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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II

Inhalt : Der Teil II ergänzt die Grundlagen der Darstel-lenden Geometrie und Architekturperspektive des Teil I um die Themen:

. Kegelschnitte

. Abbildung von Kreis und Kugel

. Die Spiegelung

. Das Schattenbild

5. Auflage 2007 © Prof. Dipl.Ing. S.H. Bucher

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Kegelschnitte. Kreis und Ellipse 03

2-Tafelprojektion. Körperschnitte mit Höhenebenen. Ellipse 04Körperschnitte mit erstprojizierenden Ebenen. Ellipse 05

Körperschnitte mit Höhenebenen. Parabel 062 - Tafelprojektion. Vom Kreis zur Ellipse 07

Axonometrie. Konjugierte Durchmesser der Ellipse 08Haupt - und Nebenachse der Ellipse. Rytzsche Konstruktion 09

Korbbogenkonstruktion 10Tangentenkonstruktion 10

Scheitelkrümmungskreiskonstruktion �� Papierstreifenkonstruktion ��

Faden - oder Gärtnerkonstruktion 12

Perspektive. Kreis parallel zur Bildebene = Kreis 13Kreis senkrecht zur Bildebene = Ellipse 14

Bestimmung der konjugierten Durchmesser der Ellipse 15Kreis senkrecht zur Bildebene = Parabel 16

Abbildung der Kugel in der 3 - Tafelprojektion und in der Axonometrie 17Abbildung der Kugel in der Perspektive 18

Abbildung der Kugel mit Hilfe von Schnittebenen 19Abbildung der Kugel mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse 20

Die Spiegelung 21Die konstruktiven Bedingungen der Spiegelung 22

Perspektive. Spiegelkonstruktion einer Geraden 23Spiegelkonstruktion eines Prismas 24

Spiegelkonstruktion eines Prismas mit geneigten Ebenen 25

Das Schattenbild 26Beleuchtungsarten 27Das Lichtdiagramm 28

2 -Tafelprojektion. Schatten allgemein 29Schattenbild eines Punktes im Grundriß 30

Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß 31Schattenbild eines Punktes im Auf- und Grundriß 32

Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden 33Schattenbild einer zweitprojizierenden Geraden 34

Schattenbild einer beliebigen Geraden 35Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden auf schräge Fläche 36

Schattenbild einer Fläche 37Schattenbild eines Würfels 38

Schattenbild eines Würfels auf horizontale Fläche 39Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Fläche 40

Schattenbild eines Würfels auf horizontale,vertikale und schräge Fläche 41Schattenbild einer Kugel 42

Axonometrie. Das Schattenbild 43Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche 44Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche 45

Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche 46Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche 46

Perspektive. Das Schattenbild 47Konstruktionsidee 48

Parallel - und Zentralbeleuchtung. Lichtarten 49Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive und dem Schattenbild 50Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive und dem Schattenbild 50

Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation der Geradenrichtungen 51Schattenbild einer Geraden in der schrägen Ebene 52

Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation der Geradenrichtungen 53Schattenbild eines Würfels bei Seitenlicht 54

Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene 55Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene bei Rückenlicht 56

Schattenbild eines Würfels auf vertikale und schräge Ebene bei Gegenlicht 57Zentralbeleuchtung. Schattenbild einer Geraden bei endlicher Lichtquelle 58

Schattenbild eines Würfels auf horizontale Ebene 59Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene 60Schattenbild eines Würfels auf horizontale und schräge Ebene 61

Geometrische Grundkonstruktionen 62Geometrische Grundkonstruktionen 63Geometrische Grundkonstruktionen 64Geometrische Grundkonstruktionen 65

Index Teil I 66Index Teil II 67

Symbole 68

Literaturliste 69

Inhalt

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Kegelschnitte. Kreis und Ellipse

Schneidet eine Ebene (Schnittebene) einen Kreiskegel unter der Voraussetzung, daß die Schnittebene nicht durch die Spitze des Ke-gels geht, entstehen folgende Schnittfiguren :Der Kreis als Schnittfigur, wenn die Schnit-tebene senkrecht zur Kegelachse verläuft.

Die Ellipse als Schnittfigur, wenn der Nei-gungswinkel der Schnittebene kleiner als der Neigungswinkel der Kegelmantellinie ist.

Schnittebene �

Schnittebene 2

Neigungswinkel der Schnittebene =Neigungswinkel der Kegelmantellinie

Die Parabel als Schnittfigur, wenn der Nei-gungswinkel der Schnittebene und der der Kegelmantellinie gleich sind.

Die Hyperbel als Schnittfigur, wenn der Nei-gungswinkel der Schnittebene größer als der der Kegelmantellinie ist.

am Bsp. ist die Schnittebene parallel zur Rotationsachse des Doppelkegels.

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II 2-Tafelprojektion. Körperschnitte mit Höhenebenen. Ellipse

Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grund- und Aufriß und eine schräge, 2. - projizieren-de Ebene.Gesucht ist die Schnittfläche, mit Hilfe von horizontalen Hilfsschnittebenen und die wah-re Größe der Schnittfläche.

2 - Tafelprojektion

Aufriß

Grundriß

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Körperschnitte mit erstprojizierenden Ebenen. Ellipse

Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grund- und Aufriß und eine schräge, 2. - projizieren-de Ebene.Gesucht ist die Schnittfläche, mit Hilfe von erstprojizierenden Ebenen, und die wahre Größe der Schnittfläche.

2 - Tafelprojektion

Aufriß

Grundriß

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Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grund- und Aufriß und eine schräge, 2. - projizieren-de Ebene.Gesucht ist die Schnittfläche, mit Hilfe von horizontalen Hilfsschnittebenen und die wah-re Größe der Schnittfläche.

2 - Tafelprojektion

Aufriß

Grundriß

Körperschnitte mit Höhenebenen. Parabel

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Definition :

Die Ellipse ist definiert als der geometri-sche Ort aller Punkte, deren Summe der Abstände von zwei festen Punkten ( den Brennpunkten F 1 und F 2 ) konstant ist.

. die im Kreis zueinander senkrecht stehen-den Durchmesser des Kreises werden in der Ellipse zu konjugierten = zugeordneten Durchmesser.

. nur ein Rechtwinkelpaar des Kreises bleibt in der Ellipsenzuordnung rechtwinklig, die sog. Haupt- und Nebenachse der Ellipse.

. ein Kreisbogen um einen Endpunkt der Nebenachse der Ellipse, mit dem Kreisradius r, ergibt als Schnittpunkte mit der Hauptachse der Ellipse, die Brennpunkte F1 und F2.

. die Tangente an den Punkt A der Ellipse (beliebiger Punkt), ergibt sich aus dem Tangentenlot, das die Winkelhalbierende des

2 - Tafelprojektion. Vom Kreis zur Ellipse

Winkels F1 und F2 mit A darstellt.

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Axonometrie. Konjugierte Durchmesser der Ellipse

Der konstruktive Zusammenhang von Kreis und Ellipse, Objekt und Bild oder Objekt und Schattenbild ergibt sich aus der Vorstellung zweier, einander affin zugeordneten Ebenen.

Konstruktion der Grundrißfigur aus dem gegebenen Aufrißbild und den konstruktiven Bedingungen der Affinität.Entspricht der Spiegelung der Figur.

In der axonometrischen Darstellung ist die Abdrehung der Fläche und die Verkürzung gegeben.am Bsp. Kavalierprojektion.

Abdrehung der y-Achse zur Horizontale 45 Grad.

Verkürzung x : y : z = 1 : 2/3 : 1

Das affine Bild des Kreises der Aufrißebene in der Grundrißebene ist eine Ellipse, deren konjugierte Durchmesser in der Grundrißebe-ne dargestellt sind.

Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse lassen sich mit Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt- und Nebenachse der Ellipse ermitteln.

Kavalierprojektion

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In welcher Darstel-lungsart die konju-gierten Durchmesser der Ellipse gegeben sind spielt keine Rolle. Die Rytzsche Konstruktion ist ein Verfahren in der Zeichenebene.

Haupt - und Nebenachse der Ellipse. Rytzsche Konstruktion

In der axonometrischen Darstellung ist die Abdrehung der Fläche und die Verkürzung gegeben.am Bsp. Trimetrie.Das affine Bild des Kreises der Aufrißebene in der Grundrißebene ist eine Ellipse, deren konjugierten Durchmesser in der Grundriße-bene darzustellen sind.Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse lassen sich mit Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt- und Nebenachse der Ellipse ermitteln.

Gegeben sind die konjugierten Durchmesser einer Ellipse.Gesucht sind die Richtungen und die Länge von Haupt- und Nebenachse der Ellipse.

Konstruktion : Ein konjugierter Durchmesser M1A wird um 90 Grad gedreht = (A). Der Endpunkt (A) wird mit dem Endpunkt des stehengelassenen Durchmessers D verbun-den und verlängert. Um den Mittelpunkt der Strecke (A)D = M2 schlägt man einen Kreis durch M und erhält auf der verlängerten Strecke (A)D die Punkte U und V. Verbindet man beide Punkte mit M, so erhält man die Richtungen der Ellipsen-achsen.

Die Länge der Hauptachse entspricht der Strecke DV. Die Länge der Nebenachse der Strecke DU.

Die Rytzsche Konstruktion erfolgt in der Zeichenebene, obwohl die Vorgabe = die konjugierten Durchmesser der Ellipse der Vorstellung einer räumlichen Figur ent-sprechen.

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Vom Mittelpunkt des Haupt- und Nebenkrei-ses ist eine Gerade in beliebiger Richtung zu zeichnen.Die Gerade schneidet den Nebenkreis in A und den Hauptkreis in B.Die Parallele zur Hauptachse durch A und die Parallele zur Nebenachse durch B ergibt als Schnittpunkt einen Punkt der Ellipse.Durch Wiederholung der Konstruktion bei unterschiedlichen Richtungen der Geraden läßt sich das Bild der Ellipse ermitteln.

Ausgehend von der Korbbogenkonstruktion läßt sich an die Ellipse die Tangente konstru-ieren.Auf die Gerade sind im Punkt A und im Punkt B Lote zu errichten.Das Lot in A schneidet die verlängerte Ne-benachse und das Lot in B die verlängerte Hauptachse. Die Verbindung ist die Tangente an die Ellipse in dem Punkt, der sich aus der Korb-bogenkonstruktion dieser Geradenrichtung ergibt.

TangentenkonstruktionKorbbogenkonstruktion

In der Zeichenebene ist die Haupt - und Nebenachse der Ellipse gegeben.

Seite ��


Die Tangenten an die Scheitelpunkte ,des horizontalen Durchmessers des Hauptkrei-ses und an die Scheitelpunkte des vertikalen Durchmessers des Nebenkreises, bestimmen ein Rechteck.Von einem Eckpunkt dieses Rechteckes ist auf die Diagonale des Rechteckes ein Lot zu fällen.Das verlängerte Lot bestimmt auf der Haupt-achse den Mittelpunkt M� des kleinen Schei-telkrümmungskreises und auf der verlän-gerten Nebenachse den Mittelpunkt M2 des großen Scheitelkrümmungskreises.

Für die Papierstreifenkonstruktion(auch Faden- oder Gärtnerkonstruktion ge-nannt) ist ein Papierstreifen der Gesamtlänge a + b auszuschneiden(die Länge b entspricht dem Radius des Nebenkreises und die Länge a entspricht dem Radius des Großkreises) .Wenn man die Endpunkte des Papierstrei-fens auf der Haupt- und gleichzeitig auf der Nebenachse wandern läßt, können am Schnittpunkt von a und b alle Punkte der Ellipse markiert werden.

Die Konstruktion der Ellipse aus gegebener Haupt - und Nebenachse erfolgt in allen Konstruktionen punktweise. Je mehr Punkte konstruiert werden, desto genauer kann die Darstellung der Ellipse sein.

Scheitelkrümmungskreiskonstruktion PapierstreifenkonstruktionIn der Zeichenebene ist die Haupt - und Nebenachse der Ellipse gegeben.

M�

M2

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Aus der allgemeinen Definition der Ellipse ergibt sich die sogenannte Faden- oder Gärtnerkonstruktion.

Der Faden mit der Länge 2a wird in den Brennpunkten F1 und F2 fixiert. Bei gespanntem Faden kann dann die ellipti-sche Figur in den Boden graviert werden.

Faden - oder Gärtnerkonstruktion

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Das perspektive Bild des Kreises, der parallel zur Bildebene steht, ist der Kreis.Die Bildgröße ist abhängig von der Lage des Kreises zur Bildebene und von der Lage der Bildebene zum Augpunkt.

Perspektive. Kreis parallel zur Bildebene = Kreis

Trimetrie

Horizontebene

Grundrißebene

Augpunkt

Perspektive AnlageHorizont

Spur

Augpunkt

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Das Bild des Kreises, der senkrecht zur Bildebene liegt ist eine Ellipse.Da der projizierte Mittelpunkt des Kreises (auf Grund der perspektiven Teilung der Strecke) nicht dem tatsächlichen Mittelpunkt der Strecke entspricht, ist für die Ellipsenkon-struktion aus den konjugierten Durchmessern eine weitere Konstruktion notwendig.

Kreis senkrecht zur Bildebene = Ellipse

Augpunkt


Spur

Augpunkt

Trimetrie

Horizontebene

Grundrißebene

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Bestimmung der konjugierten Durchmesser der Ellipse

Konjugierte Durchmesser einer Ellipsestehen im Orginalkreis senkrecht aufeinan-der.Für die Perspektive wählt man einen Durchmesser, der senkrecht zur Bildebene verläuft= Tiefenlinie mit Fluchtpunkt in H.Dieser Durchmesser wird perspektiv abge-bildet.Das perspektive Bild des Mittelpunktes desDurchmessers kann nicht Mittelpunkt derEllipse werden, da der gefundene Mittelpunkt die Strecke perspektiv teilt, die konjugierten Durchmesser sich aber halbieren.

Das perspektive Bild des Durchmessers ist zuteilen und der Teilpunkt in das Grundrißbild zu rekonstruieren.Durch den Grundrißpunkt zeichnen Sie eine Sehne (parallel zur Bildebene), die den Kreisin 2 Punkten schneidet.Damit sind, im perspektiven Bild wieder abgebildet, die konjugierten Durchmesser derEllipse gegeben.

Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse sind dann mit Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt - und die Nebenachse zu ermitteln.


Spur

Augpunkt

M ?

M Kreismittelpunkt

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Trimetrie

Punkt A

Perspektive Anlage

Horizont

Spur

Augpunkt

Verschwindungsgerade Für den Punkt A des Kreises ist bei der per-spektiven Abbildung, mit dem Projektions-strahl durch den Augpunkt, kein Bild = Durchstoßpunkt mit der Bildebene zu finden, da die Projektionsrichtung parall zur Bildebene liegt. Dadurch ergibt sich die nach unten offene Figur der Parabel, die punktweise dargestellt wird.

Kreis senkrecht zur Bildebene = Parabel

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3 - Tafelprojektion Trimetrie

Abbildung der Kugel in der 3 - Tafelprojektion und in der Axonometrie

Der Schnitt durch den Mittelpunkt = Großkreis parallel zum Grundriß ergibt das Bild der Kugel im Grundriß.Der Schnitt durch den Mittelpunkt= Großkreis parallel zum Aufriß ergibt das Bild der Kugel im Aufriß.Der Schnitt durch den Mittelpunkt= Großkreis parallel zum Seitenriß ergibt das Bild der Kugel im Seitenriß.

Die Hüllzylinder der Projektionsstrahlen der Kugel stehen jeweils senkrecht zu den Bild-tafeln und ergeben als Schnittfläche einen Kreis mit der Tafel = Bild der Kugel, das in der Trimetrie als Ellipse erscheint. Das Bild der Kugel in den Tafeln entspricht der Schnittfläche durch den Mittelpunkt der Kugel parallel zur entsprechenden Tafel= Großkreis der Kugel.

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Abbildung der Kugel in der Perspektive

Entgegen der eigenen Seherfahrung er-scheint die Kugel im perspekiven Bild ellip-tisch.Die Umrißellipse ergibt sich am Beispiel durch die Summe der abgebildeten Schnit-tebenen, einschließlich des Großkreises

Trimetrie

Horizont

Spur

Hauptpunkt

Augpunkt

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Gegeben ist der Grundriß der Kugel und die perspektive Anlage.Gesucht ist das perspektive Bild der Kugel.

Abbildung der Kugel mit Hilfe von SchnittebenenPerspektive AnlageHorizont

Spur

Augpunkt

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Abbildung der Kugel mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse

Gegeben ist der Grundriß der Kugel und die perspektive Anlage.Gesucht ist das perspektive Bild der Kugel.

Perspektive Anlage

Horizont

Spur

Augpunkt

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Die Spiegelung

Flache Arbeit. 1992 Adrian SchiessAutolack auf Verbundglas 4teilig2 x 110 x 600 cmDocumenta 9. Kassel 1992

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Trimetrie

einfallender Lichtstrahl

reflektierter Lichtstrahl

Einfallswinkel = Ausfallswinkel

Wir unterscheiden waagrechte, senkrechte, schräge oder gekrümmte Spiegelflächen.In Architekturdarstellungen finden wir meist die senkrechte Fensterfläche oder die waag-rechte Wasserfläche als Spiegelebene.Die konstruktiven Bedingungen der Spiege-lung beziehen sich ausschließlich auf das Spiegelbild in waagrechter Spiegelebene.

�. Der einfallende Lichtstrahl und der auf der Spiegelebene reflektierte Lichtstrahl liegen in einer zur Spiegelbebene senkrechten Ebene.2. Einfallswinkel = Ausfallswinkeloder. der Winkel zwischen Lot und einfallen-dem Lichtstrahl und der Winkel zwischen Lot und reflektiertem Lichtstrahl sind gleich.

3. Alle durch Punkt P einfallenden Strahlen werden so reflektiert, daß sich die rück-wärtigen Verlängerungen der reflektierten Strahlen in einem Punkt = Spiegelpunkt schneiden.

4. Die Distanz von Punkt 1 zur Spiegelebene entspricht der Distanz des Spiegelpunktes � zur Spiegelebene.entsprechend weitere Punkte.

5. Das vom Auge erkannte Spiegelbild ist nicht symmetrisch dem Orginal. Das Spiegelbild ist abhängig von der Lage des Objektes zum Augpunkt. am Bsp. liegen die Punkte 1 und 2 optisch hintereinander auf einem Sehstrahl. Dies gilt aber nicht für die Spiegelpunkte.

Die konstruktiven Bedingungen der Spiegelung

Punkt P

Soiegelpunkt

Punkt �

Spiegelpunkt �

Augpunkt Punkt �

Punkt 2

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Gerade in der Spiegelebene

Konstruktionsschritte :�. von einem beliebigen Punkt P auf dem Horizont sind die Endpunkte der Geraden auf die Spur der Spiegelebene zu verlängern.2. Geradenlänge in der Spiegelspur spiegeln und Endpunkt mit P verbinden.3. Diese Verbindung begrenzt die Spiegelung senkrecht unterhalb der Geraden. Die Spie-gelung wird außerdem begrenzt durch die Spiegelspur.

Gerade über der Spiegelebene

Konstruktionsschritte wie a, wobei hier über den sog. Kellergrundriß der Geraden, Grund-rißpunkt der Geraden in 0.00 gespiegelt wird und

4. Das Spiegelbild ist begrenzt durch die gespiegelte, erhöhte Standebene selbst.

Perspektive Anlage mit Fußpunkt der Geraden in der Spiegelebene

Horizont

Spur

Spiegelgerade im persp. Bild

Augpunkt

Perspektive Anlage mit Fußpunkt der Geraden über der Spiegelebene

Horizont

Höhe der Standebene über 0.00Spur in 0.00

Höhe der Standebene im persp. Bild

gespiegelte Höhe der Standebene

Spiegelgerade

Augpunkt

Perspektive. Spiegelkonstruktion einer Geraden

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Spiegelkonstruktion eines Prismas

Perspektive Anlage mit Prisma in der Spiegelebene

Horizont

Spur

Spiegelgerade im Grundriß

Augpunkt

Perspektive Anlage mit Prisma über der Spiegelebene

Horizont

Höhe der Standebene über 0.00

Spur


Augpunkt

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zur Konstruktion :

Die wahre Größe des Winkels der Dachneigung ist über die, in den Grundriß geklappte, Giebelwand zu ermitteln.Über den auf den Horizont eingedrehten Aug-punkt, in dem die wahre Winkelgröße angetragen wird, ergibt sich als Schnitt mit der Senkrechten über dem entsprechenden Horizon-talfluchtpunkt der Rampenfluchtpunkt.

Geneigte Richtungen fluchten im Spiegelbild zu den entgegengesetzte = gespiegelten Höhenfluchtpunkten.

Rampenfluchtpunkt links

Horizontalfluchtpunkt links

gespiegelter Rampenfluchtpunkt links

beliebiger Punkt eingedrehter Augpunkt Horizont

Höhe der Standebene über 0.00

Spur


Konstruktion der wahren Größe der Dachneigung

Spiegelkonstruktion eines Prismas mit geneigten Ebenen

Augpunkt

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Das Schattenbild, der Körperschatten und der Schlagschatten, unterstreicht die plasti-sche Wirkung der architektonischen Erschei-nung und betont ihre zeitliche Dimension in Abhängigkeit von der gewählten Lichtsitua-tion.

Das Schattenbild

Eames House. Los Angeles

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ParallelbeleuchtungBei der Annahme einer Lichtquelle im Unendli-chen sprechen wir von Parallelbeleuchtung. Dies gilt insbesondere für das Sonnenlicht, da die Entfernung Sonne zu Objekt im Verhältnis der Entfernung von Objekt zu Schattenbild als unendlich groß angenommen werden Kann.Die konstruktiven Zusammenhänge von Objekt und Schattenbild sind durch die affine Beziehung von Objekt, als Körperschnitt eines Zylinders und Schattenbild, als Grundfläche des Zylinders erläutert.Die einfallenden Lichtstahlen bestimmen die Mantellinien des Zylinders.s.S. 35 Skript 1.Semester: Der Kör-perschnitt des Zylinders und die Affinität

ZentralbeleuchtungBei einer punktförmigen Lichtquelle in endlicher Entfernung sprechen wir von Zentralbeleuch-tung.Dies gilt für alle künstlichen Lichtquellen.Die konstruktiven Zusammenhänge von Objekt und Schattenbild sind durch die kollineale Bezie-hung von Objekt, als Körperschnitt eines Kegels und Schattenbild, als Grundfläche des Kegels erläutert.Die einfallenden Lichtstahlen bestimmen die Mantellinien des Kegels.

s.S. 36 Skript 1.Semester: Der Kör-perschnitt des Kegels und die Kol-lineation

Mehrfach - ZentralbeleuchtungBei der Mehrfach - Zentralbeleuchtung ergeben sich je nach Lage des Objektes zu den Licht-quellen mehrere unterschiedliche Schattenbil-der.z.B Theaterlicht oder Flutlicht.

Diffuse BeleuchtungVon einer diffusen Beleuchtung spricht man, wenn sich kein Schattenbild entwickelt.Man kann sich auch vorstellen, daß das Ojekt von unendlich vielen Lichtquellen beleuchtet wird.z.B. Nebel.

Wir unterscheiden:Schlagschatten = das Schattenbild eines Objektes auf einer Schattenauffangfläche.Rot anlegenKörperschatten = der Schatten der sich am Objekt selbst entwickelt.Grün anlegen

Beleuchtungsarten

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Würfel in Trimetrie

geklapptes Lichtdreieck

Eine Lichtsituation (Rückenlicht von links. technischer Lichtstrahl)) ist in einem Würfel dargestellt.Für die Konstruktion der wahren Größe des Winkels zwischen Grundrißfläche und räumli-chem Lichtstrahl, wird das Lichtdreieck in die Ebene geklappt.Die Lichtsituation muß in mindestens 2 Tafeln gegeben sein.

s.S. 17 Skript 1.Semester: Wahrer Winkel und wahre Länge einer Ge-raden. Grundrißklappung

wir unterscheiden :

eine Lichtsiuation bei allgemeinem Lichtstrahl

Rückenlicht von linksRückenlicht von rechts

Gegenlicht von linksGegenlincht von rechts

Seitenlicht von linksSeitenlicht von rechts

und eine Lichtsituation bei technischem Licht-strahl, d.h. die Lichtrichtungen in den Tafeln sind jeweils 45 Grad zur Horizontalen geneigt und die räumliche Lichtrichtung beträgt 35 Grad.

Das Lichtdiagramm

Würfel in 2 - Tafelprojektion

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II 2 -Tafelprojektion. Schatten allgemein

Der räumliche Lichtstrahl, das Grundrißbild des Lichtstrahls und die Gerade, die den Schatten wirft, bilden eine Ebene, das sog. Lichtdreieck, das senkrecht auf dem Grund-riß steht.Der Schlagschatten der Geraden ist be-stimmt durch- die Grundrißrichtung oder Grundrißabwei-chung des Lichtes = bestimmt die Schattenrichtung in der

Schattenauffangebene und- die räumliche Lichtrichtung oder Höhenab-weichung des Lichtes = bestimmt die Schattenlänge.

Als Konstruktionsvorgaben benutzt man in1. der 2 - Tafelprojektion die Grund- und Aufrißrichtung des Lichtes in2. der Axonometrie die Grundrißrichtung des Lichtes und den räumlichen Licht-strahl und in3. der Perspektive die Grundrißrichtung des Lichtes, dargestellt im Fußpunkt der Lichtquelle und den räumlichen Licht-strahl, dargestellt in der Lichtquelle.

Trimetrie

räuml. Lichtstrahl

Lichtdreieck

Grundrißrichtung

Schattenauffangebene

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Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem Lichtstrahl und Gegenlicht von rechts, die Grundrißfläche eine horizontale Fläche = Schattenauffangebene.

Konstruktionsschritte in der Axonometrie:

�. räumliche Lichtrichtung durch Raumpunkt geschnitten mit der

Schattenbild eines Punktes im Grundriß

2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grund-rißpunkt, ergibt den Schattenpunkt.

Konstruktionsschritte in der 2 - Tafelprojekti-on:

�. Aufrißrichtung des Lichtes durch Aufriß-punkt, der Grundrißrichtung durch Grundriß-punkt zugeornet, ergibt den Schattenpunkt im Grundriß und2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grund-rißpunkt, der Aufrißrichtung durch Aufrißpunkt zugeordnet, ergibt den Schattenpunkt im Aufriß. am Bsp. ergibt sich kein Schattenpunkt im Aufriß.

Seite 31


Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem Lichtstrahl und Rückenlicht von rechts die Grundrißfläche und die Aufrißflä-che, unterhalb der x - Achse, Schattenauffan-gebene.Der Schattenpunkt in der Aufrißebene wird mit - gekennzeichnet ( - SP im Aufriß ).

Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß

Seite 32


Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem Lichtstrahl und Rückenlicht von rechts, die Aufrißebene und die Grundrißflä-che, hinter der x - Achse, Schattenauffange-bene. Der Schattenpunkt im Grundriß wird mit - ge-kennzeichnet (-SP im Grundriß ).

Schattenbild eines Punktes im Auf- und Grundriß

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Das Schattenbild einer Geraden wird punkt-weise ermittelt. Die Konstruktion der Darstellung des Schat-tenbildes des Punktes P der Geraden, ent-spricht der vorhergehenden Konstruktion.

s.S. 31: Schattenbild eines Punk-tes im Grund- und Aufriß

Das Schattenbild der Geraden entspricht der Verbindung Schattenpunkt P mit Fußpunkt der Geraden in der Grundrißebene.Das Schattenbild der Geraden bricht über die x - Achse.

Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden

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Das Schattenbild einer Geraden wird punkt-weise ermittelt. Die Konstruktion der Darstellung des Schat-tenbildes des Punktes P der Geraden, ent-spricht der vorhergehenden Konstruktion.

s.S. 31: Schattenbild eines Punk-tes im Grund- und Aufriß

Das Schattenbild der Geraden entspricht der Verbindung Schattenpunkt P mit Fußpunkt der Geraden in der Aufrißebene.Das Schattenbild bricht über die x - Achse.

Schattenbild einer zweitprojizierenden Geraden

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Steht die Gerade nicht in der Grundriß - oder Aufrißebene, sind die zwei Endpunkte der Geraden als Schattenpunkte zu ermitteln. Die Verbindung beider stellt das Schattenbild der Geraden dar. Dabei werden die Schattenbilder der Geradenpunkte A und B im Grundriß - und im Aufriß dargestellt.Das Schattenbild der Geraden bricht am Bsp. über die x - Achse.Ohne die Darstellung der unsichtbaren Schattenpunkte ist das Schattenbild der Geraden nicht konstruierbar.

Schattenbild einer beliebigen Geraden

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Das Lichtdreieck, das aus der gegebenen Geraden, der räumlichen Lichtrichtung und der Grundrißrichtung des Lichtes gebildet wird, steht senkrecht auf der Grundrißebene.Das Lichtdreieck ergibt mit der schrägen Flä-che, der Schattenauffangebene geschnitten, eine gemeinsame Schnittebene (schraffiert).Auf der beiden Ebenen gemeinsamen Schnitt-spur liegt der gesuchte Schattenpunkt, das Schattenbild des Geradenpunktes A.Es ist der Schnittpunkt von Schnittspur und räumlicher Lichtrichtung.

Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden auf schräge Fläche

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Die Schattenbilder von komplexen, regelmäßig oder unregelmäßigen Figuren werden punktweise ermittelt. Die Verbindung der Schattenpunkte mit-einander ergibt die Schattenfläche.

Schattenbild einer Fläche

Konstruktionsschritte am Bsp. in der 2 - Tafelprojektion :�. Aufrißrichtung des Lichtes durch Aufriß-punkte,der Grundrißrichtung durch Grundrißpunkte zuordnen,ergibt die Schattenpunkte im Grundriß.2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grund-rißpunkte, der Aufrißrichtung durch Aufriß-punkte zuordnen,ergibt die Schattenpunkte im Aufriß. Steht die schattenbildende Fläche paral-lel zur Schattenauffangebene, wird das Schattenbild versetzt, gleichgerichtet und gleich groß abgebildet. (Am Beispiel das Schattenbild im Aufriß).

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Bei räumlichen Objekten ist neben dem Schlagschatten immer auch das Schattenbild am Objekt selbst = der Körperschatten zu bedenken.Bei untenstehendem Beispiel ist die Lichtsituation, als sog. Seitenlicht oder Streiflicht beschrieben, d.h. die Flächen, die parallel zur Grundrißrichtung des Lichtes liegen sind nicht beschattet.

Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die Anlage in der 2 - Tafelprojektion und die Lichtsituation.

Gesucht ist das Schattenbild des Würfels in der 2 - Tafelprojektion.

Hinweis :Da am Beispiel nur in der Grundrißebene ein Schattenbild zu erwarten ist, genügt es die Aufrißrichtung des Lichtes durch die Aufrißpunkte, der Grundrißrichtung durch die entsprechenden Grundrißpunkte zuzuord-nen, um die Schattenpunkte im Grundriß zu ermitteln.

Schattenbild eines Würfels

Seite 39


Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die Anlage in der 2 - Tafelprojektion und die Lichtsituation.Gesucht ist das Schattenbild des Würfels in der 2 - Tafelprojektion.

Schattenbild eines Würfels auf horizontale Fläche

Seite 40



Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Fläche

Seite 41



Schattenbild eines Würfels auf horizontale,vertikale und schräge Fläche

Seite 42


Gegeben ist das Bild einer Kugel im Grund- und Aufriß und die Lichtsituation.Gesucht ist das Schattenbild der Kugel in den Tafeln.

Hinweis : Die Konstruktion des Grundrißbildes des Schattens erfolgt mit einer in Grundrißrich-tung des Lichtes 1. - projizierenden Hilfsebe-ne.Die Konstruktion des Aufrißbildes des Schattens erfolgt mit einer in Aufrißrichtung des Lichtes 2. - projizierenden Hilfsebene.

Schattenbild einer Kugel

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Axonometrie. Das Schattenbild

Five into one. 1992Matt Mullican

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Das Stuhlobjekt Modell. Zig - Zag von Gerrit Rietveld ist im Skript des �.Semesters zum Thema Grundrißaxonometrie beschrieben.

Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation (Grundrißlichtrichtung und Aufrißlichtrichtung)in der 2 - Tafelprojektion.

Gesucht ist das Schattenbild.

Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche

Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation (Grundrißlichtrichtung und räumliche Lich-trichtung) in der Trimetrie.


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Die Konstruktionsvorgabe könnte einer Ausstellungssituation entspre-chen, die den ZIG-ZAG in einer Raumecke zeigt.Die Beurteilung des Schattenbildes nach gestalterischen Gesichtspunk-ten ist negativ. Die Dynamik des Objektes ist nicht im Schattenbild gespiegelt. Eine Reihe von Variationen der Parameter.die Lage des Objektes zu der Raumecke und/oder die Lichtsituation könnten in der Zeichnung oder im Modell Klarheit schaffen.


Gesucht ist das Schattenbild .

Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche

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Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive. Das Schattenbild

Robert Wilson. Bühne zu Lohengrin von Richard Wagner. 3.Akt. Zürich 1991

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Das Problem der Darstellbarkeit des Schat-tenbildes eines komplexen Körpers wird zunächst - um die Konstruktion zu erleichtern - auf die Frage nach dem Schattenbild einer, meist senkrecht stehenden, Geraden redu-ziert.

Der Schatten einer Geraden wird bestimmt durch :

� den Winkel der einfallenden Lichtstrahlen (Höhenabweichung) und

2 die Richtung der einfallenden Lichtstrahlen (seitliche Abweichung). Die Koordinaten des Bildes der Lichtquelle zum Augpunkt machen diese Abweichungen erkennbar.

Konstruktionsidee

Der Schatten einer Geraden ist die Schnittge-rade, die sich aus der Durchdringung zweier Ebenen ergibt.� die Lichtebene ( = Ebene � ), die durch die Lichtquelle und die Gerade aufgespannt wird und2 die Schattenauffangebene ( = Ebene 2 ).

Konstruktionsüberlegungen

. Ebene � ist durch einen Punkt und eine Gerade definiert (Lichtquelle, Endpunkt und Fusspunkt der Geraden in der Ebene 2).

. Die Schattenrichtung der Geraden in der Ebene 2 ist definiert durch die Fluchtgerade der Ebene und die Ausbrei-tungsrichtung der Geraden.. Die Schattenlänge definiert der Abstand der

Geraden zur Lichtquelle und die Länge der Geraden selbst.

Konstruktionsvorgang

In Ausbreitungsrichtung der Geraden durch die Lichtquelle, finden wir als Schnittpunkt mit der Fluchtgeraden der Schattenauffange-bene, den Fußpunkt der Lichtquelle.Verbindung von Fußpunkt Lichtquelle mit Fußpunkt Gerade= Schattenrichtung.Verbindung von Lichtquelle mit Endpunkt Gerade= Schattenlänge.

Konstruktionsidee

Lichtquelle

Fußpunkt LichtquelleHorizont

Augpunkt

Endpunkt der Geraden

Fußpunkt

Schattenauffangebene

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Parallel - und Zentralbeleuchtung. Lichtarten

Wir unterscheiden :

. die Zentralbeleuchtung, bei der eine Lichtquelle im Endlichen angenom-men wird, was einer künstlichen Lichtsituation entspricht z.B. Theaterlicht siehe : Beispiele ab Seite 58 ff . die Parallelbeleuchtung, bei der die Lichtquelle im Unendlichen ange-nommen wird. Die Vorstellung der Lichtquelle im Unendlichen, entspricht dem natürlichen Licht.Zu den Bestimmungen der Grundriß- und Raum-richtung des Lichtes für das Schattenbild in den Axonometrien, kommt in der Perspektive die Bestimmung des Betrachters, als weitere Relati-on des Bildes dazu.siehe : Beispiele ab Seite 50 ff

. Seitenlicht

Die Lichtrichtung ist parallel zur Bildebene und hat deshalb keinen endlichen Bildpunkt. Zur Konstruktion genügt die Angabe der Neigung des Lichtstrahles zum Horizont.

. Gegenlicht

Bildpunkt Sonne oder die Lichtquelle ist oberhalb des Horizontes.

- direktes Gegenlicht heißt, die Lichtquelle liegt auf dem Hauptsehstrahl

- Gegenlicht von rechts heißt, die Lichtquelle liegt rechts vom Hauptsehstrahl

- Gegenlicht von links heißt, die Lichtquelle liegt links vom Hauptsehstrahl.

. Rückenlicht

Bildpunkt Sonne oder die Lichtquelle ist unter-halb des Horizontes.

- direktes Rückenlicht heißt, die Lichtquelle liegt auf dem Hauptsehstrahl

- Rückenlicht von rechts heißt, die Lichtquelle liegt links vom Hauptsehstrahl

- Rückenlicht von links heißt, die Lichtquelle liegt rechts vom Hauptsehstrahl.

Seite 50


Für die Festlegung der Lichtquelle im perspektiven Bild sind 3 Bestimmungen notwendig :

Lichtquelle

Fußpunkt LichtquelleHorizont

Spur

Bildebene

�. die Lichtart (Seitenlicht, Rückenlicht oder Gegenlicht).

2. die Winkeldrehung der Grundrißrichtung des Lichtes zum Hauptsehstrahl = seitliche Abweichung, die den Fußpunkt der Lichtquelle definiert.

3. der Winkel der einfallenden Lichtstrahlen zum Grundriß = Höhenabweichung (sichtbar in geklappter Ebene), die die Lichtquelle definiert.Am Bsp. handelt es sich um Gegenlicht von rechts.seitliche Abweichung = 24 GradHöhenabweichung = 36 Grad

Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive und dem Schattenbild

Seite 5�

© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Fluchtpunkt derGeraden in allgemeiner Richtung

Lichtquelle

Horizont

Spur

Bildebene

Alle Geradenrichtungen in der waagrechten Fläche , also auch die Schattenrichtungen der Geraden in der waagrechten Fläche ha-ben ihren Fluchtpunkt auf dem Horizont.

Der Fußpunkt der Lichtquelle, oder der

Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation der Geradenrichtungen

Fluchtpunkt der Schattenrichtung ist je nach Ausbreitungsrichtung der Geraden auf dem Horizont zu bestimmen.

� Gerade steht senkrecht auf der Standebe-ne.

2 Gerade steht auf der Standebene gekippt.

3 Gerade steht in allgemeiner Richtung, die durch den Fluchtpunkt definiert ist.In Ausbreitungsrichtung der Geraden bedeu-tet in dem Fall durch den Fluchtpunkt.

s.S.53 : Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation der Geradenrichtungen.

Augpunkt

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LichtquelleGegenlicht von links

HorizontFußpunkt Lichtquelle

Spur

Bildebene

Augpunkt

Schattenbild einer Geraden in der schrägen Ebene

Hinweis :

Die Fluchtgerade der Rampenebene, die der Schattenauffangebene entspricht, ist durch den Rampenfluchtpunkt und den horizontalen Fluchtpunkt der Ebene definiert.

Seite 53


Die Fluchtgerade der Schattenauffange-bene = Wandebene ist in den Beispielen eine durch den Fluchtpunkt der Wandfläche bestimmte Senkrechte.

Der Fußpunkt der Lichtquelle ist je nach Ausbreitungsrichtung der Geraden zu be-stimmen.

� Gerade steht senkrecht auf der Wandebe-ne.

2 Gerade steht auf der Wandebene gekippt.

3 Gerade steht in allgemeiner Richtung, die durch den Fluchtpunkt definiert ist.In Ausbreitungsrichtung der Geraden bedeu-tet in dem Fall durch den Fluchtpunkt.

s.S.51 : Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation der Geradenrichtungen.

Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation der Geradenrichtungen

Lichtquelle und Fußpunkt Lichtquelle

Fluchtpunkt der Ge-raden in allgemeiner Richtung

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Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trime-trie, die perspektive Anlage und die Lichtsi-tuation.

Reines Seitenlicht, d.h. die Grundrißlich-trichtung des Lichtes entspricht einer Grund-

rißrichtung des Körpers, der x - Achse oder der y - Achse.Die Körperflächen in dieser Richtung erhalten Streiflicht. Da die Grundrißrichtung des Lichtes in der Perspektive parallel zur Bildebene verläuft ergibt sich bei dem Beispiel kein Fußpunkt Lichtquelle, d.h. der Schatten kann wie in der Axonometrie konstruiert werden. Allgemein gilt, dass der Fusspunkt Lichtquel-le bei Streiflicht dem Fluchtpunkt der Grund-rissrichtung entspricht.

s.S. 49: Lichtarten Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.

Schattenbild eines Würfels bei Seitenlicht

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene


Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels.

Gegenlicht von links, d.h. die Lichtquelle liegt links vom Hauptseh-strahl und oberhalb des Horizontes.

s.S. 49: Lichtarten

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Rückenlicht von rechts, d.h. die Lichtquelle liegt links vom Hauptseh-strahl und unterhalb des Horizontes.

s.S. 49: Lichtarten

Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene bei Rückenlicht

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Hinweis: Gegenlicht von links, d.h. die Lichtquelle liegt links vom Hauptseh-strahl und oberhalb des Horizontes.

s.S. 49: Lichtarten

Schattenbild eines Würfels auf vertikale und schräge Ebene bei Gegenlicht

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Lichtquelle

Horizont

Spur

Fußpunkt Lichtquellein der Standebene

Bildebene

Augpunkt

Gegeben ist das perspektive Bild eines Prismas und 2 senkrechte Geraden in der Standebene und die Lichtsituation.

Die Lichtsituation bei der sog. Zentralbe-leuchtung

s.S. 49: Lichtartenwird beschrieben durch eine Gerade, de-ren Endpunkt die Lichtquelle und deren Fußpunkt, meist in der Standebene, den Fußpunkt der Lichtquelle im Endlichen darstellt.Die Schattenkonstruktion entspricht der Konstruktion bei Parallelbeleuchtung.Gesucht ist das perspektive Bild und das Schattenbild.Die Lichtsituation entspricht künstlichem Licht, wobei, wie bei einer Flutlichtanlage oder im Theater, mehrere Lichtquellen denkbar sind.

Zentralbeleuchtung. Schattenbild einer Geraden bei endlicher Lichtquelle

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Schattenbild eines Würfels auf horizontale Ebene

Seite 60




Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene

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Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation.


Schattenbild eines Würfels auf horizontale und schräge Ebene

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Geometrische Grundkonstruktionen

Strecken

Senkrechte im Punkt AKreisbogen mit r um A schlagen. Um B und C Kreisbögen mit Radius BC. AD senkrecht auf BC.

Strecke AB halbieren und Mittelsenkrechte auf ABUm A und B Kreisbögen mit r (r= größer als AB/2) schlagen. CD ist Mittelsenkrechte und halbiert AB.

A B

C

D

Senkrechte im Punkt BUm B, C und D Kreisbögen mit r schlagen. Die Verlängerung von CD über D hinaus schneidet den Kreis umd D in E. BE ist in B senkrecht auf AB.

Goldener SchnittSenkrechte in B zeichnen und AB/2 abtragen. C und A verbinden. Kreisbogen um C mit Radi-us BC schneidet AC in D. Kreisbogen um A mit Radius AD schneidet AB in E. Es verhält sich a : b = b : c . Der Goldene Schnitt a : b etwa 1000 : 618 = 1 : 0,618

Lot auf Gerade BCUm A, B und C Kreisbögen mit r schlagen. AD ist senkrecht auf BC.

D E

D

B C

A

D

A B

E

D

C

Strecke AB teilenAC unter beliebigem Winkel zu AB.AC (z.B. in drei gleich lange Teilstrecken) teilen. C mit B verbinden und Parallelen zu BC durch D und E ziehen.

Parallele zu AB durch CUm D ( auf AB beliebiger Punkt ), C und E Kreis-bögen mit Radius CD schlagen. C mit F verbin-den. Die Gerade durch CD und F ist parallel zu AB.

C F

A D E B

A E B

D

C

A C B B A C

Winkel

Halbieren eines WinkelsUm A, B und C Kreisbögen mit r schlagen. AD halbiert den Winkel CAB.

C

D

A B

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P

Winkel von 30 Grad und 60 Grad konstruierenUm A, B und C Kreisbögen mit gleichem Radius schlagen. AC ist Schenkel zu Winkel CAB, AD ist Schenkel zu Winkel DAB.

A B

C D

Winkel ohne Scheitel halbierenParallele zu g 1 schneidet g 2 in S. Um S Kreis-bogen mit r schlagen. A mit B verbinden und bis C verlängern. Mittelsenkrechte auf AC ist die Winkelhalbierende.

g 2

g �

S

A

B

C

Rechten Winkel drittelnUm A, B und C gleichgroße Kreisbögen schla-gen. AD und AE dritteln den rechten Winkel

A B

D

E

C

Winkel übertragenUm A und D Kreisbögen mit r schlagen. Schen-kelneigung BC abgreifen und Kreisbogen mit Radius BC um E schlagen. DF entspricht AC.

A B D E

C F

Kreise

Kreismittelpunkt Zwei nichtparallele Kreissehnen zeichnen. Die Mittelsenkrechten dieser schneiden sich im Kreismittelpunkt.

Tangente in einem Punkt des KreisesPunkt P mit M verbinden. Auf MP in P Senkrech-te zeichnen = Tangente.

Tangente an Kreis von einem Punkt ausP mit M verbinden und über MP Thaleskreis zeichnen. Verbindung AP = Tangente an Kreis von P aus.

MM

M

P

A

Geometrische Grundkonstruktionen

Umkreis eines DreiecksDer Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Dreiecksseiten = M.

M

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Innkreis eines DreiecksDer Schnittpunkt der Winkelhalbierenden = M

Abwicklung des KreisumfangesAuf Waagrechte durch M Durchmesser d abtra-gen. Um A Kreisbogen mit d/2. Die Verbindung CB verlängern auf Senkrechte über D = E. DE entspricht 1/12 des Kreisumfanges.

M

A

M

C

BE

D M C

Regelmäßige Vielecke

Gleichseitiges DreieckKreisbogen mit r um D.

4 - 8 - ... EckPunkte A, B, C, D zu einem Quadrat verbin-den. Die Teilung der Quadratseiten ergibt das 8 - Eck...

5 - 10 - ... EckMC halbieren und von E mit Radius EB Punkt F darstellen. BF entspricht der Länge der Fünfeckseite.

EF

BA

B

C

D

D

M

6 - 12 - ... EckRadius r von A aus auf Kreis abtragen. Radius r von B aus auf Kreis abtragen

B

A

7 EckUm A Kreisbogen mit r. BC/2 = 1/7 des Kreisumfanges.

B

A

A

B

CD

9 EckUm A und B mit d C und D darstellen. AB in neun Teile teilen. Von C und D aus durch die gerad-zahligen Teilpunkte 2, 4, 6, und 8 auf den Kreis verbinden ergibt die Kreisteilpunkte.

D


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11 EckAB in �� Teile teilen. Über A und über C hinaus verlängern um 1/11 Teil der Strecke AB. Die Ver-bindung EF ergibt den Schnittpunkt G mit dem Kreis. Die Verbindung GD entspricht 1/11 des Kreises. D ist der 3. Teilpunkt.

E

G

F

C

A D M B


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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Index Teil I

A

Abwicklung 46

Abwicklung durch Grundrißklappung 47

Abwicklung einer Pyramide über die Spitze 49Abwicklung mit Hilfe der Höhenzuordnung 46Abwicklung mit Hilfe des Querschnittes 48

Abwicklung des Kreisumfanges 85Affinität 35Aufrißaxonometrie 8, 56Aufrißdrehung 18Augpunkt 67, 76Axonometrien 8, 50

B

Beliebige Gerade 16Besondere Geraden 19Bildebene 67, 76Bildtafeln 13

D

dimetrische Axonometrie 58dimetrische Darstellungen 52DIN 5 8, 58Distanzpunkte 81Durchdringungen 39

Höhenebenenverfahren 40Mantelebenenverfahren 41Parallelebenenverfahren 42Pendelebenenverfahren 43, 44, 45

Durchstoßpunkt 28Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch eine 28Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch zwei 29Körperschnitt mit Hilfe der Durchstoßpunkte 37

E

Ebene 22Abstand eines Punktes von einer Ebene 26Besondere Geraden einer Ebene 23

Fallinien 23Frontlinie 23Höhenlinie 23

Drei - Punkte - Ebene 25Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch eine 28Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch zwei 29Pendelebenenverfahren 29Punkt und Ebene 24Punkt und Gerade spannen eine Ebene auf 30Wahre Größe einer Ebene 33

Konstruktion mit hilfsprojizierender Ebene 34Konstruktion mit Stützdreieck 33

Wahre Größe und Neigung des Abstandes von einer Eb 27Wahrer Winkel zwischen zwei Ebenen 32

Ebenenarten 88Einschneideverfahren 52

F

Fallinie 23Frontlinie 19, 23

G

Gerade 16Aufrißdrehung oder Mongsche Drehung 18Beliebige Gerade 16Besondere Geraden 19

Frontlinie 19

Hauptlinie 19Höhenlinie 19projizierende Gerade 19

Wahrer Winkel und wahre Länge 17Zwei beliebige Geraden 20Zwei sich schneidende Geraden 21

Gleichseitiges Dreieck 85Goldener Schnitt 83Grundrißaxonometrie 8, 54

H

Hauptlinie 19Hauptpunkt 67Hauptsehstrahl 67Höhenebenenverfahren 40Höhenlinie 23Höhenübertragung 74Horizont 67Horizontebene 67

I

Ingineurprojektion 8Inhaltsverzeichnis 2Innkreis eines Dreiecks 85Isometrie 60isometrische Darstellungen 52

K

Koinzidenzebene �5Kollineation 36Koordinatenachsen 5�Körper 37

Abwicklung durch Grundrißklappung 47Abwicklung einer Pyramide über die Spitze 49Abwicklung mit Hilfe der Höhenzuordnung 46Abwicklung mit Hilfe des Querschnittes 48Arten von Durchdringungen 39Durchdringung und Höhenebenenverfahren 40Durchdringung und Mantelebenenverfahren 41Durchdringung und Parallelebenenverfahren 42Durchdringung und Pendelebenenverfahren 43, 44, 45Körperschnitt mit Hilfe der 3. Projektion 38Körperschnitt mit Hilfe der Durchstoßpunkte 37

kotierte Projektion 8, 11Kreise 84

L

Linienarten 88Literaturliste 87Lot 83

M

Mantelebenenverfahrens 41Mittelsenkrechte 83Mongsche Drehung 18

N

Normalebene 32

P

Parallele 83Parallelprojektion 9Pendelebenenverfahren 29Perspektive 64

Begriffe 67Die Höhenübertragung 74Die perspektive Anlage 75

Bildebene und Augpunkt 76Grundrißanlage 75Horizont und Spur 78Objektgrundriß und Augpunkt 79Skalierung 76Spur und Bildebene 77

Elemente der Perspektive 70Darstellung einer Geraden 71Darstellung einer im Grundriß beliebigen Geraden 72Darstellung einer im Raum beliebigen Geraden 73Darstellung eines Punktes 70

Klappung 69Konstruktionsverfahren 80

Perspektive aus dem Grundriß 80Perspektive aus zwei Rissen 80Übereckperspektive mit Meßpunkten 82Zentralperspektive mit Distanzpunkten 81

Perspektive bei geneigter Bildebene 66Übereckperspektive 66Verzerrung 68Zentrale Projektionen 65Zentralperspektive 66

Projektionsstrahlen 9projizierende Ebene 18projizierende Gerade 19Punkt 13

in der Symmetrie- und in der Koinzidenzebene �5Lage im Raum 14Umklappung der Bildtafeln 13

R

Rampenfluchtpunkt 73Rechten Winkel dritteln 84Regelmäßige Vielecke 85

S

Schräge Projektionen 50Senkrechte 83Senkrechte Axonometrie 62senkrechte Projektionen 8

Senkrechte Projektionen allgemein 10Spur 67, 77Spurgeraden 14Standebene 67Strecken 83Symbole 88Symmetrieebene �5

T

Tangente 84Tiefenlinie 71trimetrische Axonometrie 52trimetrische Darstellungen 52

U

Übereckperspektive 8, 66Umkreis eines Dreiecks 84

V

Verkürzungsverhältnisse 51Verschschwindungsgerade 69Vielecke 85

W

Winkel 83Winkel ohne Scheitel halbieren 84Winkel von 30 Grad und 60 Grad konstruieren 84

Z

Zeichenebene 69Zentrale Projektionen 8, 64Zentralperspektive 8, 66Zentralprojektion 9ZIG - ZAG 53

Zweitafelprojektion 12

Seite 67


A

Ausbreitungsrichtung der Geraden 48

B

Brennpunkte 7

D

Diffuse Beleuchtung 27

E

Ellipse 3, 4, 5, 7, 14Endpunkt der Geraden 48

F

Faden - oder Gärtnerkonstruktion 12Fluchtgerade der Ebene 48Fußpunkt der Lichtquelle 48Fußpunkt Lichtquelle 58

G

Gegenlicht 28, 49Geradenrichtung 53

H

Hauptachse der Ellipse 7

Höhenabweichung 48, 50Hüllzylinder 17Hyperbel 3

K

Kegel 4, 5, 6Konjugierte Durchmesser der Ellipse 8Korbbogenkonstruktion 10Kugel 17Kugel in der Perspektive 18Kugel mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse 20Kugel mit Hilfe von Schnittebenen 19

L

Lichtart 50Lichtdiagramm 28Lichtdreieck 28Lichtebene 48Literaturliste s.Skript �.Semester

M

Mehrfach - Zentralbeleuchtung 27

N

Nebenachse der Ellipse 7Neigungswinkel 3

P

Papierstreifenkonstruktion ��Parabel 3, 6, 16Parallelbeleuchtung 27

R

Rampenfluchtpunkt 52Rückenlicht 28, 49, 56Rytzsche Konstruktion 8, 9

S

Schattenauffangebene 48Schattenbild 34Schattenbild einer beliebigen Geraden 35Schattenbild einer Fläche 37Schattenbild einer Geraden 33, 34, 35Schattenbild einer Geraden auf 36Schattenbild einer Kugel 42Schattenbild eines Punktes 30, 31, 32Schattenbild eines Würfels 38, 39, 40, 41Schattenlänge 48Scheitelkrümmungskreiskonstruktion ��Seitenlicht 28, 49, 54seitliche Abweichung 48, 50Spiegelpunkt 22Spiegelspur 23Spiegelung 22

T

Tangente an den Punkt 7Tangentenkonstruktion 10technischer Lichtstrahl 28

W

Winkel der einfallenden Lichtstrahlen zum Grundriß 50Winkeldrehung der Grundrißrichtung des Lichtes zum 50

Z

Zentralbeleuchtung 27

Zig - Zag von Gerrit Rietveld 44

Index Teil II

Seite 68

© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Symbole

PunktePunkt im Grundriß

Punkt im AufrißPunkt im Seitenriß

Schnittpunkt, Durchstoßpunkt, SpurpunktMittelpunkt

Brennpunkt. FluchtpunktAugpunkt

GeradenStrecken

kartesische KoordinatenSpurgeradenHöhenlinien

FrontlinienFallinien

EbenenGrundriß

Aufriß Seitenriß

Polygone

LängeHöhe

RadiusParallele

Winkel90 Grad - Winkel

LinienartenKörperkanten sichtbar Körperkanten sichtbar

Körperkanten unsichtbarKörperkanten unsichtbar

KonstruktionslinienKonstruktionslinien

Ergebnislinien sichtbarErgebnislinien unsichtbar

Ebenenartenherausgehobene Ebene

Schlagschattenebene Körperschattenebene

P �, P 2, P 3, ... A, B, C, ...P ‚P ‚‘P ‚‘‘SMF0.0

g �, g 2, g 3 ...AB, AC, BC ...x, y, zs �, s 2, s 3 ...h �, h 2, h 3 ...v �, v 2, v 3 ...f �, f 2, f 3 ...

E �, E 2, E 3 ...π�π 2π 3

ABC, ABCD ...

lh

r||

α,β,γ

schwarz. voll 0,25schwarz. voll 0,15schwarz. gepunktet 0,35schwarz. gepunktet 0,25grün. voll 0,15grün. gepunktet 0,25rot. voll 0.15rot. gepunktet 0.25

schraffiert. schwarzgefüllt. rotgefüllt. grün

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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Literaturliste

Anschauliche GeometrieHilbert. Cohn VossenSpringer Verlag 2. Auflage 1996

ARCH + 137Anfänge moderner RaumkonzeptionJuni 1997

BaugeometrieDarstellende Geometrie als Zeichen- und Kon-struktionshilfe für Architekten und Bauingenieure I,IIBrauner, Heinrich, Kickinger, WalterWiesbaden, Berlin 1977

Darstellende GeometrieHochschulwissen in EinzeldarstellungenGraf, BarnerHeidelberg 1973

Darstellende Geometrie Klix. NickelVEB Fachbuchverlag Leipzig 1990

Darstellende GeometrieFucke, Kirch, NickelVerlag Harri Deutsch, Frankfurt 1989

Darstellende Geometrie für konstruierende BerufeMeyer. Heisig. Weber. HohmannSchroedel.Gehlen Verlag 1975

Darstellende GeometrieW.Noli. Teil 1.2 und 3. Selbstverlag. Gießen 1985

Darstellende GeometrieTeil 1 und 2. Pumann. Pumann Verlag. Coburg

Darstellende GeometrieWalter Wunderlich. Verlag Bibliografisches Insti-tut. Mannheim. 1984

Darstellende GeometrieBand 1 und 2. Fritz Reutter. Verlag G. Braun. Karlsruhe. 1988

Darstellende Geometrie Prof. Arno Bonanni.Skriptum des Fachgebietes für Architekturdar-stellung und -gestaltung der TU Berlin. Berlin. 1985

Darstellende Geometrie W.Noli. Selbstverlag. Gießen. 1989

Darstellende Geometrie für konstruierende BerufeMeyer. Heisig. Weber. HohmannSchroedel.Gehlen Verlag 1975

Entwerfen und Darstellen Die Zeichnung als Mittel des architektonischen Entwurfs Roland KnauerErnst und Sohn-Verlag. 1991

Faszination des Scheins 500 Jahre Geschichte der Perspektive. Otto PatzeltVerlag für Bauwesen GmbH. Berlin 1991

Geometrische Grundlagen der Architektur-

darstellungCornelie LeopoldKohlhammer. Architektur 1999

Geometrie der Architekturzeichnung Einführung in Axonometrie und Perspektive. T. Hilpert Vieweg Verlag Braunschweig 1988

Grundlehre Geometrie Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen. Kürpig. Niewiadomski Vieweg Verlag Braunschweig 1992

Grundlagen der DarstellungPerspektive und perspektives Zeichnen. 2 Bände. Vorlesungsskript der TU München. Prof. Wienands

Lehre der Perspektive und ihre AnwendungR.Schmidt. Augustus Verlag. Augsburg 1991

Perspektiven. ProjektionenGrundlagen - Anwendungsbeispiele - ÜbungenAndreas Wieser. Werner Verlag 97

PerspektiveSchritt für Schritt. R.Schmidt, Bauverlag 1988

Perspektive und Axonometrie R.Thomae, Kohlhammer 1976

Perspektive MPZ - München 1989

Zeichnen und Darstellende GeometrieK. HenkeUniversität Stuttgart. Institut für Entwerfen und Konstruieren. Vorlesungsskript. 1994

Zirkel und LinealKulturgeschichte des konstruktiven Zeichnens. Jörg Sellenriek Callwey. München 1987

© hochschule münchen. architektur fakultät. darstellende geometrie … · 2021. 1. 25. ·...

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