คณิต pat1 มีนาคม 2555

24
PAT 1 (มี.ค. 55) 1 PAT 1 (มี.ค. 55) รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1) วันเสาร์ที 3 มีนาคม 2555 เวลา 13.00 - 16.00 น. ตอนที 1 ข้อ 1 - 25 ข้อละ 5 คะแนน 1. สําหรับเซต ใดๆ ให้ แทนคอมพลีเมนต์ของเซต กําหนดให้ , และ เป็นเซตในเอกภพสัมพัทธ์ โดยที = , และ ≠ ∅ ถ้าเซต มีสมาชิก 12 ตัว เซต มีสมาชิก 10 ตัว และเซต มีสมาชิก 4 ตัว แล้วจะมีเซต ทังหมดกีเซต 1. 60 เซต 2. 48 เซต 3. 16 เซต 4. 8 เซต 2. กําหนดให้ , , และ เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์ ∧~ ∨~ ∨~ สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี 1. 2. 3. 4.

Upload: irainy-cxcx

Post on 23-Jul-2015

714 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

Page 1: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 1

PAT 1 (ม.ค. 55)

รหสวชา 71 วชา ความถนดทางคณตศาสตร (PAT 1)

วนเสารท� 3 มนาคม 2555 เวลา 13.00 - 16.00 น.

ตอนท� 1 ขอ 1 - 25 ขอละ 5 คะแนน

1. สาหรบเซต � ใดๆ ให �� แทนคอมพลเมนตของเซต � กาหนดให �, � และ � เปนเซตในเอกภพสมพทธ �

โดยท� � ∩ � = � , � ⊂ � และ � ∩ � ≠ ∅

ถาเซต � มสมาชก 12 ตว เซต �� ∪ �� มสมาชก 10 ตว และเซต � ∩ �� มสมาชก 4 ตว

แลวจะมเซต � ท งหมดก�เซต

1. 60 เซต 2. 48 เซต 3. 16 เซต 4. 8 เซต

2. กาหนดให �, �, � และ เปนประพจนใดๆ

ประพจน �� ∧ ~�� ∨ ~� ⇒ �� ∨ � ∧ �� ∨ ~� สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน 1. � ⇒ � 2. � ⇒ �

3. �� ∨ �� ∧ �� ∨ �� 4. �� ∨ �� ∧ �� ∨ �

Page 2: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

2 PAT 1 (ม.ค. 55)

3. ถา � แทนเซตของจานวนเตมท งหมด ท�สอดคลองกบอสมการ 3|� − 1| − 2� > 2|3� + 1| และ � แทนเซตคาตอบของอสมการ ��� + 2��� + 1�� < 0 แลวขอใดตอไปน ถกตอง

1. เซต � − � มสมาชก 5 ตว 2. � ∪ � = �

3. เซต � ∩ � มสมาชก 1 ตว 4. �� − �� ∪ �� − �� = �

4. กาหนด R แทนเซตของจานวนจรง ให � = { ��,�� ∈ R × R | |�|� + � − � − 1 = 0 }

พจารณาขอความตอไปน ก. � เปนความสมพนธท�มโดเมน D� = { � ∈ R | � ≠ −1 }

ข. ความสมพนธ ��� เปนฟงกชน

ขอใดตอไปน ถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

5. กาหนดให 0° < � < 45° และให � = �sin����� � = �sin����

� = �cot��� � � = �cot����

ขอใดตอไปน ถกตอง

1. � < � < � < � 2. � < � < � < �

3. � < � < � < � 4. � < � < � < �

Page 3: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 3

6. ให ABC เปนรปสามเหล�ยม โดยม �,� และ � เปนความยาวของดานตรงขามมม A มม B และ มม C ตามลาดบ

ถามม C เทากบ 60° � = 5 และ � − � = 2

แลวความยาวของเสนรอบรปสามเหล�ยม ABC เทากบขอใดตอไปน 1. 25 2. 29 3. 37 4. 45

7. วงรท�มแกนเอกอยบนแกน � แกนโทอยบนแกน � ระยะระหวางจดโฟกสท งสองเทากบ 12 หนวย ถาความยาวของ

คอรดท�ผานจดโฟกสหน�งและต งฉากกบแกนเอกของวงร เทากบ 10 หนวย แลวสมการของวงร คอขอใดตอไปน 1. 5�� + 9�� = 405 2. 9�� + 5�� = 81

3. 5�� + 9�� = 225 4. 9�� + 5�� = 20

8. พาราโบลาท�มจดโฟกส F อยท�จดศนยกลางของวงกลม �� + �� − 6� + 4� + 4 = 0 และมจดยอด V อยท�จดตดของวงกลมกบแกน � ถา A และ B เปนจดบนพาราโบลาซ�งสวนของเสนตรง AB���� ผานจดโฟกส F และต งฉากกบแกนของพาราโบลา แลวพ นท�ของรปสามเหล�ยม VAB เทากบขอใดตอไปน

1. 9 ตารางหนวย 2. 12 ตารางหนวย 3. 18 ตารางหนวย 4. 36 ตารางหนวย

Page 4: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

4 PAT 1 (ม.ค. 55)

9. ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา � เปนเซตคาตอบของอสมการ ��������������� > ��������� แลว � เปนสบเซตในขอใดตอไปน 1. { � ∈ R | �5� − 1��� − 3� < 0 } 2. { � ∈ R | �4� − 1��� − 4� < 0 }

3. { � ∈ R | �2� − 1��� − 5� < 0 } 4. { � ∈ R | |� − 1| < 2 }

10. กาหนดให � > 1 , � > 1 , � > 1 และ � > 1 พจารณาขอความตอไปน ก. ถา �� = �� แลว �log� ���log� � − log� �� = �log� ���log� � − log� ��

ข. ถา � > � + 1 และ �� + �� = �� แลว

log����� � + log����� � = 2�log����� ���log����� �� ขอใดตอไปน ถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

11. ให � เปนเซตคาตอบของสมการ log�√� + 1 + 5� = log �

และ � เปนเซตคาตอบของสมการ log��3�� + log��9�� + log��27�� = 3 + 2 log�����

ผลคณของสมาชกท งหมดในเซต � ∪ � เทากบขอใดตอไปน 1. ��

� 2. ��� 3. ��

� 4. ���

Page 5: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 5

12. กาหนดให จด A(−1, 1), B(2, 5) และ C(2, −3) เปนจดยอดของรปสามเหล�ยม ABC ให L เปนเสนตรงท�ผานจด A และจด B ลากสวนเสนตรง CD���� ต งฉากกบเสนตรง L ท�จด D แลวเวกเตอร AD������ เทากบขอใดตอไปน

1. −��� �3� − 4!� 2. �

�� �3� − 4!� 3. −��� �3� + 4!� 4. �

�� �3� + 4!�

13. กาหนดให �,�, �,", � และ � เปนจานวนจรง และ

� = #1 �� −1$ , � = %� �� "& , � = %−1 0

0 1& และ I = %1 0

0 1&

ถา �� = I และ �� = 2� แลว คาของ det����� เทากบขอใดตอไปน 1. 0.25 2. 0.5 3. 2 4. 4

14. กาหนดให '� และ ( เปนเวกเตอรใดๆ ซ�งไมใชเวกเตอรศนย พจารณาขอความตอไปน ก. |'� − (|� < |'�|� − |(|�

ข. ถา '� ต งฉากกบ ( แลว |'� − (|� = |'�|� + |(|�

ขอใดตอไปน ถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

Page 6: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

6 PAT 1 (ม.ค. 55)

15. พจารณาขอความตอไปน

ก. สาหรบ � และ � เปนจานวนเตมบวก จะไดวา ∞

=

∑1n

����������� =

�������

ข. ถา ��, ��, ��, … เปนลาดบเลขคณตของจานวนจรง โดยท� ������⋯������������⋯��� =

��

��

สาหรบจานวนเตมบวก ) และ * ท�แตกตางกน แลว ���� = ��������

ขอใดตอไปน ถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

16. ให R แทนเซตของจานวนจรง กาหนดให + : R → R เปนฟงกชนท�มอนพนธทกอนดบ โดยท� +����� = 2� + 1 และ +��2� = 2

สมการของเสนตรงท�ต งฉากกบเสนสมผสเสนโคง � = +��� ท�จด (1, 3) คอขอใดตอไปน

1. � = −�� � + 2 2. � =

�� � +

��

3. � = −�� � +

�� 4. � =

�� � + 2

17. ให R แทนเซตของจานวนจรง ให + : R → R , , : R → R และ ℎ : R → R เปนฟงกชน โดยท�

+��� = �������� เม�อ � เปนจานวนจรง ,��� = ��� + 1�+���� และ ℎ��� = -+��� เม�อ� ≥ 2,��� เม�อ� < 2

ถาฟงกชน ℎ ตอเน�องท� � = 2 แลว คาของ 2ℎ�−2� − ℎ�2� เทากบขอใดตอไปน 1. 0.6 2. 0.8 3. 1 4. 3

Page 7: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 7

18. ให R แทนเซตของจานวนจรง ให + : R → R , , : R → R และ ℎ : R → R เปนฟงกชนท�มอนพนธทกอนดบ

โดยท� ℎ��� = �� + 4 , ,��� = ℎ�+��� − 1� และ +��1� = ,��1� = 1

แลวคาของ +�1� เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 1.5 3. 1 4. 0.5

19. กาหนดสมการจดประสงค คอ . = 3� + 2� โดยมอสมการขอจากด ดงน � + 2� ≤ 6 , 2� + � ≤ 8 , −� + � ≤ 1 , � ≥ 0 และ 0 ≤ � ≤ 2

คาของ . มคามากสด เทากบขอใดตอไปน 1. 10 2. 12 3. ��

� 4. 18

20. คะแนนสอบวชาคณตศาสตร ของนกเรยนจานวน 30 คน มคาเฉล�ยเลขคณตและสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 25

คะแนนและ 5 คะแนน ตามลาดบ ถานาคะแนนของนายสายชลและนางสาวฟาซ�งสอบได 20 คะแนนและ 30

คะแนน ตามลาดบ มารวมดวยแลวสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานจะเทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

Page 8: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

8 PAT 1 (ม.ค. 55)

21. กาหนดให � = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} สมหาสบเซตของ � ท�มสมาชก 3 ตว ความนาจะเปนท�จะไดสบเซต {�,�, �} ⊂ � โดยท� � < � < � และ �,�, � เปนลาดบเลขคณต เทากบขอใดตอไปน

1. ��� 2. �

�� 3. ��� 4. �

��

22. ตารางตอไปน เปนขอมลเก�ยวกบอายของพนกงานจานวน 50 คน

ถาอายต�าสดของพนกงาน คอ 21 ป แลวคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดน เทากบขอใดตอไปน 1. 35 2. 37.5

3. 41 4. 43

23. นกเรยนช นมธยมศกษาปท� 6 จานวน 20 คน แบงเปน 2 กลมๆละ 10 คน ทาแบบทดสอบวดความถนดฉบบหน�งมคะแนนเตม 20 คะแนน ไดคะแนนของนกเรยนแตละคนดงน

พจารณาขอความตอไปน ก. ความสามารถของนกเรยนกลมท� 1 มความแตกตางกนมากกวานกเรยนกลมท� 2

ข. สมประสทธBของสวนเบ�ยงเบนควอรไทลของกลมท� 1 และกลมท� 2 เทากบ ��� และ ��� ตามลาดบ

ขอใดตอไปน ถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

อายไมเกน (ป) จานวน (คน)

25 9

30 17

35 24

40 37

45 43

50 50

กลมท� 1 7 6 5 8 3 6 9 7 6 10

กลมท� 2 6 9 15 12 1 8 7 7 5 6

Page 9: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 9

24. นยาม � ∗ � = �� สาหรบ � และ � เปนจานวนจรงบวกใดๆ

ถา �, � และ � เปนจานวนจรงบวก แลวขอใดตอไปน ถกตอง

1. � ∗ �� ∗ �� = �� ∗ �� ∗ � 2. �� ∗ �� ∗ � = � ∗ ����

3. � ∗ �� ∗ �� = �� ∗ �� ∗ � 4. �� + �� ∗ � = �� ∗ �� + �� ∗ ��

25. กาหนดให � = /7 + 4√3 , � = 0212/2√2 … และ � = √2 + √3 ขอใดตอไปน ถกตอง

1. �� >

�� >

�� 2. �

� >�� >

�� 3. �

� >�� >

�� 4. �

� >�� >

��

ตอนท� 2 ขอ 26 - 50 ขอละ 7 คะแนน

26. ในการสารวจสโมสรแหงหน�งมสมาชกจานวน 100 คน พบวาชอบอานนวนยายหรอหนงสอพมพหรอนตยสาร อยาง

นอย 1 รายการ และ ม 75 คน ชอบอานนวนยาย

ม 70 คน ชอบอานหนงสอพมพ และ

ม 80 คน ชอบอานนตยสาร

มสมาชกอยางนอยก�คนท�ชอบอานท งสามรายการ

Page 10: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

10 PAT 1 (ม.ค. 55)

27. ให � และ � เปนจานวนจรง ถา ��� + �� + 4 หารดวย �� − 1�� ลงตว แลว � − � เทากบเทาใด

28. จงหาคาของ 2 sin� 60° �tan 5° + tan 85°� − 12 sin 70°

29. ให � เปนเซตคาตอบของสมการ arccos��� = arccos��√3� + arccos�√1 − ���

และให � เปนเซตคาตอบของสมการ arccos��� = arcsin��� + arcsin�1 − ��

จานวนสมาชกของเซต .�� − �� เทากบเทาใด เม�อ .��� แทนเพาเวอรเซตของเซต �

Page 11: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 11

30. กาหนดให �,� และ � เปนเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix) มต 3 × 3

และ I เปนเมทรกซเอกลกษณการคณ มต 3 × 3

ถา � = 2� � �" 3 +, ℎ 4 5 เม�อ �,�, �,", 3,+,,, ℎ และ 4 เปนจานวนจรง และ �� = 2I , det(���) = 4 และ

�!� = 2−3, −3ℎ −34−� −� −�2" 23 2+ 5 แลว det��� เทากบเทาใด

31. ให +��� = �� + ��� + ��� + ��� + "� + 3 เม�อ �,�, �,", 3 เปนจานวนจรง

ถากราฟ � = +��� ตดกบกราฟ � = 3� + 2 ท� � = −1, 0, 1, 2

แลวคาของ +�3� − +�−2� เทากบเทาใด

32. กาหนดให 6� และ 6� เปนจานวนเชงซอน

โดยท� |6� + 6�| = 3 และ |6� − 6�| = 1 (เม�อ |6| แทนคาสมบรณของจานวนเชงซอน 6)

คาของ |6�|� + |6�|� เทากบเทาใด

Page 12: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

12 PAT 1 (ม.ค. 55)

33. ให � เปนเซตของจานวนเชงซอน 6 ท งหมดท�สอดคลองกบ 2|6| − 36 = 9i – 2

และ � = 7|8|�98 =��� �"�� เม�อ6 ∈ �: เม�อ i� = −1

ผลบวกของสมาชกท งหมดในเซต � เทากบเทาใด

34. ลาดบเรขาคณตชดหน�ง มอตราสวนรวมเปนจานวนจรงบวก

ถาผลบวกของสองพจนแรก เทากบ 20 และผลบวกของส�พจนแรก เทากบ 65

แลว ผลบวกของหกพจนแรก เทากบเทาใด

35. จงหาคาของ ∞→n

lim �� ;11 +��� +

��� + 11 +

��� +

��� + ⋯ + 11 +

���

+�

������<

Page 13: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 13

36. กาหนดให =� = 2� เม�อ ) = 1, 2, 3, … และ �� = 5!� + 5�!� เม�อ ) = 1, 2, 3, …

คาของ ∞→n

lim ��������…�� เทากบเทาใด

37. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา + : R → R และ , : R → R เปนฟงกชน โดยท� +��� = 2� + 3

และ �, ∘ +���� = 8�� + 44�� + 80� + 48 สาหรบทกจานวนจรง �

แลวคาของ > +�,����"�� เทากบเทาใด

38. กาหนดให R แทนเซตของจาวนจรง กาหนด ,��� = �� + � + 3 สาหรบทกจานวนจรง �

ถา + : R → R เปนฟงกชน และสอดคลองกบ

�+ ∘ ,���� + 2�+ ∘ ,��1 − �� = 6�� − 10� + 17

2�+ ∘ ,���� + �+ ∘ ,��1 − �� = 6�� − 2� + 13

คาของ +�383� เทากบเทาใด

Page 14: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

14 PAT 1 (ม.ค. 55)

39. กาหนดให +��� = �� + �� + � เม�อ � และ � เปนจานวนจรงท�แตกตางกน และให L� และ L� เปนเสนสมผส

เสนโคง ท� � = � และ � = � ตามลาดบ

ถา L� ขนานกบ L� และ 0

lim→h

�#$���#��$��� = 1 แลวคาของ > +���"��

เทากบเทาใด

40. จงหาคาของ

4

limπ

→x

���� ������%� ���������� �� �

41. ให � เปนเซตของพหนาม +��� = ��� + ��� + �� + " โดยท� �,�, �," เปนสมาชกในเซต {0, 1, 2, … }

ซ�งมสมบตสอดคลองกบ 2� + � + � + " = 4 จานวนสมาชกของเซต � เทากบเทาใด

Page 15: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 15

42. ขอมลชดหน�งประกอบดวยจานวน 11, 3, 6, 3, 5, 3, � ให � เปนเซตของ � ท�เปนไปไดท งหมด ซ�งทาให คาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลชดน มคาแตกตางกนท งหมด และ ในบรรดาคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม เหลาน นามาจดเรยงกนใหมจากนอยไปมากแลวเปนลาดบเลขคณต จงหาผลบวกของสมาชกท งหมดในเซต �

43. มหนงสอท�แตกตางกน 5 เลม คอ หนงสอ ก หนงสอ ข หนงสอ ค หนงสอ ง และ หนงสอ จ สมเลอกหนงสอเหลาน มาคร งละ 3 เลม ความนาจะเปนท�จะไดหนงสอ ก หรอ หนงสอ ข เทากบเทาใด

ขอมลตอไปน สาหรบตอบคาถามขอ 44 และขอ 45

ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหน�ง มนกเรยนจานวน 30 คน ปรากฏวามนกเรยน 17 คน สอบได

คะแนนในชวง 10 – 39 คะแนน มนกเรยน 10 คน สอบไดคะแนนในชวง 40 – 49 คะแนน และมนกเรยน 3 คน

สอบไดคะแนนในชวง 50 – 59 คะแนน

44. ถาแบงคะแนนเปนเกรด 3 ระดบ คอ เกรด A เกรด B และเกรด C โดยท� 10% ของนกเรยนไดเกรด A และ 20%

ของนกเรยนไดเกรด B แลว คะแนนสงสดของเกรด C เทากบก�คะแนน

Page 16: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

16 PAT 1 (ม.ค. 55)

45. จากขอมลขางตน สมมตวาคะแนนมการแจกแจงปกต มสมประสทธBการแปรผนเปน �� ถาคะแนนสงสดของเกรด B

มคะแนนมาตรฐานเปน 1.5 แลว คะแนนเฉล�ยของนกเรยนหองน เทากบก�คะแนน

46. จงหาจานวนวธท งหมดในการจด ชาย 3 คน และหญง 3 คน ซ�งม นาย ก. และ นางสาว ข. รวมอยดวย ใหยนเปนแถวตรง 2 แถวๆละ 3 คน โดยท� นาย ก. และ นางสาว ข. ไมไดยนตดกนในแถวเดยวกน

47. ถา " เปนจานวนเตมบวกท�มากกวา 1 และจานวน 1059 , 1417 และ 2312 หารดวย " แลวมเศษเหลอเทากน

คอ � แลวคาของ " + � เทากบเทาใด

Page 17: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 17

48. กาหนดให �,�, � และ " เปนจานวนจรง ถากราฟ � = −|� − 1 − �| + � และ

กราฟ � = |� − �| − " ตดกนท�จด (2, 5) และ (8, 3) แลวคาของ � + � + � + " เทากบเทาใด

49. กาหนดให �� เปนจานวนสองหลก โดยท� �,� ∈ {1, 2, … , 9} และ � เทากบสองเทาของ �

ถา (310 × ��) − (465 × ��) = 2790 แลว � + � เทากบเทาใด

50. กาหนด � เปนเซตของ (�,�, �,", 3,+) โดยท� �,�, �,", 3,+ ∈ {0, 1, 2, … , 9} ซ�งมสมบตสอดคลองกบ

�� − �� = 4 , 2� − "� = 7 และ 3� − +� = −1 จานวนสมาชกของเซต � เทากบเทาใด

Page 18: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

18 PAT 1 (ม.ค. 55)

เฉลย

1. 2 11. 3 21. 4 31. 135 41. 22

2. 3 12. 3 22. 1 32. 5 42. 22

3. 1 13. 1 23. 4 33. 10 43. 0.9

4. 4 14. 3 24. 2 34. 166.25 44. 43.5

5. 2 15. 1 25. 4 35. 1 45. 33

6. 4 16. 2 26. 25 36. 24.96 46. 528

7. 1 17. 4 27. 6 37. 990 47. 343

8. 3 18. 2 28. 6 38. 763 48. 15

9. 2 19. 3 29. 1 39. 4 49. 9

10. 1 20. 2 30. 48 40. 3 50. 6

แนวคด

1. 2

)��� ∪ ��� = 10 → )��� = 2 ; )(� ∩ ��) = 4 = )�� − ��

จานวนเซต � = สบเซตท งหมดของ � − สบเซตของ � ท� ∩ � แลวเปน ∅ = 2� − 2��� = 64 – 16 = 48

2. 3

≡ T ∧ �~� ∨ ~�� ⇒ � ∨ F ≡ �~� ∨ ~�� ⇒ � ≡ �� ∧ �� ∨ �

3. 1

� แบง 3 กรณ : (−∞, −�� ) ได −4, … , −1 ; [−

��, 1) ได 0 ; [1, ∞) ไมมคาตอบ → −4, … , 0

� ไมสลบ ± ตรง 1 ได (−2, −1) ∪ (−1, 0)

4. 4

� = ���|�|�� → D� = R → ก. ผด ; ถา � ≥ 0 ได � =

������ = 1 หมด → many to one → ข. ผด

5. 2

� กบ � : sin� < 1 , tan� < cot� → �sin����� > �sin���� → � > �

� กบ � : cot� > 1 , sin� < cos� → �cot��� � < �cot���� → � < �

� กบ � : � ฐาน < 1 ยกกาลงเลขบวก ได � < 1 , � ฐาน > 1 ยกกาลงเลขบวก → � > 1 → � < �

6. 4 �� − 2�� = �� + 5� − 2��5� cos 60° → � = 21

7. 1

� = ��� = 6 ; �� − �� = 36 ,

���� = 10 → �� = 81 , �� = 45

8. 3

�� − 3�� + �� + 2�� = 9 → F(3, −2) ; แทน � = 0 → ตดแกน � ท� V(0, −2) → � = 3

AB = ลาตสเรคตม = ยาว 4� = 12 → พท = �� × 12 × 3 = 18

Page 19: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 19

9. 2

ฐาน < 1 ตองกลบเคร�องหมาย → 5�� − 23� + 3 < −� − 5 → � ∈ ��� , 4�

10. 1

�log� ���log� � − log� �� = �

'�(� � � �'�(� � −

�'�(� �� =

'�(�(�/�)�'�(� ���'�(� ���'�(� ��

ทานองเดยวกน ฝ�งขวาได = '�(�(�/�)

�'�(� ���'�(� ���'�(� �� เทากน เพราะ �� = �� → �� =

��

log����� � + log����� � = �

'�(� ��� +�

'�(� ��� = '�(� �����

�'�(� �����'�(� ���� = '�(� ��

�'�(� �����'�(� ����

= �

�'�(� �����'�(� ���� = ทางขวา

11. 3

� : √� + 1 + 5 = � → � ≥ 5 และ �� − 11� + 24 = 0 → � = 3, 8

� : �3���9�����27���� = �2������ → � = ��

12. 3

AD������ = โปรเจคชนของ AC������ บน AB������ = �?AC������? cos�� )*++++++,-)*++++++,- = @).+++++,∙)*++++++,-)*++++++,- A )*++++++,

-)*++++++,-

(ถา � > 90° มนจะปรบเคร�องหมายใหอตโนมต) แทน AB������ = # 5 − 12 − �−1�$ = %4

3& , AC������ = # −3 − 1

2 − �−1�$ = %−4

3&

AD������ = @).+++++,∙)*++++++,-)*++++++,- A )*++++++,-)*++++++,- = ���������������� � ��� %43&� = −

��� %43&

13. 1

#1 �� −1$ #1 �� −1

$ = %1 00 1

& → 1 + �� = 1 → �� = 0 → det � = (1)(−1) – �� = −1

เอา �� = 2� มาใส det ตลอด ได det� det� = 4 det� → det � = ������� = 4

14. 3

ก. ถา '� = ( ได 0 < 0 ผด (ถง '� ≠ ( กยงผด เพราะ '� , ( , '� − ( ประกอบเปนสามเหล�ยม ก. ผด ในกรณสามเหล�ยมมมปาน) ; ข ถก จากพทากอรส

15. 1

=

∑1n

����������� =

=

∑1n

��

������ + ∞

=

∑1n

�������� =

��

�� �

��

+

��

��

��

= �� +

�� =

�������

������⋯������������⋯��� =

�����������0�

�����������0� =

��

�� →

���������0���������0 =

��

→ 2��* + *)" − *" = 2��) + *)" − )" → �2�� − "��* − )� = 0 แต * ≠ ) ดงน น 2�� = "

จะได ���� = ��������0��������0 =

��������(���)��������(���) =

���������������������������� =

��������

16. 2

+���� = �� + � − 4 → ท� (1, 3) ชน = −2 → เสนตรงชน = �� → สมการคอ 1����� = �� → � =

�� � +

��

Page 20: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

20 PAT 1 (ม.ค. 55)

17. 4

,��� = ��� + 1� �����������������(��)������� � = ��������

����

ℎ ตอเน�อง → +�2� = ,�2� → ����� =

������� → � = −1

2ℎ�−2� − ℎ�2� = 2,�−2� − +�2� = 2 �������� � − �−��� = 3

18. 2 ,��� = �+��� − 1�� + 4 → ,���� = 2�+��� − 1��+����� → 1 = 2�+�1� − 1�(1) → +�1� = 1.5

19. 3

วาดรป ไดจดตองสงสยคอ (2, 2), (� � ,

��), (4, 0) ไดมากสดท� (� � ,

��) =

���

20. 2

เดม ∑� = (25)(30) = 750 , ∑��� − 25� = 5� → ∑�� = 19500

ใหม ∑� = 750+20+30 = 800 → � = � �� = 25 , ∑�� = 19500+20�+30� = 20800

= 1� � �� − 25� = 5

21. 4

" = 1 : 123, 234, … , 567 = 5 ; " = 2 : 135, 246, 357 = 3 ; " = 3 : 147 = 1 → ���������

22. 1

" = ������������������ ��(�)��(�)

� = �� � = −0.6 � = (−0.6)(5) + 38 = 35

23. 4

ขอ ก. ตองวดโดยใชการกระจายสมพทธ ดงน น จะทาขอ ข. กอน แลวใชขอ ข. มาตดสนขอ ก. ขอ ข. เรยงขอมลแตละกลม จากนอยไปมากไดดงน

Q� = ตวท� (�)�� ���� = ตวท� 2.75 ; Q� = ตวท� (�)�� ���� = ตวท� 8.25

กลม 1 : Q�= 5 + 0.75(6 − 5) = 5.75 , Q�= 8 + 0.25(9 − 8) = 8.25 → �.����.���.����.�� =

���

กลม 2 : Q�= 5 + 0.75(6 − 5) = 5.75 , Q�= 9 + 0.25(12 − 9) = 9.75 → �.����.���.����.�� =

���

ดงน น ข ผด และเน�องจาก ��� < ��� ดงน น กลม 1 กระจายนอยกวา จงแตกตางกนนอยกวา ดงน น ก ผด

21 - 25 9

26 - 30 8

31 - 35 7

36 - 40 13

41 - 45 6

46 - 50 7

กลมท� 1 3 5 6 6 6 7 7 8 9 10

กลมท� 2 1 5 6 6 7 7 8 9 12 15

Page 21: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 21

24. 2

เพราะ ����� = ���

25. 4

� = 2 + √3 ; �� = 212/2√2 … = 2� → � = 0 , 2 ; → � < � < �

26. 25 � + � + � + 2" + 23 + 2+ + 3, = 75 + 70 + 80 = 225 …(1) � + � + � + " + 3 + + + , = 100 …(2) (1) − 2(2) : , − � − � − � = 25

27. 6 � + � + 4 = 0 …(1) ��� + �� + 4 หารสงเคราะหดวย � − 1 ได ��� + ��� + ��� + �� + � + � → 5� + � = 0 …(2)

แก (1) , (2) ได � = 1 , � = −5

28. 6

= �� �� ��°���° +

���°� ��°� − 12 sin 70° =

�� �� ° − 12 sin 70° =

������� °���� °�� �� ° =

���� °� �� ° = 6

29. 1

acos��√3� = acos��� − acos�√1 − ��� ใส cos ตลอด ได �√3 = �√1 − �� + √1 − ��|�| ถา � < 0 ได �√3 = 0 ขดแยง ดงน น � ≥ 0 และ �√3 = 2�√1 − �� → � = 0 ,

�� ตรวจคาตอบ ไดท งสองตว

แทน 0 , �� ใน � จรงท งสองตว → � − � = ∅

30. 48

det���� = 8 det(I) → det � = 2 ; det��!�� = �−3��−1��2��−1��−1� det � = 12

det��!�� = det � ∙ �� → det � = (12)(4)

31. 135

หาจดตด แก +��� = 3� + 2 → +��� − 3� − 2 = �� + 1������ − 1��� − 2��� − C� , C ∈ {−1,0,1,2}

+�3� = (4)(3)(2)(1)(3 − C) + 11 = 83 − 24C

+�−2� = (−1)(−2)(−3)(−4)(−2 − C) − 4 = −52 − 24C

32. 5

จากสตร |6 + 8|� = |6|� + |8|� + �68D + 68� และ |6 − 8|� = |6|� + |8|� − �68D + 68�

บวกกน จะได |6� + 6�|� + |6� − 6�|� = 2|6�|� + 2|6�|�

แต |6� + 6�|� + |6� − 6�|� = 3� + 1� = 10 = 2|6�|� + 2|6�|� → |6�|� + |6�|� = 5

� �

� �

� �

Page 22: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

22 PAT 1 (ม.ค. 55)

33. 10

2|6| = 36 + 9i − 2 → ฝ�งซายเปน R → 6 = � − 3i → 2√�� + 9 = 3� − 2 → � = −�� , 4

|8|� = @√�����√�����√����� A� = 10

34. 166.25

�� + ��� = 20 ; ���� + ���� = 65 − 20 = 45 = ����� + ���� = ��(20) → �� = ��� =

��

���� + ���� = ����� + ���� = �����(20) = 101.25 → 65 + 101.25

35. 1

11 +���

+�

������ = 1�������������������

�������� = 1�������������������������� = 1�����������

�������� = ��������������

= 1 + �

�(���) = 1 +�� −

���� → เทเลสโคป ได

∞→n

lim �� �) + 1� = 1

36. 24.96

เอา 5� − 5�� คณบนลาง ขางลางจะเขาสตร น� − ล� ไดเร�อยๆ สดทาย ได 5���� − 5�����

= ��������5������������6

������������ = 25 −���

37. 990

C = 2� + 3 → � = 7��� → ,�C� = �C� − 9C� + 27C − 27� + 11�C� − 6C + 9� + 40�C − 3� + 48

= C� + 2C� + C → +�,���� = 2C� + 4C� + 2C + 3 → ��� �� +

������ +

������ + 3�6� = 990

38. 763

�+ ∘ ,���� = +�,���� จะหา +�383� ตองให ,��� = �� + � + 3 = 383 → � = −20, 19

แทน � = −20 ได +�383� + 2�+ ∘ ,��21� = 2617 …(1) กบ 2+�383� + �+ ∘ ,��21� = 2453 …(2)

2(2) − (1) ได 3+�383� = 2289

39. 4

0

lim→h

$���#��$���# = 9 = +��1� = 3�1�� + � → � = 6 ; L� ขนาน L� → 3�� + � = 3�� + �

แต �, � ตางกน → � = −6 ; +��� = �� + 6� − 6 → � � +

������ − 6�2� = 4

40. 3

= ����������� ����������%� �

���� ���� �� � = 5�������� �

����6���� ����������%� �

������� ��������� ��� = 5 �

����6���� ����������%� �

������� ���

→ �√����������√���

�8√���√�

�9

= 3

Page 23: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

PAT 1 (ม.ค. 55) 23

41. 22

กรณ � = 2 → � + � + " = 0 → 0,0,0 → 1 แบบ

กรณ � = 1 → � + � + " = 2 → 0,0,2 กบ 0,1,1 → 2 ��!�!� แบบ

กรณ � = 0 → � + � + " = 4 → 0,0,4 กบ 0,1,3 กบ 0,2,2 กบ 1,1,2 → 3 ��!�!� + 3! แบบ

บวกทกกรณ ได 1 + 5��!�!� + 3! = 22

42. 22

เรยง ได 3, 3, 3, 5, 6, 11 ยงไมรตาแหนง � → Mode = 3 แน และ � ตอง > 3 ไมง น Med = Mode

จะได � = ��������������

� = ����� >

����� = 4.85 และ Med = 7� � ∈ �3, 5

5 � > 5

กรณ Med = � : กรณ 3, �, Med เปนเลขคณตไมได เพราะ � > 4.85 และ Med = � ∈ �3, 5 กรณ 3, Med, � ได ����� = 2� − 3 → � = 4

กรณ Med = 5 : กรณ 3, �, 5 ไมได เพราะ � > 4.85 กรณ 3, 5, � ได ����� = 7 → � = 18

43. 0.9

ไมได (ก หรอ ข) มแบบเดยว คอ ค ง จ → 1 −�����

44. 43.5

สงสดของ C = P� = ตวท� � �� �� = ตวท� 21 = 39.5 + ������� �10

45. 33

สงสดของ B = P� = ตวท� � �� �� = ตวท� 27 = ตวสดทายของช น 2 = ขอบบน = 49.5

1.5 = ��.���

; …(1) กบ ;� = �� …(2) แกได � = 33

46. 528

นบแบบท�ยนตดกน = เลอกแถวให กข × เลอกอกคนใหแถว กข × สลบในแถว กข × สลบในอกแถว = 2×4×4×3!

= 192 → 6! − 192 = 528

47. 343

" = ห.ร.ม. (1417 − 1059 , 2312 − 1417) = 179 , ต งหารได � = 164

48. 15

แทน (2, 5), (8, 3) ตองจรงท งค → 5 = −|1 − �| + � …(1) ; 3 = −|7 − �| + � …(2)

5 = |2 − �| − " …(3) ; 3 = |8 − �| − " …(4)

(1) − (2) : 2 = |7 − �| − |1 − �| → � ∈ [1, 7] ไมง น 7 − � กบ 1 − � จะเคร�องหมายเหมอนกน แลวหางกน

6 ตลอด → 2 = (7 − �) − �−�1 − ��� → � = 3 → � = 7

(3) − (4) : 2 = |2 − �| − |8 − �| → � ∈ [2, 8] → 2 = −�2 − �� − �8 − �� → � = 6 → " = −1

Page 24: คณิต PAT1 มีนาคม 2555

24 PAT 1 (ม.ค. 55)

49. 9

� = 2� → �� = 10� + � = 21� , �� = 10� + � = 12� → แก 310(21�) − 465(12�) = 2790

ได � = 3 → � = 6

50. 6

แทนคาด ได (�, �) = (2, 2) ; (�, ") = (3, 1), (4, 3), (5, 5) ; (3, +) = (0, 1), (2, 3)

→ 1 × 3 × 2