Введение оптимальную экономикуyunusi.tj/books/economik.pdf ·...
TRANSCRIPT
Таджикский государственный национальный университет
Кафедра информатики
Введение в оптимальную экономику
Махмадюсуф Юнуси
Душанбе 2007
2
2
УДК 519
Введиние в оптимальную экономику
Автор: Махмадюсуф Юнуси - зав. кафедрой информатики Таджикского государственного национального университета, д.ф.-м.н., профессор, член корр. МА ВШ.
Аннотация: В книге даны описание и анализ основных оптимальных моделей экономики, соответствующие постановки математических задач и их решения в которых эти модели применяются. Книга рассчитана на студентов высших учебных заведений, экономистов, инженеров, математиков и информатиков, а также лиц, интересующихся вопросами моделирования и прогнозирования экономики предприятий, городов и страны.
Рецензенты: д.ф.-м.н Комилов Ф.С., д.т.-н. Шерматов Н.Ш. Редактор: д.ф.-м.н. Исмати М. Адрес: Таджикистан, 734025, Душанбе, Рудаки 17, ТГНУ, кафедра информатики Тел. (992372)235602 E-mai:l [email protected] ; [email protected] www.yunusi.com http://yunusi.pochta.ru
Рекомендована к печати научно-методическим советом ТГНУ
3
3
Введение Как известно, в условиях рыночной экономики коммерческие,
государственные предприятия и учреждения, частные фирмы остро нуждаются в высоко подготовленных специалистах в области моделирования, прогнозирования и принятия решений. В настоящее время в Таджикском государственном национальном университете и других вузах страны имеется ряд учебных пособий, которые частично отражают эти вопросы. В них совершенно не приводятся модели реальных экономических процессов и не проводятся компьютерные эксперименты для прогнозирования их состояний. Существующий подход преподавания экономических курсов приучает неподготовленных студентов формально подходит к вопросам прогнозирования состояния экономики и принятия решений. При этом студентам приходится изучать весьма формализованные теории конкретных разделов экономико-математических дисциплин и осваивать ряд теорий и методов в имеющихся учебных книгах. Остаётся в тени вопрос о том, что какое отношение имеет та или иная модель к функционированию реальной экономики.
Известно, что вопросы использования научных методов, в первую очередь математических методов, в процессах принятия экономических решений привлекают постоянное внимание, как специалистов, так и широкой общественности. Математическое моделирование занимает важнейшее место среди методов научного анализа экономических систем. В связи с переходом к рыночной экономике, восстановления рыночных отношений и реформы высшего образования, возникают вопросы о коренных изменениях в преподавании учебных предметов в системе высших учебных заведений страны, проведения научных исследований. Данная книга - это та же экономика, но описанная в виде математических формул и уравнений. Модельная экономика позволяет студентам несколько смелее подходить к решению экономических проблем и она научить умение видеть экономические проблемы, проводить анализ и компьютерные эксперименты с ними. Умение выбирать для нее оптимальные параметры и значения должно быть основным качеством современного специалиста. Настоящая книга дает студентам и аспирантам удобный инструмент для практических расчетов, знакомство с этой книгой будет весьма полезно при решении огромного числа задач повседневной экономики и прогнозирования состояния экономики в будущем. Книга "Оптимальная экономика" начинается с обсуждения понятия модели, классификации моделей, изложения принципов построения моделей, а затем постепенно раскрывается содержание приводимых моделей экономики предприятия,
4
4
фирм и др. В ней обсуждается также ряд новых моделей экономики, которые были получены в работах автора. В том числе, модель потенциальной функции трудящихся, потенциала экономической системы, модельное производство с учетом уровня технологии и ряд других характеристик. Будут приведены и обсуждены новые экономические модели для определения размера капитала, функций труда, инвестиций, уровней технологии, уровня цен, величины налога и др. в зависимости от временных, возрастных, пространственных и экономических характеристик. Последними в книге излагаются, и обсуждаются вопросы оптимизации экономических систем. Помимо изложения теоретического материала в книге особое место занимают вопросы их компьютерной реализации и проведения вычислительных экспериментов с ними. Таким образом, предлагаемая книга на наш взгляд вносить определённый вклад в подготовку в высококвалифицированных специалистов в условиях рыночной экономики и рыночных отношений. Будем надеяться, что книга окажется также полезней широкому кругу читателей и заполнит пробели в преподавании экономико–математических методов.
Современный этап развития методов, основанных на использовании ЭВМ для анализа математических моделей экономических объектов, характеризуется определением возраста трудовых ресурсов на экономику некоторой условной страны. Моделям долгосрочного развития экономики посвящен ряд работ, в которых динамические процессы описаны при помощи разностных управний и обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве производственных функций в этих работах берутся либо производственные функции в дискретном виде, либо непрерывные производственные функции типа Кобба – Дугласа, СЕS-а или в описывающей численности рабочей силы используется функция, которая зависит только от одного параметра как возраст, а половые, пространственные факторы и работоспособность трудящихся остались неисследованными. Уровень зрелости отдельных идей занял соответствующее место в системе методов исследования, стали ясны области их наиболее целесообразного использования. Каждый год появляются новые исследования, расширяющие круг работ, связанных с разработкой новых методов планирования и управления экономическими системами. В данной книге изучаются вопросы их моделирования изучаются вопросы их моделирования, модельного производства типа Кобба – Дугласа с учетом возраста рабочих. Для этого модельного производства моделируются соответствующая система уравнений определения величины капитала, динамика численности рабочих и др.
5
5
В данной работе получены основные уравнения модельной экономики и рассматрываются вопросы построения и обсуждения оптимальных моделей экономики, а также предложено новое модельное производство и связанные с ним оптимальные экономические системы. Определены соответствующие экономические параметры и проведены соответствующие компьютерные эксперименты.
§1 Вывод уравнения роста экономики Известно, что экономика это производство и распределение
материальных благ. Обозначим через Y количество произведенных продукций (или национального дохода в масштабе страны) и оно является функцией капитала- К, труда- L, и производительности технического прогресса - А: Y =А f (K,L), (1.1) где К .0,0,0 ≥≥≥ AL Согласно данному закону количество производимых продукций растет с ростом величины капитала, труда и меры текущего уровня технического прогресса и эти факторы являются главными факторами роста экономики. Так как, Y=εY+(1- ε)Y, ,10 << ε то часть полученного дохода обозначается через I= ,Yε и называется величиной инвестицией, а другая часть обозначается, через YC )1( ε−= и называется потреблением. Кроме того, определенная часть общего дохода страны, которая должна идти на государственные закупки G. К общим доходам необходимо прибавить величину чистого экспорта – Nх. Таким образом, имеем следующее уравнение баланса распределения материальных благ [ ]1 :
у = С+I+G+N Х . (1.2) Необходимо так же отметить, что величина потребления зависит от располагаемого дохода, то есть С = С(y-Т). Здесь Т величина налогов, которые идут на выплаты по социальному обеспечению бедным, и платежи социального страхования пожилым и т.д. Для построения уравнения математической экономики воспользуемся модельным производством (1.1) и балансовым уравнением (1.2).
Пусть имеют место условия: 1). Все экономические функции и параметры зависят от τ
совокупности параметров (t, r, e, x,…), где t- время, r-реальная ставка процента, e- курс внешнего обмена, x-пространственная переменная, x=(x1,x2,...xn)∈R, R-сумма регионов.
2). Темпы производства определяются темпами распределения:
ττ ddy
ddY = .
6
6
1. Уравнение капитала. Пусть Κ=Κ(τ) величина капитала (орудия производства, используется работниками, денежные ресурсы ) при значении параметра τ равное τ, Κ(τ+∆ τ) при τ=τ+∆ τ. Тогда ∆Κ=Κ(τ+∆τ)-Κ(τ) означает прирост капитала за промежуток параметров ∆τ. Следовательно, ∆Κ= I ∆τ и отсюда, с учетом (1.1) получаем уравнение капитала
),( Lf
dd
ΚΑ=Κ ετ
, (1.3)
при чем здесь обозначено
)(i
ii
i
i i xD
xidtde
edtdx
xdtdr
rtdd
∂∂
⋅∂∂
−⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
+∂∂
= ∑∑⋅τ
,
Например, если ,t=τ то мы получим классическое уравнение капитала
[ ]2 : ),,( Lfdtd
ΚΑ=Κ ε и если ),,( rt=τ то имеем уравнение капитала в
следующем виде: .),,( 00 dt
drLfrt
=ΚΑ=∂Κ∂
+∂Κ∂ γεγ
2. Уравнения трудовых ресурсов. Труд- это время, которое люди посвящают себя работе, то есть количество отработанных, работниками часов. В настоящее время в модельной экономике для определения
параметра труда используется модель: ,LdtdL δ= где δ - является темпом
роста населения. Ясно, что в рамках данной модели многие важные факторы как образованность, возраст, пол, национальность не учитываются. В связи с этим мы будем предполагать, что труд определяется в виде функционала трудовых ресурсов[3-4]: ∫∫= R
aa dxdataxNtaxtL ,),,(),,()( max
min ϕ (1.4) Здесь ),,( taxϕϕ = является потенциальной функцией трудящихся, N=N (x, a, t) - численность трудящихся в точке x∈R, возраста а, 0<a<∞ , в момент времени t; maxmin,αα - соответственно минимальный и максимальный возраст трудящихся, работающих в сфере производства. Как показано в работах [ ]6,5 , функция N=N (x, a, t) является решением следующей задачи: ktax ttataNFN <<∞<<=∂ 0,0),,,( ,
,,,00/ RXNN t ∈= ∞= (1.5) ∫∞= 0 ,),,(),0,( ξξ dtNtxN .0/ =sN Здесь )(),( •• BF - соответственно функции смертности и рождаемости
трудового населения, ∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Χ∂∂
Χ∂∂
−Χ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂i i
iii
itax Dt
)(να
, S-
7
7
граница области R; R=∑ −− ыйiRR ii , регион. Потенциальная функция трудящихся, ),,( taxϕϕ = является решением сопряженной к (1.5) задачи[3]-[11]. В упомянутых работах показано, что функция труда,
определяемая с помощью (1.4) удовлетворяет уравнение, ,LddL δτ= где
темпы роста населения δ являются решением следующего так называемого уравнения выживаемости:
∫∞
− =ο
δ 1)( daeaB a
(1.6)
Здесь ∫−
Β=Β
αξξ
0)(0
0 )()(dF
eaa - является функцией выживаемости, )(0 αΒ - коэффициент рождаемости, )(0 aF - коэффициент смертности, 0<a<∞ . Уравнение (1.6) имеет один максимальный вещественный корень
max0 δδ = и счетное число комплексно-сопряженных корней ,iii iβαδ ±= i=1,2 … . Для максимального корня max0 δδ = имеет место
>0,если h =∑∞
>Β0
,1)( daa
=maxδ 0, если h=1, <0, если h<1, где h-называется потенциалом трудовых ресурсов. Следовательно
∑∞
==
0)(
i
iti ectL δ .
3. Уравнение уровень производительности технологии (Мера текущего уровня технологии). Так как
ττττ ddL
LfAK
dkdfAf
ddA
ddY
⋅∂∂
+∂∂⋅+= , и (1.7)
τττττ d
dNddG
ddI
ddC
ddy x+++= , то
с учетом ),(τττ d
drddy
dydC
ddC
−= τε
τε
τ ddy
ddy
ddI
+= , из (1.7) имеем:
1)1( −−−+⋅∂∂
−⋅∂∂
−= MPCyA
ddL
Lf
fA
ddk
kf
fA
ddA ε
τττu ,
где u= - .3210 uyuuuMPCddy
ddN
dIdG
ddTMPC x ⋅+++−=+++
τε
ττ , MPC=
dydC .
Отсюда, с учетом уравнения (1.3),(1.4) и значения параметров МРК, 1-α имеем:
8
8
,2 Α+Α−= в
ddA ατ
(1.8)
где uMPCy
вМРК ⋅−−=−⋅+⋅= −1)1(1),1( εαδεα .
Таким образом, уравнения для капитала, труда, производительности технического прогресса имеют следующий вид:
,),,( 00/ Κ=ΚΚΑ=Κ
=τετ
Lfdd
,, 00/ LLLddL
== =τδτ
I=⎦Y, C=(1-⎦)Y, (1.9)
00/2 , Α=ΑΑ+Α−=
Α=τα
τв
dd ,
),(,,)1( 00/1 LKfYyyuMPC
ddy
Α==−−= =−
τετ
,
где δ - является решением (1.6). К уравнению (1.9) необходимо добавить еще и уравнения:
3210 ,,, uddu
ddN
uddGu
ddT x ====
τε
τττ. (1.10)
Правые части уравнения (1.10) являются темпами роста величин (T, G, Nx,ε ). Их необходимо определить из условия максимизации некоторых экономических критерий (или из условия минимизации функционала стоимости и т.д.): max y(u0,u1,u2,u3).
В системе (1.9),(1.10) принято следующее обозначение:
∑=
∑= ∂
∂∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=2
1
2
110 )(
i i ii
iii x
Dxex
vrtd
d γγτ
.
Затем, что если ,1 ε−=MPC то 00)1( ==−−=ττ
εddy
ddyMPCu при любой
.0≠τd
dy Это означает, что, если MPC−=1ε , то есть
xNGCIyyy +++=−+= )1( εε , и баланс экономики 03210 =⋅+++⋅−= uyuuuMPCu получается только за счет выбора темпов
изменения налогов, темпов государственных закупок и чистого экспорта, а так же темпа доли дохода идущего на капиталовложения. Если же
,1 MPC−<ε то происходит увеличение или уменьшение национального дохода в зависимости от знака функции u. В зависимости от совокупности значений параметра τ = (t, r, e, x,…) система уравнения (1.9)-(1.10) преобразуется либо в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, либо в системе уравнений в частных производных. Например, если t=τ , то получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка:
9
9
00 )0(,,)0(),,( LLL
dtdLKKLKAf
dtdK
==== δε ,
0
2 )0(, AAAAdtdA
=+−= βα , (1.11)
[ ] 032101 )0(,)()1( yyyuuuuMPCMPC
dtdy
=+++−−−= −ε ,
3210 ,,, udtdu
dtdN
udt
dGudtdT x ====
ε .
§2 . Модельные производства и соответствующие экономические
системы. Определения оптимальных производств и систем Под производством мы будем понимать систему элементов (основные
и оборотные, информационные и трудовые ресурсы) в результате совместного функционирования которых «капитал и труд» преобразуются в конечный продукт (или национальный доход). Преобразование, которое осуществляет этот, переход называется производственной функцией и обозначается через Y=f(K, L), где K-размер капитала (основные фонды), L -функционал трудовых ресурсов, который зависит от потенциала трудовых ресурсов, образованности, работоспособности, пола и возраста, а также числа трудящихся. В настоящее время во всем мире различают три типа модельного производства.
a). Производства типа Кобба - Дугласса α)(0
0 KKYY = , α−1
0)(
LL , где Y0 –
количество производимых продукции (национальный доход) при соответствующем капитале K0 и трудового ресурса L0 . b). Производства с эластическим замещениемCES( функция Соллоу):
0,10,]))(1()([1
000 ><<−+=
−−− ρααα ρρρ
LL
KKYY .
c). Производства с постоянной пропорцией (СР) : ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=00
0 ,minLL
KKYY .
d). Общее модельное производство с постоянной эластичностью замещения. В наших работах нами было предложено следующее модельное производство так называемое производство типа µ - (мью): Υ =ƒ ),( LK ,
ƒ =),( LK ƒ0
p
snn
pnsn
p
LL
KK
1
0
/(
0
)1(
−−
−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−αα
, (2.1)
где n-натуральное число больше s≥1, ρ=ρ0s, 0<ρ0<∞. Введя обозначения 0
0
),()(ρ
αµ−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
fLKf ,
0
0
ρ−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
KKX ,
0
0
ρ−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
LLY имеем:
10
10
sn
sn
ssnn
s YX
1
1)(⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
−αααµ , 0<α <1, (2.1’)
Известно, что все типы производства, т.е. производственные функции должны удовлетворять следующим условиям: 1). ],[],[),( max0max0
2 LLKKCLKf ×∈ , т.е. входные переменные плавно меняютcя и результат деятельности производства - национальный доход достаточно гладко меняется при изменении количества используемых ресурсов. Это естественно при прогнозировании больших систем, например, экономика страны. 2). f(0,L)=0, f(K,0)=0, т.е. при отсутствии хотя бы одного
производственного ресурса производство невозможно. 3). 0),(>
∂∂
KLKf ,
0),(>
∂∂
LLKf при К>0 и L>0. Это означает, что рост используемого
количества основных фондов и рост числа трудящихся приводит к росту
национального дохода. 4). ,02
2≤
∂
∂
Kf ,0
2
2≤
∂
∂
Lf т.е. в условиях чистого
экономического роста производства (без технического прогресса) увеличение затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению эффективности его использования. 5). ),(),( LKfLKf >λλ при
1>λ или ( ) ( )LKfLKf m ,, λλλ > при 1>λ и 1≥m . Это условие предусматривает, что при пропорциональном росте количества используемых ресурсов происходит пропорциональный рост производимой продукции или национального дохода. Заметим, что все приведенные выше функции подчиняются этим условиям.
1.Основные параметры производства. Основными параметрами
производства являются: К – размер капитала в момент времени t, т.е. K=K(t);
L=L(t) –функционал трудового ресурса, dLdK
=γ предельная норма
замещения, LKd
LKd/
)/( γγ
σ ⋅= эластичности замещения ресурсов,
,Kf
fKEk ∂
∂=
Lf
fLEL ∂∂
= - коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам,
,Kf
k =φ Lf
L =φ средние фондоотдачи. Заметим, что например γ показывает
сколько основных фондов может быть освобождено при увеличении затраты труда на единицу и наоборот для сохранения национального дохода на
11
11
прежнем уровне f(K, L)=fс. Параметр σ определяет скорость изменения предельной нормы замещения ресурсов. Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам EK, EL показывают, на сколько процентов изменится производство национального дохода при изменении затрат соответствующего ресурса производства на один процент. Следует отметить, что если ввести понятие фондовооруженность ϑ=K/ L в производстве, то имеем: y=F(ϑ), где y=Y/Y0 , F(ϑ)=f(ϑ,1), причем F`(ϑ)>0, F``(ϑ)<0.
2. Определения экономических параметров общего модельного производства µ - (мью). Следует отметить, что приведенные выше модельные производства являются частными в случае данного производства. Из производственной функции (2.1) при n→∞ или 0→ρ следует функция CES, которая является более общей, чем функции Кобба-Дугласса и функция с постоянной пропорцией. Таким образом, из производственной функции (2.1) следуют все известные производственные функции. Вычислим параметры производства. Легко видеть, что ( для простоты положена 1=s )
ρρ
ααγ
+−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
1
0
0
11
,)1(LK
LKn
nnn
,
т.е нормой замещения является функция фондоворуженности, и,
следовательно, .
)1(
11
0
01
1
ρ
γ
α
αϑ
+
−− ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−==LK
LK
nn
nn
Значения эластичности замещения σ определяются следующим образом:
ρσ
+=
11 . Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам определяются
соответственно по формулам:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=−
−
−−
−
ρρ
ρ
αα
α
0
1
10
0
1LL
KK
KK
En
n
nn
K
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−−
−−−
−
−ρρρ
ααα0
1
1
00
1
1 11LL
KK
LLE
nn
nnn
n
nn
L
12
12
и
1)/()/(
)1(,)/()/(
0
01
1
0
0
=+
−==−
−
LK
nn
nn
LK
EELLff
EKKff
Eρ
ρ
ρ
ραα
.
Рассмотрим, предложенные нами производства (2.1) при ρ→0 и ρ→∞.Так как F(K)=f(K,1), то необходимо найти предел
AKKY n
nnn
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
−−−−
ρρ αα
11
1
00 )1()(lim .
Легко видеть, что ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
−−− n
nnn
KKYA
11
00 )1()(ln1lnln αα
ρρ , и,
следовательно, 00
lnlimKKA α
ρ=
→ т.е. α)(
00 ККYf = , n→∝.
Поскольку F (K) однозначно определяет функцию f (K ,L),мы получили утверждение о том, что функция Кобба – Дугласса при ρ→0 (и n→∞) является частной в случае с нашей функцией. Аналогично, при ρ→∞ ( и n→∞) имеем
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥=
∞→ 00
0
00
KK при ,
KK при lim
KKY
YA
ρ ,или 1,min)(0
0 KKYKF = , и, следовательно
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅==0
00
0
0
0
0
00 min1,min1,min),(
KL
LKY
KL
LK
LY
LKKLYLKf , т.е.
получили функцию с постоянной пропорцией. Определим, предельные значения экономических параметров
При ρ→0: 1,)1(1
1=
−−=
−−
σα
αγLKn
nnn
,
nn
nn
nn
nn
Ln
nnnK EE
11
11
11 )1(
)1( ,)1(
−−
−−
−− −+
−=
−+
=
αα
α
αα
α .
При ρ→∞: ⎩⎨⎧
<=>∞−
=LK
LK при 0
0),( σγ ,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+
<>
=−
− LK
E
nn
nn
K
при ])1(/[
LK при 0LK при 1
11ααα
,
13
13
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+−
<>
=−
−−
− L
E
nn
nn
nn
nn
L
K при ])1([)1(
LK при 1LK при 0
11
11 ααα
.
4. Наилучшее модельное производство. Легко видеть, что выше причисленные производственные функции Кобба – Дугласс, CES (Соллоу), с постоянной пропорцией (СР) ни по одному параметру не оптимизируются, т.е. состояние соответствующих производств в данном классе исходных функции и параметров невозможно улучшать. Предложенная нами функция (2.1) по параметру α, 0<α<1, параметр – степени использования трудовых ресурсов оптимизируется. Легко видеть, что ( для простоты положена 1=s )
0=αd
dY при
nn
nn
n
LL
KK
KK
1
00
0
)()(
)(−
−−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=∗
ρρ
ρ
α и, 02
2<
∗=αααdYd
т.е. имеет место, ),(max10
αα
YY<<
∗ = подставляя α=α* в формуле (2.1)
получим:
nnn
LL
KKYY
ρρρ
1
000 )()(
−−−∗
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= (2.5)
Модельное производство типа (4.5) назовем наилучшим модельным производством, а соответствующую экономическую систему (K, L,C) связанную с производством (4.5) наилучшей экономической системой [17-19].
4. Модель основных ресурсов. Следуя работам [ 1,2 ], [ 3,9,14 ] напишем общую экономическую модель для определения величины основных производственных ресурсов K=K(t), L=L(t) и потребления C=C(t):
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∫ ≤≤=
−===
max
min
0
,0),,(),()(
).,()1()(,)(),,(
a
aktttaNtatL
LKftCKOKLKfdtdK
ϕ
εε
(2.1)
Здесь ε-доля национального дохода Y=f(K,L) идущая на процесс производства, amin, amax -минимальные и максимальные возрасты
14
14
трудящихся, ϕ(a,t) - потенциальная функция трудящихся определяется как решение следующей задачи
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
<≤++=∂∂
+∂∂
∞= ,0,0
0),(),(),(),(),(
akt
ktttftotaBtataAatϕϕ
ϕϕϕϕ
(2.2)
а А(.), В(.), f(.) - заданные функции, N=N(a,t) - численность трудящихся возраста α в момент времени t:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∫=
∞<≤=
∞≤<∞<<=∂∂
+∂∂
∞
0
0
),),,((),0(
,0),()0,(
0,0),,,(
datataNBtN
aaNaN
tataNFaN
tN
, (4.3)
где ( ) ( ) ( )BNF ,, 0 - заданные функции своих аргументов, причем F(.) - означает функцию смертности трудящихся, а B(.) функцию их рождаемости, N0(a) - начальную численность трудящихся. Решая задачи (2.2) и (2.3) находим функции ϕ=ϕ (a,t) и N=N(a,t), а затем определим функционал трудовых ресурсов L=L(t). При известном виде производства Y=f(K,L) из задачи (1) определим динамику размера основных фондов, т.е. величину капитала K=K(t), 0 ≤ t ≤ tk, и размер потребления C=C(t) в любом моменте времени.
Определение. Экономическую систему, связанную с производством Y=f(K,L), назовем системой состоящей из следующих элементов: (K (t), L (t), С(t)), где C=C (t), K=K (t), L=L (t) являются решением системы (2.1).
5. Наилучшие экономические системы. Триаду (K*(t), L*(t),
C*(t))⎪y =y*, 0≤t≤tk, где решение (1) с производственной функцией f(K,L)= y* и
потреблением C*(t)=(1-ε )y* назовем наилучшей экономической системой.
Так как
nn
nn
n
LL
1
00
0)(
−
−−
−
∗
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΚΚ
ΚΚ
=ρρ
ρ
α и
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΚΚ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
−−−−
∗nnn
nn
LL
LL
ρρρ
α000
1 /1 , то
соответствующие экономические параметры, для оптимального производства (4.5), представляются в виде:
15
15
γ = - nn
LK
LK ρρ +−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 1
0
0 , LK = ,
11
0
0nn
LK ρρ
γ+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
,1
1nρ
σ+
= ,0
*
0
nn
K yy
KKE
ρρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
,0
*
0
pnn
L yy
LLE ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−ρ
1=+ LK EE
Находим предельные значения параметров: При 0→ρ : −=γLK , ,1=σ
EK=1, EL=1. При :∞→ρ ,, 0
0,0
0,1⎪⎩
⎪⎨⎧
>∞=<
=KKE
KK
KKK ,
*
KyK =
0
00 K
yK = 0K
,, 0
0,0
0,1⎪⎩
⎪⎨⎧
>∞=<
=LLE
LL
LLL ,
*
0LyL =
0
00 L
yL = , ,0,0
LприKLприK>−∞
=<= σγ nn 1
*
21lim
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=α .
Из полученных результатов также следует, что для функций Кобба-Дуглас, СЕS, и с постоянной пропорцией, не существуют наилучшие состояния.
Замечание. Если ввести обозначение ρρρ −−−∗
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Υ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΚΚ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ΥΥ
=000
,LLXZ , то из (4.4)-(4.5) получим
уравнение Ферма[17]: Xn+ Yn= Zn, все решения которого можно записать в
параметрическом виде ( )nn tzytzx11
1, −== , где ]1,0[, ∈tz любые числа. Они при n>2 не являются, целимы положительными числами. Доказательство проведем от противного. Пусть при n>2 при некотором
значении t из (0,1) ( ) zиtzytzx nn ,1,11
−== являются целыми положительными
числами, т.е. произведение целого z на nt1
и nt1
)1( − являются целыми числами. Рассмотрим случаи четности и нечетности z. При нечетном z величины x,y
еще и будут четными, если z заканчивается 5 и дробей nt1
и nt1
)1( − , то являются четными числами. Тогда x,y и nn yx , и nynx + являются также целыми четными числами, что противоречит нечетности z. Пусть теперь z
является четным числом, тогда величины x,y будут целимы, если дробей nt1
16
16
и nt1
)1( − заканчиваются только на 5. Следовательно, nn yx , и nynx + и nz являются четными числами и можно осуществить операцию сокращению в
nznynx =+ , где, ( )nn tzytzx11
1, −== т.е. nznynx ''' =+ , и в этом случае nn tztz11
)1(',' − не будут целимы числами, т.е.получим противоречий.
6). Общие модельные производства. Рассмотрим множество
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
∑=
=∈≤≤=−== ,1
,1,,1)(0,1)(:))(),...,(1(m
jmjTttjtsn
n
jtmtAsn ααααα
где m,n,s- натуральные числа, Tmssn ,2,1, ≥≥> является произвольное
множество из [ ),0 ∞ . Пусть snAA =∈α и ∞<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∫ ∑=∈
=
n
T
m
j
n
jTnmL
nm dtxxTLx
1
1)(),( .
Введем функционалы типа
n
Tdt
sn
sjx
m
j j
1
1)(
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛∑=
= ααµ (2.6)
для любого A∈α и фиксированного )(TLx nm∈ . Множество функционалов типа
(2.6) с нормой )(sup αµµAx∈
= является нормированным пространством. Его обозначим через М. Введя обозначение KxY = , где К - диагональная матрица с элементами s
j1
α получим нормированное пространство M(α) с нормой,
,
1
1)( ∞<
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛∑=
=
n
Tdt
sn
m
j
sjYαµ где ).()(, αµ=Tsn
mLY Пространство )(αM назовем
информационным пространством, nsAA =∈
~α .
Теорема 1. При ,)(0,
1)(
)()(0 At
nsn
m
j
ntjx
tjxtj
n
∈
−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∑=
= αα функционал (2.6)
принимает своего максимального значения )(Tn
mLxZ == µ , ,
)(, ZYTss
mL≤
,)(1, ZY
TnmL
≤ и более того все точки максимума функционала (4.6) соответствующие различным )(TLx n
m∈ являются решением уравнения
17
17
∑=
=m
jnZn
jX1
, где, .,1,
1
mjn
Tdt
njxjX =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫= Кроме того, )(αMM ⊆
любого A∈α . Если в информационном пространстве )(αM ввести следующую норму
n
Ttd
njx
m
jj
1
)()(~1 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫ ∑=
=βαµ , (2.6’)
где ∫= tjj dttt 0 )()( αβ , тогда получим уравнение ∑ =
=
m
j
nnj Zx
1)(~)(~ αα для любого
A~∈α .
Здесь принято обозначение )(~)(~,
1
)()(~ αµαβα =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫= Z
n
Ttd
njxjx j . Это
пространство обозначим через )(~ αmM , а пространство точек )1,...,( mxx с расстоянием Z обозначим через mM . Очевидно AMM mm ~),( ∈⊆ αα . Теорема 2. Пусть )(tαα = некоторая заданная функция из A~ . Тогда
между точками информационных пространств 1m)(~и)(~ +
αα MMm
существуют следующие зависимости [2]:
⎪⎩⎪⎨⎧
==
=
+++
−=+
,212211
1...2,1,121~~~,~~~
,~~
mmmmm
mjjmjm
ZZZZxx
xxx (2.7)
где 222,12~,~~ Zxx является некоторым уравнением nnn Zxx 22212
~~~ =+ . Для каждого A~∈α , преобразование (2.6) образует группу преобразования, которая
устанавливает связь между информационными пространствами различных измерений.
Теорема 3. Пусть )~,~,...,~,~( 21 zxxxu m= характеризирует плотность некоторого информационного “потока” (или субстанции, или движущегося объекта), LLj , - некоторые операторы, осуществляющие изменения этого “потока” по направлениям z~ и~
jx , тогда
∑ ==
m
j
nnj LuuL
1)()(
(2.8)
является общим уравнением информационного “потока”. Здесь n
m
j
nj
mm xzMxx
1
11 )~(~,~)~,...,~( ∑=∈
=. В случае, когда 1,,~ ≥
∂
∂=
∂
∂= k
zL
xL k
k
kj
k
j имеет
место, =)~,~,...,~( 1 zxxu m ,!
~
!
~)~,~,...,~(
111 k
zckxczxxP
kklm
jjmk +∑+=
=− где ∑ =
=
m
j
nnj cc
1 или
=)~,~,...,~( 1 zxxu m ,~),~,...,~(2
10
2
11n
km
j
nnkjmk tcxtxxP
+
=
+
− ∑ ++=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∑ =∈=
m
j
njmm tcxtxxtxxx
1
20
2121
~:),~,...,~(),~,...,~,~( ,
)(,0 10 ⋅> −kPc является полиномом k-1-ой степени.
18
18
Следствие. Между процессами и информационными изменениями различных информационных пространств существуют определенные связи и обмен информацией, при чем все эти связи и процессы в информационных пространствах различных измерений зависят только от независимого от других множества точек плоскости )~,~( 2112 xx с расстоянием n nn xxZ 21122
~~~ += . Точки этой плоскости, преобразование (4.7), уравнение (4.8) устанавливают эти связи и протекающие процессы в этих пространствах. Эта плоскость особого типа над этими всеми пространствами с помощью точек, которой управляются все процессы, протекающие в этих мирах. Множество
2~M является предписанным множеством и задается Создателем. В этих пространствах перемещения происходят с огромными скоростями. Замечание. Функционалы (2.6’) или (2.6) также характеризуют общее количество продуктов производимых согласно модельного производства мю (см.[3-7]). Действительно, рассмотрим частный случай, m=2, тогда
ρρ
αα
1
T 000 1)(),(
−
−−−−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+= dt
LL
kkAfLkf
snn
snn
p
означает общее количество продуктов порождаемых капиталом )(tkk = и рабочей силой )(tLL − . Здесь ρ,,,, 000 LKAf - заданные положительные числа, ∞<< ρ0 . Пусть s0ρρ −= , где ∞<< 00 ρ , s - натуральные числа,
тогда введя, 000 )),(()(,)(,)(00
20
1ρρρ αµ −−− ===
AfLkf
LLx
kkx получим функционал
типа (2.6’) или (2.6) . Эти функционалы также характеризуют межгосударственные взаимодействия.
7). Методе решения нелинейных уравнений.
Рассмотрим следующие уравнения:
,...3,2 , )()(
1
==∑=
mLuuL nm
i
ni M, M<∞, (2.9)
и уравнение
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<=== ∑∑=
−=
=∈
m
ii
snn
i
m
iii
DDuLLu
11
110,1,max ααα
α (2.90)
Здесь n>s – натуральное число, s>1, Li, L – некоторые дифференциальные операторы, mi ,1= , m>1; ),,...,( 1 zxxuu n= - неизвестная функция,
GGzxx n ,),,...,( 1 ∈ - некоторая заданная область из En+1 . Легко видеть, что уравнения (2.9) и (2.90) являются эквивалентными. Введем определение.
Определение 1. Операторы Li , mi ,1= , L назовем элементарными (или разрешающими) дифференциальными операторами, если при некоторых заданных числах Ci , mi ,1= и C переопределенная система Liu = Ci , Lu =C
19
19
разрешима и имеет явное решение, где Ci = Ci(m,n), i=1,…,m; C=C(m,n). Например, все операторы типа
,..., ,
, , , ,
211
p
p
ki
ki
k
i
p
p
ki
k
ii
i
zuLu
xxuuL
zuLu
xuuL
zuLu
xuuL
∂∂
=∂∂
∂=
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
+
и некоторые их линейные комбинации относятся к элементарным дифференциальным операторам, где k, k1, k2, p - натуральные числа. Наряду с дифференциальными уравнениями (2.9) рассмотрим следующие алгебраические уравнения:
,2...,3,2,
1
≥==∑=
nmZXm
i
nni ( i
m
iDXZ ∑
=∈
=1
max αα
), (2.10)
где mimi ZZXX == , , i=1,…,m являются неизвестными величинами. Задачи нахождения решения уравнения (2.10) эквивалентны задаче максимизации общей производственной функции [2]:
∑∑ ==<<== −
m
i iiiim
inn
x11
.10,1 ,)( 1 ααααµ Например, если m=2 соответствующая производственная функция
определяется следующим образом: 10 ,1)(
1
1 <<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−
− ααααµ yxn
n
nn
.
Здесь ,),()( , , 000
ρρρ
αµ−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
fLKf
LLy
KKx K- величина капитала, L -
рабочая сила, K0 ,L0 , f0 - заданные положительные числа, 0<ρ<∞. Легко видеть, что из условия maxµ(α) следует уравнение xn+yn=zn. Как показано в работах ([2]- [8]) все его решения записываются в виде:
, , 1 1;-m1,...,i, 1
1
11
1
1
111
nn
nn
im
in
mnin
i vzvxvx =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=== −
−
=− ∑ αα 0<v<∞ (2.11)
Так как 1< , 21<
−nn то n>2, и уравнение 1
1
1 =∑=
−m
i
nn
iα является иррациональным
для всех натуральных чисел n больше 2. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Для любого натурального n≥2, между двумя наборами
решений соседних по m уравнениям (2.10) (т.е. при m=k-1 и m= k) имеют место соотношения:
11
, , 111
,k-izZZyZXxXX KKKKKiKik
=
=== −−− , (2.12)
где k=2,3… , a (x,y,z) является некоторым решением уравнения xn+ yn= zn.
20
20
Доказательство. Пусть (Xik-1,…Xk-1, Zk-1) является решением (2.10) при m=k-1. Покажем, что (Xik ,…Xkk,Zk) (см. (4.11)) полученное с помощью (4.12)
также является решением (2.10) при m=k. Так как ,1
1
11
nk
k
i
nik ZX −
−
=− =∑ то- умножим
обе части последнего тождества на xn , имеем:
∑−
=−− =
1
111
k
i
nk
nnik
n ZxXx . Отсюда ∑−
=−− −=
1
111 )()(
k
i
nk
nnnik ZyzxX , и
следовательно, используя (2.12) получим уравнения (2.10) при m=k Аналогично, если (Xik…Xkk,Zk ) является решением (2.10) при m=k, то непосредственной проверкой можно убедится, что (Xik-1…Xk-1k-1,Zk-1) является решением (4.10) при m=k-1. Теорема доказана.
Определение 2. Уравнение xn+ yn= zn, при n≥2 назовем базисным уравнением для уравнений (2), а его решение (x,y,z) базисным решением для определения решений уравнений (2).
Например, при n=2 базисным решением могут быть числа x=3, y=4, z=5. тогда с помощью алгоритма (2.12) компьютерные решения уравнений (4.10) определяются следующим образом:
m=2 m=3 m=4 m=5 X=3 Y=4 Z=5
x1=9 x2=12 x3=20 z=25
x1=27 x2=36 x3=60
x4=100 z=125
x1=81 x2=108 x3=180 x4=300 x5=500 z=625
… , m=10 X1=19683; x2=26244; x3=43740; x4=72900; x5=121500; x6=202500; X7=337500; x8=562500; x9=937500; x10=1562500; z=19531125
… . Теперь рассмотрим случай n≥3. Соответствующие базисные решения
определяются в виде (2.10). Зададим значения )1,0(∈α и v определим соответствующие базисные решения. Приведем некоторые из них:
1. n=3, v1/3=9 , α=0.5 m=2; x1=6.363961, x2=7.781919, z=9. m=3 , x1=40.5, x2=49.52383, x3=70.03728, z=81. m=4 ; x1=257.7404, x2=315.1678, x3=445.7145, x4=630.3354, z=729. m=5 ; x1=1640.25, x2=2005.715, x3=2836.51, x4=630.3354, x5=56173.02, z=6561. m=7; x1=66430.14, x2=81231.48, x3=114878.6, x4=164462.9, x5=229757.3, x6=324925.9, x7=459514.6 , z=531441.
21
21
2. n=5 , v1/5=5 , α=0.5 , m=2, x1=4.204482, x2=4.483203, z=5, m=3, x1=17.67767, x2=18.84955, x3=22.41602, z=25.
3. n=10 , v1/10=5 , α=0.5 m=2, x1=4.629374, x2=4.698644, z=5. m=3 , x1=21.4311, x2=21.75178, x3=23.49322, z=25.
4. n=15 , m=2 , v1/15=100 , α=0.1 x1=84.834429, x2=99.41074, z=100.
Теперь будем решать нелинейные дифференциальные уравнения (2.9) на примере уравнений (см. приложение 1,2):
∑=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂m
i
nn
i zu
xu
1
,
или ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<<==∂∂
=∂∂ ∑∑
=
−=
=∈
m
ii
nn
ii
m
ii
DD
xu
zu
1
11
1
10,1,max αααα
(2.13)
Напишем соответствующую переопределенную систему для (4.13): , ,,1 , C
zumiC
xu
ii
=∂∂
==∂∂ (2.14)
где Ci , C являются решениями уравнения (4.10) и зависят только от m и n. Тогда для каждого i=1,…,m последовательно решая уравнения (4.14) легко видеть, что решения вида: 1). u(x1,x2,z)=u0+3 x1+4 x2+5z, (m=2). 2) u(x1,x2,x3,z)=u0+9 x1+12 x2+20x3+25z,(m=3). 3) u(x1,…,x5,z)=u0+81x1+108x2+180x3+300x4+500x5+625z, (m=5), n=2, решение u(x1,x2,z)=u0+31.62278 x1+98.93459 x2+100z ,…, m=2, при n=3, решение u(x1,x2,z)=u0+3 x1+8.9928 x2+9z,..., m=2 при n=5, u решение u(x1,x2,z)=u0+5x1+7.992694x2+8z,…, m=2, при n=10 удовлетворяют уравнению (4.13), где u0=u при (x1,x2,…xm,z)=0. Таким образом, общее решение имеет вид: u(x1,x2,…xm , z)= u0 + CzxCm
i ii +∑ =1, где Ci = Ci(m,n),
i=1,…,m; C=C(m,n). Как видно все полученные решения уравнений (2.13) содержат неизвестную величину u0, и она обычно определяется из условия Коши. Но во многих практически важных задачах (экологических, задачах физики элементарных частиц и др.) начальное состояние определять иногда практически невозможно. В связи с этим были предложены исследования так называемые задач с функциональным (начальным) условием. Для уравнений (4.13) это условие можно задать в виде: ,),(),(u 0z)(x, ∫==
G
dxdzzxuzxφ GGdxzxuzxG
∈= ∫= 00x ,),(),(u0
φ (2.15)
где ),( txφ - некоторый характерный закон распределения, с помощью которого порождается значение u0 . Например, в теории биологических популяций в качестве этого закона обычно берут функцию рождаемости.
22
22
Теорема 2. Пусть G = (x1, x2,…xm,z): zxm
i i =∑ =1 , тогда функция
u(x1,x2,…xm, z)= u0 + nnm
i i zx /11/11
1+
+
=+∑ (2.16)
является общим решением уравнения (2.13). Теорема доказывается непосредственной проверкой. Значение u0 определяется из условия (2.15). При n=1 функция u(x1,x2,…xm, z)= u0 + 22
1zxm
i i +∑ =, а при n→∞ функция
u(x1,x2,…xm, z) → u0 + zxm
i i +∑ =1. Следует отметить, что все перечисленные
выше решения (4.13) на множестве G относятся к решениям типа (4.16). Теперь рассмотрим уравнение с переменными коэффициентами:
,)(
1)(
11
nm
i
n
iii zu
zaxu
xa∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
где ai(xi), a(z) являются заданными функциями своих аргументов и они могут обращаться в нуль, например, 0 ,)()( 0 >−= ααi
iii xxxa , при некоторых i или 0 ,)()( 0 >−= ββzzza Легко видеть, что решение выше написанного уравнения
представляется в виде
∫ ∫ ∫ ∫+++++=1 2
0 0 0 0221101 ,)()(...)()(),...(x x x z
nnmn daCdaCdaCdaCuzxxu ξξξξξξξξ
где Ci, C являются решением (2.10) при некотором m, ,2≥n константа u0 определяется из условия (2.15). Рассмотрим теперь уравнение
nm
ik
kn
ki
k
zu
xu∑
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
1,
где m>1, n>1, k=1,2,3… натуральные числа. Легко видеть, что его общее решение представляется в виде
( ) !1
!2121 ,,...,,),,...,( kz
m
ikx
immkk
i cczxxxzxxxu ++= ∑=
ϕ , -∞<xi<∞ , ∞<z<∞ , или
( ) !!,,...,,),,...,(11
12121 kzkxzxxxzxxxu nn
km
i
kimm
+
=
+ ++= ∑ϕ на G: zxm
ii =∑
=1
, -∞<xi<∞ ,
∞<z<∞ , где ),,...,( 21 zxxx mϕ - является произвольным многочленом степени k-1 относительно xi, z, коэффициенты которого можно определить с помощью начальных и граничных условий. Например, при m=2, k=2 задавая условия
),(),0,0( 2110
00
xxuzuuu
zz=
∂∂
===
, для функции ),,( 21 zxxϕ имеем :
( ) .)0,0()0,0(0,0)0,0()0,0()0,0()0,0()0,0(),,( 2121
12
2121
02
22
12
1
12
2
01
1
01021 zxx
xxuxx
xxuzx
xuzx
xux
xux
xuzuuzxx
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂++=ϕ
23
23
Следствие. Решения рассмотренных уравнений c постоянными коэффициентами являются полиномами степени, которых равны соответствующим степеням старших производных в рассмотренных уравнениях. При этом коэффициенты при старших степенях удовлетворяют уравнения (2.10), а остальные определяются из начальных и граничных условий.
Заметим, что переопределенная система Liu = Ci , Lu =C, где Ci = Ci(m,n,x1,…xm,z,u), i=1,…,m; C=C(m,n, x1,…xm,z,u) задает класс решений в рассмотренных уравнениях. Аналогично, можно решить и другие нелинейные дифференциальные уравнения, например:
nm
ip
pn
ki
k
ii zu
zaxu
xar∑
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
1 )(1
)( , r= ∑=
m
iix
1
2 ,
nm
ip
pn
ki
ki
k
ii zu
zaxxu
xar∑
= +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
1 1 )(1
)( 21 ,
nm
ip
pn
ii
i
ii zu
zaxu
xar∑
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
1 )(1
)( при некоторых натуральных
k,k1,k2,p, причем k1+k2=k, n≥2. Коэффициенты ai(xi), a(z) могут иметь особенности любого порядка. Заметим, что при решении последних уравнений помимо условия (2.15) требуются дополнительные условия
(например, условия на производных: jxji
j
ixu
00 ϕ=∂∂
= , j=1,…k-1 и условие (2.15)
или условие Коши для первого уравнения). Кроме того, при решении многих практических задач область G следует брать в виде: G=x=(x1,x2…,xm,z):
Mmzxm
ii ...3,2,
1
22 ==∑=
; -∞<x<∞ , которая является множество дискретных
точек определяемая с помощью вышеизложенного алгоритма.
§ 3. Наилучшие модельные производства и экономические системы в классе производств Кобба-Дугласа
Как известно, модельное производство Кобба Дугласа имеет вид:
),,( LKfAY = (3.1)
где 2
0
1
00),(
αα
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
LL
KKfLKf , где А-уровень технологии, К-величина
капитала, L-величина трудового ресурсов, 0,0,0 LKf -положительные
24
24
константы, ),(0 LKff = при 2,1,10,121,0,0 =≤≤=+== jjLLKK ααα . Здесь
параметры jα характеризируют степени использование ресурсов в процессе
производства. Следует отметить, что модельное производство (3.1) является «жесткое» производство и не принимает свое максимальное состояние ни по одному параметру. В связи с этим возникает вопрос об изменении области изменения входных параметров, функции (3.1). Например, области изменения степени использования ресурсов (капитала и рабочую силу) в процессе производства является множество прямых линий в единичном квадрате
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤=+= 10,121: jjM αααα . В качестве М берем множество
криволинейных линии на сфере:⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤=−∑=
== 10,11
:)...1( jsnn
jm
jmsnM ααααα .
Для функции (3.1) m=2 и возьмем n=2, s=1 также задача максимизации функция (3.1) на множестве М сводится к следующей задаче:
,2
0
1
00max
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∈=
αα
α LL
KKfA
MY где
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤=+= 10,12
221: jM αααα . Введя
обозначение, αα
αµ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
0
1
00)(
LL
KKfA получим: )(max αµ
α MY
∈= .
Таким образом, исходная задача состоит в нахождении параметра 1α и
2α степени использования ресурсов в процессе производства и максимальное состояние модельного производства Z.
Утверждение. Имеет место
22,
22,
220 21
yx
y
yx
xyxeYY+
=+
=+
= αα где 00,0
ln,0
ln AfYLLY
KKx === .
Для данного модельного производства рассмотрены вопросы компьютерной реализации и проведены серии вычислительных расчетов.
Рассмотрим оптимизации процесса формирования капитала согласно
закону Кобба Дугласса и формирование рабочей силы по экспоненциальному
закону. Как известно величины капитала формируется согласно закону[1-6]:
25
25
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
≤<⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
−
0)0(
0,00
0
1
KK
ttLL
KKAf
dtdK
k
αα
ε (3.2)
где ,0,, fΑε α,0,0 LK заданные положительные числа 10,10 <<<< αε -
характеризуют экономических параметров. Например, величина α означает
степени использования ресурсов. Мы будем предполагать, что 10 << α ,
ii =∑ 2α , где ,1 αα = αα −≡ 12 . Величина L характеризирует трудовых
ресурсов и в рамках данной работы мы будем предполагать, что
tLL δl0= где δ -означает темп роста трудовых ресурсов , t - время.
Теорема. Модель (3.2) оптимизируется по α ; 10 << α , ,2
112∑
==
i iα
αααα −== 1, 21 и принимает следующий вид:
22
0)0(0
00 ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= LLn
KKn
KK
eAfdtdk ll
ε (3.3)
Действительною, так как в (3.2) ,0>dtdK то логарифмируя обе части
(3.2) получим
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
021
210
00
20
10 LLn
KKnAfn
LLn
KKnAfn
dtdKn lllllll ααεααε
Найдем экстремум функции ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
dtdKnZ l по α . Тогда
26
26
00
21
210
=−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=
LLn
KKn
dtdz
ll αα . Отсюда
02
2,
2
0
2
0
02
2
<
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=α
αd
zd
LLn
KKn
KKn
ll
l,
и следовательно
( )
( )2
0
2
00
02
0
2
0
0
02
0
2
0
00
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=
=⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=
LLn
KKnAfn
LLn
LLn
KKn
LLn
KKn
LLn
KKn
KKn
AfndtdKn
lll
l
ll
l
l
ll
l
ll
ε
ε
Таким образом,
2
0
2
0exp0 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
LLn
KKnAf
dtdK
llε
что требовалось факторов.
Используя teLL δ0= модель (3.3) перепишем в виде
ktt
tKKn
KK
Afdtdk
≤≤
+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
0,
222
0
0)0(0
δε
ll
(3.4)
27
27
Модель (3.4) характеризируюет формирования капитала согласно
оптимизационной законе Кобба - Дугласса и сформирование трудовых
ресурсов по закону Мальтуса. Поскольку (3.4) является нелинейной моделью,
то для определения величина Капитали согласно модели (3.4), используем
метод ломаных Эйлера, т.е.
( ) niihKK
nfhiKiK i .......2,1,022
0exp01 =+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Α+=+ δε l (4)
Теперь составим VB программу для определения величины и проводим
вычислительного эксперименты. Приведем результаты вычислительных
экспериментов с модельными данными[7-11].
28
28
§ 4. Исследование производственных функций 1. Функции Кобба-Дугласа:
αα −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1
000 L
LKKff , (4.1)
где 000 ,, LKf - положительные постоянные, 10 << a . Заметим, что эту функцию можно записать в другом более удобном для запоминания виде:
αα −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
000
0
LL
KK
ff (4.2)
Найдем для этой функции эластичность замещения Q, предварительно найдя предельную норму замещения γ на некоторой изокванте
pp
LK
LK
aa
KfLfff
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
∂∂∂∂
−==1
0
00
1//: γ (4.6).
что на изокванте предельная норма замещения является функцией фондовооруженности K/L, причем фондовооруженность связана со значением γ соотношением:
)1/(1
0
1pp
LK
aa
LK
+−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= γ .
Поскольку K/L и g связаны соотношением (4.6) сразу получаем, что p
Q+
=1
1 .
2.Функция CES (Солоу). Исследуем свойства этой функции. Рассмотрим ее изокванты. Пусть солff = . Уравнение изокванты для функции
ppp
LLa
LKaff
/1
00
)1(
−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= имеет вид:
ppp
LLa
KKa
ff
−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
00
0 )1( , т.е.
29
29
ppp
c
LLa
ff
aKLK
/1
000 )1(1)(
−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= .
Эта кривая имеет две асимптоты. При +∞→L основные фонды К постоянно убывают, но стремятся не к нулю, как в случае функции Кобба-Дугласа, а к некоторому положительному числу:
0
/10
/1
000 )1(1)(
ff
aKLLa
ff
aKLK cp
ppp
c
LLim =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−−
+∞→
.
Аналогичным образом можно показать, что в изокванте cff = имеют вид, которые изображены на рисунке ниже.
Таким образом, при использовании функции с постоянной эластичностью замещения удается избежать противоречий связанных с неправдоподобно большими возможностями замены одного ресурса другим. Подсчитаем коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам для функции CES.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−−
−
pp
p
k
LLa
KKa
KKaLf
fKE
00
0
)1(
)/( .
Аналогичным образом, можно подсчитать, что
0
Средства производства
30
30
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
−−
−
pp
p
L
LLa
KKa
LLaE
00
0
)1(
)/)(1( .
Легко заметить, что здесь как в случае Кобба-Дугласа Ek<1, EL<1, т.е. предельная эффективность ресурса меньше средней. Заметим, что коэффициенты эластичности ресурсов можно записать в другом виде, эквивалентном уже полученному:
p
p
Lp
p
k LLVV
aEKKVV
E)/()/(
)1(,)/()/(
0
0
0
0 −== .
При стремлении величины РК видны все характеристики функции CES, которая стремится к соответствующим характеристикам функции Кобба-Дугласа. Действительно,
Функция )(kf определяет
F(K,L) утверждение о том, что функция Кобба-Дугласа получается из
функции CES путем предельного перехода при 0→p . Что будет при стремлении параметра P к своей другой границе, т.е.
при +∞→p . Исследуем эту проблему. Для этого найдем: )(kLim
pϕ
∞→
. Это можно
сделать следующим образом: pp
p
pp
pces
pa
RRaya
RRayk LimLimLim
−−
∞→
−−
∞→∞→ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= )1()1()(
/1
00
/1
00ϕ .
Легко заметить, что при 0RR ≥ первое слагаемое выражение в квадратных скобках стремится к нулю, а все выражение – к единице, поэтому при 0RR > имеем 0)( yRKfces
pLim =
∞→
.
При R<R0 полученное выражение преобразуем следующим образом; вынесем за квадратную скобку R/R. Тогда получим:
pp
pces
p RRaa
RRyk LimLim
−
∞→∞→ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
/1
000 )1()(ϕ .
Второе слагаемое выражение в квадратных скобках стремится к нулю (ведь R<R0) и все это выражение – к единице. Поэтому в данном случае:
00)(
RRykces
pLim =
∞→
ϕ .
LaaK
LK
LK
aa
DQKp
Q
pp
CES
CES
−−→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
−=→+
=
+−11
11
1
1
0
0γ
31
31
Если новую функцию зависимости удельного выпуска от фондовооруженности обозначить через )(Rf∞ , то для нее можно выписать формулу;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≤==
∞→∞
00
00
0)()(RRприy
RRприRRy
kk cesp
Limϕϕ или
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=∞ 1,min)(0
0 RRykϕ .
Производственная функция ),( LKf для этого случая имеет вид:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=∞00
0000
0 ,min1,,min1,min),(LL
KKf
KL
LK
LfL
RRLyLKϕ .
Эту функцию так и называют – производственной функцией с нулевой эластичностью замещения. Другое название – производственная функция с постоянными пропорциями. Еще одно звание – кусочно-линейная производственная функция. Исследуем изокванты кусочно-линейной производственной функции. Чтобы произвести некоторое количество национального дохода Vc, рационально взять такое количество основных фондов Kc и рабочей силы Lc, чтобы выполнялись равенства 00 // ffKK cc = и 00 // ffLL cc = . Тогда ни один ресурс в избытке не будет. Если мы увеличим количество рабочих, взяв такое L, что L>Lc, то получим:
ccc f
KK
fLL
KK
ff ≤=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=0
000
0 ,min .
С другой стороны, если при данном L=Lc возьмем большое количество основных фондов K, т.е. K>Kc , то получим:
ccc f
KK
fLL
KK
ff ==⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=0
000
0 ,min .
Таким образом, изокванта производственной функции с постоянными пропорциями представляет собой вертикальный и горизонтальные дуги, исходящие из точки рационального количества основных фондов и рабочей силы. (рис. 10). Глядя на такие линии уровня, можно легко догадаться, что на изокванте Vc=V0 на вертикальной части (т.е. при K>Kc, L=L0, для Vc=V0)
.0,0, ==−∞= Lk EEγ Те же значения величин Lk EE ,,γ можно получить и для остальных изоквант. Этот результат становится очевидным, если учесть, что выше луча ОА, на котором расположены точки сбалансированного использования ресурсов (т.е. R=R0), имеем
00
000 ,,min
LLf
LL
KKff =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
а ниже этого луча,
32
32
00
000 ,,min
LLf
LL
KKff =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= .
Поэтому на вертикальных частях изокванты 0
0,0Lf
Lf
Kf
=∂∂
=∂∂
а на горизонтальных 0,0
0 =∂∂
=∂∂
−Lf
Kf
Kf .
Отсюда, сразу получаем значения Lk EиE,γ указанные выше. Эти же значения Lk EиE,γ могут быть получены путем предельного перехода при +∞→p из значений этих величин для функций с постоянной эластичностью замещения. На этом заканчиваем рассмотрение производственных функций с двумя факторами. В заключении скажем, какие же производственные функции лучше выбирать для описания народного хозяйства. Функция с постоянными пропорциями вряд ли подходит для этого, поскольку увеличение объема производства. Ее применяют лишь тогда, когда один из ресурсов производства резко дефицитен, а второй избыточен. Таким образом, остаются системные функции (в том числе функции Кобба-Дугласа) и функции с постоянной эластичностью замены. Число степенных функций используется чаще, поскольку параметры степенных производственных функций оценить значительно легче и работать со степенными функциями проще. Их основной недостаток – возможность полной
0
L
K
33
33
замены одного ресурса другим не является существенным, поскольку в исследованиях бывают, интересны значение ресурсов, достаточно близкие к уже использующимся в производстве в данный момент. Поэтому неправдоподобность поведения степенных функций в области малых количеств ресурсов не так уж важна. Подчеркнем еще раз, что производственные функции здесь оценивались с точки зрения моделирования экономики в моделях долгосрочного прогнозирования.
§ 5. Обсуждение результатов для функции труда и уровня
технологии Как мы видели, в §1 для функции труда имеет место
tj
jj
t CCtL δδ ll ∑∞
=+=
1max
0)( , где jijj βαδδ ±=,max является решением
уравнения выживаемости (1 .6). Этот результат интерпретируется в виде следующих рисунков (5,6,7):
L (t) L0 0 Время
Рис.5. Зависимость функции труда от времени при h>1 L (t) L0 Время 0 Рис.6. Зависимость функции труда от времени при h<1.
34
34
L (t) L0 0 Время Рис.7 Зависимость функции труда от времени (при h=1 и 0=jα )
Из этих рисунков следует, что в зависимости от значения потенциала
трудовых ресурсов h, функция труда имеет колебательный характер. Причем
период колебания при h≠1 из-за влияния максимального корня незначителен.
Если же h=1, то реальные части комплексных корней играют существенную
роль (рис.7). Зависимости данного экономического параметра, приведенные
на предыдущих рисунках и рис.8 являются наиболее справедливыми, так как
в них учитываются многие минусы и плюсы реальной экономики. Этот
результат также справедлив и для L=L(r, t) в зависимости значения
параметра δ- темпа роста труда со временем.
L(r, t)
L1 δmax<0 δmax>0
L0
0 t Рис. 8. Зависимость L(r, t) по t при фиксированном r
Следовательно, приведенные зависимости на рисунках имеют
35
35
колебательный характер. Колебательный характер изменения экономических параметров также охватывает все возможные влияния параметров окружающей среды и общества на каждодневном функционировании реальной экономики. В связи с этим фактором возникает вопрос о том, что на сколько сказывается колебательный эффект функции труда на динамику величины капитала, мере текущего уровня технологии и т.д.
Как мы видели в §1 для функции меры текущего уровня технологии
имеет место следующий результат: dA/dt= -a A2+b A, где а = ε МРК+(1-α ) МРL, b=(1-ε-MPC)-1 u,
u= - MPC.dT/dt+dT/dt+dNx/dt+Ydε/dt. Здесь ε доля выпускаемой продукции
идущей на инвестиции, δ - темп роста трудовых ресурсов и определяется как
решения уравнений выживаемости [ ]2 : ∫∞
Β0
)(α е-δα da = 1, B(a)-функция
выживаемости рабочих. В начале, рассмотрим случай, когда u=0, тогда из
уравнения получим: [ ]АМРКdd δαετ
)1( −+⋅−=Α , Если τ = t, тогда получаем
следующую формулу
[ ] tt
etδαε )1(
00)(
−+ΜΡΚ−∫Α=Α , ε - доля капитала, δ -
темп роста рабочей силы, который графически иллюстрируется в виде
следующего рисунка:
A(t)
A0
t, время
Рис.9. Зависимость уровня технического процесса от времени без
учета реальной ставки процента и капиталовложения.
Рис.9 показывает, что уровень технического процесса без учета реальной
ставки процента и капиталовложения на технической реконструкции
36
36
падает), технология выйдет из строя). Теперь рассмотрим случай τ=(t,r) и в
результате получим: ∂A/∂t+γ ∂A/∂r=- ( ε MPK+(1-α)) A, где dtdτγ = .
Для решения данного уравнения зададим еще дополнительные условия
kr
ttdrtrArtrAArA ≤≤∫== 0,),()(),(,)0,(max
0max0 ϕ , где ϕ(r) ≥ 0 функция
нормировки. Легко видеть, что уровень технологического процесса
определяется по следующему закону A(r,t)=A0 ep t + [ε MPK+ δ(1−α) ] (R-r) / γ , где p
является максимальным вещественным корнем уравнения типа уравнения
выживаемости с функцией B(r) =ϕ(r) e[ ε.MPK +(1-α ) δ ] / γ . Если потенциал
технологического процесса ∫ Β=max
0)(
чdччh ,1≥ то величина δ будет больше
нуля и на большом достаточном временном интервале .),(, ∞→∞→ trAt
A(r, t)
r=0
A1
r = r 0> 0
A0 время
Рис.10. Зависимость А(r,t) от времени с учетом реальной ставки
процента и капиталовложения(A1 = Ar=0, t=0 , A0 = A r=r0, t=0) .
Рис.10 показывает, что если величина потенциала технологического процесса
больше единицы, то его объем и темп растет со временем (на достаточно
большом временном интервале), что доказывается историей человечества.
Изменения темпа технологического процесса относительного роста реальной
ставки процента падает при γ>0 и растет при γ<0 (рис.11) (здесь приняты
обозначения - A0 = Ar=0, A 1=Ar=0):
37
37
A(r, t)
A1 ← γ< 0
← γ >0
r Рис.11. Зависимость A(r, t) от реальной ставки процента
Таким образом, полученная формула учитывает все возможные случаи
роста, и падения технологических параметров в зависимости от времени и
параметра реальной ставки процента. Заметим, что факторы образованность,
квалификация, возраст, пол, национальность учитываются в параметре δ -
темпа роста трудовых ресурсов L, которые определяются в виде (1.4),(1.5).
Этот параметр входит в уравнение для A(r,t). В силу того, что уравнение
«выживаемости» (1.6) может иметь помимо максимального вещественного
корня δ , счетное число комплексно-сопряженных корней, то рост и падения
L(t), A(r,t) и др. в действительности происходят по колебательному закону:
A(r,t)
A1 ↓ 0max <δ ← 0max >δ
A0
0 t Рис.12. Зависимость A(r, t) по t при фиксированном r
Зависимость данного экономического параметра, приведенная на рис.12
является наиболее справедливой, так как в них учитываются многие минусы
38
38
и плюсы реальной экономики. Следовательно, приведенные зависимости на
рисунках имеют колебательный характер. Колебательный характер
изменения экономических параметров также охватывает все возможные
влияния параметров окружающей среды и общества в каждодневном
функционировании системы реальной экономики. Если pмах = 0, δ мах =0, т.е.
максимальные темпы роста технологического процесса и роста рабочей
силы равны нулю, то получим следующий результат:
A(r,t)
A0 t 0 Рис. 13. Реальная ставка процента, время На рис.13 приведена зависимость функции A(r,t) в зависимости от временного параметра и величины реальной ставки процента при δмах =0 и ρмах =0. Кроме того, здесь также считается, что реальные части корней уравнения выживаемости равны нулю. Аналогичным образом исследуются и решаются уравнения капитала, определяются какие именно параметры экономики и жизни играют существенную роль в сфере производства и распределения произведенной продукции, а так же при сборе налогов, при проведении мероприятии по государственным закупкам и политика изменения обменного курса. Таким образом, уравнения (1.3),(1.4),(1.6),(1.8) то есть (1.9),(1.10) и (1.12),(1.13) полностью описывают состояние экономики, как в краткосрочном периоде, так и в долгосрочном периоде. Они так же с учетом функционала трудовых ресурсов описывают экономику для конфетного региона, то есть для экономических сообществ (союз государств). Если uΤ0, то технологический процесс характеризируется логистической кривой (см. рис. 14): A(r,t) A1 A0 Рис. 14. Зависимость технологического процесса в общем
39
39
Замечание 1.(Модель инвестиции). Используя способ, приведенный в параграфе 2, получим следующее уравнение для определения инвестиции: ,bIa
ddI
+=τ
где a = (1-MPC) MPK A, b = (1-MPC) (OS +δ(1−α)) y A + MPC u0 – u1-u2, ОS- остаток Солоу.
Замечание 2.(Модель финансового регулирования). Для определения динамики параметров экономики и финанса имеют место равенства:
dy=[(1+Ce/CAe) dF+Ir dr+dG]/(1-Cy+CeCAy/CAe) , de=(1-Cy-CAy)dF - CAy(Irdr+dG)/ [(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe].
Действительно, так как y=C(y,e)+I(r)+G+CA(y,e) и CA(y,e)=F ,то имеем: dy=Cydy+Cede+Irdr+dG+CAydy+CAede , CAydy+CAede=dF. Отсюда (dF - CAe de)/ CAy=Cy[(dF-CAede)/CAy]+Cede+Irdr+dG+ CAy[(dF-CAede)/CAy]+CAede , т.е. (1-Cy+CeCAy/CAe)CAede= (1-Cy-CAy) dF- CAy (Irdr+dG), и следовательно de=[(1-Cy-CAy)dF - CAy(Irdr+dG)]/ [(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe]. Аналогично доказывается 1-я формула. Из доказанной формулы легко получим компоненты вектора градиента параметра внешнего курса: eF= (1-Cy-CAy) / [(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe], er=-Ir/[(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe], eG=-1/[(1-Cy+CeCAy/CAe)CAe], и следовательно, grad e=( eF, er, eG). Замечание 3. (Модель налоговой политики). Используя уравнение (1.10) для величины налога имеем следующую :
∫===∂∂
+∂∂ L
dxtxTtxtTxTxTTuxT
tT
00 .),(),(),0(,)()0,(, ϕγ
Отсюда ∑∞
=
+− ∫=
1
)()/(0
0
),(j
dxxuxt
j
x
j
eCtxTγδ
,где jjj iβαδδδ +== ,max0 - являются
корнями уравнения типа (1.6 ) с функцией В(.) = ϕ(.) exp( ∫x
dxxu0 0 )( ).
§ 5. Исследование простейшей модели экономики
В этом параграфе мы вернемся к простейшей модели экономики, которая была сформулирована в первом параграфе, и исследуем эту модель, используя при этом свойства в двух предыдущих параграфах. Перемещать еще раз модель, причем зависимость производственной функции от времени пока учитывать не будем:
))()),(()( TLtKftf = (5.1)
40
40
)6.5()0()5.5()()4.5()()3.5()())(1()()2.5()()()(
0
0
KKeLtL
tIKtVtStC
tftStL
t
==
=−=
=
η
Исследование модели (5.1)-(5.6) будет состоять из исследования ее различных траекторий. Сначала проанализируем некоторые общие характеристики траекторий этой системы на основе свойств производственных функций.
),(),(0)0,(,0),0(
LKfLKfKfLf
λλλ ===
при 0>λ .
Запишем модель (4.1)-(4.6) в более простом виде. Для этого подставим соотношение (4.2) в (4.4) , получим: ttLtKftSK η
0),(()(= . Аналогичным образом, можно получить соотношение для потребления. Аналогичным образом можно получить соотношение для потребления: ttLtKftStC η
0),(()(1()( −= . Теперь наша модель описывается только этими двумя соотношениями, а так же начальным условием (5.6). Поскольку уж знаем, какие из величин, используемых в модели, изменяются во времени, для сокращения размеров формул в тех случаях, когда это не сможет вызвать недоразумений, зависимость переменных от времени подчеркивать не станем и, например вместо K(t) будем писать просто K. Теперь перейдем к новым переменным: R=K/L (фондовооруженность) и C=C/l (потребление на одного трудящегося). Используя свойство
0),(),( =→= λλλλ LKfLKf производственных функций, получаем вместо соотношения )),(/)( 0
teLtKFtSK η= следующие соотношения:
kkSfeL
eLLRRS
LL
LKLKSf
LLKLKL
LK
dtdR t
t
ηη
ϕ η
η
−=−=−=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= )()(),(1
0
002
0
,
а вместо соотношения fkSLkFL
SLCtC )1(),(1)1()( −=−== . Теперь нашу модель
можно переписать в следующем виде:
Подчеркнем, что каждой траектории модели (5.10)-(5.12) можно сопоставить траекторию модели (5.1)-(5.6). Исследованием модели (5.10)-(5.12), мы займемся, в этом параграфе, не выбрав конкретную производственную функцию, нельзя построить траекторий данной модели, но, тем не менее, можно получить некоторые ее общие свойства. Прежде всего, исследует вопрос о свойствах траекторий модели при постоянной доле капиталовложений в национальном доходе, т.е. при S(t)=S=const. Эти свойства важны не только с теоретической точки зрения, поскольку как показывает экономическая практика, доля капиталовложений во многих странах слабо зависит от времени.
)12. 5 ( )0 () 11. 5 ( ) ( *)1() 10 . 5()(
0 R R
R f S C
k k Sfk
=
− =
− = η
41
41
В случае постоянной доли капиталовложений коэффициенты дифференциального уравнения (5.10) не зависят от времени, потому возникает вопрос о существовании таких значений фондовооруженности
−
R , что при −
= RR0 решением уравнения (5.10) будет функция −
≡ RtR )( . Такие значения величины k принято называть равновесными (стационарными) точками уравнения (4.10). Для того чтобы найти все точки k, надо найти все решения уравнения R=0, т.е. 0)( =−
−−
RRSf η (4.13). Сначала проведем графический анализ задач. Для этого построим графики функций )(RSfy = и Ry η= . Они
изображены ниже, из которого следует, что два искомых значения 0: =−
RR и *RR =
−
.
Точка 0=
−
R является решением уравнения (5.13) при любых значениях η,S и параметров производственной функции, так как 0)0( =f . Ненулевое пересечение графиков )(kSry = и ky η= обозначение через *R существует не всегда, поскольку эти два графика не обязаны пересекаться. Во-первых, может оказаться, что для всех 0>k будем иметь неравенство
RRSf η<)( (5.14) Во-вторых, возможно, что при всех 0>k будут выполняться условия
RRSf η>)( (5.15) В обоих случаях точка *R отсутствует. Рассмотрим вопрос о том, при каких значениях параметров возможны случаи (5.14) и (5.15).
1. Для того чтобы при всех R>0 выполнялось условие (5.14) необходимо, чтобы это условие выполнялось и при малых значениях R. При малых значениях R имеем [ ])0()0()( 'kffSRSf +≈ . Поскольку, 0)0( =f , то для
42
42
выполнения условия (5.14) необходимо, чтобы при малых 0>k выполнялось условие: Покажем, что это условие является и достаточным для выполнения (5.14). Действительно, для всех 0>k имеем, 0)(" =kf следовательно, )0()( '' fkf > для всех 0>k . Поэтому, )0()( 'kfkf < т.е. RSrfrSf η<< )0()( ' для всех
0>k мы получили условие (5.14). Итак, для того, чтобы при всех 0>k выполнялось условие η<)0("Sf . Заметим, что для производственной функции с
постоянной эластичностью замены (5.5) имеем 0
0/1' )0(Ry
af p−= . При достаточно
большой эластичности замены (т.е. при достаточно малых значениях P) величина )0('f велика, а для функции Кобба-Дугласа даже бесконечно велика. Поэтому, для производственной функции с достаточно большой эластичностью замена условия (5.14) при малых 0>k выполнятся, не может, тем более что параметр η имеет величину порядка несколько процентов.
2. Рассмотрим теперь вопрос о возможности выполнения условия (5.15) при всех 0>k . Условие (5.15) эквивалентно условию положительности при 0>k функции kRSfk ηϕ −= )()( . Эта функция непрерывна; для экономики страны при малых R, как это следует из анализа, проведенного в пункте 1, имеем: 0)( >kϕ . Поскольку функция с постоянной эластичностью замены, как показано в предыдущем параграфе, имеет горизонтальную асимптоту, при Payy −−= )1(0 и
∞→R , то при достаточно больших R имеет )()()1(0 RSfCESRfCESayR P ≥>−> −η т.е. 0)( <Rϕ . Для функции Кобба-Дугласа также можно показать, что 0)( <Rϕ при достаточно больших значениях k . Хотя функция Кобба-Дугласа и не имеет асимптоты при ∞→R достаточно больших k справедливо соотношение
RRRSyRDSfK
a
η<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
00)( . Поэтому, условие (5.15) не может выполняться при
всех R>0. Из того, что при малых k имеем, 0)( >Rϕ , а при больших k имеем 0)( <Rϕ , то в силу непрерывности )(Rϕ заключаем, что существует значение
*RR = , при котором 0)( * =Rϕ , т.е. ** )( RRSf η= . Из того, что функция kη растет линейно по R, а для )(RSf имеет 0)(" <RSf можно понять, что точка *R единственна. Таким образом, в графике выше представлена характерная картина соотношения функций Rη и, )(RSf т.е. имеются всего две точки их
пересечения: 0=−
k и *RR =−
. Сами по себе стационарные точки дифференционального уравнения (5.13) особого интереса не представляют. Они важны тогда, когда и с этими точками сходятся траектории уравнения (5.13). Попытаемся проанализировать качественную ситуацию, изображенную в графике. Для любого значения k из интервала *0 RR << справедливо неравенство RRSf η>)( , поэтому для всех таких точек имеем 0)( >−= RRSFR η , т.е. на всех траекториях, начинающихся в любой точке интервала ),0( *R , значение k будет расти до тех пор, пока величина k не достигнет значения *R ,
43
43
если в начальный момент система находилась в равновесной точке 0=−
k , то любое малое возмущение приведет ее в точку 0>k , а далее система начнет
уходить все дальше от исходного значения 0=−
k . В этом случае говорят, что такая равновесная точка неустойчива. Рассматривать ее не имеет смысла. При
*RR > имеет 0)( <−= RRSfR η . Поэтому при *RR > величина R будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет значения *R . Из проведенного здесь анализа легко понять, что все траектории уравнения (5.13) при любом исходном значении 00 >R стремятся к *R . Если же *
0 RR = то, *)( RtR = причем малые случайные возмущения не приводят к существенному отклонению от R . Говорят, что равновесная точка *RR = устойчива. Если *)( RtR ≡ для модели (5.10)-(5.12) то для (5.1) и (5.6) получаем: nLeLRtLtRtK 0
*)()()( == . Аналогичным образом nLeLRftRftLTtV 0
* )())(()()( == . С тем ее темпом роста населения η растут потребления )(tC и капиталовложения )(tI . Такую ситуацию принято называть режимом сбалансированного роста. Итак, для модели (5.1)-(5.6) режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему сходятся все траектории модели при постоянной норме капиталовложений. Конечно, режим сбалансированного роста сам зависит от величины нормы капиталовложений S , так как от S зависит значение *R . При росте S величина
*R возрастает, а при η убывает. Поскольку все траектории роста модели (5.1)-(5.6) сходятся к сбалансированному росту, который зависит от величины постоянной доли капиталовложений S , то возникает вопрос о том, какой режим сбалансированного роста предпочтительнее. Для этого, прежде всего, необходимо ввести критерий, с помощью которого мы будем сравнивать различные режимы. Поскольку экономическая система предназначена для решения важных различных задач, то фактически можно построить огромное число несовпадающих критериев. В задачах планирования и прогнозирования развития экономики проблема выбора критерия развития окончательно не решена и до сих пор. Одним из способов обойти ее является программный метод планирования. В модели рассматриваемой в данном параграфе вопрос о выборе критерия развития экономики относительно прост: поскольку основной целью является экономическое удовлетворение потребностей населения, для оценки различных режимов сбалансированного роста можно взять уровень потребления в расчете на одного трудящегося, т.е. величину С . При сбалансированном росте: )()1( *RfSС −= .Причем *R также зависит от величины S . Напомним, что зависимость )(* SR определяется соотношением (5.13). Поэтому, где )(** SRR = условие экстремума этой функции выписывается в
виде [ ] 0)( ** =− RRFdSd η или [ ] 0)(
** =−
dSRRf η анализируя график, легко понять,
что 0*
>dSdR и условие экстремума принимает вид: η=)( *' Rf . Заметим, что в
случае интересующих масс производственных функций )(Rf , для которых
44
44
характерны большое значение )0('f и малое значение )(' Rf при достаточно больших R , всегда существует единственная точка *R , удовлетворяющая условие (5.16) наилучшую величину
^S после этого можно выбрать из
соотношения (5.13) и, т.е. )( *
*^
RfRS η
= , так что интересующее нас значение ^S
всегда существует и единственно. Надо, вообще говоря, проверить, что полученное описанным образом значение
^S при максимальному, не
минимальному потреблению. Мы этого делать не будем. Проектируем полученный результат, который графически ниже показан. Оптимальная величина *R согласно нахождению на графике )(Rf такой точки, где, η=)(' Rf т.е. ηβ =tg . Затем из начала координат проводится прямая nR , и ее пересечение с вертикальной прямой задает значение *nR , через которое должна пройти кривая )(
^RfS найденное значение
^S обеспечивает максимальное потребление с
в сбалансированном режиме. Проводим предварительные итоги исследования модели (5.1)-(5.6) при постоянной норме накопления S . В любом случае траектории системы асимптотически сходятся к сбалансированному росту, темп роста на котором равен темпу роста населения страны. Такой результат довольно неутешителен, поскольку потребление на душу населения при сбалансированном росте экономики остается постоянным. Возникает вопрос о том, нельзя ли добиться лучших результатов, если использовать изменяющуюся во времени управления – норму накопления )(tS ? Проведем соответствующий анализ. Будем рассматривать модель (5.1)-(5.6) или, модель (5.10)-(5.12) с управлением )(tS . Прежде всего, необходимо решить проблемы выбора критерия, по которому мы будем оценивать различные варианты развития экономической системы (5.10)-(5.12). При исследовании различных вариантов сбалансированного роста мы брали в качестве критерия величину C - потребление на одного трудящегося в единицу времени. Так можно было поступать потому, что на траекториях сбалансированного роста модели (5.1)-(5.6) эта величина остается постоянной. Теперь при изменяющемся во времени управления )(tS , потребление на одного трудящегося в единицу времени также является переменностью величины естественно максимизировать суммарное потребление за весь период планирования, т.е. величину
∫=T
dttCU0
)( (5.7)
где T - горизонт планирования. Часть в место критерия (5.7) используют его
общий вид: ∫=T
dttCtqU0
)()( , где )(tq - заданная функция, соизмеряющая
потребление в различные моменты времени. Обычно, предполагают, что 1)( =tq и )(tq является монотонно убывающей функцией времени 1t , например
teqtq δ−= 0)( , где δ - заданная неотрицательная величина. В данном исследовании мы ограничимся критерием (5.17). При исследовании роста экономики за
45
45
конечный период времени необходимо подумать и о том, чтобы основные фонды в расчете на одного трудящегося в конце исследуемого периода времени были достаточно велики, т.е. наложить ограничение на величину )(TR . Это ограничение имеет вид: TRTR =)( . Теперь наша задача может быть поставлена следующим образом: найти такую зависимость от времени нормы накопления
TttS ≤≤0)( , чтобы для модели (5.10)-(5.12) с дополнительным условием (5.18) максимизировать критерий (5.17), причем величина нормы накопления должна удовлетворять ограничение 1)(0 ≤≤ tS . Заметим, что поставленная здесь задача не всегда имеет решение. Можно выбрать настолько большое значение TR , что такая фондовооруженность окажется недостижимой для системы, описывается моделью (5.10)-(5.12) за период времени [ ]T,0 . это показывает важность предварительного анализа модели (5.10)-(5.12) с помощью метода опирающегося на построение множеств достижимости. Рассмотрев множество достижимости для системы (5.10)-(5.12) за период, [ ]T,0 т.е. множество всех достижимых за период [ ]T,0 значений )(TR , можно выбрать разумную величину TR , после чего сформулированная здесь задача оптимизации будет иметь решение. Оказывается, что при достаточно больших значениях горизонта планирования T оптимальное управление )(tS состоит в следующем: сначала необходимо выбрать такое значение )(tS , чтобы как можно быстрее попасть в точку *R , определяемую из соотношения (5.16), затем в течение почти всего периода времени величина )(tS должна быть равна
^S , а в конце периода
необходимо за минимальное время перевести сметему из точки *R в TR . Таким образом, мы опять пришли к сбалансированному росту в модели (5.1)-(5.6) с максимальным потреблением на одного трудящегося, причем сам факт выхода на траекторию сбалансированного роста не зависит от значений 0R и TR если последнее значение находится в разумных пределах. Такое свойство модели (5.10)-(5.12) а следовательно и модели (5.1)-(5.6) принято называть магистральным по аналогии с решением следующей задачи: когда необходимо проехать на автомобиле из пункта A в достаточно отдаленный пункт Б, а неподалеку проходит магистраль, то самым разумным решением будет выход кратчайшим путем на магистраль, затем проезд по магистрали как можно ближе к цели путешествия, после чего кратчайшим путем добраться до пункта Б. Итак, экономическая система описывается моделью (5.1)-(5.6) с производственной функцией, зависящей только от основных фондов и числа трудящихся, растет с темпом роста, не превышающим темп роста населения. Причина этого явления состоит в том, что в модели не отражены возможности повышения эффективности производства, технического прогресса. Проведенный в этом параграфе анализ, в сущности, подчеркивает важность технического прогресса в развитии экономики страны, его фундаментальную роль. После изучения изложенного здесь материала должны еще лучше понять роль мероприятий, проводимых в нашей стране по повышению эффективности производства с точки зрения построения математических моделей экономики. Ясно, что в них
46
46
необходимо учитывать технический прогресс. В противном случае построенная модель не сможет правильно отразить особенности развития экономики, в которой роль технического прогресса непрерывно возрастает.
§6. МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА
В этом параграфе изложены основные методы, используемые для описания процесса повышения эффективности использования ресурсов в агрегированных моделях долгосрочного прогнозирования. Что росту эффективности использования производственных ресурсов способствует большое число технических, организационных и социальных факторов, причем трудно выделить роль каждого из них. В экономико-математических моделях под техническим процессом обычно понимается совокупность всех явлений, которые приводят к увеличению количества продукции без роста объемов используемых ресурсов. Среди методов описания технического прогресса в сильно агрегированных моделях, используемых при анализе долгосрочного развития экономики, можно выделить четыре основных направления.
Во-первых, это подход на основе так называемого автономного технического прогресса. В этом подходе считается, что рост эффективности использования ресурсов не зависит от капиталовложений и динамики рабочей силы и привносится извне.
Во-вторых, подход на основе «овеществленного» технического прогресса. Здесь предлагается, что процесс вносится вместе с новым, более совершенным оборудованием и новой более квалифицированной рабочей силой, причем улучшение оборудования и повышение квалификации опять же задаются извне как функции времени.
В-третьих, подход на основе «индуцированного» технического прогресса, в котором прогресс связывается с предыдущим развитием экономики, как бы является следствием этого развития.
В четвертых, подход на основе выделения особой отрасли в экономической системе: продуктом этой отрасли является технический прогресс. В предлагаемом прогрессе кратко рассмотрим все четыре подхода.
Автономный технический прогресс моделируется как заданное извне улучшение качества основных фондов K или квалификации рабочей силы L и в производственной функции учитывается следующим образом:
))(,)(( LtBKtAFV = , (6.1) где )(tA и )(tB - заданные функции времени, причем )(tA описывает повышение эффективности использования основных фондов, а )(tB - повышение эффективности использования трудовых ресурсов. Обычно, выделяются при основных случаях автономного технического прогресса: 1). )()( tBtA ≡ т.е. эффективность использования основных фондов и трудовых ресурсов растут со временем пропорционально в этом случае: ),()( LKFtAV = (6.2)
47
47
2). 1)( ≡tA т.е. растет эффективность использования трудовых ресурсов, эффективность же основных фондов остается на прежнем уровне в этом случае:
))(,( LtBKFV = (6.3) 3). 1)( ≡tB т.е. растет эффективность использования основных фондов, в то время как эффективность использования трудовых ресурсов остается без изменения в этом случае ),)(( LKtAFV = .
Можно приводить различные выводы «за» и «против» для каждого из отдельных вариантов автономного технического процесса (6.1). В каждом из них повышение эффективности производства зависит только от времени.
Обычно, предполагает, что tt etBetA 21 )(,)( ββ == и затем путем обработки
соответствуют экономической статистики, находят значения параметров 1β и 2β . Автономный технический прогресс является простейшим подходом к
моделированию изменения эффективности производства. Как показали исследования в некоторых случаях (пример, экономика США за 1908-1949 годы) лучше всего оправдывается вариант (6.2) с пропорциональным ростом эффективности ресурсов: в других случаях более предпочтительным является вариант (6.3) и (6.4). Общей особенностью автономного технического прогресса является его независимость от капиталовложений, т.е. от появления новых фондов. Поскольку, весьма важным, а может быть и самым главным, является вопрос об источниках происхождения технического прогресса, описание его в виде таинственной силы, которая автоматически увеличивает, эффективность производства часть не является не удовлетворительным. Это становится особенно ясно, если обратить внимание на один факт, что, как показывают оценки параметров производственный функций с автономным техническим прогрессом, в развитых индустриальных странах темп роста национального дохода определяется на ¾ автономных процессов. Поэтому, на основе производственных функций типа (6.1) можно было бы сделать вывод о том, что и без капиталовложений можно сохранить высокий темп роста экономики. Очевидно, что это не альтернативные модели «овеществленного» технического прогресса. Из них наиболее популярна модель технического прогресса «овеществленного» в основных фондах. Предполагается, что более эффективными с течением времени установляется не все основные фонды, а только вводящиеся в данный момент, временные. Точнее говоря, производственная функция для основных фондов, введенных в V году, имеет
вид: )()()( 1 VLVKeVV aaV −= β, где β и α постоянные, K- количество
основных фондов, введенных в году V , −L число рабочих занятых на этих фондах. Здесь для фондов года V взята производственная функция Кобба-Дугласа с автономным техническим прогрессом типа (6.2) описываемым
экспонентом Ve β
. Подчеркнем еще раз, что отличие от автономного прогресса (6.1) здесь соотношение (6.5) верна лишь для фондов, в веденных в году V . Если через ),( tVK обозначать количество основных фондов,
48
48
выпущенных в году ϑ и сохранившийся к году t , через ),( tVL количество трудящихся, работающих на этих фондах, то производственная для всех основных фондов и всех трудящихся в году t будет, имеет вид:
∫ ∫∞− ∞−
−==t t
dVtVLtVKedVtVVtV V ),(),(),()( 1 ααβ (6.6)
т.е. мы интегрируем выпуск ),( tVV по всем годам до текущего момента. Обратим внимание на тот факт, что общее число имеющихся в году t основных фондов )(tK можно получить по формуле
∫∞−
=t
dtKtK ϑϑ ),()( (6.7)
а общее число трудящихся )(tL - по формуле
∫∞−
=t
dVtVLtL ),()( (6.8)
Количество трудящихся )(tL , которые мы считаем равным всему количеству трудоспособного населения, может быть по разному распределено между основным фондами, поэтому для построения производственной функции, связывающий национальный доход )(tV с общими основными фондами 0(tK и общим количеством трудящихся )(tL необходимо выдвинуть гипотезу о выбытии основных фондов, например: )()(),( VteVItVK −µ , где )(VI - капиталовложение в году V (т.е. основные фонды изнашиваются с темпом µ ) после формулировки таких гипотез связь между )(,)(),( tLtKtV будет описано полностью. Иногда используются варианты «овеществленного» прогресса, в которых технический прогресс приносится в экономическую систему не только с новыми основными фондами, но и с ростом квалификации рабочей силы; есть и другие варианты. И хотя и все они обладают существенным достоинством, состоящим в том, что прогресс связывается с капиталовложениями, все-таки происхождение технического прогресса остается неясным. Для его объяснения часто используются модели, которые основаны на идее «индуцированного» технического прогресса.
В одной из наиболее простых моделей такого типа предлагается, что технический прогресс зависит от того, сколько капиталовложений уже было сделано в данной стране. Такое воздействие моделей объясняют следующим образом: чем больше производится капиталовложений, тем больше совершается открытий и изобретений, приводящих к техническому прогрессу. Если обозначить через )(VG суммарное количество капиталовложения произведенных в стране к году V , то )(VG можно подсчитать по формуле:
∫∞−
=V
dIVG ττ)( (6.10)
49
49
Пусть, технический процесс состоит в том, что повышается эффективность использования трудовых ресурсов, когда эти ресурсы используются на основных фондах. Все более позднего времени т.е. )),()(),,((),( tLBtKFtV ϑϑϑϑ = . Поскольку основная идея «индуцированного» технического прогресса состоит в зависимости )(VB от суммарного количества капиталовложения )(VG , то
предполагается что ))((
1)(VGq
VB = , где )(Gq некоторая монотонно убывающая
функция G . Пусть, используемая здесь производственная функция для основных фондов года V являются функцией с постоянными пропорциями. Тогда,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
00min
),())((
1,),(),(L
tVLVGqK
tVKAtvV (6.11)
В этом случае технический прогресс можно интерпретировать как уменьшение числа рабочих, необходимых для полного использования единицы основных фондов. Предположим для простоты, что основные фонды служат без износа Т лет, после чего выбрасываются. Тогда величина k(v, t) может быть определена
по формуле. ⎩⎨⎧
≥−<−
=TvtприTvtприvI
tvk,0
,)(),( . Соотношение (6.12) будет
использовано вместо экспоненциального выбывания (6.9) общее количество
основных фондов равно ∫−
=t
Tt
dvvItk )()( . Если предположить, что каждый год
делаются такие капиталовложения I(Q) чтобы обеспечить полное использование рабочей силы L(t) больше, то получим, что
)13.6(,)())((
1),(
00 LvtL
vGqktvk
=
причем
)14.6(),()( ∫−
=t
Tt
dvtvLtL
Соотношение (6.13) будучи поставлено в (6.14) дает формулу
∫−
=t
Tt
dvvcqtvkkL
tL ))((),()(0
0 . Пусть для простоты, ,)( 0hGqGg −= где
hq ,0 постоянные ).1,0(∈h Затем, что по этому формулу (6.15) можно переписать в виде:
( ) )16.6()()(1
1)( 110
0
00
)( 0
0 TtGtGh
qKLdvq
KLtL hh
t
TtC
−−−
== −−
−∫
Полный национальный доход можно рассчитать по формуле
[ ] )17.6()()(1),(),()(0
)(
)( 00
τ−−==== ∫∫ ∫−− −
tGtGKAdG
KAdv
KtvKAdvtvvtv
tG
TtG
t
Tt
t
Tt
Из соотношений (6.16) и(6.17) получаем
50
50
)18.6())(
)(11(1)()( 1)/(11
0
0
00⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−= −
−h
h tGtL
LK
qhtG
KAtv
Соотношение (6.18) описывает производственную функцию с ‘’индуцированным’’ техническим прогрессом, вносимым путем осуществления капиталовложения.
§ 7. Учет возрастных факторов в моделях экономического роста
Моделям долгосрочного развития экономики посвящены ряд работ, в которых динамические процессы описаны при помощи разностных уравнений. В качестве производственных функции в этих параграфах берутся либо производственные функций в дискретном виде, либо непрерывные производственные функции типа Кобба-Дугласа, СЕS-а или с постоянной пропорцией. В этих работах, в качестве функций описывающая численность рабочей силы используются функция, которая зависит только его одного временного параметра t. Влияния таких параметров как возраст, пол, пространственные факторы и работоспособность трудящихся остались неисследованными. В данном параграфе предложены модели долгосрочного развития экономики с учетом возрастного состава трудящихся:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤≤=
≤≤−=
≤≤==
==
∫max
min
0,),(),()(
,1)())),(),((_(1()(
0,)),(),(()(
)(),(()()()),(),((
0)0(
a
ak
x
ttdataNtatL
tstLtKrtStC
ttKKtLtKrtSDtdK
tLtKftStItLtKfY
ϕ
где →= )(tYY национальный доход в момент времени t , →= )(есс потребление, →= )(tII чистые капиталовложения (т. е. Средства на расширения
производства) с величины основных фондов, →= )(tKK величины основных фондов, →= )(tSS доля национального дохода, которая идет на чистые капиталовложения (т. е. норма накопления), →= )(tLL осредненная по возрасту численности трудящихся, →= ),( taϕϕ потенциальная функция трудящихся в момент времени t,
1),(
0),(max
min
=
≥
∫a
adata
ta
ϕ
ϕ, →= ),( taNN численность трудящихся возраста, а в момент
времени t. Известно, что эта функция удовлетворяется следующими условиями:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=+
∫∞
=0
00.),),,((),0(,)(
),),,((
datataNBtNaNN
tataNFдaдN
дtдN
t
51
51
Здесь )(),( ⋅⋅ BF являются соответственно функциями смертности и рождаемости населения страны, )(0 aN - начальная численность населения.
Основной результат данной работы можно сформулировать в виде следующего утверждения:
- Если в процессе производства учитывать возраст рабочих и
∑∞
=
==⋅=⋅0
00 )(,)()(,)()(j
tj
jeCtLтоNaBBNaFF δ
,
где max02.1, δδβαδ ==±= иji jоо является корнями уравнения.
1)(0
)(
00 =∫
∫∞ −
daeaB
a
adF δξξ
причем maxδ максимальное вещественное - его корень. Если в процессе производства участвуют n виды трудового ресурса (например; мужчины, женщины разных национальностей) тогда параметры, в представлении для L(t) определяются из решения уравнения
∫∞
− =−0
0))(det( daeaBI aδ
Таким образом для модели
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=≤≤≤≤
−=
==
)).(),((,0,1)(0
)],(),([)](1[)(
,)0(,))(),(()( 0
tLtKfYttt
tLtKfttC
KKtLtKftdtdK
kεε
ε
( ) ,1,,0),(
,),(),()(
0
max
min
=≥
=
∫
∫a
a
a
dtta
dataNtatL
ξξϕϕ
ϕ
МальтусаЗаконtLtL
tYtCtIdtdKtI
−=
=+=
)exp()0()(
)()()(,)(
δ
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=+
∫
=
,)),,((),0(
),(
),,,(
max
min
00
a
a
t
dttNBtN
aNN
NtaFдaдN
dtdN
ξξξ
из полученных результатов
52
52
.,,1)(
,)(,)0()(
0
1
jjjjjj
j
tk
t
daeaB
eCtLeLtL j
βαδβαδαδ
δδ
−=+==
==
∫
∑∞
−
∞
=
следует что возрастные, половые и другие факторы показывают, что численность трудящихся растет по закону Мальтуса и колебательный характер (см. рис. ниже ).
0 L
t K
L(t
t
L0
53
53
Моделям долгосрочного развития экономики посвящены ряд работ, в которых динамические процессы при помощи разностных уравнений. В качестве производственных функций в этих работах берутся или производственные функции в дискретном виде, или непрерывные производственные функции. Так типа Кобба Дугласа, СЕГ-а или в постоянной пропорции. В этих работах, в качестве функции описывающейнаселенность рабочей силы используется функция, которая зависит только от одного временного параметра t. Влияние таких параметров как возраст, (от 16-19, 20-55) половые (мужчины, женщины), пространственные факторы и работоспособность трудящихся остались не исследованными.
В данной работе преложены модели долгосрочного развития экономики с учетом возрастного состава трудящихся:
( )
( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤≤=
≤≤−=
≤≤==
==
∫max
min
0,),(,)(
,1)(0)),(),(()(1()(
0,)),(),(()(
)(),(()()()),(),((
00
a
ak
x
ttdataNtatL
tStLtKftStC
ttKKtLtKftSDtdK
tLtKftStItLtKfy
ϕ
Известно, что эта функция удовлетворятся следующими условиями:
( ) ( )∫ =≤max
min
1,,0,a
a
datata ϕϕ .
Основной результат для данной задачи можно сформулировать в виде следующего утверждения. - Если в процессе производства учитывать возраст рабочих и
.)()(,)()( 00 NaBBNaFF =⋅=⋅ Тогда ∑∞
=
=0
)(j
tj
jICtL δ,
.1)(0
)(
00
0
=∫
∫∞ −
daeaB
a
adF δξξ
Причем maxδ - является максимальный
вещественный корень последнего уравнения. Если же в производстве участвуют n виды трудового ресурса (например, мужчины, женщины, разных национальностей) тогда параметры jδ в представлении в не установлении для L(t) определяются из решения уравнения
∫∞
− =−0
0))(~det( daeaBI aδ
Из полученных результатов следует, что возрастные, половые и другие факторы показывают, что численность трудящихся не растет по
54
54
закону Мальтуса как в работах в этих параграфах, а имеет колебательный характер. Так как teLtL δ)0()( = , то
∫∫ =≥=a
o
a
a
dttadataNtatL 1),(,0),(),(),()(max
min
ξξϕϕϕ , где
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
=
=+
∫
=
1)),((),0(
)(
),,,(
max
min
00a
a
t
dttNBtN
aNN
NtaFдaдN
dtdN
ξξξ
,
∫
∑∞
−
∞
=
=+=
=
0
1
1)(
)(
daeaB
eCtL
jjj
j
tk
j
αδ
δ
βαδ
Рассмотрение списка цикла, когда в экономике наблюдается полная занятость и производство работает на полную мощность. В следующей за пиком фазе спада производства и занятость сокращается, однако цены те поддаются тенденции к снижению. Цены падают только в том случае, когда спад серьезный и продолжительный, то есть возникает депрессия. Здесь уместно вспомнить старую поговорку: Когда сосед теряет работу, то это спад, а если вы (я) теряете работу, то это депрессия и низшая точка склада, или депрессии, характеризуется тем, что производство и занятность достигнуть самого низкого уровня, начинают вновь “выбираться” со дня. А в фазе оживления уровень производства повышается, а занятость возрастает вплоть до полной занятости.
§8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
ТРУДЯЩИХСЯ Построение модели. Как известно [1,2] между осредненной численностью и численностью трудящихся с учетом возраста имеет место соотношение ∫ ≤≤=
max
min0,),()()(
a
a kttdataNatL ϕ
(8.1)
Здесь )(aϕ - средняя функция, характеризующая трудовые и нетрудовые характеристики трудящихся, такие как работоспособность, организованность, половые, национальные и другие, t – время. Функция N=N(a , t) является решением следующей задачи [3].
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
≤<∞<<=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∂
+∂∂
∫∞
0
),),,((),0(),(),(
0,0),,,(
ξξξ dttNBtNaNtaN
ttataNFNdat
o
k
, (8.2)
где F(.), B(.) – соответственно функции смертности и рождаемости трудящихся, No(a) – начальная численность, а - возраст. Предположим, что F(N, a, t)= - FoN, B(N, a, t)=Bo(a)N. Здесь Fo(а),Во(а) являются соответственно
55
55
коэффициентами смертности и рождаемости, - кусочно-непрерывные
функции. 0)(,0)( ≥≥ aBaF oo . Следуя работе [2,3] введем определения:
1. Потенциалом трудящихся (трудовой и др.) называем число
∫= max
min,)(
a
adBh ξξ где ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
a
oo dFaBaB0
)(exp)()( ξξ - (8.3)
называется функцией выживаемости. 2. Потенциальную функцию трудящихся назовем функцией вида
,)(max )(∫ −a
aaeBС ξδξ (8.4)
где С и δ - параметры, которые подлежат определению. Покажем, что функция )(aϕ в формуле (8.1) представляется в виде (8.4). В самом деле, умножим уравнение (8.2) на функцию )( aϕ (пока произвольная) и результат проинтегрируем по (a,t) имеем:
0)()(0 0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
+∂∂
∫ ∫∞
dadtaNaFaN
tN
t
o ϕ , и
проведя несложные преобразования, получим
∫ ∫ ∫ ∫∞ ∞
∞ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−−+
0 0 0 000 0),()0()()()(
k kk
t t
oot dadttaNaBaaF
dadudtNdaN ϕϕϕϕ
потребуем, что
,0)()0()()()( =−++ aaBaaFdtdu
oo δϕϕϕ (8.5)
тогда с учетом (5.1) имеем
( ) ∫+=kt
k dttLLtL0
)()0( δ . (8.6)
Уравнение (8.6) представляет собой известное уравнение Мальтуса. Действительно взяв tk = t и дифференцируя обе части равенства (8.6) t
получим: )(tLdtdL δ= . Следовательно, параметр δ в уравнении (8.5), и в
представлении (8.4) характеризуем темп роста численности трудящихся определение потенциальной функцией. Рассмотрим уравнение (8.6) и для неё напишем задачу Коши
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<≤=
−+=
maxmax 0,0)(
)0()()())((
aaa
aBaaFdadu
oo
ϕ
ϕϕδ
(8.7)
56
56
Второе условие (8.7) означает, что после достижения возраста атах потенциальная функция трудящихся становится достаточно малым. Легко видеть, что решение задачи (8.7) представляется в виде:
∫∫ −+−
=max
)()()()()(
a
a
dadFo a
oeBoa
ξξξδηη
ξϕϕ
(8.8)
Из (8.4), (8.8) следует, что )(aϕ является потенциальной функцией. Положим, а=0, тогда для определения темпа роста трудящихся из (8.8) получим уравнение
∫ =−max
01)(
ade ξξ δξ
(5.9)
Уравнение (8.9) назовем уравнением выживаемости. Это уравнение имеет только один вещественный корень, который удовлетворяет условия [2]:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<
==
>>
=
10
10
10
max
hпри
hпри
hпри
δ
Остальные корни уравнения (5.9) являются комплексно – сопряженными: jijj βαδ ±= причем ,|| maxδα ≤j j=1,2,3,… таким образом, для осредненной
численности трудящихся имеем:
k
j
tj tteCtL j ≤<=∑
∞
=
0,)(0
δ , (8.10)
где maxδδ =o , Сj - константы представления (например, Со=L(O)). Формула (8.10) показывает колебательный характер численности трудящихся. Потенциальная функция в представлении (8.8) определяется с точностью до постоянного множителя. Этот множитель определим, так чтобы потенциальная функция удовлетворяла условия нормировки:
∫ ≥=max
min.0)(,1)(
a
aadaa ϕϕ Из формулы (8.8) с учетом условия нормировки
получим
∫ ∫
∫−
−
=max
min
max
max
min
)(
)(
)(
)()(
a
a
a
aa
a
aa
dadeB
deBa
ξξ
ξξϕ
ξδ
ξδ
(8.11)
Обобщение результатов. Рассмотрим случай, когда в формуле (8.1)
57
57
потенциальная функция зависит от времени )),(( taϕϕ = , тогда вместо уравнения (5.5) получим уравнение
)()()()()( OaBaaaFat oo ϕδϕϕϕϕ −+=∂∂
+∂∂
(8.12)
и вместо формулы (8.8) получим:
ξξϕξϕ
ξξδηη
tattOeBtaa
a
adFo a
o),()(),( max
min
)()(−= ∫
∫ −+−
(8.13)
Положим )(),( tta µϕ = и в представлении (8.13) возьмем, а = 0. Тогда имеем: ∫=
max
0),()()(
adtBt ξξµξµ (8.14)
Решая интегральное уравнение (8.14) из (8.13) определим функцию ),( taϕ , т.е. значение потенциальной функции трудящихся возраста а в момент времени t. Параметр δ определим из условия нормировки. Решение
уравнения (8.14) ищем в виде λξµ −=cet)( , c=const>0 , λ - неизвестный
параметр, тогда в силу (8.14) имеем: 1)(max
0=
−
∫λξ
ξa
eB т.е. параметр λ
также удовлетворяет уравнение выживаемости (8.9). Рассмотрим МОДЕЛЬ ПОТНЦИАЛА ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ С УЧЕТОМ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Введем функцию ( ) ( )∫∫∞
=0 0
,,,,,)(L
dxdataxNtaxtL ϕ где являются
численностью людской популяции возраста a в точке [ ]Lx ,0∈ в момент времени t. Здесь функция (.)ϕ характеризует осредненную функцию, описывающую работоспособность, образованность людской популяции. Построим математическую модель потенциальной функции трудовых ресурсов. Предположим, что функция ( )taxNN ,,= является решением следующей задачи:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
∫∞
=
00
0
00
0
,),,()(),0,(
),(),,0(
),,(
,)(
dataxNaBtxN
axNtaN
axNN
NaFxNr
aN
tN
t
где t- время, a- возраст, x- пространственная координата , r=r(x) - заданная функция, характеризующая скорость изменения численности по
( ) ( )taxNNtax ,,,0,, =≥= ϕϕ
58
58
направлению x, )(0 aF - коэффициент смертности )(0 aB - коэффициент рождаемости. Умножим первое уравнение на произвольную функцию
),,( taxϕϕ = и результат проинтегрируем по (x,a,t): ttttaLx ∆+≤≤∞<<<< /,0,0 для любого 0>∆t .
∫ ∫ ∫∆+ ∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
∂∂
+∂∂
+∂∂
∆
tt
t
L
dxdadttaxNaFx
raN
tt 0 00 0),,()(1 ϕ
В последнем тождестве проведем интегрирование по частям:
) ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∆+ ∞∞
∆+∆+ ∞
=∂∂
∆−
∆=
∂∂
∆
tt LLtt
t
tt
t
L
Ndxdadttt
dxdaNt
dxdadttN
t 0 0 000 0
1111 ϕϕϕ
∫ ∫ ∫∆+ ∞
∂∂
∆−
∆−∆+
=tt L
Ndxdadtttt
tLttL
0 0 0
1)()( ϕ
) ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆+ ∞∆+ ∞ ∞
∞ =∂∂
∆−
∆=
∂∂
∆
tt Ltt L L
Ndxdadtat
dxdtNt
dxdadtaN
t 0 0 00 0 0 0 00
1112 ϕϕϕ
∫ ∫ ∫∫ ∫∆+ ∞∞
∞= ∂∂
∆−
∆=
tt LL
aNdxdadt
atdxdtN
t 0 0 00 0
11 ϕϕ
) ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∆+ ∞∆+ ∞ ∆+ ∞
=
= ∂∂
∆−
∆=
∂∂
∆
tt Ltt L tt
t
Lx
xNdxdadt
xr
tdadtNr
tdxdadt
xN
t 0 0 00 0 0 00
)(1113 ϕϕϕ
имеем
∫ ∫ ∫∆+ ∞
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
∂∂
+∂∂
+∂∂
∆−
tt
t
L
dxdadttaxNtaxaFtxaBx
ratt 0 0
00 ),,(),,()(),0,()()(1 ϕϕϕϕϕ
∫ ∫∫ ∫∆+ ∞∆+
∞==
∆+
∆+
∆−∆+
+tt
t
Ltt L
adadtNr
tdxdtN
tttLttL
00
0 0
011)()( ϕϕ
В выражении подынтегральной функции первого интеграла последнего тождества прибавим и вычитаем член Nδ , где const=δ - неизвестный параметр. Далее, в силу произвольности функции ϕ положим
[ ]
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
====
=
−+=∂
∂+
∂∂
+∂∂
==∞=,00,0
),0,()()()(
10
00
NNr
t
txaBaFx
rat
xLxa
kt
ϕϕ
ϕ
ϕϕδϕϕϕ
тогда из полученного выше тождества получим Переходя к пределу при 0→∆t получим уравнение темпа роста трудовых ресурсов .L
dtdL δ= Начальное состояние трудовых ресурсов определяется из
представления для L(t):
( ) ( ) .0,,0,,)0(0 0∫ ∫∞
=L
dxdaaxNaxL ϕ
)()()( tLt
tLttL δ=∆
−∆+
59
59
§9. Уравнение денежного обращения Денежное обращение, как известно, согласно количественной теории
денег для совокупного спроса (зависимости между количеством произведенной продукции, на которые предъявляется покупательский спрос и общим уровнем цен) имеет место([ ]1 ): M V= P у, где М- предложение денег, V- скорость обращения денег, P-уровень цен, а у - количество произведенных товаров и услуг. Это уравнение утверждает, что предложение денег определяет объем производства в номинальном выражении, который в свою очередь, зависит от уровня цен и количества произведенной продукции: М=к0Ру, к0=V
1 . Отсюда Р =к0 ,,1VMK
y= и, следовательно, между уровнем цен
и объемом производства существует обратная зависимость. Так как объем производства определяется различными видами произведенных продукций у=(У1 ,У2 ,….Уn) и с ним связан вектор уровня цен Р=(Р1 ,Р2 …Рn),основное уравнение будет определяться в следующем виде:
(у, Р)=МV, где (p, y)= ∑=
u
iiiУP
1. (9.1)
Кроме того, мы будем предполагать, что уровни цен и объем производства Р, являются функциями некоторого параметра, ),,,,( xert=τ где t-время, r- реальная ставка процента, е - обменный курс, х - пространственный фактор. Тогда в основном уравнении (9.1) скалярное произведение (Р, у)
определяется в виде: ∑=
∫∫∫=n
iG ii
ee
r
edredxxertyxertPyp
1maxmin
max
min),,,(),,,(),(
Если обозначить через )(min tΡ и )(max tΡ - соответственно минимальные и максимальные уровни цен в момент времени t, то из основного уравнения (2.1) получим неравенство: ktttytvtMtyt ≤≤Ρ≤≤Ρ 0),()()()()( maxmin ,где
drdedxxertyty iR
e
e
r
i
),,,()(max
min
max
0∫∫∫∑= является общим объемом производства.
Естественно, минимальным и максимальным уровням цен соответственно отвечают минимальные и максимальные предложения денег. Тогда
ytVM
tиty
tVMt
)()(,
)()(
)( maxmax
minmin =Ρ=Ρ . Отсюда
)()(
)()(
max
max
min
minttM
ttM
Ρ=
Ρ, то есть
отношение минимального предложения денег на минимальный уровень цен равно отношению максимального предложения денег на максимальный уровень цен. Это отношение называется запасом денег. Таким образом, при постоянстве объема производства по параметрам (r, e, x) запасы денег не изменяются. Используя теорему о среднем для среднего значения уровне цен по (r, e, x) имеем: )()(,
)()( min tt
tyVMt cpср Ρ≤Ρ=Ρ , и, следовательно,
)()()( maxmin ttt cp Μ≤Μ≤Μ . Полученные результаты справедливы для
60
60
средних значений Р, М, у по времени в рассмотренном временном интервале наблюдений. ,. maxmin Ρ≤Ρ≤Ρ cpeT ,maxmin MM cp ≤≤Μ где черта над величинами означает осреднения по времени значений этих величин, например, .)(1
0∫=Ρ
tk
kdttP
t
P(t) Pmin Pcp Pmax А• P0 •D •M •B С• Ymin Y0 Ymax 0 Объем производства , Y Рис.1. Зависимость уровня цен от объема производства в общем случае
Рис.1. Охватывает, всевозможные случаи, которые могут возникать в реальной действительности. В зависимости от того, в какой части рисунка находится точка М0 = М (У0, Р0), то, какое предложение денег необходимо обществу, ведет соответствующую политику изменения значения объема производства и уровня цен. Например, для постоянного уровня объема производства У0 цены могут меняться от минимального уровня до максимального. Аналогично, мы можем держать уровни цен на некотором выгодном всем уровне Р0, а объем производства уменьшить или увеличить (от Уmin до Уmax). В результате, определяется разумная политика по отношению предложения денег. При любом уровне цен, увеличение предложения приведет к увеличению запаса денег и уменьшению предложения денег приведет к его уменьшению. В первом случае увеличивается, а во втором уменьшается. Если экономика в начале наблюдений находится в состоянии М0, то при снижении совокупного спроса связанного с сокращением предложения денег происходит переход от точки М0 к точке D, в котором объем производства ниже реального уровня, а затем по мере снижения цен происходит рост экономики до уровня У0. На этом же рисунке наблюдается и другая картина. При объеме производства равное У0, сначала уровень цен увеличивается до Рmax, то есть до точки А, а затем плавно снижается до точки В. В результате, происходит скачок в экономике, то есть производство становится максимальным. 1. Вывод уравнения уровня цен. Так как MV=Pу, то
Μ+Μ
=Ρ+ττττ d
dVVdd
ddyy
ddP , и введем обозначения
MvVvvddVv
ddMv ⋅+⋅=== 1010 ,,
ττ, имеем:
61
61
.11 vyd
dyyd
d+Ρ−=
Ρττ
Отсюда, в силу (1.7) получим:
.11 vyd
dLLf
yA
ddf
yAf
ddA
ydd
+∂∂
−Κ
⋅Κ∂∂
−−=Ρ
ττττ
Принимая во внимание значения ,τd
dA из (1.8) имеем:
,)1( 1
yv
yuMPC
dd
+Ρ⋅−−−=Ρ −ετ
(9.2)
где ∑∂Ρ∂
+∂Ρ∂
+∂Ρ∂
+∂Ρ∂
=Ρ .10
ii x
vеrtd
d γγτ
Уравнение (9.2) является основным
уравнением количественной теории денег. Так как, в обозначении для v
входят τd
dv Μ=0 и ,1 τd
dVv = то в нашем расположении, имеется выбор их
изменения, то есть изменения темпов предложения денег и скорости обращения денег. Эти темпы являются допустимыми управлением, и они определяются из решения некоторых типичных задач оптимального управления. При ,t=τ из (9.2), получим формулу:
∫∫
+∫
=Ρ−
− −−−−−− td
yu
MPCdyu
MPCde
yvePt
tt
0
)1()1(
0
1
01
)( ξξ
ξεξε
, из которой при постоянстве
u, yAv ,, имеем:
0)1(),1()( 10
00
00
>−−=+−+=Ρ −−
−
MPCeu
vePtt
yu
ty
u
εεε
εε
Эта формула характеризует временное изменение уровня цен при постоянстве остальных параметров (см. рис. 2). )(tΡ
0Ρ t 0 Рис. 2 Зависимость уровня цен от времени, для постоянных значений параметров
uv
0
*
ε=Ρ .
62
62
P(r) 00 >γ P1 00 <γ r 0 Рис. 3. Зависимость уровня цен от реальной ставки процента при постоянных
параметрах constdtdr
uv
===Ρ 00
1 ,( γγε
)
Если ),,( rt=τ то вместо (9.2) получаем уравнение в частных производных 1-го порядка:
.00 y
vyu
rt+Ρ=
∂Ρ∂
+∂Ρ∂ ε
γ
(9.3)
При ∞→t , решение (9.3) (с условием 10/ Ρ=Ρ =r ) представлено на рис.3. Для решения уравнения (9.3) зададим еще и начальное условие )(00/ rt Ρ=Ρ = и граничное условие типа образования уровня цен в зависимости от параметра r, то есть
∫= Ρ=Ρ max0max/ .),()(r
rr drtrrϕ Здесь ∫ ===≥max
00 .,1)(,0)(
rconst
dtdrdr γξξϕϕ
Полученная задача представляет собой пример задач с функциональными начальными условиями, которые введены и исследованы в работах автора [4]. Легко видеть что решение (9.3) представляется в виде:
∫∫
−∫
−Ρ=Ρmax
0
0max
0
),0(),(r
r
yu
deyvderttr r
duYur
r ξξγ
ξ
εε
Функцию ),0()( tPt =µ определим из граничного условия образования цен, то есть
),()()()( 00
max
0
max0 tfdtert dYu
r
r
r
+−⋅∫= ∫ ξγεµϕµ ξ
ε (9.4)
где
63
63
.)(
max0maxmax
00 drde
yvtf
duYu
r
r
r
r
r
ξε
∫−= ∫∫
Уравнения (9.4) представляют собой неоднородные интегральные уравнения типа восстановления. При ∞→t получим:
∫∫
−∫Ρ=Ρ− max
0
0max
0max100 1)()(
r
r
duYu
dYu
deyverr r
r
r ξγ
ξ
γε
ξγε , (9.5)
где 0
)(1
1
)(max
0
maxmax
00max max
0
0
0
0
≥∫
−
∫−
=Ρ
∫
∫∫r ddu
Yu
r
r
duYur
r
r
r
r
Yu
rξ
γε
γε
ϕ
γ
ξ
l
l
. Из формулы (9.5), при
постоянных А, У,u,v1 , имеем
)(
0max
0
max0
0
)()(rr
Yu
uvr
uvr
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−Ρ+=Ρ γ
ε
εεl .
Полученная формула интерпретируется в виде следующего рисунка. P(r) 00 <γ P0 00 >γ 0 r Рис.4. Зависимость функции уровня цен от реальной ставки процента r при разных
знаках с темпом .),( 0max0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ==Ρ=Ρ const
dtdrr γ
Заметим, что рисунки 1,2 идентичны, хотя имеются разные граничные условия. Аналогично, рассматривается случай, когда x== ττ ,l и
64
64
).,,,( xert=τ
§10. МОДЕЛИ ДОЛГОСРОЧНОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ С УЧЕТОМ ВОЗРАСТА ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ
Данный параграф посвящен построению и обоснованию математических экономических моделей с учетом возраста трудящихся. Предложенная модель рассматривается, когда в качестве производственной функции берется некоторая обобщенная производственная функция с обычными свойствами характерными для них. Моделям долгосрочного развития экономики посвящена работа [1], в которой динамические процессы описаны при помощи разностных уравнений и дискретный функций. В работе [2] для описания экономических процессов используется аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными входными функциями. В этих и других моделях в качестве функции описывающей численность рабочей силы используется функция, которая зависит только от одного временного параметра t. Влияние таких параметров как возраст, половые и пространственные переменные остаются неисследованными. Численность трудящихся в этих работах подчиняется закону Мальтуса. В настоящем параграфе делается попытка построения математической модели экономики некоторого условного государства свободной от этих недостатков. Такая модель для некоторых экономических систем была построена в работе [3]. Мы будем рассматривать экономическую систему, которая содержит следующие блоки:
Математическую модель такой экономической системы будем строить следующим образом. Мы будем исследовать экономическую систему, в которой производятся различные товары и они оцениваются с помощью одного продукта: «деньги». Таким образом, «деньги» единственный продукт, который производится и распределяется между блоками потребления и инвестициями (чистые капиталовложения). Таким образом, «деньги» - это чистый материальный общественный продукт, который называют национальным доходом страны. Процесс производства будем рассматривать в промежутке [0, Т], и его разделим на n периоды с помощью точек tj (tj < tj+1), t0 =0, tn=T, причем tj+1= tj+τ, τ>0 шаг периода. Для произвольного момента времени t из произвольного периода введем
Производство Рынок
Потребление
65
65
следующие обозначения: y = y(t) – национальный доход, C= C(t) – потребление, I=I(t) – чистые капиталовложения (средства на расширение производства), K=K(t) – величина основных фондов. Заметим, что под потреблением понимается все непроизводственное потребление, как отдельных лиц, так и государства, включая затраты на оборону, образование, управление и т.д. Под капиталовложениями понимаются средства, направленные на увеличение оборотных фондов (запасов) и основных фондов производства. Следовательно, можно написать: Y(t) = I(t) +C(t) и K(t+τ)=K(t)+I(t)τ. Национальный доход Y(t) создается в процессе производства, и он является функцией количества основных фондов и числа трудящихся, занятых в сфере производства в момент времени t. Таким образом, Y(t) = f (K(t), L(t)). Здесь L=L(t) – численность трудящихся в момент времени t и очень часто эту функцию определяют по закону Мальтуса [2]: L(t) = L(0) exp (ηt), где η - заданный темп роста трудоспособного населения страны. Определим еще одно понятие, которое называется нормой накопления [2]:
)()()(
tYtItS = . Очевидно, что
0 ≤ S(t) ≤ 1. Мы будем предполагать, что в начальный момент времени t=0 число трудящихся L(0), количество основных производственных фондов К(0) заданы. На основе объединения полученных соотношений модель долгосрочного развития экономики можно определить при помощи следующих уравнений:
⎧ Y(t) = f(K(t), L(t)), I(t) = S(t)Y(t) ⎨ C(t) = (1-S(t)) f(K(t), L(t)), 0 ≤ t ≤ T0,
⎩ =dtdK S(t) f(K(t), L(t)), K (0) = K0 (10.1)
Отличительная черта нашей работы от других работ состоит в том, что число работоспособного населения L(t), мы будем определять как некоторый функционал, учитывающий их возраст и умение каждой возрастной группы населения [3]:
L(t) = ∫max
min
,),(),(a
a
dataNtaϕ (10.2)
где N = N (a,t) – число трудящихся возраста а в момент времени t, и является решением следующего дифференциального уравнения [4]: ),),,(( tataNF
aN
tN
=∂∂
+∂∂
),()0,( 0 aNaN = ∫∞
=0
),),,((),0( ξξξ dttNBtN
(10.3)
Здесь функции F(⋅), В (⋅) являются функциями смертности и рождаемости населения страны, N0(a) – начальная численность трудоспособного населения. Эти функции предполагаются заданными.
66
66
В функционале (10.2) функция ϕ(a,t) характеризует вклад а-го возраста, их умение и образованность в сфере производства, причем она удовлетворяет следующим условиям:
0),( ≥taϕ , ∫ =max
min
1),(a
a
dataϕ для любого момента времени t.
В системе (10.1)-(10.3) имеется только одна свободная переменная S=S(t), и ее будем считать управлением и будем изучать последствия ее изменения. Зададим множество допустимых управлений
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−≤≤= ...)(
1)(0:)(фнкtS
tStSU и сформулируем оптимизационную задачу.
Требуется определить такое допустимое управление S = S(t) ∈U, для которого функционал
∑==
n
iii tYSJ
1),()( α 0≥iα , ∑ =
=
n
ii
11α (10.4)
(или функционал J(S) = Y(T)) принимал свое максимальное значение при выполнении соотношения (10.1)-(10.3). Заметим, что в качестве производственных функций обычно берут следующие функции [1],[2]:
- f (K,L) = AKαL1−α - функция Кобба – Дугласа, - f (K,L) = A[α K-ρ +(1-α)L−ρ]-1/ρ - функция CES (с постоянной
эластичностью), - f(K,L0 = A min K,L - кусочно - линейная производственная
функция. Оптимизационная задача (10.1)-(10.4) будет предметом дальнейшего исследования. Основные результаты: 1. Функция
ρρρ
αα
1
0
1
1
00 1
−−−
−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
LL
KKYY
nn
nn
является общей
производственной функцией, из которой следует все вышеперечисленные производственные функции.
Пусть F (⋅)=F0 (a)N, B (⋅) = B0(a)N и δi являются решением уравнения выживаемости [4],[5]:
,1)(~0
=∫∞
− daeaB ajδ (10.5)
где ,)()(~ 00 )(
0
∫=
−a
dF
eaBaBξξ
тогда ,:)(0∑∞
=
=j
tj
jectL δ jjj iβαδ ±= . Если
биологический потенциал населения ∫∞
==0
,1)(~ daaBh ,0)(~ ≥aB тогда
67
67
,2 ia
jj
πδ = ∫∞
=0
.)(~ daaBaa Если в процессе производства участвуют n вида
трудящихся, т.е. ∑ ∫=
=n
i
a
aii dataNtatL
1
max
min
,),(),(:)( ϕ то δj в представлении L(t)
являются решением следующего характеристического уравнения [5]:
∫∞
− =−0
,0))(~det( daeaBI aδ
где матрица выживаемости трудоспособного населения )(~ aB определяется
следующим образом ),()()(~0 aaBaB Χ= ),()(0 aaF
dad
Χ=Χ .)0( I=Χ Здесь матрицы
В0 (а), F0 (a) являются квадратными матрицами n-го порядка и характеризуются соответственно матрицей рождаемости и матрицей смертности населения в целом. В случае, когда
∫ ==∞
0,1)( daah β 0
),()~(
sup)( .
0≥=
> xxB
a xx
xβ имеем: ,
aj
jαπδ = ∫
∞
>=0
.0)( daaaa β
В случае, когда ε(t) = ε = const для любого момента времени t из каждого временного периода, имеют место формулы:
)(0)()()()( 22
210 εεε +++= thththtK , где ),0()(0
iKth = ),,( 01 Lhfh = ,0)(1 =jth
,11 0h
Kfh hk=∂∂
= ,0)(2 =jth τ+∈ jj ttt ,[ , τ>0.
Пусть ϕ (a,t) ≡ ϕ (a) для любого t ∈ [0,T]. Тогда имеет место:
)0()( εε =a ∫ ∫ −+−∞
a adadFB
ξξξδηηξ ,))()(exp()( 00 где
∫ ∫ ∫ −−=∞∞
000 ,))(exp()(/1)0(
a adaddFB
ξξδξηηξε δ является максимальным
вещественным корнем уравнениям (10.5).
§11. Некоторые вопросы интеграционного проектирования и моделирования глобальной экономики
Построим концептуальную модель глобального сообщества. Пусть 1,2,3 … n входят в это сообщество, и они взаимосвязаны по схеме, приведенной в приложении 2 в виде графика взаимодействий. На этом
графике стрелки i •↔• j означают взаимную связь i-ой и j-ой строк, а стрелка ∩ • i означает саму эффективность и полезность этих связей в целом со всеми странами на собственную i–ю страну. Если при двустороннем взаимодействии между i-ой и j-ой странами выгода будет данной стране i, то на соответствующей вершине соответствующего графика взаимодействий ставится знак +, а если нет то ставится знак -. Например, запись
21 •⎯→⎯⎯⎯←• −+ означает, что от взаимных связей стране 1 будет польза, а
68
68
стране 2 в целом вред. При этом различают следующие виды взаимодействий и связей: 1) «хищничество» - ji •⎯→⎯⎯⎯←• +− , 2) конкуренция ji •⎯→⎯⎯⎯←• −− , 3) кооперация или идеальное сотрудничество, 4) частичные или полные нейтралитеты типа: ji 0 •⎯→⎯⎯⎯←• + ; ji 0 •⎯→⎯⎯⎯←• − ; ji 00 •⎯→⎯⎯⎯←• . На основе введенной концептуальной модели взаимодействий стран проектируемого «Сообщества» строится соответствующая матрица взаимодействий т.е. матрица «Сообщества» А = (аij), где аij – влияние j-ой страны на i-ую, аij является функциями многих экономических, политических, социальных, природных и других параметров «Сообщества». Соответствующая знаковая матрица «Сообщества» легко определяется. Элементами данной матрицы являются знаки + и -, а также нули. Используя знаковую матрицу «Сообщества» на основе критериев качественной устойчивости с учетом возрастных и пространственных распределений [14] и потенциала «Сообщества» [7] можно установить какие именно модельные «Сообщества» являются стабильными и какие нет. При этом, часто выявляются устойчивые структуры (например, регионы) «Сообщества» и на их основе строятся соответствующие экономические и политические структуры. Используя, эту методику сделаем попытку [19] проектировать экономическое сообщество в Центральной Азии. Сюда входят государства Таджикистан, Узбекистан, Киргизия и Туркменистан. Существенную роль при этом играет взаимоотношение Таджикистана и Узбекистана. Страны Узбекистан, Киргизия, Туркмения являются турко-язычными и у них имеются свои интересы. Они по многим параметрам концептуальной модели на графе взаимодействий превращаются в одну вершину с саморегулируемыми явлениями и факторами, т.е. Таджикистан •⎯→⎯⎯⎯←• остальные туркоязычные страны. Кроме этого, Таджикистан связан с Мировым Сообществом в основном через Узбекистан (так как железная дорога проходит через него). В свою очередь водный запас Узбекистана определяется в основном водными ресурсами Таджикистана, который очень богат ими, и ими в принципе можно регулировать с помощью построенной системы водохранилищ. Следовательно, из-за того, что какие знаки формируются на соответствующих вершинах графы взаимодействий, и зависит появление стабильного или нестабильного «Сообщества» Центрально-азиатских стран. Таким образом, при проектировании региональных, континентальных и мировых сообществ, мы в первую очередь должны исходить из стабильности проектируемого сообщества. Для создания глобальной экономики, т.е. экономики Сообщества мы должны определить параметры соответствующей экономической системы. Модельной экономикой такого Сообщества мы назовем триаду (K,L,A) связанную с некоторым производством Y. Производственная функция играет роль производства, так как она превращает капитал и труд в общий доход У. Заметим, что модельная экономическая система (K,L,A) и модельное производство в предыдущих параграфах. Как известно, в настоящее время во
69
69
всем мире различают три типа производства Кобба-Дугласа, СЕS и с постоянной пропорцией. Эти производства не оптимизируются ни по одному параметру. В связи с этим нами было предложено производство и которого в частности следуют все выше перечисленные производства и кроме того его состояние можно оптимизировать по параметру. Все экономические параметры Глобальной экономики, такие как размер капитала, функционал трудовых ресурсов, размер потребления, фондоворуженность, коэффициенты замещения ресурсами, коэффициенты выпуска по ресурсам определяются с помощью следующей модели:
,),,( 00/ Κ=ΚΚΑ=Κ
=τετ
Lfdd
,, 00/ LLLddL
== =τδτ
I=⎦Y, C=(1-⎦)Y,
00/2 , Α=ΑΑ+Α−=
Α=τα
τв
dd , τ = (t,r,e,x),
),(,,)1( 00/1 LKfYyyuMPC
ddy
Α==−−= =−
τετ
,
3210 ,,, uddu
ddNXu
ddGu
ddT
====τε
τττ.) , у = С(Y,e)+I (r) +G+NX(y,e),
ρρρ
αα
1
0
1
1
00 1
−−−
−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
LL
KKYY
nn
nn
,
∫∫= R
a
adxdataxNtaxtL ,),,(),,()(
max
minϕ
ktax ttataNFN <<∞<<=∂ 0,0),,,(0 , ∫∞
− =ο
δ 1)( daeaB a ,
,,,00/ RXNN t ∈= ∞=
∫∞
=0 0 ,),,(),0,( ξξ dtNBtxN .0/ =sN
∫=
a
daF
eBaB 00 (.)
0 (.))( , y(u0,u1,u2,u3) - max. dy=[(1+Ce/NXe) dF+Ir dr+dG]/(1-Ce-NXy/NXe) , de=[(1-Cy-NXy)dF - NXy(Irdr+dG)]/ [(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe],
eF= (1-Cy-NXy) / [(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe], er=-Ir/[(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe], eG=-1/[(1-Cy+CeNXy/NXe)NXe], grad e=( eF, er, eG).
где ∑=
∑= ∂
∂∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=2
1
2
110 )(
i i ii
iii x
Dxex
vrtd
d γγτ
. К этим уравнениям
70
70
необходимо добавить начальные и граничные условия. Предложенная модель является наиболее общей моделью по сравнению с известными моделями Макроэкономики. Это отличительная черта проявляется в определении функционала трудовых ресурсов и, производственной функции Y=Af(K,L). Они раньше определялись согласно модели типа Мальтуса и выше перечисленных производств. В нашей модели учитываются все параметры модельной экономики. В том числе, возрастные и пространственные факторы и др. Из рассмотренной модели в частности следует, что трудовые ресурсы имеют колебательный характер, и устойчивость соответствующего Сообщества зависит от значения одного параметра, так называемого потенциала Сообщества. Этот потенциал определяется с помощью потенциальной функции, которая является решением специального класса дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка. Численность трудящихся также определяется как решением класса задач с функциональным начальным условием. Результаты экономических преобразований в Таджикистане свидетельствуют, что заложены основы новых экономических отношений в стране и создана база для интеграции в некоторые экономические сообщества с определенными условиями. При организации и построении Глобальной экономики и вовлечения Таджикистана в соответствующие экономические системы, мы должны определить соответствующие параметры внутри и между государственными связями так, чтобы во первых - максимизировались соответствующие экономические критерии и во вторых - порожденное экономическое общество был стабильным. Для решения конкретных задач, рассмотренные модели преобразуются в компьютерные модели и проводятся вычислительные эксперименты.
§12. МОДЕЛЬ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПОСЕЛЕНИЙ
В данном параграфе предлагается и обосновывается математическая модель проектирования поселений. Под поселением будем понимать искусственную сложную систему (экономическую, биологическую и др.), главным элементом которой является некоторое биологическое сообщество (люди, животные и др.). Построение модели. Пусть В = В (а) является матрицей экономической и биологической выживаемости сообщества рассматриваемого поселения. Понятие матрицы выживаемости для популяции с учетом возрастного состава, а также с учетом возрастного состава и пространственного распределения было введено в работах ([1]-[3]). Эта матрица определяется следующим образом: В (а) = ⎧ ),()(0 ааВ Χ с учетом возрастного состава ⎨ ),()()(0 aЕааВ n
∧Χ с учетом возрастного состава и ⎩ пространственного распределения,
71
71
где а – возраст популяции а ∈ (0,∞), В0 (а) матрица рождаемости, Х(а) – является решением следующего матричного уравнения
,)0(),()()( 0 IaaFа =ΧΧ−=Χ& F0 (a) – матрица смертности, )(aEn∧ -
диагональная матрица, характеризирующая её пространственный фактор (см. [1], [3]). Будем предполагать, что матрица рождаемости имеет порядок m , т.е. биологическое сообщество состоит из m видов. Как известно, с помощью матрицы рождаемости определяются численности новорожденных в любом моменте времени t ∈ (0, tk), как решение следующего интегрального уравнения типа восстановления [1]:
∫ −=∞
0)()()( daatMaBtM
(12.1)
Численность “взрослых” возраста, а в момент времени t определяется с помощью формулы: N (a,t) = X(a) M(t-a) (12.2)
Следуя работе ([1],[4]) введем понятие потенциала поселения: ),(sup
0ch
cµ
>=
(12.3)
где 1),(),(),(),()( === ccCCB
ccccBcµ , ∫ >=
∞
00)( daaBB , С=N (0,0)>0.
Математическая модель (12.1)-(12.3) для определения потенциала поселения и число новорожденных в начальном моменте времени (h,c*) получено из уравнения (12.1). Действительно, если искать решение (1) в виде M (t) = Ceδ+, где С>0 вектор m – го порядка, δ - неизвестный параметр, то имеем уравнение
0))(det(0
=− ∫∞
adaeaBI δ и 0))((
0
=− ∫∞
CeaBI adaδ
(12.3)
Первое уравнение относительно δ в зависимости от значения ),(),(sup
0 CCCBCh
c>=
может иметь различные корни. В связи с этим, задача нахождения потенциала поселения h и начальная численность С имеет немаловажное значение и их нахождение, мы будем называть задачей наилучшего проектирования поселения. Алгоритм нахождения наилучшего проектирования состоит в определении h*, и затем определение начальной численности *С из уравнения *** ),( hССВ = или 0** =− ChСВ .
Основные результаты работы будем формулировать в виде следующих теорем:
Теорема 1. Для того чтобы задача (12.3) имела единственное решение ),( ** Ch необходимо и достаточно, чтобы h* был положительным
72
72
максимальным корнем уравнения:
0)2
det(*
=+
−BBhI и 0)
2( *
** =
+− CBBIh . (12.4)
Необходимость. Пусть пара ),( ** Ch является единственным решением задачи (12.4). Так как
+∆+
−−=∆+∆+∆+∆+
=∆+ ),]2
([),(),(
),()(*
cCBBIcCBcccc
cccCBсс λµ
2*(),)(,
2(4),)(( coCCCCBBccIB ∆+∆∆
+−∆∆−+ λ ,
где ,CCC = ,
ccC ∆
=∆ ,0),( ≥= CCBλ ,),( ccc = то имеем
,0))(21()( *
** =+−==h
CBBIcgradλ
λµ d2µ<0, т.е. ),( *** CCBh = является
максимальным вещественным корнем уравнения 0)2
det( *
*=
+− h
BBIλ .
Достаточность. Пусть h* максимальный вещественный корень
уравнения (12.5) и ,0)2
( **
=+
− CBBhI тогда 0)(** =
==
hcccgrad
λ
µ . Покажем,
что матрица вторых производных не положительна, т.е.
−∆∆−∆+
=∆∆+
−∆∆−= ),(),2
(),)(,2
(4),)( ***
*2 cchcCBBcccCBBccIhBd µ
.),(4 2* cch ∆−
Покажем, что 2**
),2
( chccBB∆<∆∆
+ , т.е. λ> h*. Это противоречит
максимальности h*. Теорема 2. Пусть максимальный корень уравнения (12.4) h*>0, тогда
,2ln *i
ak
ah
kπδ += к = 0,1,2…, где
∫∞
=0
*)(
hdaaaa β , ),)((sup)(
1ccaBa
a ==β .
Доказательство. Так как
∫ ∫∞ ∞
===0 0
* ,1)()( aaa ehedaadaea δδδ ββ
(12.5)
73
73
т.е *1
he a =δ и *
2 1cosh
ae a =β , .0sin2 =ae a β
Отсюда 0sin =aβ и ,ak
kπβ = к = 0,1,2…. В силу того, что *
2 1cosh
ke a =π
имеем ah
k*ln2 = и к = 0,2,4…. Следовательно, .2ln2
*i
ak
ahi kkk
πβδ +=+=
Определим параметр a . Из равенства (12.6) получим ∫∞
=0
*)( aa edae
ha δδβ и,
следовательно
∫ ∫∫
∫
∫
∫∞ ∞
∞
∞
∞
∞
→→===−=
0 0*
0
0
0
00*0
)(
)(
)(
)(
)(
lim))(ln(1limh
daaa
daa
daaa
daea
daeaa
daeh
aaa
a
a β
β
β
β
ββ
δδ
δ
δδ
δ.
Замечание. Так как уравнение (12.1) имеет решение, ,)(0∑∞
=
=k
ktk eCtM δ где
δк являются корнями уравнения (12.3), а ск – определяющиеся из начальных условий, то численность популяции поселений возраста, а в момент времени t c учетом (12.2) определяется по следующей формуле:
)](2sin)(2[cos)(),()(ln
)(*
ata
kiata
kCeeCataN kat
ah
k
atk k −+−Χ=Χ=
−−∑ ππδ
т.е.
)(2cos:)(),()(*
ata
kCahtaNk
kaat
−Χ= ∑−
π
Коэффициенты Ск определяются из последней формулы при t=0:
daakaah
aС
aaa
кπ2cos)(2 1
0
* −Χ= ∫ .
Пример. Рассмотрим “Поселение”, главными элементами которого являются люди (мужчины и женщины).
В данном случае ([4]) m=2, B0(a)=b0(a) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
1001 ,
74
74
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= )(0
)()(221211
0 afaffaF и
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∫
∫
a
a
df
df
e
eabaB
02
01
0
0)()( 0ξ
ξ
, и,
следовательно, ),max( 2211* bbh = , ∫
∞
=0
)( daabb iiii .
Определим вектор *e из условия, ),(),( *1),( cchCCB ce == т.е.
.*22222112
2111 hcbccbcb =++ )( 2
221 CC + и 1)( 2
221 =+CC и, следовательно,
( ) ( ) 02
21*
2212
12*
11 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−++−
CChb
CCbhb . Отсюда
*_
*22
_*
22*
112
12122
2,121
)(2
))((4C
hb
hbhbbbСС
=
−
−−−±−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ , т.е. .2
*1 CCC =
Так как 122
21 =+СС , то
2*
*12*2
1,
1
1
С
ССС
С+
=+
= .
§13. Сингулярная экономика: модели и некоторые исследования
Данный параграф посвящен исследованию некоторых моделей сингулярной экономики. Сингулярной модельной экономикой мы будем называть такую экономику, в которой уравнения описывающие состояния главных экономических параметров содержат сингулярные коэффициенты, которые при некоторых значениях изменяет вид этих уравнений. Сингулярная модельная экономика, как и любая модельная экономика, состоит из производства материальных благ (продукты) и их распределение, а также учета денежного обращения. Рассмотрим случай, двух производственных ресурсов (капитал и трудовые ресурсы). Тогда на основе вышесказанного любую экономику можно представлять в виде следующих представлений [1-3].
Y=Aƒ(K,L),γ=I+C+G+Nx, (13.1) Первое уравнение (1) характеризует модельное производство с произвольной производственной функций: Y-количество материальных благ (продукты или доход), A-уровень технологий, f(.)-вид производства с величиной капитала K и величиной трудовых ресурсов L. Второе уравнение (10.1) означает распределение общего дохода (или материальных благ) на инвестиции -I, потребление -C, государственные закупки G и чистого экспорта –Nx. В
75
75
третьем уравнении приводится соотношение, характеризующее денежное обращение с параметрами P -уровни цен, скорость обращения денег. В дальнейшем, всюду, мы будем рассматривать случай, когда
dtdy
dtdY
= . Когда
все экономические параметры зависят только от одного параметра t (t –время) в работе [3-11] получена следующая модельная экономика Y+Aƒ(K,L), y=I+C+G+Nx, MV=Py, =
dtdK εAƒ(K,L), K(0)=K0,
=dtdL δL, L(0)=L0, L(t)= ∫
∞
0ϕ(a,t)N(a,t)da,
δ:aδα −
∞
∫ e)B(0
= 1, ∫=
−a
daFeBaB 0 0
0)( ,
ataaFtt
δϕϕϕ+=
∂∂
+∂∂ ),()(0 , (13.2 )
,),()(),0(,)( 000 dataNaBtNNaFaN
tN
∫∞
=−=∂∂
+∂∂
N ),(00 aNt == 02
10 )0(, AAAAatdA
=−= γγ ,
032 )0(, PPPdtdP
=+= γγ ,
где A0 , P0, γI =const>0, I=1,2,3. Модельная экономика (13.2) является регулярной экономикой, т. е. все коэффициенты и функции входящие в модель (13.2) вполне определяются, и никаких вырождающихся уравнений нет. Заметим что новизна идей в модели (13.2) от традиционных моделей экономики состоит в определении функционала трудовых ресурсов L=L(t), через потенциал трудовых ресурсов ),( taϕϕ = и коэффициенты F0(.), B0(.) входящие в модель (13.2) характеризируют соответственно смертность и рождаемость людской популяции , а параметр ε доля распределения на инвестиции , 0< ε <1. Цель настоящего параграфа состоит в моделировании экономических параметров в зависимости от пространственных параметров, которые порождают сингулярную модельную экономику. Рассмотрим область G =(x1, x2):0≤x1≤ L1 , 0≤ x1≤ L1, в которой сосредоточены все виды производства f(.)=fi(.) с технологией Ai = Ai(.) и производственными ресурсами (K,L). В результате математического моделирования получим следующую модельную экономику:
iii
i AxKr
tK ε=
∂∂
+∂∂
ƒ i2,1),,( =iLK ,
76
76
i
i
xLr
tL
∂∂
+∂∂ )( ,1)(:,
0: == −∞
∫ daeaBL aiii
δδδ
dataxNtatxL ),,(),(),(0
ϕ∫∞
= ,
,),0(00 δϕϕϕϕϕ+−=
∂∂
+∂∂ tBF
atii
,0=∞=aϕ (13.3)
,),,(0 NxtaFxNr
aN
tN i
ii −=∂∂
+∂∂
+∂∂
,),,(),,(),,(),,0(),,( 0000 daxtaNxtaNxtaBxtNxaNN it ∫
∞
= ==
,,, 1002
1i
iti AxAAAAAxiA
dtA
==−−=∂∂
+∂
=γγογ
,,, 100032i
iti
i PxPPPPxP
tP
==+=∂∂
+∂∂
==γγγ
Здесь r i= ri (x 1, x2 ) >0, при (x 1, x2 ) >0, и r((x 1, x2 ) =0, при (x1
0, x20)=0
характеризирует сингулярный коэффициент, −ε доля дохода идущая на инвестиции производства fi = fi (K, L) с технологией Ai . Модельная экономика (13.3) является сингулярной переопределенной экономикой. В модельной экономике (13.1)- (13.3) могут функционировать разные виды производства fi = fi (K, L) . Относительно видов производства следует отметить, что существует четыре вида производства:
1) ƒ =),( LK ƒ0−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− αα 1
00 LL
LK
модельное производство
Кобб- Дугласа , 0<α<1, ƒ0, K0, L0 =const>0;
2) ƒ =),( LK ƒ0 −⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
00
,minLL
KK
модельное производство с постоянной
пропорцией;
3) ƒ =),( LK ƒ0
1
00
)1(⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− pp
LL
LK αα p
1
-- модельное
производство Солоу, 0<ρ<1;
77
77
4) ƒ =),( LK ƒ0
p
snn
pnsn
p
LL
KK
1
0
/(
0
)1(
−−
−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−αα
- модельное
производство типа µ (мю), ρ=ρ0 s, n>s, s≥1, 0<ρ0<∞. Последнее производство было предположено автором. Из четвертой функции при n→∞ (или s→0 ) следует функция 3) из которой при ρ→0 и ρ→∞ соответственно вытекают функции Кобба- Дугласа с постоянной пропорцией. Последнее производство было предположено автором. Из четвертой функции при n→∞ (или s→0 ) следует функция 3) из которой при ρ→0 и ρ→∞ соответственно вытекают функции Кобба- Дугласа и с постоянной пропорции. Заметим, что в модели (3) для людской популяции можно легко учесть диффузионные изменения популяции с диффузионным коэффициентом Di = Di (N), при чем Di (0)=0, и половое распределение популяции мужчины и женщины [7,8]:
∞<≤∈=≤<
aGxNaFNDktttax 0,,)(
00 , ∑=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=2
1)(
ii
i
ii
itax xD
xxV
atD
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
≤<=
∞<≤∈=
∫∞
=
,0
0,),,()(),0,(
,0,),,(
00
00
S
k
t
N
ttdtxNBtxN
aGxaxNN
ξξξ
где: ),,...( 1 mNNN = ),,,( taxNN ii = i=1,…,m;
,)(),...,(
)(),...,()(
1
111
0
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−−−−−−=aFaF
aFaFaF
mmm
m
,)(),...,(
)(),...,()(
1
111
0
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−−−−−−=aBaB
aBaBaB
mmm
m
,...00
0...01
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−=
im
i
i
V
VV .2,1,
...00
0...01
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−= i
D
DD
im
i
i
Приведем некоторые полученные результаты для модельной экономики (10.3). Теорема. Пусть имеют место условия:
,,0,0),((.)),(,0,0,0 22
21
02
010000 xxrrxxaBBaFF
tN
tL
tK
iii +=======
∂∂
=∂∂
=∂∂
78
78
ƒ =),( LKi ƒ ,2.1,1
000 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
iLL
KKi
αα
∫
∫
=−
+−+=
−−
−−
y
yLK
Afr
yxL
x
xr
yxL
ffdyf
dxfyxKxK
0
00
0111
0
01
,,)1(
)1(),()(
01),(
1
),(100
1
ε
α
αα
α
α
α
тогда справедливы следующие результаты:
,,)( 202
20100
2
202
2102
22
212
1
202
20101
202
2110 xxrLxL
xxx
xxx
xxx
xxxrr +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
++
++
++
++δδ
( ) ,
000)()(,)()0()(
daaFa
a
a
eaBaBdaeaBa ∫==−∞
∫ δϕϕ
.1)(,)(/1)0(,1)(000
=== ∫∫∫∫∞∞∞−∞
daadadeBdaeaBa
a ϕζζϕ δδ Полученные результаты будем интерпретировать графически. При 1=δ зависимость трудовых ресурсов L(x1 , x2 ) и капитала K(x1 , x2 ) от пространственных факторов (x1 , x2 ) можно представить в виде приведенных ниже рисунков 1-3. Первый рисунок посвящен величине трудовых ресурсов в случае когда (x1
0 , x2 0) =(.01,0). Вырождение в точке (x10 , x2 0) показывает,
что здесь никакого изменения роста трудовых ресурсов не происходит. На двух последних рисунках приведены величины капитала полученного интегрированием трудовых ресурсов согласно модельному производству Кобба-Дугласа. Из этих рисунков также следует,
что величины капитала по направлению x2 не изменяются. Пусть x0=1, L0=100, d1=d2=1, тогда для величины рабочей силы имеем ( смотрите рис. 1,2,3).
The Labour Resources
L
The Labour Resources
L Рис.1 Рис.2
L x y,( )
x0 L0⋅xx0
⎛⎜⎝
⎞⎠
d1⋅
y x2 y2+( )12
+
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
d2
xd2⋅
x2 y2+( )12
:=
79
79
L x y,( )x x2 y2+( )
12
+
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
x2 y2+( )12
:=
L Рис 3 Аналогичные результаты результаты имеем для фунлции капитала(см. рис. 4,5 ).
K x y,( ) 100. ln x x2 y2+( )12⎛⎜⎝⎞⎠
+
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦⋅ y⋅ 100. x⋅+:= K x y,( ) 100. y⋅ 100. x2 y2+( )
12
⎛⎜⎝
⎞⎠
⋅+:=
1). The Kapital
K
Рис.4
2). The Kapital
K Рис.5
80
80
Заметим, что в модели (10.3) для людской популяции можно легко
учесть диффузионные изменения популяции с диффузионным коэффициентом Di = Di (N) и полового распределения популяции мужчины и женщины.
Приложение ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, СВЯЗАННЫЕ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ I-ГО ПОРЯДКА С ЭКСТРЕМАЛЬ-НЫМИ СВОЙСТВАМИ И С СИНГУЛЯРНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ Данное приложение посвящено вопросам представления решений и их
обоснования для модельных уравнений с экстремальными свойствами в случае сингулярных коэффициентов на специальных классах возможных решений, а также представления решения этих уравнений.
§ 1. Простейшие уравнения с сингулярными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными
первого порядка вида
,222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
yuy
xux
tu
(1.1)
где ( ) ( ) ( ) ;0;,:,,,, ≥Ω∈=∈ tyxtyxGtyx ( ) 0;0:, ≥≥=Ω yxyx .
Ясно, что в точке 0;0 == yx уравнение (1.1) вырождается в уравнение,
которое в корне отличается от него. Уравнение (1.1) сначала решим в классе
простейших решений, т.е. будем предполагать, что
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
=∂∂
21 , CyuyC
xux
Ctu
(1.2)
Проинтегрировав 1-е уравнение (1.2), имеем:
( ) ( ) Ctyxutyxu += 0,,,, 2121 (1.3)
Аналогично, интегрируя второе и третье уравнения (1.2)
соответственно от 00 , yx до yx, , получим соотношения
81
81
( ) ( ) ∫+=x
x
dCtyxutyxu0
10 ,,,,ξξ
и
( ) ( ) ∫+=y
y
dCtyxutyxu0
20 ,,,,ξξ
или
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2
1
00
00
ln,,,,
ln,,,,
С
С
yytyxutyxu
xxtyxutyxu
(1.4)
На основе полученных представлений (1.3) и (1.4) имеем
( )21
000 ln,,
СС
yy
xxСtutyxu ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= , (1.5)
где ( )0,, 000 yxuu = - произвольное число, а 1,CC и 2С являются
произвольными решениями уравнения 222
21 CCC =+ . При произвольных
21,CC и 222
21: CCCС =+ , но ясно, что представление (1.5) не имеет
смысла во всех точках области G . Поэтому выбираем такие решения
21,CC и С , для которых представление (1.5) имеет смысл во всех точках
области G , в том числе и в точке 0;0 == yx . Пусть
00021 ,0 yxCCC =>=−= , тогда из представления (1.5) при
0,0 >> yx будем иметь ( )0
00 ln2,,С
yx
tСutyxu ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++= , где 00 >C -
произвольное положительное число. Рассмотрим отношение 0C
yx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛. Ясно,
82
82
что при 0,0 →→ yx мы получаем неопределенность типа "00" . Изменим,
закон стремления к нулю переменных x и y . Рассмотрим уравнения
( ) ( )sysx 21 , ϕϕ == , где ( ) ( )2,10 =→ jsjϕ при 0→s . Предположим,
что ( ) ( )2,1=jsjϕ достаточно гладкие функции при +∞<<∞− s и
( ) 2,1,00 =≠ jjϕ .Тогда легко видеть, что
( )( ) 00
2
1
00limlim ≠==→→
ϕϕϕ
ss
yx
ss
.Не умаляя общности, можно взять 10 =ϕ .
Таким образом,
( ) tCutyxuys
00
00
2,,lim +=
→→
.
Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
=∂∂
uCyuyuC
xux
Ctu
21 , (1.6)
где .222
21 CCC =+ Легко видеть, что в классе (1.6) имеют место
представления
( ) ( )
( ) ( )∫
=
=x
xdC
etyxutyxu
Cteyxutyxu
01
0 ,,,,
0,,,,
ξξ
( ) ( )∫
=
y
ydC
etyxutyxu 02
0 ,,,,ξξ
из которых получаем: ( )2
0
1
00
ln,,
С
yyC
xxCt
eutyxu⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= , где
83
83
( )0,, 000 yxuu = , а 21,CC и С являются решениями уравнения
.222
21 CCC =+ Легко видеть, что последнее представление можно
переписать в виде
( ) Cteyy
С
xx
utyxu ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
0
1
00,,
Для получения значения константы 0u поступаем как в классе простых
решений. Положим 0021 >=−= CCC и тогда, переходя к
параметрическому уравнению ( ) ( )sysx 21 , ϕϕ == , где ( ) ( )2,10 =→ jsjϕ
при 0→s , имеем ( ) tCeutyxuys
00
00
2,,lim =
→→
.
Рассмотрим теперь уравнение вида
,222
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
yuky
xukx
tu
(1.7)
где 1>k заданное число. Исследуем уравнение (1.7) сначала в классе
простых решений, т.е.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
=∂∂
2
1 ,
Cyuy
Cxux
Ctu
k
k
где .222
21 CCC =+ Отсюда, нетрудно заметить, что имеют место
представления
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )kk
kk
yyk
Ctyxutyxu
xxk
Ctyxutyxu
Сtyxutyxu
−−
−−
−−
+=
−−
+=
+=
10
120
10
110
1,,,,
1,,,,
0,,,,
84
84
Из этих представлений имеем:
( ) ( ) ( )110
2110
10 11
,, +−+−+−+− −−
+−−
++= kkkk yykCxx
kCСtutyxu ,
где ( )0,, 000 yxuu = произвольное число, а 21,CC и С являются решением
уравнения, .222
21 CCC =+ Поскольку 21,CC и С произвольные решения
уравнения 222
21 CCC =+ , то положим ,, 1
021
01−− =−= kk yСxС
( ) ( )120
120
22
21
−− +=+= kk yxCCC , тогда при 0,0 00 >>>> yyxx ,
получаем решение уравнения (1.7) в следующем виде
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−
−+⋅−+−+=
11
1111,, 00
00022
k
yy
k
xx
ktkykxutyxu - в классе
простых решений. Отсюда, при 0,0 00 →→→→ yyxx , имеем:
( ) 0
00
,,lim utyxuyx
=→→
. Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
=∂∂
uCyuy
uCxux
Cutu
k
k
2
1 , (1.8)
где .222
21 CCC =+ Легко заметить, что на классе (1.8) имеют место
следующие представления: ( ) ( ) Ctyxutyxu e0,,,, = ,
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −− −
−=kk xx
kC
tyxutyxu e110
1
01,,,, , ( ) ( )
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −− −
−=kk kyk
Ctyxutyxu e
110
2
01,,,,
из которых получаем
85
85
( )1111
02
01
011,,
+−+−+−+− −−
+−−
+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ kkkk yy
kCxx
kCCt
utyxu e . Положим, как и в
случае простых решений ( ) ( ) 0,, 120
120
102
101 >+==−= −−−− kkkk yxCyCxC ,
тогда при 0,0 00 >>>> yyxx , получаем решение (1.7).
( )( ) ( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
+⋅+
=
−−−
11
1
,,
0000
0
11212
kyy
xx
ktyx
eutyxu
kkk
- в классе
экспоненциальных решений. Отсюда, при 0,0 00 →→→→ yyxx
имеем: ( ) 0,,
0
0lim utyxu
y
x=
→
→.
§2 Простейшие уравнения с m независимыми переменными и
вырождением
Рассмотрим уравнение типа
∑= ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ m
j jj x
uxtu
1
22
(2.1)
где ( ) ( ) ( ) ;0;:,,;0;,...,,,2 21 ≥Ω∈=∈≥=Ω∈=≥ txtxGtxxxxxxxm m
Для решения уравнения (2.1) зададим возможный класс решений. Сначала
рассмотрим класс простых решений, т.е. составим систему
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==∂∂
=∂∂
miCxux
Сtu
jj
j ,1,
, (2.2)
где mCCC ,..., 1 являются решением согласования ∑=
=m
jj CC
1
22 .
86
86
Легко видеть, что на классе простых решений (2.2) для уравнения (2.1)
имеют место представления
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 00
12121
01
112
0121
2121
ln;;,...,,,,...,,
........................................................................
ln,,...,;,,...,,
0,,...,,,,...,,
m
mmmmm
mm
mm
xxCtxxxxutxxxu
xxCtxxxutxxxu
Ctxxxutxxxu
+=
+=
+=
−
Отсюда, в силу условия совместимости получаем
( )mC
m
mCC
m xx
xx
xxCtutxxxu ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= 00
2
201
1021 .....ln,,...,,
11
(2.3)
Ясно, что полученное решение в точке ( )mjx j ,10 =→ не определено.
В случае, когда m является четным числом, т.е. m=2k, то предполагая 0
2120243
0121 ,...,, kkk CCCCCCССС =−==−==−= − и изменив закон
стремления ( ) ( )mjsx jj ,10 =→= ϕ при ( ) ,00,0 ≠→ js ϕ из (2.3) имеем:
( ) tcutmxxxu
mx
x
00,212,...,lim
0
...........
01
+=
→
→
где ( )∑=
=k
jjCC
1
200
. Когда m является нечетным, т.е. 12 += km , то
пологая 0122222
0243
0121 ,,...,, kkkkkk CCCCCCCCCССС =−=+−==−==−= +
++−
получим
( ) tСutmxxxu
mx
x
00,2 2,...,1lim
0
...........
01
+=
→
→
87
87
Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений для уравнения
(2.1), т.е. предполагая систему уравнений
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==∂∂
=∂∂
mjuCxux
Cutu
jj
j ,1,
получаем
( ) tCC
m
mCC
m exx
xx
xxutxxxu
m
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 00
2
201
1021 ....,,...,,
11
где ( )0,...,, 002
010 mxxxuu = , а mCCCC ,...,,, 21 -являются
решением:∑=
=m
jj CC
1
22 . Отсюда поступаем как в классе простых решений,
имеем:
( ) tCeutmxxxu
mx
x
020,,...,,lim 21
0
...........
01
=
→
→
Теперь рассмотрим более общее уравнение, чем уравнение (2.1), т.е.
уравнение вида 2
4
1
2
∑= ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
j j
kj x
uxtu
, (2.4)
где 1>k - заданное число. Исследуем уравнение (2.4) сначала в классе
простых решений. Составим систему
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===∂∂
=∂∂
∑=
m
jjj
j
kj CCmjC
xux
Ctu
1
22,,1,
88
88
из которых будем иметь, следующие представления:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,1
,,...,,,...,,,
........................................................................................
,1
,...,,,,...,,,
,1
,...,,,,...,,,
0,...,,,,...,,,
1
1
0102121
02
12
202121
101
12
0121
2121
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+=
−+=
+=
+−
+−
+−
+−
+−
k
k
mk
mm
mm
knm
kmm
mm
xxk
Ctxxxutxxxu
xxk
Ctxxxutxxxu
xk
Ctxxxutxxxu
Ctxxxutxxxu
Из этих представлений следует, что функция
( ) ( ) ,1
,...,,,1
10021
1
∑=
+−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−++=
+−m
j
кjj
jm xx
kC
Сtutxxxuk
(2.5)
при любом значении ( )0,,...,, 002
010 mxxxuu = является простым решением
уравнения (2.4), при к>1 и произвольных mСССС ,...,, 21 решений уравнения
∑=
=m
jj CC
1
22 . В силу произвольности точки ( )002
01
0 ,...,, mxxxx = положим
( )0
110=∑
=−
m
jk
j
j
x
C, т.е.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0...
.........10
110
210
10103
1012
101021
=⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅−
−−−
−−−−−
km
kkmm
km
kkkm
k
xxxC
xxxCxxС (2.6)
при 0,...,, 002
01 ≠mxxx .
Поскольку mСССС ,...,,, 21 -произвольное решение уравнения согласования
∑=
=m
jj CC
1
22 , то возьмем
( ) ( ) ( ) ( ) 101022
1011 1,...,,
−−−−=−=−=
km
mm
kkxСxСxС , тогда при
четном m тождества (2.6) имеет место при любых 0,...,, 002
01 >mxxx .При
нечетном m мы можем либо полагать, −+ +−= mmm CCC , либо 0=mC и
89
89
определить ( ) ( )∑=
−=
m
j
kjxC
1
120
. В результате вместо (2.5) получим
( ) ( ) ( )( )
1
1
01
1
0021 1
11,...,,,
12−
=
+
=∑∑ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
−+⋅+=
−k
m
j j
jjm
jjm x
xk
txutxxxuk
(2.7)
Таким образом, в классе простых решений справедлива формула
(2.7), из которой при 0,...0,0 0022
011 →→→→→→ mm xxxxxx
следует постоянство решений, т.е.
( ) 0,2
0
...........
02
01
...,1lim umxxxu
mx
x
x
=
→
→
→
Теперь рассмотрим класс экспоненциальных решений уравнения (2.4). Пусть
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==∂∂
=∂∂
mjuCxux
Cutu
jj
kj ,1,
,
тогда из этой системы получаем следующее представление
( )( )[ ]∑
=
+−+− −−
+
=
m
j
kj
kj
j xxkC
Ct
m eutxxxu 1
111
021 ,...,,, (2.8)
где ( )002
010 ...,;,1 mxxxuuk => , а mССС ,...,, 1 являются произвольными
решениями уравнения ∑=
=m
jj CC
1
22 . Положим как в случае простых решений
( ) ( ) ( )mjxCk
js
j ,1110 =−=−
( ) ( )∑=
−=
m
j
kjxC
1
120 . Тогда при
( )mjxx jj ,100 =>> из (2.8) получаем
90
90
( )( ) ( ) ( )∑∑
=
−+
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−+⋅
=
m
j
k
j
jjm
j
kj x
xk
x
m
teutxxxu 1
101
1
120 11
1
021 ,...,,, . Отсюда, при
( )mjxx jj ,100 =→→ имеем:
( ) 0,2 ,...,1lim
0
...........
02
01
utmxxxu
mx
x
x
=
→
→
→
§ 3. Вырожденное уравнение с общими коэффициентами на
плоскости Пусть задано уравнение
( ) ( ) ,
,,
222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
уu
yxвr
xu
yxar
tu (3.1)
где ( ) ( ) ( ) 22,0,,:,,,, yxrtyxtyxGtуx +=≥Ω∈=∈ , а ( )yxa , и
( )ухв , заданные непрерывно - дифференцируемые функции в замкнутой
области ( ) 0,0:, ≥≥=Ω ухух Теперь зададим класс возможных
решений. Здесь мы рассмотрим класс простых решений для уравнения (3.1).
Пусть
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂⋅
=∂∂⋅
=∂∂
2
1
,
,
Cyu
yxbr
Cxu
yxar
Ctu
91
91
где С , 1C и 2C являются некоторым решением уравнения 222
21 CCC =+ .
Тогда легко заметить, что на классе (3.2) имеют место представления
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ηη
ξξ
drxbCyxutyxu
dr
yaCyxutyxu
Ctyxutyxu
y
y
x
x
∫
∫
+=
+=
+=
0
0
,0,,,,
,,0,,,,
,0,,,,
20
10
Используя условия совместимости переопределенной системы (3.2)
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
ryxb
xryxa
y,, , (3.3)
имеем общее решение уравнения (3.1) на классе (3.2) в следующем виде
( ) ( ) ( ) ηηηξ
ξξ d
xxbCd
yyaCСtutyxu
y
y
x
x∫∫
++
+++=
002222
02
010
,,,, (3.4)
где ( )0,, 000 yxuu = - значение решения уравнения (3.1) в точке ( )0,, 00 yx .
Так как
( ) ( ) ( ) ξξ
ξξ
ξξξξ d
yyxaya
ydad
yya x
x
x
x
x
x∫∫∫
+
−+
+=
+ 00020
2000
20
220
20 ,,,
и
( ) ( ) ( ) ηη
ηη
ηηηη d
xyxbxb
xdbd
xxb y
y
y
y
y
y∫∫∫
+
−+
+=
+ 00022
0022022
,,, ,
где ( ) ( )000000 ,,, yxbbyxaa == , то, предполагая существование
интегралов
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )yxvdx
yxbxb
xvdy
yxaya
y
y
x
x
,,,)2
,,,)1
12200
020
2000
0
0
=∫+
−
=∫+
−
ηη
η
ξξ
ξ
(3.5)
при 00 →x и 00 →y представление (3.4) принимает следующий вид
92
92
( ) ( )yxvyxy
yxy
yxx
yxxCtutyxu
CbCa
,ln,,
1010
20
200
22
20
200
220 +
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
++
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
++++= (3.6)
где ( ) ( ) ( )yxvxvyxv ,, 10 += - регулярная функция. Таким образом,
представления (3.6) является решением уравнения (3.1) на классе функции
удовлетворяющих системы (3.2). Итак, справедлива следующая теорема:
Теорема 2.1. Пусть функции ( )yxa , и ( )yxb , определены и
непрерывно – дифференцируемы в замкнутой области Ω и удовлетворяют
условию совместимости (3.3), а функции ( )xv0 и ( )yxv ;1 являются
регулярными функциями в области 00 , yyxx ≥≥ и при 00 →x и 00 →y ,
тогда регулярные решения уравнения (3.1) на классе функций,
удовлетворяющих (3.2), представляется в виде (3.6), которые определены во
всех точках замкнутой области Ω . Причем, эти решения при условии
( )0,, 000 yxuu = , где 0u - заданное число, являются единственными.
§ 4. Экспоненциальные решения вырожденных уравнений Рассмотрим уравнение с экстремальным свойством
( ) ( )
222
,, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
yu
yxbr
xu
yxar
tu , (4.1)
где
( ) ( ) ( ) ,0,,:,,,, ≥Ω∈=∈ tyxtyxGtyx ( ) ,0;0:; ≥≥=Ω yxyx22 yxr += а ( ) ( ) ( )Ω∈ ',,, Cyxbyxa .
Зададим для уравнения (4.1) класс экспоненциальных решений (см. глав 1, §
1.2) в следующем виде
93
93
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂⋅
=∂∂⋅
=∂∂
uCyu
yxbr
uCxu
yxar
Cutu
2
1
;
;,
где С , 1C и 2C являются решениями 222
21 CCC =+ . Всюду в дальнейшем
предполагаем, что выполнено условие совместимости переопределенной
системы (4.2)
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂ u
ryxb
xu
ryxa
y,, (4.3)
и условие существования интегралов (3.5). Легко заметить, что из системы
уравнений (4.2), как и раньше, имеют место следующие представления
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
,,,,,
,,,,,
,0,,,,
02
01
,
0
,
0
∫
∫
=
=
=
y
y
x
x
drxbC
dr
yaC
Ct
etyxutyxu
etyxutyxu
eyxutyxu
ηη
ξξ
из которых получаем общее решение уравнения (4.1) в виде
( )( ) ( )
,,, 0 20
220
20
20
1,,
0
∫+
∫ ++
+
=
y
y
x
xd
х
xbCdу
yaCСе
eutyxuη
η
ηξξ
ξ
(4.4)
где 0u определяется как значение решения уравнения (4.1) в
точке ( )0,, 00 yx . Рассуждая как в § 2.3, представление (4.4) перепишем в
следующем виде
( ) ( )yxvCtCbCa
eyxy
yxy
yxx
yxxutyxu ,
20
200
20
2
20
200
20
2
0
2010
,, +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++= (4.5)
94
94
Представление (4.5) определено при всех 00 , yyxx ≥≥ и при
0,0 00 →→ yx . Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 2.2. Пусть функции ( )yxa , и ( )yxb , определены и
непрерывно – дифференцируемы в замкнутой области Ω и удовлетворяют
условие совместимости (4.3), а функции ( )xv0 и ( )yxv ,1 являются
регулярными функциями в области 00 , yyxx ≥≥ и при 0,0 00 →→ yx ,
тогда регулярное решением уравнения (4.1) на классе (4.2) представляется в
виде (4.5), которое определены во всех точках замкнутой области G .Причем
это решение при условии ( ) 000 0,, uyxu = , где 0u заданное число, является
единственным.
§6 . Приложения к задачам оптимального управления
Рассмотрим модель многоотраслевой экономики. Пусть первая отрасль
производит средства производства - 1x , которые могут расходоваться на
развитие всех остальных отраслей. Пусть mjtxj ,2),( = мощность отрасли
в момент времени t. Развитие экономики будем задавать следующей модели:
,1,),1(1.
1
.
xjjyxAf xx αα ==0)0(,0
1)0(1 jxjxxx == mj ,1= (5.1)
max)),(()( −= kt ttxIk
ϕα ,
kttMm ≤≤∈= 0,),...,1( ααα , где mjjx ....,1,00 =≥ - заданные
числа, (.)ff = - модельное производство, y - величины трудовых
ресурсов, A - уровень технологии. Для простоты положим, что 1(.) xf =
и A = 1. В качестве M возьмем множество функции вид
95
95
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>≤≤−=
>≤≤=∑=
−==
1m,tt0 .,..)(
,,1)(0,11
)(:),...,1(
kфнkt
sntjm
j
snn
tjmM
αα
ααααα.
Графически данное множество означает множество кусочно-гладких криволинейных линии, которое зависит от времени в m- мерном единичном кубе и оно приведено при m=2, n=2, s=1 на рис. a. и при m=2, s=0 на рис. b.
)(2 tα 122
1
=∑=
Jj
α 2α (t)
1 1
1=∑ iα
1 )(1 tα 1 b)
a) )(1 tα
Сформулированный ранне принцип для системы (5.1) превращается в обычный принцип оптимальности. В связи с этим рассмотрим систему (5.1) с условиями ktyx ≤≤= ττ 0,)( , введем функцию
ktyxM
ktktxy
≤≤=∈
=
ττα
ϕτµ
0,)(
)),((max),(
На основе принципа оптимальности имеем уравнение типа уравнения
Беллмана: ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∈=
∂∂
−x
xMt
µαα
µ ,max или уравнения
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∈=
∂∂
−x
xMt
µαα
µ ,max , с условием
),(),( ktt txtxk
ϕµ == .
96
96
Ясно, что данное уравнение является частным случаем уравнения рассмотрения в 2 при s=1. Следовательно, имеем следующее уравнения оптимальности
n
jxjxm
j
n
t ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∑=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ µµ
1 (5.2)
при чем оптимальное управление представляется в виде:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
∑∑ =
−
=
m
j
njj
n
jj
nsn
m
j
n
jj
n
jj
j
p
p
xx
xx
t
1
.
.
1
0
)()(
φ
φ
µ
µ
α , отсюда при .
jjp φ = jC имеем:
( )( )
mjCC
C
Ct
nsn
n
nj
nsn
m
j
nj
nj
j ,1,)(
1
0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−
−
=∑
α (5.3)
Используя метод изложения в п.2 решения уравнения (5.1) представим в
виде ( )mC
m
m
CC
m xx
xx
xxCttxxx ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= 00
2
201
1021 .....ln,,...,,
11
µµ в классе
простых решений и в виде ( ) tCC
m
m
CC
m em
xx
xx
xxtxxx ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 00
2
201
1021 ....,,...,,
11
µµ
в классе экспоненциальных решений, где Сj , j=1,m являются корнями уравнения согласования
nn
mnn CCCC =+++ ...21 (5.4)
Уравнение (5.4) хорошо было изучено в работе [3-5]. Теперь решим задачу (5.1) с учетом оптимального управления (5.3). Легко видеть, что
)()(
ln1,ln101
11
01
01
110
01
110
1 xxxx
xx
txx
tjj
kj
k −
−== αα , (5.5)
97
97
и следовательно
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
mjxxx
xxxx
xtx
xxxtx
k
k
tt
jjjj
tt
,...,1,1)()(
)(
,)(
01
110
101
11
010
01
110
11
4434421
(5.6)
Здесь )(1kjj txx = характеризируют конечные состояния системы и, в
общем случае, и они могут быть неизвестными. Используя
условие 11
)( =∑=
−m
j
snn
tjα при n=2, s=1 с учетом (4.5), (4.6) имеем:
2
2
01
11
01
11
1
201
ln)( k
m
jjj t
xxxx
xx
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=−∑=
. (5.7)
Это уравнения конечного состояния системы (5.1) и относится к типу (5.4)
или ∑=
=m
i
nm
nim ZX
1, при n=2. Решая уравнение (4.7) мы можем определить
1jx ,
kt . Аналогичное уравнение имеет место для любого состояния системы
определяемое по формуле
)())(( 2
1
20 tTxtxm
jjj =−∑
=, ktt≤≤0 (5.8)
где k
tt
t
xx
xx
xtT
k
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
01
11
01
11
01
ln
1)( . Уравнение (5.8) представляет собой закон
функционирования экономической системы (5.1) для любого момента
времени.
98
98
§6 Компьютерные решение задачи Рассмотрим компьютерную интерпретацию решения уравнения с
экстремальными свойствами для классов простых и экспоненциальных
решений с данными: 2;1;1;5,4,3,2,1 21210 ======== aatCCCmu , a2 2:=
Простое решение
u
Экспоненциальное решение
u
99
99
ЛИТЕРАТУРА
1. Манкью Н.Г. Макроэкономика. М. МГУ, 1994. -735 с.
2. Иванилов Ю., Лотов А. Математические модели в экономике. Москва: Наука, 1979, -304 с.
3. Yunusi M. Mathematical model of workers potential function and some its applications. Материалы 11-ой Международной Байкальской школы-
семинара. Иркутск, 1998, часть 4, с.195-210с. 4. Юнуси М., Саломова Г. Модели долгосрочного развития экономики с
учетом возраста трудовых ресурсов. Ïðîáëåìà¸îè òàðàööèòè èöòèñîäèè
Точикистон. Душанбе, 1997 с. 176-278.
5. Юнуси М. Математическая модель охраняемых популяций. М. ВЦ АН
СССР, 1991. – 29с.
6. Юнуси М. Решение одного класса нелокальных задач. Москва,
ВЦ АН СССР, 1991, -28p.
7. Юнуси M. Математическая модель потенциальная функция трудящихся и связанные с ними новый класс дифференциальных уравнений. Сб. Дифференциальные и интегральные уравнения и их применения. Душанбе, 1998, N 7, p. 115-118. 8. Yunusi M. About general economic model with regard to workers age. Материалы международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту. Душанбе, Сентябрь 25-30, 1998, с.7. 9. Юнуси М. Учет возрастных факторов. Кн. Национальная экономика. Душанбе, 1998, с. 191-193. 10. Юнуси М. О наилучших модельных производствах и, связанные с ними экономические системы. Вестник Таджикского Государственного Национального Университета, Том 1, 2 , 1999, с. 15-24. 11. Свирежев. Ю. М., Логофет Д .О. Устойчивость биологических сообществ. –М.: Наука , 1978г. -352с. 12. Логофет Д.О., Ульянов Н.Б. Необходимые и достаточные условия знако-
устойчивости матриц. ДОКЛ. АН СССР. 1982,т.263, 3, с. 542-546. 13. Юнуси М.К. Математические модели борьбы с вредителями агроценозов.
Душанбе, Дониш,1991, -148 с. 14. Юнуси М.К. Вопросы качественной устойчивости экосистем заповедника
Тигровой Балки. Известия АН Таджикистана 4 , 1980 , с. 86-92. 15. Yunusi M. On the theory of problems with functional initial conditions and its
applications. Вестник педагогического университета, 5, часть 1, 1999,
100
100
с. 33-49. 16. Yunusi M. One model function and solution of Fermat’s problem. Там же. с. 115-119. 17. Yunusi M. Solutions of problems with functional conditions. Сб.
дифференциальных и интегральных уравнений. Душанбе, Вып.8, 1999, с. 40-49.
18. Yunusi M. About solutions of the equations nm
j
nj ZX =∑
=1
. Вестник
университета, 4, 2000, с. 3-8. 19. Yunusi M. Tajikistan by 2000 and some Integration Questions Modeling of Global Economy. The book: Globalization of the Economy. The Effects on Politics Society and Family. The 8-th Inter. Congress of PWPA. Seoul, Korea, February, 10-14, 2000, p. 136-139. See also: Preprint, the same title, Seoul, Korea, February 10-14, 2000, -15 p. 21. Х. Таха. Введение в исследование операций (Кн.2). -Мир, 1989, - 496с.
22. М. Юнуси. Модель межгосударственных отношений. Вестник
университета 4. 2001, с. 13-17.
23. М. Юнуси. Введение в модельную экономику. – Душанбе, ТГНУ, 2001,
-37 с.
24. М. Yunusi About some model of chaining world. – Dushanbe , TGNU, 2000. –
21p.
25. М Yunusi About some model equations. - Lisboa, 2000.-20p.,
www.math.ias.edu/~dgomes/programa.html/. See also: http://yunusi.
pochtamt.ru/World.pdf/.
26. М. Yunusi. General model production with corresponding economical systems
and its applications. ICM 2002. Beijing, Chine 2002, p.385.
(See also: The same name, Preprint. TGNU. - Dushanbe. 2002. –22p.). 27. Дудорин В.И., Алексеев Ю.Н. Системный анализ экономики на ЭВМ. М. Статистика 1986 -191 с. 28. Моделирование народно-хозяйственных процессов. Под редакцией В.С. Дадаяна. М. Экономика. 1973 - 472 с. 29. М.Юнуси. Об одном классе модельных уравнений с экстремальным свойством. //Вестник..Национального университета, 2004, серия математика, 1,с.128 –135.
101
101
30. М. М. Юнуси , М.К. Юнуси. О наилучших модельных производствах в классе производств Кобба-Дугласа. //Вестник национального университета, сер. математика, 2005, с. 182-186. 31. М. Юнуси, Х. Машрабов. Точечная модель задачи оптимального распределение. //Вестник национального университета, сер. математика, 2005, с. 178-181. 32. М. Юнуси. Об уравнениях с экстремальными свойствами и их приложения. //Вестник национального университета, 2 сер. математика, 2005, с.168-177. 33. М. Юнуси. Некоторые гипотетические модели реальных пространств и явления происходящее в них. //Вестник национального университета, 3 сер. естественных наук, 2005, стр.40-53. 34. М. Юнуси. Модельные уравнение с экстремальными свойствами. //Труды Международный научный теоретический географических конференций по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложений посвященный 10-летию РГСУ. Душанбе 2005, c. 159-161. 35. М. Юнуси. Модель определения рыночных цен. //Материалы научный теоретический конференций профессорское -преподавательского состава и студентов, посвященной 60-летию победы в великой отечественный войне «во имя мира и счастья на земле».Часть1. Душанбе, 2005., с.23-24.