МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ І

ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ

На правах рукопису

Кремець Ярослав Сергійович

УДК 514.18

ГЕОДЕЗИЧНІ ЛІНІЇ ПОВЕРХОНЬ В ЗАДАЧАХ АРМУВАННЯ

ОБОЛОНОК ТА ІНЕРЦІЙНОГО РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка

Дисертація на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Науковий керівник:

доктор технічних наук, професор

Несвідомін Віктор Миколайович

Київ – 2017

2

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………4

РОЗДІЛ 1 ВЛАСТИВОСТІ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЛІНІЙ ПОВЕРХНІ

ТА ОГЛЯД ЗАДАЧ, В ЯКИХ ВОНИ ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ…………….…10

1.1. Геодезична лінія – найкоротший шлях між двома точками

на поверхні …………………………………………………..…………...10

1.2. Геодезична лінія – траєкторія намотки армуючих

поверхню ниток ……………………………………………..…..………18

1.3. Геодезична лінія – ймовірна траєкторія примусового

руху частинки технологічного матеріалу по поверхні …………..…..23

1.4. Аналітичні підходи розв’язування прямої і оберненої

задач стосовно геодезичних ліній поверхні ……………………....….26

Висновки до розділу 1 …………………………………….…….…..….29

РОЗДІЛ 2. ГЕОДЕЗИЧНІ ЛІНІЇ НА ПОВЕРХНЯХ

ОБЕРТАННЯ: ОСОБЛИВОСТІ РОЗТАШУВАННЯ ТА СПОСОБИ

ЇХ ЗНАХОДЖЕННЯ………………………………………………………..…31

2.1. Застосування інтегралу на основі теореми Клеро для

знаходження нових поверхонь обертання, для яких

рівняння геодезичних ліній можна знайти в

кінцевому вигляді………………………………………………………31

2.2. Модифікація інтегралу на основі теореми Клеро для

знаходження геодезичних ліній у функції довжини власної дуги…...37

2.3. Диференціальні рівняння другого порядку для побудови

геодезичних ліній на поверхнях обертання.……………………..……42

2.4. Особливості розташування геодезичних ліній на

деяких поверхнях обертання………………………………………….…53

2.5. Побудова геодезичних ліній на поверхнях, утворених

обертанням меридіана, зміщеного від або до осі обертання…….…….67

Висновки до розділу 2……………………………………………..….....71

РОЗДІЛ 3. ГЕОДЕЗИЧНІ ЛІНІЇ НА ЛІНІЙЧАТИХ

3

ПОВЕРХНЯХ: ПРЯМА І ОБЕРНЕНА ЗАДАЧІ……………………….…….73

3.1. Побудова геодезичних ліній на нерозгортних лінійчатих

поверхнях……………………………………………………………..…...73

3.2. Побудова геодезичних ліній на розгортних лінійчатих

поверхнях………………………………………………………………….81

3.3. Обернена задача побудови розгортної поверхні

за заданою геодезичною лінією…………………………………....……85

3.4. Побудова лінійчатої поверхні в системі супровідного

тригранника заданої геодезичної лінії…………………………….........89

Висновки до розділу 3………………………………….……….…….…98

РОЗДІЛ 4. ВИКОРИСТАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ДОСЛІДЖЕНЬ В

ЗАДАЧАХ АРМУВАННЯ ОБОЛОНОК ТА КОНСТРУЮВАННЯ

ПОВЕРХОНЬ ЗА БАЖАНОЮ ТРАЄКТОРІЄЮ РУХУ

ТЕХНОЛОГІЧНОГО МАТЕРІАЛУ.................................................................100

4.1. Зміцнення балона із циліндра і двох півкуль намоткою

нитки по геодезичних лініях………….……………………….….........100

4.2. Конструювання розгортної поверхні полицевого типу за

заданою геодезичною лінією – бажаною траєкторією руху

частинок грунту по грунтообробному робочому органу ………..…104

4.3. Конструювання нерозгортної поверхні полицевого типу

за заданою геодезичною лінією – бажаною траєкторією руху

частинок грунту по грунтообробному робочому органу………..…..114

Висновки до розділу 4……………………………………..…………....123

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ………………………………………………..……..125

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………….....127

ДОДАТКИ……………………………………………………………..…142

ДОДАТОК А. Математичні перетворення, виконані з

допомогою символьної математики програмного продукту

«Mathematica» та програмні коди в системі “MatLab”…..…………..143

ДОДАТОК Б. Документи щодо впровадження результатів

досліджень…………………………………………………………….…155

4

ВСТУП

Актуальність теми. Однією із найдавніших задач застосування

геодезичних ліній поверхні була задача морської навігації при прокладанні

курсу корабля. Для цього були створені різноманітні карти земної поверхні, які

мали полегшити мореплавання, тобто спростити кораблеводіння між двома

портами за найкоротшою відстанню. Не дивлячись на те, що геодезична лінія

для земної кулі, прийнятої за сферу, є дуга великого кола і давно відома, все ж

таки курс прокладали по компасу, при якому корабель перетинав всі меридіани

під заданим кутом, тобто рухався по локсодромі не найкоротшим шляхом.

Перепоною у відшуканні геодезичних ліній поверхні є проблеми

обчислювального характеру, які зводяться до розв’язування диференціальних

рівнянь. Тільки для обмеженого переліку відомих поверхонь (циліндр, конус,

псевдосфера) можна знайти рівняння геодезичних ліній в кінцевому вигляді.

Для всіх інших, включаючи сферу, їх відшукання зводиться до інтегрування

диференціальних рівнянь чисельними методами. Тільки для обмеженого класу

поверхонь диференціальне рівняння другого порядку можна понизити до

першого або ж звести до інтегралу, як, наприклад, для поверхонь обертання.

Проте і в цьому випадку чисельне інтегрування відомого виразу на основі

теореми Клеро не дозволяє побудувати геодезичну лінію повністю, а тільки

окремі її фрагменти. Це пояснюється тим, що при зростанні змінної, за якою

відбувається інтегрування, геодезична лінія будується тільки при зміні

меридіана в одному напрямі. При зміні напряму геодезичної лінії на поверхні

обертання подальше інтегрування стає неможливим, оскільки незалежна змінна

не може змінюватися в зворотну сторону.

Окрім найкоротшої відстані між точками поверхні, геодезична лінія

характеризується тим, що її головна нормаль в кожній точці збігається із

нормаллю до поверхні. Ця властивість використовується в задачах армування

оболонок за допомогою ниток. Якщо нитка намотана по геодезичній лінії, то

вона не сповзатиме зі свого місця при виникненні напружень в оболонці і

5

працюватиме на розтяг. Ще одна властивість геодезичних ліній - кінематична.

Якщо частинка на певній швидкості зустрічається із поверхнею, то далі вона

рухається по геодезичній лінії, тобто здійснює інерційний рух, і тільки сила

ваги частинки згодом змушує відхилитися її від цього курсу, причому чим

більша швидкість частинки, тим більш точно її траєкторія руху наближається

до геодезичної лінії. Ця властивість може бути покладена в основу

проектування поверхонь робочих органів за бажаною траєкторією руху

частинок технологічного матеріалу по них. Сучасні можливості комп’ютерних

засобів і програмних продуктів усувають перешкоду для точної побудови

геодезичних ліній на поверхні і тим само дозволяють розв’язувати прикладні

задачі на новому якісному рівні.

Названі властивості геодезичних ліній знайшли своє застосування в працях

багатьох дослідників. Перш за все це задачі зміцнення оболонок шляхом

армування їх нитками. В цьому напрямі активно велися дослідження в

московській школі прикладної геометрії. В період її розквіту були захищені

кандидатські дисертації Парняковим А.Ф., Орловим М.В., Завидським А.В. [32,

78, 80]. Останнім часом захищено дві докторських дисертації Битюковим Ю.І. і

Калініним В.А. [11, 37]. Поряд з іншими задачами, в них вивчається питання

допустимих відхилень намотки армуючих ниток від геодезичних ліній поверхні

при забезпеченні функціональності оболонок. В наших дослідженнях

геодезичні лінії поверхні розшукуються настільки точно, наскільки її

забезпечують алгоритми чисельних обчислень. Дослідженнями по намотці

ниток по геодезичних лініях в українській школі прикладної геометрії в останні

роки займається професор Куценко Леонід Миколайович та його учні

Руденко С. Ю. і Табакова І. С. [100 - 102]. В різні роки геодезичні лінії

поверхонь також привертали увагу інших науковців цієї школи [3, 16, 33, 35,

42, 86, 88 - 90, 112, 113]. Стосовно оберненої задачі, тобто конструювання

поверхні за заданою геодезичною лінією із врахуванням інерційного руху

частинки по поверхні дослідження є обмеженими. Зважаючи на це і було

обрано напрям досліджень.

6

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна

робота виконувалась у Національному університеті біоресурсів і

природокористування України в рамках науково-дослідної роботи кафедри

нарисної геометрії, комп’ютерної графіки та дизайну «Вдосконалення органів

машин із гравітаційними і ротаційними робочими поверхнями для сепарації,

переміщення та розкидання сільськогосподарських матеріалів» (номер

держреєстрації 0110U003619).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є виявлення

особливостей геодезичних ліній на лінійчатих поверхнях і поверхнях обертання

в прямій і оберненій задачах та використання їх в практиці армування оболонок

і інерційного руху матеріальної точки.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі основні

задачі:

- проаналізувати практичне застосування властивостей геодезичних ліній

в прикладній геометрії поверхонь, способи їх відшукання і побудови та

конструювання поверхонь за заданою геодезичною лінією;

- з’ясувати особливості розташування геодезичних ліній на поверхнях

обертання, як ймовірних оболонок балонів для зміцнення їх намотуванням

армуючої нитки;

- вивести диференціальні рівняння геодезичних лінії поверхонь обертання

через задані параметричні рівняння їх меридіану;

- вдосконалити способи побудови лінійчатих поверхонь за заданою

геодезичною лінією завдяки застосуванню супровідного тригранника лінії;

- розробити спосіб оцінювання побудованих лінійчатих поверхонь за

заданою спільною геодезичною лінією на предмет ступеню їх відхилення від

розгортної поверхні;

- впровадити отримані результати дослідження в практику зміцнення

оболонок обертання шляхом намотування на них армуючої нитки, а також в

практику проектування ґрунтообробних знарядь за заданою граничною

траєкторією руху частинок ґрунту по них.

7

Об’єктом дослідження є властивості геодезичних ліній на поверхнях

різного способу утворення.

Предметом дослідження є використання властивостей геодезичних ліній

в прямій задачі їх знаходження і оберненій задачі конструювання поверхонь за

заданою геодезичною лінією.

Методи дослідження. Задачі, поставлені у роботі, розв’язувались на основі

методів диференціальної та аналітичної геометрії, теорії внутрішньої геометрії

поверхонь із залученням супровідного тригранника Френе спеціальних ліній

поверхні, систем комп’ютерної графіки та математики.

Теоретичною базою проведених досліджень були роботи зазначених

раніше авторів, а також праці провідних фахівців, які працюють в галузі

прикладної геометрії поверхонь.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

вперше:

- складено диференціальне рівняння другого порядку геодезичних ліній

для поверхні обертання за заданими параметричними рівняннями її меридіану;

- отримано систему диференціальних рівнянь другого порядку, які

описують геодезичні лінії на поверхні обертання у функції довжини дуги і

дозволяють побудувати лінії навивки армуючих ниток;

удосконалено:

- диференціальне рівняння першого порядку на основі теореми Клеро для

побудови геодезичних ліній на поверхнях обертання у функції довжини власної

дуги;

- оцінку ступеня відхилення нерозгортної лінійчатої поверхні від

розгортної, для яких задана крива є спільною геодезичною лінією;

отримав подальший розвиток:

- спосіб конструювання лінійчатих поверхонь за заданою геодезичною

лінією, яка є для поверхні траєкторією інерційного руху матеріальної точки;

- спосіб і візуалізація уточненого розташування геодезичних ліній на

відомих поверхнях обертання, які раніше будувалися наближено на основі

8

аналізу та прогнозування поведінки диференціальних рівнянь.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень та отриманих

результатів забезпечується аналітичною перевіркою геодезичної кривини

знайдених ліній на рівність нулю, програмною реалізацією розроблених

алгоритмів у середовищі математичних процесорів із побудованими

геодезичними лініями на поверхнях і візуальною їх оцінкою, перевіркою на

тестових прикладах та впровадженням результатів роботи у практику.

Практичне значення одержаних результатів полягає в розробці способу

знаходження геодезичних ліній на поверхнях обертання, який дає можливість

будувати не окремі фрагменти геодезичної лінії, а всю лінію в цілому, що

дозволяє здійснювати неперервну намотку армуючої нитки на оболонку заданої

форми із необхідною щільністю. Застосування тригранника Френе дозволяє

конструювати розгортну і нерозгортні лінійчаті поверхні за заданою

геодезичною лінією, яка є граничною траєкторією руху частинок

технологічного матеріалу.

Впровадження результатів роботи здійснено:

- на підприємстві ТОВ „Інженерний центр «Імпульс»” (м. Ніжин

Чернігівської обл.) у проектування балонів високого тиску, зміцнених

армуванням ниткою по геодезичних лініях із заданою щільністю намотки (акт

прийому-здачі науково-технічної продукції від 23.02. 2016);

- у проектування робочої поверхні полицевого типу машини СПМ-1 для

висадки саджанців фруктових дерев в Інституті садівництва Національної

академії аграрних наук м. Київ (акт від 19.05.2016 р.).

Особистий внесок здобувача. Усі положення, що виносяться на захист і

складають наукову новизну виконаних досліджень, отримані особисто

здобувачем. У публікаціях, які підготовлені за участю співавторів, результати,

що належать здобувачеві, вказані у списку опублікованих праць за темою

дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень

доповідались на наступних наукових конференціях: І конференції студентів,

9

аспірантів та молодих вчених «Прикладна геометрія, дизайн та інноваційна

діяльність» (Київ, 2012 р.); ІІІ, ІV і V Міжнародних науково-практичних

конференціях студентів, аспірантів та молодих вчених «Прикладна геометрія,

дизайн та об’єкти інтелектуальної власності» (Київ, 2014, 2015, 2016 р.р.); ІІІ-ій

Міжнародній науково-практичній конференції молодих вчених «Актуальні

проблеми наук про життя та природокористування» (Київ, 2015 р.); XVI

Міжнародній конференції науково-педагогічних працівників, наукових

співробітників та аспірантів «Проблеми та перспективи розвитку технічних та

біоенергетичних систем природокористування: конструювання та дизайн»

(Київ, 2016 р.); XI Міжнародній науково-практичній конференції «Обухівські

читання» (Київ, 2016 р.).

Публікації. Результати досліджень висвітлено у 17 наукових працях, з них 5

опубліковано у фахових виданнях, затверджених МОН України, 1 праця

опублікована у міжнародному виданні, решта – в інших виданнях. Наукова

новизна підтверджена патентом України на корисну модель.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів,

висновків, списку використаних джерел із 119 найменувань та додатків. Робота

містить 126 сторінок основного тексту, 62 рисунки.

10

РОЗДІЛ 1

ВЛАСТИВОСТІ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЛІНІЙ ПОВЕРХНІ ТА ОГЛЯД

ЗАДАЧ, В ЯКИХ ВОНИ ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ

1.1. Геодезична лінія – найкоротший шлях між двома точками на

поверхні

Властивостям геодезичних ліній поверхні присвячено багато робіт як

наукового характеру [10, 13, 41], навчально-методичного [29], так і

популярного [64, 109]. В праці [109] наведено приклад, в якому поставлено

питання: якщо на протилежних гранях куба знаходиться павук і муха, то як

павук має прокласти шлях, щоб він був найкоротшим до мухи? (рис. 1,а).

Відомо, що найкоротшим шляхом між двома точками площини є пряма

лінія. Якщо побудувати розгортку куба, то найкоротший шлях від павука до

мухи буде відрізком прямої між місцем їхнього розташування на розгортці

(рис. 1,б).

а б

Рис. 1.1. Найкоротший шлях між двома точками гранної поверхні:

а) на кубі; б) на його розгортці (пряма лінія)

11

Цим пояснюється те, що геодезична лінія розгортної поверхні

перетворюється на пряму на її розгортці. Наприклад, якщо на конусі задана

точка і стоїть задача знайти найкоротший шлях, щоб після обходу конуса

знову повернутися в цю точку (рис. 1.2,а), то на розгортці бічної поверхні

конуса, розрізаного вздовж протилежної твірної, цей шлях зобразиться

двома прямолінійними відрізками, перпендикулярними до цієї твірної (рис.

1.2,б, суцільна лінія). Із точки на площині в усіх напрямах можна провести

прямі лінії, які утворять пучок геодезичних ліній. Так само на поверхні теж

в усіх напрямах можна провести геодезичні лінії, проте вони мають деякі

особливості в порівнянні із прямими на площині. Якщо із точки на конусі

задати геодезичну лінію під іншим кутом, то вона теж повернеться в цю

точку, проте це не буде найкоротший шлях обходу. На розгортці конуса ці

геодезичні лінії зображені штриховими лініями (рис. 1.2,б).

а б

Рис. 1.2. Найкоротший шлях обходу конуса по його бічній поверхні:

а) на конусі;

б) на його розгортці (прямі суцільні лінії, що йдуть перпендикулярно

граничним радіусам сектора – спільній лінії на конусі)

12

Те ж саме стосується геодезичних

ліній на круговому циліндрі. Як відомо,

ними є гвинтові лінії. Найкоротшою

відстанню між двома точками циліндра,

які не розташовані на спільній

прямолінійній твірній, є дуга гвинтової

лінії, яка на розгортці циліндра

перетворюється в пряму лінію. Однак між

цими точками можна провести безліч

гвинтових ліній, які є геодезичними,

однак найкоротшою відстанню між цими

точками буде тільки одна із них,

зображена суцільною (рис. 1.3). Всі інші

роблять більшу кількість витків.

Якщо на аркуші паперу провести

пряму лінію, а потім його згинати у

розгортну поверхню, то пряма

перетвориться у геодезичну лінію на поверхні.

На нерозгортних поверхнях теж є геодезичні лінії, однак для їх

знаходження застосування розгорток неможливе. Проте є інший практичний

спосіб знаходження геодезичної лінії між двома точками на поверхні: між

ними потрібно натягнути розтяжну нитку. Сили розтягу нитки мінімізують її

довжину і вона займає місце геодезичної лінії. Наприклад, на конусі (рис.

1.2,а) нитку натягують два вантажі, прикріплені до її кінців. Якщо за

допомогою розтяжної нитки знайти геодезичну лінію між двома точками на

поверхні кулі, то нею виявиться дуга великого кола. Отже, всі геодезичні

лінії кулі замкнені. До них відносяться всі меридіани і одна паралель –

екватор, а також всі інші кола – перерізи кулі площинами, що проходять

через її центр. Для кулі ці криві прийнято називати ортодромами. При

кораблеводінні вони є найкоротшим шляхом між двома портами. Однак в

Рис. 1.3. Геодезичні лінії,

що сполучають дві точки на

бічній поверхні циліндра

13

практиці мореплавання курс прокладали по іншій кривій – локсодромі, яка

перетинає всі меридіани під постійним кутом. Наприклад, найкоротший шлях

між портами Ліссабон і Мис Фарвель визначається ортодромою, однак

кораблі водили по локсодромі, яка подовжує шлях (рис. 1.4,а).

а б

Рис. 1.4. Шлях між двома портами, прокладений по ортодромі і

локсодромі:

а) на земній поверхні у вигляді кулі;

б) на карті Меркатора (локсодрома зображується прямою лінією)

Це пояснюється тим, що в мореплаванні використовували карту на

основі проекцій Меркатора, на якій меридіани і паралелі утворюють

прямокутну сітку (рис. 1.4,б). Локсодрома зображується на ній прямою

лінією, яка перетинає всі меридіани під однаковим кутом, а ортодрома

зображується кривою. Капітан судна, який вибрав курс по компасу і зберігає

його незмінним, рухається по локсодромі. Це спрощує керування кораблем,

однак подовжує шлях. Провівши пряму лінію на карті Меркатора між

потрібними портами, можна визначити курс корабля, тобто кут, під яким

корабель перетинатиме меридіани, рухаючись по компасу. Як видно із рис.

1.5, при наближенні до полюса локсодрома закручується навколо нього

14

подібно спіралі і стає зовсім

непридатною для прокладання

курсу в полярних широтах.

Якщо із точки на площині в

усі сторони відкласти відрізок

однакової довжини, то їх кінці

будуть лежати на колі. Аналогічну

побудову можна здійснити на

поверхні, де замість прямих будуть

геодезичні лінії. Утворена кінцями

дуг геодезичних ліній крива носить

назву гаусового геодезичного

круга. Довжина геодезичної лінії

на поверхні, як і всякої іншої лінії, визначається за допомогою першої

квадратичної форми.

Як відомо, поверхні можуть бути задані аналітично в неявному вигляді

F(X, Y, Z)=0, явному вигляді Z=F(X, Y), а також параметричними рівняннями,

якими ми будемо в роботі оперувати:

,),(

);,(

);,(

vuZZ

vuYY

vuXX

(1.1)

де u, v – незалежні змінні.

При наданні конкретних значень параметрам u і v на поверхні

виділиться дві відповідні координатні лінії, які перетнуться в точці А (рис.

1.7,а). Таким чином, положення кожної точки на поверхні можна визначити

двома числами – значеннями криволінійних координат u і v тих

координатних ліній різних сімей, які проходять через дану точку. При їх

підстановці в рівняння (1.1) можна знайти три координати точки А в

Рис. 1.5. Сполучення між точками

А і В на кулі по ортодромі і

локсодромі

15

декартовій системі координат OXYZ. Сітка на поверхні в загальному випадку

буде косокутною. Деякі поверхні можна описати параметричними

рівняннями виду (1.1) таким чином, що вони будуть віднесені до прямокутної

(ортогональної) сітки координатних ліній. Такий опис поверхні є більш

прийнятним, оскільки спрощує аналітичні викладки і знаходження

диференціальних характеристик поверхні, але не завжди можливий.

Прикладом є поверхні обертання, віднесені до сімей координатних ліній із

паралелей і меридіанів.

а б

Рис. 1.6. Віднесення поверхонь до сімей координатних ліній:

а) косокутна координатна сітка на поверхні загального виду;

б) прямокутна координатна сітка на циліндричній поверхні

На рис. 1.6,б показана циліндрична поверхня, віднесена до прямокутної

системи координат. Однією сім’єю координатних ліній є паралельні прямі,

другою – плоскі криві поперечного перерізу.

Якщо між незалежними змінними u і v поверхні встановити певний

взаємозв’язок у вигляді u=u(v) або v=v(u) або ж через третю змінну v=v(t);

u=u(t), то рівняння (1.1) стають рівняннями однієї змінної (v, u або ж t),

тобто вони описують лінію на поверхні. Такий взаємозв’язок між змінними

поверхні називається внутрішнім рівнянням лінії на ній. Наприклад, якщо

внутрішнє рівняння лінії для циліндричної поверхні (рис. 1.6,б) задати у

16

вигляді u=v, то відповідна лінія буде проходити через вершини

криволінійних прямокутників по діагоналі аналогічно прямій, яка задана

такою ж залежністю в плоскій декартовій системі координат і буде

геодезичною для циліндра. Знаходження внутрішніх рівнянь геодезичної

лінії на довільній поверхні є непростою задачею і зводиться до розв’язування

диференціальних рівнянь.

Перша квадратична форма поверхні (або лінійний елемент) має вигляд:

.2 222 GdvFdudvEdudS (1.2)

Три коефіцієнти E, F, G, які входять до виразу (1.2), визначаються

через частинні похідні поверхні (1.1):

.

;;

222

222

v

Z

v

Y

v

XG

v

Z

u

Z

v

Y

u

Y

v

X

u

XF

u

Z

u

Y

u

XE

(1.3)

Якщо сітка координатних ліній ортогональна, то середній член

(коефіцієнт F дорівнює нулю).

Розглянемо приклад. Запишемо рівняння циліндра, всі прямолінійні

твірні якого паралельні осі OZ. Його параметричні рівняння запишуться:

,

;sin

;cos

uZ

vRY

vRX

(1.4)

де R – радіус основи циліндра;

17

u, v – незалежні змінні поверхні, причому вони мають фізичний зміст: u

– довжина прямолінійної твірної циліндра; v – кут повороту точки поверхні

навколо осі OZ.

Частинні похідні запишуться:

.0;cos;sin

;1;0;0

v

ZvR

v

YvR

v

X

u

Z

u

Y

u

X

(1.5)

Згідно (1.3) коефіцієнти E, F, G першої квадратичної форми запишуться:

.;0;1 2RGFE (1.6)

Отже, перша квадратична форма для циліндра (1.4) набуває вигляду:

.2222 dvRdudS (1.7)

Внутрішнє рівняння геодезичної лінії на поверхні циліндра відоме –

воно має лінійний вигляд: u=bv, де від сталої b залежить кут підйому

гвинтової лінії. При b=1 будемо мати частковий випадок, зображений на рис.

1.6,б. Отже ми від двох незалежних змінних перейшли до однієї – v.

Розділимо квадратичну форму (1.7) на dv2:

.2

22

Rdv

du

dv

dS

(1.8)

Знаходимо похідну bdvdu і підставляємо в (1.8):

18

.22 Rb

dv

dS

(1.9)

Інтегруванням виразу (1.9) знаходимо довжину гвинтової лінії:

vRbdvRbS 2222 . (1.10)

1.2. Геодезична лінія – траєкторія намотки армуючих поверхню ниток

Виходячи із ручного розшукування геодезичної лінії між двома

точками на поверхні за допомогою натягу між ними розтяжної нитки, можна

зробити висновок, що це її найбільш стійке положення на поверхні. При

виникненні напружень в оболонці, армованій нитками вздовж геодезичних

ліній, нитки працюватимуть на розтяг і при цьому не виникатиме зусиль, що

зміщують їх із свого початкового положення. Пояснюється це внутрішньою

геометрією геодезичних ліній. Розглянемо паралель (коло) на поверхні

циліндра і на поверхні конуса (рис. 1.7).

а б в

Рис. 1.7. До визначення зусиль, що діють на нитку, намотану на вздовж

паралелі на поверхні обертання:

а) нормаль поверхні і головна нормаль кривої на ній збігаються;

б) нормаль поверхні і головна нормаль кривої утворюють між собою

кут θ;

в) розкладання сили R реакції поверхні на складові

19

В обох випадках в точці А кола показано головну його нормаль n , яка

знаходиться в площині кола, і нормаль до поверхні N . В першому випадку

(рис. 1.7,а) вони збігаються, а в другому між ними існує кут θ (рис. 1.7,б). Як

відомо, реакція R поверхні при взаємодії із тілом (в нашому випадку із

елементом нитки) завжди спрямована по нормалі до поверхні. Її можна

розкласти на складові (рис. 1.7,в), одна із яких Rτ знаходиться в дотичній до

поверхні площині. Саме ця складова спричинює зсув нитки із свого

початкового положення при виникненні зусиль розтягу в нитці. Цього не

відбувається, коли нормаль до поверхні і головна нормаль кривої збігаються

(рис. 1.7,а). Геодезична лінія характеризується тим, що такий збіг

відбувається в кожній точці кривої вздовж її дуги.

В диференціальній геометрії через

кут θ розкладають кривину кривої в

заданій точці на нормальну і геодезичну

складові. Кривину k кривої в точці А

зображують вектором, який

розташований в стичній площині. Якщо

крива плоска, то вектор лежить в

площині кривої на її головній нормалі,

як, наприклад, на рис. 1.8, де він

розташований в площині еліпса –

плоского перерізу циліндра. Кривину k

можна розкласти на дві складові в

нормальній площині кривої: одна

складова в проекції на нормаль до

поверхні носить назву нормальної

кривини kн, а друга складова в проекції

на дотичну до поверхні площину – геодезичної кривини kг. Виходячи із

позначень на рис. 1.8, можна записати:

Рис. 1.8. Розкладання

кривини кривої на нормальну

і геодезичну складові

20

cos;sin kkkk нг

. (1.11)

Якщо головна нормаль кривої збігається із нормаллю до поверхні, то

кут θ=0, отже геодезична кривина теж дорівнює нулю. Таким чином,

геодезична лінія – це лінія на поверхні, в якої геодезична кривина всіх її

точок дорівнює нулю. У прямої на площині кривина дорівнює нуля, однак

при згинанні площини вона перетворюється у криву, у якої є кривина. Однак

ця кривина з’являється за рахунок нормальної складової; геодезична кривина

дорівнює нулю і не змінюється під час згинання поверхні, тобто при згинанні

поверхні крива трансформується, однак залишається геодезичною.

Геодезичну кривину кривої можна визначити через її диференціальні

характеристики і характеристики поверхні за формулою [94]:

,

zyx

zyx

NNN

ds

dvk

zyx3

г

(1.12)

де ds

dv

- похідна параметра v по довжині дуги геодезичної лінії s у

випадку, коли внутрішнє рівняння геодезичної лінії задано у вигляді u=u(v);

Nx, Ny, Nz – координати одиничного вектора нормалі до поверхні;

x, y, z, x, y, z - перші і другі похідні рівнянь кривої по параметру v.

Проекції нормалі до поверхні знаходяться із векторного добутку

частинних похідних рівнянь поверхні:

.

v

Z

v

Y

v

X

u

Z

u

Y

u

X

ZYX

N

(1.13)

21

Розглянемо приклад. Нехай нам потрібно знайти геодезичну кривину

еліпса – плоского перерізу циліндра площиною, нахиленою до його основи

під кутом θ (рис. 1.8). Для цього нам потрібно знайти внутрішнє рівняння

еліпса, тобто зв'язок між змінними u і v. Рівняння проекціювальної січної

площини запишеться: Z=Xtg θ. Оскільки точки січної площини і поверхні

циліндра (1.4) мають бути спільними, то ми повинні рівняння площини і

циліндра розв’язати як систему. Прирівняємо рівняння площини і останнє

рівняння (1.4) і отримаємо: u=X tg θ. В одержаний вираз підставимо перше

рівняння (1.4) і отримаємо внутрішнє рівняння еліпса у вигляді u=u(v):

u=R tg θ cos v. Отже, рівняння еліпса на поверхні циліндра після цього

запишуться:

.costg

;sin

;cos

vRz

vRy

vRx

(1.14)

Ми перейшли від великих літер X, Y, Z у рівняннях (1.4) до малих x, y, z

у рівняннях (1.14). Так будемо робити і надалі: в рівняннях поверхні

використовуємо прописні літери, а в рівняннях лінії – строчні. Знайдемо

перші і другі похідні рівнянь (1.14):

.costg;sintg

;sin;cos

;cos;sin

vRzvRz

vRyvRy

vRxvRx

(1.15)

Знайдемо похідну довжини дуги лінії (1.14) за відомою формулою:

vRzyxdv

ds 22222 sintg1 . (1.16)

22

Із (1.16) знаходимо вираз dv/ds, який входить до формули (1.12):

vRds

dv

22 sintg1

1

. (1.17)

Нарешті, знайдемо проекції одиничного вектора нормалі Nx, Ny, Nz, які

входять до формули (1.12) із визначника (1.13), використовуючи частинні

похідні (1.5):

0;sin;cos zyx NvNvN

. (1.18)

Підставивши (1.18), (1.17) і (1.15) у формулу (1.12), після спрощень

остаточно одержимо:

2

322 sintg1

cos

vR

vtgkг

. (1.19)

Отже, геодезична кривина еліпса на поверхні циліндра є змінною. При

θ=0, тобто при ортогональному перерізі циліндра ми отримаємо kг=0, що і

слід було чекати, оскільки ортогональним перерізом циліндра є коло –

геодезична лінія циліндра (рис. 1.7,а).

Зміцненню оболонок намотуванням нитки на її поверхні по

геодезичних лініях присвячено багато робіт [1, 6, 7, 9, 21, 25, 26, 28, 30, 31,

36, 34, 38, 39, 63, 66, 68, 78, 81, 82, 83, 96, 99, 105 - 108, 114, 115]. Це

пояснюється тим, що таким способом можна отримати балони для зберігання

стисненого газу, які не поступаються за міцністю металевим, однак набагато

легші і безпечніші (при вибуху немає осколків). При цьому вдосконалюються

технології намотки. Використовуються не тільки машини для серійного

виробництва армованих оболонок (рис. 1.9,а), а і пристрої для намотки ниток

23

на поверхні обертання із меридіаном заданої форми (рис. 1.9,б). В

останньому випадку траєкторія намотки по геодезичних лініях може бути

задана в залежності від форми поверхні за допомогою комп’ютерного

забезпечення переміщення напрямної рейки в поздовжньому напрямі і

узгодженого переміщення каретки 2 по рейці в поперечному (рис. 1.9,б) [5].

а б

Рис. 1.9. Пристрої для намотування ниток на поверхні обертання

1.3. Геодезична лінія – ймовірна траєкторія примусового руху частинки

технологічного матеріалу по поверхні

Якщо частинка на певній швидкості зустрічається із поверхнею, то далі

вона рухається по геодезичній лінії і тільки сила ваги частинки згодом

змушує відхилитися її від цього курсу, причому чим більша швидкість

частинки, тим більш точно її траєкторія руху наближається до геодезичної

лінії. Такий рух називається інерційним [17]. Це можна продемонструвати на

прикладі руху частинки по похилій площині μ (рис. 1.10,а). Чим більша

початкова швидкість V частинки при вступі її на площину в заданому

напрямі, тим більше траєкторія її руху наближається до прямої лінії, яка є

геодезичною для площини. Складова сили ваги змушує частинку відхилитися

від прямолінійного напрямку руху, однак при криволінійній траєкторії

виникає відцентрова сила, яка змушує частинку наближатися до

прямолінійного напрямку. Зважаючи на те, для частинки масою m ця сила Fв

24

має вираз Fв=mV2k, де k – кривина траєкторії, стає зрозуміло, що вирішальну

роль в формуванні траєкторії відіграє швидкість V руху частинки. Чим

більша швидкість частинки, тим більше траєкторія її руху наближається до

прямої лінії. Для поверхні відбувається те ж саме, з тією різницею, що

відцентрова сила, яка змушує траєкторію частинки наближатися до

геодезичної лінії, виникає від геодезичної складової кривини (рис. 1.8). Вона

діє в дотичній до поверхні площині (рис. 1.10,б), тобто рух точки по поверхні

в околі точки А можна розглядати, як рух по дотичній до поверхні площині μ.

Наприклад, для циліндричної поверхні, яка показана на рис. 1.10,б,

граничною траєкторією руху частинки буде гвинтова лінія, тобто геодезична

для циліндра. У ґрунтообробних робочих органах частинки грунту змушені

примусово рухатися по поверхні з приблизно сталою швидкістю, рівною

швидкості руху агрегату. При великих швидкостях їх траєкторії практично

можуть збігатися із геодезичними лініями. Тому для великих робочих

швидкостей ґрунтообробних знарядь складання диференціальних рівнянь

руху частинок можна замінити відшуканням геодезичних ліній в заданому

напрямі вступу частинки на поверхню [17].

а б в

Рис. 1.10. Ілюстрації до руху частинки по геодезичних лініях на

поверхні при їх великих швидкостях:

а) рух частинки по похилій площині; б) по циліндрі;

в) визначення геодезичної лінії в заданому напрямі паперовою стрічкою

25

Ідея застосування кінематичних властивостей геодезичної лінії

продемонстрована на прикладі руху гнучкої (наприклад, паперової) стрічки

по поверхні циліндра в заданому напрямі (рис. 1.10,в). Стрічка, якій властива

певна пружність, змушена рухатися по геодезичній лінії незалежно від її

швидкості. Ця властивість може бути використана для практичного

знаходження геодезичної лінії на поверхні в заданому напрямі. Якщо скиба

грунту має певну пружність (наприклад, переплетена корінням рослин) і

вступає на полицю плуга, то вона подібно стрічці, намагатиметься рухатися

по геодезичній лінії. Цьому сприятимуть два фактори: пружність скиби і

швидкість її руху.

Ця властивість може бути покладена в основу проектування поверхонь

робочих органів за бажаною траєкторією руху частинок технологічного

матеріалу по них, тобто в розв’язуванні оберненої задачі – конструюванні

поверхні за заданою геодезичною лінією. Ця ідея запропонована в праці [27].

Із диференціальної геометрії відомо, що через задану лінію можна провести

одну розгортну і безліч нерозгортних поверхонь, за умови, щоб вона була

геодезичною для цих поверхонь [65, 67, 82, 97, 104]. Отже, задача побудови

поверхні за заданою геодезичною лінією має багато розв’язків. Це можна

показати на прикладі плоскої кривої – кола. Через нього проходить тільки

одна розгортна поверхня (в нашому випадку циліндр, рис. 1.11,а) і безліч

нерозгортних, як лінійчатих (рис. 1.11,в), так і нелінійчатих (рис. 1.11,г,д). На

розгортці розгортних поверхонь геодезична лінія перетворюється на пряму

(рис. 1.11,б).

а б в г д

Рис. 1.11. Приклади поверхонь, для яких коло є геодезичною лінією

26

Оскільки стрічка, якою може бути скиба грунту, намагається рухатися

по геодезичній лінії, то бажану форму траєкторії руху скиби, тобто

геодезичної лінії, можна задати наперед. За заданою геодезичною лінією

можна побудувати одну розгортну поверхню і інші нерозгортні, які в більшій

або меншій мірі відрізнятимуться від розгортної. Ця ідея реалізована в роботі

при проектуванні поверхні ґрунтообробного органу полицевого типу.

1.4. Аналітичні підходи розв’язування прямої і оберненої задач стосовно

геодезичних ліній поверхні

Прямою задачею є відшукання геодезичної лінії поверхні в заданому

напрямі. Якщо в практичному плані її знаходження за допомогою вузької

паперової стрічки не викликає проблем (рис. 1.10,в), то в аналітичному ця

задача зводиться до складання і розв’язування диференціальних рівнянь. В

загальному випадку, коли поверхня віднесена до косокутної сітки

координатних ліній, диференціальні рівняння, що описують геодезичні лінії

поверхні, є рівняннями другого порядку і мають дуже громіздкий вигляд.

Якщо координатна сітка поверхні ортогональна, то диференціальне рівняння

геодезичних ліній можна задати через коефіцієнти першої квадратичної

форми поверхні та їх похідних наступним чином:

02222

23

2

2

E

G

dv

du

G

G

E

E

dv

du

G

G

E

E

dv

du

G

E

dv

ud uvvuuv, (1.20)

де vuvu EEGGEG ,,,,, - коефіцієнти першої квадратичної форми та

їх частинні похідні по змінній, зазначеній у нижньому індексі.

В результаті розв’язання диференціального рівняння (1.20) ми одержимо

внутрішнє рівняння геодезичної лінії у вигляді u=u(v). Однак зразу слід

зауважити, що розв’язати зазначене рівняння і отримати залежність u=u(v) в

кінцевому вигляді практично неможливо. Навіть для поверхні кулі, де

27

результат очевидний, диференціальне рівняння в аналітичному вигляді не

розв’язується. Розв’язання таких рівнянь потребує чисельних методів, які

стало можливим застосовувати останніми роками з появою комп’ютерних

засобів і відповідного програмного забезпечення.

Для поверхонь обертання рівняння (20) можна понизити до першого

порядку і навіть звести до інтеграла на основі відомої формули Клеро.

Щоправда, в результаті його інтегрування ми отримаємо внутрішнє рівняння

не у вигляді u=u(v), а у вигляді v=v(u), що є суттєвим, оскільки змінна v має

для поверхні обертання фізичний зміст (кут повороту), аналогічний у

рівняннях циліндра (1.4). При заданих параметричних рівняннях меридіана у

вигляді φ=φ(u); ψ=ψ(u) рівняння поверхні запишуться:

,

;sin

;cos

Z

vY

vX

(1.21)

Інтеграл на основі теореми Клеро для поверхні (1.21) має вигляд:

,22

22

duc

cv

(1.22)

де с – постійна, від значення якої залежить напрям геодезичної лінії в

початковій точці.

Застосуємо формулу (1.22) до циліндра (1.4), у якого згідно (1.21) φ=R;

ψ=u. Знайшовши похідні по змінній u і підставивши у (1.22), отримаємо:

.2222 cRR

uc

cRR

ducv

(1.23)

Ми отримали лінійну залежність v=v(u), яка задає на циліндрі гвинтову

28

лінію. При с=0 ми отримаємо рівняння меридіана. Проте при с=R, що

відповідає паралелі циліндра, формула (1.23) не працює. Однак це не є

єдиним недоліком формули (1.22). При зміні параметра u геодезичну лінію

можна будувати тільки в одному напрямі зростання довжини меридіана

вгору. Проте є поверхні обертання, у яких геодезична лінія змінює свій

напрям по висоті багато разів, знаходячись між двома паралелями. За

формулою (1.22) в такому випадку не можна побудувати геодезичну лінію в

повному обсязі, а тільки окремі її фрагменти. При внутрішньому рівнянні у

вигляді u=u(v) цей недолік зникає, але, по перше, вираз (1.22) можна

проінтегрувати тільки для обмеженої кількості поверхонь (циліндр, конус,

псевдосфера), а по-друге, із аналітичного виразу v=v(u) не завжди можна

отримати обернену функцію u=u(v).

З огляду на це часто форму геодезичної лінії поверхні досліджували за

окремими характерними точками, аналізуючи в цілому диференціальне

рівняння і його поведінку в цих точках. Тому в деяких посібниках із

диференціальної геометрії [8], а також в наукових працях [98] зображення

геодезичних ліній для відомих поверхонь обертання показано неточно (рис.

1.12), хоча в цілому закономірність розташування їх між двома паралелями є

правильною.

Рис. 1.12. Неточне зображення геодезичних ліній на поверхнях

обертання

Навіть візуально можна зробити висновок, що по показаних на рис. 1.12

кривих не може бути намотана нитка.

29

Зворотна задача полягає у конструюванні поверхні за заданою

геодезичною лінією. Якщо такою поверхнею є розгортна, то її можна

побудувати, як обвідну поверхню однопараметричної множини площин, які

проходять через кожну точку заданої лінії перпендикулярно до головної

нормалі цієї кривої. Для побудови нерозгортних лінійчатих поверхонь в

роботі розглянута авторська методика із залученням засобів внутрішньої

геометрії поверхонь.

Побудова геодезичної лінії між двома точками на поверхні в деяких

працях розглядалася, як варіаційна задача на знаходження найкоротшої

відстані між ними [62, 95]. В інших працях [2, 103], а також в працях

зарубіжних авторів [116-119] розглядалися різні аспекти стосовно

властивостей та застосування геодезичних ліній поверхні.

Висновки до розділу 1

1. Задача знаходження і побудови геодезичних ліній на поверхнях не є

простою. Для її розв’язання потрібно складати і розв’язувати диференціальні

рівняння другого порядку, які тільки в окремих випадках (наприклад, для

поверхонь обертання) можуть бути зведені до інтегралу. Проте і в цьому

випадку геодезична лінія не може бути побудована в повному обсязі із-за

специфіки чисельного інтегрування, а можуть бути побудовані тільки окремі

її фрагменти.

2. В зв’язку із зазначеним у першому пункті, а також із необхідністю

чисельного інтегрування диференціальних рівнянь другого порядку,

геодезичні лінії поверхні досліджували раніше за окремими характерними

точками, аналізуючи в цілому диференціальне рівняння і його поведінку в

цих точках. Тому в деяких посібниках із диференціальної геометрії, а також в

наукових працях зображення геодезичних ліній для відомих поверхонь

обертання показано неточно, хоча в цілому закономірність розташування їх

на цих поверхнях є правильною.

30

3. При розв’язуванні оберненої задачі конструювання поверхні за

заданою геодезичною лінією відомий класичний підхід знаходження цієї

поверхні як обвідної однопараметричної множини площин, які проходять

через кожну точку заданої лінії перпендикулярно до головної нормалі цієї

кривої. Така поверхня є розгортною. Що стосується конструювання

нерозгортних поверхонь, то автору не вдалося знайти в літературних

джерелах розроблених способів побудови таких поверхонь.

4. Після аналізу літературних джерел стосовно властивостей, побудови і

застосування геодезичних ліній поверхні було вибрано область досліджень в

двох напрямах:

- знаходження і побудова геодезичних ліній на поверхнях обертання як

траєкторій намотки армуючих ниток для зміцнення балонів високого тиску;

- конструювання лінійчатих поверхонь за заданою геодезичною лінією

як робочих поверхонь ґрунтообробних знарядь із заданою бажаною

траєкторією руху частинок ґрунту по них.

31

РОЗДІЛ 2

ГЕОДЕЗИЧНІ ЛІНІЇ НА ПОВЕРХНЯХ ОБЕРТАННЯ: ОСОБЛИВОСТІ

РОЗТАШУВАННЯ ТА СПОСОБИ ЇХ ЗНАХОДЖЕННЯ

2.1. Застосування інтегралу на основі теореми Клеро для знаходження

нових поверхонь обертання, для яких рівняння геодезичних ліній можна

знайти в кінцевому вигляді

Як уже згадувалося, із відомих поверхонь обертання тільки для трьох

можна знайти геодезичні лінії в усіх напрямах за допомогою інтегралу на

основі теореми Клеро в кінцевому вигляді, однією з яких є псевдосфера.

Параметричні рівняння її меридіану мають вигляд:

,]1

)1[ln(;2

2

u

uuua

u

a (2.1)

де а – стала величина.

Знайдемо похідні рівнянь (2.1):

1; 2

22 u

u

a

u

a . (2.2)

Підстановка (2.1) і (2.2) у інтеграл (1.22) на основі теореми Клеро

приводить до виразу, який можна проінтегрувати:

,1

0

222

222vuca

cuca

uducv

(2.3)

де vо – значення кута, що відповідає початковому положенню точки на

32

паралелі при uо – початковому значенні змінної u.

Якщо збільшити або зменшити vо при незмінному uо, то точка

зміститься в одну або протилежну сторону по паралелі, повернувшись

навколо осі OZ на відповідний кут.

Підставимо внутрішнє рівняння (2.3) і параметричні рівняння меридіана

(2.1) у рівняння поверхні обертання (1.21) і отримаємо параметричні

рівняння геодезичної лінії на поверхні псевдосфери:

.]1

)1[ln(

;1

sin

;1

cos

22

0

222

0

222

u

uuuaz

vucacu

ay

vucacu

ax

(2.4)

За рівняннями (2.4) можна будувати геодезичну лінію, але тільки той її

фрагмент, який утворюється при русі точки вгору. Досягши верхньої точки,

геодезична крива повертається вниз, але цю її частину побудувати не можна,

оскільки незалежна змінна не може зменшуватися – вона тільки зростає.

Проте в даному випадку можна вийти із положення, знайшовши обернену

функцію до (2.3):

20

221vvca

cu . (2.5)

Підстановка залежності (2.5) у рівняння меридіана (2.1) з наступною

підстановкою у рівняння поверхні (1.21) дасть параметричні рівняння

геодезичної лінії на поверхні псевдосфери, але уже у функції змінної v, тобто

кута повороту точки кривої. На рис. 2.1 таким побудовані геодезичні лінії на

псевдосфері, які проходять через спільну точку.

33

Вивчаючи їх

розташування, можна зробити

висновок про те, що в будь-

якій точці псевдосфери

геодезична лінія, проведена в

довільному напрямі, при

підйомі вгору торкнеться

певної паралелі і почне

опускатися вниз. Потрібно

зазначити, що при побудові

геодезичних ліній на

поверхнях обертання за допомогою інтегралу на основі теореми Клеро, як

правило, приходиться робити чисельне інтегрування, при якому знайти

обернену функцію неможливо, тобто побудова геодезичних ліній

обмежується побудовою її фрагментів.

Зважаючи на те, що зазначений інтеграл для відомих поверхонь

обертання рідко вдається проінтегрувати, будемо шукати таку поверхню

обертання, щоб це можна було здійснити, підбираючи вирази φ=φ(u) і

ψ=ψ(u), які задають меридіан. Позбудемося квадратних коренів, прирівнявши

відповідні вирази до одиниці:

ducv

cтоді,1

22

22

. (2.6)

Розв’яжемо диференціальне рівняння (2.6, ліворуч), однак при цьому

потрібно задати одну із функцій φ=φ(u) або ψ=ψ(u). Таким чином, виникає

багато варіантів пошуку, проте це не означає багатоваріантності рішень,

оскільки, по-перше, потрібно диференціальне рівняння розв’язати, а по-

друге, проінтегрувати вираз (2.6, праворуч). Розглянемо деякі варіанти.

Рис. 2.1. Геодезичні лінії на поверхні

псевдосфери

псевдосфери.

34

Випадок перший. Нехай ψ=аu, де а – стала величина. Тоді a і

диференціальне рівняння (2.6, ліворуч) набуває наступного вигляду відносно

невідомої функції φ=φ(u):

2222 ca . (2.7)

Програмний продукт „Mathematica” дає наступні розв’язки рівняння

(2.7):

,2

1

2;

2

1

21111

22

2

)(22

1

cucucucuee

caee

ca

(2.8)

де с1 – постійна інтегрування.

Підстановка виразів φ1 і φ2 в (2.6, праворуч) після інтегрування дає

відповідно два розв’язки, тобто два вирази v=v(u):

0

22

2220

22221

1

1

Arctg2

;Arctg2

vecaca

cvv

ca

e

ca

cv

cucu

. (2.9)

Перевірка показала, що обидва вирази (2.9) разом із виразом ψ=аu

описують один і той же меридіан (в цьому можна переконатися, надавши в

одному із них від’ємних значень змінній u). Відповідно і рівняння (2.9)

описують групу геодезичних ліній, які мають певний напрям. На рис. 2.2,а

побудовано поверхню обертання за знайденим меридіаном та групу

геодезичних ліній на ній при різних значеннях vo.

Випадок другий. Нехай φ=аu, тоді 0ln vua

c

au

duc

ducv .

Диференціальне рівняння (2.6, ліворуч) зводиться до інтегрування виразу:

222222

22222222 2ln22

cauaauaa

cacaua

uducaua

. (2.10)

35

а б

Рис. 2.2. Геодезичні лінії на поверхнях обертання, які отримані в

результаті прирівнювання до одиниці підкореневих виразів у (2.6):

а) меридіан задано виразами ψ=аu і φ=φ(u) згідно (2.8);

б) меридіан задано виразами φ=аu і ψ = ψ (u) згідно (2.10).

Поверхня обертання для другого випадку із нанесеною групою

геодезичних ліній показана на рис. 2.2,б. В певній області вона не існує (там,

де підкореневий вираз у (2.10) набуває від’ємних значень).

В розглянутих випадках вдалося знайти поверхні обертання, у яких

меридіани і геодезичні лінії описуються параметричними рівняннями в

кінцевому вигляді. Проте ними описано тільки часткову групу геодезичних

ліній, які мають певний напрям на поверхні. Пояснюється це тим, що стала с

входить до рівняння меридіана, тобто впливає на його форму.

Покажемо, що за допомогою інтеграла на основі теореми Клеро теж

можна знаходити окрему групу геодезичних ліній в кінцевому вигляді, які

мають строго визначений напрям в початковій точці. Візьмемо катеноїд,

меридіаном якого є ланцюгова лінія:

.sinhArc; uu1 2 (2.11)

Знайдемо похідні рівнянь (2.11):

36

.1

1;

1 22 uu

uuu

(2.12)

Підстановка (2.12) у (1.22) дає наступний вираз:

22222

22

11 cuu

ducdu

ccv

. (2.13)

Для довільного значення сталої с вираз (2.13) проінтегрувати не

вдається. Однак при с=1 після інтегрування (2.13) отримаємо:

1u22

uv

2 ln звідки

v5v3

4u

sinhcosh

. (2.14)

Підстановка виразу (2.14, праворуч) в параметричні рівняння поверхні

дає рівняння геодезичної лінії. Вона зображена на рис. 2.3 (позначена

стрілкою). Її характерною особливістю є те, що вона при нескінченному

намотуванні нескінченно близько наближається до найменшої паралелі.

Рис. 2.3. Характерна геодезична лінія катеноїда, яка при намотуванні

нескінченно близько наближається до найменшої паралелі.

Це намотування неможливо повністю «впіймати» при застосуванні

виразу (2.14, ліворуч), оскільки при нескінченному намотуванні змінна u

37

практично не повинна змінюватися, а не змінюватися вона не може.

2.2. Модифікація інтегралу на основі теореми Клеро для знаходження

геодезичних ліній у функції довжини власної дуги

Інтеграл (1.22) дає внутрішнє рівняння у вигляді v=v(u). Однак зв'язок

між внутрішніми координатами можна задати по іншому – за допомогою

нової незалежної змінної s – довжини дуги геодезичної лінії, тобто у вигляді

v=v(s) і u=u(s). Після диференціювання вираз (1.22) набуває вигляду:

22

22

c

c

du

dv

. (2.15)

Оскільки v=v(s) і u=u(s), то можна записати u

v

ds

du

ds

dv

du

dv

: .

Підставивши отриманий вираз у (2.15), одержимо:

22

22

c

cuv uu

. (2.16)

Мається на увазі, що у виразі (2.16) v' і u' є похідними по змінній s, а φ'

і ψ' – по змінній u, для чого цю змінну використано у нижньому індексі.

Диференціальним рівнянням (2.16) не можна скористатися, оскільки до нього

входять дві невідомі функції: v=v(s) і u=u(s). Отже для їх знаходження

потрібно мати ще одне рівняння. Цим рівнянням може бути відома

тотожність для кривої, заданої у функції довжини дуги s: 1222 zyx .

38

Для зручності наведемо ще раз параметричні рівняння поверхні обертання:

.;sin;cos ZvYvX (2.17)

Знайдемо перші похідні параметричних рівнянь (2.17) по змінній s (при

цьому прописні літери в рівняннях (1) замінимо на строчні, оскільки в

першому випадку рівняння описують поверхню, а в другому – лінію на ній):

.

;cossin'''

;sincos'''

u

u

u

uz

vvvuy

vvvux

(2.18)

Після підстановки в наведену тотожність похідних (2.18) отримаємо:

122222 uuuv . (2.19)

Розв’яжемо (2.19) відносно u':

22

221

uu

vu

. (2.20)

Тепер ми маємо два рівняння (2.16) і (2.20) із двома невідомими

функціями. Підставимо (2.20) в (2.16) і після спрощень отримаємо просту

залежність:

2

c

ds

dvv . (2.21)

Після підстановки (2.21) у (2.20) будемо мати:

22

221

uu

c

ds

duu

. (2.22)

Після розділення змінних у (2.22) остаточно отримаємо:

39

duc

s uu

22

22

. (2.23)

До інтеграла (2.23) входять вирази, що задають меридіан, та їх похідні,

які є функціями змінної u. Якщо його вдасться проінтегрувати, то ми

отримаємо залежність s=s(u). Наступний етап – з отриманої залежності

знайти обернену u=u(s). Після цього потрібно залежність u=u(s) підставити у

функцію φ(u), після чого отримаємо φ(s). І останній етап – знаходження

залежності v=v(s) за формулою (2.21), яку теж можна записати у вигляді

інтеграла:

)]([2 su

dscv

. (2.24)

Отримані вирази рідко вдається проінтегрувати. Їх можна

використовувати для побудови геодезичних ліній чисельними методами.

Аналітичні вирази в кінцевому вигляді вдається отримати тільки для

найпростіших поверхонь обертання.

Розглянемо приклад. Візьмемо конус, параметричні рівняння меридіана

якого мають наступний вигляд [45]:

tg; coscos uu ee , (2.25)

де β – кут нахилу прямолінійних твірних конуса до основи.

Запишемо похідні рівнянь (2.25):

sin;cos coscos u

u

u

u ee . (2.26)

Підставляємо (2.25), (2.26) в (2.23) і отримуємо:

40

1

2cos2

2cos2

cos2

cos

1cce

ce

dses u

u

u

, (2.27)

де с1 – стала інтегрування.

Розв’язуємо (2.27) відносно u (при с1=0):

222 coslogcos

1scu . (2.28)

Підставляємо (2.28) у перший вираз (2.25) і отримаємо залежність φ(s):

222 cossc . За формулою (2.24) знаходимо залежність v=v(s):

c

s

sc

dscv

cosArctg

cos

1

cos 222 . (2.29)

Рівняння (2.28), (2.29) є внутрішніми рівняннями геодезичних ліній на

конусі, напрям яких залежить від сталої с. Щоб перевірити достовірність

отриманих результатів, скористаємося інтегралом на основі теореми Клеро:

c

ce

ce

ducv

u

u

2cos2

2cos2Arctg

cos

1

. (2.30)

Якщо в (2.17) підставити рівняння меридіана (2.25) та залежність v=v(u)

із (2.30), то ми отримаємо параметричні рівняння геодезичної лінії. Її

довжину s можна знайти за відомою формулою інтегруванням кореня

квадратного із суми квадратів похідних параметричних рівнянь. В

загальному вигляді при v=v(u) ця формула приймає вигляд:

duvs uuu 2222 . (2.31)

41

Якщо у (2.31) підставити вирази із (2.25), (2.26) і похідну v' із (2.30)

(підінтегральний вираз), то ми отримаємо точно такий же інтеграл, як (2.27).

Це свідчить про те, що формули (2.23), (2.24) вірні.

При вимозі, щоб всі геодезичні лінії виходили із однієї точки в різних

напрямах в залежності від значення сталої с при s=0, необхідно знайти

значення сталої інтегрування с1 в (2.27) при заданій початковій координаті u0

на поверхні конуса:

2cos2

10

cos

1cec

u

. (2.32)

Після цього вираз (2.28) набуває досить громіздкого вигляду:

22cos22 0coslogcos

1cescu

u

. (2.33)

Аналізуючи вираз (2.33), можна зробити висновок, що у внутрішньому

підкореневому виразі стоїть різниця сталих. Це означає, що на значення

сталої с накладено обмеження, тобто не в кожному напрямі можна

побудувати геодезичну лінію. Отже побудова геодезичних ліній за

знайденими залежностями на основі теореми Клеро теж не може бути

здійснена в повному обсязі. Крім того, у інтеграл (2.23) входить

підкореневий вираз, який обмежує побудову геодезичних ліній. Цього

недоліку можна позбутися, якщо застосувати диференціальне рівняння

другого порядку, про що буде іти мова в наступному підрозділі. В

недалекому минулому такі рівняння чисельними методами не розв’язувалися,

за відсутністю засобів і програм, тому користувалися інтегралом на основі

теореми Клеро, який не завжди давав бажані результати.

42

2.3. Диференціальні рівняння другого порядку для побудови

геодезичних ліній на поверхнях обертання

Оскільки сітка координатних ліній поверхні обертання (2.17) є

ортогональною, то для знаходження геодезичних ліній на ній можна

скористатися диференціальним рівнянням другого порядку (1.20).

Якщо меридіан поверхні обертання заданий явним рівнянням f=f(u), де

u – незалежна змінна, яка дорівнює відстані від осі обертання до точки на

поверхні, то параметричні рівняння поверхні запишуться:

,)(

;sin

;cos

ufZ

vuY

vuX

(2.34)

де v – друга змінна поверхні (кут повороту точки поверхні навколо осі

обертання).

Коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні (2.34) та їх частинні

похідні запишуться:

;0;2

;0;2

;

;1

2

222

2

222

EEffEE

GGuGG

uv

Z

v

Y

v

XG

fu

Z

u

Y

u

XE

vvuuuu

vvuu

u

(2.35)

Підставивши (2.35) в (1.20), отримаємо:

011

122

2

2

2

2

2

uu

uuu

f

u

dv

du

fu

fffu

dv

ud. (2.36)

43

В диференціальному рівнянні (2.36) геодезична лінія на поверхні

задана внутрішнім рівнянням у вигляді u=u(v). Розглянемо ще один варіант,

коли меридіан поверхні заданий параметричними рівняннями φ=φ(u) і

ψ=ψ(u). Коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні (2.17) та їх

частинні похідні запишуться:

;0;2

;0;2

;

;

2

222

22

222

EEEE

GGGG

v

Z

v

Y

v

XG

u

Z

u

Y

u

XE

vvuuuuuu

vvuuu

uu

(2.37)

Підстановка (2.37) в (1.20) дає:

02

22

2

22

22

2

2

uu

u

uu

uuuuuuu

dv

du

dv

ud

. (2.38)

Особливістю диференціального рівняння (2.38) є те, що одну із

функцій φ=φ(u) або ψ=ψ(u) можна задати, а другу підібрати таким чином,

щоб отримати розв’язок у аналітичному вигляді.

Розглянемо приклад. Задамо, наприклад, φ наступним чином:

au

u

au

u

au

aeea

e ;; . (2.39)

Підстановка (2.39) у (2.38) приводить до наступного рівняння:

44

02

22

22

22

2

2

2

u

au

au

u

au

au

uuu

e

e

dv

du

e

aea

dv

ud

. (2.40)

Диференціальне рівняння (2.40) не розв’язується в елементарних

функціях. Накладемо обмеження на залежність ψ=ψ(u) таким чином, щоб

спростити рівняння (2.40). Це можна зробити, прирівнявши середній вираз до

нуля, тобто:

02 2 au

uuu aea . (2.41)

Диференціальне рівняння (2.41) має розв’язок:

122ln12

1 22 auauauau aeeaeaea

. (2.42)

Взявши похідну виразу (2.42) і підставивши в (2.40) з врахуванням

того, що середній член відсутній, отримаємо просте диференціальне

рівняння:

aue

adv

ud 2

2

2 1 . (2.43)

Розв’язком диференціального рівняння (2.43) є наступний вираз:

2

1

)(2

1

)(

4

4ln

1 2121

ac

ece

au

cvaccvac

, (2.44)

де с1, с2 – постійні інтегрування.

45

Таким чином, нам вдалося знайти рівняння геодезичних ліній в

кінцевому вигляді у внутрішніх координатах поверхні обертання, меридіан

якої описаний рівняннями (2.39) і (2.42). Параметричні рівняння поверхні

обертання запишуться:

.122ln12

1

;sin1

;cos1

22

auauauau

au

au

aeeaeaea

Z

vea

Y

vea

X

(2.45)

Параметричні рівняння геодезичних

ліній отримаємо підстановкою виразу (2.44) в

(2.45):

,122ln12

1

;sin

;cos

22

aAAaAaAa

z

va

Ay

va

Ax

(2.46)

де 2

1

)(2

1

)(

4

4 2121

ac

eceA

cvaccvac

.

На рис. 2.4 побудовано поверхню

обертання за рівняннями (2.45) при а=0,1 та

геодезичну лінію на ній за рівняннями (2.46). Її

напрям в початковій точці залежить від

значення сталих с1 і с2. Однак незалежно від

Рис. 2.4. Проекції

поверхні обертання

(2.45) з побудованою на

ній геодезичною лінією

за рівняннями (2.46)

46

точки і напряму геодезичної лінії в ній, розташування цієї кривої на поверхні

має свою закономірність: її проекції є симетричні і вона неодмінно

торкається до однієї із паралелей (нижче або вище). Виняток становить

крива, у якої напрям збігається із меридіаном – в такому випадку

геодезичною лінією є меридіан. Сама поверхня подібна до параболоїда

обертання і має круглий отвір, де вона не існує із-за наявності в рівняннях

(2.45) виразу під квадратним коренем. Цікаво в цій поверхні також те, що її

меридіан, заданий рівняннями (2.39), (2.42), може бути заданий у функції

довжини дуги s:

.12222ln122

2

1

;2

asasasasa

sa

(2.47)

Візуально поверхні на рис. 2.2,б і на рис. 2.4 подібні, проте у другому

випадку меридіан можна задати у функції довжини власної дуги, як це

зроблено у (2.48), а у першому випадку цього зробити не вдається.

Як і у випадку з інтегралом на основі теореми Клеро, так і при

застосуванні диференціальних рівнянь другого порядку дуже важко підібрати

такі функції, щоб можна було отримати внутрішнє рівняння геодезичних

ліній у кінцевому вигляді. Однак у отриманому диференціальному рівнянні

(2.38) відсутні підкореневі вирази, його розв’язком є залежність u=u(v), тому

воно дозволяє будувати геодезичні лінії в повному обсязі на будь-яких

поверхнях, заданих меридіаном параметричними рівняннями φ=φ(u) і

ψ=ψ(u).

Знайдемо систему диференціальних рівнянь другого порядку для

побудови геодезичних ліній на поверхнях обертання, внутрішнє рівняння

яких описується залежностями u=u(s) і v=v(s), де s – довжина дуги

геодезичної лінії. Для цього скористаємося властивістю, що геодезична

47

кривина геодезичної лінії у всіх точках дорівнює нулю. Отже, наведений у

першому розділі вираз (1.12) потрібно прирівняти до нуля. Для цього

достатньо прирівняти до нуля тільки визначник, а вектор нормалі до поверхні

може бути не одиничним, оскільки при нормуванні спільний знаменник все

рівно виноситься за знак визначника. Знайдемо його проекції із векторного

добутку частинних похідних рівнянь поверхні обертання (2.17) за формулою

(1.13). Вони мають вигляд (запишемо готовий результат, а послідовність

отримання з допомогою програмного продукту «Mathematica» наведено в

додатку А):

uzuyux NvNvN ;sin;cos . (2.48)

Перші похідні у нас є: це вирази (2.18). Знайдемо другі похідні (теж з

допомогою продукту «Mathematica», додаток А):

.

;cos2sin

;sin2cos

2

22

22

uu

uuu

uuu

uuz

vvuvvvuuy

vvuvvvuux

(2.49)

Підставивши координати нормалі до поверхні (2.48), перші (2.18) і другі

(2.49) похідні у визначник (1.12) і розкривши його (додаток А,

використовується спеціальна функція «Det»), отримаємо:

02 232222 uuuuuuuu vuvuvvuuv . (2.50)

Диференціальним рівнянням (2.50) не можна скористатися, оскільки до нього

входять дві невідомі функції: v=v(s) і u=u(s). Отже для їх знаходження

потрібно мати ще одне рівняння. Для цього використаємо рівність (2.19).

Щоправда, її не можна безпосередньо долучити до рівняння (2.50), щоб

48

утворити систему, оскільки у виразі (2.19) відсутні другі похідні функцій

v=v(s) і u=u(s). Тому продиференціюємо (2.19) по змінній s і після спрощень

отримаємо:

022222 vvuuvu uuuuuuu . (2.51)

Розв’язавши рівняння (2.50) і (2.51) відносно других похідних невідомих

функцій, отримаємо систему диференціальних рівнянь другого порядку:

.;

vu2v

uvu u

2

u

2

u

uuuu

22

u

(2.52)

За допомогою системи диференціальних рівнянь другого порядку (2.52)

можна знаходити за допомогою чисельного інтегрування внутрішні рівняння

v=v(s) і u=u(s) геодезичних ліній на поверхнях обертання у функції довжини

власної дуги. Це дає можливість будувати на поверхні лінії однакової

довжини при одних і тих же межах зміни параметра s. Взагалі лінії однакової

довжини були предметом дослідження різних авторів [70, 71, 84, 87]. Якщо ж

ми ці лінії проведемо із точки на поверхні у всіх напрямах, то їх кінці будуть

лежать на гаусовому геодезичному крузі.

Розглянемо приклад. Нехай меридіаном поверхні обертання буде

ланцюгова лінія, задана параметричними рівняннями:

.sinhArc; uu1 2 (2.53)

Знайдемо похідні рівнянь (2.53):

;1

1;

1 22 uu

uuu

(2.54)

49

.

1

1;

1 23

223

2 uu

uuu

(2.54)

Підстановкою похідних (2.54) у систему (2.52) отримаємо систему

диференціальних рівнянь другого порядку:

.;2

2

u1

vuu2vvuu

(2.55)

Чисельне інтегрування системи диференціальних рівнянь (2.55) дає

залежності u=u(s) і v=v(s), які при підстановці у рівняння поверхні (2.17)

дають геодезичну лінію на її поверхні (в нашому випадку – на катеноїді). На

рис. 2.5 побудовано геодезичні лінії рівної довжини в різних напрямах із

заданої точки катеноїда, тобто при однакових межах зміни параметра s при

чисельному інтегруванні. Їх кінці знаходяться на гаусових геодезичних

кругах.

а б

Рис. 2.5. Пучки геодезичних ліній на поверхні катеноїда:

а) довжина ліній пучка рівна 1; б) довжина ліній пучка рівна 1,5.

На рис. 2.6,а побудовано геодезичні лінії у різних напрямах із заданої

точки. Частина із них знаходиться нижче найменшої паралелі (тобто не

перетинає неї), а частина перетинає і продовжується вгору.

50

а б

Рис. 2.6. Геодезичні лінії на поверхні катеноїда

Ми спробували знайти різницю в напрямах геодезичних ліній, коли

відбувається такий перехід. Проте виявити якусь закономірність не вдалося.

Зміна напряму на соті долі градуса може спричинити зміну поведінки

геодезичної лінії: в одному випадку вона не перетинає найменшої паралелі, в

іншому перетинає. На рис. 2.6,б обидві лінії виходять із початкової точки,

позначеної колом, практично в одному напрямі, однак лінія 1 не перетинає

найменшої паралелі, а лінія 2 – перетинає. І все ж таки закономірність існує, і

вона була знайдена аналітичним шляхом (рис. 2.3).

Чисельне інтегрування системи диференціальних рівнянь (2.52) дає

залежності u=u(s) і v=v(s), які при підстановці у рівняння поверхні (2.17)

дають геодезичну лінію на її поверхні. Точка, з якої починаємо побудову

геодезичної лінії, задається початковими значеннями u=u0 і v=v0. Напрям

визначається співвідношенням похідних u' і v'. Для лінії на поверхні

обертання, заданої внутрішніми рівняннями u=u(s) і v=v(s), має виконуватися

рівність 1vu 222 . Виходячи із цього, знаходимо залежність між u' і v'

для чисельного інтегрування: 221 vu . Початкове значення v' задаємо і

знаходимо за наведенною формулою значення u'. Цими двома значеннями

визначається напрям геодезичної лінії в початковій точці.

51

Аналізуючи диференціальне рівняння (2.38) та систему диференціальних

рівнянь (2.52), розв’язком яких є внутрішні рівняння геодезичних ліній у

вигляді u=u(v) та u=u(s) і v=v(s) відповідно, можна побачити, що до них

входить вираз 22

uu , тобто сума квадратів похідних рівнянь меридіана.

Але якщо незалежною змінною u в цих рівняннях є довжина дуги меридіана,

то тоді цей вираз буде рівний одиниці і рівняння спростяться. При цьому

спроститься і інший вираз у круглих дужках: uuuu . Як саме він

спроститься, з’ясуємо на основі натурального рівняння меридіана, від якого

можна перейти до його параметричних рівнянь у функції довжини дуги.

Нехай меридіан буде заданий параметричними рівняннями:

,sin;cos dukdudukdu (2.56)

де k=k(u) – його натуральне рівняння.

Знайдемо перші і другі похідна рівнянь (2.56):

.cos;sin

;sin;cos

kdukkduk

kdukdu

uu

uu

(2.57)

Якщо похідні (2.57) підставити у вираз uuuu , то він

перетвориться в нуль. Отже, диференціальне рівняння (2.38) набуває

вигляду:

02

2

2

2

u

u

dv

du

dv

ud

. (2.58)

Спроститься також система диференціальних рівнянь (2.52):

52

.;

vu2vvu u2

u

(2.59)

Ми вже таке спрощення робили, прирівнявши (2.41) до нуля і при цьому

перейшли від рівнянь меридіана (2.39) і (2.42) у функції довільного

параметра до рівнянь (2.47) у функції довжини його дуги. Тепер на це є

теоретичне пояснення.

Не зважаючи на такий, здавалося б простий вигляд, систему (2.59)

потрібно розв’язувати тільки чисельними методами. Але прості

диференціальні рівняння (2.59) полегшують процес складання моделі для їх

чисельного інтегрування.

Неважко замітити, що до системи диференціальних рівнянь (2.59)

входить тільки одна залежність із двох, що описують меридіан. Це дає

можливість міняти їх місцями. Наприклад, рівняння (2.53) задають меридіан

(ланцюгову лінію) у функції довжини дуги. В цьому неважко переконатися,

підставивши похідні (2.54) у вираз 22

uu . Для відповідної поверхні

обертання (катеноїда, рис. 2.5) система диференціальних рівнянь геодезичних

ліній має вигляд (2.55). Тепер поміняємо місцями рівняння меридіана, тобто

запишемо наступним чином:

.;sinhArc 2u1u (2.60)

Поверхнею обертання в даному випадку буде поверхня, утворена

обертанням ланцюгової лінії навколо своєї осі симетрії.

Система диференціальних рівнянь геодезичних ліній на ній матиме

вигляд:

.sinhArc

;sinhArc

uu1

vuu2vv

u1

uu

2

2

2

(2.61)

53

Поверхня з нанесеними на неї геодезичними лініями, отриманими

чисельним інтегруванням системи (2.61), показана на рис. 2.7.

а б

Рис. 2.7. Геодезичні лінії на поверхні, утвореній обертанням

ланцюгової лінії навколо власної осі симетрії

Геодезична лінія огинає поверхню в нижній частині (рис. 2.7,а) і

продовжується у верхній частині, набуваючи форми, подібної до гвинтової

лінії на циліндрі (рис. 2.7,б).

2.4. Особливості розташування геодезичних ліній на деяких поверхнях

обертання

Застосування диференціального рівняння (2.38) або системи

диференціальних рівнянь (2.52) дає широкі можливості побудови

геодезичних ліній на поверхнях обертання при застосуванні чисельних

методів. Нами були побудовані і досліджені геодезичні лінії на деяких

поверхнях обертання, в тому числі і на тих, на яких вони були побудовані

неточно згідно виявлених джерел.

54

Перевіримо отримані нами диференціальні рівняння на прикладі

псевдосфери. Її рівняння і перші похідні наведено в (2.1) і (2.2). Візьмемо

другі похідні:

1

2;

2

23

2

3

uu

ua

u

a . (2.62)

Підставимо у (2.38) необхідні вирази із (2.1, (2.2), 2.62) і після спрощень

одержимо:

011

2

2

2

udv

du

udv

ud. (2.63)

За допомогою програмного продукту символьної математики

«Mathematica» отримаємо розв’язок диференціального рівняння (2.63):

2

22

2221 cvcveu

c , (2.64)

де с1, с2 – постійні інтегрування.

Через кожну точку поверхні в будь-якому напрямі можна провести

геодезичну лінію по аналогії із прямими на площині, які для неї теж є

геодезичними лініями. Вибір точки і напряму геодезичної лінії залежить від

значень сталих с1, с2. Нехай при значенні v=0 криволінійної координати v

вздовж паралелі значення криволінійної координати u вздовж меридіана буде

u=u0. Тоді згідно (2.64) отримаємо:

2

2

2

01 ceu

c . (2.65)

55

При значеннях криволінійних координат v=0, u=u0 на поверхні буде

задана точка, через яку має пройти геодезична лінія. Її напрям задамо кутом

α, який вона утворює із паралеллю псевдосфери. Подібно до плоскої системи,

можна записати:

2

22

22

22

22

22

22tg

1

1

cvcve

cvcvcve

dv

duc

c

. (2.66)

Розв’язуючи два рівняння (2.65) і (2.66) як систему відносно невідомих

с1 і с2, знайдемо:

tg;cos

ln 020

1 ucu

c . (2.67)

Підставивши значення постійних с1 і с2 із (2.67) у (2.64), остаточно

отримаємо:

tg2 0

22

0 vuvuu . (2.68)

а б

Рис. 2.8. Псевдосфера із побудованими на її поверхні геодезичними

лініями:

а) з однієї точки під різними кутами α до паралелі;

б) із сталим кутом α при різних значеннях u0.

56

Підстановка (2.68) у рівняння поверхні псевдосфери дає рівняння

геодезичної лінії, яка проходить через точку поверхні v=0, u=u0 під заданим

кутом α до паралелі. На рис. 2.8 побудована псевдосфера і геодезичні лінії на

ній, описані внутрішнім рівнянням (2.68).

Застосуємо рівняння (2.38) для знаходження геодезичних ліній на

поверхні тора. Його меридіан описується параметричними рівняннями:

,sin;cos ururR (2.69)

де R – радіус напрямного кола – осі тора;

r – радіус твірного кола (меридіана поверхні).

Знайдемо перші і другі похідні рівнянь меридіана (2.69):

.sin;cos

;cos;sin

urur

urur

uu

uu

(2.70)

Підстановка (2.69), (2.70) у (2.38) дає диференціальне рівняння, яке

зв’язує дві незалежні змінні поверхні у вигляді u=u(v):

0sincos

cos

sin22

2

2

r

uurR

dv

du

urR

ur

dv

ud. (2.71)

Після чисельного інтегрування диференціального рівняння (2.71) було

отримано залежність u=u(v), що дало можливість знаходити геодезичні лінії

на торі шляхом підстановки цієї залежності у рівняння меридіану (2.69) і

подальшої підстановки меридіану у рівняння поверхні (2.17).

За результатами обчислень було побудовано геодезичні лінії на торі та

з’ясовано особливості їх форми. На рис. 2.9,а показано тор з побудованими

геодезичними лініями, які виходять із спільної точки в різних напрямах, а на

57

рис. 2.9,б – розташовані між двома симетричними паралелями. Якщо

порівняти цю лінію із одержаними кривими внаслідок чисельного

інтегрування (рис. 1.12), то можна суттєву відмінність. Вона полягає в тому,

що розтяжна нитка (наприклад, гумова), не буде зісковзувати із поверхні,

будучи натягнутою так, як показано на рис. 2.9,б, а на рис. 1.12 вона

зісковзне із свого початкового положення.

а б

Рис. 2.9. Геодезичні лінії на поверхні тора:

а) криві виходять із спільної точки в різних напрямах;

б) криві розташовані між двома симетричними паралелями

Якщо взяти точку на торі (ми взяли на найбільшій паралелі тора, рис.

2.9,а), то форму геодезичної лінії можна отримати, задаючи початковий

напрям в ній. Якщо він складає 900 із паралеллю, то геодезичною лінією буде

меридіан 1. Зменшуючи значення кута, ми отримаємо послідовно геодезичні

лінії типу гвинтових 2, 3, які обвивають тор, тобто перетинають всі паралелі,

а потім – геодезичні між симетричними паралелями 4, 5 і нарешті саму

паралель 6 при 00.

Вибираючи відповідні початкові умови інтегрування можна побудувати

геодезичні лінії між двома симетричними паралелями будь-якої ширини. На

рис. 2.10,а,б геодезичні лінії є замкненими і побудовані між верхньою і

нижньою паралелями, які є асимптотичними лініями. Їх побудова

58

здійснювалася за наступними початковими умовами: початкову точку брали

на верхній паралелі (асимптотичній лінії) і напрям задавали по дотичній до

цієї лінії. Кількість витків і їх замкненість або не замкненість визначалося

співвідношенням радіусів R і r.

а б

Рис. 2.10. Замкнені геодезичні лінії на поверхні тора із співвідношеннями

радіусів напрямного і твірного кіл:

а) R/r=4/2; б) R/r=2/2;

Поверхню тора умовно можна розділити на дві частини: внутрішню і

зовнішню, причому межею цих частин є верхня і нижня паралелі (і

асимптотичні лінії одночасно).

а б в

Рис. 2.11. Замкнені геодезичні лінії на поверхні тора із

співвідношеннями радіусів напрямного і твірного кіл:

а) R/r=4/2; б) R/r=2/2; в) R/r=9/2.

59

Геодезичні замкнені лінії, що торкаються асимптотичних і розташовані на

зовнішній частині, показано на рис. 2.10. На вигляді зверху вони нагадують

трикутник (рис. 2.11,а), два трикутники (рис. 2.11,б).

Характерним для цих геодезичних є те, що верхня і нижня лінії

збігаються. Однак при належному підборі співвідношення радіусів R і r

можна отримати геодезичну криву, подібну до чотирикутника на вигляді

зверху, проте збігання віток кривої не буде (рис. 2.11,в).

Геодезичні лінії, що обвивають тор подібно гвинтовим на циліндрі,

показано на рис. 2.12.

а б в

Рис. 2.12. Геодезичні лінії, що обвивають тор:

а) крива замкнена;

б) фрагмент тора, близького до циліндра.

Якщо радіус напрямного кола (осі

тора) прямує в нескінченність, то тор

прямує до циліндра і геодезична лінія на

ньому наближається до гвинтової (рис.

2.12,б).

Якщо брати початкову точку

інтегрування на внутрішній стороні тора

з напрямом, щоб геодезична була

дотична до паралелі, то крива буде

Рис. 2.13. Геодезична лінія,

яка торкається до симетричних

паралелей на внутрішній

стороні тора.

60

розташована в обох частинах тора (наприклад, крива 4 на рис. 2.9,а). В

залежності від вибору точки вона як завгодно близько може проходити біля

найменшої паралелі, не перетинаючи її. Якщо ж точку вибрати на найменшій

паралелі, тоді геодезичною лінією буде ця паралель. На рис. 2.13 побудована

замкнена геодезична лінія, яка теж знаходиться між двома симетричними

внутрішніми паралелями і торкається до них з обох сторін (вгорі і внизу).

Щоб розтяжна нитка була натягнута на тор вздовж такої геодезичної кривої,

необхідно, щоб вона переходила із зовнішньої частини поверхні на

внутрішню на асимптотичній лінії (верхній і нижній паралелях).

На рис. 2.14,а побудована замкнена геодезична лінія, яка теж

знаходиться між двома симетричними внутрішніми паралелями і торкається

до однієї з них вгорі, а до другої – з протилежної сторони внизу. На цьому ж

рисунку показана сама лінія в проекціях. При її моделюванні розтяжною

ниткою остання теж повинна бути розташована своїми частинами на різних

сторонах поверхні.

а б в

Рис. 2.14. Замкнена геодезична лінія, розташована між симетричними

паралелями:

а) аксонометрія; б) вигляд спереду; в) вигляд зверху.

На рис. 2.15 зображена геодезична лінія, подібна до попередньої. Однак

відмінність полягає в тому, що вона обвиває поверхню тора. Отже,

геодезичні лінії можуть бути розташовані між двома симетричними

паралелями будь-якої ширини, а також обвивати тор подібно гвинтовій лінії

61

на циліндрі. Геодезичні лінії можуть бути замкненими або незамкненими в

залежності від співвідношення радіусів напрямного кола (осі тора) і твірного

кола (меридіана поверхні). За відповідних початкових умов інтегрування

геодезичні лінії можуть збігатися із меридіанами, а також із найменшою і

найбільшою паралеллю, які лежать у площині симетрії тора.

а б в

Рис. 2.15. Замкнена геодезична лінія, яка обвиває тор:

а) аксонометрія; б) вигляд спереду; в) вигляд зверху.

На еліпсоїді обертання, окрім меридіанів, всі інші геодезичні лінії

розташовані між двома симетричними паралелями (рис. 2.16). В залежності

від відстані між цими паралелями лінії можуть бути замкненими або

незамкненими.

а б в

Рис. 2.16. Замкнені геодезичні лінії на поверхні еліпсоїда обертання

62

Що стосується замкнених геодезичних ліній, то в позаминулому столітті

в тогочасному математичному середовищі виникла задача знаходження

поверхні обертання, у якої всі геодезичні лінії є замкненими і мають

однакову довжину [10, 41]. Серед отриманих поверхонь вирізнялася так

звана «Груша Таннері», для якої було знайдено рівняння меридіана. Було

доведено, що в будь-якій точці поверхні геодезична лінія, проведена у

заданому напрямі на поверхні, обов’язково повернеться в цю точку і довжина

її буде незмінною для всіх напрямів. Проте точно побудувати цю лінію на

той час було неможливо. Перше посилання на цю поверхню ми знайшли в

праці [4]. В цій праці сказано, що це алгебраїчна поверхня обертання

четвертого порядку, у якої всі геодезичні лінії замкнені, мають однакову

довжину і подібні до просторової вісімки. В ній наведено її неявне рівняння:

222222 216 zazyxa , (2.72)

де а – постійна величина.

Для поверхні (2.72) було знайдено параметричні рівняння меридіана:

2cos

2sin;cos

4

uuau

a . (2.73)

Підстановкою (2.73) у (2.17) було отримано параметричні рівняння

поверхні, за якими була побудована сама поверхня (рис. 2.17,а). Вона має

краплеподібну форму і характеризується двома розмірами: а – відстань від

вершини «краплі» до паралелі найбільшого діаметра, яка до того ж є

геодезичною лінією; r – радіус цієї паралелі. Для поверхні (2.72) це

співвідношення a/r=4.

Знайдемо перші і другі похідні рівнянь меридіана (2.73), які нам

необхідні для складання диференціальних рівнянь геодезичних ліній:

63

;2

cos2

sin2

;sin4

uuau

a (2.74)

.2

sin2

cos4

;cos4

uuau

a (2.75)

Цікаво, що для вказаної поверхні можна проінтегрувати інтеграл (1.22)

на основі теореми Клеро:

.322cos

24Arcctg

322cos

sin24Arctg2

16coscos

sin24

22222222

222

acua

c

acua

uc

ducuau

ucv

(2.76)

Однак побудувати геодезичну лінію в повному обсязі за внутрішнім

рівнянням (2.76) не вдається в силу зазначених причин, а знайти обернену

залежність u=u(v) із рівняння (2.76) неможливо. В зв’язку із цим ми

застосували диференціальне рівняння другого порядку (2.38), після

підстановки в яке виразів (2.73), (2.74), (2.75) отримали:

2

2

2

2

sin2

cossin

sin2cos2

3sin82cos

u

uu

dv

du

uu

uu

dv

ud

. (2.77)

Рівняння (2.77) не можна розв’язати аналітично, однак до нього не

входять підкореневі вирази, незалежною змінною є кут повороту v, що дає

можливість з допомогою чисельного інтегрування побудувати геодезичні

лінії в повному обсязі. Загальна форма геодезичних ліній на цій поверхні

була відома, оскільки такі лінії мали бути розв’язком поставленої задачі.

Однак точно побудувати її на поверхні в час постановки задачі було

неможливо. В наш час є можливість порівняти наближене зображення

64

геодезичних ліній на поверхні, зроблене вручну (рис. 2.17,б), із зображенням,

виконаним на сучасному рівні із застосуванням комп’ютерних засобів

візуалізації і чисельних методів розв’язку диференціальних рівнянь (рис.

2.17,в).

а б в

Рис. 2.17. Зображення краплеподібної алгебраїчної поверхні обертання

четвертого порядку:

а) основні розміри поверхні;

б) зображення поверхні із геодезичною лінією на ній із джерела [41];

в) зображення поверхні із геодезичною лінією на ній, побудованої з

допомогою чисельного інтегрування диференціального рівняння (2.77)

Для кращого розуміння природи геодезичних ліній на свого роду

унікальній поверхні (2.72), було побудовано три замкнених геодезичних лінії

серед нескінченної їх множини (рис. 2.18). Дві із них мають точку

самоперетину. Кожну із цих двох ліній можна зсовувати по поверхні до

найбільшої паралелі, яка показана потовщеною лінією і теж є геодезичною.

При такому переміщенні точка самоперетину буде рухатися до вказаної

паралелі і коли попаде на неї, то дві петлі геодезичної лінії збіжаться із

65

паралеллю. Таким чином, довжина замкненої геодезичної лінії буде рівною

4πr, або ж із врахуванням, що a/r=4, довжина буде рівною πа. Очевидно, що

при розтягуванні замкненої геодезичної лінії її можна сумістить із одним із

меридіанів, які теж є геодезичними кривими. Знайдемо довжину s меридіана:

uaau

duua

dus cos42

sin24

22 . (2.78)

Щоб меридіан був

замкнений, тобто,

представляв собою профіль

поверхні (рис. 2.17,а), змінна

u повинна змінюватися в

межах -1,5π…0,5π.

Підставивши ці межі у

отриманий вираз (2.78),

отримаємо: s=πа. При

визначенні довжини всіх

інших геодезичних ліній

чисельними методами теж

отримуємо цей результат.

Отже вказана поверхня за

властивостями геодезичних

ліній подібна до кулі: в якому

напрямі ми б не провели геодезичну лінію, вона завжди буде замкненою і

однакової довжини. Щоправда, для кулі всі геодезичні лінії будуть

однаковими кривими – плоским колами, а для поверхні, що розглядається –

просторовими лініями з точкою самоперетину та плоскими кривими

(меридіани та одна паралель).

Рис. 2.18. Зображення краплеподібної

алгебраїчної поверхні (2.72) в фронтальній і

профільній проекціях із двома замкненими

геодезичними лінями рівної довжини

66

Нами були побудовані геодезичні лінії на подібних поверхнях із іншим

співвідношенням a/r=m. В такому випадку рівняння меридіана приймають

вигляд:

2cos

2sin;cos

uurmur , (2.79)

де r – радіус найбільшої паралелі (геодезичної лінії).

При m=4 отримаємо поверхню, яку ми розглянули. Було також

складено диференціальне рівняння геодезичних ліній для поверхні із

довільним значенням m:

umum

u

dv

du

umum

umuu

dv

ud

sin4sin

2sin2

sin4sin

sin8cos5,0tg2

22

2

22

2

2

2

. (2.80)

а б в

Рис. 2.19. Поверхні обертання з геодезичними лініями на них для

різних значень m у рівнянні (13) їх меридіана:

а) m=3,8; б) m=4,2; в) m=2.

67

На рис. 2.19 за допомогою чисельних методів побудовано геодезичні

лінії на поверхнях із співвідношенням m, близьким до 4. Варто зауважити,

що для цих поверхонь названі властивості геодезичних ліній зникають. Вони

стають незамкненими (рис. 2.19,а,б). Можна підібрати лінію замкнену, але це

вже буде не просторова вісімка, а крива із багатьма точками самоперетину

(рис. 2.19,в).

2.5. Побудова геодезичних ліній на поверхнях, утворених обертанням

меридіана, зміщеного від або до осі обертання

До параметричних рівнянь меридіана можна додати сталі величини а і b.

Тоді його рівняння будуть: φ(u)+а; ψ(u)+b. В такому випадку форма і

розташування поверхні зміняться: меридіан зміститься від осі обертання OZ

на величину а, від чого зміниться її форма, і підніметься вздовж осі OZ на

величину b. Зміщення вздовж осі не впливає на форму поверхні, отже

додавати сталу b немає сенсу. За наявності сталої а диференціальне рівняння

(2.38) змінюється несуттєво. Таким чином, задаючи стале значення для а з

від’ємним або додатнім знаком, ми будемо зміщувати меридіан до або від осі

обертання на задану величину. Для прикладу візьмемо відому криву

знакоперемінної кривини – верзір’єру. В цьому випадку рівняння меридіана

запишеться:

uau

;1

12 . (2.81)

Знаходимо перші і другі похідні рівнянь (2.81):

;1;

1

222

u

u (2.82)

68

.0;

1

2632

2

u

u (2.83)

Підстановка виразів (2.81), (2.82) і (2.83) у (2.38) дає диференціальне

рівняння другого порядку, яке описує геодезичні лінії на поверхні.

Геодезична лінія може бути замкненою або незамкненою. Наприклад, на рис.

2.20 побудовано поверхню обертання з меридіаном (2.81) при а=0 і замкнену

геодезичну лінію на ній. Вона розташована між двома симетричними

паралелями подібно до еліпсоїда обертання. Форма геодезичної лінії

(замкнена чи не замкнена) залежить від відстані між цими крайніми

паралелями.

а б в

Рис. 2.20. Поверхня, утворена обертанням верзір’єри із замкненою

геодезичною лінією на ній

а) фронтальна проекція; б) профільна проекція;

в) аксонометрія

На побудованому відсіку можливе провисання нитки при намотуванні

по геодезичній лінії. Така ситуація продемонстрована на рис. 2.20,б, якби

69

нитка намотувалася по меридіану (в нижній частині відсіку нитка не

прилягає до поверхні). Щоб цього не трапилося, потрібно брати відсік

додатної гаусової кривини.

На рис. 2.21 відстань між крайніми паралелями дотику геодезичної лінії

взято в межах поверхні додатної гаусової кривини. Наприклад, на рис.2.21,а

побудовано замкнену геодезичну лінію на поверхні при а=0 і uo=0,52. Це

означає, що початкове значення змінної u задаємо рівним 0,52, а напрям

геодезичної в цій точці задаємо по дотичній до паралелі. Зміною початкового

значення uo, або величини сталої а можна змінювати форму геодезичної лінії

і підбирати такі сталі, щоб вона була замкнена (рис. 2.21,б,в).

а б в

Рис. 2.21. Варіанти поверхонь, утворених обертанням верзір’єри, та

замкнені геодезичні лінії на них

Зміщенням меридіана (тобто надаючи різних сталих значень для а)

можна отримати геодезичну лінію, близьку до плоскої (рис. 2.22). Це може

бути оригінальним варіантом розташування обручів на бочці, які не

сповзатимуть із свого місця. Незначне зміщення меридіана призводить до

того, що геодезична лінія стає незамкненою. Це дозволяє регулювати

щільність намотки нитки при зміцненні поверхні (рис. 2.23). Таким чином,

керувати щільністю намотки нитки можна шляхом зменшення (збільшення)

70

відстані між паралелями дотику, або ж зміщенням меридіана від осі

обертання.

Рис. 2.22. Проекції і аксонометрія відсіку поверхні із замкненою

плоскою геодезичною лінією на ньому

Рис. 2.23. Незамкнена геодезична

лінія, яка дає уявлення про щільність

намотки зміцнюючої нитки

Рис. 2.24. Поверхня обертання

верзір’єри при її зміщенні на про-

тилежну сторону від осі обертання

При значному зміщенні кривої до осі обертання поверхня може

змінитися кардинально. Наприклад, ми криву меридіана не тільки наблизили

до осі обертання, але змістили її ще далі, перемістивши на протилежну

сторону від осі. Отримана поверхня зображена на рис. 2.24. Із точки на ній в

усіх напрямах побудовані геодезичні лінії. Частина із них залишається в

нижній порожнині поверхні, а частина переходить у верхню порожнину.

Межею такого переходу, очевидно буде крива, яка навиваючись на

71

поверхню, нескінченно близько наближається до найменшої паралелі

(подібно до випадку на рис. 2.6,б). Хоча отримані поверхні значно

відрізняються між собою, вони будуються за одними і тими ж рівняннями

при різних значеннях сталої а. Теж само стосується і при побудові

геодезичних ліній на них.

Висновки до розділу 2

1. Застосування інтегралу на основі теореми Клеро для побудови

геодезичних ліній на поверхнях обертання не приводить до бажаного

результату. З його допомогою можна будувати тільки окремі фрагменти

геодезичної лінії, які відповідають підйому точки лінії по поверхні. Якщо

геодезична лінія міняє напрям і опускається вниз, її побудова стає

неможливою, оскільки незалежна змінна може тільки зростати.

2. Зроблено модифікацію інтегралу на основі теореми Клеро шляхом

переходу до нової змінної – довжини дуги геодезичної лінії. Внаслідок цього

отримано два інтеграли, однак їх практичне застосування теж обмежене і

зв’язане із знаходженням оберненої функції, що зробити вдається дуже рідко.

3. Складено диференціальне рівняння другого порядку, яке описує

геодезичні лінії на поверхні обертання внутрішньою залежністю u=u(v).

Складено систему диференціальних рівнянь другого порядку, які описують

геодезичні лінії на поверхні обертання внутрішніми залежностями у функції

довжини дуги u=u(s) s v=v(s). До складених диференціальних рівнянь

входять параметричні рівняння меридіана та їх похідні.

4. Знайдені диференціальні рівняння другого порядку дають можливість

в повному обсязі будувати геодезичні лінії на поверхнях обертання. Якщо

меридіан поверхні заданий у функції довжини власної дуги, то

диференціальні рівняння значно спрощуються, що веде до спрощення

складання схеми чисельного інтегрування цих рівнянь. Завдяки цьому були

72

побудовані і досліджені геодезичні лінії на різних поверхнях обертання, що в

недалекому минулому зробити було проблематично.

5. Серед інших поверхонь обертання досліджено специфічну

алгебраїчну поверхню четвертого порядку під назвою «Груша Таннері», у

якої всі геодезичні замкнені, мають однакову довжину у формі просторової

вісімки з точкою самоперетину. Показано, що з допомогою початкових умов

інтегрування можна шукати замкнені геодезичні лінії або ж не замкнені, а

також регулювати щільність геодезичних ліній для намотки армуючої нитки.

Регулювати щільність намотки можна також переміщенням плоскої кривої –

меридіана поверхні – від або до осі обертання.

6. Матеріали розділу відображено в працях автора [47,50, 52, 54, 56 - 59].

73

РОЗДІЛ 3

ГЕОДЕЗИЧНІ ЛІНІЇ НА ЛІНІЙЧАТИХ ПОВЕРХНЯХ:

ПРЯМА І ОБЕРНЕНА ЗАДАЧІ

3.1. Побудова геодезичних ліній на нерозгортних лінійчатих поверхнях

Для прикладу розглянемо поверхню гіперболічного параболоїда,

віднесеного до двох сімей прямолінійних координатних ліній, який

описується параметричними рівняннями:

,2);();( uvZuvaYuvaX (3.1)

де а – постійна величина; u, v – змінні величини – незалежні параметри

поверхні.

Внутрішнє рівняння геодезичної лінії будемо шукати у вигляді u=u(v)

прирівнюванням геодезичної кривини до нуля, тобто прирівнюванням

визначника, який входить до виразу (1.12), до нуля. Знайдемо частинні

похідні рівнянь (3.1):

.;;;;; v2u

Za

u

Ya

u

Xu2

v

Za

v

Ya

v

X

(3.2)

За формулою (1.13) знаходимо проекції вектора нормалі:

.;; aNuvNuvN zyx (3.3)

74

Маючи на увазі, що u є функцією v, тобто u=u(v), диференціюємо (3.1)

по v і знаходимо перші і другі похідні:

).2(2;;

);(2);1();1(

uvuzuayuax

uvuzuayuax

(3.4)

Підставимо (3.3) і (3.4) у визначник і після прирівнювання його до нуля і

розкриття одержимо диференціальне рівняння другого порядку:

.)(

)(222 vu2a

vuuu4u

(3.5)

Інтегрування рівняння (3.5) було здійснено за допомогою системи

MatLAB. За допомогою цієї системи була побудована поверхня

гіперболічного параболоїда за рівняннями (3.1), а уже потім на одержаний

графік поверхні були нанесені геодезичні лінії ( рис. 3.1).

а б

Рис. 3.1. Поверхня гіперболічного параболоїда із нанесеними геодезичними

лініями:

а) геодезичні лінії виходять із однієї точки;

б) геодезичні лінії виходять із різних точок поверхні.

75

При інтегруванні рівняння (3.5) необхідно задати початкові значення

змінних u і u. Від початкового значення параметра u залежить розташування

точки на поверхні, з якої починається геодезична лінія, а від початкового

значення u - її напрям в цій точці. На рис. 3.1,а геодезичні лінії побудовані

при одному і тому ж початковому значенні u і при різних початкових

значеннях u, а на рис. 3.1,б – навпаки. Стрілками на рис. 3.1,б показано

напрям геодезичної в початковій точці. Із рис. 3.1,а можна зробити висновок,

що середньою геодезичною лінією є прямолінійна твірна поверхні, крайніми

– плоскі перерізи поверхні площинами X=0 і Y=0, решта геодезичних –

просторові криві. Справді, твірна поверхні виділиться на ній при u = const, а

для крайніх твірних знаходимо залежності u=u(v), прирівнявши перших два

рівняння (3.1) до нуля: u=-v і u=v. Неважко впевнитися, що три залежності: u

= const; u=-v і u=v задовольняють диференціальне рівняння (3.5), що

свідчить про достовірність його інтегрування чисельними методами і

безпомилкову візуалізацію одержаних результатів.

Розглянемо ще один варіант побудови геодезичних ліній на поверхні

гіперболічного параболоїда, коли він заданий рівнянням у явній формі:

2

2

2

2

b

y

a

xz . (3.6)

В такому випадку диференціальне рівняння геодезичних ліній має

вигляд [97]:

,221

23

2

222 qr

dx

dyqspr

dx

dyqtps

dx

dypt

dx

ydqp

(3.7)

де символами p, q, r, s, t позначені наступні вирази, які наводимо для

поверхні (3.6) повністю:

76

.2

;0

;2

;2

;2

22

22

22

2

22

by

zt

yx

zs

ax

zr

b

y

y

zq

a

x

x

zp

(3.8)

Підставимо вирази (3.8) в (3.7) (при цьому для спрощення

диференціального рівняння приймемо значення сталих a=b=1) і після

спрощень отримаємо:

25,022

32

yx

yxyyyxyy . (3.9)

Чисельним інтегруванням диференціального рівняння (3.9) отримаємо

залежність y=f(x). Параметричні рівняння геодезичної лінії в даному випадку

із врахуванням рівняння поверхні (3.6) при a=b=1 запишуться у функції

змінної х:

.)(;)(; 22 xfxzxfyxx (3.10)

Точка поверхні, з якої починається геодезична лінія, залежить від

початкових умов інтегрування, тобто від початкових значень x і y. Напрям, в

якому починається геодезична лінія у вибраній точці, теж залежить від

початкових умов інтегрування, а саме від числового значення похідної y.

На рисунках 3.2...3.4 зображена поверхня (3.6) при a=b=1 із

нанесеними на неї геодезичними лініями, що виходять із різних точок

поверхні в різних напрямах. Можна звернути увагу на те, що геодезичні лінії,

які на горизонтальних проекціях проходять по діагоналі клітинок, на

аксонометричному зображенні поверхні теж проходять по діагоналі і є

прямими. Це свідчить про те, що такі геодезичні лінії збігаються із

прямолінійними твірними поверхні. Дві параболи, що розташовані у двох

77

Рис. 3.2. Поверхня гіпара (3.6) та її горизонтальна проекція із

нанесеними геодезичними лініями, що виходять із точки при x=0, y=0

Рис. 3.3. Поверхня гіпара (3.6) та її горизонтальна проекція із

нанесеними геодезичними лініями, що виходять із точки при x=-1, y=0.

Рис. 3.4. Поверхня гіпара (3.6) та її горизонтальна проекція із

нанесеними геодезичними лініями, що виходять із точки при x=-0,5, y=0,5.

78

взаємно перпендикулярних вертикальних площинах, які проходять через

точку x=0, y=0, теж є геодезичними лініями.

Розшукування геодезичних ліній на лінійчатих поверхнях можна певним

чином узагальнити. Параметричні рівняння лінійчатої поверхні в загальному

вигляді запишуться:

,

;

;

zн

yн

xн

uLzZ

uLyY

uLxX

(3.11)

де хн=хн(v); yн=yн(v); zн=zн(v) – параметричні рівняння напрямної кривої у

функції змінної v;

Lx=Lx(v); Ly=Ly(v); Lz=Lz (v) – проекції одиничного напрямного вектора

прямолінійної твірної поверхні;

u – друга незалежна змінна – довжина прямолінійної твірної, відлік якої

починається від напрямної кривої.

Для знаходження вектора нормалі до поверхні знайдемо спочатку

частинні похідні поверхні (3.11):

.;;

;;;

zyx

zнyнxн

Lu

ZL

u

YL

u

X

Luzv

ZLuy

v

XLux

v

X

(3.12)

За формулою (1.13) знаходимо проекції вектора нормалі:

.;

;

yнzzнyz

xнzzнxy

zнyyнzx

LuyLLuxLN

LuxLLuzLN

LuzLLuyLN

(3.13)

79

Окрім проекцій вектора нормалі (3.13) до складу визначника (1.12)

входять перші і другі похідні рівнянь поверхні (3.11). Оскільки ми прийняли

внутрішнє рівняння геодезичної лінії у вигляді залежності u=u(v), то

диференціювання рівнянь (3.11) здійснюємо по змінній v:

.2

;2

;2

;

;

;

zzzн

yyyн

xxxн

zzн

yyн

xxн

LuLuLuzz

LuLuLuyy

LuLuLuxx

LuLuzz

LuLuyy

LuLuxx

(3.14)

Підставивши вирази (3.13) і (3.14) у (1.12), отримаємо:

(3.15)

0

222

zzzнyyyнxxн

zzнyyнxxн

yнzzнyxнzzнxzнyyнz

LuLuLuzLuLuLuyLuLuLux

LuLuzLuLuyLuLux

LuyLLuxLLuxLLuzLLuzLLuyL

Рівняння (3.15) можна розв’язати відносно uꞌꞌ за допомогою символьної

математики програмного продукту «Mathematica», однак цей розв’язок є

дуже громіздким. В зв’язку із цим ми його не наводимо, а натомість

розглянемо конкретний приклад. Нехай напрямною кривою поверхні буде

коло радіуса r:

0;sin;cos ннн zvryvrx . (3.16)

Через кожну точку кола проходить прямолінійна твірна, напрям якої

задає одиничний вектор L:

,sin;coscos;sincos zyx LvLvL (3.17)

80

де β – кут нахилу прямолінійної твірної поверхні до горизонтальної площини

і яка в кожній точці напрямного кола перпендикулярна радіусу. Такою

поверхнею є однопорожнинний гіперболоїд обертання, який при β=900

перетворюється в циліндр.

Взявши необхідні похідні (3.16) і (3.17) після підстановки них у (3.15) з

наступним розкриттям визначника і спрощень отримаємо диференціальне

рівняння геодезичних ліній:

2222

22222

sincos

coscos32cos

ru

ruuruuu

. (3.18)

Із рівняння (3.18) можна отримати деякі очевидні результати. Якщо

взяти u=0, то такий розв’язок задовольнить рівняння (3.18). Цьому розв’язку

відповідає найменша паралель – горлова лінія поверхні (рис. 3.5). При β=900,

тобто у випадку циліндра ми будемо мати диференціальне рівняння uꞌꞌ=0,

розв’язком якого буде лінійна

залежність u=cv, що відповідає

гвинтовій лінії на циліндрі.

Чисельним інтегруванням диферен-

ціального рівняння (3.18) були

побудовані геодезичні лінії на поверхні

(рис. 3.5). Вони розташовані подібно

до аналогічних ліній на катеноїді (рис.

2.6). При невеликій різниці в напрямі

одна лінія (позначена цифрою 1) не

переходить в нижню частину поверхні,

а інша (позначена цифрою 2) –

переходить. Очевидно, що між цими

двома лініями є крива, яка обвиває

поверхню, нескінченно наближаючись

Рис. 3.5. Геодезичні лінії на

однопорожнинному гіперболоїді

обертання

81

до найменшої паралелі (горлової лінії). Серед побудованих геодезичних одна

є прямою лінією (позначена цифрою 3). Це прямолінійна твірна другої сім’ї

прямих ліній.

Побудована поверхня віднесена до косокутної сітки координатних ліній.

Оскільки це поверхня обертання, то можна знайти рівняння меридіану і

застосувати диференціальне рівняння (2.38). Для цього перетнемо поверхню

площиною, що проходить через її вісь обертання, задавши, наприклад, Х=0.

Наводимо знайдені рівняння гіперболи – меридіана поверхні:

uru

rctgtg;

sin . (3.19)

Взявши перші і другі похідні рівнянь (3.19) і підставивши у (2.38),

отримаємо:

01u

uu

dv

du

1u

uu

dv

ud22

222

22

22

2

2

cossin

cossinctg

cossin

cossinctg. (3.20)

До одержаного диференціального рівняння не входить стала r, оскільки

вона в рівняннях меридіана (3.19) грає роль масштабного коефіцієнта і її

збільшення або зменшення впливає на відповідне збільшення або зменшення

самої поверхні і не впливає на напрям і розташування геодезичних ліній на

ній.

3.2. Побудова геодезичних ліній на розгортних лінійчатих поверхнях

Отримане диференціальне рівняння у вигляді визначника (3.15) є

загальним для всіх лінійчатих поверхонь, заданих у формі (3.11). Однак для

розгортних поверхонь проекції одиничного напрямного вектора L

прямолінійної твірної не можуть бути довільними функціями, тобто вектор

82

не може мати в просторі довільний напрям. Він визначається, виходячи із

того, що поверхня розгортна (наприклад, як дотична до ребра звороту).

В даному підрозділі ми розглянемо можливість побудови геодезичних

ліній на розгортних поверхнях без розв’язування диференціальних рівнянь.

Оскільки геодезичні лінії розгортних поверхонь перетворюються у прямі на

їх розгортках, то можна в оберненому порядку побудувати пучок прямих на

розгортці, які на поверхні перетворяться в геодезичні лінії, що виходять із

заданої точки в різних напрямах. Однак для цього потрібно мати

параметричні рівняння поверхні і її розгортки, що теж не для всіх поверхонь

вдається це зробити.

Розглянемо приклад для конуса, заданого меридіаном (прямою,

нахиленою під кутом β до основи) у вигляді (2.25). Його параметричні

рівняння мають вигляд:

cossincos

;coscoscos

coscos

ve

Yve

Xu

p

u

p . (3.21)

Якщо знайти першу квадратичну форму розгортки (3.21) і конуса при

підстановці (2.25) в рівняння (2.17), то можна переконатися, що вони

однакові. На рис. 3.6,а за рівняннями (3.21) побудована розгортка конуса при

β=450. Нехай в точці А з координатами х0 і y0 потрібно провести пряму лінію,

яка на конусі буде геодезичною. Розглянемо цю точку в системі координат

OXY окремо (рис. 3.6,б).

Параметричні рівняння прямої s (причому s – це довжина прямої –

незалежна змінна) запишуться:

sin;cos 00 syysxx , (3.22)

де α – кут, який задає напрям прямої.

83

а б

Рис. 3.6. До визначення точки А на розгортці конуса, через яку потрібно

провести пряму лінію із заданим напрямом:

а) точка А на розгортці із заданими координатами х0=5 і y0=5;

б) визначення координат х0 і y0 через відстань ρ і кут α0 та напряму

прямої лінії s через кут α.

Із врахуванням, що 0000 sin;cos yx рівняння прямої (3.22)

запишуться:

sinsin;coscos 00 sysx . (3.23)

Щоб побудувати пряму (3.23) на розгортці конуса (3.21), потрібно

знайти її внутрішнє рівняння у вигляді v=v(s) і u=u(s). Для цього прирівняємо

між собою відповідні координати точки рівнянь (3.21) і (3.23):

.cossincos

sinsin

;coscoscos

coscos

cos

0

cos

0

ve

s

ve

s

u

u

(3.24)

Роз’вяжемо систему рівнянь (3.24) відносно v і u:

84

.)cos(2coslncos

1

;coscos

sinsinArctg

cos

1

0

22

0

0

ssu

s

sv

(3.25)

При підстановці виразів (3.25) при заданих значеннях сталих β ρ, α0, α у

рівняння розгортки (3.21) ми отримаємо відповідну пряму лінію по

відношенню до криволінійних координат розгортки. При підстановці цих же

внутрішніх рівнянь у параметричні рівняння конуса отримаємо відповідну

геодезичну лінію на його поверхні.

а б

Рис. 3.7. Конус із пучком геодезичних ліній та кіл Дарбу на ньому:

а) розгортка конуса; б) конус в аксонометрії.

При побудові прямих ліній на розгортці конуса з різним значенням

кута α при зміні s від нуля до заданої величини кінці відрізків будуть лежать

на колі. Якщо у виразах (3.25) кут α зробити другою незалежною змінною, то

при підстановці у (3.21) ми отримаємо другу ортогональну координатну

сітку, однією сім’єю координатних ліній якої є прямі, а другою –

концентричні кола (рис. 3.7,а). На поверхні конуса прямі перетворюються у

геодезичні лінії, а кола – у криві сталої геодезичної кривини. Це випливає із

того, що геодезична кривина кривої не змінюється при згинанні поверхні і

переходить у повну кривину на розгортці, тобто у кривину кола для нашого

85

випадку. Така система координат на поверхні носить назву напівгеодезичної

[94]. Сім’я кривих сталої геодезичної кривини (у нашому випадку – сім’я

концентричних кіл) називається колами Дарбу. В загальному випадку вони

можуть бути незамкненими (наприклад, гвинтова лінія на поверхні

розгортного гелікоїда).

При ρ=0 в рівняннях (3.25) пучком геодезичних стають прямолінійні

твірні конуса, а колами Дарбу – його паралелі.

3.3. Обернена задача побудови розгортної поверхні за заданою

геодезичною лінією

Як зазначалося у першому розділі, нормаль поверхні і головна нормаль

геодезичної лінії збігаються по всій довжині кривої. Якщо в певній точці

геодезичної лінії (наприклад, точці А на рис. 1.7,а) побудувати дотичну до

поверхні площину, то вона буде перпендикулярна не тільки до нормалі N

поверхні, але і до головної нормалі n геодезичної лінії, оскільки вони

збігаються. Це дає можливість задати будь-яку плоску або просторову криву,

знайти множину головних нормалей вздовж її довжини і побудувати

відповідну множину площин, які будуть дотичними до розшукуваної

поверхні (рис. 3.8). Ця однопараметрична множина площин буде огинати

певну розгортну поверхню

(тобто поверхня буде

обвідною для цієї множин

площин). Це і буде

розшукувана поверхня, для

якої задана просторова крива

буде геодезичною лінією.

Прямолінійні твірні цієї

поверхні будуть результатом

Рис. 3.8. Однопараметрична множина

площин, побудованих вздовж кривої

перпендикулярно до її головних нормалей

86

перетину пар суміжних нескінченно близьких площин множини. Нехай

маємо дві площини з нормальними векторами в точках А і В кривої (рис.

3.9,а). Результатом перетину площин є пряма з напрямним вектором L .

Нормальні вектори площин точках А і В кривої перпендикулярні кожен своїй

площині, отже, вони перпендикулярні лінії перетину цих площин. Оскільки

вектор L перпендикулярний кожному нормальному вектору, то його можна

знайти як результат векторного множення цих нормальних векторів. Тепер

візьмемо за суміжні площини дві нескінченно близькі площини із

однопараметричної множини. Якщо один нормальний вектор позначити

через N , то другий запишеться як dNN , де dN - приріст вектора при переході

від площини до нескінченно близької суміжної (рис. 3.9,б). Знайдемо вектор L

із векторного добутку вказаних векторів:

dNNdNNNL . (3.26)

Величина приросту

dN залежить від приросту

незалежної змінної v у

параметричних рівняннях

напрямної кривої в (3.11).

Напрям векторного

добутку (3.26) не

зміниться, якщо

співмножник dN розділити на скаляр dv. Позначимо Ndt

dN і після цього

отримаємо:

NNL . (3.27)

Побудова поверхні починається із вибору напрямної кривої, яка повинна

бути для неї геодезичною. Візьмемо загальний випадок циліндричної лінії на

а б

Рис. 3.9. Перетин двох суміжних площин

87

круговому циліндрі з радіусом основи R і віссю обертання Ох, вздовж якої

задана довільна закономірність зміни координати х залежністю x=x(v):

.cos

;sin

);(

vRz

vRy

vxx

. (3.28)

Таке задання напрямної кривої буде використане нами в наступному

розділі при проектуванні полицевої поверхні ґрунтообробного робочого

органу. Знаки «-» в рівняннях (3.28) вказують на те, що поворот точки при

утворенні лінії на поверхні циліндра здійснюється за годинниковою стрілкою

при спостереженні її руху зі сторони додатного напряму осі Ох. Це має

значення при конструюванні поверхні полиці. При лінійній залежності x=av,

де а – стала величина, рівняння (3.28) опишуть гвинтову лінію.

Для побудови поверхні необхідно знайти вектор n головної нормалі

кривої (3.28), якого приймемо за нормальний вектор N дотичної площини.

Його проекції, які є напрямними косинусами відповідних кутів,

визначаються через перші і другі похідні кривої (3.28) за відомими

формулами [65]:

,cos

;cos

;cos

222222nz

222222ny

222222nx

CBAzyx

xByAn

CBAzyx

zAxCn

CBAzyx

yCzBn

. (3.29)

де .;; yxyxCxzxzBzyzyA

Знайдемо перші і другі похідні рівнянь (3.28), вважаючи функцію x=x(v)

довільною:

88

.cos;sin

;sin;cos

);();(

vRzvRz

vRyvRy

vxxvxx

(3.30)

Підставивши (3.30) в (3.29), після спрощень отримаємо наступні

проекції одиничного нормального вектора N дотичної площини до

конструйованої поверхні ( Nn ):

.sincos

cos

;cossin

cos

;cos

22222

22

22222

22

22222

vvRvR

vvvvvRN

vvRvR

vvvvvRN

vvRvR

vRN

nz

ny

nx

(3.31)

Щоб знайти векторний добуток за формулою (3.27), необхідно

продиференціювати вирази (3.31). Зважаючи на громіздкість похідних, їх не

наводимо, а наводимо готовий результат векторного добутку (3.27),

отриманий за допомогою програмного продукту символьної математики

«Mathematica»:

,sincos

;cossin

;222222222 FED

vFvEL

FED

vFvEL

FED

DL zyx

(3.32)

де

.;

;2

222

222

22223

vvvRvvRF

RvvvRE

RvvvvRvvvD

Вектор L (3.32) приведений до одиничного.

89

Рівняння поверхні, яка проходить через напрямну криву (3.28) з

прямолінійними твірними, паралельними вектору L (3.32) згідно формул

(3.11), запишуться:

.cos;sin;)( zyx uLvRZuLvRYuLvxX (3.33)

Прямолінійні

твірні поверхні

(3.33) в загальному

випадку дотичні до

просторової кривої

– ребра звороту

(рис. 3.10). Якщо

залежність x=x(v)

буде лінійною,

тобто x=av, то

.0,0, xxax

Підставивши ці

значення в (3.32),

одержимо: ;1xL ;0yL 0zL . Таким чином, поверхня (3.33) стає

циліндричною, що і зрозуміло, оскільки при лінійній залежності x=av

циліндрична лінія стає гвинтовою – геодезичною для циліндра. Ребро

звороту в цьому випадку знаходиться в нескінченності.

3.4. Побудова лінійчатої поверхні в системі супровідного тригранника

заданої геодезичної лінії

Відомо, що через задану лінію можна провести одну розгортну

поверхню і безліч нерозгортних таким чином, щоб ця лінія була для них

геодезичною. Спосіб побудови розгортної поверхні ми розглянули в

Рис. 3.10. Схема утворення розгортної поверхні за

заданою геодезичною лінією

90

попередньому розділі. Для побудови нерозгортних поверхонь потрібно

використати апарат внутрішньої геометрії із теорії поверхонь. Це зручно

зробити за допомогою супровідного тригранника цієї кривої. Із

диференціальної геометрії відомо, що напрямний вектор L прямолінійної

твірної в триграннику напрямної кривої, яка є геодезичною для поверхні,

знаходиться у спрямній площині тригранника (рис. 3.11). Якщо ми хочемо,

щоб поверхня була розгортною, то в названій площині вектор L має бути

проведений у строго визначеному напрямі, який обумовлений значенням

кривини k і скруту σ кривої в поточній точці (рис. 3.11,а). Виходячи із рис.

3.11,а, можна знайти проекції одиничного вектора L на орти супровідного

тригранника Френе:

.;0;2222 k

kLL

kL bn

(3.34)

а б

Рис. 3.11. Супровідний тригранник заданої геодезичної лінії з

напрямним вектором L прямолінійної твірної поверхні в спрямній площині

Для того, щоб поверхня була нерозгортною, потрібно вектор L

відхилити від цього напряму на кут ψ в одну або іншу сторону таким чином,

щоб він залишався в спрямній площині (рис. 3.11,б). Чим більший кут

відхилення ψ, тим більше нерозгортна поверхня відрізнятиметься від

91

розгортної. Таким чином, розгортна поверхня є частковим випадком

нерозгортних поверхонь при ψ=0.

Розглянемо спочатку конструювання розгортної поверхні, для якої

напрям одиничного вектора визначається його проекціями (3.34) на орти

супровідного тригранника. Візьмемо лінію на поверхні кругового циліндра з

радіусом R основи і закономірністю зміни не кроку, як у попередньому

підрозділі, а залежністю кута β підйому лінії від довжини її дуги s: β=β(s).

Параметричні рівняння такої лінії мають вигляд [92]:

.sin;cossin;coscos dszds

R

1Ryds

R

1Rx (3.35)

Кривину k і скрут σ, які визначають напрям прямолінійної твірної

поверхні за формулами (3.34), знаходять через похідні рівнянь кривої. Перші,

другі і треті похідні рівнянь (3.35) запишуться:

.sincos

;coscossincoscos

cossinsin'

;cossinsincoscos

)3.36(coscossin'

;cos

;cossincoscoscossin

;coscoscoscossinsin

;sin;coscoscos;cossincos

2

23

2

23

2

2

2

z

dsR

1

R

1

dsR

12

R2

3y

dsR

1

R

1

dsR

12

R2

3x

z

dsR

1

R

1ds

R

1y

dsR

1

R

1ds

R

1x

zdsR

1yds

R

1x

92

Знайдемо кривину k і скрут σ кривої (3.35) за відомими формулами для

випадку, коли крива задана параметричними рівняннями у функції довжини

власної дуги:

.222 zyxk (3.37)

zyx

zyx

zyx

k

12

. (3.38)

Після підстановки (3.36) у (3.37) і (3.38) отримаємо:

kRR

12 2 4 cos ; (3.39)

.

cos

sincos3+ctg

422

4222

RR2

2RR

(3.40)

Тепер проекції одиничного вектора L на орти супровідного тригранника

Френе (3.34) стають визначеними, тому що відомі вирази (3.39) і (3.40).

Проекції вектора (3.34) на осі нерухомої системи запишемо через

напрямні косинуси кутів між двома системами:

.coscos

;coscos

;coscos

bbz

bby

bbx

LLL

LLL

LLL

(3.41)

Косинуси кутів, що входять до виразів (3.41), визначаються через

перші і другі похідні (3.36). Їх вирази наведені в підручниках із

93

диференціальної геометрії [65]. Для їх знаходження виконаємо певні

підготовчі операції:

)3.42(.cos;cos

;coscoscossincossin

;cossincossincoscos

4

2

22223

2

2

R

1CBA

R

1C

dsR

1

R

1ds

R

1xzxzB

dsR

1

R

1ds

R

1zyzyA

Вирази напрямних косинусів орта тригранника , дотичного до

заданої кривої, запишуться:

;cos

;cos

;cos

z

y

x

(3.43)

Напрямні косинуси бінормалі b визначаємо через співвідношення

виразів (3.42):

)3.44(.cos

coscos

;coscoscossincossincos

cos

;cossincossincoscoscos

cos

422

3

222b

2

422

222b

2

422

222b

RCBA

C

dsR

1ds

R

1R

R

1

CBA

B

dsR

1ds

R

1R

R

1

CBA

A

94

Параметричні рівняння розгортної поверхні в проекціях на нерухому

систему координат, для якої напрямна крива (3.35) є геодезичною лінією,

запишуться згідно (3.11):

.coscossin

;coscoscossin

;coscoscoscos

b2222

b2222

b2222

k

k

kudsZ

k

k

kuds

R

1RY

k

k

kuds

R

1RX

(3.45)

Рис. 3.12. Прямокутні проекції та

аксонометрія розгортної поверхні,

побудованої для кривої (3.35) із

заданою залежністю β=as, де a=0,35;

R=5.

Рівняння (3.45) є узагальненими рівняннями розгортної поверхні, для

якої крива (3.35) є геодезичною лінією. Для того, щоб побудувати поверхню,

необхідно задати залежність β=β(s). Програма для побудови поверхні теж

набирається в загальному вигляді. Для конкретної поверхні вводяться вирази

β=β(s), їх похідні та інтеграли, що входять до рівнянь (3.45).

95

Розглянемо приклади. Нехай кут β змінюється за лінійною залежністю:

β=as, де а – стала величина. Тоді ;sin1

cos asa

ds

0;;cos1

sin aasa

ds . Підставивши ці вирази в (3.39), (3.40),

(3.44) і далі у (3.45), ми отримаємо рівняння поверхні, яка побудована на рис.

3.12.

Рис. 3.13. Поверхня, для якої

крива (3.35) при β=Arctg(as) є

геодезичною лінією; a=0,5; R=5

При β=Arctg(as) побудовано поверхню на рис. 3.13. Горизонтальною

проекцією геодезичної лінії в обох випадках є дуга кола, оскільки сама крива

розташована на коловому циліндрі.

Розглянемо конструювання нерозгортної лінійчатої поверхні. В цьому

випадку напрямний вектор L має бути зміщений від положення для

розгортної поверхні в одну або іншу сторону. Якщо положення вектора L для

96

розгортної поверхні в триграннику можна задати кутом φр (рис. 3.11), то для

нерозгортної – кутом φ=φр+ψ (рис. 3.11,б). Кут ψ може бути додатним або

від’ємним, сталим або змінним. Оскільки величина кута φр визначається

через кривину і скрут кривої за формулою 22

р

k

cosArc , то

проекції вектора L на орти супровідного тригранника запишуться:

.cosArcsinsin

;0

;cosArccoscos

22

22

kL

L

kL

b

n (3.46)

Подальший алгоритм побудови поверхні не відрізняється від описаного

вище. Зокрема, роботу алгоритму було перевірено на тестовому прикладі. За

геодезичну лінію було взято гвинтову лінію на циліндрі радіуса R з

гвинтовим параметром b:

bvzvRyvRx ;sin;cos . (3.47)

Лінійчаті поверхні будувалися при різних значеннях кута ψ, а також

при його зміні по лінійному закону ψ=at. У випадку, коли a=b=0 було

отримано циліндр, тобто очікуваний результат, оскільки для кола єдиною

розгортною поверхнею, для якої це коло буде геодезичною лінією, буде

циліндр. Для гвинтової лінії при ψ=0 теж має бути циліндр. Ми теж його

отримали за складеними рівняннями. На рис. 3.14,а зображено відсік

циліндра із заданою гвинтовою геодезичною лінією, яка показана

потовщеною. Для цієї ж лінії було побудовано нерозгортні лінійчаті поверхні

97

при сталому значенні кута ψ: для ψ=0,15π (рис. 3.14,б) і для ψ=-0,15π (рис.

3.14,в). На рис. 3.14,г ці дві поверхні поєднані таким чином, що гвинтова

лінія є для них спільною геодезичною лінією.

а б в г

Рис. 3.14. Лінійчаті поверхні, побудовані за напрямною гвинтовою

лінією, яка є для них геодезичною лінією:

а) циліндрична поверхня при ψ=0;

б) нерозгортна лінійчата поверхня при сталому значенні кута ψ=0,15π;

в) нерозгортна лінійчата поверхня при сталому значенні кута ψ=-0,15π;

г) поєднання двох поверхонь б) і в), для яких гвинтова лінія є спільною

геодезичною лінією

На рис. 3.15 побудовано поверхні із змінним кутом ψ: він змінюється за

лінійним законом ψ=at при а=0,1. Як видно із рисунків, у всіх випадках

крайня твірна поверхні паралельна осі Oz, тобто побудова поверхні

починається при t=0, звідки і ψ=0 в початковій точці напрямної кривої. Далі

кут ψ зростає і поверхня все більше віддаляється від розгортної. Таким

чином, при такому підході з’являється можливість контролювати або

задавати ступінь відхилення нерозгортної поверхні від розгортної. Це може

бути використано при конструюванні поверхонь робочих органів, у яких тип

поверхні може впливати на перебіг технологічного процесу, зокрема, при

проектуванні полиць плугів.

98

а б в г

Рис. 3.15. Лінійчаті нерозгортні поверхні, для яких задана крива є

геодезичною для лінійного закону зміни кута ψ=at:

а) ψ=0,1v; б) ψ=-0,1v; в) поєднання поверхонь а) і б);

г) варіант, коли b=0, тобто геодезична лінія – коло, ψ=-0,1v

Висновки до розділу 3

1. Розроблено спосіб відшукання геодезичних ліній на лінійчатих

поверхнях. В основі його лежить прирівнювання геодезичної кривини

розшукуваної лінії до нуля. Оскільки в лінійчатих поверхнях одна змінна –

довжина прямолінійної твірної u – перебуває тільки в лінійній залежності, то

це дозволяє певним чином спростити аналітичні вирази. В розділі певною

мірою вдалося отримати узагальнені результати по складанню

диференціального рівняння у вигляді визначника.

2. Для розгортних поверхонь запропоновано спосіб відшукання

геодезичних ліній без розв’язування диференціальних рівнянь. Він полягає в

знаходженні внутрішнього рівняння прямої лінії на розгортці поверхні. Якщо

знайдено параметричні рівняння поверхні і її розгортки, то підстановка

внутрішнього рівняння прямої в параметричні рівняння поверхні описує

геодезичну лінію на ній, тобто пряма на розгортці перетворюється в

геодезичну лінію при згинанні розгортки у поверхню. Цей спосіб в роботі

реалізовано на побудові пучка прямих на розгортці конуса, які виходять із

99

заданої точки, та сім’ї концентричних кіл, які на поверхні конуса

перетворюються відповідно у пучок геодезичних ліній і сім’ю гаусових

геодезичних кругів.

3. В розділі розглянута обернена задача – конструювання лінійчатих

поверхонь за заданою кривою, яка повинна бути геодезичною для

конструйованої поверхні. Для цього використано властивість геодезичної

лінії, згідно якої її головна нормаль і нормаль до поверхні збігаються у всіх

точках. Це дозволило конструювати розгортну поверхню, як обвідну

однопараметричної множини площин. Отримано параметричні рівняння і

побудовано поверхні з геодезичною лінією різних способів утворення на

круговому циліндрі. В окремому випадку, коли лінія гвинтова, такою

поверхнею буде сам циліндр.

4. Для розв’язування оберненої задачі стосовно нерозгортних лінійчатих

поверхонь запропоновано конструювання поверхні здійснювати в системі

рухомого супровідного тригранника геодезичної лінії. Якщо напрямний

вектор прямолінійної твірної розгортної поверхні має строго визначений

напрям в системі тригранника, що зумовлює тільки один варіант поверхні, то

для нерозгортної таких варіантів може бути багато за рахунок керованого

відхилення напрямного вектора в спрямній площині. Цей спосіб дозволяє

конструювати як розгортну поверхню (одну), так і множину нерозгортних.

Роботоздатність розробленого способу підтверджена прикладами побудови

нерозгортних лінійчатих поверхонь, для яких спільною геодезичною лінією є

гвинтова лінія на круговому циліндрі.

5. Матеріали розділу відображено в працях автора [51, 53] та частково в

працях [48, 56].

100

РОЗДІЛ 4

ВИКОРИСТАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ДОСЛІДЖЕНЬ В ЗАДАЧАХ

АРМУВАННЯ ОБОЛОНОК ТА КОНСТРУЮВАННЯ ПОВЕРХОНЬ ЗА

БАЖАНОЮ ТРАЄКТОРІЄЮ РУХУ ТЕХНОЛОГІЧНОГО МАТЕРІАЛУ

4.1. Зміцнення балона із циліндра і двох півкуль намоткою нитки по

геодезичних лініях

Для балонів високого тиску висуваються вимоги бути достатньо міцними

і легкими. В цьому відношенні перевагу в порівнянні із металевими

балонами мають балони із композитних матеріалів, армовані нитками. Нитки

бажано намотувати по геодезичних лініях, оскільки в такому випадку не

виникатимуть зусилля, що зміщують нитку із свого положення і вона

працюватиме тільки на розтяг. Величина тиску, який здатен витримати

балон, залежить не тільки від товщини його стінки, але і від форми самого

балона [92]. Основною геометричною характеристикою, від якої залежить

здатність поверхні витримувати тиск, є середня кривина. Саме цей показник

покладено в основу знаходження потрібної форми балона із поверхні

обертання [43, 44, 92, 93]. Додатково балон можна зміцнити намотуванням

ниток по геодезичних лініях [28, 30, 78, 83]. Намотка нитки на складову

поверхню розглянута в працях [6, 7, 82, 114, 115].

Зазвичай балон виготовляють із циліндричної частини і двох півкуль,

які приєднують з торців циліндра. Як відомо, геодезичними лініями циліндра

є гвинтові лінії, а також їх часткові випадки – коло (при кроці гвинтової лінії,

рівному нулю) і прямолінійні твірні (при необмеженому зростанні кроку).

Геодезичними лініями кулі є кола великого діаметра. При стикуванні цих

ліній, що належать різним поверхням, потрібно забезпечити перший порядок

гладкості. Для цього на межі циліндра і півкулі гвинтова лінія переходить у

плоский переріз кулі стичною площиною (рис. 4.1).

101

Рис. 4.1. Три проекції балона з трьох

складових частин (циліндра та двох півкуль) і

спільна геодезична замкнена лінія на ньому.

Рис. 4.2. Фрагмент балона із

циліндричною частиною

вгорі для вентиля.

В такому випадку, при умові, що циліндричну частину взято в межах

одного кроку Н, геодезична лінія буде замкненою. При цьому крок гвинтової

лінії зв’язаний із радіусом R циліндра і кулі та кутом β, під яким гвинтова

лінія перетинає твірні циліндра, наступною залежністю:

ctg2 RH . (4.1)

Намотка нитки по замкненій геодезичній лінії недоцільна, потрібно,

щоб витки нитки розташовувалися поруч із заданою щільністю. Для цього є

102

два шляхи. Перший – при одному повному витку, який закінчується в точці

С, повернути балон на кут Δα (рис. 4.2, горизонтальна проекція) і

продовжити намотку по такій же замкненій геодезичній лінії, яка буде

зміщена на певну відстань Δs від першої. При здійсненні повного витка знову

потрібно повернути балон на цей же кут і так продовжувати до повної

намотки. При цьому область півкулі в межах радіуса r (рис. 4.2) не буде

покрита нитками. В цьому місці до півкулі приєднана циліндрична частина, у

якій має бути нарізана різьба під вентиль, а з протилежної сторони балона –

різьба для заглушки. Таким чином, величина кута β визначається

співвідношенням між радіусом R балона та радіусом r циліндричного

наконечника для укручування вентиля:

R

rsin . (4.2)

Величина кута Δα залежить від товщини (діаметра) нитки, яку

намотують.

Другий шлях намотки – зміщення на кут Δα досягається тим, що ми

беремо середню циліндричну частину балона не кратною величині кроку Н, а

меншою або більшою на якусь його долю ΔН. Величину цього зміщення

знаходимо із виразу:

ctgsH . (4.3)

Таким чином, за двома конструктивними параметрами R і r можна

визначити за формулою (4.2) величину кута β, крок гвинтової геодезичної

лінії Н за формулою (4.1) і величину ΔН в залежності від проміжку між

витками Δs за формулою (4.3).

Для виготовлення балона необхідно спочатку виготовити оправку для

намотки нитки. Її можна зробити із трьох частин: двох металевих півкуль із

103

нарізаною різьбою для вентиля або заглушки та циліндричної неметалевої

частини для зменшення ваги (рис. 4.3,а). Ці елементи з’єднуються з

допомогою різьби. На рис. 4.3,б показано частину балона із намотаними

нитками. Відомо, що куля такого ж радіуса, як і циліндр витримує вдвічі

вищий тиск [92]. В зв’язку з цим циліндричну частину можна додатково

зміцнити намотуванням нитки по геодезичній лінії малого кроку, як показано

на рис. 4.3,в.

а б в

Рис. 4.3. Елементи балона із складеної поверхні:

а) елементи оправки для намотування: 1 – металева частина у вигляді

півкулі із нарізаною різьбою для вентиля або заглушки; 2 – неметалева

тонкостінна циліндрична частина;

б), в) – балон із намотаними нитками.

Підсумовуючи викладене, можна дійти висновку, що балони для

зберігання стисненого газу можна виготовляти складовими із середньої

циліндричної частини та двох півкуль. Для зміцнення такої складової

оболонки можна застосувати намотку по геодезичних лініях, які плавно

переходять із одної поверхні на другу. Два конструктивних параметри –

діаметр балона і діаметр циліндра із приєднувальною різьбою на торцях –

104

дозволяють розрахувати всі необхідні дані для намотки. Заміна середньої

частини металевого циліндра на неметалеву оправку дасть можливість

значно зменшити вагу балона. Крім того, він більш безпечний в експлуатації,

оскільки при розриві на дає осколків. Конструктивне виконання оболонки,

яка дозволяє виконати таку намотку, захищено патентом на газовий балон

[79].

4.2. Конструювання розгортної поверхні полицевого типу за заданою

геодезичною лінією – бажаною траєкторією руху частинок грунту по

грунтообробному робочому органу

Полиця плуга може бути циліндричною, культурною, напівгвинтовою,

гвинтовою [19]. Від неї залежить ступінь кришіння, перевертання, укладання

скиби. Існують способи проектування полиць названих типів. Зокрема,

професор М.В. Щучкін розробив метод графічного проектування полиці

плуга із циліндроїдальної поверхні за заданою напрямною кривою і

запропонованою закономірністю розташування прямолінійних твірних

поверхні в залежності від висоти їх розміщення від дна борозни [110]. Цей

метод і досі є основою проектування полиць. За напрямну криву

рекомендується брати дугу параболи або кола. При цьому параболі надається

перевага, оскільки вона має більші можливості формоутворення.

Прямолінійні твірні поверхні проходять через напрямну криву паралельно до

дна борозни і під певним кутом γ до стінки борозни. Закономірність зміни

кута γ прийнято задавати графіком γ= γ(z), де z – висота точки на напрямній

кривій від дна борозни. Графіки залежності γ= γ(z) професор М.В. Щучкін

побудував в результаті масового вивчення кращих культурних полиць і

експериментальних корпусів [111].

В монографії [27] професор Л.В. Гячев пропонує за напрямну лінію брати

просторову криву – граничну траєкторію руху скиби по полиці, тобто

геодезичну лінію. В існуючих працях по конструюванню полиці плуга за

105

заданою геодезичною лінією розглянуто тільки розгортні поверхні [14, 18,

27]. В інших працях стосовно руху частинок по поверхнях приділено увагу

геодезичним лініям [20, 85]. Багато геометрів теж приділяли увагу

конструюванню полицевих поверхонь [23, 24, 40, 69, 72 - 76].

Конструювання почнемо із самого простого випадку, якого можна

вважати тестовим – за бажану або граничну траєкторію руху скиби приймемо

гвинтову лінію, тобто в рівняннях (3.28) приймемо x=av, де а - стала. Тоді

вирази напрямних косинусів (3.32) спрощуються: ;1xL ;0yL 0zL .

Параметричні рівняння (3.33) в цьому випадку опишуть циліндричну

поверхню, чого і слід було чекати:

.cos;sin; vRZvRYuavX (4.4)

Гвинтова лінія перетинає всі

твірні циліндра, які між собою

паралельні, під постійним

кутом γ (рис. 4.4) і на його

розгортці перетворюється у

пряму. Вважаючи кут γ

заданим кутом вступу частинок

грунту або скиби на полицю,

знайдемо значення сталої а.

Кут γ між віссю ОХ і дотичною до геодезичної лінії (тобто траєкторією руху

скиби) знаходиться як кут між двома векторами:

222

coszyx

x

. (4.5)

Для лінійної залежності x=av і підстановці в (3.30) з подальшою

підстановкою в (4.5) одержимо значення сталої а: а=Rctg γ. Іще одним

Рис. 4.4. Циліндрична поверхня із

гвинтовою лінією - її геодезичною

106

заданим кутом є кут ε – кут установки лемеша до дна борозни. Оскільки для

циліндричної лінії змінна v=ε, то початкове значення змінної v повинно бути

рівне куту ε: vо=ε.

Конструктивно утворення поверхні згідно рівнянь (4.4) відбувається

проведенням прямолінійної твірної через кожну точку кривої паралельно осі

ОХ. Наступний етап – потрібно правильно зорієнтувати поверхню полиці в

системі координат OXYZ по відношенню до її напряму руху у цій системі.

Якщо прийняти, що поверхня полиці рухається в напрямі осі OY, а скиба –

назустріч їй по поверхні, як показано на рис. 4.4, то всі твірні циліндра разом

із геодезичною лінією потрібно повернути в горизонтальних площинах на

кут (γ-900). Після цього параметричні рівняння поверхні полиці запишуться:

,

;)90cos()90sin(

;)90sin()90cos(

00

00

ZZ

YXY

YXX

п

п

п

(4.6)

в яких вирази для X, Y, Z взято із (4.4).

За рівняннями (4.6) було побудовано відсік циліндричної поверхні при

ε=300, γ=42

0 і R=0,5. На рис. 4.5 в проекціях показано циліндричну

поверхню, обмежену з боків гвинтовими лініями сталого кроку, що є для

поверхні геодезичними. Стрілками показано напрям вступу скиби на

поверхню. Геодезична лінія, яка є верхньою граничною траєкторією руху

скиби, починається із передньої точки леза лемеша і зображена потовщеною.

На горизонтальній проекції показано кут γ, який є кутом установки леза

лемеша до стінки борозни. Якби скиба була абсолютно пружною і мала

ширину леза, то вона при русі по зображеному відсіку поверхні набула б його

форми, тобто проекції поверхні можна було б вважати за проекції скиби

нульової товщини.

Наступний етап при проектуванні полиці – вирізування із поверхні

відсіку потрібної форми. Він задається лобовим контуром, тобто силуетом

107

полиці при її спостереженні спереду по ходу агрегату. Лобовий контур може

бути різної форми в залежності від виду ґрунтообробного знаряддя. Для

прикладу ми взяли лобовий контур для полиці культурного типу.

Рис. 4.5. Проекції відсіку поверхні

кругового циліндра, обмеженого по

боках геодезичними кривими

(гвинтовими лініями сталого кроку) і

зорієнтованого в системі координат

OXYZ таким чином, що напрям вступу

скиби на поверхню є дотичним до

геодезичної лінії

Лобовий контур накладається на фронтальну проекцію поверхні. В

даному випадку він утворений поєднанням відрізків і дуг кривих, які

описуються аналітично. При необхідності його можна масштабувати

(рис.4.6), або ж масштабувати поверхню зміною величини радіуса R.

Відсік поверхні із контуром

полиці одержимо при перетині

проекціювального циліндра у

формі лобового контуру із

самою поверхнею. Це означає,

що потрібно знайти лінію

перетину вказаних поверхонь.

Оскільки лобовий контур складається із чотирьох відрізків прямих і двох дуг

Рис. 4.6. Лобовий контур полиці, що

накладений на фронтальну проекцію

108

кіл, відповідно і ліній перетину буде стільки ж, тобто шість. Через кожен

відрізок проходить фронтально-проекціювальна площина. Лінію перетину її

із поверхнею знаходимо наступним чином. Запишемо фронтальну проекцію

площини рівнянням прямої Zп=a∙Xп+b, де сталі a і b визначаємо із умови

проходження прямої через крайні точки. Далі в це рівняння підставляємо

вирази Zп і Хп із (4.6), до яких в свою чергу входять рівняння (4.4).

Розв’язавши отримане рівняння відносно u, одержимо залежність u=u(v).

Підстановка цієї залежності у (4.6) дасть параметричні рівняння відповідної

лінії перетину. Знаходження ліній перетину всіх чотирьох площин із

поверхнею полиці здійснюється однією підпрограмою, до якої вводяться дві

сталі a і b та межі зміни параметра v, що відповідають конкретній площині.

Складніше знайти лінію перетину із поверхнею полиці проекціювального

циліндра, що відповідає одній із дуг кіл на лобовому контурі. Складність

полягає в тому, що в межах заданої дуги прямолінійна твірна поверхні може

перетинатися в одній або двох точках із відповідним проекцювальним

циліндром, радіус основи якого позначимо через r. Алгоритм знаходження

залежності u=u(v) або внутрішнього рівняння кривої перетину циліндра із

поверхнею подібний до описаного в попередньому прикладі алгоритму на

знаходження кривої перетину площини із поверхнею полиці. Рівняння кола

радіуса r, через яке проходить фронтально-проекціювальний циліндр, і центр

якого зміщений відносно осей нерухомої системи координат на відрізки xц, і

yц, запишеться:

222rzZхX цпцп . (4.7)

Підставивши вирази Хп і Zп із (4.6) в (4.7), одержимо квадратне рівняння,

розв’язком якого відносно u буде:

a

acbbu

2

42 , (4.8)

109

де

.2cossincossin

;cossincossin2

;cossin

222

22

ццц

цyxцz

yxz

xyxyxzzrxc

yxxLLzzLb

LLLa

Вирази, що входять до змінних a, b, с, представлено в загальному

вигляді. Для нашого випадку ;1xL ;0yL 0zL , x=av; y=-Rsinv; z=-

Rcosv. Одержану в (4.8) залежність u=u(v) підставляємо в (4.6) і таким чином

отримуємо параметричні рівняння просторової кривої на поверхні полиці, в

яку перетворюється дуга кола на фронтальній проекції, тобто на лобовому

контурі. Слід зазначити, що межі зміни параметра v, а також знак перед

коренем в (4.8) проблематично визначити, якщо не використовувати

зображення на моніторі. Ці параметри визначаємо підбором, будуючи

потрібну дугу вказаним способом на фронтальній проекції. Може бути

випадок, що крива, яка відповідає заданій дузі кола, складається із двох

частин, отриманих при різних знаках в (4.8) перед коренем.

Вказаним способом було вирізано із циліндричної поверхні полицю

лобовим контуром меншого розміру, який представлено на рис. 4.6. Проекції

полиці з нанесеною на неї граничною траєкторією руху скиби і

прямолінійними твірними показано на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Проекції і аксонометрія полиці, вирізаної із циліндричної

поверхні

110

Якщо припустити, що скиба буде рухатися по граничній траєкторії,

якою в даному випадку є гвинтова лінія сталого кроку, то при русі скиби по

полиці її кришіння буде мінімальним, оскільки вона буде ковзати по поверхні

подібно до того, як ковзають різьбові поверхні в різьбових зє’днаннях.

Покращити кришіння скиби можна двома способами: або змінити поверхню

полиці так, щоб вона залишилася розгортною, або ж перейти до нерозгортної

поверхні.

Спочатку розглянемо перший варіант. Оскільки геодезична лінія задає

розгортну поверхню однозначно, то для отримання нової поверхні полиці,

відмінної від циліндричної, необхідно змінити форму геодезичної лінії.

Нехай такою лінією теж буде циліндрична, але із змінним кроком. Візьмемо

залежність x=х(v) у вигляді x=d∙sin(e∙v), де постійні е і d вибираються із умови,

що ця залежність на заданій ділянці незначно відрізняється від лінійної, тобто

нова геодезична лінія (гвинтова лінія змінного кроку) в межах полиці незначно

відрізняється від гвинтової лінії сталого кроку. Рівняння поверхні (4.4) для

нашого випадку запишеться:

.cos;sin;)sin( vRZvRYuevdX (4.9)

Для забезпечення заданого кута γ вступу скиби на полицю знову

скористаємося формулою (4.5). Були знайдені значення сталих d=1,15 і е=0,5.

На рис. 4.8 побудовані проекції і аксонометричне зображення полиці на

поверхні, яка побудована за заданою геодезичною лінією x=d∙sin(e∙v); y=-Rsinv;

z=-Rcosv. Її крок незначно зменшується по ходу скиби. Із рисунка видно, що

поверхня не циліндрична, оскільки її прямолінійні твірні не паралельні. В

цьому випадку ковзання скиби по поверхні полиці подібно по циліндричній

полиці неможливе, оскільки гвинтова лінія не є постійного кроку. Скиба буде

краще кришитися і це відбуватиметься по всій траєкторії її руху по полиці. При

цьому скиба буде умовно стискатися за рахунок зменшення кроку. Це можна

зрозуміти із рис. 4.8, на якому видно, що твірні на задній частині полиці

111

зближуються подібно тому, як зближуються твірні на конічній поверхні при

наближенні до вершини. Однак це поверхня не конічна: вона має ребро звороту,

яке при необхідності можна знайти і яке для конуса вироджується в точку.

Рис. 4.8. Проекції і аксонометрія полиці із розгортної поверхні, для якої

геодезичною лінією є гвинтова лінія змінного кроку, яка описується

параметричними рівняннями x=d∙sin(e∙v); y=-Rsinv; z=-Rcosv

Для полиці, виготовленої із розгортної поверхні, можна знайти її

розгортку, тобто плоску заготовку з окресленим контуром і прямолінійними

твірними, вздовж яких здійснюється згинання заготовки при формуванні її у

готовий виріб. За основу візьмемо пряму на площині, в яку перетворюється

геодезична лінія полиці. Побудову розгортки будемо здійснювати шляхом

нанесення на неї множини прямолінійних твірних таким чином, щоб вони

перетинали пряму (геодезичну лінію на розгортці) під тими ж кутами, що і на

112

поверхні. Точка на прямій знаходиться шляхом відкладання довжини, яка

дорівнює відповідній довжині геодезичної лінії поверхні і яка в свою чергу

визначається інтегруванням відомого виразу для знаходження довжини дуги.

Кут, під яким прямолінійна твірна перетинає геодезичну лінію, знаходиться

за відомою формулою. Для лінійної залежності x=av він сталий і дорівнює γ

(рис.4.4). Інтеграл для визначення довжини дуги гвинтової лінії (геодезичної

для циліндричної поверхні) теж можна знайти в кінцевому вигляді. Таким

чином, можна записати параметричні рівняння розгортки:

.

;

22

22

22

aR

RuY

aR

auvaRX

р

р

(4.10)

Щоб пересвідчитися, що параметричні рівняння (4.10) розгортки

циліндричної поверхні (4.4) знайдені правильно, необхідно знайти першу

квадратичну форму рівнянь (4.10) і (4.4). Частинні похідні і коефіцієнти

першої квадратичної форми для рівнянь (4.4) запишуться:

;1

;

;

;0;0;1

;sin;cos;

222

22

222

u

Z

u

Y

u

XE

at

Z

u

Z

t

Y

u

Y

t

X

u

XF

aRv

Z

v

Y

v

XG

u

Z

u

Y

u

X

vRv

ZvR

v

Ya

v

X

(4.11)

113

Знайдемо частинні похідні і коефіцієнти першої квадратичної форми для

рівнянь розгортки (4.10), маючи на увазі, що Zр=0:

;1

;

;

;0;;

;0;0;

222

22

222

2222

22

u

Z

u

Y

u

XE

av

Z

u

Z

v

Y

u

Y

v

X

u

XF

aRv

Z

v

Y

v

XG

u

Z

aR

R

u

Y

aR

a

u

X

v

Z

v

YaR

v

X

ppp

pppppp

ppp

ppp

ppp

(4.12)

Перша квадратична форма рівнянь (4.4) і (4.10), яка знаходиться через

коефіцієнти (4.11) і (4.12), має однаковий вигляд:

.2

2

2222

222

dududvadvaR

duEdudvFdvGdS

(4.13)

Це свідчить про те, що рівняння розгортки (4.10) для поверхні (4.4)

знайдені правильно. За рівняннями (4.10) можна побудувати розгортку

поверхні (4.4), на якій у відповідній точці прямолінійна твірна буде

перетинати пряму (геодезичну лінію) під тим же кутом, що і на поверхні.

Внутрішнє рівняння кривої на поверхні не змінюється при згинанні

останньої, тому для отримання контуру полиці на розгортці необхідно в

(4.10) підставити внутрішнє рівняння u=u(v) відповідної лінії. Наприклад,

щоб побудувати криву, яка відповідає дузі кола на лобовому контурі,

необхідно її рівняння (4.8) підставити в (4.10) і змінювати параметр v в тих

114

же межах, що і на поверхні. Побудувавши таким чином всі лінії контуру, ми

отримаємо плоску викрійку полиці з нанесеними прямолінійними твірними,

вздовж яких здійснюється її згинання в готовий виріб (рис. 4.9,а).

а б

Рис. 4.9. Викрійка поверхні полиці:

а) з циліндричної поверхні при залежності x=0,5553∙v;

б) з розгортної поверхні при залежності x=1,15∙sin (0,5∙v)

Розгортку поверхні полиці при залежності x=1,15∙sin (0,5∙v) подібним

чином побудувати неможливо, оскільки неможливо проінтегрувати вираз для

знаходження довжини дуги геодезичної лінії на поверхні. В цьому випадку

потрібно застосовувати чисельні методи. З їх допомогою була побудована

розгортка поверхні із прямолінійними твірними, які в даному випадку уже не є

паралельними, і нанесені лінії контуру полиці (рис. 4.9,б).

4.3. Конструювання нерозгортної поверхні полицевого типу за заданою

геодезичною лінією – бажаною траєкторією руху частинок грунту по

грунтообробному робочому органу

Для конструювання полиці плуга з нерозгортної лінійчатої поверхні за

геодезичну лінію візьмемо гвинтову лінію, яку ми брали для конструювання

полиці із розгортної поверхні. Для зручності наведемо її рівняння ще раз:

.cos;sin; vRzvRyavx (4.14)

115

Конструювання поверхні необхідно робити в системі супровідного

тригранника Френе заданої геодезичної лінії (4.14). Знайдемо спочатку

проекції одиничного вектора L на орти супровідного тригранника Френе для

розгортної поверхні за формулами (3.34). Ці проекції визначаються через

кривину k і скрут σ кривої (4.14) за формулами, які відрізняються від формул

(3.37), (3.38), оскільки змінна v в рівняннях (4.14) не є натуральним

параметром, тобто довжиною дуги. Із-за громіздкості ми їх наводити не

будемо, а зразу наведемо вирази кривини і скруту, оскільки для гвинтової

лінії вони наведені в довідниках [12]:

.;2222 aR

a

aR

Rk

(4.14)

Знак «-» в другому виразі (4.14) означає, що скрут від’ємний, оскільки

гвинтова лінія ліва. Згідно формул (3.34) із врахуванням (4.14) одержимо:

2222;0;

aR

RLL

aR

aL bn

. (4.15)

Як видно із рис. 3.11,а, Lτ=cosφр, Lb=sinφр. Отже, φр=arccos Lτ, тобто

22cosArc

cR

ap . Знайдена величина кута φр (рис. 3.11,а) задає

напрям прямолінійної твірної розгортної поверхні. Якщо ми хочемо, щоб

лінійчата поверхня була нерозгортною і при цьому просторова крива (в

нашому випадку – гвинтова лінія) залишалася для поверхні геодезичною,

необхідно напрямний вектор L відхилити від початкового положення на

певний кут ψ в спрямній площині (рис. 3.11,б). В такому випадку величина

кута φ визначиться із виразу:

116

22cosArc

aR

ap . (4.16)

Тепер, згідно (3.46), проекції вектора L на орти супровідного

тригранника запишуться:

.cosArcsinsin

;0

;cosArccoscos

22

22

aR

aL

L

aR

aL

b

n (4.17)

Щоб записати рівняння поверхні в нерухомій системі координат,

необхідно знайти напрямні косинуси між цими системами. Спочатку

знайдемо похідні рівнянь лінії (4.14), яка має бути геодезичною:

.cos;sin;0

;sin;cos;

vRzvRyx

vRzvRyax

(4.18)

Знаходимо допоміжні вирази (3.42):

.;cos

;sin;

222222

2

aRRCBAvRaxzxzB

vRayxyxCRzyzyA

(4.19)

Знаходимо вирази напрямних косинусів (3.43) і (3.44) із врахуванням

(4.19):

117

.sin

cos

;cos

cos

;cos

;sin

cos

;cos

cos

;cos

22222

22222

22222

22222

22222

22222

aR

va

CBA

C

aR

va

CBA

B

aR

R

CBA

A

aR

vR

zyx

z

aR

vR

zyx

y

aR

a

zyx

x

b

b

b

(4.20)

Слід зазначити, що вирази у (4.20) і (3.43) відрізняються між собою. Це

знову ж таки пояснюється тим, що у (3.43) незалежною змінною служить

довжина дуги кривої, тому там вирази спрощені, тому що 222 zyx .

Із врахуванням (4.20) проекції вектора L (3.41) в нерухомій системі OXYZ

приймають вигляд:

,sincossin

;sincoscos

;sincos1

22

22

22

aRaR

vL

aRaR

vL

RaaR

L

z

y

x

(4.21)

де вираз кута φ наведено в (4.16).

Тепер можна записати параметричні рівняння лінійчатої поверхні, яка

проходить через гвинтову лінію (4.14) і яка є для цієї поверхні геодезичною:

118

,sincossin

cos

;sincoscos

sin

;sincos

22

22

22

aRaR

vuvRZ

aRaR

vuvRY

RaaR

uavX

(4.22)

де u - друга незалежна змінна поверхні (довжина прямолінійної твірної).

Рівняння (4.22) описує множину лінійчатих поверхонь, для яких

гвинтова лінія (4.14) є геодезичною. Ця множина залежить від виразу ψ=ψ(v),

який входить до виразу кута φ (4.16). Якщо ψ=0, то поверхня (4.22) буде

розгортною; при ψ≠0 – нерозгортною, причому кут ψ може бути як змінним,

так і сталим. Приклади поверхонь, побудованих для гвинтової лінії із сталим

значенням кута ψ, показано на рис. 3.14, а із змінним – на рис. 3.15.

Щоправда, вісь гвинтової лінії на зазначених рисунках є вертикальною, як

зазвичай її зображають в підручниках і посібниках, а рівняння (4.22) описує

поверхню з горизонтальною віссю гвинтової лінії, бо саме таке розташування

поверхні є прийнятним для проектування полиці плуга.

В рівняннях (4.22) початкове значення для першої незалежної змінної v

надаємо v0=ε, де ε – кут нахилу площини лемеша до дна борозни, як і для

розгортної поверхні. Така ж сама існує залежність між сталою а і кутом γ:

а=Rctg γ. Ця залежність забезпечує вступ скиби на лезо лемеша під заданим

кутом γ. Можна значно спростити вирази (4.16) і (4.21) підстановкою в них

цієї залежності і проведенням відповідних тригонометричних перетворень.

Залежність (4.16) для кута φ набуває вигляду:

p . (4.23)

Проекції вектора L (4.21) теж значно спрощуються:

119

.sinsin;sincos;cos vLvLL zyx (4.24)

Відповідно спростяться і параметричні рівняння (4.22):

.sinsincos

;sincossin

;cosctg

vuvRZ

vuvRY

utaX

(4.25)

Розглянемо нерозгортну поверхню при лінійній залежності ψ:

bvc , (4.26)

де а, b – сталі величини.

При початковому значенні параметра v=ε вираз (4.26) повинен бути

рівний нулю для забезпечення горизонтального положення нижньої твірної

поверхні (леза лемеша). Звідси знаходимо вираз сталої b: b=-сε. Таким

чином, підстановкою цієї сталої в (4.26) остаточно знайдемо вираз для

лінійної залежності кута ψ:

ta . (4.27)

Далі потрібно правильно зорієнтувати поверхню підстановкою (4.25) у

(4.6). На рис. 4.10 в проекціях показано циліндричну поверхню, побудовану

за рівняннями (4.6) при ε=300, ψ=0,1(t-π/6), γ=42

0 і R=0,5. Як видно із

рисунка 4.10, прямолінійні твірні не паралельні між собою. Очевидно, що

чим більше значення сталої b, тим більшою буде ця непаралельність і тим

більше нерозгортна поверхня буде відрізнятися від розгортної (тобто

циліндричної, зображеної на рис. 4.5).

120

Рис. 4.10. Проекції відсіку

нерозготної поверхні, обмеженого з

однієї сторони потовщеною

геодезичною кривою (гвинтовою

лінією) і зорієнтованого в

нерухомій системі координат таким

чином, що напрям вступу скиби на

поверхню є дотичним до

геодезичної лінії

Вирізання із поверхні потрібного відсіку здійснюємо за допомогою

лобового контуру так само, як і для розгортної поверхні. Автоматизована

побудова лобового контуру із відрізків прямих і дуг кіл наведена в праці [15].

В цій праці наведено необхідні розміри лобового контуру, за якими можна

визначити всі необхідні дані (наприклад, координати центрів кіл, дуги яких є

складовими цього контуру, а також скласти рівняння прямих, що теж входять

до контуру. Лобовий контур накладається на фронтальну проекцію, при

цьому потрібно добавити поверхню правіше від геодезичної лінії. З

теоретичної точки зору ця частина полиці не повинна працювати, оскільки

геодезична лінія є граничною траєкторією скиби, тобто скиба має рухатися

лівіше і нижче геодезичної лінії. Однак проф. Л.В. Гячев в своїй праці [27]

вказує на те, що напрямок вступу скиби на леміш залежить від низки

чинників і може різнитися з теоретичним кутом γ на 7-11%.

121

a

б

в

г

Рис.4.11. Проекції нерозгортної поверхні із заданою залежністю ψ=0,1(v-

π/6) та нанесеним на неї контуром полиці:

а) фронтальна проекція; б)профільна проекція;

в) горизонтальна проекція; г) полиця (вигляд зверху).

На рис. 4.11 побудовано проекції нерозгортної поверхні за рівняннями

(4.6) при підстановці у них виразів (4.25) із заданою лінійною залежністю

зміни кута ψ: ψ=0,1(v-π/6). На проекціях також побудовано контур полиці, як

результат перетину проекціювального циліндра, у якого напрямною лінією є

лобовий контур, а прямолінійні твірні паралельні осі OY.

Для порівняння було побудовано ще одну поверхню з лінійною

залежністю зміни кута ψ. Було взято попередню залежність із протилежним

знаком. Це означає, що відхилення напрямного вектора L прямолінійної

122

твірної від початкового положення, яке відповідає розгортній поверхні (рис.

3.11,б) здійснюється в протилежну сторону в порівнянні із першим випадком.

Відповідно змінюється орієнтація прямолінійних твірних поверхні (рис.

4.12).

Рис. 4.12. Три проекції та аксонометрія поверхні із заданою залежністю

ψ=-0,1(v-π/6) та нанесеним на неї лобовим контуром.

Запропонований алгоритм аналітичного описання нерозгортної лінійчатої

поверхні за заданою геодезичною лінією з використанням внутрішньої

геометрії поверхонь дає можливість проектувати полиці плугів із різною

закономірністю розташування прямолінійних твірних. Закономірність

розподілу прямолінійних твірних для нерозгортної поверхні вздовж

геодезичної лінії потребує додаткового вивчення. В цьому полягають

перспективи подальших досліджень.

123

Висновки до розділу 4

1. Запропоновано конструкцію балона для зберігання стисненого газу,

зміцненого намотуванням нитки по геодезичних лініях. Особливістю є те, що

він складається із циліндричної частини і двох півсфер, при цьому намотка

здійснюється по спільних геодезичних лініях. Математичний опис

конструкції дозволяє регулювати щільність намотки зміцнюючої нитки.

Конструкція балона захищена патентом України на корисну модель.

2. Для лінійчатих поверхонь розроблено спосіб відшукання геодезичних

ліній на основі рівності нулю їх геодезичної кривини. Він зводиться до

рівності нулю визначника, до якого входять перші і другі похідні внутрішніх

рівнянь лінії та проекції нормалі поверхні вздовж лінії. Розкриття визначника

приводить до диференціального рівняння другого порядку.

3. Для розгортних поверхонь запропоновано спосіб побудови геодезичних

ліній без розв’язування диференціальних рівнянь. Це можливо у випадку,

коли відомі параметричні рівняння розгортки. На розгортці задається пряма

лінія, розшукується її внутрішнє рівняння і підставляється у параметричні

рівняння поверхні. Отримані вирази є параметричними рівняннями

геодезичної лінії на поверхні, в яку перетворилася пряма на розгортці.

4. Здійснено конструювання лінійчатих поверхонь в системі супровідного

тригранника напрямної кривої, яка приймається за геодезичну. Такий підхід

дає можливість математично описати не тільки розгортну поверхню, як це

робиться традиційними методами, але і конструювати безліч нерозгортних,

для яких задана крива є спільною геодезичною лінією.

5. Застосування супровідного тригранника напрямної кривої дозволило не

тільки конструювати лінійчаті поверхні за заданою геодезичною лінією, а і

оцінювати ступінь відхилення нерозгортних поверхонь від розгортної.

Прямолінійна твірна розгортної поверхні має строго визначений напрям в

спрямній площині супровідного тригранника геодезичної лінії. Відхилення

прямолінійної твірної від цього напряму дає нерозгортну поверхню, а

124

величиною кута відхилення можна оцінювати ступінь відхилення

нерозгортної поверхні від розгортної.

6. Матеріали розділу відображено в працях автора [46, 48, 49, 51, 53, 55,

60, 79] і частково у [56].

125

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

Дисертаційну роботу присвячено розв’язанню важливої науково-

практичної задачі армування оболонок та інерційного руху матеріальної

точки по поверхні на основі використання властивостей геодезичних ліній.

Значення для науки полягає у подальшому розвитку способів

розв’язання прямої і оберненої задач стосовно геодезичних ліній поверхні, а

саме знаходженні і побудові геодезичної лінії поверхні в заданому напрямі і

конструюванні лінійчатих поверхонь за заданою геодезичною лінією.

Значення для практики полягає в розроблених способах побудови

геодезичних ліній на лінійчатих і поверхнях обертання в прямій задачі і

конструюванні розгортної і нерозгортних лінійчатих поверхонь, що

проходять через задану геодезичну лінію, в оберненій задачі.

При вирішенні поставлених задач отримані наступні теоретичні і

практичні результати.

1. Виконано огляд практичного застосування властивостей

геодезичних ліній в прикладній геометрії поверхонь, способи їх відшукання і

побудови та конструювання поверхонь за заданою геодезичною лінією.

З’ясовано, що в силу чисельного інтегрування диференціальних рівнянь

геодезичні лінії на поверхнях часто будувалися наближено. Дослідження

стосовно конструювання лінійчатих поверхонь за заданою геодезичною

лінією є обмеженими.

2. Для поверхонь обертання з’ясовано особливості розташування

геодезичних ліній на них. Зміцненню намотуванням нитки підлягають

оболонки із відсіків поверхонь обертання додатної гаусової кривини,

оскільки геодезичні лінії на них розташовані між двома паралелями.

Незначною зміною відстаней між цими паралелями можна регулювати

щільність намотування ниток по геодезичних лініях.

3. Модифіковано інтеграл на основі теореми Клеро для побудови

геодезичних ліній на поверхнях обертання у функції довжини дуги. Складено

систему диференціальних рівнянь другого порядку для відшукання

126

геодезичних ліній, до якої входять тільки похідні внутрішніх рівнянь лінії і

параметричні рівняння меридіана з їх першими і другими похідними.

Виведено спрощену систему рівнянь для випадку, коли меридіан описано

рівняннями у функції довжини власної дуги.

4. Для лінійчатих поверхонь розроблено спосіб відшукання геодезичних

ліній на основі рівності нулю їх геодезичної кривини. Він зводиться до

рівності нулю визначника, до якого входять перші і другі похідні внутрішніх

рівнянь лінії та проекції нормалі поверхні вздовж лінії. Розкриття визначника

приводить до диференціального рівняння другого порядку.

5. Здійснено конструювання лінійчатих поверхонь в системі супровідного

тригранника напрямної кривої, яка приймається за геодезичну. Такий підхід

дає можливість математично описати не тільки розгортну поверхню, як це

робиться традиційними методами, але і конструювати безліч нерозгортних,

для яких задана крива є спільною геодезичною лінією.

6. Застосування супровідного тригранника напрямної кривої дозволило не

тільки конструювати лінійчаті поверхні за заданою геодезичною лінією, а і

оцінювати ступінь відхилення нерозгортних поверхонь від розгортної.

Прямолінійна твірна розгортної поверхні має строго визначений напрям в

спрямній площині супровідного тригранника геодезичної лінії. Відхилення

прямолінійної твірної від цього напряму дає нерозгортну поверхню, а

величиною кута відхилення можна оцінювати ступінь відхилення

нерозгортної поверхні від розгортної.

7. Результати досліджень передані в експериментальний механічний цех

Інституту садівництва Національної академії аграрних наук (м. Київ) для

вдосконалення полиці машини СПМ-1 для висадки саджанців фруктових

дерев та у виробництво ТОВ „Інженерний центр «Імпульс»” (м. Ніжин

Чернігівської області) для виготовлення балонів високого тиску, зміцнених

намоткою армуючої нитки по геодезичних лініях.

127

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Алексейчик В.В. Структура модели процесса намотки в системе

автоматизированного проектирования управляющих программ с ЧПУ [Текст]

/ В.В. Алексейчик, В.К. Ершов, А.Н. Иванченко // Системы управления

технологическими процессами: Сборник трудов. – Новочеркасск, 1980. – С.

49 – 53.

2. Аминова А.В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими

[Текст] / А.В. Аминова // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48, вып. 2. С. 107-164.

3. Амиров М. Конструирование мгновенно-жестких вантовых сетей как

специального сетчатого каркаса из геодезических [Текст] / М. Амиров //

Прикладная геометрия и инженерная графика. – К.: Будівельник, 1975. –Вып.

20. – С. 111 – 113.

4. Аппель П. Теоретическая механика. Том первый. Статика. Динамика точки

[Текст] / П. Аппель. - М.: Государственное издательство физико-

математической литературы, 1960. – 515 с.

5. Аюшеев Т.В. Геометрические вопросы адаптивной технологии

изготовления конструкций намоткой из волокнистых композитных

материалов [Текст] / Т.В. Аюшеев. – Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН,

2005. – 212 с.

6. Аюшеев Т.В. Особенности процесса намотки составной поверхности

[Текст] / Т.В. Аюшеев, В.А. Калинин, В.И. Якунин // Инженерная и компьютерная

графика: Тезисы докладов Х Всесоюзного науч.-метод. Семинара. – Полтава,

1991. – С. 19.

7. Аюшеев Т.В. Алгоритм расчета параметров процесса намотки составной

поверхности [Текст] / Т.В. Аюшеев, В.А. Калинин, В.И. Якунин //

Конструирование поверхностей и технические приложения: Сборник

научных трудов. – М.: Изд-во МАИ, 1992. – С. 28 – 32.

8. Белько И.В. Сборник задач по дифференциальной геометрии [Текст] / И.В.

Белько, В.И. Ведерников, В.Т. Воднев, А.А. Гусак, А.И. Нахимовская, А.П.

Рябушко, Л.К. Тутаев, А.С. Феденко. – М.: Наука, 1979. – 272 с.

128

9. Белякова Н.Н. Учет прилегания ленты при геометрическом моделировании

оболочек армирования [Текст] / Н.Н. Белякова // Методы конструирования

новых форм поверхностей и их модификаций: Сборник научных трудов. –

М.: Изд-во МАИ, 1990. – С. 37 – 42.

10. . Бессе А. Многообразия с замкнутыми геометрическими [Текст] / А. Бессе.

– М.: Мир, 1981. – 325 с.

11. Битюков Ю.И. Геометрическое моделирование технологических процессов

намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных

материалов [Текст]: автореф. дисс. … докт. техн. наук 05.05.01 / Ю.И.

Битюков. — М., 2010. - 47 с.

12. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся

втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1967. - 608

с.

13. Буземан Г. Геометрия геодезических [Текст] / Г. Буземан. – М.: Физматгиз,

1962. – 503 с.

14. Булгаков В.М. Проектування полиці плуга за заданою геодезичною лінією –

граничною траєкторією руху скиби / В.М. Булгаков, Д.Г. Войтюк,

С.Ф. Пилипака [Текст] // Науковий вісник Національного університету

біоресурсів і природокористування України. –К., 2010. –Вип. 144, ч. 5. – С. 20 –

35.

15. Булгаков В.М. Автоматизована побудова 3D моделі полиці плуга з

циліндроїдальної поверхні [Текст] / В.М. Булгаков, Д.Г. Войтюк, С.Ф

Пилипака // Науковий вісник НУБіП України: Серія «Техніка та енергетика

АПК». – 2011. – Вип. 166. – Ч. 2. (ISSN 2222 - 861).

16. Ванін В.В. Побудова геодезичних ліній на поверхні [Текст] / В.В. Ванін,

В.Й. Залевський // Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.: КДТУБА,

1994. –Вип. 56. – С. 56 – 57.

129

17. Василенко П.М. Теория движения частицы по шероховатым поверхностям

сельскохозяйственных машин [Текст] / П.М. Василенко. - К.: УАСХН, 1960.

-283 с.

18. Войтюк Д.Г. Проектування полиці плуга із розгортної поверхні за заданою

граничною траєкторією руху скиби [Текст] / Д.Г. Войтюк, С.Ф Пилипака //

Вісник аграрної науки. –К.: ”Аграрна наука”, 1998. -№ 1. –С. 47-49.

19. Войтюк Д.Г. Сільськогосподарські машини [Текст] / Д.Г. Войтюк, Г.Р.

Гаврилюк. – К.: Каравела, 2008. – 552 с.

20. Войтюк Д.Г. Побудова геодезичних ліній, як граничних траєкторій руху

матеріальних частинок по поверхні [Текст] / Д.Г. Войтюк, С.Ф Пилипака //

Науковий вісник Національного аграрного університету. –К.: НАУ, 2003. –

Вип. 60. –С. 138-141.

21. Второва М.Б. Расчет и редактирование управляющей информации с

использованием средств машинной графики при намотке изделий из

композиционных материалов [Текст] / М.Б. Второва // Авиационная

промышленность. – 1987. –№ 1. – С. 7 – 10.

22. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский.

- М.: ГИТТЛ, 1949. - 512 с.

23. Гетьман А.Г. Проектирование линейчатого каркаса развертывающейся

лемешно-отвальной поверхности с учетом некоторых агротехнических

требований [Текст] / А.Г. Гетьман // Сборник научн.трудов МИИСП. − М.,

1982. − С. 16−19.

24. Горбатович Ж.Т. Конструирование развертки плужного отвала с учетом

внутренней геометрии поверхности [Текст] / Ж.Н. Горбатович, Ю.Г.

Кардашевская // Сборник научных трудов МИИСП. – Т. ХІІІ. - Вып. І.

«Сельскохозяйственные машины». – М., 1976. – С. 68 – 73.

25. Гречишкин В.А. О способах спиральной намотки и их преимуществах

[Текст] / В.А. Гречишкин // Авиационная промышленность. – 1967. –

Приложения № 2, 3. – С. 64 – 67.

130

26. Гречишкин В.А. Особенности процесса намотки деталей двойной кривизны

[Текст] / В.А. Гречишкин, Н.Н. Белякова, Г.Р. Борох // Межотраслевой науч.-

техн. Сборник «Технология». Серия «Конструкции из композиционных

материалов», 1990. - № 2. – С. 25 – 29.

27. Гячев Л.В. Теория лемешно-отвальной поверхности [Текст] / Л.В. Гячев.

–Зерноград, 1961. –317 с.

28. Добровольский А.К. К вопросу о методе расчета характеристик

геодезической намотки стеклопластиковых оболочек вращения [Текст] / А.К.

Добровольский, В.И. Костров // Механика полимеров. – 1970. - № 6. – С. 934 –

936.

29. Жукова Н.И. Геодезические линии на поверхностях. Учебно-методическое

пособие [Текст] / Н.И. Жукова, А.В. Багаев. – Н. Новгород: Издательство

Нежегородского госуниверситета, 2008. – 54 с.

30. Завидский А.В. Определение параметров технологической поверхности,

обеспечивающей непрерывность намотки по геодезическим линиям [Текст] /

А.В. Завидский // Труды МАИ. – М., 1976. – Вып. 349. – С. 34 – 35.

31. Завидский А.В. Построение геодезической на поверхности каркаса

горизонталей [Текст] / А.В. Завидский // Труды МАИ. – М., 1977. – Вып. 414.

– С. 18 – 19.

32. Завидский А. В. Исследование геометрических вопросов технологии

изготовления сложных технических поверхностей методом

автоматизированной намотки [Текст]: автореф. дисс. … канд. техн. наук

05.05.01 / А.В. Завидский. — М., 1977. -18 с.

33. Залевский С.В. Построение разверток поверхностей вращения с

использованием геодезических линий [Текст] / С.В. Залевский // Прикладная

геометрия и инженерная графика. –К.: КГТУСА, 1994. –Вып. 57. – С. 107 –

108.

131

34. Исаков Ю.А. К вопросу о расчете параметров спиральной намотки нитью и

лентой [Текст] / Ю.А. Исаков // Механика полимеров. – 1974. - № 4. – С. 599

– 607.

35. Исматуллаев Р. Построение сети из трех семейств геодезических линий на

поверхности вращения [Текст] / Р. Исматуллаев, С.Н. Ковалев // Прикладная

геометрия и инженерная графика. –К.: Будівельник, 1977. –Вып. 24. – С. 51 –

53.

36. Калинин В.А. Геометрическое моделирование технологического процесса

намотки в производстве ЛА: Учебное пособие [Текст] / В.А. Калинин, В.И.

Якунин. – М.: Изд-во МАИ, 1995. – 68 с.

37. Калинин В. А. Теоретические основы геометрического моделирования

процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых

композиционных материалов [Текст]: автореф. дисс. … докт. техн. наук

05.05.01 / В.А. Калинин. — М., 1997. - 49 с.

38. Калинин В.А. Вопросы прилегания ленты при геометрическом

моделировании процесса намотки составной поверхности [Текст] / В.А.

Калинин, Т.В. Аюшеев // Математическое обеспечение систем с машинной

графикой: Тезисы VII науч.-тех. Семинара. – Ижевск, 1992. – С. 29.

39. Калинин В.А. Метод определения прилегания ленты из композиционных

материалов с однонаправленными волокнами к поверхности оправки при

изготовлении изделий методом намотки. Основы прикладной геометри:

Учеб. пособие [Текст] / В.А. Калинин. – М.: Изд-во МАИ, 1995. – 75 с.

40. Кардашевская Ю.Г. О возможности использования торсов в качестве

лемешно-отвальных поверхностей [Текст] / Ю.Г. Кардашевская // Труды

Московского института радиотехники, электроники и автоматики. − 1969.

− Вып. 44. − С. 50−55.

41. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических [Текст] / В.

Клингенберг. – М.: Мир, 1982. – 413 с.

132

42. Ковалев С.Н. Численный метод построения геодезической линии на

регулярной поверхности линий [Текст] / С.Н. Ковалев, А.И. Харченко //

Прикладная геометрия и инженерная графика. – К.: Будівельник, 1978. –Вып.

26. – С. 24 – 25.

43. Коровіна І.О. Конструювання поверхонь обертання сталої середньої

кривини на основі її меридіану [Текст] / І.О. Коровіна // Геометричне та

комп’ютерне моделювання. – Харків: ХДУХТ, 2010. – №26. – С. 128–133.

44. Коровіна І.О. Конструювання автомобільних балонів високого тиску у

формі нодоїда [Текст] / І.О. Коровіна // Праці Таврійського державного

агротехнологічного університету. – Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка.

– Т. 46. - Мелітополь: ТДАТУ, 2010. – С. 134-141.

45. Кремець Т.С. Конформне відображення написів на ізометричні сітки конуса

та кулі [Текст] / Т.С. Кремець // Технічна естетика і дизайн. – К.: Віпол, 2011.

– Вип. 9. – С. 112 – 117.

46. Кремець Я.С. Кремець Я.С. Конструювання лінійчатої поверхні полицевого

типу за заданою геодезичною лінією [Текст] / Я.С. Кремець, В.М. Несвідомін

// Збірник тез доповідей XVI Міжнародної конференції науково-педагогічних

працівників, наукових співробітників та аспірантів «Проблеми та

перспективи розвитку технічних та біоенергетичних систем

природокористування: конструювання та дизайн» – К.: НУБіП, 2016. – С. 42

– 44.

47. Кремець Я.С. Система диференціальних рівнянь другого порядку для

знаходження геодезичних ліній на поверхнях обертання у функції довжини

дуги / Я.С. Кремець [Текст] // Матеріали V-ї Міжнародної науково-

практичної конференції студентів, аспірантів та молодих вчених «Прикладна

геометрія, дизайн та об’єкти інтелектуальної власності». – Вип. 5. – К.: ДІЯ,

2016. – С. 155 – 158.

48. Кремец Я.С. Проектирование отвала плуга с линейчатой поверхности по

заданной геодезической линии – предельной траектории движения пласта

133

[Текст] / Я.С. Кремец, С.Ф. Пилипака, Т.А. Кресан // MOTROL. Commission

of motorization and energetics in agriculture. –Vol 17. Lublin-Preszow. -№ 3. -

2015. – C. 103 – 117. (Збірник входить до науковометричної бази даних

«Index Copernicus»).

49. Кремець Я.С. Конструювання лінійчатих поверхонь за заданою

геодезичною лінією [Текст] / Я.С. Кремець, В.М. Несвідомін // Збірник тез

доповідей ХІ-ї Міжнародної науково-практичної конференції «Обухівські

читання». – К.: НУБіП, 2016. – С. 35 – 37.

50. Кремець Я.С. Теоретичний пошук рівнянь геодезичних ліній в кінцевому

вигляді на поверхнях обертання [Текст] / Я.С. Кремець, С.Ф Пилипака //

Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.: КНУБА, 2011. –Вип. 87. – С.

302 – 308.

51. Кремець Я.С. Побудова геодезичних ліній на поверхні гіперболічного

параболоїда [Текст] / Я.С. Кремець, С.Ф Пилипака // Праці Таврійського

державного агротехнологічного університету. –Вип. 4. Прикл. геометрія та

інж. графіка. –Том 49. – Мелітополь: ТДАТУ, 2011. – С. 62 – 69.

52. Кремець Я.С. Особливості геодезичних ліній на поверхнях обертання

[Текст] / Я.С. Кремець, Т.С. Пилипака, В.М. Бабка // Комп’ютерно-

інтегровані технології: освіта, наука, виробництво. Науковий журнал. –

Луцьк: ЛНТУ, 2011. - № 6. – С. 182 – 185.

53. Кремець Я.С. Конструювання розгортної поверхні за заданою геодезичною

лінією на коловому циліндрі [Текст] / Я.С. Кремець, І.Ю. Грищенко //

Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.: КНУБА, 2012. –Вип. 89. – С.

145 – 151.

54. Кремець Я.С. Геодезичні лінії на торі та їх особливості [Текст] /

Я.С. Кремець, С.Ф. Пилипака // Сучасні проблеми моделювання: зб. наук

праць / МДПУ ім. Б. Хмельницького. – Мелітополь: МДПУ, 2014. – Вип. 2.

- С. 69 – 75.

134

55. Кремець Я.С. Новий підхід до проектування полиці плуга за заданою

граничною траєкторією руху скиби [Текст] / Я.С. Кремець, Д.Г. Войтюк,

С.Ф. Пилипака, Т.С. Пилипака // Техніко-технологічні аспекти розвитку та

випробування нової техніки і технологій для сільського господарства

України. Збірник наукових праць. – Дослідницьке, 2014. – Вип. 18 (32), кн. 1.

- С. 208 – 219..

56. Кремець Я.С. Теорема Клеро для побудови геодезичних ліній у функції

довжини дуги на поверхнях обертання [Текст] / Я.С. Кремець // Сучасні

проблеми моделювання: зб. наук праць / МДПУ ім. Б. Хмельницького. –

Мелітополь: МДПУ, 2015. – Вип. 4. - С. 68 – 75.

57. Кремець Я.С. Поверхня обертання, всі геодезичні лінії якої є замкненими і

мають однакову довжину / Я.С. Кремець // Комп’ютерно-інтегровані

технології: освіта, наука, виробництво. Науковий журнал. – Луцьк: ЛНТУ,

2015. - № 19. – С. 104 – 108.

58. Кремець Я.С. Побудова геодезичних ліній на еліпсоїді обертання та

дослідження їх особливостей [Текст] / Я.С. Кремець // Тези доповідей І-ї

конференції студентів, аспірантів та молодих вчених «Прикладна геометрія,

дизайн та інноваційна діяльність». – К.: НТУУ «КПІ», 2012. – Вип. 1. – С. 85

– 87.

59. Кремець Я.С. Побудова геодезичних ліній на торі та дослідження їх

особливостей / Я.С. Кремець [Текст] // Матеріали ІІІ-ї Міжнародної науково-

практичної конференції студентів, аспірантів та молодих вчених «Прикладна

геометрія, дизайн та об’єкти інтелектуальної власності». – Вип. 3. – К.: ДІЯ,

2014. – С. 139 – 142.

60. Кремець Я.С. Зміцнення балона із циліндра і двох півкуль намоткою нитки

по геодезичних лініях [Текст] / Я.С. Кремець // Матеріали ІV-ї

Всеукраїнської науково-практичної конференції студентів, аспірантів та

молодих вчених «Прикладна геометрія, дизайн, об’єкти інтелектуальної

135

власності та інноваційна діяльність студентів та молодих вчених». – К.: ДІЯ,

2015. – Вип. 4. – С. 128 – 131.

61. Кремець Я.С. Побудова геодезичних ліній на поверхнях обертання,

віднесених до ізометричних координат [Текст] / Я.С. Кремець, С.Ф.

Пилипака // Матеріали ІІІ-ї Міжнародної науково-практичної конференції

молодих вчених «Актуальні проблеми наук про життя та

природокористування». – К.: НУБіП, 2015. – С. 261 – 263.

62. Лаврентьев М.А. Курс вариационного исчисления. Кратчайшие линии на

поверхности. Изд. 2-е, перераб. [Текст] / М.А. Люстерник, Л.А. Люстерник. -

М.-Л.: ГТТИ, 1940. - 50 с.

63. Литвинов И.А. Расчет траектории многослойной намотки пространственных

форм на оборудовании с ЧПУ [Текст] / В.А. Калинин, Г.С. Иванов, С.В.

Щербинин // Авиационная промышленность. – 1992. - № 3. – С. 10 – 12.

64. Люстерник Л. А. Геодезические линии: Кратчайшие линии на поверхности

[Текст] / Л.А. Люстерник. – М. - Л.: ОНТИ, 1934. – 40 с.

65. Милинский В.И. Дифференциальная геометрия [Текст] / В.И. Милинский.

- Л., 1934. - 332 с.

66. Мухамбетжанов С.Г. Геодезическая намотка на конических поверхностях

произвольного профиля [Текст] / С.Г. Мухамбетжанов, Ю.П. Ромашев, С.Г.

Сидорин // Механика композитных материалов. – 1992. - № 6. – С. 764 – 770.

67. Норден А.П. Дифференциальная геометрия [Текст] /А.П. Норден. – М.:

Госуд. уч.-педагог. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1948. – 215 с.

68. Образцов И.Ф. Оптимальное армирование оболочек вращения из

композиционных материалов И.Ф. Образцов, В.В. Васильев, Бунаков В.А.

– М.: Машиностроение, 1977. – 144 с.

69. Обухова В.С. Об аппроксимации лемешно-отвальных поверхностей

[Текст] / В.С. Обухова, А.Л. Мартиросов // Прикладная геометрия и

инженерная графика. − К., 1976. − Вып. 21. − С. 145−150.

136

70. Обухова В.С. Побудова смуг рівних відрізків на лінійчатих поверхнях

[Текст] / В.С. Обухова // Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.:

КДТУБА, 1998. –Вип. 63. – С. 16 – 20.

71. Обухова В.С. Поверхні гвинтових ліній однакової довжини в межах кроку

[Текст] / В.С. Обухова // Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.:

КНУБА, 1999. –Вип. 66. –С. 27 – 31.

72. Обухова В.С. Усовершенствованная модель для автоматизированного

проектирования торсовых отвальных поверхностей [Текст] / В.С.Обухова //

Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1986. -Вып. 32. -С.13-17.

73. Обухова В.С. Существенные параметры развертывающихся поверхностей

лемешно-отвального типа [Текст] / В.С. Обухова, В.Я. Булгаков // Прикл.

геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1974. - Вып. 18. - С. 21 - 26.

74. Обухова В.С. Обоснование параметров деформирующей кривой лемешно-

отвальной поверхности [Текст] / В.С. Обухова, В.Я. Булгаков // Прикл.

геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1977. - Вып. 24. - С. 41 - 43.

75. Обухова В.С. О конструировании отвальной поверхности с использованием

ЭВМ [Текст] / В.С. Обухова, А.Л. Мартиросов // Прикл. геометрия и инж.

графика. - К.: Будівельник, 1978. - Вып. 25. - С. 83 - 87.

76. Обухова В.С. К вопросу получения граничного контура отвальных

поверхностей [Текст] / В.С. Обухова, А.Л. Мартиросов // Прикл. геометрия и

77. Орлов М.В. Определение поверхности дополнительного технологического

отсека, служащего для непрерывной намотки по геодезической линии [Текст]

/ М.В. Орлов // Труды МАИ. – М., 1970. – Вып. 205. – С. 51 – 52.

78. Орлов М. В. Некоторые вопросы формообразования многослойных

оболочек геодезических [Текст]: автореф. дисс. … канд. техн. наук 05.05.01 /

М.В. Орлов. — М., 1972. -17 с.

79. Патент на корисну модель 103348, Україна, МПК F 17 C 1/00. Газовий балон

[Текст] / Кремець Я.С., Пилипака С.Ф., Захарова Т.М.; заявник і

137

патентовласник Національний університет біоресурсів і

природокористування України. - № u201506289; заявл. 25.06.2015; опубл.

10.12.2015, Бюл. № 23, 2015 р.

80. Парняков А. Ф. Вопросы конструирования плотных каркасов геодезических

[Текст]: автореф. дисс. … канд. техн. наук 05.05.01 / А.Ф. Парняков. — М.,

1969. -19 с.

81. Парняков А.Ф. Геометрические вопросы технологи изготовления

поверхностей методом обмотки [Текст] / А.Ф. Парняков // Кибернетика

графики и прикладная геометрия поверхностей: Сборник науч. трудов. – М.:

Изд-во МАИ, 1969. – Вып. 3. – С. 18 – 23.

82. Парняков А.Ф. Построение плотного каркаса геодезических на соосном

сочетании отсеков поверхностей вращения [Текст] / А.Ф. Парняков //

Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Сборник науч.

трудов. – М.: Изд-во МАИ, 1969. – Вып. 3. – С. 103 – 106..

83. Пидгайный Ю.М. Методика расчета характеристик геодезической намотки

оболочек тел вращения [Текст] / Ю.М. Пидгайный, В.М. Морозова, В.А.

Дудко // Механика полимеров. – 1967. - № 6. – С. 1096 – 1104.

84. Підгорний О.Л. Поверхні рівних відрізків [Текст] / О.Л. Підгорний //

Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.: КДТУБА, 1997. –Вип. 62.

– С. 7 – 10.

85. Пилипака С.Ф. Вплив граничної траєкторії руху скиби по полиці на

динамічну складову тягового опору плуга [Текст] / С.Ф Пилипака // Збірник

наукових праць Вінницького національого аграрного університету. Серія:

Технічні науки. – Вінниця, 2012. – Вип. 11, т. ІІ (66). – С. 55 – 66.

86. Пилипака С.Ф. Рівняння конуса, віднесеного до ортогональної сітки із

сімей координатних геодезичних ліній [Текст] / С.Ф. Пилипака // Праці Таврійської

державної агротехнічної академії. –Вип. 4. Прикл. геометрія та інж. графіка.

–Том 18. –Мелітополь: ТДАТА, 2003. – С. 16-19.

138

87. Пилипака С.Ф. Поверхні циліндричних ліній однакової довжини [Текст] /

С.Ф. Пилипака, І.Ю. Грищенко // Наукові нотатки. Міжвузівський збірник (за

галузями знань ”Машинобудування та металообробка”, ”Інженерна

механіка”, ”Металургія та матеріалознавство”. – Вип. 29.– Луцьк: ЛНТУ,

2010. – С. 167 – 171.

88. Пилипака С.Ф. Дослідження геодезичних ліній на поверхні гвинтового

коноїда [Текст] / С.Ф. Пилипака, Т.В. Гнітецька // Сучасні проблеми

геометричного моделювання. Матеріали міжнародної науково-практичної

конференції. –Львів: Національний університет ”Львівська політехніка”,

2003. –С. 77-80.

89. Пилипака С.Ф. Неперервне згинання нерозгортної лінійчатої поверхні, для

якої напрямна крива є геодезичною лінією [Текст] / С.Ф. Пилипака // Прикл.

геометрія та інж. графіка. –К.: КНУБА, 2001. –Вип.69. –С. 54-57.

90. Пилипака С.Ф. Конструювання поверхонь обертання за заданою гори-

зонтальною проекцією геодезичної лінії [Текст] / С.Ф. Пилипака //

Геометричне та комп’ютерне моделювання. –Вип. 5. -Харків: Харківський

державний університет харчування та торгівлі, 2004. –С. 25-29.

91 Пилипака С.Ф. Натуральні рівняння кривої, що належить круговому

циліндру [Текст] / С.Ф. Пилипака // Труды Таврической государственной

агротехнической академии. – Вып. 4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т. 3.

–Мелитополь: ТГАТА, 1998. – С.42 - 43.

92. Пилипака С.Ф. Пилипака Т.С. Порівняльний аналіз балонів циліндричної і

сферичної форми для зберігання стисненого газу [Текст] / Т.С. Пилипака,

О.А. Пилипака // Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.: КНУБА,

2011. –Вип. 87. – С. 309 – 313.

93. Пилипака С.Ф. Конструювання поверхонь обертання сталої середньої

кривини [Текст] / С.Ф. Пилипака, І.О. Коровіна // Матеріали ІІІ

Всеукраїнської науково-практичної конференції „Перспективи розвитку

139

агропромислового комплексу в Поліському регіоні України”. – Ніжин:

Міланік, 2010. –С. 35 – 43.

94. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия [Текст] / А.В. Погорелов. -

М.: Наука, 1969. - 176 с.

95. Постников М.М. Вариационная теория геодезических [Текст] / М.М.

Постников. – М.: Наука, 1965. – 248 с.

96. Пушков В.П. Технология изготовления лопасти воздушных винтов из КМ

методом намотки [Текст] / В.П. Пушков, Ю.М. Щербаков, Е.В. Мойсеев //

Авиационная промышленность. – 1978. Приложение № 2. – С. 40 – 42.

97. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометри [Текст] / П.К.

Рашевский. - М.: "Едиториал УРСС", 2003. -4-е изд. - 432 с.

98. Романов С.С. Замкнутые геодезические траектории на части поверхности

тора [Текст] / С.С. Романов // Журнал технической физики, 2003. – Т. 73. –

Вып. 7. – С. 139 – 142.

99. Росато Д.В. Намотка стеклонитью [Текст] / Д.В. Росато, К.С. Граве. – М.:

Машиностроение, 1969. – 310 с.

100. Руденко С.Ю. Геометричне моделювання фасонних поверхонь обертання,

зміцнених намотуванням нитки [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук

05.05.01 / С.Ю. Руденко. — К., 2013. -24 с.

101. Табакова І.С. Побудова геодезичної лінії гладкої поверхні, що виходить із

даної точки у заданому напрямку [Текст] / І.С. Табакова // Науковий вісник

Мелітопольського державного педагогічного університету ім. Б.

Хмельницького. Серія: Математика. Геометрія. Інформатика. – Мелітополь:

МДПУ, 2014. – Т. 1. – С. 217 – 224.

102. Табакова І.С. Побудова геодезичної лінії між двома точками, належних

даній гладкій поверхні [Текст] / І.С. Табакова // Прикладна геометрія та

інженерна графіка. –К.: КНУБА, 2013. –Вип. 91. – С. 271 – 278.

140

103. Урмаев Н.А. Приведенная длина геодезической линии [Текст] / Н.А.

Урмаев // Известия АН СССР. - Сер. матем., 5:4-5 (1941). – С. 369–376.

104. Фиников С.П. Теория поверхностей [Текст] / С.П. Фиников. – М.-Л.:

ОНТИ, 1934. – 200 с.

105. Хартунг Р. Сосуды давления, полученные методом плоскостной намотки

нитей [Текст] / Р. Росато // Ракетная техника и космонавтика. – 1963. - № 12.

– С. 159 – 160.

106. Цыплаков О.Г. Основы формования стеклопластиковых оболочек [Текст] /

О.Г. Цыплаков. – Л.: Машиностроение, 1968. – 173 с.

107. Часовщиков Л.Л. Редактирование и коррекции управляющей информации

в технологических процессах намотки [Текст] / Л.Л. Часовщиков, Г.Р. Борох

// Авиационная промышленность. – 1992. –№ 11. – С. 6 – 8.

108. Чикильдин Я.Я. Алгоритм оптимальной укладки стеклоленты при намотке

изделий на агрегатах с программным управлением [Текст] / Я.Я. Чикильдин,

Ю.М. Алпатов, В.Е. Шукшунов // Труды Новочеркас. политехн. ин-та им. С.

Орджоникидзе. – Новочеркасск, 1968. – Т. 182. – С. 59 – 63.

109. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп [Текст] / Г. Штейнгауз. – М.:

Наука, 1981. – 160 с.

110. Щучкин Н.В. Методика проектирования цилиндроидальных отвалов /

Н.В. Щучкин [Текст] // Теория конструирования и производства

сельскохозяйственных машин. − М.−Л., 1936. − Т. 4. − С. 63−94.

111. Щучкин Н.В. Лемешные плуги и лущильники [Текст] / Н.В. Щучкин. –

М., 1952. – 267 с.

112. Юрчук В.П. Проектування поверхні роторного копача шляхом

використання геодезичної лінії [Текст] / В.П. Юрчук, О.Г. Гетьман // Труды

Таврической государственной агротехнической академии. – Вып.4. Прикл.

геометрия и инж. графика. - Т.6. – Мелитополь: ТГАТА, 1999. – С. 85 – 88.

113. Яковлев В.А. Построение линейчатых спироидальных поверхностей с

использованием геодезических линий неподвижного аксоїда [Текст] / В.А.

141

Яковлев // Прикладная геометрия и инженерная графика. – К.: Будівельник,

1968. –Вып. 6. – С. 71 – 74.

114. Якунин В.И. Алгоритм намотки составной поверхности [Текст] / В.И.

Якунин, В.А. Калинин, Т.В. Аюшеев // Актуальные вопросы начертательной

геометрии и инженерной графики: Тезисы докладов Восьмой Поволжской

межзональной конф. Ч. ІІ. – Йошкар-Ола, 1990. – С. 45.

115. Якунин В.И. Алгоритм геометрического проектирования процесса намотки

составной поверхности [Текст] / В.И. Якунин, В.А. Калинин, Т.В. Аюшеев //

Компьютерная геометрия и графика в инженерном образовании: Материалы

всесоюзной конференции. – Нижний Новгород, 1991. – С. 149..

116. Caselles, v., Kimmel, r., and Sapiro, g. 1997. Geodesic active contours. Int. J.

Comput. Vision 22, 1, 61–79.

117. Polthier, k., and Schmies, m. 1998. Straightest geodesics on polyhedral surfaces.

In Mathematical Visualization, Springer, H.-C. Hege and K. Polthier, Eds., 391–

409.

118. Rozsnyo, R.. 2006. Optimal Control of Geodesics in Riemannian Manifolds.

Doctoral thesis, EPF-Lausanne, Switzerland.

119. D. Sullivan, Disjoint spheres, approximation by imaginary quadratic numbers,

and the logarithm law for geodesics, Acta Math. 149 (1982) 215–237.

142

ДОДАТКИ

143

ДОДАТОК А

Математичні перетворення, виконані з допомогою символьної математики

програмного продукту «Mathematica» та програмні коди в системі «MatLab»

144

145

146

147

148

149

Програмні коди для побудови полиці плуга із нерозгортної лінійчатої

поверхні в системі «MatLab»

150

% Лінійчата нерозгортна поверхня при псі=0,1; t+-0,05

ma=80;

[t,u]=meshgrid(pi/6.5:pi/20:0.8*pi,-1.0*ma:1.5*ma:ma*0.5);

R=ma*0.5; al=-pi*48/180;

hold on

f=ma*0.5553*t; f1=ma*0.5553; f11=0; f111=0;% для 42 град пряма

xo=f;

yo=-R*sin(t);

zo=-R*cos(t);

A=-R^2;

B=R*f11.*sin(t)-R*f1.*cos(t);

C=R*f11.*cos(t)+R*f1.*sin(t);

kor1=sqrt(R^2+f1.^2); kor2=R*sqrt(R^2+f1.^2+f11.^2);

k=kor2./(kor1.^3); qq=-(f1+f111)./(R^2+f1.^2+f11.^2);

tn=acos(qq./sqrt(k.^2+qq.^2))-0.1*t+0.046;

at=f1./kor1;

bt=-R*cos(t)./kor1;

gt=R*sin(t)./kor1;

ab=A./kor2;

bb=B./kor2;

gb=C./kor2;

nx=cos(tn).*at+sin(tn).*ab;

ny=cos(tn).*bt+sin(tn).*bb;

nz=cos(tn).*gt+sin(tn).*gb;

x1=xo+u.*nx;

y1=yo+u.*ny;

z1=zo+u.*nz;

x=x1*cos(al)-y1*sin(al);

151

y=x1*sin(al)+y1*cos(al);

z=z1;

xoo=xo*cos(al)-yo*sin(al);

yoo=xo*sin(al)+yo*cos(al);

zoo=zo;

% Команда для побудови поверхні

mesh(x-0.7,y,z);

t=[pi/6.5:pi/100:0.66*pi];

xo=ma*0.5553*t;

yo=-R*sin(t);

zo=-R*cos(t);

xoo=xo*cos(al)-yo*sin(al);

yoo=xo*sin(al)+yo*cos(al);

zoo=zo;

% Команда для побудови геодезичної лінії на поверхні

plot3(xoo,yoo,zoo);

% Побудова лінії польового обрізу полиці, яка на лобовому контурі

% є прямою

ma=80;

t=[pi/6.5:pi/200:0.545*pi];

aa=-atan(45/0.8); h=-35.5; %ma=100 h=-44.5

xu1=0;zu1=h; xu2=-(-45*cos(aa));zu2=-45*sin(aa)+h;

au=(zu1-zu2)/(xu1-xu2);

bu=zu2-xu2*au;

hold on

R=ma*0.5; al=-pi*48/180;fo=-pi/4;

hold on

f=ma*0.5553*t; f1=ma*0.5553; f11=0; f111=0;% для 42 град пряма

xo=f;

152

yo=-R*sin(t);

zo=-R*cos(t);

A=-R^2;

B=R*f11.*sin(t)-R*f1.*cos(t);

C=R*f11.*cos(t)+R*f1.*sin(t);

kor1=sqrt(R^2+f1.^2); kor2=R*sqrt(R^2+f1.^2+f11.^2);

k=kor2./(kor1.^3); qq=-(f1+f111)./(R^2+f1.^2+f11.^2);

tn=acos(qq./sqrt(k.^2+qq.^2))-0.1*t+0.05;

at=f1./kor1;

bt=-R*cos(t)./kor1;

gt=R*sin(t)./kor1;

ab=A./kor2;

bb=B./kor2;

gb=C./kor2;

nx=cos(tn).*at+sin(tn).*ab;

ny=cos(tn).*bt+sin(tn).*bb;

nz=cos(tn).*gt+sin(tn).*gb;

u=(bu-zo+au*xo*cos(al)-au*yo*sin(al))./(nz-au*nx*cos(al)+au*ny*sin(al));

x1=xo+u.*nx;

y1=yo+u.*ny;

z1=zo+u.*nz;

x=x1*cos(al)-y1*sin(al);

y=x1*sin(al)+y1*cos(al);

z=z1;

plot3(x,y,z,'k');

153

% Побудова лінії польового обрізу полиці, яка на лобовому контурі

% є колом радіуса ro=111 і координатами центра xp=47; zp=-56+h

ma=80; h=-35.5;

t=[1.09*pi/2:pi/600:0.7024*pi];

ro=111; xp=47; zp=-56+h;

R=ma*0.5; al=-pi*48/180;

hold on

f=ma*0.5553*t; f1=ma*0.5553; f11=0; f111=0;% для 42 град пряма

xo=f;

yo=-R*sin(t);

zo=-R*cos(t);

A=-R^2;

B=R*f11.*sin(t)-R*f1.*cos(t);

C=R*f11.*cos(t)+R*f1.*sin(t);

kor1=sqrt(R^2+f1.^2); kor2=R*sqrt(R^2+f1.^2+f11.^2);

k=kor2./(kor1.^3); qq=-(f1+f111)./(R^2+f1.^2+f11.^2);

tn=acos(qq./sqrt(k.^2+qq.^2))-0.1*t+0.05;

at=f1./kor1;

bt=-R*cos(t)./kor1;

gt=R*sin(t)./kor1;

ab=A./kor2;

bb=B./kor2;

gb=C./kor2;

nx=cos(tn).*at+sin(tn).*ab;

ny=cos(tn).*bt+sin(tn).*bb;

nz=cos(tn).*gt+sin(tn).*gb;

aaa=nz.^2+(nx*cos(al)-ny*sin(al)).^2;

154

bbb=2*(nz.*(zo-zp)-(nx*cos(al)-ny*sin(al)).*(xp-xo*cos(al)+yo*sin(al)));

ccc=xp^2-ro^2+(zo-zp).^2+(xo*cos(al)-yo*sin(al)).*(xo*cos(al)-yo*sin(al)-2*xp);

korv=sqrt(bbb.^2-4*aaa.*ccc);

u=(korv-bbb)./(2*aaa);

x1=xo+u.*nx;

y1=yo+u.*ny;

z1=zo+u.*nz;

x=x1*cos(al)-y1*sin(al);

y=x1*sin(al)+y1*cos(al);

z=z1;

plot3(x,y,z,'k');

155

ДОДАТОК Б

Документи щодо впровадження результатів досліджень

156

157