НЕОПХОДНЕ ФОРМУЛЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ · 2016-01-20 · 1. Површина...

Јован Бојиновић

НЕОПХОДНЕ ФОРМУЛЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗА ПОЛАГАЊЕ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА

ЗА СРЕДЊЕ ШКОЛЕ

Формуле из планиметрије Страна: 1

Jov@'s lectures Март 1996.

1. ТРОУГАО 1.А) За РАЗНОСТРАНИ троугао важи:

А

BC a

b cha

А

BC a

b c

hh b

c

1. Површина троугла је: Pa ha=

⋅2

Такође, површина троугла је: Pb hb=

⋅2

или Pc hc=

⋅2

.

Дакле, површина троугла је било која страна пута њена висина кроз два.

2. Обим троугла је: O a b c= + + 1. Б) За ПРАВОУГЛИ троугао важи:

a

b

A

BC

c

α

a

b

c

A

BCβ

x

y

D

βα

hc

1. Површина троугла је: Pa b= ⋅2

2. Питагорина теорема: c a b2 2 2= + или a c b2 2 2= − или b c a2 2 2= −

3. Такође, површина је: Pc hc=⋅2

4. Када се повуче висина на хипотенузу, добије се тачка D , која направи три међусобно слична троугла: ACDBCDABC ∆≈∆≈∆ . Из ове сличности произилазе пропорције које се тичу одсечака хипотенузе.

BCDABC ∆≈∆ ⇒ важи: b c y b b c y : : = ⇒ = ⋅2 или

ACDABC ∆≈∆ ⇒ важи: a c x a a c x : : = ⇒ = ⋅2 Дакле, квадрат катете једнак је хипотенуза пута катетин одсечак на хипотенузи.



1. В) За ЈЕДНАКОКРАКИ троугао још важи:

А

B Ca

bbha

a2

a2

А

B C

bbha

a2

a2

r

rO a

2

D

E

1. Питагорина теорема за половину троугла: b ha

a2 2

2

2= +

. Овим се само указује на

правоугли троугао из кога се рачунају потребне величине. 2. Центар уписане кружнице ствара два слична троугла AOEACD ∆≈∆ . Из ове сличности

произилазе пропорције: AOOEACCD :: = ⇒ ( )rhrba

a −= ::2

или

AOAEACAD :: = ⇒ ( )rha

bbh aa −

−= :2

:

1. Г) За ЈЕДНАКОСТРАНИЧНИ троугао важи:

А B

C

T

aa

a

r

R

60o 60o

30o

23⋅=a

h

1. Површина једнакостраничног троугла је: Pa= ⋅2 3

4

2. Висина једнакостраничног троугла је: ha= ⋅ 3

2

3. Полупречник уписане кружнице, тј. растојање центра троугла од странице је: r h= ⋅1

3

4. Полупречник описане кружнице, тј. растојање центра троугла од темена је: R h= ⋅2

3

5. Ако се замени висина у последња два израза, добија се: ra= ⋅ 3

6 и R

a= ⋅ 3

3, али

препоручује се да се памте претходне две формуле, јер је једноставније.



ПОВРШИНА ТРОУГЛА

А) Површина троуугла се може изразити и преко полупречника ОПИСАНЕ кружнице

R

abcP

4=

Б) Површина троугла се може изразити и преко полупречника УПИСАНЕ кружнице

rsP ⋅= , где је 2

cbas

++=



2. ЧЕТВОРОУГАО У четвороуглове спадају: 1. четвороуглови са два пара паралелних страница (паралелограми) 2. четвороуглови са једним паром паралелних страница (трапези) 3. четвороуглови са нормалним дијагоналама (делтоиди) 4. остали четвороуглови

2.1) ПАРАЛЕЛОГРАМИ У паралелограме спадају:

2.1.1.) Квадрат (правилни четвороугао јер има све странице и све углове једнаке)

2.1.2.) Правоугаоник

2.1.3.) Ромб

2.1.4.) Ромбоид

2.1.1.) КВАДРАТ

А B

C

a

a

D

d

45o

45o

1. Површина квадрата: P a= 2

2. Обим квадрата: O a= ⋅4

3. Дијагонала квадрата: d a= ⋅ 2

2.1.2.) ПРАВОУГАОНИК

А B

C

a

b

D

d

a

b

1. Површина правоугаоника: P a b= ⋅

2. Обим правоугаоника: O a b a b= ⋅ + ⋅ = ⋅ +2 2 2 ( )

3. Дијагонала правоугаоника: d a b d a b2 2 2 2 2= + ⇒ = +



2.1.3.) РОМБ

А B

C

a

D a

h aa

А B

C

a

D a

aa2

1d

22d

1. Површина ромба: P a h= ⋅ или Pd d= ⋅1 2

2

2. Обим ромба: O a= ⋅4

3. Постоји правоугли троугао, за кога важи Питагорина теорема: ad d2 1

2

2

2

2 2=

+

2.1.4.) РОМБОИД

А B

C

b

D b

h aa

1. Површина ромбоида: P a h= ⋅ 2. Обим ромбоида: O a b a b= ⋅ + ⋅ = ⋅ +2 2 2 ( )



2.2) ТРАПЕЗИ

2.2.1) РАЗНОСТРАНИ ТРАПЕЗ

А B

C

a

b

h

D

1. Површина трапеза: Pa b h= + ⋅( )

2

2.2.2) ЈЕДНАКОКРАКИ ТРАПЕЗ

А B

C

a

b

h

D

c c

xx

a-b

1. xa b= −

2


2

3. Постоји правоугли троугао у коме важи: h c x ca b2 2 2 2

2

2= − = − −

2.2.3) ПРАВОУГЛИ ТРАПЕЗ

А B

C

a

b

c h=d

D

d

a-b


2

2. Постоји правоугли троугао у коме важи: h c a b2 2 2= − −( )



2.3) ДЕЛТОИД

А

B

C

D

d1

d2

1. Површина делтоида је: Pd d= ⋅1 2

2

3) ШЕСТОУГАО

ПРАВИЛНИ ШЕСТОУГАО

А

F

B

E

C

Da

a=Ra

aa

a

r

1. Површина правилног шестоугла је површина шест једнакостраничних троуглова:

Pa= ⋅ ⋅

63

4

2

2. Обим правилног шестоугла је: O a= ⋅6 3. Полупречник описане кружнице је: R a=

4. Полупречник уписане кружнице је висина једнакостраничног троугла: ra= ⋅ 3

2



КРУГ

1. Површина круга је: P r= 2π

2. Обим круга је: O r= 2 π

КРУЖНИ ИСЕЧАК

1. Површина кружног исечка је: Pr

o= ⋅2

360π α

2. Дужина кружног лука је: lr

o= ⋅2

360π α

Формуле из стереометрије Страна: 9


ПРИЗМА 1. Површина призме је: P B M= ⋅ +2 2. Запремина призме је: V B H= ⋅ Базе могу бити разне, а омотач чине правоугаоници. Ово су две најопштије и најисправније формуле за површину и запремину призме. Ако се крене у специјалније случајеве, најчешће се јављају три типа ппризми:

А) ПРАВИЛНА ЧЕТВОРОСТРАНА ПРИЗМА

База јој је квадрат.

1. Површина правилне четворостране призме је: P a a H= ⋅ + ⋅ ⋅2 42

2. Запремина правилне четворостране призме је: V a H= ⋅2

Дијагонале призме су:

a

a

D

H

H

a

a2⋅= ad

a

a

H

H

a

a

d

D a H2 2 22= + d a H2 2 2= +



Б) ПРАВИЛНА ТРОСТРАНА ПРИЗМА

База јој је једнакостранични троугао.

1. Површина правилне тростране призме је: Pa

a H= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅23

43

2

2. Запремина правилне тростране призме је: Va

H= ⋅ ⋅2 3

4

Бочна дијагонала призме је:

d a H2 2 2= +



Ц) ПРАВИЛНА ШЕСТОСТРАНА ПРИЗМА

База јој је правилни шестоугао.

1. Површина правилне шестостране призме је: P a a H= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅3 3 62

2. Запремина правилне шестостране призме је: Va

H= ⋅ ⋅ ⋅3 3

2

2

Дијагонале призме су:

D a H2 2 24= + d a H2 2 2= +



КВАДАР Квадар је призма која у основи има правоугаоник страница a и b, а висину c.

1. Површина квадра је: P ab bc ac= ⋅ + +2 ( )

2. Запремина квадра је: V abc=

3. Дијагонала квадра је: D a b c= + +2 2 2

4. Бочна дијагонала квадра зависи од стране квадра.

КОЦКА Коцка је призма која има све исте ивице.

a

a

aD d

a

a

1. Површина коцке је: P a= ⋅6 2

2. Запремина коцке је: V a= 3

3. Дијагонала коцке је: D a= ⋅ 3

4. Бочна дијагонала коцке: d a= ⋅ 2



ПИРАМИДА

1. Површина пирамиде је: P B M= +

2. Запремина пирамиде је: VB H= ⋅

3

Базе могу бити разне, а омотач чине једнакокраки троуглови.. Ово су две најопштије и најисправније формуле за површину и запремину пирамиде. Ако се крене у специјалније случајеве, најчешће се јављају три типа пирамида:

А) ПРАВИЛНА ЧЕТВОРОСТРАНА ПИРАМИДА

База јој је квадрат.

1. Површина правилне четворостране пирамиде је: P a aha= +2 2

2. Запремина правилне четворостране пирамиде је: Va H= ⋅2

3

Код сваке пирамиде, па и код ове, постоје три карактеристична правоугла уз помоћ којих се може решити сваки задатак. Из карактеристичних троуглова читамо:



I троугао даје везу између а, H и hа преко Питагорине теореме:

II троугао даје везу између d, H и s преко Питагорине теореме. Зна се да је d a= ⋅ 2 :

III троугао даје везу између а, s и hа преко Питагорине теореме:

222

2

+= aHha

s H

d2 22

2= +

s h

aa

2 22

2= +



Б) ПРАВИЛНА ТРОСТРАНА ПИРАМИДА

База јој је једнакостранични троугао.

1. Површина правилне тростране пирамиде је: Pa aha= ⋅ +

2 34

32

2. Запремина правилне троростране пирамиде је: Va H= ⋅2 3

12

Код сваке пирамиде, па и код ове, постоје три карактеристична правоугла уз помоћ којих се може решити сваки задатак. Из карактеристичних троуглова читамо: Зна се од раније да је полупречник уписане кружнице једнакостраничног троугла:

r ha a= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅1

3

1

3

3

2

3

6

а, полупречник описане кружнице једнакостраничног троугла је:

R ha a= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅2

3

2

3

3

2

3

3



I троугао даје везу између r (тј. а), H и hа преко Питагорине теореме. Зна се да је

ra= ⋅ 3

6:

II троугао даје везу између R (тј. а), H и s преко Питагорине теореме. Зна се да је

Ra= ⋅ 3

3:


h H r

Ha

a2 2 2

2

2

36

= + =

+ ⋅

=

s H R

Ha

2 2 2

2

2

33

= + =

+ ⋅

=

s h

aa

2 22

2= +



В) ПРАВИЛНА ШЕСТОСТРАНА ПИРАМИДА

База јој је правилни шестоугао.

1. Површина правилне шестостране пирамиде је: Pa

aha= ⋅ ⋅ +6 34

32

2. Запремина правилне шестостране пирамиде је: Va H= ⋅2 3

2

Код сваке пирамиде, па и код ове, постоје три карактеристична правоугла уз помоћ којих се може решити сваки задатак. Из карактеристичних троуглова читамо: Зна се од раније да је висина једнакостраничног троугла:

ha= ⋅ 3

2



I троугао даје везу између h (тј. а), H и hа преко Питагорине теореме. Зна се да је

ha= ⋅ 3

2:

II троугао даје везу између а, H и s преко Питагорине теореме:


222 hHha +=

222 aHs +=

s h

aa

2 22

2= +



ВАЉАК

1. Површина ваљка је: P r r H= ⋅ +2 π ( )

2. Запремина ваљка је: V r H= ⋅2π 3. Омотач ваљка је: M r H= ⋅2 π

ЛОПТА

1. Површина лопте је: P r= ⋅4 2π

2. Запремина лопте је: V r= ⋅4

33π



КУПА

1. Површина купе је: P r r s= ⋅ +π ( )

2. Запремина купе је: Vr H= ⋅2

3

π

3. У купи постоји веза на основу Питагорине теореме: s H r2 2 2= + 4. Омотач купе је: M r s= π 5. Дужина лука кога прави развијени омотач купе је једнак обиму круга основе, тј:

2

3602

sr

πα π⋅ =

Додатак I Страна: 21


I - ДВА СПЕЦИЈАЛНА ПРАВОУГЛА ТРОУГЛА

А) Постоје два КАРАКТЕРИСТИЧНА ПРАВОУГЛА троугла. Карактеристична су зато

што је довољно да знамо само једну од страница да би одредили све остале.

Један је правоугли троугао са угловима 30о тј. 60о. Тај троугао је настао тако што је једнакостранични троугао пресечен дуж висине.

30o

60o

x

2x2x

23

30o

60o

a

aa2

3

2

Други је једнакокраки правоугли троугао. Тај троугао је настао тако што је квадрат пресечен дуж дијагонале.

45o45o

aa

a 2

aa

a

a 2

45o

45o

Додатак I Страна: 22


Б) Питагорина теорема важи за све правоугле троуглове. Кад желимо да израчунамо једну страницу, морамо знати друге две. Ако тражимо хипотенузу - морамо знати две катете. Ако тражимо катету - морамо знати хипотенузу и другу катету. Међутим, постоје два троугла код којих је довољно знати само једну страницу и углове у њему. То су правоугли троуглови са углом од 30о тј. 60о или 45о. То су преполовљени једнакостранични троугао или преполовљени квадрат.

А B

C

T

aa

a

r

R

60o 60o

30o

23⋅=a

h

60o

30o

a

a2

a2

3

45o

45o

a

aa 2

или

60o

30o

2x

x

2x2

3

45o

45o

xx

2

x2

Додатак II Страна: 23


II - ОСНИ ПРЕСЕЦИ НЕКИХ ТЕЛА

1) - ОСНИ ПРЕСЕК КОЦКЕ 2) - ОСНИ ПРЕСЕК ПРАВИЛНЕ ПРИЗМЕ Правоугаоник са основицом Правоугаоник са основицом 2⋅= ad и

2⋅= ad и страницом a страницом H

a

a

a

a

a

a

2⋅= ad

3⋅= aD

a

a

D

H

H

a

a

2⋅= ad

3) - ОСНИ ПРЕСЕК КУПЕ Јаднакокраки троугао са основицом пречником r2 и краком изводницом s

s s

H

rr

Додатак II Страна: 24


4) - ОСНИ ПРЕСЕЦИ ПИРАМИДЕ ПРАВИЛНА ЧЕТВОРОСТРАНА ПРАВИЛНА ТРОСТРАНА Јаднакокраки троугао са основицом - Tроугао са страницама -

- дијагонала d и краком - изводница s - висина основе 2

3ah =

- изводница s и апотема ah

a

a

s

s

H

d2d2

d2d2

a

ss

H ha

a2

rR ПРАВИЛНА ШЕСТОСТРАНА Јаднакокраки троугао са основицом -

- двострука страница a2 и краком - изводница s

a

s s

H

aa

Додатак IV Страна: 25


III - ДВЕ ФОРМУЛЕ КОЈЕ ВАЖЕ ЗА МНОГОУГАО 1) - БРОЈ ДИЈАГОНАЛА У МНОГОУГЛУ

А) Код МНОГОУГЛА од n страница из једног темена можемо повући 3−= ndn

дијагонала. Изузима се теме из кога се повлаче дијагонале (1), прво десно (2) и прво лево (3).

Укупан број дијагонала у једном многоуглу се добије кад се овај број помножи са бројем темена n , а затим подели са 2 јер се једна дијагонала рачуна два пута, тј. из једног

темена, а затим исто из другог. Дакле, ( )2

3−⋅= nnDn . Закључак:

Збир свих дијагонала у многоуглу је: ( )2

3−⋅= nnDn

Број дијагонала из једног темена је: 3−= ndn

2) - ЗБИР УНУТРАШЊИХ УГЛОВА МНОГОУГЛА

Збир унутрашњих углова у многоуглу са n страница је: ( ) on nS 1802 ⋅−=

Збир спољашњих углова сваког многоугла је 360о.

Додатак IV Страна: 26


IV - КАРАКТЕРИСТИЧНИ УГАО ПРАВИЛНОГ МНОГОУГЛА

β

α αα

α

β

Карактеристични угао правилног многоугла се добије из карактеристичног троугла, који је саставни део тог многоугла. Пошто су код правилног многоугла са бројем страница n једнаки све странице и сви углови, карактеристични угао при врху саставног

једнакокраког троугла добијемо као n

o360=β .

Угао при основи саставног једнакокраког троугла задовољава једнакост: n

oo 360

1802 −=α .

То је уједно у карактеристичан угао правилног многоугла.

ЦЕНТРАЛНИ И ПЕРИФЕРНИ УГАО

αα

α

2α

Ценрални угао над једним луком је дупло већи од периферног угла над тим истим луком.

НЕОПХОДНЕ ФОРМУЛЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ · 2016-01-20 · 1. Површина...

Documents