, kapjuk

0ur

1

rd

ud ; 0

r

dr

u

ud .

Integrálás után

1Clnrlnuln ;

melyből

1Cru ;

r

Cu

1 ;

r

C

rd

td1

; r

rdCtd

1 ; 21

CrlnCt . (19.29)

Az integrálási állandókat a peremfeltételekből képzett egyenletrendszer

alapján határozzuk meg

2111w

CrlnCt ;

2212w

CrlnCt ;

19. HŐVEZETÉS 103


2

1

2w1w

1

r

rln

ttC

;

2

1

1

2w1w1w2

r

rln

rlntttC .

A 1C és 2

C értékét (19.29)-be helyettesítve megkapjuk a hengeres falban

kialakuló hőmérséklet eloszlást, mely logaritmikus görbét követ

1

2

1

2w1w1w

r

rln

r

rln

tttt (19.30)

vagy

1

2

1

2w1w1w

D

Dln

D

Dln

tttt . (19.31)

A felületegységen időegység alatt átáramló hőmennyiséget hengeres fal

esetében a sugár függvényében változó felület miatt nem értelmezhetjük.

Ezért az időegység alatti hőmennyiség meghatározásához a Fourier-

törvényt az egységnyi felület helyett a hengeres fal l hosszára írjuk fel

(19.4/a. ábra)

Ard

tdQ . (19.32)

Az l hosszúságú hengeres fal hengerpalást felülete a sugár függvényében

lr2A , míg a hőmérséklet sugár szerinti deriváltja (19.29)

2

1

2w1w1

r

rlnr

tt

r

C

rd

td . (19.33)

Behelyettesítve (19.32)-be

1

2

2w1w

2

1

2w1w

r

rln

ttl2

r

rlnr

ttlr2Q

(19.34)

vagy

2

1

2w1w

D

Dln

ttl2Q

. (19.35)



Alakítsuk át ezt az egyenletet

21

1

2

12

1

2

21

12

1222

ww

wwtt

r

rln

rrl

r

rln

tt

rr

rrlQ

,

21

1

2

12

21

1

2

12

2

2

2wwww

tt

A

Aln

AAtt

rl

rlln

rrlQ

,

ahol A2 – a hengeres fal külső, A1 – a belső felülete.

Bevezetve az

1

2

12

ekv

A

Aln

AAA

(19.36)

ekvivalens (egyenértékű) felületet, a hőmennyiség meghatározásához a

sík fal esetében nyert (19.21) összefüggéshez hasonló alakú kifejezést ka-

punk

2w1wekv

ttAQ

. (19.37)

b) Többrétegű hengeres fal állandósult hővezetése

A hővezetés egyenlete (19.34) rétegenként (19.4/b. ábra)

1

2

2w1w

1

r

rln

ttl2Q

,

2

3

3w2w

2

r

rln

ttl2Q

,

……………………….

n

1n

1nwnw

n

r

rln

ttl2Q

.

19. HŐVEZETÉS 105


Az egyenletrendszer megoldása a többrétegű hengeres falon keresztüli

hőáram

n

1i i

1i

i

1nw1w

r

rln

1

ttl2Q

. (19.38)

Példa:

A hőkamra külső falát olyan szigetelő réteggel látták el, melynek hőveze-

tési tényezője 2= 0,062(1+0,363.10-2

t) [W/(m K)] módon számítható.

Meghatározandó az 1 m2 falfelület hővesztesége, ha a fal és a szigetelés

érintkezési helyén a hőmérséklet tw2 = 300 oC, a szigetelés külső felületén

pedig tw3 = max. 50 oC. A szigetelés vastagsága = 100 mm. (Sík fal.)

Megoldás:

A hőáram sűrűség a szigetelő rétegen keresztül

dx

dtq , melyből dtdxq .

Integrálva a két oldalt

3w

2w

t

t0

dtdxq

ebből 3w

2w

t

t

dt1

q

.

A hőáramsűrűség (hőveszteség)

.2

10363,0

1,0

062,0

10363,01062,0

2

2

2

3

2

23

2

3

2

wwww

t

t

tttt

dttq

w

w

Behelyettesítve

222

2

17256300502

10363030050

10

0620m/W,

,

,

,q

.


20. Hőátadás

20.1. A hőátadás fizikai lényege

A hőközlés második típusa a hőátadás, melynél a hő szállítása az anyag

térfogatrészeinek a térben történő mozgása (áramlás, konvekció) követ-

keztében megy végbe, ezért csak gázokban és folyadékokban lehetséges.

Ezt a hőátviteli módot mindig hővezetés kíséri.

A hőátvitelt megvalósító mozgásnak két típusát különböztetjük meg:

– szabadáramlás (szabad konvekció), amikor a gáz vagy folyadék térfo-

gatrészek a felmelegedés következtében előálló sűrűségváltozás

miatt változtatják helyüket;

– kényszeráramlás (kényszer konvekció), amikor a mozgás mesterséges

ráhatás (pl. ventilátor, szivattyú) segítségével valósul meg.

Mint ismeretes az áramlásoknak két alaptípusa van: lamináris és turbu-

lens.

A lamináris áramlás réteges szerkezetű, míg a turbulens örvénylő, go-

molygó, keresztirányban sztochasztikusan pulzáló.

Az áramlás szerkezete befolyásolja a hőátvitelt.

Lamináris áramlás során – amennyiben nincs szabad áramlás – a hőátvitel

a határoló falra merőlegesen, vezetéssel valósul meg. A hő mennyisége

függ a folyadék vagy gáz fizikai jellemzőitől, a méretektől, határoló fal

geometriai alakjától, és majdnem független a sebességtől.

A hőátadás nagymértékben függ a következő fizikai jellemzőktől:

Sebesség (w0) hővezetési tényező (), fajhő (c), sűrűség (), hőmérséklet-

vezetési tényező (a) (lásd 19.2. pont), dinamikai viszkozitási tényező ().

20.1. ábra – A hidrodinamikai határréteg és szerkezete

20. HŐÁTADÁS 107


Ezek a paraméterek bizonyos értékkel rendelkeznek minden anyag esetén

és függenek a hőmérséklettől, néhány esetben a nyomástól is.

A hőátadás elméleti vizsgálata a Prandtl által megalapozott határréteg el-

méleten alapul. Helyezzünk egy testet végtelen áramlásba (20.1. ábra). A

folyadékáramlás sebessége (w0) állandó. A súrlódó erők hatása következ-

tében a felület közvetlen közelében a sebesség gyorsan zérusra csökken.

A felület melletti vékony folyadékréteg – ahol az áramló közeg sebessége

a határrétegen kívüli sebességtől a falnál a tapadási feltétel miatt kialaku-

ló zérus értékig változik – a hidrodinamikai határréteg (20.1. ábra). A ré-

teg vastagsága () az áramlás irányába nő.

A sebesség növekedésével a hidrodinamikai határréteg vastagsága csök-

ken, a viszkozitás növekedésével viszont nő. A határrétegben megfigyel-

hető mind turbulens (2), mind lamináris (1) áramlási szerkezet (20.1. áb-

ra). Az áramlási kép és a határrétegek vastagsága (L, T)alapvetően a

Reynolds-szám értékétől függ. A fal mellett közvetlenül kialakuló laminá-

ris határréteg-részt lamináris alrétegnek (3) nevezzük.

Amennyiben a fal és a fo-

lyadék eltérő hőmérsékletű,

a fal mellett termikus határ-

réteg alakul ki, melyben a

folyadék teljes hőmérséklet-

változása végbemegy. E ha-

tárrétegen kívül a folyadék

hőmérséklete állandó (to).

Általában a hidrodinamikai

és termikus határréteg nem

azonos vastagságú (20.2.

ábra).

A két határréteg-vastagság

viszonyát a Prandtl-szám (a

Pr

) értéke határozza meg, ahol – a ki-

nematikai viszkozitás, a – hőmérsékletvezetési tényező (lásd 19.2. pont).

Viszkózus, kis hővezetőképességű folyadékoknál (pl. olajok) Pr>1 és a

hidrodinamikai határréteg vastagabb, mint a termikus határréteg. Gázok-

nál 1Pr és a két réteg közel azonos vastagságú. Folyékony fémek ese-

tén Pr<1 és a termikus határréteg vastagabb, mint a hidraulikai. A

hőátvitel mechanizmusa és intenzitása a határrétegben lévő áramlás szer-

kezetétől függ. Amennyiben az áramlás a határrétegben lamináris, akkor a

falra merőleges irányba a hőátvitel vezetéssel történik. Ugyanakkor a ha-

20.2. ábra – Hidrodinamikai és termikus

határréteg



tárréteg külső peremén, ahol a hőmérséklet a falra merőlegesen csak kis-

mértékben változik, a hőátadás dominál a fal mentén.

Amikor az áramlás a termikus határrétegben turbulens, a falra merőleges

irányú hőátvitel főleg a folyadék turbulens keveredése útján valósul meg.

Ez a hőközlési mód lényegesen hatékonyabb, mint a hővezetés.

Ugyanakkor közvetlenül a fal fe-

lületénél a lamináris alapréteg-

ben a hőátszármaztatás vezetés-

sel történik.

A határrétegben a fizikai jellem-

zők változása (pl. viszkozitás)

függ a hőmérséklettől és a folya-

dék, valamint a fal közötti

hőközlés intenzitása más lesz at-

tól függően, hogy a folyadékot

hűtjük vagy fűtjük, azaz a

hőközlés intenzitása függ a hő-

áramlás irányától.

A 20.3. ábra a sebességeloszlást

szemlélteti csőben történő izo-

termikus (a), fűtött (b), hűtött (c) folyadékáramlás esetén.

A folyadék fűtésekor a hőátvitel intenzívebb, mint hűtéskor a határréteg-

vastagság csökkenése miatt.

A hőátadásnál a felületek alakja és mérete rendkívül fontos, mivel ugrás-

szerűen meg tudja változtatni a határrétegben kialakuló áramlást és a ha-

tárréteg vastagságát.

20.2. A hőátadással átszármaztatott hőmennyiség számítása

A hőátadással átszármaztatott hőmennyiséget állandósult esetben a New-

ton–Riemann-egyenlettel számíthatjuk

fw

ttq , (20.1)

fw

ttAQ , (20.2)

ahol - hőátadási tényező; A – hőátadási felület; tw – a fal felületének

hőmérséklete; tf – a folyadék hőmérséklete.

20.3. ábra – Sebességeloszlás csőben

különböző falfűtések esetén

20. HŐÁTADÁS 109


A hőátadási tényező sok jellemző függvénye

...l,l,,t,t,c,,,,wf21wfp

,

itt w – sebesség, – hővezetési tényező, µ – dinamikai viszkozitás ρ – sű-

rűség, cp – fajhő, tf – a folyadék-, tw – a falfelület hőmérséklete, Φ – alak, l

– méretek.

A hőátadási tényező meghatározása számítással nem, vagy csak igen egy-

szerű esetekben, idealizálva lehetséges.

A gyakorlatban meghatározása mérés útján történik úgy, hogy az egyedi

mérési eredményeket általánosított formában a hasonlóság elméletet fel-

használva feldolgozzák. Az így feldolgozott eredmények az eredetihez

hasonló formában lejátszódó jelenségekre érvényesek.

20.3. A hasonlóságelmélet alapjai

A hasonlóság elmélet a hasonló jelenségekről szóló tanítás.

Két irányban használatos:

a) Egyedi mérések vagy számítások alapján általánosított összefüggések

kialakítása.

b) A műszaki berendezésekben lejátszódó folyamatok tanulmányozása

modellek segítségével.

Alap megállapítások

A hasonlóság alapvetően geometriai fogalom.

Nem elegendő a geometriai hasonlóság, hanem más fizikai jellemzők ha-

sonlóságára is szükség van.

Az egynevű és azonos dimenziójú mennyiségek hányadosa a hasonlósági

állandó (szimplex).

Az egymásnak megfelelő pontok koordinátái kielégítik a geometriai ha-

sonlóságot.

Egymásnak megfelelő időpillanatok azok, melyek hányadosa állandó.

Hasonló folyamatok a geometriailag hasonló rendszerben lejátszódó je-

lenségek, amennyiben

- az egymásnak megfelelő pontokban,



- az egymásnak megfelelő időpillanatokban az egynevű mennyiségek vi-

szonya állandó,

- azonos természetű, azonos alakú és fizikai tartalmú analitikai összefüg-

géssel írhatók le. (Ha csak a matematikai alak egyezik meg – analógiáról

beszélünk.)

Vizsgáljunk két egymáshoz hasonló rendszert (eredetit és a modellt) (20.4.

ábra)

Egymásnak megfelelő pontok A - A’; B - B’; C - C’

A hőátadási folyamatot leíró differenciálegyenlet a két esetre felírva:

wnd

tdt

(20.3)

melyből a hőátadási tényező

wnd

td

t

(20.4)

'w'nd

'td''t'

(20.5)

a hőátadási tényező

'w'nd

'td

't

''

(20.6)

Képezzük az egynevű mennyiségek arányát, határozzuk meg a szimple-

xeket.

Hőátadási tényezők

C , hőmérsékletek

td

td

t

t

t

tC

t

,

hővezetési tényezők

C , lineáris méretek

nd

nd

n

n

l

lC

l

.

Fejezzük ki a II. rendszer paramétereit az I. rendszer jellemzői segítségével

C ; tCtt ; tdCtd

t ;

C ; dnCnd l ,

20.4. ábra – Két hasonló rendszer

A B

C

Y

X

A’

B’

C’ Y

’

X

’

20. HŐÁTADÁS 111


majd helyettesítsük a (20.6) egyenletbe

wl

nd

td

tCC

C

. (20.7)

A (20.4) és (20.7) egybevetéséből következik, hogy 1CC

C

l

.

Helyettesítsük vissza a hasonlósági állandók kifejezéseit 1l

l

.

Válasszuk szét a jelölt és a jelöletlen jellemzőket

ll.

Vagyis a szilárd test felülete és a folyadék közötti hőátadási folyamatok

hasonlóságának feltétele a hőátadási tényező, jellemző lineáris méret és a

folyadék hővezetési tényezőjéből képzett

l alakú kifejezés állandó ér-

téke.

Ez az összefüggés hasonlósági szám, mely Nusselt nevét viseli, jele Nu,

vagyis

lNu . (20.8)

A hőátadási folyamatok leírásánál leggyakrabban még a következő hason-

lósági számokat használjuk:

Reynolds-szám a tehetetlenségi és viszkózus erők viszonyát jellemző

szám

dwRe (20.9)

(w-sebesség, d- jellemző lineáris méret, - kinematikai viszkozitás).

Prandtl-szám a hidrodinamikai és termikus határrétegek vastagságának

viszonyát fejezi ki.

a

Pr

. (20.10)

Grashoff-féle szám a folyadékban sűrűségkülönbség miatt ébredő felhajtó

erő és a molekuláris súrlódás viszonyát jellemzi.

2

3tlg

Gr

(20.11)



(β- térfogati hőtágulás, g- nehézségi gyorsulás, l- jellemző lineáris méret,

Δt- a szabad konvekciót előidéző hőmérsékletkülönbség)

A Nusselt-számot leggyakrabban a fenti hasonlósági kritériumok függvé-

nyeként szokás megadni:

Pr,GrRe,fNu . (20.12)

A függvénykapcsolat a különböző hőátadási esetekre kézikönyvekben (pl.

[33]) megtalálható. Általános alakja lehet

e

wf

dcbGraNu Pr/PrPrRe , (20.13)

ahol az a, b, c, d, és e állandók értéke a hőátadás sajátosságától függ. Az f

és w index itt a Pr szám meghatározási hőmérsékletét (f – áramló közeg,

w – szilárd fal) jelöli. Megjegyezzük, hogy a hasonlósági számokban sze-

replő más fizikai jellemzők meghatározási hőmérsékletét is gyakran előír-

ják.

Kifejezett kényszeráramlás (kényszer konvekció) esetén a függvénykap-

csolat egyszerűsödik, mivel a Grashoff-szám hatása elhanyagolhatóvá vá-

lik:

PrRe,fNu , (20.14)

míg kifejezett szabadáramlás ( szabad konvekció) esetén a Reynolds-

szám hatásának elhanyagolhatósága miatt

Pr,GrfNu . (20.15)

A hőátadással átszármaztatott hőmennyiség számításához ismerni kell az

adott (hasonló) hőátadási folyamatra érvényes hasonlósági kritériumokkal

felírt Nusselt-számot meghatározó egyenletet (20.13) és alkalmazni kell

az adott esetre. Ehhez meg kell határozni az egyenletben a vizsgált esetre

érvényes hasonlósági számokat, majd a Nusselt-számot. Ebből pedig

(20.8)-ból a szükséges hőátadási tényezőt

l

Nu , (20.16)

majd a (20.1) vagy (20.2) egyenlet felhasználásával a hőmennyiséget

számíthatjuk).

Példa:

Egy vízszintes helyzetű szilárd tüzelőanyagú rakéta konténerének hossza

L = 5 m átmérője D = 1 m. A környező levegő hőmérséklete tf = -30 oC.

Szél nincs. Határozza meg annak a fűtőtestnek a teljesítményét, amelyik a

20. HŐÁTADÁS 113


konténer felületén tw = 20 oC = állandó hőmérsékletet biztosít.

Num=0,135(GrPr)1/3

. A meghatározási hőmérséklet tm=(tf+tw)/2.

Megoldás:

A meghatározási hőmérséklet

Ctt

towf

m5

2

2030

2

.

Az adott esetben a konténer körül szabad konvekció alakul ki, erre a Nu

és Gr szám összefüggései

31

1350/

mPrGr,Nu ;

tglGr

3

.

A hasonlósági kritériumok tényezői a meghatározási hőmérsékleten

KT

m

m/100373,0

268

11 .

A kinematikai viszkozitás, hővezetési tényező és a Prandtl-szám [17]

Függelék F.14 táblázatból interpolálva

s/m,m

261092512

;

)mK/(W,m

0239370 ;

][,Prm

71230 .

A Grashoff-féle szám

][.,

,,tglGr

10

122

3

100951811092512

508191003730

.

A Nusselt-szám

][,,,,PrGr,Nu/

m 712677120301009518113501350 3

1

1031.

A hőátadási tényező )Km/(W,,,

D

Numm 2

40861

023937071267

.

A konténer felülete 2

2

2717514

12

42 m,LD

DA

.

A szükséges fűtési teljesítmény

W,,ttAQfw

5533302027174086 .


21. Hőátbocsátás

Amennyiben a hőátvitel az egyik mozgó (melegebb) közegtől a másik

mozgó (hidegebb) közegbe egy- vagy többrétegű szilárd falon keresztül

megy végbe, vagyis a hőátadás és hővezetés együttes jelenléte esetén

hőátbocsátásról beszélünk. [Ez tulajdonképpen a harmadfajú peremfelté-

tel esete (19.2. pont).]

21.1. Sík fal állandósult hőátbocsátása

Az 1 közegtől a falig (21.1.

ábra) hőátadás van, melyre ír-

hatjuk a Newton–Riemann fé-

le egyenletet

1w1f1

ttq . (21.1)

A falon keresztüli hővezetésre

2w1w

ttq

, (21.2)

míg a faltól a 2 közegbe hőát-

adással jut a hő

2f2w2

ttq . (21.3)

A (21.1),(21.2), és (21.3)

egyenletek alkotta egyenlet-

rendszerben az ismeretlenek

rendre 2w1w

t,t,q .

Az egyenleteket hőmérsékletkülönbségre rendezve, majd a három egyen-

letet összeadva és q -ra megoldva kapjuk

2121

21

11

1ffff ttkttq

, (21.4)

ahol

21

11

1k

– hőátbocsátási tényező, melynek reciproka a ter-

mikus ellenállás.

Többrétegű fal esetén analóg módon levezethető

21.1. ábra – Sík fal hőátbocsátása

21. HŐÁTBOCSÁTÁS 115


2f1f

2

n

1i i

i

1

tt11

1q

, (21.5)

ahol i – a réteg sorszáma, n – a rétegek száma.

21.2. Hengeres fal állandósult hőátbocsátása

A sík falnál alkalmazott módszert al-

kalmazva az 1. közeg és az 1r sugarú l

hosszúságú belső hengerfelület közötti

hőátadásra (21.2. ábra) írhatjuk

1w1f111w1f11

ttlr2ttAQ

(21.6)

a falon keresztül hővezetéssel átjutó

hőmennyiség (19.34) alapján

2w1w

1

2

tt

r

rln

l2Q

, (21.7)

a külső falfelület és a 2. közeg közötti

hőátadásra

2f2w222f2w22

ttlr2ttAQ

(21.8)

A megoldásra a sík falnál alkalmazott módszert alkalmazva kapjuk

221

2

11

21

221

2

11

21

1ln

2

111ln

11

2

dd

d

d

ttl

rr

r

r

ttlQ

ffff

, (21.9)

többrétegű falnál

21.2. ábra – Hengeres fal

hőátbocsátása

l



121

1

11

21

121

1

11

21

1ln

2

111ln

11

2

n

n

i i

i

i

ff

n

n

i i

i

i

ff

dd

d

d

ttl

rr

r

r

ttlQ

,(21.10)

21.2.1. A hengeres fal kritikus átmérője

A (21.9) egyenlet nevezője a termikus ellenállás, mely három összetevő-

ből áll

321

RRRR , (21.11)

ahol 11

1d

1R

(hőátadás),

1

2

2d

dln

2

1R

(hővezetés),

22

3d

1R

(hőátadás).

A hengeres fal külső átmérőjé-

nek változtatásával (1

d =áll.)

az ellenállások a 21.3. ábra sze-

rint változnak.

Az eredő termikus ellenállás-

nak dkr helyen minimuma van.

A dkr kritikus átmérő értékét a

0d

R

2

.

feltételből határozhatjuk meg.

0d

1

d

dln

2

1

d

1

d221

2

112

, (21.12)

0d

1

d2

1

2

222

,

melyből

21.3. ábra – A termikus ellenállások

változása az a külső átmérővel



2

kr

2d

(21.13)

vagyis a kritikus átmérő független a hengeres fal méretétől.

Hőszigeteléskor a szigetelőanyag kritikus átmérője nem lehet nagyobb,

mint a szigetelendő hengeres fal külső átmérője, vagyis

2kr

dd , (21.14)

illetve a szigetelés anyagának megválasztási feltétele

2

d22

szig

. (21.15)

Elektromos szigetelés esetén a jó elektromos szigetelő tulajdonság mellett

a jó hővezetés is követelmény. Tehát ebben az esetben a vezetékkr

dd

vagy

2

d22

szig

(21.16)

feltételnek kell teljesülnie.

21.2.2. A hőátbocsátás intenzívebbé tétele a fal bordázásával.

Bordázott fal hőátbocsátása

A termikus ellenállás összetevőit

vizsgálva, jól látható, hogy az R1,

valamint R3 termikus ellenállások ér-

tékét a hőátadási tényező és a felület

szorzata határozza meg. A kis hőát-

adási tényező hatása tehát csökkent-

hető, illetve kompenzálható a felület

növelésével.

A (21.11) egyenletből kitűnik az is,

hogy az eredő ellenállás értékét a ki-

sebbik hőátadási tényező alapvetően

meghatározza.

A termikus ellenállást a kisebbik hő-

átadási tényező, illetve az A szorzat

növelésével csökkenthetjük.

Adott hőátadási tényező esetén a

szorzat másik tényezőjének, a felü-21.4. ábra - Bordázott fal



letnek a növelésével csökkenthetjük a termikus ellenállást. A felület növe-

lésének módja a bordázás (21.4. ábra).

A fentiekből következik, hogy az a falfelület bordázandó, ahol a hőátadási

tényező kisebb. A bordák tw2 hőmérséklete a hossz mentén változik, ha

2f1ftt .

A bordatő hőmérséklete 2w

t , a bordavégen 2w

t . A1 – a sima falfelület

nagysága, A2 – a bordázott felület nagysága.

A bordahatásfok azt fejezi ki, hogyan viszonyul a pontról-pontra változó

2wt hőmérsékletű bordázott felület által leadott hőmennyiség a mindenütt

2wt hőmérsékletű bordázott felület által leadott hőmennyiséghez. A válto-

zó felületi hőmérsékletű (tw2 = var) borda által leadott hőmennyiséget a

bordázott felület közepes hőmérsékletével - tB-vel - írjuk fel

2f2w22

2fB22

tt

vart

BttA

ttA

Q

Q

2w2w

2w

. (21.17)

Az 1 felületre hőátadással érkező hőmennyiség

1w1f11

ttAQ . (21.18)

A falban a bordatőig vezetéssel áramló hőmennyiség

2w1w1

ttAQ

. (21.19)

A bordázott (2) felületen a 2 közegbe áramló hőmennyiség

2fB22

ttAQ , (21.20)

a bordahatásfok bevezetésével

2f2w2B2

ttAQ . (21.21)

A (21.18), (21.19) és (21.21) egyenletekből a hőmérséklet különbségeket

kifejezve

11

1w1fA

Qtt

; Q

Att

1

'

2w1w

;

2B2

2f

'

2wA

Qtt

.

A bordázott falon keresztüli hőáram

2B2111

1f2f

A

1

AA

1

ttQ

. (21.22)



Példa:

Egy 10 mm átmérőjű elektromos kábelt milyen vastag szigetelőréteggel

kell ellátni, hogy a hőleadás maximális legyen? A szigetelőanyag hőveze-

tési tényezője =0,1 W/(m K), a levegő és a szigetelőanyag felülete kö-

zötti hőátadási tényező = 10 W/(m2 K). Mekkora lesz ekkor a szigetelés

külső felületének hőmérséklete, ha a huzal ellenállása 0,005 Ohm/m, a

vezetőben folyó egyenáram erőssége 100 A, a környezeti levegő hőmér-

séklete 25 oC?

Megoldás:

A szigetelésen keresztül a legnagyobb hőáram a kritikus szigetelési átmé-

rő esetén lesz.

A kritikus szigetelési átmérő értéke m,,

dkr

02010

1022

.

A szigetelőréteg vastagsága m,,,dd

vezetékkr0050

2

010020

2

.

Az 1 m hosszú vezetékben időegység alatt keletkező hő mennyisége

W,RIQm

50005010022

1 .

Ez a hőmennyiség hőátadással jut el a környezetbe.

fwm1m1

ttAQ ; melyből m

fwA

Qtt

1

.

Az 1 m hosszú vezeték szigetelésének külső felülete

2

1062800201 m,,dA

krm .

A felület hőmérséklete

C,,A

Qtt

o

m

fw61104

0628010

5025

1

.

21.3. Speciális feladatok a hőátbocsátás témaköréből

21.3.1. Állandó keresztmetszetű egyenes rúd állandósult hővezeté-

se

Az állandó keresztmetszetű egyenes rúdban lejátszódó hőátviteli folyamat

elemzéséből fontos következtetéseket vonhatunk le a bordázás kialakítá-

sára.



Az állandó keresztmetszetű egyenes rúdban lejátszódó hővezetés vizsgá-

latához tekintsük alapnak a 21.5. ábrát. Az ábra felső részén a hőmérsék-

letváltozás látható a rúd hossza mentén. Feltételezzük, hogy a rúd egy

adott keresztmetszetében a hőmérséklet mindenütt azonos.

Vezessünk be új változót

f

tt ,

f11

tt .

Vizsgáljuk a dx vastagságú elemi részt, melyre a hőmérleg a következő

alakban írható fel:

dxxx

QQQd

, (21.23)

ahol dQ az elemi hosszúságú rész felületén a környezetbe hőátadással tá-

vozó elemi hőmennyiség.

Fourier törvénye szerint

Axd

dQ

x

. (21.24)

Az dx hosszúságú elemi hosszúságú rúdból kilépődxx

Q

hőmennyiség a

függvény Taylor-sorba fejtése és a másodrendűen kicsiny tagok elha-

nyagolása után

21.5. ábra – Hőmérséklet-eloszlás az egyenes rúdban



Axdxd

d

xd

dQ

dxx

, (21.25)

melyből

xdxd

dA

xd

dAQ

2

2

dxx

,

következésképpen

xdxd

dAQQ

2

2

dxxx

. (21.26)

Másrészt a Newton–Riemann-féle egyenlet szerint

dxKdQB , (21.27)

ahol K – a keresztmetszet kerülete, B

– a rúd felületéről a környezet

felé irányuló hőátadás hőátadási tényezője.

Az (21.26) és (21.27) egyenletek egybevetéséből következik

2B

2

2

mA

K

xd

d , (21.28)

ahol A

Km

B

. (21.29)

Amennyiben m = állandó, a (21.28) differenciálegyenlet általános megol-

dása

xm

2

xm

1eCeC

. (21.30)

A C1, C2 integrálási állandók a peremfeltételekből határozhatók meg.

A peremfeltételeket végtelen és véges

hosszúságú rúd esetére adjuk meg.

a) Végtelen hosszú rúd

Peremfeltételek:

A rúd x=0 koordinátájú keresztmet-

szetében a hőmérséklet állandó

1 .

Ha a rúd hossza l , akkor a rúd-

hoz vezetett hő teljes egészében át-

adásra kerül a környezetbe, tehát 21.6. ábra – A változása a rúd

hossza mentén



x esetén 0 .

A peremfeltételek (21.30) egyenletbe történő helyettesítéssel kapjuk:

Ha 0x , 211CC .

Ha x , 0eC1

.

Ez utóbbi egyenlet csak 0C1 esetén lehetséges. Ezzel az első egyenlet

alapján 12C .

Az integrálási állandók (21.30) egyenletbe helyettesítésével kapjuk

xm

1e

, (21.31)

mely a

xm

1

e

(21.32)

alakba írható, ahol – a rúd x = 0 helyen lévő kezdeti keresztmetszetében

lévő hőmérséklethez viszonyított dimenziótlan hőmérséklet.

A 21.6. ábrán a dimenziótlan hőmérséklet változása látható a rúd hosz-

sza mentén az m paraméter különböző értéke mellett (123

mmm ).

Az ábrából kitűnik, hogy a dimenziótlan hőmérséklet a rúd hossza mentén

annál gyorsabban csökken, minél nagyobb az m tényező és ha x tart a

végtelenhez, értéke zérushoz közelít.

Nyilvánvaló, hogy a környezetbe átadott hő annál nagyobb, minél na-

gyobb a rúd felületének hőmérséklete ( ). A (21.32) kifejezéséből követ-

kezőleg megállapíthatjuk, hogy bordázáskor a borda anyagának nagy hő-

vezetési tényezővel kell rendelkeznie, míg / = állandó esetén a kerü-

let/keresztmetszet viszony csökkenésével nő a borda hatékonysága.

A rúd belépő keresztmetszetében a belépő hőmennyiség

0x

xd

dAQ

. (21.33)

A függvény deriváltja x=0 helyen

. 10x1

xm

0x

memxd

d

,

mellyel az időegység alatt átadott hőmennyiség

AKmAQB

11 . (21.34)



b) Véges hosszúságú rúd

Peremfeltételek

Ha 0x ; 1 .

Ha lx ; ll

lxxd

d

.

Vagy

l

l

lxxd

d

.

Ha 0x ; 211CC ; (21.35)

ha lx ; l

llm

2

lm

1

lx

meCemCxd

d

; (21.36)

és lmlm

l eCeC

21 . (21.37)

Az egyenletrendszerből meghatározható a két integrálási állandó

lllm2

l

1

1

mme

m

C

, ,2

2

12

lllm

llm

mme

me

C

(21.38)

lllm2

llm2xm

lllm2

lxm

1

mme

mee

mme

me

,

(21.39)

mlml1mlml

xlmxlm1xlmxlm

1

eeeem

eeeem

. (21.40)



Mivel

xshee

xx

2, xch

2

eexx

, (21.41)

mlshm

mlch

xlmshm

xlmch

l

l

1

, (21.42)

ha 0x ; 1 ;

ha lx ; 0xd

d

lx

.

Amennyiben l

kicsi és nagy, 0l

.

mlch

xlmch1

. (21.43)

Határértékben, amikor x=l a (21.42) egyenlet a

mlch

1

(21.44)

alakot ölti.

A borda által a környezetnek átadott hőmennyiség megegyezik a bordatő-

höz vezetett hőmennyiséggel

0x

xd

dAQ

, (21.45)

a függvény deriváltja x=0 helyen

mlthm

mlch

mlshm

xd

d11

0x

. (21.46)

Így a keresett hőmennyiség

mlthAKQB1

. (21.47)

Amennyiben (ml) , th(ml) 1, akkor 0lx

és a (21.47 ) egyen-

let a (21.34) alakot ölti.



21.3.2. Sík fal egydimenziós, állandósult hővezetése belső hőfor-

rás esetén.

Vizsgáljuk meg a hővezetést olyan sík lap esetén (21.7. ábra), melynek

vastagsága 2, a belső hőforrás a lapban egyenletesen oszlik el, továbbá a

lap két oldala tf = állandó hőmérsékletű közeggel azonosan hűtött. A kö-

zegbe irányuló hőátadás hőátadási tényezője = állandó.

A lapban kialakuló hőmérséklet eloszlást a hővezetés általános differenci-

álegyenletéből (19.3) kiindulva határozhatjuk meg. Az

v

ca

egyenlet figyelembevételével írható

02

2

vq

dx

td . (21.48)

A differenciálegyenletet két lépésben in-

tegrálva

1C

xq

dx

dt v

, (21.49)

21

2

2CxC

xqt

v

, (21.50)

megkapjuk a hőmérséklet változását a sík

lapban, ahol az integrálási állandók a pe-

remfeltételekből határozhatók meg.

Figyelembe véve a t tengelyre létező

szimmetriát, a peremfeltételek a következők:

x = 0; helyen 0

0

xdx

dt; (21.51)

x = ; helyen fw

x

ttdx

dt

és w

tt . (21.52)

A (21.51) feltételt a (21.49) egyenletbe helyettesítve kapjuk: C1=0.

x = esetén a (21.49) egyenlet

t

tf

+x -x

tf

tw tw

2

0

to

21.7. ábra – Sík fal

belső hőforrással



v

x

q

dx

dt

. (21.53)

Behelyettesítve a (21.52) összefüggést, majd kifejezve a felületi hőmér-

sékletet

v

fw

qtt

. (21.54)

A C2 integrálási állandó a (21.50) és (21.54) egyenletek alapján x = he-

lyettesítéssel

2

2

2 vfqtC . (21.55)

Az integrálási állandókat (21.50) összefüggésbe helyettesítve a hőmérsék-

let eloszlás

22

12

xqqtt

vv

f

(21.56)

összefüggés szerinti, azaz parabolikus.

A hőáram az egységnyi keresztmetszeten keresztül – mivel a hozzátartozó

térfogat x1V 2m1

xqqv

, (21.57)

x=0 esetén 0q

A lap egységnyi felületén (x=) időegység alatt kiáramló hőmennyiség ál-

landósult esetben

vfw

qttq . (21.58)

A teljes (kétoldali) felületen kiáramló hőmennyiség

1vA2qAqQ . (21.59)



21.3.3. Homogén körkeresztmetszetű rúd egydimenziós, állandó-

sult hővezetése belső hőforrás esetén.

Vizsgáljunk olyan hengert, mely-

nek átmérője a hosszához képest

kicsi.

A hővezetés általános differenciál-

egyenletét hengerkoordinátás alak-

ban a 21.8. ábra szerinti esetre fel-

írva kapjuk

01

2

2

vq

dr

dt

rdr

td (21.60)

vagy kis átalakítás után

vq

dr

dtr

dr

d

r

1. (21.61)

A (21.61) differenciálegyenlet két-

szeres integrálással oldható meg:

1

2

2C

rq

dr

dtr

v

(21.62)

vagy

r

Crq

dr

dt v 1

2

, (21.63)

végül a hőmérséklet-eloszlás

21

2

ln4

CrCrq

tv

. (21.64)

Az integrálási állandók a peremfeltételek ismeretében határozhatók meg.

Ezek rendre a következők:

r = 0; 0

0

rdr

dt; (21.65)

r = r2; fw

rr

ttdr

dt

2

; és w

tt . (21.66)

A (21.62) egyenletből a (21.65) feltétel helyettesítésével C1 = 0.

21.8. ábra – Körkeresztmetszetű rúd


0

t

tf

r

tf

tw tw

2r

2

to



A (21.63) egyenletből r = r2 esetén kapjuk:

2

2

2

rq

dr

dt v

rr

. (21.67)

Ezt a (21.66) összefüggésbe helyettesítve

fw

vtt

rq

2

2

, (21.68)

illetve ebből

f

v

wt

rqt

2

2

. (21.69)

Ezzel a (21.64) egyenletből a második integrálási állandó

42

2

22

2

rqrqtC

vv

f

. (21.70)

A hőmérséklet eloszlás

22

2

2

42rr

qrqtt

vv

f

. (21.71)

A felületen keresztüli hőáram

lrqVqQvv

2

2 . (21.72)

Amennyiben I [Amper] erősségű áram folyik a vezetékben, melynek el-

lenállása R [Ohm], a az elektromos áram hőhatásából eredő belső hőforrás

intenzitását a

(21.73)

összefüggéssel határozhatjuk meg.

lr

RIq

v

2

2

2



21.3.4. Hengeres fal hővezetése hőleadással a külső, és a belső fe-

lületen

A számítás alapját a (21.60)-(21.64)

egyenletek jelentik.

A hengeres falban keletkezett hőmeny-

nyiség

lrrqVqQ vfalv

2

1

2

2 . (21.74)

Állandósult esetben a belső hőforrá-

sokból felszabaduló hőmennyiség

megegyezik a külső és belső felülete-

ken távozó hőmennyiségek összegével.

21QQQ . (21.75)

A (21.64) egyenlet integrálási állandóit

a vizsgált esethez tartozó peremfeltéte-

lekből határozhatjuk meg (21.9. ábra).

1rr esetén

)( 111111

1

fw

rr

ttAQdr

dtA

, (21.76)

ebből

)(111

1

1

1

fw

rr

tt

A

Q

dr

dt

. (21.77)

A C1 integrálási állandó a (21.62) egyenletből határozható meg, ha r = r1

esetre alkalmazzuk.

22

2

1

1

11

2

1

11

1

rq

A

Qrrq

dr

dtrC

vv

rr

. (21.78)

Amennyiben a (21.64) egyenletet a külső átmérőre (r = r2) alkalmazzuk,

2wt ismeretében belőle meghatározható a C2 értéke.

12QQQ , (21.79)

másrészt

tw1 tw2

1Q 2

Q

1r

2r

to

2

1

tf1 tf2

21.9. ábra – A hengeres fal




22222 fw

ttAQ , (21.80)

melyből 2w

t meghatározható. Így

22

2

22A

Qtt fw

,

2

2

1

1

11

2

2

22

2

22ln

24r

rq

A

Qrrq

A

QtC

vv

f

. (21.81)

Ezzel a hőmérséklet eloszlás (21.64) egyenlet alapján

21

2

ln4

CrCrq

tv

, (21.82)

4ln

2

22

2

22

2

2

2

1

1

11

2

rrq

A

Q

r

rrq

A

Qrtt

vv

f

. (21.83)


22. Hősugárzás (Hőközlés sugárzás útján)

22.1. Sugárzási alapfogalmak

Az eddigiekben a különböző testek és közegek közvetlen érintkezése so-

rán létrejött hőközlés eseteit vizsgáltuk. A tapasztalat azonban azt mu-

tatja, hogy a hő érintkezés nélkül is átvihető (pl. napsugárzás). Az ilyen

hőáramlási módot hősugárzásnak nevezzük, amelyik - mechanizmusát

nézve - alapvetően különbözik az érintkezés útján létrejövő hőáramlástól.

Az alapvető eltérés abban mutatkozik, hogy a hősugárzás esetében az

energiahordozók nem a közvetítő (érintkező) közeg mikrorészecskéi, ha-

nem a meleg test által kibocsátott elektromágneses hullámok. Valamely

anyag által kibocsátott elektromágneses sugárzás oka az atomok elektro-

mos természetében rejlik. Az atomokat felépítő negatív és pozitív töltésű

részecskék egymáshoz képesti mozgása az elektrodinamika törvényei sze-

rint elektromágneses hullámok kibocsátásához vezet, melynek során a ré-

szecskék kinetikai energiája sugárzási energiává alakul át.

Megjegyezzük, hogy az energia kisugárzás nem folytonosan, végtelen

elektromágneses hullám alakjában, hanem Planck vizsgálatai szerint

meghatározott adagokban, un. sugárzási energiakvantumonként történik.

Jelenlegi ismereteink szerint az energiakvantumok hordozói elemi sugár-

zási részecskék, más néven fotonok.

A fotonok a mozgó részecskék összes tulajdonságával rendelkeznek; van

meghatározott frekvenciájuk (), energiakészletük, - amely az elemi ha-

táskvantummal egyenlő (Ef = h - ahol h = 6, 62517 . 10-34

Joule sec - a

Planck-féle állandó) - mozgásmennyiségük és impulzusnyomatékuk.

Nyugalmi tömegük zérus.

Az elektromágneses hullám az elektromos és mágneses térerősségek idő-

beni változásának tovaterjedése,

melynek elméleti vizsgálatával

Maxwell foglalkozott először

1865-ben. Elmélete szerint az E

elektromos térerősség és a B

mágneses indukcióvektorok egy-

más között, valamint a terjedés irá-

nyába mutató egységvektorra ( s

)

nézve a tér bármely pontjában

minden pillanatban ortogonálisak

(egymásra merőlegesek), azaz

22.1. ábra – Az elektromágneses

hullám



0 BE

; 0 sE

; 0 sB

(22.1)

és a három vektor jobbforgású rendszert képez (22.1. ábra).

Az E

és B

vektorok abszolút ér-

tékei lineáris kapcsolatban vannak

egymással

EB , (22.2)

ahol – az adott tér mágneses, míg

ε – a dielektromos állandója.

Az elektromágneses hullámok ter-

jedéséhez nem szükséges közvetítő

közeg. Terjedési sebességük függ a

közeg sajátosságaitól, amelyen át-

haladnak, valamint a frekvenciától:

cc , (22.3)

ahol c az adott frekvenciájú elekt-

romágneses hullám terjedési sebes-

sége az ε dielektromos és μ mágne-

ses állandóval rendelkező közeg-

ben, c = 299792,5 km/s az elekt-

romágneses hullámok terjedési se-

bessége légüres térben (minden

frekvenciára nézve azonos).

Mint minden hullámfolyamat az

elektromágneses hullámok is jel-

lemezhetők meghatározott hullám-

hosszal és frekvenciával, melyek

szorzata a hullám terjedési sebes-

ségét adja meg.

Az első rádióhullámok Hertz által

történt felfedezése óta az elektro-

mágneses hullámok teljes spekt-

rumát - a legkisebb hullámhosszú

kozmikus sugaraktól, a legnagyobb

hullámhosszú rádióhullámokig –

feltárták (22.2. ábra).

22.2. ábra – Az elektromágneses

hullámok teljes spektruma

22. HŐSUGÁRZÁS 133


Az elektromágneses hullámok légüres térben, vagy olyan áteresztő kö-

zegben terjedve, amelyik nem csökkenti energiájukat, és nem akadályoz-

za terjedésüket - útjukban különböző testeket találnak, melyekkel köl-

csönhatásba lépnek. Energetikai szempontból az ilyen kölcsönhatásnak

három határesete lehetséges.

Az elektromágneses hullámokat a test vagy közeg

a) akadály nélkül átereszti (tökéletesen áteresztő),

b) felületéről energiaveszteség nélkül, teljes egészében visszaveri (tökéle-

tesen visszaverő),

c) teljes egészében elnyeli, (tökéletesen elnyelő test vagy közeg).

Nyilvánvaló, hogy a különböző valóságos testek és közegek nem elégítik

ki teljességgel ezeket a feltételeket. Ezek részlegesen átengedik, elnyelik

és visszaverik az elektromágneses hullámokat.

A hőáramlás szempontjából azoknak az elektromágneses hullámoknak

(sugaraknak) van gyakorlati jelentőségük, amelyeket a testek

hőenergiájuk javára, ill. rovására nyelnek el, ill. bocsátanak ki.

Ilyen tulajdonságnak egyrészt a látható fénysugarak (hullámhossz: 0,4 -

0,8 μ), döntőrészt azonban a láthatatlan infravörös sugarak (hullámhossz:

0,8 - 400 μ). Ezért az utóbbiakat hősugaraknak, – folyamatukat pedig –

hősugárzásnak, vagy emissziónak nevezzük.

A fent említett a) és b) esetekben, mivel a hullámok energiája a testtel

történt kölcsönhatás után megegyezik a kölcsönhatás előttivel, nem

változik a test energiakészlete sem. A c) esetben a termodinamika első

főtételéből következik – az elnyelt hősugarak energiáját a test veszi fel,

vagyis nő belső energiája, amennyiben az adott esetben a térfogat-

változási munka zérus. Ha feltételezzük, hogy sem halmazállapot-

változás, sem kémiai összetétel változás a testben nem megy végbe – úgy

a belsőenergia-növekedésnek hőmérsékletnövekedés felel meg. Tehát a

hősugárzás elnyelésekor a test felmelegszik. Ugyanakkor a tapasztalat

szerint, ha egy meleg testet érintkezés nélkül, légüres térben magára

hagyunk, hőmérséklete csökken.

A hőmérsékletváltozás arányos azzal az energiamennyiséggel, amelyet a

test a környezetbe kisugároz. Ha a test által kisugárzott és elnyelt ener-

giamennyiség megegyezik, hőmérséklete nem változik. A hősugarak ál-

landó kibocsátása és elnyelése minden testnek sajátossága, ha hőmérsék-

lete nagyobb mint 0 K. A kisugárzott energiamennyiséget J-ban, az idő-

egység alatt kisugárzó energiát pedig W-ban mérjük.



Ha 0-tól végtelenig terjedő valamennyi hullámhosszú, minden irányban

időegység alatt kisugárzó energiamennyiséget a sugárzó test felületére

vonatkoztatjuk, akkor a test sugárzóképességét, vagy emisszióképességét

kapjuk meg, azaz

A

QE

,[W/m

2], (22.4)

ahol Q [W] – az időegység

alatt kisugárzott energiameny-

nyiség, A [m2] pedig a test fe-

lülete.

Állandósult elektromágneses

hullámok esetén az adott tér

egységnyi térfogatára vonat-

koztatott fajlagos energia ál-

landó marad - amely szintén a

termodinamika első főtételéből

következik.

Ennek alapján, ha a testet érő

összes (beeső) sugárzás energiája Q (22.3. ábra) a test által elnyelt hul-

lámok (A

Q abszorbeált), a visszavert hullámok (R

Q reflektált) és a (D

Q

diffundált) átengedett hullámok energiáinak összege:

QQQQDRA

. (22.5)

Az egyenlet mindkét oldalát Q -al elosztva és a

aQ

QA

R

Q

QR

D

Q

QD

(22.6)

jelöléseket bevezetve kapjuk:

1 DRa . (22.7)

A fenti kifejezésben a - a test elnyelési (abszorpciós), R a visszaverési és

D pedig az átengedési tényezője.

- Tökéletesen áteresztő testek esetén D = 1, és R = a = 0,

- tökéletesen visszaverő (tükröző) testeknél R = 1, D = a = 0 (ha a teljes

visszaverődés szétszórt, akkor a testet tökéletesen (abszolút) fehér testnek

nevezzük), míg az

- abszolút elnyelő, vagy abszolút fekete testeknél a = 1, R = D = 0.

22.3. ábra – A beeső sugárzás

eloszlása



A testek nagy többségénél D=0, így

1 Ra . (22.8)

A következőkben ilyen testek vizsgálatával foglalkozunk.

A különböző testek által kibocsátott és elnyelt energia hányadosa általá-

nos esetben három alaptényező függvénye: függ a test hőmérsékletétől, az

elnyelendő és kisugárzott elektromágneses hullámok tulajdonságaitól,

amelyeket elsősorban a frekvencia vagy a hullámhossz jellemez, és

végül függ az adott anyag egyedi sajátosságaitól.

A valóságban a szilárd és cseppfolyós testek többségének sugárzási szín-

képe folytonos (a legkisebb hullámhossztól a legnagyobbig bocsát ki

elektromágneses hullámokat), míg a gázoké sávos (csak bizonyos szű-

kebb hullámhossz tartományban végeznek kisugárzást). A gázok egész tö-

megükből bocsátanak ki elektromágneses hullámokat, ugyanakkor a szi-

lárd testek esetében csak felületük vékony rétege vesz részt a sugárzás-

ban.

Az egyes anyagok a különböző hullámhosszú elektromágneses hullámok-

kal szemben eltérően viselkednek.

A kvarc a hősugarakat nem ereszti át, míg a fény és ultraibolya sugárzás-

sal szemben áteresztő. A kősó átereszti a hősugarakat, de nem ereszti át

az ultraibolya sugarakat. Az ablaküveg átereszti a fénysugarakat, de az

ultraibolya és hősugarakkal szemben csak kismértékben áteresztő.

A fehér színű felületek (szövet, festék) csak a látható sugárzást verik jól

vissza, a hősugárzást ugyanolyan jól elnyelik, mint a sötétek. Tehát a

különböző testeknek az a sajátossága, hogy milyen mértékben nyelik el,

vagy verik vissza a sugárzást, alapvetően nem a felület színétől, hanem ál-

lapotától függ. A sima és csiszolt felületek visszaverési tényezője ugyanis

színtől függetlenül többszörösen nagyobb, mint az érdes felületeké.

Ha az adott test sugárzásos energiacserében van a környezetében levő tes-

tekkel, akkor azok részéről időegység alatt m2-ként

Eb=Ebeeső

beeső sugárzási energiamennyiség éri. A beeső energia egy részét

Eelnyelt= aEb

mennyiségben a test elnyeli, míg a maradék

Evisszavert= Eb(1-a)

részt visszaveri. Tehát úgy tűnik, mintha ezt is a test sugározná ki.



22.1.1. Effektív sugárzóképesség

A test saját sugárzásának, sugárzóképességének, valamint a beeső

sugárzás általa visszavert részeinek összegét effektív (tényleges)

besugárzásnak (sugárzóképességnek) nevezik

bees ősajátbees ősajáteff

EaEREEE 1 . (22.9)

Az effektív sugárzóképesség nem csupán az adott test hőmérsékletének és

fizikai jellemzőinek függvénye, hanem függ a környező testek fizikai jel-

lemzőitől, hőmérsékletétől, sugárzási

spektrumaitól, méreteitől és viszony-

lagos helyzetétől. Ezért a saját és ef-

fektív sugárzások fizikai tulajdonsá-

gai nem azonosak, és sugárzási spekt-

rumaik is eltérőek.

Abszolút fekete test esetén

Eeff = E = E0, mivel ao = 1.

Az adott test eredő sugárzásán az ál-

tala elnyelt sugárzás és a kibocsátott

saját sugárzás különbségét értjük.

A következőkben saját

EE jelölést

alkalmazva és az energia mérleget a

test felületéhez közeli belső felületre

(22.4. ábra) felírva az eredő sugárzás

bees őyelteered ő

aEEEEq ln

(22.10)

lesz. Ebből az a

qEE

ered ő

bees ő

kifejezését (22.9)-be helyettesítve kap-

juk

a

E

aq

a

qEaEE

ered ő

ered ő

eff

111 (22.11)

vagy

ered őeff

qa

R

a

EE . (22.12)

22.4. ábra – Az eredő sugárzás

meghatározásához

Eelnyelt E



22.1.2. A hősugárzás alaptörvényei

a) Planck-féle törvény

Az energiasugárzás egyidőben különböző hullámhosszokon megy végbe

és a kisugárzott energia a hőmérséklet és a hullámhossz függvénye. Adott

hőmérsékleten az egyes hullámhosszokon történt kisugárzás meghatáro-

zott intenzitással jellemezhető, amelyet mint a test által a és + d hul-

lámhossz tartományban kisugárzott energiasűrűség (dE) és a vizsgált

hullámhossz tartomány (d) hányadosát definiálhatjuk, vagyis

d

dEI [W/m

3]. (22.13)

Az abszolút fekete test valamely hőmérsékleten a = 0 tartományban

minden hullámhosszon vé-

gez kisugárzást. Ha valaho-

gyan elválasztjuk a külön-

böző hullámhosszú suga-

rakat és megmérjük min-

den egyes sugár energiáját,

azt tapasztaljuk, hogy a

spektrumban az eloszlás

változó.

A hullámhossz növekedé-

sével a sugárzás energiája

nő, majd egy bizonyos hul-

lámhossznál eléri maximu-

mát, s ezután csökken.

Ezen kívül az azonos hul-

lámhosszú sugarak energi-

ája is nő a hőmérséklet növelésével (22.5. ábra).

Planck a sugárzás elektromágneses természetéből kiindulva és felhasznál-

va az energia kvantumos jellegével kapcsolatos elképzelését, 1901-ben

elméleti úton a következő összefüggést kapta az abszolút fekete test su-

gárzási intenzitására:

22.5. ábra – Planck törvénye



1

2

5

1

T

co

e

cI

, (22.14)

ahol e – a természetes logaritmus alapszáma, c1 = 3,74 . 10-16

[w m2], c2 =

1,4388 . 10-2

[m K], [m] – a hullámhossz, T [K] – a sugárzó test abszo-

lút hőmérséklete.

b) Wien-féle eltolódási törvény

A (22.14) kifejezés szerint = 0, és a esetén 0 = 0 bármilyen T

hőmérsékleten. T = const. mellett az 0 -nak a = 0 tartományban

maximuma, illetve reciprokának minimuma van.

A

1

2

1

5

1

0

T

c

ec

I

(22.15)

kifejezést szerint differenciálva, majd a differenciálhányadost nullával

egyenlővé téve kapjuk:

015

22

1

2

3

1

4

1

0

T

c

T

c

eTc

ce

cI

, (22.16)

majd átalakítások után

0552

2

T

ce T

c

. (22.17)

Vezessük be a (22.17) egyenlet megoldásához az

T

cx

2 (22.18)

változót. Ekkor a (22.17) kifejezés a következő alakot ölti

15

1

xe

x , illetve x

ex

51 ,

melyet megoldva kapjuk: x = 4,965.

A maximális sugárzás-intenzitáshoz tartozó hullámhossz a (22.18) alapján

TTxT

c3

2

0max

108978,2

965,4

01438,0

[m]. (22.19)



A (22.19) összefüggés szerint a hőmérséklet növekedésével a maximális

intenzitáshoz tartozó hullámhossz csökken. Ez az un. Wien-féle eltolódási

törvény (1893).

A maximális intenzitás értéke a (22.16) egyenletből határozható meg.

5

30maxTcI , (22.20)

ahol c3 =1,309.10-7

[W/m3K]

Tehát az abszolút fekete test maximális sugárzásintenzitása az abszolút

hőmérséklet ötödik hatványával arányos.

c) Stefan–Boltzmann-féle törvény

Az abszolút fekete test egységnyi felülete által időegység alatt a

( +d ) hullámhossz tartományban kisugárzott energia a (22.4) alap-

ján:

dIdE00

[w/m2]. (22.21)

Így az összes hullámhosszon kisugárzott energiát az

dIEo

0

0 (22.22)

integrállal határozhatjuk meg, melybe Planck törvényét behelyettesítve

kapjuk:

d

e

cE

T

c

0

5

1

0

1

2

. (22.23)

Vezessük be újra a (22.18) szerinti változót

0

3

4

2

4

1

01

xe

dxx

c

TcE . (22.24)

Az így nyert (22.24) egyenletben az integrál értéke a következőképpen

számítható:

0

323

0

3

...1

dxeeexe

dxx xxx

x. (22.25)

Az integrálást tagonként parciálisan elvégezve és figyelembe véve, hogy

0

1dxex

,



kapjuk

1

444

0

31

6...3

1

2

116

1 n

xne

dxx, (22.26)

ahol

1

4

1

n n a Riemann-féle 4 függvény, melynek értéke

904

4

.

Ezzel

0

443

1590

6

1

x

e

dxx,

továbbá

4

0

4

4

2

1

4

4

4

4

2

1

01515

TTc

cT

c

cE

, (22.27)

ahol 0= 5,67.10 - 8 w/(m

2K

4).

Tehát az abszolút fekete test sugárzóképessége egyenesen arányos

abszolút hőmérsékletének negyedik hatványával. Ezt a törvényszerűséget

kísérleti úton 1879-ben Stefan cseh tudós tárta fel, majd 1884-ben

Boltzmann osztrák fizikus elméletileg is igazolta, ezért Stefan–Boltzmann

-féle törvénynek nevezik, mely értelemszerűen a Planck- féle törvény

integrálja (22.6. ábra görbék alatti terület).

A műszaki irodalomban a Stefan–Boltzmann-féle törvényt általában az

4

00100

TcE (22.28)

alakban használják, ahol c0 - az abszolút fekete test sugárzási tényezője:c0

= 5,67 [w/(m2K

4].

A (22.21) és (22.22) kifejezésekből kitűnik, hogy a 22.6. ábrán feltüntetett

T = const. görbék alatti területek az abszolút fekete test sugárzó képessé-

gét adják meg az adott hőmérsékleten.

A valóságos testek nem tekinthetők abszolút feketének és egyazon hő-

mérsékleten kevesebb energiát sugároznak ki, mint az abszolút fekete tes-

tek. Ezek sugárzóképessége szintén a hőmérséklet és a hullámhossz függ-

vénye. Az abszolút fekete testre nyert törvényszerűségek valóságos tes-



tekre történő alkalmazásához bevezetjük a szürke test és szürke sugárzás

fogalmát.

Szürke sugárzáson olyan sugárzást értünk, amelyik az abszolút fekete

sugárzáshoz hasonlóan folytonos spektrummal rendelkezik és az egyes

hullámhosszokhoz tartozó intenzitásának (I) viszonya az abszolút fekete

test sugárzás intenzitásához (I0) bármely hőmérsékleten állandó.

Következésképpen felírható az

.

0

constI

I

(22.29)

kifejezés. Az tényezőt feketeségi foknak nevezik. Értéke szürke testek

esetén mindig kisebb, mint 1, a test fizikai tulajdonságaitól függően.

A valóságos szilárd testek megfelelő pontossággal szürke testeknek te-

kinthetők, míg sugárzásuk szürke sugárzásnak.

A szürke test sugárzóképessége

dIE

0

, (22.30)

de mivel

0

II , ezért

dIE

0

0, (22.31)

illetve a (22.28) alapján

44

0100100

Tc

TcE . (22.32)

Tehát a szürke test sugárzóképessége az abszolút fekete test sugárzóké-

pességének -szorosa.

A c = c0 [w/(m2

K4)] tényező a szürke test sugárzási tényezője, melynek

értéke a valóságos testek esetében nem csupán a test fizikai jellemzőinek

függvénye, hanem függ a felület állapotától, a hőmérséklettől és a hul-

lámhossztól is. A sugárzási tényező értékeit táblázatokban adják meg.

A Stefan–Boltzmann-féle törvény segítségével meghatározható a testek

saját Es sugárzóképessége, amely a test felületi rétegeiből indul ki és hő-

mérsékletének, valamint fizikai jellemzőinek függvénye

4

100

TcE

s.



d) Kirchhoff törvénye

Minden test sugárzóképessége (E) és elnyelési

tényezője (a) a hőmérséklet és a hullámhossz

függvénye. A különböző testek E és a értékei

eltérőek, s a közöttük levő kapcsolatot rögzíti

Kirchhoff törvénye (1859). Ennek levezetéséhez

vizsgáljuk meg két, egymással párhuzamos, kü-

lönböző hőmérsékletű síklemez közötti sugárzá-

sos energiacsere folyamatát (22.6. ábra).

Legyen az egyik lemez abszolút fekete – T hő-

mérséklettel, E0 sugárzóképességgel, a0 = 1 el-

nyelési tényezővel - míg a másik szürke - T

hőmérséklettel, E sugárzóképességgel és a el-

nyelési tényezővel. A lemezek közötti távolság lényegesen kisebb, mint

méreteik, így mindegyik sugárzása feltétlenül eléri a másikat.

A második felület a Stefan–Boltzmann-törvény értelmében időegységben

egységnyi felületen E energiát sugároz az elsőre, amelyik - lévén abszolút

fekete - teljes egészében elnyeli azt. Ez a felület a maga részéről Eo ener-

giát sugároz a másodikra, az utóbbi ennek (aE0) részét elnyeli, míg a ma-

radék (1-a)E0 energiát visszaveri az elsőre, s az ezt teljesen elnyeli. Ilyen

feltételek mellett a szürke felület (aE0) energiamennyiséget kap, ugya-

nakkor E energiamennyiséget lead. Következésképpen a lemez (hő)-

energiamérlege a következő

0

aEEq . (22.33)

A felületek közötti kölcsönös energiacsere folyamata akkor is lejátszódik,

ha azok azonos hőmérsékletűek. Ebben az esetben - a rendszer termikus

egyensúlyban van és 0q . (Az egyes felületek által elnyelt energia

mennyisége egyezik azok sugárzás útján kibocsátott energia mennyiségé-

vel). Ekkor a (22.33) egyenletből kapjuk, hogy

o

aEE ,

melyből

o

Ea

E . (22.34)

Mivel a vizsgált szürke testre semmiféle megkötést nem tettünk, ezért a

(22.34) kifejezés tetszőleges testekre általánosítható, azaz

TfEa

E

a

E

a

Eo

n

n ...

2

2

1

1 . (22.35)

Vagyis az emisszióképesség és az elnyelési tényező hányadosa azonos

hőmérsékletnél minden testre nézve ugyanakkora és egyenlő az abszolút

T T

a=1 a<1

Eo

E

aEo

22.6. ábra – Kirchhoff

törvénye



fekete test E0 emisszióképességével. Ez Kirchhoff törvénye, melyből kö-

vetkezik, hogy ha egy testnek kicsi az elnyelési tényezője, sugárzóképes-

sége is kicsi (polírozott fémek).

Kirchhoff törvénye érvényes az egyes hullámhosszakon végbemenő ener-

giasugárzásra külön-külön is. A különböző tulajdonságú, de azonos hő-

mérsékletű testek meghatározott hullámhosszú sugárzásintenzitásának és

az ugyanezen hullámhosszra vonatkozó elnyelési tényezőjének hányadosa

azonos és számértékre megegyezik az abszolút fekete test ugyanezen hul-

lámhosszra és hőmérsékletre vonatkozó sugárzásintenzitásával

TfIEa

I

a

E,

00

, (22.36)

vagyis csak a hullámhossz és hőmérséklet függvénye.

Ha egy test valamilyen hullámhosszon sugároz energiát, akkor ugyanilyen

hullámhosszon energiát el is nyel.

Ha viszont egy test a spektrum valamely hullámhosszán nem nyel el

energiát, akkor azon nem is sugároz ki.

Kirchhoff törvényéből következik, hogy a szürke test feketeségi foka ( ) ugyanazon hőmérsékleten számértékileg megegyezik az a elnyelési té-

nyezővel:

ac

c

E

E

I

I

000

, (22.37)

melyből: c = a c0=c0

e) Lambert törvénye

Valamely test által kisugárzott energia

a tér különböző irányaiba különböző

intenzitással terjed. Lambert törvénye

szerint valamely felület dAl felület-

eleméből a dA2 felületelem irányába

kisugárzott energia (d2Q ) a felületi

normális irányába kisugárzott dQn

energia, a felületelemhez tartozó d

térszög és a sugárzás, valamint a felü-

leti normális iránya által bezárt

szög cosinusának szorzatával egyenlő

(22.7 ábra). 22.7. ábra – Sugárzási szögek

értelmezése



cos2

ddQQdn

. (22.38)

Következésképpen az energia legnagyobb része a sugárzó felület normáli-

sa irányába esik (=0). A növelésével a kisugárzott energiamennyiség

csökken és = 90o esetén zérus értékű.

Megjegyezzük, hogy Lambert törvénye szigorúan csak az abszolút fekete

testekre érvényes. Szürke testeknél a szögtől függő emissziós

(sugárzási) tényezővel korrigáljuk az eredményeket.

ndQdQd

cos

2 . (22.39)

A irányba kisugárzott energia számításához ismerni kell a fekete test dA

felülete által a felületi normális irányába kisugárzott dQn energiát.

Ezt úgy határozhatjuk meg, hogy a

ddQdQn

cos

integrál segítségével kiszámítjuk a dA sugárzó felület fölé emelt félgömb

felszínére kisugárzott összenergiát (22.8. ábra).

22.8. ábra – A dA felület által kisugárzott

összenergia számításához



Mivel a térszög fogalma szerint

ddd sin1 ,

írhatjuk, hogy

nn

dQdddQdQ

2

0

2

0

sincos , (22.40)

ahonnan

dQdQ

n , (22.41)

figyelembe véve, hogy

dAEdQdAEdQn

,

a (22.41) egyenletből következik,

EE

n . (22.42)

Ebben a kifejezésben az E sugárzóképesség a Stefan–Boltzmann-féle tör-

vényből nyerhető.

f) Távolsági törvény

Az energiaforrás sugárzását

jellemezhetjük azzal az ener-

giamennyiséggel is, amely az

általa besugárzott felület

egységére esik, vagyis az un.

besugárzó-képességével (e).

Pontszerű energiaforrás ese-

tén a besugárzó-képesség –

Q kisugárzott energiameny-

nyiségnél – nyilvánvalóan:

2

4r

Qe [W/m

2] (22.43)

fordítva arányos az r [m] tá-

volság négyzetével.

22.9. ábra – Pontszerű energiaforrás

besugárzó-képességéhez



A besugárzó-képesség ismeretében valamely tetszőleges helyzetű dA felü-

letelemre (22.9. ábra) eső energiamennyiséget az alábbi módon számíthat-

juk:

dAr

QdAedQ

cos

4cos

2 . (22.44)

Ha az energiaforrás nem pontszerű, akkor a (22.43), (22.44) kifejezések-

ben az r távolság kitevője 0 és 2 közé esik. A végtelen nagy sugarú felület

besugárzó-képessége a távolságtól független. Ez a körülmény teszi lehe-

tővé a felületek hőmérsékletének mérését sugárzási pirométerrel maximá-

lisan olyan távolságból, hogy a felület a pirométer teljes látómezejét még

kitöltse (ekkor ugyanis a látómező számára a sugárzó felület végtelen

nagy).

22.1.3. Hőcsere sugárzás útján

a) Sugárzásos hőcsere párhuzamos sík-

felületű testek között

Vizsgáljuk meg két párhuzamos szürke

lemez között lejátszódó sugárzásos hő-

csere folyamatát. A két lemez közötti

teret tekintsük abszolút áteresztőnek, s a

lemezek mérete lényegesen nagyobb,

mint a köztük levő távolság (22.10. áb-

ra) Így az egyik lemez sugárzása feltét-

lenül eléri a másikat. A lemezek felüle-

tére érvényes Lambert törvénye. Jelöl-

jük a lemezek hőmérsékletét Tl és T2-

vel, elnyelési tényezőket al és a2-vel,

saját sugárzási képességeiket El és E2-

vet. Effektív sugárzóképességeik legye-

nek rendre Eeff1 és Eeff2 sugárzási ténye-

zőik cl és c2. Tegyük fel, hogy T1 > T2. A két lemez egységnyi felülete

közötti időegység alatt sugárzással átszármaztatott hőmennyiség a felüle-

tek effektív sugárzóképességeinek különbségével egyenlő

2112 effeff

EEq . (22.45)

A felületek effektív sugárzásai (22.12) egyenlet alapján

Eeff1

1

Eeff2

T1

a1

T2

a2

E2

22.10. ábra – Párhuzamos sík

felületek hőcseréje



1

1

1

121

11

a

E

aqE

eff

, (22.46)

2

2

2

212

11

a

E

aqE

eff

, (22.47)

a felületek saját sugárzása

4

1

11100

TcE

o ,

4

2

22100

TcE

o . (22.48)

A két felület vonatkozásában a hőáram sűrűség ellentétes előjelű

2112qq , (22.49)

így a (22.45)-(22.49) egyenletekből

2

2

2

12

1

1

1

1212

11

11

a

E

aq

a

E

aqq

,

122

2

2121

1

1

11

111

qa

E

aqa

E

a ,

4

2

4

1

12122

2

121

1

21100100

111 TT

q

c

qa

E

qa

E

aa

o

,

4

2

4

1

21

12100100

111

TT

aa

cq

o , (22.50)

vagy a feketeségi fokokkal

4

2

4

1

21

12100100

111

TTcq

o

. (22.51)

A sugárzási tényezőkkel

4

2

4

1

21

12100100111

1 TT

ccc

q

o

. (22.52)



A redukált sugárzási tényező

red

o

c

ccc

c

111

1

21

12. (22.53)

A redukált feketeségi fok

red

111

1

21

2,1,

melynek segítségével

red

ccc 02,12,1

.

Végeredményben az A [m2] nagyságú párhuzamos felületek között [s]

idő alatt sugárzással átadott hő mennyiségét a

A

TTcAqQ

4

2

4

1

1212100100

(22.54)

összefüggés alapján számíthatjuk.

b) Hőcsere, ha az egyik felület körülveszi a másikat. (Sugárzási kölcsön-

hatás zárt térben)

A műszaki gyakorlatban gyakran

kell a sugárzásos hőátadás olyan

esetét vizsgálni, amikor az egyik

sugárzó felület körülveszi a mási-

kat (22.11. ábra).

Jelöljük a belső test felületét A1,

sugárzási tényezőjét cl, feketeségi

fokát 1, hőmérsékletét T1, elnyelé-

si tényezőjét al, míg a külső felüle-

tét rendre A2, c2, 2, T2, a2 betűkkel.

A párhuzamos feltételek közötti

sugárzásos hőcsere esetétől elté-

rően most a belső felületre a külső

1

2

22.11. ábra – Egymást körbefogó

felületek sugárzása



felület effektív sugárzásának csak egy 1,2

része jut, a többi 1,2

1 rész

a belső test érintése nélkül a külső test felületére esik be.

Az 1 és 2 felületek között sugárzással átadott hőmennyiség a felületek

effektív sugárzásainak figyelembe vételével a fentiek alapján az alábbi

egyenlettel számítható

212112 eff,eff

QQQ , (22.55)

ahol a 1,2

a 2 felületről az 1 felületre irányuló sugárzás közepes szögté-

nyezője.

A közepes szögtényezőt a felületek vonatkozásában a következőképpen

értelmezhetjük:

121

, - mivel az 1 felület által kisugárzott energia teljes egészében be-

esik a 2 felületre,

011

, - mivel az 1 test felülete domború így az abból kiinduló sugárzás

nem esik be az 1 felületre,

12221

,, - a 2 test homorú felülete következtében a 2 felületről kiin-

duló sugárzás egy része önmagába jut vissza (22.11. ábra).

A fentiek figyelembe vételével a (22.46) egyenlet alapján a felületek

effektív sugárzása

1

1

1

121

11

a

Q

aQQ

eff

, (22.56)

és

2

2

2

212

11

a

Q

aQQ

eff

, (22.57)

mivel

2112

QQ ,

így a (22.55) egyenlet a következő alakot ölti

2

2

2

12

1

1

1

1212

11

11

a

Q

aQ

a

Q

aQQ

, (22.58)

melyből



12

21

12

2

2

1

1

12

111

,

,

aa

a

Q

a

Q

Q

, (22.59)

ahol a felületek saját sugárzása

1

4

1

101100

AT

cQ

,

2

4

2

202100

AT

cQ

, (22.60)

ezeket a kifejezéseket behelyettesítve (22.59)-be

12

21

122

4

2

2

2

1

4

1

1

1

12

111

100100

,

,

aa

AT

aA

T

aQ

. (22.61)

Termikus egyensúly, azaz T1=T2 esetén 012

Q .

A behelyettesítésből következik

0122

2

2

1

1

1

,A

aA

a

, (22.62)

melyből

2

1

2

2

1

1

12A

Aa

a,

. (22.63)

Feltételezve, hogy =a

2

1

12A

A, . (22.64)

Ezzel a sugárzással átadott hőmennyiség

1

2

1

21

4

2

4

1

012

111

100100A

A

A

aa

TT

cQ

. (22.65)

A 22.12. ábrán látható esetekben is a (22.65) kifejezés alkalmas a sugár-

zással átszármaztatott hőmennyiség számítására.

Az A1 mindig a kisebb (körbefogott), míg az A2 mindig a nagyobb (körbe-

fogó) felület.



c) Hőcsere tetszés szerint elhelyezkedő felületek között

Ha a sugárzási kölcsönhatásban álló két

felület egymáshoz képest tetszőleges

helyzetben

van (22.13. ábra), a sugárzás útján át-

áramló energiamennyiséget az alábbi

kifejezésből számíthatjuk:

,100100

4

2

4

1

2,12,112

TTAcq

(22.66)

ahol A [m2] - a számításnál alapul vá-

lasztott sugárzó felület (A1 vagy A2), c12

pedig a redukált sugárzási tényező:

0

21

2,1c

ccc . (22.67)

A (22.66) kifejezésben a 2,1

un. besugárzási tényező tisztán geometriai

paraméter, amely a felületek alakjától, méreteiktől, kölcsönös helyzetük-

től és a köztük levő távolságtól függ. Értéke általánosságban:

21

22

21

12,1

coscos1

AA

dAr

dAA

. (22.68)

A 2,1

tényező meghatározása még a legegyszerűbb esetekben is rend-

kívül bonyolult, ezért grafikusan határozzák meg. Műszaki feladatok

megoldásánál értékét táblázatokból veszik.

d) Sugárzásos hőcsere sugárzáscsökkentő ernyő alkalmazása esetén

22.13. ábra – Tetszés szerint

elhelyezkedő felületek

22.12. ábra – Határoló felületek értelmezése



A technika különböző területein igen gyakran találkozunk olyan esetek-

kel, amikor a sugárzással átadott hő mennyiségét csökkenteni kell. (Pl,

melegüzemekben, ahol nagyhőmérsékletű sugárzó felületek vannak,

szükséges a munkások sugárzó hő elleni védelme; a hőmérőket is árnyé-

kolni kell a sugárzási hőtől, mivel ellenkező esetben hamis értékeket mu-

tatnak). Ezért, amikor ez szükséges, a sugárzó hő T1>T2 útjába sugárzás-

csökkentő felületeket - ernyőket - helyeznek. Az ernyő általában vékony,

nagy visszaverő képességű fémlemez. A lemez két oldalának hőmér-

séklete azonosnak vehető.

Vizsgáljuk meg, milyen hatása van a két

végtelen nagy párhuzamos felület közé

helyezett sugárzásvédő ernyőnek (22.14.

ábra). A konvekció útján történő hőáramlást

elhanyagoljuk. A két felület hőmérséklete T1

és T2 állandó értékű, éspedig T1 > T2. Az

ernyő nélkül az első felületről a másodikra

átadott hőmennyiség értéke egységnyi

felületre és időegységre vonatkoztatva a

következő:

4

2

4

1

21

12100100111

1 TT

ccc

q

o

. (22.69)

Az első felületről az ernyőre átadott (1E) hőmennyiség értékét m2-ként

időegységre vonatkoztatva az alábbi egyenlet alapján határozhatjuk meg

(az E index az ernyőre vonatkozó adatot jelöl):

44

1

11100100

E

EE

TTcq , (22.70)

az ernyőtől a második felületre (E2) pedig

4

2

4

22100100

TTcq

E

EE , (22.71)

ahol

22.14. ábra - Sugárzás-

csökkentő ernyő

T1 T2

c1 c2

Ernyő

cE



01

1111

1

ccc

c

E

E

,

02

2111

1

ccc

c

E

E

.

Állandósult hőállapot esetén EEEqqq

2,121 , ezért

44

1

1

4

2

4

2100100100100

E

E

E

E

TTc

TTc , (22.72)

ahonnan

4

2

4

1

2

1

2

1

4

1001001

1

100

TT

c

c

c

c

T

E

E

E

E

E . (22.73)

Helyettesítsük a kapott ernyőhőmérsékletet pl. a (22.70) egyenletbe. Ezzel

a két felület között sugárzással átadott hőmennyiség

4

2

4

1

2

1

2

1

4

1

112100100

1

1

100

TT

c

c

c

c

Tcq

E

E

E

E

EE . (22.74)

Tételezzük fel, hogy a sugárzó és a védett felület, valamint az ernyő két

oldala azonos sugárzási tényezővel rendelkezik. Ez esetben a redukált

sugárzási tényező értéke mind az ernyő nélküli két felület, mind a sugárzó

felület és az ernyő, valamint az, ernyő és a második felület között azonos

(212,1 EE

ccc ). A (22.69) és (22.74) egyenletek egybevetéséből

következik, hogy egy ernyőfelület beállításával az adott körélmények

között a sugárzás útján átadott hőmennyiség értéke felére csökken.

Igazolható, hogy két ernyőfelelet harmadára, három pedig negyedére stb.

csökkenti az átadott hőmennyiséget.

A sugárzásos hőcsere jelentősen csökken, ha polírozott lemezt használunk

ernyőként.

e) Gázok sugárzása

A légnemű testek sugárzása, sugárzással szembeni viselkedése mint már

megjegyeztük, jelentősen eltér a szilárd testeknél tapasztaltaktól.

Az egy- és kétatomos gázok a hősugárzásra nézve áteresztőnek tekinthe-

tők. Ugyanakkor a három és többatomos gázok emisszió-képessége jelen-



tős, de csak a hullámhossz meghatározott, aránylag szűk intervallumai-

ban, un. sávokban van energia kisugárzás és elnyelés. Ezeken a sávokon

kívül eső sugarak részére tehát a gázok áteresztők. Azt is megjegyeztük,

hogy a szilárd testekkel ellentétben a gázok egész térfogatában történik

kisugárzás és elnyelés. Ha a hősugárzás olyan gázréteget talál útjában,

amelyik elnyelhet bizonyos hullámhosszú sugarakat, azok egy részét el-

nyeli, a többit pedig csökkent intenzitással átengedi. Nagyon vastag gáz-

réteg teljes egészében elnyelheti az adott hullámhosszú sugarakat.

A gázok elnyelési tényezőjét a következő függvénykapcsolat alapján ha-

tározhatjuk meg.

l,p,Tfagg

, (22.75)

ahol Tg - a gázhőmérséklet, p - a parciális nyomás, míg l - a sugárzó (be-

sugárzott) felület alakjától függő rétegvastagság.

f) Hőcsere gáz és szilárd felület között

Ha a gáz (pl. égéstermékek) és a határoló szilárd fal sugárzási kölcsönha-

tásban állnak egymással, akkor a sugárzással átáramló energiamennyisé-

get az alábbi kifejezésből nyerjük.

w

w

g

g

gefA

Ta

TcQ

44

0100100

, (22.76)

ahol A [m2] a besugárzott felület, 2/)1(

wef - a felület redukált fe-

keteségi foka elnyelő környezet esetén, w – a felület feketeségi foka el-

nyelő környezet esetén, a Tg és Tw közepes gáz- és falfelület hőmérséklet

g és

ga - a gáz integrált feketeségi foka és elnyelési tényezője

g gázoknál mint a (22.37) és (22.75) kifejezésekből következik

lpTfgg

,, (22.77)

alakú függvénykapcsolat alapján határozható meg a gyakorlatban,

diagrammokból (22.15. ábra).

Vízgőz esetén a függvénykapcsolat így módosul

l,p,TfOHgOgH 22

. (22.78)



22.15 ábra – A CO2 és a vízgőz feketeségi foka

a hőmérséklet függvényében [24]

Korrekciós té-

nyező a vízgőz

parciális nyo-

mására

a)

b)

c)



A pl. CO2-ből és H2O-ból (gőz) álló keverék feketeségi fokát összegezés-

sel számíthatjuk

OHCOg 22 . (10.79)

Itt - korrekciós tényező.

A (10.79) összefüggésben ,,O2H2CO

diagramokból (22.15. ábra)

határozható meg. Az így kapott értéket 2-7%-kal csökkenteni kell, mivel

az alkotók sugárzási sávjai részlegesen egybeesnek.

A közepes rétegvastagság a következő összefüggésből határozható meg:

w

A

Vml

4 , (10.80)

ahol V – a gáztérfogat. m = 0,9 – korrekciós tényező.

g) Hőcsere világító láng és szilárd felület között

A láng világítását a szénhidrogénekből az égés során kiváló 0,15 ÷ 0,3

nagyságú izzó koromszemcsék idézik elő. (A szénhidrogéneket nem tar-

talmazó gázok lángja enyhén kékes színű.) Ennek megfelelően a világító

láng sugárzó hatását döntően a benne levő izzó szemcsék sugárzása hatá-

rozza meg.

Ha ismeretes a világító láng L feketeségi foka és TL közepes hőmérsék-

lete, a sugárzás útján átáramló energiamennyiséget a következő egyenlet

alapján számíthatjuk

44

0100100

wL

Lw

TTAcQ , (22.81)

ahol A [m2] – a besugárzó felület, Tw [K] – a közepes falhőmérséklet és

w – a besugárzott felület feketeségi foka.

Megjegyezzük, hogy a fenti összefüggéssel számított eredmények erősen

közelítő jellegűek. A legnagyobb bizonytalanságot a láng közepes hőmér-

sékletének és feketeségi fokának felvétele jelenti, mivel ezek számos té-

nyező függvényei (pl. a tüzelőanyag és a levegő keveredése, égési sebes-

ség, a levegő előmelegítése stb.). Ezért minden esetben célszerű a számí-

tás eredményeit az ipari vizsgálatok eredményeivel összehasonlítani és

ennek megfelelően korrigálni.



h) Sugárzási hőátadási tényező

A sugárzással átadott hőmennyiség meghatározásra alkalmas

kifejezéseket célszerű úgy átalakítani, hogy az hasonlítson a hőátadásnál

használatos egyenletekre. Ezt úgy érhetjük el, hogy a sugárzással átadott

hőmennyiséget a hőátadásnál már megismert alakban írjuk fel és ezt a

sugárzásra kapott kifejezéssel egybevetjük.

4

2

4

1

21100100

TTAcTTA

reds , (22.82)

amelyből az s

sugárzási hőátadási tényező:

21

4

2

4

1

100100

TT

TT

creds

, (22.83)

illetve az energiamennyiség:

212,1

TTAQs

. (22.84)

A (22.83) kifejezésben a cred szorzója általános érvényű diagramba vihető

fel, így esetenkénti meghatározása számítást nem igényel.

Példa:

Meghatározandó az ábra szerinti elrendezés-

ben a vastagságú fal bal oldalán lévő közeg

hőmérséklete (tk) a faltól távol az alábbi ada-

tok mellett

tk=? =50 W/(m K);

=10 W/(m2K); 1=0,8; 2=1;

=50 mm; c0=5,67 W/(m2K

4);

t2=23oC; Eeff1=1621,2 W/m

2.

Megoldás:

A két fal között sugárzással átszármaztatott hő 212,1 effeff EEq .

A 2. felület effektív sugárzása (lévén abszolút fekete)

1 2

1

t2

tk

vákuum

Eeff1 Eeff2

Tw1

Tw2=T1

T1



2

44

2

02226435

100

296675

100m/W,,

TcEE

seff

.

Ezzel 2

21219411852643521621 m/W,,,EEq

effeff, .

Az 1. felület effektív sugárzása

2111 1 effseff EEE ,

21111

effeffsEEE ,

melyből a felület saját sugárzása

2

2111148153426435801216211 m/W,,,,EEE

effeffs .

Ugyanakkor

100

1

101

TcE s , melyből K,

,,

,

c

ET

s8428

80675

1481534100100

10

1

1

.

Vezetéssel a sík falon átáramló hő

2121 ww,

TTq

, ahol

12TT

w .

A sík fal bal oldali felületének hőmérséklete

Kq

TT ww 43050

05,094,11858,428

2,1

21

.

Hőátadással a sík falig átadott hőmennyiség

12,1 wk TTq , ebből a keresett hőmérséklet

Kq

TT wk 5,54810

94,1185430

2,1

1

,

illetve

CTt kk

35,27515,273 .


Irodalomjegyzék

[1] Cumpsty, N.A.: Jet Propulsion, Cambridge University Press, 1997

[2] Eastop, T.D., and McConkey, A.: Applied Thermodynamics.

Longman, 1988

[3] Ekkert, E.R.. – Drejk, R.M.: Teorija teplo- i masszoobmena,

Goszenergoizdat, Moszkva, 1961.

[4] Faltin: Műszaki hőtan, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970

[5] Feynman, R.P., – Leighton, R.,B., – Sands, M.: Mai fizika 4., Mű-

szaki Könyvkiadó, Budapest, 1969

[6] Fényes I.: Entrópia, Gondolat Kiadó, Budapest, 1962

[7] Grabovszkij, R.I.: Kursz fiziki, Izd.Vüszsaja skola, Moszkva, 1970

[8] Gyarmati J.: Nemegyensúlyi termodinamika, Műszaki Könyvkiadó,

Budapest, 1967

[9] Harmatha A.: Termodinamika műszkiaknak, Műszaki Könyvkiadó,

Budapest, 1982

[10] Isachenko V. – Osipova, V. – Sukomel, A.: Heat Transfer, Mir

Publishers, Moscow, 1974

[11] Jakovlev, V.F.: Kursz fiziki, Izd. Proszvescsenie, Moszkva, 1976

[12] James, B., - Hawkins, G.,A.: Engineering Thermodynamics, John

Willey and Sons, 1960

[13] Jászai T.: Műszaki hőtan (Hőközlés-Termodinamika), Tankönyvki-

adó, Budapest, 1968

[14] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan I,

(J7-724) Tankönyvkiadó, Budapest, 1976

[15] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan I/2,

(J7-724/a) Tankönyvkiadó, Budapest, 1976

[16] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan II,


[17] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan pél-

datár, (J7-1014) Tankönyvkiadó, Budapest, 1981

[18] Kubo R.: Termodinamika, Izd. Mir, Moszkva 1970

[19] Kutateladze, Sz.Sz.: Osznovü teorii teploobmena, Izd. Nauka, No-

voszibirszk, 1970

[20] Krutov, V.I.: Tehnicseszkaja termodinamika, Moszkva, 1971

[21] Lakosi J.: Műszaki hőtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1968

[22] Larikov, N.N.: Obscsaja teplotehnika, Izd. Sztroitelsztva, Moszkva,

1966

[23] Mihejev, M.A.: A hőátadás gyakorlati számításának alapjai, Tan-

könyvkiadó, Budapest, 1963



[24] Nascsokin, B.B.: Thnicseszkaja termodinamika, Izd. Vüszsaja skola,

Moszkva, 1975

[25] Oates, G.C.: Aerothermodynamycs of Gas Turbine and Rocket

Propulsion, AIAA Education Series 1988

[26] Pásztor, E. – Szoboszlai, K.: Kalorikus gépek üzeme, Műszaki

Könyvkiadó, Budapest, 1967

[27] Rogers, G.F.C., Mayhew, Y.R.: Engineering Thermodynamics,

Longman, New York, 1980.

[28] Sánta, I.: Hőtan példatár kiegészítés BMGE Repülőgépek és Hajók

Tanszék kiadványa, Budapest, 2009

[29] Simonyi, K.: Kinetikus gázelmélet, Klasszikus statisztika, Egyetemi

Nyomda, Szakmérnöki jegyzet, 1948

[30] Shvets, I.T. at all.: Heat Engineering, Mir Publishers, Moscow,

1975

[31] Szivuhin, D.V.: Obscsij kursz fiziki II., Izd. Nauka, Moszkva, 1975

[32] The Jet Engine, Rolls-Royce plc. 1986.

[33] Wong, H.Y.: Hőátadási zsebkönyv, Műszaki Könyvkiadó, Buda-

pest,1983


Ábrajegyzék

12.1. ábra – Carnot-körfolyamat ................................................................ 1

12.2. ábra – Carnot-körfolyamat p - v és T - s diagramban ....................... 3 12.3. ábra – Otto-körfolyamat p – v és T-s diagramja valamint termikus

hatásfokának változása ............................................................................... 5 12.4. ábra – Diesel-körfolyamat p - v és T - s diagramja, valamint

termikus hatásfokának változása ................................................................ 7

12.5. ábra – Az Otto- és dízelmotor indikátor diagramja ........................... 9

12.6. ábra – Sabatier-körfolyamat p - v és T - s diagramja, valamint

termikus hatásfokának változása .............................................................. 10 12.7. ábra – Tengelyteljesítményt adó gázturbina kapcsolási rajza ......... 13

12.8. ábra – Brayton-körfolyamat p - v és T - s diagramja, valamint

termikus hatásfokának változása .............................................................. 14

12.9. ábra – Sugárhajtómű metszete, kapcsolási rajza és T – s diagramja

.................................................................................................................. 16 12.10. ábra – Hőcserélős gázturbina kapcsolási rajza és T – s diagramja

.................................................................................................................. 18

12.11. ábra – Hőcserélős és hőcserélő nélküli gázturbina hatásfokának

összehasonlítása ....................................................................................... 19 12.12. ábra – Gázturbinás körfolyamatok munkájának változása adott T3,

T1, és p1 esetén ......................................................................................... 20 13.1. ábra – Körfolyamatok egyberajzolása azonos nyomáshatárok között

.................................................................................................................. 24 13.2. ábra – Körfolyamatok egyberajzolása azonos térfogathatárok között

.................................................................................................................. 26

13.3. ábra – Körfolyamatok egyberajzolása azonos hőmérséklethatárok

között ........................................................................................................ 28 14.1. ábra – Körfolyamat felbontása elemi Carnot-körfolyamatokra ...... 32

15.1. ábra – Irreverzibilis és reverzibilis folyamat két állapot között ...... 36

15.2. ábra – Véges hőmérsékletkülönbség melletti hőátvitel ................... 38 15.3. ábra – Irreverzibilis Carnot-körfolyamat ......................................... 39 15.4. ábra – Reverzibilis és irreverzibilis Carnot-gép .............................. 42 15.5. ábra – Molekula-eloszlások két térben ............................................ 44

16.1. ábra – Ideális és valóságos adiabatikus kompresszió

összehasonlítása ....................................................................................... 51

16.2. ábra – A súrlódási hő és wt összehasonlítása ................................ 51 16.3. ábra – Ideális adiabatikus és politrópikus kompressziómunkák




16.4. ábra – Az izentrópikus hatásfok függése a kompresszió

nyomásviszonyától ................................................................................... 55 16.5. ábra – Az expanzió izentrópikus és politrópikus hatásfokának


16.6. ábra – Ideális és valóságos adiabatikus expanziómunkák


16.7. ábra – A súrlódási hő és wt összehasonlítása ................................ 57 16.8. ábra – Ideális politrópikus és ideális adiabatikus expanziómunkák


16.9. ábra – Az izentrópikus hatásfok függése az expanzió

nyomásviszonyától ................................................................................... 60 16.10. ábra – Az expanzió izentrópikus és politrópikus hatásfokának

összehasonlítása ....................................................................................... 60 17.1. ábra – Háromdimenziós fázisdiagram ............................................ 65

17.2. ábra – A vízgőz p - v diagramja ...................................................... 66 17.3. ábra – A vízgőz T - s diagramja ...................................................... 69

17.4. ábra – A vízgőz i - s diagramja ....................................................... 70

17.5. ábra – A gőztermelésre fordított hőmennyiség megoszlása ............ 70

17.6. ábra – Elemi gőzkörfolyamat p - v és T - s diagramban ................. 72 17.7. ábra – Érintő a tenzió-görbéhez ...................................................... 72 17.8. ábra – Izobár folyamat p - v, T - s és i - s diagramban .................... 73

17.9. ábra – Izochor folyamat p - v, T - s és i - s diagramban .................. 74 17.10. ábra – Izotermikus folyamat p - v, T - s és i - s diagramban ......... 75

17.11. ábra – Adiabatikus folyamat p - v, T - s és i - s diagramban ......... 76 17.12. ábra – A Rankine–Clausius-gőzkörfolyamat elemei ..................... 77 17.13. ábra – A Rankine – Clausius-körfolyamat p - v, T - s, i - s

diagramja .................................................................................................. 77

17.14. ábra – Kondenzátor vázlat ............................................................. 79 17.15. ábra – Súrlódásos adiabatikus expanzió gőz és gáz munkaközeggel

.................................................................................................................. 79

17.16. ábra – Súrlódásos adiabatikus expanzió i - s diagramban ............. 80 17.17. ábra – A feladat megoldása i - s diagramban ............................... 83 18.1. ábra – A vízgőz p - v diagramja ...................................................... 85 18.2. ábra – Eredeti és módosított i - x diagram ...................................... 87 18.3. ábra. – Az i - x diagram jellemző adatai ......................................... 88

18.4. ábra – Nedves levegőben lejátszódó folyamatok ........................... 89

19.1. ábra – Különböző anyagok hővezetési tényezői ............................ 94

19.2. ábra – Elemi térfogatrész a testben ................................................. 95 19.3. ábra – Egy- és többrétegű sík fal ..................................................... 99 19.4. ábra – Egy- és többrétegű hengeres fal ......................................... 101 20.1. ábra – A hidrodinamikai határréteg és szerkezete ......................... 106

ÁBRAJEGYZÉK 163


20.2. ábra – Hidrodinamikai és termikus határréteg .............................. 107

20.3. ábra – Sebességeloszlás csőben különböző falfűtések esetén ...... 108 20.4. ábra – Két hasonló rendszer .......................................................... 110 21.1. ábra – Sík fal hőátbocsátása .......................................................... 114 21.2. ábra – Hengeres fal hőátbocsátása ................................................ 115 21.3. ábra – A termikus ellenállások változása az a külső átmérővel ... 116

21.4. ábra – Bordázott fal ....................................................................... 117

21.5. ábra – Hőmérséklet-eloszlás az egyenes rúdban ........................... 120

21.6. ábra – A változása a rúd hossza mentén .................................... 121 21.7. ábra – Sík fal belső hőforrással .................................................... 125 21.8. ábra – Körkeresztmetszetű rúd belső hőforrással .......................... 127 21.9. ábra – A hengeres fal belső hőforrással ........................................ 129

22.1. ábra – Az elektromágneses hullám ................................................ 131 22.2. ábra – Az elektromágneses hullámok teljes spektruma ................ 132

22.3. ábra – A beeső sugárzás eloszlása ................................................ 134 22.4. ábra – Az eredő sugárzás meghatározásához ................................ 136 22.5. ábra – Planck törvénye .................................................................. 137

22.6. ábra – Kirchhoff törvénye ............................................................. 142

22.7. ábra – Sugárzási szögek értelmezése ........................................... 143 22.8. ábra – A dA felület által kisugárzott összenergia számításához ... 144 22.9. ábra – Pontszerű energiaforrás besugárzó-képességéhez ............. 145

22.10. ábra – Párhuzamos sík felületek hőcseréje .................................. 146 22.11. ábra – Egymást körbefogó felületek sugárzása ........................... 148

22.12. ábra – Határoló felületek értelmezése ......................................... 151 22.13. ábra – Tetszés szerint elhelyezkedő felületek ............................ 151 22.14. ábra - Sugárzás-csökkentő ernyő ................................................. 152

22.15. ábra – A CO2 és a vízgőz feketeségi foka a hőmérséklet függvé-

nyében .................................................................................................... 155

© Gausz Tamás, BME www.tankonyvtar.hu

ÁRAMLÁSTAN-II.

A „Hő- és áramlástan” jegyzet két kötetből áll, az első részben mind a

hőtan, mind az áramlástan első részét ismertettük. Ebben, a második rész-

ben pedig az anyag második részének ismertetésére kerül sor.

A második kötet az első szerves folytatása: a vonatkozó tananyag elsa-

játítását az első rész megtanulásával kell kezdeni és csak ezután követ-

kezhet a második kötet.

A második kötet fejezetszámozása tantárgy részenként folytonos: pél-

dául az áramlástan első kötetbeli záró fejezete a 13. fejezet, ezért e máso-

dik kötetben az áramlástan anyag a 14. fejezettel kezdődik.

A képletszámozás ezzel egyértelmű és – természetesen – számos hi-

vatkozás történik az első rész képleteire.

Az irodalomjegyzék mindkét áramlástan jegyzet résznél azonos, a hi-

vatkozás ezért itt is egyértelmű.

A fentiekben vázolt, modulárisnak nevezhető felépítés megengedi a

jegyzet részek ittenitől eltérő csoportosítását.

A jegyzetből – a terjedelem szerző által nem befolyásolható korlátozá-

sa miatt – több ábrát ki kellett hagyni. Ezeket az ábrákat a BME Repülő-

gépek és Hajók Tanszék honlapjáról lehet letölteni. A holnap címe:

http://rht.bme.hu; innen a „Letöltések” fülre kattintás után „Dr. Gausz

Tamás anyagai” rovatban az „Abragyujtemeny” könyvtárban található,

„Abragyujtemeny.pdf” fájlt kell letölteni.

http://rht.bme.hu/

www.tankonyvtar.hu © Gausz Tamás, BME

Tartalomjegyzék ÁRAMLÁSTAN-II........................................................................................................... i

Tartalomjegyzék.............................................................................................................. ii

Áramlástan II. ................................................................................................................. 1

14. Összenyomható közegek áramlása ....................................................................... 1

14.1. Laval cső ........................................................................................................ 5 14.2. A Bernoulli egyenlet és az összenyomhatóság ............................................... 9 14.3. Testek körül kialakuló szuperszonikus áramlás ........................................... 13 14.4. Összenyomható folyadék rugalmas csővezetékben....................................... 18

15. Súrlódásos áramlások ......................................................................................... 23

15.1. A turbulencia, illetve turbulens áramlások .................................................. 27 15.2. A Navier-Stokes egyenlet ............................................................................. 32 15.3. A hasonlóság elmélet ................................................................................... 39

16. A határréteg elmélet elemei ................................................................................ 44

16.1. A határréteg egyenlet ................................................................................... 46 16.2. Sebesség-eloszlás a határrétegben ............................................................... 50 16.3. A határrétegbeli áramlási formák változása ................................................ 53 16.4. Határréteg okozta másodlagos – szekunder - áramlás ................................ 56

17. A kiterjesztett Bernoulli egyenlet ....................................................................... 59

17.1. Hosszú, egyenes cső nyomásveszteségének számítása ................................. 59 17.2. A kontrakció és a mérőperem ....................................................................... 68 17.3. A Borda-Carnot veszteség ............................................................................ 70 17.4. Szelepek, tolózárak, csappantyúk nyomásvesztesége ................................... 73 17.5. Nyomásveszteség csőkönyökökben és ívdarabokban ................................... 75 17.6. A diffúzor hatásfoka ..................................................................................... 77 17.7. Összenyomható közeg kissebességű áramlása csőben ................................. 78 17.8. Összenyomható közeg nagysebességű áramlása csőben .............................. 82

18. Testek körüli áramlások ..................................................................................... 93

18.1. Tompa testek ................................................................................................ 93 18.2. Áramvonalas testek – a szárnyprofil ............................................................ 97 18.3. Járművekre ható közegerők ....................................................................... 103

19. Áramlástani gépek - bevezető ........................................................................... 107

19.1. A csővezetékek jelleggörbéje ...................................................................... 107 19.2. Szárnyrácsra ható erő ................................................................................ 109 19.3. Áramlástani gépek ..................................................................................... 113 19.4. Radiális átömlésű járókerékkel ellátott örvénygépek jelleggörbéje ........... 120


Áramlástan II.

14. Összenyomható közegek áramlása

Elvileg minden közeg összenyomható, azonban a gyakorlatban sok eset-

ben mégis összenyomhatatlan közeggel számolunk. Az összenyomhatat-

lanság megengedhető feltétel, ha az áramló közeg jellemzői emiatt csak

legfeljebb néhány százalékot változnak. De ez mindig konkrétan eldön-

tendő kérdés: a döntési határ a számítás igényességétől függően változhat,

változik.

Példaként említjük: a közegek összenyomhatósága jelentős szerepet

játszik, ha az áramlási sebesség elég nagy (nagyobb, mint a hangsebesség

megadott százaléka – mondjuk, ez a vizsgálat igényességétől függően le-

het, 40, 50 vagy 60% -is). Hasonlóképpen fontos ha, a nyomás és sűrűség

változás elég nagy. Ugyanúgy fontos az összenyomhatóság, ha nagyok az

áramlásban fellépő gyorsulások, ha nagy a magasság-különbség, illetve

ha nagy a hőmérséklet vagy koncentráció különbség.

Az összenyomható közegek áramlását jelen anyagban csak ideális fo-

lyadék (gáz) esetében vizsgáljuk. Az ilyen áramlásokat leíró egyenlet-

rendszer:

0 ;divt

c

(7.4)

2

1;

2

d cp

d t t

c cgrad c rot c grad g

(7.16)

2

0.

2p p

cc T c T áll

(7.20)

. . ;p

p pl áll barotróp közeg

(14.1)

;p R T (14.2)

A fenti egyenletrendszer első tagja a folytonosság törvénye, a második

az Euler egyenlet és a harmadik az energia egyenlet. Ezeket már korábban

bevezettük – ezt jelzi az egyenlet száma is. A negyedik egyenlet megmu-



tatja, hogy a sűrűség hogyan változik a nyomás függvényében. Itt csak

izentrópikus (ideális adiabatikus) állapotváltozásokkal foglalkozunk. E te-

rületen, komolyabb vizsgálatok esetében azért elég gyakran ennél tovább

kell menni – pl. egy lökéshullám (kompresszióhullám) esetében az álla-

potváltozás nem izentrópikus.

A közlekedésmérnöki gyakorlatban igen fontos a járművek – az össze-

nyomhatóság esetében a repülőgépek – sebessége, illetve e sebesség

hangsebességhez való viszonya.

14.1. ábra – Elemi hullám terjedési viszonyai

A 14.1. ábrán egy elemi hullám (pl. hanghullám) terjedési viszonyai

láthatók. A hullám az elemi hullám (pl. hang) terjedési sebességével ( a ) a

pozitív „ x ” tengely irányába mozog. Eközben az eredetileg nyugvó kö-

zeg sebessége a (hang)hullám mögött „ c ” értékre növekszik. Ez, a nö-

vekmény általában – a (hang)hullámok tulajdonságainak megfelelően,

igen kicsi. A hullám, a benne lévő energia következtében nem csak a se-

bességet, hanem a nyomást és a sűrűséget is (ugyancsak általában igen

kismértékben) megnöveli. Ezeket a változásokat a 14.1 ábrán fel is tüntet-

tük.

Írjuk fel az impulzus tételt a 14.1 ábra jobb oldalán vázolt ellenőrző fe-

lületre. Ennek az ellenőrző felületnek az elemi hullámmal együtt kell mo-

zognia ahhoz, hogy a feladat stacionárius legyen. A nyugvó közeg belépő

sebessége ekkor éppen az elemi hullám terjedési sebessége (a hangsebes-

ség). Mint már korábban leírtuk: „ c ” pozitív, ezért a kilépő sebesség „

a c ”. Az impulzus tétel felírásában csak az „ x ” irány az érdekes:

22

a A a c A pA p p A ;

(14.3)

Végezzük el a lehetséges átalakításokat. A másodrendűen kis tagokat

elhanyagolva kapjuk, hogy:

14. ÖSSZENYOMHATÓ KÖZEGEK ÁRAMLÁSA 3


2

2a c a p ; (14.4)

Írjuk fel a folytonosság törvényét:

a c a c a ; (14.5)

Helyettesítsük be (14.5)-öt (14.4) bal oldalának első tagjába és képez-

zük a p dp és d határátmenetet:

2 2 22a a p a p a dp d ; (14.6)

(14.6)-ból az elemi hullám (pl. hanghullám) terjedési sebességét szá-

míthatjuk. Nem elemi hullámok keletkezése esetén ennél jelentősen na-

gyobb terjedési sebességek is előállhatnak.

Gáznemű közegben az elemi hullámok (a hanghullámok) esetében fel-

tehető, hogy a létrejövő állapotváltozás izentrópikus, azaz:

1 10 0

0 0

p pdp p pp RT

d

; (14.7)

Ezzel, az izentrópikus állapotváltozás esetére érvényes hangsebesség

gyakran alkalmazott kifejezését kapjuk:

: 20a dp d RT levegőre a T ; (14.8)

Az összenyomható közegek áramlásának jellemzésére gyakran hasz-

náljuk a Mach számot. Ez a szám az áramlás sebességének és a hang se-

bességének viszonyszáma:

;c

M aa

(14.9)

Amikor a Mach szám egynél kisebb, akkor szubszonikus áramlásról

beszélünk. Ha a Mach szám értéke egy körüli, akkor az áramlás transz-

szonikus. Egynél nagyobb Mach számmal jellemzett áramlás a szuperszo-

nikus áramlás. Ha pedig a Mach szám sokkal nagyobb egynél (pl. na-

gyobb, mint 5, illetve molekula disszociáció történik), akkor ezt a helyze-

tet hangsúlyozandó az áramlást hiperszonikus jelzővel illetjük.

Az elemi hullámok az alapáramláshoz képesti terjedése fontos kérdés,

ennek különböző esetei láthatók a 14.2 ábrán. A körök a (nyomás) hullá-

mok terjedését mutatják, álló, illetve különböző sebességgel mozgó kö-

zegben. Az álló közegben a hullámterjedés az „ a ”-val jelzett hangsebes-

séggel, táguló koncentrikus körökben történik. A 14.2 ábra felső sorában



balra az álló, jobbra a mérsékelt sebességgel áramló közegben kialakuló

hullámkép látható. Az alsó sor jobb oldalán a pontosan hangsebességgel,

a jobb oldalon a hangsebesség feletti sebességgel történő áramlásban lét-

rejövő nyomásképet tüntettük fel.

A szubszonikus, tehát hangsebesség alatti sebességű áramlásban a hul-

lámterjedést láttató körök az áramlás irányában hátrafele (felső sor, jobb-

oldali ábra) mozdulnak el. Ez az elmozdulás annál nagyobb, minél jobban

megközelíti a hangsebességet az áramlás sebessége.

14.2. ábra – Nyomáshullámok terjedése

Ennek a rész-ábrának az alapján válik érthetővé a Doppler hatás: a

hozzánk közeledő hangforrásból (nyomáshullám) adott idő alatt több im-

pulzust észlelünk – ez azt jelenti, hogy a hang frekvenciája megnövekszik

(a hang magasabb lesz). A másik oldalon, a tőlünk távolodó hangforrás-

ból (nyomáshullám) adott idő alatt kevesebb impulzust észlelünk, vagyis

a hang mélyül.

A 14.2 ábra alsó sorában a bal oldali rész-ábra a hangsebességgel hala-

dó zavarforrás körüli hullámképet mutatja. Mivel a zavarforrás – lehet ez

egy repülőgép is – pontosan hangsebességgel halad, azért a nyomáshul-

lámok előrefele nem távolodnak el, hanem egy helyen koncentrálódnak,

azaz összegződnek. Az ilyen módon akár igen jelentősen is megnöveke-



dett nyomással magyarázható a hangsebesség átlépésének környékén

megjelenő hang-gát.

Az alsó sor jobboldali rész ábráján a hangsebesség feletti (szuperszo-

nikus) áramlásban kialakuló képet láthatjuk. Ebben az esetben az áramlás

két, élesen elválasztható tartományra oszlik: a zavarforrás hatása a „hul-

lám-felület”-nek nevezett kúpon belül észlehetők, ezen kívül nem kelet-

kezik változás. Ez a szuperszonikus áramlások esetében egy fontos sajá-

tosság. A kúpszöget a 14.2 ábra alapján – a zavarforrás „ c ”- sebességgel,

a zavarás „ a ”- sebességgel halad – számíthatjuk:

1

sin ;a

c M a

(14.10)

14.1. Laval cső

Az összenyomható közegek áramlásának sajátosságait a Laval-cső

példáján keresztül mutatjuk be. Ennek a szerkezetnek először csökken,

majd nő a keresztmetszete – magát a szerkezetet a 14.3 ábra felső részén

vázoltuk. Az itt következő vizsgálatunk egyméretű áramlásra vonatkozik.

A Laval-csőre talán a legközkeletűbb példa a rakéta-fúvóka. Itt, az

égőtérben végbemenő égés után a nagynyomású közeg a fúvócsövön át-

áramolva expandál, miközben a sebessége (nagymértékben) növekszik. A

rakéta tolóereje ui. a kiáramló égéstermék tömegáram mellett a kiáramlási

sebességgel arányos. Ez a folyamat látható a 14.3. ábra alsó részén.

A Laval-csőben végbemenő áramlás vizsgálatához induljunk ki a foly-

tonosság törvényének (7.3) szerinti alakjából. A kiinduló kifejezés teljes

differenciálját képezve kapjuk:

. 0 ;

d dA dcAc áll

A c

(14.11)



14.3. ábra – Laval cső – sebesség és nyomás-lefutás

Írjuk fel továbbá az Euler egyenlet (7.16) egyméretű áramlásra vonat-

kozó, a térerősséget nem tartalmazó alakját, teljes differenciál formában:

2 21 1 1;

dc d pc dc c dp d a d

c d

(14.12)

A fenti egyenlet felírásánál figyelembe vettük a hangsebesség (14.6)

szerinti kifejezését is. Helyettesítsük vissza az Euler egyenletből kapott

eredményt a folytonosság törvényének teljes differenciálként történt fel-

írása alapján kapott egyenletbe:

2

2

2

2

1 0;

1 ;

d dA dc c dc dA dc dc dAM

A c a c A c c A

dc dAM

c A

(14.13)

A (14.13) kifejezés végeredménye alapján igen fontos következtetése-

ket vonhatunk le:

- ha 1M , akkor sgn sgndc dA , vagyis a közeg akkor

gyorsul, ha a keresztmetszet csökken (és lassul, ha a keresztmetszet



növekszik);

- ha 1M , akkor sgn sgndc dA , vagyis a közeg akkor gyor-

sul, ha a keresztmetszet növekszik(!) (és lassul, ha a keresztmetszet

csökken);

- ha 1M , akkor 0 0dA és dc , vagyis a legszűkebb ke-

resztmetszetben az az áramlási sebesség éppen a helyi hangsebes-

séggel (jele: *

a - a-csillag) egyenlő és mivel itt a keresztmetszet

változás illetve az 21 M egyaránt nulla, azért a sebességváltozás

lehet nullától különböző – és valóban: a sebesség lefutásnak itt inf-

lexiós pontja van.

A fenti elemzésből tehát az a fontos sajátosság derült ki, hogy az áram-

lások viselkedése a hangsebesség felett lényegesen különbözik a hangse-

besség alatti viselkedéstől. Ezért, ahhoz, hogy a rakéta-fúvókában folyto-

nos gyorsulást érjünk el, a keresztmetszetnek először csökkennie kell,

majd a hangsebesség elérése után, a további gyorsulás érdekében növe-

kednie kell. Ehhez természetesen az is szükséges, hogy az ellennyomás (

Kp ) a tartálynyomáshoz képest (

Bp ) elegendően kicsi legyen.

Határozzuk meg a tartály-állapot és a csillaggal jelzett, un. kritikus ke-

resztmetszet (ez azonos a legszűkebb keresztmetszettel) állapotjelzői kö-

zötti kapcsolatot. Induljunk ki az energia egyenletből:

2 2* * *

* * *

0;

2 2 2p p p p

c a RTc T c T c T c T

(14.14)

Fejezzük ki ebből az egyenletből a tartály hőmérséklet és a kritikus

hőmérséklet viszonyát:

* *

0 0

2; 1.4 0.833 ;

1

2

p

p

cT Tesetben

RT Tc

(14.15)

Fontos észrevenni, hogy a helyi hangsebesség – (14.6), illetve (14.8)

alapján – a hőmérséklet változásával együtt változik. Határozzuk meg,

hogy hogyan viszonyul egymáshoz a kritikus és a tartály hangsebesség:



* *

0 0

*

0

2;

1

1.4 0.913 ;

a Ta RT

a T

aesetben

a

(14.16)

A gyakorlat szempontjából a legfontosabb a tartálynyomás és a kriti-

kus nyomás viszonya:

* * *1 1

0 0 0

2; 1.4 0.528 ;

1

p T pesetben

p T p

(14.17)

Leggyakrabban a kritikus nyomásviszony alapján lehet megítélni, hogy

egy áramlásban létrejön-e, létrejöhet-e a hangsebesség, vagy az efeletti

sebesség is. Nyilvánvalóan ennek a szükséges feltétele az, hogy a nyo-

másviszony kisebb legyen, mint a kritikus nyomásviszony:

*

0 0

;Kp p

p p

(14.18)

A Laval-cső fent vázolt működésének tehát szükséges feltétele az,

hogy a tartálynyomás a környezeti nyomáshoz viszonyítva elég magas le-

gyen. Ha ez a feltétel teljesül, akkor kialakul a hangsebesség feletti áram-

lás. Ennek az áramlásnak további részleteit az Érdeklődő a szakirodalom-

ban találhatja meg (pl. [4], [5], [6], [15]).

A 14.3 ábrán feltüntettük a maximális kiáramlási sebességet is (MAX

c ).

Ezt a sebességet az energia egyenletből számíthatjuk, úgy, hogy feltesz-

szük, hogy a teljes tartály entalpiából mozgási energia lesz, azaz az ösz-

szes, rendezetlen mozgás rendezett lesz:

2

0 02 ;

2

M AX

p M AX p

cc T c c T (14.19)

A Laval-csőben kialakuló áramlásban tehát a kritikus keretmetszet jel-

lemzői és a legnagyobb (elméleti) kiáramlási sebesség csak a tartályálla-

pot és az anyagjellemzők függvénye. E tényeknek több szempontból is

nagy a gyakorlati jelentősége.

Számítsuk ki egy Laval-csőből kilépő sugár sebességét:



2

0 02 ;

2

K

P P K K P K

cc T c T c c T T

(14.20)

A (14.20)-at, izentrópikus kiáramlást tételezve fel, a következő módon

is felírhatjuk:

0 0

0

1

0

0

2 2 1

2 1 ;1

K

K P K P

K

Tc c T T c T

T

pRT

p

(14.21)

Laval csőhöz hasonló geometria – természetesen – más esetekben is

előállhat. Ilyen lehet pl. egy lapátrács szűkülő-bővülő áramlási csatornája.

Másrészt, csonka Laval csőnek tekinthetjük azokat a kiáramlási kereszt-

metszeteket, amelyek a legszűkebb keresztmetszetnél érnek véget (pl.

szelep). Ez utóbbi esetben a kilépő keresztmetszet egyúttal a kritikus ke-

resztmetszet is, ahol tehát a kritikus jellemzők állnak elő. Pl. a kilépési

sebesség egyenlő lesz a (kritikus) hangsebességgel, hacsak a nyomásvi-

szony kisebb, vagy egyenlő a kritikusnál.

14.2. A Bernoulli egyenlet és az összenyomhatóság

A Bernoulli egyenletet a 7. pontban vezettük be, általános alakja az

összenyomható közegek áramlására is vonatkozik:

22 2 2 222

1

1 1 1 11

0 ;2

T

T T

II

c d pU

t

cds c rot c ds g ds

(7.19)

A gázdinamikában (7.19)-nek általában csak a második és ötödik

(utolsó) előtti tagját tekintjük (a többi tag elhanyagolható):

2 22

11

0 ;2

c d p

(14.22)

Ennek az egyenletnek a bal oldali második tagját – különböző típusú

állapotváltozásokra – integrálni lehet. Tegyük fel, hogy az áramlás folya-



mán létrejövő állapotváltozások izentrópikusak. Ekkor a szóban forgó in-

tegrált a (14.7)-nél alkalmazott összefüggés segítségével számíthatjuk ki:

2

1

2 2 1/ 1/

1 1/1 1

1

1 11 1

1 1

11/

1 2 1 2

1

1 1 1 1

1

1 1 ;1 1

p

p

p pdp dpp

p

p p p pp

p p

(14.23)

A (14.23) szerinti eredményt helyettesítsük vissza (14.22)-be (és he-

lyettesítsük az általános gáztörvény szerint a nyomás és sűrűség hányado-

sát a gázállandó és az abszolút hőmérséklet szorzatával):

12

2 2

2 1 1 2

1 11

1

2 2

2 1 1

1

1 0 ;2 2 1

21 ;

1

c c p p

p

pc c RT

p

(14.24)

Speciális esetként válasszuk az „1 ”-es pontot a 14.3 ábra „ O ” pontjá-

val azonosnak (itt, a tartályban a sebesség nulla) és a „ 2 ”-es pontot a „ K

” ponttal azonosnak. Ebben az esetben a kiáramlási sebességre vonatkozó

képletet kapjuk:

1

0

0

2 1 ;1

K

K

pc RT

p

(14.21)

A kiáramlási sebesség számításához induljunk ki a (7.21)-ből :

2

0

0

.2 1 1

pc páll

(7.21)

(Legyen az index nélküli jellemzők indexe a „ K ” és a null-index pedig a

„ O ”)

Ezzel:



0 0 0

0 0 0 0

2 1 2 1 ;1 1

K K

K

K

p pp Tc

p T

(14.25)

Az így kiszámított kiáramlási sebesség – természetesen – azonos a

(14.21)-ben már kiszámított kiáramlási sebességgel. Ugyanerre a kiáram-

lási sebességre jutnánk (7.22) alkalmazásával is – ennek részletezésétől a

kissé hosszadalmasabb számolás miatt itt eltekintünk. Az eredmények

azonossága alapján (is) kimondhatjuk, hogy ugyanarra az eredményre kü-

lönböző (megengedett!) utakon is eljuthatunk.

Vizsgáljunk egy áramlás lehetséges sebességeit a (7.22) kifejezés alapján:

22 2

0;

2 1 1

ac a

(7.22)

Osszuk el (7.22) bal oldalának mindkét tagját a jobb oldallal – akkor

egy ellipszis egyenletéhez jutunk:

2

2

0

0

1 ;2

1

c a

aa

– amelyet a 14.4. ábrán ábrázoltunk is:

A 14.4 ábra a BME Repülőgépek és Hajók Tanszék honlapjáról tölthető

le. A holnap címe: http://rht.bme.hu; innen a „Letöltések” fülre kattintás

után „Dr. Gausz Tamás anyagai” rovatban az „Abragyujtemeny” könyv-

tárban található, „Abragyujtemeny.pdf” fájlt kell letölteni. Ebben a fájl-

ban a keresett ábra megtalálható.

A sebességi ellipszist feltüntető 14.4. ábrán a Mach szám (definíciója

alapján könnyen belátható), hogy az éppen -val jelzett szög tangense.

Eszerint a vastagabb (kék) vonallal kiemelt, 0

45 -os egyenes éppen az 1-es

Mach számnak felel meg. Így felette, balra a hangsebesség alatti, jobbra

alatta a hangsebesség feletti áramlás tartománya található. Az utóbbi tar-

tományt további két részre osztja az 5 körüli Mach számot jelző vonal: fe-

lette a szuperszonikus, alatta a hiperszonikus áramlások találhatók. A hi-

perszonikus áramlásokban, a szuperszonikushoz képest további jellemző,

hogy itt jelentős a gázmolekulák disszociációja is.

http://rht.bme.hu/



A maximális kiáramlási sebesség (14.19) szerinti kifejezését felírhat-

juk (7.22) alapján is – figyelembe véve, hogy a nulla statikus hőmérsék-

lethez nulla hangsebesség is tartozik:

0

2;

1M AX

c a

0 0 0 0

2 22 2 ;

1 1 1P

Ra RT T c T

És ez pontosan az a sebesség érték, ahol az ellipszis a vízszintes, „c”

tengelyt metszi. Ez az ellipszis nagytengelye, hiszen a gyökjel alatti kife-

jezés éréke nagyobb, mint egy ( 2.236 , ha 1 .4 ).

Az ellipszis kistengelye éppen a nyugalmi állapothoz tartozó hangse-

besség (0

a ) – ez a függőleges tengely és az ellipszis metszéspontja és ez a

legnagyobb hangsebesség is. A nyugalmi állapotot gyakran tartály-

állapotnak, vagy torlóponti, esetleg megállított értéknek is nevezik.

Hangsúlyozottan csak példaként tekintsünk egy tartályból induló,

gyorsuló áramlást. A tartályban lévő hőmérséklet (14.8) szerint meghatá-

rozz az induló, 0

a hangsebességet.

A közeg először a hangsebesség alatti sebességeken gyorsul – ez az el-

lipszis kezdeti szakasza. Ezen a szakaszon a sebesség nő (vagyis egy kép-

zeletbeli pont az ellipszis mentén jobbra mozog), és a hangsebesség va-

lamint ezzel együtt a hőmérséklet csak mérsékelten csökken.

A fent, példaként tekintett tartályból történő kiáramlás egy (megfelelő)

Laval csövön keresztül valósulhat meg – e Laval cső legszűkebb kereszt-

metszeténél érjük el a hangsebességet. Ez az 1M egyenes és az ellipszis

metszéspontja.

Ezután érünk a szuperszonikus – hiperszonikus tartományba. A sebes-

ség itt tovább növekszik, miközben a hangsebesség egyre rohamosabban

csökken. Természetesen a hangsebességgel együtt csökken a statikus hő-

mérséklet is.

A hőmérséklet és a hangsebesség csökkenésével együtt növekszik a

Mach szám. Mivel a legnagyobb kiáramlási sebességnél a hangsebesség

nulla, azért itt a Mach szám értéke végtelen.



A nulla statikus hőmérséklet nulla statikus nyomást és – valamilyen,

pl. izentrópikus állapotváltozás alapján – nulla sűrűséget jelent. Mivel a

kiáramlásban véges számú, éppen a maximális sebességgel rendezett

mozgást végző részecske vesz részt, azért a kilépő felületnek a végtelen-

hez kell tartania (hogy a sűrűség értéke a nullához tarthasson).

14.3. Testek körül kialakuló szuperszonikus áramlás

A (14.13) kifejezéssel kapcsolatos megállapítások alapján bemutatjuk,

hogy szuperszonikus áramlásba helyezett síklapon hogyan keletkezik a

felhajtóerő. Az áramlást továbbra is súrlódásmentesnek tekintjük. A 14.5

ábrán látható, állásszöggel rendelkező síklapot hangsebességnél nagyobb

sebességű ( M

) megfúvás éri.

A síklap az áramlást két részre osztja. A felső rész bővülő keresztmet-

szetű, ott a közeg gyorsul. A gyorsulás expanzió hullámokon keresztül

jön létre. Az expanzió egyúttal a hőmérséklet és emiatt a hangsebesség

csökkenését is jelenti. Így az expanzió (gyenge vagy elemi) hullámok az

ábrán vázolt módon önállóak maradnak és a gyorsulás entrópia növekedés

nélkül megy végbe. A síklap végénél a felső áramlás szűkülő keresztmet-

szetű lesz, vagyis lassul. Ideális közeg esetén éppen az eredeti sebességre

lassul vissza.

A lassulás kompresszió hullámon keresztül jön létre – egy kompresszió

hullám lényegében végtelen sok, egymásra torlódott elemi hullám összes-

sége és ezért a rajta keresztül áramló közeg entrópiája véges értékkel nö-

vekszik, illetve más jellemzők is – pl. a hullámra merőleges sebesség ösz-

szetevő – véges értékkel változik.

A síklap feletti, gyorsabb áramlás nyomása kisebb, az alsó, lassabb

áramlás nyomása nagyobb lesz. Ennek, a síklap hossza mentén lényegé-

ben állandó nyomáskülönbségnek az eredménye a felhajtóerő ( F ), amely

a fenti síklapon keletkezik. A valóságos közegek áramlása esetén, a fel-

hajtóerő mellett, természetesen ellenállás erő is keletkezik.



14.5. ábra – Síklap szuperszonikus áramlásban

A 14.6. ábrán (→letölthető ábragyűjtemény) látható áramlás egy,

szuperszonikus áramlásba helyezett ék (vagy kúp) körül kialakuló (igen

vázlatos) áramkép. A test az áramlás irányát megváltoztatja, szűkülő ke-

resztmetszet jön létre, ahol a sebesség ennek megfelelően csökken, a

nyomás pedig növekszik.

A sebesség csökkenésekor (lassuláskor) a közeg kompresszió hullá-

mon keresztül halad, eközben nyilvánvalóan veszteség (és entrópia növe-

kedés) is keletkezik, de a szerkezet, az alapvető funkciójának megfelelően

a nagy sebességgel érkező közeget lefékezi, miközben a nyomását meg-

növeli. Az ilyen eszközt – amely eszköz sebesség-csökkenés árán nyo-

másnövekedést állít elő – diffúzornak, jelen esetben szuperszonikus

diffúzornak nevezzük.

A gyakorlatban ilyen, külső sűrítésű diffúzort a nagysebességű – szu-

perszonikus – repülőgépek hajtóműveinek belépésénél alkalmaznak. Be-

látható, hogy a lassuláskor keletkező veszteség annál kisebb, minél több

lépésben történik a sebesség csökkentése. Illetőleg az is cél, hogy a kelet-

kező kompresszió hullámok egy ponton (rendszerint a hajtómű belépő

nyílás külső peremén metsszék egymást – 14.7. ábra (→letölthető ábra-

gyűjtemény).



A (14.10) kifejezés szerint ( sin a c ) a kompresszió hullámok fer-

deségére jellemző szög úgy növekszik, ahogyan az áramlás sebessége (

c ) tart a helyi hangsebességhez ( a ). Másrészt egy-egy újabb hullám egy-

egy újabb zavarástól indul. (A vázolt esetben a zavarást a kúposság válto-

zása, a felület törése jelenti.) Vagyis az újabb törések újabb lassuláshoz és

egyre kevésbé ferde kompresszió hullámokhoz vezetnek.

A példaként vázolt három (egyre kevésbé ferde) kompresszió hullám

után következik egy un. „merőleges” kompresszió hullám: ez után a hul-

lám után a közeg sebessége a hangsebesség alatti értékű lesz, előtte pedig

még hangsebesség feletti volt – a hullámnál tehát a c a reláció érvényes,

illetve ennek megfelelően: 0sin 1 90 lesz. Ezért, illetve

ilyen értelemben nevezzük ezt a hullámot merőlegesnek. Egyébként álta-

lában is igaz, hogy a hangsebességet merőleges hullámon keresztül lehet

átlépni. (Erre példa a 14.2 bal alsó rész-ábrája is.)

A repülőgépeken egyébként a központi kúpos testet nagyobb sebes-

ségnél előre mozdítják, kisebb sebességnél hátrébb húzzák, azért, hogy a

ferde hullámok a belépő nyílás külső pereméhez érkezzenek.

A merőleges kompresszió hullám esetén létrejövő áramlási viszonyok

számításához induljunk ki az energia egyenlet (7.20) szerinti alakjából:

2

0.

2p p

cc T c T áll (7.20)

Alakítsuk át ezt az egyenletet:

2

0

2 2

20

02

; ; :2 1

11 1 ; 1 ;

2 22

1

P

P

P

cT T és m ivel c R ezért

c

T c c R TT T M

T Tc aT R

(14.26)



14.8. ábra – Merőleges kompresszió hullám

Legyen a 14.8. ábrán vázolt ellenőrző felület számításba veendő része

egységnyi. A merőleges kompresszió hullám jellemzőinek számításában

felhasználjuk a folytonosság törvényét (14.27), az impulzus tételt (14.28)

és az energia egyenletet:

1 1 2 2

;c c (14.27)

És:

2 2

1 1 2 2 1 2;c c p p (14.28)

Továbbá:

2 2

1 2

1 2;

2 2P P

c cc T c T

(14.29)

A (14.29) energia egyenlet – adiabatikus viszonyokat feltételezve – azt

fejezi ki, hogy a be- és kilépő energia azonos. A folytonosság törvénye, a

hangsebesség egyenletének (14.8), az ideális gázra vonatkozó általános

gáztörvénynek a felhasználásával az alábbi alakban írható:

1 2

1 1 2 2

1 2

p pM R T M R T

R T R T (14.30)

Vezessük be a Mach számot az impulzus tétel kifejezésébe:

2 2 2 22 1

2 2 2 1 1 1 2 2 1 1

2 1

2 2

2 2 1 1

; ;

1 1 ;

p pp c p c p c p c

R T R T

p M p M

(14.31)

Az energia egyenlet (14.29) szerint a két, teljes hőmérséklet azonossá-

ga alapján, felhasználva (14.26)-ot, írható, hogy:

2

12

2

1 2

1 1 / 2

1 1 / 2

MT

T M

(14.32)



A (14.30), (14.31) és (14.32) felhasználásával eljutunk egy olyan ösz-

szefüggésre, ahol már csak a Mach számok szerepelnek:

2 21 2

1 22 2

1 2

1 11 1 ;

1 2 1 2

M MM M

M M

(14.33)

A (14.33) nemlineáris egyenletnek két megoldása van, az első (triviá-

lis) megoldása az 1 2

M M eset, ezt nem érdemes vizsgálni.

A második megoldás a gyakorlatban is fontos, ahonnan a merőleges

kompresszió hullám előtti áramlás Mach számából a hullám utáni, hang-

sebesség alatti áramlásra érvényes Mach számot számíthatjuk ki:

2

1

2 2

1

1 2;

2 1

MM

M

(14.34)

14.9 ábra (→letölthető ábragyűjtemény)

A 14.9. ábráról látható, hogy az egyik szélső esetben, amikor az érkező

áramlás pont hangsebességgel jön (1

1M ), akkor a távozó áramlás Mach

száma is 1 lesz – ebben az esetben semmi sem változik. Növekvő érkező

Mach szám esetében viszont egyre kisebb lesz a távozó áramlás Mach

száma – azaz a merőleges kompresszió hullám annál jobban lelassítja a

közeget, minél gyorsabban érkezik.

Számos áramlástani feladatban játszik jelentős szerepet a dinamikus

nyomás, amelyet az összenyomható közegek áramlásakor a Mach szám

segítségével is kifejezhetünk:

2 2 2

2 2

2;

2 2 2 2

c p c a p R Tq M p M

R T a R T

(14.35)

Tekintsük az alábbi, igen egyszerű példát: legyen a környezeti nyomás

(a statikus nyomás) értéke 5101 1.01 10 ;kPa Pa és legyen a Mach szám

0.7. A feladat a dinamikus nyomás kiszámítása:

5 2 51.4

1.01 10 0.7 0.346 10 34.6 ;2

q Pa kPa

Adott esetben a (14.35)-tel történő számolás sokkal egyszerűbb, külö-

nösen, ha figyelembe vesszük, hogy pl. a nagyobb sebességgel repülő repü-

lőgépeken mind a statikus nyomást, mind a repülési Mach számot mérik.



14.4. Összenyomható folyadék rugalmas csővezetékben

A következőkben a rugalmas anyagú csővezetékekben áramló, össze-

nyomható folyadékokban előálló nyomáshullámokkal foglalkozunk. Ez a

jelenség elsősorban a hosszú csővezetékek hirtelen zárásakor válik fon-

tossá. Definiáljuk először a folyadékok térfogati rugalmasságát ([6] sze-

rint):

p p dpE V E V

V V V dV

(14.36)

Tekintsük példaként a vizet, ennek térfogati rugalmassága: 9 2

02.14 10 /E N m

.

Határozzuk meg a folyadékokban a hang sebességét. Induljunk ki a

folytonosság tételéből:

0

dm V dm d V d V

dV V

(14.37)

Helyettesítsük be ezt az eredményt (14.33)-ba:

2 2dp dp d

E V V Va adV d dV V

innen:

: 1463E m

a vízres

(14.38)

A következőkben egy hirtelen zárási folyamatot vizsgálunk meg (14.10

ábra).

A 14.10. ábra felső részén a megállított folyadék-rész (színezve) látha-

tó, a középső részen a folyadék összenyomódása miatti rövidülést tüntet-

tük fel és az alsó rész a cső tágulása miatti rövidülést láttatja.



14.10. ábra – Nyomáshullám rugalmas csőben

A fent vázolt folyamat hangsebességgel halad ugyan, de a hang terje-

dési sebességét a redukált rugalmassági modulus alapján írhatjuk fel, ahol

a folyadék rugalmassága mellett a cső rugalmassága is szerepet kap. A

redukált rugalmassági modulus kifejezése [6] szerint:

1 1 1

,

r folyadék cső

d

E E E

d a cső átm érője a cső falvastagsága

(14.39)

A hangsebesség pedig, szintén [6] szerint:

2 2

2 4 4

r r rE E Ec c c

a hacsak

(14.40)

Ebben az esetben a legfontosabb a nyomásnövekedés nagyságának ki-

számítása.



14.11. ábra – Nyomásnövekedés számítása

Válasszunk a 14.11. ábrán vázolt helyzetnek megfelelően egy olyan el-

lenőrző felületet, amely hangsebességgel mozog balra. Írjuk fel erre az el-

lenőrző felületre az impulzus tételt (tegyük fel, hogy a ki- és belépő ke-

resztmetszet közelítőleg azonos):

, :

A a c a c A a c a p p A pA

m ivel m A a c

A a c c p A p a c c

ha c a akkor p a c

(14.41)

A (14.38) kifejezés szerint, ha akár kisebb sebességű pl. vízáramlást

hirtelen lefékezünk, akkor igen tekintélyes nyomáshullám állhat elő; te-

kintsük a következő példát: 10c m s , továbbá:

3 5 2

: 1100 , 1000 110 10 / .a m s kg m p N m

Az eredmény szerint, ebben az esetben az általában előforduló környe-

zeti nyomás 110-szerese áll elő. Ez egy csővezetékre igen nagy igénybe-

vételt jelent, ami gyakran nem is engedhető meg.

Annak, hogy ilyen nyomáshullám előálljon, szükséges feltétele a gyors

zárás – vagyis a csővezetékben hangsebességgel terjedő zavaró hatásnak

nem szabad elérnie a cső végét. Ha pl. 1100 m-es a cső hossza, akkor ez a

„rövid” idő az ’ másodpernél rövidebb idejű zárást jelenti. Ha azonban

csak 1.1 m az aktuális csőhossz, akkor a zárási időnek 1/1000 másodperc-

nél kell rövidebbnek lennie.



A fentiek szerint a „gyors” zárás a hosszabb csöveknél érdekes – elég

hosszú csővezeték esetén külön gondoskodni kell arról, hogy ez a hatás

ne jöjjön létre. Gondolhatunk itt arra, hogy a hosszú csővezetékeken

gyakran alkalmaznak olyan, csavarorsós működtetésű tolózárakat, ame-

lyek zárása a működési módjuk miatt eleve hosszú időt vesz igénybe.

Mintafeladat

A [7] példatárban a 17. „Hullámjelenségek csővezetékekben” c. feje-

zetben öt példa található, ebből a témakörből. A 18. „Gázdinamika” c. fe-

jezet pedig tizenöt, gázdinamikai témájú feladatot tartalmaz. Ebben az

előadás vázlatban egy, a repüléssel kapcsolatos mintapéldát mutatunk be.

Feladat: Egy repülőgép környezetében a környezeti hőmérséklet

220K. A repülőn mérhető összhőmérséklet 320K. Mekkora a repülési se-

besség, illetve a repülési Mach szám? (cP=1000 J/kg K; R=287 J/kg K)

Megoldás: az összenyomható közegek áramlására vonatkozó energia

egyenlet – (7.20) – fajhővel osztott alakja a következőképpen írható:

2

02

p

cT T

c (14.42)

A (14.42) kifejezés bal oldalán az első tag az un. dinamikus hőmérsék-

let (közvetlenül nem mérhető). A baloldal második tagja a statikus hő-

mérséklet (ez az áramláshoz képest mozdulatlan, vagyis az áramlással

együttmozgó hőmérővel mérhető). E két hőmérséklet összege a jobb olda-

lon álló összhőmérséklet (ez torlópont hőmérővel mérhető).

A feladatban környezeti hőmérsékletnek nevezett hőmérséklet a stati-

kus hőmérséklettel azonos. Az összhőmérséklet és a statikus hőmérséklet

ismeretében a dinamikus hőmérséklet (14.39) szerint számítható:

2

0320 220 100 ;

2din din

p

cT T T K itt T

c (14.43)

Innen a repülési sebesség könnyen számítható:

2

2 2 1000 100 4472

din p din

p

cT c c T m s

c (14.44)



A repülési Mach szám meghatározásához ki kell számítani a környeze-

ti levegőben terjedő hang sebességét. Ez (14.8) szerint számolható:

20.05 20.05 220 297a RT T m s (14.45)

A Mach szám pedig (14.6) szerint, egyszerűen számítható:

4471.5

297

cM a

a (14.46)

Az eredményül kapott Mach szám, a helyi hangsebesség másfélszere-

sével történő repülést jelez. Ennél valamivel nagyobb sebességgel repült

pl. az angol-francia gyártású, Concorde típusú, szuperszónikus utasszállí-

tó repülőgép.

A 220 Kelvin fokos környezeti hőmérséklet egyébként – a Nemzetközi

Normál Atmoszféra értékei szerint – mintegy 10 km-es repülési magas-

ságnak felel meg. Az ilyen, vagy hasonlóan nagy repülési sebességeket

ezen, vagy ennél nagyobb magasságokon érik el a repülőgépek.

A nagy, vagy nagyon nagy sebességek esetén az aerodinamikai felme-

legedés miatt eljuthatunk a hőhatárnak nevezett határ-sebességig. Ennél a

sebességnél a szerkezet felmelegedése miatt szilárdsági és egyéb problé-

mák jelentkeznek – így, általában ezt a sebességet átlépni csak különleges

módon lehet. A környezeti levegő hőmérsékletének alacsony volta segít a

hőhatár kitolásában.


15. Súrlódásos áramlások

A súrlódás fizikai értelmezését és a feszültség tenzort az 1. pontban

bevezettük. Hasonlóképpen ismertettük a 7. pontban a Navier-Stokes

egyenletet – ez a (7.14) kifejezés. A következőkben csak az un. Newton-i

folyadékokkal foglalkozunk, mivel a mérnöki gyakorlatban előforduló fo-

lyadékok általában ilyenek. Nem Newton-i folyadékra példa az aszfalt –

naponta láthatók az aszfalton a járműterhelés hatására kialakuló és tartó-

san megmaradó hullámok. Természetesen nagyon sok, másféle, nem

Newton-i folyadék is létezik; ezekkel részletesebben a szakirodalom fog-

lalkozik.

A Newton-i folyadékokra jellemző, hogy a bennük létrejövő csúsztató

feszültség a dinamikai viszkozitással (ez anyagjellemző, amelyet megfe-

lelő műszerrel mérni lehet) és a deformáció sebességgel egyenesen ará-

nyos. A legegyszerűbb esetben ez az alábbi alakban írható:

2;

yc N s

ahol a dinamikai viszkozitásx m

(15.1)

A dinamikai és a kinematikai viszkozitás (ez utóbbi a dinamikai visz-

kozitás a sűrűséggel osztva) fizikai értelmezése az első kötet 1-es, beveze-

tő pontjában olvasható.

A csúsztató feszültség legegyszerűbb kifejezésétől gyorsan eljuthatunk

a csúsztató feszültséget összefoglaló feszültség tenzorhoz. Első lépésben

lássuk be, hogy pl. a xy

csúsztató feszültség a megfelelő deformációs se-

bességgel (xy

) arányos:

y x

xy xy

c c

x y

(15.2)

Ez a kifejezés részben (ha x

c y nulla), akkor visszavezet (15.1)-hez.

Másrészt az I. kötet 4. pontjának 4.3-as ábrájához kapcsolódó magyarázat

szerint (15.2)-ben, a zárójelben éppen a megfelelő disztorziós sebesség

összetevő van. Ez, a kontinuum - tulajdonság pedig megfelel a tényleges

részecske cserének, illetve kohéziónak.



A feszültségek indexelésénél a korábban, az (1.2) kifejezésnél leírt

definíció érvényes. (A feszültségek indexelése a következő elv szerint

történik: az első index megmutatja, hogy a feszültség összetevő mely

koordináta tengely irányába mutat; a második index megmutatja, hogy a

feszültség összetevő mely koordináta tengelyre merőleges síkban

fekszik.)

A (15.2) kifejezést már könnyen általánosíthatjuk, a Newton-i

folyadékokban érvényes, a súrlódást kifejező tenzor rész:

22

3S S

div Π D c E

(15.3)

A (15.3) jobb oldalának első tagja (4.8) rövid alakjával írható fel:

2 2

2 22 2

2 2

xy xz

x

yx yz

S y

zyzx

z

D ;

A főátlón kívüli elemek megfelelnek a (15.2) szerinti felírásnak, vagyis

ezekből a tagokból a megfelelő csúsztató feszültség összetevő számítható.

Ugyanakkor a főátló elemeinek a viszkozitással való szorzata azt jelente-

né, hogy az összenyomódás (vagy a kitágulás) csúsztató feszültséget okoz

– ez pedig nem felel meg a fizikai valóságnak. Másképpen fogalmazva

azt állítjuk, hogy az általunk vizsgált áramlástani jelenségek körében a

kompresszibilitási viszkozitás nulla. Ennek megfelelően alkalmazzuk a

(15.3) jobb oldalán lévő második tagot.

A derivált tenzor szimmetrikus részének főátlójában álló elemek ösz-

szege éppen a sebesség divergenciája. Ezért a (15.3) jobb oldalán lévő

második tag kivonásával megszüntetjük a kompresszibilitási viszkozitást

mivel az első tag főátlóbeli elemeinek összege és a második tag főátlóbeli

elemeinek összege azonos – az előjelük viszont különbözik, így együttes

hatásuk nulla.

Összenyomhatatlan közeg esetében – amikor a folytonosság törvénye:

0div c – a Newton-i súrlódást kifejező tenzor rész egyszerűen a

2S S

Π D lesz.

15. SÚRLÓDÁSOS ÁRAMLÁSOK 25


A műszaki gyakorlatban a dinamikai viszkozitás helyett inkább a ki-

nematikai viszkozitást használjuk:

2; :dimenziója m s

(15.4)

A kinematikai viszkozitás a nevét onnan kapta, hogy dimenziójában

csak kinematikai mértékegységek ( 2m s

)szerepelnek. A kinematikai

viszkozitás, atmoszférikus nyomáson, a hőmérséklet függvényében látha-

tó a 15.1 ábrán.

15.1. ábra – Kinematikai viszkozitás, atmoszférikus nyomáson,

a hőmérséklet függvényében

A 15.1. ábra értelmezésének megkönnyítésére tekintsük egy konkrét

kinematikai viszkozitás értéket: a levegő kinematikai viszkozitása 20 0

C -

on, 1 bar nyomáson kb. 5 21.51 10 m s

, dinamikai viszkozitása pedig

51.84 10

[N s / m

2].

Tekintsük másik példaként a következőt: a víz kinematikai viszkozitá-

sa 20 0

C -on 6 21.01 10 m s

, dinamikai viszkozitása pedig (a sűrűség-

gel történt szorzás után) 3

1 10

[N s / m2].



A levegő kinematikai viszkozitása több mint tízszerese a vízének. De

ez csak annyit jelent, hogy a dinamikai viszkozitás – ami a csúsztató fe-

szültségre közvetlenül jellemző – a sűrűségek különbsége miatt a víznél

több, mint 50-szer lesz nagyobb, mint a levegőnél. Vagyis általában a fo-

lyadékokban ébredő csúsztató feszültség – ha az egyéb tényezők azono-

sak – valóban sokkal nagyobb, mint a gázokban keletkező csúsztató fe-

szültség.

Az első részben leírtak szerint a folyékony folyadék esetében, a hő-

mérséklet növekedésével, amikor a részecskék a hőmozgás intenzitásának

növekedése miatt egymástól távolabb kerülnek, a súrlódó feszültség

csökken. Ez azért van így, mert a viszkozitás ebben az esetben döntően a

kohéziós erőn alapszik és ez, a hőmérséklet és ezzel a részecskék közötti

átlagos távolság növekedésével csökken. Ugyanakkor, a gázok réteges

(lamináris) áramlásának esetében, a hőmérséklet növekedésével nő a

csúsztató feszültség, mert a hőmozgás intenzitásának növekedésével nő a

megfelelő mozgásmennyiség transzport. Az ebben a csúsztató feszültség-

ben szereplő dinamikai viszkozitást anyagjellemzőnek tekintjük, ezt a

csúsztató feszültséget a deformáció-sebességekkel és a dinamikai viszko-

zitással határozzuk meg (15.3 képlet).

A 15.1 ábrán a víz és a levegő kinematikai viszkozitása látható, méret-

arányos formában. Általában is: a folyékony folyadékok, illetve a gázne-

mű közegek viszkozitásának görbéje – a hőmérséklet függvényében, ál-

landó nyomáson – hasonlóképpen alakul. Számadatok különböző köze-

gekre [2]-ben, illetve [13]-ban találhatók. A viszkozitás értékét zárt alak-

ban leíró formulák [13]-ban találhatók.

A feszültség tenzor – az ideális közegnél leírtakat is figyelembe véve –

a következő alakot ölti:

22

3id S S

p div Π Π Π E D c E ; (15.5)

Ez a feszültség tenzor nagyon széles körben érvényes – alkalmazható

például a direkt numerikus szimulációnak nevezett (DNS) igen modern

numerikus módszer esetében is. Hasonlóképpen alkalmazható az un. ör-

vénytranszport egyenlet (numerikus) megoldásában is. Ezek az eljárások

régebben, a rendkívül nagy számításigény miatt nem voltak hozzáférhetők

– és ma is inkább elméleti kérdések numerikus vizsgálata lehetséges ezen

a módon, a gyakorlati feladatok megoldása pillanatnyilag még a turbulen-

cia fogalmának bevezetésével lehetséges.



15.1. A turbulencia, illetve turbulens áramlások

Ebben a jegyzetben a turbulens áramlásnak az olyan, áramlást nevez-

zük, amelyben a rendezetlen hőmozgás mellett, további, a hőmozgáshoz

hasonló (tehát nulla várható értékű – 15.7 kifejezés harmadik sora) rende-

zetlen mozgás is létezik, azonban ez a, turbulenciának nevezett, rendezet-

len mozgás a hőmozgáshoz képest legalább egy (esetleg több) nagyság-

renddel intenzívebb. A rend kedvéért leszögezzük, hogy itt csak homo-

gén, izotróp turbulenciával foglalkozunk.

A turbulens áramlást célszerűen a turbulens sebességingadozások átla-

golásával vizsgálhatjuk. Szigorúan véve az időbeli átlagolás csak időben

nem változó áramlások vizsgálatát engedné meg, de – szerencsére – ré-

szecske szinten elegendően hosszúnak számító átlagolási idő az általunk

vizsgálandó problémák esetében, makroszkopikus szinten igen rövid, va-

gyis a gyakorlatban nincs szükség korlátozásra.

Az áramlási sebességet – a fentiek értelmében – felbonthatjuk egy át-

lagsebességre ( c ) és egy turbulens sebesség ingadozásra ('

c ):

'

' '

'

;

x x

y y

z z

c c

c c

c c

c c c

(15.6)

A bevezetőben kikötött nulla várható érték alapján felírható:

'

0 0

'

0 0

'

0

1 1lim lim

1 1lim lim ;

1lim ;

T T

T T

T T

T T

T

T

dt dtT T

dt dtT T

m ert dtT

c c c

c c c

c 0

(15.7)

A (15.7) vektor-egyenlet, ez, nyilvánvalóan tagonként is igaz kell le-

gyen, azaz pl. az „ x ” komponensre:

0

1; : lim 0 ;

T

x x x xT

c c c illetve c dtT

Illetve általában:



'

'

'0

01

lim 0

0

x xT

y yT

z z

c c

c és c dtT

c c

c

(15.8)

A turbulens mozgás a rendezett hőmozgáshoz képest (sokkal) intenzí-

vebb részecske cserével jár. Emiatt a turbulens áramlásokban a transzport

jelenségek (sokkal) intenzívebbek, mint a réteges (lamináris) áramlások-

ban. A csúsztató feszültségek a mozgásmennyiség transzport következté-

ben állnak elő – ezek a turbulens áramlásokban tehát (sokkal) nagyobbak

lesznek, mint a réteges áramlásokban. Ez alól kivételt csak a nagyon lassú

(kis Reynolds-számú) áramlások jelentenek, amikor az egyébként magától

rétegesként alakuló áramlás mesterségesen lesz turbulenssé. Példaként te-

kinthetjük a rovarok szárnyát: ennek belépő része, az alakjánál fogva tur-

bulenssé teszi a körülötte áramló levegőt. Hasonló példa a zárttéri model-

lek esete: ekkor un. turbulencia-szálat ragasztanak a szárny belépő élére.

Megemlítjük még, hogy az ilyen áramlásokban az ívelt lap előnyösebb,

mint a (vastag) szárnyprofil – és valóban, akár a rovarok szárnyát, akár a

zárttéri modellt tekintjük, ezek szárnya tényleg ívelt lap.

A teljesség kedvéért megjegyezzük, hogy a turbulenciának esetenként

jelentős szerepe van a később tárgyalandó, „leválás”-nak nevezett jelen-

ség esetében. Általában, a turbulencia – a nagyobb energia transzport mi-

att – késlelteti a leválást. A turbulencia ilyen módon hasznos is lehet – er-

re példaként a későbbiekben a golflabda sokfelé tárgyalt kialakítását mu-

tatjuk majd be.

Az intenzív (intenzívebb) energia transzport egyébként például a hő-

cserélőkben – az átadott hő mennyiségének növelése révén – lehet hasz-

nos. Más esetekben, persze ugyanez a jelenség nemkívánatos is lehet!

A turbulencia hasonló a rendezetlen hőmozgáshoz, mivel a turbulencia

is nulla várható értékű, rendezetlen mozgásként fogható fel. Emiatt a tur-

bulens áramlásokban (turbulens) nyomástöbblet jelenik meg. Ez a nyo-

mástöbblet hozzáadódik a rendezetlen hőmozgásból származó statikus

nyomáshoz.

A turbulencia másrészt (turbulens) csúsztató feszültségek megjelenését

is eredményezi, mivel a turbulens mozgás következtében is létrejön a kü-

lönböző sebességű áramlás részek között mozgásmennyiség csere. Ráadá-



sul a turbulens sebességek intenzitása miatt ez a, turbulens csúsztató fe-

szültség a folyékony folyadékokban általában jelentősen túllépi a kohézió

hatását. Így turbulens áramlásban – akár gáz, akár folyékony folyadék

esetében – a csúsztató feszültség egyformán, a mozgásmennyiség cser-

érével magyarázható.

A gyakorlatban igen sokféle turbulenciát találunk. Ennek megfelelően

a mozgásmennyiség csere is igen sokféle lesz – illetve a turbulens csúsz-

tató feszültségek nyilvánvalóan függeni fognak a turbulens mozgás jelle-

gétől.

A turbulens feszültségek számítását e jegyzetben igen egyszerűen tesz-

szük:

15.2. ábra – Turbulens nyomástöbblet

A 15.2. ábrán egy, 21 m es ellenőrző felület látható. Írjuk fel erre az

impulzus tétel „ x ” irányban vett, időátlagolt egyenletét (a nyomásinga-

dozásoktól eleve eltekintünk):

' '

x x x xc c c c p ;

(A felület egységnyi, ezt ezért nem tüntettük fel).

Vegyük tekintetbe, hogy a (15.8) szerinti időátlagok ugyan nullák, de a

turbulens sebességingadozások szorzatának időátlaga (ez ebben a kifeje-

zésben mindig nem negatív) már általában pozitív értéket ad. A fenti kife-

jezést átrendezve kapjuk:

2 ' '

x x xc p c c (15.9)

Vagyis a statikus nyomás mellett megjelent egy tag: ezt nevezzük tur-

bulens nyomástöbbletnek. Ezt a gondolatmenetet megismételhetnénk az „



y ” és a „ z ” tengely irányába is: ezekben az esetekben a sebesség indexe

megfelelően változik. Mivel kikötöttük, hogy csak homogén, izotróp tur-

bulenciával foglalkozunk, azért a turbulens nyomástöbblet – a statikus

nyomáshoz hasonlóan, szintén irányfüggetlen lesz.

Tekintsük most a csúsztató feszültségek alakulását.

15.3. ábra – Turbulens csúsztató feszültség

Írjuk fel ismét az impulzus tételt:

' ' ' '

x x y y xy x y xy x yc c c c c c c c ;

A turbulens nyomástöbblet esetében ugyanannak a sebesség-

összetevőnek az önmagával vett szorzatának az időátlagát kellett tekinte-

ni. Ez nyilvánvalóan nem negatív: azonosan nulla ingadozás esetén nulla

és bármekkora intenzitás esetén pozitív értéket ad. A fenti – első lépés-

ként kiszámított – csúsztató feszültség összetevő értéke nyilvánvalóan

akár pozitív, akár negatív is lehet. Ez a sebességingadozások alakulásától

függ – de ennek így is kell lennie, hiszen ezt a csúsztató feszültséget pon-

tosan a sebességingadozások hozzák létre.

Ezt a műveletsort is megismételhetjük a további koordináta párokra.

Végeredményben a turbulens feszültség tenzort kapjuk:

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

2

x x x y x z

t y x y y y z t t S

z x z y z z

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

Π Π D

(15.10)

A turbulens csúsztató feszültség bal oldali kifejezése az eddig bemuta-

tott fizikai alapokon írható fel. A turbulens feszültség tenzor ilyen felírása

igen szemléletes és a szimmetria is rögtön láthatóan teljesül. Amennyiben



ezt a kérdést a statisztikus mechanika szempontjából közelítenénk, akkor

a sebességingadozások szorzatainak az átlagait a tényleges részecskék vi-

selkedését jellemző statisztikai tulajdonságok alapján számítanánk

Ebben a jegyzetben elfogadjuk Boussinesq hipotézisét, ami szerint a

csúsztató feszültség tenzor e részét az összenyomhatatlan közegeknél

megismert tenzorhoz hasonló formában (15.3 megfelelő része) írjuk fel.

Ennek megfelelően, a jobb oldalon a (15.3)-hoz formailag hasonló módon

írtuk fel ugyanezt a tenzort(15.10 jobb oldali része), de bevezetjük a tur-

bulens dinamikai viszkozitást. A turbulens dinamikai viszkozitás számítá-

sára rendkívül sokféle eljárás ismeretes – ezen eljárások többnyire a vizs-

gált problémától függenek.

E tantárgy keretei között mindössze a legrégebbi és legegyszerűbb,

Prandtl féle turbulencia modellt vezetjük be. Ez a turbulencia modell egy,

szintén Prandtl nevéhez fűződő hipotézisen alapul:

' ' ':

0 .36,

x x

x y x

c cc és c c ahol y

y y

a keveredési úthossz

(15.11)

Figyelem: a „ ” itt a keveredési úthossz együtthatója, a jegyzet más

helyein pedig az adiabatikus kitevőt jelenti. E szimbólum használatát az

indokolja, hogy a vonatkozó szakirodalomban lényegében mindenütt ezt a

jelölést használják. Véleményünk szerint, kellő figyelemmel – különös

tekintettel jelen figyelem felhívásra – az esetleges félreértések elkerülhe-

tők.

A (15.11) egyenlet hipotézis, amit az alkalmazásával elért (jó) eredmé-

nyek igazolnak! Számítsuk ki a turbulens csúsztató feszültséget:

' ' 2 2

;x x x x

x y xy

c c c cc c

y y y y

(15.12)

A csúsztató feszültségből könnyen kiválasztható a turbulens dinamikai

viszkozitás:

2 2

;x x

t t

c cés

y y

(15.13)



A turbulens dinamikai és kinematikai viszkozitás – ahogy annak lennie

is kell – pozitív mennyiség. Eközben, természetesen, a nyomástól külön-

bözően (ami mindig pozitív) a csúsztató feszültség tetszőleges előjelű le-

het. Ezt az biztosítja, hogy a (15.12)-ben a sebesség deriváltjának az ab-

szolút értéke szerepel. A másik, abszolút értéken kívüli derivált előjele vi-

szont biztosítja a csúsztató feszültség megfelelő előjelét.

Fontos leszögezni azt is, hogy a turbulens kinematikai és dinamikai

viszkozitás nem anyagjellemző, hanem az éppen kialakuló sebességelosz-

lás függvénye. Ez utal a számítási nehézségekre is: a turbulens áramlás

sebességeloszlását az áramlás sebességterének ismeretében számíthatjuk,

miközben a sebességtér számításához a turbulens viszkozitás ismerete

szükséges.

Gyakran szükséges az áramlások turbulensségének számmal történő

jellemzése. Erre több lehetőség is ismert, itt csak a legegyszerűbb, azon-

ban igen nagy gyakorlati jelentőségű a turbulencia faktort mutatjuk be:

5

.

3.85 10

R ekrit gömb

tf

(15.14)

A nevezőben a gömb kritikus Reynolds száma szerepel. Erről a későb-

biekben lesz szó. A fenti hányados értéke általában egynél nagyobb szám

– minél kevésbé turbulens, minél simább egy áramlás, annál inkább köze-

ledik a „ tf ” érték az 1-hez. A teljesen turbulencia mentes áramlás esetén

lesz az értéke egy.

15.2. A Navier-Stokes egyenlet

A mozgásmennyiség megmaradását kifejező differenciálegyenletet

már korábban bevezettük:

1; :

2 2 3 2 ;S t S id s t

ddiv ahol

d t

p div

cΠ g

Π E D c E D Π Π Π

(7.14)

A (7.14) egyenlet megismétlése kapcsán itt nyílik módunk az áramlás-

tanban használt feszültség tenzor részletes felírására – (7.14) egyenlet

alatti, kiegészítő sor. Ebben a sorban, a kifejezés középső, illetve jobb ol-



dali első tagja az ideális közegben értelmezett, csak a nyomást tartalmazó

feszültség tenzor. A középső rész második és harmadik tagja (ezt a jobb

oldal második tagja összefoglalóan fejezi ki) az anyagszerkezeti viszkozi-

táson alapuló csúsztató feszültségeket összefoglaló tenzor. Végül a kö-

zépső rész negyedik tagja, illetve a jobb oldal harmadik tagja a turbulens

csúsztató feszültségeket összefoglaló tenzor.

Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a (7.14) egyenlet tartalma és

elnevezése nagymértékben függ attól, hogy a teljes feszültség tenzorba

mely tagokat vesszük be (vagy hagyjuk el):

Ha: ; ;id

p és Π E Π c 0 - akkor a hidrostatika alap diffe-

renciál-egyenletét kapjuk, ez

egyébként a (8.1) sz. egyenlet.

Ha: ;id

p Π E Π - ezzel a (7.15)-ös kifejezésnél

már leírt, Euler egyenlethez ju-

tunk, amely ideális (össze-

nyomható) közegek áramlá-

sának leírására alkalmas.

Ha:

2 2 3

;

S

id s

p div

Π E D c E

Π Π

- ezzel a Navier-Stokes egyen-

lethez jutunk, mely valóságos

közeg áramlásának leírására al-

kalmas – legfeljebb a kezel-

hetőség lehet probléma.

Ha:

2 2 3

2 ;

S

t S id s t

p div

Π E D c E

D Π Π Π

- ezzel a Reynolds átlagolt

Navier-Stokes egyenlethez ju-

tunk, amely a valóságos közegek

turbulens áramlását – annak átla-

gát írja le.

A fenti felsorolásból a harmadik tag, a Navier-Stokes egyenlet a legál-

talánosabb kifejezés – minden áramlástani feladatban alkalmazható. A

(15.5) egyenlettel meghatározott feszültség tenzor értelmezésénél ezt az

általánosságot már leszögeztük, és utaltunk arra is, hogy ezt az egyenletet

a gyakorlatban meglehetősen nehéz megoldani.

A Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenlet ugyan tartalmaz néhány

megszorítást a Navier-Stokes egyenlethez képest, de emiatt, az átlagolt

mennyiségek alkalmazása miatt, jelen pillanatban a bonyolultabb és kiter-

jedtebb áramlások (numerikus) számítására (a tényleges, gyakorlati fela-

datok többnyire ilyenek) ezt az egyenletet alkalmazzák. Ezért tűnik úgy,



hogy a Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenlet az általánosabb – holott,

mindössze ezt vagyunk képesek a gyakorlatban is alkalmazni.

A Reynolds átlagolt Navier-Stokes egyenlet alkalmazása megköveteli

valamely turbulencia modell alkalmazását is – a jelen gyakorlatban sok-

szor az un. k (a turbulens kinetikai energiára és a turbulencia miatti

energia disszipációra épülő) modellt alkalmazzák – de a numerikus szoft-

verekben számos, más turbulencia modell is rendelkezésre áll. Ezek a tur-

bulencia modellek egyébként többnyire parciális differenciál-egyenletek.

Vizsgáljuk meg a Navier-Stokes egyenlet összenyomhatatlan közegek-

re vonatkozó alakját. Ekkor, a folytonosság miatt:

0 2S

áll div p c Π E D . Számítsuk ki ennek a fe-

szültség tenzornak a divergenciáját (2.4 szerint):

2 ;

2

2 ;

2

S

yx x x z

y y yx z

yxz z z

div p

cc c c cp

x y x z xx

c c cc cp

y x y y z y

p ccc c c

z x z y z z

Π Π grad D

(15.15)

Írjuk ki a súrlódási tenzor divergenciájának első sorát részletesen:

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

;

yx x x z

S x

yx x x x z

x

cc c c c

x y y x z z x

cc c c c c

x y z x x y z

c

D

(15.16)

A középső sor gömbölyű zárójelben lévő tagja éppen a sebesség diver-

genciája, ami az összenyomhatatlanság miatt nulla. Ezzel a fenti ered-

ményre jutunk, amit egyszerű számolással ellenőrizni lehet (és ajánlatos

is!). A második és harmadik sor számításával hasonló eredményt kapunk,

ezeket összefoglalva kapjuk az alábbi, igen gyakran alkalmazott kifeje-

zést:



x

y

z

p

xc

pdiv c p

yc

p

z

Π Π grad c

(15.17)

Ezzel a Navier-Stokes egyenletnek az áramlástanban igen gyakran

használt alakjához jutunk:

1 1dp p

dt

cgrad c g grad c g (15.18)

Illetve, a baloldal részletesebb kiírásával:

21

2

cp

t

cgrad c rot c grad c g

(15.19)

E jegyzet első kötetének áramlástan részében, a 7. pontban, a meg-

maradási elveknél bevezetett (7.14) egyenlettel kapcsolatban (is) leszö-

geztük, hogy az ilyen típusú egyenleteknél, az egyenlet pontos ismeretén

túl még három ismeretkört kell elsajátítani.

Számítsuk elsőnek az egyenlet ismeretét. Akkor a második a megma-

radási elv, hogy jelen esetben a mozgásmennyiség megmaradása az elv,

és a (15.19) azt mutatja meg, hogy a mozgás-mennyiség változásának az

oka (forrása) a külső erő impulzusa. Illetve a mozgásmennyiség pontosan

annyit változik, amennyit az előbb említett impulzus előidéz.

A harmadik kifejtendő rész az egyes tagok fizikai jelentése. (15.19) bal

oldala a teljes, totális, szubsztanciális vagy materiális gyorsulás. Ezen be-

lül az első tag a lokális gyorsulás. A második tag a konvektív gyorsulás

azon része, amely a sebesség nagyságának megváltozásából származik. A

harmadik tag pedig a sebesség irányának megváltozásából származó

gyorsulást jelenti.

A (15.19) jobb oldalán az egységnyi tömegre ható erőket találjuk. A

jobb oldal első és második tagja együtt az egységnyi tömegre ható felületi

erőt szolgáltatja; ezek közül az első a nyomás-változásból származó, a

második a súrlódásból származó, egységnyi tömegre ható erő. A jobb ol-



dal harmadik tagja az eredő térerősség, ami – a definíciója szerint – éppen

az egységnyi tömegre ható térfogati erő.

A negyedik pedig az érvényességi feltételeket jelenti. A (15.15) kifeje-

zés bevezetése előtt leszögeztük azt a tényt – hogy, ti. a közeg össze-

nyomhatatlan – amit a levezetés során fel is használtunk; ennek megfele-

lően (15.19) csak az állandó sűrűség esetére érvényes. A következő lé-

pésben számítottuk (15.16)-ot. E számításban a viszkozitást kiemeltük a

differenciálás elé: ezzel feltételeztük, hogy a viszkozitás a hely (és ezzel a

sebesség-eloszlás) függvényében nem változik. Emiatt ez az egyenlet tur-

bulens áramlásra nem érvényes, mivel a turbulens viszkozitás a mozgásál-

lapot függvénye (is).

Példa – egyszerűsített Couette áramlás

A Navier-Stokes egyenlet zárt alakú megoldásának megkeresése, álta-

lános esetben lényegében lehetetlen. Következik ez részben a Navier-

Stokes egyenlet tulajdonságaiból (ez egy, igen összetett, nemlineáris, par-

ciális differenciálegyenlet), illetve az elképzelhető peremfeltételek sokfé-

leségéből. A következőkben egy, egészen egyszerű feladatot vizsgálunk:


Tekintsük a 15.4. ábrán látható, két sík lap között kialakuló áramlást.

Legyen az áramlás stacionárius, tekintsünk el a térerősség hatásától és ér-

vényesek a következő egyszerűsítő feltételek:

: 0 ; : 0 ; : 0 ; ;

x

y

cpc állandó

x x

Vagyis a nyomás a hossz mentén ne változzon, az „x” irányú sebesség

összetevő csak „y” szerint változzon, legyen az „y” irányú sebesség össze-

tevő nulla és legyen a sűrűség állandó.

Ezzel egyméretű, stacionárius áramlás modelljéhez jutottunk. A kis se-

besség és kis magasság miatt pedig ez az áramlás (az elég kis Reynolds

szám alapján) réteges (lamináris) lesz.



A (15.19)-cel adott, összenyomhatatlan közegre vonatkozó Navier-

Stokes egyenlet bal oldalán a teljes gyorsulás áll. Számítsuk ki ezt az I.

kötet (5.5) kifejezése szerint. Mivel az áramlás stacionárius, elegendő a

konvektív gyorsulást vizsgálni:

0

0 0 ;

0 0

x x x x

y y y

z z z

c x c y c z c

c x c y c z

c x c y c z

D c 0

Vagyis (15.19) bal oldala nulla. A továbbiakban a Navier-Stokes

egyenlet három rész egyenlete közül csak az „x” irányban felírható rész

egyenletet tekintjük, mert a másik két irányban azonosan nulla eredmény-

re jutunk. (Ez következik abból is, hogy ez az áramlás egyméretű áram-

lásként kezelhető). A nyomás-gradiens a feltétel szerint:

1 10 ;

pp

x

grad

Ezután az egységnyi tömegre ható, súrlódásból származó erőt számít-

juk ki:

2 2 2 2

2 2 2 20 ;

x x x xc c c c

x y y y

c

Mivel az egységnyi tömegre ható tömeg-erővel (térerősség – g ) nem

kell számolnunk, a feladat matematikai modellje és a megoldás általános

alakja a következő lesz:

2 2

2 20 ; 0 ;

x x

x

c d cc a by

y dy

A feladat másodrendű parciális differenciálegyenlet, azonban, mivel

csak egy független változó maradt, ezért másodrendű, közönséges diffe-

renciálegyenletet kell megoldani. Ennek zárt alakú megoldása egyenlőre

két, határozatlan állandóval látható a jobb oldalon.

Az állandók a peremfeltételek segítségével határozhatók meg:

0

00 0 0;

x x

cy c b és y c c a

A keresett megoldás tehát:



0

;x

cc y y

A feladat egyszerűségének megfelelően a megoldás is igen egyszerű:

az egyetlen, nem nulla sebesség összetevő a két lap között lineárisan vál-

tozik. (A peremfeltételeknek való megfelelés egyszerű rápillantással elle-

nőrizhető.)

Határozzuk meg még a csúsztató feszültség alakulását is:

0

;x x

c dc cy állandó

y dy

Ez az áramlás igen egyszerű bevezető lépés, ebbe az irányba lépve to-

vább a csapágyak hidrodinamikai kenéselméletéhez juthatunk el.

Példa – Stokes féle probléma megoldása

Vizsgáljuk azt az áramlást, ami a 15.5. ábra szerint, egy síklap felett, a

0 y fél-térben alakul ki. Tegyük fel, hogy az ábra síkjára merőlege-

sen semmi sem változik.

Hanyagoljuk el a térerősséget ( g := 0 ) és tekintsünk el a nyomás vál-

tozásától is (0

:p p p grad 0 ).

15.5. ábra (→letölthető ábragyűjtemény)

A Navier-Stokes egyenlet ebben az esetben az alábbi alakra egyszerű-

södik:

2

2;

x xc c

t y

Peremfeltételként a síklaphoz történő tapadást fogalmazhatjuk meg,

ami szerint az 0y koordinátánál (minden „x” értékre) a közeg sebessé-

ge egyenlő a lap sebességével:

00, cos ;

xc t c t a lap lengésének körfrekvenciája



Vegyük észre, hogy az alábbi függvény kielégíti a kiinduló másodren-

dű, parciális differenciálegyenletet:

0, cos ;

k y

xc y t c e t ky

hacsak 2k ;

A megoldásfüggvény az y esetben az azonosan nulla értékhez

tart, vagyis azt a fizikai elvárást is kielégíti, ami szerint a laptól távolodva,

annak hatása nullához (jelen esetben a nyugalmi állapot) kell tartson.

Helyettesítsük be „ k ” értékét a megoldásfüggvénybe, hogy előálljon a

végleges alak:

2

0, cos 2 ;

y

xc y t c e t y

A Stokes-probléma a gyakorlati alkalmazások mellett fontos teszt esete

lehet egyes, időben változó áramlások számítására alkalmas numerikus

módszereknek.

15.3. A hasonlóság elmélet

A Navier-Stokes egyenlet parciális differenciálegyenlet. A matemati-

kában a korrekt kitűzésű probléma definíciójához hozzátartozik a perem

és kezdeti feltételek megadása, valamint a számítási tartomány kitűzése.

Ezek a gyakorlatban rendkívül sokfélék lehetnek, ezért a (7.14), esetleg

(15.19) egyenlet általános megoldása csak kevés esetre ismert. Napjaink-

ban ugyan nyitott a numerikus megoldás lehetősége, azonban számos

esetben elegendő, ha korábbi mérések eredményeire támaszkodva végez-

hetünk számításokat.

A mérési eredmények felhasználhatóságát állapíthatjuk meg a hasonló-

ság-elmélet segítségével. Tekintsük a (15.19) egyenletet és definiáljuk

mérés (külön jelölés nélkül) és a tervezett felhasználás (ennek jellemzőit

csillaggal jelöltük) között a következő átszámítási tényezőket:

* * *

* * *

; ; ;

; ;

:

r c g

p

t r c

M M M

M p p M M

az idő átszám ítási tényezője ezzel M M M

r r c c g g

(15.20)



Ezekkel az átszámítási tényezőkkel felírható a mérési esetre vonatkozó

egyenlet:

2 *

* * * * * *

* * 2

1pc c

g

r r r

MM M Mdp M

M dt M M M

i ny s te

c

grad c g

(15.21)

A (15.21) egyenlet egyes tagjai alá, zárójelben a tag fizikai tartalmára

jellemző jelet írtunk: az „i” az egységnyi tömegre vonatkozó tehetetlensé-

gi (inercia) erőt, az „ny” az egységnyi tömegre vonatkozó, nyomásválto-

zásból származó erőt, az „s” az egységnyi tömegre vonatkozó, súrlódás-

ból származó erőt és végül a „te” a térerősséget jelenti.

Két jelenség pontosan akkor hasonló, ha a mozgásegyenletük csak

egyetlen, konstans szorzóban különbözik. Ez pedig pontosan akkor telje-

sül, ha:

2

2

pc c

g

r r r

MM M MM

M M M M

(15.22)

Számítsuk ki a tehetetlenségi („i”) és a súrlódási („s”) erőket jellemző

hányadost:

2 2

c c rr

r c

i M M MM c rRe

s M M M M

(15.23)

Ez az „Re”-vel jelölt, Reynolds szám. Ez egy hasonlósági kritérium,

ami a tehetetlenségi és a súrlódási erők viszonyát fejezi ki. Itt csak meg-

említjük, hogy statisztikus mechanikai értelemben a Reynolds szám a

makroszkopikus sebesség és hosszúság, illetve a mikroszkopikus sebes-

ség (a részecskék hőmozgásának átlagsebessége) és a hosszúság (közepes

szabad úthossz) hányadosával arányos:

rh ksz

c rRe

c r

ahol: rh

c - a részecskék rendezetlen hőmozgásának

átlagsebessége;

ksz

r - a részecskék közepes szabad úthossza.

(15.24)

Számítsuk ki a tehetetlenségi („i”) és a nyomásváltozásból származó

(„ny”) erőket jellemző hányadost:



22 2

r cc

r p p

M M M Mi M cEu

ny M M M p

(15.25)

Ez az Euler-szám. Az Euler számot – bár kevésbé közismert, mint a

Reynolds szám – igen elterjedten alkalmazzák például a felhajtóerő vagy

az ellenállás tényező számításánál. Erről bővebb ismertek a 18. pontban

találhatók.

15.6. ábra – Reynolds és Mach szám tartományok

A 15.6 ábrán – az érdekesség kedvéért – néhány, jellemző Reynolds

számot, illetve Mach számot tüntettünk fel. A „Természet” az ábra bal al-

só sarkában látható; az emberkéz alkotta járművek jobb oldalon, illetve

magasabban is láthatók – ezekben az esetekben a Reynolds szám, illetve a

Mach szám, néhány esetben pedig mindkettő nagyobb, vagy jelentősen

nagyobb, mint a természetben előforduló mozgásformákhoz tartozó jel-

lemző számok. Természetesen más példa is létezik, az ábra csak néhány

vonatkozást mutat be.

Határozzuk meg a tehetetlenségi („i”) és a térerősségből származó („t”)

erőket jellemző hányadost:

21

c

r g

i M cFr

t M M r g

(15.26)



Ez a számot Froude-számnak nevezzük. A Froude szám például szabad

felszínű áramlások esetében fontos: ezért ezt a hasonlósági kritériumot

gyakran alkalmazzák a hajók áramlástani vizsgálatában.

A (15.18) vagy a (15.19) egyenlet összenyomhatatlan közegek áramlá-

sára érvényes. Ezért az összenyomhatóságra vonatkozó hasonlósági szá-

mot külön kell bevezetni – ezt a hasonlósági számot egyébiránt már a 14.

pontban bevezettük:

cM a

a (14.9)

Ez a Mach-szám, amit az áramlási sebesség és a hangsebesség vi-

szonyszámaként definiálunk, a tehetetlenségi és a rugalmas erők viszo-

nyát fejezi ki.

Az összenyomható közegek áramlásának hasonlóságához a fentieken

túl még az adiabatikus kitevő ( ) azonossága is szükséges.

Az eddig tárgyalt összes esetben szükséges továbbá a geometriai mére-

tek hasonlósága is.

A hasonlóság a hasonlósági kritériumok teljesítésével érhető el. A

gyakorlatban az összes kritérium egyidejű teljesítése – a triviális esettől

eltekintve – nem igazán lehetséges. Ezért szokás az egyes hasonlósági

számoknál azt hangsúlyozni, hogy mely problémakörben fontosak. Ez ad

gyakorlati iránymutatást arra, hogy egy, adott esetben hogyan rangsorol-

juk a hasonlósági kritériumokat. Elsősorban a fontosnak tartott kritérium

betartására kell törekedni (ez nagyon sokszor a Reynolds szám, de ideális

közeg nagysebességű áramlásában ilyen a Mach szám) és ha ezután mód

van rá akkor érdemes foglalkozni a többi kritériummal.

Példa szélcsatorna modellre

Tekintsünk egy repülőgép szárnyprofilt. A profil hossza a gyakorlatban

1.5 méter és a jellemző áramlási sebesség 50 m/s – ez egy kisrepülőgép

szárnyprofilja lehet. A profil jellemzőit szélcsatornában kívánjuk vizsgál-

ni, ide legfeljebb 0.5 méter húrhosszú profilt helyezhetünk be. Az a kér-

dés, hogy milyen sebessége kell legyen a szélcsatornában keltett áramlás-



nak, ha a közeg (levegő) jellemzői a gyakorlatban és a szélcsatornában

azonosnak vehetők?

Ebben az esetben a minimum feltétel a geometriai hasonlóság – tehát

olyan kismintát kell készíteni, amely az eredeti profilnak arányosan kicsi-

nyített (1/3 arányú) modellje.

A szélcsatornában áramló levegő sebességét a Reynolds szám azonos-

sága alapján határozzuk meg:

6

5

50 1.54.97 10 ;

1.51 10repülőgép

c LRe

A szélcsatornában áramló levegő sebessége tehát:

6 54.97 10 1.51 10

150 ;0.5

repülőgép

SZ

MODELL

Rec m s

L

Ezzel a Reynolds szám azonosságot elértük. Felmerül azonban egy új

(jellemző) probléma: a Mach szám a háromszorosára nőtt és ez már –

precízebb méréseknél – az összenyomhatóság figyelembe vételét igényli.

Csak megjegyezzük, hogy a gyakorlatban sok olyan szélcsatorna mű-

ködik, melyben a mérő-közeg nyomása eltér a környezeti nyomástól.


16. A határréteg elmélet elemei

A határréteg egy olyan, általában jól körülhatárolható áramlási zóna,

ahol a csúsztató feszültség hatása jelentős. Itt meg kell jegyezni, hogy a

csúsztató feszültség keletkezésének két, szükséges és elégséges feltétele

van: egyrészt a közegnek kell legyen viszkozitása (ez mindig van, de ese-

tenként eltekintünk tőle ideális közeg), másrészt kell legyen sebesség-

különbség. Viszkózus folyadék estében például, hidrostatikai probléma

esetén nem keletkezik csúsztató feszültség, mivel nincs sebesség különb-

ség.

A gyakorlatban létrejövő áramlásokban sokszor igen kiterjedten talál-

hatók olyan zónák, amelyekben a sebesség alig változik. Ezekben a zó-

nákban a csúsztató feszültség elhanyagolhatóan kicsi – itt ideális közeggel

számolhatunk. Az áramlások fennmaradó része a határréteg, ahol a súrló-

dás hatását feltétlenül figyelembe kell venni. Az áramlási tartományok

ilyetén felosztása Prandtltól származik, aki ezt a tudományterületet 1904-

ben indította útjára.

Másik oldalról közelítve a határrétegben jelentős sebességváltozást ta-

lálunk, ilyen pl. egy szilárd test felszínéhez közeli réteg. Innen származik

a határréteg elnevezés. Természetesen másfajta határréteg is létezik, sőt a

sebességváltozáson túl a hőmérséklet változás alapján termikus határréteg

is definiálható. Ez utóbbi vizsgálatában a Peclet szám jut jelentős szerep-

hez. A Reynolds számot (15.23)-mal definiáltuk, helyettesítsük most az

ott „ r ”-nek nevezett hosszméretet „ L ”-lel, akkor a Reynolds illetve a

Peclet szám kifejezése a következő lesz:

;

; : , ;

P

c LRe

c LPe ahol a a hőm érsékletvezetési tényező

a c

Látható, hogy a két hasonlósági kritérium egymáshoz is eléggé hason-

ló, a különbség a nevezőben van (a Reynolds számnál a kinematikai visz-

kozitás, a Peclet számnál a hőmérsékletvezetési tényező áll ott). Meg-

jegyzendő még, hogy az (áramlástani) határréteg vastagsága jelentős mér-

16. A HATÁRRÉTEG ELMÉLET ELEMEI 45


tékben a Reynolds szám, a termikus határréteg vastagsága pedig a Peclet

szám függvénye.

A következőkben a leggyakoribbnak tekinthető, a szilárd fal mellett

kialakuló határrétegről – más néven fali rétegről – lesz szó. Ez alapvetően

réteges (lamináris) vagy gomolygó (turbulens) lehet.

A „fali réteg” típusú határrétegben a közeg a falnak energiát ad át,

amely energiát a fallal párhuzamos áramlásra merőlegesen, főként a ré-

szecske-transzport következtében létrejövő energia-áram fedez. A laminá-

ris határrétegben ez az energia transzport – mivel csak a rendezetlen

hőmozgáson alapul – kicsi. Ezért a lamináris határréteg – amikor már

nem képes a szükséges energia transzportra – turbulenssé válik. Ezt átme-

netnek nevezzük és más kritériumok mellett esetenként kritikus Reynolds

számmal jellemezhetjük. Mivel a turbulens mozgás nagyságrendekkel is

intenzívebb lehet, mint a hőmozgás, azért itt az energia transzport is (sok-

kal) intenzívebb. Amennyiben az áramlás fenntartásához ez az energia

transzport sem elegendő, akkor jön létre a leválás. A leválásban makrosz-

kopikus méretű örvénylések alakulnak ki.

A határréteg elmélet legnagyobb előnye – mind a mai napig – az, hogy

a határréteg viselkedését leíró egyenletek a kiindulásként tekintett folyto-

nosság és Navier-Stokes egyenleteknél egyszerűbb (sokkal egyszerűbb)

matematikai modellre vezet. E matematikai modell kezelése pedig részint

jóval könnyebb, részint a belőle származtatható eredmények pedig a gya-

korlat számára legalább megfelelőek lesznek.

Jó példa erre az általában kevésbé ismert, hibrid programcsomagok

esete (pl. PANAIR stb.), ahol az áramlást a vizsgált test környezetében

súrlódás figyelembe vételével (pl. határrétegként), távolabb pedig ideális

közeggel modellezik. Hangsúlyozandó, hogy a súrlódásos áramlások – itt

határréteg – esetében az egyik, igen fontos peremfeltétel a tapadási felté-

tel, ami szerint a szélső közeg-réteg a szilárd testtel együtt mozog (speciá-

lisan álló test esetén áll). Az ideáli közegnél ilyen, tapadási feltétel nincs,

ott csak annyit lehet kikötni, hogy a közeg a szilárd fallal (vagy a határré-

teg külső felületével) párhuzamosan halad. Ez a két feltétel típus fizikai

szempontból teljes mértékben megfelelő, hiszen biztosítja, hogy a közeg

sebessége a fal sebességétől (igen gyakran nulla) indulva, a faltól távo-

lodva, folytonosan érje el a zavartalan áramlás sebességét.

A Navier-Stokes egyenlet (15.19)-cel leírt alakját – a jobb oldal máso-

dik tagját, ahol eredetileg a Laplace operátor volt – vektoranalitikai azo-



nosság alapján (ez pl. egyszerűen számolással ellenőrizhető) másképpen

is felírhatjuk:

1;

dp

dt

cgrad rot rot c g

A Navier-Stokes egyenlet eme a formájából látható, hogy összenyom-

hatatlan közeg esetében a súrlódásból származó, egységnyi tömegre ható

erőt a rot rot c tag fejezi ki. Az ideális közegben meglehetősen gya-

kori az örvénymentesség ( rot c 0 ), vagy legalább a Kelvin és Helm-

holtz törvények értelmében az örvények állandósága. Ez részben tehát azt

jelenti, hogy az ideális közegben tényleg nincs súrlódás. Másrészt azon-

ban kimondható, hogy az általunk tekintett körben a súrlódás a rotáció

változásával jár együtt ( rot rot c 0 ). Azaz a súrlódás – most éppen a

határréteg – örvényeket generál, a határrétegre és a testek mögött kialaku-

ló „örvényes nyom”-ra éppen az örvényesség, illetve annak változása lesz

jellemző. Örvényességet egyébként a határréteg mellett jellemzően a va-

lamely térbe befújt szabad sugarak keltenek.

Az első kötet áramlástan részének 10.1 ábráján egy, valóságos örvény

sebesség-eloszlását vázoltuk. A fent leírtak tükrében belátható, hogy pl.

az örvény magban van rotáció, az állandó, a külső, ideális tartományban a

rotáció lényegében nulla – tehát a valóságos örvénynél a súrlódás éppen

az átmeneti rétegben lesz jelentős, ott, ahol az állandó örvényesség nullá-

ra csökken (így rot rot c 0 ).

16.1. A határréteg egyenlet

Ebben a jegyzetben csak kétdimenziós határrétegről lesz szó (síkáram-

lás). A határréteg leíró egyenleteit a Navier-Stokes egyenletből vezethet-

jük le, feltéve, hogy a falra merőleges sebesség komponens (y

c ) sokkal

kisebb, mint a fallal párhuzamos sebesség összetevő (x

c ), illetve, hogy a

16.1 ábra jelölései szerint x y , továbbá a vizsgált határ-

rétegbeli áramlás stacionárius és végül, a térerő hatása figyelmen kívül

hagyható és hőáram sincs. A részletes levezetés pl. [10]-ben megtalálható,

a végeredmény:

0 1 ;p y (16.1)



2

2

1;

x x x x

x y t

c c c cpc c

x y x y y y

(16.1)

A (16.1) két egyenletből álló differenciálegyenlet rendszert össze-

nyomhatatlan közeg esetére a folytonosság törvényének következő alak-

jával kell kiegészíteni:

0 ;

yxcc

x y

(16.2)

A (16.1) és (16.2) differenciálegyenlet rendszer szigorúan véve az „ x ”

koordináta-tengely mentén elhelyezkedő, egyenes fal esetén érvényes. A

gyakorlatban azonban kisgörbületű falak esetében is alkalmazzák. A ha-

tárréteg pedig (sebesség profiljának vázlata a 16.1 ábrán látható) az „ y ”

tengely mentén ( x xc c y ) alakul ki.

A (16.1)-ben szerepel a turbulens kinematikai viszkozitás is, így az a

turbulens határrétegekre is érvényes lesz. E tekintetben persze nagyon

fontos (és az érvényességet meghatározó) az, hogy milyen turbulencia

modellt alkalmazunk.

16.1. ábra – A határréteg sebesség profilja

A (16.1)-ben a Navier-Stokes egyenlet két komponens egyenlete látha-

tó, a felső sorban az „ y ”, az alsó sorban az „ x ” iránybeli egyenlet szere-

pel. Az első egyenlet igen egyszerű, számolni vele lényegében nem szük-

séges – fizikai mondandója azonban igen-igen fontos: eszerint a statikus



nyomás a határrétegen keresztül nem változik. Vagyis a határréteg ebből a

szempontból nagyon kedvezően viselkedik. Példaként említve, egy test

felszínén kialakuló statikus nyomást az ideális közeg áramlási viszonyai

alapján számíthatjuk – úgy, hogy a test méreteit a később tárgyalandó ki-

szorítási vastagsággal megnöveljük. Ez egyéként, a korábban említett, un.

hibrid módszerek felépítését lehetővé tévő egyik alapgondolat.

A határréteg vastagsága ( ) többféleképpen definiálható. Az első de-

finíció szerint azt az „ y ” koordináta értéket tekintjük a határréteg vastag-

ságának, ahol a sebesség már csak (pontosan) 1%-kal tér el a zavartalan

áramlási sebességtől. Ezt a vastagságot a szakirodalomban „99%-

vastagság”-nak is nevezik. Ez a vastagság általában az „ x ”, fal menti ko-

ordináta függvénye, méghozzá mind lamináris, mind turbulens határréteg

esetén ez a vastagság az áramlási hosszal definiált Reynolds szám értéké-

nek növekedésével nő.

Lamináris határréteg esetén – Blasius – nyomán a határréteg eme vas-

tagságát az alábbi képlettel közelíthetjük:

0

0

0

55 ; : ;

x

x

c xx xahol Re

cRe

c a zavartalan áram lási sebesség

(16.3)

Innen látható, hogy a lamináris határréteg vastagsága a fel mentén, az „

x ”, fal menti koordináta növekedésével nő. Ez a (16.3) második alakjá-

ból, ahonnan a Reynolds számot kiküszöböltük, rögtön következik. A

(16.3) kifejezés érvényességét feltételezve, a fali csúsztató feszültséget is

kiszámíthatjuk:

3 2

0 0

00.332 0.332 ;

x

c cRe

x x

(16.4)

(16.4)-ből pedig az állapítható meg, hogy a fali csúsztató feszültség az

„ x ”, fal menti koordináta növekedésével csökken.

Turbulens határréteg esetén, a turbulens rész sebesség eloszlásának kö-

zelítésére az alábbi formulát (is) használhatjuk (a lamináris alréteg – 16.2

ábra – számítására később térünk ki):

1 7 5 7

0

; 10 10c y

y Rec

(16.5)



A turbulens határréteg vastagsága – a szakirodalom nyomán az alábbi

képlettel közelíthető:

7

1 5

0.37; 10

x

x

xha Re

Re

(16.6)

A fali csúsztató feszültség közelítése pedig a következő módon lehet-

séges:

2

70

0 1 5

0.058; 10

2x

x

cha Re

Re

(16.7)

Kiszámíthatjuk a határréteg kiszorítási vastagságát is, amely, a 16.2

ábra szerint az a faltól mért távolság, amennyivel az áramlásnak a faltól

távolabb kellene kezdődnie ahhoz, hogy az adott „*

x ” koordinátánál ál-

landó sebesség mellett ugyanaz a térfogat-áram haladjon át.

16.2. ábra – A kiszorítási vastagság

Írjuk fel a térfogat-áram egyenlőségét:

0

0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

;x

V c y dy c dy c dy c dy c dy c

(16.8)

A (16.8) jobb oldalán az állandó sebességgel vett térfogat áram kifeje-

zése látható. Innen a kiszorítási vastagság egyszerűen megkapható:

0 0

0 00 0

11 ;

x

x

c yc c y dy dy

c c

(16.9)



A (16.9)-ben kijelölt integrál elvileg nullától végtelenig számítandó, a

gyakorlatban azonban a számítás jóval kisebb „ y ” értéknél abbahagyha-

tó, hiszen az integrálandó függvény értéke gyakorlatilag zérus lesz.

A szakirodalomban értelmezik még az impulzus és az energia vastag-

ságot is. Ezekkel, az itt nem részletezett a mennyiségekkel szokás pl. a

határréteg alak-paramétereit definiálni – az alak paraméterek pedig a ha-

tárréteg viselkedésének jellemzésére (pl. lamináris-turbulens átmenet, le-

válás) használatosak.

16.2. Sebesség-eloszlás a határrétegben

A 16.3. ábrán egy határréteg részletes sebesség-profilja látható. Az ál-

lónak feltételezett faltól indulva („x” tengely), ahol az áramlási sebesség a

tapadási feltétel miatt nulla, találhatunk egy, vékony, lamináris alréteget.

Ez egy, a falhoz olyan közel kialakuló réteg, ahol a turbulens mozgás –

éppen a fal simító hatása miatt – még nem tud kialakulni.

16.3. ábra – Határréteg részletes sebesség-profilja

Ezután következik, általános esetben – gomolygó határréteg esetén – a

turbulens alréteg. Végül a turbulens réteg egy átmeneti rétegen keresztül

megy át a „végtelen” vagy zavartalan áramlásba, ahol már csúsztató fe-

szültség (lényegében) nem ébred. Az ábrán „ ” a határréteg vastagságát

jelenti.



Vizsgáljuk meg ennek a határrétegnek a sebesség profilját. Prandtl

nyomán tegyük fel, hogy a lamináris és a turbulens alrétegben a csúsztató

feszültség nem változik, végig egyenlő a fali csúsztató feszültséggel:

0 0a fali csúsztató feszültség

Definiáljuk a súrlódási sebességet az alábbi módon (a súrlódási sebes-

ség „köze” a sebességekhez csak annyi, hogy a dimenziója sebesség-

dimenzió):

* 0

u

(16.10)

Határozzuk meg a lamináris alréteg sebesség-profilját. Ezt a lamináris

áramlásra érvényes csúsztató feszültség alapegyenletéből kiindulva tehet-

jük meg:

2*0

0

*

*;

x x x

x

d c d c d cu

d y d y d y

d c ud y

u

(16.11)

A fenti egyenlet mindkét oldala, a második sorban írt alakban

dimenziótlan. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát:

* *

* * *

*

, ,

, 10;

x x xd c c cu u y

d y uu u u

u yy u y ha u y

(16.12)

Vagyis a lamináris alrétegben a sebességprofil egyenlete szerint a

dimenziótlan sebesség egyenlő a dimenziótlan távolsággal. Ezek értéke

nullától közelítőleg tízig változik. A tízes értéknél kezdődik az átváltás a

lamináris alrétegből a turbulens alrétegbe – ez a folyamat kb. az

30y as értéknél fejeződik be. Az integrálás miatt egy állandó is be-

került (16.12)-be, azonban könnyen belátható, hogy a nulla dimenziótlan

koordinátánál a dimenziótlan sebesség nulla – így az állandó értéke is nul-

la, ezért azt nem írtuk ki.

A turbulens alrétegben a Prandtl hipotézis ((15.11) és (15.12)) segítsé-

gével számíthatjuk ki a sebesség-profilt:



0

0

2* 2 2

;

x x

t t

x x

d c d c

d y d y

d c d cu y

d y d y

(16.13)

Feltéve, hogy az áramlás nem válik le, azaz a sebesség iránya nem vál-

tozik, az abszolút érték elhagyható.(Leválás esetén az áramlás falhoz vi-

szonyított iránya az ellenkezőjére fordul.) Ekkor viszont minden (16.13)-

beli tag a négyzeten lesz, négyzetgyökvonás után írható:

*

*

*

1

1ln ;

x x

x

d c d c d yu y

d y u y

cu y állandó

u

(16.14)

Ennek az egyenletnek a jobb oldalára ismét behozható a dimenziótlan

távolság, csak ekkor egy másik állandóra lesz szükség (ezt a másik állan-

dót a középső sorban, a szögletes zárójelbe írt tagok jelentik; ennek egyik

gyakori számértékét rögtön beírjuk):

*

* *

1ln

1 1ln ln ;

1ln 5.5 ;

xc

u y állandóu

u y uu állandó

u y

(16.15)

Ez a nevezetes, logaritmikus faltörvény, ami a turbulens áramlások

vizsgálatának egyik korai eredménye, és amely törvényt mind a mai na-

pig, a legkorszerűbbnek tekintett numerikus vizsgálatokban is alkalmaz-

zák. Az összefüggés az 530 10y

értékig ( 37.5u

) alkalmazható.

A lamináris alréteg, illetve a turbulens alréteg sebességprofiljával bő-

vebben pl. [1], a „Súrlódásos folyadék áramlásának törvényei” c. részben

foglalkozik. Az átmeneti réteg vizsgálatával e jegyzetben nem foglalko-

zunk – az érdeklődő bőséges szakirodalmat találhat, amely a határréteggel

részletesen foglakozik.



Napjainkban a határréteg jellemzőit (is) sok esetben numerikus mód-

szerekkel számítják. E numerikus módszerek közül az egyik legegysze-

rűbb, a véges differenciákon alapuló, explicit sémára vezető megoldási

módszer, amelyet [10] mutat be.

16.3. A határrétegbeli áramlási formák változása

A határréteg szilárd fal mellett jön létre. A határrétegre jellemző, hogy

benne csúsztató feszültségek keletkeznek, illetve ezzel kapcsolatosan –

ahogyan azt a bevezetőben már leírtuk – örvények keletkeznek. E folya-

mat során, a határrétegben, a falra merőleges irányban anyag, mozgás-

mennyiség, energia transzport, illetve hőáram is létrejön.

A szilárd fal és a közeg között kialakuló csúsztató feszültség, amely az

áramlást (általában) fékezi, egyúttal energiát is elvon a közegtől. (Egészen

speciális esetekben, megfelelő módon mozgó fal energiát is közölhet.)

További, igen fontos energia igényt jelent a nyomásnövekedés.

16.4. ábra – A határréteg szakaszai, leválások

Az energia áram, természetesen, csak olyan mértékben lehetséges,

amilyet a határréteg áramlási viszonyai megengednek. Ennél nagyobb

energia elvonás, energia igény esetén az áramlás jellege megváltozik,

úgy, ahogyan azt az energia elvonás vagy igény szükségessé teszi.



A réteges vagy lamináris határrétegben az energia transzport a rende-

zetlen hőmozgás révén jön létre. Mivel ez viszonylag kevéssé intenzív,

ezért ez az áramlási forma igen hamar véget ér, akkor is, ha nincs nyo-

másnövekedés. Nyomáscsökkenés esetén ez a fajta határréteg persze to-

vább fennmaradhat.

A lamináris-turbulens átmenetet igen egyszerű esetekben valamely

(kritikus) Reynolds számmal jellemezhetjük – a valósághoz jobban köze-

lítő esetekben összetettebb –itt nem tárgyalható – kritériumok alapján

dönthető el az átmenet helye. Azt azért el kell mondani, hogy a kísérletek

tanúsága szerint a valóságban ez az átmenet egy bizonyos tartományon

belül, előre-hátra vándorol, igazából nincs egyetlen átmenet-pont, hanem

általában egy zónát lehet kijelölni. Adott esetben, ahol ez a fontos, lehet

átmeneti pontot előállítani, például egy, a felületen elhelyezett turbulenci-

át keltő objektummal. (Ilyen lehet például a zárt téri repülő modellek

szárnyának belépő élénél, a belépő éllel párhuzamosan elhelyezett cérna-

szál, amely az ebben az esetben létrejövő, igen kis sebességű – ezért ala-

csony Reynolds számú – határréteget turbulenssé teszi. De ilyen példa a

Természetből egyes repülő rovarok szárnya is, amelyeken szintén turbu-

lenciát keltő részeket találunk.)

A lamináris szakasz végén – amennyiben olyanok az áramlási viszo-

nyok (pl. erősen görbült belépő élű szárnyprofil első, felső szakasza), ahol

a nyomásnövekedés is jelentős – előállhat (de csak speciális körülmények

esetén) buborék leválás. Ebben az esetben az áramlás nem tudja a kontúrt

tovább követni és leválik (az eredetivel ellentétes irányú, visszaáramlás

indul meg a fal mellett). Ez a buborék leválás egyúttal a turbulens szakasz

kezdete is lesz. Mivel a turbulens szakaszban az energia transzport a tur-

bulens sebesség-ingadozásokon keresztül valósul meg, azért ez az energia

transzport sokkal (esetenként több nagyságrenddel) intenzívebb, mint a

lamináris szakaszon volt. Ez az energia transzport általában képes az

áramlást visszasimítani, ezzel a buborék leválást megszünteti. Ezt a fajta

leválást éppen ezért nevezzük buborék leválásnak, mivel viszonylag rövid

szakasz után véget ér. A 16.4 ábrán csak a teljesség kedvéért tüntettük fel

a buborék leválást is, ez a fajta leválás nem minden esetben jön létre! Sőt

a gyakorlatban előforduló esetek igen nagy részében nem találkozunk ve-

le!

A turbulens határrétegben létrejövő energia transzport sok esetben a

teljes kontúr menti áramlás követéséhez elegendő, illetve ilyenkor az



áramlás nem válik le, végig követi az áramvonalas test alakját. Ilyen lehet

például egy mérsékelt állásszögön működő szárnyprofil körüli áramlás.

Előfordul azonban, hogy a test kontúrja mentén olyan erősen növek-

szik a nyomás, hogy a turbulens energia transzport sem képes az áramlást

fenntartani. Az energia fogyását a határréteg sebesség profilja jelzi: a

testhez közeli rétegekben a sebesség és ezzel a kinetikai energia csökken

– a 16.4 ábra szerinti, a „Leválás kezdete” jelzésű helyen a sebesség-

profil érintője a falra merőleges lesz. Ez azt jelenti, hogy itt a csúsztató

feszültség értéke nullára csökken. Ettől a ponttól kezdve alakul ki a levá-

lási zóna, ahol akár makroszkopikus méretű örvények is előállhatnak.

A leválási zónában, az igen intenzív örvénylés elegendően nagy ener-

gia áramot biztosít, így ez az áramlási forma – az általunk vizsgált terüle-

teken – már mindenütt elegendő, ennél tovább nem kell mennünk. Az

áramlás leválása és az ezzel kapcsolatos örvények számos, komoly tech-

nikai problémát okoznak – ilyen lehet például egy repülőgép szárnyról, a

leválás miatt leúszó örvények gerjesztő hatása következtében, a farokfelü-

leten előálló rezgés.

A leválást különböző módszerekkel szabályozni, késleltetni lehet: a ha-

tárréteg elszívásával például az energiáját vesztett közeg helyére friss kö-

zeg kerül. Egy másik lehetséges eljárás szerint a határrétegbe nagy ener-

giájú (rendszerint nagy sebességű) közeget juttatva szintén késleltethető a

leválás. Ezt az eljárást határréteg lefúvásnak is nevezik.

A határréteg lamináris (réteges) vagy turbulens (gomolygó) jellege a

teljes test körüli áramlásra is, adott esetben igen jelentős mértékben visz-

szahat.

A 18. pontban vizsgált, henger körüli áramlás esetén az áramképet, és

ezzel a nyomáseloszlást illetve az ellenállás tényezőt is igen nagy-

mértékben módosítja a határréteg jellege. A kritikus Reynolds szám feletti

áramlásban, amikor a kezdeti lamináris határréteg után egy turbulens sza-

kasz is kialakul, az ellenállás tényező értéke hirtelen, jelenős mértékben

lecsökken. Ennek a ténynek a gyakorlati vonatkozásokon túl még mérés-

technikai vonatkozása is van – így lehet pl. a turbulencia faktort mérni.

Az egész áramlási kép megváltoztatása a határréteg befolyásolásával

más esetekben is előbukkan. Jelentős lehet például az az eljárás, amely-



nek során a helyi csúsztató feszültség mérése alapján aktív eszközökkel

befolyásoljuk (rendszerint turbulenssé tesszük) a kialakuló határréteget.

16.4. Határréteg okozta másodlagos – szekunder - áramlás

A határréteg több esetben másodlagos, idegen szóval szekunder áram-

lást kelt. Ezt a 16.5. ábrán látható példával illusztráljuk. A példában egy

kör keresztmetszetű, álló edényt vizsgálunk, amelyben a valóságos közeg

közel merev test-szerű forgómozgást végez. A merev test-szerű forgó-

mozgás jelentse azt, hogy a közeg döntő része állandó szögsebességgel

forog, ettől csak a fal mellett kialakuló határréteg sebesség-eloszlása kü-

lönbözik.

A példa jelenthet mondjuk egy csészét, amelyben kanállal megkevert

folyadék mozog. Vizsgáljuk ebben a közegben két, a forgástengelyre me-

rőleges és egyúttal vízszintes szintet, illetve e szinteken a nyomás válto-

zását, a sugár függvényében.


A felső szinten („A”) – amelyik az edény belsejében van, valamelyest

mélyebben, mint a felszín és távolabb az alsó faltól – azt tapasztaljuk,

hogy a centrifugális erőtér hatására a nyomás a sugáron kifele haladva nő.

Ezek szerint ez, a felső szint tulajdonképpen – a fent leírt korlátok között

– az edényben bárhol elhelyezkedhet.

A hidrostatikában tanultak alapján kimondhatjuk, hogy a szabad fel-

színen a nyomás állandó (egyenlő a környezeti nyomással) – az ebben az

esetben kialakuló paraboloid felszín jelzi az a növekvő folyadék-oszlopot,

ami másik oldalról alátámasztja a sugár menti nyomás-növekedést.

Az alsó szintet („B”) úgy választottuk, hogy az a vízszintes, alsó falnál

kialakuló határréteg belsejében legyen. Itt még van sebesség növekedés

(de sokkal mérsékeltebb, mint a szabad térben) és ezzel nyomásnöveke-

dés is, ez azonban a határrétegen kívüli nyomás-növekedéshez képest ki-

csi.

Ezek alapján kialakul az ábrán vázolt helyzet: az edény fala mellett az

„A” szinten nagyobb a nyomás, mint a „B” szinten – ezért a fal mellett le-

fele tartó másodlagos (szekunder) áramlás indul meg.



Az edény közepén pedig a folytonosság törvényének megfelelően fel-

fele irányuló másodlagos áramlás indul meg. Végeredményben kialakul a

16.5 ábrán vázolt másodlagos áramlási „kör”, ebben a közeg a fal mellett

lefele, az edény fenekénél befele, középen felfele és fenn kifele áramlik.

Megjegyezzük, hogy a nyomáseloszlások ábrázolásánál törekedtünk

arra, hogy látható legyen: a statikus nyomás a határrétegen keresztül lé-

nyegében nem változik. Másrészt a fent vázolt kép ugyan megfelel az

ilyen esetben, a gyakorlatban tapasztalható áramlásnak, azonban a részle-

tes (számszerűen helyes) nyomás- és sebesség-eloszlás vizsgálat az itt le-

írtaknál sokkal több munkát igényel. Feltehetőleg leginkább valamely

numerikus eljárással lehetne egy ilyen problémát korrekt módon kezelni.

Mintafeladat

Feladat: víz áramlásakor kialakuló határréteg turbulens alrétegében, az

5000y -nél a fizikai sebesség 0.3u m s . Határozza meg a fali

csúsztató feszültséget és a lamináris alréteg dimenziós vastagságát. (A

lamináris alréteg 10y -ig tart, a kinematikai viszkozitás:

6 21.3 10 m s

; és 0.4 ).

Megoldás: a logaritmikus faltörvény (16.15) szerint kiszámítható az

5000y -hez tartozó, dimenzótlan sebesség:

1 1ln 5.5 ln 5000 5.5 26.8 ;

0.4u y

(16.16)

A súrlódási sebesség (16.10) szerint számítható:

*

*

0.30.0112 ;

26.8

u uu u m s

u u

(16.17)

A fali csúsztató feszültség (16.10)-ből kifejezhető:

2* * 20

01000 0.0112 0.125 ;u u Pa

(16.18)

Végül, a lamináris alréteg dimenziós vastagságát számítjuk ki, a

(16.12)-ben szereplő definíció felhasználásával:



*

6

*

10 1.3 100.00116 1.16 ;

0.0112

y uy

yy m m m

u

(16.19)

A [7] példatárban – sajnos – határréteggel foglalkozó példa nem talál-

ható. Ennek oka az is, hogy a határrétegek jellemzőit napjainkban leg-

többször numerikus módszerekkel határozzák meg.

Egy igen egyszerű, véges differenciákat felhasználó numerikus mód-

szer található [10]-ben.


17. A kiterjesztett Bernoulli egyenlet

A Bernoulli egyenlet ideális közegre érvényes, általános alakját (7.19)

láttatja. A Bernoulli egyenletnél igen fontos feltétel, hogy a két pont kö-

zött, amelyek közé az egyenletet felírjuk, nem lehet energia be- vagy el-

vezetés.

A súrlódás energiaelvezetést jelent, ezért a Bernoulli egyenletet ki kell

egészíteni az energia megmaradás elvének megfelelően úgy, hogy a súr-

lódási veszteséget hozzáadjuk annak a pontnak a jellemzőihez, ahonnan

az hiányozna. Az így felírt egyenletet nevezzük kiterjesztett Bernoulli

egyenletnek. Induljunk ki (12.2)-ből és adjuk hozzá a „2”-es pont jellem-

zőihez a súrlódási veszteségeket összefoglalóan kifejező '

p

tagot:

22 2 '

1 1 2 2

1 2

1

;2 2

T

c p c p pU d U

t

cs (17.1)

A (17.1) felírásakor igen fontos hangsúlyozni azt, hogy e felírási mód

esetén az áramlásban az „1”-es pontot követi a „2”-es. A súrlódási veszte-

ségek az „1”-es ponttól a „2”-es pontig lépnek fel. A veszteségek figye-

lembe vételével állítjuk helyre az egyenlőséget. A következőkben a súrló-

dási veszteségeket számítjuk ki, a gyakorlatban legfontosabb esetekre.

17.1. Hosszú, egyenes cső nyomásveszteségének számítása

Vizsgáljuk meg először azt az esetet, amikor a hengeres csőben lami-

náris az áramlás. A17.1 ábrán látható cső-áramlásban gondolatban egy

hengert határoltunk el. A rá ható, nyomásból, illetve súrlódásból szárma-

zó erők egyensúlyban vannak, mivel az áramlás stacionárius.

A 17.1 ábrán és a számítás első lépésében a csúsztató feszültséget – au-

tomatikusan – pozitívnak választottuk. A további számításokból kiadódik

a csúszató feszültség negatív előjele – de ezt nem nekünk kell előírnunk,

hanem a számítás szolgáltatja majd (17.7). Írjuk fel a hengerre ható erőket

(ez az impulzus tétel ide vonatkozó alakja alapján – 7.9 egyenlet bal olda-

la és a jobb oldal harmadik és negyedik tagja, azonosan nulla):



2

1 20 2 ; : ;

xdc

p p r r aholdr

(17.2)

17.1. ábra – Lamináris áramlás csőben

A (17.2)-ből, behelyettesítés és átrendezés után az alábbi közönséges

differenciálegyenlethez jutunk:

1 2

2 ;x

dcr p p

dr (17.3)

Ezt az egyenletet, miután a változókat már szétválasztottuk, egy kis át-

rendezés után egyszerűen integrálhatjuk. Az eredmény egy integrálási ál-

landó bevezetésével:

2

1 2 .; : 0 ;2 2

x x

p p rc r C onst és c R

(17.4)

Az állandó értékét a (17.4)-nél megadott peremfeltételből

( . : 0 ;x

ti c R ) kiszámítva, az alábbi, forgási praboloid egyenletének

megfelelő egyenlettel meghatározott sebességeloszlást kapjuk:

2 2

1 2 ;2 2

x

p p R rc r

(17.5)

A sebesség eloszlás egyenlete hasonló a hidrostatikában, a nehézségi

erőtérben forgó edényben kialakuló folyadék-felszín egyenletéhez (3.2 il-

letve 17.2 ábra), illetve a (3.12) kifejezés szerint a sebesség átlag értéké-

nek a maximális érték éppen a fele. Ennek alapján kiszámíthatjuk az át-

lagsebességet, ami ezért, természetesen a maximális sebesség fele. Az át-

lagsebességet a későbbiekre tekintettel egyszerűen „ c ”-vel jelöljük, ez

lesz ui. általában az átlagsebesség jele.

17. A KITERJESZTETT BERNOULLI EGYENLET 61


2

, 1 2

,

1;

2 2 2 2

x M AX

x ÁTLAG

c p p Rc c

(17.6)

Egy egyenes, állandó keresztmetszetű csőben, állandó sűrűségű, súrló-

dásos folyadék esetében a nyomás az áramlás irányában csökkenni fog

(1 2

p p ). Ez azt jelenti, hogy a (17.6)-tal adott sebesség-profil, illetve az

ennek megfelelően, a 17.2 ábra jobb oldalán felvázolt sebesség eloszlás

sebességei pozitív értékeket vesznek fel.

A csúsztató feszültség eloszlása és a fali csúsztató feszültség (17.7

jobb oldalán lévő kifejezés) értéke (17.3)-ből egyszerűen számítható:

1 2 1 2

0; ;

2 2

xdc p p p p

r r Rdr

(17.7)

17.2. ábra – Csúsztató feszültség és sebesség eloszlás

A csúsztató feszültség a sugárral arányosan (lineárisan) változik, a kö-

zépvonalon nulla, a falnál a legnagyobb. Előjele negatív – ez az áramlás

sebesség-eloszlásából fizikailag következik, de a negatív előjelet a számí-

tásból kapjuk – ez jól példázza a fizika és a matematika egységét. A 17.2

ábra jobb oldalán a korábban már említett, parabolikus (paraboloid) se-

besség-eloszlás látható.

Fejezzük ki (17.6)-ból a nyomásveszteséget, illetve a nyomásveszteség

és a sűrűség hányadosát:

'

'

1 2 2 2 2

8 32 32; ;

c c p cp p p

R D D

(17.8)



A (17.8)-at, a Reynolds szám és a csősúrlódási tényező ( ) bevezeté-

sével a következő alakba is írhatjuk:

' 2 2 2

2

32 2 32 64;

2 2 R e 2

64: R e

R e

p c c c c

D D c D D D

D cahol és

(17.9)

Ezzel tulajdonképpen eljutottunk az állandó keresztmetszetű egyenes

csőben történő, összenyomhatatlan folyadék áramlásában fellépő nyo-

másveszteség számításának általános kifejezéséhez:

' 2

; : ;2

p cahol a csősúrlódási tényező

D

(17.10)

A (17.10) kifejezést lamináris csőáramlásra vezettük le. Általános vol-

tán azt értjük, hogy a későbbiekben, más esetekben is ezt a kifejezést

használjuk a hosszú, egyenes csövekben előálló nyomásveszteség számí-

tására, de a csősúrlódási tényező értékét az éppen vizsgált esetnek megfe-

lelően határozzuk meg lamináris áramlásra, vagy hidraulikailag sima cső

esetére:

44

0.3 4 6

0.237 5 8

64 , 2320, ;

0.316 , 2320 8 10 ;

0.0054 0.396 , 2 10 2 10 ;

0.0032 0.221 , 10 2 10 ;

12 log

Re ha Re azaz lam ináris áram lásban

Re ha Re Blasius képlete

Re ha Re Schiller képlete

Re ha Re N ikuradse képlete

Re

80.8, 2320 3.4 10

;

ha Re

Prandtl N ikuradse képlete

(17.11)

Turbulens áramlásban, érdes cső esetén is a (17.10) képletet alkalmaz-

zuk, de a érétkét a 17.3 ábrának megfelelő diagramból választhatjuk.

Fontos észrevenni azt, hogy a gyakorlat számára elegendő, illetve megfe-

lelő, ha a csősúrlódási tényezőt csak a Reynolds szám függvényeként

vizsgáljuk.

A (17.10) kifejezésnél megjelent a hidraulikai simaság fogalma. Ez a

fogalom azt jelenti, hogy a felületi érdesség átlagos érétke ( k ) kisebb,

mint a határréteg lamináris alrétegének vastagsága ( ). Másképpen kife-

jezve, azt jelenti, hogy a hidraulikailag sima csőben a határréteg lamináris

alrétege elfedi az érdességet.



Ez lamináris áramlás esetén mindig teljesül, hiszen az egész áramlás

„határréteg” jellegű, a teljes keresztmetszetben van csúsztató feszültség (a

csúsztató feszültség egyedül a középvonalon nulla). Ezek szerint a lami-

náris csőáramlás esetében a csövek mindig hidraulikailag simák.

Turbulens áramlás esetén a csőfal mellett viszonylag vékony határréteg

alakul ki, illetve e határréteg lamináris alrétege az átlagsebesség (és a

Reynolds szám) növekedésével vékonyodik. Vagyis adott átlagos

érdességű csőfal (k) esetén a csőfal, az átlagsebesség növekedésekor álta-

lában hidraulikailag érdessé válik – ez is megfigyelhető a 17.3 ábrán. A

17.3. ábrán vázlatosan feltüntetett diagram egy, konkrét esetre vonatkozó

változata pl. [8]-ban tekinthető meg. A kör keresztmetszetű, érdes csövek

esetén érvényes ilyen diagramot a szakirodalomban Moody diagramnak is

nevezik.

17.3. ábra – A csősúrlódási tényező

Vizsgáljuk meg, hogy hogyan változik a lamináris alréteg vastagsága,

turbulens csőáramlás határrétegében. Használjuk fel e vizsgálathoz azt a

megállapítást, ami szerint a lamináris alréteg az 10y -es értékig tart.

Eszerint a lamináris alréteg dimenziós vastagsága (pl. (16.12) szerint):

*10y u (17.11)

Tekintsünk egy " " hosszúságú csőszakaszt és írjuk fel a nyomásvesz-

teségből, illetve a súrlódásból származó erők egyensúlyát, feltéve, hogy

az áramlás stacionárius:

2

04p d d (17.12)

Írjuk be (17.12)-be a nyomásveszteség (17.10) szerinti kifejezését:



2

2

0

2

0

2 4

;2 4

dc d

d

c

(17.13)

Helyettesítsük be (17.11)-be a súrlódási sebesség definiáló egyenletét

(16.10) és a fali csúsztató feszültség (17.13)-mal adott kifejezését:

*

0

1 1 20 210 10 ;

y

d d u d Re

(17.14)

A csősúrlódási tényezőt hidraulikailag sima csövek esetében, 105-es

Reynolds számig a 40.316 Re kifejezésből (Blasius képlete) számít-

hatjuk. Helyettesítsük be ezt a (17.14)-be:

7 /81/ 4

20 2 20 2 50.3155;

0.316

y

d ReRe Re Re

A fenti képletből a Reynolds szám függvényében kiszámítható a lami-

náris alréteg (viszkózus alaprétegnek is nevezik) csőátmérőhöz viszonyí-

tott vastagsága. Ezt tüntettük fel a 17.4 ábrán.


A Reynolds számot csak 105-ig növeltük, mivel a csősúrlódási tényező

számítására alkalmazott explicit formula (Blasisus képlete) csak nagyjá-

ból eddig használható. De azért innen már megállapítható, hogy a laminá-

ris alapréteg vastagsága a Reynolds szám növekedésével csökken. A 17.4

ábrán lévő, viszonyított lamináris alréteg vastagságot számértékre is he-

lyesen tüntettük fel, azonban megjegyzendő, hogy az ábrán lévő legna-

gyobb Reynolds szám a gyakorlatban még igencsak kicsinek számít – va-

gyis a ténylegesen előforduló esetekben a lamináris alréteg viszonyított

vastagsága akár jelentősen is kisebb lesz.

A lamináris alréteg vékonyodása pedig azt jelenti, hogy adott átlagos

érdesség a Reynolds szám növekedésével egyszer csak kiemelkedik a la-

mináris alaprétegből – vagyis a hidraulikai simaság megszűnik. A fenti



megállapítás csak nagyon kis érdesség esetén nem igaz – a gyakorlatban

ennyire sima felület alig található.

Az érdessé vált csövekben, egy, adott Reynolds szám felett a csősúrló-

dási tényező értéke lényegében állandó lesz. Mivel a gyakor-latban a cső-

áramlások Reynolds száma akár több (tíz)millió is lehet, azért a leggyak-

rabban ezzel, az állandó csősúrlódási tényező értékével számolunk. Va-

lamely, konkrét csőáramlás vizsgálatakor, ezt az értéket célszerűen egy, a

feladatra vonatkozó mérési eredményeket tartalmazó diagramról (táblá-

zatból, egyéb adatbázisból) választhatjuk.

A kör keresztmetszetű, hidraulikailag sima csövekben, turbulens áram-

lás esetén érvényes csősúrlódási tényezőt, legáltalánosabban a (17.11)-

ben leírt, „Prandtl-Nikuradse képlete” elnevezésű összefüggésből számít-

hatjuk.

Ez egy implicit kifejezés. Amennyiben a gyakorlatban alkalmazni kí-

vánjuk, akkor a csősúrlódási tényezőt iterációval kell megkeresni. Egy

ilyen, nem lineáris egyenletet megoldani nem túl bonyolult feladat.

Tekintsünk erre egy rövid példát. Válasszuk a számításhoz a SCLIAB

szabad szoftvert. Válasszuk példaként a 95000-es Reynolds számot. Az

alábbiakban összefoglaljuk azt a kis programot, ami a kívánt iterációt el-

végzi:

// SCLIAB pelda a csosurlodasi tenyezo szamitasara

function F=csosurlodasi_tenyezo(landa)

F=1/landa^0.5-2*log10(95000*landa^0.5)+0.8;

endfunction

function J=csosurlodasit_deriv(landa)

J=-0.5/landa^1.5-1/(landa*log(10));

endfunction

ind=0.01; //ez az iteracio kiindulo erteke

[landa,v,info]=fsolve(ind,csosurlodasi_tenyezo,csosurlodasit_deriv);

disp(landa); // A keresett landa ertek

disp(0.316/95000^0.25);

A számítás eredménye:

0.0181867 – ez az iterációval számított (landa) érték;

0.0179993 – ez a Blasius képlettel számított érték.



Ebben a program környezetben, és így a példában is a megjegyzések

jele: „//” – a két törtvonal. Elővigyázatosságból a megjegyzéseknél sem

használunk ékezetes betűket.

Az első sor a program címe, a második-negyedik sor a Prandtl-

Nikuradse képlet, átrendezett alakja; a megoldást az 0F feltétel ad-

ja:

12 log 0.8 ;F Re

Az ötödik-hetedik sorba a fenti kifejezés deriváltját írtuk:

1.5

0.5 1;

ln 10

dF

d

A nyolcadik sor az iteráció kiinduló értéke. Az ezután következő sor

tartalmazza az iterációt automatikusan elvégző, SCILAB-eljárást (fsolve).

Végül a két utolsó sorban a program kiírja az iterált, illetve utána az el-

lenőrzés céljából, az explicit képlettel számított értéket. Ezeket a program

alatt fel is tüntettük. Az eredmények közelsége jól látható.

A példában választott Reynolds szám azért kicsi (95000), hogy a kétfé-

le eredmény összevethető legyen. Egyébként a számítás, az utolsó sor el-

hagyásával, nagyobb Reynolds számra is elvégezhető. (Például, 6

9.5 10 -

os Reynolds szám esetén a 0.00816 -os eredményt kapjuk). A példa

illusztrálja azt, hogy napjainkban, a számítástechnika régebben sok mun-

kát igénylő megoldásokat is könnyen elérhetővé tesz. E tekintetben, a jö-

vőben további, várhatóan hatalmas mértékű fejlődésre számíthatunk.

A kör keresztmetszetű csövek mellett léteznek más keresztmetszetek

is, illetve előfordulhat, hogy az egyébként kör keresztmetszetű csövet a

folyadék nem teljesen tölti ki. A Reynolds számot a cső átmérőjével defi-

niáltuk (pl. 17.9-ben), ebben a definiáló egyenletben, ilyen esetekben a

geometriai átmérő nem használható, helyette a hidraulikai átmérőt szokás

alkalmazni:

4;

H

AD

K (17.15)

(17.15)-ben, a számlálóban a folyadék keresztmetszete ( A ), a nevező-

ben a nedvesített kerület ( K ) található. A nedvesített kerület az a kerület-



rész, amelyen a folyadék súrlódása lényeges. Ez rendszerint az a kerület-

rész, amit szilárd fal alkot. A hidraulikai átmérő, kör keresztmetszet és

teljes kitöltés esetén (ez a műszaki gyakorlatban nagyon sok esetben igaz)

a geometriai átmérővel azonos.

Téglalap keresztmetszetű csövek esetén, ha az oldalak viszonyára tel-

jesül a / 0 .5a b feltétel (vagyis a keresztmetszet nem négyzet), akkor a

Reynolds számot az alábbi, tapasztalati korrekciós tényezővel szokás

számítani:

; :

2 112 ;

3 24

HD c

Re ahol

a a

b b

(17.16)

A (17.16)-ban bevezetett, korrekciós tényező értéke 0 .1a b -nél

kereken 0.75, 0 .9a b -nél pedig 1.125. Ezek szerint a lapos téglalap ke-

resztmetszetek esetén – a sarkok okozta áramlástani problémák következ-

tében – alacsonyabb Reynolds számmal és ezzel (esetleg) magasabb cső-

súrlódási tényezővel kell számolni.

Az egyenes csövek nyomásveszteségének számításakor – különösen

rövidebb csőszakasz esetén szerepet játszhat a belépési veszteség. Ez

részben függvénye a belépő szakasz kialakításának (éles szél, vagy leke-

rekített kiképzés), részben függvénye az áramlás jellegének (lamináris

vagy turbulens). A belépési veszteséget – több, más veszteséghez hason-

lóan – az alábbi formában szokás számítani:

' 2;

2BE BE

p c a belépési veszteség tényező

(17.17)

A BE

tényező értéke lekerekítetlen belépés és lamináris áramlás esetén

akár 1.2 is lehet. Ezzel szemben turbulens áramlás és kis lekerekítés ese-

tében ez az érték 0.05, vagy még kisebb is lehet. Ezekben az esetekben ez

a veszteség a többihez képest elhanyagolható.

Az érdekesség kedvéért jegyezzük meg, hogy, a kör keresztmetszetű

csövekben kialakult, turbulens áramlás sebesség-profilja, a Reynolds

szám függvényében az alábbi módon közelíthető:



3

5

6

1 , , :

1 / 6 4 10 ;

1 / 7 1 10 ;

1 / 10 3 10 ;

n

M AXc r c r R ahol R a cső sugara és

ha Re

n ha Re

ha Re

17.2. A kontrakció és a mérőperem

A 11. fejezetben foglalkoztunk a Borda féle, éles szélű kilépő nyílás-

sal. Bevezettük ott a kilépő sugár összehúzódását jellemző,: (11.27) kife-

jezéssel definiált, elnevezésű kontrakciós tényezőt. A 11. fejezetben

tárgyalthoz hasonló az a sugár összehúzódás is, ami a fenti, 17.1 pont be-

fejező részében tárgyalt belépési veszteséghez vezető áramképet jellemzi.

A sugár összehúzódás, azaz kontrakció más esetekben is fontos lesz. Itt a

mérőperemen keresztül áramló közeg viselkedését vizsgáljuk, ahol, a 17.5

ábrának megfelelően szintén kialakul a szóban forgó, sugár összehúzódás

(kontrakció).

A 17.5. ábrán egy közelítőleg szabványos mérőperemet vázoltunk –

ebben az esetben a nyomást 2 2p és p közvetlenül a mérőperemet képe-

ző tárcsa két oldalánál kell mérni. (Természetesen a szabványos mérőpe-

rem pontos kialakítását, méreteit a megfelelő szabványból kell kiválaszta-

ni.)

A térfogat áramot jó közelítéssel az ideális közegekre vonatkozó Ber-

noulli egyenlet alapján számíthatjuk:

22 22

3 3 1 3 31 1

1

; 1 ;2 2 2

M Pp c p p cp c A

A

azaz:

1 3

3 2 2

1

2;

1

: ;

M P M P

M P

p pV A c A

m

ahol m A A

(17.18)



A fenti kifejezéssel kapcsolatban csak az a probléma, hogy a mérőpe-

remnél mért nyomások nem azonosak a (17.18)-ban szereplő nyomások-

kal. Megjegyzendő még, hogy függőleges elrendezésnél az esetleges tér-

erősség hatását (magasság különbség) is figyelembe kell venni.

17.5. ábra – Mérőperemen kialakuló áramlás

A fent említett nyomásokkal kapcsolatos problémát egy, mérésekből

származó (és a szabványban rögzített) és tényező bevezetésével old-

juk meg:

2 2

2 2

2;

1M P

V A p p

m

(17.19)

Végeredményben, a szakirodalomban szokásos kifejezést kapjuk:

2 2

2 2

2; ;

1

; ;

M PV A p p itt

m

átfolyási szám kompressziós szám

(17.20)

Az , átfolyási számot általában az átmérő viszony (1MP

d D ) és a

Reynolds szám függvényében határozzák meg. Az expanziós tényező a

mért közeg összenyomhatósága miatt szükséges, több – itt nem részlete-

zett – tényező függvénye. Amikor a közeg összenyomhatatlannak tekint-

hető (pl. folyékony folyadék vagy gáznemű közegek mérsékelt sebességű

áramlása), akkor: 1 .



A mérőperemek elhelyezhetők a 17.5. ábrán látható módon, egy, meg-

felelő csőszakasz belsejében. Gyakran alkalmazzák azonban az un. beszí-

vó mérőperemet, amely mérőperemet a csővezeték belépő keresztmetsze-

tére szerelik fel.

A mérőperemek mellett alkalmaznak un. mérőszájakat is – ezeknél a

mérő elem kialakítása a 17.6. ábrán látható módon történik.


A mérőperemeket és a mérőszájakat általában térfogatáram mérésre

használják. Itt csak a figyelmet hívhatjuk fel arra, hogy egy mérés eseté-

ben igen fontos a pontosság, illetve a mérési hiba ismerete. Megjegyzen-

dő még, hogy a térfogatáram ilyetén történő mérése állandó nyomásvesz-

teséget okoz – vagyis alaposan megfontolandó, hogy mikor célszerű ezt a

mérési módot alkalmazni.

Ebben a jegyzetben nincs mód a térfogatáram másfajta és általában a

további, egyébként igen érdekes áramlástani mérések tárgyalására. E te-

kintetben első sorban az irodalomjegyzékben felsorolt szakirodalom és

természetesen egyéb források tanulmányozását javasoljuk.

17.3. A Borda-Carnot veszteség

A csővezetékekben előfordulnak hirtelen keresztmetszet növekedések.

Ezekben nyomás-veszteség alakul ki, mert az ábra szerint balról érkező

áramlás nem képes a vezeték kontúrját követni, hanem egy örvénylő, holt

tér alakul ki. A nyomásveszteséget a17.7 ábrán vázolt helyzetnek megfe-

lelően határozzuk meg. Írjunk fel először ideális közegre érvényes Berno-

ulli egyenletet az „1”-es és „2”-es pont közé:

2 2

2 221 1 2

2 1 1 2

1 2 1 2

2 2 2

;2

id

id

pp c cp p c c

c c c c

(17.21)



17.7. ábra – A Borda-Carnot veszteség

Írjuk fel az impulzus tételt is – de ezt valóságos áramlásra. Az áramlás

valóságos voltát úgy vesszük figyelembe, hogy az ellenőrző felületen, a

hirtelen keresztmetszet növekedésnél1

p nyomást írunk elő. (Erre az ábrán

a „mérés alapján” megjegyzéssel utaltunk). Válasszuk a 17.7 ábrán látha-

tó ellenőrző felületet, ekkor:

1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2

1 2 2

2 2

;

: ;

val

val

c A c c A c p A p A A p A

p p A

itt m A c állandó

(17.22)

A valóságos nyomásnövekedés tehát:

2 1 1 2 2;

valp p c c c (17.23)

A nyomásveszteséget megkapjuk, ha az ideális nyomásnövekedésből

kivonjuk a valóságosat; ezzel a Borda-Carnot veszteség kifejezéséhez ju-

tunk:

'

2 1 2 1

2

1 2 1 2 1 2 2 1 2

2'

1 2

2 ;2 2

:

;2

id valp p p p p

c c c c c c c c c

vagyis

c cp

(17.24)

A Borda-Carnot veszteség azon alakját, amikor a kilépő keresztmetszet

(gyakorlatilag) végtelen, tehát a 2

0c kilépési veszteségnek nevezzük.



Ez a kilépési veszteség számos esetben játszik jelentős szerepet. A kilépé-

si veszteség egyébként azt jelzi, hogy az a mozgási energia, amit a közeg

a kilépésekor magával visz, elvész, nem tudjuk (egyszerűen) hasznosítani.

Másrészt utalunk itt arra a gyakorlatra, ami szerint a kilépő csővégeken

gyakran alkalmaznak diffúzort. Ennek az az előnye, hogy a kilépő sebes-

ség kisebb lesz és így a kilépési veszteség is csökken – ez elég jelentős

lehet, hiszen ez a veszteség a sebesség négyzetével arányos.

A végtelen térbe kilépő sugár szabad sugár, ezért benne a statikus

nyomás azonos a környezeti nyomással. Kilépő diffúzor alkalmazása ese-

tén a sebesség csökken, vagyis a csőben a nyomás alacsonyabb lesz, mint

a környezeti nyomás. Ez azt jelenti, hogy a kilépésnél alkalmazott

diffúzor „megszívja a rendszert”, ezzel javítja annak gazdaságosságát.

A hirtelen keresztmetszet növekedés ellentéte a hirtelen kereszt-

metszet csökkenés. Ebben az esetben is keletkezik nyomás veszteség, mert

a nyomás a fal mentén, az áramlás irányában mind az „N”, mind a „K”

pont környezetében növekszik, ez pedig, a 17.8 ábrán vázolt áramképnek

megfelelően, akár mindkét pont környezetében leválásokat okoz.

Az „N” ponttól távolabb, a belső részeken viszont az áramlás gyorsul –

ezért itt nem keletkezik jelentős veszteség. A veszteség döntő része a „K”

pont körüli leválás környékén keletkezik, főként azért, mert a belső áram-

lás itt lassul. Az áramlás az átmenetnél a Borda-Carnot veszteségnél vá-

zolt áramképhez hasonlít, abban az értelemben, hogy az 2

A keresztmet-

szettől az 2

A keresztmetszetig növekszik. Ez az áramkép egyébként a be-

lépési veszteségnél vázolt áramképhez is hasonló.

17.8. ábra – Áramkép hirtelen keresztmetszet csökkenés esetén



Közelítsük a teljes nyomás veszteséget a Borda-Carnot veszteség és

egy, egyéb nyomásveszteség összegével:

2

2 2;

2HK EGYÉB

p c c p

(17.25)

Hanyagoljuk el a továbbiakban az egyéb veszteséget. Akkor a nyo-

másveszteség kifejezése a következő módon írható:

2

2 22

2 2

2

2

2

2 1

1 ;2 2

1: 1 ;

0.6 0.4

H K H K

H K

cp c c

c

aholA A

(17.26)

A (17.26)-ból, az 2 1

A A esetben nulla veszteségtényezőt kapunk –

ennek így is kell lennie, hiszen ekkor nincs hirtelen keresztmetszet csök-

kenés. A keresztmetszet viszony növekedésével a veszteség tényező nö-

vekszik, az értéke kb. 0.444-hez tart, miközben az 1 2

/A A viszony tart a

végtelenhez.

Hangsúlyozzuk, hogy a (17.26)-ban definiált, tapasztalati alapú veszte-

ség tényező csak közelítés.

A hirtelen keresztmetszet csökkenésben fellépő veszteség nyilván na-

gyobb, mint a fokozatos keresztmetszet csökkenésben létrejövő nyomás

veszteség. Rendeljük a 17.8. ábra szerinti „1 ”-es keresztmetszethez a 1

d

átmérőt és értelemszerűen legyen a „ 2 ”-es keresztmetszetnél az átmérő

2d . A nyomásveszteség tényezőt az alábbi módon közelíthetjük:

2

2; : 0.02 0.05 ;

2K K K

p c ahol

17.4. Szelepek, tolózárak, csappantyúk nyomásvesztesége

A szelepek, tolózárak és csappantyúk (illetve ez ezekhez hasonló

egyéb szerelvények) veszteségei a Borda-Carnot veszteségre vezethetők

vissza, hiszen ezekben a szerkezetekben az áramlási keresztmetszet csök-



kenése után, rendszerint – a szerkezeti kialakítás és a nyitottság függvé-

nyében – hirtelen keresztmetszet növekedés áll elő.

17.9. ábra – Tolózárban kialakuló, áramkép vázlata

Legyen a vizsgált szerkezet esetében a lecsökkentett keresztmetszet 1

A

és legyen az itt érvényes átlag sebesség 1

c ; legyen továbbá a tovább-

áramlás (tehát az általában hirtelen megnövekedett) keresztmetszet 2

A és

az itteni átlag sebesség 2

c . Írjuk fel a nyomásveszteséget, a Borda-Carnot

veszteségből kiindulva:

2 2

1 2 2

2 2

1 2

2 2

2 2 1 2

;2 2

2 2: 1 1 ;

SZ SZEG YÉB

EG YÉB EG YÉB

SZ

p c c p c

p pc Aahol

c c A c

(17.27)

A kifejezésben szerepel a EG YÉB

p - egyéb nyomásveszteség is, mivel

ezekben a szerelvényekben nem kizárólag a hirtelen keresztmetszet növe-

kedés okoz veszteséget – jóllehet a hirtelen keresztmetszet növekedés

okozta veszteséget az esetek döntő többségében mértékadónak tekinthet-

jük. Létezik azonban olyan elzáró-nyitó szerkezet is, amelynél az egyéb

veszteségek is jelentősek. Egy-egy konkrét esetben, a tényleges szerkezet

jellemzőit kell megismerni és alkalmazni.

A (17.27) alakilag (17.17)-re hasonlít. Az un. rövid elemek esetére

egyébként szintén ilyen alakú kifejezéseket írunk majd fel, mindössze a

veszteség tényező tartalma lesz más.



A szelepek, tolózárak és csappantyúk esetén a keresztmetszet viszony

– ami igen gyakran döntő mértékben határozza meg a veszteség tényezőt

– a zárás-nyitás függvényében változik. Teljesen nyitott állapotban, jó

áramlástani kialakítás esetén (pl. gömbcsap, nyitva) ez a veszteség ténye-

ző nagyon kicsi, akár elhanyagolható is lehet. A másik véglet a teljesen

elzárt állapot, amikor is e veszteség tényező értéke végtelen nagynak te-

kintendő.

A csővezetékekben, e szerelvények előtt valamilyen (statikus) nyomás

uralkodik. A szerelvény után általában az előbbitől alacsonyabb nyomás

alakul ki. A szerelvényen áthaladó közeg a (statikus) nyomásából pont

annyit veszít, amekkora a fent említett nyomáskülönbség. Másképpen fo-

galmazva a szerelvényen áthaladó közeg sebessége akkora lesz, amekkora

sebesség esetén, az adott veszteség tényezővel számolva éppen az előírt

nyomáscsökkenés következik be. Ezért, ha a szerelvényt zárjuk és ezzel a

veszteség tényezőt növeljük, akkor egyúttal a közeg sebességét csökkent-

jük. Ez a zárás (ellenkező értelemben a nyitás) folyamata, illetve így sza-

bályozható az áramló közeg mennyisége (térfogat- vagy tömeg-árama).

Ez a fajta, ugyancsak elterjedt szabályozás alapvetően gazdaságtalan, hi-

szen a szabályozás során a közeg energia tartalmának egy része haszno-

síthatatlan módon alakul hővé.

17.5. Nyomásveszteség csőkönyökökben és ívdarabokban

Az eddig bemutatott veszteségek lényegében két okra vezethetők visz-

sza. Az egyik ok a falakon fellépő súrlódás – emiatt a közeg energiájának

egy része hővé alakul. A másik ok a leválás, a közeg energiájának egy ré-

sze ekkor is hővé alakul, de itt a súrlódásos hőképződés a közeg belsejé-

ben megy végbe. Leválást láttuk akár a Borda-Carnot veszteségnél, akár a

hirtelen keresztmetszet csökkenésnél és más esetekben is.

Az iránytörésre (hirtelen irányváltozásra) kényszerített áramlás általá-

ban leválást és ezzel, végső soron nyomásveszteséget okoz. Ez nyilvánva-

lóan kerülendő, olyan szerkezetet célszerű kialakítani, ahol a nyomás-

veszteségek a lehető legkisebbek.



17.10. ábra – Csőkönyök kialakítások

A fentiekre példa a 17.10. ábrán látható három, 90 fokos iránytörés –

könyök – kialakítás. Az „A” esetben az ábrázolt módon leválás követke-

zik be, amely elkerülhető, ha vagy terelő lapátokat alkalmazunk („B”

eset), vagy a könyök helyett nagyobb lekerekítési sugarat alkalmazunk

(„C” eset). Ennek megfelelően egy-egy csőkönyök, illetve ívdarab (akár

nem 90-fokos is) vesztesége nagymértékben függ a szerkezet geometriá-

jától.

17.11. ábra – Ívdarabban kialakuló másodlagos áramlások

A 17.11. ábrán egy ívdarab látható. Feltesszük, hogy a belépésnél a se-

besség a határrétegen kívül lényegében állandó – illetve így hasonló lehet

a 17.1 alpont végén adott valamely sebesség-eloszláshoz. Az ívdarabban a

közeg részecskéi közelítőleg körpályán mozognak, eközben elfordulnak.

A perdület megmaradásának értelmében létrejön egy, ezt a forgást ellen-

tételező forgás – így alakul ki a kilépő sebesség eloszlás.

A perdület megmaradást egyébként az örvény-tételek írják le. A Kel-

vin tétel értelmében (a megfelelő feltételek az áramlástan jegyzet 10. feje-

zetében, a (10.6) képlethez kapcsolódóan olvashatók) a cirkuláció értéke

az időben állandó. Itt ugyan valóságos közeg áramlik, de, feltételezve,



hogy a Kelvin tétel közelítőleg azért itt is érvényes, belátható, hogy az ív-

darabon áthaladó, cirkulációt (perdületet) kapó közeg erre a hatásra ellen-

cirkulációval válaszol. A sebességkép fenti alakulása tehát – kissé formá-

lisabban – így is magyarázható.

A 17.11. ábra jobb oldali rész-ábráján a 16.5 ábrához hasonló áramkép

alakul ki. Az áramkép hasonlóságának oka a fizikai hatások (köráramlás

és határréteg együttese) hasonlósága.

A fentiekben vázolt, másodlagos áramlások a közeg a saját energiájá-

ból jönnek létre, és a súrlódás hatására, tehát viszonylag nagyobb távolság

megtétele után szűnnek meg. Ez a csőkönyökben, illetve ívdarabban ke-

letkező veszteség fizikai magyarázata. A veszteség számítása a már több-

ször alkalmazott alakú kifejezéssel lehetséges:

2

2;

2K IV

p c

(17.28)

Itt csak a figyelmet hívhatjuk fel arra, hogy amennyiben egy vezeték-

ben különböző csőszerelvények követik egymást, akkor ezek egymásra is

hatással lehetnek. A tapasztalat szerint az együttes hatás számítása sok

esetben nem igazán lehetséges.

17.6. A diffúzor hatásfoka

Ebben a pontban a mérsékelt sebességű áramlásokban működő, klasz-

szikus diffúzorral foglalkozunk. A 14.3 alpontban leírt, szuperszonikus

diffúzor vizsgálata e jegyzet keretein túlmutat.

A mérsékelt sebességű áramlásokban működő diffúzor (is) egy, egy-

szerű, áramlástani gép, a feladata az, hogy a közeg kinetikai energiájának

csökkentése révén a statikus nyomást növelje. Mint ilyennek nem egysze-

rűen a veszteségét, hanem a hatásfokát szokás definiálni:

val

diff

id

p

p

(17.29)

A diffúzoroknak általában létezik egy legjobb kúpossága. Ha ennél a

kúposságnál jobban tágul a diffúzor, akkor a falai mentén növekvő nyo-



más ellenében áramló közeg a falakról leválik. A leválással járó örvénylés

megnöveli a veszteséget.

Amennyiben a diffúzor kúpossága túl kicsi, vagyis kisebb, mint a levá-

lás elkerüléséhez szükséges kúposság, akkor a súrlódási veszteségek ront-

ják a diffúzor hatásfokát. Ennek alapján állítható – amit a gyakorlatban ki

is használunk – hogy a diffúzornak van egy olyan kúpossága, (általában 0

8 10 ) aminél a hatásfoka a legmagasabb értéket veszi fel.

17.12. ábra – Diffúzor

A diffúzoron, ideális közeg átáramlása esetén bekövetkező nyomásnö-

vekedés a Bernoulli egyenlet alapján számítható:

2 2

2 1 1 2;

2id id

p p p c c

(17.30)

A diffúzoron létrejövő nyomásveszteség tehát:

'1

diff id val diff idp p p p (17.31)

A diffúzor hatásfoka – jó kialakítás esetén 75 80% közötti értéket ve-

het fel.

17.7. Összenyomható közeg kissebességű áramlása csőben

Bevezető példaként a nagy távolságra történő gáz szállítását említjük:

itt nagynyomású gázt szállítanak nagy távolságra. Másik, tipikus példa le-

het egy, sűrített levegőt szállító csővezeték. A nagy nyomás egyébként az

elektromos áram szállításhoz hasonló, ott a nagy távolságra történő szállí-

tás nagy feszültségen történik. (A feszültség különbség az elektromos

áramok tekintetében ugyanis analóg szerepet játszik, mint a tömegáramok



tekintetében a nyomáskülönbség.) A következőkben feltételezzük, hogy a

közeg hőmérséklete a szállítás folyamán (pl. a környezettel való hőcsere

következtében) nem változik, vagyis a vizsgált áramlás izotermikus lesz.

Az ilyen csővezetékekben a nyomás az abszolút nyomáshoz képest je-

lentősen (pl. több mint 10%-kal) csökken. Ezzel együtt kell csökkenjen a

sűrűség is, hiszen: .p R T állandó Ekkor, adott (állandó) tömeg-

áram esetén a sebesség nő. A következőkben a felgyorsításhoz szükséges

energiafelhasználást elhanyagoljuk – vagyis stacionárius áramlással szá-

molunk.

17.13. ábra – Csővezeték-szakasz

Feltesszük, hogy a cső átmérője is állandó. Ekkor, az itt kialakuló

áramlásban a pozitív „x” irányban a nyomás csökkenni fog.

Írjuk fel a 17.13. ábrán látható, x hosszúságú szakaszon bekövetkező

nyomásesést:

2 2

;2 2

x dxp c dp c

D D

(17.32)

A jobb oldal negatív előjele azt fejezi ki, hogy a nyomás változása va-

lóban nyomásesés! Vegyük figyelembe, hogy a tömegáram segítségével

az elemi szakaszon állandó sebesség a következőképpen írható fel:

2;

4

mc

D (17.33)

Helyettesítsük (17.33)-at (17.32)-be, illetve figyelembe véve, hogy az

általános gáztörvény szerint p R T , írható:

2 2

2 5 22

8;

2 4

m R T m R Tdp dx p dp dx

Dp D D

(17.34)



Tegyük fel, hogy a csősúrlódási tényező értéke az teljes szakaszon

állandó, és vegyük figyelembe, hogy kiinduló feltételnek szabtuk a hő-

mérséklet állandóságát, akkor (17.34) egyszerűen integrálható:

2

1

2

5 2

0

8;

p

p

m R Tp dp dx

D

(17.35)

Az integrálás végeredménye:

2 2 2 22 2

2 1 1 2

5 2 5 2

8 8;

2 2

p p p pm R T m R T

D D

(17.36)

A (17.36) segítségével egy, a kiinduló feltételeknek megfelelő csősza-

kaszon történő nyomásesés számítható. Az érdekesség kedvéért megje-

gyezzük, hogy néhány, egyszerű átalakítással (17.36) az alábbi formában

is felírható:

2 2

21 2 1

1 1 1;

2 2INK

p pp c p p

D

(17.37)

A (17.37) tehát azt mondja ki, hogy a kompresszibilis áramlás és az

inkompresszibilis áramlás nyomásvesztesége a fenti módon kapcsolható

össze. Másrészről (17.37) segítségével esetleg gyorsabban számítható ki a

nyomásveszteség, mint (17.36)-tal. Ugyanakkor (17.36) alkalmazásának

előnye, hogy több, a csőáramlást leíró fizikai jellemzőt (pl. tömegáram,

hőmérséklet stb.) explicit módon kell beírni.

A gyakorlatban előfordulhat, hogy a csőhossz értéke nagyon nagy (pl.

gázvezetéknél mondjuk 10 50 km) – ekkor a (17.36) helyett a Bernoulli

egyenlet differenciál alakjából célszerű kiindulni:

2 2 2

0 ;2 2 2

p c c dx dp c dxd c dc

D D

(17.38)

Ezek szerint, a nyomás megváltozása mellett a kinetikai energia meg-

változását is figyelembe veszzük. Ezt az egyenletet –a modern számítás-

technika segítségével – általában numerikusan célszerű megoldani, ehhez

célszerű (17.38)-at differenciaegyenletté alakítani:

2

0 ;2

p c xc c

D

(17.39)



A további számoláshoz szükség van az általános gáztörvényre. Ez

azonban, az ilyen nagy nyomásokon az un. túlösszenyomhatósági ténye-

zőt is tartalmazza:

6 8 3

; : , :

0.8903 6 10 1.9 10 290 1.08 10 ;

gp R T z ahol z z p T

z p T

(17.40)

A fenti, konkrét túlösszenyomhatósági tényező földgáz szállítása ese-

tén használatos. Más esetekben ettől különböző képletekkel is találkozha-

tunk.

Tekintsük továbbra is a földgázvezetékek esetét. Ekkor a dinamikai

viszkozitás a következőképpen számítható:

6

10.35 0.029 273 10 ;g

T

(17.41)

A dinamikai viszkozitás értéke azért szükséges, hogy az aktuális Rey-

nolds számot ki tudjuk számítani – ez pedig a csősúrlódási tényező

számításához szükséges. A további lépések részletezése nélkül, csak il-

lusztrációként mutatunk be egy példa számítás eredményét:


A 17.14. ábrán nem szerepelnek ékezetes betűk – ez sajnos a számítás-

technika egyik, nem igazán jó hozománya. A számítás egy 15 km-es, ke-

reken 0.8 m-es átmérőjű és 0.0038-as relatív érdességű vezetékre vonat-

kozik.

A belépő sebesség 10 m/s, és a belépő hőmérséklet 0 0313 40K C .

Feltettük, hogy a belépő hőmérséklet 1.5 km áramlás utánra éri el a kör-

nyezeti hőmérsékletet, ahonnan kezdve már izotermikus lesz az áramlás.

A belépő nyomás 60 bar, ez csökken az áramlás során, a kilépésnél

47.7 bar lesz. Egy esetleges kompresszorral ezt a lecsökkent nyomást kell

újra megnövelni.

Érdekes megfigyelni, hogy állandó tömegáram mellett a sebesség a ve-

zeték izotermikus szakaszán szigorúan monoton nő. Ez a nyomás és a ve-

le szorosan kapcsolódó sűrűségcsökkenés miatt van így. A belépő szaka-



szon egyébként, ahol a hőmérséklet – a hőátadásnak megfelelően – csök-

ken, a sebesség is csökken. Ugyanakkor a nyomás, természetesen az

egész hossz mentén szigorúan monoton csökken.

A (17.39)-(17.41) egyenletek (kiegészítve a konkrét csősúrlódási té-

nyezőt szolgáltató egyenletekkel) alapján széleskörűen használható nume-

rikus eljárást lehet felépíteni, ez az eljárás kiterjeszthető sok, további gya-

korlati kérdés megválaszolására is.

17.8. Összenyomható közeg nagysebességű áramlása csőben

A 17.6 pontban olyan, súrlódásos csőáramlást vizsgáltunk, ahol a

nyomásváltozás és (esetleg) a sebességváltozás szerepe volt fontos, de az

áramlási sebesség mérsékelt maradt. A numerikus példában a Mach szám

értéke 0.03 körül változott. Előfordulnak azonban kifejezetten nagysebes-

ségű, súrlódásos csőáramlások is – ezekkel foglalkozunk ebben a pont-

ban.

17.15. ábra – Ellenőrző felület csővezetékben

A vizsgálatot a megmaradási elvek alapján végezzük. Tekintsük első-

nek az anyagmegmaradás elvét. Egy, állandó keresztmetszetű csőben a

folytonosság törvénye az alábbi formában írható fel:

0 ;

d dcc állandó

c

(17.42)

Az egyenletet rögtön teljes differenciál alakban is felírtuk.



Másodszor írjuk fel az energia megmaradás elvét kifejező energia

egyenletet – fontos: ekkor a környezettel nincs hőcsere, tehát a vizsgált

áramlás adiabatikus:

2

0 ;2 1

p p

cc T állandó c d T c dc R d T c dc

(17.43)

Harmadszorra a mozgásmennyiség megmaradásán alapuló, impulzus

tételt írjuk fel. A 17.15. ábrán alapján az időegységre eső mozgásmennyi-

ség változás (17.44 képlet, felső sor, bal oldal) egyenlő a nyomásválto-

zásból származó felületi erővel (felső sor, jobb oldal, első és második tag)

és a hengerpaláston ébredő, csúsztató feszültségből származó erővel felső

sor, jobb oldal, harmadik tag:

0;c c A c c c A p A p p A D x

2

0 ;2

cc dc dp dx

D

(17.44)

A (17.44) felírásánál a térfogati erőket elhanyagoltuk, illetve áttértünk

a teljes differenciálra. Ennél az áttérésnél felhasználtuk, hogy a fali csúsz-

tató feszültség az alábbi módon írható fel:

2 2

2

0 0;

4 2 8

D cc D

D

(17.45)

Határozzuk meg először a csőhossz menti Mach szám eloszlást, az

előbbiekben bevezetett, (17.42)-(17.45), a megmaradási elveket kifejező

egyenletek alapján.

Vegyük figyelembe, hogy:

2

2;

p p p aR T és a R T

(17.46)

Osszuk el (17.44) minden tagját a nyomással és vegyük figyelembe

(17.46)-ot, ezzel:

2

20 ;

2

d c d p MM dx

c p D (17.47)

Az állapot egyenlet teljes differenciálként is felírható:

;

d p d d Tp R T

p T

(17.48)



A (17.42) folytonossági törvény segítségével küszöböljük ki (17.48)-

ból a sűrűséget, úgy, hogy a sebességet írjuk a helyére:

21 ;

d p d c d cM

p c c (17.49)

Ezt (17.47)-be visszahelyettesítve kapjuk, hogy:

2

21 0 ;

2

d c M dxM

c D (17.50)

Írjuk fel a Mach számot definiáló egyenletet, kissé más alakban:

;

cM

R T

Ezt is felírhatjuk teljes differenciálként:

1;

2

dM d c d T

M c T (17.51)

Ezzel, (17.51)-ből (17.43) felhasználásával (úgy, hogy kiküszöböljük

belőle a hőmérsékletet) az alábbi differenciálegyenlethez jutunk:

2

11 ;

2

MdM d c

M c

(17.52)

Végül, (17.50)-ből (17.52) segítségével kiküszöbölhetjük a sebességet

és eljutunk a számítás alap differenciálegyenletéhez, amelyben független

változóként már csak a Mach szám és a helykoordináta szerepel (ezzel ez

az egyenlet egyszerűen integrálható lesz):

2

3 2

1;

1 21

2

MdM dx

DM M

(17.53)

A (17.53) egyenlet fontos fizikai mondanivalót hordoz. Amennyiben a

Mach szám kisebb, mint egy, akkor a Mach szám a cső hossza mentén

előrefele (az áramlás irányába) haladva, növekszik ( 0dM dx ), hacsak

az áramlás fenntarthatóságára vonatkozó feltételek teljesülnek.

Amennyiben viszont az áramlás hangsebesség feletti, azaz a Mach

szám értéke nagyobb, mint egy, akkor a Mach szám a cső hossza mentén

előrefele (az áramlás irányába) haladva, csökken ( 0dM dx ).



Mindkét esetben határ az 1-es Mach szám: a gyorsuló áramlás ezt a

Mach számot képes elérni és – a Laval csőnél leírtak értelmében, egysze-

rű módon – nem képes túllépni. Amennyiben a cső végén a nyomás ala-

csonyabb lenne, mint ami a hangsebesség eléréséhez legalább szükséges,

akkor a cső végszakaszán, itt részletesebben nem vizsgált lökéshullám-

rendszer alakul ki.

Hasonló okokból a csökkenő Mach számú áramlás sem képes egyszerű

módon egyes Mach szám alá csökkenni – ezt az esetet sem vizsgáljuk itt.

A következőkben (17.53) zárt alakú megoldását kívánjuk megkeresni –

ehhez egy egyszerűsítő feltételt kell bevezetni: tegyük fel, hogy a cső

hossza mentén a Reynolds szám csak keveset (pl. 10 %-ot) változik és

ezért a csősúrlódási tényezőt az adott esetre vonatkozó, átlag értékkel

( : ) helyettesítjük.

Alakítsuk át (17.53)-at az alábbi módon:

3

2

1 11 1;

12 24 1

2

MdM dx

M M DM

(17.54)

Ennek az egyenletnek mindkét oldala integrálható, az eredmény:

2

2

1 1 1 1ln ln 1 ;

2 2 4 2 2

: ;

M M x CM D

ahol C integrálási állandó

(17.55)

Legyen *

x az a távolság, ahol a Mach szám eléri az egyes értéket.

Az x-csillag távolsággal (ez a jelölés hasonló a Laval cső legszűkebb

keresztmetszeténél alkalmazott jelöléshez), a szakirodalomban javasolt

módon meghatározható az integrálási állandó:

* 1 1 1

ln ;2 4 2

C xD

Az integrálási állandót visszaírva (17.51)-be, kapjuk:



22

*

2 2

11 1ln ;

2 2 1

: .

M

M

MMx x

D M M

ahol x az M M ach számnak megfelelő csőhossz

(17.56)

A fentiek illusztrálására tekintsünk egy, egyszerű példát. A számolás-

ban legyen a csőátmérő paraméter – vagyis az eredményt a csőátmérő

függvényében kapjuk majd meg.

Legyen a cső elején a Mach szám értéke 0.2 és legyen a közepes cső-

súrlódási tényező ( ) értéke 0.02. Kérdezzük, hogy (az átmérő függvé-

nyében) milyen csőhossznál éri el az áramlás a 0.8-es Mach szám értéket?

A megoldáshoz használjuk ismét a korábban már említett SCILAB

program környezetet:

//Nagysebessegu, surlodasos aramlas csoben

funcprot(0);

//Kiinduló adat

kappa=1.4;

function JOBB=jobb_oldal(kappa,M)

JOBB=(1-

M^2)/(kappa*M^2)+(kappa+1)/(2*kappa)*log((kappa+1)*M^2/(2+(kappa-

1)*M^2))

endfunction

disp(jobb_oldal(1.4,0.2),'A csohossz/atmero 0.2-tol 1-es Mach szamig:');

disp('------------------------------------------------------------');

disp(jobb_oldal(1.4,0.8),'A csohossz/atmero 0.8-tol 1-es Mach szamig:');

A számítás első lépésében az alább olvasható eredményeket kaptuk:

*

* 0.2

0.2

*

* 0.2

0.8

14.53 14.53 / 726.5 ;

0.073 0.073 / 3.65 ;

x xx x

D D

x xx x

D D

Ezek az eredmények azt jelzik, hogy mekkora az a csőhossz, amely a

0.2-es Mach számtól az 1-es Mach szám (felső sor) és a 0.8-es Mach



számtól az 1-es Mach szám (alsó sor) eléréséig tart. Nyilvánvalóan az

eredeti kérdésre a válasz a két mennyiség ismeretében:

* *

0.8 0.2 0.2 0.8

0.8 0.2

14.53-0.073 14.46 ;

: 14.46 / 723 ;

x x x x x xD D D

x xezzel

D

Megállapíthatjuk tehát, hogy a feladat feltételeinek megfelelő esetben

az áramlás a 0.2-től 0.8-ig növekvő Mach számot az átmérő 723-szoros

hosszúságú szakaszán éri el.

A példából (is) megállapítható, hogy a Mach szám növekedése a cső

elején, kis Mach számoknál lassú, a nagyobb Mach számok felé haladva

pedig egyre rohamosabb.

Csak utalunk arra, hogy a szemléltető példához hasonló feladat megol-

dása adott Mach szám esetén igen egyszerű. Ellenkező értelemben viszont

– amikor a Mach szám hosszúság szerinti változására vonatkozik a kérdés

– kicsit nehézkesebb a megoldás.

A következő lépésben határozzuk meg a nyomás változását, szintén a

Mach szám függvényében. Induljunk ki a (17.49) egyenletből és vegyük

tekintetbe (17.52)-t is, akkor az alábbi egyenletet kapjuk:

2

2

1 1;

11

2

Md p d M

p MM

(17.57)

Vizsgáljuk a /dp dM deriváltat. A szögletes zárójelbeli szám mindig

pozitív. Ebből megállapítható, hogy a nyomásváltozás és a Mach szám

változásának előjele ellentétes: ha a Mach szám nő, a nyomás csökken, és

ha a Mach szám csökken, akkor a nyomás növekszik. Például, csökkenő

nyomás, tehát gyorsuló áramlás esetén a nyomáscsökkenés fedezi a gyor-

suláshoz és a csúsztató feszültség legyőzéséhez szükséges munkát.

Az integráláshoz alakítsuk át (17.57) jobb oldalát:



2

1

1 2 ;1

12

Md p

dMp M

M

(17.58)

Mindkét oldalt integrálva kapjuk, hogy:

21 1

ln ln ln 1 ;2 2

p M M C

(17.59)

Az integrálási állandót – az előző esethez hasonlóan – válasszuk az

alábbi módon:

*

*

1 1ln ln 1 ;

2 2

, 1 .

C p

legyen p p az M nél

Vagyis az integrálási állandót úgy választottuk meg, hogy az M=1-nél

érvényes, korábban kritikusnak nevezett nyomást adjuk meg. Így kaptuk

(17.59)-ből az integrálási állandót.

Végeredményben a nyomás, mint a Mach szám függvénye, a követke-

zőképpen írható:

* 2

1 1;

2 1

Mp

p M M

(17.60)

A Mach szám és a csőhossz vizsgálatánál bevezetett, igen egyszerű fe-

ladatot folytatva kiszámítható a következő két nyomásviszony:

*

0.2 0.8 0.8 0.8

* * *

0.2 0.2

5.46 , 1.29 , 0.24 ;p p p p p

p p p p p

Vagyis, a korábbi példában, miközben a közeg 0.2-ről 0.8-es Mach

számra gyorsul, a gyorsulás és a súrlódás miatt a nyomása kereken a ne-

gyedére csökken.

A feladattal kapcsolatban megjegyzendő, hogy a számítás pontosan

akkor helytálló, ha a nyomáscsökkenés éppen a szükséges mértékű. A

gyakorlatban több, ettől különböző eset is előfordulhat – tényleges, gya-

korlati feladat megoldásakor ezekre a körülményekre oda kell figyelni.



Izotermikus áramlás csőben

Az előbbiekben az adiabatikus esetben létrejövő viszonyokat vizsgál-

tuk. Ez a feltételezés annál jobb, minél kisebb a hőcsere – például, minél

rövidebb a cső, vagy gyorsabb az áramlás.

A gyakorlatban többször előfordul, hogy a közegnek elegendő ideje

van a környezettel történő hőcserére, és ezért feltételezhető, hogy a közeg

hőmérséklete nem változik – azaz az áramlás izotermikus lesz. Ekkor a

(17.48) az alábbi formában írható:

, . ;

d p dp R T T áll

p

(17.61)

Ekkor, felhasználva (17.47)-et, illetve figyelembe véve a folytonosság

törvénye alapján kapott (17.42)-t, írhatjuk:

3

2;

2 1

dM M

dx D M

(17.62)

Megállapíthatjuk, hogy ebben az esetben, ha tejesül a 1M felté-

tel (vagyis 1.4 1 / 0.85 ), akkor „x” növekedésével kb. 0.85-ös

Mach számig növekszik a Mach szám. Illetve Ennél nagyobb Mach szá-

mok esetében a 0dM dx reláció teljesül, azaz „x” növekedésével a

Mach szám csökken.

Állandó csőkeresztmetszet és csősúrlódási tényez esetén irható, hogy:

2

3 3

1;

2 2

M dM dMdM dx dx

M D M M D

(17.63)

Integráljuk (17.63) jobb oldali alakjának mindkét oldalát:

2ln ;

2 2

MM x C

M D

(17.64)

Az állandó kiszámításához (a korábbi *

x -hoz hasonlóan) definiáljunk

egy segédváltozót: nevezzük T

x -nek azt a hosszúságot, ahol a Mach szám

éppen eléri az 1 / értéket. Ezzel az állandó értéke:

1 1ln ;

2 2T

C xD



Ezzel a (17.52)-höz hasonló végeredményre jutunk:

2

2

2

1ln ;

: .

T M

M

Mx x M

D M

ahol x az M M ach számnak megfelelő csőhossz

(17.65)

A nyomás Mach számtól való függését szintén a korábbihoz hasonló –

de természetesen egyszerűbb – módon számíthatjuk. A hőmérséklet ál-

landósága miatt a hangsebesség állandó, ezért (17.42)-ből kiindulva,

(17.62)-t figyelembe véve írható, hogy:

0 ;

d dc d dM dp dM

c M p M

(17.66)

(17.66) harmadik rész kifejezését integrálva kapjuk, hogy:

ln ln ;p M C (17.67)

Legyen T

p a nyomás ott, ahol a Mach szám éppen eléri az 1 / érté-

ket, akkor a végeredmény:

1;M

T

p

p M (17.68)

Ez a képlet (17.60)-hoz hasonló (csak a jobb oldal lényegesen egysze-

rűbb) – az alkalmazása is az ott tárgyalt példának megfelelően lehetséges.

A feladattal kapcsolatban itt is megjegyzendő, hogy a számítás ponto-

san akkor helytálló, ha a nyomáscsökkenés éppen a szükséges mértékű.

Mintafeladat

Ebben, a 17. fejezetben igen sok, fontos anyagrész van, amelyek elsa-

játításához külön-külön kell feladatokat, ha csak lehet, önállóan megolda-

ni. Itt egy olyan alap-faladatot mutatunk be, amely feladat (vagy hozzá

nagyon hasonló feladatok) a tantárgy számonkérésekor gyakran szerepel.

Számos, további, hasonló jellegű példa található a [7] példatár a 15. „Súr-



lódásos áramlás csőben” c. fejezetében és a 16. „Súrlódásos áramlás tes-

tek körül” c. fejezetében.

Feladat: meghatározandó a 17.6 ábrán látható csővezetékben kialaku-

ló térfogat-áram és a vízfelszín csőtengelytől mért magassága.


Megoldás: a feladat megoldásához szükséges kiinduló adatok a 17.16

ábráról leolvashatók. A megoldás a kiterjesztett Bernoulli egyenlet (17.1)

stacionárius áramlásra vonatkozó alakjának segítségével kereshető meg.

Írjuk fel ezt az egyenletet először az ábrán is látható „1”-es és „2”-es pont

közé:

2 2 '

1 2 1 2

1 22 2

víz víz víz

c c p p pU U

(17.69)

Elemezzük a (17.69) egyenlet egyes tagjait. Tekintsük először a két

sebességet. Ezek között a folytonosság törvénye teremt kapcsolatot:

2 2

1 1 2 2 1 2 1 2. 4

vízc A c A m ert áll c d c D c c

A két potenciál – feltéve, hogy a két pont egyforma magasságban van

– értéke azonos. Ezek egymást kiejtik, a következőkben nem számolunk

velük.

Határozzuk meg ezután a statikus nyomások különbségét. Feltesszük,

hogy a csőben lévő magasságváltozás hatása elhanyagolható. A 17.16. áb-

rán látható, „U” csöves nyomásmérő tehát a keresett statikus nyomások

különbségét méri. A hidrostatika fejezetben leírtak szerint számíthatjuk ki

ezt a nyomás különbséget:

1 212600 9.81 0.02 2472

higany vízp p gh Pa

Ki kell még számítani az 1-es és 2-es pont közötti, súrlódásból szárma-

zó nyomás-veszteséget. Ez három részből tevődik össze: az első a kisát-

mérőjű, egyenes cső nyomásvesztesége, a második a diffúzor nyomás-

vesztesége és a harmadik a nagyátmérőjű, egyenes cső nyomásvesztesége:



2 2 2 2'

1 1 1 2 2 2

1 21

2 2 2d

L c c c L cp

d D

Helyettesítsük be ezeket a részeredményeket a kiterjesztett Bernoulli

egyenletbe, és a folytonosság törvényének alapján kapott eredmény sze-

rint küszöböljük ki a 1

c sebességet:

2 2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2

1 2

16 16 161

2 2 2 2 2d

víz

c c p p L c c c L c

d D

Ebben az egyenletben már csak a „2”-es pontbeli sebesség az ismeret-

len. A kifejezés egyszerűbbé tétele érdekében vezessük be a következő,

összefoglaló mennyiséget:

1 2

1 2

16 15 11

2 2 2

2 16 15 5 10.03 1 0.82 0.032 53.35

0.01 2 2 0.02 2

d

L LA

d D

Ezzel:

2

2 27.5 53.35 2472 1000 0.232c c m s

A térfogat-áram pedig:

2 2 3

24 0.02 4 0.232 0.000073V D c m s

A második kérdés a „H” magasság értéke. Ennek számítására ismét a

kiterjesztett Bernoulli egyenletet használjuk, de most a „2”-es pont és a

„felszín” (jele: 0) pont közé felírva:

2 2

0 02 2 2

02 2

víz víz víz víz

p pp c cpU g H

A fenti egyenletben, veszteségként már csak a kilépési veszteséget kell

szerepeltetni. Innen a keresett magasság egyszerűen számítható:

2 0

100001

1000 9.81víz

p pH m

g

Vagyis a csőtorkolat középvonala a szabad vízfelszín alatt, mintegy 1

méteres mélységben helyezkedik el.


18. Testek körüli áramlások

A test körüli áramlásnak az olyan áramlást nevezzük, amikor a szóban

forgó testet egy elvileg végtelen folyadéktér veszi körül és vagy a folya-

dék, vagy a test, esetleg mindkettő mozog. Ez utóbbira példa egy repülő-

gép, amely mozgó levegőben (pl. turbulens atmoszféra) repül.

Áramlástani szempontból, számunkra csak az egymáshoz képesti moz-

gás az érdekes – a következőkben, amint azt a cím is jelzi, úgy tekintjük,

hogy a közeg áramlik a test körül. Erre egy gyakorlati példa lehet egy un.

szélcsatorna, ahol a szélcsatornában létrehozott (mesterséges) légáramlás-

ban valamely testet (modellt) vizsgálunk. A testek körül kialakuló áram-

lás áramképét általában a testhez kötött rendszerben vizsgáljuk.

A testek és az áramló közegek között többféle kölcsönhatás is kelet-

kezhet: a mi szempontunkból a legfontosabb az erőhatás és esetenként a

hőátadás. Az erőhatások a test felületén jelentkező nyomás- és csúsztató

feszültség eloszlás eredményeképpen állnak elő. Ezt a felületi erőt az első

részben, a feszültség tenzor segítségével definiáltuk és az (1.3) kifejezés-

sel írtuk le.

A „test” egy általános kategória – ide sorolhatóak például – sok más

között – a járművek is. A testek lehetnek áramvonalasak és nem áramvo-

nalasak. De az áramvonalasság relatív: bizonyos megfúvási (áramlási)

irányok esetén a test lehet áramvonalas, más megfúvási irányok esetén

pedig ugyanaz a test esetleg már nem áramvonalas. A nem áramvonalas

testeket esetenként tompa testnek is nevezik.

18.1. Tompa testek

Tompának nevezünk egy testet, ha az nem áramvonalas, azaz a közeg a

testet csak úgy képes körüláramolni, hogy eközben leválások (leválási

zónák) keletkeznek. Tipikus példa tompa testre egy épület, egy híd, eset-

leg egy kémény stb.



Tompa testek esetében a testre döntő mértékben ellenállás erő hat,

amely legnagyobb részben a felületi nyomáseloszlásból származik. Ez azt

jelenti, hogy a csúsztató feszültség szerepe ebben az esetben kicsi, néha

elhanyagolható. Az ellenállás erő egyébként a testet érő áramlás sebessé-

gének egyenesén fekszik, értelme a testhez kötött koordináta rendszerben

az áramlási sebesség értelmével megegyező.

A tompa testek közül kiemelten fontos a henger és a gömb. A henger

körüli, ideális közeg esetében kialakuló áramlással már korábban foglal-

koztunk (9. pont, (9.10) – (9.13) összefüggés). A henger körül ideális és

valóságos viszonyok között kialakuló áramlás nyomás-eloszlása – nyo-

más tényezője – látható a 18.1 ábrán.

18.1. ábra – Henger körüli áramlás nyomáseloszlása

A valóságos áramlásban kialakuló nyomástényező eloszlás lényegesen

különbözik az ideális közeg esetén alakuló nyomástényező eloszlástól. Ez

a különbség első sorban a henger megfúvással ellentétes, hátsó oldalán je-

lentkezik: a valóságos közeg a hengert nem tudja tökéletesen körülára-

molni, a henger mögött örvényes leválási zóna alakul ki.

18. TESTEK KÖRÜLI ÁRAMLÁSOK 95


Az ebben a zónában kialakuló örvényeket Kármán féle örvénysornak

nevezik – ezek az áramlástan és aerodinamika számos területén bírnak

rendkívül nagy jelentőséggel.

Valóságos közeg henger körüli áramlása esetén, amikor az áramlási

sebesség, azaz a Reynolds szám kicsi, a henger körül, a belépő

torlóponttól induló, lamináris határréteg alakul ki. Ez a határréteg csak kis

energiatranszportra képes, ezért hamar leválik. Ez kb. 0

80 körülfogási

szöget jelent, a leválás kb. itt következik be. Ezután, a fennmaradó ív

mentén levált, örvényes zóna áll elő, ahol a nyomás alacsony. Ezt mutatja

a 18.1. ábra „ Re ReKR

”-val jelölt görbéje.

Nagyobb, pontosabban a kritikusnál nagyobb Reynolds szám esetén a

lamináris után a turbulens határréteg is létrejön. A turbulens határrétegbe-

li jelentősen nagyobb energiatranszport jóval későbbi (kb. 0

120 ) le-

válást jelent. Emiatt, ebben az esetben a nyomáslefutást jellemző görbe (

Re ReKR

) sokkal közelebb halad az ideálishoz. Ez azt jelenti, hogy a

henger (gömb) ellenállása a kritikus Reynolds szám elérésekor hirtelen

lecsökken, hiszen ilyenkor a henger (gömb) mögötti örvényes zóna – ahol

a nyomás alacsony, tehát nagy ellenállást kelt – hirtelen szűkebb lesz. Ez-

zel nyilvánvalóan együtt jár az ellenállás csökkenése is.

Ezt a tényt, hogy ti. a tompa testeknél, turbulens határréteg esetén az

áramlás később válik le, ezért az ellenállás kisebb lesz, sok gyakorlati

esetben ki is használjuk. Tipikus példa erre a golflabda esete: ennek a fel-

színét úgy alakítják ki, hogy a határréteg a lehető legkorábban turbulens

legyen – ezért az ilyen labda azonos impulzus hatására messzebbre repül

(egyes esetekben akár 75%-kal messzebbre), mint egy olyan, amelynek a

sima felületén nem alakul ki turbulens határréteg.

A testek körüli áramlások vizsgálatakor sok, érdekes kérdés merül fel.

Az egyik ezek közül a nyomás és a csúsztató feszültség eloszlása a test fe-

lületén. Az (1.3) kifejezést a szóban forgó test felülete mentén integrálva

a testre ható eredő erőt kapjuk:

A

= R Π dA (18.1)

Ennek az erőnek általában két, egymásra merőleges összetevőjét szo-

kás vizsgálni: az egyik a zavartalan áramlás irányába eső ellenállás-erő, a



másik az arra merőleges felhajtóerő. Az ellenállás erőt az ellenállás té-

nyező (e

c ) segítségével szokás felírni.

Az ellenállás tényezőt pl. (szélcsatorna) mérés alapján lehet meghatá-

rozni; megmérjük a vizsgált testen keletkező ellenállás erőt, majd ezt az

erőt elosztjuk a zavartalan áramlás sebességével számított dinamikai

nyomás és a test áramlásra merőleges, legnagyobb keresztmetszeti felüle-

tének (M

A ) szorzatával:

2

; :

2

E

e e

M

Fc itt c az ellenállás tényező

c A

(18.2)

A 18.2. ábrán a henger és a gömb ellenállás tényezője látható, a Rey-

nolds szám függvényében. A görbék csak jellegre helyesek, azokról

számértéket számolás céljából használni nem szabad. Mindkét görbén lát-

ható egy-egy, kritikusnak nevezett Reynolds szám, amelynél az ellenállás

tényező értéke hirtelen lecsökken. Ez a már korábban említett, turbulens

határréteg megjelenés miatti körülfogási szög növekedés következménye.

18.2. ábra – Henger és gömb ellenállás tényezője

Az ábrán látható görbék összenyomhatatlan közegre vonatkoznak.

Nagy sebesség (nagy Mach szám) esetén megjelenik a hullám ellenállás,

ami a görbék menetét jelentősen megváltoztatja.

A gömb esetében, teljesen turbulencia-mentes áramlásban ennek a kri-

tikus Reynolds számnak az értéke: 5

3.85 10 . Ennek a kritikus Reynolds

számnak a segítségével szokás a turbulencia faktort definiálni:



53.85 10

R ekrM ÉRT

tf

(18.3)

A fenti kifejezés nevezőjében az a kritikus Reynolds szám található,

amelyet a minősíteni kívánt áramlásban mérhetünk. Ez legfeljebb egyen-

lő, de általában kisebb, mint a turbulencia-mentes áramlásban adott érték

– ami a tört számlálójában található. A mért kritikus Reynolds szám annál

kisebb, minél turbulensebb a vizsgált áramlás. Így, a turbulensség növe-

kedésével a turbulencia faktor értéke is növekszik.

A járművek esetében általában valamilyen értelemben áramvonalas ki-

alakításra igyekeznek. Speciális megfúvási viszonyok esetén ugyan kelet-

keznek leválások is, de a járművekkel kapcsolatos néhány, bevezető jel-

lemzőt mégis az áramvonalas testek kapcsán ismertetünk.

18.2. Áramvonalas testek – a szárnyprofil

A tompa testek ellentéte az áramvonalas test. A tompa testek körüli

áramlásban jellemzően légellenállás jön létre, mely mérsékelt sebességű

áramlásban döntően az alakellenállás. Ez az ellenállás alapvetően a nyo-

máskülönbség miatt áll elő, a csúsztató feszültség szerepe kicsi.

Az áramvonalas testek esetében az alakellenállás általában (amikor a

test a tervezett, vagy a tervezetthez közeli irányból kapja a megfúvást) ki-

csi, e testek ellenállásának döntő része – mérsékelt sebességű áramlásban

– a súrlódási ellenállás. Nagysebességű áramlásban megjelenik a hullám-

ellenállás is, a hullámellenállás alapvetően nyomáskülönbség keletkezése

miatt áll elő. Ebben a jegyzetben a hullámellenállással, annak speciális

volta miatt nem foglalkozunk.

Az áramvonalas testek esetében, a fentiek miatt, a szakirodalom nyo-

mán az ellenállás tényezőt az áramlás által súrolt felülettel arányos, un.

vetületi felülettel (S

A ) szokás számolni:

2

; :

2

E

e e

S

Fc itt c az ellenállás tényező

c A

(18.4)



Az áramvonalas testekre a járműgépészetben legjellemzőbb példa a

mérsékelt sebességű áramlásokban alkalmazott szárnyprofil. A szárnypro-

fil jellemzői a 18.3. ábrán láthatók. A szárnyprofilt rendkívül sokfelé al-

kalmazzák – a legfontosabb sajátossága az, hogy az áramlás irányába eső

ellenálláshoz képest (igen) nagy, az áramlásra merőleges felhajtó erőt hoz

létre.

18.3. ábra – Szárnyprofil

Egy áramvonalas testre – pl. szárnyprofilra – ható felhajtó erő méréssel

vagy számítással határozható meg. A felhajtóerő tényezőt az ellenállás té-

nyezőhöz hasonló módon definiáljuk:

2

; :

2

F

f f

S

Fc itt c a felhajtóerő tényező

c A

(18.5)

Az erőtényezők sora tovább folytatható (pl. oldalerő és oldalerő ténye-

ző) és a fentihez hasonlóan többféle nyomatéki tényezőt is szokás defini-

álni.

A következőkben a mérsékelt sebességű áramlásban működő szárny-

profilon előálló felhajtóerő keletkezésének folyamatát mutatjuk be.

(A nagysebességű, szuperszonikus áramlásban keletkező felhajtó erőről a

14. fejezet 14.3 potjában már volt szó.)

Helyettesítsük a szárnyprofilt a vázvonalával (18.4 ábra). Azt mond-

hatjuk, hogy a szárnyprofil helyettesítő, ívelt lap a körülötte áramló leve-

gő sebességének irányát változtatja meg. Az irányváltozás, az áramvona-

lak görbületén keresztül nyomásváltozáshoz vezet. A görbült áramvona-

lak mentén ugyanis az itt fellépő centrifugális erő hatására a nyomás a



görbületi középponttól kifele haladva növekszik. Így alakul ki a vázvonal

(profil) alatti nyomásnövekedés (0 A

p p ), amikor a közeg a környezeti

nyomásról indulva a vázvonal alsó részét megnövekedett nyomással éri

el. Illetve hasonló módon áll elő a vázvonal feletti nyomáscsökkenés (

0 Fp p ) is. Azt mondhatjuk, hogy a nyomás a vázvonalra merőlegesen,

a görbületi középponttól kifele haladva majdnem mindig szigorúan mono-

ton nő – csak a vázvonal helye a kivétel, ahol a nyomás ugrásszerűen

csökken. Ez a nyomásugrás – természetesen – csak úgy lehetséges, hogy

az áramlást a vázvonal (profil) szilárd felületként két részre osztja.

18.4. ábra – A felhajtóerő keletkezésének folyamata

A felső nyomáscsökkenés következében felül a helyi sebesség megnő;

alul, a nyomásnövekedés miatt pedig lecsökken. E nyomáskülönbség

alapján előálló sebesség-különbségnek a felhasználásával számítható a

cirkuláció, ahol az integrálban használandó zárt görbe a vázvonalat (pro-

filt) körülvevő, zárt görbe:

c ds ; (2.13)

Emiatt, az általában nem nulla cirkuláció – vagy örvény – miatt neve-

zik a szárnyprofilokból felépített lapátokkal ellátott áramlástani gépeket

örvénygépnek. A profil hatásának cirkulációval történő modellezése –

igen nagyvonalúan – a 18.5 ábrán látható.

Az alapáramlás és egy (a gyakorlati számításokban több, esetleg meg-

oszló) örvény sebességterének összege olyan eredő sebességtérre vezet,



ahol a profilhoz (vázvonalhoz) közeledve megkapjuk a felső oldali sebes-

ségnövekedést és az alsó oldali sebességcsökkenést. Illetve a profiltól

(vázvonaltól) távolodva a sebesség a zavartalan áramlás sebességéhez

tart, vagyis ekkor a nyomás értéke is tart a környezeti nyomás értékéhez.

Az ilyen elven felépített, numerikus modelleket a szakirodalomban felüle-

ti örvény-panel módszereknek nevezik, ezeket a profilok egyszerű nume-

rikus számítására (igen elterjedten) használják.


A 18.4. ábrán, a kilépésnél megfigyelhető, hogy a kilépő sebesség

ugyan közel érintőleges, azonban a felső oldalról érkező közeg sebessége

nagyobb, mint az alsó oldalról érkezőé. Vagyis a profil nyomában egy un.

nyíró-réteg alakul ki. Ebben a rétegben a felső áramlás sebessége fokoza-

tosan csökken, miközben a nyomás növekszik; az alsó áramlás sebessége

pedig fokozatosan nő, miközben a nyomás csökken. Ez végeredményben

azt okozza, hogy a profil mögötti áramvonal (nyom) tovább görbül lefele.

Így alakul ki az a helyzet – amihez hasonlót a légcsavarnál már bemutat-

tunk – hogy a vázvonaltól (profiltól) távolabbi indukált sebesség kb. két-

szer akkora lesz, mint a közvetlenül a vázvonalnál (profilnál) adódó indu-

kált sebesség.

Ebben a nyíró rétegben a jelentős csúsztató feszültség hatására – aho-

gyan azt a határrétegnél már korábban bemutattuk – jelentős turbulencia

is keletkezik.

A profilok legfontosabb tulajdonságaként azt jelöltük meg, hogy ezek

kis ellenállás árán nagy felhajtóerőt képesek létrehozni. A (18.4), illetve

(18.5) összefüggésekkel definiáltuk az ellenállás, illetve a felhajtóerő té-

nyezőt. E két tényező viszonya számszerűen is megmutatja, hogy a profil

„mennyire jó”. Definiáljuk először a siklószámot:

e f

c c ; (18.6)

A siklószám annál jobb, minél kisebb az értéke. Csak megjegyezzük,

hogy a siklószám az elnevezését onnan kapta, hogy megmutatja: egység-

nyi magasságból milyen távolságra siklik egy (vitorlázó) repülőgép. Va-

gyis a siklószám korrekt megnevezése mondjuk 1:25. A gyakorlatban a

kifejezésből az egyes elmaradt és gyakran mondják – pontatlanul! – hogy

a siklószám 25.



Más iskolákban az aerodinamikai jóságot (minőséget) definiálták:

1f e

K c c ; (18.7)

Az aerodinamikai minőség éppen a siklószám reciproka – annyi, mint

a pontatlanul megnevezett siklószám (példaként mondtuk a 25-öt). A

konkrét siklószám, vagy aerodinamikai minőség érték egy-egy konkrét

profil valamely működési állapotában a profiljellemzők ismeretében hatá-

rozható meg. Nagyon jó profiloknál az aerodinamikai minőség 100-120-

as értéket is elérhet.

A profilok működését jellemző, legfontosabb változó az állásszög (

értelmezése a 18.3. ábrán látható).

18.6. ábra – Felhajtóerő és ellenállás tényező az állásszög függvényében

A felhajtóerő és az ellenállás tényező az állásszög függvényében 18.6

ábrán látható. A felhajtóerő tényező sokáig az állásszöggel arányosan vál-

tozik, majd amikor az értéke túl nagy lesz és az áramlás már nem tudja

követni a profil kontúrját (leválás kezdődik), akkor, egy maximális érték

után erősen csökkenni kezd. Ezt a maximális felhajtóerő tényezőt éppen a

kritikusnak nevezett állásszögnél kapjuk. Az ellenállás tényezőnek van

egy minimális értéke, ettől balra és jobbra egyaránt növekszik.



A 18.6 ábrán egy, szélkerekek számára kifejlesztett, S809 elnevezésű

profil erőtényezői láthatók. A szélkerekek – amint azt már kifejtettük –

viszonylag alacsony sebességeknél, ezért kis Reynolds számoknál mű-

ködnek. Ezért számukra speciális profilokat fejlesztenek ki. A felhajtóerő

tényező és az ellenállás tényező alapvetően a Reynolds számtól és nagy

sebességű áramlások esetén a Mach számtól függ.

A 18.6 ábrán egy, meglehetősen kis állásszög tartományt tüntettünk

csak fel. Nagyjából ez az állásszög tartomány az, amit pl. a repülésben

(általában) használnak. Ezért nagyon sok szárnyprofil esetében csak ilyen

tartományban végeznek méréseket. Példának okáért azonban a szélkere-

kek vagy a helikopter rotorlapátok profiljainak esetében a teljes szögtar-

tomány fontos.


A 18.7 ábrán az S809-es elnevezésű profil jellemzőit tüntettük fel, de a

teljes (-180 – 180 fok) szögtartományban. Az ábráról látható, hogy a fel-

hajtóerő tényező értéke az átesés után akár kissé vissza is növekszik, il-

letve a megfelelő állásszögeknél (kb. 90 fok felett, illetve kb. –90 fok

alatt) előjelet vált. Az ellenállás tényező pedig – éppen az előbb említett

előjelváltási állásszögeknél – igen nagy értéket ér el. A legnagyobb ellen-

állás tényező a legnagyobb felhajtóerő tényezőnél lényegesen nagyobb.

Ilyenkor persze, a profil egyáltalán nem áramvonalas, sokkal inkább az

áramlásra merőlegesen álló testként, tompa testnek bizonyul.

A gyakorlatban rendkívül sokféle profil ismert, és napjainkban is egyre

újabb profilokat fejlesztenek. E sokféle profilból, például a repülésben

ismertek a NACA, az ONERA, a RAF stb. profilok. E profilok adatai un.

profil-katalógusokban találhatók meg. (Ilyen pl. a NACA – National

Advisory Committee for Aeronautics – 824-es „Report”-ja, amely 1945-

ben jelent meg és a „Summary of Airfoil Data” címet viseli).

A legjobb siklószám (melynek értéke annál jobb, minél kisebb) válto-

zását a Reynolds szám függvényében, egy profil, ívelt lap és síklap eseté-

ben a 18.8. ábra mutatja. Látható, hogy van egy Reynolds szám interval-

lum, ami alatt célszerűbb síklapot vagy ívelt lapot alkalmazni; illetve efe-

lett a profil alkalmazása előnyösebb.




Erre láthatunk példát amikor a kisméretű gépek esetében (pl. procesz-

szor-hűtő ventilátor, porszívó járókerék, esetleg kis hűtőventilátor lapát) a

lapátot ívelt lapból képezik ki. Nagyobb gépeknél viszont (vastag) profi-

los lapátokat alkalmaznak.

A szárnyprofilok működését kétdimenziós, vagyis síkáramlásban vizs-

gáltuk. Sok, érdekes, itt nem vizsgálható kérdés merül fel akkor, ha az

áramlást három-dimenziósnak kell tekinteni – ilyen pl. a véges szárny

problémája. Hasonlóképpen sok fontos és érdekes probléma adódik a na-

gyobb sebességű, összenyomható áramlásokban. Csak megemlítjük, hogy

minden eddigi ismeretet időben állandó áramlásra mondtunk ki. Az idő-

ben változó áramlásokban keletkező felhajtóerő, ellenállás és nyomaték

számítása mind a mai napig komoly nehézségeket okoz.

18.3. Járművekre ható közegerők

A járművek több osztályba sorolhatók, ennek megfelelően igen szerte-

ágazó ismeretanyag vonatkozik rájuk. Ebben a jegyzetben csak néhány,

egészen egyszerű területtel foglalkozunk.

18.9. ábra – Gépjárműre ható erők

A 18.9. ábrán egy személyautót tüntettünk fel – az ábrával azonban ál-

talánosabb a mondanivalónk: egy járműre, általában hat ellenállás erő (e

F ),

felhajtó erő (f

F ) és oldalerő (o

F ) és, természetesen hatnak a megfelelő

tengelyek körüli nyomatékok. Ezek szerepe az egyes járműveknél erősen

különböző. A repülőgépeknél például minden erő és nyomaték ismerete



szükséges. Ezzel szemben pl. a vasúti járműveknél a légáramlás (szél)

következtében keletkező aerodinamikai felhajtó erővel, annak igen kis ér-

téke miatt, senki sem foglalkozik. Mivel mind a hajókkal, mind a repü-

lőkkel foglakozó szakirányok igen részletesen tárgyalják a speciális áram-

lástani kérdéseiket, azért itt ezekkel a járművekkel tovább nem foglako-

zunk.

A megfelelő erőket (rendre ellenállás erő, felhajtó erő és oldalerő) a

(18.2) szerint definiált erőtényezőkkel számíthatjuk:

2 2 2

; ; ;2 2 2

e e M F f M o o MF c c A F c c A F c c A

(18.8)

A (18.8)-ban M

A -mel jelzett, legnagyobb metszeti felületet – vázlato-

san – feltüntettük a 18.9 ábrán: ez a gépjárművet derékban kettészelő fe-

lület.

A közegellenállás, pontosabban a minél kisebb közegellenállás minden

járműnél igen fontos: a kerékpároknál, a motorkerékpároknál, az autók-

nál, a vonatoknál, a hajóknál, a repülőknél és így tovább. Csökkentésére

az áramvonalas formák és a sima felületek, átmenetek alkalmazása a leg-

inkább elterjedt módszer. A személygépkocsik ellenállás tényezője általá-

ban 0 .3 1 .5 értékek között változik – a magasabb értékek a kevésbé

áramvonalas, régebbi kialakítású személyautókat jellemzik. Az autóbusz-

ok ellenállás tényezője általában 0.4 0.8 értékek között változik. A te-

hergépjárművekre általában a 0 .8 1 körüli légellenállás tényező jellem-

ző. A kerékpárok légellenállás tényezője változó, nagymértékben függ a

kerékpár kerekeinek kialakításától és a kerékpározó személy testtartásától

és öltözetétől. A kerékpárok és motorkerékpárok légellenállás tényezője

általában 0.6 0 .7 között változik. Egy mozdony légellenállás tényezője

pl. 0.4 0 .6 körüli érték lehet.

Az oldalerő tényező nagysága esetenként az 1-es értéket is elérheti, és

erősen függ az oldaláramlás szögétől. A felhajtóerő tényező értéke általá-

ban 0 .1 0 .3 között változik – erősen függ a jármű kialakításától. Egyes,

speciális esetekben megfordított szárnnyal létrehozott, negatív felhajtó-

erővel csökkentik az eredő felhajtóerőt. A repülőgépekkel és a hajókkal itt

nem foglalkozunk – mindössze megjegyezzük, hogy a hajók esetében a

légellenállásnál sokkalta nagyobb és általában fontosabb a víz ellenállása.

A közegellenállás azonban összefügg más erőkkel: az áramvonalas

alak akár egészen kis közegellenállást is eredményezhet, de ennek az az



ára, hogy ilyenkor a járművön keletkező felhajtóerő megnövekedhet. A

személygépjárműveknél például egy első lépésben kialakított, igen áram-

vonalas kialakítást szokás lerontani addig, hogy az ellenállás még ne le-

gyen túl nagy, miközben a felhajtóerő már nem akkora, hogy jelentősen

rontsa a nagy sebességgel haladó jármű úthoz tapadását.

Hasonlóképpen fontos az oldalerő is, amely – a 18.9. ábra szerint – ak-

kor keletkezik, ha a jármű a megfúvást oldalról is kapja. Az ábrán ezt je-

leztük a szöggel. Személygépjárműveknél az oldalerő változása lehet

nagyon fontos – pontosabban fontos, hogy a változó megfúvási irány ese-

tén minél kisebb oldalerő változás következzen be. Ez lehet az a helyzet,

amikor például oldalszeles úton haladva egy nagy tehergépjármű mellett

haladunk el: ilyenkor a szélárnyékba bekerülve és abból kikerülve egya-

ránt érezhető oldalerő hathat a személygépjárműre. A kerékpárok és mo-

torkerékpárok esetében a helyzet hasonló. A hajók esetében annyit jegy-

zünk meg, hogy ott az oldalszél sodródást okoz.

A hajók egyébként azért is érdekes eszközök, mert a mozgásuk két kö-

zegben történik, ráadásul a levegő mozgása a vízen hullámokat kelt,

amely hullámok is befolyásolják a hajók mozgását. Vagyis a levegő a ha-

jó mozgására közvetlen és közvetett hatással is bír.

A járművek speciális áramlástani kérdéseit napjainkban CFD (numeri-

kus) módszerekkel lehet közelítően vizsgálni, illetve igen gyakori a szél-

csatorna, hajók esetében a vízcsatorna kísérlet.

Mintafeladat

A [7] példatár a 16. „Súrlódásos áramlás testek körül” c. fejezetében

több, e fejezet anyagához csatlakozó példa található. A következőkben

egy, egyszerű feladatot mutatunk be.

Feladat:


Meghatározandó az ábrán látható motoros kisrepülő-gép felhajtóerő és

légellenállás tényezője, valamint siklószáma. A repülőgép szárnyának fe-



lülete 218

SA m ; a repülőgép súlya 14500G N ; a repülési sebessége

60c m s és a repüléshez szükséges teljesítmény 75P kW .

A számításban a levegő sűrűsége 31.225 kg m értékre választható.

Megoldás: a mechanikából ismeretes, hogy egyenes vonalú, egyenle-

tes sebességű mozgás esetén a testre – jelen esetben repülőgépre – ható

külső erők eredője és az eredő külső nyomaték egyaránt zérus. A nyoma-

tékokkal ebben a feladatban nem foglalkozunk – csak a teljesség kedvéért

említettük meg őket. Az erőegyensúlyból következik, hogy a vonóerő (P

F

) és a légellenállás (e

F ) eredője, valamint a felhajtóerő (f

F ) és a súlyerő (

G ) eredője páronként nulla.

A felhajtóerő abszolút értéke tehát egyenlő a súlyerő abszolút értéké-

vel:

14500f f

F N F G ; (18.9)

A felhajtóerő ismeretében, (18.5) felhasználásával számítható a felhaj-

tóerő tényező is:

2 2

145000.365

2 1.225 2 60 18

f

f

S

Fc

c A

; (18.10)

Másrészt a repüléshez szükséges teljesítmény kifejezése alapján a vo-

nóerő a következőképpen számítható (a vektor jelleget elhagyva, az ab-

szolút értékkel számolunk):

75000 60 1250SZ P P SZ

P F c F P c N ; (18.11)

Innen következik a légellenállás és (18.4) szerint az ellenállás tényező

is:

2 2

12501250 ; 0.031

2 1.225 2 60 18

e

P e e

S

FF F N és c

c A

;

Számítsuk ki (18.6) szerint a siklószámot:

0.031 0.365 0.085 1 :11.8e f

c c ;


19. Áramlástani gépek - bevezető

Ebben a pontban az áramlástechnikai gépek legelemibb alapismereteit

mutatjuk be. Ezek az alapismeretek a járművekkel foglalkozó mérnökök

számára feltétlenül szükségesek.

19.1. A csővezetékek jelleggörbéje

A csővezetékek egyes kérdéseivel a 17. pontban már foglalkoztunk. A

csővezetékek, amelyek egyenes csövekből, csőkönyökökből, elzáró szer-

kezetekből és egyéb elemekből állíthatók össze különféle (folyékony és

gáznemű) folyadékok szállítására szolgálnak. Egy ilyen, konkrét csőveze-

ték jelleggörbéje látható a 19.1. ábrán:

19.1. ábra – Csővezeték jelleggörbéje

A csővezeték szállíthat valamely magasságra ( H ), vagy valamely

nyomáskülönbség ellenében ( p ). Ez a szállítás a statikus szállító ma-

gasságból (ST

H ), vagy nyomáskülönbségből (0

p ), valamint a veszteség-

ből ( ' 'h vagy p ) tevődik össze. Ez utóbbi (a veszteség) a 17. pontban

foglaltak szerint, összenyomhatatlan közeget vizsgálva a térfogatáram

négyzetével arányos.

Az ilyen jelleggörbével bíró csővezetékkel kell az egyes áramlástani

gépeknek együttműködni. A gáznemű, illetve folyékony folyadékok szál-



lítására szolgáló csővezetékekben előforduló, jellegzetes sebességeket – a

csőátmérő függvényében – mutatja a 19.2. ábra:


A 19.2. ábra természetesen csak a tájékozódást szolgálja, a gyakorlati

megoldásokban ettől eltérő átmérők és eltérő sebességek is léteznek.

Mindazonáltal érdekes megfigyelni, hogy az elektromos távvezetékekhez

hasonlóan a nagyobb távolságra történő szállítás jellemzően nagyobb

nyomáson történik. (Az elektromos feszültség-különbség áramlástani

megfelelője a nyomás különbség.)

A csőhálózatok alapismeretei

A csővezetékekből gyakran csőhálózatot állítanak össze. Ezek áramlási

viszonyait – ismét elektromos analógiára hivatkozva – a csomóponti és a

hurok-törvény alapján írhatjuk le. E törvények általánosan az un. illeszke-

dési és hurok-mátrix segítségével fogalmazhatók meg; ebben az előadás

vázlatban csak nagyon egyszerűen, az elemi szemléletből következő alak-

juk található meg.

Tekintsük a 19.3. ábrán látható, egyszerű hálózatot. Erre a hálózatra

nézve felírható két csomóponti-egyenlet:

1 2 3 2 3 4

V V V illetve V V V ; (19.1)

Ezek az egyenletek – a folytonosság törvényét szem előtt tartva – azt

fejezik ki, hogy egy csomópontba belépő és kilépő áramok értéke azonos.

19.3. ábra – Egyszerű csőhálózat vázlata

19. ÁRAMLÁSI GÉPEK - BEVEZETŐ 109


A hurok-törvény pedig azt mondja ki, hogy a 19.3. ábra jelöléseit

használva a nyomásveszteség az „2”-es szakaszon egyenlő a „3”-as sza-

kaszon bekövetkező nyomásveszteséggel:

' '

2 3p p ; (19.2)

Általános esetben a csomóponti és hurok-törvények alapján nemlineá-

ris egyenletrendszert kapunk, ennek megoldása rendszerint valamely, ide

vágó numerikus módszer alkalmazását igényli.

Csőhálózatra vonatkozó, igen egyszerű példa a [7] példatár 15.13-as

feladata.

19.2. Szárnyrácsra ható erő

Az áramlástani gépek járókerekeinek (19.5 ábra) lapátjait gyakran

vizsgáljuk un. lapátrácsként (19.4. ábra). Ez azt jelenti, hogy a járókere-

kek egymás után a lapátosztással (19.4. ábra, „ a ”) következő lapátjait

egy, síkon elhelyezkedő lapátráccsá képezzük le. Ehhez a lapátozáshoz

érkezik a közeg a 1

c abszolút sebességgel, illetve távozik onnan a 2

c ab-

szolút sebességgel.

Ebben a jegyzetben csak a legegyszerűbb esetet vizsgáljuk, ennek

megfelelően tegyük fel, hogy a lapátrács mozdulatlan (vagyis a szállító

sebesség nulla). Tegyük fel továbbá, hogy a feladat síkáramlásként vizs-

gálható, vagyis a 19.4. ábra síkjára merőlegesen semmi sem változik, az

ábra síkjára merőleges méret egységnyi lesz.



19.4. ábra – Lapátrács

Tekintsünk két, egymástól pontosan a (rácsosztás) távolságra lévő

áramvonalat, illetve képezzen ez a két áramvonal egy (a 19.4. ábrán látha-

tó módon) áramcsövet.

Zárjuk le ezt az áramcsövet két, lapátosztás-hossznak megfelelő, az áb-

ra szerint „y” irányú szakasszal: ezzel egy ellenőrző felületet kaptunk. Az

így kialakított ellenőrző felület lapátosztásonként megismételhető, vagyis

amennyiben egy, ilyen rész áramlás viszonyait megismerjük, akkor – mi-

vel itt periodikus ismétlődés következik – az egész síkáramlást is megis-

mertük.

Írjuk fel először a folytonosság törvényét:

1 2 1 2

;x x x x

c a c a azaz c c (19.3)

A belépésnél lévő pont az 1-es, a kilépésnél lévő a 2-es jelet kapta. E

két pont közé felírhatjuk az ideális, állandó sűrűségű közegekre vonatko-

zó, legegyszerűbb alakú Bernoulli egyenletet (12.3 képlet). Itt erőhatás

ugyan lesz, de, mivel a rács mozdulatlan, ezért munkavégzés nem történik

– így a (12.3) alakú Bernoulli egyenlet felírható:

2 2 2 22 2

2 2 1 12 2 1 1 2 1; ;2 2 2 2

x y x yc c c cp c p c p p

(19.4)

Rendezzük át (19.4)-et az alábbi módon:



2 22 2

1 22 1 1 2 ;2 2

y yc cp p c c

(19.5)

Írjuk fel harmadikként az impulzus tételt is:

1 2 1 2

1 2

;

;

x x x

y y y

m c m c p a p a T

m c m c T

(19.6)

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a (19.6) második sorában szereplő

egyenlet bal oldalának második tagjában azért használtunk pozitív elője-

let, mert a választott koordináta rendszerben maga a sebesség összetevő

(2 y

c ) negatív.

Az impulzus tétel vektor egyenlet, ezért a síkáramlásnak, illetve a vá-

lasztott koordináta rendszernek megfelelően két komponens-egyenletet ír-

tunk fel. Ezek, (19.3) és (19.5) figyelembe vételével átrendezhetők:

2 2

1 2

1 2

1 2 1

;2

; : ;

y y

x

y y y x

c cT p p a a

T m c c ahol m a c

;

(19.7)

Számítsuk ki a lapátrács vizsgált tagjára ható erő abszolút értékét:

22 2

21 22 2 2

1 1 2;

2

y y

x y x y y

c cT T a c c c

T (19.8)

Vezessük be a végtelen megfúvási sebesség fogalmát: ez a sebesség a

be- és kilépő sebességek középértéke:

1 2 ;

2

c + cc

(19.9)

19.5. ábra – Végtelen megfúvási sebesség



A végtelen megfúvási sebességet a 19.5. ábrán fel is tüntettük – ennek

a sebességnek később, az egyedülálló szárny vizsgálatánál is szerepe lesz.

Jelen esetben a végtelen megfúvási sebesség kifejezése a következő mó-

don írható:

1 2

1 2 1 2;

2 2

x x

y y y y

c c

c c c c

c (19.10)

(19.8)-ból, (19.10) figyelembe vételével következik, hogy:

1 2;

y ya c c c

T (19.11)

Korábban már, a (2.13) egyenlettel definiáltuk a cirkulációt, számítsuk

ki ezt a mennyiséget a 19.4 ábrán, az ellenőrző felület kontúrját jelző,

szaggatott vonallal rajzolt, zárt görbe mentén, úgy, hogy

;

B C D A

A B C D

c ds c ds c ds c ds c ds

(19.12)

A (19.12) második és negyedik tagja kiejti egymást, hiszen az útvonal

és a sebesség-eloszlás azonos, de a körüljárási irány éppen ellentétes. Az

első és a harmadik tagot egyszerűen számíthatjuk:

1 2 1 2

;

B D

y y y y

A C

c a c a a c c c ds c ds

(19.13)

A számításban figyelembe vettük, hogy az ábra szerint 2 y

c előjele ne-

gatív. Ez egyéként nem jelenti az általánosság megszorítását, mert ha ki-

sebb lenne az irányelterelés és 2 y

c pozitív lenne, akkor is negatív lenne az

előjel, az ellenkező körüljárási irány miatt.

Vegyük észre, hogy a (19.13)-mal adott cirkuláció szerepel (19.11)-

ben:

1 2;

y ya c c c c

T (19.14)

Ezzel megkaptuk a nevezetes Kutta-Zsukovszkij tételt, amely kimond-

ja, hogy a szárnyrács vizsgált, egységnyi hosszúságú tagján keletkező erő

arányos a sűrűséggel, a cirkulációval és a végtelen (zavartalan) áramlás

sebességével. A következőkben még megvizsgáljuk a keletkező erő irá-

nyát is, mivel (19.14) csak az erő abszolút értékét szolgáltatja.



A (19.7)-ben már meghatároztuk az erő két összetevőjét, ezeknek há-

nyadosa megmutatja az erő „x” tengellyel bezárt szögét:

1 1 2 1

2 2

1 21 2

;

22

x y yy x x

y yy yx y

a c c cT c c

c cc cT ca

(19.15)

Eszerint megállapítható, hogy az eredő erő a végtelen megfúvási se-

bességre merőleges. Ez egyébként azt, a más oldalról is megerősített tényt

jelzi, hogy az ideális közegben – végtelen szárny, illetve két irányban

végtelen szárnyrács esetén – ellenállás nem keletkezik. A keletkező erő

azonosan egyenlő a felhajtó erővel.

Vizsgáljuk meg még az egyedülálló szárny esetét. Ehhez tegyük fel,

hogy:

1 2 1 2

1 2

, . , 0,

;

y y y ya a c c áll feltétel mellett c c

c c c

Egyedülálló szárny esetén tehát a (19.14) képlet ugyanúgy használha-

tó, mint szárnyrács esetében – a ilyenkor az egyedülálló szárny körül

keletkező (véges) cirkuláció. A

c sebesség pedig abban az értelemben

azonos a zavartalan áramlás sebességével, hogy az egyedülálló szárny a

körülötte áramló végtelen mennyiségű közeg sebességét csak véges mér-

tékben képes befolyásolni, azaz a szárnytól bármilyen irányban távolodva

annak hatása csökken és a sebesség tart a

c sebességhez. Kicsit pontat-

lanul fogalmazva a sebesség a körben, a végtelenben egyenlő

c -nel.

19.3. Áramlástani gépek

Az itt következő, erősen bevezető jellegű fejezetben az áramlástechni-

kai gépek közül csak az örvénygépekkel foglalkozunk. Az örvénygépek

elnevezésben az „örvény” nem a forgáson, hanem a gépben található

(szárny)lapát körül kialakuló örvényen, másképpen cirkuláción alapul.

Az örvénygépek többnyire (nagyon nagyvonalúan) egy házból (pl. csi-

gaház), járókerékből és a járókereket forgató motorból állnak. Mi, itt a ra-



diális járókerekeket, azok lapátkialakítását és működését tárgyaljuk. Ezt is

a legegyszerűbb módon, a lapátokat vázvonalukkal helyettesítve tesszük.

19.6. ábra – Radiális járókerék

A 19.6. ábrán egy hátrahajló lapátozású, radiális átömlésű járókerék

látható. A belépést „1 ”-es, a kilépést „ 2 ”-es index jelöli.

A belépésnél feltettük, hogy a belépő közegnek nincs perdülete (cirku-

lációja), mert a Kelvin tétel értelmében (10.5), ideális, összenyomhatatlan

közegben a perdület idő szerinti deriváltja nulla. Ez akkor nincs így, ha a

járókerékhez áramló közegnek valami perdületet ad: ilyen lehet, mondjuk

a járókerék előtti elő-perdítés.

A 19.6. ábrán egy be- és egy kilépő sebességi háromszög is látható. E

két sebességi háromszögben az abszolút sebesség ( c ) – a mechanika taní-

tása szerint – a szállító sebesség ( u ) és a relatív sebesség vektori ( w )

összegeként áll elő.



A 19.7. ábrán egy, kilépő sebességi háromszög látható. Ebbe a három-

szögbe berajzoltuk az abszolút sebesség kerületi (2 u

c ) és meridián (2 m

c )

összetevőjét, valamint a lapátszöget (2

) is. Ezt a sebességi háromszöget

és a lapátszöget a 19.6. ábrán is feltüntettük.

19.7 ábra – Járókerék kilépő sebességi háromszöge

Az abszolút sebesség kerületi összetevőjét a perdület, a meridián ösz-

szetevőjét a térfogat-áram számításakor használjuk majd fel.

A perdület (impulzusnyomatéki) tétel segítségével határozzuk meg egy

járókerék forgatásához szükséges nyomatékot:

T

A A V

dV r c c dA r Π dA r g r T (7.34)

Tegyük fel, hogy a jobb oldal első és második tagja nulla, azaz a felü-

leti erők nyomatéka és a térerősségből származó erők (pl. súlyerő) nyo-

matéka is nulla. Tegyük fel továbbá, hogy a19.6. ábrán látható, kétdimen-

ziós esetnél a forgatáshoz szükséges nyomaték az ábra síkjára merőleges

(vektor) és a baloldalon lévő vektori szorzat ábra síkjára merőleges össze-

tevője [1] nyomán:

2 2 1 1

T

u u

A

r c r c m r c c dA (19.16)

Másrészt, szintén a baloldali integrálban megtalálható a tömegáram:

T

A

m c d A (19.17)

Ezzel a perdület tétel alapján a járókerékre ható nyomaték számítható:

2 2 1 1u u JKzm c r c r M r T (19.18)



Szorozzuk be mindkét oldalt a szögsebességgel és vegyük a jobb oldal

„ 1 ”-szeresét, hogy a folyadéknak átadott teljesítményt (FF

P ) kapjunk:

2 2 1 1u u JK FFm c u c u M P (19.19)

A folyadéknak átadott teljesítményt a Bernoulli egyenlet alapján is fel-

írhatjuk, hiszen a tömegáram és az energia-különbség szorzata éppen ezt

adja:

22

2 1

1

2

2

: , 1 22

FF e

i i

i i

c pP m gh m g H H m gH

c pitt gH gh i vagy

(19.20)

A fenti egyenletben, a hagyományos felírási módnak megfelelően

minden energiát magasság dimenzióban fejeztünk ki, ezért írható a jobb

oldalon egyszerűen a magasság különbség. Ez a magasság különbség rö-

viden az „elméleti végtelen szállító magasság”, ami a (19.20) jobb oldalán

látható „H” betű indexe.

(19.19) és (19.20) összevetésével az Euler turbina egyenletet kapjuk:

2 2 1 1u u

e

c u c uH

g

(19.21)

Az „Euler turbina egyenletet” egy, a hagyományokon alapuló elneve-

zés, erő és munka-gépekre egyaránt alkalmazható. (Vagyis nem csak tur-

binákra, hanem pl. szivattyúkra is érvényes és alkalmazható). Az „elméle-

ti” azt jelenti, hogy ebben az egyenletben veszteségeket nem veszünk fi-

gyelembe. A végtelen pedig azt jelenti, hogy a lapátok száma végtelen,

azaz a perdület a kerület mentén mindenütt az állandó, elméleti érték.

Ez az egyenlet, más formában axiális ventilátorokra is felírható:

öid u

p u c (19.22)

A (19.22) annyiban különbözik a (19.21)-től, hogy a magasság helyett

nyomás-dimenzióban íródott; továbbá az axiális gépeknél a ki- és belépő

sugár lényegében azonos, így nincs értelme kétféle kerületi sebességgel

számolni (1 2

u u u ), illetve az abszolút sebességek kerületi irányú ösz-

szetevőinek különbsége egyetlen tagba foglalható össze (2 1u u u

c c c ).



Az Euler turbina egyenlet más úton is levezethető. Ez a levezetés azért

tanulságos, mert a relatív áramlásra felírt Bernoulli egyenlettel történik.

Vagyis itt (is) egy olyan esettel találkozhatunk, amikor energia be- vagy

elvezetés esetén írjuk fel a Bernoulli egyenletet – de ehhez egy olyan

rendszert keresünk (ez a relatív rendszer), ahol erő (nyomaték) van, de az

erő irányába eső elmozdulás nincs, és ezzel munkavégzés sincs!

A relatív (a járókerékkel együtt forgó) rendszerre a Bernoulli egyenlet:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2;

2 2 2 2

w p r w p rgh gh

(19.23)

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a relatív Bernoulli egyenletben – a

forgó rendszer miatt – megjelent a centrifugális erőtér potenciálja is. Ren-

dezzük át ezt az egyenletet úgy, hogy hozzuk be az abszolút sebességeket:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 2 2 1 1 1

2 1;

2 2 2

p p c c c u w c u wg h h

(19.24)

A fenti egyenlet felírásakor figyelembe vettük, hogy 2 2 2

1 1r u , illetve

2 2 2

2 2r u . Vegyük tekintetbe továbbá, hogy:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

22 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

, , ,

: , 2 ,

: 2 ;

m u m u u u

m m u u u

m u m u u

c c c w w w és w u c

továbbá w c és c u u c u c

akkor c c u w w u c

Illetve a fentiekhez hasonló megfontolások alapján, ismét felbontva és

behelyettesítve a megfelelő rész összefüggéseket:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 ;

m u m u m u uc c c és c c u w w u c

Ezzel a következő eredményre jutunk:

2 2

2 1 2 1

2 1 2 2 1 1;

2u u

p p c cg h h c u c u

(19.25)

A fenti egyenlet bal oldalát a (19.20) összefüggésnél leírtak szerint át-

írhatjuk:

2 2 1 1

;e u u

g H c u c u

(19.26)



Ezzel pedig ismét eljutottunk – más úton – (19.21)-hez, az Euler turbi-

na egyenlethez.

Az örvénygépek működésére jellemző a reakciófok. Írjuk fel a teljes

szállító magasságot a nyomásból és a mozgási energiaváltozásból szár-

mazó szállító magasságok összegeként:

p c

H H H

Ezzel a reakciófok:

2 2

2 11 ; :2

p c c

c

H H H H c cr itt H

H H H g

(19.27)

A 19.6. és 19.7. ábrán feltüntetett sebességekkel kapcsolatban két, egy-

szerűsítő megállapítást szokás megfogalmazni: az első, ahogyan az a

19.6. ábrán látható is, az, hogy a belépő közegnek nincs perdülete

(1

0u

c ); a második szerint feltesszük, hogy a járókereket úgy alakítják

ki, hogy a meridián sebesség ne változzon (1 2m m

c c ). Ez utóbbi sebesség

állandósága úgy érhető el, hogy a járókeréken a folyadék átáramlási ke-

resztmetszetét állandónak tartjuk – vagyis a növekvő sugarak esetében

növekvő kerülethez megfelelő mértékben kisebb magasságot rendelünk.

Ez a járókerék kialakítás a 19.16. ábrán tekinthető meg. Ez tehát azt jelen-

ti, hogy a járókerék lapát-magassága a sugár növekedésével csökken.

Ezen egyszerűsítésekkel a „c

H ” szállítómagasság rész az alábbi for-

mában írható fel:

2 2 2 2 22 2

2 2 1 1 22 1

2 2 2

u m u m u

c

c c c c cc cH

g g g

(19.28)

Ezzel a reakciófok:

2

2 2 2

2 2

1 ; :2

u u

e

u

c c ur mert H H

c u g

(19.29)

A radiális járókerekek vizsgálatában az alábbi áttételi számot szokás

bevezetni:

2 2u

c u (19.30)

E viszonyszám a lapátozás alakját is jellemzi: hátrahajló a lapát ha

1 (ez a helyzet a 19.6. ábrán); radiális kilépésű a lapát, ha



2 21

uc u , ilyenkor a relatív sebesség merőleges a kerületi (szállító)

sebességre; előrehajló a lapát, ha 1 . Előrehajló lapát esetén a kilépő

abszolút sebesség nagy értéket vesz fel, ilyenkor a kilépésnél nagy a kine-

tikai energia.

A segítségével a szállítómagasságok és a reakció-fok a következő

formában írható fel:

2 2

22 2; : 12 2

e c

u uH H és ezzel r

g g

(19.31)

Ábrázoljuk a szállítómagasságokat, illetve a reakciófokot a sebességi

szám függvényében (19.8. ábra). A bal oldali rész-ábráról leolvasható,

hogy az elméleti végtelen szállító magasság a sebességi számmal arányo-

san nő, a jobb oldali rész ábra pedig megmutatja, hogy ugyanekkor a re-

akciófok csökken.

19.8. ábra – A szállítómagasság és a reakciófok a sebességi szám

függvényében

A teljes szállítómagasságon belül a kinetikai energia növekedéséből

számított szállítómagasság-rész négyzetesen növekszik. Az ábráról leol-

vasható, hogy a hátrahajló lapátok ( 1 ) esetében a nyomás magasság a

nagyobb, mint a (p c

H H ) a kinetikai energia növekedéséből számított

szállító magasság rész. Ekkor a reakció fok értéke: 1 0.5r .

A radiális lapátoknál ( 1 ) a két szállítómagasság rész éppen egyenlő

(p c

H H ), a reakció fok pedig éppen 0.5 – ez jól látható a jobboldali

rész-ábrán. Az előrehajló lapátok esetében ( 1 )a kinetikai energia nö-



vekedéséből számított szállító magasság rész kerül túlsúlyba, és ennek

megfelelően a reakció fok csökken ( 0.5 0r ).

Mindkét rész-ábra világosan mutatja, hogy a 2 -es érték fölé menni

igazán célszerűtlen. Végkövetkeztetésként megállapíthatjuk, hogy a hát-

rahajló lapátozás viszonylag kis szállítómagasságot képes előállítani, de

ezt viszonylag jó hatásfokkal teszi – vagyis az ilyen gép méretei (adott fe-

ladatra) nagyok lesznek: ezek a stabil, nagyméretű, jó hatásfokú berende-

zések. Az előrehajló lapátozás esetében viszont éppen viszonylag nagy

szállítómagasságot kapunk, de viszonylag rossz hatásfokkal. Az ilyen la-

pátozással ellátott gépek lehetnek azok a mobil gépek, ahol első sorban a

nagy teljesítmény és kis méret a fontos, a hatásfok nem annyira lényeges.

Erre példaként a tűzoltó szivattyút említjük.

19.4. Radiális átömlésű járókerékkel ellátott örvénygépek

jelleggörbéje

Jelleggörbének egy, adott fordulatszámhoz tartozó szállítómagasság-

térfogatáram (vagy nyomásnövekedés – térfogatáram) diagramot neve-

zünk. Vizsgáljuk meg először az elméleti jelleggörbéket.

Legyen a ki- és belépő meridián sebesség azonos, illetve legyen a be-

lépés perdületmentes. Ekkor (19.20) megfelelően egyszerűsített alakjából,

illetve a 19.7. ábra alapján írhatjuk, hogy:

2

2 2 2 22 2 2 2

2 2 1 2

ctgctg

mu

e m

u c uc u u uH c K K V

g g g g

A fenti kifejezés felírásánál kihasználtuk, hogy a kilépő meridián se-

besség összetevő arányos a térfogatárammal. A kilépő lapátszöget tartal-

mazó tag (2

ctg ) értéke hátrahajló lapát esetén pozitív, radiális lapátnál

nulla és előrehajló lapát esetében negatív. Így az elméleti jelleggörbék fel-

rajzolhatók (19.9. ábra, baloldal):



19.9. ábra – Örvénygépek elméleti jelleggörbéi

A 19.9. ábra jobb oldalán egy példa látható: hogyan származtatható

egy (éppen előrehajló lapátozású) gép elméleti jelleggörbéjéből a valósá-

gos jelleggörbe. Az elméleti szállító magasságból le kell vonni a véges

lapátszám miatti perdületapadási veszteséget. Ezt követően levonandó a

térfogatáram négyzetével arányos súrlódási veszteség is. Végül levonandó

az ütközési veszteség: ennek értéke a tervezési pontban nulla; ennél ki-

sebb vagy nagyobb térfogatáramoknál pedig, a munkaponttól távolodva

az értéke nő.

Csővezeték és radiális átömlésű lapátozással ellátott örvénygép

együttműködése

Az örvénygépek működési vizsgálatának lezárásaként vizsgáljuk egy

csővezeték – radiális átömlésű örvénygép együttműködési kérdését.

A 19.10. ábrán egy radiális átömlésű lapátozással ellátott örvénygép és

egy csővezeték együttműködését meghatározó jelleggörbék láthatók. A

két görbének két metszés-pontja (munkapontja) van. A bal oldali labilis, a

jobb oldali stabil.

Ha a térfogat-áram valamely zavar következtében megváltozik és az „

1M ” munkapontnak megfelelő értéknél nagyobb értéket vesz fel, akkor a

rendelkezésre álló szállító magasság nagyobb lesz a szükségesnél, tehát a

térfogat-áram tovább növekszik. Ez a jobbik eset. Amennyiben a térfogat-

áram lecsökkenne, akkor a rendelkezésre álló szállító magasság kevesebb

lesz, mint a szükséges – így a folyadékszállítás lecsökken. Ekkor, rossz

esetben hidraulikus lengések is felléphetnek. Ez a munkapont a gyakor-

latban elkerülendő!



19.10. ábra – Örvénygép és csővezeték együttműködése

Az „2

M ” munkapont viszont stabil: növekvő térfogat-áram esetén a

szükséges szállító magasság nagyobb lesz, mint a rendelkezésre álló, va-

gyis a térfogat-áram visszacsökken a kiinduló értékre. Ha valamely zava-

rás folytán a térfogat áram a munkapontbeli érték alá csökkenne, akkor a

szükséges szállító magasság kisebb lesz, mint a rendelkezésre álló – ezért

a térfogat-áram visszanövekszik a munkapontbeli értékre. Ez a stabil, te-

hát alkalmazandó munkapont.

Mintafeladatok

A [7] példatár 22. „Áramlás- és hőtechnikai gépek” c. fejezetében

több, e fejezet anyagához csatlakozó, bár az e tantárgyban megkívánt

szinthez képest (túl)magas szintű példa található. A következőkben vi-

szont több, e tárgy szintjéhez illeszkedő feladatot is bemutatunk.

Feladat:

A 19.11 ábrán egy, „végtelen sok”, radiális (sugárirányú) lapáttal ellá-

tott vízikerék látható. A kerékhez érkező víz-sugár adatai az ábrán látha-

tóak.

Meghatározandó a vízikerékre ható erő (vektor), a vízikerék elméleti

teljesítménye és az a hatásfok, amely megmutatja, hogy ez az elméleti tel-

jesítmény hogyan viszonyul a víz időegység alatt leadott mozgási energiá-

jához.




Megoldás: erre a feladatra szabad az impulzus tétel (7.7) szerinti alak-

ját alkalmazni, mivel, a végtelen sok lapát miatt ez a feladat kvázi-

stacionáriusnak tekinthető. A végtelen sok lapát azt jelenti, hogy a lapá-

toknak van ugyan kerületi sebességük (amellyel mozognak), mégis min-

dig új és új lapát lép az ábrán vázolt helyre – így a lapátoknak ez a „képe”

nem mozdul el – 19.12. ábra:


A megoldáshoz tehát egy álló (mozdulatlan) ellenőrző felületet válasz-

tunk majd – ezelőtt azonban tisztázni kell a sebességi viszonyokat. Ehhez

egy, a mozgó lapáthoz rögzített ellenőrző felületet választunk.

A 19.12. ábrán látható, együtt mozgó ellenőrző felület olyan rendszert

jelent, amiben erőhatás van, de elmozdulás nincs – ezért munkavégzés

sem történik. Akkor viszont, mivel a nyomás állandónak tekinthető és

helyzeti energiaváltozással sem kell számolni, a Bernoulli egyenlet (az

energia megmaradás elve) szerint a ki és belépő relatív sebességek ab-

szolút értéke azonos!

Ez egy egyszerű, de kihagyhatatlan lépés, illetve jó példa arra is, hogy

mire használhatók az un. „relatív” rendszerek. Erő- és munkagépek vizs-

gálatánál egyaránt szokás a Bernoulli egyenletet a relatív rendszerben fel-

írni és egyes eredményeket innen származtatni. Példa erre az Euler turbi-

na egyenlet ilyen (korábban bemutatott) levezetése is.

19.13. ábra – Kilépő sebességi háromszög

Ezzel már felrajzolhatjuk a feladat megoldásához szükséges, álló elle-

nőrző felületet:



19.14. ábra – Álló ellenőrző felület

Az ábrán, az ellenőrző felület mellett definiáltuk a megoldáshoz feltét-

lenül szükséges koordináta rendszert ( x z tengelyek megadásával).

Meghatározhatjuk a tömegáramot ( m ), ami a folytonosság törvénye

szerint állandó.

Külön felhívjuk a figyelmet a kilépő abszolút sebesség és a kilépő,

időegységre eső mozgásmennyiség-változás irányára!

Most már felírható az impulzus tétel erre a feladatra érvényes alakja

(hiszen a nyomáseloszlásból származó eredő felületi erő és a térerők hatá-

sa, a feladat feltételei szerint nulla):

BE KI

I I T ; (19.32)

Írjuk ki részletesen (19.30)-at:

0 0

0

x x

y y

z z

m c m u T T

T T

m c u T T

; (19.33)

Ezzel az egyes erő-összetevők számíthatók:



1000 10 0.001 4 40 ;

0;

1000 10 0.001 4 40 ;

x

y

z

T m c u N

T

T m c u N

; (19.34)


A lapátkerékre ható erő összetevőket külön is és eredő erőként ( T ) is,

a 19.15. ábrán tüntettük fel. Ezen az ábrán látható továbbá a vízre ható

eredő erő is ( F ). A számításból látszik, hogy a x

T erő-összetevő negatív,

ezért az „x”-szel ellentétes az iránya. A z

T erő-összetevő viszont pozitív,

tehát a „z”-vel azonos irányba mutat. A fizikai elvárások szerint éppen

ilyen erőnek kell adódnia.

Következő lépésként meghatározandó a vízikerék elméleti teljesítmé-

nye:

10 6 60elm x

P T u watt ; (19.35)

A harmadik kérdés a vízikerék hatásfokára vonatkozik:

2 2 2 22

600.25

10 50 26

2 2 2 2

x x

BE KI

T u T u

c c c u ucm m

;

Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk.

Feladat: vízszállítási feladatra kell járókereket tervezni; az elméleti

végtelen szállítómagasság 25e

H m , a szállított térfogatáram

600V lit perc , a fordulatszám 1440n f p , a belépő átmérő

10.15D m kell legyen. Feltesszük, hogy a belépés perdületmentes, a

meridián sebesség állandó (1 2

. 3.5m m

c áll c m s ) és a lapátok a kilé-

pésnél sugár-irányúak.

Meghatározandó a 2

D , a járókerék külső átmérője, a 1

b és 2

b lapátma-

gasság, a reakciófok valamint a járókerék forgatásához elméletileg szük-

séges teljesítmény.



Megoldás: a vizsgálandó járókerék a 19.16. ábrán látható. Határozzuk

meg először a külső átmérőnél a kerületi sebességet. Induljunk ki az el-

méleti végtelen szállítómagasság 19.20 szerinti kifejezéséből:

2

2 2 1 1 2

1 2 2: : 0

u u

e e u u

c u c u uH itt H m ert c és c u

g g

Ezzel a külső átmérőn érvényes kerületi sebesség számítható:

2

9.81 25 15.66e

u g H m s

(19.36)

A fordulatszám és a kerületi sebesség ismeretében meghatározható a

külső átmérő:

2 2 2

2 / 2 9.55 2 9.55 15.66 1440 0.208D u u n m (19.37)

A térfogatáram, és a meridián sebesség ismeretében kiszámítjuk a kül-

ső palást-felületet:

3 2

2 2600 10 60 / 3.5 0.00286

mA V c m

(19.38)

A 19.16 ábrán a feladatban szereplő járókerék két nézetének vázlatos

rajza látható. Megfigyelhető, hogy a belépő abszolút sebesség (1

c ) sugár-

irányú, ez jelenti a perdületmentes belépést.

A lapátozás pedig úgy van kialakítva, hogy a belépő érintő azonos le-

gyen a belépő relatív sebesség (1

w ) irányával (ütközésmentes belépés a

tervezési állapotban).

A lapátmagasság a külső átmérőn:

2 2 20.00286 / 0.0653 0.044 44b A D m m m (19.39)



19.16.ábra – Járókerék vázlata

A belépő lapátmagasságot a folytonosság törvénye szerint számíthat-

juk:

2 2 1 1 2 2 1 1

1 2 2 10.044 0.208 / 0.15 0.061

b A b A b D b D

b b D D m

(19.40)

A reakciófok (19.29) szerint egyszerűen számítható:

2

2

1 ; 1; : 0.52

uc

r ezért ru

(19.41)

Végül a járókerék forgatásához elméletileg szükséges teljesítményt ha-

tározzuk meg. Ez az a teljesítmény, amire a különböző veszteségek rára-

kódnak – vagyis a valóságban ennél a teljesítménynél akár jelentősen is

nagyobb a járókerék működtetéséhez ténylegesen szükséges teljesítmény.

Írjuk fel (19.20) erre az esetre alkalmazott alakját:

1000 0.01 9.81 25 2453 2.5FF e e

P m g H Vg H w att kW


Irodalomjegyzék

[1] Grúber, J. – Blahó, M.: Folyadékok mechanikája, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1971

(7. kiadás)

[2] Németh, E.: Hidromechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1963

[3] Locjanszkij, L. G.: Folyadékok és gázok mechanikája, Akadémiai

Kiadó, Budapest, 1956

[4] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan I,


[5] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan I/2,

(J7-724/a) Tankönyvkiadó, Budapest, 1976

[6] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan II,


[7] Konecsny, F. – Pásztor, E.: (szerk.) Műszaki hő- és áramlástan

példatár, (J7-1014) Tankönyvkiadó, Budapest, 1981

[8] Lajos, T.: Az áramlástan alapjai, Műegyetemi Kiadó, Budapest,

2004

[9] Czibere, T.: Áramlástan, (J14-569) Tankönyvkiadó, Budapest,

1971

[10] Litvai, E. – Bencze, F.: Folyadékok mechanikája II., (J4-906)

Tankönyvkiadó, Budapest, 1975

[11] Nagy, K.: Elméleti mechanika (VI. fejezet), Tankönyvkiadó, Bu-

dapest, 1985

[12] Sasvári, G.: Hidrodinamika, Atheneum, Budapest, 1925

[13] Bohl, W.: Műszaki áramlástan, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,

1983

[14] Gisbert, S. – Takó, G.: Numerikus Módszerek 3. (17. fejezet), EL-

TE TypoTEX, Budapest, 1997

[15] Grúber, J. – Szentmártony, T.: Gázdinamika, Tankönyvkiadó, Bu-

dapest, 1952

[16] Pattantyús, Á. G.: Gyakorlati áramlástan, Tankönyvkiadó, Buda-

pest, 1959

[17] Agroszkin, I.I. – Dimitrijev, G. T. – Pikalov, F.I.: Hidraulika,

Tankönyvkiadó, Budapest, 1952

[18] Fűzy, O.: Vízgépek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966

[19] Grúber, J.: (szerk.) Ventilátorok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,

1968 (2. kiadás)

IRODALOMJEGYZÉK 129


[20] Halász, G. - Kristóf, G. – Kullmann, L.: Áramlás csőhálózatok-

ban, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2002

[21] Pachné – Frey, T.: Vektor és tenzoranalízis, Műszaki Könyvkiadó,

Budapest, 1970

(3. kiadás)

[22] Bronstejn, I.N. – Szemengyajev, K.A. – Musiol, G. – Mühlig, H.:

Matematikai kézikönyv

TypoTEX Kiadó, Budapest, 2000

[23] Schade, H.- Kunz, E.: Strömungslehre, Walter de Gruyter, Berlin,

New York, 1980


Ábrajegyzék

14.1. ábra – Elemi hullám terjedési viszonyai ........................................... 2

14.2. ábra – Nyomáshullámok terjedése .................................................... 4 14.3. ábra – Laval cső – sebesség és nyomás-lefutás ................................. 6 14.4. ábra (→letölthető ábragyűjtemény)

14.5. ábra – Síklap szuperszonikus áramlásban ....................................... 14



14.8. ábra – Merőleges kompresszió hullám ............................................ 16 14.9 ábra (→letölthető ábragyűjtemény) ................................................. 17 14.10. ábra – Nyomáshullám rugalmas csőben ........................................ 19

14.11. ábra – Nyomásnövekedés számítása ............................................. 20 15.1. ábra – Kinematikai viszkozitás, atmoszférikus nyomáson, a

hőmérséklet függvényében ....................................................................... 25 15.2. ábra – Turbulens nyomástöbblet ..................................................... 29

15.3. ábra – Turbulens csúsztató feszültség ............................................. 30 15.4. ábra (→letölthető ábragyűjtemény)


15.6. ábra – Reynolds és Mach szám tartományok .................................. 41 16.1. ábra – A határréteg sebesség profilja .............................................. 47

16.2. ábra – A kiszorítási vastagság ......................................................... 49 16.3. ábra – Határréteg részletes sebesség-profilja .................................. 50

16.4. ábra – A határréteg szakaszai, leválások ......................................... 53 16.5. ábra (→letölthető ábragyűjtemény)

17.1. ábra – Lamináris áramlás csőben .................................................... 60

17.2. ábra – Csúsztató feszültség és sebesség eloszlás ............................ 61 17.3. ábra – A csősúrlódási tényező ......................................................... 63 17.4. ábra (→letölthető ábragyűjtemény)

17.5. ábra – Mérőperemen kialakuló áramlás .......................................... 69


17.7. ábra – A Borda-Carnot veszteség .................................................... 71 17.8. ábra – Áramkép hirtelen keresztmetszet csökkenés esetén ............. 72 17.9. ábra – Tolózárban kialakuló, áramkép vázlata ................................ 74

17.10. ábra – Csőkönyök kialakítások ..................................................... 76

17.11. ábra – Ívdarabban kialakuló másodlagos áramlások ..................... 76

17.12. ábra – Diffúzor .............................................................................. 78 17.13. ábra – Csővezeték-szakasz ............................................................ 79 17.14. ábra (→letölthető ábragyűjtemény)

ÁBRAJEGYZÉK 131


17.15. ábra – Ellenőrző felület csővezetékben ......................................... 82


18.1. ábra – Henger körüli áramlás nyomáseloszlása .............................. 94 18.2. ábra – Henger és gömb ellenállás tényezője ................................... 96 18.3. ábra – Szárnyprofil .......................................................................... 98 18.4. ábra – A felhajtóerő keletkezésének folyamata ............................... 99


18.6. ábra – Felhajtóerő és ellenállás tényező az állásszög függvényében

................................................................................................................ 101 18.7. ábra (→letölthető ábragyűjtemény)


18.9. ábra – Gépjárműre ható erők ......................................................... 103


19.1. ábra – Csővezeték jelleggörbéje .................................................... 107


19.3. ábra – Egyszerű csőhálózat vázlata ............................................... 108 19.4. ábra – Lapátrács ............................................................................ 110

19.5. ábra – Végtelen megfúvási sebesség ............................................. 111

19.6. ábra – Radiális járókerék ............................................................... 114

19.7 ábra – Járókerék kilépő sebességi háromszöge .............................. 115 19.8. ábra – A szállítómagasság és a reakciófok a sebességi szám

függvényében ......................................................................................... 119 19.9. ábra – Örvénygépek elméleti jelleggörbéi .................................... 121 19.10. ábra – Örvénygép és csővezeték együttműködése ...................... 122



19.13. ábra – Kilépő sebességi háromszög ............................................ 123

19.14. ábra – Álló ellenőrző felület ........................................................ 124


19.16.ábra – Járókerék vázlata ............................................................... 127

* A jegyzetből – a terjedelem szerző által nem befolyásolható korlátozá-

sa miatt – több ábrát ki kellett hagyni. Ezeket az ábrákat a BME Repülő-

gépek és Hajók Tanszék honlapjáról lehet letölteni. A holnap címe:

http://rht.bme.hu; innen a „Letöltések” fülre kattintás után „Dr. Gausz

Tamás anyagai” rovatban az „Abragyujtemeny” könyvtárban található,

„Abragyujtemeny.pdf” fájlt kell letölteni.

0018 ho es aramlastan 2

Documents