スペクトル解析 （Spectrum analysis）

•

5.1 フーリエ級数

Fourier series

•

5.2 フーリエ変換

Fourier Transform

•

5.3 パワースペクトル

Power spectrum

•

5.4 離散データのフーリエ展開

For discrete time series

–

ナイキスト周波数とエイリアジング

Nyquist

frequency and aliasing

•

5.5 ピリオドグラム法

Periodogram

method

•

5.6 スペクトルと相関関数

Spectrum and correlation function

•

5.7 クロススペクトルとコヒーレンス

Cross-spectrum and coherency•

5.8 スペクトルの推定法と推定誤差

Estimation of spectrum and its error•

5.9 スペクトル解析の例

applications

5.1 フーリエ級数

Fourier series•

周期性を持った波は、どんなに複雑なもので

も、たくさんの単純な波の足し合わせででき ている。

→

単純な波に分解できる。

周期と振幅が異なる正弦波と余弦波

周波数1

周波数2

周波数3Sin 3

1

2

Cos 1

2

3

フーリエ級数による表現は、、、

各周波数ごとの波の振幅

周波数1 2 3

S

C

スペクトル

フーリエ級数

例題）矩形波をフーリエ級数で表す

-π π

T = 2 πなので、- πからπまで積分

（和達, 1982）f(x) は奇関数なので、奇関数である

sin の項

のみで表現される

n項目

1項目まで

3項目(n=5)まで

6項目(n=11)まで

緑が再現波形

この係数が大きい

GibbsGibbs現象現象関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる

第1項から第10項までの和

11項から100項までの和

塵も積もれば山（崖）となる、、、Little strokes fell great oaks.

Every little bit helps.

Contribution from high-frequency terms

複素フーリエ級数

5.2 フーリエ変換（積分）Fourier transform (integral)

C(f)

周期

T が無限大という

ことは、非周期関数を意味している

5.3 パワースペクトル power spectrum

スペクトル！波に分解→それぞれの振幅

フーリエ変換の強度フーリエ変換

フーリエ逆変換

周期信号

非周期信号

フーリエ級数展開 フーリエ変換（積分）

離散スペクトル

連続スペクトル

周期無限大

パワースペクトルpower spectrum

Power spectrum density

エネルギースペクトル

単位時間当たり

C(f)

5.4 離散データのフーリエ変換Fourier transform for discrete data series

フーリエ変換（級数）は連続的な関数を対象にしているが、我々が扱う

データは、気温、風速などの離散データ

この間は関数が一定であるとして積分を和で置き換える

近似

⊿t

2⊿t

エイリアジング

aliasing

⊿tのサンプリングで表現できる最も短い波長は2⊿tナイキスト振動数（Nyquist

frequency）

fn = 1/ 2⊿tωn

=2πfn

=π/ ⊿t

t 0

エイリアジング

Nyquist

frequency（ナイキスト周波数）

実際にはこのようなスペクトルが得られてしまう

周期2の波を1.5毎にサンプル

エイリアジング周期

例題） T0 = 1.2の波をΔt = 1 でサンプルしたら？

上記の1番目の式を適用

上記の1番目の式で

n = 1 として Ta = 6

海洋潮汐潮汐成分の残ったデータを⊿t＝24hで読み取る場合、

2⊿t＝48h以下の

周期の信号はエイリアジングを起こす。

読み取る前にフィルターをかけて潮汐成分を取り除く必要あり

エイリアジングの例

11.97 199.5

小樽での2011年6月1日から14日にかけての潮位予測（気象庁HPで作成）

5.5 スペクトル（ピリオドグラム

Periodogram)

伊藤・見延

(2010)

ピリオドグラムの特性・問題点

自己共分散関数

スペクトル

フーリエ変換

フーリエ逆変換

ウィーナーヒンチンの関係Wiener-Khinchin

relation

Auto-correlationfunction

spectrum

Fourier transform

5.6 スペクトルと相関関数

例題) 白色雑音の相関関数とパワースペクトルは？

日野(1977)

自己共分散関数

スペクトル

フーリエ変換

5.7 クロススペクトルとコヒーレンスcross-spectrum and coherence

相互共分散関数

クロス・スペクトル

Auto-correlation spectrum

Cross-correlation cross-spectrum

クロススペクトルとコヒーレンス

生データ

Raw data

自己相関correlation

複素フーリエ成分Fourier component

スペクトルspectrum

直接法の手法として、Fast Fourier Transform(FFT)を用いる

(Cooley-Tukey法)。

Blackman-Tukey法

Maximum Entropy Method : MEM・スペクトルの周波数分解能と推定精度の向上が同時に図れる。（直接法や相関法では不可能）・最近まで標準的な有意性検定方法が提案されていなかった。

5.8

スペクトルの推定法と推定誤差 Estimation of spectrum

相関

直接

直接法（FFTを用いる）による スペクトル解析の手順（概略）

1.

データ数の決定FFTを用いる場合には、一般にデータ数を2のべき乗にし

ければならない データの一部を削るか、後ろに値が0の

データを加えるか（ゼロパッディング）する。（ゼロパッディングにより周波数分解能が向上する。）

2. トレンドなどの除去（必要なら）3. データウインドウの適用（必要なら）

cos20、Hanning、Hammingテーパーなど4. FFTを用いて生のスペクトルを計算5. 周波数空間で平滑化 最終的なスペクトル

（平滑化を分割平均で行う場合は、2の前に入力時系列を時間領域で分割し、そのそれぞれのスペクトルの平均を最終的なスペクトルとする。）

6. スペクトルの推定誤差を評価

Boxcarデータ・ウインドウとそのスペクトル・ウインドウ

データ数: 32

Hは最大値を1に規格化

main lobe

side lobes

データ・ウインドウとテーパー

Boxcarウインドウの両端で値が急激に変化するので、スペ クトルのピークの周波数から他の周波数にスペクトルの漏 れが発生

データの両端で値を緩やかに減衰させるテーパーを適し、スペクトルの漏れを軽減

ピークを解像する能力が低下（スペクトルの漏れを軽減するのは、スペクトル推定の周波数解像度を減少させるという犠牲の下でのみ可能）

テーパーCos20 Hanning

Hamming

小さな

side lobe スペクトルの漏れを抑制(Hamming) main lobe が広くなる

テーパーの効果

伊藤・見延

(2010)

あるスペクトル・ ピークの信頼限界の

下限がその前後の周 波数での信頼限界の 上限を上回っている 場合に、そのピーク は統計的に有意

x(t)=cos(2πt/21)+0.2cos(2πt/9)

テーパーによって周波数解像能が低下

スペクトルの漏れが大 スペクトルの漏れが小

平滑化による効果

周波数平滑化の強化

精度の向上周波数分解の低下

(Emery and Thomson, 2001)

生 平均数：

平均数： 平均数：

スペクトルの誤差推定

アルファの数え方以前の表とは逆

2乗コヒーレンスの有意水準

5.8 スペクトル解析の実例

その１スペクトルの形状の議論

(Toba et al., 1984)

水平スケールの違いによスペクトルの傾きの違い異なったレジームを示唆

海面水温の空間スペクトル解析

縦軸・横軸ともに対数座標

5.8 スペクトル解析の実例

その２

宗谷暖流の5-20日周期の変動のメカニズム(Ebuchi

et al.,

2009)

レーダーによる表層の流速（月平均）

表層の流速と稚内と網走の水位差

水位（水位差）と表層の流速のスペクトル

水位（特に稚内）では13.66日の潮汐の周期が卓越水位差と流速には5-20日周期の広いピークが有り

縦軸・横軸とも対数でプロット

水位差と流速の2乗コヒーレンスと位相

5-20日の周期で2乗コヒーレンスが大きい（13.66日の周期では値が小さい）負の位相は水位差が流速をリード

点線は0.5, 1, 2日の位相差

有意水準

南風日本海とオホーツクの水位差が増大宗谷暖流の強化

まとめ

•

時系列は異なる周期を持つ波に分解できる。 パワースペクトルを計算することにより周波 数空間での変動の強弱を調べることができる。

•

ナイキスト周波数より高周波の信号は折りた たみ効果により低周波スペクトルを汚染する。

（エイリアジング）

•

相関関数とパワースペクトルは等価である。

•

相互相関関数とクロススペクトルは等価であ る。