*Realizzazione di un lavoro didattico di formazione-informazione relativo alla parte finale del corsoApplicazione di abilit e competenze nella costruzione di un percorso di Storia-Matematica-Astronomia e Fisica come conferma della validit del modello di e-learning

6-16 Novembre 2002 Progetto Docente Applica le competenze acquisite

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*ObiettiviLobiettivo della presentazione riguarda lapplicazione delle abilit e competenze acquisite durante il corso mediante la costruzione di un percorso di comprensione relativo a un qualunque tema disciplinare come conferma della validit del modello di e-learning;La ragione del perch si scelto un percorso di Storia-Matematica-Astronomia e Fisica la coerenza epistemologica che le quattro discipline mostrano di possedere nellinterpretazione culturale e pedagogica delle idee presenti nel tema;Si scelta come tematica le leggi di Keplero perch si notato che possibile sfruttare al meglio i mezzi informatici per realizzare, comprendere e visualizzare egregiamente le tematiche connesse con le quattro discipline (aspetto grafico, simbolico, iconico oltrech testuale);

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*Le leggi di KEPLERO: Indice

(Fai click sulle pergamene per vedere l animazione)

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*Le leggi empiriche di KepleroDiscipline coinvolte:

Storia Matematica Astronomia Fisica

A cura dei proff. Vincenzo Calabr-Vincenzo Cennamo-Fernando Cogli

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*SommarioIl problema generale delle Leggi di Keplero Il problema storico Il problema matematicoIl problema astronomicoIl problema fisicoSintesiBibliografia

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*Il problema generaleFin dai tempi pi remoti i movimenti dei pianeti, coi loro vagabondaggi sullo sfondo del cielo stellato, hanno rappresentato un affascinante mistero per lumanit

I volteggi di Marte erano i pi sorprendentiLa curva a cappio descritta dal pianeta Marte sullo sfondo della Costellazione del Capricorno

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*1a legge di Keplero o legge delle orbite Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi1 Legge

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*Orbita ellittica

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* Il segmento che collega un pianeta al Sole descrive (spazza) aree uguali in tempi ugualidA/dt=cost.2a legge di Keplero o legge delle aree2 Legge

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*3a legge di Keplero o legge dei periodi(*) Il quadrato del periodo di qualunque pianeta proporzionale al cubo della sua distanza media dal SoleT2= k r3(*) Chiamata anche legge armonica3 LeggeApprofondisci

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*Il problema matematicoLELLISSE COME LUOGO GEOMETRICODati nel piano due punti F1 ed F2, si dice ellisse E il luogo geometrico dei punti P di per cui costante la somma delle distanze da F1 ed F2:

E = (P\ PF1+PF2 = 2a; 2a>F1F2 )

I punti F1 ed F2 si dicono fuochi dellellisse

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*Equazione dellellisseSiano F1(c;0) ed F2(-c;0), con c0+, i fuochi e P(x;y) il punto generico dellellisse che verifica la condizione:PF1+PF2 = 2a (a 0+)dovr naturalmente risultare 2a>2c cio a>c

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*con a2-c2=b2Equazione canonica dellellisse Lequazione canonica dellellisse assume la forma:

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*Propriet dellellisseLellisse simmetrica rispetto agli assi coordinati

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*Propriet dellellisseLa curva compresa nel rettangolo delimitato dalle rettex=a, x=-ay=b, y=-b

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*EccentricitSi definisce eccentricit dellellisse il rapportoe=c/aEssendo:b2=a2-c2 cio c2=a2-b2

con 0m)

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*La 2a legge in forma schematica

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*La 2a legge in termini qualitativi La 2a legge afferma che il pianeta si muove: pi lentamente quando pi lontano dal Sole (afelio) pi rapidamente quanto pi vicino al Sole (perielio)

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*Dal punto di vista dinamico Larea dello spicchio ombreggiato equivale quasi esattamente allarea coperta nel tempo t dal segmento r che congiunge il Sole al pianeta. Larea A dello spicchio uguale allarea di un triangolo mistilineo con base larco s e altezza r: A=base altezza=sr=(r)rr2 Questespressione di A diventa sempre pi esatta quando t , e con esso , tende a 0.

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*Durante lintervallo t il raggio r ruota intorno a S di un angolo

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*La rapidit istantanea (velocit areolare) =dA/dt con la quale viene descritta larea :=dA/dt=r2d/dt=r2

dove la velocit angolare del segmento rotante r che congiunge il pianeta al Sole.

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*Ecco laspetto vettoriale del motoIl vettore p la quantit di moto del pianetaIl vettore L il momento angolare del pianeta rispetto al Sole, cio:L=rp=rmvL=rm(v sin)=rmv=rmr=mr2Eliminando r2 fra le due equazioni si ottiene:dA/dt=L/2m

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*Significato della 2a leggedA/dt=L/2mSe il sistema isolato L non varia e il secondo membro costante.Viceversa, se il secondo membro costante, allora la velocit areolare costante e vale la 2a legge di Keplero.

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*La 3a legge Consideriamo unorbita circolare di raggio r: per la 2a legge di Newton: F=ma per pianeta in orbita.

Sostituendo a F lespressione della legge di gravitazione F=GMm/r2 e allaccelerazione centripeta a=2r si ottiene:

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*quindi:(F) = m (a)(GMm/r2)=m (2r) Confrontando e sostituendo a =2/T, (con T periodo del moto) si avr:

T2=(42/GM)r3

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*Limiti di validitI ragionamenti sono validi nel nostro caso solo se le orbite sono circolari ma le leggi sono universalmente valide anche per orbite ellitticheLa nostra dimostrazione stata svolta nel caso di pianeti che ruotano intorno al Sole ma le leggi sono universali e valide in ogni rivoluzione planetaria o galatticaLassunzione di base che la massa M del Sole sia molto pi grande della massa m del pianeta in modo tale che il cento di massa del sistema pianeta-Sole (M+m) sia praticamente al centro del SoleIl sistema di riferimento preso rispetto al Sole

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*Lesattezza delle tre leggi di Keplero Le leggi di Keplero sono state confermate sperimentalmente in modo irrefutabile. Ma ci vollero ancora pi di 50 anni prima che se ne potessero conoscere anche le cause: si dovuto aspettare Isaac Newton per avere il quadro completo della teoria meccanico-gravitazionale

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*Proposte di attivit sperimentali per la costruzione di unellisseMetodo della moneta obliquaMetodo della deformazione del cerchioMetodo del disco rotante in una tegliaMetodo dellinviluppo delle tangentiMetodo del filo tesoMetodo della torcia inclinata

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*1. Ellisse = moneta obliqua

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*2. Ellisse = deformazione di un cerchioSi avvolge un foglio di carta su una bottiglia e si traccia una circonferenza con un compasso. Distendendo il foglio si ha unellisse, la cui forma dipende: dallapertura del compasso dal diametro della bottiglia cilindrica

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*3. Ellisse = disco rotante in una tegliaSi ha una teglia con un foglio da disegno incollato sul fondo. Un disco circolare di cartone, di diametro d=D avente un foro non nel centro, si fa rotolare senza strisciare nella teglia. La punta nel foro disegna unellisse. La forma dipende:dalla posizione del forodal diametro della teglia

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*4. Ellisse = inviluppo delle tangentiCon un cerchio di carta si segna un punto (fuoco F) non nel centro (fuoco F). Si piega il disco in modo che un punto del bordo coincida con il punto segnato. Ripetere loperazione parecchie volte usando diversi punti del bordo.Si ottengono diverse piegature che sono le tangenti che inviluppano lellisse. La forma dipende:dalla posizione del fuoco Fdal diametro del cerchio

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*5. Ellisse = filo tesoSi fissano due puntine su unasticella di legno su cui vi fissato un foglio. Si fa un anello di filo e si disegna lellisse tenendo teso il filo.La forma dipende: distanza delle puntine lunghezza del filo

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*6. Ellisse = torcia elettrica inclinataAvvolgete attorno a una torcia elettrica un foglio di alluminio con un forellino di circa 0,5 cm. Dirigete sul piano il cono di luce uscente dal forellino. Se la torcia perpendicolare al piano otterrete un cerchio. A mano a mano che inclinate la torcia, il cerchio si trasforma in unellisse.La forma dipende: diametro del foro distanza della torcia dal piano

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*LINKS Gioca con Keplero Animazione Mappa teorie astronomiche 1 Mappa teorie astronomiche 2 Keplero: vita ed opere Le leggi di Keplero Keplero:la vita e e le opere Simulazione (NASA)

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*Bibliografia minimaT.S.Kuhn, La rivoluzione copernicana, Torino, Einaudi, 1972;L.Motz-J.H.Weaver, La storia della fisica, Bologna, Cappelli Editore, 1991;D.Halliday-R.Resnik-J.Walker, Meccanica, Bologna, Zanichelli, 2001;A.Braccesi, Una storia della fisica classica, Bologna, Zanichelli, 1992;G.Gamow, Biografia della fisica, Milano, 1961;

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