גנירויט תנוכמ - blog.csit.org.ilblog.csit.org.il/upload/filesupload/modelim_fda.pdf ·...

1 כל הזכויות שמורות©

אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי

שפות חופשיות הקשר

(שפת ראי לא מסומנת)

אוטומט מחסנית דטרמיניסטי

רשפות חופשיות הקש

(שפת ראי מסומנת)

סגירות:איחוד,שרשור,היפוך,

חיתוך עם שפה רגולרית

אוטומט סופי דטרמיניסטי

שפות רגולריות

סגירות:חיתוך,איחוד,שרשור,משלים,היפוך

מכונת טיורינג

Hila

עט סימון

Hila

עט סימון

Hila

עט סימון


זכויות יוצרים ©

חל משנתעלות השימוש בספר זה ה

שקלים. 10ינה ה 2012-2013

את עלות השימוש יש להעביר ל:

רמת השרון 11אברבוך חיים מרדכי

47441מיקוד

ל מנת לעשותו קריא בספר הושקעו זמן ומחשבה מרובים ע

ומובן לכל . אשמח לקבל תגובות הערות תוספות ותיקונים.

[email protected] או[email protected]

תודה מראש לכל מי שהכללתי שאלות ופתרונות שלו.

כל מי שרואה עצמו נפגע מכך נא לשלוח לי מייל.

כל הזכויות שמורות.©

כל הזכויות שמורות.©

בהצלחה

http://www.articles.co.il/article/110861/%D7%A9%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%A9%20%D7%94%D7%95%D7%92%D7%9F%20%D7%91%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%20%D7%9C%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%93

mailto:[email protected]




8 ...................................................... .קטנות הן עצמו בספר כאשר גדולות יצאו האנגליות האותיות הענינים בתוכן לעיתים: הערה

8 ............................................................................................................................................................................. הקדמה

8 ...................................................................................................................................................................... ללמוד כיצד

.... 9

9 ................................................................................................................................... ד"אס-דטרמיניסטי סופי אוטומט מהו

13 ...................................................................................................................................................................... שפה/מילה

16 ...................................................................................................................... מעברים פונקצית השלם-1 מספר תרגילים דף

17 ............................................................................................................................. החיצים את השלם-2 מספר תרגילים דף

19 .......................................................................... הבאים מהאוטומטים אחד לכל המתקבלת השפה את וםרש -3 מספר תרגילים דף

22 ............................................................................................................................................................... המצבים תפקיד

23 ............................................................................................................................................................ שפה תנאי צמצום

24 .............................................................................................................................................. סופי אוטומט תלבניי דגשים

25 ............................................................................................................................................................ ד"אס על תנאים

25 ......................................................................................................................................... ד"באס פתורים תרגילים אוסף

30 ..............................................................................................................נתונה לשפה מתאים ד"אס בנה-4 מספר תרגילים דף

30 ..............................................................................................................נתונה לשפה מתאים ד"אס בנה-5 מספר תרגילים דף

30 ................................................................................................................... שפה והגדרת מעקב ביצוע-6 מספר םתרגילי דף

33 ..............................................................................................................................מצב כל מייצג מה -7 מספר תרגילים דף

35 ........................................................................................................................................... טבלה באמצעות אוטומט תאור

37 ............................................................................................................................................................ "מיוחדות" שפות

37 ............................................................................................................................................................... הריקה השפה

37 .............................................................................................................................. בלבד הריקה המילה את המכילה השפה

37 .......................................................................................................................................... סופי בה המילים שמספר שפה

38 ...................................................................................................................................... ד"אס בנית -8 מספר תרגילים דף

39 .......................................................................................................................................... חזקה ידי על שמתוארות שפות

40 .................................................................................................................................. ד"אס בנית -'א 8 מספר תרגילים דף

40 ........................................................................................................................... שלם לא אוטומט/דטרמיניסטי לא אוטומט

42 ................................................................................................................................. שונים תרגילים-9 מספר תרגילים דף

47 .............................................................................................................. דטרמיניסטי לא סופי טומטאו-10 מספר תרגילים דף

48 ............................................................................................................................................................... מכפלה אוטומט

55 ............................................................................................................................... מכפלה אוטומט-11 מספר תרגילים דף

56 ................................................................................................................................................. (אלה דפים הדפס) מונחים

58 ................................................................................................................................... פעולות תחת רגולריות שפות סגירות


58 ................................................................................. (.L2 ב והן L1 ב הן המתקבלות המילים כל פירושו L1∩L2)גם - חיתוך

58 .................................................................................... (. L2 ב או L1 ב המתקבלות המילים כל פירושו L1 L2) או - איחוד

58 ......................... ( L2ל והימני L1ל שייך השמאלי שהחלק כך חלקים לשני אותן לחלק ניתן אשר המילים כל פירושו L1· L2)שרשור

R(L) היפוך פירושו L כ גם מסומן LR

. ............................................................................................................................. 58

L . ........................................................................................... 59 ב מתקבלות שאינן המילים כל פירושו L מסומן (L)משלים

59 .......................................................................................................... ( זו פעולה תחת סגורות אינן הרגולריות השפות) הכלה

59 ................................................................................................. סגירות חוקי בעזרת רגולריות בהוכחת פתורים תרגילים אוסף

61 .....................................................................................................................................שפה של רגולריות להוכחת תבנית

65 ........................................................................................................................... שפות על בפעולות פתורים יםתרגיל אוסף

68 ........................................................................................... שפות בין ופעולות רגולריות שפות סגירות-12 מספר תרגילים דף

72 ................................................................................ ארמוני מיכל ר"ד בהנחיית מובילים מורים בקורס שניתנו ופתרונות שאלות

79 ................................................................................................................................................................. שפות הכלת

81 .......................................................................................................................................................... רגולריות אי הוכחת

83 ....................................................................................................................................... רגולרית אי לשפה הוכחה תבנית

89 ................................................................................................................................. רגולריות אי בהוכחת שכיחות טעויות

95 ..........................................................................................................................רגולריות אי כחתהו-13 מספר תרגילים דף

............. 97

98 ...................................................................................................................... תרגילים באמצעות מחסנית אוטומט על הסבר

L=ANB

N N≥0 ........................................................................................................................................................... 99

L=ANB

N N>0 ......................................................................................................................................................... 100

101 .................................................................................................. .בכפולה יםB ה ממספר קטן או גדול A ה מספר בהם מקרים

L=ANB

3N N0 ......................................................................................................................................................... 101

L=A3N

BN

N>0 ......................................................................................................................................................... 101

L=A2N

B3N

N>0 ........................................................................................................................................................ 102

L= A2N

B3N

N0 ...................................................................................................................................................... 103

103 .................................................................................................... .בקבוע יםB ה ממספר קטן או גדול A ה מספר בהם מקרים

L=ANB

N+1 N0 ........................................................................................................................................................ 104

L=AN+1

BN

N0 ........................................................................................................................................................ 104

L=AN-1

BN-2

N0 ...................................................................................................................................................... 105

106 ........................................................................................................................... וקבוע כפולה של שילוב יש בהם מקרים

L=AN+1

B3N

N0 ...................................................................................................................................................... 106

L=AN+1

B3N-2

N0 .................................................................................................................................................... 106

L=AN+1

B3N-1

N0 .................................................................................................................................................... 106

L=A2N+1

B3N-1

N0 ................................................................................................................................................... 107

108 ........................................................................................................... למחסנית אחת מאות יותר להכניס נדרש בהם מקרים

L= ANB

K C

KD

N K,N>0 ............................................................................................................................................. 108

L= ANB

K+1 C

KD

N K,N>0 ........................................................................................................................................... 108

110 ...................................................................................................................................ים B ה ספרלמ שווה ים A ה מספר


110 ............................................................................................................ בחזקה מינוס סימן עקב הצבה לבצע יש בהם מקרים

L= ANB

N-KC

K N≥K≥0 .............................................................................................................................................. 111

111 ..................................................................................................................... מחסנית אוטומט בנית-14 מספר תרגילים דף

L= ANB

K+1 C

KD

N ....................................................................................................................................................... 112

L= A2N-1

B3N

............................................................................................................................................................. 112

113 ......................................................................................................................... מחסנית ואוטומט רגיל אוטומט של שילוב

S..................................................................................................................................... 115 בהכנסת צורך אין בהם מקרים

L= A2N+1

BN+2

N0 ................................................................................................................................................. 117

118 ...................................................................................................................................... (פתורים רובם) שונים תרגילים

L={ANB

KN, K≥0, K=N/2} ...................................................................................................................................... 124

124 ........................................................................................................................................................... פנינים מחרוזת

L={ (YX) (זוהר דורון) תרגילNZ

K(XY)

JN,K≥0 N<J K EVEN } ...................................................................................... 125

126 ...................................................................................................................................... דטרמיניסטי לא מחסנית אוטומט

129 .............................................................................................................................. חזקות- מחסנית לאוטומט כללים מספר

130 ............................................................................................................................ מחסנית טומטאו-15 מספר תרגילים דף

131 ............................................................................................................................ מחסנית אוטומט-16 מספר תרגילים דף

131 ..................................................................................................................... מחסנית ואוטומט דאס-17 מספר תרגילים דף

139 .......................................................................................................................................... הקשר חופשיות שפות סגירות

140 ...................... ( L2ל והימני L1ל שייך השמאלי שהחלק כך חלקים לשני אותן לחלק ניתן אשר המילים כל פירושו L1· L2) שרשור

140 ......................................................................................... (. L2ב או L1 ב המתקבלות המילים כל פירושו L1L2) איחוד

L ................................................................................................................................................................... 140 היפוך

(L1∩L2 ב הן המתקבלות המילים כל פירושו L1 ב והןL2 .) ............................................................................................. 141

141 .................................................................................... הקשר חופשית שפה נותן רגולרית שפה עם הקשר חופשית שפה חיתוך

141 ............................................................................................... הקשר חופשי אינו שחיתוכן הקשר חופשיות שפות שתי חיתוך

.................................. 141

142 ......................................................................................................................................................... טיורינג מכונת מהי

143 ................................................................................................................................................................. מקבל מצב

144 ....................................................................................................................... תרגילים באמצעות טיורינג מכונת על הסבר

144 .................................................................................... ({A,B} מעל בשפה)A ל B ו B ל A המחליפה טיורינג מכונת :א דוגמה

144 .................................................................................... ({A,B} מעל בשפה)המילה בסוף A המוסיפה טיורינג מכונת :ב דוגמה

144 .............................................................................. ( {1{ מעל בשפה)איזוגי באורך למילה 1 המוסיפה טיורינג מכונת :ג דוגמה

145 ...................................................................................... ( { A,B { מעל) A האחרונה שהאות הבודקת טיורינג מכונת :ד דוגמה

145 ..................................................................... ( { A,B { מעל) לאחרונה זהה הראשונה שהאות הבודקת טיורינג מכונת :ה דוגמה

146 .......................................................................................................................................טיורינג במכונת 1 תרגילים דף

147 ................................................................ (דטרמיניסטי סופי אוטומט להן לבנות ניתן) רגולריות שפות לבדיקת טיורינג מכונת

148 .......................................................................................................... רגולריות ולא הקשר חופשיות לשפות טיורינג מכונת


150 ................................................... שווה ובסוף בהתחלה Aה רצף ואורך Aב ומסתיימות A ב שמתחילות {A,B} מעל מילים מקבלת

151 ......................................................................................................................... הקשר חופשיות לא לשפות טיורינג מכונת

N≥0 A מהצורה {A,B,C} מעל המילים את מקבלתNB

NC

N.................................................................................................... 151

151 ...................................................................................................................................... שונים תרגילים – יורינגט מכונת

152 ............................................................................... .דולר בסימני ים A ה רצף את ותוחמת בסופו A מוסיפה A של רצף מקבלת

F(X,Y)=X+Y ................................................................................................................................................... 152 חיבור

F(X)=2X ................................................................................................................................................................. 153

F(X,Y)=X-Y X>Y X>0 ................................................................................................................................... 153 חיסור

154 .................................................. .שונות גדולות אותיות בשתי בשימוש צורך ואין בלבד X ב להשתמש בפיתרון ניתן למעשה

F(X,Y)=X+Y-Z X+Y>Z Y≥0 X >0 .................................................................................................................. 154 חיסור

159 ............................................................................................... אונרי מספר עבור בשלוש חלוקה המבצעת טיורינג מכונת הבנ

L= ANB

NC

2N N>=0 ................................................................................................................................................. 162

L= ANB

NC

M M>=N ................................................................................................................................................. 162

L= ANB

NC

M N>=M ................................................................................................................................................. 163

164 ....................................................................................................................... טיורינג מכונת ידי על המתקבלת השפה מהי

F(X,Y)=X*Y Y>0 X>0 ..................................................................................................................................... 166 כפל

170 ...................................................................................................................................................טיורינג במכונת תבניות

171 ...................................................................................................................................... סיכום דפי-ולבגרות למגן הערות

181 .................................................................................................................................................... (מלא לא) שאלות סוגי

181 ........................................................................................................................................................................ בגרויות

182 ..................................................................................................................................................................... ז"תשמ

182 .................................................................................................................................................................... ח"תשמ

183 .................................................................................................................................................................... ח"תשמ

184 .................................................................................................................................................................... ט"תשמ

184 ......................................................................................................................................................................... תשן

185 ....................................................................................................................................................................... תשנב

185 ...................................................................................................................................................................... תשנג

187 ...................................................................................................................................................................... ס"תש

188 .................................................................................................................................................................... א"תשס

191 ................................................................................................................................................................ 13 ב"תשס

192 ................................................................................................................................................................ 14 ב"תשס

192 ................................................................................................................................................................ 15 ב"תשס

193 ................................................................................................................................................................ 16 ב"תשס

193 ...................................................................................................................................................................... פתרון

193 ................................................................................................................................................................ 11 ג"תשס

194 ................................................................................................................................................................ 12 ג"תשס

195 ................................................................................................................................................................ 13 ג"תשס

196 ................................................................................................................................................................ 14 ג"תשס

196 ................................................................................................................................................................ 15 ג"תשס

196 ................................................................................................................................................................ 16 ג"תשס


197 ................................................................................................................................................................ 13 ד"תשס

198 ................................................................................................................................................................ 14 ד"תשס

198 ................................................................................................................................................................ 15 ד"תשס

198 ................................................................................................................................................................ 16 ד"תשס

200 ................................................................................................................................................................ 13 ה"תשס

201 ................................................................................................................................................................ 14 ה"תשס

201 ................................................................................................................................................................ 15 ה"תשס

201 ................................................................................................................................................................ 16 ה"תשס

203 ................................................................................................................................................................ 13 ו"תשס

204 ................................................................................................................................................................ 14 ו"תשס

204 ................................................................................................................................................................ 15 ו"תשס

205 ................................................................................................................................................................ 16 ו"תשס

206 ................................................................................................................................................................ 13 ז"תשס

206 ................................................................................................................................................................ 14 ז"תשס

207 ................................................................................................................................................................ 15 ז"תשס

207 ................................................................................................................................................................ 16 ז"תשס

208 ...................................................................................................................................................................... פתרון

209 ................................................................................................................................................................ 13 ח"תשס

210 ................................................................................................................................................................ 14 ח"תשס

211 ................................................................................................................................................................ 15 ח"תשס

212 ................................................................................................................................................................ 16 ח"תשס

212 ................................................................................................................................................................ 13 ט"תשס

213 ................................................................................................................................................................ 14 ט"תשס

214 ................................................................................................................................................................ 15 ט"תשס

214 ................................................................................................................................................................ 16 ט"תשס

216 .................................................................................................................................................................. 13 ע"תש

216 .................................................................................................................................................................. 14 ע"תש

217 .................................................................................................................................................................. 15 ע"תש

219 .................................................................................................................................................................. 16 ע"תש

231 ......................................................................................................................................................... 2011 בגרות מבחן

233 ......................................................................................................................................................... 2012 בגרות מבחן

236 ................................................................................................................................................ 2012 בגרות מבחן פתרון

............................................ 246


הערה: לעיתים בתוכן הענינים האותיות האנגליות יצאו גדולות

.אשר בספר עצמו הן קטנותכ

הקדמה

הנושא מודלים חישוביים הינו נושא הנלמד גם במסגרת לימודים על תיכוני. לימוד הנושא במוסד אקדמי

תוכנית הלימודים רוב את קיף כולל הרחבה של הנושא מעבר לתוכנית הלימודים בתיכון. הספר שלהלן מ

לפי הנחיות משרד החינוך.

מכיל הרחבה של תוכנית הלימודים למרות הסבר המושגים בויקיפדיה נעשה באופן מדעי/אקדמי וכאמור

זאת מומלץ לעיין בו.

כיצד ללמוד

עליכם לקרוא את הספר .

.כמו כן לעיין היטב בתרגילים הפתורים ובכל מה שמסומן בירוק עם רקע צהוב דוגמאחובה לעין בכל

אין לעבור לפרק הבא לפני שפתרתם מספר תרגילים מכל פרק.

ום.לקרוא היטב את עמודי הסיכ

kadman.netלגבי מבחני בגרות ןפתרונותיהם מומלץ לעיין באתר של הילה קדמן


http://he.wikipedia.org/wiki/אוטומט_סופי

"דאס-מהו אוטומט סופי דטרמיניסטי

אוטומט הינו כלי/מכונה/ציור שמטרתו לתאר שינוי מצב כתוצאה מפעולה/קלט/אירוע כלשהו.

)בהמשך נרחיב את הגדרת האוטומט(

אם אנו במצב "רעב" אזי לאחר שנאכל נעבור למצב "שבע". :1דוגמא

החץ מסמן את המצב שהינו נקודת ההתחלה/מוצא שלנו.

יצים נרשמים האירועים.וי וליד החובעיגולים נרשם מצב עכש

את המתג ותכבה כאשר נוריד. מנורה כבויה תדלק באם נרים :2דוגמא

המנורה כבויה.-מצב התחלתי

תשובה : המנורה תישאר דלוקה. מה קורה כאשר המתג מורם ואנו מנסים להרים אותו

המנורה תישאר כבויה.? תשובה: או כשהוא מורד ואנו מנסים להוריד אותו

רעב אכלנו

שבע

דלוק כבוי

הורדת מתג

הרמת מתג

הורדת מתג הרמת מתג

אוטומט סופי

דלוק כבוי

הורדת מתג

הרמת מתג

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9E%D7%98_%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99


נתונה דלת שבה שני מנעולים. מספיק שאחד המנעולים יהיה במצב סגור על מנת שלא :3דוגמא

במצב התחלתי הדלת פתוחה כלומר שני המנעולים פתוחים. תפתח.

נוספים הדלת סגורה. שימו לב שרק עבור מצב אחד הדלת פתוחה ועבור שלושה מצבים

.ישאיר אותנו באותו מצבשהינו כבר פתוח או לסגור מנעול שהינו כבר סגור כמובן שניסיון לפתוח מנעול

נשלים את האוטומט ונקבל


הדלת

סגורה

הדלת

סגורה

הדלת

סגורה

הדלת

פתוחה

רה

א פתוח

ב פתוח

א סגור ב פתוח

ב סגור א פתוח

א+ב סגורים

סגור א

פתח א

סגור ב פתח א

פתח ב

פתח א סגור ב סגור א

פתח ב

פתח ב סגור א

סגור א סגור ב

פתח א סגור ב

פתח א פתח ב

סגור א

פתח א

סגור א פתח א

סגור ב

פתח ב

סגור ב

פתח ב

א סגור

ב פתוח

א פתוח

ב פתוח א סגור

ב סגור

א פתוח

ב סגור


:4דוגמא

לעיתים אנו רוצים להבדיל בין המצבים.

ונסמנם בעיגול כפול ("מצב טוב") ם מקבליםחלקם יהיו מצבי

.ונסמנם בעיגול רגיל וחלקם לא

. מחרוזת נחשבת )רוק(י יו )כחול( כ )אדום( א מורכבת מחרוזים בצבעים (שרשרת) מחרוזת : דוגמאה

אחד (מכילה לפחות חרוז אחד).לתקינה אך ורק אם אין שני חרוזים צמודים מאותו צבע ואורכה לפחות

נבנה את האוטומט המתאים:בואו ו

מילה . האוטומט שנבנה סורק את ה q0מסמן את נקודת ההתחלה שמקובל לסמנה כ שימו לב: החץ

מתחילתה(משמאל לימין). עיגול כפול פירושו מצב מקבל ובמקרה שלנו מחרוזת המייצגת את צבעי החרוזים

מקבלים.מט שלעיל שלושה מצבים ותקינה. באוטחרוזים

יאיכאיכהבאה משמאל לימין : )מחרוזת( מילהמעקב על הבואו נבצע

שהינו מצב מקבל. כלומר המחרוזת תקינה. q1הגענו למצב

ואיננו יכולים לצאת ממצב זה. q4מגיעים למצב אנו יישימו לב שאם נתונה מחרוזת לא תקינה כגון :

ב לא מקבלשל מצ מלכודתמצב זה נקרא

.

עובר

למצב

נמצא במצב צבע חרוז נבדק

q3 כיאיכאי q0

q1 כייאיכא q3

q2 יכאיאיכ q1

q3 איככיאי q2

q1 כאיכייא q3

q2 יכאיכאי q1

q1 איכאיכי q2


q0 א

י

כ

א י

q1

q2

q3

א כ

q4 כ י

י

א

כ

י כ

א


יאייכאיכמשמאל לימין : - המייצגת את צבעי המחרוזת בואו נבצע מעקב על המילה הבאה

(יי). הגענו למצב לא מקבל כיוון שהופיע י פעמיים ברצף.

כיוון שהופעת יי פוסלת את המחרוזת q4אנו נישאר במצב יישלא משנה מה מופיע אחרי ה שימו לב

.ן למעשה אין טעם לבדוק אחרי הופעת ה ייולכ

עובר

למצב

נמצא במצב צבע חרוז נבדק

q3 כאייכאי q0

q1 כיאייכא q3

q2 יכאאייכ q1

q3 איככאיי q2

q1 כאיכיאי q3

q4 יכאיכיא q1

q4 ייכאיכא q2



מילה/שפה

סדרת סימנים השייכת לשפה . מילה הינה . מילהשימו לב !! נפגשנו פה בפעם הראשונה עם המושג

(כמובן שיתכן שנישאר באותו המצב או נעבור למצב חדש).. מעביר אותנו מצב כל סימן

ילים מתקבלות ואילו אינן מתקבלות. למשל לגבי המחרוזת עם הצבעים הגדרת שפה הינה הגדרה של אילו מ

זהים ברצף. /סימניםתוויםאותיות/ 2תהיה : שפת כל המילים מעל }י,א,כ{ שאסור שיופיעו Lהשפה

(נובע כמובן שגם שלושה או ארבעה ברצף אסור שיופיעו).

&בשפה מתחילות ב המתקבלות בלבד. כל המילים $,@ ,&נתונה שפה המורכבת מהאותיות : 5דוגמא

ו"דוחה" את המילים שלא ואורך המילה לא מוגבל. צייר אוטומט שמקבל את המילים החוקיות בשפה

. מתקבלות

שאחרי ההגעה אלי אסור "אומר" q1 4שבדוגמא למשל באוטומט .!!!! כל מצב )עיגול( הינו בעל משמעות

וצבע כחול. q3ו וצבע אדום q2פני היה ירוק. באופן דומה יהיה הצבע ירוק כי ל

פירושו שהמילה q1ולכן כל המשך תקני ואילו &פירושו שהמילה התחילה ב q2 ) 5(דוגמא באוטומט הנוכחי

ולכן כל המשך אינו תקני. $או @התחילה ב

באוטומט הקודם }י,כ,א{ בכל אוטומט עלינו לציין מהן אותיות השפה. כלומר מהו ה א"ב של השפה.

{.$,@,&הנוכחי האותיות } טמוהמייצגים את הצבעים ירוק כחול אדום בהתאמה. באוט

q1

$,@,&

$,@

q2

&

$,@,& q0



ליעל תא בבית הספר בו היא מחזיקה את ספרי הלימוד ודברים נוספים. הקוד למנעול הינו באורך : 6דוגמא

צייר צף באורך שלוש של אותו המספר. בלבד. כמו כן אסור שהקוד יכיל ר 1,2ומורכב מהספרות 4או 3

קודים החוקיים.אוטומט שמקבל את ה

להגיע למצב מקבל הושמטו. האוטומט אינו שלם. כלומר כל המעברים שאינם יכולים

1 2

`

`

`

`

1

2 1

2

1 2

1

2 1

`

`

`

`

2

1,2

`

1

1,2

2



האוטומט השלם

1 2

`

`

`

`

1

2 1

2

1 2

1

2 1

`

`

`

`

2

1,2

`

1

1,2

2

מלכודת

למצב לא

מקבל

`

2 1

1,2

1,2

1,2

2 1

מלכודת

למצב לא

מקבל

`



פונקצית מעבריםם השל-1דף תרגילים מספר

(תרגיל ראשון פתור-לאור הגדרות השפה יות השפה המתאימות)כתוב בריבועים את אות

המקבלת {a,b}בנה שפה מעל

aאת כל המילים המתחילות ב

המקבלת {a,b,c}בנה שפה מעל

aאת כל המילים שמספר ה

זוגי-ים אי bה מספר +ים


aאת כל המילים המתחילות ב

bומסתיימות ב



-את כל המילים בעלות אורך אי

זוגי

אורך

אי זוגי

אורך זוגי

a,b

a,b


חיציםאת ההשלם -2דף תרגילים מספר

)תרגיל ראשון פתור-(פונקצית מעברים

c c

המקבלת {a,b,c}בנה שפה מעל

aמספר ה את כל המילים ש

זוגי-ים אי bמספר ה +ים

a,b

a,b

{0,1}בנה שפה מעל

11או 00המכילה 1

0

0

1 0,1

0

1


כל המילים - {a,b}בנה שפה מעל

בעלות אורך זוגי שאורכן

1גדול מ

a,b a,b


. 1בהם הינו לכל היותר aהמקבל מילים שמספר ה {a,b}מעל בנה אוטומט : 7דוגמא

מתקבלת. או εהריקה שנסמנה ! שימו לב שהמצב ההתחלתי הינו מצב מקבל. כלומר המילה!!!

ניתן לומר שאוטומט הינו מעין משחק שבו אנו מקבלים מילה סורקים אותה משמאל לימין ומטיילים על פני

אינה הגענו למצב מקבל המילה מתקבלת אחרת סריקת המילה בסוףאם האוטומט לפי כל אות שנסרקת.

מתקבלת.

מהצורה המקבל מילים {a,b}מעל בנה אוטומט : 8דוגמא m

bn

a n,m > 0 .

)aאחד או יותר. (אסור שתסתיים ב bאחד או יותר להמשיך ב aכלומר המילה צריכה להתחיל בלפחות

an

a .aפעמים nפירושו 3

aaa aשקול ל 0

. )מילה הריקהכלום (לשקול ל

שך נחזור לתרגילים מסוג זהבמה

q2

b

q1 q0 a a

b a,b

q3 q2 a b

a b

q0 q1 a

a,b

b



-3דף תרגילים מספר

הבאים רשום את השפה המתקבלת לכל אחד מהאוטומטים

(הנח שכל סימני השפה מופיעים-)תרגיל ראשון פתור

ומקבלת כל {a,b}השפה הינה מעל

אורך זוגי (כולל מילה בעלת

המילה הריקה)q0 q1

a,b

a,b

1

0

0,1

0,1

1

1

0

0

a,b

a,b



0

1

0

1


0,1

0

1

0,1

0

1

0

1

0,1.

0

1

0

1

0,1.


0 0

0


בנית אוטומט

. נראה כעת איך בונים אוטומטעד כעת עסקנו באוטומטים נתונים.

.aaשל כל המילים המכילות {a,b}בנה אוטומט מעל .1

לה את המילה הקצרה ביותר המובילה למצב מקבל.נבנה תחי

.bועבור aעבור עבור ננוודא שמכל עיגול אנו יודעים להיכן וכעת נתחיל להשלים

bכיוון ש bשל האות q0חוג עצמי ל נוסיף

.aaלא מקדם אותנו מבחינת הופעת

bכיוון שהופעת q0ל q1נוסיף קשת מ

ים. a קוטעת את ספירת ה

כל aaכיוון שלאחר q2ו חוג עצמי ל נלבסוף הוספ

aabהמשך מתקבל דוגמאות:

aa , aabbמילים מתקבלות :

abab , bbb , babaמילים שלא מתקבלות:

q2 q1 q0 a

a

q2 q1 q0

b

a

a

a,b

q2 q1 q0

b

a

a

b

b

q2 q1 q0

b

a

a



. 1101 של כל המילים המסתיימות ב {0,1}בנה אוטומט מעל .2

ומט יש משמעות. כל מצב מיצג משהו.לכל מצב (עיגול) באוט

תפקיד המצבים

q1 1011של התו הראשון 1 נויש

q2 1101שני התווים הראשונים של 11 נויש

q3 1101שלושת התווים הראשונים של 110נו יש

q4 כל התווים הנדרשים להגעה למצב מקבל. 1101 נויש

1111? למשל q2אנו נשארים ב 1מופיע באם q2מדוע מ

1111 .11 הינו עד עתה ) כיוון שסיפא (החלק הסופי של המילהתשובה :

?11011? למשל q2אנו חוזרים ל 1באם מופיע q4מדוע מ

11110 11הינו וכיון שסיפא המילה 1101תשובה: כיוון שהמילה צריכה להסתיים ב

בנית השרשרת הקצרה ביותר למצב מקבל

q3

q4

q2 q1 q0 1 0 1 1

q3

q4

q2 q1 q0 1 0 1 1

השלמת השאר1

0

1

0

0

0



צמצום תנאי שפה

או bומסתיימות ב aaaאו aaמכילות bbאו abמתחילות ב של כל המילים ה {a,b} אוטומט מעל בנה .א

bab .

המקרה ניתוח

.bפירושו שהאות השניה צריכה להיות bbאו abכל המילים המתחילות ב

אוהינה ) ומילת התנאיaaaמופיע מוכל בתנאי aaמופיע (כיוון שהתנאי aaaאו aaמכילות כל המילים ה

. aaניתן לצמצם ולומר שחייב להופיע

.)bב (באופן דומה ניתן לצמצם ולומר שחייב שיסתיימו babאו bכל המילים המסתיימות ב

. bומסתיימות ב aa מכילות bשהאות השניה של כל המילים {a,b} כלומר עלינו לבנות אוטומט מעל

.

. aaa וגם aaמכילות ו abוגם ב aמתחילות ב ל המילים השל כ {a,b} בנה אוטומט מעל .ב

המקרה ניתוח

.abפירושו שחיבות להתחיל ב abמתחילות ב וגם aכל המילים המתחילות ב

. aaaפירושו למעשה שמכילות aaa וגם aaמכילות כל המילים ה

. aaa ומכילות abהמתחילות ב של כל המילים {a,b} כלומר עלינו לבנות אוטומט מעל

.

q5 q1 q0 b

a,b q2 a

q3 a

q4 b

b

b

a

b

a

q4

2

q1 q0 b

a q2 a

q3 a

b

b

a,b

q3 a

b



אוטומט סופי תלבניי דגשים

עיין תחילה בדוגמאות הפתורות . .1

בנה תחילה את המסלול למילה הקצרה ביותר המתקבלת בשפה. .2

בדוק האם המילה הריקה מתקבלת בשפה. .3

הבדל בין המקרים של מתחיל מכיל או מסתיים. .4

ראה האם ניתן לצמצם תנאים. .5

ראשי התיבות של אוטומט סופי דטרמיניסטי.אס"ד הינם .6

פעם אחתראה שכל מצב מטפל בכל קלט אפשרי שלםבאם הפתרון הינו אוטומט סופי דטרמיניסטי .7

בלבד.

ים במילה שארית חלוקה בשלוש תהיה ... אזי שים לב שאין aכאשר יש דרישה למשל שמספר ה .8

ים שאינו כפולה של שלוש בפתרון.-aמעגל של

" ' או תנאי ב '"מקיים תנאי א או" 'וגם תנאי ב 'הפתרון מורכב מתנאים של "מקיים תנאי אאם .9

נלמד בהמשך איך ניתן לפרק את הבעיה ולבנות את הפתרון באמצעות אוטומט מכפלה.

ם מסוגים שונים דרכך יבתחילה, פתרון תרגיל דורש זמן ומחשבה אך בהמשך לאחר פתרון תרגיל .10

תהיה קלה יותר.

שימו לב שיכול להיות יותר ממצב מקבל אחד. .11

ינתן בהמשך 14 13הסבר לגבי

אם אין דרישה לאוטומט דטרמיניסטי אזי לעיתים פתרון לא דטרמיניסטי הינו פשוט יותר. .12

(אוטומט לא דטרמיניסטי יוסבר בהמשך).

.לכל אוטומט לא דטרמיניסטי ניתן לבנות אוטומט דטרמיניסטי .13



אס"דעל תנאים

כפי שניתן להבחין התנאי על האוטומט מגוון.

.aa, מסתיים ב aa, מכיל aaמתחיל ב להלן דוגמאות מייצגות:

,aa, אינו מסתיים ב aa, אינו מכיל aaאינו מתחיל ב

ורך מילה אי זוגי, אורך מילה זוגי, א

.a, אות לפני אחרונה 1שווה 3שארית חלוקה ב

.aאורך זוגי ותו לפני אחרון , לדוגמא: כמובן שניתן גם לשלב תנאים

באס"ד אוסף תרגילים פתורים

1 תרגיל

{ המקיימת את שני 0,1רוזות מעל לא"ב }המח תאר באמצעות גרף אוטומט סופי דטרמיניסטי שיקבל את כל

:התנאים

כתת מחרוזת בדיוק פעם אחת. 000מופיעה בהן

000פרט לאלה שבמופע של 00אין בהן כלל מופעים של.

תתקבלנה 000111101ו 0110100011101המחרוזות דגמה:

לא תתקבלנה 100011001ו 0101011 המחרוזות

פתרון

קשה() 2 תרגיל

{ : 0,1מט הבא מעל הא"ב }ונתון האוט

הגדר אילו מילים מתקבלות) .א

הגדר תפקיד כל מצב. .ב

0 0 0 1 0

1

1

1

0

0,1

0

1 1

1

q1

0,1

1

q3

0 q2

0

q0 0

1 1



פתרון

#0)(#)(2 א. חייב להתקיים שעבור כל נקודה בקלט(רישא של המילה) 10 ww

(כולל) לכל רישא של 2ל 0בין במילה צריך להיות 1ובמילים פשוטות מספר האפסים במילה פחות מספר ה

המילה.

ב.

q0 0)(#)(#0 10 ww

q1 1)(#)(#0 10 ww

q2 2)(#)(#0 10 ww

3 תרגיל

L= an נתונה השפה הבאהWbm

n=m % 2

W { היא מילה מעלa,c המתחילה }ב-cמסתיימת ב ,-a ולא מכילה את הרצףaac .

דוגמאות שונות למילים בשפה. 2א. תן

ב. בנה אוטומט סופי לשפה.

פתרון

.aacולא מכילה את הרצף a-, מסתיימת בc-{ המתחילה בa,cמילה מעל }כלומר Wנבנה תחילה את

דטרמיניסטי אך לא מלא Wפתרון ל

אדטרמיניסטי ומל Wפתרון ל

c a

c

a

c a

c a

c

a

c a

a

c a

c



עתה ניגש לפתרון הכולל.

בלבד. ולכן פשוט נחלק לשני מקרים. 1או 0ים בהתחלה יכול להיות aמספר ה

ים תוך שמירה על הזוגיות. bבודד. ובשניהם נוסיף aבה יש המיד והשניי Wהאחד בו מתחילה

4 תרגיל

מצב מקבל מהי השפה המתקבלת. עבור כל מצב שבאוטומט לו היה

c

a

c

a

c a

a

c a

c

c a

c

a

c a

a

c a

c

a

b

b

b

פתרון

q0 מספר אחדים זוגי. מספר אפסים זוגי

q2 מספר אחדים אי זוגי. מספר אפסים זוגי

q3 מספר אחדים אי זוגי. מספר אפסים אי זוגי

q1 מספר אחדים זוגי. מספר אפסים אי זוגי

q1 0 q0

1

q2

0

q3 0 0

1 1 1



* 5 תרגיל

מה השפה המתקבלת על ידי האוטומט (הלא מלא) הבא?

פיתרון

( aWc)nובכל רגע נתון 2ים שווה bים פחות מספר ה aשמספר ה {a,b}הינה מילה מעל Wכאשר

.2וקטן שווה ל 0גדול שווה ים bים פחות מספר ה aבסריקתו מימין לשמאל מתקיים שמספר ה

6 תרגיל

{a,b}מעל הא"ב Lלפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את השפה

. כתוב מילה באורך מינימלי המתקבלת על ידי האוטומט.1

ומתקבלת על ידי האוטומט. 3שאורכה גדול מ a. כתוב מילה המתחילה ב 2

ומתקבלת על ידי האוטומט. 3רכה גדול מ שאו b. כתוב מילה המתחילה ב 3

.bומילים המתחילות ב aהמתקבלת על ידי האוטומט? התייחס למילים המתחילות ב L. מהי השפה 4

a a

b

a

b

c

a

a

b

b

q0 q1

b

b

b

b

b

a

a a

b

a

q2

q3

a

a

a,b



פיתרון

1. ab אוbb

2. abbb

3. bbbb

).aאזי אורך מילה זוגי(גדול מאפס כמובן כי מתחיל ב aאם מתחיל ב .4

).bמובן כי מתחיל ב זוגי (גדול מאפס כ bn nאזי bאם מתחיל ב

7 תרגיל

{a,b,c}מעל הא"ב Lלפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי לא שלם ההמקבל את השפה

. כתוב מילה באורך מינימלי המתקבלת על ידי האוטומט.1

ומתקבלת על ידי האוטומט. 3שאורכה גדול מ a. כתוב מילה המתחילה ב 2

ומתקבלת על ידי האוטומט. 3ורכה גדול מ שא b. כתוב מילה המתחילה ב 3

.bומילים המתחילות ב aהמתקבלת על ידי האוטומט? התייחס למילים המתחילות ב L. מהי השפה 4

פיתרון

1. b

2. abac

3. bbbbb

* גדול שווה לאפס. *a(bWc)אזי aאם מתחיל ב .4

W מכילה מספר איזוגי שלa ומספר זוגי שלb ללא).c(

.2בשלוש שווה nשארית חלוקת bnאזי bתחיל ב אם מ


a

a

b

b

b

b

b

b

b

a

a a

b

c

b


בנה אס"ד מתאים לשפה נתונה-4דף תרגילים מספר

:{ כאשר התנאי על מילה בשפה הינו0,1מעל } בנה אוטומטים לשפות הבאות

1מסתיים ב .ב 1מתחיל ב .א

11מתחיל ב .ד 1מכיל .ג

11מכיל .ו 11מסתיים ב .ה

1011מתחיל .ח 11אינו מכיל .ז

1011מסתיים ב .י 1011מכיל .ט

בנה אס"ד מתאים לשפה נתונה-5דף תרגילים מספר

מימין לקו האנכי ישנם התנאים על מילה בשפה.

L={ w | 11011המסתיימת ב {0,1}היא מילה מעל הא"ב w} א.

L={ w | 1מסתיימת ב ו 1לה ב יהמתח {0,1}ה מעל הא"בהיא מיל w} ב.

L={ v | 11או 00המכילה {0,1}היא מילה מעל הא"ב v} ג.

L={ w | שאורך התו האחרון אי זוגי {0,1}היא מילה מעל הא"ב w} ד.

L={ w1cw2 |כולל המילה הריקה {0,1}הינן מילים מעל הא"ב w1,w2} ה.

c , 1100c10דוגמאות למילים המתקבלות בשפה:



והגדרת שפה ביצוע מעקב-6דף תרגילים מספר

סלול והאם המילה מתקבלת או שאינה מתקבלת.לכל מעקב רשום את המ

. והאוטומט הנתון @@&בצע מעקב עבור המילה א. .1

והאוטומט הנתון. @@$ב. בצע מעקב עבור המילה

ג. מהי השפה שהאוטומט מקבל.

נתון האוטומט הבא .2

מהי השפה המתקבלת?

והאוטומט הנתון. babaא. בצע מעקב עבור המילה .3

והאוטומט הנתון. baabצע מעקב עבור המילה ב. ב

ג. מהי השפה שהאוטומט מקבל.

q1

$,@,&

$,@

q2

&

$,@,& q0


q3

q

q1 a q0

b

a

b q2

b b

q2

q

q1 b

b

a

q0

a

q3

q

b

b

a a


סיכוםמה קורה עבור קלט (מילה) נתון תוך כדי סריקתו משמאל תהמתאר "ר"מכונה"/"מכשיראינו שאוטומט הינו

לימין.

עיקר ב יפלנו ונטפלטישנם אוטומטים בהם כל מצב הינו מצב תקין. למשל כיבוי או הדלקת נורה, אך אנו

אוטומטים שלא כל קלט(מילה) חוקי ולכן באוטומט יהיו מצבים מקבלים ומצבים לא מקבלים כמו ב

מט יש נקודות התחלה והקשתות(חיצים) והמידע שרשום עליהם והמחרוזת המורכבת מחרוזים. לכל אוט

שלו א"ב ן לכל אוטומט יש את האומרים לנו להיכן לעבור בכל שלב. מידע זה נקרא פונקצית המעברים. כמו כ

דהיינו מה ניתן לרשום ליד הקשתות.

מהדוגמאות שראינו עד עתה ניתן לראות כי אוטומט מורכב ממספר אבני יסוד.

הבאה: ההחמישייהוא באמצעות לי של אוטומט אתיאור מתמטי פורמ

},,,,{ 0 FQQA

:כאשר

ם)(העיגולי . האוטומט מצבי קבוצת היא

(נכתב ליד הקשתות) . הקלט א"ב הוא

(הקשתות המכוונות והרשום לידן). .המעברים פונקצית היא

(מסומן גם על ידי חץ) . ההתחלתי המצב הוא

(העיגולים כפולים) המצבים קבוצת היא חלק שהינה המקבלים .המצבים לכ מקבוצת

שפה רגולרית נקראת ס"דשפה שניתן לבנות לה א



יצג כל מצבימה מ -7דף תרגילים מספר

.כל מצב מייצגורשום מה בפתרונותעיין להלן נתונים אוטומטים ומה הם מבצעים.

.זוגי-ורך אימייצג את המילים בעלות א q1את המילים בעלות אורך זגי ומצב q0למשל בדוגמה הבאה מייצג

האוטומט מקבל את כל המילים בעלות אורך אי זוגי.

11 הכילהמקבל מילה המ {1,1} מעלנתון אוטומט

פתרון

q0 הראשון 1מצפה להופעת ה

q1 הראשון 1לאחר הופעת ה

q2 כעת כל המשך מתקבל – 11לאחר הופעת

11ב מת סתיימה בו כל מיל {1,1} מעלנתון אוטומט

q0

q1

q2

1

0

1

0,1 0

q0 q2 q1

0

0

1

1

0

1 q0 q1

q2

0,1 q0 q2

0,1



11או 11ב תסתייממבו כל מילה {1,1} מעלנתון אוטומט

q0

q1

q2

q3

q4

11או 11 הכילמבו כל מילה {1,1} נתון אוטומט מעל

q0

q1

q2

q3

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

q0

q1

q2

q3

q4

q0

1

q1

q2

1

0

0

0

1

0,1 q3



תספר דצימלי המתחלק בשלוש לללא שארימהמייצג {9,…,0}מעל אוטומט

172437בצע מעקב אחר המילה

q0 0שווה 3שארית חלוקה ב

q1

q2

q0

q1

0,3,6,9

0,3,6,9

0,3,6,9

1,4,7

1,4,7 2,5,8

2,5,8

2,5,8

1,4,7

q2



תאור אוטומט באמצעות טבלה

ניתן לתאר אוטומט באמצעות טבלה.

להלן מספר דוגמאות.

מצב מובלט עם קו מתחת הינו מצב מקבל. {0,1}כל האוטומטים מעל

אורך מילה אי זוגי

לה זוגי )כולל מילה ריקה(אורך מי

אורך מילה זוגי )לא כולל מילה ריקה(

ומכיל את המילה הריקה 1מתחיל ב

1 0

q1 q1 q0

q0 q0 q1

1 0

q1 q1 q0

q0 q0 q1

1 0

q1 q1 q0

q2 q2 q1

q1 q1 q2

1 0

q1 q2 q0

q1 q1 q1

q2 q2 q2

q0 q1

0,1

1

q2

0

0,1

q1 q0 0,1

0,1

q0 q1 0,1

0,1

` q1 0,1

0,1 q0

0,1

0,1

קתאות נבד

נמצא ב עובר ל

סופיאוטומט


שפות "מיוחדות"

השפה הריקה

השפה המכילה את המילה הריקה בלבד

השפה המכילה את כל המילים מלבד המילה הריקה

בה סופי שפה שמספר המילים

הינו אינסופי.שטיפלנו בהם עד עכשיו שים לב שמספר המילים בשפות

)4(שים לב שמספר המילים בשפה הינו L={e,ab,ac,abc}כך ש {a,b,c}מעל (לא שלם) בנה אוטומט

e הינה המילה הריקה

כלומר מילים cאו bלנו אין יודעים מה לעשות כאשר יש q0שים לב שהאוטומט אינו שלם למשל מהמצב

.אינן מתקבלות cאו bשמתחילות ב

לכל שפה שמספר המילים בה סופי ניתן לבנות אוטומט סופי דטרמיניסטי.

q3 q1 a

q2 q0 b c

q4 c

מילה לא מתקבלת אף - {a,b}מעל

(זוהי השפה הריקה ומקובל לסמנה)

q0

a,b

q0

a,b

כל המילים לא כולל – {a,b}מעל

המילה הריקהa,b

q1


q1

a,b

רק המילה הריקה מתקבלת - {a,b}מעל

q0 a,b


אס"דבנית -8דף תרגילים מספר

:{ כאשר התנאי על מילה בשפה הינו0,1מעל } בנה אוטומטים לשפות הבאות .1

1ומסתיים ב 1מתחיל ב .ב 11011מסתיים ב .א

01או 10מכיל .ד 11או 00מכיל .ג

זוגי כולל מילה ריקה 1+ מספר 0מספר .ו זוגי 1זוגי וגם מספר 0מספר .ה

אורך זוגי כולל המילה הריקה. .ח אורך אי זוגי. .ז

אורך התו האחרון אי זוגי. .י אורך התו האחרון זוגי. .ט

.0אורך זוגי ומסתיים ב .יב אורך זוגי לא כולל המילה הריקה. .יא

.11אינו מכיל .יד 11וגם 00מכיל .יג

כל המילים שבהן אורך הרצף האחרון .טו

0ואסור שיתחילו ב ) 0גדול מ (זוגי

שחוזר 1או באורך 2רצף כלשהו באורך .טז 111 1010 010101דוגמה : על עצמו.

:{0,1,2מעל } בנה אוטומטים לשפות הבאות .2

רוזתמופיע כתת מח 1100אינו מופיע כתת מחרוזת ו 2211 .א לא מתקבל. 11002211או 0110012מתקבל ו 1100212אחרונה במילה.

יכול להופיע רק ברצף בהתחלה. 2ו 01או 10 המקבל מילים המסתיימות ב .ב

.22ואין בהן רצף של 11או 00ב המקבל מילים המסתיימות .ג

(גם המילה הריקה מתקבלת). 0אורך זוגי מסתיים ב .ד

.1יים ב רך אי זוגי מסתוא .ה

.1אורך זוגי מסתיים ב .ו

.0אורך אי זוגי מסתיים ב .ז

02או 011או 012מכיל .ח

.2ואינו מסתיים ב 22או 11מתחיל ב .ט

יכול להופיע רק 2ו 01או 10ב קבל את כל המחרוזות המסתיימותהמ .י ברצף בהתחלה.

.22ואין בהן רצף של 11או 00המסתיימות ב מילים כל ה .יא

:{a,b,cמעל } שפות הבאות כל אחת מהל ס"דא בנה .3

bומסתיים ב aמתחיל ב .יב

אי זוגי aזוגי ומספר ה bמספר ה .יג

aאות לפני אחרונה .יד

אסור רצף באורך שניים. .טו

אסור רצף באורך שלוש. .טז

b אם יש מופיע מיד רצף של שלש אותיות aכל המילים שאחרי כל מופע של .יז

aaאורכן זוגי ושאין בהן תת מילה .יח

1בשלוש שווה aשארית חלוקת מספר ה .יט

מופיעה בדיוק פעמיים abaתת המחרוזת .כ



שפות שמתוארות על ידי חזקה

לעיתים תיאור השפה נעשה באופן הבא:

anbk n≥1 , k≥1בנה אוטומט סופי דטרמיסיטי לשפה

).1(לפחות ים b) ולאחרי זה 1ים (לפחות aתאור פורמלי זה אומר שהשפה חייבת להתחיל ב

aיופיע bאסור שאחרי שמופיע

ab , aaabbb , abbbמילים מתקבלות :

a , b , abba , babbמילים שאינן מתקבלות :

הסבר

a0

הינה המילה הריקה.

a1

.aהינה המילה

a2

. וכוaaהינה המילה

anb

n n ≥ 1 הינם כל המילים שבהם מספרaה ים במילה שווה למספרb יםכאשר הa ים בתחילת המילה

.abים). המילה הקצרה ביותר aים בסוף המילה(לאחר ה bוה

q1 a

q2 b

q0

a b

a

q3

b



בנית אס"ד -א' 8דף תרגילים מספר

:{a,bמעל } שפות הבאות כל אחת מהל ס"דבנה א .1

a. anb

m n ≥ 0 m ≥ 0

b. anb

m n ≥ 0 m ≥ 1

c. anb

m n ≥ 1 m ≥ 0

d. anb

m n ≥ 1 m ≥ 1

:{a,b,cמעל } שפות הבאות כל אחת מהל ס"דבנה א .2

a. anb

mc

k k,m,n ≥ 0

b. anb

mc

k k,m,n ≥ 1

c. anb

mc

k m,n ≥ 1 k ≥ 0

d. anb

mc

k n,k ≥ 1 m ≥ 0

:{a,bמעל } שפות הבאות כל אחת מהל ס"דבנה א .3

a. L={bab,ba,a,e}

b. anb

m m = n % 3 שקול לומר )|b| = |a| % 3 (

c. anb

m m % 3 = n % 3 שקול לומר )|b % 3| = |a| % 3 (

d. אורך זוגי ואין רצףaa

מיוחדים .4

a. {0,1} ללא שארית 5ריים המתחלקים ב אמס' בינ

b. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ללא שארית 3מספר שלם המתחלק ב



מט לא דטרמיניסטי/אוטומט לא שלםאוטו

q0מט שמשמאל אינו דטרמיניסטי כיוון שמ והאוט

.q1ל או q0ניתן או לעבור ל 1עבור הקלט

אין אנו יודעים להיכן q1מט אינו שלם כיוון שמ וכמו כן האוט

.1או 0ללכת עבור קלט

. 1המסתיימות ב {0,1}את כל המילים מעל מט מקבלוהאוט

המילה מתקבלת אחרת אינה הינו שאם קיים מסלול עבור מילה שמוביל למצב מקבל הכלל

.מתקבלת

ניתן לבנות אוטומט דטרמיניסטי השקול לו. ידטרמיניסטלכל אוטומט לא

(כלומר שמקבל את אותם המילים ואותם בלבד) .

דוגמה נוספת

. 1אחרונה הינה שהאות לפני ה {0,1,2}את כל המילים מעל מקבל טהאוטומ

. 11לעומת זאת שימו לב שאין זה נכון לומר על האוטומט הבא שהוא מקבל מילים שאינן מסתיימות ב

אם במבחן לא נאמר לבנות אוטומט דטרמיניסטי הרי שניתן לבנות לא דטרמיניסטי או דטרמיניסטי

כרצונכם.

q1 אף

מיל

ה

לא

מת

קבל

ת

מעל

{a,

b}

הש

פה

הרי

קה

-

מס

מני

ם

Ø

0,1

1

0,1,2

1 q2

1 q1 q0


q0

0,1,2

1 q1

0,1,2 q2


תרגילים שונים-9דף תרגילים מספר

תרגיל

{ : 0,1מט הבא מעל הא"ב }ונתון האוט

.את השפה המתקבלתהגדר .א

הגדר תפקיד כל מצב. .ב

תרגיל

{0,1,2} בנה אוטומט סופי לא דטרמיניסטי עבור השפות הבאות מעל

האות האחרונה שווה לראשונה. )א

ת האחרונה לא הופיע קודם במילה.האו )ב

ג) האות לפני האחרונה שווה לאות הראשונה.

תרגיל

{0,1בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי אשר מקבל את השפה הבאה מעל הא"ב}

.11, מכילות מספר זוגי של אפסים ומסתיימות ב 1אוסף המילים המתחילות ב

מתקבלת בשפה זו) 11(הערה : המילה

תרגיל

a הבאה השפה נתונהnb

mc

j n % 3=0 0=m % 3 j=n%3

.בנה אוטומט לשפה

תרגיל

{ , המכילות a,b, המקבל את כל המילים מעל הא"ב } ס"דבנה א

. 2 –בהן מתחלק ב b –ומספר אותיות ה aאותיות 2לפחות

0,1

1

q4

0 q3

0

0

1 1 q0 q1 q2

0

1



תרגיל

{ a,b }נתונים שני האוטומטים (סופיים דטרמיניסטים) הבאים מעל

בדוק עבור שני האוטומטים האם המילים הבאות מתקבלות : א.

)1 (abaaa )2 (abbaba )3 (aaaaba

. הראשוןהסבר במילים מהי השפה המתקבלת עבור האוטומט ב.

הבא דוגמא נגדית -ואם אינה נכונה הסבר מדוע, -הבאות, אם הטענה נכונה עבור שתי הטענות ג.

(דוגמא שסותרת את הטענה).

כל מילה המתקבלת באוטומט השני מתקבלת גם באוטומט הראשון. )1(

כל מילה המתקבלת באוטומט הראשון מתקבלת גם באוטומט השני. )2(

b

start a a a

b b a,b

b

start a,b a a,b

a,b



תרגיל

מבחני הבגרות)(השאלה הבאה מנוסחת בסגנון

{a,b} הא"ב מעל L השפה לפניך

{m+n+k זוגי {ambn

ak |n,m >0 k≥0 L=

.Lלפניך סרטוט חלקי של אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את

בסרטוט חסרים סימני קלט.

הסרטוט מכיל את כל המצבים של האוטומט ואת כל המצבים המקבלים.

. Lוהשלם אותו כך שיקבל את השפה העתק למחברתך את הסרטוט

עליך להשלים את סימני הקלט החסרים.

שים לב: אין להוסיף מצבים לאוטומט, ואין להוריד ממנו מצבים.

תרגיל

(השאלה הבאה מנוסחת בסגנון מבחני הבגרות)

.bמקיימת את התנאי שהאות לפני האחרונה {a,b} הא"ב מעל L השפה

.Lטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את לפניך סרטוט חלקי של או

בסרטוט חסרים סימני קלט ומעברים.

הסרטוט מכיל את כל המצבים של האוטומט ואת כל המצבים המקבלים.

. Lהעתק למחברתך את הסרטוט והשלם אותו כך שיקבל את השפה

עליך להשלים את סימני הקלט החסרים ואת המעברים החסרים.

מצבים לאוטומט, ואין להוריד ממנו מצבים.שים לב: אין להוסיף

c

q2

q

q1 b

a

q0

q3

q

b

a



תרגיל

?הבא מה השפה המתוארת באוטומט

תרגיל

?הגדר לכל אוטמט את השפה המתקבלת

a a

a

b b

b

b

c

c c

c

c

a

a

q0

q1

q3

b

q2

a

a

b

q5

b

q4

b

b

b

a

q0

q1

q2

a

q3

b

q4

b

b

b



.הגדר את השפה המתקבלת . {a,b,c}מעל הא"ב Lלהלן שרטוט של השפה תרגיל

{0,1} דר מהי השפה שמתקבלת מעלהג תרגיל

הגדר את השפה המתקבלתתרגיל

a a

a

b b

b

b

c

c c c c

b

b


1

0

1 0

0

1 1

1

0

1

0 0

a

a

b

b

b

b

b

b

b

a

a a

b

b

c


אוטומט סופי לא דטרמיניסטי-11דף תרגילים מספר

תרגיל

הגדר לכל אחד מהאוטומטים הבאים מה השפה המתקבלת?

תרגיל

פטים הבאים בהתייחס לאוטומטים שלידם? המש לא נכוניםהסבר מדוע .1

הגדר מה השפות שהאוטומטים מקבלים. .2

פעם אחת בלבד. 11מט מקבל מילים המכילות והאוט

. 11מט אינו מקבל מילים המכילות והאוט

q0

0,1,2

1 q1

0 q2

q0

0,1,2

1 q1

0,1,2 q2

q0

0,1,2

1 q1 1 q3

0,1,2

q2 1

q0

0,1,2

1 q1

1 q2

0,1

1 q1

1 q2 q0

0,2



מט מכפלהואוט

היחס או (איחוד). לעיתים עלינו לבנות אוטומט אשר תיאורו מכיל תנאים שביניהם היחס וגם(חיתוך) או

כמובן שתמיד ניתן לבנות את האוטומט המבוקש ישירות אך קיימת גם דרך טכנית לבנות אוטומט עבור כל

. את האוטומטיםתנאי ואז לשלב

נתחיל מדוגמה פשוטה (שברור שניתן לבנות לה ישירות אס"ד) נראה מספר דוגמאות.

ו ו"גם"תחילה נראה דוגמאות כאשר היחס בין התנאים הינ

.היחס הינו "או" ולאחר מכן כאשר



אוטומט מכפלה )חתולים וכלבים(

:בתהלוכה שבה משתתפים חתולים וכלבים מתקיימים החוקים הבאים

התהלוכה מתחילה בכלב. .1

התהלוכה מסתיימת בחתול. .2

. נתחיל מהמצב ההתחלתי של שני האוטומטיםטבלהאוטומט עבור כל תנאי. כעת נבנה עד עתה בנינו

q1ונרשום לאיזה מצב מוביל אותנו כלב. אנו רואים שבאוטומט השמאלי כלב מוביל ל q0q3שהינו

q1q3מכאן שכלב מוביל ל q3ובאוטומט הימני כלב מוביל ל

q2q4כנ"ל נבצע לחתול ונבחין שהוא מוביל ל

מצבירשם בעמודת חתול וכלב לה. כעת כל מצב שמופיע בעמודות מכאן קיבלנו את השורה הראשונה בטב

זרים על התהליך.ווח

q1 הינו מצב מקבל באוטומט השמאלי וq4 הינו מצב מקבל באוטומט הימני לכןq1q4 הינו המצב המקבל

באוטומט הסופי

בנית אוטמט המכפלה מצב כלב חתול

q2q4 q1 q3 q0 q3

q1 q4 q1 q3 q1 q3

q2 q4 q2 q3 q2 q4

q1 q4 q1 q3 q1 q4 q2 q4 q2 q3 q2 q3

כלב חתול

חייב להסתיים בחתול חייב להתחיל בכלב

q1 q0 כלב

חתול

חתול כלב

q2

q4 q3

כלב

כלב

חתול

חתול


לאחר צמצום מצבים האוטומט לפי הטבלה האוטומט

1,4

כלב 0,3

חתול

1,3

2,4

כלב חתול

כלב

חתול

חתול חתול

2,3

כלב

כלב

1,4

כלב 0,3

חתול

1,3

2,4

כלב חתול

כלב

חתול

ולחת כלב


מט מכפלה )חתולים וכלבים(ואוט

וכלבים מתקיימים החוקים הבאים. בתהלוכה שבה משתתפים חתולים


אסור חתול שמשמאלו וימינו יהיו כלבים. .4

(כל שילוב של מצב מקבל באוטומט אחד עם מצב מקבל באוטומט המסומנים בירוק הינם מצבים מקבלים.המצבים

השני הינו מצב מקבל)

"מצב"הינה מלכודת של מצב לא מקבל ולכן לא רשמנו אותה בעמודה q2שימו לב ש

ראה מצגת הסבר

בנית אוטמט המכפלה

מצב כלב חתול

q2 q3 q1 q4 q0 q3

q1 q5 q1 q4 q1 q4

q1 q3 q1 q6 q1 q5 q1 q3 q1 q4 q1 q3

אוטומט מכפלה

חייבת להתחיל בכלב אסור חתול בין שני כלבים

q1 q0

כלב

כלב

חתול

חתול כלב

חתול

q2

q4

כלב

כלב

חתול

חתול

חתול

q3 q6

חתול כלב

q5 כלב

כלב

כלב

חתול

חתול כלב

חתול

כלב

כלב

חתול

חתול

0,3

2,3 1,6

1,4

1,5

1,3


מט מכפלה )חתולים כלבים ועכברים(ואוט

ומה לקודם רק שהפעם נוספו עכברים.תרגיל ד

בתהלוכה שבה משתתפים עכברים חתולים וכלבים מתקיימים החוקים הבאים.



בנית הטבלה

האוטמט

כלב חתול עכבר

q2 q3 q2 q3 q1 q4 q0 q3

q1 q3 q1 q5 q1 q4 q1 q4

q1 q3 q1 q3 q1 q6 q1 q5

q1 q3 q1 q3 q1 q4 q1 q3


חייבת להתחיל בכלב אסור חתול בין שני כלבים

q1 q0

כלב

כלב

חתול

עכבר חתול כלב

חתול

q2

עכבר

עכבר

q4

כלב

כלב

עכבר

תולח

חתול

חתול עכבר

q3 q6


כלב

עכבר

q5

14

כלב

כלב

חתול


15

חתול

כלב

כלב

חתול

חתול

עכבר

עכבר

עכבר

עכבר

03

13 2,3 1,6


אי מורכב יותר(מט מכפלה)חתולים כלבים ועכברים תנואוט

בתהלוכה שבה משתתפים עכברים חתולים וכלבים מתקיימים החוקים הבאים.

התהלוכה מתחילה בכלב. .1 אסור שהתהלוכה תסתיים בעכבר. .2


q1 q0

כלב

כלב

חתול

עכבר חתול

חתול

q2 עכבר

עכבר

כלב

חתול

q3

אסור חתול בין שני כלבים מתחילה בכלב ואסור שתסתיים בעכבר

עכבר

כלב חתול עכבר

q3 q4 q3 q4 q1 q5 q0 q4

q2 q4 q1 q6 q1 q5 q1 q5 q2 q4 q1 q4 q1 q7 q1 q6 q2 q4 q1 q4 q1 q5 q2 q4 q2 q4 q1 q4 q1 q5 q1 q4


q5

כלב

כלב

עכבר

חתול

חתול

חתול עכבר

q4 q7


בכל

עכבר

q6

15

04

כלב

כלב

חתול


16

חתול

כלב

24 עכבר

עכבר

כלב

עכבר

14

חתול

חתול

עכבר

כלב

חתול עכבר


מט מכפלה )מכיל "בת בת" אינו מכיל "בן בן" (ואוט

ילדים הושבו בשורה אך נקבעו כללים משונים:

). שימו לב שמותר גם aa(מכיל ההשנייבנות יחד כלומר אחת ליד 2חייב שבשורה לפחות פעם אחת ישבו .1

ד ואם שלוש בנות יושבות יחד אזי התנאי שני בנות יחד מתקיים.שלוש בנות ביח

)bbאסור ששני בנים ישבו יחדיו. (אינו מכיל .2

ניתן לאחד למלכודת אחת 25 15 05את מצבים

aaמכיל bbאינו מכיל

b a

q0 q4 q1 q3 q0 q3

q0 q4 q2 q3 q1 q3

q0 q5 q1 q3 q0 q4

q2 q4 q2 q3 q2 q3

q0 q5 q1 q5 q0 q5 q2 q5 q2 q3 q2 q4 q0 q5 q2 q5 q1 q5

q2 q5 q2 q5 q2 q5

23 03

b

a

a

b

13

04

a

b a 24

a

b

b

a

25

b

q2

q b

q1 a

a

b

b

q0

a

q4 b

q3 q5 b

a

a

b a


23 03

b

a

a

b

13

04

a

b a 24

05 a

a

b

15 b

b

a

25

b

a b


)תנאי או( אוטומט מכפלה )חתולים וכלבים(

ולים וכלבים מתקיימים החוקים הבאים:בתהלוכה שבה משתתפים חת

מסתיימת בחתול. אוהתהלוכה מתחילה בכל

עד עתה בנינו אוטומט עבור כל תנאי. כעת נבנה טבלה. נתחיל מהמצב ההתחלתי של שני האוטומטים

q1ונרשום לאיזה מצב מוביל אותנו כלב. אנו רואים שבאוטומט השמאלי כלב מוביל ל q0q3שהינו

q1q3מכאן שכלב מוביל ל q3ובאוטומט הימני כלב מוביל ל

q2q4כנ"ל נבצע לחתול ונבחין שהוא מוביל ל

מצבירשם בעמודת חתול וכלב מכאן קיבלנו את השורה הראשונה בטבלה. כעת כל מצב שמופיע בעמודות

וחוזרים על התהליך.

q1 שמופיע לכן בכל מקום הינו מצב מקבל באוטומט השמאלי וq1 .באוטומט המכפלה יהיה מצב מקבל

q4 בכל מקום שמופיע לכן והינו מצב מקבל באוטומט הימניq4 .באוטומט המכפלה יהיה מצב מקבל

בנית אוטמט המכפלה מצב כלב חתול

q2q4 q1 q3 q0 q3

q1 q4 q1 q3 q1 q3

q2 q4 q2 q3 q2 q4

q1 q4 q1 q3 q1 q4 q2 q4 q2 q3 q2 q3

כלב חתול

חייבת להסתיים בחתול חייבת להתחיל בכלב

q1 q0 כלב

חתול

לחתו כלב

q2

q4 q3

כלב

כלב

חתול

חתול


לאחר צמצום מצבים האוטומט לפי הטבלה האוטומט

1,4

כלב 0,3

חתול

כלב חתול

כלב

לחתו

חתול חתול

2,3

כלב

כלב

1,3

2,4

כלב 0,3

חתול

כלב חתול

חתול חתול

2,3

כלב

כלב

1,3

2,4


מט מכפלהואוט-11דף תרגילים מספר

אותו). השלם-(נתון פתרון חלקיbואות לפני אחרונה aaאסור שיופיע ש {a,b}בנה אוטומט מכפלה מעל .1

ים הבאים :ימטים הדטרמיניסטונתונים שני האוט .2

רשום במילים את השפה המתקבלת ע"י כל אחד מהאוטומטים. .א

הגדר את השפות המתקבלות מ : .ב

.חיתוך האוטומטים )1

.איחוד האוטומטים )2

.בעזרת אוטומט מכפלה אוטומט מתאיםסעיף ב ב' בנה לכל .ג

ושבו בשורה לפי הכללים הבאים: ילדים ה .3

i. שימו לב שמותר גם הבנות יחד כלומר אחת ליד השני 2חייב שבשורה לפחות פעם אחת ישבו .)

שלוש בנות ביחד ואם שלוש בנות יושבות יחד אזי התנאי שני בנות יחד מתקיים.)

ii. .מספר הבנות זוגי

bאות לפני אחרונה aaאינו מכיל

q5 a

q4

3

q6 a

b

b

b

a

q2

q

q1 b

b

a

q0

a

q3

q

b

b

a a

a

b a,b

a,b

b

a a,b

a,b

a,b



(פים אלהמונחים )הדפס ד

.הבגרות כאשר נעשה שימוש באחד מהסימונים הבאים הרי שהוא לווה בהסברשימו לב!! עד עתה בבחינת

#)( =>2 המקיים את התנאי {a,b,c}דוגמה: בנה אוטומט מעל wa מספר אותיות)a 2במילה קטן שווה(

המונחים

משמעות סימון

האות היוונית במילה הריקה הינו אפס. אותיותמייצגת את המילה הריקה. מספר ה

שפה שמכילה מילה ריקה היא לא שפה ריקה, שכן יש בה מילה אחת שהיא המילה הריקה

.ילה הריקה).(אינה מכילה את המ השפה הריקה. מספר המילים בשפה הריקה הינו אפס

w בדרך כלל האותw מילה הינה סדרה סופית של אותיות מתוך מציינת מילה בשפה .

w אורך של מילהw להמציין את מספר האותיות במי

# ( )a w מספר המופעים של אות הא"בa במילהw. :3דוגמה)(# baabbaba

L בדרך כלל האותL מציינת שפה של מילים

L מספר המילים בשפהL

w L המילהw שייכת לשפהLהמילה נמצאת בשפה ,

w L המילהw לא שייכת לשפהLהמילה לא נמצאת בשפה ,

: קבוצת אותיות א"ב של השפה. דוגמאות {a,b,c}= {0,1,a}= * שפת כל המילים שניתן להרכיב מאותיות קבוצת הא"ב כולל המילה הריקה

Є ..שייך ל.

3שווה 111מספר האחדים מביע את ערך המספר דוגמה: מספר אונרי

{)(#)(# ww ab L = { w Є (a,b)* | פירושו שL הינה שפה מעל(a,b) כך

ים במילה. הסימן | פירושו "כך ש" . bים במילה שווה למספר ה aשמספר ה

מונחים


משמעות סימון

1 2w w מימין למילה 2wמילים יוצר מילה חדשה המתקבלת מהצמדת המילה השנייה 2שרשור בין

1wהראשונה iw מילה חדשה המתקבלת משרשור המילהw לעצמהi שווה המילה הריקה. 0פעמים. חזקת

( ), RR w w יוצר מילה חדשה המתקבלת מרישום אותיות המילה בסדר הפוך מימין wהיפוך המילה

לשמאל

1 2L L 1איחוד שתי שפות 2,L L שקול לקשר לוגי של -יוצר את שפת כל המילים משתי השפות יחד

או

1 2L L 1חיתוך שתי שפות 2,L L שקול לקשר לוגי -לשתי השפות המשותפותיוצר את שפת כל המילים

וגםשל

1 2L L 1שרשור שתי שפות 2,L L יוצר את שפת כל המילים המתקבלות משרשור מימין של כל מילה

1Lלכל מילה מהשפה 2Lמהשפה iL חזקה של שפה מציינת שרשור השפהL לעצמהi פעמים

( ), RR L L היפוך השפהL יוצר את שפת כל המילים ההפוכות למילים בשפהL

1 2L L 1Lאו שווה לה, כל המילים בשפה 2Lמוכלת בשפה 1Lהשפה -הכלה / חלקיות ]מוכל או שווה[

2Lנמצאות בשפה

1 2L L השפה -ה לה ולא שוו 2Lמוכלת ממש בשפה 1Lהשפה -הכלה / חלקיות ]מוכל ממש ולא שווה[

1L 2חלקית לשפהL , 1כל המילים בשפהL 2נמצאות בשפהL

1 2L L 1השפהL 2לא מוכלת בשפהL

L משלים יוצר את שפת כל המילים שאינן נמצאות בשפהL

1 2L L , הפרש שקול 2L, ולא נמצאות בשפה 1Lהפרש יוצר את שפת כל המילים שנמצאות בשפה

21Lטוי לבי L

.מלכודת של מצב מקבל הינו מצב שאומר שכל המשך שהוא המילה תתקבל

ומלכודת של מצב שאינו מקבל הינו מצב שאומר שכל המשך שהוא המילה לא תתקבל.

. aהמתחילות ב {a,b,c}דוגמה : כל המילים מעל

הגדרת המונחים בויקיפדיה

b,c

a

a,b,c

a,b,c

מונחים

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%90%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%9D_-_%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%97%D7%99%D7%9D

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%90%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%9D_-_%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%97%D7%99%D7%9D


סגירות שפות רגולריות תחת פעולות

נות לה אס"ד לשפה שניתן לבשפה שניתן לבנות לה אוטומט אס"ד ולהיפך שפה רגולרית הינה

קוראים שפה רגולרית.

ך, איחוד, שרשור, היפוך , משלים.השפות הרגולריות סגורות תחת הפעולות הבאות: חיתו

(.L2 והן ב L1פירושו כל המילים המתקבלות הן ב L1∩L2)גם -חיתוך

. aהמתחילות ב {a,b}שפת כל המילים מעל L1תהי

. bהמסתיימות ב {a,b}שפת כל המילים מעל L2תהי

L3 = L1∩L2 הינם המילים המתחילות בa מסתיימות ב וb .

גם כן רגולרית. L1∩L2רגולרית אזי L2רגולרית ו L1ש אם ידוע

(. L2 ב או L1פירושו כל המילים המתקבלות ב L1 L2) או - דוחיא


. bהמסתיימות ב {a,b}ת כל המילים מעל שפ L2תהי

L3 = L1L2 הינם המילים המתחילות בa ו מסתיימות ב אb .

גם כן רגולרית. L1L2רגולרית אזי L2רגולרית ו L1אם ידוע ש

אשר ניתן לחלק אותן לשני חלקים כך שהחלק פירושו כל המילים L1· L2)שרשור

( L2והימני ל L1השמאלי שייך ל

שים לב שגם מילה ריקה-

כוללת אותה(. L2כוללת אותה או חלק ימני אם L1יכולה להיות חלק שמאלי אם


. bהמסתיימות ב {a,b}שפת כל המילים מעל L2תהי

L3 = L1·L2 הינם המילים המתחילות בa ומסתיימות בb ו כמו החיתוך, אך לא תמיד נקבל כך.. קיבלנ

גם כן רגולרית. L1·L2רגולרית אזי L2רגולרית ו L1אם ידוע ש

שרשור של השפה הריקה עם כל שפה נותנת שפה ריקה.

שפה המכילה את המילה הריקה אינה שפה ריקה.

). L1·L2 L2·L1 =(האם נכון לומר ש

R(L) היפוך פירושוL מסומן גם כLR .

אנו הופכים אותה. Lכלומר עבור כל מילה ב

. aהמסתיימות ב {a,b}שפת כל המילים מעל Lתהי

R(L) מסתיימות ב הכל המילים תהינה שפa.

סגירות שפות רגולריות


. Lב מתקבלות שאינן פירושו כל המילים Lמסומן (L)משלים

. aב חילות המת {a,b}שפת כל המילים מעל Lתהי

L הינה שפת כל המילים שאינן מתחילות בa.(כולל המילה הריקה) .

L (האם נכון לומר שאחת משתי השפות מכילה את המילה הריקה). L או

גולריות אינן סגורות תחת פעולה זו (רהכלה )השפות ה

.{a,b} שפת כל המילים מעל Lתהי

aמהצורה {a,b}שפת כל המילים מעל 'Lתהי תהי nb

n.

L רגולרית בעודL' .אינה רגולרית

.72הרחבה בנושא בעמוד



אוסף תרגילים פתורים בהוכחת רגולריות בעזרת חוקי סגירות

1תרגיל

רגולרית. bb ומכילה את הרצף cמסתיימת ב aשבה כל מילה מתחילה ב {a,b,c}מעל Lהוכח שהשפה

פתרון

ניתן לפרק את השפה לשלוש שפות.

ולבנות אוטומט לכל שפה.

L1 כל המילים המתחילות בa

L2 כל המילים המסתיימות בc

L3 כל המילים המכילותbb

L=L1∩L2∩L3 המבוקשת

רגולרית. Lמסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך נובע ש

) ?? L=L1·L3·L2נכון לומר ש (האם ) ?? L=L1·L2·L3נכון לומר ש (האם

2תרגיל

bb) ואינה מכילה את הרצף cאו מסתיימת ב aשבה כל מילה (מתחילה ב {a,b,c}מעל Lהוכח שהשפה

רגולרית.

פתרון

הפתרון דומה לפתרון התרגיל הקודם. ניתן לפרק את השפה לשלוש שפות.

ולבנות אוטומט לכל שפה.

L1 ות ב כל המילים המתחילa

L2 כל המילים המסתיימות בc

L3 כל המילים המכילותbb

3)21( LLLL

רגולרית. Lמסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך,איחוד,משלים נובע ש

a a,b,c

b,c

a,b,c

c c

a,b a,b

b

a,c a,c

b

a,b,c



תבנית להוכחת רגולריות של שפה

ם הבאים: "התנאים"מעל הא"ב } { המקיימת את התנאי Lנתונה השפה

הוכח שהשפה רגולרית.

הוכחה

נגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט לכל שפהנ

L1= המקיימת את תנאי א {}הינה שפה מעל

L2= המקיימת את תנאי ב {}הינה שפה מעל

L3= המקיימת את תנאי ג {}הינה שפה מעל

*

*

L=L1 פעולה L2 פעולה L3…….

(במילה פעולה אנו מתכוונים לחיתוך או איחוד או משלים או שרשור או היפוך)

.שפות שבנינובעזרת ה Lאנו רואים כי ניתן לבטא את

מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולות החיתוך, איחוד, שרשור, משלים והיפוך

.רגולרית Lנובע ש



3ל תרגי

שווה לשארית 2-מחולק ב aשבהן השארית של מספר האותיות {a,b}שפת כל המילים מעל הא"ב Lתהי

רגולרית? הוכח את תשובתך. L. האם 2-מחולק ב bשל מספר האותיות

פתרון

הדרך הפשוטה ביותר להוכחה הינה בנית האוטומט :

4תרגיל

אורך 0) האות לפני האחרונה 0או ב 000המסתיימות ב( {0,1,2}ב שפת כל המילים מעל הא" Lתהי

רגולרית? Lעם שארית גדולה מאפס וחייב שכל אות תופיע לפחות פעם אחת. האם 15המילה מתחלק ב

פתרון

גדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט לכל שפה.נ

.00צמצם למסתיים ב ניתן ל 0) והאות לפני האחרונה 0או ב 000את התנאי (מסתיים ב

L השפה המבוקשת

65)4321( LLLLLLL ומסגירות

רגולרית Lהשפות הרגולריות לפעולות החיתוך ומשלים נובע ש

L1 00השפה שמסתיימת ב

1,2

0

0

0

1,2

1,2

L5 0,1,2השפה שאורך המילה מתחלק בשלוש ללא שארית

0,1,2

0,1,2

L2לפחות פעם אחת 0השפה שמכילה את האות

.2עבור L4ו 1עבור L3באופן דומה

1,2

0

0,1,2

q1

a,b

q0

a,b

L6השפה שאורך המילה מתחלק בחמש ללא שארית

0,1,2

0,1,2

0,1,2

0,1,2

0,1,2



5תרגיל

זו שני סעיפים א ו ב שאין קשר ביניהם. ענה על שניהם. תרגילב

{: {a,bמעל הא"ב Lלפניך השפה .א

ללא שארית , 2ים במילה מתחלק ב a, מספר ה aaaaוסף כל המילים המתחילות ב א

אינו מופיע במילה. bbbמופיע במילה והרצף abaהרצף

הוכח שהשפה רגולרית.

: שפות שתי לפניך .ב

L1= { (ab)n (ab)n | n>0 }

L2= { (ba)n (ab)n | n>0 }

.מדוע נמקנסה ל לא אם, האוטומט את בנה, כן אם. לא או רגולרית היא האם שפה כל לגבי רשום

פתרון א

לכל שפה.אוטומט ונבנה גדיר את השפות הבאות נ

L= L1∩ L2∩ L3∩( 4L המבוקשת (

רגולרית Lומסגירות השפות הרגולריות לפעולות החיתוך ומשלים נובע ש

a,b


q4

q

q1 a

a,b

q0 q2 a q3 a a L1 הינה שפה מעל{a,b} של

aaaaהמילים המתחילות ב

q0

4q

q1 a

b

a

b

L2 הינה שפה מעל{a,b} של

במילה aהמילים שמספר ה

ללא שארית 2מתחלק ב

q3

q

q1 a q0 q2 b a

a,b


מופיע abaהמילים שהרצף

במילה

q3

q

q1 b

a,b

q0 q2 b b

a,b


מופיע bbbהמילים שהרצף

במילה


פתרון ב

L1 רגולרית וניתן לבנות לה אוטומט. (שים לב שעל הקשת ישab שזה חוקי בתורת המודלים אך אין (

מלמדים לבנות כך לפי תכנית הלימודים.

L2 אינה רגולרית כי ניתן להסתכל על השפה כxn yn וקיימת תלות בין מספר הx ים למספר הy ים והתלות

אינה חסומה.

6תרגיל

רגולרים. L1 L2נתון כי

רגולרית. L1-L2הוכח כי

פתרון

L1-L2 = L1∩ 2L ומחוקי הסגירות נובע שהיא רגולרית.

7תרגיל

ולאחריו במקום כלשהו את הרצף 012ילה את הרצף שאורך המילה זוגי מכ {0,1,2}מעל Lהוכח כי השפה

רגולרית. 111

פתרון

לכל שפה.אוטומט ונבנה גדיר את השפות הבאות נ

L1 אורך מילה זוגי

L2 012מכיל

L1 111מכיל

L= L1∩( L2* L3) המבוקשת

.רגולרית Lומסגירות השפות הרגולריות לפעולות החיתוך ושרשור נובע ש

q1

ab

a q2

4q

ab

ab

q0

ת רגולריות סגירות שפו


על שפות בפעולותאוסף תרגילים פתורים

. {a,b}נתונות שתי שפות מעל .1

L1 הינה שפת כל המילים המכילותa

L2 הינה שפת כל המילים המסתיימות בb

L1·L2מהי השפה

a כילות ומ b סתיימות בזוהי שפת כל המילים המ פתרון

)aa bb(לא בשפה bbaab , ab למשל

L2·L1 מהי השפה

)ba (מכילות רצףaמופיע b ומימין ל b זוהי שפת כל המילים המכילות פתרון

)aa ab(לא בשפה bbaa , ba למשל

L1∩L2מהי השפה

)L1·L2(כמו שרשור .a ומכילות bב זוהי שפת כל המילים המסתיימות פתרון

L1υL2מהי השפה

שזוהי שפת כל המילים מעל שימו לב .a מכילותאו bב המסתיימותזוהי שפת כל המילים פתרון

{a,b} .למשל לא כולל המילה הריקה a , b

. L1המשלים ל תשפמהי

b( כולל המילה הריקה.ים בלבד bוהי השפה המכילה ז פתרוןn n≥0(

פעולות על שפות


) cם רק שהוספנו את . (דומה לתרגיל הקוד{a,b,c}נתונות שתי שפות מעל .2

L1 הינה שפת כל המילים המכילותa

L2 הינה שפת כל המילים המסתיימות בb


a כילות ומ b סתיימות בזוהי שפת כל המילים המ פתרון

)aa bcbc(לא בשפה bbaccab , ab למשל


aמופיע b ומימין ל b זוהי שפת כל המילים המכילות פתרון

bbaa , ba למשל

L1∩L2מהי השפה

)L1·L2(כמו שרשור .a ומכילות bב זוהי שפת כל המילים המסתיימות פתרון

L1υL2מהי השפה

a , b למשל .a מכילותאו bב זוהי שפת כל המילים המסתיימות פתרון

. L1המשלים של תמהי שפ

b( כולל המילה הריקה. ים cאו ים bמכילה והי השפה הז פתרוןn n≥0(

כלשהן. L1 L2נתונות שתי שפות רגולריות .3

R(L1·L2) == L2·L1נכון לומר ש האם

פתרון

. דוגמה: התשובה לא

L1=anb n>0

L2=a

kb k>0

L2·L1 מילים שמתחילות ב a R(L1·L2) מילים שמתחילות בb

. bומסתיימות ב aב חילות המת {a,b}פת כל המילים מעל ש Lתהי .4

L ∩ R(L)מהי השפה

השפה הריקה. פתרון

L - R(L)מהי השפה

.L פתרון



(קשה) { : 0,1הבא מעל הא"ב } טהאוטומנתון .5

.ת השפה שהאוטומט מקבלהגדר א .א

.מט המשלים ובנה את האוט .ב

ט ההפוך לשפה כלשהי תהיה זהה לשפה המקוריתמוהאם יכול להיות שהאוט .ג

פכית, ולהפך.ו(כלומר כל מילה המתקבלת בשפה המקורית תתקבל גם בשפה הה

.פכית ולהפך)וכמו כן כל מילה שלא מתקבלת בשפה המקורית לא תתקבל בה

פתרון

. במקום אי זוגי 0המילים המתקבלות הם אלה שיש בהם לפחות פעם אחת .א

במקום אי זוגי לא כולל המילה הריקה. 1(שיש בו רק המשלים טהאוטומ .ב

aומסתיים ב aכן. מתחיל ב .ג

{a,b}נתונה השפה הבאה מעל הא"ב .6

T לא כולל המילה הריקה. היא אוסף כל המילים המתחילות ומסתיימות באותה אות

Tשווה T·Tטענה

הוכח או הפרך

פתרון

bbאו aaהיא Tר ב הקצרה ביות כי המילה השגויהטענה

אותיות. 4המילה הקצרה ביותר מכילה T·T וב

Tואינה ב TTב aa·bb)(כלומר aabbדוגמה נוספת

0,1

1

0,1

0



לפניך השפות הבאות: .7

1L{=wזוגי| wב a { שבהן מספר ה a,b}אוסף כל המילים מעל }

2L{=wזוגי| wב b { שבהן מספר ה a,b}אוסף כל המילים מעל }

L3= { anb

m | n,m ≥ 0} }a,b{ הא"ב הוא

L4= { bna

m | n,m ≥ 0} }a,b{ הא"ב הוא

0 >=x ,n=x%3 |{ bncnax =L5} { a,b,c} הוא ב"הא

L6{ = אחת פעם בדיוק בהן מופיע ac שהרצף{ a,b,c} מעל המילים כל שפת}

את קביעתך. ונמקלפניך מספר טענות. קבע לכל אחת אם היא נכונה או לא

פתרון

1. aba Є (L1 ∩ L2)

ולפי התנאים חייב להיות זוגי. איזוגי במילה b מספר הלא כי

2. (L1 ∩ L3) ∩ L2 = { anb

m | n,m ≥ 0 , , זוגי n זוגי m } כן

3. L3 ∩ L4 = Ø (השפה הריקה(

מתקבל בשניהם a לא כי

4. L5·L5 = { bncnax bncnax | n=x%3 , x>=0 }

חייב להיות זהה לא bn לא כי

5. L5∩ L6 = Ø

L5 ב שיופיע אסור ac כי כן

6. L5∩R(L6) = { bbccaa , bca }

גם כן מתקבל bcaaaa לא כי

.{a,b}נתונות שתי שפות מעל .8

L1 = an | n>0

L2 = bn | n>0


a פתרוןn b

k n,k>0

a פתרון שגוי באחת מהן לאות אחרת. nלשנות את יע בשתי השפות רצויפומ nכיוון ש n b

n n>0



ופעולות רגולריות סגירות שפות-12דף תרגילים מספר

בין שפות

{a,b,c}השפות הבאות הינן מעל .1

L1 שפת כל המילים המתחילות בa.

L2 שפת כל המילים המתחילות בc.

L3 ב שפת כל המילים המתחילותaa.

מהן השפות הבאות? תן דוגמה למילה הקצרה ביותר המתקבלת בשפה ולמילה שאינה מתקבלת בשפה.

למילה הריקה. L1כלומר שרשור כל מילה ב L1 · e .א

L1 · Ø .ב

L1· R(L1) .ג

L1-R(L1) .ד

L1 L2 .ה

L1 · L2 .ו

21 .ז LL

L1 · R(L2) .ח

L1·L2·21 .ט LL

L1· R(L2)·21 .י LL

)1()2()21( .יא LLLRLR

eLL .יב 21

L1 L3 .יג

L1 ∩ L3 .יד

L1 · L2· L3 .טו

L3-L1 .טז

L1 - L3 .יז

האם הכללים הבאים נכונים לכל שתי שפות רגולריות? .2

BABA

BABA



{a,b,c}נתונות השפות הבאות מעל .3

L1 = {anbmn>m>0}

L2 ={bna2mm>n>0}

מהן השפות הבאות? תן דוגמה למילה הקצרה ביותר המתקבלת בשפה. תן דוגמה למילה שאינה מתקבלת

בשפה.

L1 L2 .א

L1 · L2 .ב

21 .ג LL

L1 · R(L2) .ד

L1·L2·21 .ה LL

L1· R(L2)·21 .ו LL

)1()2()21( .ז LLLRLR

∑נגדיר .4*

כאוסף כל המילים מעל א"ב נתון, כולל המילה הריקה.

כלשהי נגדיר : Lבעבור שפה

Init(L) = {u | uv Є L u,v Є ∑* }

Fin(L) = {v | uv Є L u,v Є ∑* }

Min(L) =

w Є L ובעבור כלw1 w2 המקיימות w=w1.w2 ו w2 אינה ריקהw1 אינה שייכת לL

{0,1}שפות מעל ה א"ב 5לפניך

L1={ 0n 1

n 0

k 1

k | n ≥ 1 k ≥ 0 }

L2={ 0n 1

k | n ≥ 0 k ≥ 0 }

L3={ 0i 1

i | i ≥ 0 }

L4={ 0i 1

k | k ≥ i ≥ 0 }

L5={ 0i 1

k | i ≥ k ≥ 0 }

? Init (L3) מהי השפה ? L1 ∩ L2 מהי השפה

? Є Min(L4) 0011 האם ? Fin(L3) מהי השפה

רגולרית ? L4 ∩ L5 האם ? Є Min(L5) 0011 האם



. {a , b , c}מעל הא"ב L1-L5לפניך חמש השפות )לצטר( .5

L1 = { w / זוגיאי w { -אוסף כל המילים שבהן מספר האותיות ב

L2 = { w / |w| % 3 = 2 }

L3 = { anb3n / n 0 }

L4 = { w / זוגי w ב- { אותיותאוסף כל המילים שבהן מספר ה

L5= {an bn+1 cm | n>=0, m=n%3 }

מהן השפות הבאות?

L6= L5 L1

L7 = L3 L2

L8 = L3 L4

L9 = L1 L2

L10= L3 L1

L11 = L32 . R(L5)

מה השוני בתשובה הקודמת לו .6

L1 = { w / בלבד a,b סף כל המילים שאורכן אי זוגי ומכילות את האותיות או }

{a,b}נתונות השפות הבאות מעל הא"ב .7

{L1={ an b

m n,m ≥ 0

{L2={ bn a

m n,m ≥ 0

L1מהי השפה . L2

? הוכח את תשובתך. L2 שווה R(L1)האם

(L2)האם . (L2) שווה R(L1)

.L2.הוכח את תשובתך ?



לות ופתרונות שניתנו בקורס מורים מובילים בהנחיית ד"ר מיכל ארמונישא

(חוקי סגירות של שפות רגולריות)

)איריס ברגורי( 1שאלה

. L1-אך אינן שייכות ל L2-שפת כל המילים השייכות ל L2L1. תהי {0,1}שפות מעל הא"ב L2-ו L1תהיינה

רגולרית. L2רגולריות, אז L2L1-ו L1ה הבאה: אם הוכח או הפרך (על ידי דוגמה נגדית) את הטענ

פתרון

הטענה אינה נכונה.

. = w | |w| > 3}}L1 דוגמה נגדית:

L2 = {anbn n>0}.

* L1 להראות אוטומט סופי שמקבל את היא רגולרית (להוכחה מלאה יש כמובןL1.(

* L2 – L1 ={anbnn>0, 2n<3}={anbn n=1}

היא שפה סופית (שמכילה בדיוק מילה אחת) ולכן רגולרית. L2L1כלומר,

אינה רגולרית. ומכאן ההוכחה. L2אבל ידוע כי

)ויקטוריה צורי( 3שאלה

) של אפסים ואין בהן 0-במספר כלשהו (גדול ממש מ , שמתחילות{0,1,2}שפת כל המילים מעל הא"ב Lתהי

רגולרית? הוכח את תשובתך. Lצמודות. האם 1שתי אותיות

פתרון

קל יותר לפתור שאלה זו בעזרת פירוק לשפות פשוטות יותר ושימוש בתכונות סגירות, אך גם פתרון ישיר, על

. 2כחים לטפל באות ידי בניית אוטומט הוא אפשרי. בפתרון ישיר לעיתים קרובות שו

כך: Lניתן לפרק את 21 LLL ,L1 ו-L2 {0,1,2}מעל הא"ב:

{w מתחילה ברצף לא ריק של אפסים L1={w

{w 11מכילה רצף L2={w

L1 הנה אוטומט שמקבל אותה (אוטומט דטרמיניסטי לא מלא) –רגולרית

L2 הנה אוטומט שמקבל אותה (אוטומט לא דטרמיניסטי): – רגולרית

q0 q1 0

0,1,2



1

0,1,2

q2q1 1

0,1,2

q0

מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת המשלים גם 2L ,רגולרית

ומסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך גם 21 LLL .רגולרית

:L1הנה אוטומט מתאים עבור

:L2טומט מתאים עבור והנה או

0,2

q0

1

0,1,2

q2q1 1

0,2

q 0 0

0 , 1 , 2

q 1

q 2

1

0 , 1 , 2



)ויקטוריה צור( 4שאלה

זוגי והן מקיימות לפחות אחד משני -המכילה את כל המילים שאורכן אי {a,b,c}נתבונן בשפה מעל הא"ב

התנאים הבאים:

מתחילות ומסתיימות באותה אות. .1

.aaמכילות את הרצף .2

האם השפה רגולרית? הוכח את תשובתך.

פתרון

שיר ללא שימוש בפירוק (ע"י בניית אוטומט סופי המקבל את השפה) אינו פשוט, אך ניתן להגיע פתרון י

מעל L3-ו L1 ,L2כאשר L = L1(L2 L3)לפתרון בעל מורכבות טכנית נמוכה ע"י שימוש בפירוק הבא:

{a,b,c}:

{w זוגי -באורך אי L1={w

{w מתחילה ומסתיימת באותה אות L2={w

{w מכילה את הרצףaa L3={w

:L1הנה אוטומט סופי שמקבל את

a,b,c

q0

a,b,c

q1

הנה אוטומט סופי

:L2שמקבל את

).אוטומט דטרמיניסטי עבור שפה זו הוא מורכב למדי( זהו אוטומט סופי לא דטרמיניסטי.

q1 אות המסיימת (כמובן, כלומר האות המתחילה היא גם ה –מטפל במקרה המיוחד שהמילה בת אות אחת

).q5-וq1 אפשר לאחד את

:L3הנה אוטומט סופי שמקבל את

a b c

ca

b

q0 q1

a,b,c

a,b,c

a,b,c

a,b,c

q3 q4q2

q5



q0 a

a,b,c

q2q1 a

a,b,c

הן שפות רגולריות.L3 -ו L1 ,L2לכן

רגולרית ומסגירות משפחת השפות הרגולריות L2L3מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת האיחוד גם

היא רגולרית. L2 L3(L1לפעולת החיתוך גם (



ויקטוריה צורי() 5שאלה

, ומסתיימות ברצף 10או ברצף 01, המכילה את כל המילים שמתחילות ברצף {0,1,2}נתבונן בשפה מעל הא"ב

. האם השפה היא רגולרית? הוכח את תשובתך.0111או ברצף 10

פתרון

שפה שהן ב 10111או 0111, 10פתרון ישיר שאינו משתמש בפירוק אינו פשוט, כי קל לשכוח מילים כמו

ומקיימות תנאים בחפיפה. כמובן, כאשר מפרקים את השפה לשפות פשוטות, ההתמודדות היא עם כל תנאי

בנפרד ואין צורך לחשוב על שילוב התנאים.

.{0,1,2}הן מעל הא"ב L3 -ו L1 ,L2ניתן להציג את השפה באופן הבא, כאשר

(L1L2)(R(L1)L3)

{w 01-מתחילה ב | L1={w

{w 10-ילה במתח | L2={w

{w 0111-מסתיימת ב | L3={w

L1 הנה אוטומט סופי המקבל אותה: –היא רגולרית

q0 0

0,1,2

q2q1 1


q0 1

0,1,2

q2q1 0


0q0

1q1 q4q3

0,1,2

q211

גולרית. ר R(L1)מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת ההיפוך גם

רגולריות, ומסגירות משפחת R(L1)L3-ו L1L2מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת האיחוד גם

רגולרית. (R(L1)L3)(L1L2) השפות הרגולריות לפעולת החיתוך גם



)ריקה רם( 6שאלה

מתחילה המילה אין שתי האותיות בהן 3, ובין 6שאורכן לפחות {a,b,c}שפת כל המילים מעל הא"ב Lתהי

האותיות בהן מסתיימת המילה אין שתי אותיות זהות. האם שפה זו רגולרית? הוכיחו את 3אותיות זהות ובין

תשובתכם.

פתרון

בעזרת שתי השפות הבאות: Lניתן להגדיר את

L1 היא שפת כל המילים מעל הא"ב{a,b,c} ואין בהן שתי אותיות זהות. 3שאורכן בדיוק

L2 היא שפת כל המילים מעל הא"ב{a,b,c}.

L1 .היא סופית ולכן רגולריתL2 .(מוכח בספר לתלמיד) אף היא רגולרית

L=L1∙L2∙L1 מסגירות משפחת השפות הרגולריות לשרשור גם .L1∙L2 רגולרית ולכן גםL=(L1∙L2)∙L1 .רגולרית

עותית את המורכבות הטכנית של הפתרון, שאלה זו מדגימה יפה כי השימוש בפירוק יכול להפחית בצורה משמ

ובמקרה זה אפילו אין צורך לבנות אוטומט, בעוד שבניית אוטומט ישיר לשפה כלל אינה טריוויאלית.

)אסנת אנגלמן, אסתי מאסטראסי ואורנה שטיין( 8שאלה

רגולרית. שאינן מכילות רצף של שתי אותיות זהות היא {a,b,c}הוכח כי שפת כל המילים מעל הא"ב

פתרון

:{a,b,c}ניתן לייצג את השפה בעזרת שלוש השפות הבאות, כולן מעל הא"ב

L1 היא שפת כל המילים שמכילות את הרצףaa.

L2 היא שפת כל המילים שמכילות את הרצףbb.

L3 היא שפת כל המילים שמכילות את הרצףcc.

321השפה הנדונה היא LLL

)LLL(-גם כ (וניתן להציגה 321 .(

L1 .(לא דטרמיניסטי) היא רגולרית. הנה אוטומט סופי שמקבל אותה

q0 a

a,b,c

q2q1 a

a,b,c

L3, ועבור b-ב q2-לq1 -ומ q1-ל q0-במעברים מ aנחליף את L2. עבור L3-ו L2אוטומטים דומים מקבלים את

רגולריות. L3-ו L2. לכן גם c-במעברים האלו ב aנחליף את

שון מקבלים כי השפה הנדונה רגולרית ע"י שימוש שלוש פעמים בתכונת הסגירות של השפות בייצוג הרא

הרגולריות לפעולת המשלים, ופעמיים שימוש בתכונת הסגירות של השפות הרגולריות לפעולת החיתוך.

ריות בייצוג השני מקבלים כי השפה הנדונה רגולרית ע"י שימוש פעמיים בתכונת הסגירות של השפות הרגול

לפעולת האיחוד ופעם אחת שימוש בתכונת הסגירות של השפות הרגולריות לפעולת המשלים.



)רחלי צ'רניחוב( 17שאלה

המקיימות את כל התנאים הבאים: {a,b,c}שפת כל המילים מעל הא"ב Lתהי

את וחלקה השני מכיל bcaניתן לחלק את המילה לשני חלקים כך שחלקה הראשון מכיל את הרצף .א

.acbהרצף

.bbהמילה מכילה את הרצף .ב

רצופות. aהמילה אינה מכילה יותר משלוש אותיות .ג

רגולרית? הוכח את תשובתך. Lהאם

פתרון

:{a,b,c}בעזרת השפות הבאות, כולן מעל הא"ב Lניתן לייצג את

L1 היא שפת כל המילים שמכילות את הרצףbca.

L2 ף היא שפת כל המילים שמכילות את הרצbb.

L3 היא שפת כל המילים שמכילות את הרצףaaaa.

3211 L)L))L(RL((L

L1 ,L2 ו-L3 :רגולריות

A1 עבורL1:

a,b,ca,b,c

q1b q3c q2q0 a

A2 עבורL2:

a,b,c a,b,c

q0 b q2q1 b

A3 עבורL3:

a,b,c a,b,c

a aaaq0 q4q1 q3q2

רגולרית. R(L1)מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת ההיפוך גם

גולרית. ר L1∙ R(L1)מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת השרשור גם

רגולרית. 3Lמסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת המשלים גם

3211וגם L2(L1∙R(L1))מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעולת החיתוך גם L)L))L(RL((L

רגולרית.



)דגנית מורן( 19שאלה

את כל התנאים הבאים:המקיימות {a,b,c}שפת כל המילים מעל הא"ב Lתהי

במילה הוא זוגי. bומספר האותיות abc, המילה מכילה פעמיים את הרצף aהאות לפני האחרונה במילה היא

הבא דוגמה למילה השייכת לשפה ודוגמה למילה שאינה שייכת לשפה. .א

רגולרית? הוכח את תשובתך. Lהאם .ב

פתרון

שייכת לשפה. cabcccabcaaהמילה .א

אינה שייכת לשפה. abcabcabcהמילה

:{a,b,c}נגדיר את שפות הבסיס הבאות מעל הא"ב .ב

L1 – שפת כל המילים שמכילות את הרצףabc.

L2 – שפת כל המילים בהן מספר האותיותb .זוגי

L3 – שפת כל המילים בהן האות לפני האחרונה היאa.

L = (L1∙L1)L2L3כעת

L1 הנה אוטומט סופי שמקבל אותה –רגולרית:

a,b,c a,b,c

q1a q3b q2q0 c

L2 הנה אוטומט סופי שמקבל אותה: –רגולרית

b

q0

a,c

q1

a,c

b

L3 הנה אוטומט סופי שמקבל אותה: –רגולרית

a,b,c

q0 a q2q1 a,b,c

רגולרית. מסגירות משפחת השפות הרגולריות L1∙L1מסגירות משפחת השפות הרגולריות לשרשור גם

.L = (L1∙L1)(L2L3רגולרית וגם ( L2L3לחיתוך גם



הכלת שפות

1 תרגיל

רגולרית ? 'Lמוכלת בה . האם 'Lרגולרית ו Lנתון ש

פתרון

יתכן שתהיה רגולרית ויתכן שלא.

הינה רגולרית. {a,b}שפת כל המילים מעל Lתהיי דוגמה שלא :

}|0{ המקיימים את התנאי {a,b} שפת כל המילים מעל 'Lתהיי nba nn

אינה רגולרית. 'L ראנו דוגמה שה

הינה רגולרית. {a,b}שפת כל המילים מעל Lדוגמה שכן : תהיי

הינה שפה רגולרית. aהמתחילים ב {a,b} שפת כל המילים מעל 'Lתהיי

כילה מספר סופי של מילים דוגמה נוספת:נבחר מספר סופי של מילים וכמובן שאם שפה מ

היא רגולרית.

2תרגיל

רגולרית ? Lרגולרית ומוכלת בה . האם 'Lוכן ש Lנתון

פתרון

יתכן שתהיה רגולרית ויתכן שלא.

הינה רגולרית.בלבד abהמכילה את המילה השפה 'Lתהיי דוגמה שלא :

}|0{ המקיימים את התנאי {a,b} ילים מעל שפת כל המ Lתהיי nbaL nn

שידוע שאינה רגולרית.

בלבד הינה רגולרית. abהשפה המכילה את המילה 'Lתהיי דוגמה שכן :

. aהמתחילות באות {a,b} שפת כל המילים מעל Lתהיי

L ת ומכילה את ירגולרL'



הוכחת אי רגולריות

הדוגמה הפשוטה ביותר הינה אינן רגולריות כלומר לא ניתן לבנות להן אס"ד. קימות שפות ש

}0|{ nbaL nn .מספר ה שימו לב שa ים צריך להיות שווה למספר הb.ים

.לבנות אס"ד לא ניתן אינו מוגבל nכיוון ש למשל כן ניתן היה לבנות אס"ד אך n<10לו היה תנאי נוסף והוא

בהוכחת אי רגולריות הינה בדרך השלילה. הרעיון הכללי

של פית ומט סופי. בחירה נבונה של קבוצה אינסואנו מניחים שהשפה כן רגולרית ולכן ניתן לבנות לה אוט

מקבל מילה שאסור שתתקבל כלומר שהאוטומט לסתירה אותנותביא מילים בשפה וניסיון לבנות אוטומט

שהשפה אינה רגולרית.ע יוון שמספר המילים בשפה אינסופי נובומכ

על עצמו/דומה בכל המקרים. מבנה רעיון ההוכחה חוזר

פרק זה קשה להבנה ורק לאחר קריאה איטית ומעמיקה של הדוגמאות ומעבר על פני כל הדוגמאות ניתן

להבין נושא זה.



}|0{ 1 אדוגמ nbaL nn

הוכח שהשפה אינה רגולרית

הוכחה

.לילההוכחה בדרך הש

הבונה אותה. A ידטרמיניסטנניח שהשפה רגולרית וקיים אוטומט סופי

W = {a , a2 , a3 , a4.....,am,...} הקבוצה האינסופית הבאה:בואו ונבחן את

. Lהתחלות של מילים בשפה

wi=ai , wj=a שונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש J

המגיעות לאותו מצב שאם לא W מתוך הקבוצה i ≠ J -שכך

כן אזי היה צורך באינסוף מצבים.

באוטומט. q1סמן את המצב המשותף של שתי המילים ב נ

מכאן q1 תףושתי המילים מגיעות למצב מש

מצב מקבל. q2שייכת לשפה לכן aibiהמילה ש

a -יוצא שJb

i עבור בשפה מתקבל i ≠ J

לשתי המילים), משותף q2ל q1(המסלול מ

.השפה /חוקיבניגוד לכלליוזה

תף אינה נכונה , אלא כל מילה מגיעה למצב אחר. וששתי המילים מגיעות למצב מש ההנחה שהנחנולכן

A -מצבים ב יש אינסוף שלמצב אחר . ומכאן ההיא אינסופית יוצא שכל מילה מגיע Wומאחר והקבוצה

, בניגוד להגדרת אוטומט סופי. אוטומט)(ב

אינה נכונה, והשפה אינה רגולרית. Lלכן ההנחה שקיים אוטומט סופי הבונה את השפה

q0 q1

q2 bi

ai

aJ

q0

q1

ai

aJ



שפה אי רגולריתלתבנית הוכחה

L={ }


הוכחה

.הוכחה בדרך השלילה

נה אותה.הבו A ינניח שהשפה רגולרית וקיים אוטומט סופי דטרמיניסט

)חלק מהמקרים ניתן לבחור בשלב זה תת קבוצה(ב

.Lהתחלות של מילים בשפה W = {w1 , w2 , w3 ,...} הקבוצה האינסופית הבאה:בואו ונבחן את

wiשונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש , wj

המגיעות לאותו מצב שאם לא W וצהמתוך הקב) ,=≠<,>,( i ? J -כך ש



wiהמילה wj -גם יוצא ש . מתקבלת wiw והמילה מצב מקבל q2שייכת לשפה לכן

w תמתקבל

.השפה /חוקיבניגוד לכלליזה לשתי המילים), ו משותף q2ל q1(המסלול מ בשפה


, A -מצבים ב יש אינסוף שהיא אינסופית יוצא שכל מילה מגיע למצב אחר . ומכאן Wומאחר והקבוצה

בניגוד להגדרת אוטומט סופי.

אינה נכונה, והשפה אינה רגולרית. Lם אוטומט סופי הבונה את השפה לכן ההנחה שקיי

q0

q1

wi

wj

q0 q1

q2 w wi

w2



}|0,{ 2 אדוגמ knnbaL kn


הוכחה



W = {a , a2 , a3 , a4.....,am,...} הקבוצה האינסופית הבאה:בואו ונבחן את

כלשהו. mעבור Lהתחלות של מילים בשפה

wi=ai , wj=aשונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש J

המגיעות לאותו מצב שאם לא W מתוך הקבוצה i ≠ J -כך ש


באוטומט. q1שותף של שתי המילים ב סמן את המצב המנ

aהמילה ib

J שייכת לשפה לכןq2 מצב מקבל. יוצא ש- aJb

J בשפה מתקבל

.השפה /חוקיבניגוד לכללילשתי המילים), וזה משותף q2ל q1(המסלול מ i ≠ Jעבור

אלא כל מילה מגיעה למצב אחר. תף אינה נכונה , וששתי המילים מגיעות למצב מש ההנחה שהנחנולכן




q0

q1

ai

aJ

2

q0 q1

q2 bJ

ai

aJ



}=Lים bים קטן ממספר ה aה כך שמספר {a,b}מעל { 3דוגמה


הוכחה



'}|L }0הקבוצה הבאה של מילים בשפה -בואו ונסתכל על תת 1 nbaL nn

W = {a , a2 , a3 , a4.....,am,...} הקבוצה האינסופית הבאה:ונבחן את

כלשהו. mעבור 'Lהתחלות של מילים בשפה


המגיעות לאותו מצב שאם לא W מתוך הקבוצה i ≠ J -כך ש

. J > i כן אזי היה צורך באינסוף מצבים. נניח כי

באוטומט. q1מצב המשותף של שתי המילים ב סמן את הנ

aibהמילה i+1 שייכת לשפה לכןq2 מצב מקבל. יוצא גם ש- aJ

bi+1 בשפהמתקבלת.

aים במילה aומכאן נובע שמספר ה J > iלשתי המילים). אך משותף q2ל q1(המסלול מ Jb

i+1שווה או

.השפה /חוקיליבניגוד לכלים במילה וזה bגדול ממספר ה




אינה נכונה, והשפה אינה רגולרית. Lהבונה את השפה לכן ההנחה שקיים אוטומט סופי

q0

q1

ai

aJ

2

q1 q2

ai

aJ

2

bi+1 q0



}|0,0,{ 4דוגמה jikjicbaL kji


הוכחה



.1. ומכאן ראה דוגמה מספר kצריך להיות שווה ל Iלהיות אפס . מכאן נובע ש Jנבחר את

). i(כמובן שניתן לפתור גם על ידי קיבוע של



)חלוקה ושארית בשלמים( 5דוגמה

}|0{ השפה נתונה .א 10/10 nbca nn מפורט באופן תשובתך הוכח? רגולרית השפה האם.

}|0{פה : שנתונה ה .ב 10%10 nbca nn ? רגולרית השפה האם

באופן מילולי (אין צורך להוכיח).נמק תשובתך היטב,

תשובה

}|0{ השפה א. 10/10 nbca nn L= רגולרית שפה אינה.

ההוכחה בדרך השלילה.

הבונה אותה. Aנניח שהשפה רגולרית וקיים אוטומט סופי דטרמינסטי

תהי הקבוצה האינסופית הבאה:

,......},........,,,{ 1010301020101010 icacacacaW

כלשהו. mר עבו Lהתחלות של מילים בשפה

=wi=a10c10i , wjשונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש a10c10j כך ש- i≠j מתוך

.W הקבוצה

bi עם מילה כל נשרשר משם. A באוטומט qt משתף למצב מגיעות המילים שתי כי נניח

.משותף מסלול להם ויש מאחר, qrשתי המילים מגיעות למצב משתף

בשפה גם bi a10c10j -גם ש יוצא. מקבל מצב qr לכן לשפה שייכת a10c10ibi המילה

(.10j/10≠i) השפה לכללי בניגוד וזה, i≠j עבור

תף אינה נכונה , אלא כל מילה מגיעה למצב אחר. ומאחרולכן הנחתינו ששתי המילים מגיעות למצב מש

, בניגוד להגדרת A -סופית יוצא שכל מילה מגיע למצב אחר . ומכאן יש אינסוף מצבים בהיא אינ Wוהקבוצה

אוטומט סופי.


ב.

}|0{: השפה 10%10 nbca nn .רגולרית שפההיא

n % 10 ={t | 0=< t =< 9}. רגולריות תשפו 01 שלוד חע"י אי אותה לבנות ניתן

}.........{}0|{ 91021011001010%10 bcabcabcabcanbca nnnnnn

כל אחד מאברי האיחוד הוא שפה רגולרית (ניתן לבניה ע"י אוטומט סופי דטרמיניסטי או

שפות רגולריות). מכאן עלפי תכונות הסגירות, איחוד סופי של שפות רגולריות הוא רגולרי. 3שרשור של

רגולריותהוכחת אי


6דוגמה },0|)({ 22 knncabcL kn

{a,b,c}"ב הא מעל שלעיל השפה נתונה

האם השפה רגולרית, הוכח תשובתך באופן מפורט. .א

האם השפה היא חופשית הקשר, הוכח תשובתך באופן מלא. .ב

נוכיח כי השפה אינה רגולרית בדרך השלילה.

שיש בו מספר סופי של מצבים המקבל אותה. Aגולרית, כלומר קיים אוטומט סופי נניח שהשפה היא ר

נסתכל על הקבוצה האינסופית הבאה:

W={c2, c2 (ab)2, c2(ab)4, ................., c2(ab)2n......}

שמגיעות , c2 (ab)2j ,c2 (ab)2i ij שונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש

.Aבאוטומט qלאותו מצב

c2 (ab)2j ciלה המימכאן שc2 (ab)2i ci מגיעה למצב מקבל לפי הגדרת השפה. לכן גם המילה

, וזה בסתירה להגדרת השפה.ijמגיעה לאותו מצב מקבל כאשר

ית יש אינסוף מצבים מגיעה למצב אחר, ומשום שהקבוצה היא אינסופ Wלכן כל אחת מן המילים בקבוצה

באוטומט בסתירה להגדרת אוטומט סופי.

לכן ההנחה שגויה והשפה אינה רגולרית.



)}(|,0{ 7דוגמה jijikcaabL kji

{a,b,c}מעל הא"ב שלעילנתונה השפה

האם השפה הבאה היא רגולרית? הוכח תשובתך באופן מפורט.

)}(|,0{ השפה כי נוכיח jijikcaabL kji השלילה בדרך רגולרית האינ.

שיש בו מספר סופי של מצבים המקבל אותה. Aנניח שהשפה היא רגולרית, כלומר קיים אוטומט סופי

נסתכל על הקבוצה האינסופית הבאה:

W={(ab)am, (ab)2 am, (ab)3am, ................., (ab)nam......}

שמגיעות , c2 (ab)2j ,c2 (ab)2i ij שונות יליםשתי מבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש

.Aבאוטומט qלאותו מצב

שמגיעות לאותו iam , (ab)jam i≠j(ab) שתי מילים שונותבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש

.Aבאוטומט qמצב

+ m נמשיך להפעיל את האוטומט על הרצף qממצב זה ciם לי, נקבל כי המי(ab)iamci+m

.i≠j)) מגיעות לאותו מצב באוטומט jamci+m(ab) ו

j+m=i+1+m<i+m מגיעה למצב מקבל לפי הגדרת השפה. jamci+m(ab)ילה המ

וזה בסתירה להגדרת השפה. ,מגיעה לאותו מצב מקבל( ab)iamci+m לכן גם המילה

אחר, ומשום שהקבוצה היא אינסופית יש אינסוף מצבים מגיעה למצב Wלכן כל אחת מן המילים בקבוצה

באוטומט בסתירה להגדרת אוטומט סופי.

לכן ההנחה היא שגויה והשפה אינה רגולרית.



טעויות שכיחות בהוכחת אי רגולריות

)|0,2{ הוכחה שגויה 8דוגמה nnknbaL kn

נתונה השפה שלעיל :

326365א. אילו מהמילים הבאות בשפה ,, bababa

היא אי רגולרית. Lב. הוכח כי השפה

תשובה

3265א. המילים ba,ba הן בשפה

היא אי רגולרית, נוכיח בדרך השלילה. Lב. השפה

הבונה אותה. Aנניח שהשפה רגולרית וקיים אוטומט סופי דטרמיניסטי


,......}.........,,,,{ 32 naaaaW

Lהתחלות של מילים בשפה

.W, מתוך הקבוצה i>1עבור wi=ai ,wj= ai+1נבחר שתי התחלות שונות

b2i. משם נשרשר כל מילה עם Aבאוטומט qtנניח כי שתי המילים מגיעות למצב משתף

i =aiw ,i+1 = ajwהטעות : לא ניתן להניח כי קיימות שתי התחלות ) .צב משותף(שמגיעות למ



נכונה הוכחה



הקבוצה האינסופית הבאה:בואו ונבחן את

}0,2|( nnknbaL kn

,......},,{ 32 aaaW


wi=ai , wj=ajשונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש

המגיעות לאותו מצב שאם לא W מתוך הקבוצה i≠j -כך ש


.i>j ונניח ש Aבאוטומט q1תף ונניח כי שתי המילים מגיעות למצב מש

גם בשפה aibj+1 -גם ש מצב מקבל. יוצא q2שייכת לשפה לכן ajbj+1המילה

לפחות באחד כלומר הוא jגדול מ iלשתי המילים) אך משותף q2ל q1(המסלול מ

aצריכה להיות גדולה מהחזקה של bאך החזקה של j+1לפחות

.השפה /חוקיבניגוד לכלליוזה

ה מגיעה למצב אחר. ומאחר ששתי המילים מגיעות למצב משתף אינה נכונה , אלא כל מיל ההנחה שהנחנולכן

, בניגוד A -מצבים ב יש אינסוף שהיא אינסופית יוצא שכל מילה מגיע למצב אחר . ומכאן Wוהקבוצה

להגדרת אוטומט סופי.


מהשני( שהרי חייב להיות שאחד גדול i>j )מותר להניח ש

q0 q1

q2 bJ+1

ai

aJ

q0

q1

aJ

ai



)|,0{ הוכחה שגויה 9דוגמה nkabaL nkn

נתונה השפה שלעיל : (להשלים)

היא אי רגולרית. Lהוכח כי השפה

פתרון

היא אי רגולרית, נוכיח בדרך השלילה. Lהשפה

הבונה אותה. Aנניח שהשפה רגולרית וקיים אוטומט סופי דטרמיניסטי

ן קבוצת המילים אינסופית(.להיות אפס. )עדיי kנבחר את


,......}.........,,,,,{ 32 naaaaW

Lהתחלות של מילים בשפה

wi= ai , wj= aJנבחר שתי התחלות שונות .Wעבור , מתוך הקבוצה

ם מגיעות הטעות : אין לומר נניח כי שתי המילי). Aבאוטומט q1נניח כי שתי המילים מגיעות למצב משתף

למצב משותף. )ראה דוגמה קודמת(

biמשם נשרשר כל מילה עם .

, מאחר ויש להם מסלול משותף. qrשתי המילים מגיעות למצב משתף

aiaiהמילה aJai -מצב מקבל. יוצא גם ש qrשייכת לשפה לכן

גם בשפה, וזה בניגוד לכללי השפה.

מדוע !!!!! iaJa אם אינו בשפה חייב להתקיים ש . אינו בשפהi זוגי וj אי זוגי או להיפך. כלומר יש פה

wi= ai , wj= ajהנחה על שתי ההתחלות

שהזוגיות שלהן שונה ושמגיעות לאותו מצב.. אך ניתן לבנות

משתנה. aאוטומט שבו זוגיות

q0

q1

aJ

ai



נכונה הוכחה


הבונה אותה. A ידטרמיניסטאוטומט סופי נניח שהשפה רגולרית וקיים

:)1להיות kנבחר את ( הקבוצה האינסופית הבאהבואו ונבחן את

W = {a , a2 , a3 , a4.....,am,...}



המגיעות לאותו מצב שאם לא W מתוך הקבוצה i≠ J -כך ש


.i>jונניח ש Aבאוטומט q1תף ונניח כי שתי המילים מגיעות למצב מש

גם בשפה aikbj -מצב מקבל. יוצא גם ש q2שייכת לשפה לכן aJkbJהמילה

.שפהה /חוקיבניגוד לכלליוזה Jשונה מ Iאך

ששתי המילים מגיעות למצב משתף אינה נכונה , אלא כל מילה מגיעה למצב אחר. ומאחר ההנחה שהנחנולכן

, בניגוד A -מצבים ב יש אינסוף שהיא אינסופית יוצא שכל מילה מגיע למצב אחר . ומכאן Wוהקבוצה

להגדרת אוטומט סופי.

אינה נכונה, והשפה אינה רגולרית. Lהשפה לכן ההנחה שקיים אוטומט סופי הבונה את

q0 q1

q2 kbJ

+1 a

i

aJ

q0

q1

aJ

ai



} = a,b L}כל המילים מעל הוכחה שגויה 11דוגמה


הוכחה



'}|L }0 הקבוצה הבאה של מילים בשפה-בואו ונסתכל על תת nbaL nn

W = {a , a2 , a3 , a4.....,am,...} הקבוצה האינסופית הבאה:ונבחן את

כלשהו. mעבור 'Lהתחלות של מילים בשפה

wi=ai , wj=a שונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש J

תו מצב שאם לא המגיעות לאו Wמתוך הקבוצה i ≠ J -כך ש



מכאן q1 שתי המילים מגיעות למצב משתף

מצב מקבל. q2שייכת לשפה לכן aibiהמילה ש

a -יוצא שJb

i עבור בשפה מתקבלi ≠ J ,

.'L השפה /חוקיבניגוד לכלליוזה

!!!!! המילה i

bJ

a

.Lאלא על 'L . אין להסתכל בשלב זה על השפה Lכן מתקבלת בשפה

q0 q1

q2 bi

ai

aJ

q0

q1

ai

aJ



הוכחת אי רגולריות-13דף תרגילים מספר

בצע: לכל שפה מהשפות הבאות

רשום את המילה הקצרה ביותר. .א

מילים נוספות בשפה. 4רשום .ב

וציין מה גורם לה להיות אי רגולרית.אם השפה רגולרית בנה אוטומט ואם לא הוכח שאינה .ג

)}(|,0{ {a,b,c}נתונה השפה הבאה מעל הא"ב .1 jijikcaabL kji

))}()((|0,0{ {a,b}נתונה השפה הבאה מעל הא"ב .2 2 nmbaabbL mnn

}|0,0{ {a,b,c}נתונה השפה הבאה מעל הא"ב .3 12 knbcaL nkn

נתונה השפה הבאה מעל הא"ב .4

{a,b,c}

}|0{ {a,b,c}נתונה השפה הבאה מעל הא"ב .5 nmcbcaL nmmn

6. {0>=k ,j ,i ; k היא השארית המתקבלת מחלוקתi 3 -ב |aibjck }

ים זוגי. bים ועוד מספר ה aבה מספר ה {a,b,c}מעל הא"ב Lנתונה השפה .7

הוא c -, מספר אותיות הabbaכל המילים המכילות את הצירוף היא אוסף Lהשפה .8

.b -גדול ממספר אותיות ה a -זוגי, ומספר אותיות ה

. 3, אבל ההפרש הוא לכל היותר b-קטן ממספר ה a-{ שבהן מספר הa,bשפת כל המילים מעל } .9

, וגם 3לכל היותר , וגם ההפרש הוא b-קטן ממספר ה a-{ שבהן מספר הa,bשפת כל המילים מעל } .10

. 3ההפרש הוא לכל היותר -בכל רישא של המילה

11. }0,,|{ knmca kmbn=L

). 4+5*(2+3שפת כל הביטויים החשבוניים החוקיים עם סוגריים, למשל .12

. iפותחים, לכל iמורכבת מביטוי חשבוני עם Wהקבוצה

},0,,|)({ 2 jkjnkcaabbcL jnnk



החשבוניים החוקיים בלי סוגריים.שפת כל הביטויים .13

14. },0,0|{ 2 jikjicbaL kji


{L1={ an b

k n,k ≥ 0

{L2={ bk a

n n≠k k ≥ 0 , n ≥ 1

רגולרית? נמק את תשובתך. L1האם

רגולרית? נמק את תשובתך. L2 האם

רגולרית? נמק את תשובתך. L1 * L2האם

רגולרית? נמק את תשובתך. L1 ∩ L2האם


{L1={ an b

k n≠k n,k ≥ 0

{L2={ bk a

n n≠k n,k ≥ 0

רגולרית? נמק את תשובתך. L1האם

רגולרית? נמק את תשובתך. L2 האם

רגולרית? נמק את תשובתך. L1 * L2האם


גנירויט תנוכמ - blog.csit.org.ilblog.csit.org.il/upload/filesupload/modelim_fda.pdf ·...

Documents