§ 8.2 采样过程与采样定理 § 8.3 保持器 § 8.4 z 变换 § 8.5 脉冲传递函数 § 8.6...
DESCRIPTION
第八章 采样控制系统. § 8.2 采样过程与采样定理 § 8.3 保持器 § 8.4 Z 变换 § 8.5 脉冲传递函数 § 8.6 采样控制系统的稳定性分析 § 8.7 采样系统的稳态误差 § 8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传递 函数零、极点分布的关系 § 8.9 采样系统的校正. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第8章 采样控制系统
§ 8.2 采样过程与采样定理
§ 8.3 保持器
§ 8.4 Z变换
§ 8.5 脉冲传递函数
§ 8.6 采样控制系统的稳定性分析
§ 8.7 采样系统的稳态误差
§ 8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传递
函数零、极点分布的关系
§ 8.9 采样系统的校正
第八章 采样控制系统
第8章 采样控制系统
本章介绍采样控制系统即线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控制系统的控制理论不同。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数，而在离散系统中则不然，因此，在离散系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信号 。)(* te
离散反馈信号 是由连续型的时间函数 e(t) 通过采样开关的采样而获得的。采样开关经一定时间 T 重复闭合，每次闭合叫间为 ε ，且有 ε <T 。
)(* te
Tf s
1Ts2
采样频率采样角频
率
第8章 采样控制系统
数字控制系统
)(* te )(* tu离散的偏差信号 经数字计算机的加工处理变换成数字信号 ， 再经 D ／ A 转换为连续信号 馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号 c(t) 。
)(* tu
)(tuk
第8章 采样控制系统
实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连续信号变换为脉冲序列的问题。
按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。
§8.2 采样过程与采样定理
8.2.1 采样过程
0
* )()()(n
nTtnTete
0
* )()()()()(n
T ttenTttete 或
第8章 采样控制系统
)()()()(0
*
n
tjwT1
Tsetettete
n
sjnsET
sE ][1
)(* 则有
0
* )()()(n
nTttete
0
)()( n
T nTtt 令
8.2.2 采样定理采样定理 (shannon 定理 ) ，由于它给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
在离散函数的频谱中、 n=0 的部分 E(jω) ／ T 称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外， E*(jω) 还包含无限多个附加的高频频谱。为了准确复现采样的 连续信号，必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱。
拉氏变换
第8章 采样控制系统
由图可见，相邻两频谱互不重迭的条件是
ωs ≥2ωmax
如果满足条件，并把采样后的离散信号 e*(t) 加到理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号 ( 幅值相差 l ／ T 倍 ) 。倘若 ωs <2ωmax , 则会出现图中所示的相邻频谱的重叠现象，这时，
即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。综上所述，可以得到一条重要结论，即只有在 ωs ≥2 ωmax 的条件下，采样后的离散信号 e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。这里 2 ωmax 为连续信号的有限频率。这就是香农 (Shannon)采样定理。由于它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。
第8章 采样控制系统
实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何把采样信号恢复为连续信号。根据采样定理，在满足 ωs ≥2 ωmax 的条件下，离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
§8.3 保持器
但是，上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。
通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。
第8章 采样控制系统
零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻nT 的采样值 e(nT) 不增不减地保持到下一采样时刻 (n+1)T ，其输入信号和输出信号的关系
8.3.1 零阶保持器
0
1)()(
n
TsnTs
h s
eenTesE
)(1
)( * sEs
esE
Ts
h
零阶保持器的传递函数
s
e
sE
sEsG
Tsh
h
1
)(
)()(
*
零阶保持器频率特性
2/
)2/()2/sin(
1)(
Tj
jT
h
eT
TT
j
ejG
第8章 采样控制系统
零阶保持器具有如下特性
低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过 , 从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。
相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随的
增大而加大，在 ω=ωs/2 时，相角迟后可达－ 180o ，从而使闭环
系统的稳定性变差。
时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号 eh(t) 其平均响应为 e[t
－ (T/2)],表明输出比输入在时间上要迟后 T/2 ，相当于给系统增加一个延迟时间为 T/2 的延迟环节，对系统稳定不利。
第8章 采样控制系统
8.3.2 一阶保持器
一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其外推关系为
tdt
denTete nTTnT △△ |)(|)(
一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示，
TT
nTeTnenTete TnT △△
)())1(()(|)(
s
eTsT
sE
sEsG
Tsh
h
1)1(
)(
)()(
*
一阶保持器的频率特性
第8章 采样控制系统
00
* )()()()()(nn
nTtnTfnTttftf
离散信号的拉氏变换为
0
* )()(n
nTsenTfsF
8.4.1 Z 变换定义上式中各项均含有 e-kTs 因子，为便于计算定义一个新变量 z=esT ， 其中 T 为采样周期， z是复数平面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。
sTez
0
)()(n
nznTfzF
§8.4 Z 变换
Z[f*(t) ]= F(z) 所表示的 z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。人们习惯上称 F(z) 是 f(t) 的 z变换 ,指的是经过采样后 f*(t)的 z变换。连续时间函数 x (t) 与相应的离散时间函数 x*(t)具有相同的 z变换，即
0
* )()()]([)]([n
nznTfzFtfZtfZ
第8章 采样控制系统
1) 级数求和法
00
* )()()()()(kk
kTtkTfkTttftf
0
21 )()2()()0()()(k
kk zkTfzTfzTffzkTfzF
8.4.2 Z 变换方法
例 8-1 ：试求函数 f(t)=1(t) 的 z 变换。解 : f (kt) =1(t) (k=0,1,2,3….)
k
k
k zzzzkTfzF 1111)()(0
21
111
11
z
zz
z
第8章 采样控制系统
例 8-2 ：试求函数 f(t)=e-at 的 z 变换。
kkaT
k
aTaTk
ze
zezezkTfzF0
2211)()(
aTaTaT ez
ezz
ez
111
第8章 采样控制系统
2) 部分分式法 设连续函数 f(t) 的拉氏变换式为有理函数，可以展开成部分分式的形式，即
i
in
i ps
AsF
1
)(
式中 pi 为 F（ s）的极点， Ai 为常系数。
i
i
ps
A
对应的时间函数为 其 Z 变换为
Tpi ieZ
ZA
tpi
ieA
第8章 采样控制系统
可见， f（ t）的 Z 变换为：
Tpi
n
iieZ
ZAzF
1
)(
利用部分分式法求 z 变换时，先求出已知连续时间函数 f（ t）的拉氏变换 F(s) ，然后将有理分式函数 F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）给出每一项相应的 z 变换。
第8章 采样控制系统
例 8-3 ：求 的 Z 变换 。)1(
1)(
sssF
))(1(
)1(
1)(
1
1
;1
1
1
11
)1(
1)(
)(
T
T
T
T
ezz
ez
ez
z
z
zzFz
ez
zz
s
z
zz
sz
sssssF
sF
变换为于是
变换为的
变换为的变换表得：查
分式按它的极点展开为部分解：将
第8章 采样控制系统
例 8-4 ：求 f (t)=sinωt 的 Z 变换。
解：
jsj
jsj
ssF
21
21
)(22
1)cos2(
sin
)cos2(1
)(sin
121
12
1
)(
2
21
1
11
zTz
Tz
zzT
zT
ezj
ezj
zFTjTj
的原函数为 ，其 Z 变换为js
Ai
tp
iieA Tj
i
ez
A 11
第8章 采样控制系统
3) 留数计算法
已知连续信号 f (t) 的拉氏变换 F(s) 及它的全部极点 , 可用下列的留数计算公式求 F(z) 。
n
iTsss ez
zsFszF
i1
])([Re)(
函数 在极点处的留数计算方法如下：Tsez
zsF
)(
若 Si 为单极点，则
])()[(lim])([ReTsi
ssssTs ez
zsFss
ez
zsFs
ii
第8章 采样控制系统
若 有 ri 重极点 Si ，则Tsez
zsF
)(
1
1 ])()[(lim
)!1(
1])([Re
i
ii
ii r
sTr
ir
ssi
sssT dsezz
sFssd
rez
zsFs
例 8-5 已知系统传递函数为 ，应用留数计算法求 F（ z）。
)1(
1)(
sssF
第8章 采样控制系统
解： F(s) 的极点为单极点
1,0 21 ss
))(1(
)1(
1
])1()1(
1[lim]
)1(
1[lim
])1(
1[Re]
)1(
1[Re
])([Re)(
10
10
2
1
2
T
T
T
TssTss
TsssTsss
isTss
ezz
ez
ez
z
z
z
ez
zs
ssez
zs
ss
ez
z
sss
ez
z
sss
ez
zsFszX
i
i
第8章 采样控制系统
例 8-6 ：求 (t>0) 的 Z 变换 .ttf )(
解：2
1][)(
stLsF
F(s) 有两个 s=0 的极点，即 2,0 11 rs
2022
0 )1(][lim]
1[lim
)!12(
1)(
z
Tz
ez
z
ds
d
ez
z
ss
ds
dzF
TssTss
第8章 采样控制系统
若
1 。线性定理
)()]([ zXtxZ
)()]([ zXznTtxZ n
1
0
])()([)]([n
k
kn zkTxzXznTtxZ
2 ）迟后和超前定理
则有
及
3 ）复平移定理
)(
)()(
)()]([
0
0
zeX
zekTx
zkTxetxeZ
aT
kaT
k
k
k
akTat
ze aT
定理的含义是：函数 x(t)乘以指数序 e±aT 的 Z 变换，等于在 x(t) 的 Z 变换表达式 X(z) 中，以 取代原算子 z 。
)()()]()([ 2121 zbXzaXtbxtaxZ
8.4.3 Z 变换定理
第8章 采样控制系统
举例：试用复平移定理计算函数 te-at 的 Z 变换
解：令 x(t)=t ，2)1(
)()(
z
TztZzX
根据复平移定理，有
2
2
)
)(
)1(
(][)(
aT
aT
aT
aTataT
ez
Tze
ze
zeTteZzeX
第8章 采样控制系统
5 ）初值定理若 Z[x(t)]=X(z) ，且当 t<0时， x(t)＝ 0 则
)(lim)0( zXxz
6 ）终值定理 若 Z[x(t)]=X(z) ，且 (z－ 1)X(z) 的全部极点位于 Z平面的单位圆内，则
)()1(lim)(1
zXzxz
第8章 采样控制系统
举例：设 Z 变换函数为试用终值定理确定
,)208.0416.0)(1(
792.0)(
2
2
zzz
zzE
解：由终值定理得
1208.0416.0
792.0lim
)208.0416.0)(1(
792.0)1(lim)(
2
2
1
2
2
1
zz
z
zzz
zze
z
z
7 ）卷积定理
])()([)()(0
2121
n
nTkTxnTxZzXzX
第8章 采样控制系统
8.4.4 Z 反变换
)()]([(1 kTfzFZ
1 ）长除法 )(1
)(2
21
1
22
110 nm
zazaza
zbzbzbbzF
nn
mm
例 8-7 ：已知 ，试用幂级数法求 F(z) 的 z
反变换。5.05.0
5.02)(
2
2
zz
zzzF
321 875.025.15.02)( zzzzF
0
1* )()()]([)(k
kTtkTfzFZtf
875.0)3(,25.1)2(,5.0)(,2)0( TfTfTff
)3(875.0)2(25.1)(5.02)(* TtTtTttf
第8章 采样控制系统
2 ) 部分分式展开法
例 8-8 设 , 试求 f (kT) 。))(1(
)1()(
aT
aT
ezz
zezF
aT
aT
aT
ez
B
z
A
ezz
e
z
zF
1
))(1(
1)(解：
经计算有 A=1 ， B=－ 1 所以有
aTezzz
zF
1
1
1)(
aTez
z
z
zzF
1
)(
)2,1,0(1)( kekTf akT
第8章 采样控制系统
3 ）留数计算法
根据 z 变换定义有
0
)()(k
kzkTfzF
根据柯西留数定理有
n
izz
k
izzFskTf
1
1])([Re)(
式中 表示 F(z)zk-1 在极点 zi 处的留数。izz
kzzFs ])([Re 1
第8章 采样控制系统
关于函数 F(z)zk-1 在极点处的留数计算方法如下：
若 zi 为单极点，则
])()[(lim])([Re 11
k
izz
zzk zzFzzzzFs
ii
若 F(z)zk-1 有 ri阶重极点，则
1
111 ])()[(
lim)!1(
1])([Re
i
ii
ii r
kri
r
zzi
zzk
dz
zzFzzd
rzzFs
第8章 采样控制系统
例 8-9 ：设 z 变换函数 ，试用留数法求其 z 反变换。
23
5.0)(
2
zz
zzF
解：因为函数 有 z1=－ 1 ，
z2=－ 2两个极点，极点处的留数)2)(1(
)5.0()(
11
zz
zzzzF
kk
kk
zz
k
zzz
zzz
zzz
zzs )1(5.0]
)2)(1(
)5.0)(1([lim]
)2)(1(
)5.0([Re
11
kk
zz
k
zzz
zzz
zzz
zzs )2(75.0]
)2)(1(
)5.0)(2([lim]
)2)(1(
)5.0([Re
22
第8章 采样控制系统
kkkTf )2(75.0)1(5.0)(
0
* )()()(k
kTtkTftf
所以有
相应的函数为：
第8章 采样控制系统
第8章 采样控制系统
在线性离散系统中，初始条件为零的系统 ( 或环节 ) 的输出离散信号的 Z 变换与输入离散信号的 z 变换之比，定义为脉冲传递函数，
§8.3 脉冲传递函数
1 ）脉冲传递函数的定义
）（）（）（
zR
zCzG
第8章 采样控制系统
3 ） 采样系统的开环脉冲传递函数
）（）（）（
）（ zGGzR
zCzG 21
）（）（）（）（
）（ zGzGzR
zCzG 21
上式表明，被采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两环节的脉冲传递函数之积，无采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两个环节传递函数之积的 Z 变换。
第8章 采样控制系统
带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
)(])()(
[)( * sRs
sGe
s
sGsC psTp
)(])(
[)(])(
[)( 1 zRs
sGZzzR
s
sGZzC pp
])(
[)1()(
)()( 1
s
sGZz
zR
zCzG p开环系统脉冲传递函数
根据平移定理
第8章 采样控制系统
例 8-5-1 ：设离散系统为具有零阶保持器的开环系统，
)()(
ass
asG p
解：因为 )11
(11
)(
)(22 assasass
a
s
sGp
求系统的脉冲传递函数 G(z) 。
)()1(
)]1()1[(1
1
1
)1(
)(
2
2
aT
aTaTaT
aT
p
ezz
eaTezaTeza
ez
z
z
z
az
Tz
s
sGZ
))(1(
)]1()1[(1
])(
[)1()( 1
aT
aTaTaT
p
ezz
eaTezaTea
s
sGZzzG
第8章 采样控制系统
4 ） 采样系统的闭环脉冲传递函数
)(1
)(
)(
)()(
zHG
zG
zR
zCz
)(1
1
)(
)()(
zHGzR
zEze
0)(1)( zGHzD
闭环误差脉冲传递函数：
第8章 采样控制系统
例：设闭环离散系统结构如图所示，
)()(1
)()()(
21
21
zHGzG
zGzGz
例： 设闭环离散系统结构如图 ,试求其输出采样信号的 z 变换函数
)(1
)()(
zGH
zRGzC
第8章 采样控制系统
第8章 采样控制系统
第8章 采样控制系统
Tjez
可见， S 平面上的虚轴映射到 Z 平面上，为以原点为圆心的单位圆。
当 s位于 S平面虚轴的左边时， σ 为负数， 小于 1 。反之，当 s位于 s平面虚轴的右半平面时，为正数， 大于 1 。 s平面的左、右半平面在 z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。
Tez Tez
§8.6 采样控制系统的稳定性分析
8.6.1 采样系统的稳定条件
s 域到 z 域的映射复变量 s 和 z 的相互关系为 z=esT ，
s域中的任意点可表示为 ，映射到 z域则为 js TjTTj eeez ）（
于是， s域到 z域的基本映射关系式为
Tzez T ，
第8章 采样控制系统
线性采样系统稳定的充要条件 01 ）（）（ zGHzD
用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。
在 z 域中，离散系统稳定充要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在 z 平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于 1 ，相应的线性定常系统是稳定的
第8章 采样控制系统
根据复变函数双线性变换公式，令
1
1
w
wz 1
1
z
zw或
式中 z和 w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即 jvuwjyxz
2222
22
)1(
2
)1(
1
1
1
yx
yj
yx
yx
jyx
jyxw
8.6.2 劳斯稳定判据
当动点 z 在 Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：
122 yx 0)1(
122
22
yx
yxu
左半W平面对应 Z平面单位圆内的部分，W平面的虚轴对应 Z平面的单位圆上，可见图。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。
离散系统稳定的充要条件：由特征方程 1+GH （ z ） =0 的所有根位于 z 平面上的单位圆内，转换为特征方程 1+GH （ w ） =0 的所有根位于左半 W 平面。
第8章 采样控制系统
解：求出 G(s) 的 z 变换
1)1.01()(
s
k
s
k
ss
ksG
368.0368.1
632.0
368.01)(
2
zz
kz
z
kz
z
kzzG
闭环系统脉冲传递函数 )(1
)()(
zG
zGz
闭环系统特征方程0368.0)368.1632.0()(1 2 zkzzG
1
1
w
wz令 0368.0)
1
1)(368.1632.0()
1
1( 2
w
wk
w
w
0)632.0736.2(264.1632.0 2 kwkw化简后，得 W域特征方程
例：设闭环离散系统如图所示，其中采样周期 T=0.1(s) ，试求系统稳定时 k 的变化范围。
第8章 采样控制系统
列出劳斯表
0632.0736.2
0264.1
632.0736.2632.0
0
1
2
kw
w
kkw
从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使 k>0 ， 2.736-0.632k>0 ，即 k<4.33 。
第8章 采样控制系统
§8.7 采样系统的稳态误差
)()(1
)()()()()(
)(1
)()(,)()()(
zRzG
zGzRzCzRzE
zG
zGzzRzzC
)()()()(1
1zRzzR
zG e
利用 z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
)(1
)()1(lim)()1(lim)(lim)(
11
*
zG
zRzzEztee
zzt
离散系统开环脉冲传递函数 G(z) 在 z=1 处极点的数目 v 作为离散系统的型别 , 称 v=0,1,2,….. 的系统为 0 型、 I 型、 II 型离散系统。
第8章 采样控制系统
(1) 单位阶跃输入时的稳态误差
pz
zz kzGz
z
zG
zzEze
1
)](1[lim
1
1)(1
)1(lim)()1(lim)(
111
式中 称为静态位置误差系数。
)](1[lim1
zGkz
p
对 0 型离散系统 Kp≠∞, e(∞)≠0
I 型、 II 型以上的离散系统 Kp=∞ ，从而 e(∞)=0 。
（ 2 ）单位斜坡输入时的稳态误差
vz
zz k
T
zGz
T
z
Tz
zG
zzEze
)]()1[(lim)1()(1
)1(lim)()1(lim)(
1
211
)]()1[(lim1
zGzkz
v 静态速度误差系数
0 型系统的 kv=0 I 型系统的为有限值 II 型以上系统 的 kv=0 ，
第8章 采样控制系统
（ 3 ）单位加速度输入时的稳态误差
az
zz k
T
zGz
T
z
zzT
zG
zzEze
2
2
1
2
3
2
11 )]()1[(lim)1(2
)1(
)(1
)1(lim)()1(lim)(
)]()1[(lim 2
1zGzk
za
静态加速度误差系数
0 型及 I 型系统的 ka=0 II 型系统的为常值
第8章 采样控制系统
采样系统的单位阶跃响应
)()()( zRzzC ),1/()( zzzR其中
ii
n
i pz
zA
z
zAzC
10 1
)( （ Ai 为留数）
kii
n
i
pAAkTC
1
0 )1(1)(
上式中第一项为系统输出的稳态分量，第二项为输出的暂态分量。
§8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传 递函数零、极点分布的关系
nnnnn
mmmmm
azazazaza
bzbzbzbzb
zN
zMz
12
21
10
12
21
10
)(
)()
（
第8章 采样控制系统
1 ）实轴上的闭环单极点时 设 pi 为正实数。 pi 对应的暂态项为
iii pz
zAZtC 1* )(
pi >0 时，akT
ikiii eApAkTC )( 动态过程为按指数规律
变化脉冲序列。pi <0 时， k
iii pAkTC )(动态过程为交替变号的双向脉冲序列。
若闭环实数极点位于右半 z 平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。实极点位于单位园内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛越快；实极点位于单位园上，脉冲序列等幅变化；实极点位于单位园外，脉冲序列发散。若闭环实数极点为于左半 z 平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。实极点位于单位园内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上，双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，双向脉冲序列发散。
第8章 采样控制系统
2 ） 闭环共轭复数极点时
设 ph 、 为一对共轭复数极点， ph 、 ph+1 对应的暂态项为kj
hh epp 1
11
1)(*k
kk
k pz
zA
pz
zAZtC )cos(2)( k
anTkk TneAnTy
kk T 0,/
若 | ph |>1 ，闭环复数极点位于
z平面上的单位圆外，动态响应
为振荡脉冲序列；若 | pk |=1 ，
闭环复数极点位于 z平面上的单位圆上，动态响应为等幅振
荡脉冲序列， 若 | pk |<1 ，闭环
复数极点位于 z平面上的单位圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列 , 且 ||越小 , 即复极点越靠近原点 ,振荡收敛越快；
第8章 采样控制系统
通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数的极点在 z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点。 当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为θk ／ T 。若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡角频率为 π ／ T 。为了使采样系统具有较为满意的暂态响应，其 z 传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部靠近原点的位置。当闭环实极点位于 z平面上左半单位圆内时 , 由于输出衰减脉冲交替变号 ,故动态过程质量很差 ;当闭环复极点位于左半单位圆内时 ,
由于输出衰减高频振荡脉冲 ,故动态过程性能欠佳。 因此 , 在离散系统设计时 , 应把闭环极点安置在 z 平面的右半单位圆内 , 且尽量靠近极点
第8章 采样控制系统
解：系统的闭环脉冲传递函数为
0173.06048.07728.0
0198.04990.03805.0)(
23
2
zzz
zzz
当输入量 r(t)=1(t) 时， R(z)=z/(z－ 1) ，输出量的 z 变换为：
10173.06408.07728.0
0198.04990.03805.0)()()(
23
2
z
z
zzz
zzzRzzC
0173.05875.03776.17728.1
0198.04490.03805.0234
23
zzzz
zzz
例： 系统如图所示，分析系统的动态性能。采样周期 T=0.2秒。
第8章 采样控制系统
利用长除法得
14131211
109876
54321
005.1960.0942.0989.0
079.1118.1025.1842.0760.0
945.0313.1488.1124.1381.0)(
zzzz
zzzzz
zzzzzzC
%48%
),(6.0
),(4.0
超调量
峰值时间上升时间
st
st
p
r
第8章 采样控制系统
§8.9 采样系统的校正
8.9.1 数字控制器的脉冲传递函数 D(z)如图所示的线性离散系统 ( 线性数字控制系统 ) 中，数字控制器 D 将输入的脉冲系列 e*
(t) 按照系统性能指标要求做适当处理后，输出新的脉冲序列 u*(t) 。如果数字控制器对脉冲序列的运算是线性的，可以确定—个联系输入脉冲序列 e*(t) 与输出脉冲序列 u*
(t) 的脉冲传递函数 D(z) 。
)()(1
)()(
)(
)()(
zGzD
zGzD
zR
zCz
))(1)((
)()(
zzG
zzD
)()(1
1
)(
)()(
zGzDzR
zEze
)()(
)(1)(
zzG
zzD
e
e
n
n
mm
zazazaza
zbzbzbbzD
3
32
21
1
22
110
1)(
第8章 采样控制系统
在采样控制过程中，通常把一个采样周期称作一拍。具有当典型控制信号作用下在采样时刻上无稳态误差，以及过渡过程能在最少个采样周期内结束的离散系统，称为最少拍系统．或有限拍系统。
8.9.2 最少拍系统的校正
)(1)( ttr 11
1)(
zzR
ttr )( 21
1
)1()(
z
TzzR 2
2
1)( ttr
31
112
)1(2
)1()(
z
zzTzR
典型输入信号分别为
典型输入信号的 Z 变换可写为 其中 A(z) 是不包含
因子 (1－ z － 1) 的 z － 1 的多项式。
rz
zAzR
)1(
)()(
1
)(
)()(
zR
zEze )()()( zRzzE e
ree z
zAzzRzzE
)1(
)()()()()(
1
给定稳态误差为 )()1(
)()1(lim)()1(lim
11
1
1
1z
z
zAzzEze erzz
sr
为使稳态误差为 0 ， Φ e (z) 中应包含 因子。rz )1( 1
第8章 采样控制系统
)()1()( 1 zFzz re
)()1(1)(1)( 1 zFzzz re
)()()()( zFzAzRzC
设
式中 F(z) 为不包含 (1－ z － 1) 的 z － 1 的多项式
可见，当 F(z)=1 时， Φ e (z) 中包含的 z － 1 的项数最少。采样系统的暂态响应过程可在最少个采样周期内结束。
第8章 采样控制系统
因此， re zz )1()( 1
rzz )1(1)( 1
是无稳态误差最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数。
在典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位速度信号和单位加速度信号时，可分别求得最少拍采样系统的闭环脉冲传递函数 Φ e (z) 、 Φ e (z)
及 E(z) 、 C(z) 。
第8章 采样控制系统
11
1)(),(1)(
zzRttr
)1()( 1 zze
1)( zz
)1)(()()(
)(
)()(
)(1)(
1
1
zzG
z
zzG
z
zzG
zzD
ee
e
当 ，或 r=1 时得
于是
且有1)()()( zRzzE e
nzzzzz
zzC 3211
1
1
1)(
第8章 采样控制系统
0)2()(,1)0( TeTee
1)2()(,0)0( TcTcc
表明：
可见最少拍采样系统经过一拍便可完全跟踪
阶跃输入，其调节时间 ts=T 。
第8章 采样控制系统
21
1
)1()(,)(
z
TzzRttr
2121 21)1()( zzzze
2121 2)1(1)( zzzz
当 或 r=2 时得
于是)21)((
2
)()(
)()(
21
21
zzzG
zz
zzG
zzD
e
且有 1)()()( TzzRzzE e
nnTzTzTz
z
TzzzzC
32
21
121
32
)1()2()(
第8章 采样控制系统
表明： 0)3()2(,)(,0)0( TeTeTTee
nTnTcTTc
TTcTcc
)(3)3(
,2)2(,0)()0(
可见最少拍采样系统经过二拍便可完全跟踪斜坡输入，其调节时间 ts=2T 。
第8章 采样控制系统
当 ,2
1)( 2ttr
31
112
)1(2
)1()(
z
zzTzR 或 r=3 时得
31)1()( zze
32131 33)1(1)( zzzzz
31
321
)1)((
33
)()(
)()(
zzG
zzz
zzG
zzD
e
于是
且有 2212
2
1
2
1)()()( zTzTzRzzE e
nzTn
zTzT
z
zzTzzzzC
22
3222
31
112321
22
9
2
3
)1(2
)1()33()(
第8章 采样控制系统
表明： 0)3()2(,0)()0( TeTeTee
22
2
2)(,
2
3)2(,0)()0( T
nnTcTTcTcc
可见最少拍采样系统经过三拍便可完全跟踪加速度输入，其调节时间 ts=3T 。
第8章 采样控制系统
例： 设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为
)1(
10)(0
sssG
s
esG
Ts
h
1)(
其中 T 为采样周期；已知 T＝ 1秒，试求取在等速输入信号 r(t)=t 作用下，能使给定系统成为最少拍系统的数字控制器的脉冲传递函数 D(z) 。
求取数字控制器的脉冲传递函数 D(z)
第8章 采样控制系统
解 根据给定的传递函数 G0(s) 及 Gh(s)求取开环脉冲传递函数 G(z) ，即
)368.01)(1(
)718.01(68.3)]()([)(
11
11
0
zz
zzsGsGZzG h
选取与 r(t)＝ t 对应的最少拍系统的闭环脉冲传递函数为
212)( zzz )21()( 21 zzze
第8章 采样控制系统
则可求得数字控制器的脉冲传递函数 D(z) ，即
)21)((
2
)()(
)()(
21
21
zzzG
zz
zzG
zzD
e
经过数字校正后，最少拍系统的开环脉冲传递函数为
)21(
2)()(
21
21
zz
zzzGzD
该系统典型输入 r(t)=t 的过渡过程 c*(t) 如图所示。过渡过程在两个采样周期就可结束。
第8章 采样控制系统
下面分析上述最少拍系统在位置阶跃输入及等加速输入的过渡过程。当位置阶跃输入 r(t)=1(t) 作用于上述最少拍系统时，其输出函数 c(t) 的 Z交换 C(z) 为
nzzzzz
zzzC 3211
21 21
1)2()(
与上式对应的过渡过程从图可见，反应位置阶跃输入的过渡过程时间 ts仍为两个采样周期，稳态误差仍等于零，但在 t=T＝ 1秒时却出现一个 100% 的超调。
第8章 采样控制系统
当等加速输入 作用于上述最少拍系统时，其输出
函数的 Z 变换 c(z)
2
2
1)( ttr
5432
31
1121
5.1175.3
)1(2
)1()2()(
zzzz
z
zzzzzC
与上式对应的过渡过程从图可见，反应等加速输入时过渡过程的持续时间 ts
仍为两个采样周期，但出现了数值等于 1 的常值稳态误差。
第8章 采样控制系统
从上面分析看到，如果线性离散系统是对等速输入信号设计的最少拍系统，则反应位置阶跃输入信号 ( 其时间幂次低于等速信号 ) 时的过渡过程会出现 100％的超调，而反应等加速输入信号( 其时间幂次高于等速信号 ) 的过渡过程虽无超调现象，但系统将具有不为零的稳态误差。这说明，最少拍系统对输入信号的适应性较差。
第8章 采样控制系统
关于闭环脉冲传递函数 Φ (z) 或 Φe(z) 的讨论按上面方法选取线性离散系统的闭环脉冲传递函数Φ (z) 或Φe(z) ，只有在系统开环脉冲传递函数 G(z) 的极点与零点中不包含位于单位圆上或单位圆外的极点与零点时，才是正确的。也就是说，在这种情况下选出的Φ (z) 或Φe(z) 能使线性离散系统具有最少拍系统的特性。如果在开环脉冲传递函数 G(z) 的极点与零点中含有位于单位圆上或单位圆外的极点或零点时，则不能上面方法 选取Φ (z) 或Φe(z) 。否则，因为 G(z) 含有的位于单位圆上或单位圆外的极点或零点得不到抵消或补偿，因此，在数字控制器的脉冲传递函数 D(z) 中含有位于单位圆上或单位圆外的极点或零点，这是在设计上所不希望的。可求得单位反馈系统的闭环脉冲传递函数 Φ (z)和Φe(z) 、开环脉冲传递函数 G(z) 与数字控制器的脉冲传递函数 D(z) 间的关系式为
)()(
)()(
zzG
zzD
e
)()()()( zzGzDz e
第8章 采样控制系统
为保证闭环系统稳定，闭环脉冲传递函数Φ (z) 、 Φe(z) 都不应含有在单位圆上或单位圆外的极点，这时， G(z) 中位于单位圆上或单位圆外的极点，或应被 D(z) 的零点所抵消，或应合并到Φe(z) 中去，即应在Φe(z) 的零点中包含着G(z) 的位于单位圆上或单位圆外的极点。在一般情况下， G(z) 中那些单位圆上或单位圆外的极点不希望由 D(z) 的相同零点来抵消。这是因为由于不可避免的参数漂移会使D(z) 的零点发生不利于上述完全补偿的变化。因此， G(z) 中那些单位圆上或单位圆外的极点就只能包含在Φe(z) 的零点中。又因为D(z) 不允许含有位于单位圆上或单位圆外的极点，另外，由于已经选定具有关于 z － 1的多项式形式 , 所以 G(z) 中位于单位圆上或单位圆外的零点既不能为 D(z) 的同样极点来抵消，又不能合并到Φe(z) 中去。因此 , 上述零点便只能反映到闭环脉冲传递函数Φ (z) 的零点中去。
第8章 采样控制系统
根据上面的讨论，可得出按过渡过程在尽可能少的采样周期内结束的要求选取闭环脉冲传递函数Φ (z) 、Φe(z) 时的限制条件，它们是
1．闭环脉冲传递函数Φe(z) 中必须含有与开环脉
冲传递函数 G(z) 中那些位于单位圆上或单位圆外的全部极点相同的零点；
2．闭环脉冲传递函数Φ (z) 中必须包含与开环脉
冲传递函数 G(z) 中那些位于单位圆上或单位圆外的全部零点相同的零点；
第8章 采样控制系统
3．因为在开环脉冲传递函数 G(z) 中常常含有 z
－ 1 的因子，为使 D(z) 在物理上能实现，所以要求
闭环脉冲传递函数也含有 z － 1 的因子，以便与 G
(z) 相关因子的抵消，则要求闭环脉冲传递函数Φe
(z) 将包含常数项为 1 的关于 z － 1 的多项式形式。
显见，表 8-4 所列的Φe(z)均满足上述要求。
第8章 采样控制系统
例 8-21 设单位反馈线性离散系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为
)105.0)(11.0(
10)(0
ssssG
s
esG
Ts
h
1)(
已知采样周期 T=0.2秒。试计算能使给定系统反应单位阶跃函数的过渡过程具有最短可能时间的数字控制器的脉冲传递函数 D(z) 。
第8章 采样控制系统
解 计算给定系统的开环脉冲传送函数 G(z) ，即
)0185.01)(135.01)(1(
)065.11)(05.01(76.0
)]()([)(
111
111
0
zzz
zzz
sGsGZzG h
因为 G(z)具有一个位于单位圆外的零点，为满足上述限制条件 2 及 3 的要求，闭环脉冲传递函数Φ(z)
=1－ Φe(z) 必须含有项（ 1+1.065 z － 1 ）及 z － 1
的因子，即Φ(z) 应具有一个 z＝－ 1.065 的零点。
第8章 采样控制系统
因此)065.11()(1)( 11
1 zzbzz e
将是Φe(z) 所能具有的关于 z － 1 的项数最少的多
项式。其中 b1 是待定的常系数。从上式可见，闭环脉冲传递函数Φe(z) 是一个阶数不能低于 2 的关于 z － 1 的多项式。因此，考虑到上述限制条件 1 ，以及典型输入 r(t)＝ 1(t) ，即 v
＝ 1 ，可写成如下形式：)1)(1()( 1
11 zazze
式中 a1 ——待定的常数。
第8章 采样控制系统
比较求得21
12
11
1 065.1)1( zzbzaza
解得：
11
11
065.1
1
ba
ab
)065.11(484.0)065.11()( 11111
zzzzbz
)561.01)(1()1)(1()( 1111
1 zzzazze
484.0
561.0
1
1
b
a
第8章 采样控制系统
)561.01)(05.01(
)135.01)(0185.01(636.0
)561.01)(1(
)065.11(484.0
)065.11)(05.01(76.0
)0185.01)(135.01)(1(
)()(
)()(
11
111
11
11
111
111
zz
zzz
zz
zz
zzz
zzz
zzG
zzD
e
第8章 采样控制系统
从求得的 D(z) 可见，数字控制器是物理上可实现的。 经数字校正后系统的输出
111
1
1)065.11(484.0
)()()(
zzz
zRzzC
nzzzz 321484.0
可见，采样系统的单位阶跃响应在两个采样周期结束，较表 8-4 给出的暂态时间延长了一个周期，这是由于 G(z) 含有一个单位圆外的零点之故。
第8章 采样控制系统
一般说来，最少拍系统暂态响应时间的增长与G(z) 包含的单位圆上或圆外的零极点个数成正比。另外， G(z) 中那些位于单位圆上或单位圆外的极点会引起最矩可能的过渡过程时间的增长，而且也将和这些极点的个数成比例。
第8章 采样控制系统
上面介绍了最少拍采样系统的设计方法。最少拍系统设计方法简便，系统结构简单，但在实际应用上存在一些问题。前面已经指出，最少拍系统对于各种不同典型信号的适应性差。对于一种典型输入信号设计的最少拍系统用于其它典型信号时性能并不理想。虽然可以考虑根据不同典型信号自动切换程序，但应用仍旧不便。 最少拍系统对参数变化较敏感。当系统的参数受各种因素的影响发生变化时，会导致系统暂态响应时间的延长。
第8章 采样控制系统
需要强调指出的是，按照上述方法设计最少拍系统只能保证在采样点稳态误差为零，而在采样点之间系统的输出有可能会产生波动 (围绕给定输入 ) ，这种系统称为有纹波系统。纹波的存在不仅引起误差，而且增加功耗和机械摩损，这是许多快速系统所不容许的。适当增长系统暂态响应的时间 (增加响应的拍数 ) ，是能设计出既使输出无纹波又使暂态响应为最少拍采样周期的系统。关于无纹波最少拍系统的设计，请读者参阅有关文献。
第8章 采样控制系统
§8.10 MATLAB 在离散系统中 的应用
MATLAB 在离散控制系统的分析和设计中起着重要作用。无论将连续系统离散化、对离散系统进行分析（包括性能分析和求响应）、对离散系统进行设计等，都可以应用 MATLAB软件具体实现。下面举例，介绍 MATLAB 在离散控制系统的分析和设计中的应用。
第8章 采样控制系统
1 连续系统的离散化 在 MATLAB软件中对连续系统的离散化是应用 c2dm() 函数实现的， c2dm() 函数的一般格式为
第8章 采样控制系统
例 8-21 已知离散系统的结构图如图 8-38 所示，求开环脉冲传递函数。 ( 采样周期 T=1s)
图 8-38 例 8-20 系统结构图
解：可用解析法求 ,
368.0368.1
264.0368.0]
)1(
1[
1)(
22
zz
z
ssZ
z
zzG
第8章 采样控制系统
用 Matlab 可以方便求得上述结果。程序如下：%This script converts the transfer function%G(s)=1/s(s+1) to a discrete-time system%with a sampling period of T=1sec%num=[1];den=[1,1,0];T=1[numZ,denZ]=c2dm(num,den,T,’zoh’);printsys(numZ,denZ,’Z’)
打印结果368.0368.1
264.0368.02
zz
z
第8章 采样控制系统
2 求离散系统的响应 在 Matlab软件中，求离散系统的响应可运用dstep() 、 dimpulse() 、 dlism() 函数实现。其分别用于求离散系统的阶跃、脉冲及任意输入时的响应。 dstep() 的一般格式如下
第8章 采样控制系统
例 8-22 已知离散系统结构图如图 8-39 所示，输入为单位阶跃，采样周期 T=1s ，求输出响应。
图 8-39 例 8-22 系统结构图
第8章 采样控制系统
解：
368.0368.1
264.0368.0]
)1(
1[
1)(
22
zz
z
ssZ
z
zzG
632.0
264.0368.0
)(1
)()(
2
zz
z
zG
zGz
54
321
2
14.14.1
4.1368.0
)632.0)(1(
)264.0368.0()()()(
zz
zzz
zzz
zzzRzzC
第8章 采样控制系统
用 Matlab 中的 dstep() 函数可很快得到输出响应，如图 8-40 所示。程序如下：%This script gene rather the unit step response, y(kT),
%for the sampled data system given in example
%
num=[0 0.368 0.264];den=[1 –1 0.632];
dstep(num,den)
%This script computes the continuous-time unit
%step response for the system in example
第8章 采样控制系统
numg=[0 0 1];deng=[1 1 0];
[nd,dd]=pade(1,2)
numd=dd-nd;
dend=conv([1 0],dd);
[numdm,dendm]=minreal(numd,dend);
%
[nl,dl]=series(numdm,dendm,numg,deng);
[num,den]=cloop(nl,dl);
t=[0:0.1:20];
step(num,den,t)
第8章 采样控制系统
图 8-40 系统阶跃响应
第8章 采样控制系统
例 8-23 已知系统的传递函数
)10)(15.0(
)22.0(10)(
2
2
sss
sssG
要求：绘制连续系统的脉冲响应，以及 T=1 ， 0.
1 ， 0.01s 时离散系统的脉冲响应。
解 ：求系统的脉冲响应可利用 Matlab 中的 impulse
() 及 dimpulse() 函数，设终端时间为 Tf 。
第8章 采样控制系统
响应曲线如图 8-41 所示。程序如下：num=10*[1 0.2 2];
den=conv([1 0.5 1],[1 10]);
clf
subplot(2,2,1)
Tf=15;
t=[0:0.1:Tf];
impulse(num,den,t)
m=1;
第8章 采样控制系统
while m<=3,
Ts=1/10^(m-1);
subplot(2,2,1+m)
[numd,dend]=c2dm(num,den,Ts);
[y,x]=dimpulse(numd,dend,Tf/Ts);
tl=[0:Ts:Tf-Ts];
stairs(tl,y/Ts)
xlabel(‘Timelsre(s)’)
ylabel(‘Amplitude’)
m=m+1;
end
第8章 采样控制系统图 8-41 系统脉冲响应
第8章 采样控制系统
小 结 本章首先讨论了离散信号的数学描述，介绍了信号的采样与保持。引入采样系统的采样定理（香农定理），即为了保证信号的恢复，其采样频率信号必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍。
为了建立线性离散控制系统的数学模型，本章引进 Z 变换理论及差分方程。 Z 变换在线性离散控制系统中所起的作用与拉普拉斯变换在线性连续控制系统中所起的作用十分类似。本章介绍的 Z 变换的若干定理对求解线性差分方程和分析线性离散系统的性能是十分重要的。
第8章 采样控制系统
本章扼要介绍了线性离散控制系统的分析综合方法。在稳定性分析方面，主要讨论了利用 Z平面到 W平面的双线性变换，再利用劳斯判据的方法。值得注意的是，离散控制系统的稳定性除与系统固有结构和参数有关外，还与系统的采样周期有关，这是与连续控制系统分析相区别的重要一点。其它，诸如稳态误差、动态响应等分析都有阐述。
在离散控制系统的综合方法中，本章主要介绍了无稳态误差最少拍系统的设计。结合几个实例介绍了 MATLAB 在离散控制系统中的应用。
返回