١ ﺔﯿﻠﺒﻗ تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا · 2018-08-18 · ( ٤ ) و أ ب ـﺣ د ـھ س ٠...

) ( ١

المجموعات .ھى تجمع من األ شیاء المعرفة جیدا و لھـا صفة ممیزة مشتركة : المجموعة . ھى األ شیاء التى تتكون منھـا المجموعة : عناصر المجموعة : أ مثلة على المجموعات }، الجمعة ٠٠٠٠ االثنین ،السبت ، االحد ، { عناصرھـا -أیام األ سبوع ) ١( }س، ل ، ب ، ى { عناصرھـا –حروف كلمة سلسبیل ) ٢( } ٤، ٢، ٥، ٦{ عناصرھـا - ٥٦٤٣٢٥٦أ رقام العدد ) ٣(

أى شى یدل على صفة أو سوف یحدث فى المستقبل أو یكون : ملحوظة ) .لیس مجموعة (فیة إختالف

طریقة الصفة الممیزة )القائمة(طریقة السرد : عن المجموعة التعبیر ♣

) ،(و نضع{ } ھى كتابة عناصر المجموعة بین قوسین :طریقة السرد • .بین كل عنصر و الذى یلیة

:أكتب المجموعات األتیة بطریقة السرد : مثال }م ، ص ، ر { =. حروف كلمة مصر مجموعة )١( } الربیع ، الصیف ، الخریف ، الشتاء { =. مجموعة فصول السنة )٢( } ٦، ٥، ٧، ٤{ =. ٦٥٤٧٤مجموعة أرقام العدد )٣( } ٨، ٧، ٦{ =. ٩، ٥األعداد الطبیعیة بین )٤( .سرد یراعى عدم تكرار أى عنصر عند الكتابة بال) ١(: خواص ھامة ☼

. تغیر ترتیب عناصر المجموعة ال یغیر المجموعة) ٢( : طریقة الصفة الممیزة *

:أ كتب المجموعات االتیة بطریقة الصفة الممیزة : مثال ٧٣٥مجموعة أرقام العدد = } ٧، ٣، ٥{ = س ) ١( مسلم مجموعة حروف كلمة= }س ، م ، ل { = ص ) ٢(

}أ أحد حروف كلمة مسلم : أ { = ) بالسرد( } الشمال ، الجنوب ، الشرق ، الغرب { = ع ) ٣(

)لفظى ( مجموعة الجھـات األ صلیة = )رمزى ( } ع أحد الجھـات االصلیة : ع { =

١ متطلبات قبلیة

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com


) ( ٢

×٧ ص

×٧ ص ص

ص

على أى عنصر ونرمز لھا ھى التى ال تحتوى : الیةالمجموعة الخ Φأو { } بالرمز

: واالحتواء اإل نتماء

مجموعة مجموعة ، مجموعة عنصر

} ٩، ٨، ٣{ ٣، } ٧، ٩، ٦، ٤{ ٩ :مثال ٧، ٥، ١{ ١٥، } ٧٧{ ٧ {

}٤، ٦، ٥} { ٥، ٦ { ،Φ }٨، ٤ { : مكان النقط ⊂، ⊂ضع أحد الرموز األتیة ، ، : مثال

)٥، ٣، ٦، ٤{ ٠٠٠٠ ٣٥) ٢(} ٩، ٧، ٤{ ٠٠٠٠ ٩) ١ { )٤(} ٨، ٦، ٥{ ٠٠٠٠} ٨، ٦{ ) ٣ (Ø ٢، ٥، ٨{ ٠٠٠٠ { )٦، } ٥{، ٧{ ٠٠٠٠ }٥{) ٦(} ٩، ٧، ١{ ٠٠٠٠} ٧١{ ) ٥ {

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ لمجموعاتا لعملیات على ا بعض

: تقاطع مجموعتین : أوال

.ھى العناصر المشتركة بین المجموعتین

} ٥، ٢{ = ص ∩س }ص Э، أ س Эأ : أ { =

} ٨، ٦، ٤{ = ، ص} ٦، ٥، ٤، ٢{ = سإذا كانت : ثال م } ٦، ٤{ = ص ∩س : الحل

عملیة االتحاد :ثانیا

ھى العناصر التى تنتمى للمجموعتیین ) ة عناصر مجموعة الى مجموعة عناصرأخرى أضاف(

= }٧، ٢ ، ٥ ،٤ {

: ج ھـامةنتائ

Э

Э Э Э

Э

Э

⊃

⊃

Э ⊃ ⊃

Э

س

×٢ ٤× ٥×

س

س= ص ∩ س ص = ص U س

U ×٢ ٤× س

٥×

س




) ( ٣

Э Э ⊃ ⊃

فإن ص ⊂إذا كانت س ) ١(

نان أو منفصلتان متباعدتاس ، ص مجموعت فإن Ø= ص ∩س ) ٢( س ∩ص = ص ∩ س) ٣(

س U ص= ص Uس س = U Ø، س Ø =Ø ∩ س) ٤( ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

" أمجد " مجموعة حروف كلمة = إذا كانت س : مثال "سمسم " مجموعة حروف كلمة = ، ص

ص Uص ، س ∩س : ص بطریقة السرد ثم أوجد فاكتب كال من س ، : الحل ٠٠٠٠٠= ، ص ٠٠٠٠٠= س ٠٠٠٠٠= ص Uس ، ٠٠٠٠٠= ص ∩س

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ش ھو شكل فن للمجموعات س ، ص ، :ا لشكل المقابل : مثال

، ، : أوجد با لسرد

،

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ } ٧، ٥، ٤، ٢{ = إذا كانت أ : مثال }٦ < س < ١ط ، Эس : س { = ، ب } ٧٥ دأحد أرقام ا لعدجـ : جـ { = ، ج

ج ∩ب ∩أ ، ج U) ب ∩ أ( ، ، :أوجد با لسرد

:، ، ، : ضع أحد الرموز االتیة ج ٠٠٠أ ، أ ٠٠٠ج ، ج ٠٠٠ Φب ، ٠٠٠ ١١أ ، ٠٠٠ ٧

خاصیة االبدال خاصیة االبدال

х х

х х

×٩ ٥× ٧ ٢

٤

ص س

ش

U Φص ص ∩س ص Uس

ش ∩س ش Uس

ج ∩ أ ب U أ

٢ متطلبات قبلیة




) ( ٤

و حـ ب أ س ھـ د ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٠٠٠٠٠٠

⊃

د ا ألعـدا الطـبیـعـیـة

} ٠٠٠٠، ٥، ٤، ٣، ٢، ١{ =ع : ـد لعا دـداعأمجموعة : لطبیعیةا مجموعة ا ألعداد

} ٠٠٠٠٠، ٤، ٣، ٢، ١، ٠ {= طـ : بـیـن أ ى ا لعبارا ت ا ال تیـة صحیحة و أیھا خطأ مع ا لسبب : مثال

]١ [٧٤ Э طـ ]٢ [٢ Э ط]٣ [٠ Э طـ ]طـ ⊂ }٠{] ٤ طـ ⊂االعـداد ا لزوجیة] ٦[ ط ⊂محموعة االعـداد ا لفردیة] ٥[ ط } ٦، ٤، { ] ٨[ط ⊂} ٨، ٦{ ∩} ٧، ٢{ ] ٧[ بعـض ا لصفات لألعداد ا لطـبیعـیة

. بمعنى كل عدد یلیة عدد أخر بـدون نـھایـة )غیـر منتھیة طـ مجموعة: (بع لتتاا) ١( )كل عدد من ط یزید عن االخر بمقدار واحد صحیح : ( لــترتیب ا) ٢(

: دتمثیـل األعـداد الطبیعیة على خطـ األعـدا

.} ٦، ٥، ٣{ = س على خطـ األعـدادل مثـ

: ا لحل

٠ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٠٠٠٠٠٠٠

.دعلى خط األعـدا} ٠٠٠٠، ٦، ٥، ٤{ = مثل ص :ا لحل

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٠٠٠٠٠

:قل من أ عالقة ٠٠٠٠٠< ٤< ٣< ٢< ١< ٠: أ وال ص < طبیعین حیث سإذا كان س ، ص عددین : ثـانیـا

فإن النقطة التى تمثل العدد س تسبق النقطة التى تمثل العدد ص والعكس

ص س و

٢ ٣




) ( ٥

.عدد طبیعى الصفر ھـو أصغر االعداد الطبیعیة وال یوجد أكبر : ملحوظة ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:مكان النقط ≥، ≤، <، >ضع رمزا مناسبا من الرموز : مثال ) ٣ – ١٢( ٠٠٠٠٠) ٣+ ٦] ( ب[ ٣ ٠٠٠٠ ٥] أ [ } ٤، ٣، ٢، ١{ Эحیث س ٠٠٠٠س ] جـ[

ط ⊂حیث س ) ٢+ س ( ٠٠٠٠٠) ٥+ س ] ( د[ } ٠٠٠، ٩، ٨، ٧، ٦{ Эحیث س ٦ ٠٠٠٠س ] ھـ[ ) ٣ ــ ١٢( ≥أ، ≤) ٣+ ٦] ( ب[ ٣ > ٥] أ : [ لحل ا

٦ ≥س ] ھـ[ ٢+ س < ٥+ س ] د[ ٤ ≤س ] جـ[ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: اكتب مجموعات األعداد ٠٠٠، النقط { } باستخدام قوسى المجموعة : مثال } ٠٠٠٠، ١٠، ٩، ٨، ٧{ = ٦لطبیعیة األكبر من مجموعة األعداد ا) ١( } ٠، ١، ٢، ٣، ٤{ = ٥مجموعة األعداد الطبیعیة األقل من ) ٢( } ٦، ٥، ٤، ٣{ = ٧و األقل من ٢مجموعة األعداد الطبیعیة األكبر من ) ٣( } ٠٠٠، ١٠، ٩، ٨، ٧{ = ٦مجموعة األعداد الطبیعیة الزوجیة األكبر من ) ٤( } ١، ٣، ٥، ٧{ = ٨مجموعة األعداد الطبیعیة الفردیة األقل من ) ٥(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : اكتب مجموعات األعداد ٠٠٠، النقط { } باستخدام قوسى المجموعة : مثال

٥مجموعة األعداد الطبیعیة األكبر من ) ١( ٦مجموعة األعداد الطبیعیة األقل من ) ٢( ٨و األقل من ٤مجموعة األعداد الطبیعیة األكبر من ) ٣( ٤مجموعة األعداد الطبیعیة الزوجیة األكبر من ) ٤( ٧مجموعة األعداد الطبیعیة الفردیة األقل من ) ٥( ٩، ٣مجموعة األعداد الطبیعیة بین ) ٦( ٧و ال تزید عن ٣مجموعة األعداد التى ال تقل عن ) ٧(




) ( ٦

+٢+ ٢+ ٢

تسلسل األعداد الطبیعیة و أنماطھا

محدد فى كتابة بعض األعداد الطبیعیة لتكون سلسلة من ) أسلوب ( یمكن اتباع نمط .ودة باتباع نمط تكوینھا األعداد التى یمكن استنتاج بعض عناصرھا المفق

٠٠٠، ٠٠٠، ٤، ٢، ٠: األعداد الطبیعیة الزوجیة : فمثال إلى العدد الزوجى إلیجاد العدد التالى لھ ٢إضافة العدد : ھو النمط

و من ذلك یمكن اكتشاف بعض العناصر المفقودة من سلسلة من األعداد الطبیعیة الزوجیة

:صف النمط ثم أكمل بنفس التسلسل : مثال ٠٠٠، ٠٠٠، ١٠، ٧، ٤، ١ ٠٠٠، ٠٠٠، ٧، ٥، ٣، ١

٠٠٠، ٠٠٠، ١٠، ٦، ٣، ١ ٠٠٠، ٠٠٠، ٩، ٦، ٣، ٣

٠٠٠، ٠٠٠، ٥٥،٤٤،٣٣، ٦٦ ٠٠٠، ٠٠٠، ١١، ٧، ٤، ٢ : الحل

]لھ إلیجاد العدد التالى لفردىإلى العدد ا ٢إضافة العدد [ ١١، ٩، ٧، ٥، ٣، ١) ١( ]إلى العدد السابق إلیجاد العدد التالى لھ ٣إضافة العدد [ ١٦، ١٣، ١٠، ٧، ٤، ١) ٢( ]العددین السابقین یكون العدد التالى نجمع[ ٢٤، ١٥، ٩، ٦، ٣، ٣ )٣( دإلى العد) ١+ العدد الذى یمثل ترتیب العدد ( إضافة [ ٢١، ١٥، ١٠، ٦، ٣، ١) ٤(

]نفسھ للحصول على العدد التالى لھ إلى العدد) ١+ العدد الذى یمثل ترتیب العدد ( إضافة [ ٢١، ١٦، ١١، ٧، ٤، ٢) ٥(

] نفسھ للحصول على العدد التالى لھ ]من كل عدد إلیجاد العدد التالى لھ ١٠طرح [ ١٣، ٢٣، ٣٣، ٤٤، ٥٥، ٦٦) ٦(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أكمل بنفس التسلسل : مثال ٠٠٠، ٠٠٠، ١٩٢،٩٦،٤٨،٢٤ -ت ٠٠٠، ٠٠٠، ١١،١٧،٢٣، ٥ - أ ٠٠٠، ٠٠٠، ١٧، ١٢، ٧، ٢ -ث ٠٠٠، ٠٠٠، ٢٧، ٩، ٣، ١ - ب

) :١(مالحظة عند ضرب عددین أو أكثر فإن كل عدد یسمى عامال من عوامل حاصل الضرب

٢ ١

٣ ٤

٦ ٥




) ( ٧

٦ عامالن من عوامل العدد ٣، ٢فإن ٦= ٣× ٢: مثال ١٢عوامل ٦، ٤، ٣، ٢، ١فإن األعداد ٤× ٣= ٦× ٢= ١٢× ١= ١٢

) :٢(مالحظة

ل الضرب متساویة فإن حاصل الضرب یسمى قوى العاملإذا كانت عوامل حاص

٢القوى الرابعة للعامل ١٦یسمى العدد ١٦= ٢× ٢× ٢× ٢: مثال ١٦= ٤ ٢ة الضرب و تكتب على الصورة مرات فى عملی ٤تكررت ٢: نجد أن االساس ٢العدد األس ، ٤و یسمى ) ١٦تساوى ٤أس ٢( و تقرأ

٣× ٢، ٣ ٢الحظ الفرق بین ٨= ٢× ٢× ٢= ٣ ٢بینما ٦= ٢+ ٢+ ٢= ٣+ ٣= ٣× ٢

٠٠٠= ٣ ٤، ٠٠٠= ٢ ٥، ٠٠٠= ٣ ٣، ٠٠٠= ٥ ١: أكمل ما یاتى

: )٤(مالحظة

األعداد المكعبة األعداد المربعة

)٣: (مالحظة

١= صفر ٧مثال




) ( ٨ .ھو عدد طبیعى لھ عامالن مختلفان فقط ھما الواحد و العدد نفسةالعدد األولى

٠٠٠٠، ٢٣، ١٩، ١٧، ١١، ٧، ٥، ٣، ٢: مثل :أكمل كال مما یأتى ] ١[

٠٠٠أصغر عدد طبیعى ھو ) ٢( ٠٠٠أصغر عدد من أعداد العد ھو ) ١( ٠٠٠أصغر عدد طبیعى زوجى ھو ) ٤( ٠٠٠دد طبیعى فردى ھو أصغر ع) ٣( ٠٠٠أصغر عدد أولى ھو ) ٥(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]٢[

]٢[

]٣[

٣ متطلبات قبلیة




) ( ٩االعداد الصحیحة

} ٠٠٠٠٠، ٥، ٤، ٣، ٢، ١{ = + األعداد الصحیحة الموجبة ص

} ٠٠٠٠٠، ٤-، ٣-، ٢-، ١-{ = ـــ ص حیحة السالبة األعداد الص :األعداد الصحیحة

} ٠٠٠٠٠٠، ٤-، ٣-، ٢-، ١-، ٠، ١، ٢، ٣، ٤، ٠٠٠٠٠{ = ص ــ ص U }٠{ U +ص= ــ ص Uط =

} ٠٠٠٠، ٤-، ٣-، ٢-، ١-، ٠{= ر الموجبة األعداد الصحیحة غی } ٠٠٠٠، ٥، ٤، ٣، ٢، ١، ٠{ = ر السالبة األعداد الصحیحة غی

: مالحظات ھامة ]٢] ١ Э ، ٧-ص Э ٤ر٢، ــ ص Э ص ، صفرЭ ص Φ= +ص П -ص ، ص ⊂+ ص ، ص ⊂ ــ ص ، ص ⊂ط ] ٢[ الصفر لیس موجبا و لیس سالبا ] ٣[ } ٠٠٠، ٢-، ١-، ٠{= ـــص ــ ط ، ص= ــ ـص ــ ، ص ــ ص= ط ــ ص ] ٤[ : خط األعدادتمثیل األعداد الصحیحة على

٠٠٠٠ ٤- ٣- ٢- ١- ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٠٠٠٠

: عالقة أقل من

. ھاد العدد باشارة سالب قلت قیمتزكلما : ملحوطة ٣ < ٥ -، ٨ < ٥ مثال )تقرأ س أقل من ص (ص <س ١٣ - > ٨ - ، ٥ <، صفر ٤ - < ٧-

:رتب مجموعة األعداد اآلتیة : مثال }٧ -، ٢ -، ٤، ٥ -، ٣، ٠، ٤ -، ٦ { : الحل

٦، ٤، ٣، ٠، ٢ -، ٤ -، ٥ -، ٧ -: الترتیب التصاعدى ٦، ٥ -، ٤ - ، ٢ -، ٠، ٣، ٤، ٦: الترتیب التنازلى

١مالحظة




) ( ١٠

)١( )٢( )٣(




) ( ١١

٩= ٤+ ٥= Ι ٤ ٥Ι +Ιــ Ι: أوجد : مثال Ι٧ــ Ι ــΙ٧ Ι =صفر= ٧ــ ٧ ١ــ ) = ٤ ــ ٥ (ــ= Ι )٤ــ Ιــ Ι Ι٥( ــ Ι ٨ــ Ι +Ι ٦ــ Ι =١٤= ٦+ ٨ Ι ٥ــ Ι ×Ι ٣ــ Ι =١٥= ٣× ٥ Ι٢ Ι ×Ι ٥ــ Ι =١٠= ٥× ٢ Ι ٢٠ــ Ι ÷Ι ٥ــ Ι =٤= ٥÷ ٢٠ Ι١٨ Ι ÷ Ι ٣ــ Ι =٦= ٣÷ ١٨

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠= Ι ٩ــ Ι +Ι ٢ــ Ι) أ: (أوجد : مثال

٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠= Ι ٦ــ Ιــ Ι ١٥ــ Ι )ب( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠= Ι ٨ Ιــ Ι ٨ــ Ι) حـ(

) :> ، = ، < ( ضع عالمة مناسبة : مثال Ι ١ــ Ι ٠٠٠٠ Ι ٤ــ Ι) ب( Ι ١٢ــ Ι ٠٠٠٠ Ι صفر Ι) أ( ٧ ٠٠٠) Ι ٢ــ Ι ــ Ι ٣ــ Ι(ــ ) د(صفر ٠٠٠٠ Ι ١ــ Ιــ Ι Ι٣) جـ(

القیمة المطلقة

١ ١ ٢ ١ ١٣ ١٤ ١٥ ١٦ ١٧ ١٨

مالحظات




) ( ١٢

و الخسارة) للعدد الموجب ( لتوضیح مفھوم الجمع فى ص سوف نستخدم المكسب .لسھولة الجمع ) للعدد السالب (

١٢ــ ) = ٧ــ ) + ( ٥ــ ( ، ١٠= ٦+ ٤:فمثال صفر= ٥) + ٤ــ ) + ( ١ــ ( ، ٣= ٧) + ٤ـ ـ( ، ٢ــ ) = ٧ــ + ( ٥،

كل منھما معكوس جمعى لألخر ٧، ــ ٧ صفر أى ) = ٧ــ + ( ٧ :فمثال صفر = صفر + المعكوس الجمعى للعدد صفر ھو نفسھ الن صفر : ملحوظة

:ن صحیحین فإن إذا كان أ ، ب عددی: تعریف .المعكوس الجمعى للعدد ب ،ب ھى جمع العدد أ ــ أ )ب ــ+ (أ = ب ــ أى أن أ أ) = أ ــ( ــ: إذا كان أ عددا صحیحا ال یساوى الصفر فان : نتیجة ١٠ ــ) = ٦ــ )+( ٤ــ = ( ٦ ــ) ٤ــ (، ٢ ــ) = ٦ ــ+ ( ٤= ٦ ــ ٤: مثال

و یمكن إیجاد ناتج الطرح مباشرة دون تحویل عملیة الطرح الى عملیة جمع ٨= ٢+ ٦) = ٢ــ ( ــ ٦، ١٣ــ = ٨ــ ٥، ــ ٤ــ = ٧ــ ٣: مثال

٠٠٠) = ٤ــ ( ــ ) ٢ــ ( ٠٠٠٠) = ١٥ــ ) + ( ٣ــ : ( أوجد : مثال

٠٠٠٠) = ٦ــ ( صفر ــ ٠٠٠٠= ١ــ ٦ــ ٠٠٠٠) = ٨ــ ( ــ ٥ ٠٠٠٠) = ١٥ــ + ( ١٥ Ι ٣ــΙ ــΙ ٧ــΙ =٠٠٠٠ Ι ٩Ι ــΙ ١٥ــΙ =٠٠٠٠ - ٦ -] ٣) + ٥ -[ ( ١٢+ ٦ - ٩

المعكوس الجمعى

صفر) = ــ أ+ ( لكل عدد صحیح أ یوجد معكوس جمعى ھو العدد الصحیح ــ أ بحیث أ

ملیتى الجمع و الطرحص مغلقة على ع: عملیتى الجمع و الطرح ممكنتان دائما فى ص أى

مما سبق نالحط أن

١ ١ ٢ ١ ١٣ ١٤

٥ ١ ٦ ١ ٧ ١ ٨ ١ ١١ ١٩




) ( ١٣

: قاعدة االشارات ــ= ــ × + ، ــ = + × ــ ، + = ــ × ــ، + = + × + ــ= ــ ÷+ ، ــ = + ÷ ــ ، + = ــ ÷ ــ، + = + ÷ + : قواعد ا لضرب . عدد صحیحا موجبا = رب عددین صحیحین موجبین حاصل ض -١

١٢= ٢× ٦، ١٥= ٥× ٣: مثال .عدد سالب = حاصل ضرب عددین صحیحین أحدھما موجب و االخر سالب -٢

١٢ــ = ٢× ) ٦ــ ( ، ١٥ــ ) = ٥ــ ( × ٣: مثال .عددا صحیحا موجبا = حاصل صرب عددین صحیحین سا لبین -٣

١٢) = ٢ــ ( × ) ٦ــ ( ، ١٥) = ٥ــ ( × ) ٣ــ : ( مثال : مالحظة

لیس لھا معنى = صفر ÷ ٧صفر ولكن = ٧÷ صفر : مثال ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: فاوجد قیمة مایاتى ٤ -= ، ع ٢ -= ، ص ٣= س ا كان إذ: مثال )ص + ع ( × ) ص -س ] (ب[ س ع ٧ -ص ع + س ص ٥] أ[

:الحل )٤-(×٣× ٧ -) ٤-(×) ٢-) + (٢-(× ٣×٥= س ع ٧ -ص ع + س ص ٥] أ[

)=- ٨٤+ ٨) + ٣٠ ) =-٦٢= ٩٢) + ٣٠

])٢- ) + (٤-( [× ])٢-( - ٣ [) = ص + ع ( × ) ص -س ] ( ب[ ) =٣٦ -) = ٦-(× ٦) = ٦ -(× ) ٢+ ٣

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : فأوجد القیمة العددیة لكل من ١٥ــ = ، حـ ٣ــ = ، ب ١٥= أ : إذا كان : مثال

٥ــ ) = ٣ـ ( ÷ ١٥= ب ÷ أ رصف) = ٣ــ ( ÷ صفر ) = ٣ــ (÷ )) ١٥ــ + ( ١٥= ( ب ÷ ) حـ + أ ( ٣= )١٥ــ(÷ ) ٤٥ــ ) = ( ١٥ــ (÷ )) ٣ــ ( × ١٥= ( حـ ÷ ) ب× أ (

عملیة الضرب ممكنة دائما فى ص أى ص مغلقة بالنسبة لعملیة الضرب • عملیة القسمة لیست ممكنة دائما فى ص أى ص غیر مغلقة بالنسبة للقسمة •

)غیر معرفة ( القسمة على الصفر لیس لھا معنى

١١١٢ ٠٠




) ( ١٤ :رتب األعداد الصحیحة اآلتیة تنازلیا مرة ، تصاعدیا مرة أخرى ] ١[

٢٠٠، ١٠١، ــ ١٠٠، صفر ، ــ ١٠٢، ــ ٩٩، ــ ٨٩ــ :إن أمكن ٠٠٠، النقط { } اكتب مجموعات األعداد اآلتیة باستخدام القوسین] ٢[

٥مجموعة األعداد الصحیحة األكبر من ــ -١ ٥األقل من ــ مجموعة األعداد الصحیحة -٢ ٤و أقل من ــ ٩مجموعة األعداد الصحیحة األكبر من ــ -٣ ٢، ٦مجموعة األعداد الصحیحة بین ــ -٤ .مجموعة األعداد الصحیحة السالبة -٥

: ـــــل بنفس النمط أكمـــــ] ٣[ ٠٠٠٠، ١٤، ــ ٠٠٠٠، ٠٠٠٠، ٨، ــ ٦، ــ ٤، ــ ٢ــ ) ١(

٠٠٠٠، صفر ، ١، ــ ٠٠٠٠، ٣، ــ ٤، ــ ٥ــ ) ٢(]٤ [

]٥[

]٦[

تمارین على األعداد الصحیحة

]٤[

]٥[

]٧[

]٨[




) ( ١٥

أ ب

٨، ٦، ــ ٠.٢٤، ٤، ، ــ ، : مثال

)لیس لھا معنى= مثال (القسمة على صفر لیس لھا معنى ) ١: ( مالحظات

)٠.٢٤، = = ٤) ٢ =

:یمكن التعبیر عن مجموعة األعداد النسبیة كالتالى

}٠ ≠ص ، ب Эص ، ب Э، أ = س : س { = ن

}٠٠٠، ٣، ٢، ١، ٠، ١، ــ ٢، ــ ٣، ــ ٠٠٠{ = ص

} ٠٠٠، ، ، ، ، ، ، ٠٠٠{ = ص

صحیح ھو عدد نسبى مقامھ الواحد الصحیحأى كل عدد ص مجموعة جزئیة من ن تقرأن ⊂أى ص

ن ⊂ ص ⊂فإن ط ص ⊂وحیث ط

ص العدد ال یعبر عن عدد صحیح Э ، ص Э ٨: = مثال

٢ال تقبل القسمة على ٧الن

مجموعة األعداد النسبیة

: تعریف العدد النسبى ھو العدد الذى یمكن وضعھ على الصورة حیث عدد صحیح ، ب عدد

فرصحیح ال یساوى الص

٣ ٥

صفر٧

٢ ٣

٣ ٥

صفر٧

٣ ٥

٣+ ٥× ٤ ٥

٢٣ ٥

٢٤ ١٠٠

أ ب

العالقة بین ص ، ن

٣ــ١

٢ــ١

١ــ١

٠ ١

١ ١

٢ ١

ن ص ط

كل عدد صحیح ھوعدد نسبى و لیس لكل عدد نسبى عدد صحیح قسمة على بالعدد النسبى یعبر عن عدد صحیح إذا كان أ یقبل ال

١مالحظة

أ ب

١٦ ٢

٧ ٢




) ( ١٦

:مثال :إذا كانت س عددا صحیحا فاكتب الشرط الالزم لكى یكون كل مما یأتى عددا نسبیا

)٣) (٢) (١ (

٠ ≠س ∴ ٠ ≠س ٢ ∴عدد نسبى : بما أن )١(الحل

٣ــ ≠س ∴ ٠ ≠ ٣+ س ∴عدد نسبى : بما أن ) ٢(

٥ ≠س ∴ ٠ ≠ ٥س ــ ∴عدد نسبى : بما أن ) ٣(

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: مثال ٠٠٠= صفر فإن س = إذا كان العدد النسبى

٥= س ∴ ٠= ٥س ــ ∴صفر = بما أن : الحل


: أكمــــــــــل ما یأتى : مثال ٠٠٠ ≠العدد عدد نسبى إذا كانت أ ) ١( ٠٠٠ ≠لعدد عدد نسبى إذا كانت س ا) ٢( ٠٠٠= العدد ال یعبرعدد نسبى إذا كانت س ) ٣( ٠٠٠= صفر إذا كانت س = العدد ) ٤(

أ ٢مالحظة صفر ≠إذا كان عددا نسبیا فإن ب ب

٥ س٢

١ ٣+ س

٧ ٥س ــ

٥ س٢

١ ٣+ س ٧

٥س ــ

صفر= صفر فإن أ = إذا كان صفر= ا كان أ أو العدد یعبر عن صفر إذ

أ ٣مالحظة ب

أ ب

٥س ــ ٣+ س

٥س ــ ٣+ س

٧ أ

٥س ــ ٣+ س ٧

٥س ــ ٥س ــ

٣+ س




) ( ١٧

لھ یمكن كتابة العدد النسبى فى صورة عدد نسبى أخر مساو

)+ضرب حدىالعدد فى ص(٠٠٠= = = = = : فمثال

)ــ ضرب فى ص( ٠٠٠= = = = = =

)نقسم حدیھ على ( ٠٠٠= = = = = = ،

١٠النسبى على صورة عدد عشرى منتھ نجعل مقام العدد النسبى لكتابة العدد .أو مضاعفاتھا باستخدام الخاصیة السابقة

٠.٦ : = = = مثال

٣.٠٨ــ = ــ = ٣ــ = ٣ــ = ٣، ــ

، = = =٠.٦٢٥

یمكن التأكد من الحل باستخدام اآللة الحاسبة: ملحوظة

١٠٠لكتابة العدد النسبى على صورة نسبة مئویة نجعل مقام العدد النسبى

:اكتب كال من األعداد اآلتیة على صورة نسبة مئویة : مثال ٥ ٣.٤

٪ ٦٠= = = : الحل

٪ ٦٠= = = حل آخر

االشكال المختلفة للعدد النسبى

الصفریساوى عدد واحد ال) على(أو قسما ) فى(العدد النسبى ال تتغیر قیمتھ إذا ضرب حداه

خاصیة

١ ٢

٢ ٤

٣ ٦

٤ ٨

٥ ١٠

٢ــ٤

٣ــ٦

٤ــ٨

٥ــ١٠

١ــ٢

٢٤ ٣٦

١٢ ١٨

٨ ١٢

٦ ٩

٣ ٦

٢ ٣

٣ ٥

٢×٣ ٢×٥

٦ ١٠

٢ ٢٥

٤× ٢ ٤×٢٥

٨ ١٠٠

٣٠٨ ١٠٠

٥ ٨

١٢٥× ٥ ١٢٥×٨

٦٢٥ ١٠٠٠

٣ ١٤ ١٣ ٢ ١ ١١ ٥

٧ ١٦

٧ ١٢٥

٣ ١ ١ ٥

٢٠×٣ ٢٠×٥

٦٠ ١٠٠

٣ ٥

×١٠٠ ١٠٠

٣ ٦٠ ٥

١٠٠




) ( ١٨

= = =٤٣.٧٥ ٪

٥٠٠= = = = ٥ ٪

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أن عملیة القسمة غیرمنتھیةنجد باستحدام اآللة الحاسبة ٠.٣٣٣٣٣٣٠٠٠٠= أن نعلم

دائر حیث النقطة فوق الرقم تعنى أن العدد دائر ٠.٣وتكتب ویقرأ

: ملحوظة وضع نقطة فوق الرقم الدائر األول و الرقم الدائر األخیر معناه أن الرقمین و ما بینھما دائر

٢.٣٥٧٣٥٧٣٥٧٠٠٠= : مثال

:اكتب كال من األعداد اآلتیة على صورة عدد نسبى :مثال

:الحل

)١٠بالضرب فى ( = س : أى أن = س : نفرض أن

× ١٠= س ١٠

= س ١٠

و بالطرح = س : و حیث إن ــــــــــــــــــــــــــ

= =س ∴ ٩و بالقسمة على ٣= س ٩ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

)١٠٠بالضرب فى = ( س : أى أن = س : نفرض أن

× ١٠٠= س ١٠٠

٧ ١٢ ١٦

×١٠٠ ١٠٠

٧ ٤٣.٧٥ ١٦

١٠٠

٧ ٣ ١ ١٢٥

٦٣٢ ١٢٥

×١٠٠ ١٠٠

٦٣٢ ٥٠٠ ١٢٥

١٠٠

. ٣

١ ٣

. . ٢.٣٥٧

١٣ ١٢ ١ ١ . . ٢.٣٥٧

. ٠.٣

. . ٠.٢٧

١ ١ .

٠.٣ .

٠.٣٣ .

٠.٣٣ . ٣.٣ .

٠.٣

٣ ٩

١ ٣

٢ ١ . .

٠.٢٧ . .

٠.٢٧٢٧ . .

٠.٢٧٢٧




) ( ١٩ = س ١٠٠ : تابع حل

وبالطرح= حیث إن س

ــــــــــــــــــــــــــــــــ = = س ∴ ٩٩على وبالقسمة ٢٧= س ٩٩

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

)١٠٠٠بالضرب فى = ( س : أى أن = س : نفرض أن

× ١٠٠٠= س ١٠٠٠

= س ١٠٠٠

وبالطرح = حیث أن س ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٩٩٩وبالقسمة على ٢٣٥٥= س ٩٩٩

٢= = = س ∴

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ، ، : ضع األعداد اآلتیة فى أبسط صورة : مثال : = =الحل

= = =

=

١٢ . .

٢٧.٢٧ . .

٠.٢٧

٢٧ ٩٩

٣ ١١

١٣ . . ٢.٣٥٧

. . ٢.٣٥٧٣٥٧

. . ٢.٣٥٧٣٥٧

. . ٢.٣٥٧

. . ٢٣٥٧.٣٥٧

٢٣٥٥ ٩٩٩

٧٨٥ ٣٣٣

١١٩ ٣٣٣

كتابة العدد النسبى فى أبسط صورة

نجعل المقام موجب إذا كان سالب) ١: (لوضع العدد النسبى فى أبسط صورة وجدأ بینھما إن . م . نقسم كال من حدیھ على العامل المشترك االعلى ع ) ٢(

٣ ٩

١٢ ٢٤ــ

١٠ ١٦

٣ ٩

٣÷٣ ٣÷٩

١ ٣

١٢ ٢٤ــ

١ــ× ١٢ ١ــ× ٢٤ــ

١٢ــ ٢٤

١ــ ٢

١٠ ١٦

٥ ٨




) ( ٢٠

: أكمل كال مما یأتى بحیث یعبر عن عدد نسبى ] ١[

= = = = :أكمل ما یأتى ] ٢[

٠٠٠ ≠العدد عدد نسبى إذا كانت س

٠٠٠= صفر إذا كانت س = العدد

٠٠٠٠٠العدد النسبى یعبر عن عدد صحیح إذا كانت

٠٠٠٠ن إذا كانت س أى عدد صحیح ما عدا ∈العدد

٠٠٠ ≠العدد عدد نسبى إذا كانت س :آلتیة یكتب على صورة عدد عشرى منتھ أى األعداد النسبیة ا] ٣[

، Ι ١ــ Ι، ، ، ، ٢ــ :، ونسبة مئویة عشرىد النسبیة اآلتیة على صورة عدد اكتب كال من األعدا] ٤[

ــ ، ، ، ، ٢، :اكتب كال من األعداد اآلتیة على الصورة ] ٥[

٪ ٣٥، ، ، ــ ، ،

النسبیة تمارین على األعداد

١٢ ١ ١ ٣ ٤

٩ ٠٠٠

٠٠٠ ٨

٤ ٥

٠٠٠ ١٠

١٦ ٠٠٠

٧س ــ ١ ١ ٥+ س

٧س ــ ١٢ ٥+ س

أ ب

١٣

٧ ٤ ١ ٣س ــ

٢ ٥ ١ س٣

٧ ٢٠

٧ ١٥

١٧ ٦

٢ ٥

٢ ٩

٥ ٨

١ ٦

١ ٢

٥ ٩

٥ ٨

٣ ١١

١٦ ٣ أ . ب

٠.٥ . .

١.٢٥ . . ٠.٥٢٥

. ٢.٣٩

. ٠.٣١٦




) ( ٢١ :اختر االجابة الصحیحة من بین اإلجابات المعطاة ] ٦[

]، ، ، [ ٠٠٠٠= العدد النسبى

=٠٠٠٠ ] ، ، ، [

على صورة عدد عشرى دورى ٠٠٠٠=

] ، ، ،[

] Ιــ Ι، ، ، ــ Ιــ Ι[ ٠٠٠= العدد النسبى ــ

] ٪ ٣٢ــ ، ــ ، ، [ ٠٠٠= Ιــ Ιالعدد النسبى

] ٠.٠٠١٢، ، ١.٢، [ ٠٠٠٠= ٪١٢العدد

؟ ٠.٣٥أى من الكسور اآلتیة األقرب فى القیمة العددیة من ]ثالثة أخماس ، نصف ، ثلث ، ربع [


.كل عدد نسبى تمثلھ نقطة وحیدة على خط األعداد • .األعداد النسبیة المتساویة تمثلھا جمیعا نفس النقطة على خط األعداد • على یمین النقطة التى خط األعداد نقط تقع األعداد النسبیة الموجبة تمثلھا على •

تمثل العدد صفر و األعداد النسبیة السالبة تمثلھا على خط األعداد نقط على .یسار النقطة التى تمثل العدد صفر

.مثل العدد النسبى على خط األعداد ] ١[

: الحل

١ ١ .

٠.٢ ١ ٥

١ ٣

٢ ٩

٢ ٧

١٢ . .

٥٧ ٠.٥٧ ١٠٠

٥٧٥ ١٠٠٠

٧٥ ٩٩

١٩ ٣٣

٥ ١٣ ١١

٠.٤٥ . .

٠.٤٥ . . ٠.٤٥٤

. . ٠.٠٤٥

٢٢ ٣٣

٢٢ ١٤ ٣٣

. ٢ ٠.٦

٣

. ٠.٦

٨ ١٥ ٢٥

٨ ٢٥

. ٠.٣٢

. . ٠.٣٢

. ٣ ٦ ١ ٠.٣

٢٥

٧ ١

تمثیل األعداد النسبیة على خط األعداد

٣ ٤

١ ٤

٢ ٤

٣ ٤

١ــ ٥ ١ صفر ٤

٤




) ( ٢٢

، ــ : تمثالن العددین فى الشكل التالى الحظ النقطتین اللتین

: على خط األعداد استخدم السھم للتعبیر عن العدد] ٢[

٢، ١یقع بین العددین الصحیحین فإن ١= :الحل ١مثل على خط األعداد العدد النسبى ــ ] ٣[

٢، ــ ١یقع بین ــ ١ فإن ــ ــ = ١ــ : الحل Ιــ Ι، ــ ، Ιــ Ι: مثل على خط األعداد ] ٤[

العددان النسبیان ، ــ تمثلھما على خط األعداد نقطتان على

نقطة التى تمثل العدد صفر و فى جھتین مختلفتین منھا بعدین متساویین من ال

مالحظة

أ ب

أ ب

٣ ٤

٣ ٤

● ١ــ ١ صفر

٠ ٤

١ ٤

٢ ٤

٣ ٤

٤ ٤

١ــ٤

٣ــ٤

٢ــ٤

٤ــ٤ ●

مالحظة ھامة

قبل تمثیل العدد النسبى على خط األعداد یفضل وضعھ فى أبسط صورة

٥ ٣

٢ ٣

٥ ٣

١ ٥

١ ٥

٦ ٥

١ ٥

٣ ٥

٤ ٣

. ٢.٣

٥ ٣

١ ٣

٢ ٣

١ــ٣ ٥ ١ صفر

٣ ٤ ٧ ٢ ٣

٣

١ ٥

١ــ٥

٢ــ ١ــ صفر٥

٣ــ٥

٤ــ٥

٧ــ٥

٦ــ٥




) ( ٢٣

< ، > مثال

العدد الن النقطة التى تمثل العدد تقع على یسار النقطة التى تمثل

:مثل األعداد النسبیة على خط األعداد ثم رتبھا تصاعدیا : مثال

، ــ ٢، صفر ، ٢، ــ ١ : الحل

:بحسب موضع األعداد على خط األعداد السابق نجد أن الترتیب التصاعدى ھو

٢ ، ١صفر ، ، ــ ، ٢ــ

: مثل األعداد النسبیة اآلتیة على خط األعداد ثم رتبھا تنازلیا : مثال

٢، صفر ، ، ــ ، ١ــ ) ١(

٣.٥، ــ ٥، ــ ٤، ــ ٦.٥ــ ) ٢(

إذا كانت النقطة التى تمثل العدد س تقع على یسار النقطة التى تمثل العدد ص على خط األعداد

س> ص أ، ص < كما بالشكل المقابل فإن س ● ●

س ص

● ١ــ ١ صفر

٠ ٣

١ ٣

٢ ٣

٣ ٣

٤ ٣

١ــ٣

٣ــ٣

٢ــ٣

٤ــ٣ ● ● ●

ترتیب تصاعدى

تنازلىترتیب ٤ ٣

١ ٣

١ ٣

٤ ٣

١ ٣

٤ ٣

١ ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٢

●

٢ــ ١ صفر

٠ ٢

١ ٢

٢ ٢

٣ ٢

٤ ٢

١ــ٢

٣ــ٢

٢ــ٢

٤ــ٢ ● ● ●

١ــ ٢

٥ ٢ ●

٥ــ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٢

٧ ٢

٥ ٢




) ( ٢٤

: فإن ٠> ذا كان ، عددین نسبیین لھما نفس المقام ب حیث ب إ

).أى بسط األول أصغر من بسط الثانى ( حـ < أ : إذا كان <

حید مقامیھما مختلفى المقام یلزم أوال تو) أو أكثر ( للمقارنة بین عددین نسبیین .ثم نقارن بین البسطتین الناتجین

:المقارنة بین عددین نسیین متحدى المقام : أوال

٥ــ > ٢ــ الن ــ > ، ــ ٤< ٢الن < : مثال

:ختلفى المقام مالمقارنة بین عددین نسیین : ثانیا

>

أ ب

ح ب

ح ب

أ ب

٢ ٥

٤ ٥

٥ ٧

٢ ٧

مالحظة ھامة

یفضل وضعھما فى أبسط صورة ) أو أكثر ( قبل المقارنة بین عددین نسبیین




) ( ٢٥ قارن بین العددان ، : مثال

، مضاعفتھا ٣٥= أ للمقامات . م . م : الحل

∴ = ، =

∴ < ،< أیھما أكبر ــ أم ــ ؟: مثال

، مضاعفتھا ٣٠= أ للمقامات . م . م : الحل

ــ > ــ ∴ ــ = ــ ، ــ = ــ ∴

ــ > ــ ∴


٤ ٥

٥ ٧

٤ ٥

٢٨ ٣٥

٥ ٧

٢٥ ٣٥

٢٨ ٣٥

٢٥ ٣٥

٤ ٥

٥ ٧

٧ ٦

١١ ١٥

١١ ١٥

٧ ٦

٣٥ ٣٠

٢٢ ٣٠

٢٢ ٣٠

٣٥ ٣٠

١١ ١٥

٧ ٦




) ( ٢٦

:ى بین ، أوجد عدد نسب: مثال

= ، = ∴ ٦= أ للمقامین . م . م : الحل

٢ال یوجد عدد بین ، فإننا نضرب حدى كل من العددین فى : نالحظ أنھ

∴ = ، = ∴ > >

العدد یقع بین ، ∴< < ∴

= ، = ∴ ٦= أ للمقامین . م . م : حل أخر

١٠نضرب كال من بسط ومقام العددین فى لتسھیل الحل

∴ = ، =

> > > > >٠٠٠ > >

∴ > > > > >٠٠٠ > >

.مجموعة األعداد النسبیة تتمتع بخاصیة الكثافة ألى عددین نسبیین یوجد عدد ال نھائى من األعداد النسبیة المحصورة : أى أن .بینھما

.مجموعة األعداد الطبیعیة والصحیحة ال تتمتع بخاصیة الكثافة •ن ایجاد العدد النسبى السابق لھ مباشرة أو التالى لھ ألى عدد نسبى الیمك •

.مباشرة و ٢الیجاد عدد نسبى بین عددین نسبین بعد توحید المقامات نضرب حدیھما فى •

والیجاد ثالثة أعداد بینھما نضرب فى ٣الیجاد عددین نسبیین نضرب حدیھما فى ٤ .

مالحظات

١ ٢

١ ٣

٠ ٠٠

٠ ٠٠ ٠

٠٠ ١ ٢

١ ٣

٣ ٦

٢ ٦

٣ ٦

٢ ٦

٣ ٦

٢ ٦

٦ ١٢

٤ ١٢

٤ ١٢

٦ ١٢

٥ ١٢

١ ٣

٥ ١٢

١ ٢

٥ ١٢

١ ٢

١ ٣

١ ٢

١ ٣

٣ ٦

٢ ٠ ٦

٠٠ ٠

٠٠ ٠

٠٠

٣ ٦

٢ ٦

٣٠ ٦٠

٢٠ ٦٠

٠ ٠٠

٠ ٠٠ ٠

٠ ٢٠ ٦٠

٢١ ٦٠

٢٢ ٦٠

٢٣ ٦٠

٢٥ ٦٠

٢٩ ٦٠

٣٠ ٦٠

١ ٣

٧ ٢٠

١١ ٣٠

٢٣ ٦٠

٥ ١٢

٢٩ ٦٠

١ ٢

ة كثافة األعداد النسبی




) ( ٢٧

نختار العدد المطلوب من األعداد بین ، و لیكن العدد ھو

= ، : = حل أخر

∴ >> > > > > > >

∴ > > > > > > > >

نختار العدد المطلوب من بین األعداد و لیكن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:أوجد ثالثة أعداد نسبیة بین ، : مثال

= ، = ∴ ١٢= أ للمقامین . م . م : الحل

٤الیجاد ثالثة أعداد بینھما نضرب كل من حدى العددین فى

∴ = ، =

∴ > > > >

∴ > > > >

∴ > > > >

، ، : األعداد ھى ∴ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: أوجد عدد نسبى واحد بین كال مما یأتى : مثال

٠.٦، ) ب(، ) أ(

٠.٥، : أوجد عددین نسبیین بین :مثال

، أوجد أربعة أعداد نسبیة بین :مثال

١ ٢

١ ٣

٣ ٦

٢ ٦

١ ٣

١ ٢

٧ ٢٠

٢ ٦

٢.١ ٦

٢.٢ ٦

٢.٣ ٦

٢.٤ ٦

٠٠٠ ٦

٢.٨ ٦

٢.٩ ٦

٣ ٦

٢.١ ٦

٢.٢ ٦

٢.٣ ٦

٢.٤ ٦

٠٠٠ ٦

٢.٨ ٦

٢.٩ ٦

١ ٣

١ ٢

٢.١ ٦

٥ــ ٦

٣ــ ٤

٠ ٠٠

٠ ٠٠ ٠

٠

٥ــ ٦

٣ــ ٤

١٠ــ ١٢

٩ــ ١٢

١٠ــ ١٢

٤٠ــ ٤٨

٩ــ ١٢

٣٦ــ ٤٨

٤٠ــ ٤٨

٣٦ــ ٤٨

٣٩ــ ٤٨

٣٨ــ ٤٨

٣٧ــ ٤٨

١٣ــ ١٦

١٩ــ ٢٤

٣٧ــ ٤٨

٥ــ ٦

٣ــ ٤

١٣ــ ١٦

١٩ــ ٢٤

٣٧ــ ٤٨

٥ــ ٦

٣ــ ٤

١٣ــ ١٦

١٩ــ ٢٤

٣٧ــ ٤٨

١ ٢

٣ ٤

٥ ٨

٣ ٨ ١ ٤

٣ ٥




) ( ٢٨

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :استخدم خط األعداد فى ایجاد ناتج : مثال

)ــ + ( ــ ] ب ) [ ــ ] + ( أ [

: الحل ) = ــ + ( ] أ [

١ــ = ــ ) = ــ + ( ــ ] ب [

٥ ٨

٣ ٨

٣ ٤

١ ٤

٠ ٨

١ ٨

٢ ٨

٣ ٨

٤ ٨

١ــ٨

٥ ٨

٦ ٨

٥ ٨

٢ــ٨

٣ــ٨

٥ ٨

٣ ٨

٢ ٨

٣ ٤

١ ٤

٤ ٤

٠ ٤

١ــ٤

٢ــ٤

٣ــ٤

٢ ٤

٣ ٤

٥ــ٤

٦ــ ١ــ ٤




) ( ٢٩

: احسب قیمة كل مما یأتى فى أبسط صورة : مثال

٢+ ١٥ــ ] ب ) [ ــ + ( ــ ] أ [

) ٣ــ + ( ٤] د [ ٢] + حـ [

٢٠= ٤، ٥أ للمقامین . م . م ) أ: (الحل ــ ) = ــ + ( ــ ) = ــ + ( ــ

٨= ٨، ٤أ للمقامین . م . م ) ب (

١٣ــ = ٢ + ١٥ــ = ٢+ ١٥ ــ

+ ــ + = ــ = ٢+ ١٥ ــ :حل أخر

١٣ــ = ــ =

٢= ٢= + ٢) + حـ (

) ٣ــ + ( ٤) = ٣ــ + ( ٤) د (

= ١

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

+ : + احسب قیمة ما یأتى فى أبسط صورة : مثال

( + ) + : + + = + + = الحل + =صفر =

٢ ٥

٣ ٤

٣ ٤

٣ ٨

١ ٤

٣ ٨

١ ٣

١ ٤

٢ ٥

٣ ٤

٨ ٢٠

١٥ ٢٠

٢٣ ٢٠

٣ ٤

٣ ٨

٦ ٨

٣ ٨

٣ ٨

٣ ٤

٣ ٨

٦٣ ٤

١٩ ٨

١٢٦ ٨

١٩ ٨

١٠٧ ٨

٣ ٨

١ ٤

٣ ٨

٢ ٨

٣ ٨

٥ ٨

١ ٣

١ ٤

٤ ١٢

٣ ١٢

١ ١٢

مالحظة

.قبل جمع عددین نسبین یفضل كتابتھما أوال فى أبسط صورة -١ . بعد إجراء عملیة الجمع یراعى وضع الناتج فى أبسط صورة -٢

١ ٢

٤ ٦

٢ــ ٤

١ ٢

٤ ٦

٢ــ ٤

١ ٢

٢ ٣

١ــ ٢

١ ٢

١ــ ٢

٢ ٣

٢ ٣

٢ ٣




) ( ٣٠

.مجموع أىعددین نسبیین ھوعدد نسبى : یجب أن تعلم أن ن مغلقة تحت الجمع: أى أن

= + ، : + = فمثال

عملیة الجمع فى ن إبدالیة + = + ∴

: ( + ) + = + ( + ) = + + =مثال

= فر ص+ = + صفر : مثال

خاصیة االبدال

أ : + = + ، عددین نسبیین فإن : إذا كان

ب حـ د

أ ب

حـ د

حـ د

أ ب

٣ ٥

٢ ٣

٣ ٥

٢ ٣

١٩ ١٥

١٩ ١٥

٣ ٥

٢ ٣

٣ ٥

٢ ٣

خاصیة الدمج

: ، ، ثالثة أعداد نسبیة : إذا كان

( + ) + = + ( + ) + + =

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

ھـ و

٣ ٥

٢ ٥

١ ٥

٣ ٥

٢ ٥

١ ٥

٣ ٥

٢ ٥

١ ٥

٦٥

اید الجمعىوجود العنصر المح

+ = ٠= ٠: + عددا نسبیا فإن : إذا كان

عند إضافة الصفر ألى عدد نسبى ال تتغیر قیمة ھذا العدد : أى أنھ

الصفر محاید بالنسبة لعملیة الجمع فى ن : و نقول أن

أ ب

أ ب

أ ب

أ ب

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

خواص عملیة الجمع فى ن




) ( ٣١

المعكوس الجمعى للعدد ھو ــ و العكس صحیح : فمثال

)المحاید الجمعى ( صفر ) = ــ : + ( الن

.المعكوس الجمعى للعدد صفر ھو نفسھ : ملحوظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :باستخدم خواص الجمع فى ن أوجد الناتج فى أبسط صورة : مثال

+ + +

ابدال+ + = + + + : + الحل

دمج= ( + ) + ( + )

ععملیة جم ٢= ١+ ١= + =

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أكمــــــل الجدول التالى : مثال

العدد

٣ــ

٧

صفر

الجمعى معكوسھ

٠٠٠٠

٠٠٠٠

٠٠٠٠

٠٠٠٠

٠٠٠٠

٠٠٠٠

٠٠٠٠

لمعكوس الجمعىوجود ا

لكل عدد نسبى معكوس جمعى ھو العدد ـــ

)المحاید الجمعى ( صفر ) = ــ + ( بحیث

أ ب

أ ب

أ ب

أ ب

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٧

٣ ٤

٤ ٧

١ ٤

٣ ٧

٣ ٤

٤ ٧

١ ٤

٣ ٧

٤ ٧

٣ ٤

١ ٤

٣ ٧

٤ ٧

٣ ٤

١ ٤

٧ ٧

٤ ٤

٤ ٧

١ــ ٤

٣ــ ٥ــ

١ــ ٦ــ




) ( ٣٢

الناتج فى أبسط صورةاستخدم خواص الجمع فى ن فى تسھیل إیجاد :مثال

)ــ + + ( ــ ] ب ) [ ١١ــ + ( ٧] أ [

+ ) ــ + ( ) ــ ] + ( د [ ٣١ + ٢٩ ــ ] حـ [

٤ــ = ــ ) = ــ ) = + ( ١١ــ + ( ٧] أ : [ الحل

)ــ + ) + ( ــ = ( ) ــ + + ( ــ ] ب [

)ــ + ) + ( ــ = (

صفر) = ــ = + (

٢= ٢= ٣١+ ٢٩ــ ] حـ [

) + ــ ) + ( ــ + ( ] د [

) + ]ــ ) ] + [ ( ــ = [ + (

٢ــ = ٣) + ٥ــ ) + = ( ــ = ( ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

نظرا الن لكل عدد نسبى لھ معكوس جمعى فإن عملیة الطرح ممكنة دائما فى ن

) ــ = +( ـــ : ، عددین نسبیین فإن : إذا كان

( ) عملیة الطرح فى ن تعرف بأنھا عملیة جمیع المطروح منھ : أى أن

( )مع المعكوس الجمعى للمطروح

أ ب

حـ د

أ ب

حـ د

أ ب

حـ د أ حـ ب

د

١ ٤

١ ٤

٣ ٧

١ ٢

١ ١٤

٥ ٤

١ ١٠

٧ ١٠

١٣ ٥

٢٥ ٤

٢٨ ٥

١ ٤

١ ٤

٢٩ ٤

٤٥ ٤

١٦ ٤

٣ ٧

١ ٢

١ ١٤

٣ ٧

١ ٢

١ ١٤

٦ ١٤

٧ ١٤

١ ١٤

١ ١٤

١ ١٤

١ ١٠

٧ ١٠

٦ ١٠

٣ ٥

٥ ٤

١٣ ٥

٢٥ ٤

٢٨ ٥

٥ ٤

١٣ ٥

٢٥ ٤

٢٨ ٥

٢٠ ٤

١٥ ٥




) ( ٣٣

ـــ ــ : أوجد : مثال

١= = = ــ : الحل

= = = ـــ

= =ـــ = ـــ : حل أخر

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ یمكن االستغناء عن تحویل عملیة الطرح إلىعملیة جمع كما فى األعداد الصحیحة : مالحظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

)تجمیعیة ( عملیة الطرح فى ن لیست إبدالیة ، و لیست دامجة • ال یوجد عدد محاید بالنسبة لعملیة الطرح فى ن و بالتالى ال توجد معكوسات للطرح •

: أوجد ناتج ما یأتى : مثال = = ــ = ٣ــ ١

= = ــ = ٤ــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: فأوجد القیمة العددیة لكل من = ــ ، حـ = ، ب = أ : إذا كانت : مثال

ــ ب ) ــ حـ أ ( أ ــ ب

: الحل ) = + = = =ــ ( ــ = أ ــ ب

) = ( ) + ــ ( ــ ) ــ = ( ــ ب ) أ ــ حـ (

+ == + =

١ ١

٧ ١١ ٥

٢ ٥

٢ــ ٧٥

٥ ٥

٣ ١٢ ٤

٢ ٧

٢× ٤ــ ٧×٣٢٨

٨ــ ٢١٢٨

١٣ ٢٨

٣ ٤

٢ ٧

٢١ ٢٨

٨ ٢٨

٨ــ ٢١٢٨

١٣ ٢٨

فى ن لطرحخواص عملیة ا

١١

٢ ١

٢ ٧

١ ٢ ١ ٥

٢٣ ٥

٩ ٧

٧ ٢

٤٩ــ ١٨١٤ ٢١ــ ٢٣

٥

٣١ــ ١٤

٢٣ ٥

٢١ ٥

١ ٥

٣ ٤

٥ ٢

١ ٧

٢ ١ ١١

٣ ١ ١ ٤

٥ ٢

٣ ٤

٥ ٢

٢٠+ ٦ ٨

٢٦ ٨

١٣ ٤

٣ ٢ ١ ٤

١ ٧

٥ ٢

٤ــ ٢١٢٨

٥ ٢

٥ ٢

١٧ ٢٨

١٧ ٢٨

٧٠ ٢٨

٨٧ ٢٨

٧ ٥

٢ ٣ ٢ ١ ٥

٤ ٢ ٧




) ( ٣٤ :احسب قیمة كل مما یأتى فى أبسط صورة ] ١[

)ــ + ( ــ +

٣ــ ٦+ ( ) :فاحسب فى أبسط صورة= ــ ، ع = ، ص = س : إذا كانت ] ٢[

ــ ع ) ص + س ( س ــ ص ص ــ ع : اختر االجابة الصحیحة من بین االجابات المعطاة ] ٣[

] ، ــ ، ١، ــ ١[ ٠٠٠= باقى طرح من

]، ، ، ــ [ ٠٠٠باقى طرح من ــ یساوى

٠٠٠= فإن المعكوس الجمعى للعدد س Ιــ Ι= س : إذا كان

]Ι Ι ـ ، ــ ، ، ـ[ ٠٠٠+ = ٪ ٥٠

] ،١، ١.٢٥، ٪ ٧٥ [ + )ــ ] + ( ب) [ــ + ( صفر ] أ : [ احسب كال مما یأتى ] ٤[ :ب المعكوس الجمعى لكل من األعداد النسبیة األتیة اكت] ٥[

٢.٣، صفر ، ــ ٥.٣٣، ــ ، : باستخدام خواص الجمع فى أوجد فى أبسط صورة ] ٦[

)ــ + + + ( ] ب ] + + [ أ [

٢ ٢ ١ ١ ١ ٥

١ ٤

٢٥ ٨

٣ ١٠

٢ ٤ ١ ٣ ١ ٣

١ ٦

٤ ٣

٤ــ ٣

٤ ٣

١ ٢

٥ ٦

٣ ١ ١٢ ١ ١

١ ٥

٦ ٥

٣ ٥

٧ ١ ١ ٥

٣ ٥

٢ ١٥

١ ١٥

١ ١٠

٥ ٢٠

١١ ٢ ١ ١٥

٤ ٥

٤ ٥

١٢ ١٥

٥ ٤

٤ ٥

٣ ١

٣ ١ ٤

٤ ٧ ١٠

٥ ٦

٣ ٦

٣ ٦

٥ ٦

٣ ٤

٢ ٣

٤ ٥

٣ ٤

٢ ١٣

١١ ١٣

١ ٥

٦ ٥

١٤




) ( ٣٥ )حساب عقلى : ( أكمـــــــــــــــل ] ٧[ ) ] ١٣ــ + ( ١٣+ [ ٠٠٠٠) = ١٣ــ + ( ١٥] أ[ ) ٧+ ٧ــ + ( ٠٠٠٠= ٧+ ١٠ــ ] ب[


٤٢= ٧ــ × ٣ــ × ٢ ١٢ــ = ٣× ٤ــ : احسب قیمة : مثال

= × ، = = = × : فمثال

= ــ × ، ــ = × : فمثال

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : احسب قیمة : مثال

ــ ) = ــ( × ] أ [

ــ) = ــ ( × ) = ٤ــ ( × ٣] ب [

صفر= صفر × = صفر × ــ × ــ ] حـ [

= × : ، عددین نسبیین فإن : إذا كان

أ ب

حـ د

أ ب

حـ× أ د× ب

ضرب عددین نسبیین ) ١(

حـ د

= × : ، عددین نسبیین فإن : إذا كان

أ ب

حـ ب

أ ب

حـ× أ ٢ب

:ضرب عددین نسبیین متحدى المقام

حـ ب

٣ ٤

٢ ٥

٢× ٣ ٥× ٤

٦ ٢٠

٣ ١٠

٤ــ ٣

٢ ٧

٨ــ ٢١

٣ ٤

٥ ٤

١٥ ١٦

٢ ٥

٤ ٥

٨ ٢٥

٣ ٤

٣ ٤

٣ ٤

١ ٢

١ ٥

٣٥

٣٥

٣٥

١٢ ١١

٣ ٤

٢ ٢ ٥

٣ ١ ١٠

١ ٥

١ ٨

٢٥ ٨

٢١ ٥

٥ ١٠٥

٢ ٨ ٣

١ ٦

٢ ١٨




) ( ٣٦

: أوجد ناتج كل مما یأتىى فى أبسط صورة : مثال

) ٠ ≠، ص ٠ ≠س ( × ــ ×

) ٢ــ ( × صفر × :الحل

× = = = :حل أخر

× =

صفر= صفر × = ×

) = ٢ــ ( ×


: أوجد ناتج كل مما یأتى فى أبسط صورة : مثال

× صفر× ٥ــ × × ١

= × = × ١: الحل

× = =١

= = × = × ٥ــ صفر= × صفر

٢ ١ ١١

١٣

٢ ٤

٥ ٨

س٣ ص٧

٧ ٦

ص٧ س٦

١١ ٢ ٤

٥ ٨

٥× ٢ ٨× ٤

١٠ ٣٢

٥ ١٦

٢ ٤

٥ ٤ ٨

١ ٥ ١٦

٣ ١٤ ٤

س٣ ١٢ ص٧

ص٧ س٦١

٢

١

١

١ ٢

٧ ١٣ ٦

٣ ٤ ١ ١ــ ٤٢

٣ــ ٢

مالحظات

.بعد إجراء عملیة الضرب یراعى وضع الناتج فى أبسط صورة -١ .ة لتسھیل عملیة الضرب یفضل وضع األعداد النسبیة فى أبسط صور -٢ عند إجراء عملیة الضرب یمكن اختصار بسط العدد األول مع مقام الثانى -٣

.و بسط الثانى مع مقام األول

١ ١ ١ ٢

٣ــ س٢ ١٢ ٢

ص٨ س ص١٦ ٧ ٣ ١ ٢س٤

١ ٤ ١ ١٠ ٣

١ ١ ١ ٢

٣ــ ٢

٣ ٢

٣ــ ٢

٩ــ ٤

س٢ ٢ ١ ص٨

س ص١٦ ٢س٤

ص ٢س٣٢ ٢ ص ٢س٣٢

٧ ٣ ١ ١٠

٥ــ ١

٧ ١٠

٣٥ــ ١٠

٧ــ ٢

١ ٤ ١ ٣




) ( ٣٧

: ، ، ثالثة أعداد نسبیة : إذا كان

) × ( × = × )× = ( × ×

= × ١= ١× : عددا نسبیا فإن : إذا كان

الواحد فى أى عدد نسبى ال تتغیر قیمة ھذا العدد عند ضرب : أى أنھ

الواحد محاید صربى بالنسبة لعملیة الضرب فى ن : و نقول أن

.حاصل ضرب أى عددین نسبیین ھو عدد نسبى : یجب أن تعلم أن

.ن مغلقة تحت عملیة الضرب : أى أن

= = × ، = = × : مثال

عملیة الضرب ابدالیة فى ن × = × ∴

=× × ) = × ( × = × ) × ( :مثال

فى ن لضربخواص عملیة ا

خاصیة االبدال

أ × = × : ، عددین نسبیین فإن : إذا كان

ب حـ د

أ ب

حـ د

حـ د

أ ب

٣ ٥

٢ ٣

٣ ٥

٢ ٣

٦ ١٥

٦ ١٥

٣ ٥

٢ ٣

٣ ٥

٢ ٣

٢ ٥

٢ ٥

خاصیة الدمج

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

ھـ و

حـ د

ھـ و

٣ ٥

٢ ٣

١ ٢

٣ ٥

٢ ٣

١ ٢

٣ ٥

٢ ٣

١ ٢

١٥

أ ب

وجود العنصر المحاید الضربى

أ ب

أ ب

أ ب

أ ب




) ( ٣٨

.ھو نفسھ ١ھو نفسھ ، المعكوس الضربى للعدد ــ ١المعكوس الضربى للعدد • ) ٠ ≠لیس لھا معنى عندما أ : الن ( ال یوجد معكوس صربى للعدد صفر •

ملحوظة ھامة

عدد لكل عدد نسبى معكوس ضربى ھو ال

)العنصرالمحاید الضربى ( ١= × بحیث

= ١× = × ١: مثال

المعكوس الضربى للعدد ھو و العكس صحیح : فمثال

)المحاید الضربى ( ١( ) = × : الن

المعكوس الضربى للعدد ھو و العكس صحیح

و العكس صحیح ٧المعكوس الضربى للعدد ھو

: باستخدام خواص عملیة الضرب فى ن أوجد ناتج ما یأتى فى أبسط صورة : مثال

٠.٤ × × ×

× × × = × × × ٠.٤: الحل

ابدال و دمج ) × ( × ) ×= (

المعكوس الضربى× ١=

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

أ ب

ب أ

أ ب

ب أ

وجود المعكوس الضربى

٣ ٥

٥ ٣

٣ ٥

٥ ٣

٥ــ ٤

٤ ٥ــ

١ ٧

أ٠

١٥ــ ٧

٥ ٢

٢٨ ٢٥

١٥ــ ٧

٥ ٣

٢٨ ٢٥

٤ ١٠

١٥ــ ٧

٥ ٢

٢٨ ٢٥

٢

٥ ٥ ٢

٢ ٥

١٥ــ ٧

٢٨ ٢٥

٣ــ

٥ ١

٧

٢١ــ ٥




) ( ٣٩

٦× + ٤× : استخدم خاصیة التوزیع إلیجاد قیمة : مثال

٦= = ١٠× ) = ٦+ ٤( × = ٦× + ٤× : الحل : استخدم خاصیة التوزیع فى تسھیل إیجاد الناتج : مثال

]١ [ × + × +×

٢× ــ ٩× + ٥× ] ٢[

]٣ [ × + ×

]٧× ] ٤ +

:الحل

خاصیة التوزیع

:إذا كان ، ، ثالثة أعداد نسبیة فإن

: عملیة الضرب تتوزع على الجمع ) ١(

الضرب من الیمین× + × ( + ) = × :عملیة الضرب تتوزع على الطرح ) ٢(

الضرب من الیمین× ــ × ) = ــ ( ×

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

أ ب

ھـ و

أ ب

حـ د

ھـ و

أ ب

حـ د

أ ب

ھـ و

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

٣ ٥

٢

١

٦ ١

١ ٣

١ ٣

١ ٣

٤ ٥

٣ ٤

٣ ٤

٣ ٤

٦ ١٥

٢ ١٥

٢ ٣

٢ــ ٥

٢ــ ٥

١ــ ٣

٥ــ ٦

٥ ٦

]١[

]٣[ ]٢[

]٤[




) ( ٤٠


:ــــــــــل أكم] ٢[

]٣[

]أ [ ] ب[ ] حـ[

)الحساب العقلى (




) ( ٤١

) ÷ ( ÷ ) ــ ] ( أ : [ الحل

÷ ) = × ( ÷ ) ــ = (

= × =

÷+ ) ــ =( ÷ ) ١.٢+ ــ ] ( ب [

= × = × + ) ــ = ( ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: احسب قیمة كل مما یأتى مع وضع الناتج فى أبسط صورة : مثال

)ــ ( × ) ÷ ــ ] ( ب) [٣ــ ( ÷ ٢ــ ] أ[

÷ ] ( + ) حـ[

= ــ × ــ ) = ــ ( ÷ ــ ] أ[

= )ــ ( × × ــ ]ب[

= × = × ) = ( + ÷ ] ( + ) حـ[

. ن القسمة على الصفر غیر ممكنة فى ملحوظة .ولذلك فإن مجموعة األعداد النسبیة لیست مغلقة فى القسمة

٣ ٧

٥ ٣

١٣ ٧

٣ــ ٢

٩ ٢١

٣٥ ٢١

١٣ ٧

٢ــ ٣

٢٤ــ ٢١

٢٦ــ ٢١

٢٤ــ ٢١

٢١ ٢٦ــ

١٢ ١٣

٣ ٤

١١ ٨

١٥ ٤

١٢ ١٠

٣ ٤

١١ ٨

١٥ ٤

٤ ٣

٥٥ ٤٠

١٥٠ ٤٠

١٢٠ ٤٠

٢٥ ٤٠

٤ ٣

٥ ٦

١ ٥

١ ٢

٤ ٩

٢ ٣

٥ ٩

١٨ ٥

٩ ٢٥

٣ ٧

١١ ٥

١١ ٥

٧ ٦

٦ ٧

٦٦ ٣٥

١٨ ٥

٢٥ ٩

٣ ٧

٥ ٢

١

٣٠ ٧

٤ ٩

٢ ٣

٥ ٩

٤ ٩

٦ ٩

٩ ٦

١٠ ٩

٩ ٦

٥

٣

٥ ٣




) ( ٤٢ : احسب قیمة كل مما یأتى مع وضع الناتج فى أبسط صورة ] ١[

)ــ ( ÷ ١٤ــ ] حـ[÷ صفر ] ب[÷ ] أ[ :احسب قیمة كل مما یأتى مع وصع الناتج فى أبسط صورة ] ٢[

) ١ــ ( ÷ ٢] حـ) [ ١٥ــ ( ÷ ٦] ب[ ٥ ÷ ٢ــ ] أ[ : احسب قیمة كل مما یأتى مع وضع الناتج فى أبسط صورة ] ٣[

٦÷ ) ٤× ١ــ ] ( ب) [ــ ( × ) ÷ ــ ] ( أ[

)ــ ( ÷ ) ] ــ (×ــ ] [ د[ ١÷ ) ــ ] ( حـ[ فأوجد فى أبسط صورة القیمة ٢ــ = ــ ، ع = ، ص = إذا كان س ] ٤[

] ب) [ص ــ ع ( ÷ ) ع + س ] ( أ[العددیة لكل من

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٤ ٥

٣ ٧

٣ ٥

٤ ٧

١ ٥

١ ٢

١ ٤

١١ ١٥

٣ ٥

١٨ ٥

٩ ٣٥

٣ ٧

٢ ٣

٢ ٣

١ ٩

٣ ٧

٢ ٣

٢ ٥

١٢ ٢٥

٥ ٧

٩ ١٤

٢ ٣

١ ٤

ص+ س ع




) ( ٤٣

:أن تذكر

: احسب قیمة كل مما یأتى : مثال

١٢٥× ٤٩٢٠] حـ[ ٦٤× ٠.١٤٥] ب[ ٤٤× ٠.٥٥] أ[ × ١] و[ ١٢× ١٢٤] ھـ[ ٥÷ ٧٣٢٥] د[

٢٢= ٤٤× = ٤٤× ٠.٥ن إذا كا ] أ: [الحل

،٢.٢= ٠.٤٤× = ٠.٤٤× ٥= ٤٤× ٠.٠٥ ٢٤.٢= ٢.٢+ ٢٢= ٤٤× ٠.٥٥فإن

١.٢٨= ٦٤× ٠.٠٢، ٨= ٦٤× = ٦٤× ٠.١٢٥إذا كان ] ب[

١.٣= ١.٢٨+ ٠.٠٢= ٦٤× ٠.١٢٥فإن

× ٤٩٢٠= ١٢٥× ٤٩٢٠فإن = ١٢٥إذا كان ] حـ[ =٦١٥٠٠٠

١٤٨٧= × ٧٤٣٥= ٥÷ ٧٣٢٥فإن = ٥إذا كان ] د[

١٢× ≈ ١٢× ≈ ١٢× ١٢٥ ≈ ١٢× ١٢٤] ھـ[

≈ ١٥٠٠

١.٥= ١= × ١= × ١] و[

الحساب العقلى

١ ٥

٣ ١٠

١ ٢

١٠ ٢

١ ٨

١٠٠٠ ٨

١٠٠٠ ٨

١٠ ٢

٢ ١٠

١٠٠٠ ٨

٥٠٠ ٤

٢ ١٠

٣ ١٠

٥ ١٠

استخدم

١ ٥

٣ ١٠




) ( ٤٤

، بین أوجد عددا نسبیا یقع فى منتصف المسافة: مثال :نفرض العدد المطلوب ھو ل : الحل ) = ( + ) = ( + )ص + س = ( ل

= × =

ملحوظة ھامھ

یقع بینھما إذا كان س ، ص عددین نسبین معلومین ، ل عددا نسبیا : و المطلوب تحدید قیمة العدد ل فإننا نتبع الجدول اآلتى

إذا كان ل یقع فى

القانون المتبع

نصف المسافة بین س ، ص

)ص + س = ( ل

أو )ص ــ س + ( س = ل

ربع المسافة بین س ، ص

)ص ــ س + ( س = ل أو )س ــ ص ( + ص = ل

ثلث المسافة بین س ، ص

)ص ــ س + ( س = ل أو )س ــ ص + ( ص = ل

خمس المسافة بین س ، ص

)ص ــ س + ( س = ل أو )س ــ ص + ( ص = ل

و ھكــــــــــذا

١ ٢

١ ٢

١ ٤ ١ ٤

١ ٣ ١ ٣

١ ٥ ١ ٥

١ ٤

١ ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٤

١ ٢

٢ ٤

١ ٤

١ ٢

٣ ٤

٣ ٨




) ( ٤٥

: أوجد عددا نسبیا یقع فى منتصف المسافة بین : مثال

٥، ــ ٤ــ ] حـ[ ، ــ] ب[ ، ] أ[

:نفرض العدد المطلوب ھو ل : الحل ) + ) = ( + ) = ( ص + س = ( ل ] أ[

= × = = × = × ) = ــ = ( ل ] ب[ ) ٥ــ ٤ــ ) = ( ٥ــ ٤ــ = ( ل ] حـ[

٥ــ = ٩ــ × =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١، : أوجد عددا نسبیا یقع فى ثلث المسافة بین : مثال :نفرض العدد المطلوب ھو ل : الحل

)ــ ١) = + ( ص ــ س + ( س = ل

)ــ + ( ) = ــ ( = +

+ = × = + = + =

)١ــ + ( ١) = س ــ ص + ( ص = أو ل

)ــ ) = + ( ــ = + (

= = ــ = ــ = × = +

فذكر الحلین كما سبق ٠٠٠إذا طلب العدد فى ثلث أو ربع أو : ملحوظة

١ ٢

١ ٢

٣ ٨

٤ ٩

١ ٢

١ ٢

٣ ٨

٤ ٩

٢٧ ٧٢

٣٢ ٧٢

٥٩ ٧٢

٥٩ ١٤٤

٣ ٥

٥ ٦

أ٤٩

أ٩

أ٤٩

أ٩

١ ٢

١ ٢

أ٣٩

١ ٢

أ٣

أ٦

١ ٢

١ ٢

١ ٢

٣ ٥

٥ ٦

١٨ ٣٠

٢٥ ٣٠

٤٣ ٣٠

١٣ ٦٠

٤ ٧

٣ ٤

١ ٣

٤ ٧

١ ٣

٣ ٤

٤ ٧

٤ ٧

١ ٣

٧ ٤

٤ ٧

٤ ٧

١ ٣

٤٩ ٢٨

١٦ ٢٨

٤ ٧

١ ٣

٣٣ ٢٨

٤ ٧

١١ ٢٨

١٦ ٢٨

١١ ٢٨

٢٧ ٢٨

٧ ٤

١ ٣

٤ ٧

٧ ٤

٧ ٤

١ ٣

١٦ ٢٨

٤٩ ٢٨

٧ ٤

١ ٣

٣٣ــ٢٨

٧ ٤

١١ ٢٨

٤٩ ٢٨

١١ ٢٨

٣٨ ٢٨

١ ٣

١ ٣

٤ ٧

٣ ٤

٣ ٤

١٩ ١٤




) ( ٤٦

]٢[

: تى استخدم الحساب العقلى فى إیجاد قیمة كل مما یأ] ١[

١٢٥÷ ١١٢] حـ[ ٢٥٦× ٠.٠٩] ب[ ٩٩× ٧] أ[

٥× ٣١٢٨] و[ ٤÷ ٢] ھـ[ ١٢١× ٢٤] د[ : أوجد عددا نسبیا یقع فى منتصف المسافة بین ] ٣[

٨ ، ٤ــ ] حـ[، ــ ــ ] ب[ ، ] أ[

ــ ، ــ : أوجد عددا نسبیا یقع فى ربع المسافة بین ] ٤[

ــ ، ــ : أوجد عددا نسبیا یقع فى خمس المسافة بین ] ٥[ ــ ، ــ : أوجد عددا نسبیا یقع بین ] ٦[

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :نسبى بین ، أوجد عدد : مثال

= ، = ∴ ١٢= أ للمقامین . م . م : الحل

∴ > > > > >

∴ > > > > >

نختار أى عدد من بین األعداد و لیكن العدد ھو

٥ ٦

٧ ١١

٣ ٤

١١ ٩

١٣ ٣٥

٣ ٧

١ ٣

١ ٩

٧ ٨

٢ ٣

٢ ٥

١ ٣

٣ ٤

٤ ١٢

٨ ١٢

٩ ١٢

١ ٣

٣ ٤

٤ ١٢

٩ ١٢

٥ ١٢

٦ ١٢

٧ ١٢

٢ ٣

٥ ١٢

١ ٢

٧ ١٢

١ ٣

٣ ٤ ٥ ١٢

١ ٥

١ ٩

تذكرة لما سبق




) ( ٤٧




) ( ٤٨

٣

٤

٥




) ( ٤٩

٦

٧

٨

٩




) ( ٥٠

ھدیة مجانیة خاصة بالمجموعات المدرسیة




) ( ٥١

ا لحدود و ا لمقادیر ا لجبریة .رب عاملین أو أكثر حاصل ضیتكون من : ا لحد الجبري **

.]) رمز یكون( جبرى و عامل) عدد یكون(الحد معامل یسمى [عامل عددى

الحدعوامل عدد عوامل الحد معامل ا لحد ا لحد ا لجبري ٣ س ، ص ٥ س ص ٥

٢ ب ، ١ ١ ب ٤ ، س ، س ، ص ٦ ٦ ص ٢س ٦ ٥ حـ، أ ، ب ، ب، ٤ــ ٤ــ حـ ٢أ ب ٤ــ

١ ٨ــ ٨ــ ٨ــ

. لحد لرموز الھي مجموع أسس : درجة ا لحد ا لجبري**

حـ ٢أ ب٥ ٤م ٨ ٢ص٣س ٢أ ب ٢ ٩ــ س ٧ ا لحد ا لجبري الرابعة ابعةالر الخامسة الثالثة صفر األولى درجة الحد

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أكتب معامل و درجة كل حد من حدود ا لمقدار ا لجبري : مثال

٩ــ س ٧+ ٢س ٥ــ ٣س٢ :ا لحل

درجة ا لحد معامل ا لحد ا لحد ا لحبري ٣س ٢ ٢س ٥ــ س ٧

٩ــ

٢ ٥ــ ٧ ٩ــ

ا لثالثة ا لثانیة االولى صفر

و لذلك تكون درجتھ الصفر ١= ٠ألن س ٠س ٩یمكن كتابتھ ــ ٩ا لحد ــ : ملحوظة

)لجبري لعامل األنھ ال یحتوي علي ا( ق با لحد ا لمطل و یسمى ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أو ــ + ھو ما تكون من حدین أو أكثر بینھما : ا لمقدار ا لجبري** ب مقدار مكون من حدین ٥+ أ : مثال

مقدار مكون من ثالث حدود ٢+ ــ ص ٢س ٤ ٠٠٠٠٠و ھكذا مقدار مكون من أربعة حدود حـ ١١+ س ــ ص ٩+ ب ٧

.ھي أعلي درجة لحدود ا لمقدار : درجة ا لمقدار ا لجبري**




) ( ٥٢م ن ا ٤+س ص ٢+ ٣ا لمق دار س: م ثال لدرجة ا لثالثة

س ص من الدرجة ا لثانیة ٢ة و الحد من الدرجة ا لثالث ٣ن ا لحد سأل .فیكون أعلي للمقدار ھي درجة ا لثالثة من الدرجة صفر ٤والحد

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :تصاعدى ، تنازلیا ار األتي حسب أسس ا لرمز سرتب حدود ا لمقد: مثال

٢ص٢س+ ٤س ص ٧ص ــ ٤س ٣+ ٢ص ٣س ١٢ :ا لترتیب التصاعدي : ا لحل

ص ٤س ٣+ ٢ص ٣س ١٢+ ٢ص ٢س+ ٤س ص ٧ــ :ا لترتیب ا لتنازلي ٢س ص ٧ــ ٢ص٢س+ ٢ص٣س ١٢+ ص ٤س ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

.ھي ا لحدود ا لتي لھا نفس ا لرموز و األسس : لحدود ا لجبریة ا لمتشابھةا ** أ حدود متشابھة ٥أ ، ــ ٨أ ، ٢: مثال

س ص حدود متشابھة ٣س ص ، ٧ س ص ، . ھي حدود لیس لھا نفس ا لرموز و األسس : ا لحدود غیر ا لمتشابھة** )مختلفة فى الرموز ( حـ حدود غیر متشابھة ٣ب ، ٣أ ، ٣: مثال

)مختلفة فى االسس ( حدود غیر متشابھة ٢ص ، س ص ٣س ص ، س ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: جــمـع ا لحدود ا لمتشابھة

مجم وع ع دة ح دود جبری ة متش ابھة یس اوي ح د مش ابھ لھ ا معامل ھ یس اوي مجم وع :قاع دة .معامالت ھذه ا لحدود

س ٧= س ٤+ س ٣: مثال

أ ب ٦= أ ب + أ ب ٥ ٢حـ ٢٥= ٢حـ ٥+ ٢حـ ٢+ ٢حـ ١٨

ال یمكن جمع ا لحدود غیر ا لمتشابھة : ملحوظة س ص ≠ص + أ ، س ٥ ≠ ب ٢+ أ ٣: مثال : طــرح ا لحدود ا لمتشابھة

صفر= ب ، ص ــ ص ٦= ب ــ ب ٧س ، ٣= س ٥س ــ ٨ لمتشابھة ال یمكن طرح الحدود غیر ا: ملحوظة أ ب ٢ ≠ب ٣أ ــ ٥س ص ، ٥ ≠ص ٣س ــ ٨: مثال

٢س ٢، ٢س ٧، ــ ٢س ٥، ٢س ٣: أجمع ا لحدود ا لجبریة اآلتیة : مثال : الحل ٢س ٢) + ٢س ٧ــ + ( ٢س ٥+ ٢س ٣= حاصل ا لجمع

٢س ٣= ٢س) ٢+ ٧ــ ٥+ ٣ = (




) ( ٥٣

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ب ٢أ ٢ب من ــ ٢أ ٨اطرح : مثال : الحل نھ ــ ا لمطروح المطروح م= باقي الطرح

ب ٢أ ١٠ــ = ب ٢أ ٨ب ــ ٢أ ٢ــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

س ٢ــ س من ٥أ وجد باقي طرح : مثال : الحل س ٧ــ = س ٥س ـــ ٢ــ = باقي ا لطرح

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ص ٥ص من ٨اطرح ــ : مثال

) ص ٨ــ ( ص ــ ٥= ي ا لطرح باق: لحلا ص ١٣= ص ٨+ ص ٥=

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ب من صفر ٨اطرح : مثال

ب ٨ــ = ب ٨صفر ــ = باقي ا لطرح : لحلا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

سؤا ل للتفكیر :ود ا لجبریة اآلتیة اكتب معامل و درجة كل حد من ا لحد] ١[

٧ــ ) ھـ( ٢ص س ٢) د(ص ٣س ٣ــ ) حـ( ٢س ٧) ب(س ٧) أ( : اجمع ا لحدود ا لجبریة اآلتیة ] ٢[

م ٥م ، ٦م ، ــ ٢) حـ(س ٣س ، ــ ٤) ب(أ ٥أ ، ٢) أ( : أ وجد باقي طرح كل مما یأتي ] ٣[

م ن ٣م ن من ــ ٢) حـ(ص ٢س ٤ص من ٢س ٣ــ ) ب(أ ٧أ من ــ ٣) أ( : وجد معامل و درجة كل حد من حدود ا لمقدار أ] ٤[

٣ن ٧ــ ٢ن ٢م ٥+ م ن ٣ــ ٣م ثم رتب ا لمقدار تنازلیا حسب أسس ا لرمز م ثم تنازلیا حسب ا لرمز ن :أكمل ما یأتي ] ٥[ ٠٠٠٠٠٠من ا لدرجة ٣م ٥و ا لحد ٠٠٠٠٠٠س ص من الدرجة ٦ا لحد ٠٠٠٠٠٠٠و الحد أ ب حـ من ا لدرجة ٠٠٠٠٠من الدرجة ٨ا لحد ٠٠٠٠من الدرجة ١+ب ٤، ٠٠٠٠٠٠ص من ا لدرجة ٤+ ا لمقدار س ٠٠٠٠٠٠من الدرجة ٢ص ٥ص ــ ٢س ٤+ س ٨ا لمقدار




) ( ٥٤ ٢+ ھـ ٣م ٥: رتب حدود المقدار ]٦[ ٢ھـ ٢م ٧+ ٣ــ ھـ ٤م ھـ

حسب أسس الرمز م تصاعدي مرة و حسب أسس الرمز ھـ مرة أخرى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

)اختصاره ( تبسیط ا لمقدار ا لجبري

. ھو إزالة األقواس ا لداخلیة ثم ا لخارجیة ثم نجمع أو نطرح ا لحدود ا لمتشابھة اختصر ال بسط صورة :مثال

أ ٩أ ــ ٧+أ ــ أ ٤أ ــ ٣ :لحل ا

خاصیة ا لتوزیع أ ) ٩ــ ١ــ ٤ــ ٧+ ٣= ( أ ) ٩ــ ٧+ ١ــ ٤ــ ٣( أ ٤ــ = أ ) ١٤ــ ١٠= (

]مختصرة [ أ ٤ــ = أ ٩أ ــ ٧+أ ــ أ ٤أ ــ ٣: حل أخر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

س ٣+ ص ٢س ــ + ص ٥+ س ٨اختصر : مثال إبدال و دمج ) ص ٢ص ــ ٥) + ( س ٣+ س + س ٨( :ا لحل

ص ٣+ س ١٢= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:اكتب كال من المقادیر الجبریة اآلتیة التى تعبر عن مساحات المستطیالت : مثال

١٠+ س ١٥= ٦+ ٤+ س ٩+ س ٦= مجموع المساحات ) : ١(فى الشكل : الحل ٦+ س ٢+ س ١٥+ ٢س ٥= مجموع المساحات ) : ٢(الشكل فى

٦+ س ١٧+ ٢س ٥= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:اختصر كال من المقادیر الجبریة اآلتیة سؤال للتفكیر حـ + ب ٥أ ــ ٤ب ــ ٥+ أ ٧ ]أ [ ء ٤حـ ــ ١٣ء ــ ١١+ حـ ٨ ]ب[ ن ٩+ ن ١٧م ــ ١١+ ن ٤م ــ ١٩] حـ[

١س ــ ٦ ــ ٢س ٧ــ ٤+ ٢س ٣س ــ ٥ ]د[ :ضرب الحدود الجبریة و قسمتھا

: ضرب حد جبري في حد جبري :الضرب الحدود قاعدة نضرب معامالت الحدود معا )١(

٢

٣

س ٦ س

)٢(الشكل

س ٣٢

٢

٣

س ٣

٣

٢

)١(الشكل

س ٥ ٢ س

س ٥ ٢

٣

س ٢ س ٩

٤

٦

٢س ٥

٦ س١٥




) ( ٥٥نضرب األساسان المتحدة بجمع )٢( أسسھا

أ ب ٦ــ = ب ٢× أ ٣، ــ ٢أ ١٥= أ ٥× أ ٣: مثال أ حـ ٣٠ــ = حـ ٣× أ ٢ــ × ٥، ٣س ٥٦= ٢س ٨ــ × س ٧ــ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد ناتج ما یاتي

ص ع ٢س ١٨= س ع ٢× س ص ٩ )١( ٢ب ٣أ ١٢= أ ٣× ٢ب ٢أ ٤= أ ٣× ٢)أ ب ٢( )٢( س ص ع ١٨= ع × ص ٣× س ٦ )٣(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :ملحوظة

.عند ضرب اإلساسات ا لمتساویة نجمع االسس ط Эحیث م ، ن ن + م س= نس× م س ٧)٥- = ( ٤)٥-(× ٣)٥-(، ٩ ٣= ٢ ٣× ٧ ٣، ٦+ ٤س= ٦س× ٤س: مثال

: ملحوظة ھامة ٣٢= ٥) ٢-(، ١٢٥ -= ٣) ٥-( :مثال حیث ن عدد فردى نأ -= ن )أ -( ٦٤= ٦)٢-(، ٢٥= ٢) ٥- ( :مثال حیث ن عدد زوجى ن أ= ن )أ -( ١= صفر ٩، ١= صفر )٧-( :مثال ) ١= صفر أى عدد أس صفر عدا(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : أوجد قیمة مایاتى : مثال

)٧٢= ٩× ٨= ٢ ٣× ٣ ٢) ١ )١٠٠= ٢٤٣ - ٣٤٣= ٥ ٣ - ٣ ٧) ٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :وجد قیمة كل ممایاتى أ ٣= ، ع ٢ - = ، ص ٥= انت س ذا كإ: مثال

ع )ص+ س ) ( ٤( سص+ عس) ٣( ٣ص+ ٣س) ٢(س ٣+ ٢ص) ١( :ا لحل

١٩= ١٥+ ٤= ٥× ٣+ ٢)٢- = (س ٣+ ٢ص )١( ١١٧) = ٨ -+ ( ١٢٥= ٣)٢-+ ( ٣)٥= ( ٣ص+ ٣س )٢( ٨ ٣) = ٣٢ -+ ( ١٢٥= ٥)٢-+ ( ٣)٥= ( سص+ عس )٣( ٢٧= ٣)٣= ( ٣))٢-+ ( ٥= ( ع )ص + س ( )٤(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س سم و عرضھ ص سم أوجد مساحة سطحھ ٣مستطیل طولھ : مثال

: الحل ٢سمس ص ٣= ص ×س ٣= العرض × الطول = تطیل مساحة المس

: جبرى على حد آخر حدقسمة قاعدة

تعني العدد الذي إذا ضرب في ب كان الناتج أ ) أو ( ب ÷ أ ٢س= ٣س÷ ٥، س ١= ٤ــ ÷ ٤، ــ ٣ــ = ٢÷ ٦، ــ ٤= ٢÷ ٨ ١= س ٧÷ س ٧، ٤ــ = ٥ب ٢÷ ٥ب ٨، ــ ٢س ٣= ٢س ٥÷ ٦س ١٥

أ ب




) ( ٥٦عند قسمة االساسات ا لمتساویة : ملحوظة .نطرح االسس

ن > صفر ، م ≠، أ ن -م أ = ن أ ÷ مأ ٢س= ٥- ٧س= ٥س÷ ٧مثال س

ن = م ما یكون عند ١= صفرس= نس÷ مس: حالة خاصة ١= ٥)٣-(÷ ٥)٣- (، ١= ٤ ٧÷ ٤ ٧مثال

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : أوجد خارج قسمة : مثال

٤ص ٤س ١٥ــ س ص ٥= = ٣ص ٣س ٣ــ ÷ ٤ص ٤س ١٥ــ ) ١(

٣ص ٣س ٣ــ

٢أ ب حـ ١٨ ب حـ ٣ــ = = أ حـ ٦ــ ÷ ٢أ ب حـ ١٨) ٢(

أ حـ ٦ــ ٢حـ ٢ب٢أ ٢٥

أ ب حـ = = أ ب حـ ٢٥÷ ٢حـ ٢ب٢أ ٢٥) ٣( أ ب حـ ٢٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ صفر= ٧÷ مثال صفر . قسمة على الصفر ال یجوز ا ل: ملحوظة .لیس لھا معنى = صفر ÷ ٧و لكن

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٦س× ٨س

٣=ثم أ وجدا لقیمةا لعددیة للناتج عند س : إختصر البسط صورة : مثال ٧س× ٥س

:ا لحل ١٤س ٦س× ٨س

٩= ٢)٣= ( ٢س= = ١٢س ٧س× ٥س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) ٨ ٣× ٣( ÷ ) ٨ ٣× ٤ ٣: ( إختصر البسط صورة

٢٧= ٣ ٣= ٩ ٣÷ ١٢ ٣) = ٨ ٣× ٣( ÷ ) ٨ ٣× ٤ ٣: ( الحل

٦)٣( ٥)٢( - ٦)٣( ٥)٢ -: (مثال + = + : د قیمة أ وج

)٤)٣( ٢)٢( ٤)٣ -( ٢)٢

=- )٢)٣+ ( ٣)٢ = - ١= ٩+ ٨




) ( ٥٧

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :سؤال للتفكیر

:س إختر االجابة ا لصحیحة من بین االقوا: ١مثال )، س ٧، س ١٢س( ٠٠٠٠٠= ٣س× ٤س )١( ) ١١، س ١٠، س ٩س( ٠٠٠٠٠= ٢س× س × ٧س )٢()١٧، ٥ ٥، ٥ ٦( ٠٠٠٠٠= ٣ ٢+ ٢ ٣ )٣ ( ) ٤ -، ١صفر ، ( ٠٠٠٠٠= صفر )٤ -( )٤()٢٠)٢-(، ٩)٢-(، ٢ -( ٠٠٠٠= ٥)٢ -(× ٤)٢-( )٥ (

:إختر االجابة ا لصحیحة من بین االقوا س : ٢مثال ) ٢، ص ٤، ص ٣ص( ٠٠٠٠= ٤ص÷ ٦ص) ١( )٤ ٦، ٤ ٩، ٩، ٢٧( ٠٠٠٠= ٣÷ ٤ ٣) ٢ ( ) ١٠٤، س ٥، س ٢١س( ٠٠٠٠= ٨س÷ ١٣س) ٣( )١٢٥ -، ٢٥، ٥ -( ٠٠٠٠= ٦)٥ -(÷ ٨)٥ -( )٥ (

٢ص× ٤ص ٢ -= ثم أ وجد قیمة الناتج عندما ص : إختصر ) ٣(

٣ص ] ٧)٤ -(× ٤)٣[ (÷ ] ٨)٤(× ٥)٣-: [ (أ وجد قیمة ) ٤( :فأ وجد ا لقیمة ا لعددیة للمقدار ٣= ، حـ ٢= ، ب ١-= إ ذا كانت أ ) ٥(

٢حـ+ ٤ب+ ٥أ . و محیطھ أ أوجد مساحتھ ٤ب سم و عرضة ٥مستطیل طولھ ) ٦( ب ٢أ ٩ ٣أ ١٨ أ ٤: + + أوجد ناتج ) ٧(

أ ب ٣ ٢أ ٩ : جـــمع ا لمـقادیـر ا لـجـبریة :أوجد حاصل جمع المقادیر اآلتیة ) ١(

ب ــ حـ ٢أ ــ ٣ب ــ حـ ، ٣+ أ ٥ : الحل : الطریقة األفقیة )ب ــ حـ ٢أ ــ ٣) + ( ب ــ حـ ٣+ أ ٥= ( حاصل ا لجمع




) ( ٥٨

) ــ حـ ــ حـ ) + ( ب ٢ب ــ ٣) + ( أ ٣+ أ ٥= (

حـ ٢ب ــ + أ ٨= :الطریقة الرأسیة تیب وضع الحدود المتشابھة تحت بعضھا یجب تر

ب ــ حـ ٣+ أ ٥ ب ــ حـ ٢أ ــ ٣

حـ ٢ب ــ + أ ٨

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :اجمع المقادیر اآلتیة )٢(

٢م ٢ــ ٤م+ ٥، ٤م ٧ــ ٢ــ ٢م ١٣، ٤م ١١+ ٢ــ م ٧ یجب ترتیب الحدود تصاعدي أو تنازلي حسب أس الرمز: الحل

٤م ١١+ ٢ــ م ٧ ٤م ٧ــ ٢م ١٣+ ٢ ــ

٤م+ ٢م ٢ــ ٥ ٤م ٥+ ٢م ١٠+ ١٠

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد ناتج جمع المقادیر اآلتیة ) ٣(

٢ب٢أ ٦ــ ٣، ب ٣ــ أ ٢ب٢أ ٥، ٣ــ ب ٢ب٢أ ٢+ ٣أ ١ــ = ، ب ٢= ثم أوجد ا لقیمة ا لعددیة للناتج إذا كانت أ

٣ــ ب ٢ب٢أ ٢+ ٣أ: الحل ٢ب٢أ ٥+ ٣ــ أ

٣ب+ ٢ب٢أ ٦ــ

٢ب٢أ

٤= ١× ٤= ٢)١ــ (× ٢)٢= ( ٢ب٢أ= الناتج ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:أوجد مجموع المقادیر اآلتیة ) ٤( ص ، س ص ــ س ٦س ــ ٤ص ، ٧+س ٢س ص ــ ٣

ص ٧+ س ٢س ص ــ ٣: الحل

ص ٦س ــ ٤ ســ س ص

ص + س + س ص ٤

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ




) ( ٥٩ :آلتیة اجمع المقادیر الجبریة ا )٣(

٢أ ٢ــ ٥أ ــ ٧، ٢+ أ ٦ــ ٢أ ٣، ٢أ+ أ ٤ــ ٦ :الحل

٢أ+ أ ٤ــ ٦ ٢أ ٣+ أ ٦ــ ٢

٢أ ٢أ ــ ٧+ ٥ــ

٢أ ٢+ أ ٣ــ ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

سؤال للتفكیر

:اجمع المقادیر الجبریة اآلتیة ] ١[

ص + س ٣، ــ ٥+ ص ٥س ــ ٢، ٥ص ــ ٥+ س :قادیر الجبریة اآلتیة اجمع الم] ٢[

٤ــ ٢س ٢+ س ٥س ، ٢+ ٢س ١١ــ ٣س ٢، ٥+ ٣س ٣س ــ ٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: ـادیـر الجبریةطــرح المقـ :تنبیھ س ٦س ــ ٤س ــ س ٥ س ٥س ٣ــ س ــ س ٣ س س ــ س ٢س ــ ٨

: عبارات تدل علي عملیة الطرح**

ا لمطروح منھ وحا لمطر العبارات الدالة علي الطرح ص س ا طرح س من ص ص س ما ینقصھ س عن ص

ص س إضافتھ إلى س لیكون الناتج ص الذي یجب ما المقدار س ص ما زیادة س عن ص

ب ٣أ ــ ٧ب من ٥+ أ ٧أطرح : ١مثال :الحل قة الرأسیةالطری :الطریقة األفقیة

ب ٣أ ــ ٧المطروح منھ المطروح منھ ــ المطروح = باقي الطرح ب ٥+ أ ٧المطروح )ب ٥+ أ ٧( ــ ) ب ٣أ ــ ٧= ( ب ٥أ ــ ٧ب ــ ٣أ ــ ٧= ب ٨ــ ٠ ب ٨ــ =

ــ ــ




) ( ٦٠

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣س ــ ٢+ ٢س ٣عن ١س ــ ٥ــ ٢ما زیادة س: ٢مثال

: الحل

١س ــ ٥ ــ ٢المطروح منھ س ٣س ــ ٢+ ٢س ٣المطروح

٢+ س ٧ــ ٢س ٢ــ= باقي الطرح

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ لیكون ٢س ٣ــ ٥+ س ٢ما المقدار الذي یجب إضافتھ إلى : ٣مثال

ــ س ٢س+ ٦الناتج مساویا :الحل

٦+ ــ س ٢المطروح منھ س ٥+ س ٢+ ٢س ٣المطروح ــ

١+ س ٣ــ ٢س ٤= المقدار ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تفكیر سؤال لل ٣+ س ــ ص ٥من ١ص ــ ٢+ س ٤اطرح ) ١( حـ ٧ب ــ ٣أ ــ ٤حـ عن + ب ٥أ ــ ٣ما زیادة ) ٢(

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ضرب حد في مقدار جبري

عند ضرب حد في مقدار نضرب ھذا الحد في كل حد من حدود المقدار الجبري ع ٣× س ٩+ ص ٢× س ٩) = ع ٣+ ص ٢( × س ٩: مثال

س ع ٢٧+ س ص ١٨= ب ٢أ ٦+ ٣أ ٥) = ب ٦+ أ ٥( ٢، أ

٧ك ــ ٣ــ ٢ك ٢ ٥ــ ص ــ ٢ص ٢ ك ٣ــ × ص ٢×

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ك ٢١+ ٢ك ٩+ ٣ك ٦ص ــ ١٠ــ ٢ص ٢ــ ٣ص ٤

أ ب أوجد القیمة العددیة ٣+ ٢أ ٤ب في ٢أ ٢: أوجد ناتج ما یأتي : مثال

١ــ = ، ب ٣= للناتج إذا كانت أ ٢ب ٣أ ٦+ ب ٤أ ٨) = أ ب ٣+ ٢أ ٤(ب ٢أ ٢: الحل

٢)١ــ( × ٣ ٣× ٦) + ١ــ( × ٤ ٣× ٨ = ١× ٢٧× ٦) + ١ــ ( × ٨١× ٨= ٥٨٤ــ = ١٦٢+ ٦٤٨ــ =

. ص سم و عرضھ ص سم أوجد مساحة سطحھ+ س ٣مستطیل طولھ : مثال

ــ ــ +

ــ ــ +




) ( ٦١ : الحل

)ص + س ٣( ص = العرض × الطول = مساحة المستطیل ٢ص+ س ص ٣=


سؤال للتفكیر :أكمل ما یأتي ] ١[ )٠٠٠٠٠٠+ ٠٠٠٠٠٠) = ب ٧+ أ ٣( أ ٥ )١ ص ٢س ١٢ــ ٠٠٠٠) = ٠٠٠س ــ ( ٢س ٢) ٢ ٢أ ب١ ٤+ ب ٢أ ٣٥) = ٠٠٠ــ ٠٠٠( أ ب ٧) ٣ ٠٠٠٠+ ص ٢س ٢٧) = ص ٢+ ٠٠٠( س ص ٩) ٤ .س مقسم إلى جزأین ٢+ الشكل المقابل مستطیل بعداه س ، ص] ٢[ .أوجد مجموع مساحتى الجزأین ) أ( .أوجد حاصل ضرب بعدى المستطیل ) ب( ) .ب ( ، ) أ ( قارن االجابات فى ) حـ(

ما الخاصیة المستخدمة التى یوضحھا الشكل ؟ .أ أوجد مساحتھ ٤ب سم و عرضة + أ ٥مستطیل طولھ ] ٣[

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: ضرب المقادیر الجبریة : فى مقدار جبرى آخر ة من حدینضرب المقادیر المكون • ٢س ــ ٥في ٣+ س ٢أضرب : مثال

:الطریقة الراسیة ) ٢س ــ ٥) ( ٣+ س ٢: ( الطریفة األفقیة ٣+ س ٢ ) ٢س ــ ٥( ٣) + ٢س ــ ٥( س ٢= ٢س ــ ٥ ٦+ س ١٥+ س ٤ــ ٢س ١٠=

س ١٥+ ٢س ١٠ ٦+ س ١١+ ٢س ١٠=

٦+س ٤ ــ ٦+س ١١ + ٢س ١٠

:كثر من حدین ضرب المقادیر المكونة من أ • ٢) ١+ ب ٢أ ــ ٣( أوجد مفكوك : مثال

: الحل ١+ ب ٢أ ــ ٣ ١+ ب ٢أ ــ ٣ أ ٣+ أ ب ٦ــ ٢أ ٩

س ٢

س ص




) ( ٦٢

م ٥ــ م ٣

ــــــــــــ م ٢ــ

ب + ٢ب ٤+ أ ب ٦ــ ١+ب ٢أ ــ ٣

١+ ــ ب ٢ب ٤+أ ٦+ أ ب ١٢ــ ٢أ ٩ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:الضرب بمجرد النظر )مقدارین متشابھان (

٦ــ ) س ١٥+ س ٤ــ + ( ٢س ١٠= ) ٢س ــ ٥) ( ٣+ س ٢(

٦س ــ ١١+ ٢س ١٠=

) ٣أ ــ ٧) ( ٦أ ــ ٥: ( أوجد ناتج ما یاتي : مثال ١٨+ أ ٥٧ــ ٢أ ٣٥= الناتج : الحل

) ص٣س ــ ) ( ص ٧+ س ٢( اضرب : مثال ٢ص٢١ــ ص س + ٢س ٢= الناتج : الحل

: ضرب مقدارین غیر متشابھین

)ب ٣س ــ ٥) ( ص ٢+ س ٣: ( مثال ب ص ٦ب س ــ ٩س ص ــ ١٠+ ٢س ١٥: الحل

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أیجاد مربع مقدار جبري ذي حدین

الثاني الحد مربع+ الثاني الحد × األول الحد × ٢+ األول الحد مربع = ٢)ص + س (

٢ص+ س ص ٢+ ٢س= ٢٥+ أ ١٠+ ٢أ ٤= ٢) ٥+ أ ٢( ١+ س ١٤ـــ ٢س ٤٩= ٢) ١س ــ ٧( ٢ب ٩+ أ ب ١٢+ ٢أ ٤= ٢)ب ٣+ أ ٢(

: الفرق بینھما× ضرب مجموع حدین الثاني الحد األول ــ مربع الحد مربع) = س ــ ص ) ( ص + س (

٢ــ ص ٢س= ١٦ــ ٢أ ٤) = ٤ـ أ ـ ٢) ( ٤+ أ ٢( ٢ص ٢٥ــ ٢س ٣٦) = ص ٥+ س ٦) ( ص ٥س ــ ٦(

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) ٣+ م ) ( ٥ــ م( ٣: اختصر ألبسط صورة : مثال

الثالث األول

+ الثاني

س ٤ــ س ١٥ س ١١

أ ٤٢ــ أ ١٥ــ أ ٥٧ــ

س ص ٧ س ص٦ــ

س ص




) ( ٦٣ ٦ــ ٢م ٣) = ١٥م ــ ٢ــ ٢م( ٣: الحل ٤٥م ــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢)ص ٢س ــ ( ــ ) ص + س ٢) ( س ــ ص ٢: ( اختصر ألبسط صورة : مثال

) ٢ص ٤+ س ص ٤ــ ٢س( ــ ٢ــ ص ٢س ٤= المقدار : الحل

٢ص ٤س ص ــ ٤+ ٢ــ س ٢ــ ص ٢س ٤= ٢ص ٥ــ س ص ٤+ ٢س ٣=

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ سؤال للتفكیر :أكمل ما یاتي ] ١[ ٠٠٠+ ص ٤٠+ ٠٠٠= ٢) ٠٠٠+ ص ٤( ) ١( ٠٠٠أ ب ــ ٢٠ــ ٢أ ٢٥) = ب ٧أ ــ ٥) ( ب ٣+ ٠٠٠) ( ٢( ٠٠٠٠٠) = ٤+ س ) ( ٤س ــ ) ( ٣( ٠٠٠٠٠٠= ٢)ص ــ س ٢) ( ٤( ٠٠٠٠٠) = ٧+ س ) ( ٢س ــ ٣) ( ٥( ٠٠٠٠٠) = ٧س ــ ) ( ٢س ــ ٣) ( ٦(

:أوجد ناتج ] ٢[ ) ٥+ س ٣( في ) ٣+ س ٧ــ ٢س ٢) ( ب( )ص ٢س ــ ) ( س ــ ص٦) ( أ( ٢) ٢س ص ــ ( ٤) ھـ( ٢) ١+ س ٩ ) (د ( ٢)ب ٤أ ــ ٥) ( حـ( ) ٥س ــ ٣) ( ٢+ س + ( ٢) ٣س ــ ٢: ( اختصر ألبسط صورة ] ٣[

٣= ثم أوجد القیمة العددیة للناتج عندما س أ ــ ب اكتب المقادیر الجبریة اآلتیة بداللة أ ، ب ثم= ب ، ص + أ = س : إذا كانت ] ٤[

٢ص ٥ــ س ص ــ ٢، س ٢ص+ ٢س ٣: لجبرى ألبسط صورة اختصر المقدار ا : الحساب العقلى على الضرب

:استخدم الضرب بمجرد النظر و الحساب العقلى لتسھیل إیجاد ناتج : مثال

٢)٣٠.٣( ٢) ٩٩.١( ٢) ٤١( ١٩٩× ٢٠١ ٢٧× ٢٣

:الحل ٦٠ــ ) ٩ــ ٦٠٠+ ( ٩٠) = ٣ــ ٣٠) ( ٢٠+ ٣= ( ٢٧× ٢٣

٦٢١= ٦٠ــ ٥٩١+ ٩٠= ٦٢١= ٢١+ ٩٠ــ ٢١٠ــ ٩٠٠) = ٣ــ ٣٠)( ٧ــ ٣٠: ( حل أخر

س ص ٢ــ س ص ٢

ـــــــــــــــــ صفر

١ ١ ٠

١٥ ٤ ١ ٣ ١ ١٢

١ ١

٢ ١




) ( ٦٤ ٢٠٠) ( ١+ ٢٠٠= ( ١٩٩× ٢٠١ ٣٩٩٩٩= ١ــ ٤٠٠٠٠) = ١ــ

١٥٢١= ١+ ٨٠ــ ١٦٠٠= ٢) ١ــ ٤٠( = ٢) ٤١(

٩٨٢١.٨١= ٠.٨١+ ١٨٠ــ ١٠٠٠٠= ٢) ٠.٩ــ ١٠٠= ( ٢) ٩٩.١(

)٣٠× ٢+ ٩٠٠= ٢+ ) ٣٠= ( ٢) ٣٠.٣ × +

=٩٢٠+ = ٩٢٠= + ٢٠+ ٩٠٠


سوال للتفكیر : استخدم الحساب العقلى فى إیجاد قیمة ] ١[

)٢)٥١( ٢) ٨.١( ٢٩٨× ٣٠١ ٢) ٢٩٥( ٢) ٤٩ ٩٩× ١٠١: أكمل باستخدام الحساب العقلى یمكن إیجاد قیمة ] ٢[

) ٠٠٠٠ ٠٠ ٠٠٠٠) ( ١+ ١٠٠( عن طریق ضرب

:آخرقسمة مقدار جبري علي حد ٢س ص ٢علي ــ ٢س ص ٦+ ٢ص ٢س ١٢ـ ـ ٣ص ٣س ٨أقسم : مثال : الحل

=خارج القسمة

٣س ــ ٦+ ص ٢س ٤ــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٧+ ٢س ــ س ٣س ثم أجمع الناتج علي ٤علي ٢س ١٢س ــ ٨+ ٣س ١٦أقسم : مثال : الحل

یفضل ترتیب الحدود قبل القسمة س ٨+ ٢س ١٢ــ ٣س ١٦

٢س ص ٦+ ٢ص ٢س ١٢ــ ٣ص ٣س ٨٢س ص ٢ــ

١٣

١٤

٥ ١ ٠١

٣ ١ ٣

١ ٩

١ ٩

١ ٩

١ ٩

٥ ١ ١٤ ١٣ ٢ ١ ١١ ٠




) ( ٦٥= خارج القسمة ٢+ س ٣ــ ٢س ٤=

س ٤

٢+ س ٣ــ ٢س ٤: الجمع ٧+ س ٣+ ٢ــ س ٩+ ٢س ٣

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :خارج قسمة المقدار حـ من ٧+ ب ٢أ ــ ٣اطرح :مثال

أ ب حـ ٥ي ــ حـ عل ٢أ ب ١٠+ ٢أ ب حـ ٢٠ب حـ ــ ٢أ ١٥ :الحل حـ ٢أ ب ١٠+ ٢أ ب حـ ٢٠ب حـ ــ ٢أ ١٥

ب ٢حـ ــ ٤+ أ ٣ــ = أ ب حـ ٥ــ

المطروح منھ ــ المطروح = باقي الطرح )حـ ٧+ ب ٢أ ــ ٣(ــ ) ب ٢حـ ــ ٤+ أ ٣ــ = ( ) ب ٢+ ب ٢ــ ) + ( حـ ٧حـ ــ ٤) + ( أ ٣أ ــ ٣ــ = ( حـ ٣أ ــ ٦ــ = صفر + حـ ٣أ ــ ٦ــ =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ سؤال للتفكیر

أوجد خارج قسمة المقدار ] ١[

س ص ٤علي ٢ص ٢س ١٢س ص ــ ١٦+ ٤ص ٤س ٤ــ ٣ص ٣س ١٢ ثم ٤س ص ــ ٣+ ٢ص ٢س ٣ــ ٣ص ٣س ٢ثم أجمع الناتج مع ٣= ، ص ٢= تج عندما س أوجد قیمة النا

٢س ١١ ÷ ٢س ٣٣ــ ٣س ٤٤+ ٤س ٥٥أقسم ] ٢[ ٢ص ٢س ٣علي ــ ٣ص ٢س ٦+ ٢ص ٣س ٢٧أوجد خارج قسمة المقدار ] ٣[

ب ٢أ ٩ ٣أ ١٨ أ ٤+ + :أوجد ناتج ] ٤[

أ ب ٣ ٢أ ٩ : أوجد خارج القسمة ] ٥[


٣س ١٢ــ ١٠س ٤٨+ ٦س ٦٠

٣س ١٢ــ




) ( ٦٦التحلیل بإخراج العامل المشترك : األعلى

٤× ٨+ ٦× ٨) = ٤+ ٦( × ٨: باستخدام خاصیة التوزیع نجد أن ) ٤+ ٦( × ٨= ٤× ٨+ ٦× ٨بالعكس یكون .ھذه العملیة تسمى عملیة التحلیل بإخراج العامل المشترك االعلى

)ب ــ حـ ( × أ = ، أ ب ــ أ حـ ) حـ + ب ( × أ = أ حـ + أ ب : و بصفة عامة : لمجموعة من الحدود الجبریة) أ ٠م ٠ع ( جاد العامل المشترك االعلى إلی*

نوجد العامل المشترك االعلى للعوامل العددیة فى ھذه الحدود ٣ھو ٩، ٦م أ للعددین ٠ع : مثال ) أكبر عدد تقبل األعداد القسمة علیھ( ٤ھو ١٢، ٨، ٤م أ لالعداد ٠ع ، ٥ھو ٢٠، ١٥م أ لعددین ٠ع .نأخذ كل رمز متكرر فى جمیع ھذه الحدود بأااصغر أس لھ ٤ھو أ ب ٧ب ٥، أ ٤أ بم أ للعددین ٠ع ھو س ، ع ٣م أ للعددین س ص ، س ٠ع : مثال

) أ ٠م ٠خارج قسمة المقدار على ع ( × أ ٠م ٠ع = و یكون المقدار ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حلل یإخراج العامل المشترك االعلى للمقادیر اآلتیة

) ص ٧+ س ( ٣= ص ٢١+ س ٣ )١ ) ٣ب ــ ( ب ٩= ب ٢٧ــ ٢ب٩ )٢

) ٢س ــ ٣+ ٢س( س ٢= س ٤ــ ٢س ٦+ ٣س ٢ )٣

) ٢ص ٧+ ع ٥+ س ( س ٣= ٢س ص ٢١+ س ع ١٥+ ٢س ٣ )٤

) ٢ن ٤+ م ن ٢ــ ٢م ٣( ٢ن ٢م ٣= ٤ن ٢م ١٢+ ٣ن ٣م ٦ــ ٢ن ٤م ٩ )٥

) ٧+ س ٣) ( ب + أ ) = ( ب + أ ( ٧) + ب + أ ( س ٣ )٦

) ٢ص+ ٢س) ( ٤+ س = ( ٢ص) ٤+ س + ( ٢س) ٤+ س ( )٧

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :استخدم التحلیل بإخراج العامل المشترك لتسھیل إیجاد ناتج كل مما یأتى

١٨× ٧ــ ٣٥× ٧+ ١٢٣× ٧ ٣٠× ١٥ــ ١٣× ١٥+ ١١٧× ١٥

١٥× ٨ــ ١٥× ١٨+ ٢) ١٥( × ٦ )٤٢× ٥٨+ ٢) ٥٨

١١

١٢

١١ ٢ ١ ٣ ١ ٤ ١




) ( ٦٧ : الحل ) ١٨ــ ٣٥+ ١٢٣( × ٧= ١٨× ٧ــ ٣٥× ٧+ ١٢٣× ٧

) ١٨ــ ١٥٨( × ٧= =٩٨٠= ١٤٠× ٧

) ٣٠ــ ١٣+ ١١٧( × ١٥= ٣٠× ١٥ــ ١٣× ١٥+ ١١٧× ١٥ ) ٣٠ــ ١٣٠( × ١٥= =١٥٠٠= ١٠٠× ١٥

) ٨ــ ١٨+ ١٥× ٦( × ١٥= ١٥× ٨ــ ١٥× ١٨+ ٢) ١٥( × ٦ ) ٨ــ ١٨+ ٩٠( × ١٥= ) ٨ــ ١٠٨( × ١٥=

=١٥٠٠= ١٠٠× ١٥ )٥٨٠٠= ١٠٠× ٥٨) = ٤٢+ ٥٨( × ٥٨= ٤٢× ٥٨+ ٢) ٥٨

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : اختصر بطریقتین مختلفتین :مثال

]٢[ ] ١ [

: الحل )التحلیل ( الطریقة الثانیة )القسمة ( الطریقة االولى ] ١[

= ٢ب+ ٢س=

٢ب+ ٢س= ١٨= ١+ ٢ــ ١٩] = ٢[ ١٨= ١+ ٢ــ ١٩= = أو

ر سوال للتفكی : حلل بإخراج العامل المشترك األعلى كال مما یأتى ] ١[ س ٦+ ٢س ٣) ١( ٣ب ٧ــ ٢ب ٤٩) ٢( ٢ب ٢أ ٣ــ ٣ب ٥أ ٦+ ٤ب ٣أ ١٥) ٣(

) ٤+ أ ( ب ) + ٤+ أ ( أ ) ٤(

١ ١

١٢

١٣

١٤

٣س ب+ ب ٣س س ب

١٩+ ١٩× ٢ــ ٢ ١٩١٩



) ٢ب+ ٢س( س ب س ب

١٩+ ١٩× ٢ــ ٢ ١٩١٩

) ١+ ٢ــ ١٩( ١٩١٩




) ( ٦٨+ س ( ب ٢١ــ ) ص + س ( أ ١٤) ٥( )ص

س ص ١٥+ ٢س ٣) ٦( ) ١+ أ ( ص ــ ) ١+ أ ( س ) ٧( :استخدم التحلیل بإخراج العامل المشترك لتسھیل إیجاد ناتج ] ٢[ ٣٣× ٥٢ــ ٤٣× ٥٢) ١( ٣٥+ ٣٥× ٥ــ ٣٥× ١٤) ٢( )٤٨× ٥٣+ ٤٨× ٧+ ٢) ٤٨( ٥) ٣





) ( ٦٩




) ( ٧٠ : قراءة البیانات و تفسیرھا ]١[

: یتم عرض البیانات عن طریق : جدولىالعرض ال .المعلومات و تحلیلھا انات فى صورة جداول تسھل استخراجوھو تصنیف البی

: العرض البیانى .و فیھ تستخدم الرسوم لعرض البیانات بما یعطى فكرة سریعة عن الظاھرة التى ندرسھا

.األعمدة البیانیة ، الخط المنكسر ، القطاعات الدائریة : و من طرق العرض البیانى :األعمدة البیانیة : أوال یوضح الدرجات التى حصل علیھا أحمد و محمد فى بعض المواد : الشكل المقابل : مثال

١١

١٢




) ( ٧١باالستعانة . المختلفة فى نھایة العام : بالشكل أكمــل ما یأتى

العلومفى مادة ، ومحمد الدراسات حصل أحمد على أكبر درجة فى مادة االنجلیزیةحصل اإلثنان على نفس الدرجة فى مادة اللغة مادة الدراساتیتفوق أحمد على محمد فى درجات ٨ھى ) ٨= ٣٥ــ ٤٣( الفرق بین درجتى أحمد و محمد فى الریاضیات العلوم ، الریاضیاتدرجة فى كل من ٤٠حصل محمد على أكثر من ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

نظر البائع إلى الشكل البیانى الذى یوضح مبیعات أجھزة الھواتف المحمولة خالل : مثال مبیعات الھواتف فى شھر فبرایر أربعة أمثال ما بعتھ " الشھور االربعة األولى ، وقال اشرح ھل توافق أم تعارض مع ھذا البائع على قولھ و أعط سببا لذلك" فى شھر ینایر : تابع الشكل المقابل

١٠

المادة

الدرجة

صفر١٠ ٢٠ ٣٠ ٤٠ ٥٠

لغة بیةرع

لغة انجلیزیة

دراسات ریاضیات علوم

١١

أحمد محمد

١٢ ١٣ ١٤ ١٥

الشھور

عدد الھواتف

٦٠٠

٦١٠

٦٢٠ ٦٣٠

٦٤٠

٦٥٠

أبریل مارس فبرایر ینایر




) ( ٧٢

ھاتف ٢٤٤٠= ٦١٠× ٤= أربعة أمثال ما باعھ فى شھر ینایر : الحل .ھذا یتعارض مع ما باعھ فى شھر فبرایر و

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الخط البیانى المنكسر : ثانیا

إلى ٢٠٠٣إحدى الشركات باأللف جنیة فى خمسة أعوام من الجدول التالى یمثل أرباح: مثال ٢٠٠٧ :

٢٠٠٧ ٢٠٠٦ ٢٠٠٥ ٢٠٠٤ ٢٠٠٣ العام

٤٦٠٠ ٤٣٠٠ ٤٢٥٠ ٤٤٠٠ ٤١٥٠ األرباح باأللف جنیة

.مثل ھذه البیانات باستخدام الخط البیانى المنكسر : أوال ) قصت تزایدت أ، تنا( أكمــل كال مما یأتى باستخدام : ثانیا

٢٠٠٤حتى عام ٢٠٠٣من عام ٠٠٠٠٠األرباح ٢٠٠٥حتى عام ٢٠٠٤من عام ٠٠٠٠٠األرباح ٢٠٠٧حتى عام ٢٠٠٦من عام ٠٠٠٠٠األرباح

: مالحظات على الرسم مع مالحظة أنھ( المحور األفقى یمثل األعوام و المحور الرأسى یمثل األرباح باأللف جنیة

مقیاس المحور الرأسى من الصفر بل بمقیاس مناسب یمكن استنتاجھ لیس ضروریا أن یبدأ الحظ أن الخط الذى یمثل زیادة فى األرباح) . بمعرفة أقل و أكبر قیمة لألرباح فى الجدول

.یمیل ألعلى من الیسار للیمین ، و الذى یمثل نقصا یمیل ألسفل من الیسار للیمین : الحل

تناقصت تزایدت تزایدت

: تابع الحل

٣ ١ ١٢ ١١

١١ ١٢ ١٣

األرباح باأللف جنیة

٤١٠٠

٤٢٠٠

٤٣٠٠

٤٤٠٠

٤٦٠٠

٤٥٠٠

أرباح إحدى الشركات ) ٢٠٠٤ - ٢٠٠٣( األلف جنیة ب

٠٠

٠٠

٠




) ( ٧٣

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٠٠٦إلى ٢٠٠٢حات المزروعة محاصیل نیلیة من عام یوضح الجدول المقابل المسا: مثال

احسب جملة المساحات المزروعة محاصیل نیلیة و ارسم خطا بیانیا . باأللف فدان للتعبیر ) تزایدت أو تناقصت ( منكسرا موضحا علیة عنوانا مناسبا ثم أكمل باستخدام : عن المحاصیل النیلیة

٢٠٠٣إلى عام ٢٠٠٢من عام ٠٠٠٠٠٠مساحة المزروعة ال ٢٠٠٤إلى عام ٢٠٠٣من عام ٠٠٠٠٠٠المساحة المزروعة ٢٠٠٥إلى عام ٢٠٠٤من عام ٠٠٠٠٠٠المساحة المزروعة ٢٠٠٦إلى عام ٢٠٠٥من عام ٠٠٠٠٠٠المساحة المزروعة

المساحات المزروعة محاصیل نیلیة باأللف فدان

٢٠٠٦ ٢٠٠٥ ٢٠٠٤ ٢٠٠٣ ٢٠٠٢ البیان ٤ ١ = = = أرز

٤ ٩ ٨ ٨ ٧ ذرة رفیعة ٢٤٦ ٢٧٧ ٣٠٧ ٣٠٧ ٢٨١ ذرة شامیة ٣٩ ٤٦ ٦٠ ٤٥ ٤٨ بطاطس ١٧٨ ١٦٤ ١٦٧ ١٨٣ ١٧٩ )١(خضر ١١٩ ١٠٩ ٩٨ ٨٧ ٩١ )٢(أخرى

الجملة : الحل

٢٠٠٦ ٢٠٠٥ ٢٠٠٤ ٢٠٠٣ ٢٠٠٢ السنة ٥٩٠ ٦٠٦ ٦٤٠ ٦٣٠ ٦٠٦ الجملة

١١ ١٢ ١٣ ١٤

أقل من ألف فدان(=) تشمل بصل) ١( تشمل الذرة ) ٢(

راءالصف

الجملة المساحات المزروعة محاصیل

نیلیة باأللف فدان ٢٠٠٦إلى عام ٢٠٠٣من عام

٠٠٦٣٠

٦٤٠

٦٥٠




) ( ٧٤

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : القطاعات الدائریة: ثالثا

ئرة محصور بین نصفى قطرین و قوس فیھا ، و القطاعاتالقطاع الدائرى ھو جزء من سطح داالدائریة إحدى وسائل تمثیل البیانات و مقارنتھا خاصة عندما تعطى البیانات فى صورة نسبة

. مئویة نرسم دائرة مركزھا م بطول نصف قطر مناسب -١: طریقة الرسم

حصلنا علیھا نرسم نصف قطر فى الدائرة ثم نرسم الزوایا المركزیة التى - ٢ .نضع البیانات على الرسم ، مع وضع عنوان مناسب للشكل - ٣

العدد فى الجدول : مالحظة ٪ ١٠٠× ـــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ= النسبة المئویة

العدد الكلى العدد فى الجدول

٥ ٣٦٠× ــــــــــــــــــــــــــــــــ = قیاس الزاویة المركزیة العدد الكلى

٥ ٣٦٠ =مجموع الزوایا المتجمعة حول نقطة ٪ ١٠٠= مجموع النسب المئویة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ٢٠٠٦مصر باأللف خالل عام الجدول التالى یوضح عدد السائحین الذین زاروا: مثال

جنسیات أخرى أوربیون عرب أمریكیون الجنسیة

السنة٥٧٠

٥٨٠

٥٩٠

٦٠٠

٦٢٠

٠ ٦١٠ ٠

٠




) ( ٧٥ ٥٦١ ٦٢٦٠ ١٩٢٢ ٣٤٠ عدد السائحین

.مثل ھذه البیانات بالقطاعات الدائریة

: الحل ٩٠٨٣= الكلى عدد السائحین

٣٦٠× = قیاس زاویة القطاع الدائرى لعدد السائحین االمریكیون

≈ ٥ ١٣.٥

٣٦٠× = قیاس زاویة القطاع الدائرى لعدد السائحین عرب

≈ ٥ ٧٦

٣٦٠× = طاع الدائرى لعدد السائحین أوربیون قیاس زاویة الق

≈ ٥ ٢٤٨

٣٦٠× = قیاس زاویة القطاع الدائرى لعدد السائحین جنسیات أخرى

≈ ٥ ٢٢.٥

الجدول التالى یوضح النسبة المئویة لألنشطة الریاضیة المفضلة لتالمیذ إحدى المدارس: مثال

سباحة كرة سلة كرة ید كرة قدم النشاط الریاضى ٪٣٠ ٪١٠ ٪٢٠ ٪٤٠ النسبة المئویة

.مثل تلك البیانات بالقطاعات الدائریة

فكم عدد التالمیذ الذین یفضضضلون كرة السلة ؟. تلمیذ ٩٠٠إذا كان عدد تالمیذ المدرسة : الحل

٥ ١٤٤= ٥ ٣٦٠× = كرة القدم

٥ ٧٢= ٥ ٣٦٠× = كرة ید

٥ ٣٦= ٥ ٣٦٠× = كرة سلة

٣٤٠ ٩٠٨٣

١٩٢٢ ٩٠٨٣

٦٢٦٠ ٩٠٨٣

٥٦١ ٩٠٨٣

٥ ٧٦

٥ ١٣.٥ امریكیون أوبیون٥ ٢٤٨

٥ ٢٢.٥

عرب

أخرى جنسیات

١ ١ ٢ ١

٤٠ ١٠٠ ٢٠ ١٠٠ ١٠ ١٠٠ ٣٠ ١٠٠

١ ١

٥ ٣٦ ١٠ ٪

سلةكرة

كرة قدم٤٠ ٪

كرة ید ٥ ١٤٤ ٢٠ ٧٢ ٪ ٥ ١٠٨

سباحة ٣٠٪




) ( ٧٦= ٥ ٣٦٠× = سباحة ٥ ١٠٨

تلمیذا ٩٠= ٩٠٠× = عدد التالمیذ الذین یفضلون كرة السلة ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

التمثیل البیانى باألعمدة المزدوجة یمثل النسبة المئویة اللتحاق البنین فى مقابل النسبة ] ١[

المئویة اللتحاق البنات فى منظمة قومیة للشباب ، الجدول یمثل األعداد اإلجمالیة للملتحقین ٢٠٠٧باب فى عام كم عدد البنات الذین التحقوا ببمنظمة الش. فى السنوات األربع األخیرة ٨٠٠) د( ٧٠٠) حـ( ٦٠٠) ب( ٣٠٠) أ(

٢٠٠٨ ٢٠٠٧ ٢٠٠٦ ٢٠٠٥ السنوات ٤٠٠٠ ٢٠٠٠ ١٠٠٠ ٥٠٠ العدد الكلى

: فى امتحان الریاضیات فى خمسة شھور الجدول التالى یبین درجات اسالم ] ٢[

ینایر دیسمبر وفمبرن أكتوبر سبتمبر الشھر ٥٠ ٤٢ ٣٥ ٤٠ ٣٠ الدرجة

:ارسم ما سبق بالخط البیانى المنكسر موضحا علیھ عنوانا مناسبا ثم أكمل ما یأتى

٠٠٠٠٠أقل درجات إسالم كانت فى شھر ٠٠٠٠٠عنھ فى شھر ٠٠٠٠٠انخفض مستوى إسالم فى شھر

٠٠٠٠٠حصل إسالم على أعلى درجاتھ فى شھر ٠٠٠٠٠الفرق بین درجة إسالم فى شھر دیسمبر و أكتوبر

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ألسبوعیة لفاطمة فى المواد المختلفة الجدول التالى یوضح عدد ساعات المذاكرة ا] ٣[

دراسات علوم ریاضیات لغة إنجلیزیة لغة عربیة المادة

١٠ ١٠٠

١٢

تمارین على قرأءة البیانات و تفسیرھا

الدرجة

٢٠ ٣٠ ٤٠ ٥٠

السنة

النسبة

صفر

٢٠٪

٤٠٪

٦٠٪

٢٠٠٥

٨٠٪

٢٠٠٨ ٢٠٠٧ ٢٠٠٦

أحمد محمد

١ ١ ٢ ١ ٣ ١ ٤ ١




) ( ٧٧ ٦ ٨ ٩ ٧ ١٠ عدد ساعات المذاكرة

.مثل ھذه البیانات بالقطاعات الدائریة

:الجدول التالى یوضح النسبة المئویة للمكونات الالزمة لصناعة أحد أنواع الكیك ] ٤[

زبد دقیق سكر لبن المكون ٠٠٠٠ ٪٥٠ ٪٢٥ ٪١٠ النسبة المئویة

.أكمـــــــــل الجدول ، ثم مثل تلك البیانات بالقطاعات الدائریة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : جمع البیانات و تنظیمھا] ٢[ : جمع البیانات

یمكن اتخاذ قرار ما من خالل تجمیع بیانات عن ظاھرة ما و تنظیم ھذه البیانات :انواع البیانات

الوثائق - اإلنترنت: وھى بیانات تم جمعھا من مصادر مثل : البیانات الثانویة -١ النشرات اإلحصائیة –المراجع العلمیة -

یتم جمعھا باستخدام التجارب الختبار صحة نظریة ما : البیانات التجریبیة -٢ وھى البیانات یتم جمعھا باستخدام كشوف المالحظة أو االستبیان: البیانات االبتدائیة -٣

) :االستبیان : ( تعریف ھو أداة للحصول على مالحظات األشخاص عن أشیاء أو أحداث ال یستطیع الباحث أن یالحظھا

:بنفسة و تتعلق باألشخاص أنفسھم مثل ) ٠٠٠٠أرائھم فى موضوع معین أو قیمھم أو سلوكھم أو (

: صص و تتضمن استمارة االستبیان ھى استمارة یقوم بتصمیمھا باحث متخ: مالحظة .بیانات عن األشخاص الذین ستوزع علیھم االستمارة - ١ اسئلة مفتوحة –أسئلة محددة : عنھا من االشخاص وھى نوعان اسئلة مطلوب االجابة - ٢

: )تفریغ البیانات ( تنظیم البیانات یتم تنظیم البیانات أو تفریغھا عن طریق تسجیلھا فى جداول تسمى جداول تكراریة و ذلك

. باستخدام العالمات اإلحصائیة التى تعتبر أبسط طرق تسجیل البیانات

فى إحدى ) یوما ٣٠( أمامك متوسط درجات الحرارة خالل أیام شھر نوفمبر الماضى : مثال و المطلوب عمل جدول تكرارى لتوزیع درجات الحرارة : محافظات مصر




) ( ٧٨٢٢ ٢١ ٢٣ ٢٢ ٢٠

٢٣ ٢٢ ٢٣ ٢٣ ٢٢

٢٤ ٢٣ ٢٣ ٢٤ ٢٥

٢٥ ٢٥ ٢٣ ٢٣ ٢٣

٢٤ ٢٤ ٢٤ ٢٠ ٢٢

٢٠ ٢٢ ٢٣ ١٩ ٢١

٢٥= ، أكبر درجة حرارة ١٩= أصغر درجة حرارة : الحل

درجات ٦و ھى ) المدى ( الفرق بین أصغر و أكبر قیمة یسمى

: نكون جدول العالمات اإلحصائیة

٢٥ ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ ٢٠ ١٩ درجات الحرارة /// //// //// //// //// / // /// / لعالمات ا

٣ ٥ ١٠ ٦ ٢ ٣ ١ التكرار

:بحذف الصف الذى یمثل العالمات نحصل على الجدول التكرارى كاآلتى

المجموع ٢٥ ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ ٢٠ ١٩ درجات الحرارة ٣٠ ٣ ٥ ١٠ ٦ ٢ ٣ ١ التكرار

جدول یمكن استنتاج أى معلومات من خالل ال: مالحظة

. كعالمات إحصائیة ) المصورات ( یمكن استخدام بعض األشكال : المصورات

: یوضح الجدول أعداد تالمیذ الصف السابع و الثامن فى إحدى المدارس : مثال

.مثل أعداد تالمیذ الصف الثامن بالمصورات

: الحل

الصف السابع الصف الثامن

صف السابعال

أعداد التالمیذ الصف ٦٠ السابع ٥٥ الثامن

☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺

☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺☺ ☺ ☺ ☺




) ( ٧٩

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : تمثیل البیانات المتوسط ( الوسط الحسابى –الوسیط –ال المنو: مثل النزعة المركزیةمن أنواع القیاسات (

المنوال لمجموعة من القیم ھو القیمة األكثر شیوعا فى ھذه القیم أو ھو : المنوال: أوال القیمة

. األكثر تكرارا من غیرھا : أوجد المنوال لكل مما یأتى : مثال ٨، ٧، ١٢، ٧، ٧، ١٢ ٦، ٥، ٨، ٧، ٥، ٦، ٥

٥ھى ) تكرارا ( القیمة األكثر شیوعا : الحل ٧ھى ) تكرارا ( القیمة األكثر شیوعا

: تلمیذا فى المرحلة االبتدائیة ٤٠الجدول التكرارى التالى یوضح أوزان : مثال

تللمیذ ٣٨العینة ٢٠٠٨/ / / االبتدائیة التاریخ جدول أوزان تالمیذ المرحلة

المجموع ٣٠ ٢٩ ٢٨ ٢٧ ٢٦ ٢٥ ٢٤ ٢٣ ٢٢ ٢١ ٢٠ الوزن بالكیلو جرام ٣٨ ٢ ٣ ٤ ٤ ٨ ٥ ٤ ٤ ٢ ١ ١ عدد التالمیذ

.مثل البیانات السابقة بیانیا باألعمدة )١( .بتدائیة ة االلتالمیذ المرحل) المنوال ( وضح الوزن األكثر تكرار )٢( : الحل

: الحل

الصف الثامن

☺

١٢ ١١ ١١ ١٢

عدد التالمیذ

٣

٤

٦

٥

٧

٨




) ( ٨٠

كیلو جرام ٢٦= المنوال

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :الوسیط : ثانیا ھو القیمة التى تقسم مجموعة من القیم إلى فسمین متساویین من حیث العدد بحیث : ریف تع

یكون عدد القیم األكبر من قیمة الوسیط مساویا لعدد القیم األصغر منھا ، بعد ترتیب ھذه القیم . تصاعدیا أو تنازلیا

: نتبع اآلتىللقیم الیجاد الوسیط زلیا ثم نحدد عدد القیم نرتب القیم تصاعدیا أو تنا - ١. الوسیط ھو القیمة التى تقع فى الوسط تماما : إذا كان عدد القیم فردى فإن - ٢

) مثال ( فأن القیم بعد ترتیبھا تصاعدیا ١١، ١٠، ٦، ٤، ٨إذا كانت القیم ھى : مثال ٨= فیكون الوسیط ١١، ١٠، ٨، ٦، ٤: تكون

مجموع القیمتین اللتین تقعان فى الوسط ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= الوسیط : إذا كان عدد القیم زوجى فإن - ٣

٢ ) عدد القیم زوجى ( ٧، ٣، ١٢، ٩، ١٠، ٥إذا كانت القیم ھى : مثال ١٢، ١٠، ٩، ٧، ٥، ٣الترتیب التصاعدى للقیم ھى

٩+ ٧ ٨= ـــــــــــــــــــــ = الوسیط

٢ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

طالب فى موادالریاصیات والكمیاءوالفیزیاء والتاریخ واالحیاء٤یوضح الجدول درجات : مثال

التاریخ األحیاء الفیزیاء الكیمیاء الریاضیات ١١ ٨ ٣ ٦ ١٥ أحمد ١٣ ٩ ٥ ٧ ٨ ھناء




) ( ٨١ ٧ ١٠ ٩ ١٣ ١٢ محمود ١٤ ١٢ ٩ ٨ ١٠ ثریا

.رتب كل طالب على حدة )١( .اكتب الدرجة لكل طالب )٢(

: الحل ١٥، ١١، ٨، ٦، ٣: ترتیب درجات أحمد ھو )١(

١٣، ٩، ٨، ٧، ٥: ترتیب درجات ھناء ھو ١٣، ١٢، ١٠، ٩، ٧: ترتیب درجات محمود ھو

١٤، ١٢، ١٠، ٩، ٨: ترتیب درجات ثریا ھو ٨= ، الدرجة الوسیط لھناء ٨= الدرجة الوسیط ألحمد )٢(

١٠= ، الدرجة الوسیط لثریا ١٠= الدرجة الوسیط لمحمود ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: أكمــــــــــــــل كال مما یأتى : مثال ]القیمة األكثر تكرارا أو شیوعا [ ٠٠٠٠٠المنوال لمجموعة من القیم ھو )١( ] ٦[ ٠٠٠٠ھو ٦، ٧، ٥، ٦المنوال للقیم )٢( ] ٢[ ٠٠٠٠ھو ٩، ٢، ٨، ٣، ٢المنوال للقیم )٣( ] ٧[ ٠٠٠٠ھو ٨، ٩، ٥، ٦: الوسیط لمجموعة القیم )٤( ] ٦[ ٠٠٠٠ھو ١١، ٥، ٩، ٢، ٧، ٣: الوسیط للقیم )٥( ] ٤[ ٠٠٠٠ھو ١، ٤، ٥، ٢، ٦: الوسیط للقیم )٦(

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ




) ( ٨٢




١ ﺔﯿﻠﺒﻗ تﺎﻋﻮﻤﺠﻤﻟا · 2018-08-18 · ( ٤ ) و أ ب ـﺣ د ـھ س ٠...

Documents