Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям

Рекомендовано УМО по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебника для

студентов, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике» и другим

экономическим специальностям

4-е издание, переработанное и дополненное

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО

БАКАЛАВРИАТА

Под редакцией профессора Н. Ш. Кремера

УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ

Москва • Юрайт • 2012

Кремер, Н. Ш.Высшая математика для экономического бакалавриата :

учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 4$е изд., пе-рераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт ; ИД Юрайт, 2012. — 909 с. — Серия : Бакалавр.

ISBN 978-5-9916-1526-6 (Издательство Юрайт)ISBN 978-5-9692-1251-0 (ИД Юрайт)

Эта книга — полноценное руководство к решению задач. Основные положения учебного материала дополняются задачами с решениями для самостоятельной работы, раскрывается экономический смысл ма-тематических понятий, приводятся простейшие приложения матема-тики в экономике.

Существенным отличием книги является наличие в ней наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 задач) тестовых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий). Это позво-ляет эффективно использовать учебник при проведении контрольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле.

Для бакалавров экономических специальностей и направлений ву-зов, а также магистров и аспирантов, экономистов, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.

УДК 51ББК 22.1я73

К79

ISBN 978-5-9916-1526-6 (Издательство Юрайт)ISBN 978-5-9692-1251-0(ИД Юрайт)

© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н., 2010

© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н., 2012,с изменениями

© ООО «ИД Юрайт», 2012

Рецензенты:Кафедра высшей математики Московского государственного

университета экономики, статистики и информатики (заведую-щий кафедрой профессор В. А. Никишкин);

Солодовников А. С., заслуженный деятель науки РФ, доктор физико$математических наук, профессор (Финансовая акаде-мия при Правительстве РФ).

УДК 51ББК 22.1я73Б БК79

Кремер, Н. Ш.Высшая математика для экономических специальностей :

учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 3е изд., пе-рераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2010. — 909 с. — (Основы наук).

ISBN 978-5-9916-0611-0 (Издательство Юрайт)ISBN 978-5-9692-0875-9 (ИД Юрайт)

Эта книга не только учебник, но и полноценное руководство к ре-шению задач. Основные положения учебного материала дополняются задачами с решениями и для самостоятельной работы, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простей-шие приложения математики в экономике.

Существенным отличием книги является наличие в ней наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 задач) тестовых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий). Это позво-ляет эффективно использовать учебник при проведении контрольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле.

Для студентов и бакалавров экономических специальностей и на-правлений вузов, а также магистров и аспирантов, экономистов, пре-подавателей и лиц, занимающихся самообразованием.

УДК 51ББК 22.1я73

К79

ISBN 978-5-9916-0611-0 (Издательство Юрайт)

ISBN 978-5-9692-0875-9 (ИД Юрайт)

© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Три-шин И. М., Фридман М. Н., 2005, 2006

© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Три-шин И. М., Фридман М. Н., 2009, с изменениями

© ООО «ИД Юрайт», 2010

Рецензенты:кафедра высшей математики Московского государственного уни-

верситета экономики, статистики и информатики (зав. кафедрой проф. В. А. Никишкин);

заслуженный деятель науки РФ, др физ.мат. наук, проф. А. С. Солодовников

(Финансовая академия при Правительстве РФ)

УДК 51ББК 22.1я73ББК79

2

Кремер, Н. Ш.Высшая математика для экономических специальностей :

учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд., пере-раб. и доп. — М. : Высшее образование; Юрайт-Издат, 2008. —909 с. — (Основы наук).

ISBN 978-5-9692-0476-8Эта книга не только учебник, но и полноценное руководство к ре-

шению задач. Основные положения учебного материала дополняютсязадачами с решениями и для самостоятельной работы, раскрываетсяэкономический смысл математических понятий, приводятся простей-шие приложения математики в экономике.

Существенным отличием книги является наличие в ней наряду страдиционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 за-дач) тестовых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий). Этопозволяет эффективно использовать учебник при проведении конт-рольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, атакже при самоконтроле.

Для студентов и бакалавров экономических специальностей и на-правлений вузов, а также магистров и аспирантов, экономистов, пре-подавателей и лиц, занимающихся самообразованием.

УДК 51ББК 22.1я73

К79

ISBN 978-5-9692-0476-8

© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М.,© Фридман М. Н., 2005, 2006, с изменениями© Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., ©Фридман М. Н., 2009© ООО «Высшее образование», 2009

Рецензенты:кафедра высшей математики Московского государственного

университета экономики, статистики и информатики(зав. кафедрой проф. В. А. Никишкин);

заслуженный деятель науки РФ, д-р физ.-мат. наук,проф. А. С. Солодовников

(Финансовая академия при Правительстве РФ)

УДК 51ББК 22.1я73ББК79

3

ОглавлениеПредисловие ...................................................................................... 15Введение .............................................................................................. 20

Раздел IЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Глава 1. Матрицы и определители ........................................... 26

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС1.1. Основные сведения о матрицах ...................................... 261.2. Операции над матрицами ................................................... 281.3. Определители квадратных матриц ................................. 371.4. Свойства определителей .................................................... 431.5. Обратная матрица ................................................................. 471.6. Ранг матрицы .......................................................................... 51

ПРАКТИКУМ1.7. Действия с матрицами......................................................... 571.8. Определители квадратных матриц ................................. 591.9. Обратная матрица ................................................................. 641.10. Ранг матрицы .......................................................................... 661.11. Задачи с экономическим содержанием......................... 70

Контрольные задания по главе 1«Матрицы и определители» ......................................................... 75Тест 1 .................................................................................................... 77

Глава 2. Системы линейных уравнений ................................. 79

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС2.1. Основные понятия и определения ................................. 792.2. Система n линейных уравнений с n переменными.

Метод обратной матрицы и формулы Крамера ......... 81

4

2.3. Метод Гаусса ........................................................................ 862.4. Система m линейных уравнений

с n переменными ................................................................. 912.5. Системы линейных однородных уравнений.

Фундаментальная система решений ........................... 962.6. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой

экономики (балансовый анализ) .................................. 99

ПРАКТИКУМ2.7. Система n линейных уравнений

с n переменными .................................................................. 1042.8. Система m линейных уравнений с n переменными.

Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальнаясистема решений ................................................................. 112

2.9. Модель Леонтьева — модель многоотраслевойэкономики .............................................................................. 118

Контрольные задания по главе 2«Системы линейных уравнений» ............................................ 120Тест 2 .................................................................................................. 121

Глава 3. Элементы матричного анализа .............................. 124

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС3.1. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1243.2. Понятия n-мерного вектора и векторного

пространства ......................................................................... 1303.3. Размерность и базис векторного пространства ........ 1323.4. Переход к новому базису ................................................. 1373.5. Евклидово пространство .................................................. 1393.6. Линейные операторы ......................................................... 1413.7. Собственные векторы и собственные значения

линейного оператора .......................................................... 1453.8. Квадратичные формы ........................................................ 1503.9. Линейная модель обмена .................................................. 155

ПРАКТИКУМ3.10. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1583.11. Понятия n-мерного вектора и векторного

пространства. Евклидово пространство ..................... 1633.12. Линейные операторы ......................................................... 170

Оглавление 5

3.13. Собственные векторы и собственные значениялинейного оператора (матрицы) ................................... 173

3.14. Квадратичные формы ......................................................... 178

Контрольные задания по главе 3«Элементы матричного анализа» ............................................. 182Тест 3 .................................................................................................. 183

Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость .............. 186

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС4.1. Системы координат. Простейшие задачи .................. 1864.2. Уравнение линии на плоскости ..................................... 1884.3. Уравнение прямой .............................................................. 1904.4. Условия параллельности и перпендикулярности

прямых. Расстояние от точки до прямой ................... 1954.5. Окружность и эллипс ........................................................ 1984.6. Гипербола и парабола ........................................................ 2034.7. Полярные координаты....................................................... 2104.8. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 213

ПРАКТИКУМ4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой

на плоскости .......................................................................... 2174.10. Кривые второго порядка .................................................. 2274.11. Полярные координаты....................................................... 2354.12. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 237

Контрольные задания по главе 4«Уравнение линии. Прямая и плоскость» ............................ 244Тест 4 .................................................................................................. 245

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕНАЯАЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»

(РАЗДЕЛУ I)

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 248

Итоговые контрольные задания по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 255Итоговый тест ЛА ............................................................. 258

Оглавление

4

2.3. Метод Гаусса ........................................................................ 862.4. Система m линейных уравнений

с n переменными ................................................................. 912.5. Системы линейных однородных уравнений.

Фундаментальная система решений ........................... 962.6. Модель Леонтьева — модель многоотраслевой

экономики (балансовый анализ) .................................. 99

ПРАКТИКУМ2.7. Система n линейных уравнений

с n переменными .................................................................. 1042.8. Система m линейных уравнений с n переменными.

Метод Жордана — Гаусса. Фундаментальнаясистема решений ................................................................. 112

2.9. Модель Леонтьева — модель многоотраслевойэкономики .............................................................................. 118

Контрольные задания по главе 2«Системы линейных уравнений» ............................................ 120Тест 2 .................................................................................................. 121

Глава 3. Элементы матричного анализа .............................. 124

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС3.1. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1243.2. Понятия n-мерного вектора и векторного

пространства ......................................................................... 1303.3. Размерность и базис векторного пространства ........ 1323.4. Переход к новому базису ................................................. 1373.5. Евклидово пространство .................................................. 1393.6. Линейные операторы ......................................................... 1413.7. Собственные векторы и собственные значения

линейного оператора .......................................................... 1453.8. Квадратичные формы ........................................................ 1503.9. Линейная модель обмена .................................................. 155

ПРАКТИКУМ3.10. Векторы на плоскости и в пространстве .................... 1583.11. Понятия n-мерного вектора и векторного

пространства. Евклидово пространство ..................... 1633.12. Линейные операторы ......................................................... 170

Оглавление 5

3.13. Собственные векторы и собственные значениялинейного оператора (матрицы) ................................... 173

3.14. Квадратичные формы ......................................................... 178

Контрольные задания по главе 3«Элементы матричного анализа» ............................................. 182Тест 3 .................................................................................................. 183

Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость .............. 186

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС4.1. Системы координат. Простейшие задачи .................. 1864.2. Уравнение линии на плоскости ..................................... 1884.3. Уравнение прямой .............................................................. 1904.4. Условия параллельности и перпендикулярности

прямых. Расстояние от точки до прямой ................... 1954.5. Окружность и эллипс ........................................................ 1984.6. Гипербола и парабола ........................................................ 2034.7. Полярные координаты....................................................... 2104.8. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 213

ПРАКТИКУМ4.9. Простейшие задачи. Уравнение прямой

на плоскости .......................................................................... 2174.10. Кривые второго порядка .................................................. 2274.11. Полярные координаты....................................................... 2354.12. Плоскость и прямая в пространстве ............................ 237

Контрольные задания по главе 4«Уравнение линии. Прямая и плоскость» ............................ 244Тест 4 .................................................................................................. 245

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕНАЯАЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ»

(РАЗДЕЛУ I)

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 248

Итоговые контрольные задания по дисциплине«Линейная алгебра с элементами аналитическойгеометрии» (разделу I) ..................................................... 255Итоговый тест ЛА ............................................................. 258

Оглавление

6

Раздел II

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Глава 5. Функции одной переменной ................................. 262

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС5.1. Понятие множества ............................................................ 2625.2. Абсолютная величина действительного числа.

Окрестность точки .............................................................. 2645.3. Понятие функции. Основные свойства функций ...... 2655.4. Основные элементарные функции ............................... 2695.5. Элементарные функции. Классификация функций.

Преобразование графиков ................................................ 2735.6. Применение функций в экономике ............................. 2775.7. Интерполирование функций. Основные правила

приближенных вычислений ............................................ 280

ПРАКТИКУМ5.8. Функции и графики ........................................................... 284

Контрольные задания по главе 5 «Функции однойпеременной» ..................................................................................... 292Тест 5 .................................................................................................. 292

Глава 6. Пределы и непрерывность ....................................... 294

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС6.1. Предел числовой последовательности ........................ 2946.2. Предел функции в бесконечности и точке ............... 2966.3. Бесконечно малые величины .......................................... 3006.4. Бесконечно большие величины ..................................... 3046.5. Основные теоремы о пределах.

Признаки существования предела ................................ 3076.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном

начислении процентов ...................................................... 3106.7. Непрерывность функции .................................................. 316

ПРАКТИКУМ6.8. Вычисление пределов ........................................................ 3226.9. Замечательные пределы. Применение

эквивалентных бесконечно малых величинк вычислению пределов .................................................... 331

Оглавление 7

6.10. Непрерывность функции и точки разрыва .............. 338Контрольные задания по главе 6 «Пределыи непрерывность» ........................................................................... 340Тест 6 .................................................................................................. 341

Раздел IIIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава 7. Производная и дифференциал .............................. 344

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной .... 3447.2. Определение производной. Зависимость между

непрерывностью и дифференцируемостьюфункции .................................................................................. 346

7.3. Схема вычисления производной.Основные правила дифференцирования ................... 349

7.4. Производная сложной и обратной функций ............ 3537.5. Производные основных элементарных

функций .................................................................................. 3577.6. Производные неявной и параметрически

заданной функций. Понятие производныхвысших порядков ................................................................ 362

7.7. Понятие дифференциала функции............................... 3657.8. Применение дифференциала в приближенных

вычислениях .......................................................................... 3687.9. Понятие о дифференциалах высших порядков....... 3707.10. Экономический смысл производной.

Использование понятия производной в экономике ...... 371

ПРАКТИКУМ7.11. Вычисление производных ................................................ 3787.12. Геометрические и механические приложения

производной .......................................................................... 3857.13. Дифференциал функции .................................................. 3887.14. Экономические приложения производной ............... 389Контрольные задания по главе 7«Производная и дифференциал» ............................................. 395Тест 7 .................................................................................................. 396

Оглавление

6

Раздел II

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Глава 5. Функции одной переменной ................................. 262

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС5.1. Понятие множества ............................................................ 2625.2. Абсолютная величина действительного числа.

Окрестность точки .............................................................. 2645.3. Понятие функции. Основные свойства функций ...... 2655.4. Основные элементарные функции ............................... 2695.5. Элементарные функции. Классификация функций.

Преобразование графиков ................................................ 2735.6. Применение функций в экономике ............................. 2775.7. Интерполирование функций. Основные правила

приближенных вычислений ............................................ 280

ПРАКТИКУМ5.8. Функции и графики ........................................................... 284

Контрольные задания по главе 5 «Функции однойпеременной» ..................................................................................... 292Тест 5 .................................................................................................. 292

Глава 6. Пределы и непрерывность ....................................... 294

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС6.1. Предел числовой последовательности ........................ 2946.2. Предел функции в бесконечности и точке ............... 2966.3. Бесконечно малые величины .......................................... 3006.4. Бесконечно большие величины ..................................... 3046.5. Основные теоремы о пределах.

Признаки существования предела ................................ 3076.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном

начислении процентов ...................................................... 3106.7. Непрерывность функции .................................................. 316

ПРАКТИКУМ6.8. Вычисление пределов ........................................................ 3226.9. Замечательные пределы. Применение

эквивалентных бесконечно малых величинк вычислению пределов .................................................... 331

Оглавление 7

6.10. Непрерывность функции и точки разрыва .............. 338Контрольные задания по главе 6 «Пределыи непрерывность» ........................................................................... 340Тест 6 .................................................................................................. 341

Раздел IIIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава 7. Производная и дифференциал .............................. 344

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной .... 3447.2. Определение производной. Зависимость между

непрерывностью и дифференцируемостьюфункции .................................................................................. 346

7.3. Схема вычисления производной.Основные правила дифференцирования ................... 349

7.4. Производная сложной и обратной функций ............ 3537.5. Производные основных элементарных

функций .................................................................................. 3577.6. Производные неявной и параметрически

заданной функций. Понятие производныхвысших порядков ................................................................ 362

7.7. Понятие дифференциала функции............................... 3657.8. Применение дифференциала в приближенных

вычислениях .......................................................................... 3687.9. Понятие о дифференциалах высших порядков....... 3707.10. Экономический смысл производной.

Использование понятия производной в экономике ...... 371

ПРАКТИКУМ7.11. Вычисление производных ................................................ 3787.12. Геометрические и механические приложения

производной .......................................................................... 3857.13. Дифференциал функции .................................................. 3887.14. Экономические приложения производной ............... 389Контрольные задания по главе 7«Производная и дифференциал» ............................................. 395Тест 7 .................................................................................................. 396

Оглавление

8

Глава 8. Приложения производной ..................................... 398

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления ... 3988.2. Правило Лопиталя ........................................................... 4028.3. Возрастание и убывание функций ............................... 4068.4. Экстремум функции ........................................................... 4088.5. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке и интервале ...................................................... 4148.6. Выпуклость функции. Точки перегиба ....................... 4168.7. Асимптоты графика функции ......................................... 4198.8. Общая схема исследования функций

и построения их графиков ............................................... 4228.9. Приложение производной в экономической теории 428

ПРАКТИКУМ8.10. Основные теоремы дифференциального

исчисления ............................................................................. 4298.11. Правило Лопиталя .............................................................. 4318.12. Интервалы монотонности и экстремумы

функции .................................................................................. 4358.13. Интервалы выпуклости функции.

Точки перегиба ..................................................................... 4408.14. Асимптоты. Исследование функций

и построение их графиков ............................................... 4428.15. Применение производной в задачах

с экономическим содержанием ...................................... 450

Контрольные задания по главе 8«Приложения производной» ..................................................... 455Тест 8 .................................................................................................. 455

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 1 (РАЗДЕЛАМ II, III)

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Мате-матический анализ», часть 1 (разделам II, III) ....... 460

Итоговые контрольные задания по дисциплине«Математический анализ», часть 1(разделам II, III ) ................................................................ 467Итоговый тест МА.1 ......................................................... 469

Оглавление 9Оглавление

Раздел IVФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Глава 9. Функции нескольких переменных ..................... 474

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС9.1. Основные понятия .............................................................. 4749.2. Предел и непрерывность .................................................. 4799.3. Частные производные........................................................ 4819.4. Дифференциал функции .................................................. 4839.5. Производная по направлению. Градиент ................... 4859.6. Дифференцирование сложной функции .................... 4879.7. Экстремум функции нескольких переменных ......... 4909.8. Наибольшее и наименьшее значения функции ....... 4949.9. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа .... 4979.10. Понятие об эмпирических формулах. Метод

наименьших квадратов ...................................................... 5009.11. Функции нескольких переменных

в экономической теории ................................................... 505

ПРАКТИКУМ9.12. Основные понятия .............................................................. 5109.13. Частные производные, градиент,

дифференциал....................................................................... 5139.14. Экстремум функции нескольких переменных.

Условный экстремум.......................................................... 5159.15. Метод наименьших квадратов ....................................... 5209.16. Функции нескольких переменных

в экономических задачах .................................................. 525Контрольные задания по главе 9 «Функциинескольких переменных» ............................................................ 530Тест 9 .................................................................................................. 531

Раздел VИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 10. Неопределенный интеграл ..................................... 534

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС10.1. Первообразная функция и неопределенный

интеграл .................................................................................. 534

8

Глава 8. Приложения производной ..................................... 398

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления ... 3988.2. Правило Лопиталя ........................................................... 4028.3. Возрастание и убывание функций ............................... 4068.4. Экстремум функции ........................................................... 4088.5. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке и интервале ...................................................... 4148.6. Выпуклость функции. Точки перегиба ....................... 4168.7. Асимптоты графика функции ......................................... 4198.8. Общая схема исследования функций

и построения их графиков ............................................... 4228.9. Приложение производной в экономической теории 428

ПРАКТИКУМ8.10. Основные теоремы дифференциального

исчисления ............................................................................. 4298.11. Правило Лопиталя .............................................................. 4318.12. Интервалы монотонности и экстремумы

функции .................................................................................. 4358.13. Интервалы выпуклости функции.

Точки перегиба ..................................................................... 4408.14. Асимптоты. Исследование функций

и построение их графиков ............................................... 4428.15. Применение производной в задачах

с экономическим содержанием ...................................... 450

Контрольные задания по главе 8«Приложения производной» ..................................................... 455Тест 8 .................................................................................................. 455

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 1 (РАЗДЕЛАМ II, III)

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «Мате-матический анализ», часть 1 (разделам II, III) ....... 460

Итоговые контрольные задания по дисциплине«Математический анализ», часть 1(разделам II, III ) ................................................................ 467Итоговый тест МА.1 ......................................................... 469

Оглавление 9Оглавление

Раздел IVФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Глава 9. Функции нескольких переменных ..................... 474

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС9.1. Основные понятия .............................................................. 4749.2. Предел и непрерывность .................................................. 4799.3. Частные производные........................................................ 4819.4. Дифференциал функции .................................................. 4839.5. Производная по направлению. Градиент ................... 4859.6. Дифференцирование сложной функции .................... 4879.7. Экстремум функции нескольких переменных ......... 4909.8. Наибольшее и наименьшее значения функции ....... 4949.9. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа .... 4979.10. Понятие об эмпирических формулах. Метод

наименьших квадратов ...................................................... 5009.11. Функции нескольких переменных

в экономической теории ................................................... 505

ПРАКТИКУМ9.12. Основные понятия .............................................................. 5109.13. Частные производные, градиент,

дифференциал....................................................................... 5139.14. Экстремум функции нескольких переменных.

Условный экстремум.......................................................... 5159.15. Метод наименьших квадратов ....................................... 5209.16. Функции нескольких переменных

в экономических задачах .................................................. 525Контрольные задания по главе 9 «Функциинескольких переменных» ............................................................ 530Тест 9 .................................................................................................. 531

Раздел VИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 10. Неопределенный интеграл ..................................... 534

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС10.1. Первообразная функция и неопределенный

интеграл .................................................................................. 534

10 Оглавление

10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралыот основных элементарных функций .......................... 536

10.3. Метод замены переменной .............................................. 54310.4. Метод интегрирования по частям ................................ 54610.5. Интегрирование простейших рациональных

дробей ...................................................................................... 54910.6. Интегрирование некоторых видов иррациональ-

ностей ....................................................................................... 55410.7. Интегрирование тригонометрических функций ..... 55710.8. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных

функциях ................................................................................ 559ПРАКТИКУМ10.9. Непосредственное интегрирование ............................. 55910.10. Метод замены переменной............................................ 56110.11. Метод интегрирования по частям ............................. 56810.12. Интегрирование рациональных функций ............. 57310.13. Интегрирование некоторых видов иррацио-

нальностей .......................................................................... 57710.14. Интегрирование тригонометрических

функций ................................................................................ 581Контрольные задания по главе 10 «Неопределенныйинтеграл» ........................................................................................... 584Тест 10 ................................................................................................ 585

Глава 11. Определенный интеграл ......................................... 587

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС11.1. Понятие определенного интеграла, его геомет-

рический и экономический смысл ................................ 58711.2. Свойства определенного интеграла ............................. 59311.3. Определенный интеграл как функция верхнего

предела ..................................................................................... 59711.4. Формула Ньютона — Лейбница ................................... 60011.5. Замена переменной и интегрирование

по частям в определенном интеграле .......................... 60211.6. Геометрические приложения определенного

интеграла ................................................................................ 60511.7. Несобственные интегралы ............................................... 61511.8. Приближенное вычисление определенных

интегралов .............................................................................. 620

11Оглавление

11.9. Применение понятия определенного интегралав экономике ........................................................................... 623

11.10. Понятие двойного интеграла ....................................... 626

ПРАКТИКУМ11.11. Методы вычисления определенного интеграла ...... 63011.12. Геометрические приложения определенного

интеграла .............................................................................. 63611.13. Несобственные интегралы ............................................. 64611.14. Приближенное вычисление определенного

интеграла .............................................................................. 65011.15. Применение понятия определенного интеграла

в экономике ......................................................................... 652

11.16. Двойные интегралы ......................................................... 656Контрольные задания по главе 11 «Определенныйинтеграл» ........................................................................................... 658Тест 11 ................................................................................................ 659

Глава 12. Дифференциальные уравнения ........................... 661

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС12.1. Основные понятия .............................................................. 66112.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Задача Коши. Теорема о существованиии единственности решения ............................................. 665

12.3. Элементы качественного анализа дифферен-циальных уравнений первого порядка ........................ 668

12.4. Неполные дифференциальные уравненияпервого порядка. Дифференциальные уравненияс разделяющимися переменными.................................. 671

12.5. Однородные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 674

12.6. Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 676

12.7. Дифференциальные уравнения второгопорядка, допускающие понижение порядка ............. 678

12.8. Линейные дифференциальные уравнения вто-рого порядка с постоянными коэффициентами ...... 679

10 Оглавление

10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралыот основных элементарных функций .......................... 536

10.3. Метод замены переменной .............................................. 54310.4. Метод интегрирования по частям ................................ 54610.5. Интегрирование простейших рациональных

дробей ...................................................................................... 54910.6. Интегрирование некоторых видов иррациональ-

ностей ....................................................................................... 55410.7. Интегрирование тригонометрических функций ..... 55710.8. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных

функциях ................................................................................ 559ПРАКТИКУМ10.9. Непосредственное интегрирование ............................. 55910.10. Метод замены переменной............................................ 56110.11. Метод интегрирования по частям ............................. 56810.12. Интегрирование рациональных функций ............. 57310.13. Интегрирование некоторых видов иррацио-

нальностей .......................................................................... 57710.14. Интегрирование тригонометрических

функций ................................................................................ 581Контрольные задания по главе 10 «Неопределенныйинтеграл» ........................................................................................... 584Тест 10 ................................................................................................ 585

Глава 11. Определенный интеграл ......................................... 587

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС11.1. Понятие определенного интеграла, его геомет-

рический и экономический смысл ................................ 58711.2. Свойства определенного интеграла ............................. 59311.3. Определенный интеграл как функция верхнего

предела ..................................................................................... 59711.4. Формула Ньютона — Лейбница ................................... 60011.5. Замена переменной и интегрирование

по частям в определенном интеграле .......................... 60211.6. Геометрические приложения определенного

интеграла ................................................................................ 60511.7. Несобственные интегралы ............................................... 61511.8. Приближенное вычисление определенных

интегралов .............................................................................. 620

11Оглавление

11.9. Применение понятия определенного интегралав экономике ........................................................................... 623

11.10. Понятие двойного интеграла ....................................... 626

ПРАКТИКУМ11.11. Методы вычисления определенного интеграла ...... 63011.12. Геометрические приложения определенного

интеграла .............................................................................. 63611.13. Несобственные интегралы ............................................. 64611.14. Приближенное вычисление определенного

интеграла .............................................................................. 65011.15. Применение понятия определенного интеграла

в экономике ......................................................................... 652

11.16. Двойные интегралы ......................................................... 656Контрольные задания по главе 11 «Определенныйинтеграл» ........................................................................................... 658Тест 11 ................................................................................................ 659

Глава 12. Дифференциальные уравнения ........................... 661

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС12.1. Основные понятия .............................................................. 66112.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Задача Коши. Теорема о существованиии единственности решения ............................................. 665

12.3. Элементы качественного анализа дифферен-циальных уравнений первого порядка ........................ 668

12.4. Неполные дифференциальные уравненияпервого порядка. Дифференциальные уравненияс разделяющимися переменными.................................. 671

12.5. Однородные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 674

12.6. Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка ................................................................... 676

12.7. Дифференциальные уравнения второгопорядка, допускающие понижение порядка ............. 678

12.8. Линейные дифференциальные уравнения вто-рого порядка с постоянными коэффициентами ...... 679

12 Оглавление

12.9. Использование дифференциальных уравненийв экономической динамике ............................................. 690

12.10. Системы дифференциальных уравнений ................ 694

ПРАКТИКУМ

12.11. Основные понятия ........................................................... 70112.12. Дифференциальные уравнения

с разделяющимися переменными ............................... 70412.13. Однородные дифференциальные уравнения

первого порядка ................................................................. 70612.14. Линейные дифференциальные уравнения

первого порядка ................................................................. 70912.15. Дифференциальные уравнения, допускающие

понижение порядка .......................................................... 71412.16. Линейные дифференциальные уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами ..... 71712.17. Использование дифференциальных уравнений

в экономической динамике ........................................... 72312.18. Системы дифференциальных уравнений ................ 72812.19. Дополнительные задачи ................................................. 731

Контрольные задания по главе 12 «Дифференциаль-ные уравнения» ............................................................................... 732Тест 12 ................................................................................................ 733

Раздел VIРЯДЫ

Глава 13. Числовые ряды ........................................................... 736

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС13.1. Основные понятия. Сходимость ряда ......................... 73613.2. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд ............................................................. 74013.3. Ряды с положительными членами ................................ 74213.4. Ряды с членами произвольного знака ......................... 752

ПРАКТИКУМ13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак

сходимости ............................................................................. 757

13Оглавление

13.6. Сходимость рядов с положительными членами ..... 76013.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака.... 769

Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды» ...... 773Тест 13 ................................................................................................ 774

Глава 14. Степенные ряды ........................................................ 777

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС14.1. Область сходимости степенного ряда ......................... 77714.2. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 78314.3. Формула Тейлора ................................................................ 788

ПРАКТИКУМ14.4. Область сходимости степенного ряда ......................... 79114.5. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 79814.6. Применения рядов в приближенных

вычислениях .......................................................................... 805Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды» ........ 816Тест 14 ................................................................................................ 816

Раздел VIIЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Глава 15. Комплексные числа .................................................. 820

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС15.1. Арифметические операции над комплексными

числами. Комплексная плоскость ................................. 82015.2. Тригонометрическая и показательная формы

комплексного числа ............................................................ 822

ПРАКТИКУМ15.3. Действия над комплексными числами........................ 827Контрольные задания по главе 15 «Комплексныечисла».................................................................................................. 830Тест 15 ................................................................................................ 831

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 2 (РАЗДЕЛАМ IV—VII)

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Математический анализ», часть 2(разделам IV—VII) ............................................................. 834

12 Оглавление

12.9. Использование дифференциальных уравненийв экономической динамике ............................................. 690

12.10. Системы дифференциальных уравнений ................ 694

ПРАКТИКУМ

12.11. Основные понятия ........................................................... 70112.12. Дифференциальные уравнения

с разделяющимися переменными ............................... 70412.13. Однородные дифференциальные уравнения

первого порядка ................................................................. 70612.14. Линейные дифференциальные уравнения

первого порядка ................................................................. 70912.15. Дифференциальные уравнения, допускающие

понижение порядка .......................................................... 71412.16. Линейные дифференциальные уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами ..... 71712.17. Использование дифференциальных уравнений

в экономической динамике ........................................... 72312.18. Системы дифференциальных уравнений ................ 72812.19. Дополнительные задачи ................................................. 731

Контрольные задания по главе 12 «Дифференциаль-ные уравнения» ............................................................................... 732Тест 12 ................................................................................................ 733

Раздел VIРЯДЫ

Глава 13. Числовые ряды ........................................................... 736

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС13.1. Основные понятия. Сходимость ряда ......................... 73613.2. Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд ............................................................. 74013.3. Ряды с положительными членами ................................ 74213.4. Ряды с членами произвольного знака ......................... 752

ПРАКТИКУМ13.5. Сходимость ряда. Необходимый признак

сходимости ............................................................................. 757

13Оглавление

13.6. Сходимость рядов с положительными членами ..... 76013.7. Сходимость рядов с членами произвольного знака.... 769

Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды» ...... 773Тест 13 ................................................................................................ 774

Глава 14. Степенные ряды ........................................................ 777

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС14.1. Область сходимости степенного ряда ......................... 77714.2. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 78314.3. Формула Тейлора ................................................................ 788

ПРАКТИКУМ14.4. Область сходимости степенного ряда ......................... 79114.5. Ряды Маклорена и Тейлора ............................................ 79814.6. Применения рядов в приближенных

вычислениях .......................................................................... 805Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды» ........ 816Тест 14 ................................................................................................ 816

Раздел VIIЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Глава 15. Комплексные числа .................................................. 820

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС15.1. Арифметические операции над комплексными

числами. Комплексная плоскость ................................. 82015.2. Тригонометрическая и показательная формы

комплексного числа ............................................................ 822

ПРАКТИКУМ15.3. Действия над комплексными числами........................ 827Контрольные задания по главе 15 «Комплексныечисла».................................................................................................. 830Тест 15 ................................................................................................ 831

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ», ЧАСТЬ 2 (РАЗДЕЛАМ IV—VII)

Учебно-тренировочные тесты по дисциплине«Математический анализ», часть 2(разделам IV—VII) ............................................................. 834

14 Оглавление

Итоговые контрольные задания по дисциплине«Математический анализ», часть 2(разделам IV—VII) .............................................................. 841Итоговый тест МА.2 ......................................................... 843

Приложение. Об использовании математическихпакетов при изучении курса высшей математики ........... 847

Литература ....................................................................................... 854

Ответы ................................................................................................ 856

Предметный указатель ................................................................ 894

15

ПРЕДИСЛОВИЕУчебник написан в соответствии с требованиями государ-

ственных образовательных стандартов (ГОС) по экономиче-ским специальностям. Он соответствует Примерной программедисциплины «Математика», утвержденной МинобразованиемРоссии, и содержит учебный материал по курсам «Линейнаяалгебра с элементами аналитической геометрии» и «Матема-тический анализ», включенным в ГОСы по экономическим на-правлениям и специальностям в виде отдельных математиче-ских дисциплин.

При написании курса высшей математики для экономи-ческих вузов авторы руководствовались принципом повыше-ния уровня фундаментальной математической подготовкистудентов с усилением ее прикладной экономической направ-ленности. При введении основных понятий отдавалосьпредпочтение классическому подходу: так, например, поня-тие непрерывности функции вводится после рассмотренияпонятия предела, определенный интеграл определяется какпредел интегральной суммы и т.п. Там, где это возможно,даются геометрический и экономический смыслы математи-ческих понятий (например, производной, интеграла и т.д.),приводятся математические формулировки ряда экономи-ческих законов (закона убывающей доходности, принципаубывающей предельной полезности, условия оптимальностивыпуска продукции), рассматриваются простейшие прило-жения высшей математики в экономике (балансовые модели,предельный анализ, эластичность функции, производствен-ные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такиеприложения рассчитаны на уровень подготовки студентовпервого курса и почти не требуют дополнительной (экономи-ческой) информации.

Данный учебник подготовлен на основе учебника [2] иучебного пособия [18] тех же авторов. По сравнению с указан-ными книгами в него включен ряд дополнительных теорети-ческих вопросов и задач (например, след матрицы, полярные

14 Оглавление

Итоговые контрольные задания по дисциплине «Математический анализ», часть 2 (разделам IV—VII) . ............................................................ 841 Итоговый тест МА.2 . ....................................................... 843

Приложение. Об использовании математических пакетов при изучении курса высшей математики ............................ 847

Литература . .................................................................................... 854

Ответы . ............................................................................................. 856

Предметный указатель . .............................................................. 894

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник написан в соответствии с требованиями феде-ральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) по экономическим специальностям. Он соответствует Пример-ной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием России, и содержит учебный материал по курсам «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии» и «Математический анализ», включенным в ФГОСы по экономическим направлениям в виде отдельных математиче-ских дисциплин.

При написании курса высшей математики для экономи-ческих вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направ-ленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции вводится после рассмотрения понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Там, где это возможно, даются геометрический и экономический смыслы математи-ческих понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономи-ческих законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие прило-жения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов первого курса и почти не требуют дополнительной (экономи-ческой) информации.

Данный учебник подготовлен на основе учебника [2] и учебного пособия [18] тех же авторов. По сравнению с указан-ными книгами в него включен ряд дополнительных теорети-ческих вопросов и задач (например, след матрицы, полярные

Три предыдущих издания учебника выходили под названием «Высшая математика для экономических специальностей». Переход всех экономических вузов и отделений, начиная с 2011/2012 учебного года, на двухуровневую систему под-готовки «бакалавр-магистр», определил новое название учеб-ника (4-ое издание): «Высшая математика для экономиче-ского бакалавриата».

16 Предисловие

координаты, системы дифференциальных уравнений, доста-точное условие экстремума функции n переменных, признаксходимости Коши, применение математических пакетов приизучении курса высшей математики и др.). Главное отличиеэтого издания заключается в совмещении в одной книге и учеб-ника, и полноценного практикума, что позволило, в частности,исключить неизбежные повторы учебного и справочного мате-риала.

Известно, что изучение базовых математических дисцип-лин в вузе осуществляется по апробированной многолетнейпрактикой схеме: лекции — практические занятия — конт-рольные работы (типовые расчеты, тестирование) — экза-мен. Данный учебник написан в соответствии с этой схемой.

Каждая глава учебника содержит «Теоретический курс», вкотором раскрывается основное содержание темы и приво-дятся иллюстрирующие учебный материал решенные прак-тические примеры и задачи, и «Практикум», в которомпредставлено достаточно большое число типовых и болеесложных комплексных задач с решениями и для самостоя-тельной работы.

В конце каждой главы по представленной в ней темеприводятся как традиционные контрольные задания (триварианта по пять — девять задач), так и тест (10—15 тесто-вых заданий). Кроме того, в целом по дисциплине «Линей-ная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», попервой и второй частям дисциплины «Математический ана-лиз»1 даются как традиционные итоговые контрольные за-дания (пять вариантов по восемь задач), так и итоговые те-сты (по 24 тестовых задания).

Приведенные контрольные задания и тесты могут бытьэффективно использованы для аудиторных и домашнихконтрольных работ, типовых расчетов, собеседований, на за-четах и экзаменах (в частности, письменных), при тестиро-вании студентов (в том числе компьютерном), а также длясамоконтроля по вузовскому общему курсу математики.

Такое построение книги потребовало сделать изложениетеоретического материала более кратким, отказаться без су-щественного ущерба от малозначащих, громоздких или по-вторяющихся по своим идеям доказательств утверждений,

1 Разделение учебного материала дисциплины на части соответствуетпримерным срокам их изучения в экономическом вузе (соответственнов I и II семестрах).

17Предисловие

отличающихся от ранее проведенных лишь техническими де-талями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательнойпроработке базовых понятий и доказательств положений, изу-чение которых предусмотрено настоящим курсом. Для лучше-го усвоения учебного материала приведены учебные алгорит-мы (схемы) решения определенного круга задач.

Особенностью предлагаемого «Практикума» является то,что значительная часть задач и примеров имеет экономическоесодержание. Наиболее экономически значимые задачи, пред-ставляющие самостоятельный интерес, выделены в отдель-ные параграфы.

Для оценки уровня подготовленности студентов в настоя-щее время все шире используются методы тестирования, вчастности, с применением современных компьютерных техно-логий. Существенным отличием данной книги от имеющих-ся на книжном рынке изданий является то, что наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более400 задач) в нем предлагается достаточно большое число тес-товых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий).

При подготовке тестовых заданий авторы ориентирова-лись в основном на открытую форму, когда тестируемыйсам получает ответ в виде произвольного числа (целогоили записанного в виде десятичной дроби) — одного илинескольких, допускаемых при компьютерном тестирова-нии. Такая форма заданий исключает возможность угады-вания правильного ответа, подсказок для его получения.

Приведены также задания в закрытой форме, когда тести-руемый должен выбрать один или несколько вариантов отве-та, предложенных на выбор. При этом авторы отказались отальтернативных тестовых заданий (с двумя вариантами отве-та) из-за высокой (0,5) вероятности угадывания правильногоответа. В ряде тестов использовались тестовые задания на вы-явление соответствия между элементами двух групп с ответа-ми в виде соответствующих пар «число — буква», характери-зующих порядковые номера элементов в каждой группе.

В отдельных случаях применялись тестовые заданияна установление правильной последовательности элемен-тов с ответами в виде последовательности номеров этихэлементов.

Для усвоения учебного материала каждой главы рекомен-дуется вначале изучить теоретические основы с иллюстри-рующими их решенными задачами и примерами, приведенны-

16 Предисловие

координаты, системы дифференциальных уравнений, доста-точное условие экстремума функции n переменных, признаксходимости Коши, применение математических пакетов приизучении курса высшей математики и др.). Главное отличиеэтого издания заключается в совмещении в одной книге и учеб-ника, и полноценного практикума, что позволило, в частности,исключить неизбежные повторы учебного и справочного мате-риала.

Известно, что изучение базовых математических дисцип-лин в вузе осуществляется по апробированной многолетнейпрактикой схеме: лекции — практические занятия — конт-рольные работы (типовые расчеты, тестирование) — экза-мен. Данный учебник написан в соответствии с этой схемой.

Каждая глава учебника содержит «Теоретический курс», вкотором раскрывается основное содержание темы и приво-дятся иллюстрирующие учебный материал решенные прак-тические примеры и задачи, и «Практикум», в которомпредставлено достаточно большое число типовых и болеесложных комплексных задач с решениями и для самостоя-тельной работы.

В конце каждой главы по представленной в ней темеприводятся как традиционные контрольные задания (триварианта по пять — девять задач), так и тест (10—15 тесто-вых заданий). Кроме того, в целом по дисциплине «Линей-ная алгебра (с элементами аналитической геометрии)», попервой и второй частям дисциплины «Математический ана-лиз»1 даются как традиционные итоговые контрольные за-дания (пять вариантов по восемь задач), так и итоговые те-сты (по 24 тестовых задания).

Приведенные контрольные задания и тесты могут бытьэффективно использованы для аудиторных и домашнихконтрольных работ, типовых расчетов, собеседований, на за-четах и экзаменах (в частности, письменных), при тестиро-вании студентов (в том числе компьютерном), а также длясамоконтроля по вузовскому общему курсу математики.

Такое построение книги потребовало сделать изложениетеоретического материала более кратким, отказаться без су-щественного ущерба от малозначащих, громоздких или по-вторяющихся по своим идеям доказательств утверждений,

1 Разделение учебного материала дисциплины на части соответствуетпримерным срокам их изучения в экономическом вузе (соответственнов I и II семестрах).

17Предисловие

отличающихся от ранее проведенных лишь техническими де-талями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательнойпроработке базовых понятий и доказательств положений, изу-чение которых предусмотрено настоящим курсом. Для лучше-го усвоения учебного материала приведены учебные алгорит-мы (схемы) решения определенного круга задач.

Особенностью предлагаемого «Практикума» является то,что значительная часть задач и примеров имеет экономическоесодержание. Наиболее экономически значимые задачи, пред-ставляющие самостоятельный интерес, выделены в отдель-ные параграфы.

Для оценки уровня подготовленности студентов в настоя-щее время все шире используются методы тестирования, вчастности, с применением современных компьютерных техно-логий. Существенным отличием данной книги от имеющих-ся на книжном рынке изданий является то, что наряду с тра-диционными контрольными заданиями (60 вариантов, более400 задач) в нем предлагается достаточно большое число тес-товых заданий (27 тестов, более 400 тестовых заданий).

При подготовке тестовых заданий авторы ориентирова-лись в основном на открытую форму, когда тестируемыйсам получает ответ в виде произвольного числа (целогоили записанного в виде десятичной дроби) — одного илинескольких, допускаемых при компьютерном тестирова-нии. Такая форма заданий исключает возможность угады-вания правильного ответа, подсказок для его получения.

Приведены также задания в закрытой форме, когда тести-руемый должен выбрать один или несколько вариантов отве-та, предложенных на выбор. При этом авторы отказались отальтернативных тестовых заданий (с двумя вариантами отве-та) из-за высокой (0,5) вероятности угадывания правильногоответа. В ряде тестов использовались тестовые задания на вы-явление соответствия между элементами двух групп с ответа-ми в виде соответствующих пар «число — буква», характери-зующих порядковые номера элементов в каждой группе.

В отдельных случаях применялись тестовые заданияна установление правильной последовательности элемен-тов с ответами в виде последовательности номеров этихэлементов.

Для усвоения учебного материала каждой главы рекомен-дуется вначале изучить теоретические основы с иллюстри-рующими их решенными задачами и примерами, приведенны-

18 Предисловие

ми в «Теоретическом курсе», затем разобрать типовые и бо-лее сложные задачи с решениями и решить часть задач длясамостоятельной работы из «Практикума». А для проверкиуровня подготовленности по материалам каждой главы идисциплинам «Линейная алгебра» и «Математический ана-лиз» в целом рекомендуется выполнить тематические иитоговые контрольные и тестовые задания.

При подготовке задач (а их в учебнике около 2700) былииспользованы различные пособия и методические материа-лы. Часть задач и, в частности, тестовые задания составле-ны специально для настоящего учебника. Наряду с автора-ми в подготовке ряда задач для самостоятельной работы итестовых заданий принимали также участие преподавателикафедры высшей математики ВЗФЭИ: доценты Л. Р. Бори-сова, А. С. Гулько, А. В. Потемкин, А. Ю. Шевелев, канд.физ.-мат. наук Е. М. Воробьева.

Ответы всех задач, контрольных и тестовых заданий поглавам (кроме итоговых по дисциплинам) приводятся в кон-це учебника. Нумерация задач (как с решениями, так и длясамостоятельной работы) единая по каждой главе (начинает-ся в «Теоретическом курсе» и продолжается в «Практику-ме»). В конце книги дан развернутый предметный указатель.

Знаком o обозначается начало доказательства теоремы,знаком n — ее окончание, а знаком — окончание решениязадачи.

В третье издание включены учебно-тренировочные тес-ты (девять тестов по 20 тестовых заданий), которые могутбыть использованы для контроля (экспресс-проверки) уров-ня подготовленности студентов перед курсовыми экзамена-ми (зачетами), для проверки остаточных знаний студентовпри подготовке их к аттестации (аккредитации, комплекс-ной проверке) вуза по циклу общих математических и естест-веннонаучных дисциплин, при решении вопроса о переза-чете дисциплин студентам, переводящимся в данный вуз издругих учебных заведений, и т.п. Эти тесты по указаннымвыше дисциплинам (в целом) помещены вместе с их итого-выми контрольными заданиями и тестами в отдельных раз-делах, а тематические контрольные задания и тесты перене-сены из этих разделов в соответствующие главы учебника.

Авторы выражают глубокую благодарность проф. В. А. Ни-кишкину и проф. А. С. Солодовникову за рецензирование руко-писи и сделанные ими замечания.

19Оглавление

АВТОРЫ:Н. Ш. Кремер, профессор (предисловие, введение,

гл. 2—7, 13—15), а также приложение(совместно с Б. А. Путко));

И. М. Тришин, профессор (гл. 10—12);Б. А. Путко, доцент (гл. 8, 9, а также приложение

(совместно с Н. Ш. Кремером));М. Н. Фридман, доцент (гл. 1);И. М. Эйсымонт, доцент (учебно-тренировочные

тесты).

Итоговые контрольные заданияи итоговые тесты подготовленыавторами соответствующих главучебника совместно.

18 Предисловие

ми в «Теоретическом курсе», затем разобрать типовые и бо-лее сложные задачи с решениями и решить часть задач длясамостоятельной работы из «Практикума». А для проверкиуровня подготовленности по материалам каждой главы идисциплинам «Линейная алгебра» и «Математический ана-лиз» в целом рекомендуется выполнить тематические иитоговые контрольные и тестовые задания.

При подготовке задач (а их в учебнике около 2700) былииспользованы различные пособия и методические материа-лы. Часть задач и, в частности, тестовые задания составле-ны специально для настоящего учебника. Наряду с автора-ми в подготовке ряда задач для самостоятельной работы итестовых заданий принимали также участие преподавателикафедры высшей математики ВЗФЭИ: доценты Л. Р. Бори-сова, А. С. Гулько, А. В. Потемкин, А. Ю. Шевелев, канд.физ.-мат. наук Е. М. Воробьева.

Ответы всех задач, контрольных и тестовых заданий поглавам (кроме итоговых по дисциплинам) приводятся в кон-це учебника. Нумерация задач (как с решениями, так и длясамостоятельной работы) единая по каждой главе (начинает-ся в «Теоретическом курсе» и продолжается в «Практику-ме»). В конце книги дан развернутый предметный указатель.

Знаком o обозначается начало доказательства теоремы,знаком n — ее окончание, а знаком — окончание решениязадачи.

В третье издание включены учебно-тренировочные тес-ты (девять тестов по 20 тестовых заданий), которые могутбыть использованы для контроля (экспресс-проверки) уров-ня подготовленности студентов перед курсовыми экзамена-ми (зачетами), для проверки остаточных знаний студентовпри подготовке их к аттестации (аккредитации, комплекс-ной проверке) вуза по циклу общих математических и естест-веннонаучных дисциплин, при решении вопроса о переза-чете дисциплин студентам, переводящимся в данный вуз издругих учебных заведений, и т.п. Эти тесты по указаннымвыше дисциплинам (в целом) помещены вместе с их итого-выми контрольными заданиями и тестами в отдельных раз-делах, а тематические контрольные задания и тесты перене-сены из этих разделов в соответствующие главы учебника.

Авторы выражают глубокую благодарность проф. В. А. Ни-кишкину и проф. А. С. Солодовникову за рецензирование руко-писи и сделанные ими замечания.

19Оглавление

АВТОРЫ:Н. Ш. Кремер, профессор (предисловие, введение,

гл. 2—7, 13—15), а также приложение(совместно с Б. А. Путко));

И. М. Тришин, профессор (гл. 10—12);Б. А. Путко, доцент (гл. 8, 9, а также приложение

(совместно с Н. Ш. Кремером));М. Н. Фридман, доцент (гл. 1);И. М. Эйсымонт, доцент (учебно-тренировочные

тесты).

Итоговые контрольные заданияи итоговые тесты подготовленыавторами соответствующих главучебника совместно.

20 Оглавление

ВВЕДЕНИЕМатематика — наука о количественных отношениях и

пространственных формах действительного мира. В нераз-рывной связи с запросами науки и техники запас количе-ственных отношений и пространственных форм, изучаемыхматематикой, непрерывно расширяется, поэтому приведен-ное определение необходимо понимать в самом общемсмысле.

Академик А. Н. Колмогоров1 выделяет четыре периодаразвития математики2: зарождения математики, элемен-тарной математики, математики переменных величин, со-временной математики.

Понимание самостоятельного положения математикикак особой науки стало возможным после накопления до-статочно большого фактического материала и возникловпервые в Древней Греции в VI—V вв. до н.э. Это было на-чалом периода элементарной математики.

В течение этого периода математические исследованиябазировались лишь на достаточно ограниченном количе-стве основных понятий, возникших в связи с самыми про-стыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем ужена данном этапе происходит качественное совершенство-вание математики как науки. На основе арифметики по-степенно зарождается теория чисел. Появляется алгебракак буквенное исчисление. А созданная древними грекамисистема изложения элементарной геометрии — геометрииЕвклида — на два тысячелетия вперед стала образцом де-дуктивного построения математической теории.

В XVII в. запросы естествознания и техники привели ксозданию методов, позволяющих математически изучатьдвижение, процессы изменения величин, преобразование

1 Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987) — российский мате-матик.

2 Колмогоров, А. Н. Математика / А. Н. Колмогоров // Математичес-кий энциклопедический словарь. М. : Советская энциклопедия, 1988.

21Введение

геометрических фигур. С употребления переменных вели-чин в аналитической геометрии и создания дифференци-ального и интегрального исчислений начался период мате-матики переменных величин.

На первый план выдвигается понятие функции, сыграв-шее в дальнейшем такую же роль основного и самостоя-тельного предмета изучения, как ранее понятия величиныи числа. Изучение функции привело к формулированиюосновных понятий математического анализа: предела, про-изводной, дифференциала, интеграла. Создание аналитиче-ской геометрии позволило существенно расширить предметизучения геометрии благодаря найденному универсально-му способу перевода вопросов геометрии на язык алгебрыи анализа — методу координат Р. Декарта. С другой сторо-ны, открылась возможность геометрической интерпрета-ции алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в.к постановке задачи изучения возможных типов количест-венных отношений и пространственных форм с достаточнообщей точки зрения. Связь математики и естествознания,оставаясь по существу не менее тесной, приобретает все бо-лее сложные формы. Новые теории возникают не только врезультате запросов естествознания и техники, но и вслед-ствие внутренней потребности самой математики. Замеча-тельным примером такой теории является «воображаемая»геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие подобного рода ис-следований в математике XIX—XX вв. позволяет отнести еек периоду современной математики.

Потребности развития самой математики, «математи-зация» различных областей науки, проникновение мате-матических методов во многие сферы практической дея-тельности, прогресс вычислительной техники привели кпоявлению ряда новых математических дисциплин, на-пример, исследование операций, теория игр, математиче-ская экономика и др.

В основе построения математической теории лежит аксио-матический метод, при котором в фундамент теории заклады-ваются некоторые исходные положения, называемые аксиома-ми теории, а все остальные предложения теории получаютсякак логические следствия аксиом. Примером применения ак-сиоматического подхода является евклидова геометрия, в ко-торой четко проведена идея получения основного содержа-ния геометрической теории чисто дедуктивным путем из

20 Оглавление

ВВЕДЕНИЕМатематика — наука о количественных отношениях и

пространственных формах действительного мира. В нераз-рывной связи с запросами науки и техники запас количе-ственных отношений и пространственных форм, изучаемыхматематикой, непрерывно расширяется, поэтому приведен-ное определение необходимо понимать в самом общемсмысле.

Академик А. Н. Колмогоров1 выделяет четыре периодаразвития математики2: зарождения математики, элемен-тарной математики, математики переменных величин, со-временной математики.

Понимание самостоятельного положения математикикак особой науки стало возможным после накопления до-статочно большого фактического материала и возникловпервые в Древней Греции в VI—V вв. до н.э. Это было на-чалом периода элементарной математики.

В течение этого периода математические исследованиябазировались лишь на достаточно ограниченном количе-стве основных понятий, возникших в связи с самыми про-стыми запросами хозяйственной жизни. Вместе с тем ужена данном этапе происходит качественное совершенство-вание математики как науки. На основе арифметики по-степенно зарождается теория чисел. Появляется алгебракак буквенное исчисление. А созданная древними грекамисистема изложения элементарной геометрии — геометрииЕвклида — на два тысячелетия вперед стала образцом де-дуктивного построения математической теории.

В XVII в. запросы естествознания и техники привели ксозданию методов, позволяющих математически изучатьдвижение, процессы изменения величин, преобразование

1 Колмогоров Андрей Николаевич (1903—1987) — российский мате-матик.

2 Колмогоров, А. Н. Математика / А. Н. Колмогоров // Математичес-кий энциклопедический словарь. М. : Советская энциклопедия, 1988.

21Введение

геометрических фигур. С употребления переменных вели-чин в аналитической геометрии и создания дифференци-ального и интегрального исчислений начался период мате-матики переменных величин.

На первый план выдвигается понятие функции, сыграв-шее в дальнейшем такую же роль основного и самостоя-тельного предмета изучения, как ранее понятия величиныи числа. Изучение функции привело к формулированиюосновных понятий математического анализа: предела, про-изводной, дифференциала, интеграла. Создание аналитиче-ской геометрии позволило существенно расширить предметизучения геометрии благодаря найденному универсально-му способу перевода вопросов геометрии на язык алгебрыи анализа — методу координат Р. Декарта. С другой сторо-ны, открылась возможность геометрической интерпрета-ции алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в.к постановке задачи изучения возможных типов количест-венных отношений и пространственных форм с достаточнообщей точки зрения. Связь математики и естествознания,оставаясь по существу не менее тесной, приобретает все бо-лее сложные формы. Новые теории возникают не только врезультате запросов естествознания и техники, но и вслед-ствие внутренней потребности самой математики. Замеча-тельным примером такой теории является «воображаемая»геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие подобного рода ис-следований в математике XIX—XX вв. позволяет отнести еек периоду современной математики.

Потребности развития самой математики, «математи-зация» различных областей науки, проникновение мате-матических методов во многие сферы практической дея-тельности, прогресс вычислительной техники привели кпоявлению ряда новых математических дисциплин, на-пример, исследование операций, теория игр, математиче-ская экономика и др.

В основе построения математической теории лежит аксио-матический метод, при котором в фундамент теории заклады-ваются некоторые исходные положения, называемые аксиома-ми теории, а все остальные предложения теории получаютсякак логические следствия аксиом. Примером применения ак-сиоматического подхода является евклидова геометрия, в ко-торой четко проведена идея получения основного содержа-ния геометрической теории чисто дедуктивным путем из

22

небольшого числа аксиом, истинность которых представля-лась наглядно очевидной.

Основным методом в математических исследованиях яв-ляются математические доказательства — строгие ло-гические рассуждения. Член-корреспондент РАН Л. Д. Куд-рявцев указывает, что в силу объективной необходимостилогические рассуждения (которые по своей природе, еслиони правильные, являются и строгими) представляют ме-тод математики, без них математика немыслима1. Следу-ет отметить, что математическое мышление не сводитсялишь к логическим рассуждениям. Для правильной поста-новки задачи, оценки ее данных, выделения существенныхиз них и выбора способа ее решения необходима еще мате-матическая интуиция, позволяющая предвидеть нужныйрезультат прежде, чем он будет получен, наметить путь ис-следования с помощью правдоподобных рассуждений. Носправедливость рассматриваемого факта доказывается непроверкой ее на ряде примеров, не проведением серии экс-периментов (что само по себе играет большую роль в мате-матических исследованиях), а чисто логическим путем, позаконам формальной логики.

Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемомкурсе высшей математики нужно использовать только«строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой за-дачи авторы не ставили, потому что это не только невоз-можно в рамках вузовского курса (а тем более краткогокурса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно сметодической точки зрения, так как в процессе изучениядисциплины в ограниченные сроки необходимо уделятьбольшое внимание разъяснению математических понятий(в том числе и на интуитивном уровне), их геометриче-скому, физическому и экономическому смыслам, решениюпрактических задач.

В математике изучаются математические модели. Этомогут быть как непосредственно математические моделиреальных явлений, так и объекты (структуры) для изуче-ния этих моделей. Одна и та же математическая модельможет описывать свойства далеких друг от друга по своемуконкретному содержанию реальных явлений. Так, одно ито же дифференциальное уравнение может описывать

1 Кудрявцев, Л. Д. Современная математика и ее преподавание /Л. Д. Кудрявцев. — М. : Наука, 1985.

Введение 23

процессы роста населения и распада радиоактивного веще-ства. Для математики важна не природа рассматриваемыхобъектов, а существующие между ними отношения.

В математике используются два вида умозаключений:дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соот-ветственно на основании общих знаний для конкретногослучая и, наоборот, на основании частных случаев об об-щих суждениях. Принцип математической индукции гла-сит, что утверждение А(n), зависящее от натурального па-раметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и длялюбого натурального числа n из предположения, что верноА(n), доказано, что верно также А(n +1).

При формулировке математических утверждений частоиспользуются необходимые и достаточные условия. Пустьрассматривается какое-либо утверждение (положение) В всвязи с некоторым утверждением (условием) А. Если из Вследует А, т.е. В ⇒ А, то А называется необходимым условиемдля В, если же из А следует В, т.е. А ⇒ В, то А называетсядостаточным условием для В. Например, делимость числана 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимостьна 6 ⇒ делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 —достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 ⇒делимость на 6). Если одновременно верны утвержденияВ ⇒ А и А ⇒ В, т.е. А ⇔ В, то А называется необходимым идостаточным условием для В. Например, для делимостичисла на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 ⇔ делимость на 6».

Таким образом, необходимые условия — это такие усло-вия, без которых рассматриваемое утверждение заведомоне может быть верным, а достаточные условия — это такиеусловия, при выполнении которых это утверждение заве-домо верно. Выражение «необходимо и достаточно» можнозаменить равносильными выражениями «тогда и толькотогда», «если и только если», «в том и только в том слу-чае». Необходимые и достаточные условия обладают в ма-тематике большой познавательной ценностью.

Математика играет важную роль при проведении есте-ственно-научных, инженерно-технических и гуманитарныхисследований. Она стала для многих отраслей знаний нетолько орудием количественного расчета, но также мето-дом точного исследования, средством предельно четкойформулировки понятий и проблем. Без современной мате-матики с ее развитым логическим и вычислительным ап-

Введение

22

небольшого числа аксиом, истинность которых представля-лась наглядно очевидной.

Основным методом в математических исследованиях яв-ляются математические доказательства — строгие ло-гические рассуждения. Член-корреспондент РАН Л. Д. Куд-рявцев указывает, что в силу объективной необходимостилогические рассуждения (которые по своей природе, еслиони правильные, являются и строгими) представляют ме-тод математики, без них математика немыслима1. Следу-ет отметить, что математическое мышление не сводитсялишь к логическим рассуждениям. Для правильной поста-новки задачи, оценки ее данных, выделения существенныхиз них и выбора способа ее решения необходима еще мате-матическая интуиция, позволяющая предвидеть нужныйрезультат прежде, чем он будет получен, наметить путь ис-следования с помощью правдоподобных рассуждений. Носправедливость рассматриваемого факта доказывается непроверкой ее на ряде примеров, не проведением серии экс-периментов (что само по себе играет большую роль в мате-матических исследованиях), а чисто логическим путем, позаконам формальной логики.

Сказанное, естественно, не означает, что в предлагаемомкурсе высшей математики нужно использовать только«строгие» доказательства, сводя все к аксиомам. Такой за-дачи авторы не ставили, потому что это не только невоз-можно в рамках вузовского курса (а тем более краткогокурса в экономическом вузе), но часто и нецелесообразно сметодической точки зрения, так как в процессе изучениядисциплины в ограниченные сроки необходимо уделятьбольшое внимание разъяснению математических понятий(в том числе и на интуитивном уровне), их геометриче-скому, физическому и экономическому смыслам, решениюпрактических задач.

В математике изучаются математические модели. Этомогут быть как непосредственно математические моделиреальных явлений, так и объекты (структуры) для изуче-ния этих моделей. Одна и та же математическая модельможет описывать свойства далеких друг от друга по своемуконкретному содержанию реальных явлений. Так, одно ито же дифференциальное уравнение может описывать

1 Кудрявцев, Л. Д. Современная математика и ее преподавание /Л. Д. Кудрявцев. — М. : Наука, 1985.

Введение 23

процессы роста населения и распада радиоактивного веще-ства. Для математики важна не природа рассматриваемыхобъектов, а существующие между ними отношения.

В математике используются два вида умозаключений:дедукция и индукция, позволяющие сделать выводы соот-ветственно на основании общих знаний для конкретногослучая и, наоборот, на основании частных случаев об об-щих суждениях. Принцип математической индукции гла-сит, что утверждение А(n), зависящее от натурального па-раметра n, считается доказанным, если доказано А(1) и длялюбого натурального числа n из предположения, что верноА(n), доказано, что верно также А(n +1).

При формулировке математических утверждений частоиспользуются необходимые и достаточные условия. Пустьрассматривается какое-либо утверждение (положение) В всвязи с некоторым утверждением (условием) А. Если из Вследует А, т.е. В ⇒ А, то А называется необходимым условиемдля В, если же из А следует В, т.е. А ⇒ В, то А называетсядостаточным условием для В. Например, делимость числана 2 — необходимое условие его делимости на 6 (делимостьна 6 ⇒ делимость на 2), а, скажем, делимость числа на 12 —достаточное условие его делимости на 6 (делимость на 12 ⇒делимость на 6). Если одновременно верны утвержденияВ ⇒ А и А ⇒ В, т.е. А ⇔ В, то А называется необходимым идостаточным условием для В. Например, для делимостичисла на 6 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на2 и 3, ибо «делимость на 2 и 3 ⇔ делимость на 6».

Таким образом, необходимые условия — это такие усло-вия, без которых рассматриваемое утверждение заведомоне может быть верным, а достаточные условия — это такиеусловия, при выполнении которых это утверждение заве-домо верно. Выражение «необходимо и достаточно» можнозаменить равносильными выражениями «тогда и толькотогда», «если и только если», «в том и только в том слу-чае». Необходимые и достаточные условия обладают в ма-тематике большой познавательной ценностью.

Математика играет важную роль при проведении есте-ственно-научных, инженерно-технических и гуманитарныхисследований. Она стала для многих отраслей знаний нетолько орудием количественного расчета, но также мето-дом точного исследования, средством предельно четкойформулировки понятий и проблем. Без современной мате-матики с ее развитым логическим и вычислительным ап-

Введение

24

паратом был бы невозможен прогресс в различных облас-тях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством длярешения прикладных задач и универсальным языком науки, нои элементом общей культуры. В связи с этим математическоеобразование следует рассматривать как важнейшую состав-ляющую в системе фундаментальной подготовки современ-ного экономиста.

Основы высшей математики были разработаны в трудахвыдающихся ученых: математика и механика Древней Гре-ции Архимеда (287—212 до н.э.); французского философа иматематика Р. Декарта (1596—1650); английского физика иматематика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа,математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математи-ка, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французско-го математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); не-мецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французскогоматематика О. Коши (1789—1857) и многих других круп-нейших ученых.

Большой вклад в развитие математики внесли выда-ющиеся русские ученые Н. И. Лобачевский (1792—1856),М. В. Остроградский (1801—1861), П. Л. Чебышев (1821—1894), А. А. Марков (1856—1922), А. М. Ляпунов (1857—1918) и др.

Современная российская математическая школа зани-мает передовое место в мировой математической наукеблагодаря трудам знаменитых математиков: А. Д. Алек-сандрова, П. С. Александрова, В. И. Арнольда, С. Н. Берн-штейна, Н. Н. Боголюбова, И. Н. Векуа, И. М. Виноградова,В. М. Глушкова, Л. В. Канторовича, М. В. Келдыша,А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, Ю. В. Линника,А. И. Мальцева, П. С. Новикова, Ю. В. Прохорова,В. И. Смирнова, С. Л. Соболева, А. Н. Тихонова и др.

Введение 25

Раздел I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАС ЭЛЕМЕНТАМИ

АНАЛИТИЧЕСКОЙГЕОМЕТРИИ

24

паратом был бы невозможен прогресс в различных облас-тях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством длярешения прикладных задач и универсальным языком науки, нои элементом общей культуры. В связи с этим математическоеобразование следует рассматривать как важнейшую состав-ляющую в системе фундаментальной подготовки современ-ного экономиста.

Основы высшей математики были разработаны в трудахвыдающихся ученых: математика и механика Древней Гре-ции Архимеда (287—212 до н.э.); французского философа иматематика Р. Декарта (1596—1650); английского физика иматематика И. Ньютона (1643—1727); немецкого философа,математика и физика Г. Лейбница (1646—1716); математи-ка, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783); французско-го математика и механика Ж. Лагранжа (1736—1813); не-мецкого математика К. Гаусса (1777—1855); французскогоматематика О. Коши (1789—1857) и многих других круп-нейших ученых.

Большой вклад в развитие математики внесли выда-ющиеся русские ученые Н. И. Лобачевский (1792—1856),М. В. Остроградский (1801—1861), П. Л. Чебышев (1821—1894), А. А. Марков (1856—1922), А. М. Ляпунов (1857—1918) и др.

Современная российская математическая школа зани-мает передовое место в мировой математической наукеблагодаря трудам знаменитых математиков: А. Д. Алек-сандрова, П. С. Александрова, В. И. Арнольда, С. Н. Берн-штейна, Н. Н. Боголюбова, И. Н. Векуа, И. М. Виноградова,В. М. Глушкова, Л. В. Канторовича, М. В. Келдыша,А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева, Ю. В. Линника,А. И. Мальцева, П. С. Новикова, Ю. В. Прохорова,В. И. Смирнова, С. Л. Соболева, А. Н. Тихонова и др.

Введение 25

Раздел I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАС ЭЛЕМЕНТАМИ

АНАЛИТИЧЕСКОЙГЕОМЕТРИИ

26

Глава 1

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

1.1. Основные сведения о матрицах

Понятие матрицы и основанный на нем раздел матема-тики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важноезначение для экономистов. Объясняется это тем, что значи-тельная часть математических моделей экономическихобъектов и процессов записывается в достаточно простой, аглавное, компактной матричной форме.

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таб-лица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, со-ставляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латин-ского алфавита, например А, В, С, ..., а для обозначенияэлементов матрицы используются соответственно строч-ные буквы с двойной индексацией: aij, bij, cij, …, где i — но-мер строки, j — номер столбца.

Например, матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

..............................

.............................

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

Aa a a a

a a a a

×

=

K K

K K

K K

K K

(1.1)

или в сокращенной записи А = (aij); i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

27

Например, если т = 2, п = 3, то

2 3

1 0 3.

2 5 8×

− =

А

Наряду с круглыми скобками используются и другиеобозначения матрицы: [ ], || ||.

Две матрицы А и В одного размера называются равны-ми, если они совпадают поэлементно, т.е. аij = bij для любыхi = 1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n.

С помощью матриц удобно записывать некоторые эко-номические зависимости. Например, таблица распределе-ния ресурсов, усл. ед., по отдельным отраслям экономики

Ресурсы Отрасль экономикипромышленность сельское хозяйство

Электроэнерге- 5,3 4,1тическиеТрудовые 2,8 2,1Водные 4,8 5,1

может быть записана в компактной форме в виде матрицы

3 2

5,3 4,1

2,8 2,1 .

4,8 5,1

A×

=

В этой записи, например, матричный элемент а11 = 5,3показывает, сколько электроэнергии потребляет промыш-ленность, а элемент а22 = 2,1 — сколько трудовых ресурсовтребуется для сельского хозяйства.

Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, на-зывается матрицей(вектором)-строкой, или просто строкой,а из одного столбца — матрицей(вектором)-столбцом, илипросто столбцом: А = ( а11 а12, ..., а1n) — матрица-строка;

11

21

1

K

m

b

bB

b

=

— матрица-столбец.

1.1. Основные сведения о матрицах

26

Глава 1

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС

1.1. Основные сведения о матрицах

Понятие матрицы и основанный на нем раздел матема-тики — матричная алгебра — имеют чрезвычайно важноезначение для экономистов. Объясняется это тем, что значи-тельная часть математических моделей экономическихобъектов и процессов записывается в достаточно простой, аглавное, компактной матричной форме.

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таб-лица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, со-ставляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латин-ского алфавита, например А, В, С, ..., а для обозначенияэлементов матрицы используются соответственно строч-ные буквы с двойной индексацией: aij, bij, cij, …, где i — но-мер строки, j — номер столбца.

Например, матрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

..............................

.............................

j n

j n

m n i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

Aa a a a

a a a a

×

=

K K

K K

K K

K K

(1.1)

или в сокращенной записи А = (aij); i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

27

Например, если т = 2, п = 3, то

2 3

1 0 3.

2 5 8×

− =

А

Наряду с круглыми скобками используются и другиеобозначения матрицы: [ ], || ||.

Две матрицы А и В одного размера называются равны-ми, если они совпадают поэлементно, т.е. аij = bij для любыхi = 1, 2, ..., m; j =1, 2, ..., n.

С помощью матриц удобно записывать некоторые эко-номические зависимости. Например, таблица распределе-ния ресурсов, усл. ед., по отдельным отраслям экономики

Ресурсы Отрасль экономикипромышленность сельское хозяйство

Электроэнерге- 5,3 4,1тическиеТрудовые 2,8 2,1Водные 4,8 5,1

может быть записана в компактной форме в виде матрицы

3 2

5,3 4,1

2,8 2,1 .

4,8 5,1

A×

=

В этой записи, например, матричный элемент а11 = 5,3показывает, сколько электроэнергии потребляет промыш-ленность, а элемент а22 = 2,1 — сколько трудовых ресурсовтребуется для сельского хозяйства.

Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, на-зывается матрицей(вектором)-строкой, или просто строкой,а из одного столбца — матрицей(вектором)-столбцом, илипросто столбцом: А = ( а11 а12, ..., а1n) — матрица-строка;

11

21

1

K

m

b

bB

b

=

— матрица-столбец.

1.1. Основные сведения о матрицах

28

Матрица называется квадратной n-го порядка, если чис-ло ее строк равно числу столбцов и равно n. Например,

5 0 0

0 1 0

0 0 2

À

= −

— квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы аij, у которых номер столбца равенномеру строки (i = j), называются диагональными и образу-ют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицыглавную диагональ образуют элементы а11, а22, …, аnn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицыравны нулю, то матрица называется диагональной1. Напри-мер,

5 0 0

0 1 0

0 0 2

À

= −

— диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диаго-нальные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквойЕ, или En. Например,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

Å — единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

0 0 0

0 0 0.

.................

0 0 0

×

=

K

K

K

0m n

1.2. Операции над матрицамиНад матрицами, как и над числами, можно производить

ряд операций, причем некоторые из них аналогичны опера-циям над числами, а некоторые специфические.

1 Если все диагональные элементы диагональной матрицы одинако-вы, то такая матрица называется скалярной.

Глава 1. Матрицы и определители

m×n

29

1. Умножение матрицы на число. Произведением матри-цы А на число λ называется матрица В = λА, элементы кото-рой bij = λаij для i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Например если 2 4

3 2À

=

, то

10 205 .

15 10À

=

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы

можно выносить за знак матрицы. Например,

20 12 6 10 6 32

52 2 0 26 1 0

=

.

В частности, произведение матрицы А на число 0 естьнулевая матрица, т.е. 0 . А = 0.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одина-кового размера m × n называется матрица С = А + В, эле-менты которой cij = аij + bij для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n(т.е. матрицы складываются поэлементно). Например,

2 3 0 0 1 4 2 4 4; ;

1 5 6 2 5 1 3 10 7À Â Ñ À Â

= = = + =

.

В частном случае А + 0 = А.3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинако-

вого размера определяется через предыдущие операции«1» и «2»: А – В = А + (–1) . В.

4. Умножение матриц. Операция умножения матрицы Ана матрицу В определена, когда число столбцов первойматрицы равно числу строк второй1. Тогда произведениемматриц

m k k nÀ B× ×

⋅ называется такая матрица m nÑ×

, каждый эле-

мент сij которой равен сумме произведений элементов i-йстроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столб-ца матрицы В:

1 1 2 21

; 1, 2, ..., ; 1, 2, ..., .ij i j i j is sji js

ñ a b a b a b a b i m j n=

= + + + = = = ∑Kk

k k

Пример 1.1. Вычислить произведение матриц АВ, где1 0 1

1 0 2; 5 1 4 .

3 1 02 0 1

À Â

− = = −

1 В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

1.2. Операции над матрицами

28

Матрица называется квадратной n-го порядка, если чис-ло ее строк равно числу столбцов и равно n. Например,

5 0 0

0 1 0

0 0 2

À

= −

— квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы аij, у которых номер столбца равенномеру строки (i = j), называются диагональными и образу-ют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицыглавную диагональ образуют элементы а11, а22, …, аnn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицыравны нулю, то матрица называется диагональной1. Напри-мер,

5 0 0

0 1 0

0 0 2

À

= −

— диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диаго-нальные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквойЕ, или En. Например,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

Å — единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

0 0 0

0 0 0.

.................

0 0 0

×

=

K

K

K

0m n

1.2. Операции над матрицамиНад матрицами, как и над числами, можно производить

ряд операций, причем некоторые из них аналогичны опера-циям над числами, а некоторые специфические.

1 Если все диагональные элементы диагональной матрицы одинако-вы, то такая матрица называется скалярной.

Глава 1. Матрицы и определители

m×n

29

1. Умножение матрицы на число. Произведением матри-цы А на число λ называется матрица В = λА, элементы кото-рой bij = λаij для i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Например если 2 4

3 2À

=

, то

10 205 .

15 10À

=

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы

можно выносить за знак матрицы. Например,

20 12 6 10 6 32

52 2 0 26 1 0

=

.

В частности, произведение матрицы А на число 0 естьнулевая матрица, т.е. 0 . А = 0.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одина-кового размера m × n называется матрица С = А + В, эле-менты которой cij = аij + bij для i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n(т.е. матрицы складываются поэлементно). Например,

2 3 0 0 1 4 2 4 4; ;

1 5 6 2 5 1 3 10 7À Â Ñ À Â

= = = + =

.

В частном случае А + 0 = А.3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинако-

вого размера определяется через предыдущие операции«1» и «2»: А – В = А + (–1) . В.

4. Умножение матриц. Операция умножения матрицы Ана матрицу В определена, когда число столбцов первойматрицы равно числу строк второй1. Тогда произведениемматриц

m k k nÀ B× ×

⋅ называется такая матрица m nÑ×

, каждый эле-

мент сij которой равен сумме произведений элементов i-йстроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столб-ца матрицы В:

1 1 2 21

; 1, 2, ..., ; 1, 2, ..., .ij i j i j is sji js

ñ a b a b a b a b i m j n=

= + + + = = = ∑Kk

k k

Пример 1.1. Вычислить произведение матриц АВ, где1 0 1

1 0 2; 5 1 4 .

3 1 02 0 1

À Â

− = = −

1 В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

1.2. Операции над матрицами

30

Решение.1. Найдем размер матрицы-произведения (если умноже-

ние матриц возможно):2 3 3 3 2 3 × × ×

⋅ =À Â Ñ .

2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умно-жая элементы каждой строки матрицы А на соответству-ющие элементы столбцов матрицы В, следующим образом:

1( 1) 0 5 2( 2) 1 0 0 1 2 0 1 1 0 4 2 1

3( 1) 1 5 0( 2) 3 0 1 1 0 0 3 1 1 4 0 1Ñ

− + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ .

Получаем 5 0 3

.2 1 7

− =

Ñ

Многие свойства, присущие операциям над числами,справедливы и для операций над матрицами (что следуетиз определений этих операций):

1) А + В = В + А; 5) (А + В) С = АС + ВС;2) (А + В) + С = А + (В + С); 6) λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);3) λ(А + В) = λА + λВ; 7) А(ВC) = (АВ)С.4) А(В + С) = АВ + АС;

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так,операция умножения матриц имеет некоторые отличия отумножения чисел.

а) Если произведение матриц АВ существует, то послеперестановки сомножителей местами произведение мат-риц ВА может и не существовать. Действительно, в приме-ре 1.1 получили произведение матриц А2×3 . В3×3, а произ-ведения В3×3 . А2×3 не существует, так как число столбцовпервой матрицы не совпадает с числом строк второй.

б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то онимогут быть матрицами разных размеров.

Пример 1.2. Найти произведения матриц АВ и ВА, где

0 32 1 1

; 1 50 3 2

1 1

À Â

= = −

.

Решение. 2 3 3 2 2 20 12

1 17A B C× × ×

= = =

;

Глава 1. Матрицы и определители 31

3 2 2 3 3 3

0 9 6

2 16 11

2 2 1

 À D× × ×

⋅ = = −

, т.е. АВ ≠ ВА.

в) Если оба произведения АВ и ВА существуют и оба —матрицы одинакового размера (это возможно только при

умножении квадратных матриц А и В одного порядка),коммутативный (переместительный) закон умножения,вообще говоря, не выполняется, т.е. А . В ≠ В . А.

Пример 1.3. Найти произведения матриц АВ и ВА, где

1 2 0 5;

3 4 6 8À Â

= =

.

Решение. 12 21 15 20

; , ò.å. .24 47 30 44

= = ≠

ÀÂ ÂÀ ÀÂ ÂÀ

Матрицы А и В, для которых выполняется коммутатив-ный закон, называются перестановочными. Можно пока-зать, что скалярные матрицы перестановочны с любымиквадратными матрицами того же порядка.

В частном случае коммутативным законом обладает про-изведение любой квадратной матрицы А n-го порядка наединичную матрицу Е того же порядка, причем это произве-дение равно А:

АЕ = ЕА = А.

o

11 12 1 11 1

21 22 2 21 2

1 2 1

1 0 0

0 1 0.

...................................... .................

0 0 1

n n

n nn n n n

n n nn n nn

a a a a a

a a a a aÀ E A

a a a a a

× ×

⋅ = = =

K KK

K KK

KK K

11 12 1 11 1

21 22 2 21 2

1 2 1

1 0 0

0 1 0.

................. ......................... ..................

0 0 1

× ×

⋅ = = =

K KK

K KK

K K K

n n

n nn n n n

n n nn n nn

a a a a a

a a a a aE A A

a a a a a

n

1.2. Операции над матрицами

30

Решение.1. Найдем размер матрицы-произведения (если умноже-

ние матриц возможно):2 3 3 3 2 3 × × ×

⋅ =À Â Ñ .

2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умно-жая элементы каждой строки матрицы А на соответству-ющие элементы столбцов матрицы В, следующим образом:

1( 1) 0 5 2( 2) 1 0 0 1 2 0 1 1 0 4 2 1

3( 1) 1 5 0( 2) 3 0 1 1 0 0 3 1 1 4 0 1Ñ

− + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ .

Получаем 5 0 3

.2 1 7

− =

Ñ

Многие свойства, присущие операциям над числами,справедливы и для операций над матрицами (что следуетиз определений этих операций):

1) А + В = В + А; 5) (А + В) С = АС + ВС;2) (А + В) + С = А + (В + С); 6) λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);3) λ(А + В) = λА + λВ; 7) А(ВC) = (АВ)С.4) А(В + С) = АВ + АС;

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так,операция умножения матриц имеет некоторые отличия отумножения чисел.

а) Если произведение матриц АВ существует, то послеперестановки сомножителей местами произведение мат-риц ВА может и не существовать. Действительно, в приме-ре 1.1 получили произведение матриц А2×3 . В3×3, а произ-ведения В3×3 . А2×3 не существует, так как число столбцовпервой матрицы не совпадает с числом строк второй.

б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то онимогут быть матрицами разных размеров.

Пример 1.2. Найти произведения матриц АВ и ВА, где

0 32 1 1

; 1 50 3 2

1 1

À Â

= = −

.

Решение. 2 3 3 2 2 20 12

1 17A B C× × ×

= = =

;

Глава 1. Матрицы и определители 31

3 2 2 3 3 3

0 9 6

2 16 11

2 2 1

 À D× × ×

⋅ = = −

, т.е. АВ ≠ ВА.

в) Если оба произведения АВ и ВА существуют и оба —матрицы одинакового размера (это возможно только при

умножении квадратных матриц А и В одного порядка),коммутативный (переместительный) закон умножения,вообще говоря, не выполняется, т.е. А . В ≠ В . А.

Пример 1.3. Найти произведения матриц АВ и ВА, где

1 2 0 5;

3 4 6 8À Â

= =

.

Решение. 12 21 15 20

; , ò.å. .24 47 30 44

= = ≠

ÀÂ ÂÀ ÀÂ ÂÀ

Матрицы А и В, для которых выполняется коммутатив-ный закон, называются перестановочными. Можно пока-зать, что скалярные матрицы перестановочны с любымиквадратными матрицами того же порядка.

В частном случае коммутативным законом обладает про-изведение любой квадратной матрицы А n-го порядка наединичную матрицу Е того же порядка, причем это произве-дение равно А:

АЕ = ЕА = А.

o

11 12 1 11 1

21 22 2 21 2

1 2 1

1 0 0

0 1 0.

...................................... .................

0 0 1

n n

n nn n n n

n n nn n nn

a a a a a

a a a a aÀ E A

a a a a a

× ×

⋅ = = =

K KK

K KK

KK K

11 12 1 11 1

21 22 2 21 2

1 2 1

1 0 0

0 1 0.

................. ......................... ..................

0 0 1

× ×

⋅ = = =

K KK

K KK

K K K

n n

n nn n n n

n n nn n nn

a a a a a

a a a a aE A A

a a a a a

n

1.2. Операции над матрицами

32

Таким образом, единичная матрица играет при умноже-нии матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может рав-няться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует,что А = 0 или В = 0. Например,

1 1 1 1 0 0; , íî

1 1 1 1 0 0À Â ÀÂ

= ≠ = ≠ = = − − 0 0 0.

д) Если АВ = АD, то из этого равенства еще не следует,что матрицы В и D равны. Например,

1 1 2 3 1 6; ; ,

2 2 2 4 3 1À Â D

= = =

4 7ò.å. , íî

8 14Â D ÀÂ ÀD

≠ = =

.

5. Возведение в степень. Целой положительной степе-нью Аm (m > 1) квадратной матрицы А называется произве-дение m матриц, равных А, т.е.

ðàç

.m

m

À A A A= ⋅ ⋅ ⋅K14243

Заметим, что операция возведения в степень определя-ется только для квадратных матриц.

По определению полагают А0 = Е; А1 = А. Нетрудно пока-зать, что Аm . Аk = Аm+k; (Am)k = Amk.

Однако равенство (А . В)m = Am . Bm справедливо толькодля перестановочных матриц.

Пример 1.4. Найти А2, где 1 2

3 4À

=

.

Решение. 2 1 2 1 2 7 10

3 4 3 4 15 22À

= =

.

Если матрица А диагональная с диагональными эле-ментами аii (i = 1, 2, ..., n), то для любого натурального тматрица Am тоже диагональная с диагональными элемен-тами m

iia (следует из определения произведения матриц).Например,

Глава 1. Матрицы и определители 33

42 0 16 0;

0 3 0 81À À

= =

.

Выражение вида Р(А) = 20 1 2

mmÅ À À Aα + α + α + + αK ,

где А и Е — соответственно квадратная и единичная матри-цы одинакового порядка; 0 1, , , mα α αK — числа, называет-ся полиномом (многочленом) от матрицы. Он представляетсобой матрицу, которую можно рассматривать как резуль-тат подстановки матрицы вместо переменной х в обычныймногочлен степени m:

20 1 2( ) m

mP x x x x=α + α + α + + αK .

Пример 1.5. Вычислить значение многочлена f(х) = 2x2 –

– 5x + 3 от матрицы 2 4

1 0À

=

.

Решение. Вместо х подставляем в функцию f(х) матрицуА, вместо числа 3 используем матрицу 3 . Е, где Е — еди-ничная матрица второго порядка, что и А.

Найдем

2А2 = 2.А.А = 2 2 4 2 4 8 8 16 16

2 ;1 0 1 0 2 4 4 8

= =

2 4 10 20 1 0 3 05 5 ; 3 3

0 11 0 5 0 0 3

= = = =

À Å .

Теперь

f(А) = 2А2 — 5А + 3Е 16 16 10 20 3 0

4 8 5 0 0 3

= − + =

9 4

1 11

− = − .

Если при подстановке матрицы А вместо х в многочленР(х) получается нулевая матрица, т.е. Р(А) = 0, то матрицаА называется корнем многочлена Р(х), а сам многочлен —аннулирующим многочленом для матрицы А.

Отметим также, что если Аm — нулевая матрица, то изэтого не следует, что матрица А = 0. Например,

1.2. Операции над матрицами

32

Таким образом, единичная матрица играет при умноже-нии матриц ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

г) Произведение двух ненулевых матриц может рав-няться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует,что А = 0 или В = 0. Например,

1 1 1 1 0 0; , íî

1 1 1 1 0 0À Â ÀÂ

= ≠ = ≠ = = − − 0 0 0.

д) Если АВ = АD, то из этого равенства еще не следует,что матрицы В и D равны. Например,

1 1 2 3 1 6; ; ,

2 2 2 4 3 1À Â D

= = =

4 7ò.å. , íî

8 14Â D ÀÂ ÀD

≠ = =

.

5. Возведение в степень. Целой положительной степе-нью Аm (m > 1) квадратной матрицы А называется произве-дение m матриц, равных А, т.е.

ðàç

.m

m

À A A A= ⋅ ⋅ ⋅K14243

Заметим, что операция возведения в степень определя-ется только для квадратных матриц.

По определению полагают А0 = Е; А1 = А. Нетрудно пока-зать, что Аm . Аk = Аm+k; (Am)k = Amk.

Однако равенство (А . В)m = Am . Bm справедливо толькодля перестановочных матриц.

Пример 1.4. Найти А2, где 1 2

3 4À

=

.

Решение. 2 1 2 1 2 7 10

3 4 3 4 15 22À

= =

.

Если матрица А диагональная с диагональными эле-ментами аii (i = 1, 2, ..., n), то для любого натурального тматрица Am тоже диагональная с диагональными элемен-тами m

iia (следует из определения произведения матриц).Например,

Глава 1. Матрицы и определители 33

42 0 16 0;

0 3 0 81À À

= =

.

Выражение вида Р(А) = 20 1 2

mmÅ À À Aα + α + α + + αK ,

где А и Е — соответственно квадратная и единичная матри-цы одинакового порядка; 0 1, , , mα α αK — числа, называет-ся полиномом (многочленом) от матрицы. Он представляетсобой матрицу, которую можно рассматривать как резуль-тат подстановки матрицы вместо переменной х в обычныймногочлен степени m:

20 1 2( ) m

mP x x x x=α + α + α + + αK .

Пример 1.5. Вычислить значение многочлена f(х) = 2x2 –

– 5x + 3 от матрицы 2 4

1 0À

=

.

Решение. Вместо х подставляем в функцию f(х) матрицуА, вместо числа 3 используем матрицу 3 . Е, где Е — еди-ничная матрица второго порядка, что и А.

Найдем

2А2 = 2.А.А = 2 2 4 2 4 8 8 16 16

2 ;1 0 1 0 2 4 4 8

= =

2 4 10 20 1 0 3 05 5 ; 3 3

0 11 0 5 0 0 3

= = = =

À Å .

Теперь

f(А) = 2А2 — 5А + 3Е 16 16 10 20 3 0

4 8 5 0 0 3

= − + =

9 4

1 11

− = − .

Если при подстановке матрицы А вместо х в многочленР(х) получается нулевая матрица, т.е. Р(А) = 0, то матрицаА называется корнем многочлена Р(х), а сам многочлен —аннулирующим многочленом для матрицы А.

Отметим также, что если Аm — нулевая матрица, то изэтого не следует, что матрица А = 0. Например,

1.2. Операции над матрицами

34

22 4 0 0, íî .

1 2 0 0À À

− = ≠ = = − 0 0

6. Транспонирование матрицы. Под этой операцией по-нимают переход от матрицы А к матрице А′, в которойстроки и столбцы поменялись местами с сохранением по-рядка. Матрица А′ называется транспонированной относи-тельно матрицы А:

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

; ............................ ..........................

n m

n m

m m mn n n mn

à à à a a a

a a a a a aÀ A

a a a a a a

′= =

K K

K K

K K

(1.2)

Из определения следует, что если матрица А имеет раз-мер m × n, то транспонированная матрица А′ имеет размерn × m. Например,

2 3 3 2

1 41 2 3

; 2 5 .4 5 6

3 6

À À× ×

′= =

В литературе встречаются и другие обозначения транс-понированной матрицы, например Ат.

Свойства операции транспонирования:

1) (А′)′ = А; 2) (λА)′ = λА′;3) (А + В)′ = А′ + В′; 4) (АВ)′ = В′А′.Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно.Рассмотренные выше операции над матрицами позволя-

ют упростить решения некоторых экономических задач.

Пример 1.6. Предприятие выпускает продукцию трех ви-дов: Р1, Р2, Р3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы

расхода сырья характеризуются матрицей

2 3

5 2

1 4

À

=

, где

каждый элемент аij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2) показывает, сколькоединиц сырья j-го типа расходуется на производство еди-

Глава 1. Матрицы и определители 35

ницы продукции i-го вида. План выпуска продукции заданматрицей-строкой С = (100 80 130), а стоимость единицы каж-

дого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом 30

.50

Â

=

Определить затраты сырья, необходимые для плановоговыпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты первого сырья составляют S1 = 2 . 100 ++ 5 . 80 + 1 . 130 = 730 ед. и второго — S2 = 3 . 100 + 2 . 80 + 4 ×× 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S мо-жет быть записана как произведение S = С . А = (100 80 130) ×

2 3

5 2

1 4

×

= (730 980). Тогда общая стоимость сырья Q = 730 ×

× 30 + 980 . 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в мат-ричном виде Q = S . В = (СА)В = (70 900). Общую стоимостьсырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вы-числим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу

продукции, т.е. матрицу

2 3 21030

5 2 25050

1 4 230

R A B

= ⋅ = =

, а за-

тем общую стоимость сырья

210

( ) (100 80 130) 250 (70 900).

230

Q = ⋅ = = =

C R C AB

На данном примере мы убедились в выполнении свой-ства 7 (см. с. 24) — ассоциативного закона произведенияматриц: (СА)В = С(АВ).

Очевидно, что при транспонировании матрицы ее диа-гональные элементы остаются на своих местах.

7. След матрицы. Следом квадратной матрицы А называ-ется сумма ее диагональных элементов.

След обозначается trА (от англ. trace — след)1. Он играетважную роль в исследовании матриц и их приложениях(например, в эконометрике).

1 В технических приложениях встречается также обозначение следаматрицы spА от немец. spur — след.

1.2. Операции над матрицами

34

22 4 0 0, íî .

1 2 0 0À À

− = ≠ = = − 0 0

6. Транспонирование матрицы. Под этой операцией по-нимают переход от матрицы А к матрице А′, в которойстроки и столбцы поменялись местами с сохранением по-рядка. Матрица А′ называется транспонированной относи-тельно матрицы А:

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

; ............................ ..........................

n m

n m

m m mn n n mn

à à à a a a

a a a a a aÀ A

a a a a a a

′= =

K K

K K

K K

(1.2)

Из определения следует, что если матрица А имеет раз-мер m × n, то транспонированная матрица А′ имеет размерn × m. Например,

2 3 3 2

1 41 2 3

; 2 5 .4 5 6

3 6

À À× ×

′= =

В литературе встречаются и другие обозначения транс-понированной матрицы, например Ат.

Свойства операции транспонирования:

1) (А′)′ = А; 2) (λА)′ = λА′;3) (А + В)′ = А′ + В′; 4) (АВ)′ = В′А′.Рекомендуем читателю доказать их самостоятельно.Рассмотренные выше операции над матрицами позволя-

ют упростить решения некоторых экономических задач.

Пример 1.6. Предприятие выпускает продукцию трех ви-дов: Р1, Р2, Р3 и использует сырье двух типов: S1 и S2. Нормы

расхода сырья характеризуются матрицей

2 3

5 2

1 4

À

=

, где

каждый элемент аij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2) показывает, сколькоединиц сырья j-го типа расходуется на производство еди-

Глава 1. Матрицы и определители 35

ницы продукции i-го вида. План выпуска продукции заданматрицей-строкой С = (100 80 130), а стоимость единицы каж-

дого типа сырья (ден. ед.) — матрицей-столбцом 30

.50

Â

=

Определить затраты сырья, необходимые для плановоговыпуска продукции, и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты первого сырья составляют S1 = 2 . 100 ++ 5 . 80 + 1 . 130 = 730 ед. и второго — S2 = 3 . 100 + 2 . 80 + 4 ×× 130 = 980 ед., поэтому матрица-строка затрат сырья S мо-жет быть записана как произведение S = С . А = (100 80 130) ×

2 3

5 2

1 4

×

= (730 980). Тогда общая стоимость сырья Q = 730 ×

× 30 + 980 . 50 = 70 900 ден. ед. может быть записана в мат-ричном виде Q = S . В = (СА)В = (70 900). Общую стоимостьсырья можно вычислить и в другом порядке: вначале вы-числим матрицу стоимостей затрат сырья на единицу

продукции, т.е. матрицу

2 3 21030

5 2 25050

1 4 230

R A B

= ⋅ = =

, а за-

тем общую стоимость сырья

210

( ) (100 80 130) 250 (70 900).

230

Q = ⋅ = = =

C R C AB

На данном примере мы убедились в выполнении свой-ства 7 (см. с. 24) — ассоциативного закона произведенияматриц: (СА)В = С(АВ).

Очевидно, что при транспонировании матрицы ее диа-гональные элементы остаются на своих местах.

7. След матрицы. Следом квадратной матрицы А называ-ется сумма ее диагональных элементов.

След обозначается trА (от англ. trace — след)1. Он играетважную роль в исследовании матриц и их приложениях(например, в эконометрике).

1 В технических приложениях встречается также обозначение следаматрицы spА от немец. spur — след.

1.2. Операции над матрицами