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Dizemos que uma sequência de números reais não nulos 𝑎!, 𝑎!, 𝑎!, 𝑎!,… é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos 1 𝑎!,
1 𝑎!,1 𝑎! ,
1 𝑎!,… é uma progressão aritmética (PA).
a) Dada a progressão harmônica (2 5 ,49 ,
12 ,… ) encontre o seu sexto termo.
b) Sejam 𝑎, 𝑏 e 𝑐 termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que 𝑏 = 2𝑎𝑐 (𝑎 + 𝑐)
a)
Pela a definição, a sequência !!; !!; 2; 𝑎!; 𝑎!; 𝑎!;… é uma P.A. cuja razão
vale:
𝑟 = !!− !
!→ 𝑟 = !!
!.
𝑎! =!!+ 6 −1 !!
!, portanto, 𝑎! =
!!.
O sexto termo da progressão harmônica é 𝐻! = 4
5.
b)
Pela definição, se 𝑎; 𝑐; 𝑏 é uma progressão aritimética, 1/𝑎; 1/𝑐; 1/𝑑 é uma progressão aritimética. Assim,
1𝑏−1𝑎=1𝑐−1𝑏
𝑎 − 𝑏𝑎𝑏
=𝑏 − 𝑐𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐 − 𝑏!𝑐 = 𝑎𝑏! − 𝑎𝑏𝑐
2𝑎𝑏𝑐 = 𝑏²(𝑎 + 𝑐)
Com b≠0,
2𝑎𝑐 = 𝑏(𝑎 + 𝑐)
𝒃 =𝟐𝒂𝒄𝒂 + 𝒄
Questão 19 CURSO E COLÉGIO
Resposta CURSO E COLÉGIO