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散射相移和束缚态数目的关系 ------Levinson 定理

马中骐中国科学院高能物理研究所

e-mail: mazq@mail.ihep.ac.cn

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报告内容 1. Jost 函数方法证明薛定谔方程 的 Levinson 定理

3. 结论2. Sturm-Liouville 定理方法证明 薛定谔方程的 Levinson 定理

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GEORGE SUDARSHAN has been nominated for the Nobel Prize six times and has received many awards, including the Bose Medal in 1977.

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This book provides a pedagogical introduction to the formalism, foundations and applications of quantum mechanics.

This book is intended for use as a textbook for beginning graduate and advanced undergraduate course.

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(2)(12)

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(20)

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(15b)

(26)(24) 式前面

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Jost 函数方法证明 Levinson 定理

U(r) 在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快

讨论有球对称势的薛定谔方程

2r2r

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Jost 函数方法证明 Levinson 定理

U(r) 在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快

讨论有球对称势的薛定谔方程

2r

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Jost 函数方法

1.Jost 函数解析性质和零点重数的研究很困难。

Levinson 定理：

2. 对势函数的条件太苛刻。 3. 定理中包含 项 4. 推广到 Dirac 方程很困难。

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1. 。在区域 [a,b], , c 是 Y 第一个零点

2.在 [a,b]内 y 两个相邻零点间 至少有 Y 一个零点。 3.在 [a,b]内 y 第 k 个零点在 Y 第 k 零点的右面。

Sturm 比较定理

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一个相角随能量单调变化

“For the Sturm-Liouville problem, the fundamental trick is the definition of a phase angle which is monotonic with respect to the energy.”

Professor C. N. Yang pointed out In a talk on monopole (1981)

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Sturm-Liouville 定理 径向函数的 Wronskian

波函数对数微商

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Sturm-Liouville 定理 对 取 在无穷远趋于零，

两侧波函数对数微商都随能量单调变化，随势函数也单调变化。

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薛定谔方程的 Levinson 定理 现在研究束缚态， E<0,在区域 解为

其中 ，对数微商为

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薛定谔方程的 Levinson 定理 在区域 ，自由粒子（ ）解为

对数微商为

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薛定谔方程的 Levinson 定理

随着 由 0 增加至 1 ， 保持不变， 而 要发生变化。

由于单调性，只要注意 的变化

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薛定谔方程的 Levinson 定理

每当 下降而经过 值时，一个散射态变成了一个束缚态，反之亦然。 与此同时， 跳进

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薛定谔方程的 Levinson 定理 临界情况，

是束缚态， 取负值。 在区域 有解

是半束缚态， 取无穷大。

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薛定谔方程相移的性质 在区域 径向方程依赖于势，设解为

可算得对数微商为

在区域 径向方程可解， E>0时为

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薛定谔方程相移的性质

由衔接条件 解得

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薛定谔方程相移的性质 1. 相移 周期性的约定

过去 和 实际只要势函数不太奇异，

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薛定谔方程相移的性质 1. 相移 周期性的约定2.取截断势 可分两区域 和 分别计算，在区域 为自由粒子，解已知。3.在 处用波函数对数微商衔接条件

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薛定谔方程相移的性质

对给定的

因为 所以要计算 时的相移值

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薛定谔方程相移的性质 时的相移为

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薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小，

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薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小，

例外： 和 时 ， 是半整数

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薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小，

例外： 和 时 ， 是半整数

随 跳跃变化，每次跳 随 跳跃变化，每次跳

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薛定谔方程相移的性质 1. 很小时，2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变。 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 ，反之亦然。

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薛定谔方程相移的性质 1. 很小时，2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。3. 临界情况，

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薛定谔方程相移的性质 1. 很小时，2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。3. 临界情况， 对小的 E 值， 已经是负值。

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薛定谔方程的 Levinson 定理

半束缚态发生在 S 波的临界情况：

当势能满足条件 时有

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势函数在无穷远存在尾巴的情况

满足 Levinson 定理，而满足修改的 Levinson 定理。

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Newton 的两个反例

Levinson 定理不会成立，但修改的 Levinson 定理成立。反例 1 ：

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Newton 的两个反例 反例 2 ：

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讨论 1. 用 Jost 函数的解析性质证明 Levinson 定理， 势函数需要满足更强的条件 原条件是

2. 在正常情况下 但在特殊条件下， 原来的 Levinson 定理不成立。还有非定域势，并存在正能束缚态情况。

3. 在无穷远存在 形式的势能尾巴时， Levinson 定理不成立，但我们的修改的 Levinson 定理成立。

4. 我们的方法便于推广，如推广到 Dirac 方程。

如正无穷方势阱，

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