第 7 章 MATLAB 工程计算

本章内容 第四节 M 文件及其语言基础 第五节 MATLAB 线性方程组求解 第六节 数值分析

第一节 MATLAB 概述 MATLAB 是“矩阵实验室” (MATrix LABora

tory) 的缩写。 最初是 Cleve More 博士用 FORTRAN 语言开

发的矩阵分析软件， 80 年代初， Moler 和 John Little 用 C 改写，不久他们成立 MathWorks公司， 84 年推向市场， 2000 年推出了 MATLAB 6.0 版本。

MATLAB 是应用最广泛的工程计算软件，发达国家理工类学生必须掌握的数学分析工具。

第四节 M 文件及其语言基础 在命令窗口下，键入一行命令后，系统

立即执行。这种方法程序可读性差且难以存储。对于复杂的问题，应编成程序文件。

由 MatLab 语句构成的文件称作 M 文件，它将 m 作为文件的扩展名，可以用任何文件编辑器进行调试。

一、建立主程序文件 选择 File—>New － >M-file ，即进入 M

文件编辑器。 输入程序，完成后，在当前目录下保存

文件名。 在命令窗口，输入文件名，即执行程序。

主程序格式特征 以 % 开始为注释 全局变量定义： Global 变量名 1 变量名 2 人机交互语句 :

x= input(‘n=’) % 将值付给 x, 屏幕显示’ n=‘

二、常量I或 j 虚数单位

pi 圆周率 = 3.1415…

eps 计 算 机 浮 点 数 识 别 精 度eps/2=1.11*10^(-16)

realmin 最 小 正 实 数 realmin^1.051= 4.9407*10^(-324)

realmax 最大正实数 1.7977*10^308

Inf 无穷大

NaN 不定值

三、变量变量命名规则 必须以字母为开头 可以由字母、数字和下划线混合组成，

区分大小写 字符长度不大于 31 个

变量数据类型MatLab 有五种基本数据类型， 数值数组 (double array)

字符串 (char array)

符号对象 (Symbolic object)

单元数组 (Cell array)

结构 (Structure)

四、关系与逻辑运算< 小于<= 小于等于> 大于>= 大于等于= = 等于

~ = 不等于& 与| 或~ 非

五、矩阵运算符转置 A’

加与减 A＋B与 A－B

数乘矩阵 k*A或 A*k

矩阵乘方 A^k

数与矩阵加减 k＋A与 k－A

矩阵除法 左除 A\B, 右除 B/A

六、数学函数 sin cos tan cot asin exp sqrt

log10 log2 log round fix gcd lcm

七、程序控制语句For 循环 基本格式为： for 循环变量＝起始值：步长：终止值 循环体 end

While 循环 While 逻辑表达式 循环体 end

求从 1+2+3+…+100 之和 sum=0; i=1; while i<=100 sum=sum+I; i=i+1; End sum

条件转移语句if 逻辑表达式 执行语句 1 else 执行语句 2 end

多重条件分支 Switch 语句 switch Case 值 1 语句 1 Case 值 2 语句 2 Otherwise 语句 3 end

例题 编写一个 M 文件，画出分段函数所表示的

曲面

15457.0

117575.0

154.0

),(5.175.375.0

6

5.175,375.0

22

22

22

yxe

yxe

yxe

yxpyyx

yx

yyx

第 5 节 线性方程式的求解

mmnmnmmmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..................

...

...

2211

222222121

11112121111

第 5 节 线性方程式的求解 MATLAB 采用除法运算符“ /” 和“ \” 求解 X=A\b’ 表示求矩阵方程 AX=B 的解 X=A/b’ 表示求矩阵方程 XA=B 的解 对方程 X=A\B ，要求矩阵 A 和 B 有相同的行

数， X 和 B 有相同的列数，它的行数等于矩阵 A 的列数。

方程 X=B/A 同理

如果矩阵 A 不是方阵，其维数是 m×n ，则有： m=n 恰定方程，寻求精确解 m>n 超定方程，寻求最小二乘解 m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有 m

个非零元素。针对不同的情况， matlab 采用不同的算法。

一 、恰定方程组 恰定方程组由 n 个未知数的 n 个方程构成，方程有唯一

的一组解。其形式： Ax=b 其中， A 是方阵， b 是一个列向量。 在线性代数中，最常用的方程解法有： 利用 crammer 公式求解 利用矩阵求逆法求解 利用 gaussian消去法 利用 lu 法求解 在 MATLAB 中，直接采用表达式： x=A\b’

求解方程组2x1-x2+3x3=3

4x1+2x2+5x3=4

2x1 +2x3=6

A=[2 -1 3;4 2 5; 2 0 2];

b=[3 4 6]’;

X=A\b

结果： 7.6667 -1.6667 -4.6667

例

0674522

963

852

4321

432

421

4321

xxxxxxx

xxx

xxxx

二、超定方程组 对于方程组 Ax=b ， A 为 n×m 矩阵，如果 A

列满秩，且 n>m ，则方程没有精确解，此时方程组称为超定方程组。

线性超定方程经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程组，在 MatLab 中，利用左除命令 x=A\b,来寻求它的最小二乘解，还可以用广义逆来求，即 x=pinv(A) ，所得到的解不一定满足 Ax=b,x只是最小二乘意义上的解。

求超定方程组

613334

053

332

321

321

321

321

xxxxxx

xxx

xxxA=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]

b=[3 0 3 -6]’

x1=A\b ％左除解方程x1 = 1.0000 2.0000 1.0000

X2=pinv(A)*b ％广义逆求解

A*x1-b ％验证最小二乘解显示： 1.0e-014 * -0.0888 -0.0888 -0.1332 0 说明 x1 不是方程 Ax=b 的精确解。

第六节 数值分析 Matlab提供符号运算，可进行多种数值

分析，包括因式分解、求极限值、求微分、求导数等

符号变量 在使用符号运算工具箱之前，需要把一些变量声明为“符号变量”，以区别于常规的数值变量。

例如声明 a,b,c,d 为符号变量： syms a b c d

一、因式分解 Factor 函数 Syms x s=x^9-1 Factor(s)

二、求极限值 极限可以用 limit 函数求得 Limit(f,x,a) 求符号表达式 f 当 x->a时的极限 Limit(f,a) 对系统默认变量且该变量 x->a时的极限

例如 求下式中默认变量 ->2时的极限

Syms x Limit((x-2)/(x^2-4),2)

4

2lim

42

x

xx

三、计算数值向量的数值差分 差分可以用 diff() 函数求出 语法： Y=diff(F,n,dim) F 是向量； n 是差分阶数； dim 是指沿着数组的哪一维进行差分

例如 F=[(1:6).^3] diff(F)

二、一维数值积分 Quad: 采用 simpson 法计算积分。 调用格式： q=quad(‘fun’,a,b,tol,trace,p1,p2,…) fun:被积函数， a,b:上限 下限 tol: 误差，缺省 0.0001 Trace: 画图 p1,p2:传递参数

求数值积分 function y=funq(x) y=x^3+x^2+2 q=quad(‘funq’,-1,1,1e-4,1)