גנירויט תנוכמ -...

1 כל הזכויות שמורות©

אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי

שפות חופשיות הקשר

(שפת ראי לא מסומנת)

אוטומט מחסנית דטרמיניסטי

רשפות חופשיות הקש

(שפת ראי מסומנת)

סגירות:איחוד,שרשור,היפוך,

חיתוך עם שפה רגולרית

אוטומט סופי דטרמיניסטי

שפות רגולריות

סגירות:חיתוך,איחוד,שרשור,משלים,היפוך

מכונת טיורינג

Hila

עט סימון


זכויות יוצרים ©

חל משנתעלות השימוש בספר זה ה

שקלים. 10ינה ה 2012-2013

את עלות השימוש יש להעביר ל:

רמת השרון 11אברבוך חיים מרדכי

47441מיקוד

ל מנת לעשותו קריא בספר הושקעו זמן ומחשבה מרובים ע

ומובן לכל . אשמח לקבל תגובות הערות תוספות ותיקונים.

[email protected] או[email protected]

תודה מראש לכל מי שהכללתי שאלות ופתרונות שלו.

כל מי שרואה עצמו נפגע מכך נא לשלוח לי מייל.

כל הזכויות שמורות.©

כל הזכויות שמורות.©

בהצלחה

http://www.articles.co.il/article/110861/%D7%A9%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%A9%20%D7%94%D7%95%D7%92%D7%9F%20%D7%91%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%99%20%D7%9C%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%93

mailto:[email protected]




8 ...................................................... .קטנות הן עצמו בספר כאשר גדולות יצאו האנגליות האותיות הענינים בתוכן לעיתים: הערה

8 ............................................................................................................................................................................. הקדמה

8 ...................................................................................................................................................................... ללמוד כיצד

.... 9

9 ................................................................................................................................... ד"אס-דטרמיניסטי סופי אוטומט מהו

13 ...................................................................................................................................................................... שפה/מילה

16 ...................................................................................................................... מעברים פונקצית השלם-1 מספר תרגילים דף

17 ............................................................................................................................. החיצים את השלם-2 מספר תרגילים דף

19 .......................................................................... הבאים מהאוטומטים אחד לכל המתקבלת השפה את וםרש -3 מספר תרגילים דף

22 ............................................................................................................................................................... המצבים תפקיד

23 ............................................................................................................................................................ שפה תנאי צמצום

24 .............................................................................................................................................. סופי אוטומט תלבניי דגשים

25 ............................................................................................................................................................ ד"אס על תנאים

25 ......................................................................................................................................... ד"באס פתורים תרגילים אוסף

30 ..............................................................................................................נתונה לשפה מתאים ד"אס בנה-4 מספר תרגילים דף

30 ..............................................................................................................נתונה לשפה מתאים ד"אס בנה-5 מספר תרגילים דף

30 ................................................................................................................... שפה והגדרת מעקב ביצוע-6 מספר םתרגילי דף

33 ..............................................................................................................................מצב כל מייצג מה -7 מספר תרגילים דף

35 ........................................................................................................................................... טבלה באמצעות אוטומט תאור

37 ............................................................................................................................................................ "מיוחדות" שפות

37 ............................................................................................................................................................... הריקה השפה

37 .............................................................................................................................. בלבד הריקה המילה את המכילה השפה

37 .......................................................................................................................................... סופי בה המילים שמספר שפה

38 ...................................................................................................................................... ד"אס בנית -8 מספר תרגילים דף

39 .......................................................................................................................................... חזקה ידי על שמתוארות שפות

40 .................................................................................................................................. ד"אס בנית -'א 8 מספר תרגילים דף

40 ........................................................................................................................... שלם לא אוטומט/דטרמיניסטי לא אוטומט

42 ................................................................................................................................. שונים תרגילים-9 מספר תרגילים דף

47 .............................................................................................................. דטרמיניסטי לא סופי טומטאו-10 מספר תרגילים דף

48 ............................................................................................................................................................... מכפלה אוטומט

55 ............................................................................................................................... מכפלה אוטומט-11 מספר תרגילים דף

56 ................................................................................................................................................. (אלה דפים הדפס) מונחים

58 ................................................................................................................................... פעולות תחת רגולריות שפות סגירות


58 ................................................................................. (.L2 ב והן L1 ב הן המתקבלות המילים כל פירושו L1∩L2)גם - חיתוך

58 .................................................................................... (. L2 ב או L1 ב המתקבלות המילים כל פירושו L1 L2) או - איחוד

58 ......................... ( L2ל והימני L1ל שייך השמאלי שהחלק כך חלקים לשני אותן לחלק ניתן אשר המילים כל פירושו L1· L2)שרשור

R(L) היפוך פירושו L כ גם מסומן LR

. ............................................................................................................................. 58

L . ........................................................................................... 59 ב מתקבלות שאינן המילים כל פירושו L מסומן (L)משלים

59 .......................................................................................................... ( זו פעולה תחת סגורות אינן הרגולריות השפות) הכלה

59 ................................................................................................. סגירות חוקי בעזרת רגולריות בהוכחת פתורים תרגילים אוסף

61 .....................................................................................................................................שפה של רגולריות להוכחת תבנית

65 ........................................................................................................................... שפות על בפעולות פתורים יםתרגיל אוסף

68 ........................................................................................... שפות בין ופעולות רגולריות שפות סגירות-12 מספר תרגילים דף

72 ................................................................................ ארמוני מיכל ר"ד בהנחיית מובילים מורים בקורס שניתנו ופתרונות שאלות

79 ................................................................................................................................................................. שפות הכלת

81 .......................................................................................................................................................... רגולריות אי הוכחת

83 ....................................................................................................................................... רגולרית אי לשפה הוכחה תבנית

89 ................................................................................................................................. רגולריות אי בהוכחת שכיחות טעויות

95 ..........................................................................................................................רגולריות אי כחתהו-13 מספר תרגילים דף

............. 97

98 ...................................................................................................................... תרגילים באמצעות מחסנית אוטומט על הסבר

L=ANB

N N≥0 ........................................................................................................................................................... 99

L=ANB

N N>0 ......................................................................................................................................................... 100

101 .................................................................................................. .בכפולה יםB ה ממספר קטן או גדול A ה מספר בהם מקרים

L=ANB

3N N0 ......................................................................................................................................................... 101

L=A3N

BN

N>0 ......................................................................................................................................................... 101

L=A2N

B3N

N>0 ........................................................................................................................................................ 102

L= A2N

B3N

N0 ...................................................................................................................................................... 103

103 .................................................................................................... .בקבוע יםB ה ממספר קטן או גדול A ה מספר בהם מקרים

L=ANB

N+1 N0 ........................................................................................................................................................ 104

L=AN+1

BN

N0 ........................................................................................................................................................ 104

L=AN-1

BN-2

N0 ...................................................................................................................................................... 105

106 ........................................................................................................................... וקבוע כפולה של שילוב יש בהם מקרים

L=AN+1

B3N

N0 ...................................................................................................................................................... 106

L=AN+1

B3N-2

N0 .................................................................................................................................................... 106

L=AN+1

B3N-1

N0 .................................................................................................................................................... 106

L=A2N+1

B3N-1

N0 ................................................................................................................................................... 107

108 ........................................................................................................... למחסנית אחת מאות יותר להכניס נדרש בהם מקרים

L= ANB

K C

KD

N K,N>0 ............................................................................................................................................. 108

L= ANB

K+1 C

KD

N K,N>0 ........................................................................................................................................... 108

110 ...................................................................................................................................ים B ה ספרלמ שווה ים A ה מספר


110 ............................................................................................................ בחזקה מינוס סימן עקב הצבה לבצע יש בהם מקרים

L= ANB

N-KC

K N≥K≥0 .............................................................................................................................................. 111

111 ..................................................................................................................... מחסנית אוטומט בנית-14 מספר תרגילים דף

L= ANB

K+1 C

KD

N ....................................................................................................................................................... 112

L= A2N-1

B3N

............................................................................................................................................................. 112

113 ......................................................................................................................... מחסנית ואוטומט רגיל אוטומט של שילוב

S..................................................................................................................................... 115 בהכנסת צורך אין בהם מקרים

L= A2N+1

BN+2

N0 ................................................................................................................................................. 117

118 ...................................................................................................................................... (פתורים רובם) שונים תרגילים

L={ANB

KN, K≥0, K=N/2} ...................................................................................................................................... 124

124 ........................................................................................................................................................... פנינים מחרוזת

L={ (YX) (זוהר דורון) תרגילNZ

K(XY)

JN,K≥0 N<J K EVEN } ...................................................................................... 125

126 ...................................................................................................................................... דטרמיניסטי לא מחסנית אוטומט

129 .............................................................................................................................. חזקות- מחסנית לאוטומט כללים מספר

130 ............................................................................................................................ מחסנית טומטאו-15 מספר תרגילים דף

131 ............................................................................................................................ מחסנית אוטומט-16 מספר תרגילים דף

131 ..................................................................................................................... מחסנית ואוטומט דאס-17 מספר תרגילים דף

139 .......................................................................................................................................... הקשר חופשיות שפות סגירות

140 ...................... ( L2ל והימני L1ל שייך השמאלי שהחלק כך חלקים לשני אותן לחלק ניתן אשר המילים כל פירושו L1· L2) שרשור

140 ......................................................................................... (. L2ב או L1 ב המתקבלות המילים כל פירושו L1L2) איחוד

L ................................................................................................................................................................... 140 היפוך

(L1∩L2 ב הן המתקבלות המילים כל פירושו L1 ב והןL2 .) ............................................................................................. 141

141 .................................................................................... הקשר חופשית שפה נותן רגולרית שפה עם הקשר חופשית שפה חיתוך

141 ............................................................................................... הקשר חופשי אינו שחיתוכן הקשר חופשיות שפות שתי חיתוך

.................................. 141

142 ......................................................................................................................................................... טיורינג מכונת מהי

143 ................................................................................................................................................................. מקבל מצב

144 ....................................................................................................................... תרגילים באמצעות טיורינג מכונת על הסבר

144 .................................................................................... ({A,B} מעל בשפה)A ל B ו B ל A המחליפה טיורינג מכונת :א דוגמה

144 .................................................................................... ({A,B} מעל בשפה)המילה בסוף A המוסיפה טיורינג מכונת :ב דוגמה

144 .............................................................................. ( {1{ מעל בשפה)איזוגי באורך למילה 1 המוסיפה טיורינג מכונת :ג דוגמה

145 ...................................................................................... ( { A,B { מעל) A האחרונה שהאות הבודקת טיורינג מכונת :ד דוגמה

145 ..................................................................... ( { A,B { מעל) לאחרונה זהה הראשונה שהאות הבודקת טיורינג מכונת :ה דוגמה

146 .......................................................................................................................................טיורינג במכונת 1 תרגילים דף

147 ................................................................ (דטרמיניסטי סופי אוטומט להן לבנות ניתן) רגולריות שפות לבדיקת טיורינג מכונת

148 .......................................................................................................... רגולריות ולא הקשר חופשיות לשפות טיורינג מכונת


150 ................................................... שווה ובסוף בהתחלה Aה רצף ואורך Aב ומסתיימות A ב שמתחילות {A,B} מעל מילים מקבלת

151 ......................................................................................................................... הקשר חופשיות לא לשפות טיורינג מכונת

N≥0 A מהצורה {A,B,C} מעל המילים את מקבלתNB

NC

N.................................................................................................... 151

151 ...................................................................................................................................... שונים תרגילים – יורינגט מכונת

152 ............................................................................... .דולר בסימני ים A ה רצף את ותוחמת בסופו A מוסיפה A של רצף מקבלת

F(X,Y)=X+Y ................................................................................................................................................... 152 חיבור

F(X)=2X ................................................................................................................................................................. 153

F(X,Y)=X-Y X>Y X>0 ................................................................................................................................... 153 חיסור

154 .................................................. .שונות גדולות אותיות בשתי בשימוש צורך ואין בלבד X ב להשתמש בפיתרון ניתן למעשה

F(X,Y)=X+Y-Z X+Y>Z Y≥0 X >0 .................................................................................................................. 154 חיסור

159 ............................................................................................... אונרי מספר עבור בשלוש חלוקה המבצעת טיורינג מכונת הבנ

L= ANB

NC

2N N>=0 ................................................................................................................................................. 162

L= ANB

NC

M M>=N ................................................................................................................................................. 162

L= ANB

NC

M N>=M ................................................................................................................................................. 163

164 ....................................................................................................................... טיורינג מכונת ידי על המתקבלת השפה מהי

F(X,Y)=X*Y Y>0 X>0 ..................................................................................................................................... 166 כפל

170 ...................................................................................................................................................טיורינג במכונת תבניות

171 ...................................................................................................................................... סיכום דפי-ולבגרות למגן הערות

181 .................................................................................................................................................... (מלא לא) שאלות סוגי

181 ........................................................................................................................................................................ בגרויות

182 ..................................................................................................................................................................... ז"תשמ

182 .................................................................................................................................................................... ח"תשמ

183 .................................................................................................................................................................... ח"תשמ

184 .................................................................................................................................................................... ט"תשמ

184 ......................................................................................................................................................................... תשן

185 ....................................................................................................................................................................... תשנב

185 ...................................................................................................................................................................... תשנג

187 ...................................................................................................................................................................... ס"תש

188 .................................................................................................................................................................... א"תשס

191 ................................................................................................................................................................ 13 ב"תשס

192 ................................................................................................................................................................ 14 ב"תשס

192 ................................................................................................................................................................ 15 ב"תשס

193 ................................................................................................................................................................ 16 ב"תשס

193 ...................................................................................................................................................................... פתרון

193 ................................................................................................................................................................ 11 ג"תשס

194 ................................................................................................................................................................ 12 ג"תשס

195 ................................................................................................................................................................ 13 ג"תשס

196 ................................................................................................................................................................ 14 ג"תשס

196 ................................................................................................................................................................ 15 ג"תשס

196 ................................................................................................................................................................ 16 ג"תשס


197 ................................................................................................................................................................ 13 ד"תשס

198 ................................................................................................................................................................ 14 ד"תשס

198 ................................................................................................................................................................ 15 ד"תשס

198 ................................................................................................................................................................ 16 ד"תשס

200 ................................................................................................................................................................ 13 ה"תשס

201 ................................................................................................................................................................ 14 ה"תשס

201 ................................................................................................................................................................ 15 ה"תשס

201 ................................................................................................................................................................ 16 ה"תשס

203 ................................................................................................................................................................ 13 ו"תשס

204 ................................................................................................................................................................ 14 ו"תשס

204 ................................................................................................................................................................ 15 ו"תשס

205 ................................................................................................................................................................ 16 ו"תשס

206 ................................................................................................................................................................ 13 ז"תשס

206 ................................................................................................................................................................ 14 ז"תשס

207 ................................................................................................................................................................ 15 ז"תשס

207 ................................................................................................................................................................ 16 ז"תשס

208 ...................................................................................................................................................................... פתרון

209 ................................................................................................................................................................ 13 ח"תשס

210 ................................................................................................................................................................ 14 ח"תשס

211 ................................................................................................................................................................ 15 ח"תשס

212 ................................................................................................................................................................ 16 ח"תשס

212 ................................................................................................................................................................ 13 ט"תשס

213 ................................................................................................................................................................ 14 ט"תשס

214 ................................................................................................................................................................ 15 ט"תשס

214 ................................................................................................................................................................ 16 ט"תשס

216 .................................................................................................................................................................. 13 ע"תש

216 .................................................................................................................................................................. 14 ע"תש

217 .................................................................................................................................................................. 15 ע"תש

219 .................................................................................................................................................................. 16 ע"תש

231 ......................................................................................................................................................... 2011 בגרות מבחן

233 ......................................................................................................................................................... 2012 בגרות מבחן

236 ................................................................................................................................................ 2012 בגרות מבחן פתרון

............................................ 246


הערה: לעיתים בתוכן הענינים האותיות האנגליות יצאו גדולות

.אשר בספר עצמו הן קטנותכ

הקדמה

הנושא מודלים חישוביים הינו נושא הנלמד גם במסגרת לימודים על תיכוני. לימוד הנושא במוסד אקדמי

תוכנית הלימודים רוב את קיף כולל הרחבה של הנושא מעבר לתוכנית הלימודים בתיכון. הספר שלהלן מ

לפי הנחיות משרד החינוך.

מכיל הרחבה של תוכנית הלימודים למרות הסבר המושגים בויקיפדיה נעשה באופן מדעי/אקדמי וכאמור

זאת מומלץ לעיין בו.

כיצד ללמוד

עליכם לקרוא את הספר .

.כמו כן לעיין היטב בתרגילים הפתורים ובכל מה שמסומן בירוק עם רקע צהוב דוגמאחובה לעין בכל

אין לעבור לפרק הבא לפני שפתרתם מספר תרגילים מכל פרק.

ום.לקרוא היטב את עמודי הסיכ

kadman.netלגבי מבחני בגרות ןפתרונותיהם מומלץ לעיין באתר של הילה קדמן


מהי מכונת טיורינג

ל לבצע כל חישוב או אלגוריתם הניתן לביצוע במחשב. מכונת טיורינג הינה מודל מופשט המסוג

תו . ראש הקריאה כתיבה נמצא על מכיל את הסמל "ריק"המכונה מקבלת סרט המכיל סימן ראש סרט תווים ולבסוף

.את הסמל "ריק"מסמן ∆מסמן את ראש הסרט. ├התו הראשון מימין לראש הסרט. על לרובכלשהו

את הסמל "ריק" לסימן רווח(בלבד לצורך ההבנה ות )ניתן לדמ

├aaaaaaaa∆∆∆∆∆∆

.שאז אין שינוי בסרט( כולל הוא עצמו)המכונה עוברת על הסרט ומחליפה כל תו בתו אחר

המכונה יכולה לנוע שמאלה או ימינה כאשר אסור לה לנוע משמאל לסימן תחילת הסרט.

הסרט יראה a/bימין דוגמה : לאחר הפעולה

├baaaaaaa∆∆∆∆∆∆



המכונה מורכבת מהחלקים הבאים:

המחולק לתאים והוא אינסופי ימינה. סרט

שמסוגל לקרוא את תוכן התא ולכתוב לתוכו מיד לאחר הקריאה ולאחר מכן לזוז ימינה או שמאלה. ראש

.מצב התחלתי

ינה או תא אחד שמאלה(, כל זאת בהתאם למצב לכתוב בתא, לאן לזוז )תא אחד יממה הוראות המורות לראש

הנוכחי )כפי שהוא רשום באוגר המצב( ולסמל/אות/סימן שנקרא מהתא הנוכחי. אם אין בטבלה התייחסות לצירוף

. המכונה עוצרתשל המצב והסמל הנוכחיים,

כל מרכיביה של מכונת טיורינג הם סופיים, מלבד הסרט שאינו מוגבל באורכו.

הקלט. הקלט הוא תמיד סופי, -ינג מתחילה את פעולתה במצב ההתחלתי, כשעל הסרט כתוב מידע כלשהו מכונת טיור

והאלפבית של האותיות שמרכיבות אותו הוא חלקי ממש לאלפבית של הסימנים שניתן לרשום על הסרט.

או שלא יה לעצורמטרתו לציין את סיום הקלט. המכונה יכולה לשנות את מצבו של הסרט ולבסוף עשו ∆הסימן

. לעצור

במטרה להגיע ,באופן כללי המכונה נעה על הסרט ימינה ושמאלה בהתאם לנדרש ומחליפה כל אות )סימן( באות

לתוצאה הרצויה.

התוצאה הרצויה יכולה להיות החלטה אם מילה מתקבלת בשפה או שלא , או תוצאה של פונקציה מסוימת למשל

המספר למספר המתחלק בשלוש ללא שארית. שארית חלוקה בשלוש, או השלמת

לפי תוכנית הלימודים קיימת מוסכמה שבכל מכונת טיורינג יש מצב מקבל: מצב מקבל

.באם המכונה בודקת האם מילה שייכת לשפה הרי מצב מקבל == אכן המילה משתייכת לשפה

aשייכת לשפה aabbccלמשל האם המילה nb

nc

n

אם אורך המילה איזוגי מוסיפה באם המכונה מבצעת משהו למשלa אחרת משאירה ללא שינוי בסוף המילה

אזי מצב מקבל == סיימנו את המשימה ובצענו אותה בהצלחה.

השפמכונה הבודקת ראה תחילה נראה דוגמה למכונה המבצעת פונקציה לאחר מכן נ נא עיינו בדוגמאות הבאות:

מט מחסנית וחופשית הקשר )כאלה שאוט השפמכן מכונה הבודקת לאחר רגולריות)כאלה שניתן לבנות להן אס"ד(,

ולבסוף נחזור ונראה מכונות המבצעות חופשיות הקשר השאינאחר מכן מכונה שבודקת שפה יכול לטפל בהן( ל

פונקציות.

הגדרת מספר אונרי:

0 ערכוכלום

1ערכו 1

2ערכו 11

3ערכו 111

וכו



באמצעות תרגיליםטיורינג מכונתהסבר על

({a,b} מעל בשפה )aל bו bל aמכונת טיורינג המחליפה דוגמה א:

ל aמכונה נמצא על התו הראושן(השמאלי) ומשנה הכאשר ראש {a,b}בנה מכונת טיורינג המקבלת מילה מעל b וb לa .

.הבהצלח ההמצב המקבל פירושו שהצלחנו לסיים את המשימה ולבצע אות

({a,b} מעל בשפה )בסוף המילה aמכונת טיורינג המוסיפה דוגמה ב:

וסיפה מן(השמאלי) וומכונה נמצא על התו הראשהכאשר ראש {a,b}בנה מכונת טיורינג המקבלת מילה מעל a .מימין למילה

({ 1{ מעלבשפה למילה באורך איזוגי) 1מכונת טיורינג המוסיפה דוגמה ג:

bב a ננוע רק ימינה ונחליף הרעיון:

b בa

aב a ננוע רק ימינה ונחליף הרעיון:

b בb

aאת הסמל "ריק" הראשון נחליף ב

1ב 1 ננוע רק ימינה ונחליף הרעיון:

כאשר המעבר בין שני המצבים הוא

מונה זוגיות אי זוגיות.

באם הגענו סמל "ריק" הראשון

כשמספר האחדים אי זוגי נחליף אותו ב

1


a / b ימין

b / a ימין

ימין /

ימין 1/1

ימין 1/ ימין 1/1

a / a ימין

b / b ימין

/a ימין


({ a,b { )מעל aהבודקת שהאות האחרונה מכונת טיורינג ד: דוגמה

({ a,b { )מעלהבודקת שהאות הראשונה זהה לאחרונה מכונת טיורינג דוגמה ה:

ננוע ימינה וכשנגיע לסימן ריק הרעיון:

aו הינו נחזור שמאלה ונבדוק האם הת

אחרי התו הראשון נתפצל הרעיון:

לשני מסלולים

a/a ימין

b/b ימין

a/a ימין

b/b ימין

a/a ימין b/b ימין


שמאל /

שמאל /

שמאל /


a/a ימין



במכונת טיורינג 1דף תרגילים

)בודקת( עבור כל מכונה אמור מה היא מבצעת

{ )1{(מעל

{ ){a,b(מעל

a / a ימין

b / b ימין

/a ימין

a/b ימין

ימין /

b/a ימין

b/b

ימין

a/a ימין

ימין /


ימין 1/1

ימין 1/ ימין 1/1

יןימ 1/

ימין 1/


שפות רגולריותבדיקת מכונת טיורינג ל

)ניתן לבנות להן אוטומט סופי דטרמיניסטי(

{a,b,c}מעל aמקבלת את המילים המתחילות ב בנה מכונת טיורינג ה

בניה על סמך אס"ד מתאים. הרעיון

שרצוי לבדוק : םמקרי

. aמילים מתקבלות:

.c , ba : תומתקבל ןשאינים ילמ

בנינו מכונת טיורינג לשפה רגולרית.

בנה מכונת טיורינג ה W|%3=1| שכך {a,b,c}מקבלת את המילים מעל

. a aa aaa ם שרצוי לבדוק:מקרי בניה על סמך אס"ד מתאים. הרעיון

בנינו מכונת טיורינג לשפה רגולרית.

a/a ימין

a / a ימין

b / b ימין

c / c ימין

ימין /

ימין /

a / a ימין b / b ימין c / c ימין

a / a ימין b / b ימין

c / c ימין

a / a ימין b / b ימין c / c ימין



ולא כונת טיורינג לשפות חופשיות הקשרמ

רגולריות

n≥0 a מהצורה {a,b}בנה מכונת טיורינג המקבלת את המילים מעל nb

n

.aמ bשפירושו שאין יותר Y. בסוף התהליך לסרוק שיש רק Yולהפוך ל bלחפש Xל aלהפוך את : הרעיון

. bab abab aab abb ab ם שרצוי לבדוק : מקרי

בנינו מכונת טיורינג לשפה חופשית הקשר שאינה רגולרית.

שים לב

q0נתקע ב bעבור מילה המתחילה ב

4q) ובמצב bbbaabbהראשון המיותר ( bנתקע ב aabbbbbעבור

. bכאשר לא קיים עבורו q1 ובמצבמיותר aנתקע ב aaaabbועבור

aabbמעקב אחר המילה

מצב אות נבדקת מצב חדש שינוי

aX q1 abba q0

q1 bbaX q1 ללש

bY q2 bbaX q1

q2 q2 ללש

q0 a/X ימין

a/a ימין

q5

ימין ∆/∆

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y שמאל q2

a/a שמאל Y/Y שמאל

q4

Y/Y ימין

Y/Y ימין

ימין ∆/∆



בנה מכונת טיורינג ה

n≥0 aמהצורה {a,b}מקבלת את המילים מעל nb

n

הראשון. סימן הריק באם המילה אינה מתקבלת יש למחוק אותה מהסרט באם מתקבלת יש לנוע סביב

יש להוסיף את המקרים המבוקשים.כמו בתרגיל הקודם רק ש :הרעיון

בנינו מכונת טיורינג לשפה חופשית הקשר שאינה רגולרית.

שים לב

. bכאשר לא קיים עבורו q1מיותר ובמצב aנתקע ב aaaabbלדוגמה anbk n>kעבור מילה מהצורה

q0נתקע ב bעבור מילה המתחילה ב

q4) ובמצב bbbaabbהראשון המיותר ( bב נתקע aabbbbbעבור

q4) ובמצב bbaaabהשלישי ( aנתקע ב aababbעבור

q4) ובמצב bbaaabהשלישי ( aנתקע ב aabbaעבור

שמאל ∆/∆ימין ∆/∆יש להוסיף q6 q5ליד

המילה מתחילה

bב

anbk n>k

גדול bמספר ה במילה aממספר ה

…abaאו מהצורה

q0 a/X ימין

a/a ימין

q5

ימין ∆/∆

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y שמאל q2


q4

Y/Y ימין

Y/Y ימין

ימין ∆/∆

שמאל ∆/∆

תבנית

מחיקה

b/b שמאל

b/b שמאל

a/a שמאל

q6



בנה מכונת טיורינג ה

ואורך aב ותומסתיימ aב ותשמתחיל {a,b}מקבלת מילים מעל בהתחלה ובסוף שווה aף הרצ

וכך לחזור על התהליך. Yבסוף ולהפוך ל aלחפש Xל בתחילת המילה aלהפוך :הרעיון

(רק שני הימניים מתקבלים). aab baa aabababaaa aaababaa aaaa aabaaם שכדאי לבדוק:מקרי

אחת). bיש לפחות ניתן לפתור באמצעות אטומט מחסנית לא דטרמיניסטי (דטרמיניסטי אם

q0 a/X מיןי

a/a ימין

q1

b/b ימין

שמאל q3 q2 a/Y שמאל ∆/∆

b/b שמאל a/a שמאל

Y/Y שמאל

X/X ימין q4

a/X ימין

a/a ימין

q5

b/b ימין

q6 b/b שמאל

b/b ימין

q7

Y/Y שמאל

Y/Y שמאל



מכונת טיורינג לשפות לא חופשיות הקשר

בנה מכונת טיורינג ה n≥0 anbncnמהצורה {a,b,c}מקבלת את המילים מעל

לחזור לאחור ולחזור על התהליך. Zולהפוך ל cלחפש Yולהפוך ל bלחפש Xל aלהפוך את : הרעיון

abc , ab , a , aabc , abccשווה לאפס, n :לבדוק כדאים שמקרי

q0 a/X ימין

a/a ימין

q5

ימין /

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y ימין q2

b/b ימין

Z/Z ימין

c/Z שמאל

b/b שמאל

Z/Z שמאל


q3

q4

Y/Y ימין

Y/Y ימין

Z/Z ימין

ימין /



תרגילים שונים – מכונת טיורינג

בנה מכונת טיורינג ה ים בסימני דולר. aה רצף בסופו ותוחמת את aמוסיפה aמקבלת רצף של

המטרה : לקבל תוצאה תחומה בין שני סימני דולר

∆aaaaaaaa├דוגמת סרט לפני:

∆$aaaaaaaaa$├דוגמת סרט אחרי:

ורווח נוסף יהפוך לדולר. aהראשון נהפוך לדולר , שני רווחים בסוף נהפוך לשני aאת ה הרעיון :

ים.aים שווה לאפס, כלומר אין aמספר ה :ים שכדאי לבדוקמקר

f(x,y)=x+yחיבור

├1111#1111111∆ הקלט הינו במבנה הבא

├$11111111111$∆ הפלט :

ורווח נוסף יהפוך לדולר. aהראשון נהפוך לדולר , שני רווחים בסוף נהפוך לשני aאת ה הרעיון :

.לקבל תוצאה תחומה בין שני סימני דולר המטרה :

.שווה לאפס x :לבדוק ה שכדאימקר

/a ימין a / $ ימין

a / a ימין

/a ימין $/ ימין

ימין $/

ימין 1 / # ימין $/1

ימין 1/1 ימין 1/1

ימין $ / #

∆ימין $/



f(x)=2x

∆111├ הקלט הינו במבנה הבא

...111תחילה לשים $ לאחר ה :הרעיון

אחדים 2רווחים ל 2נחליף Xלאחר מכן על כל אחד שנהפוך אותו ל

לבסוף נוסיף $

$111111$ לקבל תוצאה תחומה בין שני סימני דולר המטרה :

.שווה לאפס x :לבדוק ם שכדאימקרי

הוספת $ בסוף המילה

אחדים 2רווחים ל 2החלפת


X/X ימין

שמאל $/∆ שמאל 1/∆ ימין 1/∆

ימין 1/1

1/X ימין

ימין $/$ ימין 1/1

שמאל $/$ שמאל 1/1

שמאל 1/1

ימין ├/├

ימין 1/1

ימין $/$

ימין $/∆



f(x,y)=x-y x>y x>0 חיסור

∆1111111#111├ הקלט הינו במבנה הבא

....$1111$.…├ המטרה : לקבל תוצאה תחומה בין שני סימני דולר .1שווה y שווה אפס y :לבדוק ם שכדאימקרי

בלבד ואין צורך בשימוש בשתי אותיות גדולות שונות. Xלמעשה ניתן בפיתרון להשתמש ב


פעולת החיסור

חזרה להתחלה

ימין $/#

1 / Y שמאל

X/X ימין Y/Y ימין ימין $/$

ימין 1 / 1

1 /X ימין

X/X שמאל Y/Y שמאל

שמאל $/$

X/X שמאל

Y/Y שמאל

שמאל $/$

שמאל 1/1

שמאל ∆/∆

ימין 1 / 1

ימין $/1

ימין 1/ $

ימין $/∆

ימין X/1 ימין ├/├

X/$ ימין

ימין $/$

0שווה yכאשר


f(x,y)=x+y-z x+y>z y≥0 x >0 חיסור

∆x=7 y=4 z=5 ├1111111#1111#11111 הקלט הינו במבנה הבא

....$111111$.…├ המטרה : לקבל תוצאה תחומה בין שני סימני דולר


ימין 1/#

שמאל $ / 1

ימין 1 / 1 ימין $/$

ימין $/ 1

שמאל $/$

שמאל ∆/∆

פעולת החיסור ימין $/# ימין $/1

ימין 1 / 1

פעולת החיבור


שאלה

.3ינג המקבלת על הסרט מילה באורך אי זוגי שאורכה לפחות נתונה מכונת טיור

(הינך יכול לתאר את הקטע הסופי של המכונה במילים) . 01100א. בצע מעקב עבור המילה

רשום מה מבצעת המכונה. .ב

q0

0/X ימין 1/Y ימין

q1


q2

q4

X/X שמאל

Δ/Δ שמאל


שמאל 0/0

שמאל 1/1

1/X שמאל

0/X שמאל

q3 X/X ימין Y/Y ימין

X/X שמאל

Y/Y שמאל

q9 q6

X/X שמאל

q5

X/X שמאל

Y/Y שמאל

X/X שמאל

Y/Y שמאל

ימין ├/ ├

ימין ├/ ├

X/0 ימין Y/0 ימין

q10 q7

X/1 ימין Y/1 ימין

X/ Δ ימין

Y/ Δ ימין

Δ / Δ ימין

X/ Δ ימין

Y/ Δ ימין

Δ / Δ ימין


q11 q8


עושים מתקבל(פתרון )כל מעקב שבו מובן מה

מצב אות נבדקת מצב חדש שינוי

X0 q1 11001 q0

q2 1001X q1 ללש q2 0011X q2 ללש

q2 0111X q2 ללש

q2 1011X q2 ללש

q3 Δ 1100X q2 ללש

X0 q4 1011X q3 q4 X111X q4 ללש

q4 X011X q4 ללש q4 X011X q4 ללש

q0 X011X q4 ללש

Y1 q1 X011X q0 q2 X01YX q1 ללש q2 X11YX q2 ללש q3 X10YX q2 ללש

X0 q4 X11YX q3 q4 XX1YX q4 ללש q0 XX1YX q4 ללשY1 q1 XX1YX q0 q5 XXXYY q1 ללש q9 XXYXY q5 ללש q9 XYXYX q9 ללש q9 XYYXX q9 ללש q10 XYYXX├ q9 ללש

X 1 q11 XYYXX q10

ך רווחים ונעה לאינסוףלאחר מכן המכונה רושמת מהמקום השני ואיל

המכונה רושמת במקום הראשון במילה את התו האמצעי.



שאלה

{ ומקבלת מילה. אם אורכה זוגי משאירה ואם אורכה אי זוגי a,bנתונה מכונת טיורינג , העובדת על הא"ב }

abbabמוחקת. בצע מעקב אחר המילה

תיאור ומיקום ראש מצב זזים

∆q0 ├abbab ימינה

∆q1 ├abbab הימינ




∆q1 ├abbab שמאלה

∆q2 ├abbab שמאלה

∆∆q2 ├abba שמאלה

∆∆∆q2 ├abb שמאלה

∆∆∆∆q2 ├ab שמאלה

∆∆∆∆∆q2 ├a שמאלה

∆∆∆∆∆∆├ q2 שמאלה

∆∆∆∆∆∆├ q3 ימינה

ימין ├/ ├

q0

a/ שמאל

q2

q1 שמאל /

a/a ימין

b/b ימין

b/ שמאל

ימין /

ימין ├/ ├

a/a ימין

b/b ימין

q4

q3



בשלוש עבור מספר אונרי בנה מכונת טיורינג המבצעת חלוקה

ים נשים אחד -1. על כל שלושה xל 1ים. לאחר מכן נעבור ונחליף כל 1-תחילה נשים $ לאחר כל ה הרעיון:

בסוף,

בסוף. 1לשים xואז על כל xרעיון מסובך ומיותר: לבעור ולהחליף כל שלישי ל

מ

כ

ו

נ

ת

ט

י

ו

ר

י

נ

ג

מכונת

טיורינג

q0 a

/

X

י

מ

י

ן

a/a ימין

q5

/

י

מ

י

ן

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y

ימי

ן

q

2

b/b ימין Z/Z ימין

c/Z שמאל b

/

b

ש

מ

א

ל

Z/Z

שמאל


q3

q4



מכונת טיורינגבנה -2דף תרגילים מספר

L={anbncm|m>=n}ה מכונת טיורינג לשפה הבאה: בנ .1

L={ anbnc2n |n>=0}בנה מכונת טיורינג לשפה הבאה: .2

L={anbncm|n>=m}בנה מכונת טיורינג לשפה הבאה: .3

.Lובודקת האם היא שייכת לשפה {a,b,c}בנה מכונת טיורינג המקבלת מילה מעל הא"ב .4

{m היא שארית החלוקה שלn 2 –ב ,L={ anb2ncm | n>=0

או שהיא מכילה {:מילה שייכת לשפה אם היא ריקה,a,bבנה מכונת טיורינג לשפה הבאה מעל } .5

למשל: aאחת וגם מתחילה ומסתיימת בדיוק באותו רצף של אותיות bלפחות

aabababbaa abbaba babbb

$. ניתחומה בסימ{ ומחזירה אותה מילה הפוכה a,bרינג המקבלת מילה מעל הא"ב}בנה מכונת טיו .6

המופעים במילה תחום a-ת את מספר האונרי{ יש לכתוב בa,bנתונה על הסרט מילה מעל הא"ב} .7

בסימני $

בין b-ומספר ה a{ ומחזירה את ההפרש בין מספר a,bבנה מוכנת טיורינג המקבלת מילה מעל א"ב } .8

תחום $.

-{ ובודק אם המילה היא באורך זוגי ומסתיימת ב a,bבנה מכונת טיורינג המקבלת מילה מעל א"ב } .9

aa.אם כך המכונה מקבלת אותה,אחרת יש למחוק את המילה מהסרט,

.ן $תחום בי X+1ת יש לכתוב על הסרט אונריב Xנתונה על הסרט מספר .10

ת אונריב X+Y+1ת מופרדים ע"י #,יש לכתוב על הסרט אונריב X,Yנתונה על הסרט מספרים .11

.תחום בין סימני $

ת תחום אונריב X-Yת מופרדים ע"י #,יש לכתוב על הסרט אונריב X,Yנתונה על הסרט מספרים .12

)X>=Yבין סימני $(

ת מופרדים ע"י #,יש לכתוב על הסרטאונריב X,Yנתונה על הסרט מספרים .13

X DIV Y ת תחום בין סימני $(אונריבY≠0(

ת תחום אונריב X % Y ת מופרדים ע"י #,יש לכתוב על הסרטאונריב X,Yנתונה על הסרט מספרים .14

)Y≠0בין סימני $(

ת תחום ביןאונריב n-mלכתוב על הסרט יש L={ anbm |n>=m}נתונה על הסרט מילה מהשפה .15

$ סימני

.מספרים חיוביים x,y,zכאשר f(x,y,z)=x+y-zבנה מכונת טיורינג המחשבת את הפונקציה: .16

$ ניבין סימהתוצאה תהיה

f(x)=3xבנה מכונת טיורינג המחשבת את הפונקציה: .17

(הערך השלם) f(x)=x / 2 יהבנה מכונת טיורינג המחשבת את הפונקצ .18

f(x,y)=(x*y) בנה מכונת טיורינג המחשבת את הפונקציה .19

f(x,y)=(x+y)2 בנה מכונת טיורינג המחשבת את הפונקציה .20



פתרון 1

Y/Y ימין

Y/Y ימין

Z/Z ימין

ימין /

q6 c/Z ימין

c/Z ימין



בנה מכונת טיורינג לשפה הבאה:

L= anbnc2n n>=0


L= anbncm m>=n

Y/Y ימין Z/Z ימין

q0 a/X ימין

a/a ימין

q5

ימין /

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y ימין q2

b/b ימין

Z/Z ימין

c/Z שמאל

b/b שמאל

`Z/Z שמאל


q4

q4

Y/Y ימין

ימין /

q3 c/Z שמאל

Y/Y ימין Z/Z ימין c/Z ימין

q0 a/X ימין

a/a ימין

q5

ימין /

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y ימין q2

b/b ימין

Z/Z ימין

c/Z שמאל

b/b שמאל

`Z/Z שמאל


q3

q4

Y/Y ימין

ימין /




L= anbncm n>=m

bאחד ולכל היותר a{ שיש בהן לפחות a,bבנה מכונת טיורינג המקבלת את כל המילים מעל א"ב }

אחד.

אחד, המכונה לא תעצור. bאם יש יותר מ

Y/Y ימין Z/Z ימין

q0 a/X ימין

a/a ימין

q5

ימין /

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y ימין q2

b/b ימין

Z/Z ימין

c/Z שמאל

שמאל /

b/b שמאל

`Z/Z שמאל


q3

q4

Y/Y ימין

ימין /

q0

a/a ימין

q5

q2

q1

b/b ימין

q3

ימין / b/b ימין

a/a ימין

a/a ימין

a/a ימין

ימין /

ימין /

q4

a/a ימין

ימין /

b/b ימין

q4

a/a ימין

b/b ימין

b/b ימין



נתונה מכונת טיורינג-19ם מספר דף תרגילי

כונת טיורינגמהי השפה המתקבלת על ידי מ

1תרגיל

{:a,b,cהא"ב } מעל נתונה מכונת טיורינג ,

cabc , bca, ba abac ,הצג את תהליך חישוב של המכונה על כל אחת מהמילים הבאות:

ה לא עוצרת.{ עבורן המכונa,b,cתאר את קבוצת המילים מעל הא"ב } .1.1

ידי מכונה זו?-מהי השפה המתקבלת על .1.2

2תרגיל

{:a,b,cנתונה מכונת טיורינג ,מעל הא"ב }

מה מבצעת המכונה?

a/a ימין,

b/bימין,

c/cימין,

q5 ,/שמאל

q4 q3

c/cימין,

a/aימין ,

q2 a/aימין ,

b/b, ימין

q0 q1 a/aימין ,

a/aימין,

c/cימין,

b/bימין,

q8

,/שמאל / ימין,

a/a שמאל, c/cימין, a/aימין ,

b/bימין ,

q6

q7 q9 q10

q0 b/b ימין

c/c ימין

a /a ימין b/b ימין c/c ימין

q2 q5 q8

q3

a/a ימין

q1



,/שמאל

,/שמאל

,/שמאל

q4

q6

a /b ימין b/b ימין c/b ימין

a /c ימין b/c ימין c/c ימין

a /a ימין b/a ימין c/a ימין

q7

q9

,/שמאל

q5

,/שמאל

,/שמאל



3תרגיל

?ת טיורינג הבאהמה מבצעת מכונ

4תרגיל

?{a,b}מעל מה מבצעת מכונת טיורינג הבאה

q0 q1

q3

q2 a/a,ימין

b/b,ימין

∆/$, שמאל

,├/├ימין

∆/a, שמאל

a/a,שמאל

b/b,שמאל

q4 a/X, ימין

X/X,שמאל

b/X, ימין ∆/b, שמאל

q4

X/X,ימין

$/$, ימין

a/a, ימין

b/b, מיןי

X/X,ימין

$/$, ימין

a/a, ימין

b/b, ימין

a/a,שמאל

b/b,שמאל

שמאל ,$/$

שמאל ,$/$


ןימי 1/1

ימין 1/1

ימין 1/1

ימין 1/ ימין 1/

ימין $/

ימין $/ ימין $/ ימין $/

q6


f(x,y)=x*y y>0 x>0 כפל

x וy $ 1111111#111$├ אונריים ומופרדים ב # ובסוף סימן∆∆∆

9פתרון ל

:אם המילה היא ת{ ובודק a,bבנה מכונת טיורינג המקבלת מילה מעל א"ב }

aa -באורך זוגי ומסתיימת ב

אם כך המכונה מקבלת אותה,אחרת יש למחוק את המילה מהסרט.

.aרעיון: בדיקת זוגיות תחילה ולאחר מכן בדיקה ששני האחרונים ה

ים הולכים לסוף וחזורים תוך מחיקה. aבאם לא זוגי או אין שני

ימין 1/1

ימין Y/1 ימין X/1 ימין #/#

ימין 1/1 ימין $/$

שמאל 1/∆

שמאל 1/1 שמאל $/$

Y/Y ימין

שמאל $/$

Y/1 שמאל

שמאל 1/1

שמאל #/#

X/X ימין ימין #/#

ימין 1/1

שמאל $/∆

q0

q5

q1 / שמאל q2

a/ שמאל

b/ שמאל

q3 ימין ├/├

q4 a/a שמאל



שמאל /

a/a שמאל

q6

b/b ימין q5

b/b ימין

a/a ימין



פתרון שגוי ראשון

פתרון שגוי שני

q0

q5

q1 / שמאל q2

a/ אלשמ

b/ שמאל

q3 ימין ├/├

q4 a/a שמאל



שמאל /

a/a שמאל

q0

q5

q1 / שמאל q2

a/ שמאל

b/ שמאל

q3 ימין ├/├

q4 a/a שמאל



שמאל /

a/a שמאל q6

b/ שמאל

b/ שמאל



יםbים במילה ולאחריהם aכמספר ה יםaמכונה השמה בסוף הסרט בנה

דולר ןים במילה תחומים בסימbספר ה כמ

q0 a/X ימין q1 q3 q2

a/a,ימין

b/b,ימין

∆/$, שמאל

,├/├ימין

b/b,ימין

a/a,ימין

b/b,ימין ימין ,$/$

∆/a, שמאל

a/a,שמאל

b/b,שמאל

שמאל ,$/$

q4

X/X שמאל ,$/$ ימין

q5 X/X, שמאל

b/b, שמאל

,├/├ימין

b/Y ימין q7 q6 X/X,ימין

X/X,ימין

b/b,ימין a/a ימין ימין ,$/$

∆/b, שמאל

X/X שמאל a/a,שמאל

b/b,שמאל

שמאל ,$/$

q8

Y/Y ימין

q9 a/a,ימין

b/b,ימין ∆/$, ימין

a/a,שמאל

b/b,שמאל

ימין ,$/$



יםaים במילה ולאחריהם aכמספר ה יםbמכונה השמה בסוף הסרט בנה

דולר(דומה למכונה שמעליה) ןים במילה תחומים בסימbכמספר ה

q0 a/X ימין q1 q3 q2

a/a,ימין

b/b,ימין

∆/$, שמאל ,├/├ימין

b/b,ימין

a/a,ימין

b/b,ימין ימין ,$/$

∆/b, שמאל

a/a,שמאל

b/b,שמאל

שמאל ,$/$

q4

X/X שמאל ,$/$ ימין

q5 X/X, שמאל

b/b, שמאל

,├/├ימין

b/Y ימין q7 q6 X/X,ימין

X/X,ימין

b/b,ימין a/a ימין ימין ,$/$

∆/a, שמאל

X/X שמאל a/a,שמאל

b/b, מאלש

שמאל ,$/$

q8

Y/Y ימין

q9 a/a,ימין

b/b,ימין

a/a,שמאל

b/b,שמאל

ימין ,$/$

∆/$, ימין



תבניות במכונת טיורינג

בסוף מילההוספת דולר מילה מחיקה

"הליכה לא עוצרת" "הליכה לא עוצרת"

(נעה סביב רווח ראשון) (הליכה לאינסוף)

בסוף 1והוספת Yעד הסימן $ הפיכה ל 1על כל

ימין ├/├

a/ ימין b/ ימין

b/b שמאל

a/a שמאל

ימין /


ימין /


ימין /

שמאל /


/$ שמאל

שמאל /

b/b שמאל

a/a שמאל

ימין ├/├

1/Y ימין

ימין 1/1 ימין $/$

שמאל 1/∆

שמאל 1/1 שמאל $/$

Y/Y ימין

אין צורך (כמובן שאם נמצאים על תחילת המילה אזי

) הליכה שמאלהב



דפי סיכום-הערות למגן ולבגרות

=שפה רגולריתאס"ד

.והתחל ממנה את בנית האוטומט שפהבדוק מהי המילה הקצרה ביותר המתקבלת ב .1

בדוק האם מילים שאמורות להתקבל מתקבלות אך בדוק גם האם מילים שלא אמורות להתקבל לא .2

מתקבלות.

שפה שניתן לבנות לה אוטומט סופי הינה שפה רגולרית. .3

ראה כי הינך מבין מהו : משלים היפוך חיתוך איחוד שרשור הכלה וחיסור שפות. .4

ם והינך מתקשה לבנות את האוטומט העזר בטכניקה של אוטומט מכפלה.אם יש תנאי או/ג .5

רגולריות סגירות שפות

משלים היפוך חיתוך איחוד שרשור.השפות הרגולריות סגורות ל שרשור שפה ריקה לכל שפה שהיא יוצר שפה ריקה. .6

. Lנותנת Lשרשור מילה ריקה לכל שפה .7

ה בשפה לאותה מילה בשפה.נא להבדיל בין שרשור שפה לשפה לשרשור מיל .8

כשנאמר תאר מה השפה הנוצרת יש לרשום זאת באופן הפשוט והברור ביותר. .9

) חייבת להופיע המילה הריקה. L( משלים של Lאו ב Lב .10

11. L U L .הינו אוסף כל המילים האפשריות

מתנאים מורכבים תבנית להוכחת רגולריות של שפה הבנויה

מעל הא"ב } { המקיימת את התנאים הבאים: "התנאים" Lנתונה השפה

הוכח שהשפה רגולרית.

הוכחה

נגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט לכל שפהנ

L1= המקיימת את תנאי א {}הינה שפה מעל

L2= ב המקיימת את תנאי {}הינה שפה מעל

L3= המקיימת את תנאי ג {}הינה שפה מעל

********

L=L1 פעולה L2 פעולה L3…….

(במילה פעולה אנו מתכוונים לחיתוך או איחוד או משלים או שרשור או היפוך)

.שפות שבנינובעזרת ה Lאנו רואים כי ניתן לבטא את

עולות החיתוך, איחוד, שרשור, משלים והיפוךמסגירות משפחת השפות הרגולריות לפ

.רגולרית Lנובע ש

דפי סיכום


תבנית הוכחה לשפה אי רגולרית

L={ }

הוכח שהשפה אינה רגולרית

הוכחה

.הוכחה בדרך השלילה

הבונה אותה. A ינניח שהשפה רגולרית וקיים אוטומט סופי דטרמיניסט

(בחלק מהמקרים ניתן לבחור בשלב זה תת קבוצה)

.Lהתחלות של מילים בשפה W = {w1 , w2 , w3 ,...} הקבוצה האינסופית הבאה:ונבחן את בואו

wiשונות שתי מיליםבה לפחות להיות יםאינסופית חייב Wכיוון ש , wj

המגיעות לאותו מצב שאם לא W מתוך הקבוצה) ,=≠<,>,( i ? J -כך ש

מצבים.כן אזי היה צורך באינסוף

באוטומט. q1סמן את המצב המשותף של שתי המילים ב נ

wiהמילה wj -גם יוצא ש . מתקבלת wiw והמילה מצב מקבל q2שייכת לשפה לכן

w מתקבלת

.השפה /חוקיבניגוד לכללילשתי המילים), וזה משותף q2ל q1(המסלול מ בשפה

תף אינה נכונה , אלא כל מילה מגיעה למצב אחר. והמילים מגיעות למצב מש ששתי ההנחה שהנחנולכן

, A -מצבים ב יש אינסוף שהיא אינסופית יוצא שכל מילה מגיע למצב אחר . ומכאן Wומאחר והקבוצה

בניגוד להגדרת אוטומט סופי.

רית.אינה נכונה, והשפה אינה רגול Lלכן ההנחה שקיים אוטומט סופי הבונה את השפה

q0

q1

wi

wj

q0 q1

q2 w wi

w2

דפי סיכום


=שפה חופשית הקשראוטומט מחסנית

שפה שניתן לבנות לה אוטומט מחסנית הינה חופשית הקשר. .12

ניתן להכניס למחסנית יותר מתו אחד להוציא מותר רק אחד. .13

כל שפה רגולרית הינה גם חופשית הקשר. .14

המחסנית לא חייבת להיות ריקה כאשר המילה מתקבלת. .15

מיניסטי רב יותר מכוחו של אוטומט מחסנית דטרמיניסטי.כוחו של אוטומט מחסנית לא דטר .16

17. mnba n,m0 אין פירושו שn צריך להיות שונה מm

חיתוך עם שפה ,, היפוךשירשור, איחוד פעולותהמשפחת השפות חופשיות ההקשר סגורה תחת .18

.רגולרית

ונקבל n=k+mמכאן נובע k=n-mנציב anbn-mcmדוגמה: כאשר בחזקה יש סימן מינוס יש לבצע הצבה. .19

ak+mbkcm .ואת זה פותרים כרגיל

תבנית להוכחת שפה חופשית הקשר הבנויה מתנאים מורכבים

מעל הא"ב } { המקיימת את התנאים הבאים: "התנאים" Lנתונה השפה

.חופשית הקשרהוכח שהשפה

הוכחה

ת לכל שפהנגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט מחסנינ

L1= המקיימת את תנאי א {}הינה שפה מעל

L2= המקיימת את תנאי ב {}הינה שפה מעל

L3= המקיימת את תנאי ג {}הינה שפה מעל

*

*

L=L1 פעולה L2 פעולה L3…….

שור או היפוך או חיתוך עם שפה רגולרית)(במילה פעולה אנו מתכוונים לאיחוד או שר

.שפות שבנינובעזרת ה Lאנו רואים כי ניתן לבטא את

לפעולות האיחוד, שרשור והיפוךחופשיות ההקשר מסגירות משפחת השפות

חופשית הקשר Lנובע ש

דפי סיכום



ראה כי הינך מבין מהי מכונת טיורינג שאינה נעצרת. .20

שפה חופשית הקשר ניתן לבנות מכונת טיורינג. לכל שפה רגולרית או .21

( ├ / ├ימינה לא ניתן לשנות את סימן ראש הסרט (הפעולה היחידה המותרת על ראש הסרט הינה .22

לפי תוכנית הלימודים קיימת מוסכמה שבכל מכונת טיורינג יש מצב מקבל: מצב מקבל .23

אכן המילה משתייכת לשפה. באם המכונה בודקת האם מילה שייכת לשפה הרי מצב מקבל ==

aשייכת לשפה aabbccלמשל האם המילה nb

nc

n

בסוף המילה אזי מצב מקבל == סיימנו את aבאם המכונה מבצעת משהו למשל אם אורך המילה איזוגי מוסיפה

המשימה ובצענו אותה בהצלחה.

ים שוניםנושאלדוגמה שאלות בהמשך יש

דפי סיכום


אס"ד=שפה רגולרית

ללא שארית 5המקבל את כל המספרים המתחלקים ב 9עד 0ל המספרים בנה אוטומט מע

(010 125)דוגמה

וטומט לא דטרמיניסטיא

לכל אוטומט לא דטרמיניסטי ניתן לבנות אוטומט דטרמיניסטי

1של המילים שהאות לפני האחרונה {,01,2}אוטומט לא דטרמיניסטי מעל

10של המילים המסתיימות ב {,01,2}על אוטומט לא דטרמיניסטי מ

111של המילים המכילות {,01,2}אוטומט לא דטרמיניסטי מעל

q1

0,5

0,5

1,2,3,4,6,7,8,9

q0

1,2,3,4,6,7,8,9

q0

0,1,2

1 q1

0 q2

q0

0,1,2

1 q1

0,1,2 q2

q0

0,1,2

1 q1 1 q3

0,1,2

q2 1

דפי סיכום


אוטומט מכפלה )חתולים כלבים ועכברים(

בתהלוכה שבה משתתפים עכברים חתולים וכלבים מתקיימים החוקים הבאים.

התהלוכה מתחילה בכלב.

היו כלבים.אסור חתול שמשמאלו וימינו י

בנה אוטומט סופי מתאים.

בנית הטבלה

האוטמט

כלב חתול עכבר

q2 q3 q2 q3 q1 q4 q0 q3

q1 q3 q1 q5 q1 q4 q1 q4

q1 q3 q1 q3 q1 q6 q1 q5

q1 q3 q1 q3 q1 q4 q1 q3

חייבת להתחיל בכלב סור חתול בין שני כלביםא

q1 q0

כלב

כלב

חתול

עכבר חתול כלב

חתול

q2

עכבר

עכבר

q4

כלב

כלב

עכבר

חתול

חתול

חתול עכבר

q3 q6


כלב

עכבר

q5

14

כלב

כלב

חתול


15

חתול

כלב

כלב

חתול

חתול

עכבר

עכבר

עכבר

עכבר

03

13 2,3 1,6

דפי סיכום


או aשבה כל מילה )מתחילה ב {a,b,c}מעל Lהוכח שהשפה

רגולרית. bb( ואינה מכילה את הרצף cמסתיימת ב

פתרון

אוטומט לכל שפה. ות הבאות ונבנה את השפגדיר נ

L1 המילים המתחילות ב כלa

L2 כל המילים המסתיימות בc

L3 כל המילים המכילותbb

L1 כל המילים המתחילות בa

L2 כל המילים המסתיימות בc

L3 כל המילים המכילותbb

הינה Lהשפה המבוקשת

3)21( LLLL

רגולרית Lנובע ש (*) לת החיתוך,איחוד,משלים מסגירות משפחת השפות הרגולריות לפעו

* אם משתמשים גם בשרשור אז יש להוסיף את המילה שרשור.

אם משתמשים גם בהיפוך אז יש להוסיף את המילה היפוך. *

c c

a,b a,b

b

a,c a,c

b

a,b,c

a a,b,c

b,c

a,b,c

דפי סיכום


=שפה חופשית הקשראוטומט מחסנית

)שפה חופשית הקשר נקראת גם שפה חסרת הקשר(

L=a בנה אוטומט מחסנית לשפהn+1

b3n

n0

L=a {a,b,c,d}מעל Lהוכח שהשפה nb

mc

kc

zd

z

n,m,k,z>0,k≥n+m חופשית הקשר.

נגדיר את השפות הבאות ונבנה אוטומט מחסנית לכל שפה.

n,m,k>0,k≥n+m L1=anb

mc

k

z>0 L2=czd

z

L1

L2

L=L1*L2

חופשית הקשר. Lמסגירות משפחת השפות חופשיות ההקשר לפעולת השרשור נובע ש

a┴| ללש

a┴ | SAA דחוף

bS|S שלוף

הנמוך ביותר ונקבל את nנציב את ה מכאן נובע aהמילה

a המילה הקצרה ביותר

:הרעיון הראשונה לא נבצע מאומה aה על

AAAנדחוף נוסף a על כל

Aנשלוף bעל כל

bA | A שלוף

aA | AAA דחוף

bA | A שלוף

cA|A שלוף cS|S שלוף

aA| A דחוף

cA|A שלוף c┴|ללש A┴| S דחוף

bA| A דחוף

bA| A דחוף

bS| S שלוף

aS | A דחוף

bA| A שלוף

bS|S שלוף

Q1 q2

q3

q0

a┴ | S דחוף

דפי סיכום



L={ L=anbnck |k>=n} בנה מכונת טיורינג הבודקת האם מילה שייכת לשפה

q0 a/X ימין

a/a ימין

q5

ימין /

X /X ימין

q1

Y/Y ימין

b/Y ימין q2

b/b ימין

Z/Z ימין

c/Z שמאל

b/b שמאל

Z/Z שמאל


q3

q4

Y/Y ימין

Y/Y ימין

Z/Z ימין

ימין /

q6 c/Z ימין

c/Z ימין

דפי סיכום


מספר אונרי f(x)=2x xבנה מכונת טיורינג המבצעת

∆111├ הקלט הינו במבנה הבא

...111תחילה לשים $ לאחר ה הרעיון :

אחדים 2רווחים ל 2נחליף Xלאחר מכן על כל אחד שנהפוך אותו ל

נוסיף $ לבסוף

$111111$ לקבל תוצאה תחומה בין שני סימני דולר המטרה :

.שווה לאפס x :לבדוק ם שכדאימקרי


אחדים 2רווחים ל 2החלפת


X/X ימין

שמאל $/∆ שמאל 1/∆ ימין 1/∆

ימין 1/1

1/X ימין

ימין $/$ ימין 1/1

שמאל $/$ שמאל 1/1

שמאל 1/1

ימין ├/├

ימין 1/1

ימין $/$

ימין $/∆

דפי סיכום


()לא מלא סוגי שאלות

שפה רגולרית .1

אוטומט סופי דטרמיניסטי .1.1

אוטומט לא מלא .1.2

אוטומט לא דטרמיניסטי .1.3

ות.הוכחת רגולריות בעזרת חוקי סגירות שפות רגולרי .1.4

מט בעזרת טבלהוציור אוטומט/תאור אוט .1.5

מט נתוןומה עושה אוט .1.6

שקילות אוטומטים .1.7

אוטומט מכפלה ככלי לפירוק בעיה לתתי בעיות והוכחת סגירות חיתוך ומשלים .1.8

שפה חופשית הקשר .2

אוטומט מחסנית .2.1

אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי .2.2

מט מחסנית נתוןומה עושה אוט .2.3

חופשיות הקשרסגירות שפות הוכחת שפה חופשית .2.4

מכונת טיורינג .3

בנית מכונה לבדיקת תקינות שפה .3.1

מכונה המבצעת פונקציה .3.2

מה עושה מכונת טיורינג נתונה .3.3

מעקב .3.4

כללי


בגרויות

מהבגרויות הושמטו החלקים שאינם שייכים לתוכנית הלימודים החדשה

ז"תשמ

המקיימות את שני a,b,c)על לא"ב (תאר באמצעות גרף וטבלה אוטומט סופי דטרמיניסטי שיקבל את כל המחרוזות מ

התנאים הבאים:

מופיע בהוabaab .כתת מחרוזת

הן אינן מסתיימות בc.

לא תתקבלנה aaaacb abaabc תתקבל acabaabcab לדוגמא :

תחילה נבנה את השרשרת המובילה למצב מקבל.

נשלים את האוטומט

ם.את טבלה עליך לרשו

a b a a b

q5

a,b

q0 a q1

b q2

a q3

a q4

b

b,c a b

a

q6

c

c a,b

b,c

c c

c

בגרויות

טיורינג


ח"תשמ

{ המקיימת את שני 0,1המחרוזות מעל לא"ב } תאר באמצעות גרף אוטומט סופי דטרמיניסטי שיקבל את כל

:התנאים

כתת מחרוזת בדיוק פעם אחת. 000מופיעה בהן

000פרט לאלה שבמופע של 00אין בהן כלל מופעים של.

:תתקבלנה 000111101ו 0110100011101המחרוזות דגמה

לא תתקבלנה 100011001ו 0101011 המחרוזות

פתרון

תשמ"ח

1 0 1 0 M1 1 0 1 0 M1

0 1 S2 S2 S0 0 1 S2 S2 S0

0 0 S2 S2 S1 0 0 S2 S2 S1

0 1 S0 S0 S2 0 1 S0 S0 S2

0 0 S0 S0 S3

0 0 S1 S1 S4

. האם יש קשר מיוחד בין שני האוטומטים.? הסבר. M1 M2שרטט גרף מצבים של האוטומטים .א

0 0 0 1 0

1

1

1

0

0,1

0

1 1

1

בגרויות

טיורינג


תשמ"ט

a,b,c}המחרוזות מעל ל א"ב } תאר באמצעות גרף אוטומט סופי דטרמיניסטי שיקבל את כל

המקיימות את התנאי הבא :

bccbcacabbca :גמהודa הם אין יותר ממופע אחד של ישבינ bcמופעים עוקבים של 2יש במחרוזת

cabbcacabcabc מתקבלים babcaabbacbcc abcacabcabaabc לא תתקבלנה

a,b,c

b

c

a

b

c

a,c

b

b

a

b

a

c

b

a

c

a

בגרויות

טיורינג


תשן

תאר במילים את השפה המוגדרת על ידי האוטומט הבא: .א

תשנב

תאר במילים מהי השפה המתקבלת על ידי האוטומט הבא: .א

ומט סופי דטרמיניסטי, שיקבל את כל המחרוזותרשום אוט .ב

bbאו aaהמכילות { a,b }א"ב מעל ה

פתרון

.0שווה 3ים שארית aהמילים המתקבלות : כל המילים שמספר .א

b a

S1 S0 S0 מקבל

S1 S0 S1 מקבל

S2 S2 S2

b

a

b

b

a a

a b

a

b

a

b

a,b

בגרויות

טיורינג


תשנג

0המתחילות ומסתיימות ב {0,1}בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי, המקבל את אוסף המחרוזות מעל .א

פעמים הוא מספר זוגי). 0ים. ( 1ת מספר זוגי של ומכילו

פתרון

האוטומט .א

תשנד

. bוגם aשבהן מופיע גם a,b,c}}בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את אוסף כל המילים מעל ה א"ב .א

פתרון

האוטומט

ה"תשנ

לזו שתיקראנה "שפה א" ו "שפה ב". לפניך ניתן לחלק לשתי קבוצות זרות זו {a,b}את כל המחרוזות מעל

אוטומט שמקבל את "שפה א"

תאר מילולית מהי "שפה א". .א

בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את "שפה ב" .ב

פתרון

.aים ברצף ומסתיימת ב b 2השפה מקבלת כל מילה שאין בה .א

מצב מקבל הופך ללא מקבל ולהפך. .ב

a

b a

a,b,c

a,c

b,c

b c

a b

b

a,b a

a b

b

a,b a

0,1

0

0

1

0

1

1 0 1

בגרויות

טיורינג


22 ט"תשנ

ולכל aובהן לפחות שני {a,b}דטרמיניסטי, המקבל את אוסף המילים מעל הא"ב בנה אוטומט סופי .א אחד. bהיותר

פתרון

:הלא מלא האוטומט .א

ס"שת

24 תש"ס

האם השפה שלפניך היא רגולרית? הוכח

L={aib

jc

k {k i,j,k ≥0 היא השארית המתקבלת מחלוקת i בשלוש |

25 תש"ס

ך חופשית הקשר? הוכחהאם השפה שלפני

L={aib

jc

i/2זוגי j אי זוגי | i i,j ≥1}

26 תש"ס

M לא מלא. נסמן ב ידטרמיניסטאוטומט סופיL את השפה המתקבלת על ידיMמט ו. נבנה אוטM' מתוךM

שאינו יהפוך למצב M שלמקבל מצב אבל כל מצב שהוא M טלאוטומיהיה זהה 'Mמט ובאופן הזה: האוט

.'Mיהפוך למצב מקבל ב Mוכל מצב שאינו מקבל ב 'Mמקבל ב

.'Mאת השפה המתקבלת על ידי 'Lנסמן ב

? נמק.Lמוכל שווה למשלים של 'Lהאם .א

? נמק. 'Lוה ל ומוכל ש Lהאם משלים של .ב

? נמק.Lשווה 'Lהאם .ג

b

a a

a

b a b

a

a

a

בגרויות

טיורינג


27 תש"ס

M מכונת טיורינג. א"ב הקלט הוא{a,b}ונה הוא . א"ב המכØ קבוצת המצבים הינה .{q0,q1,q2} . .{q2}קבוצת המצבים המקבלים הינה . q0המצב ההתחלתי הינו

קבוצת המעברים הינה:{q0,a,q0,a,ימין}

{q0,b,q0,b,ימין}

{q0,∆,q1,∆,שמאל}

{q1,a,q1,∆,שמאל}

{q1,b,q1,b,ימין}

{q1, ∆,q0, ∆,שמאל }

{q1, ├,q2,├, ימין }

aaaa abbaa: יליםא. לפניך שתי מ ?Mקבע עבור כל מילה אם היא מתקבלת על ידי המכונה

?Mמהי השפה המתקבלת על ידי המכונה .אבנה מכונת טיורינג שתעצור לכל קלט ותקבל -נמק, אם לא –האם המכונה עוצרת לכל מילת קלט? אם כן .ב

אותה השפה.

א"תשס

11"א תשס

{a,b}מעל הא"ב L השפהעבור בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי

L={aib

ja

k | i,j,k >0, i % 2 =0, ( j+k) % 2=1}

פתרון

האוטומט:

a

a b

a a b b

b

b

a,b

a

a a

b b

בגרויות

טיורינג


13"א תשס

{a,b,c}מעל הא"ב Lלפניך השפה

{ 0< n,k,f | L= { an+k

bnc

f

חופשית הקשר. Lהוכח שהשפה

פתרון

אוטומט מחסנית או לפרק אותה לשפות ולהראות על מנת להוכיח שהשפה חופשית הקשר צריך לבנות לה

מט מחסנית.ובניה שלה על פי החוקים. אנו פשוט נבנה אוט

.2ים לפחות aמספר ה

14"א תשס

קבע לכל אחת מהשפות אם היא רגולרית או לא רגולרית:

{ W ו X מילים מעל הא"ב{a} | L1= { WcXcR(W)

{ W ו X מילים מעל הא"ב{a,b} | L2= { WcXcR(W)

{ W ו X מילים מעל הא"ב{a} | L3= { WR(W)cXR(X)

{ W ו X מילים מעל הא"ב{a,b} | L4= { WR(W)cXR(X)

{ W ו X מילים מעל הא"ב{a} | L5= { WcR(W)cW

מחברתך ורשום ליד כל שפה האם היא רגולרית, חופשית ל L5עד L1העתק את שמות השפות .א

הקשר ולא רגולרית, אינה חופשית הקשר.

מבין שפות אלה בחר אחת שהיא חופשית הקשר ולא רגולרית והוכח שהשפה בחרת חופשית .ב

הקשר. אם יש יותר משפה אחת כזו בחר באחת מהן כרצונך.

רויות בג

טיורינג

q0 q1 q2 q3

a┴| S דחוף

aA| A דחוף

bA|A שלוף

cA| ללש

cS| ללש

bA|A שלוף

cA| ללש

cS| ללש


15"א תשס

התבונן בשפות שלפניך:

L1 = {anb

m | n,m ≥0

k היא השארית המתקבלת מחלוקתn 3ב,

t היא השארית המתקבלת מחלוקתm 3ב,

k>t }

L2 = {anb

ma

n | n,m ≥0


t היא השארית המתקבלת מחלוקתm 3ב,

k=t }

L3 = {anb

m | m ≥n n,m ≥0


t יא השארית המתקבלת מחלוקת הm 3ב,

k=t }

L4 = {anb

ma

n | n,m ≥0 אי זוגי n זוגי m}

למחברתך ורשום ליד כל שפה האם היא רגולרית או אינה L4עד L1העתק את שמות השפות .ג

רגולרי.

חת כזו מבין שפות אלה בחר אחת שאינה רגולרית והוכח שאינה רגולרית. אם יש יותר משפה א .ד

בחר באחת מהן כרצונך.

בגרויות

טיורינג


16"א תשס

{a,b}מעל הא"ב Lנתונה השפה

{i זוגיj+k 0 , אי זוגי< i,j | L= { aib

ja

k

רגולריות L1-L6כך שהשפות רגולרית בהסתמך על Lהוכח שהשפה

{ 0< i | L1= { ai

{ 0< i | L2= { bi

{w מכילה מספר זוגי של אותיותa ומספר זוגי של אותיותb | L3= { w

{w זוגי של אותיות -מכילה מספר איa זוגי של אותיות -ומספר איb | L4= { w

{w מכילה מספר זוגי של אותיותa זוגי של אותיות -ומספר איb | L5= { w

{w זוגי של אותיות -מכילה מספר איa ומספר זוגי של אותיותb | L6= { w

אין חובה להשתמש בכל השפות האלה אך אין להשתמש בשפות שאינן מוזכרות.

הפתרון

{(L3υL6)) ∩ L= { (L1∩L3) * (((L2*L1)

13 ב"תשס


{k ללא שארית, 3מתחלק בk=n-m ,m<n ,0<m | L= { am

bnc

k

.) Lוטומט מחסנית שיקבל את השפה בנה אהינה חופשית הקשר( Lהוכח שהשפה

השלם(-)חלקי פתרון

נציב ונקבל m+k=nנעביר אגף ונקבל k=n-mנתון

L= am

bm+k

ck= a

mb

mb

kc

k

m<n גורר שקיים לפחותc אחד שאז מספר הb ים יהיה גדול ממספר הa.ים

0 < m גורר שקיים לפחותa . אחד

בגרויות

טיורינג


14 ב"תשס

רית א) הכתובים באונ0שליליים(יתכן -ורינג. המכונה מקבלת כנתונים שני מספרים אילפניך מכונת טי

בהתאם לשיטת הרישום המקובלת.

? הראה מעקב אחר סרט 3ואחריו 2מה יכיל הסרט לאחר מעבר על קלט של שני המספרים .ה

המכונה עד עצירתה.

מהי הפונקציה שהמכונה מחשבת? הסבר. .ו

)? נמק. 0שליליים(יתכן -מחשבת את הפונקציה עבור כל קלט של זוג מספרים אי האם המכונה .ז

15 ב"תשס

.{a,b}מעל הא"ב T,Lנתונות שתי השפות

L אוסף המילים המתחילות באותa.

T .אוסף המילים המתחילות ומסתיימות באותה אות כולל המילה הריקה

ן אם היא נכונה או שלא ונמק.לפניך שלוש טענות. קבע לגבי כל אחת מה

1. LTT

)( ababaab Є לה הריקה (שייך ל יכן שרשור המTכת ל י) ל מילה שלנו ששי

T וגם מתחילה בa

.

2 .TTT לא כי שרשורaa עםbb .נותן מילה שלא מתחילמ ומסתיימת באותה האות

3 .R(L) ≥ (L∩T)

q0 #/1 ימין

ימין 1/1

q2 ∆/∆ שמאל q3 1/∆ שמאל q4

q1


q5 שמאל $/1

שמאל 1/1

q6 1/∆ ימין q7 1/$ ימין q8

∆

ימין ├/├

בגרויות

טיורינג


16ב "תשס

L1-L4נתונות ארבע השפות

L1= { cnb

n+1 | n≥ 0 }

L2= { cnb

n+1 | n≥ 0 , 2בשלוש שווה n שארית החלוקה של }

L3= { cnb

n+1 | n≥ 0 , 2בשלוש שונה מ n שארית החלוקה של }

L4= { בומסתיימות המתחילות # {a,b,#} על הא"ב מילים מ }

: L5,L6,L7נגדיר את שלוש השפות הבאות

1. L5= L2∩L3

2. L6= L42

3. L7= L1*L2

עבור כל אחת מהשפות ענה על שני הסעיפים א' ו ב'.

הצג את השפה הפשוטה ביותר האפשרית. .א

קבע אם השפה "רגולרית" או "חופשית הקשר" ולא רגולרית או "אינה חופשית הקשר" ונמק את .ב

תשובתך.

תרוןפ

רגולרית. .1

רגולרית. .2

חופשית הקשר. .3

בגרויות

טיורינג


11 ג"תשס


בלי שארית, 3 במילה מתחלק ב bאוסף כל המילים שבהן המספר הכולל של אותיות

ללא שארית. 2מתחלק ב cוגם המספר הכולל של אותיות

. Lבנה אוטומט סופי דטרמיניסטי שיקבל את השפה

וןפתר

3ב bספרה שמאלית=שארית חלוקת

2ב cספרה ימנית = שארית חלוקת

12 ג"תשס


aמילים במבנה: -כוללת מילים הבנויות מרצף של תת Lהשפה m

bm-1

c כאשרm2 .

לולה בשפה.. המילה הריקה אינה כבהן שונה mמילים שה-יכולה לכלול תת Lמילה בשפה

. Lבנה אוטומט מחסנית שיקבל את השפה

פתרון

L=

a┴| ללש a┴|A דחוף

c┴| ללש

aA|A דחוף

bA|A וףשל

bA|A וףשל

a┴| ללש

בגרויות

טיורינג

00 20

10

a

01 21

a

b

b

b

c

a

a

c

b

11

c

b b

a

a c c

c


13ג "תשס

{a,b}מעל הא"ב Lלפניך השפה

מופיע במילה. abaללא שארית וגם הרצף 2ים מתחלק ב aאוסף כל המילים שבהן מספר ה

הוכח שהשפה רגולרית.

L1 שפה המכילהaba מט סופי לא דטרמיניסטי)ורגולרית (בנינו אוט

L2 שפה שבה מספר הa מט סופי דטרמיניסטי)וים זוגי. (בנינו אוט

ומחוקי הסגירות נובע שגם היא רגולרית. L2ו L1הינה חיתוך של Lהשפה המבוקשת

b a

a,b

a

a,b

L1

,b

a L2

,b

a

בגרויות

טיורינג


14ג "תשס

. {a,b,c}מעל הא"ב Lלפניך השפה

aף של תת מילים במבנה כוללת מילים הבנויות מרצ Lהשפה nb

n-1c כאשרm≥2 מילה בשפה .L יכולה לכלול

בהן שונה. המילה הריקה אינה כלולה בשפה. mתת מילים שה

aabcaabcaabc aaaabbbcaabc aaaaabbbbcדוגמאות של מילים בשפה

הוכח שהשפה הינה חופשית הקשר.

15ג "תשס

L1-L5נתונות חמשת השפות

L1= { anb

2a

2n | n≥ 1 }

L2= { a2n

bna

2 | n≥ 1 }

L3= { a2n

b2a

2 | n≥ 1 }

L4= { anb

2na

n | n≥ 1 }

L5= { a2b

2na

2m | n,m≥ 1 }

עבור כל אחת מהשפות קבע אם השפה "רגולרית" או "חופשית הקשר" ולא רגולרית .א

או "אינה חופשית הקשר" ונמק את תשובתך.

והוכח שהיא אינה רגולרית.מבין השפות קבע אחת שאינה רגולרית .ב

16ג "תשס

{a,b}מעל הא"ב L1-L4נתונות ארבעת השפות

L1= { w | זוגי w ב a אוסף כל המילים בהן מספר ה }

L2= { w | זוגי -אי w ב a אוסף כל המילים בהן מספר ה }

L3= { anb

m | n,m ≥ 0 }

L4= { bna

m | n,m ≥ 0 }

לכל אחת מהם אם היא נכונה או לא ונמק את קביעתך. לפניך חמש טענות. קבע

aba Є (L1∩L2)

L2 = ( L1) משלים

L1∩L2∩L3={ anb

m { n,m n,m ≥ 0 זוגי |

L3∩L4={ε}

L3*L4={ anb

n+ma

m | n,m ≥ 0 }

בגרויות

טיורינג


13 ד"תשס


אחד. cים זוגי ויש להן לפחות aמספר ה bומסתיימות ב bכוללת מילים המתחילות ב Lהשפה

בנה אסד מתאים

הפתרון:

q0 q2

q1

b

a,c

a,b,c

c

b

a

q7

q6

b

b

c

c b

q4

1

q3 a

c

q5

b,c

b

c

a a

a

a

בגרויות

טיורינג


14 ד"תשס

באופן הזה: La Lb Lcנגדיר פעולה חדשה על השפות

La#(Lb,Lc) היא קבוצת כל המילים הנמצאות בLa אך לא נמצאותLb וגם לא נמצאות בLc.

{a,b}"ב מעל הא L1,L2,L3לפניך שלוש שפות א.

L1= { anb

ma

n | n,m > 0 }

L2= {b שונה ממספר אותיות a מספר אותיות }

L3= { זוגי-הוא אי b { מספר אותיות

הסבר מדוע המילה שייכת לשפה זו. . L1#(L2,L3)השייכת לשפה 4תן דוגמה למילה באורך גדול מ )1

מדוע אינה שייכת לשפה זו. . הסבר L1#(L2,L3)לפחות שאינה שייכת לשפה 4תן מילה באורך )2

. {a,b}מעל הא"בL1#(L2,L3)תאר את אוסף המילים בשפה )3

הן שפות רגולריות. La Lb Lcנתון כי .ב

היא רגולרית. La#(Lb,Lc)הוכח שהשפה

15ד "תשס

L1-L3נתונות שלושת השפות

L1= { anb

n | n> 0 }

L2= { anb

nda

kb

k | n,k≥ 0 }

L3= {ba את הרצף המכילות {a,b} כל המילים מעל }

לפניך חמש טענות:

aaaabbbb Є L1*L1

R(L1)*d*R(L1) < R(L2)

L1∩L2=(L2 υ L3)∩ {d}

L1=R(L3)∩L1

L1מוכל ב L3משלים

קבע לכל אחת מהטענות אם היא נכונה או לא ונמק את קביעתך.

בגרויות

טיורינג


16 ד"תשס

. המכונה תכתוב את {a,b}יה מילת קלט לא ריקה מעל הא"ב בנה מכונת טיורינג שעל סרט הזיכרון שלה תה

האות האחרונה במילה במקום האות הראשונה. כל האותיות האחרות לא ישתנו.

לדוגמה בעבור סרט הזיכרון שלהלן לפני תחילת פעולתה:

... b a b a a ├

סרט הזיכרון בסוף הפעולה יראה:

... b a b a b ├

q3

a/aימין ,

b/bימין ,

q0 q1 , שמאל/

q2

b/bשמאל ,

a/aשמאל ,

a/aשמאל ,

b/bשמאל ,

a/aשמאל ,

b/bשמאל ,

├/├ימין ,

├/├ימין ,

q4

b/aימין ,

q5

q6

a/bימין ,

q7

בגרויות

טיורינג


13ה "תשס

{a,b} הא"ב מעל L השפה לפניך

{m+n זוגי {ambn

an |n,m >0 L=

.Lבנה אוטומט מחסנית שיקבל את השפה

(גרסה שונה במעט לשאלה שלעיל)

a}זוגי m+n} {a,b} מעל הא"ב L השפה לפניךmbn

an |n >0 m≥0 L=

.L בנה אוטומט מחסנית שיקבל את השפה

aA|A שלוף

a┴| ללש

b┴| S דחוף b┴| S דחוף

bA| A דחוף

bS| A דחוף

bA| A דחוף

bS| A דחוף

aA|A שלוף

a┴| ללש

aS|S שלוף

aA|A שלוף

a┴| ללש

b┴| S דחוף

aA|A שלוף

a┴| ללש

aS|S שלוף

a┴| ללש

b┴| S דחוף

bA| A דחוף

bS| A דחוף

bA| A דחוף

bS| A דחוף

aS|S שלוף

בגרויות

טיורינג


14 ה"תשס

{a,b,c} הא"בתקבל כקלט מילה מעל תבנה מכונת טיורינג ש

אחד לפחות. אם כן המכונה תעצור במצב מקבל, אם לא המכונה לא cיש aהמכונה תבדוק אם לפני כל אות

. אם הקלט הוא המילה הריקה המכונה תעצור במצב מקבל.תעצור

15ה "תשס

L1-L3 נתונות שלוש השפות

L1= { anb

n+2 | n≥ 0 }

L2= { anb

m | n,m≥ 1 זוגי n }

L3= { a2n

bn+3

| n≥ 0 }

עבור כל אחת מהשפות קבע אם השפה "רגולרית" או "אינה רגולרית". נמק את קביעותיך. .א

? נמק. L1∩L2מהי השפה .ב

הוא זוגי? נמק. L2*R(L2)ים במילה שייכת ל bהאם מספר ה .ג

)L1(משלים ∩L3חת מהמילים הבאות אם היא שייכת לשפה קבע לכל א .ד

w1=aaaabbbbb

w2=bbb

בגרויות

טיורינג


16ה "תשס

על פי ציוניהם בבחינות הבגרות. ללימודים במכללה מסוימת מתקבלים תלמידים

לקבלה ללימודים במכללה הם אלה:קריטריונים ה

מקצועות. 5תעודת בגרות ובה לפחות

הציונים במתמטיקה

83הציונים במתמטיקה אנגלית ומקצוע נוסף צריכים להיות גבוהים מ

.74כל הציונים חייבים להיות גבוהים מ

במכללה מקודדים את הציונים באופן הבא:

95-100 :A

94-85 :B

84-75 :C

74-55 :D

מוקלדות כמחרוזת משמאל לימין באופן הזה:האותיות המיצגות את הציונים

קלדת מייצגת ציון במתמטיקה.האות הראשונה שמו

שמוקלדת מייצגת ציון באנגלית. ההשנייהאות

לאחר מכן מוקלדות האותיות המייצגות את שאר הציונים.

מחרוזות. קבע לכל אחת אם התלמיד יתקבל או לא יתקבל ללימודים במכללה. נמק את 5לפניך .א

קביעותיך.

a. AACCCCBBCA

b. ABABDBB

c. BBBBBBA

d. AAAA

e. AACCCC

נה אס"ד מתאים.ב .ב

בגרויות

טיורינג


13 ו"תשס

{a,b,c}הא"ב מעל L השפה לפניך

{k היא השארית מחלוקתn 2ב {(ab)nan+2ck

|n>0 L=

Lשיקבל את השפה מחסנית אוטומט בנה

aA| ללש

bA|A דחוף

aA| ללש

bA|A דחוף

aA| שלוף

aA| שלוף

c┴| ללש

a┴| ללש

b┴|A דחוף

a┴| ללש

aA| שלוף

aA| שלוף

a┴| ללש

בגרויות

טיורינג


14ו "תשס

{a,b}לפניך ארבעת השפות מעל הא"ב

{i+k מתחלק בשלוש ללא שארית {aib

k|i,k≥0 L1=

{i השארית המתקבלת בחלוקתk בשלוש{aib

ka

i|i,k≥0 L2=

{i ,מתחלק בשלוש ללא שארית k מתחלק בשלוש ללא שארית{aib

k|i,k≥0 L3=

{k מתחלק בשלוש ללא שארית {aib

3ia

k|i,k≥0 L4=

לכל אחת מהמילים הבאות קבע לאיזו שפה או שפות היא משתייכת? .א

נמק קביעותיך.

a. w1=aaa

b. w2=abbbaaa

נמק קביעותיך. קבע באם היא רגולרית? L4עד L1לכל אחת מהשפות .ב

פתרון

L1(i=3 k=0) L3(k=0 i=3) L4(i=0)משתייכת לשפות W1א.

W2 משתייכת לשפות L4

15ו "תשס

{a,b,c}מעל הא"ב L1 L2 L3השפות לפניך

{ {cib

ka

k|i,k≥0 L1=

{w מילה מעל הא"ב {a,b,c} w*R(w)} L2=

{ {aib

ic

k ||i,k≥0 L3=

א. בעבור כל אחת מהשפות הבאות

1 (L1∩ L3

2 (L2∩ L3

רשום מילה לא ריקה השייכת לשפה שהאורך שלה הוא הקצר ביותר.

ומדוע היא המילה הלא ריקה הקצרה ביותר.הסבר מדוע היא שייכת לשפה

נמק. . L2∩(L1*L3)ב. מהי השפה

או לא נכון. נמק את קביעותיך.ג. לכל אחד מסעיפים הבאים קבע אם הוא נכון

1 (R(L2)=L2

2 (R(L1)=L3

בגרויות

טיורינג


16ו "תשס

. 0,1,2מכונת הגרלות מגרילה בכל פעם ספרה אחת מבין הספרות

רצף הגרלות חוקי מקיים את שלושת התנאים הבאים:

הוגרלה לפחות ספרה אחת.

.שהוגרלו הוא זוגי 1שהוגרלו + מספר ספרות ה 0מספר ספרות ה

. 2היא לא הוגרלה מיד לאחר ספרה 2אם הוגרלה הספרה

021211020, 1010, 1112111דוגמה לרצפים חוקיים:

02211020, 01010, 111דוגמה לרצפים לא חוקיים:

בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי שיבדוק אם רצף הגרלות הוא חוקי.

בגרויות

טיורינג


13ז "תשס

שמסומנת באופן הבא: "ניגוד"נגדיר פעולת {0,1}ת בא"ב בעבור כל או

01~

10~

הניגוד של מילה ריקה הינה מילה ריקה.

. 0ל 1ו 1ל 0הניגוד של מילה כלשהי הינה הפיכת

01101אזי הניגוד שלה הינו : 10010שווה wדוגמה : אם

באופן הבא: L1 L2 L3נגדיר את השפות {0,1}מעל Lבעבור שפה כלשהי

L1 = { ~w | w Є L}

L2 = { R(w) | w Є L}

L3 = {w*R(w) | w Є L}

L1 L2 L3בעבור כל אחת משהפות הבאות רשום את השפות המתאימות )1

{ {0n | n≥0 L=

{w 0} {0,1}מילה מעל הא"בw0 | L=

{n,k≥ 0 {0n (01)k | L=

2(

a. רשום שפה לא ריקהL שבעבורה מתקייםL1=L

b. רשום שפה לא ריקהL שבעבורה מתקייםL1=L2 וגםL≠L1

14ז "תשס

{a,b}ל הא"ב לפניך חמשת השפות מע

{ {abn| n≥0 L1=

{ {anbm| n,m≥0 n≠m L2=

{ {bmanbm| n,m≥0 L3=

{ {abnbma| n,m≥0 n≠m L4=

{ {abnbma| n,m>0 n>m L5=

. נמק תשובתך. L5ולא נמצאת ב L1*R(L1)רשום מילה שנמצאת ב .ג

. נמק תשובתך. L5ולא נמצאת בשפה L4רשום מילה הנמצאת בשפה .ד

. נמק תשובתך. L5ולא נמצאת ב L2*R(L2)רשום מילה שנמצאת ב .ה

נמק תשובתך. . L2*R(L2)ולא נמצאת בשפה L3רשום מילה שנמצאת ב .ו

. נמק תשובתך. R(L5)שווה L5האם .ז

בגרויות

טיורינג


15ז "תשס

בנה מכונת טיורינג שתחשב את הפונקציה שלפניך:

F(x) = { x≥0בשלוש , x} שארית החלוקה של

ותרשום על הסרט כפלט 1תווים של xהמכונה תקלוט מספר אונרי הרשום על הסרט על ידי

ך המחושב על ידי הפונקציה כמספר אונרי המופיע בין שני ותרשום על הסרט כפלט את הער

בכל מקום על פני הסרט. בלהיכתסימני $ . הפלט יכול

16ז "תשס

המקבל את כל המילים שיש בהן {a,b}מט סופי דטרמיניסטי מעל הא"ב ובנה אוט )1

. abaהרצף

כל המילים שאין בהן המקבל את {a,b}מט סופי דטרמיניסטי מעל הא"ב ובנה אוט )2

. babהרצף

המקבל את כל המילים שיש בהן {a,b}מט סופי דטרמיניסטי מעל הא"ב ובנה אוט )3

. babואין בהן הרצף abaהרצף

q3

1/1ימין , q0 q1

,$/ימין

q2

1/1ימין ,

1/1ימין ,

,$/ימין

q4

,$/ימין

,/1ימין

,$/ימין

q5

,/1ימין

q6

בגרויות

טיורינג


פתרון

a

a

b

b

a

b

a,b

abaמופיע

b

b

a

a

b

a

a,b

babלא מופיע

a

b a

a

a

a

b

b

b

a b

a b

a,b

b

a b

babוגם לא מופיע abaמופיע

בגרויות

טיורינג


13ח "תשס

.…3123123123123…חרוזת אינסופית מנתונה

זוגי-המקבל את כל המילים באורך אי {1,2,3}מעל הא"ב בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי .א

מחרוזת של המחרוזת הנתונה.-שכל אחת מהן היא תת

לא יתקבלו. 212 2312יתקבלו. המילים: 23123 123למשל :

-שהן באורך אי המקבל את כל המילים {1,2,3}בנה אוטומט סופי דטרמיניסטי מעל הא"ב .ב

יכולה לחזור כמה 1הוא כמו הסדר במחרוזת הנתונה אך הספרה זוגי וסדר הספרות בהן

פעמים ברצף.

יתקבלו. 3112311 31231 31123לדוגמה:

3

1

2

2

3

1

2

3

1

פתרון א

3

1

2

2

3

1

3

2 פתרון ב

1 1

1

בגרויות

טיורינג


14ח "תשס

. wבמילה kהוא מספר המופעים של האות k(w)#הסימון wומילה kבעבור אות

{0,1}מעל הא"ב L1-L5 ותלפניך השפ

L1= {w | |w| >5}

L2= {w | #1(w) <5}

L3= {w | #1(w)=5 , #0(w)=5}

L4= {w | #1(w) = #0(w)}

L5= {w | w=xxy 0<|x|<5 { 0,1מילים לא ריקות מעל } y,x }

01 .. נמק תשובתך L3ולא שייכת לשפה L4ל רשום מילה השייכת .א

111111 . נמק תשובתך. L2ולא שייכת לשפה L1ל רשום מילה השייכת .ב

1110111011 . נמק תשובתך. L2ולא שייכת לשפה L5ל רשום מילה השייכת .ג

הגדר כל אחת מהשפות הבאות: .ד

a. 2

{w | #1(w)≥5 }

b. 3 _

L

{w | #1(w)≠5 } υ {w | #0(w) ≠5}

לכל אחת מהטענות הבאות נמק מדוע איננה נכונה: .ה

a. L1∩L2=Ø מופיעה בשתיהן 110000המילה

b. 3

_

L 4מוכל ב

_

L

c. L4*L4≠L4 כי המילה הריקה מתקבלת בL4 ... ולכן

d. L5∩L3=Ø

בגרויות

ינגטיור


15 ח"תשס

c} {a,c}מעל הא"ב L1נגדיר את השפה nan+2

|n>0} L1=

L= {w1 w2 w3…… wkb {a,b,c}מעל הא"ב Lלפניך השפה k | k>0 wi Є L1}

וכן k=3כאשר Lהיא מילה ב caaaccaaaacaaabbbדוגמה : המילה ל

W1= caaa w2=ccaaaa w3=caaa

. Lבנה אוטומט מחסנית שיקבל את השפה

Bהשני נכניס aהראשון ללש ועל ה aעל ה Cציא נו aעל כל Cנכניס cעל כל הרעיון:

. Bנשלוף bעל כל

c┴ |SA דחוף

cA | A דחוף

bA| A שלוף

aA | A שלוף bB |B שלוף

bS|S שלוף bB|B שלוף

cC|BA דחוף

cS|BA דחוף

bS|S שלוף

aS| ללש

aB| ללש

aS| ללש

aB| ללש

בגרויות

טיורינג


16ח "תשס

כלבים חתולים ועכברים ... ראה אוטומט מכפלה.

13ט "תשס

זו שני סעיפים א ו ב שאין קשר ביניהם. ענה על שניהם. תרגילב

;לפניך אוטומט סופי .א

קבע לכל אחת מהמילים שלפניך אם היא מתקבלת על ידי האוטומט.

מט רשום מסלול מקבל בעבור מילה זו.ואם המילה מתקבלת על ידי האוט

babbaaa

aababaaa

aaabbba

.טהאוטומכתוב את כל המילים הקצרות ביותר המתקבלות על ידי

{a,b}נתונות השפות הבאות מעל הא"ב .ב

{L1={ an b

k n≠k n,k ≥ 0

{L2={ bi a

j n≠k i ≥ 0 , j ≥ 1

רגולרית? נמק את תשובתך. L1 ∩ L2האם

q0

q9

0

q1

b

a

q8

q2

q5

5

a,b

a

b

a

b

q7 q6

a

q3 q4 b

a a

b a

b

a

a

a b

a,b

b

בגרויות

טיורינג


14ט "תשס

אם התו הראשון במילה זהה לתו האחרון במילה. לדוגמה: 3תיקרא פלינדרום באורך 3מילה באורך .1

. 3היא פלינדרום באורך abaהמילה

{a,b}מעל ה א"ב Lלפניך השפה

L={w| 3או יותר פלינדרומים באורך 0}היא שרשור של

Lשייכת ל babbbbabaהמילה לדוגמה :

Lלא שייכת ל bababbהמילה

.Lלפניך ציור חלקי של אס"ד המקבל את השפה

הציור מכיל את כל המצבים של האוטומט.

Lהעתק למחברתך את הציור והשלם אותו כך שיקבל את השפה

עליך להשלים את המעברים החסרים ואת סימני הקלט החסרים ולסמן את המצב המקבל/מצבים מקבלים.

שים לב: אין להוסיף מצבים לאוטומט או להוריד מצבים.

L ∩ (aab)}מהי השפה .2n n ≥ 0} ?

q0

q5

0

q1

b

a

q4

q2

q3

a,b

b

a

בגרויות

טיורינג


15ט "תשס

∑נגדיר *

כאוסף כל המילים מעל א"ב נתון, כולל המילה הריקה.

כלשהי נגדיר : Lבעבור שפה

Init(L) = {u | uv Є L u,v Є ∑* }

Fin(L) = {v | uv Є L u,v Є ∑* }

Min(L) =

w Є L ובעבור כלw1 w2 המקיימותw=w1.w2 ו w2 אינה ריקה

w1 אינה שייכת לL

{0,1}שפות מעל ה א"ב 5לפניך

L1={ 0n 1

n 0

k 1

k | n ≥ 1 k ≥ 0 }

L2={ 0n 1

k | n ≥ 0 k ≥ 0 }

L3={ 0i 1

i | i ≥ 0 }

L4={ 0i 1

k | k ≥ i ≥ 0 }

L5={ 0i 1

k | i ≥ k ≥ 0 }

? L1 ∩ L2 מהי השפה .א

? Init (L3) מהי השפה .ב

? Fin(L3) מהי השפה .ג

? Є Min(L4) 0011 האם .ד

? Є Min(L5) 0011 האם .ה

רגולרית ? L4 ∩ L5 האם .ו

בגרויות

טיורינג


16ט "תשס

שלם הרשום על הסרט 0גדול מ x. המכונה מקבלת כקלט מספר f(x)לפניך מכונת טיורינג המחשבת פונקציה

ואחריהם הסימן $. 1תווים של xכמספר אונרי על ידי

יהיה סרט הזיכרון לפני תחילת החישוב: x=4לדוגמה בעבור

... $ 1 1 1 1 ├

על הסרט כמספר אונרי, מיד אחרי הסימן +. f(x)המכונה רושמת את תוצאת החישוב של

6את הערך ? f(5)מה יכיל הסרט לאחר חישוב .א

6את הערך ? f(6)מה יכיל הסרט לאחר חישוב .ב

+ למספר אי זוגי ועצירה על תחילת המספר.1 שהמכונה מחשבת ? f(x)מהי הפונקציה .ג

q3

1/1ימין ,

1/$ימין ,

q0 q1

q4

,$/שמאל 1/1 שמאל,

q2

1/1ימין ,

,$/$שמאל

,├/├ימין

בגרויות

טיורינג


13ע "תש

{a,b} "ב הא מעל L1-L3 שפות שלוש לפניך

{ {anbn-1| n≥1 L1=

anbk} 2ב nשל החלוקה משארית שונה 2ב k של החלוקה שארית }|n≥0,k>0 L2=

{ i שארית ללא בשלוש מתחלק, k שארית ללא בשלוש מתחלק {akb2m | k,m ≥0 L3=

לכל אחת מהשפות קבע אם היא רגולרית או אינה רגולרי. אם היא רגולרית בנה אס"ד מתאים ואם אינה .א

רגולרית נמק את קביעותיך.

{a,b} הא"ב מעל L4,L5 השפות לפניך .ב

{n זוגי אי {anbn-1| n≥1 L4=

L5= L1*R(L4)

L5 מהי

14ע "תש

{$,0} "ב הא מעל L השפה לפניך

{k≥1 לכל m ל 1 בין j im ≥ 0 ו im 03$0} שארית ללא 3 ב מתחלקi1$0

i2$...0ij$ |n≥1 L=

.L בשפה ביותר הקצרה המילה את כתוב .א

.L לשפה"ד אס בנה .ב

בגרויות

טיורינג


15ע "תש

לפניך אוטומט סופי לא דטרמיניסטי .א

קבע לכל אחת משלושת המילים הבאות האם היא מתקבלת בשפה או שלא. .א

שום מסלול עבור מילה זו.אם המילה מתקבלת ר .ב

a. 001001

b. 01010

c. 0101

מט. תן דוגמה למילה כזו.ולי של מילה המתקבלת על ידי האוטאמהו האורך המינימ .ג

מט. תן דוגמה למילה כזו.ומהו האורך המקסימלי של מילה המתקבלת על ידי האוט .ד

מהי השפה המוגדרת על ידי האוטומט? .ה

0,1

Q

1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

0,1

1

1

1

בגרויות

טיורינג


{a,b}"ב הא מעל L השפה לפניך

ים aואין בה רצף של aaaפרט לאלה שב aaמופיע בדיוק פעם אחת . אין בה מופעים של הרצף aaaהרצף

.3שאורכו גדול מ

לדוגמה :

ababbaaabba שייך לשפה

aaabbbabbab שייך לשפה

abaaabbaabba לא שייך לשפה

Lלפניך שרטוט חלקי של אס"ד המקבל את השפה

מט.וכל המצבים של האוט מכיל אתהשרטוט

מט ולסמן מה המצב המקבל.ועליך להשלים את האוט

הפתרון:

a a

b

a a

a,b

b

a a

b

a a

a,b

b

b

b

a

b

בגרויות

טיורינג


16ע "תש

.min(x,y)המחשבת את הפונקציה נתונה מכונת טיורינג

המכונה מקבלת שני מספרים אונריים המופרדים ב # והפלט ירשם כמספר אונרי בין שני סימני $. במהלך

סרטוט חלקי של המכונהלפניך . a,bלה להעזר בסימנים הפעולה המכונה יכו

מעברים המסומנים באותיות א,ב,ג. העתק למחברתך את הסרטוט והשלם את שלושת 3בסרטוט יש .א

המעברים.

. בכל שלב רשום את מצב הסרט היכן נמצא ראש המכונה x=1 y=1הראה את תהליך החישוב עבור .ב

מצאת.ובאיזה מצב המכונה נ

1/a,ימין

Q

1

ימין,b/b ימין,1/1

1/b,שמאל

a/a,ימין 1/1, שמאל

שמאל,#/#

b/b, שמאל

b/b,ימין ∆/$, ימין

1/$, ימין

b/1,שמאל

#/$, ימין

בגרויות

טיורינג


c} {a,c}מעל הא"ב L1נגדיר את השפה nan+2

|n>0} L1=

L= {w1 w2 w3…… wkb {a,b,c}מעל הא"ב Lלפניך השפה k | k>0 wi Є L1}

מקורות

חומר בקורס

.pdf1.haifa.ac.il/courses/compilers/tutorials/Winter09_T0http://cs

משרד החינוך-תוכנית הלימודים במודלים

http://www.csit.org.il/default.aspx?MenuShow=DOCS&Doc_ID=58

http://cs.haifa.ac.il/courses/compilers/tutorials/Winter09_T01.pdf

http://cs.haifa.ac.il/courses/compilers/tutorials/Winter09_T01.pdf

http://www.csit.org.il/default.aspx?MenuShow=DOCS&Doc_ID=58


(תיכון בליך) 1מספר מבחן

1.

.Lכתוב אוטומט לא דטרמיניסטי שמקבל את כל המילים השייכות לשפה

L= {an W bm | n>0, m= n%2 }

ומכילה עד פעם אחת (או לא מכילה c –מסתיימת ב b –המתחילה ב {a,b,c}מילה מעל הא"ב Wכאשר

.aבכלל, או מכילה פעם אחת) את האות

L bbcaccaaaaa:דוגמאות למילה בשפה

2.

האם השפה הבאה רגולרית? הוכח.

{ שמקיימת את התנאים הבאים:a,b,cשפה מעל הא"ב }

מכילה מס' אותיות זוגי וגם כל אות מופיעה לפחות פעם אחת במילה

או

פעמים (כולל 4לא מכילה אף אות ברצף וגם האות הראשונה היא גם האות האחרונה והיא מופיעה במילה עד

המופע הראשון והאחרון).


תיכון בליך . {a , b}מעל הא"ב L1-L5לפניך חמש השפות . 3

L1 = { w / זוגיאי w { -אוסף כל המילים שבהן מספר האותיות ב

L2 = { w / |w| % 3 = 2 }

L3 = { anb3n / n 0 }

L4 = { w / זוגי w ב- { אותיותאוסף כל המילים שבהן מספר ה

L5= {an bn+1 cm | n>=0, m=n%3 }

מהן השפות הבאות?

L6= L5 L1

L7 = L3 L2

L8 = L3 L4

L9 = L1 L2

L10= L3 L1

L11 = L32 . R(L5)

פיתרון L6

כפי שרואים מהמילים המתקבלות בשפה מספר ה איים + מספר ה ביים תמיד אי זוגי לכן L5ב

זוגיצריך שמספר ה סיים יהיה

L5 = b abbc aabbbcc aaabbbb aaaabbbbbc

ולכן המילים המתאימות הינן

a0+3k b1+3k וa2+3k b3+3k cc k>=0

4.

.Lובודקת האם היא שייכת לשפה {a,b,c}בנה מכונת טיורינג המקבלת מילה מעל הא"ב

{m היא שארית החלוקה שלn 2 –ב ,L={an b2n cm | n>=0


תיכון אלון רמת השרון נקודות) 50(פרק שני

) וענה על השאלות על פי מודלים חישובייםבפרק זה שאלות ממסלולים שונים בחר במסלול שלמדת (

ההוראות המתייחסות לאותו מסלול.

מודלים חישוביים

נקודות) 25(לכל שאלה 5-8ענה על שתיים מהשאלות

5שאלה

מעל הא"ב Lלפניך הגדרה לשפה , ,x y z:

{ | 0, 0, / 3}n kx y zL n k n k

/כאשר הסימון 3k של השלמהמציין את תוצאת מנת החלוקהk לדוגמה:3-ב ,

1/ 3 0 2 / 3 0 5 / 3 1

6 / 3 2

,: Lדוגמאות למילים השייכות לשפה , ,yz yyz xyyyyyz xxyyyyyyz.

.L, השייכת לשפה 5רשום דוגמה למילה באורך .א

ידי בניית אוטומט מחסנית דטרמיניסטי עבור השפה.-הקשר עלהיא חופשית Lהוכח כי השפה .ב

ידי הפעולה הבאה: -הגדר את השפה המתקבלת על .ג

{ | 0, 0, / 3}n kx yL n k n k

6שאלה

1לפניך הגדרות לחמש שפות 2 3 4 5, , , ,L L L L L מעל הא"ב כולן ,a b:

( )k s t } 1זוגי { | , 0, 0,k s ta b aL k t s

2 { | 0}maL m

3 { | 0}nbL n

w} 4היא מילה שאורכה זוגי { |wL

(2 )k s} 5זוגי { | 0, 0,k s ka b aL k s

2הוכח ששלוש השפות .א 3 4, ,L L L לכל דטרמיניסטי מלאידי בניית אוטומט סופי -הן רגולריות על

מהן. אחת

ידי שימוש בתכונות הסגירות של משפחת השפות הרגולריות: -היא רגולרית על 1Lהוכח שהשפה .ב

2תמך על כך שהשפות הס 3 4, ,L L L הן רגולריות כתוצאה מההוכחה בסעיף א', והגדר באמצעותן את

את דרך ההוכחה. הסבר ונמקתוך שילוב פעולות שפה מתאימות. 1Lהשפה

:מהן אם היא נכונה או שאינה נכונה כל אחתלגבי ונמקלפניך שתי טענות. קבע .ג

)1 (5 1L L

היא חופשית הקשר ורגולרית 5L) השפה 2(

7שאלה

מעל הא"ב 1Lלפניך הגדרה לשפה ,a b:


w} ספר המופעים של הרצף היא מילה שבה מab שווה למספר המופעים של הרצףba 1 { |L w

:לדוגמה

,המילים , , ,aaa b aababa baabab 1שייכות לשפהL.

,המילים ,baa aababb baababa 1לשפה שייכות לאL.

:1Lשל אוטומט סופי דטרמיניסטי מלא המקבל את השפה חלקילפניך תרשים

q0

q1

q2

q3

q4

b

a

a

b

a

b

המצבים של האוטומט עבור השפה. כלהתרשים מכיל את

:1Lהעתק את תרשים האוטומט הנתון, והשלם אותו כך שיקבל את השפה .א

יש להשלים בתרשים האוטומט את המעברים החסרים ואת סימני הקלט החסרים, ולסמן בו את

ממנו מצבים. ואין להורידמצבים לאוטומט, אין להוסיףהמצב המקבל או המצבים המקבלים.

, שפה נוספת מעל הא"ב 2Lלפניך הגדרה לשפה .ב ,a b:

w} 2היא מילה המתחילה ומסתיימת באותה אות { |L w

1האם ונמקקבע 2L L.

1לפניך שלוש טענות לגבי שתי השפות הנתונות .ג 2,L L מהן אם היא נכונה או כל אחתגבי ל ונמק. קבע

שאינה נכונה:

)1( 1 1)(R L L

)2( 2| 0} | 0}{ {i ii ia b L

)3( 1 2L L


8שאלה

מעל הא"ב wנבנתה מכונת טיורינג הפועלת על מילת קלט 0,1 ומחשבת עבורה את פעולת ההיפוך ,( )R w .

שמימין שמשמאל למילה לבין התו ├, הרשומה על הסרט בין התו wהמכונה מקבלת את מילת הקלט

)למילה. פלט המכונה הוא המילה ההפוכה )R wתו $ שנמצא גם הוא מימין , הנרשמת על הסרט מימין ל

.X. במהלך פעולת החישוב המכונה יכולה להיעזר בתו wלסופה של מילת הקלט

, לפני ביצוע הפעולה סרט המכונה ייראה כך (אותיות מילת הקלט מודגשות):011לדוגמה עבור מילת הקלט

. . . ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 1 1 0 ├

רט המכונה ייראה כך (אותיות מילת הפלט מודגשות):ולאחר ביצוע הפעולה ס

. . . ∆ 0 1 1 $ X X X ├

. ∆: הסימן . . . מציין רצף אינסופי של תאים המכילים את התו הערה

של המכונה שנבנתה: חלקילפניך תרשים

q6

q1

q2

q3

q4

q5

0/0,

1/1,

0/X,

1/X,

0/0,

1/1,

X/X,

$/$,

0/0,

1/1,

X/X,

$/$,

0/0,

1/1,

X/X,

$/$,

q0

/$,

0/0,

1/1,

אלה חסרים סימני הקלט . במעברים ד-אבתרשים יש ארבעה מעברים המסומנים באותיות .א

המעברים החסרים, כך שהמכונה ארבעתוההוראות. העתק למחברתך את התרשים, והשלם בו את

)תחשב את פעולת ההיפוך )R w עבור מילת קלטw.

ופן הבא: בכל שלב , והראה את מהלך המעקב בא0עקוב אחר ביצוע פעולת המכונה על מילת הקלט .ב

של פעולת המכונה רשום את תכולת הסרט, סמן היכן בסרט נמצא ראש המכונה, ורשום באיזה מצב

0מבין המצבים 6q q .נמצאת המכונה

בהצלחה!


2012מתכונת -פתרון מודלים חישוביים

5שאלה

.L :xyyyz, השייכת לשפה 5א. דוגמה למילה באורך

היא חופשית הקשר ע"י בניית אוטומט מחסנית דטרמיניסטי עבורה: Lב. נוכיח כי השפה

q0 q1

y , X /

y , S /

x , S / X

x , / S

q2

y , X /

y , S /

q4

y , X /

y , S / y , X / X

y , S / S

q3

y , /

y , /

q5

y , /

z , /

q6

z , / z , /

}ג. השפה המתקבלת ע"י הפעולה היא שפה ריקה: | 0, 0, / 3}n kx yL n k n k .

לאוטומט מחסנית קים פתרון נוסף


6שאלה

2א. נוכיח כי שלוש השפות 3 4, ,L L L :הן רגולריות ע"י בניית אוטומט סופי דטרמיניסטי מלא לכל אחת מהן

2אוטומט סופי דטרמיניסטי מלא עבור { | 0}maL m :

q1

a,b

b

q0

a

3 מיניסטי מלא עבוראוטומט סופי דטר { | 0}nbL n :

q2

b

b

q0 q1

a a

a,b

4היא מילה שאורכה זוגי {w אוטומט סופי דטרמיניסטי מלא עבור { |wL :

q1

a,b

q0

a,b

היא רגולרית ע"י שימוש בתכונות הסגירות של משפחת השפות הרגולריות. נסתמך על 1Lב. נוכיח כי השפה

2כך שהשפות 3 4, ,L L L 1הן רגולריות כתוצאה מההוכחה בסעיף א', ונגדיר באמצעותן את השפהL תוך שילוב

1ופן הבא: הפעולות שרשור וחיתוך בא 2 3 2 4( )L L L LL .

2שפה רגולרית, מכיוון שנבנית מהשפות הרגולריות 1Lלפיכך, 3 4, ,L L L ומכיוון שמשפחת השפות ,

הרגולריות סגורה תחת פעולות שרשור וחיתוך.

ג. קביעת נכונות שתי טענות:

5) הטענה 1( 1L Lהיא למעשה 5L. השפה 1Lשייכת גם לשפה 5L, מכיוון שכל מילה השייכת לשפה נכונה

t, שעבורו 1Lמקרה פרטי של השפה kספר מופעי האות , ומשמעותו היא שמa לפני רצף האותיותb

במילה. bלאחר רצף האותיות aבמילה שווה למספר מופעי האות


. אומנם, השפה היא חופשית הקשר, מכיוון אינה נכונהית" היא חופשית הקשר ורגולר 5L) הטענה: "השפה 2(

תלות כמותית אינסופית של שיוויון, מכיוון שקיימת אינה רגולריתשניתן לבנות לה אוטומט מחסנית, אך היא

לאחר רצף aוה למספר מופעי האות שו bלפני רצף האותיות aחלקים במילה: מספר מופעי האות 2בין

. לפיכך, לא ניתן לבנות לשפה אוטומט בעל מספר סופי של מצבים, ולכן היא אינה רגולרית.bהאותיות

7שאלה

:1Lא. השלמת תרשים אוטומט סופי דטרמיניסטי מלא המקבל את השפה

q3

q4

b

a

a

b

a

q2

q1

q0 b

a

b

b

a

1ב. 2L L 1. כל מילה השייכת לשפהL 2שייכת גם לשפהL 2, ולהפך, כל מילה השייכת לשפהL שייכת גם

, baשווה למספר המופעים של הרצף abת משום שכל מילה שבה מספר המופעים של הרצף . וזא1Lלשפה

היא מתחילה ומסתיימת באותה אות, ולהפך, בכל מילה, המתחילה ומסתיימת באותה אות, מספר המופעים

.baהמופעים של הרצף שווה למספרabשל הרצף

ג. קביעת נכונות שלוש טענות:

1) הטענה 1( 1)(R L L מכיוון שאם במילה מספר המופעים של הרצף נכונה ,ab שווה למספר המופעים של

ab,על המילה פעולת היפוך, עדיין השיוויון בין כמות רצפי , אז גם כאשר מפעילים baהרצף ba במילה

1Lנשמר. לכן, שפת ההיפוך של השפה , במקרה זה, זהה לשפה עצמה.

|2) הטענה 2( 0} | 0}{ {i ii ia b L ב אחת , מכיוון שמילים באורך חיובי, המכילות רק אות אנכונה"

a אוb 2, הן מתחילות ומסתיימות באותה אות, שזוהי למעשה הגדרת השפהL.

1) הטענה 3( 2L L 1. מסעיף ב' אינה נכונה 2L L 1, לכן 2 1 1L L L L כן מתקיים -, כמו

1 1L L , מכיוון ששפה ושפה משלימה לה אינן מכילות מילים משותפות, ולכן חיתוכם הוא כן השפה

הריקה.


8שאלה

ד:-א. תרשים המכונה המלא לאחר השלמת ארבעת המעברים החסרים א

q1

q2

q3

q4

q5

0/0,

1/1,

0/X,

1/X,

/0,

/1,

0/0,

1/1,

X/X,

$/$,

0/0,

1/1,

X/X,

$/$,

0/0,

1/1,

X/X,

$/$,

$/$,

q0

/$,

0/0,

1/1,

├/├,

q6

:0וע פעולת המכונה על מילת הקלט ב. מעקב אחר ביצ

⋯ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 ├

↑

q0

⋯ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 ├

↑

q0

⋯ ∆ ∆ ∆ $ 0 ├

↑

q1

⋯ ∆ ∆ ∆ $ X ├

↑

q2

⋯ ∆ ∆ ∆ $ X ├


↑

q2

⋯ ∆ ∆ 0 $ X ├

↑

q4

⋯ ∆ ∆ 0 $ X ├

↑

q1

⋯ ∆ ∆ 0 $ X ├

↑

q1

⋯ ∆ ∆ 0 $ X ├

↑

q6


2011מבחן בגרות

: {a,b,c}מעל הא"ב Lלפניך השפה .13

L= {anb

3k+1c

k | n>0, k>0}

. Lכתוב את המילה הקצרה ביותר בשפה .א

. Lת השפה בנה אוטומט מחסנית שיקבל א .ב

א' ו ב' שאינם תלויים זה בזה. ענה על שניהם. בשאלה זו שני סעיפים .14

{a,b}מעל הא"ב Lא. לפניך השפה

L= {w | |w|>0 מופיע בכל המילה מספר זוגי של פעמים w התו האחרון של}

שייכת לשפה. abaabbabלדוגמה : המילה

יכת לשפה.שי abbabaaהמילה

לא שייכת לשפה. babbabaהמילה

.Lלפניך סרטוט חלקי של אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את

בסרטוט חסרים מעברים וסימני קלט.

הסרטוט מכיל את כל המצבים של האוטומט ואת כל המצבים המקבלים.

. Lבל את השפה העתק למחברתך את הסרטוט והשלם אותו כך שיק

עליך להשלים את המעברים החסרים ואת סימני הקלט החסרים.

שים לב: אין להוסיף מצבים לאוטומט, ואין להוריד ממנו מצבים.

q0

q1

a

q3

q4

q2

a

b b

q6

b

q5

a

b


: {a,b}מעל הא"ב Lלפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את השפה .ב

ידי האוטומט . אם המילה מתקבלת רשום קבע לכל אחת מארבעת המילים שלפניך אם היא מתקבלת על

את המסלול המקבל בעבור מילה זו.

1( aaba

2( bbaabb

3( abaa

4( bb

המוגדרת על ידי האוטומט? Lמהי השפה

{0,1,2}מעל הא"ב Lפניך השפה ל .15

L= {0n1

k2 | n>k≥0}

אינה רגולרית. Lהוכח כי

{1,2}מעל הא"ב L1נתונה השפה

L1= {1n2 | n≥0}

נמק. L1∩Lמהי השפה

q0

q1

a

q2

q3 b

b

a

q4 b

b a

b

a

a


2012מבחן בגרות


: {0,1}מעך הא"ב Lלפניך השפה א.

=L{ 11או ב 10או ב 111או ב 110או ב 101או ב 100ל המילים המסתיימות ב כ}אוסף

.Lמט סופי דטרמיניסטי המקבל את לפניך סרטוט חלקי של אוטו



. Lהעתק למחברתך את הסרטוט והשלם אותו כך שיקבל את השפה


יף מצבים לאוטומט, ואין להוריד ממנו מצבים.שים לב: אין להוס

{a,b}מעל הא"ב Lלפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את השפה .ג

כתוב מילה באורך מינימלי המתקבלת על ידי האוטומט. .1

ומתקבלת על ידי האוטומט. 3שאורכה גדול מ a. כתוב מילה המתחילה ב 2

ומתקבלת על ידי האוטומט. 3שאורכה גדול מ b. כתוב מילה המתחילה ב 3

.bומילים המתחילות ב aהמתקבלת על ידי האוטומט? התייחס למילים המתחילות ב L. מהי השפה 4

a

a

b

b

q0 q1

b

b

b

b

b

a

a a

b

a q2

q3

a

a

a,b

q0 q1 1

0

q3

1 1

0

0

q4

q2


אוטומט מחסנית לשפה הבאה :בנה {a,b,c}מעל הא"ב Lלפניך השפה .15

L= {(aba)nc(bab)

2n+1 |n>0}

.Lה בנה אוטומט מחסנית שיקבל את השפ

בשאלה זו שלושה סעיפים שאינם תלויים זה בזה. ענה על כל הסעיפים. .16

:{a,b,c}מעל הא"ב L1 , L2לפניך השפות .א

L1= {anb

nc

n |n≥1}

L2= {am

|m≥1}

L2 w1= aiנתונות שתי מילים ב w2= aj i≠jכך ש

:כך שיתקיים wמצא מילה

w1 w Є L1

w2 w Є L1

:{a,b}מעל הא"ב L1 , L2לפניך השפות .ב

{v היא מילה מתוך אוסף כל המילים מעל הא"ב{a,b} כולל המילה הריקה| L1= { v v

L2= { am

b m≥1}

L2 w1= aibב נתונות שתי מילים

w2= ajb כך שi≠j

כך שיתקיים : wמצא מילה

w1 w Є L1

w2 w Є L1

לפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי: .ג

לכל אחת מהטענות הבאות קבע אם היא נכונה או אינה נכונה.

אם הטענה אינה נכונה כתוב מילה המפריכה אותה.

i. "ב שפת האוטומט היא אוסף כל המילים מעל הא{a,b} שבהן כל פעם שמופיעהb

.aמופיעה אחריה

ii. שפת האוטומט היא אוסף כל המילים מעל הא"ב{a,b} המסתיימות בa או בb.

iii. שפת האוטומט היא אוסף כל המילים מעל הא"ב{a,b} שאין בהן שניb .ים רצופים

a

b b a,b

a


.לפניך מכונת טיורינג .17

?וראש המכונה מצביע על התו {an?bm |n,m >0#]על סרט הקלט של המכונה רשומה מילה מהצורה

הסרט יראה m=1ו n=3לדוגמה עבור

# b ? a a a #

i. הראה את מסלול החישוב של המכונה בעבור הקלט המופיע בדוגמה, וציין את פלט

כונה, ורשום באיזה מן המכונה. בכל שלב רשום את מצב הסרט, סמן היכן נמצא ראש המ

המצבים המכונה נמצאת.

ii. כתוב את התו שירשם במקום התו ? בעבור הקלט#aa?bb#

iii. ?מה מבצעת המכונה

q4

0

q0

שמאל ?/?

b/b שמאל

a/a שמאל

q1

q2

ימין ?/?b/b ימין a/a ימין

ימין # / #

a / # ימין

q3

שמאל # / #

? / a ימין ? / b שמאל

b / # שמאל


2012פתרון מבחן בגרות


: {0,1}מעך הא"ב Lלפניך השפה א.

=L{ 11או ב 10או ב 111או ב 110או ב 101או ב 100ות ב }אוסף כל המילים המסתיימ

.Lלפניך סרטוט חלקי של אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את



. Lוט והשלם אותו כך שיקבל את השפה העתק למחברתך את הסרט


שים לב: אין להוסיף מצבים לאוטומט, ואין להוריד ממנו מצבים.

{a,b}מעל הא"ב Lלפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי המקבל את השפה .ד

bbאו ab כתוב מילה באורך מינימלי המתקבלת על ידי האוטומט. .1

abbb ומתקבלת על ידי האוטומט. 3שאורכה גדול מ a. כתוב מילה המתחילה ב 2

bbbb ומתקבלת על ידי האוטומט. 3שאורכה גדול מ b. כתוב מילה המתחילה ב 3

.bומילים המתחילות ב aידי האוטומט? התייחס למילים המתחילות ב המתקבלת על L. מהי השפה 4

b )bnאורכן זוגי ומכילות רק bואורכן זוגי או מתחיל ב aמתחילות ב n (זוגי

a

a

b

b

q0 q1

b

b

b

b

b

a

a a

b

a q2

q3

q0 q1 1

0

q3

1 1

0 q4

q2

0 1

1

0

0


אוטומט מחסנית לשפה הבאה :בנה .14

L= {(aba)nc(bab)

2n+1 |n>0}

ניתן לפתור במספר דרכים

האחרון ללש. babעל ה Aנשלוף babללש על כל cלמחסנית על ה AAנדחוף aba: על כל דרך א

על Aנשלוף babללש על כל cעל ה AAנוסף נדחוף abaעל כל SAAהראשון נדחוף aba: על ה דרך ב

.Sנשלוף babה

a┴| SAA דחוף

aA| AA דחוף

bA | ללש

aA | ללש

cA | ללש

bA | ללש

bS | ללש

aA | ללש

aS | ללש

bA | A שלוף

bS |S שלוף

a┴| AA דחוף

aA| AA דחוף

bA | ללש

aA | ללש

cA| ללש

bA | ללש

b┴ | ללש

aA | ללש

a┴ | ללש

bA | A שלוף

b┴ | ללש


בשאלה זו שלושה סעיפים שאינם תלויים זה בזה. ענה על כל הסעיפים. .15

:{a,b,c}מעל הא"ב L1 , L2לפניך השפות .א

2. L1= {anb

nc

n |n≥1}

3. L2= {am

|m≥1}

L2 w1= aiנתונות שתי מילים ב w2= aj i≠jכך ש

ם :כך שיתקיי wמצא מילה

w1 w Є L1

w2 w Є L1

W=bIc

I ואזaIb

Ic

I שייך לL1 וajb

Ic

I אינו שייך לL1

:{a,b}מעל הא"ב L1 , L2לפניך השפות .א

{v היא מילה מתוך אוסף כל המילים מעל הא"ב{a,b} כולל המילה הריקה| L1= { v v

L2= { am

b m≥1}

L2 w1= aibנתונות שתי מילים ב

w2= ajb כך שi≠j

כך שיתקיים : wמצא מילה

w1 w Є L1

w2 w Є L1

W=aIb ואזa

Iba

Ib שייך לL1 וa

Iba

jb אינו שייך לL1

לפניך אוטומט סופי דטרמיניסטי: .ב

אחת מהטענות הבאות קבע אם היא נכונה או אינה נכונה.לכל

אם הטענה אינה נכונה כתוב מילה המפריכה אותה.

iv. שפת האוטומט היא אוסף כל המילים מעל הא"ב{a,b} שבהן כל פעם שמופיעהb

מתקבל. bאינו נכון .aמופיעה אחריה

v. שפת האוטומט היא אוסף כל המילים מעל הא"ב{a,b} המסתיימות ב a או בb.

.bאינו מתקבל והוא מסתיים ב bbאינו נכון

vi. שפת האוטומט היא אוסף כל המילים מעל הא"ב{a,b} שאין בהן שניb .נכון ים רצופים

a

b b a,b

a


16.

א.

מצב הסרט (צהוב=ראש

המכונה)

מצב

# b ? a a a # q0

# b ? a a a # q0

# b ? a a a # q0

# b ? a a a # q0

# b ? a a a # q0

# b ? a a a # q1

# b ? a a # # q2

# b ? a a # # q2

# b ? a a # # q2

# b ? a a # # q2

# b ? a a # # q2

# b ? a a # # q3

# # ? a a # # q0

# # ? a a # # q0

# # ? a a # # q0

# # ? a a # # q0

# # ? a a # # q1

# # ? a # # # q2

# # ? a # # # q2

# # ? a # # # q2

# # ? a # # # q3

# # A a # # # q4

Bעל הסרט ירשם ב.

Bאחרת תרשום A. אם כן תרשום bגדול ממספר ה aהמכונה בודקת אם מספר ה ג.


אלון רמת השרון נקודות) 50(פרק שני

16-13מבין השאלות 2ענה על

:13ה שאל

, כך שלפניו לא מופיעה 012שמופיע בהן הרצף {0,1,2}ב "א-היא שפת כל המילים מעל ה Lהשפה .א

פעמים במילה) 3מופיעה בדיוק 2(הספרה בדיוק פעמיים. 2, ואחריו מופיעה האות 2כלל האות

1012012002, 000121122מילים בשפה:

.Lהשפה חלקי שבונה את סופי דטרמיניסטי מלאלפניך אוטומט

הוסף קשתות חסרות, וסמני קלט חסרים. (העתק את האוטומט למחברתך והשלם את החסר)

.אין להוסיף מצבים נוספים

המקבל את המילים הבאות: {a,b,c}סופי דטרמיניסטי מעל הא"ב בנה אוטומט .ב

זוגי. הוא bלפני האות a -, מספר ה aacמופיע הרצף bאחרי כל מופע של האות

caacaabacaaca ,acaמילה בשפה:

2

0

0

2 1 2 2


:14שאלה

בנה אוטומט מחסנית עבור השפה:

}03%,,,0|{ 2 kmnkmnmcbaL knm

9145291410מילים בשפה: cbacba ,342 cba 232. מילה לא בשפה cba

:15שאלה

נתונות השפות הבאות :

L1= {an(ab)mak | k,n>=0; m>0;nk}

L2= {anbm(ab)n+m | n,m>0}

{|w|%2=0 w, { מעל הא"בa,b,}מתחילה ב-a ומסתיימת ב-b |w = }L3

L4= {ck abnamb2man b2k+1 | k>=0, n, m>0 }

תשובתך. הוכח? האם השפה רגולרית, או לא ? L1L3א. מהי השפה

הוכח או הפרך. R(L2) =R(L2)R(L3) טענה:ב.

חלקי או שווה) ( נמק.או לא זה ולא זה, L3L2או L2L3 איזו טענה נכונה? ג.

חופשית הקשר.? והוכח שהיא L4L3השפה מהי ד.

:16שאלה

אינה רגולרית L2-רגולרית ו L1 -. נתון ש{a,b}מעל הא"ב L2 -ו L1תהיינה השפות

-נסמן ב .{a,b}ת שפת כל המלים מעל הא"ב א *

רגולרית, לפעמיםרגולרית, בהכרחלגבי כל אחת משלוש השפות קבע האם היא

רגולרית. פעם לא-אףאו

הוכח זאת. –רגולרית פעם לא-אףרגולרית או בהכרחאם התשובה היא

כך שפעם אחת התוצאה L2 -ו L1 -אז תן שתי דוגמאות ל –רגולרית לפעמיםאם התשובה היא

רגולרית ופעם שניה התוצאה לא רגולרית.

L=L1· R(L1) .א

L=R(*-L1)(L1- .ב*)

L=R(*-L1)(L2- .ג*)

L=L2-L1 .ד

. L1 -ולא ב L2 -הוא אוסף כל האיברים שנמצאים ב L2-L1: הפרש השפות הערה


מגן אלון 2014 השאלות הבאות 4מתוך 2בחר

)a,b,cע השפות הבאות: (כל השפות מעל נתונות ארב .1

L1= an b

k n+k ≤ 10

L2= an b

n c

k n,k ≥ 0

L3= ax b

y c

z x,y ≥ 0 z=x+y

L4= ax b

y x≠y

אילו מהשפות רגולרית ואילו לא?

הגדר בקצרה עד כמה שניתן את השפות הבאות

1) L1∩L2

2) L2∩L3

3) R(L4)*L1

4) 4L ∩L2

פתרון

רגולרית. L1א. רק

ab aabb aaabbb aaaabbbb aaaaabbbbb. המילה הריקה 1ב.

2 .anbnc2n n ≥ 0

3 .by ax bz

4 .L2


נתון אוטומט המחסנית הבא : .2

)2( מה המילה הקצרה ביותר המתקבלת. .א

)8( עבור כל אחת מהמילים הבאות רשום האם מתקבלת או לא. .ב

ababbbbb

abbbbabb

baaa

abbabbbb

)ababbbbb )3בצע מעקב אחר המילה הראשונה. .ג

)12( הגדר את השפה המתקבלת. .ד

פתרון

המילה הריקה. .א

מתקבל ababbbbb .ב

abbbbabb לא מתקבל

baaa לא מתקבל

abbabbbb מתקבל

מעקב פשוט .ג

#)(כך ש {a,b}מילה מעל .ד wa3=*)(# wb

#)( ואסור שבכל רישא של מילה wb <)(# wa*3

בנה אס"ד לשפה הבאה: .3

aA | AAA דחוף

bA | A שלוף

a┴ | SAA דחוף

bS|S שלוף q0 q1

q2

a┴ | SAA דחוף


azdbnck n,k,z≥0 {a,b,c,d}שפה מעל ה א"ב

.1בשלוש שווה z+n+kשארית חלוקת

a

q0

q5

q3

d

q2

a

a

d

q1

b

q4

b

d

b

q6

c

q5

q1

c

c

c

c


ומחזירה בסופו מספר אונרי bאו aבנה מכונת טיורינג המקבלת סרט שעליו אותיות .4

ים שעל הסרט.aהמייצג את מספר הרצפים של

├ baaabbaaaaabaדוגמה עבור

├ baaabbaaaaaba111הסרט יראה לאחר ביצוע הפעולה

הפתרון

b/b ימינה

שמאלה 1/1

שמאלה 1/1

a/a

ימינה

a/a ימינה

b/b

ימינה a/X שמאלה

b/b ימינה ימינה 1/1

שמאלה 1/1 שמאלה 1/∆

a/a

שמאלה

b/b

שמאלה

שמאלה 1/1

a/a ימינה

X/X ימינה

שמאלה 1/∆ שמאלה ∆/∆

גנירויט תנוכמ -...

Documents