digilib.unhas.ac.iddigilib.unhas.ac.id/uploaded_files/temporary/...pernyataan keaslian tesis yang...

1

KESTABILAN MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA

DENGAN PEMANENAN OPTIMAL PADA PEMANGSA

THE STABILITY OF ONE PREY- TWO PREDATOR MODEL WITH

OPTIMAL HARVESTING ON PREDATORS

MUHAMMAD IKBAL

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

KESTABILAN MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA

DENGAN PEMANENAN OPTIMAL PADA PEMANGSA

Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar Magister

Program Studi

Matematika

Disusun dan diajukan oleh

MUHAMMAD IKBAL

kepada

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

PERNYATAAN KEASLIAN TESIS

Yang bertanda tangan dibawah ini

Nama : Muhammad Ikbal

NIM : P3500215016

Program Studi : Magister Matematika

Menyatakan dengan sebenarnya bahwa tesis yang saya tulis ini

benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan

pengambilalihan tulisan atau pemikiran orang lain. Apabila dikemudian

hari terbukti atau dapat dibuktikan bahwa sebagian atau keseluruhan tesis

ini hasil karya orang lain, saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan

tersebut.

Makassar,

Yang menyatakan

Muhammad Ikbal

PRAKATA

Puji syukur kita panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas

limpahan rahmat dan anugerah-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan tesis yang berjudul “ Kestabilan Model Populasi Satu

Mangsa-Dua Pemangsa dengan Pemanenan Optimal pada Pemangsa”

sebagai salah satu syarat penyelesaian studi dan meraih gelar magister

pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

Penyusunan tugas akhir ini tidak terlepas dari bantuan yang

diberikan oleh berbagai pihak. Maka sudah sepantasnya penulis

mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak

yang secara langsung dan tidak langsung telah memberikan bimbingan

dan dorongan dalam penyelesaian tugas akhir ini. Secara khusus penulis

mengucapkan terima kasih kepada keluarga penulis, Ayahanda

Muhammad Amir dan Ibunda Hasriah, kakakku tercinta Mart Indah

Purnama Sari dan adikku tersayang Sry Rahayu atas segala kasih

sayang, pengorbanan, doa, dan dukungan yang tiada henti bagi penulis.

Ucapan terima kasih dan penghargaan sebesar-besarnya juga

penulis ucapkan kepada Prof. Dr. Syamsuddin Toaha, M.Sc. dan Dr.

Kasbawati, S.Si., M.Si. selaku pembimbing atas segala waktu, arahan,

dan saran dalam penyelesaian tugas akhir.

Melalui kesempatan yang berharga ini, penulis juga mengucapkan

terima kasih kepada :

1. Prof. Dr. Moh. Ivan Azis M.Sc., Prof. Dr. Jeffry Kusuma dan Dr. Budi

Nurwahyu, MS. selaku dosen penguji atas kesediaannya meluangkan

waktu untuk memberikan arahan dan masukan serta pengetahuan

kepada penulis demi penyempurnaan tesis ini.

2. Jamal Usman, S.H. dan Asrul, S.Sos. yang telah memberikan banyak

dukungan moril.

3. Teman-teman yang selalu meluangkan waktunya untuk berdiskusi

dalam penyelesaian tugas akhir ini: A. Muhammad Amil Siddik, S.Si.

dan Armin, S.Si.,

Semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi siapapun yang

membutuhkannya dalam kemajuan ilmu pengetahuan.

Makassar, November 2017

Muhammad Ikbal

ABSTRAK

MUHAMMAD IKBAL. Kestabilan Model Satu Mangsa-Dua dengan Pemanenan Optimal pada Pemangsa (dibimbing oleh Syamsuddin Toaha dan Kasbawati)

Penelitian ini bertujuan mengkaji dinamika model satu mangsa dua pemangsa dengan pemanenan optimal pada kedua pemangsa.

Penelitian ini menggunakan metode pelinearan sistem di sekitar titik keseimbangan yang positif untuk mengetahui kestabilan titik keseimbangan dari model yang diperoleh. Kestabilan titik keseimbangan dianalisis dengan memperhatikan persamaan karakteristik dari matriks Jacobi titik keseimbangan yang telah dilinearkan. Pemanenan dilakukan dengan memaksimalkan fungsi keuntungan dari kedua pemangsa.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa secara analitik diperoleh tiga titik keseimbangan yang positif pada tiap-tiap model. Titik keseimbangan yang diperoleh stabil. Simulasi numerik dengan nilai parameter tertentu menunjukkan adanya perbedaan kepadatan populasi pada saat sebelum pemanenan dan setelah pemanenan. Setelah kedua populasi pemangsa dipanen secara konstan, diperoleh yang keuntungan maksimal.

Kata kunci: model satu mangsa-dua pemangsa, kompetisi intraspesifik, kompetisi interspesifik, fungsi keuntungan, kestabilan titik keseimbangan.

ABSTRACT

MUHAMMAD IKBAL. The Stability of One Prey-Two Predator Model with Optimal Harvesting on Predators (supervised by Syamsuddin Toaha and Kasbawati).

The research aimed at examining the dynamics of one prey-two predator model with the optimal harvesting on the predators.

The research used the system linearization method around the positive equilibrium point to find out the equilibrium point stability of the model obtained. The equilibrium point stability was analysed by considering the characteristic equation of Jacobi’s matrix of the equilibrium point having been linearized. The harvesting was conducted by miximizing the profit function of both predators.

The research result indicates that analytically three positive equilibrium points on every model are obtained. The equilibrium points obtained are stable. The numerical simulations with the certain parameter values indicate the population density differences before and after the harvesting. After both predator populations are harvested constantly, the maximal profit is obtained.

Keywords: one prey-two predator model, intra-specific competition, inter-specific competition, profit function, equilibrium point stability.

DAFTAR ISI

halaman

PRAKATA .................................................................................................iv

ABSTRAK ..................................................................................................vi

ABSTRACT ............................................................................................... vii

DAFTAR ISI ............................................................................................. viii

DAFTAR TABEL ........................................................................................ x

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................xi

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... xiii

I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ............................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................ 4

C. Tujuan Penelitian .......................................................................... 4

D. Manfaat Penelitian ........................................................................ 5

E. Ruang Lingkup ............................................................................. 5

II. KAJIAN PUSTAKA

A. Model Pertumbuhan Populasi....................................................... 6

B. Model Mangsa-Pemangsa ............................................................ 7

C. Fungsi Respon ............................................................................. 8

D. Sistem Dinamik ........................................................................... 11

E. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz ............................................... 14

F. Nilai Eigen dan Vektor-vektor Eigen ........................................... 15

G. Keseimbangan Bionomik ............................................................ 16

H. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi Dua Variabel .......... 17

Halaman

I. Model Kompetisi Dua Pemangsa untuk Satu Mangsa ................ 18

J. Beberapa Contoh Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa ......... 19

III. METODELOGI PENELITIAN ........................................................... 25

A. Jenis Penelitian .......................................................................... 25

B. Lokasi dan Waktu Penelitian ...................................................... 25

C. Langkah Penelitian ..................................................................... 25

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Model Mangsa-Pemangsa .......................................................... 29

B. Analisis Titik Keseimbangan dan Kestabilan Model tanpa

Pemanenan ................................................................................ 32

1. Analisis Titik Keseimbangan ................................................. 32

2. Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan ................................ 34

C. Analisis Titik Keseimbangan dan Kestabilan Model dengan

Pemanenan ................................................................................ 42

1. Analisis Titik Keseimbangan ................................................. 42

2. Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan ................................ 44

D. Pemanenan Optimal ................................................................... 52

E. Simulasi Numerik ........................................................................ 57

1. Model Tanpa Pemanenan ..................................................... 57

2. Model dengan Pemanenan ................................................... 57

V. PENUTUP

A. Kesimpulan ................................................................................. 70

B. Saran ......................................................................................... 71

DAFTAR TABEL

nomor halaman

4.1. Definisi variabel 30

4.2. Definisi parameter 30

DAFTAR GAMBAR

nomor halaman

2.1. Jenis ikan Gizzard Shad 21

2.2. Jenis ikan Smallmouth Bass 23

2.3. Jenis ikan Walleye 24

3.1. Diagram Alur Kerja 28

4.1. Diagram kompartemen model mangsa-pemangsa 30

4.2. Batas nilai 𝐸1 dan 𝐸2yang menyebabkan kestabilan pada 𝑇8+ 59

4.3. Kurva trayektori populasi mangsa (𝐸1 = 0.02 dan 𝐸2 = 0.12) 60

4.4. Kurva trayektori populasi pemangsa pertama (𝐸1 = 0.02 dan 𝐸2 = 0.12) 60

4.5. Kurva trayektori populasi pemangsa kedua (𝐸1 = 0.02 dan 𝐸2 = 0.12) 61







nomor halaman

4.12. Kurva pemanenan optimal 66

4.13. Kurva trayektori populasi mangsa 68

4.14. Kurva trayektori populasi pemangsa pertama 68

4.15. Kurva trayektori populasi pemangsa kedua 69

DAFTAR LAMPIRAN

nomor halaman

1. Sintaks titik keseimbangan model tanpa pemanenan 75

2. Sintaks titik keseimbangan model dengan pemanenan 76

3. Sintaks gambar kurva trayektori 78

4. Sintaks batas nilai 𝐸1 dan 𝐸2 80

5. Sintaks nilai maksimum fungsi keuntungan 82

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Interaksi antar makhluk hidup menjadi keharusan untuk

melangsungkan kehidupan. Interaksi yang berlangsung akan memberi

dampak terhadap kualitas hidup makhluk tersebut. Bertahan hidup

merupakan alasan yang paling utama dari berbagai macam alasan dalam

berinteraksi.

Mengamati interaksi antar makhluk hidup tidaklah mudah. Salah

satu alternatif disiplin ilmu yang memungkinkan untuk mengamati interaksi

tersebut ialah pemodelan matematika. Pemodelan matematika pada

bidang ekologi sangat menarik untuk dikaji mengingat banyaknya faktor-

faktor yang mempengaruhi pertumbuhan dan kehidupan populasi mahluk

hidup. Proses dinamika kehidupan makhluk hidup (organisme) dapat

dimodelkan secara matematis dengan menggunakan persamaan

differensial yang melibatkan waktu yang kontinu atau waktu yang diskrit.

Salah satu model matematika yang digunakan dalam menjelaskan

fenomena alam tersebut adalah model populasi mangsa-pemangsa.

Model matematika dapat digunakan untuk menjelaskan prilaku

fenomena alam yang terjadi, dapat digunakan untuk memprediksi prilaku

sistem untuk suatu jangka waktu tertentu, dan dapat juga digunakan untuk

mengambil suatu kebijakan (Toaha, 2013).

Salah satu kebijakan yang berhubungan dengan pemanfaatan

makhluk hidup ialah usaha pemanenan. Usaha pemanenan

dimaksimalkan agar mendapat keuntungan yang maksimal pula, yaitu

dengan memaksimalkan fungsi keuntungan.

Kompetisi antar pemangsa dan faktor pemanenan pada

populasi sangatlah penting dalam disiplin ilmu ekologi. Banyak peneliti

yang dapat mengembangkan hal-hal menarik dari perilaku dinamika dalam

populasi ekosistem. Dengan memadukan dua aspek di atas yaitu aspek

kompetisi antar pemangsa dan pemanenan, maka dinamika populasi

dapat dinyatakan dalam suatu model. Selain kompetisi antar pemangsa

(kompetisi interspesifik) aspek menarik lainnya adalah kompetisi antar

spesies dalam satu populasi (kompetisi intraspesifik). Ali, dkk. (2017)

mengkaji model tiga populasi dalam rantai makanan dengan kompetisi

intraspesifik.

Perbedaan yang mendasar pada penelitian ini dengan beberapa

penelitian sebelumnya adalah penelitian ini mengkaji model satu mangsa-

dua pemangsa yang melibatkan sekaligus dua kompetisi yaitu kompetisi

interspesifik dan kompetisi intraspesifik serta memanen kedua populasi

pemangsa.

Banyak peneliti yang memodelkan interaksi mangsa-pemangsa.

Ada yang melibatkan usaha pemanenan, adapula yang tidak melibatkan

usaha pemanenan. Mukhopadhyay dan Bhattacharyya (2015), mengkaji

tentang pengaruh pemanenan dan kompetisi antara pemangsa dalam

model mangsa-pemangsa. Alebraheem dan Hasan (2012) meneliti

tentang ketahanan pemangsa dalam sistem model mangsa-pemangsa

dengan solusi non-periodik. Farajzadeh dkk., (2011) dalam jurnalnya

membahas tentang kestabilan model Gauss satu mangsa dua pemangsa.

Gakkhar, dkk., (2007) meneliti tentang kompetisi dua pemangsa terhadap

satu mangsa. Penelitian dari Kar dan Matsuda (2007) membahas tentang

dinamika global dan kontrol dari model mangsa pemangsa dengan fungsi

respon Holling tipe III. Gupta dan Chandra (2013) telah menganalisis

bifurcation dari model Leslie-Gower mangsa-pemangsa dan pemanenan

dengan metode Michaelis Menten. Upadhyay dan Raw (2011) membahas

tentang dinamika kompleks dari model rantai makanan tiga spesies

dengan fungsi respon Holling tipe III. Kar (2010) meneliti tentang model

reaksi dinamika sistem mangsa-pemangsa. Toaha dkk., (2014)

membahas tentang analisis kestabilan dan kebijakan pemanenan dengan

usaha konstan.

Selanjutnya, penulis akan mengkaji model satu mangsa-dua di

mana kedua pemangsa berkompetisi secara intraspesifik dan interspesifik.

Selain itu, populasi pemangsa dianggap bernilai ekonomis sehingga dapat

dipanen.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dari penelitian ini adalah :

1. Bagaimana model mangsa-pemangsa dengan tiga populasi dan suatu

pemanenan?

2. Bagaimana menentukan titik keseimbangan dan kestabilan model

matematika persaingan dua pemangsa untuk memangsa satu

mangsa?

3. Bagaimana mengoptimalkan fungsi keuntungan dari usaha

pemanenan populasi pemangsa pada model mangsa-pemangsa

tersebut?

C. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini ialah:

1. Membentuk model matematika mangsa-pemangsa dengan

pemanenan pada populasi pemangsa.

2. Menentukan dan menganalisis titik keseimbangan dan kestabilan

model matematika.

3. Menganalisis pemanenan optimal dari model dengan tetap

memperhatikan populasinya agar tidak akan punah.

D. Manfaat Penelitian

Dapat memberikan masukan yang baru tentang model mangsa-

pemangsa kepada para peneliti yang bergelut dibidang ini.

E. Ruang Lingkup

Perlu diberi batasan untuk model yang dimaksud agar ruang

lingkup penelitian lebih terarah dan lebih jelas. Berikut batasan-batasan

yang dimaksud :

1. Model mangsa-pemangsa yang diteliti merupakan model satu mangsa

dan dua pemangsa.

2. Pertumbuhan mangsa mengadopsi model pertumbuhan logistik.

3. Pada pemangsa, fungsi respon yang digunakan adalah fungsi respon

Holling Tipe I.

4. Terdapat interaksi antara kedua populasi pemangsa (kompetisi

interspesifik).

5. Pada kedua populasi pemangsa, terdapat interaksi antar individu

dalam populasinya sendiri (kompetisi intraspesifik).

6. Pemanenan dilakukan pada populasi pemangsa.

20

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Model Pertumbuhan Logistik

Dalam kajian ilmu pengetahuan kedepannya harus ada

pengembangan model eksponensial. Verhulst (1838) memperkenalkan

model pertumbuhan logistik, yaitu:

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑟𝑁 (1 −

𝑁

𝐾)

(2.1)

di mana 𝑟 dan 𝐾 adalah konstanta positif. Parameter 𝑟 pada model (2.1)

menyatakan laju pertumbuhan populasi. Parameter 𝐾 merupakan carrying

capacity atau kapasitas bawaan.

Terdapat dua titik keseimbangan pada model (2.1), yaitu 𝑁 = 0

dan 𝑁 = 𝐾, di mana 𝑑𝑁

𝑑𝑡= 0.

Solusi persamaan logistik apabila diketahui nilai awal 𝑁(0) = 𝑁0

adalah sebagai berikut:

𝑁(𝑡) =𝐾

1 + (𝐴0)𝑒−𝑎𝑡, (2.2)

di mana 𝐴0 =𝐾−𝑁0

𝑁0. Untuk 𝑡 → ∞ diperoleh 𝑁∞ = 𝐾 yang merupakan

carrying capacity dari lingkungan tersebut (Murray, 2002).

B. Model Mangsa-Pemangsa

Volterra memperkenalkan model untuk interaksi mangsa-

pemangsa yang mengeksplor populasi ikan di Mediterranean. Asumsi-

asumsi yang digunakan adalah mangsa bertumbuh tak terbatas selama

pemangsa tetap terkontrol dalam melakukan pemangsaan, pemangsa

bergantung pada kehadiran mangsanya yang bertahan hidup,

pemangsaan bergantung pada kemungkinan interaksi langsung

pemangsa terhadap mangsa, dan pertumbuhan pemangsa tergantung

pada tangkapan mangsa. Berikut ini model yang dikonstruksi dari asumsi-

asumsi tersebut

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −𝑐𝑦 + 𝑑𝑥𝑦,

(2.3)

dengan 𝑥 dan 𝑦 masing-masing menyatakan kepadatan populasi mangsa

dan pemangsa, sedangkan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 berturut-turut menyatakan

pertumbuhan populasi mangsa, laju predasi pemangsa, laju kematian

pemangsa dan laju pertumbuhan pemangsa. Diasumsikan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0,

karena setiap populasi berpotensi berkembang biak. Titik keseimbangan

(�̅�1, �̅�1 ) = (0, 0) dan (�̅�1, �̅�1 ) = (𝑐

𝑑,𝑎

𝑏) (Keshet, 2005).

C. Fungsi Respon

Berdasarkan karakteristiknya, fungsi respon Holling terbagi

dalam empat tipe, yaitu Tipe I (linear), Tipe II (perlambatan), Tipe III

(sigmoid), dan Tipe IV (nonmonotonik).

1. Fungsi Respon Holling Tipe I

Pada fungsi respon Holling tipe I, disumsikan bahwa waktu

penanganan dan waktu pencarian mangsa dapat diabaikan secara

bersamaan (Jeschke dkk., 2002). Fungsi ini terjadi pada pemangsa yang

pasif atau lebih suka menunggu mangsanya. Secara umum, fungsi tipe ini

menurut Mukhopadhyay dan Bhattacharyya (2013) diberikan oleh

persamaan,

𝑓(𝑃) = 𝛼𝑃 (2.4)

dengan

𝑃 adalah kepadatan populasi mangsa (𝑃 ≥ 0),

𝛼 adalah laju interaksi kedua populasi (𝛼 ≥ 0).

2. Fungsi Respon Holling Tipe II

Pada fungsi respon Holling tipe II terjadi pada pemangsa

dengan karakteristik aktif dalam mencari mangsanya. Fungsi ini akan

meningkat jika konsumsinya mengalami penurunan dan konstan jika

mencapai titik jenuh (half saturation). Menurut Gupta dan Chandra (2013),

fungsi Holling tipe II diberikan oleh persamaan,

𝐹(𝑥) =𝑎𝑥

1 + 𝑏𝑥 (2.5)

dengan

𝑥 adalah kepadatan mangsa (𝑥 ≥ 0),

𝑎 adalah laju interaksi kedua populasi (𝑎 ≥ 0),

𝑏 adalah titik jenuh pemangsa (𝑏 ≥ 0).

3. Fungsi Respon Holling Tipe III

Pada tipe ini, hubungan tingkat pemangsaan dan kepadatan

mangsa bersifat sigmoid, di mana saat kepadatan mangsa rendah, efek

pemangsaan juga rendah, tetapi jika ukuran populasi meningkat,

pemangsaan akan lebih intensif (Agarwal dan Pathak, 2012). Fungsi ini

terjadi pada pemangsayang cenderung mencari mangsa lain ketika

mangsa utamanya mulai berkurang sehingga variable mangsa menjadi 𝑁2

dan menyebabkan laju populasi lebih cepat. Fungsi Holling tipe III

diberikan dengan persamaan, (Ndam dkk., 2012)

𝑓(𝑃) =𝑐𝑃2

𝑎 + 𝑃2 (2.6)

dengan

𝑃 adalah kepadatan populasi mangsa (𝑃 ≥ 0),

𝑐 adalah laju interaksi kedua populasi (𝑐 ≥ 0),

𝑎 adalah half-saturation constant (𝑎 ≥ 0).

4. Fungsi Respon Holling Tipe IV

Zhang, dkk.(2008) dalam penelitiannya membahas tentang

dinamika kompleks dari fungsi respon Holling tipe IV. Fungsi respon

Holling tipe IV yang dimaksud adalah 𝐹(𝑁) =𝑚𝑁

1+𝑏𝑁+𝑎𝑁2. Persamaan

tersebut juga digunakan oleh Chatterjee dan Pal (2016) pada

penelitiannya yang membahas tentang kompetisi antara mangsa dan dua

pemangsa dengan fungsi respon Holling tipe IV. Persamaan tersebut juga

disebut fungsi respon tipe Mono-Haldane.

Pada kondisi 𝑏 = 0, persamaannya akan lebih sederhana menjadi

𝐹(𝑁) =𝑚𝑁

1 + 𝑎𝑁2 (2.7)

di mana

𝑁 adalah kepadatan populasi mangsa (𝑁 ≥ 0),

𝑚 adalah laju interaksi kedua populasi (𝑚 ≥ 0),

𝑎 adalah titik jenuh pemangsa (𝑎 ≥ 0).

Persamaan (2.7) digunakan oleh Sokel dan Howell (1981) pada

penelitiannya mengenai kinetika oksidasi phenol.

D. Sistem Dinamik

Sistem fungsi yang bergantung terhadap waktu secara umum

dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.

�̇�1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑡),

�̇�2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑡),

�̇�3 = 𝑓3(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑡),

⋮ �̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑡)

(2.8)

dengan �̇� =𝑑𝑥

𝑑𝑡 dan 𝑓𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑡), 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 adalah suatu fungsi

umum dari 𝑥𝑖 = 1,2,… , 𝑛 dan waktu 𝑡.

Sistem fungsi yang tak bergantung dengan waktu (sistem

autonomous) diberikan sebagai berikut,

�̇�1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

�̇�2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

�̇�3 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

⋮

�̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

(2.9)

dengan 𝑓𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 adalah yang tak bergantung secara

eksplisit terhadap waktu 𝑡. Keseimbangan terjadi apabila �̇�𝑖 = 0, 𝑖 =

1, 2, … , 𝑛. Titik keseimbangan �̅� = (�̅�1, �̅�2, … , �̅�𝑛) akan memenuhi

𝑓1(�̅�1, �̅�2, … , �̅�𝑛) = 0,

𝑓2(�̅�1, �̅�2, … , �̅�𝑛) = 0,

(2.10)

⋮ 𝑓𝑛(�̅�1, �̅�2, … , �̅�𝑛) = 0

di mana 𝑓𝑖(�̅�1, �̅�2, … , �̅�𝑛) = 0, untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. (Strogatz, 1994)

Berikut definisi titik keseimbangan dan kestabilan dari sistem

(2.9).

Definisi 2.1 (Wiggins, 2003)

Titik �̅� = (�̅�1, �̅�2, … , �̅�𝑛) ∈ ℝ𝑛 adalah titik keseimbangan dari sistem (2.9)

jika 𝑓𝑖 (�̅�) = 0, untuk 𝑖 = 1, 2,… , 𝑛.

Definisi 2.2 (Wiggins, 2003)

Titik keseimbangan �̅� ∈ ℝ𝑛pada sistem (2.9) dikatakan:

1. Stabil jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat suatu 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 sedemikian

sehingga untuk setiap solusi 𝑦(𝑡) yang memenuhi |�̅�(𝑡0) − 𝑦(𝑡0)| < 𝛿

berlaku |�̅�(𝑡) − 𝑦(𝑡)| < 𝜀 untuk setiap 𝑡 > 𝑡0, 𝑡0 ∈ ℝ.

2. Stabil asimtotik jika titik keseimbangan �̅� ∈ ℝ𝑛 stabil dan terdapat 𝜀 >

0 sedemikian sehingga untuk setiap solusi 𝑦(𝑡) terdapat suatu

konstanta 𝑏 > 0, sehingga jika |�̅�(𝑡0) − 𝑦(𝑡0)| < 𝑏 maka lim𝑡→∞

|�̅�(𝑡) −

𝑦(𝑡)| = 0.

3. Tidak stabil jika titik keseimbangan �̅� ∈ ℝ𝑛 tidak memenuhi kondisi

kesatu maupun kedua.

Teorema 2.1 (Boyce dan DiPrima, 2001)

Titik kritis �̅� = 0 dari sistem linear 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝑥 akan stabil asimtotik jika nilai-

nilai eigen 𝑟1 dan 𝑟2 real dan negatif atau memiliki bagian real negatif;

stabil, jika 𝑟1 dan 𝑟2 bernilai imajiner murni; tidak stabil jika 𝑟1 dan 𝑟2

bernilai real dan positif atau memiliki bagian real positif.

Adapun definisi matriks Jacobi dari sistem (2.9) adalah sebagai

berikut:

Definisi 2.3 (Thomas, dkk. 2014)

Misalkan �̅� = (�̅�1, �̅�2, �̅�3 … , �̅�𝑛) adalah titik keseimbangan pada sistem

(2.9), maka matriks Jacobi di titik �̅� = (�̅�1, �̅�2, … , �̅�𝑛) dari sistem tersebut

adalah

Jf(x) =

[

𝜕𝑓1𝜕𝑥1

�̅�𝜕𝑓1𝜕𝑥2

�̅� …𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛

�̅�

𝜕𝑓2𝜕𝑥1

�̅�𝜕𝑓2𝜕𝑥2

�̅� …𝜕𝑓2𝜕𝑥1

�̅�

⋮ ⋮ ⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1

�̅�𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥2

x̅ …𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛

�̅�]

E. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz digunakan untuk menentukan

nilai eigen dari suatu persamaan karakteristik. Analisis dilakukan melalui

koefisien-koefisien persamaan karakteristik tersebut.

Teorema 2.2. Misalkan diberikan suatu polinomial,

𝑃(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 (2.11)

dengan 𝑎𝑖, 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 adalah konstanta real. Persamaan tersebut

mempunyai 𝑛 buah akar 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛. Masing-masing akar dapat bernilai

real atau mungkin bernilai kompleks yang memenuhi 𝑃(𝜆𝑖) = 0, untuk 𝑖 =

1,2,… , 𝑛.

Misalkan diberikan sistem linear dengan koefisien konstan, yaitu

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝒙 (2.12)

dengan 𝒙 adalah vektor yang berukuran 𝑛 × 1 dan 𝐴 adalah matriks yang

berukuran 𝑛 × 𝑛.

Misalkan polinom (2.11) adalah persamaan karakteristik dari

sistem (2.12), maka nilai eigen dari matriks 𝐴 merupakan akar-akar dari

polinomial 𝑃(𝜆) tersebut.

Uji kestabilan Routh-Hurwitz digunakan untuk menentukan jenis

nilai eigen dari matriks 𝐴, yaitu melalui determinan dari matriks 𝐻𝑛 yang

disebut dengan matriks Hurwitz. Dalam bentuk umum matriks 𝐻𝑛

merupakan matriks dengan entri-entri seperti pada persamaan (2.14).

Jadi, syarat perlu dan cukup agar 𝑃(𝜆) mempunyai nilai eigen dengan

bagian real yang negatif adalah 𝑎𝑛 > 0, (Murray, 2002)

𝐻1 = [𝑎1]

𝐻2 = [𝑎1 𝑎31 𝑎2

]

𝐻3 = [

𝑎1 𝑎3 𝑎51 𝑎2 𝑎40 𝑎1 𝑎3

]

⋮

𝐻𝑘 =

[ 𝑎1 𝑎3 𝑎5 . … .1 𝑎2 𝑎4 . … .0 𝑎1 𝑎3 . … .⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮. . . . … .0 0 . . … 𝑎𝑘]

(2.14)

untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑛.

Teorema 2.3. Uji kestabilan Hurwitz (Keshet, 2005). Semua nilai eigen

dari persamaan (2.12) memiliki bagian real yang negatif jika dan hanya

determinan dari semua matriks Hurwitz positif , yaitu

det[𝐻𝑘] > 0 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛. (2.15)

F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Diberikan suatu persamaan sebagai berikut,

𝐴𝑥 = 𝑦 (2.16)

untuk menentukan vektor-vektor, di berikan 𝑦 = 𝜆𝑥, di mana 𝜆 adalah

scalar yang proporsional. Persamaan (2.16) akan menjadi

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0

(2.17)

Persamaan (2.17) memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika skalar 𝜆

memenuhi persamaan

det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 (2.18)

Nilai-nilai 𝜆 yang memenuhi persamaan (2.18) disebut nilai eigen dari

matriks 𝐴, solusi tak nol dari persamaan (2.17) disebut vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen.

G. Keseimbangan Bionomik

Keseimbangan bionomik adalah suatu konsep yang

mengintegrasikan keseimbangan secara biologi dan keseimbangan

secara ekonomi. Misalkan terdapat dua populasi yang ditinjau, yaitu 𝑥 dan

𝑦. Keseimbangan secara ekologi diperoleh ketika populasi berada pada

kondisi 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0. Titik keseimbangan ini diperoleh dengan

menyelesaikan sistem persamaan terhadap 𝑥 dan 𝑦. Titik keseimbangan

ini menyatakan suatu kondisi dimana kedua populasi dalam keadaan

seimbang, yaitu kedua populasi tidak mengalami perubahan karena laju

pertumbuhannya nol. Keseimbangan secara ekonomi dikatakan tercapai

ketika pendapatan total (TR) yang diperoleh dari penjualan stok (populasi)

yang dipanen sama dengan biaya total (TC) dari usaha yang dilakukan

dalam pemanenan populasi.

Misalkan 𝑐𝑥 adalah biaya pemanenan per unit usaha untuk

populasi 𝑥, 𝑐𝑦 adalah biaya pemanenan per unit usaha untuk populasi 𝑦,

𝑐𝑓 adalah biaya tetap pemanenan untuk populasi 𝑥 dan 𝑦, 𝑝𝑥 adalah harga

per unit biomassa untuk populasi 𝑥, 𝑝𝑦 adalah harga per unit biomassa

untuk populasi 𝑦. Fungsi keuntungan dari usaha pemanenan populasi 𝑥

dan 𝑦 diberikan sebagai

𝜋(𝐸𝑥 , 𝐸𝑦) = 𝑝𝑥𝑥𝐸𝑥 + 𝑝𝑦𝑦𝐸𝑦 − 𝑐𝑓 − 𝑐𝑥𝐸𝑥 − 𝑐𝑦𝐸𝑦 (2.19)

(Toaha, 2013).

H. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Variabel

Fungsi keuntungan akan dioptimalkan dengan merujuk pada

definisi nilai maksimum dan nilai minimum. Berikut ini adalah definisi dari

nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal.

Definisi 2.4.( Stewart, 2003)

Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di titik kritis (𝑎, 𝑏) jika

𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑎, 𝑏) ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 Jika (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑎, 𝑏) ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2, maka

𝑓(𝑎, 𝑏) disebut nilai minimum lokal.

Untuk memeriksa nilai maksimum atau nilai minimum suatu

fungsi cukup dengan memperhatikan definisi 2.5. Akan tetapi, apabila

fungsi yang diberikan rumit, maka alternatif lainnya dengan menguji

turunan parsial kedua dari fungsi tersebut. Berikut ini teorema yang

mendukung.

Teorema 2.4 (Simon dan Blume, 1994).

Andaikan 𝑥∗ adalah titik interior dari 𝑓(𝑥1, 𝑥2, . . 𝑥𝑛) yang memenuhi

𝑑𝑓

𝑑𝑥𝑖(𝑥∗) = 0 untuk 𝑖 = 1,2, . . 𝑛.

a. Jika |𝜕2𝑓

𝜕𝑥12(𝑥∗)| < 0, |

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12(𝑥∗)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1(𝑥∗)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2(𝑥∗)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥22(𝑥∗)

| > 0, maka 𝑥∗ maksimum

lokal pada 𝑓.

b. Jika |𝜕2𝑓

𝜕𝑥12(𝑥∗)| > 0, |

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12(𝑥∗)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1(𝑥∗)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2(𝑥∗)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥22(𝑥∗)

| > 0, maka 𝑥∗ minumum

lokal pada 𝑓.

I. Model Kompetesi Dua Pemangsa untuk Satu Mangsa.

Pemodelan matematika oleh Mukhopadhyay dan Bhattacharyya

(2015) menjelaskan tiga persamaan diferensial dan secara konsisten dua

pemangsa (𝐻1 dan 𝐻2) memangsa satu mangsa 𝑃. Kedua spesies

pemangsa tersebut diasumsikan mempunyai interaksi langsung dengan

mangsa. Kedua populasi pemangsa memberi pengaruh terhadap mangsa

dan mereka juga berkompetisi. Pengaruh tingkat interaksi dalam angka

pertumbuhan pesaing diasumsikan proporsional terhadap kepadatan

populasi pemangsa dengan 𝛽1 dan 𝛽2. Akan tetapi, fungsi predasi dari dua

pemangsa dibuat berbeda, satu mengikuti respon Holling tipe I dan yang

lainnya mengikuti respon Holling tipe II. Disamping mengalami

pengurangan karena adanya fungsi predasi, populasi mangsa tumbuh

logistik dengan 𝑟 sebagai laju pertumbuhan intrinsik dan 𝐾 sebagai

kapasitas bawaan. Diasumsikan juga bahwa pemangsa 𝐻2 dapat dipanen.

Konstanta 𝐸 dan 𝑞 masing-masing menunjukkan usaha pemanenan dan

koefisien ketertangkapan. Model kompetisi dua pemangsa untuk satu

mangsa diberikan sebagai berikut,

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃 (1 −

𝑃

𝐾) − 𝛼1𝑃𝐻1 −

𝛼2𝑃𝐻2ℎ + 𝑃

𝑑𝐻1𝑑𝑡

= 𝑒1𝛼1𝑃𝐻1 − 𝛽1𝐻1𝐻2 − 𝑑1𝐻1

𝑑𝐻2𝑑𝑡

= 𝑒2 [𝛼2𝑃𝐻2ℎ + 𝑃

] − 𝛽2𝐻1𝐻2 − 𝑑2𝐻2 − 𝑞𝐸𝐻2

(2.17)

J. Beberapa Contoh Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa

Wuellner dan Willis (2008) meneliti tentang fish competition

yang kemudian dimuat pada majalah Pond Boss. Penelitian tersebut

melibatkan satu mangsa-dua pemangsa. Dua pemangsa tersebut adalah

Walleye (Sander vitreus) dan Smallmouth Bass (Micropterus dolomieu).

Pada tahun 2006 dan 2007, South Dakota Department of Game, Fish, and

Parks (SDGFP) dan South Dakota State University (SDSU) bekerja sama

untuk meneliti makanan (mangsa) Walleye dan Smallmouth Bass di Lake

Sharpe, salah satu waduk dari sungai Missouri. Setiap bulan, dari bulan

Mei hingga bulan Oktober mereka mengambil sampel penilitian (Walleye

dan Smallmouth Bass) dengan ukuran berbeda-beda. Pada bulan Juli

hingga September menemukan Walleye dan Smallmouth Bass memakan

ikan yang sama yaitu Gizzard Shad (Dorosoma cepedianum).

1. Gizzard Shad

Dorosoma adalah bahasa Yunani untuk "tubuh tombak",

mengacu pada bentuk tombak seperti shad muda. Spesies julukan

cepedianum mengacu pada naturalis Prancis Citoyen Lacepede. Gizzard

shad biasanya mudah dibedakan dari threadfin shad oleh fakta bahwa

proyek rahang atas melampaui rahang bawah. Ahli ichthyologists dapat

menjalankan jari di bawah mulut ke depan, dan jika kuku jari menangkap

rahang atas dan membuka mulut, pada kebanyakan kasus ikan itu adalah

ikan rizzard dan bukan shampo threadfin. Biasanya memiliki 29-35 ruas

sirip, selisih 20-25 ruas yang ditemukan pada threadfin shad. Permukaan

bagian atas berwarna biru keperakan. Sirip tidak memiliki warna

kekuningan yang ada di threadfin shad. Tidak seperti threadfin shad, dagu

dan mulut pada spesies ini tidak berbintik-bintik dengan pigmen hitam.

Meskipun spesies umumnya tumbuh dengan panjang 9-14 inci, beberapa

telah dilaporkan melebihi 20 inci panjangnya. Di Texas rekaman (diambil

dengan pistol tombak) adalah spesimen 18,25 inci yang beratnya

mencapai 2,97 pound.

Meskipun shad dewasa bertubuh kecil, anak-anak Gizzard shad

sangat ramping dan lembut terlihat sampai mencapai sekitar 1,25 inci

panjangnya. Gizzard shad adalah planktivora. Umpan muda pada hewan

dan tumbuhan mikroskopik, serta larva serangga kecil. Orang dewasa

memberi makan dengan menyaring makanan kecil dari air dengan

menggunakan gill insang panjang dan dekat.

Di Texas, shard ditemukan di semua aliran utama dan waduk.

Spesies ini berasal dari Amerika Utara bagian timur. Di utara,

jangkauannya mencakup Sungai Saint Lawrence dan Great Lakes

(kecuali Danau Superior), dan meluas ke barat ke North Dakota. Gizzard

shad ditemukan sejauh selatan Meksiko timur, dan sejauh barat New

Mexico. Spesies ini tidak ditemukan di New England, Florida selatan, atau

melalui sebagian besar rantai Pegunungan Appalachian.

(Texas Parks and Wildlife Department, 2017).

Gambar 2.1. Jenis ikan Gizzard Shad (dikutip dari Texas Parks and Wildlife).

2. Smallmouth Bass

Smallmouth Bass berasal namanya dari fakta bahwa ujung

belakang rahang tidak meluas melewati mata, sementara yang dari

largemouth tidak. Dua sirip punggung dengan bagian berputar-putar dan

lembut disatukan, tubuh lebih panjang dari dalam, rahang tidak meluas

melewati mata, garis perunggu di pipi. Bass smallmouth berada di danau

pedalaman, sungai dan teluk Great Lakes dimana perairannya sejuk dan

bersih, dan bagian bawahnya adalah batu atau kerikil. Habitat smallmouth

yang ideal mengandung pelindung seperti batuan shoal, lereng talus, dan

log terendam. Suhu air 68-70 derajat Fahrenheit, lebih dingin dari pada

largemouth bass.

Aktivitas pemijahan dimulai pada musim semi saat suhu air

mencapai 60 derajat Fahrenheit atau lebih. Si jantan membangun sarang

di air tenang, biasanya di dekat pantai, atau di hilir dari penyumbatan yang

menyebabkan arus masuk. Karena si jantan akan menjaga telur dan

menggaruk yang baru menetas, sarangnya tidak pernah jauh dari air yang

dalam, atau penutup, di mana ia bisa mundur saat ketakutan. Telur, yang

lebih besar dari pada bass largemouth, menetas dalam dua sampai tiga

hari.

(Tomelleri, 2017)

Gambar 2.2. Jenis ikan Smallmouth Bass (dikutip dari website Micighan Department and Nature Resource).

3. Walleye

Walleye berwarna zaitun sampai berwarna coklat, dipecah oleh

garis-garis yang lebih gelap yang membentang di sisi panggul ke perut

berwarna yang lebih ringan. Ada titik gelap yang mencolok di dasar duri

terakhir di sirip punggung pertama. Sirip punggung dan sirip dubur jelas

berduri dan mulutnya berisi sepasukan gigi yang sangat tajam. Walleye

diberi nama untuk matanya yang besar seperti marmer yang bercahaya,

yang disebabkan oleh tapetum lucidum, lapisan pigmen reflektif yang

memungkinkannya melihat mangsa di malam hari dan di perairan gelap

yang dalam. Jangka hidupnya berkisar antara 5-6 tahun di daerah yang

sangat diminati sampai 10-20 tahun di perairan yang kurang dieksploitasi.

Sebuah walleye matang bisa mencapai 30 inci dan beratnya mencapai 20

kilogram.

Sensitivitas mereka terhadap cahaya mengharuskan walley

berkumpul di kolam yang lebih dalam atau di tempat penampungan pohon

cekung atau tempat tidur gulma di siang hari. Mereka memanfaatkan

ketajaman visual mereka untuk memberi makan saat fajar, senja dan

memasuki jam malam hari. Namun, walley akan memberi makan pada

siang hari jika airnya suram atau jika cuacanya mendung. Mereka juga

lebih aktif pada hari-hari berangin saat "walleye chop" menurunkan

cahaya yang menembus air.

(Anonim. 2015)

Gambar 2.3. Jenis ikan Walleye (dikutip dari Edgewire Media).

39

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian pustaka, yaitu

mengumpulkan bahan-bahan penelitian melalui jurnal-jurnal dan buku-

buku yang terkait dengan tema penelitian.

B. Lokasi dan Waktu Penelitian

Lokasi penelitian bertempat di lingkungan Universitas

Hasanuddin. Waktu penelitian dari awal bulan Desember 2016 hingga

akhir bulan Oktober 2017.

C. Langkah Penelitian

Di dalam subbab ini akan dipaparkan langkah-langkah

penelitian yang ditempuh peneliti. Berikut langkah-langkah yang

dimaksud.

1. Identifikasi Masalah

Mengidentifikasi masalah untuk menetapkan fokus

permasalahan penelitian yang berkaitan dengan model mangsa-

pemangsa, fungsi respon Holling tipe I dan pemanenan. Hal tersebut

dilakukan dengan membedah literatur (jurnal ilmiah dan buku) yang

berkaitan langsung dengan pokok pembahasan.

2. Studi Literatur

Mempelajari secara mendalam jurnal-jurnal ilmiah dan buku

yang terkait dengan permasalahan.

3. Formulasi Model

Model dari beberapa jurnal ilmiah dikonstruksi menjadi model

baru dengan berbagai pertimbangan asumsi yang dikenakan.

4. Analisis Keseimbangan.

Titik keseimbangan nonnegatif yang diperoleh dari sistem

dianalisis.

5. Analisis Kestabilan

Analisis kestabilan titik keseimbangan dilakukan pada tiga titik.

Fokus utama dari penelitian ini pada analisis titik keseimbangan interior.

6. Analisis Pemanenan Optimal

Analisis pemanenan optimal dilakukan dengan menentukan titik

keseimbangan interior model dengan pemanenan, kemudian menganalisis

fungsi keuntungan.

7. Simulasi Model

Simulasi numerik dari model dilakukan dengan menggunakan

bantuan software.

8. Penarikan Kesimpulan

Setelah menganalisis dan melakukan simulasi numerik terhadap

model maka selanjutnya diambil suatu kesimpulan terhadap hasil-hasil

yang diperoleh. Hasil yang diharapkan adalah adanya titik keseimbangan

interior yang stabil dan memberikan keuntungan yang optimum.

9. Penyusunan Laporan

Pada tahapan ini, disusun laporan tertulis dari semua tahapan

penelitian yang telah dilakukan.

STUDI LITERATUR

IDENTIFIKASI MASALAH

FORMULASI MODEL

MENENTUKAN TITIK

KESEIMBANGAN DAN ANALISIS

KESTABILAN

MENENTUKAN NILAI

USAHA PEMANENAN DAN

PROFIT

SIMULASI NUMERIK

INTERPRETASI

Gambar 3.1. Diagram Alur Kerja

43

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Model Mangsa-Pemangsa

Model dinamika populasi satu mangsa-dua pemangsa yang

dikaji melibatkan interaksi antar pemangsa dan interaksi antar individu

dalam populasi pemangsa. Berikut asumsi-asumsi yang digunakan dalam

model.

1. Laju pertumbuhan mangsa menggunakan laju pertumbuhan

logistik.

2. Populasi pemangsa saling berkompetisi mendapatkan mangsa.

3. Populasi pemangsa menggunakan fungsi respon Holling tipe I

dalam pemangsaan.

4. Terdapat kompetisi intraspesifik pada masing-masing pemangsa.

5. Populasi pemangsa bernilai ekonomis sehingga dapat dipanen.

Laju pertumbuhan mangsa menggunakan laju pertumbuhan

logistik banyak dikembangkan oleh peneliti-peneliti sebelumnya, seperti

Gupta dan Chandra (2013). Kompetisi antar pemangsa (interspesifik)

dikembangkan oleh Mukhopadhyay dan Bhattacharyya (2015). Kompetisi

intraspesifik dibahas dalam penelitian Ali, dkk.(2017). Pada penelitian

Toaha dkk., (2014) membahas tentang analisis kestabilan dan kebijakan

pemanenan dengan usaha konstan.

Berikut ini diberikan diagram kompartemen model satu mangsa-

dua pemangsa dengan pemanenan pada pemangsa.

Setelah mengkaji lebih mendalam tentang model satu mangsa-

dua pemangsa dengan pengembangan sesuai asumsi-asumsi di atas,

model yang menjadi fokus dalam penelitian ini adalah sebagai berikut

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑟𝑃 (1 −

𝑃

𝐾) − 𝛼1𝑃𝐻1 − 𝛼2𝑃𝐻2

𝑑𝐻1𝑑𝑡

= 𝑒1𝛼1𝑃𝐻1 − 𝑔1𝐻12 − 𝛽1𝐻1𝐻2 − 𝑑1𝐻1 − 𝑞1𝐸1𝐻1

𝑑𝐻2𝑑𝑡

= 𝑒2𝛼2𝑃𝐻2 − 𝑔2𝐻22 − 𝛽2𝐻1𝐻2 − 𝑑2𝐻2 − 𝑞2𝐸2𝐻2.

(4.1)

PEMANGSA PERTAMA (𝐻1) PEMANGSA KEDUA (𝐻2)

MANGSA (𝑃)

𝑟𝑃

𝑒2𝛼2𝑃𝐻2

𝑞1𝐸1𝐻1

𝑑2𝐻2 𝑑1𝐻1

𝑞2𝐸2𝐻2 𝑒1𝛼1𝑃𝐻1

𝑔2𝐻22

𝑔1𝐻12

𝛽2𝐻1𝐻2 𝛽1𝐻1𝐻2

Gambar 4.1.Diagram kompartemen model mangsa-pemangsa.

jika tidak ada pemanenan,

nonnegatif, jika dilakukan pemanenan

dengan qiEi, = {

0,

𝑖 = 1,2.

Definisi variabel dan parameter yang digunakan dalam model

(4.1) ditunjukkan dalam Tabel 4.1 dan Tabel 4.2.

Tabel 4.1.Definisi variabel.

Variabel Definisi Satuan

𝑃 Populasi mangsa. Populasi

𝐻1 Populasi pemangsa pertama.

Populasi

𝐻2 Populasi pemangsa kedua.

Populasi

Table 4.2. Definisi parameter

Parameter Definisi Satuan

𝑟 Laju pertumbuhan intrinsik mangsa.

1

waktu

𝐾 Daya tampung populasi mangsa.

Populasi

𝛼1 Angka pemangsaan dari pemangsa pertama.

1

populasi x waktu

𝛼2 Angka pemangsaan dari pemangsa kedua.

1

populasi x waktu

𝑒1 Efisiensi perubahan dari pemangsa pertama.

-

𝑒2 Efisiensi perubahan dari pemangsa kedua.

-

𝑔1 Koefisien kompetisi intraspesifik pemangsa pertama.

1

populasi x waktu

𝑔2 Koefisien kompetisi intraspesifik pemangsa kedua.

1

populasi x waktu

𝛽1 Koefisien kompetisi pemangsa pertama terhadap pemangsa kedua.

1

populasi x waktu

Parameter Definisi Satuan

𝛽2 Koefisien kompetisi pemangsa kedua terhadap pemangsa pertama.

1

populasi x waktu

𝑑1 Laju kematian pemangsa pertama.

1

waktu

𝑑2 Laju kematian pemangsa pertama.

1

waktu

𝑞1 Koefisien ketertangkapan pemangsa pertama.

-

𝑞2 Koefisien ketertangkapan pemangsa kedua.

-

𝐸1 Usaha pemanenan pemangsa pertama.

1

waktu

𝐸2 Usaha pemanenan pemangsa kedua.

1

waktu

B. Analisis Titik Keseimbangan dan Kestabilan Model Tanpa Pemanenan

1. Analisis Titik Keseimbangan

Titik keseimbangan nonnegatif diperoleh dari model (4.1)

dengan 𝑞𝑖𝐸𝑖 = 0 adalah sebagai berikut.

1) 𝑇1 = (0, 0, 0), dan 𝑇2 = (𝐾, 0, 0)

Titik keseimbangan 𝑇1 dan 𝑇2 selalu ada.

2) 𝑇4 = (𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22+𝑟𝑔2

, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝑑2)


)

Jika 𝐾 =𝑑2

𝑒2𝛼2, maka titik 𝑇4 = (

𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝑑2)


) menjadi

titik 𝑇2 = (𝐾, 0, 0).

3) 𝑇6 = (𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


, 𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


, 0)

Jika 𝐾 =𝑑1

𝑒1𝛼1, maka titik 𝑇6 = (

𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


, 𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


, 0)akan

berimpit menjadi titik 𝑇2 = (𝐾, 0, 0). Jika 𝐾 =𝑑1

𝑒1𝛼1=

𝑑2

𝑒2𝛼2, maka 𝑇4 =

(𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝑑2)


) dan titik 𝑇6 = (𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


, 𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


, 0)

menjadi titik 𝑇2 = (𝐾, 0, 0).

4) 𝑇8 = (𝑃∗, 𝐻1

∗ , 𝐻2∗)

dengan

𝑃∗ =𝐾[𝑑1𝛼2𝛽2 + 𝑑2𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2)]

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼22𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2)

𝐻1∗ =

𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2 − (𝐾𝑑2𝑒1𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝑔2 + 𝑟𝑑2𝛽1)

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼22𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2)

𝐻2∗ =

𝐾𝑑2𝑒1𝛼12 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝛽2 + 𝑟𝑑2𝑔1 − (𝐾𝑑1𝑒2𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑑1𝛽2)

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼22𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2).

Sintaks titik keseimbangan model tanpa pemanenan dapat dilihat pada

lampiran 1.

Kewujudan titik 𝑇8 ditinjau dari dua kasus sebagai berikut

Kasus I. Semua populasi memenuhi kondisi dari pertidaksamaan berikut

ini,

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 > 𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼2

2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2,

𝑑1𝛼2𝛽2 + 𝑑2𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 > 𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2,

𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2 > 𝐾𝑑2𝑒1𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝑔2 + 𝑟𝑑2𝛽1,

𝐾𝑑2𝑒1𝛼12 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝛽2 + 𝑟𝑑2𝑔1 > 𝐾𝑑1𝑒2𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑑1𝛽2.

Kasus II. Semua populasi memenuhi kondisi dari pertidaksamaan berikut

ini,

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 > 𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼2

2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2,

𝑑1𝛼2𝛽2 + 𝑑2𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 > 𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2,

𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2 > 𝐾𝑑2𝑒1𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝑔2 + 𝑟𝑑2𝛽1,

𝐾𝑑2𝑒1𝛼12 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝛽2 + 𝑟𝑑2𝑔1 > 𝐾𝑑1𝑒2𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑑1𝛽2.

2. Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan

Matriks Jacobi dari model (4.1) dengan 𝑞𝑖𝐸𝑖 = 0 adalah sebagai

berikut.

𝐽 = [𝐽11 𝐽12 𝐽13𝐽21 𝐽22 𝐽23𝐽31 𝐽32 𝐽33

] (4.2)

dengan

𝐽11 = 𝑟 −2𝑟𝑃∗

𝐾− 𝛼1𝐻1

∗ − 𝛼2𝐻2∗, 𝐽12 = −𝛼1𝑃

∗, 𝐽13 = −𝛼2𝑃∗,𝐽21 = 𝑒1𝛼1𝐻1

∗,

𝐽22 = 𝑒1𝛼1𝑃∗ − 2𝑔1𝐻1

∗ − 𝛽1𝐻2∗ − 𝑑1, 𝐽23 = −𝛽1𝐻1

∗, 𝐽31 = 𝑒2𝛼2𝐻2∗,

𝐽32 = −𝛽2𝐻2∗, 𝐽33 = 𝑒2𝛼2𝑃

∗ − 𝛽2𝐻1∗ − 2𝑔2𝐻2

∗ − 𝑑2.

1) 𝑇4 = (𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝑑2)


)

Dengan mensubstitusi 𝑇4 pada matriks (4.2) diperoleh

𝐽(𝑇4) = [

𝐽114 𝐽12

4 𝐽134

𝐽214 𝐽22

4 𝐽234

𝐽314 𝐽32

4 𝐽334

],

dengan

𝐽114 = 𝑟 −

2𝑟(𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

𝛼2𝐾(𝑒2𝛼2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2,

𝐽124 = −

𝛼1𝐾(𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2,

𝐽134 = −


𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2,

𝐽214 = 0,

𝐽224 =

𝑒1𝛼1𝐾(𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

𝛽1𝐾(𝑒2𝛼2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2− 𝑑1,

𝐽234 = 0,

𝐽314 =

𝑒2𝛼2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2

,

𝐽324 = −

𝛽2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2,

𝐽334 =


𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

2𝑔2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2− 𝑑2.

Dari matriks Jacobi 𝐽(𝑇4) diperoleh persamaan karakteristik sebagai

berikut

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽114 + 𝐽33

4 + 𝐽224 )𝜆2 + (𝐽11

4 𝐽224 + 𝐽33

4 𝐽224 + 𝐽11

4 𝐽334 − 𝐽13

4 𝐽314 )

+𝐽134 𝐽31

4 𝐽224 − 𝐽11

4 𝐽334 𝐽22

4 , (4.3)

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽114 + 𝐽33

4 + 𝐽224 )𝜆2 + (𝐽11

4 𝐽224 + 𝐽33

4 𝐽224 + 𝐽11

4 𝐽334 − 𝐽13

4 𝐽314 ) + 𝐽13

4 𝐽314 𝐽22

4

−𝐽114 𝐽33

4 𝐽224 = 0

(𝐽224 − 𝜆)(𝜆2 − (𝐽11

4 + 𝐽334 )𝜆 + 𝐽11

4 𝐽334 − 𝐽13

4 𝐽314 ) = 0.

𝜆1 = 𝐽224 =

𝑒1𝛼1𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


−𝛽1𝐾(𝑒2𝛼2−𝑑2)


− 𝑑1, jika 𝑒1𝛼1𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


>

𝛽1𝐾(𝑒2𝛼2−𝑑2)


+ 𝑑1 maka 𝜆1 < 0. Akar-akar 𝜆2 dan 𝜆3 adalah solusi dari

persamaan

𝜆2 − (𝐽114 + 𝐽33

4 )𝜆 + 𝐽114 𝐽33

4 − 𝐽134 𝐽31

4 = 0. (4.4)

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwiz pada Teorema 2.3, Persamaan (4.4)

memiliki solusi akar-akar negatif jika – (𝐽114 + 𝐽33

4 ) > 0 dan 𝐽114 𝐽33

4 > 𝐽134 𝐽31

4 .

Jadi, titik keseimbangan 𝑇4 = (𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝑑2)


) stabil

asimtotik jika memenuhi kondisi:

a. 𝑒1𝛼1𝐾(𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


>𝛽1𝐾(𝑒2𝛼2−𝑑2)


+ 𝑑1,

b. – (𝐽114 + 𝐽33

4 ) > 0,

c. 𝐽114 𝐽33

4 > 𝐽134 𝐽31

4 .

Contoh 4.1.

Ambil nilai parameter 𝑟 = 1.5 , 𝐾 = 10000, 𝛼1 = 0.000021, 𝛼2 =

0.00002, 𝑒1 = 0.5, 𝑒2 = 0.5, 𝑑1 = 0.0008, 𝑑2 = 0.00065, 𝛽1 = 0.00008,

𝛽2 = 0.0000010, 𝑔1 = 0.00002, 𝑔2 = 0.00002.



−𝛽1𝐾(𝑒2𝛼2 − 𝑑2)


− 𝑑1 = −1.38869371 < 0

𝑟 −2𝑟(𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

𝛼2𝐾(𝑒2𝛼2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2= −0.30834159 < 0


𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

2𝑔2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2− 𝑑2 = −0.10118754 < 0

𝐽114 𝐽33

4 − 𝐽134 𝐽31

4 = 0.15185365 > 0.

Nilai eigen dari persamaan karakteristik (4.3) adalah 𝜆1 =

−1.37982870, 𝜆2 = −0.11005254, 𝜆3 = −0.30834159.

Jadi, titik keseimbangan 𝑇4 stabil asimtotik karena nilai-nilai eigen

dari persamaan karakteristik (4.3) real negatif.

2) 𝑇6 = (𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


, 𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


, 0)

Dengan mensubstitusi 𝑇6 = (𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


, 𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


, 0) pada

matriks (4.2) diperoleh

𝐽(𝑇6) = [

𝐽116 𝐽12

6 𝐽136

𝐽216 𝐽22

6 𝐽236

𝐽316 𝐽32

6 𝐽336

]

dengan

𝐽116 = 𝑟 −

2𝑟(𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

𝛼1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1,

𝐽126 = −


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1,

𝐽136 = −



,

𝐽216 =

𝑒1𝛼1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1,

𝐽226 =


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

2𝑔1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1− 𝑑1,

𝐽236 = −


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1, 𝐽31

6 = 0, 𝐽326 = 0,

𝐽336 =


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1− 𝑑2.

Dari matriks Jacobi 𝐽(𝑇6) diperoleh persamaan karakteristik sebagai

berikut

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽116 + 𝐽33

6 + 𝐽226 )𝜆2 + (𝐽11

6 𝐽226 + 𝐽33

6 𝐽226 + 𝐽11

6 𝐽336 − 𝐽12

6 𝐽216 )

+𝐽126 𝐽21

6 𝐽336 − 𝐽11

6 𝐽336 𝐽22

6 , (4.5)

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽116 + 𝐽33

6 + 𝐽226 )𝜆2 + (𝐽11

6 𝐽226 + 𝐽33

6 𝐽226 + 𝐽11

6 𝐽336 − 𝐽12

6 𝐽216 ) + 𝐽12

6 𝐽216 𝐽33

6

−𝐽116 𝐽33

6 𝐽226 = 0

(𝐽336 − 𝜆)(𝜆2 − (𝐽11

6 + 𝐽226 )𝜆 + 𝐽11

6 𝐽226 − 𝐽12

6 𝐽216 ) = 0.

𝜆1 = 𝐽336 =

𝑒2𝛼2𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


−𝛽1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


− 𝑑2, jika 𝑒2𝛼2𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


>

𝛽1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


+ 𝑑2 maka 𝜆1 < 0. Akar-akar 𝜆2 dan 𝜆3 adalah solusi dari

persamaan

𝜆2 − (𝐽116 + 𝐽22

6 )𝜆 + 𝐽116 𝐽22

6 − 𝐽126 𝐽21

6 = 0. (4.6)


memiliki solusi akar-akar negatif jika −(𝐽116 + 𝐽22

6 ) > 0 dan 𝐽116 𝐽22

6 > 𝐽126 𝐽21

6 .



, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝑑2)


) stabil


a. 𝑒2𝛼2𝐾(𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


>𝛽1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝑑1)


+ 𝑑2,

b. −(𝐽116 + 𝐽22

6 ) > 0,

c. 𝐽116 𝐽22

6 > 𝐽126 𝐽21

6 .

Contoh 4.2.

Ambil nilai parameter 𝑟 = 1.5 , 𝐾 = 10000,𝛼1 = 0.000021, 𝛼2 =

0.000022, 𝑒1 = 0.5, 𝑒2 = 0.5, 𝑑1 = 0.00055, 𝑑2 = 0.0008, 𝛽1 = 0.000008,

𝛽2 = 0.00008, 𝑔1 = 0.00002, 𝑔2 = 0.00002.


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1− 𝑑2 = −0.28748621 < 0

𝑟 −2𝑟(𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

𝛼1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1= −1.39783651 < 0


𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

2𝑔1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1− 𝑑1 = −0.09729856 < 0

𝐽116 𝐽22

6 − 𝐽126 𝐽21

6 = 0.14600402


−1.39010407, 𝜆2 = −0.10503100, 𝜆3 = −0.28748621.



3) 𝑇8 = (𝑃∗, 𝐻1

∗ , 𝐻2∗)

Dengan mensubstitusi 𝑇8 = (𝑃∗, 𝐻1

∗, 𝐻2∗) pada matriks (4.2)

diperoleh

𝐽(𝑇8) = [𝐽11 𝐽12 𝐽13𝐽21 𝐽22 𝐽23𝐽31 𝐽32 𝐽33

]

dengan

𝐽11 = 𝑟 −2𝑟𝑃∗

𝐾− 𝛼1𝐻1

∗ − 𝛼2𝐻2∗, 𝐽12 = −𝛼1𝑃

∗, 𝐽13 = −𝛼2𝑃∗,𝐽21 = 𝑒1𝛼1𝐻1

∗,

𝐽22 = 𝑒1𝛼1𝑃∗ − 2𝑔1𝐻1

∗ − 𝛽1𝐻2∗ − 𝑑1, 𝐽23 = −𝛽1𝐻1

∗, 𝐽31 = 𝑒2𝛼2𝐻2∗,

𝐽32 = −𝛽2𝐻2∗, 𝐽33 = 𝑒2𝛼2𝑃

∗ − 𝛽2𝐻1∗ − 2𝑔2𝐻2

∗ − 𝑑2,

𝑃∗ =𝐾[𝑑1𝛼2𝛽2 + 𝑑2𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2)]

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼2

2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2),

𝐻1∗ =

𝑑1𝛼1𝑔2 + 𝑑2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2 − (𝐾𝑑2𝑒1𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝑔2 + 𝑟𝑑2𝛽1)

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼22𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2),

𝐻2∗ =

𝐾𝑑2𝑒1𝛼12 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝛽2 + 𝑟𝑑2𝑔1 − (𝐾𝑑1𝑒2𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒2𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑑1𝛽2)

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝐾𝑒1𝛼12𝑔2 + 𝐾𝑒2𝛼22𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2).

Persamaan karakteristik dari matriks 𝐽(𝑇8) adalah

𝜆3 + 𝐴1𝜆2 + 𝐴2𝜆 + 𝐴3 = 0 (4.7)

dengan

𝐴1 = −(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33)

𝐴2 = 𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 − 𝐽23𝐽32

𝐴3 = 𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 − 𝐽11𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽23𝐽31 − 𝐽13𝐽32𝐽21 .

Untuk menjamin kestabilan 𝑇8 harus memenuhi kriteria Routh-

Hurwitz, yakni 𝐴1 > 0, 𝐴2 > 0,𝐴3 > 0, dan 𝐴1𝐴2 > 𝐴3.

a. 𝐴1 > 0

−(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33) > 0

b. 𝐴2 > 0

𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 > 𝐽12𝐽21 + 𝐽13𝐽31 + 𝐽23𝐽32

c. 𝐴3 > 0

𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 > 𝐽11𝐽22𝐽33 + 𝐽12𝐽23𝐽31 + 𝐽13𝐽32𝐽21

d. 𝐴1𝐴2 > 𝐴3

−(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33)(𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 − 𝐽23𝐽32) >

𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 − 𝐽11𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽23𝐽31 − 𝐽13𝐽32𝐽21.

Jadi, titik keseimbangan 𝑇8 = (𝑃∗, 𝐻1

∗, 𝐻2∗) stabil asimtotik jika

memenuhi kondisi −(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33) > 0, 𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 > 𝐽12𝐽21 +

𝐽13𝐽31 + 𝐽23𝐽32, 𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 > 𝐽11𝐽22𝐽33 + 𝐽12𝐽23𝐽31 +

𝐽13𝐽32𝐽21 , −(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33)(𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 −

𝐽23𝐽32) > 𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 − 𝐽11𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽23𝐽31 − 𝐽13𝐽32𝐽21.

Contoh 4.3

Ambil nilai parameter berikut 𝑟 = 1.5 , 𝐾 = 10000,𝛼1 = 0.000021,𝛼2 =

0.000022, 𝑒1 = 0.5, 𝑒2 = 0.5, 𝑑1 = 0.00055, 𝑑2 = 0.00065,𝛽1 =

0.0000008,𝛽2 = 0.0000010,𝑔1 = 0.00002, 𝑔2 = 0.00002.

𝑟 −2𝑟𝑃∗

𝐾− 𝛼1𝐻1

∗ − 𝛼2𝐻2∗ = −1.30823173 < 0

𝑒1𝛼1𝑃∗ − 2𝑔1𝐻1

∗ − 𝛽1𝐻2∗ − 𝑑1 = −0.08738952 < 0

𝑒2𝛼2𝑃∗ − 𝛽2𝐻1

∗ − 2𝑔2𝐻2∗ − 𝑑2 = −0.09091751 < 0

𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 − 𝐽23𝐽32 = 0.25919380 > 0

𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 − 𝐽11𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽23𝐽31 − 𝐽13𝐽32𝐽21

= 0.01190383 > 0

−(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33)(𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 − 𝐽23𝐽32)

−𝐽11𝐽23𝐽32 − 𝐽12𝐽21𝐽33 − 𝐽13𝐽31𝐽22 + 𝐽11𝐽22𝐽33 + 𝐽12𝐽23𝐽31 + 𝐽13𝐽32𝐽21

= 0.37339781 > 0


−1.29323327, 𝜆2 = −0.10835942, 𝜆3 = −0.08494607.



C. Analisis titik keseimbangan dan kestabilan model dengan pemanenan.

1. Analisis Titik Keseimbangan

Model satu mangsa-dua pemangsa dengan pemanenan telah

diberikan pada model (4.1).

Titik keseimbangan nonnegatif diperoleh dari model (4.1) dengan

𝑞𝑖𝐸𝑖 > 0 adalah sebagai berikut.

1) 𝑇1+ = (0, 0, 0), dan 𝑇2+ = (𝐾, 0, 0)

Titik keseimbangan 𝑇1+ dan 𝑇2+ selalu ada.

2) 𝑇4+ = (𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2+𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝐸2𝑞2−𝑑2)


)

Jika 𝐸2𝑞2 = 𝐾𝑒2𝛼2 − 𝑑2, maka titik 𝑇3+ menjadi titik 𝑇2+.

3) 𝑇6+ = (𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1+𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


, 𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝐸1𝑞1−𝑑1)


, 0)

Jika 𝐸1𝑞1 = 𝐾𝑒1𝛼1 − 𝑑1, maka titik 𝑇6+ menjadi titik 𝑇2+. Jika 𝐾 =

𝐸1𝑞1+𝑑1

𝑒1𝛼1=

𝐸2𝑞2+𝑑2

𝑒2𝛼2, maka titik 𝑇4+ dan 𝑇6+ menjadi titik 𝑇2+ .

4) 𝑇8+ = (𝑃+∗ , 𝐻1+

∗ , 𝐻2+∗ )

dengan

𝑃+∗ =

𝐾[(𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼2𝛽2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2]

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 − (𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2)

−(𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼1𝑔2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2


𝐻1∗ =

(𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝐾𝑒2𝛼22 + 𝐾𝑟𝑒2𝛼2𝛽1 + (𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝑟𝑔2


−(𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝐾𝑒1𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝑔2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝑟𝛽1


𝐻2∗ =





Sintaks titik keseimbangan model dengan pemanenan dapat dilihat pada

lampiran 2.

Kewujudan titik 𝑇8+ditinjau dari dua kasus berikut ini

Kasus I. Semua populasi memenuhi kondisi dari pertidaksamaan berikut

ini,

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 > 𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2

(𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼2𝛽2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2

> ((𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼1𝑔2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2),


> ((𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝐾𝑒1𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝑔2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝑟𝛽1),


> ((𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝐾𝑒2𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒2𝛼2𝑔1 + (𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝑟𝛽2).

Kasus II. Semua populasi memenuhi kondisi dari pertidaksamaan berikut

ini,

𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2 > 𝐾𝑒1𝛼1𝛼2𝛽2 + 𝐾𝑒2𝛼1𝛼2𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2,

(𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼2𝛽2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2

> ((𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼1𝑔2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2),


> ((𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝐾𝑒1𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒1𝛼1𝑔2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝑟𝛽1),


> ((𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝐾𝑒2𝛼1𝛼2 + 𝐾𝑟𝑒2𝛼2𝑔1 + (𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝑟𝛽2).

2. Analisis kestabilan titik keseimbangan

Matriks Jacobi dari model (4.1) dengan 𝑞𝑖𝐸𝑖 > 0 adalah sebagai

berikut

𝐽+ = [

𝐽11+ 𝐽12

+ 𝐽13+

𝐽21+ 𝐽22

+ 𝐽23+

𝐽31+ 𝐽32

+ 𝐽33+

] (4.8)

dengan

𝐽11+ = 𝑟 −

2𝑟𝑃∗

𝐾− 𝛼1𝐻1

∗ − 𝛼2𝐻2∗, 𝐽12

+ = −𝛼1𝑃∗, 𝐽13

+ = −𝛼2𝑃∗,𝐽21

+ = 𝑒1𝛼1𝐻1∗,

𝐽22+ = 𝑒1𝛼1𝑃

∗ − 2𝑔1𝐻1

∗ − 𝛽1𝐻2

∗ − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1, 𝐽23+ = −𝛽

1𝐻1

∗, 𝐽31+ = 𝑒2𝛼2𝐻2

∗,

𝐽32+ = −𝛽

2𝐻2

∗, 𝐽33+ = 𝑒2𝛼2𝑃

∗ − 𝛽2𝐻1

∗ − 2𝑔2𝐻2

∗ − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2.

1) 𝑇4+ = (𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2+𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝐸2𝑞2−𝑑2)


)

Dengan mensubstitusi 𝑇4+ pada matriks (4.10) diperoleh

𝐽(𝑇4+) = [

𝐽114+ 𝐽12

4+ 𝐽134+

𝐽214+ 𝐽22

4+ 𝐽234+

𝐽314+ 𝐽32

4+ 𝐽334+

]

dengan

𝐽114+ = 𝑟 −

2𝑟(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

𝛼2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)


𝐽124+ = −

𝛼1𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)


𝐽134+ = −

𝛼2𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)


𝐽214+ = 0

𝐽224+ =

𝑒1𝛼1𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

𝛽1𝐾(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)


−𝐸1𝑞1 − 𝑑1

𝐽234+ = 0

𝐽314+ =

𝑒2𝛼2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)


𝐽324+ = −

𝛽2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)


𝐽334+ =

𝑒2𝛼2𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

2𝑔2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2− 𝑑2.

Dari matriks Jacobi 𝐽(𝑇4+) diperoleh persamaan karakteristik

sebagai berikut

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽114+ + 𝐽33

4+ + 𝐽224+)𝜆2

+(𝐽114+𝐽22

4+ + 𝐽334+𝐽22

4+ + 𝐽114+𝐽33

4+ − 𝐽134+𝐽31

4+) + 𝐽134+𝐽31

4+𝐽224+ − 𝐽11

4+𝐽334+𝐽22

4+, (4.9)

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽114+ + 𝐽33

4+ + 𝐽224+)𝜆2 + (𝐽11

4+𝐽224+ + 𝐽33

4+𝐽224+ + 𝐽11

4+𝐽334+ − 𝐽13

4+𝐽314+)

+𝐽134+𝐽31

4+𝐽224+ − 𝐽11

4+𝐽334+𝐽22

4+ = 0,

(𝐽224+ − 𝜆)(𝜆2+ − (𝐽11

4+ + 𝐽334+)𝜆 + 𝐽11

4+𝐽334+ − 𝐽13

4+𝐽314+) = 0.

𝜆1 = 𝐽224+ =

𝑒1𝛼1𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2+𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


−𝛽1𝐾(𝐾𝑒2𝛼2−𝐸2𝑞2−𝑑2)


− 𝐸1𝑞1 − 𝑑1, jika



>𝛽1𝐾(𝐾𝑒2𝛼2−𝐸2𝑞2−𝑑2)


+ 𝐸1𝑞1 + 𝑑1 maka 𝜆1 < 0. Akar-

akar 𝜆2 dan 𝜆3 adalah solusi dari persamaan

𝜆2 − (𝐽114+ + 𝐽33

4+)𝜆 + 𝐽114+𝐽33

4+ − 𝐽134+𝐽31

4+ = 0. (4.10)


memiliki solusi akar-akar negatif jika – (𝐽114+ + 𝐽33

4+) > 0 dan 𝐽114+𝐽33

4+ −

𝐽134+𝐽31

4+ > 0.

Jadi, titik keseimbangan 𝑇4+ stabil asimtotik jika memenuhi kondisi:

a. 𝑒1𝛼1𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2+𝑑2𝛼2+𝑟𝑔2)


>𝛽1𝐾(𝐾𝑒2𝛼2−𝐸2𝑞2−𝑑2)


+ 𝐸1𝑞1 + 𝑑1,

b. – (𝐽114+ + 𝐽33

4+) > 0,

c. 𝐽114+𝐽33

4+ − 𝐽134+𝐽31

4+ > 0.

Contoh 4.5

Ambil parameter berikut 𝑟 = 1.5 , 𝐾 = 10000,𝛼1 = 0.000021,

𝛼2 = 0.000022, 𝑒1 = 0.5, 𝑒2 = 0.5, 𝑑1 = 0.00055,𝑑2 = 0.00065,

𝛽1 = 0.0000008, 𝛽2 = 0.0000010,𝑔1 = 0.00002, 𝑔2 = 0.00002,

𝑞1 = 𝑞2 = 1, 𝑝1 = 𝑝2 = 10, 𝑐1 = 𝑐2 = 5,𝐸1 = 0.5244746121,

𝐸2 = 0.0544517015.

𝑒1𝛼1𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

𝛽1𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2− 𝐸1𝑞1 − 𝑑1

= −0.42596825 < 0.

𝑟 −2𝑟(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

𝛼2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)


= −1.44411956 < 0.

𝑒2𝛼2𝐾(𝐸2𝛼2𝑞2 + 𝑑2𝛼2 + 𝑟𝑔2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2−

2𝑔2𝑟(𝐾𝑒2𝛼2 − 𝐸2𝑞2 − 𝑑2)

𝐾𝑒2𝛼22 + 𝑟𝑔2− 𝐸1𝑞1 − 𝑑2

= −0.05080039 < 0

𝐽114+𝐽33

4+ − 𝐽134+𝐽31

4+ = 0.07927970 > 0


−1.43985922, 𝜆2 = −0.05506073, 𝜆3 = −0.42596825.

Jadi, titik keseimbangan 𝑇4+ stabil asimtotik karena nilai-nilai eigen


2) 𝑇6+ = (𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1+𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


, 𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝐸1𝑞1−𝑑1)


, 0)

Dengan mensubstitusi 𝑇6+ pada matriks (4.10) diperoleh

𝐽(𝑇6+) = [

𝐽116+ 𝐽12

6+ 𝐽136+

𝐽216+ 𝐽22

6+ 𝐽236+

𝐽316+ 𝐽32

6+ 𝐽336+

]

dengan

𝐽116+ = 𝑟 −

2𝑟(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

𝛼1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)


𝐽126+ = −

𝛼1𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)


𝐽136+ = −

𝛼2𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)


𝐽216+ =

𝑒1𝛼1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)


𝐽226+ =

𝑒1𝛼1𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

2𝑔1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)


−𝐸1𝑞1 − 𝑑1

𝐽236+ = −

𝛽1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)


𝐽316+ = 0, 𝐽32

6+ = 0

𝐽336+ =

𝑒2𝛼2𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)


−𝛽2𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)


−𝐸2𝑞2 − 𝑑2.

Dari matriks Jacobi 𝐽(𝑇6+) diperoleh persamaan karakteristik

sebagai berikut

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽116+ + 𝐽33

6+ + 𝐽226+)𝜆2

+(𝐽116+𝐽22

6+ + 𝐽336+𝐽22

6+ + 𝐽116+𝐽33

6+ − 𝐽126+𝐽21

6+)𝜆 + 𝐽126+𝐽21

6+𝐽336+ − 𝐽11

6+𝐽336+𝐽22

6+, (4.11)

𝑓(𝜆) = 𝜆3 − (𝐽116+ + 𝐽33

6+ + 𝐽226+)𝜆2 + (𝐽11

6+𝐽226+ + 𝐽33

6+𝐽226+ + 𝐽11

6+𝐽336+ − 𝐽12

6+𝐽216+)𝜆

+𝐽126+𝐽21

6+𝐽336+ − 𝐽11

6+𝐽336+𝐽22

6+ = 0

(𝐽336+ − 𝜆)(𝜆2 − (𝐽11

6+ + 𝐽226+)𝜆 + 𝐽11

6+𝐽226+ − 𝐽12

6+𝐽216+) = 0.

𝜆1 = 𝐽336+ =



−𝛽2𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝐸1𝑞1−𝑑1)


− 𝐸2𝑞2 − 𝑑2, jika



>𝛽2𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝐸1𝑞1−𝑑1)


+ 𝐸2𝑞2 + 𝑑2 maka 𝜆1 < 0. Akar-

akar 𝜆2 dan 𝜆3 adalah solusi dari persamaan

𝜆2 − (𝐽116+ + 𝐽22

6+)𝜆 + 𝐽116+𝐽22

6+ − 𝐽126+𝐽21

6+ = 0, (4.12)

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwizt pada Teorema 2.3, Persamaan (4.12)

memiliki solusi akar-akar negatif jika −(𝐽116+ + 𝐽22

6+) > 0 dan 𝐽116+𝐽22

6+ −

𝐽126+𝐽21

6+ > 0.



, 0,𝑟(𝐾𝑒2𝛼2−𝑑2)


) stabil


a. 𝑒2𝛼2𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1+𝑑1𝛼1+𝑟𝑔1)


>𝛽2𝑟(𝐾𝑒1𝛼1−𝐸1𝑞1−𝑑1)


+ 𝐸2𝑞2 + 𝑑2 ,

b. −(𝐽116+ + 𝐽22

6+) > 0,

c. 𝐽116+𝐽22

6+ − 𝐽126+𝐽21

6+ > 0.

Contoh 4.6

Ambil nilai parameter berikut 𝑟 = 1.5 , 𝐾 = 10000, 𝛼1 = 0.000021,

𝛼2 = 0.000022, 𝑒1 = 0.5, 𝑒2 = 0.5, 𝑑1 = 0.00055,𝑑2 = 0.00065,

𝛽1 = 0.0000008, 𝛽2 = 0.0000010,𝑔1 = 0.00002, 𝑔2 = 0.00002,

𝑞1 = 𝑞2 = 1, 𝑝1 = 𝑝2 = 10, 𝑐1 = 𝑐2 = 5,𝐸1 = 0.5244746121,

𝐸2 = 0.0544517015

𝑒2𝛼2𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

𝛽2𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1− 𝐸2𝑞2 − 𝑑2

= −0.4413191553 < 0

𝑟 −2𝑟(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

𝛼1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1= −1.4491358 < 0

𝑒1𝛼1𝐾(𝐸1𝛼1𝑞1 + 𝑑1𝛼1 + 𝑟𝑔1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1−

2𝑔1𝑟(𝐾𝑒1𝛼1 − 𝐸1𝑞1 − 𝑑1)

𝐾𝑒1𝛼12 + 𝑟𝑔1− 𝐸1𝑞1 − 𝑑1

= −0.04844204831 < 0

𝐽116+𝐽22

6+ − 𝐽126+𝐽21

6+ = 0.07535874317 > 0


−1.44544248, 𝜆2 = −0.05213541, 𝜆3 = −0.44131915.



3) 𝑇8+ = (𝑃∗, 𝐻1

∗, 𝐻2∗)

Dengan mensubstitusi titik 𝑇8+ pada matriks (4.8) diperoleh

𝐽(𝑇8+) = [𝐽11 𝐽12 𝐽13𝐽21 𝐽22 𝐽23𝐽31 𝐽32 𝐽33

]

dengan

𝐽11 = 𝑟 −2𝑟𝑃∗

𝐾− 𝛼1𝐻1

∗ − 𝛼2𝐻2∗, 𝐽12 = −𝛼1𝑃

∗, 𝐽13 = −𝛼2𝑃∗,𝐽21 = 𝑒1𝛼1𝐻1

∗,

𝐽22 = 𝑒1𝛼1𝑃∗ − 2𝑔1𝐻1

∗ − 𝛽1𝐻2∗ − 𝑑1, 𝐽23 = −𝛽1𝐻1

∗, 𝐽31 = 𝑒2𝛼2𝐻2∗,

𝐽32 = −𝛽2𝐻2∗, 𝐽33 = 𝑒2𝛼2𝑃

∗ − 𝛽2𝐻1∗ − 2𝑔2𝐻2

∗ − 𝑑2

𝑃+∗ =

𝐾[(𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼2𝛽2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼1𝛽1 + 𝑟𝛽1𝛽2]


−(𝑑1 + 𝑞1𝐸1)𝛼1𝑔2 + (𝑑2 + 𝑞2𝐸2)𝛼2𝑔1 + 𝑟𝑔1𝑔2


𝐻1∗ =





𝐻2∗ =





Persamaan karakteristik dari matriks 𝐽(𝑇8+) adalah

𝜆3 + 𝐴1𝜆2 + 𝐴2𝜆 + 𝐴3 = 0 (4.13)

𝐴1 = −(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33)

𝐴2 = 𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 − 𝐽23𝐽32

𝐴3 = 𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 − 𝐽11𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽23𝐽31 − 𝐽13𝐽32𝐽21 .

Untuk menjamin kestabilan 𝑇8+ harus memenuhi kriteria Routh-Hurtwiz,

yakni 𝐴1 > 0, 𝐴2 > 0,𝐴3 > 0, dan 𝐴1𝐴2 > 𝐴3.

a. 𝐴1 > 0

−(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33) > 0

b. 𝐴2 > 0

𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 > 𝐽12𝐽21 + 𝐽13𝐽31 + 𝐽23𝐽32

c. 𝐴3 > 0

𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 > 𝐽11𝐽22𝐽33 + 𝐽12𝐽23𝐽31 + 𝐽13𝐽32𝐽21.

d. 𝐴1𝐴2 > 𝐴3



Jadi, titik keseimbangan 𝑇8+ stabil asimtotik jika memenuhi kondisi

−(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33) > 0, 𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 > 𝐽12𝐽21 + 𝐽13𝐽31 +

𝐽23𝐽32, 𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 > 𝐽11𝐽22𝐽33 + 𝐽12𝐽23𝐽31 + 𝐽13𝐽32𝐽21,



Contoh 4.7

Ambil nilai parameter berikut 𝑟 = 1.5 , 𝐾 = 10000,𝛼1 = 0.000021,𝛼2 =

0.000022, 𝑒1 = 0.5, 𝑒2 = 0.5, 𝑑1 = 0.00055, 𝑑2 = 0.00065,𝛽1 =

0.0000008,𝛽2 = 0.0000010,𝑔1 = 0.00002, 𝑔2 = 0.00002,𝑞1 = 𝑞2 = 1, 𝑝1 =

𝑝2 = 10, 𝑐1 = 𝑐2 = 5,𝐸1 = 0.05244746121,𝐸2 = 0.05445170152

𝑟 −2𝑟𝑃∗

𝐾− 𝛼1𝐻1

∗ − 𝛼2𝐻2∗ = −1.404102857 < 0

𝑒1𝛼1𝑃∗ − 2𝑔1𝐻1

∗ − 𝛽1𝐻2∗ − 𝑑1 = −0.04346202910 < 0

𝑒2𝛼2𝑃∗ − 𝛽2𝐻1

∗ − 2𝑔2𝐻2∗ − 𝑑2 = −0.04569273974 < 0

𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 − 𝐽23𝐽32 = 0.13682509 > 0,

𝐽11𝐽23𝐽32 + 𝐽12𝐽21𝐽33 + 𝐽13𝐽31𝐽22 − 𝐽11𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽23𝐽31 − 𝐽13𝐽32𝐽21

= 0.00319338 > 0,

−(𝐽11 + 𝐽22 + 𝐽33)(𝐽11𝐽22 + 𝐽11𝐽33 + 𝐽22𝐽33 − 𝐽12𝐽21 − 𝐽13𝐽31 − 𝐽23𝐽32)

−𝐽11𝐽23𝐽32 − 𝐽12𝐽21𝐽33 − 𝐽13𝐽31𝐽22 + 𝐽11𝐽22𝐽33 + 𝐽12𝐽23𝐽31 + 𝐽13𝐽32𝐽21

= 0.20112173 > 0.


−1.39694831, 𝜆2 = −0.05389034, 𝜆3 = −0.04241897.



D. Pemanenan Optimal

Pengoptimalan pemanenan merupakan kebijakan yang sangat baik

yang dapat diberikan pada spesies yang bernilai ekonomi. Fungsi

keuntungan secara umum telah diberikan pada persamaan (2.15). Fungsi

keuntungan dibentuk dari hasil pengurangan total pemasukan (TR)

dengan total biaya (TC).

Populasi yang diasusmsikan bernilai ekonomis adalah populasi

pemangsa. Oleh karena itu, pada titik keseimbangan interior 𝑇8+ =

(𝑃+∗ , 𝐻1+

∗ , 𝐻2+∗ ) hanya 𝐻1+

∗ dan 𝐻2+∗ yang disubstitusi ke persamaan (4.8).

Berikut formula fungsi keun

digilib.unhas.ac.iddigilib.unhas.ac.id/uploaded_files/temporary/...pernyataan keaslian tesis yang...

Documents