UNIDAD DIDÁCTICA

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que aprehender.

1. El concepto de la medida directa: RAZONES.

2. Las fracciones: usos y costumbres (NÚMERO, COCIENTE y OPERADOR)

3. Comparación, ordenación y representación de fracciones.

4. Operaciones con fracciones.

5. Fracciones, decimales y porcentajes: FRACCIÓN GENERATRIZ.

6. Fracciones: resolución de problemas. 7. Los números racionales: CONCEPTO y CLASIFICACIÓN.

8. Operaciones con números racionales.

http://www.vitutor.com/di/r/b_1.html

http://www.vadenumeros.es/tercero/tipos-de-decimales.htm

0. LOS NÚMEROS RCIONALES: mapa conceptual.

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LOS NÚMEROS

aparecen en procesos como los siguientes

MEDIRcantidades de magnitud

CONTARelementos de conjuntos

CONTABILIZARhaberes y debes

que puede hacerse de manera

DIRECTAmediante la utilización de

PARTES ALÍCUTASde la unidad de medida

INDIRECTA

mediante el uso deFÓRMULAS

NNATURALES

ZENTEROS

QRACIONALES

RACIONALES

ENTEROS

FRACCIONARIOSS

NATURALES

TIENEN UNAEXPRESIÓN DECIMAL

EXACTA óPERIÓDICA

… -3,-2,-1, 0,+1,+2,+3 …

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…

Q

PRIMOS

COMPUESTOS

NEGATIVOS POSITIVOS

ZN

FRACCIONES PROPIAS

FRACCIONES IMPROPIAS

¿Por qué seguimos operando con fracciones numéricas? Porque lasfracciones son nuestro único recurso para tratar al infinito con exactitud

1. EL CONCEPTO DE LA MEDIDA DIRECTA: razones.

Cuando contamos unidades no tiene sentido pensar en partir una unidad en trozos. No sucede lo mismo cuando pensamos en medir; la unidad de medida sí se deja fraccionar. Lo solemos hacer en partes iguales. Así:

Una cantidad A de deja medir por una unidad U cuando tienen una parte alícuota, es decir, cuando existe una fracción de U que cabe un número exacto de veces en A. Así: (parte alícuota)

La medida de A tomando U como unidad se expresa matemáticamente como la

razón (es decir, como una comparación por cociente que determina cuántas

veces contiene A a U) En nuestro caso, , que es el valor de la medida.

Es así, como históricamente aparecen las fracciones como valores de la medida de cantidades de magnitudes continuas respecto a una unidad de medida

A = 8 “A mide ocho quintos de U”y como razones o comparaciones entre cantidades de una misma magnitud.

“A es a U, como 8 es a 5”

No todas las razones entre cantidades de la misma especie se pueden expresar como una fracción (no tienen parte alícuota). Ejemplos:

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{ p/q / p є Z, q є N, q ‡1, m.c.d.(p, q)=1 }

U

un séptimo de la unidad

A U

A = 8 = ocho quintos de U “A mide ocho quintos de U”

RAZONES Y PROPORCIONES

    Razón o relación de dos cantidades es el resultado de compararlas. Esta comparación puede hacerse de dos modos, puede compararse cuánto excede una a la otra (razón aritmética) o cuántas veces contiene una a la otra (razón geométrica). La primera de estas comparaciones sólo puede establecerse entre cantidades de la misma especie, por ejemplo, entre longitudes, pesos, velocidades.

Las magnitudes que están relacionadas por una razón geométrica se dice que son proporcionales; por ejemplo, la velocidad es la razón entre el espacio recorrido y el tiempo en que se ha recorrido ese espacio; el ritmo cardíaco es la razón entre las pulsaciones del corazón y el tiempo.

    La proporción es la igualdad de dos razones geométricas:

Los términos representados por a, d son los extremos; los términos b, c son los medios. La propiedad fundamental de las proporciones dice: el producto de medios es igual al producto de extremos (ad = bc). Esta propiedad permite que dados tres elementos de la proporción, se pueda hallar el cuarto.

CÁLCULO DE LA CUARTA PROPORCIONALEsta proporcionalidad nos lleva a la denominada regla de tres. Si falta uno de los términos de la comparación, se puede hallar mediante operaciones, con los otros tres. Así a=1; b=2; c=3; d=x

CÁLCULO DE LA MEDIA PROPORCIONAL

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LD D

Esta proporcionalidad noslleva al cálculo de raíces.

2. LAS FRACCIONES: usos y costumbres.

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci realizado alrededor del año 1490 en uno de sus diarios.Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado (Ad quadratum). Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual el dibujo toma su nombre. También se conoce como el Canon de las proporciones humanas.De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre de Vitruvio se dan otras relaciones:

Una palma equivale al ancho de cuatro dedos. Un pie equivale al ancho de cuatro palmas (30,48 cm) Un antebrazo equivale al ancho de seis palmas. La altura de un hombre son cuatro antebrazos (24 palmas) Un paso es igual a un antebrazo. La longitud de los brazos extendidos (envergadura) de un hombre es igual a

su altura. La distancia entre el nacimiento del pelo y la barbilla es un décimo de la

altura de un hombre. La altura de la cabeza hasta la barbilla es un octavo de la altura de un

hombre. La distancia entre el nacimiento del pelo a la parte superior del pecho es un

séptimo de la altura de un hombre. La altura de la cabeza hasta el final de las costillas es un cuarto de la altura

de un hombre. La anchura máxima de los hombros es un cuarto de la altura de un hombre. La distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un

hombre. La distancia del codo a la axila es un octavo de la altura de un hombre. La longitud de la mano es un décimo de la altura de un hombre.

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La distancia de la barbilla al principio de la nariz es un tercio de la longitud de la cara.

La distancia entre el nacimiento del pelo y las cejas es un tercio de la longitud de la cara.

La altura de la oreja es un tercio de la longitud de la cara. La distancia desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla es la cuarta

parte del hombre. La distancia desde debajo de la rodilla hasta el inicio de los genitales es la

cuarta parte del hombre. El inicio de los genitales marca la mitad de la altura del hombre.

El redescubrimiento de las proporciones matemáticas del cuerpo humano en el siglo XV por Leonardo y otros autores, está considerado como uno de los grandes logros del Renacimiento.

El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del universo en su conjunto.

Examinando el dibujo puede notarse que la combinación de las posiciones de los brazos y piernas crea realmente dieciséis (16) posiciones distintas. La posición con los brazos en cruz y los pies juntos se ve inscrita en el cuadrado sobreimpreso. Por otra parte, la posición superior de los brazos y las dos de las piernas se ve inscrita en el círculo sobreimpreso. Esto ilustra el principio de que en el cambio entre las dos posiciones, el centro aparente de la figura parece moverse, pero en realidad el ombligo de la figura, que es el centro de masas verdadero, permanece inmóvil.

Definición de fracciónUna fracción es el cociente de un número entero a y uno natural b, que representamos de la siguiente forma:

b, denominador, indica el número de partes (número natural) en que se ha dividido la unidad.a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.

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Representar fracciones

Significado de la fracción

La fracción como partes de la unidadEl todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.Un depósito contiene 2/3 de gasolina.

El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería una fracción con el mismo número en el numerador y el denominador.

2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina.

La fracción como cocienteRepartir 4 € entre 5 amigos.

La fracción como operadorPara calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador.Calcular los 2/3 de 60 €.2 · 60= 120 120 : 3 = 40 €

La fracción como razón y proporciónCuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones.Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2

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chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 ( tanto por ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno).Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa?35 · 10 = 350 350 : 100 = 3.535 − 3.5 = 31.5 €

3. COMPARACIÓN, ORDENACIÓN y REPRESENTACIÓN: teorema de Tales.

Para comparar fracciones tenemos, al menos, tres métodos:

1- Hallando el decimal que representan dividiendo su numerador por su denominador. Esta es la manera más fácil y rápida de hacerlo. Ejemplo: 1/2 > 1/4 --------------> 0.5 (1 entre 2) > 0.25 (1 entre 4)

2- Por productos cruzados. Observa:Ejemplo: 1/2 > 1/4 ---------------> 1 x 4 > 1 x 2 -------------------> 4 > 2

3- Si las fracciones son impropias (con numerador mayor que denominador), hallar el número mixto que representan.Ejemplo: 3/2 > 5/4 --------------> 1 1/2 > 1 1/4

Para ordenar fracciones las representamos en la recta real.

Para ello utilizamos el Teorema de Tales:

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El conjunto de las fracciones (irreducibles) es DENSO.

Esto quiere decir que entre dos fracciones (irreducibles) cualesquiera siempre hay un número infinito de fracciones. En efecto, he aquí dos métodos para encontrar fracciones comprendidas entre dos dadas:

EL PUNTO MEDIO ¿PUEDES DEMOSTRARLO?

4. OPERACIONES CON FRACCIONES.

SUMA

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RESTA m.c.m.(4, 6) = 12

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OPERACIONES COMBINADAS: prioridades.

1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.2º.Calcular las potencias y raíces3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..4º.Efectuar los productos y cocientes.5º.Realizar las sumas y restas.

EJEMPLO

Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

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Efectúa las siguientes operaciones:

     

 

EJERCICIOS RESUELTOS

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5. FRACIONES, DECIMALES y PORCENTAJES:fracción generatriz.

Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:Pasar de decimal exacto a fracciónSi la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidadseguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Pasar de periódico puro a fracción generatrizSi la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.

Pasar de periódico mixto a fracción generatrizSi la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte enteraseguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador,

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un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

DEMOSTRACIÓN: Sea n = 2.32 entonces 100n = 232.32 restando 99n = 232 - 2

6. PROBLEMAS CON FRACIONES.

Como ya sabes, las fracciones se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir. Sumar o restar fracciones con igual denominador es fácil, pero para sumar o restar fracciones con distinto denominador deberemos antes transformarlas en fracciones equivalentes de manera que tengan el mismo denominador.

1) Realiza las siguientes operaciones:

3/5+1/10= 3-1/5=

1/2+3/4+3/8= 3/4-2/3=

1/4+5/8-5/12 = 1-(1/2+1/3+1/6)=

2) Llena los recuadros vacíos con una fracción:

5/4 + ∆ = 3/2

516 - ∆ = 1/2

713 x ∆ = 1

3/4: ∆ = 1

3) Resuelve los siguientes problemas:

- Si cada día dedicas 1/3 del tiempo a dormir, 1/4 a trabajar y 1/12 a hacer deporte, ¿qué fracción del día te queda para el resto de actividades?

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- Dice la leyenda que el viejo Salim antes de morir repartió los 35 camellos que tenía entre sus tres hijos, dejando la mitad al mayor, 1/3 al mediano y 1/9 al pequeño. Al hacer el reparto, como no sabían como hacerlo para no partir ningún camello, fueron a visitar a Beremiz, el gran calculador, que les dijo: «Yo os dejaré un camello, después hacéis el reparto de los 36 camellos, según las partes decididas por Salim y después me devolvéis mi camello y me dais, en recompensa, el otro que os sobrará.» ¿Es verdad lo que dijo Beremiz? ¿Cómo puede explicarse que sobren dos camellos?

- Javier ha regalado su colección de discos de jazz a sus amigos y lo ha hecho de una manera muy curiosa: ha dado la mitad de los discos más un disco a Blanca; la mitad de los que le quedaban más un disco los ha dado a María y, finalmente, la mitad de los que quedaban más un disco los ha dado a Luis. Después del reparto todavía le han quedado 9 discos. ¿Cuántos discos tenía su colección, y cuántos ha dado a cada uno? (Pista: puedes empezar por el final y hallar lo que ha recibido Luis).4) Resuelve los siguientes problemas:

- Un grupo de trabajadores se dedica a la replantación de la hierba de dos campos de fútbol de las mismas dimensiones. Durante media jornada trabajan todos en uno de los campos, y en la otra media la mitad de los trabajadores continúan trabajando en el primer campo y acaban de poner toda la hierba, y los otros trabajan en el segundo campo. La parte del segundo campo que queda por acabar, ocupa una jornada entera a 4 trabajadores. ¿Cuántas personas forman el grupo? (Puedes ayudarte con un gráfico)

- María está leyendo un libro de 475 páginas. Al llegar a la página 115 se pregunta si habrá leído más de una cuarta parte o más de una quinta parte. ¿Cómo resolverías su duda? En realidad, ¿qué parte ha leído?

- El espectro solar está formado por varios colores. El rojo ocupa 1/8 parte del espectro, el amarillo 2/15 y el naranja 3/40. ¿Qué parte del espectro está ocupada por el resto de los colores?

- Para montar una exposición sobre las grandes ciudades, se ha dedicado 1/6 del espacio para tratar el tema del nacimiento de las ciudades, 2/5 para tratar su evolución hasta llegar al siglo XX, y 3/8 a la gran expansión de las ciudades modernas. El resto se ha dedicado a exponer pinturas de temática urbana. ¿Qué parte de la exposición se ha dedicado a la pintura? Si esta parte ocupa un espacio de 133 m2, ¿qué superficie ocupa toda la exposición y cuál cada una de sus partes?

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- Tenemos la fracción 7/6. Escribe una fracción mayor y otra menor que 716, las dos con el denominador distinto de 6. ¿Cuál de las dos fracciones está más cerca de 7/6? ¿Por qué?

Una de las propiedades interesantes que tienen las fracciones es que entre dos fracciones siempre podemos hallar otra, algo que no pasa con los números naturales si éstos son consecutivos. Por ejemplo, entre 3 y 2 no hay ningún otro número natural, mientras que entre 1/3 y 1/2 podemos hallar 2/5 o también 5/12. En realidad podemos hallar tantas como queramos.

- Halla dos fracciones que estén entre 4/7 y 5/7. Haz lo mismo para 2/3 y 3/4.

- Si tenemos dos fracciones podemos sumar los numeradores y los deno-minadores para obtener una nueva fracción. Fíjate que la fracción obtenida no tiene nada que ver con el resultado de sumar las dos fracciones, pero, en cambio, nos puede servir para hallar una nueva fracción que se encuentra las dos iniciales. Utiliza esta idea para hallar fracciones mayores que 3/8 y menores que 4/9.

Problemas: Fracciones

1. El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la

Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones: de nitrógeno, de

oxígeno, de anhídrido carbónico y el resto son gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentran en 1 m3 de aire.

2. La sangre humana se compone de de corpúsculos (glóbulos rojos, glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que la sangre de

una persona constituye aproximadamente de su masa, ¿cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de un individuo de 77 kg?

3. Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320

personas más que en el B. Sabiendo que en el B se encuentran los del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?

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4. En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte claveles y el resto son tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 m2 y en cada metro cuadrado hay 200 flores, ¿cuántas rosas blancas se recogerán?

5. En un congreso internacional, de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay?

6. Disponemos de tres grifos para llenar un depósito. El primero lo llena en 3 horas, el segundo en 4 horas, y el tercero, en 6. Si se abren los tres a la vez, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito?

7. La diferencia entre los y los de un número es igual a 8. ¿Cuál es ese número?

8. Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440 m. Si sabemos

que uno mide los del otro, ¿cuál es la longitud de cada cable?

9. Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan la cuarta parte, los puerros los dos quintos, y las zanahorias, el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 m2 a la de las zanahorias. ¿Cuál es la extensión del huerto?

10. Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000 € y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses hemos

pagado los del precio total. Calcula el precio del apartamento.

11. Los de una pieza de tela cuestan 52 €, y el resto mide 6 metros. Calcula la longitud total y el precio total de la pieza.

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12. En cierto país trabajan de la población. De los trabajadores, se dedica

a la construcción, a la industria, al sector servicios, y el resto a la agricultura.

a) ¿Qué parte de los trabajadores se dedica a la agricultura?b) ¿Qué fracción del total de la población representa?

13. De una cantidad de dinero se gasta la tercera parte, después los del

resto, y por último de lo que queda.a) ¿Qué parte del total se ha gastado?b) Si al final hay 3780 €, ¿cuánto había al principio?

CONTROL DE FRACCIONES

1. ¿Qué es una fracción? ¿Cómo aparecen las fracciones? ¿Qué significa 5/7?

2. Alguien afirma que entre 2/5 y 1/2 hay muchas fracciones. ¿Crees que es cierto? ¿Por qué? Dame algunas.

3. En una familia trabajan el padre, la madre y el hijo mayor, ganando entre los tres 4.200 euros al mes. Si el padre gana los 2/3 de la madre y el hijo la mitad que su padre. ¿Cuánto gana cada uno?

4. Un depósito de agua que contenía 5/8 de su capacidad perdió la mitad de su contenido. Más tarde se añadieron 60 litros de agua y se volvió a perder 1/2 de su contenido. Entonces se comprobó que quedaban 200 litros de agua. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

5. Juanito tiene la mitad de la tercera parte del cuádruplo del dinero que tiene Pedrito:

• Si Pedrito tiene 300 euros. ¿Cuánto dinero tiene Juanito?• Si Juanito tiene 160 euros. ¿Cuánto dinero tiene Pedrito?

6. Santo Domingo de La Calzada tiene 7.200 habitantes. Los 2/3 tienen menos de 40 años, y de éstos, los 3/5 son menores de 20 años. ¿Cuántos habitantes de Santo Domingo tienen más de 40 años? ¿Cuántos tienen entre 20 y 40 años?

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7. La tercera parte de la mitad de un número es 6. ¿Cuál es el número?

8. Al tostar pan éste pierde el agua que equivale a la quinta parte de su peso inicial. Si cortas un trozo de 250 gramos, ¿cuánto pesara después de tostarlo? Y si después de tostado un trozo de pan pesa 132 gramos, ¿cuánto pesaba antes?

9. ¿Cómo se opera con fracciones? ¿Por qué?

10. Calcula:

Los dos tercios de la mitad de 240

7. LOS NÚMEROS RACIONALES: concepto

Para resolver los casos de imposibilidad de la división en ℤ, se crearon los números racionales. Se trata de que todo número tenga inverso. Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números (uno entero y otro natural)

El conjunto de los números racionales se denota ℚ y se define así:

ℚ = { p/q / p є Z, q є N, m.c.d.(p, q)=1 }Propiedades del conjunto ℚ

1. ℚ es un conjunto infinito. 2. Entre dos números racionales existe siempre un número infinito de

racionales; es decir, ℚ es un conjunto denso.3. ℚ no tiene primero ni último elemento. 4. ℕ С ℤ С ℚ. Todo número entero es racional, pero no todo número

racional es entero. 5. Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor. 6. Ley de tricotomía.

Si a/c y b/d є ℚ entonces una y sólo una de las siguientes afirmaciones es cierta:

a/c < b/d a/c > b/d a/c = b/d

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ℚ es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤. 7. Un número racional puede ser expresado mediante una fracción o en

forma decimal; tanto una forma como la otra designan exactamente el mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales significativas o es periódica.

Representación de ℚ en la recta numéricaPara representar un número racional en la recta numérica se divide el segmento unidad en tantas partes como indica el denominador la fracción que lo representa y se toma tantas como lo dice el numerador. A todo número racional le corresponde un punto sobre la recta, ¿corresponderá a cada punto de la recta un número racional? En otras palabras, ¿completa la recta el conjunto de los números racionales? La respuesta es no.

http://www.youtube.com/watch?v=lBqQkCssbPchttp://www.ceibal.edu.uy/userfiles/P0001/CazaDelTesoro/HTML/Numeros%20locos_Silvana%20Realini.elp/index.html

http://diccio-mates.blogspot.com.es/

8. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES: EXACTITUD

Históricamente las fracciones aparecieron para expresar partes de una cantidad de forma exacta. Así:

Medio kilo de pollo. Tres cuartos de litro de leche. Un botellín de un tercio de litro.

Y para expresar proporciones. Así: A es a B como n es a m.

Un ejemplo es el siguiente. Tienes una cuerda musical de una longitud determinada que calculas para que produzca una nota musical. Puedes comprobar que las demás notas musicales las producen cuerdas que tienen una longitud que está en proporción con la original de forma que n y m son números naturales.

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http://necronomicosas.com/2010/11/27/alquimia-y-musica-vol-i/

Otro ejemplo: el volumen de un cilindro y el de la esfera inscrita en él están en proporción como 3 es a 2.

Ahora las conservamos con una sola finalidad: no perder precisión en los cálculos.

No te confundas: puedes operar de manera exacta con un tercio de litro, pero no puedes construir un botellín que tenga exactamente un tercio de litro. En la realidad todas las medidas son aproximadas.

Un tercio de litro = 0 litros + 3 decilitros + 3 centilitros + 3 mililitros + …

Pero puedes construir exactamente un tercio de la longitud de un segmento dado, y de ahí, creerte que existe.

http://luisluna1.blogspot.com.es/2011_03_01_archive.html

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