小学 学 洛€¦ · 的历史相似性 ,因此本节课以周期函数概念的形成...
TRANSCRIPT
中小学数学 课堂教学研究
20 1 8年 1 1 月 下旬 (高中 )
上 洛f 年 东 坪 苽 大 学 附属 东 昌 中 f ( 200 1 20 ) 向
上 滲大学 附属 中 f (20 1 900 )
华 东 呷 艽大 学If 科 f t 芪 (20024 1
)
1 . 引 言
‘ ‘
周 期 函数”
是上海教 育 出 版社 《数 学 》高一
( 下 )
第 6章“
三角 函数”
中 的一
节 内容 . 教材从三角诱导公
式s
in
(; c + 2A :TT
)
=s in a:
(A: e Z
)出 发 , 让学生体会
sin
;t值的
重复 出 现 : 为 了 定量地描述周期性变化规律 , 直接引
入周期 函数概念 . 教 学实践表 明 , 关于周 期函数概念 ,
学生有 以 下困惑 : 周 期函数较为成熟的形式化定义是
如何形成的 ? 周 期函数一
定存在最小正周 期吗 ? 周
期函数 的定义域是无界 的吗 ? 按照教材 , 直接 引 入周
期函 数 的定义 , 无法解决上述 困 惑 . 另一
方面 课标”
在“
课程结构”
中 指 出 ,
“
把数 学文化融入课程 内 容
中”
, 在“
教学建议”
中要求 :
“
在整个数学教学中 , 教师
应当有 意识地结合相应 的教学内 容 , 引 导学生 了解数
学的发展 , 认识数 学在科学技术 、社会发展 中 的作用 ,
体会数学 的科学价值 、应用 价值和 文化价值 ,
提升学
生的 科学精神 、应用 意识和 文化素养 那 么 , 在周 期
函数概念的教学中 如何渗透数学文化 , 让学生体会数
学的文化价值 ? 这个问题需要通过实践来解决 .
周期函 数概念有着 曲折的发展历史 , 反映 了历 史
上人们对该概念的认识经历 了 从不完善到完善 的过
程 . 我们希望在课堂上再现这一
过程 , 解决 学生心 中
的困惑 , 促进他们对概念的深刻理解 ; 另一
方面 , 通过
数学 史的融入 , 掲示 周期 函数背后 的文化价值 , 让学
生树立正确的数学观 , 感悟数学背后的理性精神 .
基于上述思考 , 我们釆用 H PM 的视角来设计本节
课的教学 . 具体的教学 目标如下 :
( 1 )了 解周 期 函数与周 期现象 的联系 , 经历 周期
函数概念抽 象概括的过程 , 培养数 学抽 象 的数 学素
养 :
( 2 )理解并 牮握 周 期 函数 的 定义 ,加深对周 期 函
彔
沈 中 t
数本质属性的理解 , 理解最小正周 期的意义 ;
( 3 )经历正 、余弦 函数周期性的证明 过程 ,体会特
殊到一
般再到特殊的研宄方法 ;
(4 ) 能够总 结概括形如y
=/ l s i
n(w ; ic
+ <
#>
)、 y
=;4 cos
(〇?
+ <
/>)此类 函数的最 小正周 期的求法 ,体会数学推广
的意义 .
( 5 )理解数学活动的本质 , 体会数学 的文化价值 ,
树立动态的数学观,感悟数学 背后 的理性精神 .
2 . 历史材料及其运用
17 48 年 , 欧拉 ( L .E u le r, 1 707
-
1 7 83 )在 《无穷分析
引 论 》 中 , 将函数确立为分析学 的最基本的研究对象 .
在“
来 自圆 的超越量”一
章中 , 欧拉重新审视 了前人的
定理 、 公式 、 方程和计算 , 研宄了 周 期性 . 虽然欧拉没
有 明确提 出三角 函数 的周 期性 ,但他利用 曲 线的性态
表征 了正弦函数的周期性 .
历史上 , 人们对三角函数周期性 的认识过程可 以
分成萌芽时期 、 描述性定义时期 、形式化定义时期三
个阶段 .
2 .1 周期 函数概念的萌芽
在 历史上,周 期函数 的 出现与 周期现象有关 . 在
我们所考察的美英三角学教科书中 , 最开始描述的周
期现象都与 时间有关 , 例如 Kei t h ( 1 8 1 0 ) 对一
天给出
了 明确 的描述 : 由 任何一
天离开子午线 , 直至第二天
返 回 同一
子午线的时间 间隔被称为太阳 日 . 太阳 日 因
黄赤交角 以及地球 的变速运动而连续变化 . Bo n ny
-
Cas t l e (1 8 1 8 )给出 了
一
月 的定义 : 月 份是月 亮重新回
到 刚开始升起时 那一
点所需经 历的 周期 , 由 27 天组
成 . 在此时期 , 周 期与 时间 的变化有着密 不可分 的联
系 , 物体重 复经过一
个位置的时间间隔称之为周期 .
在萌 芽时期 , 三角学 教科书大多 从天体 的运动 出
*本 文 是华 东 师 范 大学 HPM工作 室 系 列课例之 一 .
第 45 页
20 1 8年 1 1 月 下旬 (髙 中 )
发来研宄三角函数的周 期性 , 但均未明确提出周期 函
数概念 .
2. 2 三角函数周期性的描述性定义
Lardner ( 1 82 8 )给出 了 三角函 数的终边定义 , 进
而给 出 了三角 函数周期的概念 . 在直角坐标系 中 , 角
的终边绕原点旋转 360°
后回到原来的位置 , 因而终边
相同的角的同一三角 函数值相等 , 作者以此来刻画三
角函数的周期性 .
这里 , 周期的定义仅仅是描述性的 , 并未采用符
号语言 .
2. 3 周期函数的形式化定义
Brenke ( 1 9 1 7 )给出 了较为成熟的形式定义 : 当角
度 *增加或减少 360°
的整数倍时 终边的位置不变 ,
即对任意 的 *有 : /(*
)
=
/(
* ± n -
360°
), 其中 /为任
一
三角 函数 .
之后 , 数学家逐步将以三角 函数为背景的形式化
定义一
般化 , 最终发展成一般周期 函 数的形式化定
义 . 分别有 :
1 899年 , 加拿大数学家穆雷 ( D . A
. Murray ,1 862-
193 4 )在“
终边相同角 的三角函数值相等”
以及诱导公
式的基础上 , 给出 如下周 期函数的形式化定义 :
一
般
地 , 对 于 函数 /(*
), 如果存在常数 it
,对任意 * 都有
/(*)
=/(* + ft)
, 那么 函数 /(*) 就叫做周期 函数 , 而满足
该等式的最小 的数 称为该函数的周期 .
1904年 ,美国数学家博汉南 (R .D . Bohannan,1 85 5
-
1 92 6)给出如下定义 :若厂 f(*)
,且满足尸(*
,)
=+/〇
,
则有 :
F(x ,)
= F{X l
+h)
= F(x,
+2h)
= F{x ,
+3h )
=F(x
t
+4h)
=F(x
x
-
h)
=F
(x
,
-
2h)
=F
{x
t
-
3h)
即对于函数 /帕 , 如果存在非零整数n , 对任意一
个 * , 都有 +这样的 函数称为周期函数 ,
其中 A为周期 .
1 940年 ,美国数学家德累斯顿(A . Dre sd en,
1 88 2-
1 95 4 )在定 义周 期函数时 , 关注到 了 函数的定义域 :对
于定义域为 R (并非特指实数集 ) 的函数 /(*
), 如果对
任意一
个 均有尤和 戈 +P属于R ,且满足 /(
* +/>
)
曰/(*)
,
则称 /M 为周期为P的周 期函数 .
实际上 , 以上三个定义代表着形式化定义从不完
善到完善的过程 , 穆雷的定义没有强调周期 是非零
的 ,博汉南对周 期 函数的定义域有 了一
定要求 , 而德
累斯顿则明确提出 了周期 函数的定义域 .
第 46 页
中小学数学
教学实践表明 , 学生对周期 函数的认知呈现一定
的历史相似性 , 因此 , 本节课以周期函数概念的形成
为脉络 ,利用重构 、复制 、附加 的方式将相关的历史素
材融入到教学之中 .
3 . 教学设计与实施
3 . 1 引 出主题,
以学定教
师生共同 阅读教材中 的引 言 :
“
三角函数也称为
圆函数 , 它来 自 圆周运动 , 而 圆周 运动是一
种周 而复
始的周期运动 . 三角 函数是重要的周 期函数模型 ?
”
进
而提 出 问题 : 三角 函数会具有什么样的周 期性呢 ? 从
而引 出本节课的研宄主题 : 正弦 、余弦函数的周期性 .
在本节课之前让学生预 习 , 根据预 习情况 ,汇总
学生的问题如 下 :
( 1 )周期函数与诱导公式是否有关系 ?
( 2 )是否三角型 函数都是周期函数 ?
( 3 )周期性存在于哪种类型的函数 ?
( 4 )为什么规定周期函数的周期 ?
( 5 )周期函数的定义域有什么特性 ?
( 6 )求三角 函数的周期有一
定规律吗 ?
( 7 )周期性如何结合其它性质 ?
( 8 )能否用 函数周期性去推导函数其它性质 ?
3. 2 问题探究 ,概念初探
基于以上学生的疑惑 , 教师启发学生进入对函数
周期性的探索 .
师 : 同学们通过阅读教材 内 容都有 了一
定的 思
考 ,非常好 ! 那么接下来就让我们共同进入到新知识
的学习过程中 , 看看我们是否都能够圆满地解决这些
问 题 ?
通过 PPT 呈现两个问题 , 学生分组讨论 , 交流互
动 .
问题 1 : 你是否 能够举出 自然界 以及现实生活中
的周期性现象 ? 请对其特征进行概述 ?*
问题 2 : 你能 否举 出数学知 识 中 的周 期性现象 ?
请对其特征进行概述?
学生对问题 1 的回答 :
? 生 1 : 哈雷薏星周期 76年 .
生 2 : 自动扶梯上去下去的时间 间隔 .
生 3 :地球的公转和 自传 .
教师进一步要求概括这些现象的特征 .
师 : 能概括一
下它们的特征?
生 :所有的都是每隔一
定 的时间会重复出现 .
课堂教学研究
中小学数学
鹿堂教学研究
20 1 8年 1 1 月 下旬 (高中 )
学生对问题 2 的回答 :
生 1 : 无限循环小数 ,例 如I
生 2 : 还有终边相同的角 , 角的周而复始的变化 .
教师进一
步归纳 出周 期现象 的特征 , 并将其与函
数 的周期性相联系 .
师 : 非常好 , 存在一
个固定的 间隔 , 大家发现 了周
而 复始的规律 , 这就是周 期现象 . 又如 能被 3 整除余 1
的正整数 , 分别为 1 、 4 、 7 等等 . 那么 函数会有周 期性
吗 ?
生 : 随着角 的 终边周 而 复始地变化 , 三角 函 数值
也周而复始地变化 , 因此 , 三角 函数有周期性 .
师 : 在历史上 ,三角 学最早只是天文学的工具 ,
后
来脱离天文学 , 而成为几何学 的一
部分 ; 再后 来发展
成 为一 门 独立 的学科 , 用于解平面三角形以及实际测
量 问题 : 最终 , 三角学的 功能进一
步拓广 ,被用于研宄
自然界 的周 期 现象 . 我们今天学 习 三角 学 , 重 点研究
的就是周 期性 . 1 748年 , 欧拉在 《无穷 分析 引 论 》 中提
出 了 三角 函数 的周 期性 . 此后 , 数学家在探索 各种 周
期 现象 的过程中 , 逐渐将其与三 角 函数联 系起来 . 我
们今天从认识 自然界的 周期现象到 揭示数学 中 的周
期现象就是这样一
个认知过程 .
3 . 3 深入探索 ,概念生成
接着教师提出第三个 问题 ,对函数的周期性进行
探索 .
第三个问 题 : 判断 该函数 图像是否具有周 期性现
象 ,你能否运用 数学语言进行描述?
师 : 先看第一
张 图 ( 见 图 1 ( 1 ))
, 你们能否用 语言
来刻画描述其中 的周期性现象呢 ?
生 : 每隔 2tt 个单位图像会重复一
次 .
师 : 很好 ! 第一
张 图我们 己经很熟悉 , 物理课上
老师 已经告诉我们正 弦函数图 像是具有周期性的 . 那
么 除 了 正弦 函数外是 否还有其他的 函数也 具有周 期
性 , 这是一
个非常值得研宄 的问题 . 请看第二张图 ( 见
图 1⑵ )?
师 : 同学们 , 你们认为它 是否存在周期现象?
生 : 具有周期现象 ,也是存在规律周而复 始 、重复
出现 . 每经过 2个单位图像会周 而复始 .
师 : 回到我们的第三个 问 题 , 能否进一
步 用数学
符号语言来刻 画这种规律性呢 ? 相较前两个问题 , 这
个问 题是有难度的 . 我们可以找到 问题解决的办法 ,
我们 知道函数的基本构成元素是点 , 那么 能否从点的
变化来刻画这种周 而复始 的规律 ? 让我们来看看 点
的变化?
生: 设 图像上任意 点的坐标为h y)
, 则点(*
+ 2
, y)
也在该函数图像上 .
师 : 那也就意味着若 点的横坐标的差值是 固定值
2 时,其点 的纵坐标值不变 , 则此时 /(
*+
2)
=/(
*)成立 ,
那我们就称该 函数是周期 函数 , 2是它 的周期 . 这个过
程就是一
个数学抽象的过程 . 是不是可 以推广给 出周
期函数的定义 了 ?
生: 给定 函 数 y
=/(@,
;i: . eD, 如果成立 /(x
+ r
)
=
/问(7v o
),那么称 /〇
?:
)是周期函数 , r是它的周期 .
通过 问题辨析 , 讲解 明确周 期 函数定义 中 的关键
字词 .
师 : 请 同学们注意周 期 函数定义 中 的两性 : 存在
性 (存在非零常数 r ); 任意性 (定义域 d 中的任意 *都
满足定义式 ) . 在 以上的讨论过程中我们 同学提 出 的
一
些 问题是否 已得到 了解决 ? ( 如 r非零的 问题 、与诱
导 公式 的关系 ) , 还有哪些 问题我们需要再继续 ? ( 如
对周期函数定义域 d 的要求 )
3 . 4 古今对话 , 难点突破
基于学生探究得到 的周期函数 定义 , 教师利用与
数学家对话的形式进一
步对定义 中 的难点进行突破 .
师 : 最早提及周 期概念的是欧拉 , 欧拉在 1 74 8年
在 《 无穷 分析 引 论 》 中涉及 了一
个周 期性行为 ( 见 图
2 ) . 之后从 1 748年至 1 94 0年 , 无数 的数学 家和 数学爱
好者们前后花 了 2 00年的时间逐步开展并完善对周期
第 47 页
中小学数学课堂教学研究20 1 8年 1 1 月 下旬 (髙中 )
函数 的研宄 , 而今天在课上我们只用 了2 2分钟就研宄
了 周 期 函 数的定 义 . 对 于历 史我们应该是敬 重的 . 接
下来就让我们与三位数学家对话 ( 呈现三个数学家的
资料 ) .
图 2
史料 h 加拿大数学家 穆雷于 1 899 年给出 如下 定
义 :
一
般地 ,对于 函数 /M , 如果存在常数 ft , 对任意一
个* 值 , 都有 /问=/(
*+ 幻 , 那么 函数 /(4 就叫 做周 期
函数 , 而满足该等式成立的最小 的数 fc称为该函数的
周期 .
师 : 你觉得这个定义与我们刚才所学 的定义有什
么不同吗 ? 或者有什么不完善之处 ?
生 1 : 没有对定义域作 出要求 .
生 2: 没有强调 /t 是非零的常数 .
生 3 : 这里谈到是最小 的数 A , 我认为没有最小 的
数 , 只有最小的正整数 .
师 : 生 3 的关注非常细致 , 实际上提 出 了一
个非常
好 的 问 题 , 如果一
个函 数有 周 期 , 就一
定有最小正周
期吗 ? 我给大家举一
个例子 : 常值 函数 ,常值函 数是
不是周期 函数 ? 但是常值函数的周 期为任意常数 .
师 : 此外 , 请同学们继续思考另一
个问题 : 函数的
周期可 以是负数吗 ? 最小 的数 那是不 是意味着这
个函数肯定能找到那个最小的 fc?
史料 2 : 美国 数学家博汉南于 1 90 4年给 出 了 以下
定 义 : 若 函 数 满 足 作 ,卜 /^ +句 , 则 有
F(x
t)
=F
(
x,
+ h)
=F
(x
,
+2h)
=F{x
,
+
3/i)
=F
(
x,
- h)
=F
(
x,
-
2h)
= ,S 卩对于函数 /问 , 若存在非零整数n
, 对任
意一
个 ^:值 , 都有 尸(
*)
= /^
+以) , 则这样 的函数称为
周期函数 , 其 中 / i为周期 .
生 : 仍然未强调 /^ 是非零的 , 但对定义域好像有 了
说明 , 是不是可 以往两侧无限延伸 ?
师 : 这个发现非常有价值 , 老师举一
例 :
y
=S in :c ,
卜 4T7,4Tr
j
, 请问该函数是周期函数吗 ?
生 : 疑惑 , 当找到 r= 2ir 不满足 * 的任意性 , 所以
该 函数不是周期函数 .
师 : 现在大家发现周 期 函数定义域的限定条件了
吧 . 如果一
个函 数 的定义域有界 , 它一
定 不 是周 期函
数 .
师 : 请同学们 回去研读第三份历史 资料一一美 国
数学家德累斯顿于 1 9 40给出 的周期 函数 定义 , 体会在
周期函数定义中的 四个关键要素 : 定义域单边无界或
双边无界 、存在性 、 任意性 、定义式 .
师 : 为什么要研宄周 期性 , 它 是一
种科学 的态度
和方法 , 有 了 最 小正周 期就可 以把整段全局上的 问题
缩 小到一
个有限的 区间上进行研宄 , 其它单位区 间上
的性质也可 以进行刻画 .
通过这些互动交流 , 在周 期 函数概念学习 过程中
的难 点问题也迎刃而解 , 周 期函数的定 义域D 是有限
定的 , 至少要一
端无界 . 对于常数 T 的要求一
定要是非
零的 .
3. 5 练习巩固 ,概念强化
首先 ,要求学生会运用周期 函数的概念证明正弦
函数和余弦函数的周期性 ,并知晓其最小正周 期 .
其次通过 以 下练 习 , 解 决形如 y
=4 s
in
(o^
+咖 、
y
=/
lc〇 S
(
6M : +4
)
)
—
类的函数最 小正周期的方法 .
【练 习 1 】 求下列 函数的周期 : /(*)
=8 i
n
(
*+
|)
.
【练 习 2 】 求下列函数的周期: /W
=3 s in
〔!
+
| )
.
通过以上练习让学生总结 出 此类三角 函数求最
小正周期的一
般方法 .
3 . 6 总结提升 , 知识升华
最后对本节课所学 习 的 内容进行总结提升 , 对应
学生在课前 提 出 的问 题 , 本节课基本解决 了学生的疑
惑 .
在概念生成的过程中 , 我们发现了 周 期 函数与诱
导 公式之间有着紧密 的联系 , 诱导公式初步刻画 了三
角 函数的周 期性 (对应问题 1 ) , 因 此我们所学的 三角
函数其实都 是周 期 函数 (对应 问题 2 ), 但是 周期 函数
的范围 比三角 函数的 范围更广 , 还有更一
般的周 期 函
数 (对应问 题 3 ) , 同时通过概念的辨析 ,我们 知道 了周
第 48 页
中小学数学
课堂教学研究
20 1 8年 1 1 月下旬 (高中 )
期 函数的定义 中规定周 期 的 必要性 (对应问题
4 ), 定义域必须要
一
端无界 (对应 问题 5 ) , 此外 , 通过
巩固练 习 ,知道 了 如何求三角 函数的 周期 (对应问题
6 ) , 至于周期性与其他性质 的关系 (对应问题 7 、 8 ), 同
学们可以课后进一
步探宄 .
在本节课的最后 , 教师呈现 了三角 函数周 期性的
思维导 图 (如 图 3所示 ), 此思维导 图将 2 00 年的周期
函数发展史浓缩于此 , 同时 与本节课所学的 内 容相呼
应 , 让学生精神一篾 , 我们的学 习其实在不断的经历
历史 、感悟历史 .
4 . 学生反馈
课后 , 我们收集了 班级 36 名学生对本节课的课后
反馈 , 以下为课后反馈的统计结果 .
问题 1 : 己知函 数 的定义域为 R , 下列 图像 (如 图
4 )是周期 函数 的是 ( ) .
( A )
( D )( E )( F )
图 4 课 后反馈 问题 ( 1 )
大部分学生 ( 8 3 . 3% )选择 了 正确 答案 A,但也有个
别学生选择 了 C 、 D 、 F等错误选项 . 说 明学生对一
般周
期 函数的概念有一
定的理解 .
问题 2 : 周 期 函数 的周期有 多少个 ? 周期函数一
定存在最小正 周期吗 ? 所有学生都回答有无数个周
期 , 同时 77 . 8%的学生回答不一
定有最小正周期 . 说明
学生基本理解了周 期 T 以及最小正周期 的含义 .
问题3 : 因为si n
(?+
0)
=si
na : ,所以 0是
y=
s in; !:
(:> :
e R)
的周期 . 所有学生都认为这一
说法是错误的 ,说 明 了
数学史融入周 期函数 的教学解决 了周期 T的非零性这
一
认知障碍.
问题 4 :
y=*>M(
* e [
-
3,3
])的 图像 C如 图 5 )如下 ,
请判别其是否为周期 函数 , 并说 明理由 .
图 5 课后反馈问 题 ( 2 )
72 . 2%的 学 生回答这不是周期 函数 , 说 明对周期
第 4 9 页
201 8年 1 1 月 下旬 (高中 )
函数的定义域是至少单边无界的这一
性质掌握得还
是不错的, 大部分学生指 出 了 该函数定义域是有界的
问题 .
问题 5 : 你认为这节课中 , 数学史给了你什么帮助
与启示 ? 对课上所呈现的历史上不同的定义 、思维导
图 中周 期函数的历史 , 你有何看法?
学生给出 的部分回答如下 :
? 感觉三角函数中 的周期性很奇妙 , 发现 了生活
中原来存在这么多关于周期性的现象 , 增加 了我对数
学的好奇心 .
? 数学上一
开始出现的周期函数概念 , 帮助我清
晰地看 出 周 期 中 的一 些知识 性错误 , 比 如浚 有写
7V O, 没有写 Z ) SR ,
让我以后不会犯这些错误 了 .
? 本节课印象最深的地方是数学老师让我们“
与
数学家们”
对话 . 从 1 8世纪开始 ,数学家始终在探索周
期 函数 , 从许多不足到逐步完善 , 包括定义域的有无
界性 , 它使得我们有 了验证一
个函数是否为周期函数
的可能 . 数学史上 , 周 期函数概念开创至 比较完善 , 用
了2 00年时间 , 经历几代数学家的斗争 . 而我们在课上
不仅会用几堂课时 间来完成学习 ..
? 在学 习数学的过程中 , 我们总不能一
步成功 ,
数学史让我们 明 白数学应当坚持不懈 . 数学史的定义
让我们从各个角度分析了 数学学 习 . 思维导图更直观
准确地展现 了 本节课知识点 ,很喜欢老师.
5. 结语
本节课从学生对周期 函数的困惑出发 , 利用学生
对周期函数概念认识的历史相似性 , 以周期函数的历
史发展为脉络 , 利用 重构的方式将相关的历史素材融
入到教学之 中 . 在 问题探宄 , 概念初探环节让学生经
历三角 函数周期性的萌芽阶段 , 在深入探索 , 概念生
成环节中让学生从描述性定义时期过渡到形式化定
义时期 , 最后在古今对话 , 难点突破环节中采用历史
上数学家给 出的定义 , 利用概念辨析的形式加深学生
对形式化定义的理解 .
从生活中 的周期现象 出 发 , 经历对周期 函数图像
的观察 , 让学生 自 然归纳 出周期 函数的形式化定义 ,
然后通过历史上三个数学家不完善的定义的呈现 ,让
学生主动发现周 期函数概念中应注意到 的关键点 , 让
周期函数的概念在学生心 中顺其 自然的发生与深化 ,
中小学数学
揭示了“
知识之谐 学生经历 了周期 函数定义的探宄
过程 , 同 时通过历史上错误定义的呈现 , 让学生对定
义中的不完善之处自 主探宄 , 发现数学家们的千虑一
失 , 让他们成为课堂的主人和小小数学家 , 从而营造
了“
探宄之乐 让学生体会生活中 的周期现象 , 从而
了解到周期 函数与现实生活 以及其他知识领域之间
的联系 , 感悟数学文化的多元性 , 用演进的思想看待
数学 , 展示 了“
文化之魅 通过思雄导图呈现整个周
期 函数概念的历史发展脉络 , 让他们认识数学概念的
演进历程 ,树立学生动态的数学观 ;让学生穿越时空
与历史上数学家对话 ,探宄数学家给出 的定义中 的不
严谨之处 , 培养他们的质疑精神 ;同时 , 让举生感悟数
学背后的理性精神 , 培养学生勇于战胜困难的积极态
度 , 从而实现“
德育之效
参考文献 :
[ 1 ] 中 华人民共和国 教育部 . 普通 高 中数学课程
标准 [S ] . 北京 :人 民教育出版社 ,20 17
[2 ] 欧拉 .无 穷分析 引 论 [M]
. 太原 :山 西教育 出
版社 1 9 97 .
[3 ]Ke i th,T.AnIntroduc t i on
'
totheTheo?
ry&Pract i c eofP l ane&Spher i ca lTr igonome-
try [M] .London :T .Dav i son, 18 1 0 .
244
[4 ] Bonnyc as tl e,J .ATreati s eonPl ane&
Sphe r i calTr i gonometr y [ M] .London : Cade l 1&Da
?
v i e s,etal .
,18 1 8.205
.
[5 ]Lardner, D .AnAnal yt i cTre at i s eon
Plane&Spher icalTri gonomet ry [M ] . London :
JohnTay lor,18 28
,292 .
[ 6]Brenke,ff.C.E l eme nt so fTri go nome
?
try [
M] v
NewYork : TheCent uryCompany ,1 9 1 7
.
1 3-
14 .
[ 7]Murray ,D .A.P l aneTr igonomet ryfor
Co l le ge sandSec ondarySc hoo l s[M] .NewYork :
Longman s , Gre en&Company,18 99.1 3 4
-
1 35 .
[ 8]Bohannan,R .D.PlaneTr i gonome try
[M] .Bo st on :A l lyn&Baco n,1 904 .1 1 4
-
1 1 5 .
[9]Dr esden,A
.In troduc ti ont oth eCa l
?
culus [M] .NewYor k :H .Ho l t&Company ,1940 .
44 .
课堂教学研究
第 50 页