٢٩ ةﺮﺿﺎﺤﻤﻟا - ctapsctaps.yu.edu.jo/physics/courses/phys251/pdf/chapter6_b.pdf · 1...

1

Phys. 251: Modern PhysicsPhysics Department

Yarmouk University 21163 Irbid Jordan

Electron Probability Density

Lecture 29

��

� ��

١١١١فيزياء حديثة فيزياء حديثة فيزياء حديثة فيزياء حديثة : : : : ٢٥١٢٥١٢٥١٢٥١ف ف ف ف

جامعة اليرموك–قسم الفيزياء إربد األردن٢١١٦٣

كثافة االحتمال لإللكترون

٢٩٢٩٢٩٢٩المحاضرة المحاضرة المحاضرة المحاضرة

نضال الرشيدات.د �

2

احتمال العثور على اإللكترون

© Dr. N. Ershaidat Phys. 251 Chapter 6: Quantum Theory of the Hydrogen Atom Lecture 29

4

ميكانيكا الكم نموذج بور؟ ميكانيكا الكم نموذج بور؟ ميكانيكا الكم نموذج بور؟ ميكانيكا الكم نموذج بور؟تعد�لتعد�لتعد�لتعد�لكيف كيف كيف كيف بسبب الطبيعة الموجي�ة لإللكترون فإن�ه ليس هناك قيم محد�دة بسبب الطبيعة الموجي�ة لإللكترون فإن�ه ليس هناك قيم محد�دة بسبب الطبيعة الموجي�ة لإللكترون فإن�ه ليس هناك قيم محد�دة بسبب الطبيعة الموجي�ة لإللكترون فإن�ه ليس هناك قيم محد�دة ----��

كل ما نستطيع معرفته هو احتمال وجود كل ما نستطيع معرفته هو احتمال وجود كل ما نستطيع معرفته هو احتمال وجود كل ما نستطيع معرفته هو احتمال وجود . . . . ϕϕϕϕ و و و و θθθθ، ، ، ، ��لإلحداثي�ات لإلحداثي�ات لإلحداثي�ات لإلحداثي�ات ))))المحيط بالذرةالمحيط بالذرةالمحيط بالذرةالمحيط بالذرة((((اإللكترون في نقطة ما في الفراغ اإللكترون في نقطة ما في الفراغ اإللكترون في نقطة ما في الفراغ اإللكترون في نقطة ما في الفراغ

حتمال حتمال حتمال حتمال ال نستطيع التحدث عن مسار محد�د لإللكترون ألن� كثافة اال ال نستطيع التحدث عن مسار محد�د لإللكترون ألن� كثافة اال ال نستطيع التحدث عن مسار محد�د لإللكترون ألن� كثافة اال ال نستطيع التحدث عن مسار محد�د لإللكترون ألن� كثافة اال----��|ψ||ψ||ψ||ψ|ال تعتمد على الزمن وتتغير من نقطة على أخرى في الفراغ ال تعتمد على الزمن وتتغير من نقطة على أخرى في الفراغ ال تعتمد على الزمن وتتغير من نقطة على أخرى في الفراغ ال تعتمد على الزمن وتتغير من نقطة على أخرى في الفراغ��

::::تعطى كثافة االحتمال في الفراغ بالعالقةتعطى كثافة االحتمال في الفراغ بالعالقةتعطى كثافة االحتمال في الفراغ بالعالقةتعطى كثافة االحتمال في الفراغ بالعالقة2222 R ΦΦΦΦΘΘΘΘ====ψψψψψψψψ====ψψψψ * ��

3


5

كثافة االحتمال السمتي�ةكثافة االحتمال السمتي�ةكثافة االحتمال السمتي�ةكثافة االحتمال السمتي�ة

::::يمكن تعريف كثافة احتمال سمتي�ة بالتالييمكن تعريف كثافة احتمال سمتي�ة بالتالييمكن تعريف كثافة احتمال سمتي�ة بالتالييمكن تعريف كثافة احتمال سمتي�ة بالتالي

��

��ππππ

========××××====ΦΦΦΦΦΦΦΦ====ΦΦΦΦ ϕϕϕϕϕϕϕϕ

21

AeAeA 2mm2 i-i*

ي�ة ي�ة ي�ة ي�ة وهذا يعني أن� احتمال تواجد اإللكترون في نقطة إحداثي�تها السمتوهذا يعني أن� احتمال تواجد اإللكترون في نقطة إحداثي�تها السمتوهذا يعني أن� احتمال تواجد اإللكترون في نقطة إحداثي�تها السمتوهذا يعني أن� احتمال تواجد اإللكترون في نقطة إحداثي�تها السمتϕϕϕϕ ال تعتمد إطالقا على الزاوية ال تعتمد إطالقا على الزاوية ال تعتمد إطالقا على الزاوية ال تعتمد إطالقا على الزاوية ϕϕϕϕ....

�� متماثلة بالنسبة للمحور متماثلة بالنسبة للمحور متماثلة بالنسبة للمحور متماثلة بالنسبة للمحور ��ψψψψأو أن� كثافة االحتمال أو أن� كثافة االحتمال أو أن� كثافة االحتمال أو أن� كثافة االحتمال


6

��كثافة االحتمال الشعاعي�ة كثافة االحتمال الشعاعي�ة كثافة االحتمال الشعاعي�ة كثافة االحتمال الشعاعي�ة ��

فإن!ها فإن!ها فإن!ها فإن!ها ��بالنسبة للدالة بالنسبة للدالة بالنسبة للدالة بالنسبة للدالة تعتمد على عددين تعتمد على عددين تعتمد على عددين تعتمد على عددين كميين في نفس الوقت، كميين في نفس الوقت، كميين في نفس الوقت، كميين في نفس الوقت، ولذا فكثافة االحتمال ولذا فكثافة االحتمال ولذا فكثافة االحتمال ولذا فكثافة االحتمال

ترتبط بهما مبدئياترتبط بهما مبدئياترتبط بهما مبدئياترتبط بهما مبدئيا

��llllألية قيمة ألية قيمة ألية قيمة ألية قيمة

فإن! فإن! فإن! فإن! �� للدوال للدوال للدوال للدوال ��

))))llll��((((

��

��الدالة الدالة الدالة الدالة : : : : ��الشكل الشكل الشكل الشكل ��llll

4

7

��، ، ، ، ��، ، ، ، ��الدوال الدوال الدوال الدوال

��llllألية قيمة ألية قيمة ألية قيمة ألية قيمة

فإن! فإن! فإن! فإن! �� للدوال للدوال للدوال للدوال ��

))))llll��((((

��

��الدالة الدالة الدالة الدالة : : : : ��الشكل الشكل الشكل الشكل ��llll


8

االحتمالاالحتمالاالحتمالاالحتماليعطى احتمال العثور على اإللكترون في نقطة ما في الفراغ معر�فة يعطى احتمال العثور على اإللكترون في نقطة ما في الفراغ معر�فة يعطى احتمال العثور على اإللكترون في نقطة ما في الفراغ معر�فة يعطى احتمال العثور على اإللكترون في نقطة ما في الفراغ معر�فة

�� في منطقة محدودة بعنصر حجم تفاضلي في منطقة محدودة بعنصر حجم تفاضلي في منطقة محدودة بعنصر حجم تفاضلي في منطقة محدودة بعنصر حجم تفاضلي ϕϕϕϕ و و و و θθθθ، ، ، ، �� باالحداثي�اتباالحداثي�اتباالحداثي�اتباالحداثي�ات::::بالعالقة التاليةبالعالقة التاليةبالعالقة التاليةبالعالقة التالية

��dVdVrPn ψψψψψψψψ==== *)(r

l

5


9

عنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ةعنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ةعنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ةعنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ة

عنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ة عنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ة عنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ة عنصر الحجم في اإلحداثي�ات الكروي�ة : : : : ��الشكل الشكل الشكل الشكل


10

العثور على اإللكترونالعثور على اإللكترونالعثور على اإللكترونالعثور على اإللكتروناحتمال احتمال احتمال احتمال � و و و و ��واحتمال العثور عليه في قشرة كروي�ة بين واحتمال العثور عليه في قشرة كروي�ة بين واحتمال العثور عليه في قشرة كروي�ة بين واحتمال العثور عليه في قشرة كروي�ة بين ��:::: هو هو هو هو��

(((( )))) ��====

(((( )))) (((( )))) (((( )))) φφφφϕϕϕϕΦΦΦΦθθθθθθθθθθθθΘΘΘΘ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ππππππππ

��

��

��

��

��

��l

��

�� فقط ولذا تسم�ى فقط ولذا تسم�ى فقط ولذا تسم�ى فقط ولذا تسم�ى �� كثافة احتمال تعتمد فقط على المتغير كثافة احتمال تعتمد فقط على المتغير كثافة احتمال تعتمد فقط على المتغير كثافة احتمال تعتمد فقط على المتغير ��))))))))�� ( ( ( ( ( ( ( (كثافة االحتمال الشعاعي�ةكثافة االحتمال الشعاعي�ةكثافة االحتمال الشعاعي�ةكثافة االحتمال الشعاعي�ةكثافة االحتمال الشعاعي�ةكثافة االحتمال الشعاعي�ةكثافة االحتمال الشعاعي�ةكثافة االحتمال الشعاعي�ة

6

11

��llll��

�� التالي التالي التالي التالي ��يبيWن الشكل يبيWن الشكل يبيWن الشكل يبيWن الشكل �� llllلقيم مختلفة لقيم مختلفة لقيم مختلفة لقيم مختلفة ��


12

��خواص خواص خواص خواص ��llll��

�� من حيث المبدأ فإن� من حيث المبدأ فإن� من حيث المبدأ فإن� من حيث المبدأ فإن��llll�� تختلف عن تختلف عن تختلف عن تختلف عن ��

��llll��

�� ال تكون أقصى قيمة عند ال تكون أقصى قيمة عند ال تكون أقصى قيمة عند ال تكون أقصى قيمة عند �� في الحالة الخاصة في الحالة الخاصة في الحالة الخاصة في الحالة الخاصة ��، وتكون ، وتكون ، وتكون ، وتكون �القيمة األكثر احتماال هي القيمة األكثر احتماال هي القيمة األكثر احتماال هي القيمة األكثر احتماال هي ��

��

��....

يكون متوسط الدالة عند يكون متوسط الدالة عند يكون متوسط الدالة عند يكون متوسط الدالة عند �� في الحالة الخاصة في الحالة الخاصة في الحالة الخاصة في الحالة الخاصة ��

�� !� !� !� !��r

"""" قيمة قيمة قيمة قيمة الحظ أن�الحظ أن�الحظ أن�الحظ أن��

في نموذج بور هي نفسها في ميكانيكا في نموذج بور هي نفسها في ميكانيكا في نموذج بور هي نفسها في ميكانيكا في نموذج بور هي نفسها في ميكانيكا �� وليس على وليس على وليس على وليس على ��####�� تعتمد على تعتمد على تعتمد على تعتمد على """" شرودينغر، واألهم من ذلك أن�شرودينغر، واألهم من ذلك أن�شرودينغر، واألهم من ذلك أن�شرودينغر، واألهم من ذلك أن�

الالزمة هي الالزمة هي مباشرة ولذا فالقيمة األكثر احتماال الالزمة هي مباشرة ولذا فالقيمة األكثر احتماال الالزمة هي مباشرة ولذا فالقيمة األكثر احتماال �مباشرة ولذا فالقيمة األكثر احتماال��####��

والتي والتي والتي والتي ��####��تساوي تساوي تساوي تساوي ��

�أنظر المحاضرة قبل السابقة لحساب أنظر المحاضرة قبل السابقة لحساب أنظر المحاضرة قبل السابقة لحساب أنظر المحاضرة قبل السابقة لحساب . (. (. (. (��####��

((((

7

13

ليس لنصف قطر بور معنى في النظري�ة الكمي�ةليس لنصف قطر بور معنى في النظري�ة الكمي�ةليس لنصف قطر بور معنى في النظري�ة الكمي�ةليس لنصف قطر بور معنى في النظري�ة الكمي�ة نموذج بور لـذر�ة الهيدروجين يعطي أنصاف أقطار نموذج بور لـذر�ة الهيدروجين يعطي أنصاف أقطار نموذج بور لـذر�ة الهيدروجين يعطي أنصاف أقطار نموذج بور لـذر�ة الهيدروجين يعطي أنصاف أقطار في حين أن�في حين أن�في حين أن�في حين أن�

عطى عطى عطى عطى المدارات الدائري�ة التي يمكن لإللكترون أن يتواجد فيها والتي تالمدارات الدائري�ة التي يمكن لإللكترون أن يتواجد فيها والتي تالمدارات الدائري�ة التي يمكن لإللكترون أن يتواجد فيها والتي تالمدارات الدائري�ة التي يمكن لإللكترون أن يتواجد فيها والتي ت��: : : : بالعالقةبالعالقةبالعالقةبالعالقة

��

�� الحديث عن أنصاف األقطار هذه ليس ذا الحديث عن أنصاف األقطار هذه ليس ذا الحديث عن أنصاف األقطار هذه ليس ذا الحديث عن أنصاف األقطار هذه ليس ذا ، فإن� ، فإن� ، فإن� ، فإن�معنى في النظري�ة الكمي�ة، معنى في النظري�ة الكمي�ة، معنى في النظري�ة الكمي�ة، معنى في النظري�ة الكمي�ة،

اإللكترون ليس موجودا في مدار دائري اإللكترون ليس موجودا في مدار دائري اإللكترون ليس موجودا في مدار دائري اإللكترون ليس موجودا في مدار دائري فنحن نعلم اآلن أن�فنحن نعلم اآلن أن�فنحن نعلم اآلن أن�فنحن نعلم اآلن أن�ة وكل ة وكل ة وكل ة وكل بالمفهوم البوري وإن�ما يمكن أن يتواجد في أي مكان في الذر�بالمفهوم البوري وإن�ما يمكن أن يتواجد في أي مكان في الذر�بالمفهوم البوري وإن�ما يمكن أن يتواجد في أي مكان في الذر�بالمفهوم البوري وإن�ما يمكن أن يتواجد في أي مكان في الذر�

ما نستطيع معرفته هو احتمال العثور عليه في مكان ما واحتمال أن ما نستطيع معرفته هو احتمال العثور عليه في مكان ما واحتمال أن ما نستطيع معرفته هو احتمال العثور عليه في مكان ما واحتمال أن ما نستطيع معرفته هو احتمال العثور عليه في مكان ما واحتمال أن تكون طاقة وضعه أو طاقة حركته أو زخمه الخطي مساوية لقيمة تكون طاقة وضعه أو طاقة حركته أو زخمه الخطي مساوية لقيمة تكون طاقة وضعه أو طاقة حركته أو زخمه الخطي مساوية لقيمة تكون طاقة وضعه أو طاقة حركته أو زخمه الخطي مساوية لقيمة

. . . . نعرف الحالة التي تمثWله نعرف الحالة التي تمثWله نعرف الحالة التي تمثWله نعرف الحالة التي تمثWلهمعينة بشرط أن�معينة بشرط أن�معينة بشرط أن�معينة بشرط أن� (((( ))))rmnr

lψψψψ


14

التوفيق بين مفهوم نصف قطر بور وميكانيكا الكمالتوفيق بين مفهوم نصف قطر بور وميكانيكا الكمالتوفيق بين مفهوم نصف قطر بور وميكانيكا الكمالتوفيق بين مفهوم نصف قطر بور وميكانيكا الكم

��حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة : : : : مثالمثالمثالمثال��

كيف يمكن أن نوفق بين المفهومين السابقين؟كيف يمكن أن نوفق بين المفهومين السابقين؟كيف يمكن أن نوفق بين المفهومين السابقين؟كيف يمكن أن نوفق بين المفهومين السابقين؟::::لإلجابة على هذا السؤال لنر أوال المثال التاليلإلجابة على هذا السؤال لنر أوال المثال التاليلإلجابة على هذا السؤال لنر أوال المثال التاليلإلجابة على هذا السؤال لنر أوال المثال التالي

تكون تكون تكون تكون هي قيمة هي قيمة هي قيمة هي قيمة �� التي تكون عندها التي تكون عندها التي تكون عندها التي تكون عندها � �� أكبر ما يمكن إذا أكبر ما يمكن إذا أكبر ما يمكن إذا أكبر ما يمكن إذا ��

]]]]::::وفقط إذا تحقق الشرطان التاليانوفقط إذا تحقق الشرطان التاليانوفقط إذا تحقق الشرطان التاليانوفقط إذا تحقق الشرطان التاليان ]]]]

[[[[ ]]]]

−−−−====

====

====

====

mP

mP

rrp22

2

rrp2

rPrd

dSign

0rPrd

d

)(

)(

8

15

��حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة

[[[[ ]]]]

−−−−αααα==== −−−− 0ar

0

2

p2 ea2

rr2rP

rdd

)(

[[[[ ]]]] 0mPp2 a4r0rPrd

d====⇔⇔⇔⇔====)(

إشارة المشتقة الثانية للدالة عند إشارة المشتقة الثانية للدالة عند إشارة المشتقة الثانية للدالة عند إشارة المشتقة الثانية للدالة عند نترك كتمرين التأكد من أن9نترك كتمرين التأكد من أن9نترك كتمرين التأكد من أن9نترك كتمرين التأكد من أن9� ��

....سالبةسالبةسالبةسالبة

[[[[ ]]]]

====

==== −−−− 0a2r

20

2

30

2

p2p2 ear

a241

rdd

Rrd

drP

rdd

)(

16

��حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة حساب أقصى قيمة للدالة

��أقصى قيمة للدالة لبعض الدوال أقصى قيمة للدالة لبعض الدوال أقصى قيمة للدالة لبعض الدوال أقصى قيمة للدالة لبعض الدوال التالي التالي التالي التالي ��في الجدول في الجدول في الجدول في الجدول ��llll

��

� � � ��

� � � ��

��قيمة قيمة قيمة قيمة ��

��llll��الدالة الدالة الدالة الدالة �� التي تحقق التي تحقق التي تحقق التي تحقق

0ar21001 eCrP −−−−====)(

0arp2p2 eCrP −−−−====)(

0a3r2d3d3 eCrP −−−−====)(

�الجدول الجدول الجدول الجدول ��

��أقصى قيمة للدالة أقصى قيمة للدالة أقصى قيمة للدالة أقصى قيمة للدالة ونترك كتمرين أيضا التأكد من أن�ونترك كتمرين أيضا التأكد من أن�ونترك كتمرين أيضا التأكد من أن�ونترك كتمرين أيضا التأكد من أن�� هي هي هي هي ��

��

��أقصى قيمة للدالة أقصى قيمة للدالة أقصى قيمة للدالة أقصى قيمة للدالة أن�أن�أن�أن�وووو�� هي هي هي هي ��

��

9


17

نصف قطر بور وميكانيكا الكمنصف قطر بور وميكانيكا الكمنصف قطر بور وميكانيكا الكمنصف قطر بور وميكانيكا الكم قيمة قيمة قيمة قيمة نالحظ أن9نالحظ أن9نالحظ أن9نالحظ أن9 نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة تساوي نصف قطر بور ولكن نحن نعلم أن9 تساوي نصف قطر بور ولكن نحن نعلم أن9 تساوي نصف قطر بور ولكن نحن نعلم أن9 تساوي نصف قطر بور ولكن نحن نعلم أن��9

قياسنا لإلحداثي9ة قياسنا لإلحداثي9ة قياسنا لإلحداثي9ة قياسنا لإلحداثي9ة اإللكترون في النظري9ة الكمي9ة اإللكترون في النظري9ة الكمي9ة اإللكترون في النظري9ة الكمي9ة اإللكترون في النظري9ة الكمي9ة “ “ “ “ مكان وجودمكان وجودمكان وجودمكان وجود”””” التي تمثل التي تمثل التي تمثل التي تمثل �تعطى على صيغة القيمة المتوقعة تعطى على صيغة القيمة المتوقعة تعطى على صيغة القيمة المتوقعة تعطى على صيغة القيمة المتوقعة ��

�في الجدول في الجدول في الجدول في الجدول ��قيمة قيمة قيمة قيمة التالي التالي التالي التالي �� لبعض الدواللبعض الدواللبعض الدواللبعض الدوال�

� ��

��

� ��

��

� �� ±±±± ��

��

��ΨΨΨΨ الحالة الحالة الحالة الحالةΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ��

ΨΨΨΨ��

ΨΨΨΨ��±±±±��

�الجدول الجدول الجدول الجدول ��

© Dr. N. Ershaidat Phys. 251 Chapter 6 : Quantum Theory of the Hydrogen Atom Lecture 29

18

��تعميم تعميم تعميم تعميم ��llll ��

::::بشكل عام يمكن اثبات أن�بشكل عام يمكن اثبات أن�بشكل عام يمكن اثبات أن�بشكل عام يمكن اثبات أن�

(((( ))))(((( )))) 02

mn a1n321

r ++++−−−−==== lll ��

10


Yarmouk University 21163 Irbid JordanApplication: Radiative

Transitions - Selection Rules

Lecture 30

��

� ��



: تطبيق قواعد االنتقاء-االنتقاالت

٣٠٣٠٣٠٣٠المحاضرة المحاضرة المحاضرة المحاضرة


11

النظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين النظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين النظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين النظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين ومسلمي�تا بورومسلمي�تا بورومسلمي�تا بورومسلمي�تا بور


22

النظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين ومسلمي�تا بورالنظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين ومسلمي�تا بورالنظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين ومسلمي�تا بورالنظري�ة الكمي�ة لـذر�ة الهيدروجين ومسلمي�تا بور

�� اإللكترون يتحرك في اتجاه واحد اإللكترون يتحرك في اتجاه واحد اإللكترون يتحرك في اتجاه واحد اإللكترون يتحرك في اتجاه واحد للتبسيط سوف نفترض أن�للتبسيط سوف نفترض أن�للتبسيط سوف نفترض أن�للتبسيط سوف نفترض أن��ولنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة ولنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة ولنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة ولنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة

ة الهيدروجين موجود في الحالةة الهيدروجين موجود في الحالةة الهيدروجين موجود في الحالةة الهيدروجين موجود في الحالة الكترون ذر� الكترون ذر� الكترون ذر� الكترون ذر�لنعتبر أن�لنعتبر أن�لنعتبر أن�لنعتبر أن��طاقة النظام في هذه الحالة هي طاقة النظام في هذه الحالة هي طاقة النظام في هذه الحالة هي طاقة النظام في هذه الحالة هي . . . . ��المعر�فة بالعدد الكمي الرئيس المعر�فة بالعدد الكمي الرئيس المعر�فة بالعدد الكمي الرئيس المعر�فة بالعدد الكمي الرئيس

��

(((( ))))trmn ,r

lΨΨΨΨ

[[[[ ]]]] ∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

−−−−++++∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ψψψψψψψψ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ==== dxexedx tEin

tEinnn

nn hh** xx

∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ψψψψψψψψ==== dxx nn*

��

12


23

المسلمي�ة األولىالمسلمي�ة األولىالمسلمي�ة األولىالمسلمي�ة األولىأي أن� اإللكترون ال أي أن� اإللكترون ال أي أن� اإللكترون ال أي أن� اإللكترون ال . . . . مع الزمن مع الزمن مع الزمن مع الزمن��ال تتغير القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة ال تتغير القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة ال تتغير القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة ال تتغير القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة

ة ة ة ة يهتز حول موقعه وبالتالي ال يشع أي�ة طاقة وهذا تبرير كمي لمسلمي�يهتز حول موقعه وبالتالي ال يشع أي�ة طاقة وهذا تبرير كمي لمسلمي�يهتز حول موقعه وبالتالي ال يشع أي�ة طاقة وهذا تبرير كمي لمسلمي�يهتز حول موقعه وبالتالي ال يشع أي�ة طاقة وهذا تبرير كمي لمسلمي�....بور األولىبور األولىبور األولىبور األولى

24

المسلمية الثانيةالمسلمية الثانيةالمسلمية الثانيةالمسلمية الثانيةΨΨΨΨ أعطيت الذر�ة الموجودة في الحالة أعطيت الذر�ة الموجودة في الحالة أعطيت الذر�ة الموجودة في الحالة أعطيت الذر�ة الموجودة في الحالة ****ه وبطريقة ماه وبطريقة ماه وبطريقة ماه وبطريقة مالنعتبر اآلن أن�لنعتبر اآلن أن�لنعتبر اآلن أن�لنعتبر اآلن أن�

��

ΨΨΨΨ بحيث تنتقل إلى الحالة بحيث تنتقل إلى الحالة بحيث تنتقل إلى الحالة بحيث تنتقل إلى الحالة طاقة طاقة طاقة طاقة ��

بعد فترة من الزمن تعود الذر�ة بعد فترة من الزمن تعود الذر�ة بعد فترة من الزمن تعود الذر�ة بعد فترة من الزمن تعود الذر�ة . . . . ) ) ) ) طاقةطاقةطاقةطاقة((((إلى حالتها االبتدائية وتش�ع الطاقة الفائضة على شكل أشعة إلى حالتها االبتدائية وتش�ع الطاقة الفائضة على شكل أشعة إلى حالتها االبتدائية وتش�ع الطاقة الفائضة على شكل أشعة إلى حالتها االبتدائية وتش�ع الطاقة الفائضة على شكل أشعة

كهرمغناطيسية كهرمغناطيسية كهرمغناطيسية كهرمغناطيسية

كإحداث تفريغ كهربائي في أنبوب يحوي غاز الهيدروجين كإحداث تفريغ كهربائي في أنبوب يحوي غاز الهيدروجين كإحداث تفريغ كهربائي في أنبوب يحوي غاز الهيدروجين كإحداث تفريغ كهربائي في أنبوب يحوي غاز الهيدروجين ****

ة خالل الفترة التي تشع فيها الطاقة ة خالل الفترة التي تشع فيها الطاقة ة خالل الفترة التي تشع فيها الطاقة ة خالل الفترة التي تشع فيها الطاقة نعبGر عن حالة الذر� نعبGر عن حالة الذر� نعبGر عن حالة الذر� نعبGر عن حالة الذر�يمكن أن�يمكن أن�يمكن أن�يمكن أن�ه يمكن التعبير عن دالة الموجة في ه يمكن التعبير عن دالة الموجة في ه يمكن التعبير عن دالة الموجة في ه يمكن التعبير عن دالة الموجة في وكأن�ها مزيج من الحالتين أي أن�وكأن�ها مزيج من الحالتين أي أن�وكأن�ها مزيج من الحالتين أي أن�وكأن�ها مزيج من الحالتين أي أن�

::::هذه الحالة بتراكب خطي من الحالتين السابقتينهذه الحالة بتراكب خطي من الحالتين السابقتينهذه الحالة بتراكب خطي من الحالتين السابقتينهذه الحالة بتراكب خطي من الحالتين السابقتين

ΨΨΨΨ ��ΨΨΨΨ��ΨΨΨΨ

��

13

25


��

(((( ))))(((( )))) 1dVbabadV*mnmn ====ΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ ∫∫∫∫∫∫∫∫

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

****

.... هي أيضا حل لمعادلة شرودينغر هي أيضا حل لمعادلة شرودينغر هي أيضا حل لمعادلة شرودينغر هي أيضا حل لمعادلة شرودينغرΨΨΨΨ الدالة الدالة الدالة الدالة كما سبق وقلنا فإن�كما سبق وقلنا فإن�كما سبق وقلنا فإن�كما سبق وقلنا فإن�

؟؟؟؟�� و و و و ��ماذا يمث)ل الثابتان ماذا يمث)ل الثابتان ماذا يمث)ل الثابتان ماذا يمث)ل الثابتان ΨΨΨΨ التطبيع للدالة التطبيع للدالة التطبيع للدالة التطبيع للدالة ططططلنكتب شرلنكتب شرلنكتب شرلنكتب شر

��

∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ dV*bdV*a mm2

nn2

1dV*abdV*ba nmmn ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

**

26


��

:::: وبالتالي فإن� وبالتالي فإن� وبالتالي فإن� وبالتالي فإن�****��متعامدة متعامدة متعامدة متعامدة ----دوال الموجة الممث�لة للنظام مطبعةدوال الموجة الممث�لة للنظام مطبعةدوال الموجة الممث�لة للنظام مطبعةدوال الموجة الممث�لة للنظام مطبعة

0dV*dV*nmmn ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ ∫∫∫∫∫∫∫∫

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−− ::::ومنها نجد أن�ومنها نجد أن�ومنها نجد أن�ومنها نجد أن��

تمثل تمثل تمثل تمثل � � � � ��ΨΨΨΨ احتمال وجود النظام في الحالة احتمال وجود النظام في الحالة احتمال وجود النظام في الحالة احتمال وجود النظام في الحالة �� و و و و � � � � احتمال وجود احتمال وجود احتمال وجود احتمال وجود ��

��ΨΨΨΨالنظام في الحالة النظام في الحالة النظام في الحالة النظام في الحالة

1dV*dV*mmnn ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ ∫∫∫∫∫∫∫∫

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

��

��

أنظر المسائلأنظر المسائلأنظر المسائلأنظر المسائل* * * *

14


27

��ΨΨΨΨحساب حساب حساب حساب ΨΨΨΨ في الحالة في الحالة في الحالة في الحالة ��لنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة لنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة لنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة لنحسب القيمة المتوقعة لإلحداثي�ة

��

(((( )))) [[[[ ]]]]∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−ΨΨΨΨ ΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨ====ΨΨΨΨΨΨΨΨ==== dxbabadx mnmn xxx *****

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ==== mm2

nn2 xbxa **

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ΨΨΨΨΨΨΨΨ++++ nmmn xabxba ****


28

��ΨΨΨΨحساب حساب حساب حساب

��

��

(((( ))))∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

−−−−++++ΨΨΨΨ ΨΨΨΨψψψψ==== hh ��

��

��

��

��

��

iix

(((( ))))∫∫∫∫∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞−−−−

−−−−++++ ΨΨΨΨψψψψ++++ hh ��

��

��

��

��

��

ii

(((( ))))∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

−−−−++++ ΨΨΨΨψψψψ++++ hh ��

��

��

��

��

��

ii

(((( ))))∫∫∫∫∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞−−−−

++++++++ ΨΨΨΨψψψψ++++ hh ��

��

��

��

��

��

ii

15

29

��ΨΨΨΨحساب حساب حساب حساب

��

∫∫∫∫ ∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−ΨΨΨΨ ψψψψψψψψ++++ψψψψψψψψ==== dxxbdxxa nn

2nn

2 **x

��

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞−−−−

−−−−−−−−∞∞∞∞−−−−

∞∞∞∞−−−−

−−−−++++ ψψψψψψψψ++++ψψψψψψψψ++++ hh tEEnm

tEEmn

mnmn exabexba ii ****

::::فيما يلي سوف نستخدم التعبيرين المثلثين التاليينفيما يلي سوف نستخدم التعبيرين المثلثين التاليينفيما يلي سوف نستخدم التعبيرين المثلثين التاليينفيما يلي سوف نستخدم التعبيرين المثلثين التاليين

األخيرين األخيرين األخيرين األخيرين ال يتغير التكامل األول والثاني مع الزمن، في حين أن التكاملين ال يتغير التكامل األول والثاني مع الزمن، في حين أن التكاملين ال يتغير التكامل األول والثاني مع الزمن، في حين أن التكاملين ال يتغير التكامل األول والثاني مع الزمن، في حين أن التكاملين .... مع الزمن مع الزمن مع الزمن مع الزمن��x��ΨΨΨΨيساهمان في تغير يساهمان في تغير يساهمان في تغير يساهمان في تغير

(((( )))) (((( )))) (((( ))))hh

h tEEtEEe mnmntEE mn

−−−−++++

−−−−====−−−−++++ sincos ii

(((( )))) (((( )))) (((( ))))hh

h tEEtEEe mnmntEE mn

−−−−−−−−

−−−−====−−−−−−−− sincos ii

)انبعاث الطاقة(االنتقاالت

Radiative Transitions

16

31

اإللكترون يتذبذب جيبي�ااإللكترون يتذبذب جيبي�ااإللكترون يتذبذب جيبي�ااإللكترون يتذبذب جيبي�ا

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

−−−−−−−−

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

−−−−++++ ΨΨΨΨψψψψ++++ΨΨΨΨψψψψ dxexabdxexba tEEnm

tEEmn

mnmn hh ii ****

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ΨΨΨΨψψψψ++++ΨΨΨΨψψψψ−−−−

⇒⇒⇒⇒ dxbaabxtEE

mnnmmn ****cos

h

(((( )))) (((( )))) dxbaabxtEE

mnnmmn ∫∫∫∫

∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ΨΨΨΨψψψψ−−−−ΨΨΨΨψψψψ−−−−

++++ ****sinh

i ��

::::من هذه العالقة مع الزمن مثلمن هذه العالقة مع الزمن مثلمن هذه العالقة مع الزمن مثلمن هذه العالقة مع الزمن مثل) ) ) ) الفيزيائيالفيزيائيالفيزيائيالفيزيائي((((يتغير الجزء الحقيقي يتغير الجزء الحقيقي يتغير الجزء الحقيقي يتغير الجزء الحقيقي

(((( )))) (((( ))))t2

htEE

2tEE mnmn ννννππππ====

−−−−ππππ====

−−−−coscoscos

h

)))) موقع اإللكترون يتذبذب جيبي!ا بتردد مقداره موقع اإللكترون يتذبذب جيبي!ا بتردد مقداره موقع اإللكترون يتذبذب جيبي!ا بتردد مقداره موقع اإللكترون يتذبذب جيبي!ا بتردد مقداره هذا معناه أن!هذا معناه أن!هذا معناه أن!هذا معناه أن! ))))h

EE mn −−−−====νννν

32

مسلمي�ة بور الثانيةمسلمي�ة بور الثانيةمسلمي�ة بور الثانيةمسلمي�ة بور الثانيةيتصرف هذا اإللكترون كثناقطبي كهربائي ويش�ع طاقة يتصرف هذا اإللكترون كثناقطبي كهربائي ويش�ع طاقة يتصرف هذا اإللكترون كثناقطبي كهربائي ويش�ع طاقة يتصرف هذا اإللكترون كثناقطبي كهربائي ويش�ع طاقة

في في في في ννννالتردد التردد التردد التردد (((( بتردد مساو لتردد تذبذب موقعه بتردد مساو لتردد تذبذب موقعه بتردد مساو لتردد تذبذب موقعه بتردد مساو لتردد تذبذب موقعه ناطيسيةناطيسيةناطيسيةناطيسيةكهرمغكهرمغكهرمغكهرمغ))))المعادلة السابقةالمعادلة السابقةالمعادلة السابقةالمعادلة السابقة

خطا طيفي/ا ما خطا طيفي/ا ما خطا طيفي/ا ما خطا طيفي/ا ما وهذا تفسير كمي لمسلمي/ة بور الثانية، والتي تقول أن/وهذا تفسير كمي لمسلمي/ة بور الثانية، والتي تقول أن/وهذا تفسير كمي لمسلمي/ة بور الثانية، والتي تقول أن/وهذا تفسير كمي لمسلمي/ة بور الثانية، والتي تقول أن/، ويعطى تردد ، ويعطى تردد ، ويعطى تردد ، ويعطى تردد مدار إلى آخرمدار إلى آخرمدار إلى آخرمدار إلى آخرة من ة من ة من ة من ناتج عن انتقال إلكترون الذر/ناتج عن انتقال إلكترون الذر/ناتج عن انتقال إلكترون الذر/ناتج عن انتقال إلكترون الذر/

....الفوتون الناتج بالعالقة السابقةالفوتون الناتج بالعالقة السابقةالفوتون الناتج بالعالقة السابقةالفوتون الناتج بالعالقة السابقة

يؤدي هذان التفسيران إلى تفسير النتائج المخبري/ة ولذا فال زلنا يؤدي هذان التفسيران إلى تفسير النتائج المخبري/ة ولذا فال زلنا يؤدي هذان التفسيران إلى تفسير النتائج المخبري/ة ولذا فال زلنا يؤدي هذان التفسيران إلى تفسير النتائج المخبري/ة ولذا فال زلنا بور لتفسير طيف الهيدروجين بور لتفسير طيف الهيدروجين بور لتفسير طيف الهيدروجين بور لتفسير طيف الهيدروجين ““““صورةصورةصورةصورة””””نستعمل، بغرض التبسيط، نستعمل، بغرض التبسيط، نستعمل، بغرض التبسيط، نستعمل، بغرض التبسيط،

))))والذر/ات األخرى أيضاوالذر/ات األخرى أيضاوالذر/ات األخرى أيضاوالذر/ات األخرى أيضا((((

(((( ))))h

EE mn −−−−====νννν

17

االنتقاالت المسموحة االنتقاالت المسموحة االنتقاالت المسموحة االنتقاالت المسموحة

وووو

االنتقاالت الممنوعةاالنتقاالت الممنوعةاالنتقاالت الممنوعةاالنتقاالت الممنوعة

Allowed Transitions and

Forbidden transitions


34

احتمال االنتقالاحتمال االنتقالاحتمال االنتقالاحتمال االنتقال:::: مع التكامل مع التكامل مع التكامل مع التكامل�� إلى المدار إلى المدار إلى المدار إلى المدار ��من المدار من المدار من المدار من المدار * * * * يتناسب احتمال انتقال اإللكترونيتناسب احتمال انتقال اإللكترونيتناسب احتمال انتقال اإللكترونيتناسب احتمال انتقال اإللكترون

∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

ψψψψψψψψ ��

��

االنتقال المرادف يسم!ى انتقاال مسموحا االنتقال المرادف يسم!ى انتقاال مسموحا االنتقال المرادف يسم!ى انتقاال مسموحا االنتقال المرادف يسم!ى انتقاال مسموحا إذا كان هذا التكامل منتهيا فإن!إذا كان هذا التكامل منتهيا فإن!إذا كان هذا التكامل منتهيا فإن!إذا كان هذا التكامل منتهيا فإن!))))�� ! فإن!))))� ! فإن!، وإال ! فإن!، وإال ! فإن!، وإال ممنوعا ، وإال ممنوعا االنتقال يسم!ى انتقاال ممنوعا االنتقال يسم!ى انتقاال ممنوعا االنتقال يسم!ى انتقاال االنتقال يسم!ى انتقاال))))�� ((((

و شدة االنتقالو شدة االنتقالو شدة االنتقالو شدة االنتقالأأأأ ****

18


35

ة الهيدروجينة الهيدروجينة الهيدروجينة الهيدروجينحالة ذر�حالة ذر�حالة ذر�حالة ذر�ة الهيدروجين، إذا كان النظام موجودا في الحالة ة الهيدروجين، إذا كان النظام موجودا في الحالة ة الهيدروجين، إذا كان النظام موجودا في الحالة ة الهيدروجين، إذا كان النظام موجودا في الحالة في حالة ذر/في حالة ذر/في حالة ذر/في حالة ذر/

وإذا كانت الحالة وإذا كانت الحالة وإذا كانت الحالة وإذا كانت الحالة ’�� و و و و ’l ، ، ، ، ’��االبتدائي/ة المعر/فة باألعداد الكمي/ة االبتدائي/ة المعر/فة باألعداد الكمي/ة االبتدائي/ة المعر/فة باألعداد الكمي/ة االبتدائي/ة المعر/فة باألعداد الكمي/ة الشرط الشرط الشرط الشرط ، فإن/ ، فإن/ ، فإن/ ، فإن/�� و و و و l ، ، ، ، ��النهائي/ة بعد االنتقال معر/فة باألعداد الكمي/ة النهائي/ة بعد االنتقال معر/فة باألعداد الكمي/ة النهائي/ة بعد االنتقال معر/فة باألعداد الكمي/ة النهائي/ة بعد االنتقال معر/فة باألعداد الكمي/ة

::::الالزم لحصول االنتقال هوالالزم لحصول االنتقال هوالالزم لحصول االنتقال هوالالزم لحصول االنتقال هو

0dV*u m,,nm,,n ≠≠≠≠ψψψψψψψψ∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

′′′′′′′′′′′′ ll ll

الفراغ الفراغ الفراغ الفراغ ) ) ) ) الحجمالحجمالحجمالحجم((((والتكامل على والتكامل على والتكامل على والتكامل على �� أو أو أو أو �� أو أو أو أو �� اإلحداثي/ة اإلحداثي/ة اإلحداثي/ة اإلحداثي/ة ��حيث تمث/ل حيث تمث/ل حيث تمث/ل حيث تمث/ل ....كلهكلهكلهكله


36

قواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاء االنتقاالت الوحيدة الممكنة االنتقاالت الوحيدة الممكنة االنتقاالت الوحيدة الممكنة االنتقاالت الوحيدة الممكنة عند حساب التكامالت السابقة نجد أن/عند حساب التكامالت السابقة نجد أن/عند حساب التكامالت السابقة نجد أن/عند حساب التكامالت السابقة نجد أن/

هي تلك التي يكون فيها االنتقال بين حالتين معر/فتين بحيث أن/هي تلك التي يكون فيها االنتقال بين حالتين معر/فتين بحيث أن/هي تلك التي يكون فيها االنتقال بين حالتين معر/فتين بحيث أن/هي تلك التي يكون فيها االنتقال بين حالتين معر/فتين بحيث أن/

ـ ـأي بحيث يتغير العدد الكمي المداري ب ـأي بحيث يتغير العدد الكمي المداري ب ـأي بحيث يتغير العدد الكمي المداري ب �� أو أو أو أو �� أي بحيث يتغير العدد الكمي المداري ب

ـ) ) ) ) ��l((((يتغير العدد الكمي المغناطيسي يتغير العدد الكمي المغناطيسي يتغير العدد الكمي المغناطيسي يتغير العدد الكمي المغناطيسي وبحيث ال وبحيث ال وبحيث ال وبحيث ال ـأو يتغير ب ـأو يتغير ب ـأو يتغير ب �� أو أو أو أو �� أو يتغير ب

قواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاء

أن ال تحديد على قيمة العدد الكمي الرئيس أن ال تحديد على قيمة العدد الكمي الرئيس أن ال تحديد على قيمة العدد الكمي الرئيس أن ال تحديد على قيمة العدد الكمي الرئيس ��إذا أضفنا إلى العالقة إذا أضفنا إلى العالقة إذا أضفنا إلى العالقة إذا أضفنا إلى العالقة االنتقاالت نحصل على قواعد االنتقاء التي تحكم االنتقاالت بين االنتقاالت نحصل على قواعد االنتقاء التي تحكم االنتقاالت بين االنتقاالت نحصل على قواعد االنتقاء التي تحكم االنتقاالت بين االنتقاالت نحصل على قواعد االنتقاء التي تحكم االنتقاالت بين في في في في ��

مستويات الطاقة في ذر!ة الهيدروجين مستويات الطاقة في ذر!ة الهيدروجين مستويات الطاقة في ذر!ة الهيدروجين مستويات الطاقة في ذر!ة الهيدروجين

∆∆∆∆ ��llll ��llll �� llll’ ��±±±±��

∆ ∆ ∆ ∆ llll ��llll �� llll’ ��±±±±��

19


37

قواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاء التالي كيف تؤدي بنا قواعد االنتقاء إلى تحديد التالي كيف تؤدي بنا قواعد االنتقاء إلى تحديد التالي كيف تؤدي بنا قواعد االنتقاء إلى تحديد التالي كيف تؤدي بنا قواعد االنتقاء إلى تحديد ��نوضح في الجدول نوضح في الجدول نوضح في الجدول نوضح في الجدول

االنتقاالت المسموحة والممنوعة االنتقاالت المسموحة والممنوعة االنتقاالت المسموحة والممنوعة االنتقاالت المسموحة والممنوعة

38

llll’

��llll’

االنتقالاالنتقالاالنتقالاالنتقال

��

llll∆∆∆∆ ممنوعممنوعممنوعممنوع ��llll∆∆∆∆ ممنوعممنوعممنوعممنوع ��

��’

��

llll

��llll��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

llll∆∆∆∆ مسموح مسموح مسموح مسموح ��

llll∆∆∆∆ ممنوعممنوعممنوعممنوع ��

llll∆∆∆∆ مسموح مسموح مسموح مسموح ��

�� llll∆∆∆∆ ممنوعممنوعممنوعممنوع ��

��

20


39

قواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاءقواعد االنتقاء المجاور االنتقاالت المجاور االنتقاالت المجاور االنتقاالت المجاور االنتقاالت ��يبين الشكل يبين الشكل يبين الشكل يبين الشكل

من االنتقاالت من االنتقاالت من االنتقاالت من االنتقاالت . . . . المسموحة فقطالمسموحة فقطالمسموحة فقطالمسموحة فقط �الممنوعة مثال االنتقال من المستوى الممنوعة مثال االنتقال من المستوى الممنوعة مثال االنتقال من المستوى الممنوعة مثال االنتقال من المستوى � � �

��إلى المستوى إلى المستوى إلى المستوى إلى المستوى


40

الفوتون الناتج عن االنتقال أو الالزم لالنتقالالفوتون الناتج عن االنتقال أو الالزم لالنتقالالفوتون الناتج عن االنتقال أو الالزم لالنتقالالفوتون الناتج عن االنتقال أو الالزم لالنتقال ، أن!، أن!، أن!، أن!lتعني قواعد االنتقاء السابقة، وخاصة تلك الخاصة بالعدد الكمي تعني قواعد االنتقاء السابقة، وخاصة تلك الخاصة بالعدد الكمي تعني قواعد االنتقاء السابقة، وخاصة تلك الخاصة بالعدد الكمي تعني قواعد االنتقاء السابقة، وخاصة تلك الخاصة بالعدد الكمي

مقداره وحدة واحدة مقداره وحدة واحدة مقداره وحدة واحدة مقداره وحدة واحدة ) ) ) ) ��γγγγ((((الفوتون في عملي!ة االنتقال يحمل زخما خطي!ا الفوتون في عملي!ة االنتقال يحمل زخما خطي!ا الفوتون في عملي!ة االنتقال يحمل زخما خطي!ا الفوتون في عملي!ة االنتقال يحمل زخما خطي!ا ....من الزخم الزاويمن الزخم الزاويمن الزخم الزاويمن الزخم الزاوي

’l: : : : فحسب حفظ الزخم الزاويفحسب حفظ الزخم الزاويفحسب حفظ الزخم الزاويفحسب حفظ الزخم الزاوي = l + ��γγγγ

21


41

مثالمثالمثالمثالة هيدروجين موجودة في ة هيدروجين موجودة في ة هيدروجين موجودة في ة هيدروجين موجودة في ما هي الحالة أو الحاالت التي تستطيع ذر/ما هي الحالة أو الحاالت التي تستطيع ذر/ما هي الحالة أو الحاالت التي تستطيع ذر/ما هي الحالة أو الحاالت التي تستطيع ذر/

الحالة الحالة الحالة الحالة االنتقال إليها؟ االنتقال إليها؟ االنتقال إليها؟ االنتقال إليها؟��

��إذا كانت الذر/ة موجودة في الحالة إذا كانت الذر/ة موجودة في الحالة إذا كانت الذر/ة موجودة في الحالة إذا كانت الذر/ة موجودة في الحالة ��

فاالنتقاالت الممكنة هي فاالنتقاالت الممكنة هي فاالنتقاالت الممكنة هي فاالنتقاالت الممكنة هي ∆∆∆∆ الحظ أن/الحظ أن/الحظ أن/الحظ أن/((((إلى الحاالت إلى الحاالت إلى الحاالت إلى الحاالت ��llll � � � ):):):):��llll، أي/ا كانت قيمة ، أي/ا كانت قيمة ، أي/ا كانت قيمة ، أي/ا كانت قيمة ��±±±±��

::::الحلالحلالحلالحل

��llll ��llll’ ��±±±±��±±±±�� ±±±±��±±±±��±±±± ��

∆ ∆ ∆ ∆ llll ��llll �� llll’ ��±±±±��

llll �� llll’ ±±±±�� ±±±±��

ΨΨΨΨ��∆ ∆ ∆ ∆ llll �� ΨΨΨΨ��

��∆ ∆ ∆ ∆ llll �� ΨΨΨΨ��∆ ∆ ∆ ∆ llll �� ΨΨΨΨ��

��∆ ∆ ∆ ∆ llll ��ΨΨΨΨ��

��∆ ∆ ∆ ∆ llll ��!!!!


42

::::لى الحاالت التالية غير ممكنلى الحاالت التالية غير ممكنلى الحاالت التالية غير ممكنلى الحاالت التالية غير ممكنإإإإاالنتقاالت االنتقاالت االنتقاالت االنتقاالت في حين أن/ في حين أن/ في حين أن/ في حين أن/

��مثالمثالمثالمثال

ΨΨΨΨ��

��∆ ∆ ∆ ∆ llll � � � �� ΨΨΨΨ��±±±±��∆ ∆ ∆ ∆ llll � � � ��

ΨΨΨΨ��

��∆ ∆ ∆ ∆ llll � � � �� ΨΨΨΨ��±±±±��∆ ∆ ∆ ∆ llll � � � ��

ΨΨΨΨ��

��∆ ∆ ∆ ∆ llll � � � ��∆ ∆ ∆ ∆ ��llll � � � ��

��إذا كانت إذا كانت إذا كانت إذا كانت ::::لى الحاالت التالية غير ممكنة لى الحاالت التالية غير ممكنة لى الحاالت التالية غير ممكنة لى الحاالت التالية غير ممكنة إإإإ فاالنتقاالت فاالنتقاالت فاالنتقاالت فاالنتقاالت ��

22


Yarmouk University 21163 Irbid Jordan

Application: Zeeman Effect

Lecture 31

http://ctaps.yu.edu.jo/physics/Courses/Phys251/Lec6-6

© Dr. Nidal Ershaidat



: تطبيق أثر زيمان

٣١٣١٣١٣١المحاضرة المحاضرة المحاضرة المحاضرة


23

وضع الذر�ة في مجال مغناطيسيوضع الذر�ة في مجال مغناطيسيوضع الذر�ة في مجال مغناطيسيوضع الذر�ة في مجال مغناطيسي

46

عزم ثناقطبي مغناطيسيعزم ثناقطبي مغناطيسيعزم ثناقطبي مغناطيسيعزم ثناقطبي مغناطيسي= = = = عروة تيار عروة تيار عروة تيار عروة تيار = = = = االلكترون االلكترون االلكترون االلكترون

، وتخبرنا ، وتخبرنا ، وتخبرنا ، وتخبرنا عروة تي�ارعروة تي�ارعروة تي�ارعروة تي�ارحول النواة حول النواة حول النواة حول النواة يدور يدور يدور يدور يشكل اإللكترون الذي يشكل اإللكترون الذي يشكل اإللكترون الذي يشكل اإللكترون الذي عروة تي�ار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف بعزم عروة تي�ار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف بعزم عروة تي�ار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف بعزم عروة تي�ار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف بعزم الكهرمغناطيسي�ة أن�الكهرمغناطيسي�ة أن�الكهرمغناطيسي�ة أن�الكهرمغناطيسي�ة أن�

).).).).يسم�ى بعزم الثناقطبي المغناطيسييسم�ى بعزم الثناقطبي المغناطيسييسم�ى بعزم الثناقطبي المغناطيسييسم�ى بعزم الثناقطبي المغناطيسي(((( عزم عزم عزم عزم فإن� فإن� فإن� فإن�،،،،I وشدة التي�ار المار في العروة وشدة التي�ار المار في العروة وشدة التي�ار المار في العروة وشدة التي�ار المار في العروة ��إذا كانت مساحة العروة هي إذا كانت مساحة العروة هي إذا كانت مساحة العروة هي إذا كانت مساحة العروة هي

الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه

��Arr

I====µµµµ

��Brvr ××××µµµµ====ττττ

العروة في مجال مغناطيسي فإن�ها تدور بتأثير عزم العروة في مجال مغناطيسي فإن�ها تدور بتأثير عزم العروة في مجال مغناطيسي فإن�ها تدور بتأثير عزم العروة في مجال مغناطيسي فإن�ها تدور بتأثير عزم وعند وضع هذه وعند وضع هذه وعند وضع هذه وعند وضع هذه ::::يعطى بالعالقةيعطى بالعالقةيعطى بالعالقةيعطى بالعالقة) ) ) ) عمودي على المستوى الذي يحوي و عمودي على المستوى الذي يحوي و عمودي على المستوى الذي يحوي و عمودي على المستوى الذي يحوي و ((((دوراني دوراني دوراني دوراني

Br

Br

µµµµv

.... واتجاهه عمودي على سطح العروة واتجاهه عمودي على سطح العروة واتجاهه عمودي على سطح العروة واتجاهه عمودي على سطح العروة��قيمته قيمته قيمته قيمته متجه المساحة ومتجه المساحة ومتجه المساحة ومتجه المساحة وحيث حيث حيث حيث Ar

24

47

Lm2e

e

rv ××××

−−−−====µµµµ ��

****ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسيثابت يسم�ى ثابت الدوران المغثابت يسم�ى ثابت الدوران المغثابت يسم�ى ثابت الدوران المغثابت يسم�ى ثابت الدوران المغو و و و em2

e

�� بداللة بداللة بداللة بداللة المغناطيسي المغناطيسي المغناطيسي المغناطيسيالثناقطبيالثناقطبيالثناقطبيالثناقطبيعزم عزم عزم عزم ��

vR2e

tq

ππππ====

∆∆∆∆∆∆∆∆====I

(((( ))))Lme

21

Rve21

RvR2

eA

e

2rrv −−−−××××====⊥⊥⊥⊥××××====⊥⊥⊥⊥ππππ××××

ππππ========µµµµ ˆˆI

122030

2e

VsA1088ceV511000

e21

me

21 −−−−−−−−××××====××××==== .

⊥⊥⊥⊥−−−−==== ˆRvmLr

,

****��

. . . . حيث متجه وحدة عمودي على سطح العروةحيث متجه وحدة عمودي على سطح العروةحيث متجه وحدة عمودي على سطح العروةحيث متجه وحدة عمودي على سطح العروة ⊥⊥⊥⊥

الشكل الشكل الشكل الشكل أنظر أنظر أنظر أنظر ( ( ( ( فإن� فإن� فإن� فإن��كالسيكي�ا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو كالسيكي�ا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو كالسيكي�ا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو كالسيكي�ا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو ��:(:(:(:(


48

Lr

−−−−

��

��

��

θθθθ

�� θθθθ

��الشكل الشكل الشكل الشكل

��⊥⊥⊥⊥µµµµ ˆ//

r

25


49

��، ماغنتون بور ، ماغنتون بور ، ماغنتون بور ، ماغنتون بور ��بداللة بداللة بداللة بداللة ثناقطبي المغناطيسيثناقطبي المغناطيسيثناقطبي المغناطيسيثناقطبي المغناطيسيالالالالعزم عزم عزم عزم ��

),cos( BLBLm2e

BLm2e

BUee

rrrrrrrr ••••====••••====••••µµµµ−−−−====

��BLm2e

ze

====

�� θθθθحيث حيث حيث حيث �� هي مركبة الزخم الزاوي في اتجاه متجه شدة هي مركبة الزخم الزاوي في اتجاه متجه شدة هي مركبة الزخم الزاوي في اتجاه متجه شدة هي مركبة الزخم الزاوي في اتجاه متجه شدة

ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسيالمجال المغالمجال المغالمجال المغالمجال المغ

عمودي على عمودي على عمودي على عمودي على ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسيعند وضع عروة التيار السابقة في مجال مغعند وضع عروة التيار السابقة في مجال مغعند وضع عروة التيار السابقة في مجال مغعند وضع عروة التيار السابقة في مجال مغ�) ) ) ) ناطيسي�ةناطيسي�ةناطيسي�ةناطيسي�ةمغمغمغمغ(((( العروة تختزن طاقة وضع العروة تختزن طاقة وضع العروة تختزن طاقة وضع العروة تختزن طاقة وضع فإن�فإن�فإن�فإن�) ) ) ) شدته شدته شدته شدته ((((سطحها سطحها سطحها سطحها �� تساوي تساوي تساوي تساوي

الذي يبذله المجال المغناطيسي على الذي يبذله المجال المغناطيسي على الذي يبذله المجال المغناطيسي على الذي يبذله المجال المغناطيسي على ) ) ) ) شغل الدورانشغل الدورانشغل الدورانشغل الدوران((((بالضبط الشغل بالضبط الشغل بالضبط الشغل بالضبط الشغل ::::العروة والذي يعطى بالعالقةالعروة والذي يعطى بالعالقةالعروة والذي يعطى بالعالقةالعروة والذي يعطى بالعالقة

Br


50

��، ماغنتون بور ، ماغنتون بور ، ماغنتون بور ، ماغنتون بور ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسية في مجال مغة في مجال مغة في مجال مغة في مجال مغوضع الذر�وضع الذر�وضع الذر�وضع الذر��

ة ة ة ة ذر�ذر�ذر�ذر�((((تبقى العالقات الكالسيكي�ة السابقة صالحة للنظام الكمي تبقى العالقات الكالسيكي�ة السابقة صالحة للنظام الكمي تبقى العالقات الكالسيكي�ة السابقة صالحة للنظام الكمي تبقى العالقات الكالسيكي�ة السابقة صالحة للنظام الكمي �� وبما أن�وبما أن�وبما أن�وبما أن�). ). ). ). الهيدروجينالهيدروجينالهيدروجينالهيدروجين

��llll hhhhالكمي�ةالكمي�ةالكمي�ةالكمي�ة(((( طاقة الوضع طاقة الوضع طاقة الوضع طاقة الوضع كما رأينا فإن� كما رأينا فإن� كما رأينا فإن� كما رأينا فإن� ( ( ( (

: : : : تكتب على الصيغة التاليةتكتب على الصيغة التاليةتكتب على الصيغة التاليةتكتب على الصيغة التالية) ) ) ) ��العالقة العالقة العالقة العالقة ((((

(((( ))))Bmm2e

BLm2e

Ue

ze

hl========

Bm2e

me

====

hl ��

ة الكلي�ة في هذه الحالة تصبح تعتمد على العدد الكمي ة الكلي�ة في هذه الحالة تصبح تعتمد على العدد الكمي ة الكلي�ة في هذه الحالة تصبح تعتمد على العدد الكمي ة الكلي�ة في هذه الحالة تصبح تعتمد على العدد الكمي طاقة الذر� طاقة الذر� طاقة الذر� طاقة الذر�أي أن�أي أن�أي أن�أي أن��llll باإلضافة للعدد الكمي باإلضافة للعدد الكمي باإلضافة للعدد الكمي باإلضافة للعدد الكمي ��) ) ) ) ��

��((((....

26


51

Bohr magnetonماغنتون بور ماغنتون بور ماغنتون بور ماغنتون بور �ويمكن كتابة ويمكن كتابة ويمكن كتابة ويمكن كتابة ��:::: على الصيغة التالية على الصيغة التالية على الصيغة التالية على الصيغة التالية

1018

0

2e

B sA103eV511000

AeV1970e21

ccm

ce21 −−−−××××××××

××××××××====××××====µµµµ

h

��ثابت يسم�ى ماغنتون بور ثابت يسم�ى ماغنتون بور ثابت يسم�ى ماغنتون بور ثابت يسم�ى ماغنتون بور حيث حيث حيث حيث ��

em2e h

BmU Bµµµµ==== l ��

� � � � ��


52

Zeeman Effectأثر زيمان أثر زيمان أثر زيمان أثر زيمان ��llll((((وتصبح الطاقة الكلي�ة في هذه الحالة وتصبح الطاقة الكلي�ة في هذه الحالة وتصبح الطاقة الكلي�ة في هذه الحالة وتصبح الطاقة الكلي�ة في هذه الحالة ��llll:(:(:(:(

أن أن أن أن ��llll) ) ) ) ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسيالمغالمغالمغالمغ((((وألن� عدد القيم التي يمكن للعدد الكمي وألن� عدد القيم التي يمكن للعدد الكمي وألن� عدد القيم التي يمكن للعدد الكمي وألن� عدد القيم التي يمكن للعدد الكمي ��llll((((يأخذها يساوي يأخذها يساوي يأخذها يساوي يأخذها يساوي �� مستوى الطاقة سوف ينفصل إلى مستوى الطاقة سوف ينفصل إلى مستوى الطاقة سوف ينفصل إلى مستوى الطاقة سوف ينفصل إلى ، فإن�، فإن�، فإن�، فإن�))))��

llll ))))��llllحسب قيمة حسب قيمة حسب قيمة حسب قيمة (((( طاقة كل منها تعطى بالعالقة السابقة طاقة كل منها تعطى بالعالقة السابقة طاقة كل منها تعطى بالعالقة السابقة طاقة كل منها تعطى بالعالقة السابقة ��

��llll µµµµ

��

27


53

Splitting of Energy Levels فصل مستويات الطاقةفصل مستويات الطاقةفصل مستويات الطاقةفصل مستويات الطاقة

ال يوجد انفصال في مستوى الطاقة للذرة الموجودة في الحالة ال يوجد انفصال في مستوى الطاقة للذرة الموجودة في الحالة ال يوجد انفصال في مستوى الطاقة للذرة الموجودة في الحالة ال يوجد انفصال في مستوى الطاقة للذرة الموجودة في الحالة ψψψψ��

��llll، ألن ، ألن ، ألن ، ألن ��

ψψψψفي الحالة في الحالة في الحالة في الحالة ��

) ) ) )llll ، ، ، ، �� هي هي هي هي ��llll، هناك ثالث قيم للعدد الكمي ، هناك ثالث قيم للعدد الكمي ، هناك ثالث قيم للعدد الكمي ، هناك ثالث قيم للعدد الكمي ))))�� المستوى المستوى المستوى المستوى وبالتالي فإن� وبالتالي فإن� وبالتالي فإن� وبالتالي فإن�� و و و و ٠٠٠٠

�� المرادف سوف ينفصل إلى ثالثة المرادف سوف ينفصل إلى ثالثة المرادف سوف ينفصل إلى ثالثة المرادف سوف ينفصل إلى ثالثة

إلى خمسة إلى خمسة إلى خمسة إلى خمسة �� له يساوي له يساوي له يساوي له يساوي llllمستويات، وينفصل المستوى الذي مستويات، وينفصل المستوى الذي مستويات، وينفصل المستوى الذي مستويات، وينفصل المستوى الذي مستويات فرعي�ة، كما في الشكل مستويات فرعي�ة، كما في الشكل مستويات فرعي�ة، كما في الشكل مستويات فرعي�ة، كما في الشكل .... التالي التالي التالي التالي��

) ) ) ) الفرعي�ةالفرعي�ةالفرعي�ةالفرعي�ة((((ويصبح باالمكان حدوث انتقاالت بين هذه المستويات ويصبح باالمكان حدوث انتقاالت بين هذه المستويات ويصبح باالمكان حدوث انتقاالت بين هذه المستويات ويصبح باالمكان حدوث انتقاالت بين هذه المستويات خارجي خارجي خارجي خارجيناطيسيناطيسيناطيسيناطيسيوالتي توجد فقط في حالة وجود مجال مغوالتي توجد فقط في حالة وجود مجال مغوالتي توجد فقط في حالة وجود مجال مغوالتي توجد فقط في حالة وجود مجال مغ


54

��فصل مستويات الطاقة فصل مستويات الطاقة فصل مستويات الطاقة فصل مستويات الطاقة ��

��!!!!الشكل الشكل الشكل الشكل

28

© Dr. N. Ershaidat

56

llllالحالة الحالة الحالة الحالة حساب تردد الفوتونات الناتجةحساب تردد الفوتونات الناتجةحساب تردد الفوتونات الناتجةحساب تردد الفوتونات الناتجة: : : : ��

llllفصل مستويات الطاقة فصل مستويات الطاقة فصل مستويات الطاقة فصل مستويات الطاقة : : : : ��الشكل الشكل الشكل الشكل ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسي بوجود مجال مغ بوجود مجال مغ بوجود مجال مغ بوجود مجال مغ��

��

��µµµµ��

�� µµµµ��

llllإذا كان تردد الفوتون الناتج عن االنتقال إلى الحالة إذا كان تردد الفوتون الناتج عن االنتقال إلى الحالة إذا كان تردد الفوتون الناتج عن االنتقال إلى الحالة إذا كان تردد الفوتون الناتج عن االنتقال إلى الحالة νννν هو هو هو هو ��

بغياب بغياب بغياب بغياب خارجي يعني احتمال االنتقال خارجي يعني احتمال االنتقال خارجي يعني احتمال االنتقال خارجي يعني احتمال االنتقال ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسي وجود مجال مغ وجود مجال مغ وجود مجال مغ وجود مجال مغفإن�فإن�فإن�فإن�

��لى ثالثة مستويات لها نفس الطاقة لى ثالثة مستويات لها نفس الطاقة لى ثالثة مستويات لها نفس الطاقة لى ثالثة مستويات لها نفس الطاقة إإإإ��

ويكون تردد الفوتونات ويكون تردد الفوتونات ويكون تردد الفوتونات ويكون تردد الفوتونات ::::الثالثة الناتجة هو على التواليالثالثة الناتجة هو على التواليالثالثة الناتجة هو على التواليالثالثة الناتجة هو على التوالي

© Dr. N. Ershaidat

57

llllالحالة الحالة الحالة الحالة حساب تردد الفوتونات الناتجةحساب تردد الفوتونات الناتجةحساب تردد الفوتونات الناتجةحساب تردد الفوتونات الناتجة: : : : ��

02 νννν====νννν � "� "� "� "��

Bm4

eB 0

B01 ππππ

−−−−νννν====µµµµ−−−−νννν====ννννh

Bm4

eB 0

B03 ππππ

++++νννν====µµµµ++++νννν====ννννh

29


58

::::حساب أثر زيمانحساب أثر زيمانحساب أثر زيمانحساب أثر زيمان: : : : مثالمثالمثالمثال

110194

1061mB

m4e

m 31

19

e

××××××××××××ππππ××××

××××××××====

ππππ××××====νννν∆∆∆∆ −−−−

−−−−

.

.ll

الحلالحلالحلالحل

�� #� #� #� #�� خارجي شدته خارجي شدته خارجي شدته خارجي شدته ناطيسيناطيسيناطيسيناطيسية في منطقة مجال مغة في منطقة مجال مغة في منطقة مجال مغة في منطقة مجال مغإذا وضعت الذر�إذا وضعت الذر�إذا وضعت الذر�إذا وضعت الذر�$�$�$�$�فأحسب الفرق في التردد في االنتقاالت إلى المستوى فأحسب الفرق في التردد في االنتقاالت إلى المستوى فأحسب الفرق في التردد في االنتقاالت إلى المستوى فأحسب الفرق في التردد في االنتقاالت إلى المستوى

Hz1041m110194

1061m 10

31

19

××××××××====××××××××ππππ

××××××××====νννν∆∆∆∆ −−−−

−−−−

..

.ll


Yarmouk University 21163 Irbid JordanProblems in the Quantum

Theory of the Hydrogen Atom

Lecture 32

http://ctaps.yu.edu.jo/physics/Courses/Phys251/Lec6-Pbs

© Dr. Nidal Ershaidat

30



ة مسائل في النظري�ة الكمي�ة لذر� الهيدروجين

٣٢٣٢٣٢٣٢المحاضرة المحاضرة المحاضرة المحاضرة


61

الممكنة للمتجه الممكنة للمتجه الممكنة للمتجه الممكنة للمتجهواإلتجاهاتواإلتجاهاتواإلتجاهاتواإلتجاهات ��llll ::::��المسألة المسألة المسألة المسألة

::::الحلالحلالحلالحليبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن يبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن يبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن يبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن

....يأخذها المتجه في هذه الحالةيأخذها المتجه في هذه الحالةيأخذها المتجه في هذه الحالةيأخذها المتجه في هذه الحالة Lr

(((( )))) 6m

1

mLL 11z1 ll

hll

h −−−−−−−−−−−− ====++++

========θθθθ coscoscos

�� θθθθ

Lr

Lr

هي الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور التكميم فما هي هي الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور التكميم فما هي هي الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور التكميم فما هي هي الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور التكميم فما هي θθθθإذا كانت إذا كانت إذا كانت إذا كانت ة الهيدروجين موجودة ة الهيدروجين موجودة ة الهيدروجين موجودة ة الهيدروجين موجودة القيم التي يمكن للزاوية أن تأخذها إذا كانت ذر4القيم التي يمكن للزاوية أن تأخذها إذا كانت ذر4القيم التي يمكن للزاوية أن تأخذها إذا كانت ذر4القيم التي يمكن للزاوية أن تأخذها إذا كانت ذر4

��ΨΨΨΨفي الحالة في الحالة في الحالة في الحالة ؟؟؟؟

31

© Dr. N. Ershaidat Phys. 251 Chapter 6: Quantum Theory of the Hydrogen Atom Problems Lecture 32

62

��المسألة المسألة المسألة المسألة حل حل حل حل

��

��llll �� (((( ))))01 9836

1.cos ≈≈≈≈

−−−−====θθθθ −−−−

(((( ))))01 9656

1.cos ≈≈≈≈

++++====θθθθ −−−−

��

��llll 6m1 l−−−−====θθθθ cos

��

(((( ))))01 71446

2.cos ≈≈≈≈

−−−−====θθθθ −−−−

(((( ))))01 3356

2.cos ++++≈≈≈≈

++++====θθθθ −−−−

��


63

ΨΨΨΨالحالة الحالة الحالة الحالة ::::��المسألة المسألة المسألة المسألة ��

�� هنا تساوي هنا تساوي هنا تساوي هنا تساوي llll: : : : الحلالحلالحلالحل

يبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن يبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن يبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن يبين الشكل المقابل االتجاهات التي يمكن أن ....يأخذها المتجه في هذه الحالةيأخذها المتجه في هذه الحالةيأخذها المتجه في هذه الحالةيأخذها المتجه في هذه الحالة L

r

(((( )))) 2m

1

mLL 11z1 ll

hll

h −−−−−−−−−−−− ====++++

========θθθθ coscoscos

Lr

ة الهيدروجين ة الهيدروجين ة الهيدروجين ة الهيدروجين أن تأخذها إذا كانت ذر, أن تأخذها إذا كانت ذر, أن تأخذها إذا كانت ذر, أن تأخذها إذا كانت ذر,θθθθما هي القيم التي يمكن للزاويةما هي القيم التي يمكن للزاويةما هي القيم التي يمكن للزاويةما هي القيم التي يمكن للزاويةΨΨΨΨموجودة في الحالة موجودة في الحالة موجودة في الحالة موجودة في الحالة

��؟؟؟؟

32


64


��

llll ��

��

��

��llll2

m1 l−−−−====θθθθ cos

��01 135

2

1≈≈≈≈

−−−−====θθθθ −−−−cos

01 452

1++++≈≈≈≈

++++====θθθθ −−−−cos

66


(((( )))) 01 312512

2.cos ≈≈≈≈

−−−−====θθθθ −−−−

��

llll ��

��llll

12m1 l−−−−====θθθθ cos

��01 150

12

3====

−−−−====θθθθ −−−−cos

��

(((( )))) 01 27312

1.cos ++++≈≈≈≈

++++====θθθθ −−−−

��

(((( )))) 01 75412

2.cos ++++≈≈≈≈

++++====θθθθ −−−−

��

01 3012

3++++====

++++====θθθθ −−−−cos

(((( )))) 01 810612

1.cos ≈≈≈≈

−−−−====θθθθ −−−−

��

33


67

�� ::::��المسألة المسألة المسألة المسألة ��::::أحسب التكامالت التاليأحسب التكامالت التاليأحسب التكامالت التاليأحسب التكامالت التالي

dV002001200100 ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K ))))أأأأ

dV012002210200))))بببب ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K

dV112012211210))))جججج ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K

ماذا تستنتج؟ماذا تستنتج؟ماذا تستنتج؟ماذا تستنتج؟) ) ) ) دددد


68

Orthogonality ::::��حل المسألة حل المسألة حل المسألة حل المسألة ::::الحلالحلالحلالحل

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞

−−−−−−−−

ππππππππ

−−−−

ππππππππθθθθϕϕϕϕ====

0

2a2r

023

0

ar23

00

2

0

200100 drrear

2a24

1e

a

1d 00sin,K

∫∫∫∫∞∞∞∞

−−−−

−−−−====

0

2a2r3

030

drrear

2a2

10

−−−−

====

3a2

a1

3a2

2a2

1 03

0

023

0

II

dV002001200100::::حساب التكاملحساب التكاملحساب التكاملحساب التكامل) ) ) ) أأأأ ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K

34


69

Orthogonality (2) ::::��حل المسألة حل المسألة حل المسألة حل المسألة

××××××××−−−−

××××××××====4

0

0

30

30 3

a23

a1

3

a222

a21

!!K

081

a166

a1

27

a822

a21 4

0

0

30

30

====

××××××××−−−−××××××××====K


70


∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞

−−−−

−−−−ππππππππ

θθθθ

−−−−

ππππ

××××

−−−−

ππππθθθθθθθθϕϕϕϕ====

0 2a2r

0023

0

a2r

023

0

0

2

0

210200

drrear

2ar

a24

1

ear

2a24

1

dd0

0

cos

sin,K

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ππππππππ∞∞∞∞

−−−− ϕϕϕϕθθθθθθθθθθθθ

−−−−

ππππ====

2

000

2ar2

0030

210200 dddrrear

ar

2a32

10 sincos,K

0d0

210200 ====θθθθθθθθθθθθ∝∝∝∝ ∫∫∫∫ππππ

sincos,K

dV012002210200 ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K ::::حساب التكاملحساب التكاملحساب التكاملحساب التكامل) ) ) ) بببب

35

71


∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ππππ ππππ ∞∞∞∞

ϕϕϕϕ±±±±−−−−

−−−−

ϕϕϕϕθθθθθθθθθθθθππππ

××××θθθθππππ

====2

0 0 02a2r

023

0

a2r

023

0211210

dddrreear

a8

1

ear

a24

1

0

0

sinsin

cos

,i

K

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ππππ

ϕϕϕϕ±±±±ππππ∞∞∞∞

−−−− ϕϕϕϕθθθθθθθθ

ππππ

====2

00

2

0

2ar2

030

211210 deddrrear

a2321

0 isin,K

[[[[ ]]]] 011ede20

2

0

211210 ====−−−−====∝∝∝∝ϕϕϕϕ∝∝∝∝ππππϕϕϕϕ−−−−

ππππ

ϕϕϕϕ−−−−∫∫∫∫ ii,K

dV112012211210::::حساب التكاملحساب التكاملحساب التكاملحساب التكامل) ) ) ) جججج ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K


72


استنتاجاستنتاجاستنتاجاستنتاج) ) ) ) دددد

0dV002001200100 ====ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K وجدنا أن�وجدنا أن�وجدنا أن�وجدنا أن�

0dV012002210200 ====ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K

0dV112012211210 ====ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ *,K

::::ه الدوال، أيه الدوال، أيه الدوال، أيه الدوال، أيذذذذههههوإذا أضفنا شرط التطبيع لكل من وإذا أضفنا شرط التطبيع لكل من وإذا أضفنا شرط التطبيع لكل من وإذا أضفنا شرط التطبيع لكل من

mn1dVmnmnmnmn ,,,*, lllll ∀∀∀∀====ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫K

36


73

:::: نستطيع كتابة النتائج السابقة على الصيغة نستطيع كتابة النتائج السابقة على الصيغة نستطيع كتابة النتائج السابقة على الصيغة نستطيع كتابة النتائج السابقة على الصيغةنانانانافإن�فإن�فإن�فإن�


dVmnmnmnmn llll ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′*

,K

′′′′≠≠≠≠

′′′′≠≠≠≠

′′′′≠≠≠≠

′′′′====

′′′′====

′′′′====

====

mm

or

or

nn

if0

mm

nn

if1

ll

ll

&

&


74

::::وتعم�م العالقة السابقة عادة على الصيغةوتعم�م العالقة السابقة عادة على الصيغةوتعم�م العالقة السابقة عادة على الصيغةوتعم�م العالقة السابقة عادة على الصيغة


mnmnmnmnmnmn dV llllll ,,*

′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′ δδδδ====ψψψψψψψψ==== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫K

{{{{{{{{

′′′′≠≠≠≠′′′′≠≠≠≠′′′′≠≠≠≠′′′′====′′′′====′′′′====

====δδδδ ′′′′′′′′ mmorornnif0

mmnnif1mnmn ll

llll

&&,,,,,

كرونيكركرونيكركرونيكركرونيكرباستخدام رمز باستخدام رمز باستخدام رمز باستخدام رمز

ψψψψ الدوال الدوال الدوال الدوالونقول أن�ونقول أن�ونقول أن�ونقول أن��llllمتعامدة متعامدة متعامدة متعامدة ----مطبعةمطبعةمطبعةمطبعة��))))��((((

التعامدالتعامدالتعامدالتعامد----تمث(ل العالقة السابقة شرط التطبيعتمث(ل العالقة السابقة شرط التطبيعتمث(ل العالقة السابقة شرط التطبيعتمث(ل العالقة السابقة شرط التطبيع

37

��

كانت هذه هي الحلقة األخيرةكانت هذه هي الحلقة األخيرة

End of Lecture 31

ةةةةررررييييخخخخألألألألااااة ة ة ة لقلقلقلقححححللللاااا

٢٩ ةﺮﺿﺎﺤﻤﻟا - ctapsctaps.yu.edu.jo/physics/courses/phys251/pdf/chapter6_b.pdf · 1...

Documents