05 计算机的运算方法02

系统总线

存储器

运算器

控制器

接口与通信

输入 / 输出设备

林楠

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办公电话： 0371-63887293

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《计算机组成原理》

第六章计算机的运算方法

1 、数据的表示方式

1.1 、符号的处理（正数、负数） 1.2 、数值的处理（数制转换）

1.3 、小数点的处理（定点、浮点）

1.4 、原码的表示方法1.5 、反码的表示方法

1.6 、补码的表示方法（重点研究）

1.7 、字符的表示方法1.8 、汉字的表示方法

1.9 、校验码


机器数的表示方法

真值表示问题解决

现代计算机不仅仅是处理数值领域的问题，还有大量非数值数据，比如：文字、字母及专用符号来表示文字语言，逻辑语言等信息。

1.7 字符的表示方法

属于非数值数据的有：

ABC…Z 26 个大写abc…z 26 个小写+-()…#* 符号012…9 数字

国际上广泛采用美国国家信息交换标准代码 -- ASCII 码（ 128字符）

用 7 位二进制编码表示， 27=128 字符。

ASCII 字符编码表

DELo -O?/USSI1 1 1 1

~n↑N＞·RSSO1 1 1 0

｝m］M=-GSCR1 1 0 1

｜l＼L＜，FSFF1 1 0 0

{k［K；+ESCVT1 0 1 1

zjZJ： *SUBLF1 0 1 0

yiYI9)EMHT1 0 0 1

xhXH8(CANBS1 0 0 0

wgWG7′ETBBEL0 1 1 1

vfVF6&SYNACK0 1 1 0

ueUE5%NAKENQ0 1 0 1

tdTD4 $DC4EOT0 1 0 0

scSC3＃DC3ETX0 0 1 1

rbRB2″DC2STX0 0 1 0

qaQA1!DC1SOH0 0 0 1

p、P＠0SPDLENUL0 0 0 0

111110101100011010001000 b6 b5 b4

b3 b2 b1 b0

表中编码符号的排列次序为 b7b6b5b4b3b2b1b0 b7 恒等于“ 0” ， b6b5b4 为高位部分， b3b2b1b0 为低位部

分。

例如 : “A” =0100 0001 = （ 65 ） 10 = （ 41 ）

“ ；” =0011 1011 = （ 59 ） 10 = （ 4B ）

H

字符串是指连续的一串字符，它们占用主存中连续个存储单元 .每个字节存放一个字符（字符以 ASCII 码表示）

例如 : 字符串 IF A ＞ B THEN READ （ C ）

象这样字符串存放在主存中，每个字节中存放相应的字符的 ASCII 码值，空格也占用一个字节的位置。


二进制代码只代表不同的字符，而无数值大小。

例如 : 字符串 IF A ＞ B THEN READ （ C ）以 ASCII 码表示。

格式如下：

I F 空 A＞ B 空 TH E N 空R E A D（ C ）空

73 70 32 6562 66 32 8472 69 78 3282 69 65 6840 67 41 32

这个语句需要 20 个字节来存放。


内存中真正存放的是 ASCII 码







1.9 、校验码




1981 年国家标准局 GB2312 《信息交换汉字编码字符集》收集了常用

汉字 6763 个，分一级汉字库 3755 个，二级汉字库 3008 个。

1 、汉字的输入

在计算机系统中使用汉字，首先要解决的问题是如何把汉字输入到

计算机内，直接标准键盘进行输入，就必须为汉字设计编码。

汉字编码方法：

数字编码（区位码，国际区位码）拼音码（以汉语拼音基础的输入方法）字形码（五笔字形输入法）

1.8 汉字的表示方法

1 ）数字编码输入优点：无重码，内部编码转换比较方便，每个编码长度

都一样。缺点：记忆难。

2 ）拼音码以汉语拼音的输入方法，几乎掌握汉语拼音的人都可以

使用。优点：不需要训练，不要记忆缺点：汉字同音字太多，输入重码率很高，对输入影响

速度。

3 ）字型编码以汉字的形状确定编码，汉字总数虽少，但它总是一笔

一划组成，全部汉字的部首和笔画是有限的，这就是五笔字型

编码。优点：无重码，速度快

4 ）其他输入法在以上三种编码的基础上为了加快输入速度，发展词组

输入，联想输入，王码输入，几何数码输入等多种快速输入方

法。


2 、汉字的存储

汉字的存储有两方面的含义：字形码的存储和汉字内码存储。

字形码

是一汉字点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式存储。

输出汉字点阵有 16x16 点阵， 24X24 点阵， 32X32 点阵。

字形码点阵的信息量很大的，占用内存空间大，以 16X16 点阵为例，每个汉字要占用 32 个字节，

二级汉字大约占 256K 字节。


因此，点阵只能用来构成字库，而不能用于机内存储。

汉字字形点阵及编码


0000 0000 1000 00000000 0000 1000 00000010 0000 1000 00000001 0000 1000 00000001 0001 1111 11100000 0101 0000 00100000 1001 0100 0100……

汉字内码 : 使用汉字信息的存储、交换、检索等的机内代码，

内码比字形点阵占用内存少，用二个字节表示一个汉字，

汉字内码表示有许多种，要注意以下几点：

1 ）码位尽量短，表示的汉字尽量多；

2 ）码值要连续有序，以便于操作运算；

3 ）表示两级 6763 个汉字，每个汉字用两个字节。


3 、汉字的输出

汉字的输出有显示输出（显示器）和打印输出（打印机）。在接口上都有字库。

计算机以汉字内码的形式输出，打印机根据编码找到点阵再输出。

所以，打印机内部必须有个字库。如果打印机没有字库，计算机

只能以点阵的形式输出。

另外，汉字字符必须和英文字符区分开，以免造成混淆。英文字符的机内代码是七位 ASCII 码，最高为“ 0” ，汉字机内代码中两个汉字的最高位均为“ 1” ，以便与 7 位

ASCII 码表示的英文字符相区别。


IBM PC 机汉字显示原理








1.9 、校验码




数据在计算机中存取、传送，要求绝对正确，如果某一位出错，就不

能得到正确的结果，但实际上由于某种随机干扰容易发生错误。

比如：

1 ）硬盘、软盘进行读写的时候，因为机械运动，容易出错； 2 ）内存用的时间长了，老化了。所以计算机一开机检查内存。

向内存写进数据再读出数据，反复检验几次是否出错。

3 ）数据在总线上传送，因信号衰减、传输质量的问题或受潮。

出错以后，要能够判断出来，哪一位出错了，并要检验过来。

因此，为了提高计算机的可靠性，除了采用选用更高可靠性的器件，

更好的生产工艺等措施之外，还可以从数据编码上想一些办法。

1.9 、校验码

为了发现和校正错误，计算机广泛采用容错技术，现在的检验办法大多采用“冗余校验”：原始数据 + 校验位（冗余部分）

将原始数据和校验位一起按某种规律编码，存入存储器或向外发送。当从存储器读出或者接收代码时，按同一编码规律进行译码或计算。

然后，取出原始数据，判断传输过程中是否有错，哪一位出错了。

读写 / 传送码字 =

原始数据位 + 校验位

原始数据结果数据编码过程译码过程

根据原始数据求得校验位，加上原始数据一并发送。

检查接收到的码字发现 / 改正错误，取出原始数据。

1.9 、校验码

保证相同

用来发现一位数据出错，没有该错能力介绍三种常用的校验码：

1 ）奇偶检错码：

用于并行数据传送中，发现一位数据出错，没有纠错能力。

2 ）海明检错与纠错码：

用于并行数据传送中，发现一位或两位数据出错，并纠错。

3 ）循环冗余码：

用于串行数据传送中，在网络传送数据时多用。

1.9 、校验码

重点

重点

了解

1 、奇偶检验码：用于并行传输、一位检错。

工作原理：在 K 位原始数据位上加上 1 位校验位，使得 K+1 位码字

中“ 1” 的个数总保持为奇数（奇校验）或为偶数（偶校验）个。

1.9 、校验码 __ 1 ）奇偶检验

0001

1010100101

0000110001

0101

原始数据新的码字

校验位

奇校验偶校验

校验位

1 、奇偶检验

发送端产生一个检验位，使“ 1” 的个数是奇数（或偶数）并一起发送。

接收端对读出或接收到的数据要进行奇偶性判别。若奇偶性规则被破坏，则出错，否则为正

确。

奇偶检验只能发现奇数个错，且不能纠错。

统计表明： 90% 以上的错误能用奇偶检验法来实现。

所以，奇偶检验是最简单、应用广泛的检验码。

1.9 、校验码 __ 1 ）奇偶检验

1 、奇偶检验

设 X = (X0X1…Xn-1) 是一个 n 位字

则奇校验位 C 定义为：

当 X 中包含奇数个 1 时，才能使 C=1 ，即 C=0 。

同理，偶检验位定义为：

当 X 中包含偶数个 1 时，才能使 C=0 。

C = X0 X1 … Xn-1+ ++

C = X0 X1 … Xn-1+ ++

1.9 、校验码 __ 1 ）奇偶检验

八位原始数据位

编码电路译码电路

异或门

逻辑异或

0⊕0=00⊕1=1

1⊕0=1

1⊕1=0

1.9 、校验码 __ 1 ）奇偶检验

1.9 、校验码 __ 2 ）海明检验

2 、海明检验：用于并行传输、多位检错、纠错处理。

工作原理：为 k 个数据位设立 r 个检验位。使 k+r 位组成的码字同时具有两

个特性： 1 ）能发现 k+r 位中任何一位出错，并改正；

2 ）能发现 k+r 位中任何两位同时出错，无法纠正。校验码的位数 r 和数据的位数 k 应满足关系： 2r-1≥k+r

858~120

727~57

612~26

55~11

41~4

最小的 r 值k 值

海明码字 = 数据 + 校验位 = HmHm-1…H2H1 （ m= 校验位r+ 数据位 k ）每个校验位 Pi在海明码中被分在位号 2i-1的位置，其余各位为数据位，按从低向高逐位依次排列。

例如 : 数据位 k=3 ，校验位 r=4 ，海明码字位 m=7 ，

4 个校验位 P4P3P2P1对应的海明码位号应分别为：

H7， H4， H2， H1 （ Pi的位号等于 2i-1 ） P4只能放在 H7一位上，它已经是海明码的最高位了。

其余为数据位 D3 D2 D1 ，则有如下排列关系：

1.9 、校验码 __ 2 ）海明检验

2 、海明检验

k=3 （数据位） D3D2D1

r=4 （校验位） P4P3P2P1

海明码字 H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1

海明码字 P4 D3 D2 P3 D1 P2 P1

D3 D2 D1 P4 P3 P2 P11 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

通过一张表分配不同的数据位组合来形成每个校验位的值。

步骤一、准备工作：

按次序排列数据位、校验位；分别在不同横行中的 P1 、 P2 、 P3 、 P4各列写 1 ；在最顶横行其他各列填写 1 ； P1 、 P2 、 P3 、 P4 的其他位置写 0 ；

1.9 、校验码 __ 2 ）海明检验

海明码 HmHm-1…H2H1 编码实现方案：海明码字 P4 D3 D2 P3 D1 P2 P1

通过 D3D2D1 求得 P4P3P2P1

步骤二、为各校验位分配数据位组合：

看表的低三横行右侧 4 列的编码值分别为： 1 （ 001 ） 2 （ 010 ） 4 （ 100 ） 0 （ 000 ）为低 3横行左侧 3 列各列填写合理的编码值，其规则为：使用没有在右侧 4 列的最小正整数值，即 3 (011) 5 (101) 6 (110)

6 5 3 0 4 2 1

D3 D2 D1 P4 P3 P2 P11 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 00 1 1 0 0 0 1

1.9 、校验码 __ 2 ）海明检验



步骤三、写出各校验位的编码逻辑表达式：用 P1 、 P2 、 P3 、 P4取值为 1 的横行中的取值为 1 的数据位进行异或运算求得每个校验位的值，结果是： P1=D2 D1⊕ ， P2=D3 D1⊕ ， P3=D3 D2⊕ 用其他各校验位及各数据位进行异或运算求得总校验位 P4 ，用于区分无错、奇数位错、偶数位错 3 种情况。总校验位 P4=P3 P2 P1 D3 D2 D1⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

D3 D2 D1 P4 P3 P2 P11 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 00 1 1 0 0 0 1

1.9 、校验码 __ 2 ）海明检验



D3 D2 D1 P4 P3 P2 P11 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 00 1 1 0 0 0 1

P1= D2 D1⊕P2=D3 D1⊕P3=D3 D2⊕P4=P3 P2 P1 D3 D2 D1⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

S1= P1 D2 D1⊕ ⊕S2= P2 D3 D1⊕ ⊕S3= P3 D3 D2⊕ ⊕S4=P4⊕P3 P2 P1⊕ ⊕ D3 D2 D1⊕ ⊕ ⊕

如果有数据为 110 ，则算的：则 P1=1 ， P2=1 ， P3=0 ， P4=0

若 S4 S3 S2 S1=0000 ：无错

若 S4 S3 S2 S1 =1011 ：一位出

错 S4 必为 1 ，其中 3 位为

1 。例如：仅 D1错。若 S4 S3 S2 S1 =0001 ：两位出

错S4 必为 0 ， S3 S2 S1 不为

000 。例如： P2 D1错。

1.9 、校验码 __ 2 ）海明检验

海明码 HmHm-1…H2H1 编码实现方案：

发送

编

码

方

案

译码方案

P4 D3D2P3D1P2P1 0110011

海明码字 P4 D3 D2 P3 D1 P2 P1


D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 P5 P4 P3 P2 P11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 01 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1

P1= D7⊕ D5 D4 D2 D1⊕ ⊕ ⊕P2= D7⊕ D6 D4 D3 D1⊕ ⊕ ⊕ P3= D4 D3 D2⊕ ⊕P4= D7 D6 D5⊕ ⊕P5= P4⊕ P3 P2 P1 D7 D6⊕ ⊕ ⊕ ⊕ D5 D4 D3 D2 D1⊕ ⊕ ⊕ ⊕

1.9 、校验码 __ 2 ）海明检验

例如：k=7 ， r=5

11 10 9 7 6 5 3 0 8 4 2 1

海明码排序为： P5 D7 D6 D5 P4 D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1 Pi 在 2i-1

1.9 、校验码 __ 3 ）循环冗余码

对原始数据，用一多项式（通过查数学表得到）去除，

除得的余数就是校验位的值。（这里的除是模 2除法运算）

数据位（ k ） + 校验位（ r ） = 新的码字 ( k + r )

3 、循环冗余码 CRC ：用于串行数据传送中多位检错纠错处理。

模 2 运算：按位模 2 相加，运算时不考虑进位和借位。

1 ）模 2 加：即按位加，可用异或逻辑实现。

2 ）模 2 加与模 2减的结果相同，即

0±0=0 ， 0±1=1 ， 1±0=1 ， 1±1=0 。两个相同的数据的模 2 和为 0 。3 ）模 2乘——按模 2 加求部分积之和。4 ）模 2除——按模 2减求部分余数。

101 1000000-10111 011100 -00000 11100 -10111 1011

10111

模 2除：被除数后先补上 r-1 个 0 ；每求一位商，余数少一位。

上商原则：被除数首位为 1 ，商取 1 ；首位为 0 ，商取0 。

当余数位数小于除数位数时，该余数即为结果。

数据位 k = 3 ，校验位 r = 4 数据为 100 ，查数学表得到生成多项式 10111

求出的校验值 = 1011

循环校验码 CRC （ k + r 位）= 数据位 k + 校验位 r= 1001011


3 、循环冗余码 CRC

将收到的循环校验码 1001011 用约定的生成多项式 10111去除，

如果码字无误则余数应为 0 ，

如有某一位出错，则余数不为 0 ，不同位数出错余数不同。


3 、循环冗余码 CRC 的译码与纠错

101 1001011-10111 01011 -00000 10111 -10111 0

10111


2 、定点加、减法运算与实现2.1 、补码定点加、减运算2.2 、溢出概念与检测方法2.3 、补码定点加法器

注释：前面我们讨论了数的补码表示方法，采用补码表示，减法可用加法来实现，对设计硬件来讲，只要设计一个加法器就可以实现加、减运算了，不需要再配一个减法器了。

1 、补码加法

两个补码数相加，符号位参加运算，且两数和的补码等于两数补码之和。即： [ X+Y ] 补 = [ X ] 补 + [ Y ] 补

2 、补码减法

原则上讲： [ X-Y ] 补 = [ X ] 补 - [ Y ] 补

可见需要一个减法器，而现在只有加法器，如何得到 [ X-Y ] 补呢？

我们可以根据补码加法公式推出： [ X-Y ] 补 = [ X + （ -Y ） ] 补 = [ X ] 补 + [ -Y ] 补

这样，减法的问题就归结到如何求 [ -Y ] 补的问题了。

从负数引的理论： [ -Y ] 补 = / [ Y ] 补 +1 也就是说： [ -Y ] 补等于 [ Y ] 补连同符号位在内求反加

1 。

2.1 、补码定点加、减运算

例 1 、 Y=0.1010

[Y] 补 = 0.1010 [ -Y ] 补 = 1.0110

例 2 、 Y= - 0.1010

[Y] 补 = 1.0110 [ -Y ] 补 = 0.1010

例 3 、已知 [ X ] 补 = 0.0010 ， [Y] 补 = 1.1010 求 [ X-Y ] 补 = ？解： [ X ] 补 = 0.0010

+ ） [ -Y] 补 = 0.0110 [ X-Y ] 补 = 0.1000

这就是运算求得的正确结果。


例 4 、已知 [ X ] 补 = 1.1011 ， [Y] 补 = 0.0110 求 [ X-Y ] 补 = ？

解： [ X ] 补 = 0.0010

+ ） [ -Y] 补 = 1.1010 [Y] 补是正数， [-Y] 补变成一负数

[ X-Y ] 补 = 11.0101

以 2 为模的情况下，符号位的进位 1 在机器中将会自动舍弃，

故得出的就是正确的结果 [ X-Y ] 补。


1 ）溢出的产生

例 1 ： [ X ] 补 = 0.1011 + ） [ Y ] 补 = 0.0111 [ X+Y ] 补 = 1.0010

例 2 ： [ X ] 补 = 1.0101 + ） [ Y] 补 = 1.1001 [ X+Y ] 补 = 0.1110

从例 1 例 2 中看出，两个正数相加，结果是一负数（符号位为1 ），而两个负数相加，结果是一个正数（符号位为 0 ），显然结果错误。

2.2 、溢出概念与检测方法

溢出原因分析：寄存器的位数一旦确定下来，就有了容量的限制，数值表示的范围就固定了。如果运算过程中数值位超出了机器允许表示的范围，跑到符号位上从而改变了符号的性质，就产生溢出。

00000001

11111110

符号位数值位

显然，机器允许表示范围应该为 +127 到 -128 之间，

大于 127 称为上溢或正溢出，小于 -128 称为下溢或负溢出。


2 ）溢出的判断方法

计算机只能判断溢出，不能处理溢出！

下面介绍计算机判断溢出的方法。方法一：设 [X] 补 = X0 X1 X2 … Xn ，

[Y] 补 = Y0 Y1 Y2 … Yn ，

其和（或差）为 [ S ] 补 = S0 S1 S2 … Sn 。

则溢出条件为： V = X0 Y0 /S0 + /X0 /Y0 S0

例 1 ： [ X ] 补 = 0.1011 + ） [ Y ] 补 = 0.0111 [ X+Y ] 补 = 1.0010

例 2 ： [ X ] 补 = 1.0101 + ） [ Y ] 补 = 1.1001 [ X+Y ] 补 = 0.1110


00.1001+ 00.0011 00.1100 不溢出

11.0111+ 11.1101 11.0100 不溢出

00.1101+ 00.1001 01.0110 正溢出

11.0011+ 11.0111 10.1010 负溢出

观察下列算式：

可见，当结果两个符号位的值不一致时，表示溢出，若设两符号位 Sf1 和 Sf2 ，则： V = Sf1 S⊕ f2

2 ）溢出的判断方法方法二：采用变形补码（双符号位补码）

比喻：比如第一道河坝拦不住水了，就再设一道。

这种方法好，但是增加一个符号位后，数据表示范围缩小了，最好改进只设置一个符号位！


2 ）溢出的判断方法方法三：采用双高位判断

数值部分最高位产生的进位为 Cs ；

（设置一触发器）符号位部分向上产生的进位为 Cf 。

（设置一触发器）溢出条件公式： V = Cs C⊕ f

0.1001+ 0.0011 0.1100

不溢出

1.0111+ 1.1101 1.0100

不溢出

0.1101+ 0.1001 1.0110

溢出

1.0011+ 1.0111 0.1010

溢出

Cf=0 Cs=0 Cf=1 Cs=1 Cf=0 Cs=1 Cf=1 Cs=0


设两寄存器中存放 A ， B两数，进行运算 .

A寄存器： A0 . A1 A2 … An B寄存器 : B0 . B1 B2 … Bn 则：

A+ B = A0 . A1 A2 … An + B0 . B1 B2 … Bn

A - B = A0 . A1 A2 … An + B0 . B1 B2 … Bn + 0.00…01且： A+B A A–B A

累加器：硬件要支持软件，软件中有循环程序设计，所以要设计累加器。SUM= 1+2+3+4+5+…+100 S=S+X

2.3 、补码定点加法器

[ X ] 补 [ Y ] 补

[ X+Y ] 补 = [ X ] 补 + [ Y ] 补

[ X-Y ] 补 = [ X ] 补 + / [ Y ] 补 +1

用四片 4 位 ALU 电路可组成 16 位 ALU 。（ 1110 1101 0101 0001 ）片内进位是快速的，但片间进位是逐片传递的，形成 F0～ F15时间长。

知识回顾：算术逻辑单元

把 16 位 ALU 中的每四位作为一组，用类似四位超前进位加法器 “ 位间快速进位” 的形成方法来实现 16 位 ALU(由四片 ALU组成 ) 中的 “组间快速进位”，那么就能得到 16 位快速 ALU 。

CPA

2.3 、补码定点加法器

+A +B- B

实现加法运算的逻辑示例

A+B A A–B A

2.3 、补码定点加法减法器

对实现电路的补充说明：

功能所需要的控制信号

加 ADD +A +B · A CPA减 SUB +A /+B +1 · A CPA

将两种功能的控制命令综合起来，得：

+A = ADD + SUB+B = ADD/+B = SUB+1 = SUB·- A = ADD + SUBCPA = ADD + SUB

复习与作业

复习章节：

第 6 章计算机的运算方法

6.3.2 加法与减法运算

作业： P291

6.19

05 计算机的运算方法02

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