Χ Χαραλάμπους ΑΠΘusers.auth.gr/.../2012/presentation5_04_12.pdf · microsoft...

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2012

Εαρινό εξάμηνο 20125.04.12

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ


ΑΠΘ


Τεταρτοβάθμιες εξισώσεις και Cardano(Ferrari)


ΑΠΘ


ΙΔΕΑ: Αν και από τιςδύο μεριές της ισότηταςείχαμε τέλεια τετράγωνατότε θα παίρναμε τιςρίζες τους και θαλύσουμε για x! Προσπαθούμε λοιπόννα κάνουμε δύο τέλειατετράγωνα. Αςσυμμαζέψουμε πρώτατα x στο αριστερόσκέλος. Προσθέτουμε6x2 (και στα δύο σκέλη) και το πρώτο γίνεταιτέλειο τετράγωνο.

To πρώτο πρόβλημα στις τεταρτοβάθμιες!

Υπολείπεται βέβαια το δεξιό σκέλος. Θαδοκιμάσουμε να εισάγουμε μία νέαμεταβλητή y φροντίζοντας να μη «χαλάσει»το αριστερό σκέλος.


ΑΠΘ


Η ποσότητα που προστέθηκε στο αριστερό σκέλος έτσι ώστε να έχουμε το τοτετράγωνο με ακμή x2+6+y είναι y2+12y+2yx2 . Η ίδια ποσότητα πρέπει ναπροστεθεί και στο δεξιό σκέλος.

Νέο ερώτημα: ποια τιμή πρέπει ναέχει το y έτσι ώστε το δεξιό σκέλοςνα είναι τέλειο τετράγωνο? Πότεείναι μία έκφραση της μορφήςAx2+Bx+C τέλειο τετράγωνο? Ποιασυνθήκη πρέπει να ισχύει για τιςρίζες του πολυωνύμου? Τι σημαίνειαυτό για τη διακρίνουσα? ΕδώΑ=6+2y, Β=60, C= y2+12y


ΑΠΘ


Αφού Α=6+2y, Β=60, C= y2+12y θα πρέπει να ισχύει ότι:

Η συνθήκη: «Διακρίνουσα =0» δίνει την εξίσωση της επιλύουσας τριτοβάθμιας.


ΑΠΘ


Τύπος του Cardano για το y -----Mathematica

y→ −5+13I5130− 81è!!!!!!! !!!3767M1ê3

+ I190+3è!!!!! !! !!!3767M1ê3

x→ −12$%%%%%%% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %%−4+

13I41040− 648è!!!!!!! !!!3767M1ê3

+ 2I190+3è!!!!!!! !!!3767M1ê3−

12-J 1

3J−24− I41040−648è!!!!!!! !!!3767M1ê3

−6I190+ 3è!!!!!!!! !!3767M1ê3−

360 ì J-J−4+13I41040−648è!!!!!!! !!!3767M1ê3

+2I190+ 3è!!!!!!!! !!3767M1ê3NNNN

Και η λύση για το x της τεταρτοβάθμιας


ΑΠΘ


Επιλύουσα τριτοβάθμια

λύση y=3

Νέο παράδειγμα


ΑΠΘ


Υπάρχουν άλλες ρίζες?

Αντικατάστασητου y:

Παίρνουμετετραγωνικέςρίζες και από ταδύο σκέληκαιεπιλύουμε τηδευτεροβάθμια


ΑΠΘ


Rafael Bombelli (1526-1573)Μηχανικός«Άλγεβρα» 1572


ΑΠΘ


Ριζικά: πίσω στο «Κύβος και πρώτη δύναμη ισούνται αριθμό»

Ο τύπος του Cardano


ΑΠΘ


Ο Βombelli έδειξε ότι το 2 ισούται με αυτή τη ποσότητα!


ΑΠΘ


Ο συλλογισμός του Bombelli

Έστω ότι

Τότε:

Επίσης

ποια είναι τα b,a?

Δηλαδή:


ΑΠΘ


Επίσης, αφού

προκύπτει αντικαθιστώνταςότι

και άρα a=1 .


ΑΠΘ


Έτσι

και επομένως


ΑΠΘ


Σύμφωνα με την απόδειξη του Cardano αυτός είναι ένας θετικόςαριθμός.


ΑΠΘ


Συντεταγμένες και Oresme(14ο αιώνα)


ΑΠΘ


Ο Bombelli έκανε πράξεις ακολουθώντας τους κανόνεςγια τα ριζικά και έδειξε ότι η τιμή (από τον τύπο) τουCardano είναι ίση με το 4.

ρίζες αρνητικών αριθμών: μέθοδος σοφιστείας


ΑΠΘ


Αν

τότε

Επίσης προκύπτειότι

Όμως αφού


ΑΠΘ


η μόνη λύση είναι το a=2 και άρα b=1. Έπεται ότι

και


ΑΠΘ


Τεράστια Σημασία των λύσεων τρίτου-τετάρτου βαθμούεξισώσεων :

Οι λύσεις δεν ήταν αποτέλεσμα πρακτικών υπολογισμώνΟι λύσεις δεν χρησίμευαν στους μηχανικούς.Προσεγγιστικές λύσεις για αυτές τις εξισώσεις υπήρχαν.

Έδωσαν ώθηση στην αλγεβρική έρευνα προςδιάφορες κατευθύνσεις. Στην Άλγεβρα: προσπάθεια για γενίκευση για εξισώσειςοποιουδήποτε βαθμούΕνασχόληση με άλλο είδος αριθμών: τις τετραγωνικές ρίζεςαρνητικών αριθμών.


ΑΠΘ



ΑΠΘ


François Viète(επάγγελμα: δικηγόρος) (1540‐1603) Γάλλος

Σύμβουλος του Ερρίκου ΙΙΙκαι του Ερρίκου IV.

H πιο παραγωγική μαθηματικάπερίοδος της ζωής του ήταν ότανέπεσε σε δυσμένεια !(1584-1589).


ΑΠΘ


In artem analyticam isagoge (1591)υπό την επιμέλεια του F. Van Schooten (1646)


ΑΠΘ


A cubus + Β quad. in A æquetur B quad. in Z.

Ο Viete εισαγάγει και χρησιμοποιεί φωνήεντα για τοάγνωστο μέγεθος και σύμφωνα για το γνωστό. Έτσικάνει τον διαχωρισμό ανάμεσα στην έννοια τηςπαραμέτρου και της άγνωστης ποσότητας.


ΑΠΘ


«Εισαγωγή στην Αναλυτική Τέχνη»

Θέτει την άλγεβρα ως την επιστήμη για την ανακάλυψη σταμαθηματικά. Πιστεύει ότι ο «φορμαλισμός» της άλγεβρας θαμπορεί να λύσει όλα τα μαθηματικά προβλήματα.

Η χρήση παραμέτρων και μεταβλητών μετέτρεψε την άλγεβρα απόμελέτη συγκεκριμένων προβλημάτων στη μελέτη γενικώνπροβλημάτων.

Με τον ίδιο τρόπο η «αναλυτική του τέχνη» επηρέασε και τουςάλλους τομείς, στην ανακάλυψη και στην απόδειξη τωναποτελεσμάτων.


ΑΠΘ


1593 van Roomen (Βέλγος) δημοσίευσε τηνεξίσωση

Ο Viete έδωσε μία λύση αμέσως μόλις του τέθηκε τοπρόβλημα από τον βασιλιά και έδωσε 22 λύσεις μίαμέρα αργότερα!


ΑΠΘ


Λύση τριτοβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας ιδιότητες του συν θ.

Θα χρησιμοποιήσει τον τύπο για τοcos 3θ

Η αντικατάσταση του x στην τριτοβάθμια εξίσωση θα οδηγήσει σε μία μορφήπου μοιάζει με αυτήν της ταυτότητας:

Έτσι θέλει να βρει θ που να ικανοποιεί


ΑΠΘ


Χ Χαραλάμπους ΑΠΘusers.auth.gr/.../2012/presentation5_04_12.pdf · microsoft...

Documents