بسم اّلله ارلحمن ارلحیم

به روش عددی معادله موج مرتبه اول یک بعدیحل

درس مقدمه ای بر سیاالت محاسباتی

استاد : دکتر حقیقی

علی عمادی: محمد توسط

49-49نیمسال دوم سال تحصیلی

موج مرتبه اول یک بعدی : معادله

∂u

∂t= −a

∂u

∂x a = 300 (∗)

با شرط اولیه :

{

u(x, 0) = 100 sin (πx

60) 0 ≤ x ≤ 50

u(x, 0) = 0 50 ≤ x ≤ 300

}

: d’Alembertحل تحلیلی به روش

𝜉 = 𝑥 + 𝑐𝑡 𝜂 = 𝑥 − 𝑐𝑡

𝜕𝑢

𝜕𝑡=𝜕𝑢

𝜕𝜉.𝜕𝜉

𝜕𝑡+𝜕𝑢

𝜕𝜂.𝜕𝜂

𝜕𝑡

𝜕𝑢

𝜕𝑥=𝜕𝑢

𝜕𝜉.𝜕𝜉

𝜕𝑥+𝜕𝑢

𝜕𝜂.𝜕𝜂

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑐 (

𝜕𝑢

𝜕𝜉−𝜕𝑢

𝜕𝜂)

𝜕𝑢

𝜕𝑥=𝜕𝑢

𝜕𝜉+𝜕𝑢

𝜕𝜂 (∗)

(∗) & (∗∗) ⟹ 2𝑐𝜕𝑢

𝜕𝜉= 0 ⟹ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝜂) = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥, 0) ⟹ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 100 𝑠𝑖𝑛 (𝜋(𝑥 − 𝑐𝑡)

60)

Finite Differenceحل عددی

x∆مقادیر عددی برای حل = t∆و 5 = 0.01666 , را در نظر میگیرم 0.007

𝑐مقدار برای عدد کورانت بدست خواهد امد : 2 به ازای مقادیر باال = a∆t

∆x= 1 , 0.42

Upwind differencing techniqueحل عددی با روش :

مقدار مختلف عدد کورانت است : 2 بدست آمده به ازایزیر جواب شکل های

Courant Number = 1

Courant Number = 0.42

C یشود به ازاهمان طور که مشاهده می = چون ولی ست اکمترین خطا وجود دارد و در واقع برابر حل دقیق 1

Cازای هبدقّت این روش از مرتبه اول است = و باعث کاهش دامنه و بوده هدردهی دارای خطای این روش 0.42

شود.شود و همچنین با گذشت زمان میزان خطا بیشتر میپراکندگی موج به نقاط مجاور می

Cرا برای حالت کاهش دامنه و پراکندگی موج زیر نحوه های شکل = : دهدنشان می 0.42

Lax-Wendroffحل عددی با روش :

مقدار مختلف عدد کورانت است : 2زیر جواب بدست آمده به ازای شکل های

Courant Number = 1

Courant Number =0.42

Cشود به ازای همان طور که مشاهده می = چون ولی است کمترین خطا وجود دارد و در واقع برابر حل دقیق 1

Cبه ازای دقّت این روش از مرتبه دوم است = پراکنده سازی بوده و باعث نوسانی شدن نقاط دارای خطای 0.42

شود.شود و همچنین با گذشت زمان میزان خطا بیشتر میمجاور موج می

Cرا برای حالت نوسانی شدن نقاط مجاور موج شکل زیر نحوه = دهد :نشان می 0.42

-Lax در Upwindبرخالف روش . دهدشان میخطای هدردهی و پراکنده سازی را ن نت بیزیر تفاوشکل

Wendroff شوند :نقاط مجاور موج نوسانی میموج تغییرات زیادی ندارد ولی اندازه دامنه

Euler BTCSحل عددی با روش :

مقدار مختلف عدد کورانت است : 2زیر جواب بدست آمده به ازای شکل های

Courant Number = 0.5

Courant Number = 1.5

دارای خطای هدردهی است و با گذشت زمان Upwindمشابه روش BTCSروش د شوان طور که مشاهده میهم

و در نتیجه 𝑡∆ و 𝑥∆ضمنی است همواره پایدار بوده پس با افزایش BTCSیابد . چون روش خطای آن افزایش می

در گام های بزرگتر که از فواید ه یجدرنت شود اما جواب ضعیفتر می افزایش عدد کورانت این روش پایدار خواهد ماند

د.برمیشود که مزیت این روش ضمنی را از بین یک روش ضمنی است جواب های ضعیفتر و کم دقّتی تولید می

نشان داده شده است : BTCSو Upwindروش 2در تفاوت در میزان خطادر شکل زیر

MacCormackحل عددی با روش :

𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑢𝑖∗ = 𝑢𝑖

𝑛 −𝑎∆𝑡

∆𝑥(𝑢𝑖+1

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛)

𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑢𝑖𝑛+1 =

1

2[(𝑢𝑖

𝑛+𝑢𝑖∗) −

𝑎∆𝑡

∆𝑥(𝑢𝑖

∗ − 𝑢𝑖−1∗ )]

آید. در بدست می Lax-Wendroffهمان فرمول روش ، با جاگذاری معادله پیش بینی کننده در معادله تصحیح کننده

یکی هستند و فقط در مسائل غیر خطی است که Lax-Wendroffو MacCormackواقع در مسائل خطی روش

دارند.نتایج متفاوت دو روش این

باشد که تکراری می MacCormackاز آنجا که مسئله مطرح شده در این پروژه خطی است ، از انجام روش

خودداری می شود.

Courant Number : 0.42 Courant Number : 1.5

در دقت جواب 𝒕∆و 𝒙∆اندازه تاثیر بررسی

𝑡∆ و 𝑥∆ افزایش عدد کورانت و یا کم کردن هم زمان .وجود داردبرای افزایش میزان دقت در جواب دو رویکرد

به ازای مقادیر مختلف عدد کورانت رسم شده است. می توان دریافت که با Upwindدر شکل زیر نتایج با روش

𝒙∆توان با کاهش شود. در واقع میمی ترافزایش عدد کورانت به مقدار یک )حد پایداری( ، جواب به حل دقیق نزدیک

افزایش داد و دقت را باال برد.مقدار عدد کورانت را 𝒙∆ثابت نگه داشتن و 𝒕∆و یا با افزایش 𝒕∆و ثابت نگه داشتن

𝑥∆ با عدد کورانت ثابت ولی Upwindدر شکل زیر نتایج با روش رویکرد دوم در شکل زیر نشان داده شده است.

𝑡∆ و 𝑥∆ تواند دریافت اگرچه عدد کورانت ثابت است ولی با کاهش همزمانختلف رسم شده است. میهای م 𝑡∆ و

شود.خطای کمتری بوده و به حل دقیق نزدیکتر میجواب دارای

شود مقدار مشخصیرا که به ازای آن خطای حل عددی کمتر از ای𝑥∆توان را ثابت نگه داریم می 𝑡∆اگر مقدار

𝑡∆ برنامه اگر بر اساس نتایج حاصل از بدست آورد. = 𝑡و 0.001 = 0.3𝑠 به ازای د ، نباشثابت∆𝑥 = 0.34

شد.نزدیک شود حل دقیق تر خواهد 5.9 درصد خواهد رسید و هر چه قدر به 5.0به میزان خطا

dx=0.55 --- Error percentage = 3.0326 dx=0.54 --- Error percentage = 2.9123 dx=0.53 --- Error percentage = 2.7894 dx=0.52 --- Error percentage = 2.6703 dx=0.51 --- Error percentage = 2.5521 dx=0.5 --- Error percentage = 2.4346 dx=0.49 --- Error percentage = 2.3118 dx=0.48 --- Error percentage = 2.1934 dx=0.47 --- Error percentage = 2.0716 dx=0.46 --- Error percentage = 1.9495 dx=0.45 --- Error percentage = 1.8275 dx=0.44 --- Error percentage = 1.7068 dx=0.43 --- Error percentage = 1.5893 dx=0.42 --- Error percentage = 1.4647 dx=0.41 --- Error percentage = 1.3435 dx=0.4 --- Error percentage = 1.2234 dx=0.39 --- Error percentage = 1.1006 dx=0.38 --- Error percentage = 0.97885 dx=0.37 --- Error percentage = 0.86139 dx=0.36 --- Error percentage = 0.73941 dx=0.35 --- Error percentage = 0.6129 dx=0.34 --- Error percentage = 0.49068 -------------------------------- by dx=0.34 Error percentage is less that 0.5%

: نشان داده شده است Upwindموج با روش بعدی حل معادله-9زیر نمودار ر شکلد