1

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач»

1. Применение геометрических преобразований

При введении вспомогательных фигур часто используются геометрические

преобразования: параллельный перенос, симметрия, гомотетия, поворот и др.

Цель их применения – получение дополнительных или новых свойств в

конфигурации.

С практической точки зрения, основное внимание при решении задач следует

уделить гомотетии, т.к. параллельный перенос и симметрия воспринимаются

проще, а поворот – очень эффективен, но встречается реже. Все геометрические

преобразования широко применяются к решению задач на построение.

Гомотетия

Докажем с помощью гомотетии задачу-теорему.

(Замечательное свойство трапеции). Докажите, что точка пересечения

продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка

пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

Доказательство

Пусть AD║BC, AC ∩BD =K, AB ∩CD= M, BN = NC, AP =

PD. Требуется доказать, что точки M, N, K, P принадлежат

одной прямой.

Рассмотрим гомотетию с центром M и положительным

коэффициентом. Так как AD║BC, то треугольник MBC

переходит в треугольник MAD, точка N – в точку P.

При гомотетии с центром K и отрицательным

коэффициентом треугольник BKC переходит в

треугольник DKA, точка N – в точку P. Следовательно, K ∈ NP и четыре точки

M, N, K, P лежат на одной прямой.

Осевая симметрия

Осевой симметрией называется такое преобразование плоскости, при котором

любая точка некоторой прямой k переходит в себя, а точка А, не

принадлежащая k, переходит в такую точку А', что отрезок АА'

перпендикулярен прямой k и делится ею пополам. Прямая k называется осью

симметрии.

При осевой симметрии расстояния между любыми двумя точками сохраняются,

т.е. осевая симметрия есть движение.

Осевая симметрия часто помогает решить задачу, когда фигура или часть ее

имеет ось симметрии, например, когда в задаче речь идет о биссектрисе угла

2

Задача: Биссектриса АК треугольника АВС делит противоположную сторону на

отрезки: ВК = 2, СК = 1. Угол АКС равен 60о. Найти АК и углы треугольника

АВС

Задача. В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) медиана АМ = т

проведена к меньшему катету и образует с большим угол 15о. Найти площадь

треугольника.

Решение

Построим точку К, симметричную точке М

относительно прямой АС. Тогда

3

Параллельный перенос

4

Задача: Основания трапеции равны 4см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см.

Найти площадь трапеции и угол между ее диагоналями

Центральная симметрия

Напомним некоторые определения и свойства

1. Точки А и А' называются симметричными относительно точки О, если О –

середина отрезка АА'

2. Преобразование фигуры, при котором каждой точке этой фигуры

сопоставлена точка, симметричная ей относительно заданной точки О,

называется центральной симметрией с центром О.

4. Если прямые l и l' симметричны относительно точки О, то l || l'

5. Если четырехугольник имеет центр симметрии, то он является

параллелограммом

5

Задача . Две окружности пересекаются в точке М. Провести через М прямую,

пересекающую окружности в точках А и В так, что АМ = МВ

Решение:

Заметим, что при симметрии окружности S1 относительно точки М точка В

переходит в точку А. Таким образом, точку А можно получить как пересечение

окружностей S2 и S1'. В – точка пересечения S1 и прямой АМ

Задача: Окружность пересекает стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС в точках

А1 и А2, В1 и В2, С1 и С2 соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к

сторонам треугольника проведенные через точки А1, В1 и С1 пересекаются в

одной точке, то и перпендикуляры, проведенные к сторонам через точки А2, В2,

и С2 тоже пересекаются в одной точке.

Решение:

6

Прием «удлинения» или «удвоения» медианы

Дополнительное построение – один из наиболее эффективных приемов

решения геометрических задач. Однако такие построения чаще всего связаны с

серьезными трудностями. Хорошо, если условие задачи подсказывает, как

дополнить чертеж.

Во многих задачах, связанных с медианой, ее «удвоение» или «удлинение» на

треть приносит результат.

Если в условии есть медиана треугольника, то стоит попытаться продолжить

эту медиану на такое же расстояние. При этом получим параллелограмм,

стороны и одна диагональ которого равны сторонам треугольника, а вторая

диагональ равна удвоенной медиане. Таким образом, если бы нам требовалось

найти площадь треугольника по двум сторонам и медиане, заключенной между

ними, то с помощью только что указанного приема легко убедиться, что

треугольник этот равновелик треугольнику, две стороны которого равны

соответствующим сторонам исходного, а третья равна удвоенной медиане.

Приведем характерный пример.

Докажите, что медиана в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого

угла, равна половине гипотенузе.

Указание. Продолжим медиану на такое же расстояние. вершины треугольника

и полученная точка являются вершинами прямоугольника. теперь утверждение

задачи будет следовать из равенства диагоналей прямоугольника

Задача: Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а

медиана, заключенная между ними, равна 5.(Ответ: 24)

Задача: В трапеции АВСD (BC || AD) M и N – середины оснований ВС и АD.

АС = , ВD =1, MN = 2. Найдите площадь трапеции.

7

2. Введение вспомогательной площади

Ключом к решению многих задач становится работа с понятием, на которое в

условии не дано намека. Нередко такой вспомогательной величиной служит

площадь.

Для решения задач методом площадей необходимо знать формулы площади

треугольника

S = ½ ah.

S= – формула Герона

S = ½ a b sinα , где а и b – стороны треугольника, α – угол между этими

сторонами

S= pr, где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр треугольника

S=

, где а ,b и с стороны треугольника, R – радиус описанной окружности

Одно из основных свойств площади гласит: если фигура разбивается на

части, являющиеся простыми фигурами (простая фигура состоит из конечного

числа плоских треугольников), то площадь этой фигуры равна сумме площадей

ее частей. Кроме того, площадь треугольника выражается через разнообразные

комбинации его элементов.

На применении этих свойств основан метод площадей: для площади

фигуры находимы различные выражения; сравнивая их, получаем уравнение,

содержащее известные и искомые величины.

Например, для прямоугольного треугольника: S = ½ ab и S = ½ chс.

8

Отсюда hс=

(hс– высота, проведенная к гипотенузе c).

Метод площадей имеет много разновидностей. Рассмотрим одну из них.

Основная идея сводится к замене отношения отрезков, расположенных на

прямой, отношением площадей треугольников с общей вершиной, основаниями

которых являются рассматриваемые отрезки. Покажем, как работает этот

прием, на примере известной теоремы.

Доказать, что биссектриса угла В треугольника АВС пересекает АС в такой

точке М, для которой справедливо равенство АМ : МС = АВ : ВС

Доказательство

Решите задачу

1) В треугольнике длины двух сторон равны 6 и 3. Найдите длину третьей

стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна

третьей высоте (ответ:4)

2) В треугольнике ABC угол C равен 120º, а биссектриса угла C равна 3.

Известно, что AC : CB = 3 : 2. Найдите тангенс угла А и сторону BC.

3) Доказать, что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой

его точки до сторон – постоянная величина.

Доказательство

Пусть a – сторона, d1, d2, d3 – расстояния до cторон треугольника.

S =

a (

), S =

ad1 +

ad2 +

ad3 =

a (d1 + d2 + d3).

Имеем:

d1 + d2 + d3 =

– постоянная величина для фиксированного треугольника

(длина его высоты), ч.т.д.

9

3. Введение вспомогательной окружности

При решении планиметрических задач, когда требуется установить равенство

некоторых углов, нередко полезно около треугольника или четырехугольника

описать окружность. Это позволит использовать теорему о вписанном угле и ее

следствия.

Как известно, около всякого треугольника можно описать окружность, и

притом только одну. При определенном условии окружность можно описать и

около четырехугольника.

Если четырехугольник АВСD вписан в окружность, то сумма его

противоположных углов равна 180о, а углы АВС и АСD, опирающиеся на одну и

ту же дугу, равны.

Верно и обратное предположение, его нетрудно доказать способом от

противного.

Точки А, В, С и D принадлежат одной окружности, если:

1) АВСD – выпуклый четырехугольник и сумма его противоположных углов

равна 180о или 2) точки В и С лежат по одну сторону от прямой АD и ∠АВD =

ACD (в этом случае говорят, что отрезок AD виден из точек В и С под равными

углами).

10

11

12

Покажем, как использовать вспомогательную окружность при решении задач

Задача Через точку О проведены три прямые, попарные углы между которыми

равны 60о. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из

произвольной точки А на эти прямые, служат вершинами правильного

треугольника

Задача В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АР, ВQ и СR.

Доказать, что ∠ВАР = ∠BQR

13

Задача Из вершины А квадрата АВСD проведены лучи, образующие между

собой угол 45о. Один из них пересекает диагональ ВD в точке М, другой –

сторону ВС в точке N. Доказать, что ∠АМN = 90о

Задача Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины

внутри его, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими

из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.

14

15

Задачи для самостоятельного решения с применением различных методов

и приемов:

Применение геометрических преобразований

1. В треугольнике АВС медиана ВМ перпендикулярна стороне ВС.

АВ : ВС = 2: 1. Найдите угол АВС

2. Дан четырехугольник АВСD, диагональ АС которого делит угол А пополам.

Известно, что АВ = 3, ВС = , СD = 2 и AD = 4. Найдите угол А

четырехугольника и диагональ АС.

3. Диагонали трапеции равны 15см и 20 см, высота равна 12 см. Вычислите

площадь трапеции

Метод площадей

4. Доказать, что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой

его точки до сторон – постоянная величина.

5. Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 17 и 39, а расстояние

между центрами 44. Определите длину общей хорды

Введение вспомогательной окружности

6. Из вершины А квадрата АВСD проведены лучи, образующие между собой

угол 45о. Один из них пересекает диагональ ВD в точке М, другой – сторону ВС

в точке N. Доказать, что ∠АМN = 90о

7. На медиане АМ треугольника АВС взята точка К так, что угол ВКМ равен

углу АВС. Доказать, что угол СКМ равен углу АСВ

8. В треугольнике АВС ∠В = 60о,

АА1 и СС1 – биссектрисы, пересекающиеся в

точке О. Докажите, что ОА1 = ОС1

Решить задачу разными способами

9. Найти периметр прямоугольного треугольника, катеты которого относятся

как 3:4, а длина биссектрисы прямого угла равна 24 а) введением вспомогательной площади

б) применение геометрических преобразований (осевой симметрии)

в) дополнительное построение (высота, проведенная к гипотенузе, подобие,

теорема Пифагора)

г) дополнительное построение (LK||AC, подобие)