Ïëàí ëåêöèèI CERN Root (ïðîäîëæåíèå)

I äâóìåðíûå ãèñòîãðàììû (TH2), îïåðàöèè ñ ãèñòîãðàììàìèI íàáîðû òî÷åê (TGraph)I ïîäãîíêà ôóíêöèåéI äåðåâüÿ è êîðòåæè (n-tuple) (TTree)I ôàéëûI ãðàôèêà

I Ñòàòèñòèêà

I âåðîÿòíîñòü, ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûI ìîìåíòû, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèèI íåêîòîðûå ðàñïðåäåëåíèÿ

I Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî: èíòåãðèðîâàíèå

I ìåòîä ñðåäíåãîI âûäåëåíèå ãëàâíîé ÷àñòèI ìåòîä ñóùåñòâåííîé âûáîðêèI ìåòîä ÌåòðîïîëèñàI çàäàíèå

Root: äâóìåðíûå ãèñòîãðàììû

Äâóìåðíûå ãèñòîãðàììû, àíàëîãè÷íî îäíîìåðíûì, íîñ÷åò÷èêè ñîîòâåòñòâóþò èíòåðâàëàì îäíîâðåìåííî ïî äâóìïåðåìåííûì.  ýòîì ñìûñëå êîíñòðóêòîð è çàïîëíåíèåñóùåñòâåííî íå îòëè÷àþòñÿ îò îäíîìåðíîãî:

h2 = TH2F(h2, histogram tytle, xbins, x0, x1, ybins, y0, y1);

h2.Fill(x,y);

Ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé TProle (ïðîôèëü) ôàêòè÷åñêèîäíîìåðíàÿ ãèñòîãðàììà, íî çàïîëíåíèå ïðîèçâîäèòñÿàíàëîãè÷íî äâóìåðíîé, ïðè ýòîì ïî îðäèíàòå ðàññ÷èòûâàåòñÿñðåäíåå è ñòàíäàðòíûå îøèáêè:

p = TProle(p, prole title, xbins, x0, x1, y0, y1);p.Fill(x,y);

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì

Ìåòîä Draw èìååò ïàðàìåòð option, òèï const char*, çàäàåò ñïîñîáîòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàììû:AXIS ðèñîâàòü òîëüêî îñèSAME ðèñîâàòü íà òîì æå ãðàôèêå, ÷òî è ïðåäûäóùååHIST ðèñîâàòü ñòóïåíüêàìè (óìîë÷àíèå äëÿ 1-ìåðíîé ãèñòîãðàììû áåçäîïîëíèòåëüíûõ îøèáîê)LEGO ðèñîâàòü ãèñòîãðàììó 3D ñòóïåíüêàìèSURF ðèñîâàòü ãèñòîãðàììó ïîâåðõíîñòüþÒîëüêî äëÿ îäíîìåðíûõ:

AH ðèñîâàòü ãèñòîãðàììó áåç íàäïèñåé íà îñÿõC ðèñîâàòü ãëàäêóþ êðèâóþ ÷åðåç òî÷êè ãèñòîãðàììûE ðèñîâàòü îøèáêè (óìîë÷àíèå äëÿ 1D ãèñòîãðàì ñ îøèáêàìè)L ðèñîâàòü ïðÿìûå ÷åðåç òî÷êè ãèñòîãðàììûP ðèñîâàòü ìàðêåðû â òî÷êàõ ãèñòîãðàììûP0 òî æå, íî âêëþ÷àÿ áèíû ñ íóëåâûì ñîäåðæàíèåìÒîëüêî äëÿ äâóõìåðíûõ:

SCAT ðèñîâàòü òî÷êè (scatter plot óìîë÷àíèå äëÿ 2D)CONT ðèñîâàòü ãèñòîãðàììó èçîëèíèÿìè (êîíòóð)ARR ðèñîâàòü ñòðåëêè â íàïðàâëåíèè ãðàäèåíòîâBOX ðèñîâàòü êâàäðàòèêè ñ ðàçìåðîì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ñîäåðæèìîìóCONT ðèñîâàòü êîíòóð èçîëèíèÿìèCOL ðèñîâàòü öâåòàìèZ äëÿ BOX, CONT, COL, LEGO ðèñîâàòü ëåãåíäó äëÿ öâåòîâ (íàïðèìåð, COLZ)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Hist)h1.Draw()

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (C)h1.Draw(c)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (E)h1.Draw(e)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Lego)h2.Draw(lego)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Surface)h2.Draw(surf)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Box)h2.Draw(box)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Arrow)h2.Draw(arr)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Contour)h2.Draw(cont)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Colour)h2.Draw(colz)

Root: ñïîñîáû îòîáðàæåíèÿ ãèñòîãðàìì (Prole)prole.Draw()

Root: îïåðàöèè ñ ãèñòîãðàììàìèÊðîìå ñîçäàíèÿ, çàïîëíåíèÿ è ðèñîâàíèÿ äëÿ ãèñòîãðàìì äîñòóïíûè äðóãèå ìåòîäû, íåêîòîðûå ïðèâåäåíû íèæå:void Reset() î÷èñòèòü ñîäåðæèìîå áèíîâ, îøèáêè ãèñòîãðàììûvoid Scale(Double_t factor) óìíîæèòü ñîäåðæèìîå âñåõ êàíàëîâ íàfactorDouble_t Integral(const char* opt=) ïîëó÷èòü ñóììó âñåõêàíàëîâ. Íîðìèðîâêà: h->Scale(1.0/h->Integral())Double_t GetMean(Int_t axis=1) ïîëó÷èòü ñðåäíåå ïî êîîðäèíàòåDouble_t GetRMS(Int_t axis=1) ïîëó÷èòü ñòàíäàðòíóþ îøèáêóTObject *Clone(const char* newname) ñäåëàòü òî÷íóþ êîïèþ, íî ñíîâûì èìåíåì, ïðè èñïîëüçîâàíèè îáÿçàòåëüíî ïðèâîäèòü òèï,íàïðèìåð: hnew = (TH1*) hold->Clone(hnew)void Add(TH1* h, Double_t c=1.0) äîáàâèòü ïî-êàíàëüíî äðóãóþ

ãèñòîãðàììó (bi+ = c · b(h)i

)void Multiply(TH1 *h) óìíîæèòü (ïîêàíàëüíî) íà äðóãóþãèñòîãðàììóvoid Divide(TH1 *h) ïîäåëèòü (ïîêàíàëüíî) íà äðóãóþ ãèñòîãðàììóInt_t FindBin(Double_t x) íàéòè íîìåð áèíà, â êîòîðûé ïîïàäàåòòî÷êàDouble_t GetBinContent(Int_t bin) ïîëó÷èòü ñîäåðæèìîå áèíàDouble_t GetBinError(Int_t bin) ïîëó÷èòü îøèáêó â áèíå

Root: ãèñòîãðàììû, ââîä/âûâîä

Ñîõðàíåíèå â ôàéë:f = TFile(le.root,new) # ôàéë ñòàíîâèòñÿ òåêóùåéäèðåêòîðèåé# ñîçäàòü/çàïîëíèòü ãèñòîãðàììó h1h1.Write()f.Close() # òåêóùàÿ äèðåêòîðèÿ ñíîâà gROOT×òåíèå èç ôàéëà:f = TFile(le.root, old) # ôàéë ñòàíîâèòñÿ òåêóùåéäèðåêòîðèåéh1 = f.Get(h1)hlocal = h1.Clone(hlocal) # ñäåëàòü êîïèþ â ïàìÿòè, åñëèñîáèðàåìñÿ çàêðûòü ôàéëf.Close()

Root: íàáîðû òî÷åêÏîëåçíûì òèïîì ÿâëÿåòñÿ òàêæå êëàññ TGraph è äðóãèå êëàññû, äëÿêîòîðûõ îí ÿâëÿåòñÿ ðîäèòåëüñêèì, â ÷àñòíîñòè, TGraphErrors.Ôàêòè÷åñêè, òàêîé îáúåêò ñîäåðæèò íåñêîëüêî ìàññèâîâ ÷èñåë, è äëÿ íåãîîïðåäåëåíû äîïîëíèòåëüíûå îïåðàöèè, òàêèå, êàê îòðèñîâêà, çàïîëíåíèå,ïîäãîíêà ôóíêöèé è ðÿä äðóãèõ, ïîëåçíûõ äëÿ àíàëèçà îïåðàöèé.Êîíñòðóêòîð:TGraph(Int_t n) çäåñü n êîëè÷åñòâî òî÷åê.Çàïîëíåíèå:void SetPoint(Int_t n, Double_t x, Double_t y)void SetPointError(Int_t n, Double_t ex, Double_t ey) // îïðåäåëåíòîëüêî äëÿ TGraphErrors

Root: ïîäïèñè, îñè êîîðäèíàòÄëÿ îáúåêòîâ êëàññîâ TH1 è TGraph îïðåäåëåí çàãîëîâîê (ìîæåò áûòü

ïîëó÷åí/óñòàíîâëåí ìåòîäàìè GetTitle/SetTitle). Ñîáñòâåííî îí è

ÿâëÿåòñÿ çàãîëîâêîì ãðàôèêà ïî óìîë÷àíèþ. Äîñòóïíû, òàêæå, îñè

êîîðäèíàò (ìåòîäàìè GetXaxis()/GetYaxis()/GetZaxis()), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ

îáúåêòàìè êëàññà TAxis. Ïîäïèñü ê îñè êîîðäèíàò ýòî å¼ çàãîëîâîê.

Òàêèì îáðàçîì, ÷îáû äîáàâèòü ïîäïèñü ê îñè X ãèñòîãðàììû h, íóæíî

ñäåëàòü âûçîâ òàêîãî òèïà:

h.GetXaxis().SetTitle(m_#pi, MeV)

âîîáùå ãîâîðÿ, òåêñò äëÿ îñåé è äëÿ çàãîëîâêà ïðåäñòàâëÿåò îáúåêò òèïàTLatex è èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ÿçûê ìàòåìàòè÷åñêîé çàïèñè, áëèçêèé êLATEX, òîëüêî ñèìâîë '\' (backslash) çàìåíåí íà '#' (hash) êàê âïðèâåäåííîì ïðèìåðå.Êîëè÷åñòâî äåëåíèé íà îñè ìîæåò áûòü èçìåíåíî âûçîâîìSetNdivisions(Int_t n, Int_t optimal=kTRUE), çäåñü:

n = n1 + 100 · n2 + 10000 · n3

çäåñü n1 ÷èñëî îñíîâíûõ äåëåíèé, n2 ÷èñëî âòîðè÷íûõ äåëåíèé, n3 ÷èñëîäîïîëíèòåëíûõ äåëåíèé, íàïðèìåð 510 îçíà÷àåò 10 îñíîâíûõ äåëåíèé è 5âòîðè÷íûõ.

Root: äîïîëíèòåëüíûå ïîäïèñè è äðóãèå ãðàôè÷åñêèåïðèìèòèâû

Äîïîëíèòåëüíûå ïîäïèñè íà ãðàôèêå äåëàþòñÿ ñ ïîìîùüþ îáúåêòîâ òèïàTText (îáû÷íûé òåêñò) èëè TLatex (òåêñò ñ ìàòåìàòè÷åñêîéèíòåðïðåòàöèåé):t = TLatex(0.1, 0.2, m_#pi #leq 135);t.Draw()ïàðàìåòðû (0.1, 0.2) ýòî x, y êîîðäèíàòû â ñèñòåìå êîîðäèíàòïîñëåäíåãî ðèñóíêà. Àíàëîãè÷íè (ìåòîäîì Draw) ðèñóþòñÿ è äðóãèåãðàôè÷åñêèå ïðèìèòèâû, ñèãíàòóðû êîíñòðóêòîðîâ äëÿ íåêîòîðûõ èç íèõ:TLine(Double_t x1, Double_t y1, Double_t x2, Double_t y2) ëèíèÿTArrow(Double_t x1, Double_t y1, Double_t x2, Double_t y2, Double_tasize, const char *option) ñòðåëêà, option îïðåäåëÿåò âèä, íàïðèìåð >èñõîäÿùàÿ èç ò. 1, < âõîäÿùàÿ è ò.ä.TEllipse(Double_t x, Double_t y, Double_t rx, Double_t ry) ýëëèïñTBox(Double_t x1, Double_t y1, Double_t x2, Double_t y2)ïðÿìîóãîëüíèêTMarker(Double_t x,Double_t y, Int_t mtype) ìàðêåð ñïåöèàëüíûéñèìâîë, îáîçíà÷àþùèé òî÷êó, òèï ìàðêåðà îáîçíà÷àåòñÿ öåëóì ÷èñëîì,íàïðèìåð 1 ïðîñòî ìàëåíüêàÿ òî÷êà.

Root: öâåòà, òèïû ìàðêåðîâ, ëèíèé

Ãðàôè÷åñêèå ïðèìèòèâû, îáúåêòû TH1, TGraph èìåþò òàêæåàòðèáóòû, îïðåäåëÿþùèå, êàê èõ ðèñîâàòü: öâåòà, òèïû ëèíèé(ñïëîøíîé, øòðèõîâàííûé, è ò.ä.), òèïû ìàðêåðîâ. Ýòèàòðèáóòû ìîæíî óñòàíîâèòü ïî óìîë÷àíèþ, èñïîëüçóÿ îáúåêògStyle è äëÿ êàæäîãî ïðèìèòèâà èëè îáúåêòà èíäèâèäóàëüíî.Ìåòîäû:SetLineColor(Color_t c) óñòàíîâèòü öâåòà ëèíèé, òèï öåëûé,îïðåäåëåíû êîíñòàíòû kBlack, kRed, kBlue è äð.SetLineStyle(Style_t s) óñòàíîâèòü ñòèëü ëèíèé, òèï öåëûé(kSolid = 1, kDashed, kDotted, kDashDotted)SetLineWidth(Width_t w) øèðèíà ëèíèè â ïèêñåëÿõSetMarkerColor(Color_t c) öâåò ìàðêåðàSetMarkerStyle(Style_t s) òèï ìàðêåðà (kDot, kStar, kPlus,kCircle è äð.)SetMarkerSize(Size_t s) ðàçìåð ìàðêåðà, ïëàâàþùåå, 1 óìîë÷àíèå, ìîæåò áûòü ìåíüøå 1, íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò

Root: ïîäãîíêà äàííûõ×àñòî âñòðå÷àþùååñÿ äåéñòâèå â îáðàáîòêå äàííûõ ýòî ïîäãîíêàãðàôèêîâ è ãèñòîãðàìì êàêîé ëèáî ôóíêöèåé. Òî åñòü äîïóñòèì, ìûîæèäàåì, ÷òî ôóíêöèÿ ïàðàìåòðèçîâàíà, èìååò íåêèé âèä, è õîòèì èçèçìåðåííûõ çíà÷åíèé ïîëó÷èòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (íàïðèìåð, îáùåãîêîýôôèöèåíòà ïåðåä ôóíêöèåé, ïîëîæåíèå ïèêà è ò.ä.)  ñèñòåìå ROOTäëÿ îáúåêòîâ êëàññîâ TGraph è TH1 ïðåäóñìîòðåí ìåòîä Fit:

Fit(const char *fname, const char* opt, const char* gopt, Double_t xmin,

Double_t xmax)Fit(TF1* function, const char* opt, const char* gopt, Double_t xmin,Double_t xmax)çäåñü fname ëèáî ïðåäîïðåäåëåííîå èìÿ (gaus, polN, expo), ëèáî èìÿôóíêöèè, ðàíåå îïðåäåëåííîé, êàê TF1. Ïàðàìåòð opt îïðåäåëÿåò ñïîñîáïðîâåäåíèÿ ìèíèìèçàöèè (óìîë÷àíèå ).Ïàðàìåòð gopt îïðåäåëÿåò ñïîñîá îòîáðàæåíèÿ ðåçóëüòàòîâ (óìîë÷àíèå), àíàëîãè÷åí îïöèÿì TH1::Draw()Ïàðàìåòðû xmin è xmax ïîçâîëÿþò ñóçèòü äèàïàçîí, íà êîòîðîìôóíêöèÿ ìèíèìèçèðóåòñÿ (óìîë÷àíèå äèàïàçîí îáúåêòà).Ïîñëå ìèíèìèçàöèè êîïèÿ ôóíêöèè ñ íóæíûìè ïàðàìåòðàìè(àññîöèèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ìåòîäà:TF1 *GetFunction(const char* fname)äàëåå ìîæíî ïîëó÷èòü ïàðàìåòðû ìåòîäîì TF1::GetParameter(Int_t n) èäðóãèå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ïîäãîíêè.

Root: äåðåâüÿÑîáûòèÿ â ROOT õðàíÿòñÿ â ñïåöèàëüíûõ îáúåêòàõ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ

äåðåâüÿìè (êëàññ TTree). Äåðåâî, â ñâîþ î÷åðåäü ñîäåðæèò âåòâè

(TBranch), êîòîðûå ñîäåðæàò óæå êîíêðåòíûå, àññîöèèðîâàííûå ñ

ëèñòüÿìè (TLeaf). Äëÿ äàííûõ, àññîöèèðîâàíûõ ñ ëèñòüÿìè, îïðåäåëåí

íîìåð ñîáûòèå, òàêèì îáðàçîì, ñîáûòèå ìîæåò áûòü ñîáðàíî èç

êîìïîíåíò ðàçíûõ òèïîâ â âèäå êîðòåæà (n-tuple). Äîñòîèíñòâîì

îáúåäèíåíèÿ ñîáûòèé â äåðåâüÿ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûé

ââîä-âûâîä (ñåðèàëèçàöèÿ). Äëÿ äåðåâüåâ îïðåäåëåí êîíñòðóêòîð:

TTree(const char* name, const char* title)

Ñîçäàíèå âåòâåé:

TBranch* Branch(name, void* dataStart, const char* description)

çäåñü description ìîæåò ïðèíèìàòü âèä, íàïðèìåð n/I:x[n]/D:sumx,

dataStart óêàçàòåëü íà íà÷àëî ñòðóêòóðû

Çàïîëíåíèå:

void Fill()

Root: äåðåâüÿ, ââîä/âûâîä

Ñîõðàíåíèå â ôàéë:f = TFile(le.root,new) # ôàéë ñòàíîâèòñÿ òåêóùåéäèðåêòîðèåé# ñîçäàòü/çàïîëíèòü t (TTree(), TBranch(), Fill)t.Write()f.Close() # òåêóùàÿ äèðåêòîðèÿ ñíîâà gROOT×òåíèå èç ôàéëà:f = TFile(le.root, old) # ôàéë ñòàíîâèòñÿ òåêóùåéäèðåêòîðèåét = f.Get(t)f.Close()

Root: çàïîëíåíèå ãèñòîãðàìì ñîáûòèÿìè èç äåðåâüåâÑîäåðæèìîå äåðåâà ìîæíî ïîñìîòðåòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Print().Äåðåâüÿ ìîãóò áûòü ñãðóïïèðîâàíû â îáúåêòû òèïà TChain ìåòîäîìAdd(//machine/le.root/subdirs/treename). Ìåòîäû äîñòóïà ê TChainàíàëîãè÷íû ìåòîäàì TTree.

Äëÿ çàïîëíåíèÿ ãèñòîãðàìì è îòðèñîâêè ñîáûòèé ñ äåðåâüÿìè ïðîñòûì

ñïîñîáîì ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä Draw:

Long64_t Draw(const char* expr, const char* selection=, const char*

option=, Long64_t n=-1, Long64_t rst=1)

çäåñü expr âûðàæåíèå èç èìåí, îïðåäåëåííûõ äëÿ äåðåâà (èëè 2-3âûðàæåíèÿ, ðàçäëåííûõ : äëÿ 2-3 ìåðíûõ ãèñòîãðàìì), â êîíöå êîòîðîãîìîæåò áûòü êîíñòðóêöèÿ >>histname (î÷èñòèòü è çàïîëíèòüèìåíîâàííóþ ãèñòîãðàììó) èëè >>+histname (äîáàâèòü ñîáûòèÿ ê óæåñóùåñòâóþùåé ãèñòîãðàììå). selection âûðàæåíèå, êîòîðîå äîëæíîïðèíèìàòü áóëåâñêîå çíà÷åíèå. Ïðè çíà÷åíèè true ñîáûòèÿ áåðåòñÿ âãèñòîãðàììó, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòáðàñûâàåòñÿ. option â îñíîâíîìòå æå, ÷òî è äëÿ îòðèñîâêè ãèñòîãðàìì.Ïîñëå îòðèñîâêè äàííûõ â 2-3 ìåðíîì ñëó÷àå âåêòîð çíà÷åíèé äîñòóïåí÷åðåç ìåòîäû GetV1(), GetV2(), GetV3().

Root: ïîëå äëÿ ðèñîâàíèÿ (TCanvas)

Âñå ãðàôèêè, ãèñòîãðàììû è ïðî÷èå ïðèìèòèâû ðèñóþòñÿ â îêíàõ,êîòîðûå â ROOT ïðåäñòàâëåíû îáúåêòàìè òèïà TCanvas. Ýòîò îáúåêòîòâå÷àåò çà ïðèâåäåíèå êîîðäèíàò ðèñóíêà ê êîîðäèíàòàì ýêðàíà,âçàèìîäåéñòâèå ñ îêîííûì ìåíåäæåðîì è ò.ä. Êîíñòðóêòîð êëàññà:TCanvas(const char* name, const char* title)Ïî óìîë÷àíèè ïðè ïåðâîé ïîïûòêå ðèñîâàíèÿ ñîçäàåòñÿ îáúåêò ñ èìåíåìc1. Îêíî ìîæåò áûòü ðàçáèòî íà ïîäîêíà (òèï TPad), ìåòîäîìvoid Divide(Int_t nx, Int_t ny)Äëÿ ïåðåõîäà íà ïîäîêíî ñëóæèò ìåòîävoid cd(Int_t n)Òåêóùåå ïîäîêíî ïðèñâàèâàåòñÿ ãëîáàëüíîé ïåðåìåííîé gPadÄëÿ ñîõðàíåíèÿ ðèñóíêà èñïîëüçóåòñÿ ìåòîävoid Print(èìÿ ôàéëà)Ðàñøèðåíèå ôàéëà (.eps, .png, .gif) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ òèïàôàéëà.void Update()îáíîâèòü îêíî ïîñëå âñåõ ïåðåðèñîâîê

ÂåðîÿòíîñòüÄëÿ îïèñàíèÿ ñîáûòèé, ñ íåîïðåäåëåííûì èñõîäîì èñïîëüçóåòñÿêîëè÷åñòâåííàÿ âåëè÷èíà âåðîÿòíîñòü. Ýòî âåùåñòâåííîå ÷èñëî,îïðåäåëåííîå äëÿ ìíîæåñòâ ñîáûòèé, òàê, ÷òî:∀A ⊂ S : P(A) > 0

P(S) = 1

Åñëè A ∩ B = Ø, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî âûâåñòè äàëüíåéøèå ñâîéñòâà:

P(A) = 1− P(A)

P(A ∪ A) = 1

P(Ø) = 0

åñëèA ⊂ B òî P(A) 6 P(B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü

P(A|B) ≡ P(A ∩ B)

P(B)(P(B) 6= 0)

A,B íåçàâèñèìû, åñëèP(A|B) = P(A)P(B)

Èíòåðïðåòàöèÿ âåðîÿòíîñòè

I ×àñòîòíûé ïîäõîä:A,B . . . ðåçóëüòàòû ïðîâåäåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýêñïåðèìåíòîâ,P(A) ≡ limn→∞

n(A)N

I Ñóáúåêòèâíûé (áàéåñîâñêèé) ïîäõîä:A,B . . .ãèïîòåçû,P(A) ñòåïåíü äîâåðèÿ ãèïîòåçå A

I Îáà ïîäõîäà óäîâëåòâîðÿþò àêñèîìàì (ìàòåìàòè÷åñêè)

I Òåîðåìà Áàéåñà:

P(A|B) =P(B|A)P(A)

P(B)

âî âòîðîì ïîäõîäå P(A)âåðîÿòíîñòü a priory, P(B|A)ðàññìàòðâàåòñÿ,êàê âåðîÿòíîñòü íàáëþäåíèÿ ñîáûòèÿ B â ãèïîòåçå A, P(B)íîðìàëèçàöèÿ, òîãäà P(A|B) íîâàÿ âåðîÿòíîñòü (a posteriory)

I  èçìåðåíèÿõ â îñíîâíîì èñïîëüçóåòñÿ ïåðâûé, íî ïðè èçó÷åíèèíåïîâòîðÿþùèõñÿ ÿâëåíèé áîëåå åñòåñòâåííûì ìîæåò îêàçàòüñÿâòîðîé (âåðîÿòíîñòü äîæäÿ 1

2).

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ýòî ÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûåìîæíî ïðèñâîèòü ñëó÷àéíûì ñîáûòèÿì.Ðåçóëüòàò ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèÿ ìîæåò áûòü äèñêðåòíûì, òîãäàâåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåéâåðîÿòíîñòè pi :

P(xi ) ≡ pi∑pi = 1

Äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îïðåäåëåíà ïëîòíîñòüâåðîÿòíîñòè (PDF) f(x):

P(x ∈ [a, b]) ≡∫ b

a

f (x)dx∫ +∞

−∞f (x)dx = 1

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èëè êóìóëÿòèâíàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ (CDF):

F (x) ≡x∫

−∞

f (t) dt

Ãèñòîãðàììû

Ãèñòîãðàììà ìàññèâ ãðàíèö èíòåðâàëîâ è ìàññèâ, ýëåìåíòûêîòîðîãî ñîäåðæàò êîëè÷åñòâî èçìåðåíèé, ïîïàâøèõ âèíòåðâàëû. Îöåíêà PDF: f (xi ) ≈ Ni

N ∆i. Çäåñü Ni÷èñëî ñîáûòèé,

ïîïàâøèõ â èíòåðâàë, N ïîëíîå ÷èñëî ñîáûòèé, ∆i øèðèíàèíòåðâàëà.

Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿÀíàëîãè÷íî îäíîìåðíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ìîæíî ââåñòèìíîãîìåðíóþ, êàê:∫ ∫

. . . f (x1, x2, . . .) dx1dx2 . . .

Ïðîåêöèÿ:

f (x1) =

+∞∫−∞

f (x1,x2) dx2

Ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé

Ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëå÷èíîé. Åñëèôóíêöèÿ ìîíîòîííà íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííîé (|a′(x)| 6= 0,ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ), ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íîâîéâåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî:

g(a) = f (x(a))

∣∣∣∣dxda∣∣∣∣

Åñëè îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ íåîäíîçíà÷íà ðàçáèâàåòñÿ íà èíòåðâàëû, ãäåîíà âçàèìíî-îäíîçíà÷íà.Ïðåîáðàçîâàíèå ìíîãîìåðíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè äëÿ ìíîãîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ äåëàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì (÷åðåç ÿêîáèàí):

g(a1, a2) = f (x1(a1, a2), x2(a1, a2)) det

∣∣∣∣∣ dx1da1

dx1da2

dx2da1

dx2a2

∣∣∣∣∣(ñëåäóåò èç ïðåîáðàçîâàíèé ïåðåìåííûõ äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ).

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ è äðóãèåìîìåíòû.

Âàæíîå çíà÷åíèå èìååò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîãî çíà÷åíèÿ,îïðåäåëÿåòñÿ, êàê

E(x) =

∫x f (x) dx

E(k) =∑

kipi

Âòîðîé ñëó÷àé äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé ñðåäíåãî çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Äðóãèå îáîçíà÷åíèÿ µ, < x >.Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ñðåäíèé êâàäðàòîòêëîíåíèÿ îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:

D(x) ≡ < (x − µ)2 >=< x2 > −µ2

Äðóãîå ÷àñòî èñïîëüçóåìîå îáîçíà÷åíèå σ2. Êîðåíü èç äèñïåðñèèíàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì.Ìîìåíòîì ðàñïðåäåëåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà (Mn) íàçûâàåòñÿ < xn >.Öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì (µn) íàçûâàåòñÿ < (x − µ)n >. Äðóãèåõàðàêòåðíûå ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ àñèììåòðèÿ è ýêñöåññ:

γ1 ≡ µ3σ3

γ2 ≡ µ4σ4− 3

Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ýòî ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè ïëîòíîñòèâåðîÿòíîñòè:

ζX (t) = E(e i t X )

ζX (t) =

∞∫−∞

e i t X f (X ) dX äëÿ íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

ζX (t) =∑k

e i t kPk äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, â ÷àñòíîñòè:

f (X ) =1

2π

∞∫−∞

ζX (t) e−i X tdt

Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (ñâîéñòâà)

Íîðìèðîâêà:ζ(0) = 1; |ζ(t)| 6 1

åñëè a è b êîíñòàíòû:

ζaX+b(t) = ζX (at) e i b t

åñëè X ,Y íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû:

ζX+Y (t) = ζX (t) · ζY (t)

ìîìåíòû è öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû, êàê:

Mk =1

ikdk

dtkζ(t)

∣∣∣∣t=0

µk =1

ikdk

dtke−i µ tζ(t)

∣∣∣∣t=0

Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ: GX (t) = E(eXt) (çàìåíà i t → t)

Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

I N íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé (èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè):

I ðåçóëüòàò èñïûòàíèÿ óñïåõ/íåóñïåõI âåðîÿòíîñòü óñïåõ

I Ââîäèòñÿ äèñêðåòíàÿ âåëè÷èíà êîëè÷åñòâî óñïåøíûõèñïûòàíèé n

I Âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ n óñïåøíûõ ñîáûòèé

f (n;N, p) =N!

n!(N − n)!pn(1− p)N−n

I Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ:

E (n) = n p

D(n) = n p (1− p)

Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà

I  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå N →∞, p → 0 è óñëîâèè E [n] = λáèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïåðåõîäèò â ðàñïðåäåëåíèåÏóàññîíà:

f (n;λ) =λn

n!e−λ

I Ïðèìåð: ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ ν, òîãäà ÷èñëî ñîáûòèé,çàðåãèñòðèðîâàííûõ çà âðåìÿ τ ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíàñ ïàðàìåòðîì ντ .

I Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ:

E (n) = λ

D(n) = λ

Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåI Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ çíà÷åíèÿ, ðàñïðåäåëåííîãîðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [a, b]:

f (x ; a, b) =

1

b−a , x ∈ [a, b]

0, x /∈ [a, b]

I Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ:

E (x) =a + b

2

D(x) =(b − a)2

12

ζ(t) =1

2i t (b + a) +

sinh(12i t (b − a))

i t (b − a)

I Âàæíîå ïðèëîæåíèå: ôóíêöèÿ âåðîÿòíîñòè ëþáîãîíåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ðàñïðåäåëåíàðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0, 1]

Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

I Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèå:

f (x ;λ) =

1

λe−x/λ ïðè x > 0

0 ïðè x < 0

I Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ:

E (x) = λ

D(x) = λ2

ζ(t) =1

1− i t λ

I Ïðèìåð: âðåìÿ îæèäàíèÿ äî âîçíèêíîâåíèÿ ñîáûòèÿ ïðèñðåäíåì âðåìåíè îæèäàíèÿ λ

Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåI Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè µ è σ:

f (x ;µ, σ) =1

√2πσ

e−(x−µ)2/2σ2

I Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ:

E(x) = µ

D(x) = σ2

ζ(t) = exp(i t µ−1

2t2σ2)

I Ïðåäåëüíûå ñëó÷àè:I ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà: ïðè λ→∞ñòàíîâèòñÿ íîðìàëüíûì ñµ = λ, σ =

√λ

I äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé xi ñî ñðåäíèìè µi èäèñïåðñèåé σ2

i:

y =n∑

i=1

xi

ðàñïðåäåëåíà â ïðåäåëå n→∞ ïî íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèÿ ñïàðàìåòðàìè:

E(y) =n∑

i=1

µ

D(y) =n∑

i=1

σ2i

Ðàñïðåäåëåíèå Áðåéòà-Âèãíåðà (Êîøè)

I Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè µ è σ:

f (x ; x0, Γ) =1

π

Γ

Γ2 + (x − x0)2

I Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ:

ζ(t) = e itx0−Γ|t|

I Íå èìååò ìîìåíòîâ! (äàæå ñðåäíåãî)

Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ

Êîâàðèàöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ x , y :

cxy ≡< (x − µx)(y − µy ) >=< x y > −µxµyÎ÷åâèäíî, ÷òî cxx = σ2x . Ëèíåéíàÿ ÷àñòü âçàèìíîé çàâèñèìîñòèïåðåìåííûõ õàðàêòåðèçóþò íåäèàãîíàëüíûå ÷ëåíû ìàòðèöûêîâàðèàöèè. Äëÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ cxy = 0. Îáû÷íîââîäÿò íîâóþ âåëè÷èíó êîððåëÿöèþ:

ρxy ≡cxy

σxσy

Ýòà âåëè÷èíà ðàâíà 0 äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí è 1 èëè −1äëÿ ëèíåéíî çàâèñèìûõ (âèäà y = a x + b) âåëè÷èí.

Ìîíòå-Êàðëî: èíòåãðèðîâàíèå

Èíòåãðèðîâàíèå ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî â îáùåì ñëó÷àåèñïîëüçóåò òîò ôàêò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè,ñóììèðîâàíèåì. Äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ, íà ñàìîì äåëå,äåòåðìèíèðîâàííûå ìåòîäû, èñïîëüçóþùèå êóñî÷íûåàïðîêñèìàöèè ñ ðàâíîìåðíûì èëè àäîïòèðóåìûì èíòåðâàëîì(äëÿ ðåçêî ìåíÿþùèõñÿ ôóíêöèé) ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü áîëååòî÷íûé ðåçóëüòàò ïðè ìåíüøèõ çàòðàòàõ âðåìåíè. Îäíàêî äëÿìíîãîìåðíîãî ñëó÷àÿ ðàçìåðíîñòü çàäà÷è âîçðàñòàåòýêñïîíåíöèàëüíî ñ ðîñòîì ðàçìåðíîñòè, è òóò íå îáîéòèñü áåçìåòîäîå Ìîíòå-Êàðëî. Çàâèñèìîñòü îøèáêè ïðèèíòåãðèðîâàíèè ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî îò êîëè÷åñòâàèñïûòàíèé îáðàòíî ïðîïîðöèàíàëüíî ÷èñëó ñîáûòèé (ñëåäóåòèç ÖÏÒ îøèáêà ñðåäíåãî). Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûåïðîñòûå ñõåìû èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ìåòîä ñðåäíåãîÏðÿìîëèíåéíûé ñïîñîá. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè îïðåäåëåííûéèíòåãðàë

R =

b∫a

Φ(x) dx

ïåðåïèøåì â âèäå:

R =

b∫a

(b − a) Φ(x) · dx

b − a

ò.å. èíòåãðàë ñîâïàäàåò ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì(b − a)Φ(x) ïðè x ðàñïðåäåëåííîì ðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå[a, b]. Ìåòîä ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõïåðåìåííûõ, â ýòîì ñëó÷àå (b − a) íóæíî çàìåíèòü íà∏

(bi − ai ):

R ∼∑N

k=1

∏i (bi − ai )Φ(x1,x2, ...)

N

Âûäåëåíèå ãëàâíîé ÷àñòè

 ïðîñòîì ìåòîäå ñðåäíåãî ñòàòèñòè÷åñêàÿ îøèáêà áóäåòäîâîëüíî áîëüøîé, åñëè ôóíêöèÿ ñèëüíî íåîäíîðîäíà (ïèê,ðåçêèé ðîñò, ïîëþñ . . . ). Åñëè ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ñóììû

Φ(x) = Φ1(x) + Φ2(x)

ãäå Φ1(x) ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíà àíàëèòè÷åñêè, à Φ2(x)áîëåå îäíîðîäíà, ìîæíî, èñïîëüçóÿ ëèíåéíîñòü îïåðàòîðàèíòåãðèðîâàíèÿ óëó÷øèòü îøèáêó:

R =

b∫a

Φ1(x)dx +

b∫a

Φ2(x)dx

çäåñü âòîðîé èíòåãðàë áåðåòñÿ óæå óïîìÿíóòûì ìåòîäîìñðåäíåãî.

Ìåòîä ñóùåñòâåííîé âûáîðêèÄîïóñòèì, èíòåãðàë ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

R =

b∫a

Φ(x)

g(x)· g(x) dx

ãäå ôóíêöèÿ g(x) ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ íåêîòîðîãîðàñïðåäåëåíèÿ è g(x) > 0 íà âñåì èíòåðâàëå [a, b]. Òîãäà, åñëèñîîòâåòñòâóþùóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ìîæíî ëåãêîñãåíåðèðîâàòü (íàïðèìåð, ìåòîäîì ïðÿìîé âûáîðêè), ìîæíîèñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì:

1. ïîëîæèòü s = 0

2. ñãåíåðèðîâàòü x ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ g(x)

3. s += Φ(x)g(x)

4. öèêë ñ øàãà 2

5. ðåçóëüòàò R = sN , ãäå N ÷èñëî èòåðàöèé

Åñòåñòâåííî, ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà íåêàÿ êîìáèíàöèÿ ñïðåäûäóùèì ìåòîäîì.

Îöåíêà îøèáêè èíòåãðèðîâàíèÿ

Îøèáêà èíòåãðèðîâàíèÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî îöåíèâàåòñÿêàê êîðåíü äèñïåðñèè ñðåäíåãî:

D

(Φ(x)

g(x)

)= E

((Φ(x)

g(x)

)2)− E

(Φ(x)

g(x)

)2

σ =

√√√√D(

Φ(x)g(x)

)N

Åñòåñòâåííî, òîëüêî ÷àñòü, êîòîðàÿ ðàññ÷èòûâàëàñü ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî.  ñëó÷àå ìåòîäà ñðåäíåãî g(x) = 1

b−a .

Ìåòîä ÌåòðîïîëèñàÄîïóñòèì, èíòåãðàë îò ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåñðåäíåãî îò ôóíêöèè g(x) ïî ðàñïðåäåëåíèþ f(x), òîãäà ñðåäíåå ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ñðåäíåãî ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê:∫

Ω

g(x) · f (x) dx =1

N

∑i

g(x(i))

âûáîð òî÷êè x(1) äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëåí, ñëåäóþùèå òî÷êè ïîëó÷àþòñÿ ïî

ñëåäóþùåìó àëãîðèòìó:

1. Ãåíåðèðóåòñÿ ñëó÷àéíàÿ òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè x(i+1)j èñïîëüçóÿ äëÿ

êàæäîé êîîðäèíàòû ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà èíòåðâàëå[x

(i)j − δj , x

(i)j + δj ].

2. Åñëè ïîëó÷åííàÿ òî÷êà âûõîäèò çà îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ,îòáðàñûâàåòñÿ, íà íà÷àëî öèêëà.

3. Ðàññ÷èòûâàåòñÿ âåëè÷èíà k = f (x(i+1)

f (x(i )), ðàçûãðûâàåòñÿ ñëó÷àéíîå

çíà÷åíèå ξ, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîå íà èíòåðâàëå [0, 1]. Åñëèξ < k, òî÷êà ïðèíèìàåòñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòáðàñûâàåòñÿ, íàíà÷àëî öèêëà.

 ñðåäíåì, ïîëó÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê x(i) ðàñïðåäåëåíà ñ

ïëîòíîñòüþ f (x). Íåäîñòàòêè ìåòîäà îòñóòñòâèÿ ÷åòêîãî ðåöåïòàâûáîðà êîíñòàíò δj , ñëîæíîñòü îöåíêè îøèáîê, ñëîæíîå ïîâåäåíèå ïðèíàëè÷èè ìàêñèìóìîâ, íåðàâíîìåðíîñòü. Äîñòîèíñòâà ïðîñòîòà, ìîæåòðàáîòàòü ïðàêòè÷åñêè â ëþáîé ðàçìåðíîñòè.

Çàäàíèå ïðàêòèêóìà ïî èíòåãðèðîâàíèþ ìåòîäîì ÌîíòåÊàðëî

Ðåàëèçîâàòü ïðîãðàììó âû÷èñëåíèÿ äâóêðàòíîãî èíòåãðàëàìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî, íàéòè çíà÷åíèå è îöåíèòü îøèáêóðàñ÷åòà, èñïîëüçóÿ äâà ñïîñîáà:

1. Ìåòîä ñðåäíåãî

2. Àëüòåðíàòèâíûé ìåòîä (ïî âàðèàíòàì): (1) âûäåëåíèåãëàâíîé ÷àñòè; (2) ìåòîä ñóùåñòâåííîé âûáîðêè

Ïîëíóþ ñòàòèñòèêó 10000 ðàçáèòü íà 10 ñåðèé ïî 1000.Ïðèâîäèòü ðåçóëüòàòû óñðåäíåíèÿ (èíòåãðàë è îøèáêó) ïîêàæäîé ñåðèè è ïî âñåé ñîáðàííîé ê äàííîìó ìîìåíòóñòàòèñòèêå.

Ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòà

def function(x,p):

x = x[0]

y = y[0]

# è ò.ä.

f = TF2(f, function, x1, x2, y1, y2, 1)

# è ò.ä.

def integrate(fun, left, right, number):

xmin = left[0] ; xmax = right[0]

ymin = left[1] ; ymax = right[1]

for n in range(0,number):

# ðîçûãðûø, ñóììèðîâàíèå è ò.ä.

# ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòà:

# 1. íàðèñîâàòü ôóíêöèþ, ïîêàçàòü ìíå ïðîáëåìíûå îáëàñòè

f.Draw()

# 2. öèêë ïî ðåçóëüòàòàì èíòåãðèðîâàíèÿ:

for i in range(0,10):

result = integrate(f, [x1, y1], [x2, y2], 1000)

# íàáîð íåîáõîäèìûõ äëÿ ñðåäíåãî ñóìì

# ïå÷àòü áåãóùåãî ñðåäíåãî

# ïå÷àòü ïîëíîãî ñðåäíåãî è RMS