na robota/fakul... · created date: 3/27/2020 7:52:16 am

ФУНКЦІЇ

БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Функція двох змінних

Частинні похідні.

Диференціал функції.

Дотична площина і нормаль до поверхні. Градієнт

Застосування диференціала для наближених обрахунків.

Дослідження функції двох змінних на умовний екстремум

Найбільше і найменше значення функції в замкненій області

Основні поняття

Впорядкований набір n дійсних чисел

називається n-вимірним вектором.),...,,( 21 nxxxx

Множина n-вимірних векторів, в якій введені

операції:

додавання векторів

множення вектора на число

називається n-вимірним векторним простором і

позначається

),...,,( 2211 nn yxyxyxyx

),...,,( 21 nxxxx

nR

Основні поняття

Множина X – область визначення функції n змінних.

називаються незалежними змінними;

u – залежна змінна

Розглянемо . Говорять, що на множині Х

задана функція n змінних, що позначається f, якщо

задано правило, яке кожному вектору

ставить у відповідність одне

число , що називається значенням функції

в точці x.При цьому записують

nRX

Xxxxx n ),...,,( 21

)(xfu ),...,,( 21 nxxxfu

nxxx ,...,, 21

Приклади функцій багатьох змінних

)( 21

2

1 xxtgxu

1. функція двох змінних

432 yzxu

2. функція трьох змінних

nnxxxxu ...32 321

3. функція n змінних


),( yxfz

)(Mfz

(x;y;f(x;y)),

Графік функції двох змінних – це поверхня

Приклад функції двох змінних

224 yxz

04 22 yx422 yx

Дана функція геометрично зображається

верхньою півсферою радіусом 2.

круг центр (0;0) і R=2

Лінія рівня. Множина рівня.

Линією рівня функції двох змінних

називається множина точок на площині таких, що

у всіх цих точках значення функції одне і теж

Число c називається рівнем.

),( yxfz

Для функції n змінних

множина точок, які задовольняють умову

де

називається множиною рівня.

,),( сyxf constс

),...,,( 21 nxxxfu

,),...,,( 21 сxxxf n constс

В попередньому прикладі лінія рівня – окружність.

Нехай - деяке додатне число.

-околом точки M0(x0;y0) називається

множина всіх точок, координати (x ; y)

яких задовольняють нерівності:

2

02

00 yyxx

Приклад

22

22 )1ln(

yx

yxz

000

110

0)1ln(lim 222

22

22

22

00

yx

yx

yx

yx

yx

yx

01

2lim

0

0)1ln(lim

20

2

0

Частинні прирости і частинні

похідні


похідні

( , )( ,; ); ; .x x

z f x yz f x y

x x

( , )( ,; ); ; .y y

z f x yz f x y

y y

x

yxfyxxf

x

z

x

z

x

x

x

),(),(limlim

00

y

yxfyyxf

y

z

y

z

y

y

y

),(),(limlim

00

В загальному випадку частковою похідною першого

порядку функції u = f(x1, x2, …, xn) за змінною xk

називається границя

k

nknkk

x

k

x

xk

x

xxxfxxxxf

x

u

x

u

k

k

k

),,,,(),,,,(lim

lim

11

0

0


похідні

Геометричний зміст частинних похідних

Px (Py) – лінія перетину

поверхні P з площиною

y=y0 (x=x0)

Графіком функції z=f(x,y) є поверхня P

tgyxfx ),( 00

– кут нахилу дотичної до

лінії Px відносно осі OX

tgyxf y ),( 00

– кут нахилу дотичної до

лінії Py відносно осі OY

Частинна похідна функції по деякій змінній показує

швидкість зміни функції в напрямку відповідної осі

Повний приріст і повний

диференціал

2

2

2222

2

22 )()( dy

y

fdxdy

xy

f

yx

fdx

x

ffd

Частинними похідними n–го порядку називаються

частинні похідні від частинних похідних (n – 1)–го

порядку.

Їх позначають

і т. д.

221,,

yx

z

yx

z

x

zn

n

n

n

n

n



),(),( yxfyyxxfz

( , ) ( , )x ydz f x y dx f x y dy

z zdz dx dy

x y

u u udu dx dy dz

x y z

2

2

222

2

22 2 dy

y

zdxdy

yx

zdx

x

zzd

Необхідна умова диференційовності функції

Якщо функція z=f(x,y) диференційовна в деякій

точці M(x,y), то вона неперервна в цій точці і має

в ній частинні похідні.y

z

x

z

,

З неперервності функції в

точці або існування частинних

похідних не випливає

диференційованість функції в

точці

Навпаки

не правильно

Достатня умова диференційовності функції

Якщо функція z=f(x,y) має неперервні частинні

похідні в точці M(x,y), то вона

диференційована в цій точці

y

z

x

z

,

Дотична площина і нормаль до

поверхні

нормаль

дотична площина

М0

М

( , , ) 0F x y z ),,( 0000 zyxM

00 0

0 0 0( ) ( ) ( ) 0x y z MM MF x x F y y F z z

00 0

0 0 0

x zy MM M

x x y y z z

F FF

( , )z f x y

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y

0 0 0

0 0 0 0( ) ( , ) 1x y

x x y y z z

f x y f x y

(1)

(2)

(1*)

(2*)

1 ( 1) 2( 1) 2 0илиz x yy x z

yxyxyxz 22 22 М(1, 1, 1)

222;122

yx

y

zyx

x

z

;2;1

MM y

z

x

z

1 1 1

1 2 1

x y z

або

Приклад.

Похідна за напрямом

Нехай функція z=f(x,y) визначена в деякому околі точки M(x,y).

– напрямок, заданий одиничним вектором ,де

-напрямні косинуси – косинуси кутів, утворених

вектором з осями координат.

)cos,(cos e

cos,cos

e

l

Перемістимо точку M(x,y) в точку

в напрямі

В результаті переміщення

z=f(x,y) отримає приріст

- приріст функції z за

напрямом

Позначимо , тоді

),(1 yyxxM l

),(),( yxfyyxxfzl

zl

lhMM 1

),()cos,cos( yxfhyhxfzl

cos hx cos hy

h

zyx

l

fz l

hl

0lim),(

Похідна за напрямом

Якщо функція f(x,y) диференційовна в точці (x0,y0),то в цій точці

функція f(x,y) має похідну за довільним напрямом , заданим

напрямними косинусами , при чому

(про обчислення похідної за напрямом)

l cos,cos

coscos yxl zzz

)cos,cos( 00 hyhxf - функція зі змінними x і y, кожна з яких є функцією

Якщо h=0, то

cos)( 0 hxhx cos)( 0 hyhy однієї змінної h:

,)0( 0xx 0)0( yy

За правилом обчислення похідної складеної функції:

cos),()cos(),()cos(),()0( 00000000 yx

x

fhyyx

y

fhxyx

x

f

dh

dfhh

coscoscos),( 00

yx zzyxy

f

lh

zyxl

f

h

yxfhyhxf

dh

df

),(

),()cos,cos(lim)0( 00

0000

0

coscos yxl zzz

Градієнт

Вектор з координатами називається

градієнтом функції f(x,y) в точці M0.

Похідна за напрямом – це скалярний добуток градієнта

функції та одиничного вектора, який задає напрям .

))(),(( 00 My

fM

x

f

)( 0Mfабо

)(cos)(cos)()),(( 0000 Ml

fM

y

fM

x

feMfgrad

)( 0Mfgrad

l

31

Похідна функції z = f(x;y) за напрямом в точці M0(x0;y0)

досягає найбільшого значення, якщо цей напрям співпадає з

напрямом градієнта функції в заданій точці.

Градієнт функції в точці gradf(M0) характеризує напрямок

найшвидшого росту функції в цій точці

Градієнт

Нехай задана диференційована функція z=f(x,y) і

Нехай . Тоді градієнт перпендикулярний

до лінії рівня, яка проходить через задану точку

0)( 0 Mfgrad

Лінії рівня можна побудувати наступним чином:

1. будуємо ),( 00 yxz

2. задаємо напрям,

перпендикулярний до градієнта3. будуємо , причому

точка відкладається

достатньо близько до точки

),( 11 yxz),( 11 yx

),( 00 yx

33

Екстремум функції

двох змінних

Точки екстремуму функції лежать всередині

області визначення функції

Точки максимуму і мінімуму функції

Точка називається точкою локального максимуму

(мінімуму) функції z=f(x,y), якщо існує - окіл точки ,

такий що для довільної точки (x,y) з цього околу (за виключенням

точки ) виконується нерівність

),( 00 yxM

),( 00 yx

),( 00 yx),(),( 00 yxfyxf )),(),(( 00 yxfyxf

Максимум і мінімум функції мають локальний

характер

Необхідна умова екстремуму функції

Якщо в точці диференційована функція

z=f(x,y) має екстремум, то її частинні похідні в цій

точці рівні нулю, тобто і

),( 00 yxM

0),( 00 yxfx0),( 00 yxf y

Стаціонарні і критичні точки

Точка , в якій частинні похідні

першого порядку функції z=f(x,y)

дорівнюють нулю, тобто

називається стаціонарною

точкою функції z=f(x,y)

0),( 00 yxfx

0),( 00 yxf y

),( 00 yx

Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б

одна частинна похідна не існує,

називаються критичними точками

Рівність нулю частинних похідних є

необхідною, але не достатньою умовою

існування екстремуму.

Достатня умова екстремуму функції

Нехай функція z=f(x,y) визначена в деякому околі

стаціонарної точки .

Нехай функція має в цій точці неперервні

частинні похідні другого порядку

Позначимо

Тоді:

1)якщо , то функція f(x,y) в точці має

екстремум: максимум, якщо A<0; мінімум, якщо A>0;

2) якщо , то функція f(x,y) в точці

екстремуму не має;

3) якщо , то в цій точці функція може мати

екстремум, а може й не мати

),( 00 yx

),,( 00 yxfA xx

),,( 00 yxfB xy ).,( 00 yxfС yy

2BAС

0 ),( 00 yx

0

0

),( 00 yx

Приклад

4323 yxyxz 236 xxyzx

Знайдемо стаціонарні точки, для цього розв'яжемо систему рівнянь:

32 43 yxzy

)0,0();3,6(043

0362132

2

MMyx

xxy

xyzxx 66 xzxy 6 212yzyy

В точці маємо А=-18, B=36, C=-108)3,6(1M 0648оскільки А<0 - точка максимуму;

1M 27)3,6(max zz

В точці маємо А=0, B=0, C=0)0,0(2M 0Додаткові дослідження: z(0,0)=0

При x=0,

При 0y 04 yz

0,0 yx 3xz в точці екстремуму немає.2M

Знайти екстремум

функції:

Приклад

)43

)(47(2

1 yxyxxyz

3

47

3

2

12

1 xyzx

Знайдемо стаціонарні точки, для цього розв'яжемо систему рівнянь:

)20,21(

04

47

12

1

2

1

03

47

3

2

12

1

M

xy

xy

,3

2 xxzA ,

12

1 xyzB

2

1 yyzC

282max z

0

4

47

12

1

2

1 xyz y

Оскільки А<0 - точка максимуму)20,21(M

Точка М називається внутрішньою точкою множини G, якщо існує δ - окіл точки М, що повністю міститься в множині G.

Точка М0 називається граничною точкою множини G, якщо в

будь-якому δ - околі точки М0 містяться точки, які належать і неналежать множині G. Сукупність всіх граничних точок множини

G називається її границею (межею) Г.

Множина G називається відкритою областю або областю, якщо

всі її точки – внутрішні і будь-які дві точки множини G можназ'єднати неперервною кривою, яка теж належить G.

Відкрита область зі своєю межею Г називається замкненою

областю.

Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Область називається обмеженою, якщо вона повністю

міститься всередині круга (або кулі) достатньо великого

радіусу.

Функція z = f(x;y) = f(М) називається неперервною увідкритій або замкненій області, якщо вона неперервна в

кожній точці цієї області.

Якщо функція z = f(М) неперервна в обмеженій замкненій

області, то вона в цій області:

- набуває найбільшого і найменшого значення;

- обмежена:│f(M)│≤ К (К - додатне число);

- набуває в цій області всі значення, що містяться між

найменшими і найбільшими її значеннями.

Зауваження: Крім екстремальних значень функції z = f(x;y)

(локальних екстремумів) можна шукати найбільше і найменшезначення функції в замкненій області (глобальний екстремум).

При цьому, наприклад, найбільше значення може не співпадати зжодним з максимумів і досягатися на границі області.

Нехай z = f(x;y) визначена і неперервна в обмеженій замкненійобласті D, тоді серед значень функції є найбільше і найменше.

Правило знаходження цих значень:

1) знайти всі стаціонарні точки функції всередині області D і на її

межі, обчислити значення функції в них.

2) порівняти знайдені значення функції і вибрати з них найбільше

M і найменше m.

Найбільше та найменше значення функції в замкненій

області

Приклад

Знайти найбільше і найменше значення функції z=xy в

трикутнику, обмеженому прямими x=0, y=0, 2x+y=2.

Розв'язок

x

y

A

B

1

2

0

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy в треугольнике, ограниченном

прямыми х=0, у=0, 2х+у=2.

Решение.

Найдем стационарные точки внутри треугольника

x

z

=y;

y

z

=x.

М0(0;0) – стационарная точка внутри треугольника.

Поведение функции на границе:

OA: y=0, 0x1, z=0.

OB: x=0, 0y2, z=0.

AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.

x

y

A

B

1

2

0

Пример.



Решение.


x

z

=y;

y

z

=x.



OA: y=0, 0x1, z=0.

OB: x=0, 0 y 2, z=0.

AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.

Стаціонарні точки всередині трикутника:

x

y

A

B

1

2

0

Пример.



Решение.


x

z

=y;

y

z

=x.



OA: y=0, 0x1, z=0.

OB: x=0, 0 y 2, z=0.

AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.

x

y

A

B

1

2

0

Пример.



Решение.


x

z

=y;

y

z

=x.



OA: y=0, 0x1, z=0.

OB: x=0, 0 y 2, z=0.

AB: y=2-2x, 0 x 1, z=xy=2x-2x2; xz =2-4x=0.

Поведінка функції на межі області:

x=1/2; y=0; М1(1/2;1)- стационарная точка на границе.

Найдем значения функции в стационарных точках и сравним эти

значения

z(М0)=0;z(М1)=1/2.

Наибольшее значение функции z реализуется в точке отрезка АВ:

М=1/2 в точке (1/2;1)

Наименьшее значение функции z реализуется в точках внутри

области и на границах: m=0 в точке (0;0) и на ОА и ОВ.

Знайдемо значення функції у стаціонарних точках і

порівняємо їх.

x=1/2; y=0; М1(1/2;1)- стационарная точка на границе.

Найдем значения функции в стационарных точках и сравним эти

значения

z(М0)=0;z(М1)=1/2.

Наибольшее значение функции z реализуется в точке отрезка АВ:

М=1/2 в точке (1/2;1)

Наименьшее значение функции z реализуется в точках внутри

области и на границах: m=0 в точке (0;0) и на ОА и ОВ.

Найбільше значення функції z маємо в точці відрізка АВ:

М=1/2 в точці (1/2; 1).

Найменше значення функції z маємо в середині області і

на межі: m=0 в точці (0;0) і на ОА і ОВ.

Умовний екстремум

Озн. Якщо аргументи функції f (x1 , x2 ,…, xn) зв'язані додатковими

умовами у вигляді m рівнянь (m < n): φ1 (х1, х2 ,…, хn) = 0, φ2 (х1, х2 ,…, хn) =

0, …, φm (х1, х2 ,…, хn) = 0, (1), де функції φi мають неперервні частинні

похідні, то рівняння (1) називаються рівняннями зв'язку.

Озн. Екстремум функції f (x1 , x2 ,…, xn) за умови виконання умов (1)

називається умовним екстремумом.

Озн. Функція L (x1 , x2 ,…, xn) = f (x1 , x2 ,…, xn) + λ1φ1 (x1 , x2 ,…, xn) +

λ2φ2 (x1 , x2 ,…, xn) +…+λmφm (x1 , x2 ,…, xn), (2), де λi – деякі сталі,

називається функцією Лагранджа, а числа λi – невизначеними

множниками Лагранджа.

Теорема (необхідні умови умовного екстремуму). Умовний екстремум функції

z = f (x, y) з рівнянням звязку φ (х, у) = 0 може досягатися лише в стаціонарних

точках функції Лагранджа L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Приклад. З усіх прямокутних трикутників з заданою площею S

знайти той, гіпотенуза якого має найменше значення.

Розвязок. Нехай x і y – катети трикутника, z – гіпотенуза.

Оскільки , то задача зводиться до знаходження

найменшого значення функції за умови, що х і у

зв'язані рівнянням xy/2=S, тобто xy-2S=0. Розглянемо функцію

і знайдемо її частинні похідні:

Оскільки x>0,y>0, то з системи рівнянь

.

Гіпотенуза має найменше значення, якщо катети трикутника

рівні між собою.

Приклад використання функції

багатьох змінних в економіці

na robota/fakul... · created date: 3/27/2020 7:52:16 am

Documents