Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011...

Ε ό ξά Εαρινό εξάμηνο 201114.03.11

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Πως έφτασαν τα «στοιχεία» του Ευκλείδη σε εμάς:

(Έκδοση του Θεωνα (με Υπατία?) (σχόλια)~360 μ Χ )

(βυζάντιο)∆ιαφορετικήέκδοση 900 μ.Χ.

~360 μ.Χ.)

Άραβικά

Βρέθηκε στο Βατικανότο 1808

Άραβικά~760 μ.Χ.

Heiberg (∆ανία)+ Menge (Γερμανία)

Αντίγραφο888 μ.Χ. Καππαδοκία

Adelard de Bath1120 μ Χ (λατινικά)

(Γερμανία)αρχαία ελληνικά+λατινικά ~ 1900

1120 μ.Χ. (λατινικά) 1533 (λατινικά) Heath (1908)αγγλικά

Ε Σ ά 1956Πρώτη εκτύπωση1482

19ος αιώνας

Ε. Σταμάτη ~1956

Κ Ε ΕΠ ΕΚ 2001



Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ. 2001

Αρχιμήδης 287 π.Χ. ‐ 212 π.Χ.Αρχιμήδης 287 π.Χ. 212 π.Χ.



Domenico Fetti 1620



Fields medal προτομή ύβ + ύλ δFields medal προτομή, κύβος+κύλινδρος

κύβος και κύλινδρος



έλικα



Εύρηκα, Εύρηκα (η ορία ε ο ρ ό α ο έ α ο Ιέρ α)(η ιστορία με το χρυσό και το στέμμα του Ιέρωνα)

Τ έ έ ό βά ό ό δόθ ί ΕίΤο στέμμα έχει το σωστό βάρος: όσο το χρυσό που δόθηκε για να φτιαχτεί. Είναιόμως ολοκάθαρο χρυσό? Πως μπορούμε να βεβαιωθούμε?



Η έλικα του Αρχιμήδη

Για την άρδευση στηνΑίγυπτο γ



Εφαρμοσμένη μηχανική

Άρπαγαςρ γ ς



Κάτοπτρα του Αρχιμήδη

Giulio Parigi (1571-1635) ~1600



Πείραματου Ι. Σακκά1973

(ανάφλεξη?)



Το πλανητάριο του Αρχιμήδη: έβρισκε ταυτόχρονα την θέση ήλιου, σελήνης και 6 πλανητών (σύμφωνα με τον Κικέρωνα, Cicero Marcus Tullius, 106‐43 π.Χ) οδοντωτός τροχός?οδοντωτός τροχός?

ΜηχανισμόςΤων Αντικυθήρων(στηρίζεται στο πλανητάριο?(στηρίζεται στο πλανητάριο?



Ο Θάνατος του ΑρχιμήδηΟ Θάνατος του Αρχιμήδη«Μη μου τους κύκλους τάραττε»



Ο Κικέρων ανακαλύπτοντας τον τάφο του ΑρχιμήδηPierre Henri de Valenciennes (~1800)



Τάφος του Αρχιμήδη: Η σφαίρα και ο κύλινδορς

Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.)στουςστους «Βίοι Παράλληλοι Μάρκελλος»για τον Αρχιμήδη και επιθυμία του:

«Πολλῶν δὲ καὶ καλῶν εὑρετὴς γεγονὼςλέγεται τῶν φίλων δεηθῆναι καὶ τῶνσυγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴνσυγγενῶν ὅπως αὐτοῦ μετὰ τὴν τελευτὴνἐπιστήσωσι τῷ τάφῳ τὸν περιλαμβάνοντατὴν σφαῖραν ἐντὸς κύλινδρον, ἐπιγράψαντεςτὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ περιέχοντοςτὸν λόγον τῆς ὑπεριχῆς τοῦ περιέχοντοςστερεοῦ πρὸς τὸ περιεχόμενον. »



Εργα του ΑρχιμήδηΕργα του Αρχιμήδη(έχουν βρεθεί)"Περί σφαίρας και κυλίνδρου" Βιβλίο α' και β' "Κύκλου μέτρησις" Σώζονται τρία θεωρήματα. μ ρη ς ζ ρ ρήμ"Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων" (32 θεωρήματα, 1 πόρισμα) "Περί ελίκων" (28 θεωρήματα, 6 πορίσματα) "Περί επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων ή Μηχανικά" Βιβλία α' και β'. " βλ λ ""Βιβλίο λημμάτων" "Πρόβλημα Βοεικόν" "Κατασκευή πλευράς του περιγραφομένου εις κύκλο επταγώνου" "Ωρολόγιον Αρχιμήδους" (Σώζεται στα αραβικά) Ωρολόγιον Αρχιμήδους (Σώζεται στα αραβικά) "Περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλων" "Αρχαί της Γεωμετρίας" «Ψαμμίτης" μμ ης"Τετραγωνισμός παραβολής" «Οστομάχιο»«Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος» (=μέθοδος)«Περί των επιπλεόντων σωμάτων" «Οχουμένων" (Υδροστατική επιπλεόντων σωμάτων)



Έργα του Αρχιμήδη που δεν έχουν ακόμα βρεθεί:

"Αριθμητικά" "Βαρουλκός, Υδροσκοπίαι, Πνευματική" "Επισίδια Βιβλία" (Μάλλον περί στατιστικής ‐Τζέτζης) Επισίδια Βιβλία (Μάλλον περί στατιστικής Τζέτζης) "Περί τριγώνων" "Περί τετραπλεύρου" "Περί ζευγών" "Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων" Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων "Ισοπεριμετικά" "Ισορροπίαι" "Καύσις δια κατόπτρων" "Περί Αρχιτεκτονικής" "Π ί β ύ λ φ ό (Π ό Α ό ) "Περί βαρύτητος και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα ‐ Αραιόμετρα) "Περί δρομομέτρων" (Οδόμετρα πλοίων) "Περί κέντρου Βάρους ή Κεντροβαρικά" "Κατοπρικά" "Περί παραλλήλων γραμμών" "Περί κοίλων και παραβολικών κατόπτρων" "Προοπτική" "Στοιχεία μηχανικών" Στοιχεία μηχανικών "Πλινθίδες και Κύλινδροι" "Στοιχεία επί των στηρίξεων" "Σφαιροποιΐα"



∆ος μοι πα στω και τα γαν κινάσω Βιβλίο 1, περί επιπέδων ισορροπιών

ΤΑ ΜΕΓΕΘΕΑ ΙΣΟΡΡΟΠΕΟΝΤΙ ΑΠΟ ΜΑΚΕΩΝ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΟΤΩΣ ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΧΟΝΤΩΝ ΤΟΙΣ ΒΑΡΕΣΙΝ.

Τα μεγέθη Γ, Δ θα έρθουν σε ισορροπία ως προς το Ε όταν οι αποστάσεις ΔΕ, ΕΒ ικανοποιούν την σχέση αντιστρόφως ανάλογες με το βάρος τους:

Γ:Δ=ΔΕ: ΕΚ

ΤΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΝ ΒΑΡΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΚΙΝΟΥΝ, ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΕΝ.



«Οστομάχιον»: η μάχη των οστών μ χ η μ χη(σχημάτων)

Συνδυαστική και Μαθηματικά?



Ο Ψαμμίτης ("Άμμου Καταμέτρης")Ο Ψαμμίτης ( Άμμου Καταμέτρης )

Η αρχή της πραγματείαςΗ αρχή της πραγματείας

Το τέλος της



Ο Ψαμμίτης ("Άμμου Καταμέτρης")

το σύνολο των στοιχειωδών σωματιδίων (πρωτονίων και ηλεκτρονίων) σε όλο το σύμπαν υπολογίζεται κάπου ανάμεσα στο 10 εις την 70 και 10 εις την 85,

Η τελική εκτίμηση του Αρχιμήδη δίνει άνω όριο 10εις την 64 κόκκων σε ένα σύμπαν πλήρες άμμου.

((Θεωρία του Αρίσταρχου για ένα ηλιοκεντρικό σύστημα)



.

=9999 =10,000 Μυριάς

=9,999 x 10,000+9,999=99,990,000+9,999=99,999,999

Σύστημα αρίθμησης του Αρχιμήδη

πρώτοι αριθμοί:1 έως 99,999,999

Συνεχίζουμε έτσιέως το

∆εύτεροι αριθμοί

Από 108 έως 108·108=1016



Αριθμοί της πρώτης περιόδου: 1 έως μονάδα της δεύτερης περιόδου είναι

έ φ ά ί δ άδ άδ έτσι φτάνουμε ως την περίοδο : μυριάδα μυριάδων .ο μεγαλύτερος αριθμός της μυριάδας μυριάδων περιόδου είναι ο αριθμόςρ μ ς

Η περίμετρος της γης είναι μικρότερη των 300 μυριάδων στάδια (~5·105 km )Η περίμετρος της γης είναι μικρότερη των 300 μυριάδων στάδια ( 5 10 km.)

Ο ήλιος είναι μικρότερος των 30 φορές τη Σελήνη

Η ή δ ά Ήλ ό Γ λύ 1/200 θή ί Έ λ ίζΗ γωνιακή διάμετρος του Ήλιου από τη Γη μεγαλύτερη 1/200 ορθής γωνίας. Έτσι υπολογίζεται η ακτίνα της τροχιάς της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Άρα η διάμετρος του σύμπαντος είναι το πολύ 1014 στάδια.Άρα η διάμετρος του σύμπαντος είναι το πολύ 10 στάδια.

Χρησιμοποιώντας τους κόκκους της παπαρούνας ως πρότυπο (μεγέθους) για τους κόκκους της άμμου καταλήγει ότι αρκούν 1063 κόκκοι άμμου για να γεμίσει το σύμπαν



Λογισμός και Αρχιμήδηςη μέθοδος της εξάντλησης σε πλήρη εφαρμογήη μέθοδος της εξάντλησης σε πλήρη εφαρμογή

Το εμβαδόν ανάμεσα στην παραβολή και τέμνουσαισούται τα 4/3 του αντίστοιχου τριγώνουισούται τα 4/3 του αντίστοιχου τριγώνου

Ξεκινά με το δοθέν τρίγωνο Α και προσθέτει συνεχόμενα καινούρια τρίγωνα ανάμεσα σε αυτά που υπάρχουν και τη παραβολή για να βρει διαδοχικάανάμεσα σε αυτά που υπάρχουν και τη παραβολή για να βρει διαδοχικά εμβαδά A, A + A/4 , A + A/4 + A/16 , A + A/4 + A/16 + A/64 , ...

Άρα το εμβαδόν που μας ενδιαφέρει είναι:Άρα το εμβαδόν που μας ενδιαφέρει είναι:

A(1 + 1/4 + 1/42 + 1/43 + ....) = (4/3)A αφού



Π έΠροσέγγιση για το π

Πρόταση: Ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου ως προς τη διάμετρο του κύκλου (δηλ. το π) είναι

μικρότερος του 31/7 και μεγαλύτερος του310/71 (3.14085…< π < 3.14286)

Σκίτσο της απόδειξης του Αρχιμήδη:Σχηματίζουμε κανονικά πολύγωνα εντός και εκτός και

δ ύ Ό έ λ ώ ίτα υποδιαιρούμε. Όταν οι ακμές των πολυγώνων είναι 96 (!) μετράμε τα μήκη τους χρησιμοποιώνταςτη [«Στοιχεία», Πρόταση 6.3].



Ασκήσεις:Ασκήσεις:Αν οι πρώτοι αριθμοί είναι έως το 108 οι δεύτεροι έως Αν οι πρώτοι αριθμοί είναι έως το 10 ,οι δεύτεροι έως το 1016 ,οι τρίτοι έως το 10 24 ,σε ποια σειρά είναι οι αριθμοί έως το ?αριθμοί έως το ?Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας λογισμό ότι τοβ δό ή β λή ί ί / εμβαδόν τμήματος παραβολής είναι ίσο με 4/3 του εμβαδού του αντίστοιχου τριγώνου



Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011...

Documents