第 6 章 正弦稳电路分析
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第 6 章 正弦稳电路分析. 6.1 正 弦 交流电 的 基 本 概 念. 6.2 正弦交流电的相量表示法. 6.3 电路定律的相量形式. 6.4 阻 抗 与 导 纳. 6.5 正 弦 稳 态 电路的分 析. 6.6 正 弦 稳 态 电路 的 功 率. 6.7 正弦稳态最 大 功 率 传 输. 学 习 目 标. 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第 6 章 正弦稳电路分析
6.4 阻 抗 与 导 纳
6.2 正弦交流电的相量表示法6.1 正 弦 交流电 的 基 本 概 念
6.5 正 弦 稳 态 电路的分析
6.7 正弦稳态最 大 功 率 传 输6.6 正 弦 稳 态 电路 的 功 率
6.3 电路定律的相量形式
学 习 目 标 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。 正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。
2. 正弦量的相量表示3. 电路定理的相量形式
重点：
1. 正弦量的表示、相位差
5. 正弦稳态电路的分析6. 正弦稳态电路的功率分析
4. 阻抗和导纳
6.1 正弦交流电的基本概念6.1.1 正弦量的三要素
若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为：
)sin()( im tIti
波形如图 6-1 所示
图 6-1 正弦量的波形
图中 Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当 t=0 时的相位 叫初相位，简称初相； ω 叫正弦量的角频率。 因为正弦量每经历一个周期的时间 T ，相位增加2π ，则角频率 ω 、周期 T 和频率 ƒ之间关系为：
fTf
T
12
2 即
ω、 T、 ƒ反映的都是正弦量变化的快慢， ω 越大，即 ƒ越大或 T 越小，正弦量变化越快； ω 越小，即 ƒ越小或 T 越大，正弦量变化越慢。 把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。
t
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负 T/2 内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原点左侧 ；反之 。
0 0
如图 6-2 所示，初相分别为 0 、662
、、
由图可见，初相为正值的正弦量，在 t=0 时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在 t=0 时的值为负，起点在坐标原点之右。
图 6-2
)sin()(
)sin()(
222
111
im
im
tIti
tIti
212112
2121
)()(
,),()(
iiiii
iiii
tt
tt
而把、初相各为、它们的相位各为
6.1.3 、同频率正弦量的相位差
设有两个同频率的正弦量为
叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。 初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零
，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致，
1i2i2i1i1i2i2i1i
如果 ，则表示 i1 超前 i2 ; 如果 ，则表示 i1 滞后 i2 ，如果 ，则两个正弦量正交；如果 ，则两个正弦量反相。 12
212
0 12
012
同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在 n 个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。
如图 6-3（ a）、（ b）、（ c）、（ d ）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
图 6 -3 i1与 i2 同相、超前、正较、反相
6.1.2 正弦电流、电压的有效值
1 、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母 I、 U 表示。
根据有效值的定义，则有
RTRdt IiT 2
0
2 则周期电流的有效值为
T
dtT
I i0
21
2 、正弦量的有效值
)sin()( im tIti 对于正弦电流，设
I
I
mm
m
Tm
T
im
T
imT
I
I
tT
I
dttT
I
dttI
707.02
2
2
)](2cos1[2
)(
2
0
2
0
2
0
221 sin
同理 mm UUU 707.0
2
1
1. 复数的表示形式
) 1(j 为虚数单位
Ab
Re
Im
ao
|A|
bajrreA j)sin(cosj
baA j
rreA j
jreA
代数式
指数式
极坐标式
三角函数式
6.2 正 弦 交流电 的 相 量 表 示 法 6.2.1 复数
几种表示法的关系：
a
b θ
bar
arctan
22
或
sin
cos
r b
ra
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
Ab
Re
Im
ao
|A|baA j
rreA j
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
若 A1=a1+jb1 ， A2=a2+jb2
图解法
A1
A2
Re
Im
o
A1+A2
-A2
A1
Re
Im
o
A1-A2
A1+A2
A2
②乘除运算 —— 采用极坐标式若 A1=|A1| 1 ， A2=|A2| 2
212
1
)j(
2
12j
2
j1
22
11
2
1
||
||
||
||
||
||21
1
θθ||A
||A
eA
A
eA
eA
θA
θA
A
A θθθ
θ
则 :
2121
)(j21
j2
j121
2121
AA
eAAeAeAAA
模相乘角相加
模相除角相减
因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。
特别地，复数 的模为 1 ，辐角为 。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。
je je
je
je
6.2.2 相量的定义
一 . 正弦量瞬时值表达式
i(t)=Imcos(t+)t
i
0
T
周期 T 和频率 f
频率 f ：每秒重复变化的次数。周期 T ：重复变化一次所需的时间。
单位：赫 (兹 )Hz
单位：秒 s
Tf
1正弦量为周期函数 f(t)=f
(t+k)
波形
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
研究正弦电路的意义
①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
优点
2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)cos()( k
n
1kk
tkAtf
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
结论
二 . 问题的提出
1. 列微分方程：
两个正弦量的相加：如 KCL 、 KVL 方程运算：
)(d
d
d
d2
tuut
uRC
t
uLC C
CC
) cos(2 111 tIi
) cos(2 222 tIi
R L
C
+
-uC
iL
u
+
-
i1 i1+i2 i3i2
角频率
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用
正弦量 复数
I1 I2 I3有效值
1 2 3初相位
变换的思想
t
u, ii1
i2
o
i3
结论
造一个复函数 ) j(2)( ΨtIetF
对 F(t) 取实部 )() cos(2)](Re[ tiΨtItF
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
) j(
2)( ) cos(2Ψt
IetFΨtIi
) sin(2j) cos(2 ΨtIΨtI
无物理意义
是一个正弦量 有物理意义
2. 正弦量的相量表示
结论
F(t) 包含了三要素： I 、 、，，，，，，，，，，，， , ，
F(t) 还可以写成
tt eIeIetF jj 22)(j
，，，
正弦量对应的相量
) cos(2)( ΨIIΨtIti
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位注意
) cos(2)( θUUθtUtu
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1
试用相量表示 i, u .
)V6014t311.1cos(3
A)30314cos(4.141o
o
u
ti
解 V60220 A,30100 oo
UI
例2 试写出电流的瞬时值表达式。解 A )15314cos(250 ti
. 50Hz A,1550
fI 已知
在复平面上用向量表示相量的图
ΨIIΨtωIti ) cos(2)(
θUUθtUtu ) cos(2)(
相量图
U
I
+1
+j
6.2.3 时域运算和相量运算的关系①同频率正弦量的加减
)2Re() cos(2)(
)2Re() cos(2)( j
2222
j1111
t
t
eUΨtUtu
eUΨtUtu
j j1 21 2
j j j1 2 1 2
( ) ( ) ( ) Re( 2 ) Re( 2 )
Re( 2 2 ) Re( 2( ) )
t t
t t t
u t u t u t U e U e
U e U e U U e
U21 UUU 相量关系为：
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
i1 i2 = i3
321 III 例
V )60314cos(24)(
V )30314cos(26)(o
2
1
ttu
ttu
V604
V 306o
2
o
1
U
U
V )9.41314cos(264.9)()()( o
21 ttututu
60430621 UUU
46.3j23j19.5 46.6j19.7 V 9.4164.9 o
借助相量图计算借助相量图计算
+1
+j
30
1U60
2U
9.41
U
首尾相接
V604 V 306 o
2
o
1 UU
+1
+j
9.41
U
60
2U
30
1U
②正弦量的微分、积分运算
) cos(2 ii IItIi
j2Re 2Red
d
d
d j j tt eIeItt
i
tt e
IteIti j j
j2Re d 2Red
微分运算
积分运算
2π j
d
d iII
t
i 2π
jd i
IIti
例 ) cos(2)( itIti
d1
d
d)( ti
Ct
iLRitu
用相量运算： j
jC
IILIRU
①把时域问题变为复数问题；②把微积分方程的运算变为复数方程运算；③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
R
i(t)
u(t) L+
- C
相量法的优点
① 正弦量 相量时域 频域
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③相量法用来分析正弦稳态电路。
正弦波形图 相量图
注意
不适用线
性线性
1
2
非线性
6.3 电路定律的相量形式6.3 电路定律的相量形式6.3.1 电阻元件 VCR 的相量形式
时域形式：
相量形式：ii ΨRIUΨII R
相量模型
)cos(2)( iΨtIti )cos(2)()( R iΨtRItRitu
uR(t)
i(t)
R+
-
有效值关系相位关系
R+
-RU
I
UR u
相量关系： IRU R
UR=RI
u=i
瞬时功率 iup RR
波形图及相量图
i to
uR
pR
RU
I
u=i
URI
瞬时功率以 2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率
) (cos22 2
R iΨtωIU )] (2cos1[R iΨtωIU
同相位
时域形式：
相量形式：
) cos(2)( iψtIti
)2
π cos( 2
) sin(2d
)(d)(
i
iL
ΨtIL
ΨtILt
tiLtu
相量模型
相量关系： IXILU LL jj
2. 电感元件 VCR 的相量形式
2π iLi ΨLIUΨII
有效值关系： U=L I相位关系： u=i +90°
i(t)
uL(t)
L+
-
j L+
-LU
I
感抗的性质 ①表示限制电流的能力；②感抗和频率成正比。
XL
相量表达式
XL=L=2fL ，称为感抗，单位为 (欧姆 )
BL=-1/ L =-1/2fL ， 称为感纳，单位为 S
感抗和感纳
,jj ILIXU L
;开路短路( )直流
, ,; ,0 ,0
L
L
XX
UL
UL
UBI L
j
11jj
功率) (2sin
) sin()cos(
L
mLmLL
i
ii
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
t i
o
uLpL
2
瞬时功率以 2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。
LU
I
i
波形图及相量图 电压超前电流 900
时域形式：
相量形式：
)cos(2)( uΨtUtu
)2
π cos(2
) sin(2d
)(d)(C
u
u
ΨtCU
ΨtCUt
tuCti
相量模型
iC(t)
u(t) C+
-
U
C
I
+
-
ωCj
1
相量关系： IXIC
U C j
1j
3. 电容元件 VCR 的相量形式
2π
uCu ΨCUIΨUU
有效值关系： IC=CU相位关系： i=u+90°
XC=-1/C ， 称为容抗，单位为 (欧姆 )
C = C ， 称为容纳，单位为 S 容抗和频率成反比
0 ， |XC| 直流开路 (隔直 )
， |XC|高频短路
|XC|
容抗与容纳
相量表达式
1
jj C IC
IXU
功率)(2sin
)sin()cos(2
C
CC
u
uuC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUIuip
t
iC
o
u
pC
瞬时功率以 2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。
UCI
u
波形图及相量图 电流超前电压 900
2
6.3.2 基尔霍夫定律的相量形式
0)(ti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中， KCL
和 KVL 可用相应的相量形式表示：
流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL ；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL 。
0 2Re)( j
21
teIIti
0I
0)(tu 0U
表明
j .5C
C CI
U
例 1 试判断下列表达式的正、误。
Liu .1 005 cos5 .2 ti
mm j .3 CUI
L
LL .4
I
UX
LL j .6 ILU
t
iCu
d
d .7
U I
mU
m
m
I
U
I
U
Cj1
L
例 2 已知电流表读数： A1 ＝ 8A ＝ 6AA2
A1
A0
Z1Z2
UA2
CXZRZ j , .1 21 若 A0 ＝ ?
为何参数21 , 2. ZRZ
＝I0max=?
A0
为何参数2L1 ,j 3. ZXZ A0 ＝ I0min=?
为何参数2L1 ,j .4 ZXZ ＝ ?A2A0 ＝ A1
解 A1068 1. 22
0 I
A1468 2. max02 IRZ ，
A268 ,j 3. min0C2 IXZ
A16 ,A8 ,j .4 210C2 IIIXZ1, IU
2I 0I
例 3 )(:),5cos(2120)( titt u 求已知
解 00120U
20j54jj LX
Ω10j02.05
1jj
CX
相量模型+
_
15u
4H
0.02Fi
U j20
-j10
1I 2I3I
I+
_
15
A9.3610681268
10
1
20
1
15
1120
0
jjj
jj
A)9.365cos(210)( 0 tt i
CL
CLR jj X
U
X
U
R
UIIII
U j20
-j10
1I 2I3I
I+
_
15
例 4 )(:),1510cos(25)( 06 tutti S求已知
解 0155I
Ω5j102.010
1jj
66C
X
V302254525155
5j5155000
0
CRS
UUU
R,UI
CU
+
_
5uS
0.2F
i
相量模型 +
_
5I
-j5U
SU
例 5 图示电路 I1=I2=5A ， U ＝ 50V ，总电压与总电流同相位，求 I 、 R 、 XC 、 XL 。
0
CC 0 UU设解法1 5j ,05 2
0
1 II 045255j5 I
)j1(2
505j)5j5(4550 0 RXU L
252505 LL XX
Ω2102502552
505 C XRR
令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部
UjXC
1I 2I
+
_
RI
jXL
UC
+
-
6.4 阻抗和导纳1. 阻抗 正弦稳态情况下 I
ZU+
-
无源线性
网络 IU
+
-
zφZI
UZ ||
def
iuz
I
UZ 阻抗模
阻抗角
欧姆定律的相量形式
当无源网络内为单个元件时有：
RI
UZ
LXLI
UZ j j
CXCI
UZ j
1j
Z 可以是实数，也可以是虚数。
I
CU+
-
I
RU+
-
I
LU+
-
表明
2. RLC串联电路
KVL ： . . . . . . . 1jj I
CILIRUUUU CLR
IXXRIC
LR CL )](j[)]
1(j[
IXR )j(
zZXRC
LRI
UZ
j
1jj
L
C
R
u
uL
uCi
+
-
+
-
+ -+ -uR
R
+
-
+
-
+ -+ -. I
j L
ULU
CU.
Cj1RU
Z — 复阻抗； |Z| — 复阻抗的模； z —阻抗角； R
—电阻 (阻抗的实部 )； X—电抗 (阻抗的虚部 )。
转换关系： arctan
| | 22
R
Xφ
XRZ
z
或R=|Z|cosz
X=|Z|sinz
阻抗三角形|Z|
R
Xz
iuz
I
UZ
I
分析 R 、 L 、 C 串联电路得出：（ 1 ） Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠z ，，，，，，，，
，， L > 1/C ， X>0 ， z>0 ，电路为感性， 电压超前电流。
0i相量图：一般选电流为参考向量，
CU
RU
LU
Uz
UX
电压三角形
2
CL
222 )( UUUUUU RXR
j LeqXU
R+
-
+
-
+
-RU
等效电路
I
，， L<1/C ， X<0 ， z <0 ，电路为容性， 电压落后电流。
CU
RU
LUUz
UX
等效电路XU
eqj
1
C
R+
-
+
-
+ -RU
. U
I
，， L=1/C ， X=0 ， z=0 ，电路为电阻性， 电压与电流同相。
IRU
LU
CU
R+-
+
-
I
RUU等效电路
2222 )( LCRXR UUUUUU
例 已知： R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
. Hz103),60(cos25 4 ftu 求 i, uR , uL , uC .
解 画出相量模型V 605 U
CLRZ
1
jj
Ω5.56j
103.0103π2jj 34
L
Ω5.26j102.0103π2
1j
1j
64
C
5.26j5.56j15
Ω 4.6354.33 o
L
C
R
u
uL
uCi
+
-
+
-
+ -+ -uR
R
+
-
+
-
+ -+ -. I
j L
ULU
CU.
Cj1RU
A 4.3149.04.6354.33
605 o
o
o
Z
UI
则 A )4.3ω(cos2149.0 o ti
V 4.3235.24.3149.015 oo
IRU R
V 4.8642.84.3149.0905.56j ooo
ILU L
V 4.9395.34.3149.0905.26C
1j ooo
IU C
V )4.3(cos2235.2 o tωuR
V )6.86(cos242.8 o tωuL
V )4.93(cos295.3 o tωuC
UL=8.42>U=5 ，分电压大于总电压。
相量图
注意
U
LUCU
IRU
-3.4°
3.导纳 正弦稳态情况下
S || yφYU
IY
定义导纳
uiy U
IY 导纳模
导纳角
无源线性
网络 IU
+
-
I
YU+
-
ZY
YZ
1 ,
1对同一二端网络 :
当无源网络内为单个元件时有：
GRU
IY
1
LBLU
IY j
j
1
CB
CU
IY
j
j
Y 可以是实数，也可以是虚数。
I
CU+
-
I
RU+
-
I
LU+
-
表明
4. RLC 并联电路
由 KCL ： CLR IIII
j
1j UCU
LUG
)j
1j( UC
LG
)j([ UBBG CL
)j( UBG
yYBGL
CGU
IY
j
1jj
i
L CRuiL
iC+
-
iR
R
+
-
I
jL
ULI
CI
Cj1
RI
Y—复导纳； |Y| — 复导纳的模； y—导纳角；
G —电导 (导纳的实部 )； B —电纳 (导纳的虚部 )；转换关系：
arctan
| | 22
G
Bφ
BGY
y
或G=|Y|cos y
B=|Y|sin y
导纳三角形|Y|
G
B y
uiy
U
IY
（ 1 ） Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠y 为复，，，，，，，，， C >1/L ， B>0 ， y>0 ，电路为容性， 电流超前电压。
相量图：选电压为参考向量，
2222 )( LCGBG IIIIII
U
GI.
CI.
Iy
LI.
0u
分析 R 、 L 、 C 并联电路得出：
RLC 并联电路会出现分电流大于总电流的现象
IB
注意
，， C<1/L ， B<0 ， y<0 ，电路为感性， 电流落后电压；
2222 )( CLGBG IIIIII
U
GI.
LI.
I
y
CI.
等效电路
I
UBI
eqj
1
C
RI
R
+
-
，， C=1/L ， B=0 ， y =0 ，电路为电阻性， 电流与电压同相。
等效电路
等效电路
I
j Leg
UBI
RI
R
+
-
R+-
+
-
I
RUUUGII
CI
LI
5. 复阻抗和复导纳的等效互换
||j zφZXRZ
一般情况 G1/R ， B1/X 。若 Z
为感性， X>0 ，则 B<0 ，即仍为感性。
||j yφYBGY
BGY XRXR
XRZ j 22
jj
11
2222 , XRX
XRR BG
zy φ φZ
Y , ||
1||
ZR
jX G jBY
注意
同样，若由 Y 变为 Z ，则有：
yz
zy
φ φZ
Y
XR
XRZ
φZXRZφYBGY
BGB
BGG
BG
BGBGY
, ||
1||
j
||j ,||j
2222
22
,
jj
11
G jBY ZR
jX
例 RL串联电路如图，求在＝ 106rad/s 时的等效并联电路。
解 RL串联电路的阻抗为：
02.501.7860j50j LXRZ
601006.010 36LX L
S 0098.0j0082.0
2.500128.02.501.78
11 0
0
Z
Y
1220082.0
11
GR
mH102.00098.0
1
L
0.06mH
50
R’ L’
注意①一端口 N0 的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变；
②一端口 N0 中如不含受控源，则有90|| z 或 90|| y
但有受控源时，可能会出现90|| z 或
90|| y
其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；
注意
1|||| YZ 0 yz
③一端口 N0 的两种参数 Z 和 Y 具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为
6. 阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn )( 2121
UZ
ZU i
i 分压公式
n
k
n
kkkk jXRZZ
1 1
)(
①阻抗的串联Z1
+
Z2 Zn
－UI Z
+
-U
I
n
k
n
kkkk BGYY
1 1
)j( 分流公式 IY
YI i
i
②导纳的并联
YUYYYUIIII nn )( 2121
两个阻抗 Z1 、 Z2 的并联等效阻抗为：21
21
ZZ
ZZZ
Y1
+Y2 Yn
－U
I
Y+
-U
I
例 1求图示电路的等效阻抗， ＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为：
Ω100j130
100
)100j100(100j30
jj
)j(j
2
21
CL
CL
XRX
XRXRZ
10010110 35LX L
Ω100101.010
1165
CX C
1mH
30 100
0.1F
R1
R2
例2
图示电路对外呈现感性还是容性？
解 1 等效阻抗为：
75.4j5.54j8
1.53256j3
)4j3(5
)4j3(56j3
0
Z
3
3
－ j6
j45
电路对外呈现容性
解 2 用相量图求解，取电感电流为参考相量：
2II
2U
1UU
U 2I
1I
I
2U1U ＋＋
－ －
－
3
3
－ j6
j45
电压滞后于电流，电路对外呈现容性。
例 图为 RC选频网络，求 u1 和 u0 同相位的条件及
?0
1 U
U
解 设： Z1=R+jXC, Z2=R//jXC
21
21
ZZ
ZUUo
2
1
2
211 1Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
实数
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
RX
RXXR
RX
XR
XRRX
XR
Z
Z
2222
2
2
1
j2j
2j
j
)j(
)j(j
jCXR
3211 oU
U
jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
jXC
6.5 正弦稳态电路的分析6.5 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
GuiRiu
u
i
0 :KVL
0 :KCL
或
:元件约束关系
:电阻电路
0 :KVL
0 :KCL
UYIIZU
U
I
或
:元件约束关系
:正弦电路相量分析
1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。
结论
2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。
3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（ f =0) 是一个特例。
例 1
画出电路的相量模型
7.175.1049
901047.318
47.318j1000
)47.318j(10001j
)1j( 3
1
1
1
CRCR
Z
,rad/s314,V100
,μF10,mH500,10,1000 21
U
CLRR
求 :各支路电流。已知：
解
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z1Z2U
1I2I
3I C1
j
Lj
R2+
_
R1
157j10j22 LRZ
3.5299.166 13.132j11.102
157j1013.289j11.92 21 ZZZ
13.28911.923.7245.0331 jZ
Z1Z2U
1I2I
3I C1
j
Lj
R2+
_
R1
A3.526.03.5299.166
01001
Z
UI
A20181.0
3.526.07.175.1049
47.318j1
j
1j1
1
2
I
CR
CI
A7057.03.526.07.175.1049
1000
1j
1
1
13
I
CR
RI
Z1Z2U
1I2I
3I C1
j
Lj
R2+
_
R1
SI
Lj C1
jSU
+_
R1
R2
R3R4
列写电路的回路电流方程和结点电压方程例 2
解
1I
2I4I
3I
回路方程SUIRILRILRR 3221121 )j()j(
0)j()j( 33112431 IRILRILRRR
01
j)1
j( 42312332 IC
IRIRIC
RR
SII 4
+_
su si
L R1
R2
R3R4
C
1nU
2nU
3nU结点方程
Sn UU 1
011
)11
j
1( 3
3
1
2
2
321
nnn U
RU
RU
RRLR
Snnn IUCUR
UCRR
12
3
3
43
j1
)j11
(
SI
LjC1
j
SU+
_
R1
R2
R3R4
. Ω, 45 , Ω 30
Ω, 30j ,A 904
3
21
o
S
IZZ
ZZI
求电流已知
：
方法 1 ：电源变换
15j1530j30
)30j(30// 31 ZZ解
例 3
ZZZZZZI
I 231
31S
//)//(
4530j15j15)15j15(4j
o
o
36.9-5455.657
A9.8113.1 o
S31 )//( IZZ
Z2Z1Z3
Z
I+
-
Z2SI
Z1 ZZ3
I
方法 2 ：戴维宁等效变换
V4586.84 )//( o
310 ZZIU S求开路电压：
求等效电阻： Ω45j15// 231 ZZZZeq
A9.8113.1 4545j15
4586.84 o
0
0
ZZU
I
Zeq
Z0
U+
-
I+
-0U
Z2SIZ1 Z3
例 4 求图示电路的戴维宁等效电路。
60300j
3006030060100200 0111o
UIIIU
解
V45230j1
60 0
o
U
+ _
j300+
_0060
0U
+
_
1
200I
1
I
100
求开路电压：
j300+
_0060
0U+
_
1
4I
1
I
50
50
求短路电流：A06.010060 0SCI
00
0 452506.0
45230
SC
eq I
UZ
+ _
j300+
_0060
0U
+
_
1
200I
1
I
100SCI
+
_0060
100
例 5 用叠加定理计算电流 2
I
解 :)( )1( SS 短路单独作用UI
32
3S2 ZZ
ZII
oo
oo
30503050
305004
A3031.2350
30200 o
o
V45100 : oS
U已知. Ω3050 ,Ω3050 A,04 o
3
o
31
oS
ZZZI
Z2SI Z1
Z3
2I
S
U+
-
Z2SI Z1
Z3 2I
32
S2 ZZ
UI
A135155.13031.2 oo
222 III
350
45100
o
:)( )2( SS
开路单独作用
IU
A135155.1 o
Z2Z1
Z3
2I
S
U+
-
Z2SI Z1
Z3
2I
S
U+
-
已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jL3 。
求： Zx=Rx+jLx 。平衡条件： Z1 Z3= Z2 Zx 得：
R1(R3+jL3)=R2(Rx+jLx)
∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2
例6解
|Z1|1 •|Z3|3 = |Z2|2 •|Zx|x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx| 1 +3 = 2 +x
Z1 Z2
Zx Z3
已知： Z=10+j50, Z1=400+j1000 ，?90o
1 相位差和等于多少时问： SUIβ ，
11111S )1( IZIβZIZIZU
例7
解
.90
o
11
相位差为 ,实部为零
关系和找出
分析：
转
转 ，：
Z
IZUUI SS
)10005050(j10410)1( 1
1
S ββZZβI
U
41 010410 ββ ，令
.90 1000j o
1
S 故电流领先电压 I
U
1
I1
Iβ
Z
Z1
+
_S
U
I
已知： U=115V, U1=55.4V , U2=80V, R1=32,
f=50Hz 。 求：线圈的电阻 R2 和电感L2 。方法一、 画相量图分析。
例8解
LR UUUUUU 2121
R1R2
L2
+
_
1U
U2U
+
_
+ _
I
I1U
LU
2RU
2U
U
cos2 21
2
2
2
1
2 UUUUU 1.1154237.0cos
A73.132/4.55/ 11 RUI
9.641802
H133.0)π2/(
Ω8.41sin ||
Ω6.19cos ||
Ω2.4673.1/80/||
2
222
222
22
fXL
θZX
ZR
IUZ
I
1U
LU
2RU
2U
U
方法二、
1158004.55 0
21 UUU
cos115cos804.55 sin115sin80
093.64
424.0cos
其余步骤同解法一。
R1R2
L2
+
_
1U
U2U
+
_
+ _
I
U用相量图分析
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例9
移相桥电路。当 R2由 0时， ?如何变化ab
U
解1U
CU
CI
CU
CI
; 2
1 , ab2 相位改变,不变改变当,由相量图可知 UUR
当 R2=0 ，，， R2，，
2U
RURU
1
2121
2
,
UUUUUU
UUUUUU
RabCR
abU
abU
a
bb
a b1U
2UCU
CI
R2R1
R1
+
_U
abU
+
-+
-
+
-
RU+
-
例10
图示电路，。、、、：、
、、、2121
32
,5V200A210A10
RXXIXRRUII
LCL 求
解
R1
R2jXL
+
_
CU
U
+ _
1
IjXC
3
I
2
I
A10451013510210 1
00
321 IIII
V1501052001 CCCR UUUUU
2752 2
2
22 LRRCLRC UUUUUUU
5.7210
275 Ω15
10
1502 LC XRX
3I2RU045
CULU090
2I1I
1RU
例11
求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
解)cos(2 uS tUu ：已知
应用三要素法：0)0()0( LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI
22 )(
RL
用相量法求正弦稳态解
t
LLLL eiiiti
)()0( )()( 0
t
iiL eItIti
cos)cos()( mm
L+
_Su
Lu+
_Li
R
t
iiL eItIti
cos)cos()( mm
)cos()(2
π m iLi tIti ，＝当
t
i
o
直接进入稳定状态
过渡过程与接入时刻有关注意
出现瞬时电流大于稳态电流现象
t
i
o
t
Li eItIti
mm )cos()(0 ，＝当
6.6 正弦稳态电路的功率6.6 正弦稳态电路的功率
iu ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
)cos(2)(
cos2)(
的相位差和为
6.6.1 瞬时功率
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
2sinsin)2cos1(cos
)]2cos([cos
)cos(2cos2)(
无源网络
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
p 有时为正 , 有时为负； p>0, 电路吸收功率； p<0 ，电路发出功率；
t i
o
u
)]2cos([cos )( φtφUItp
UIcos 恒定分量。
UIcos (2 t － ) 为正弦分量。
p
t
o
第二种分解方法：tUItφUItp 2sinsin)2cos1(cos)(
UIcos (1-cos2 t)为不可逆分量。
UIsin sin2 t
为可逆分量。
部分能量在电源和一端口之间来回交换。
6.6.2 平均功率 P
T
tpT
P0
d1
=u-i ：功率因数角。对无源网络，为
其等效阻抗的阻抗角。cos ：功率因数。
P 的单位： W （瓦）
T
ttUIUIT 0
d)]2cos(cos[1
φUI cos φUIP cos
一般地 , 有： 0cos1X>0, >0 , 感性，X<0, <0 , 容性，
cos 1, 纯电阻0 ， 纯电抗
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别 , 主要由于电压、电流存在相位差。
结论
6.6.4 视在功率 S
6.6.3 无功功率 Q
φUIQ sindef
单位： var (乏 )。
Q>0 ，表示网络吸收无功功率；Q<0 ，表示网络发出无功功率。Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率。是由储能元件 L 、 C 的性质决定的
)(VA : def
伏安单位UIS
电气设备的容量
有功，无功，视在功率的关系：
有功功率 : P=UIcos 单位： W
无功功率 : Q=UIsin ，，， var视在功率 : S=UI单位： VA
22 QPS
S
P
Q 功率三角形
6.6.5 R 、 L 、 C 元件的有功功率和无功功率
u
i
R+
-
PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R
QR =UIsin =UIsin0 =0
PL=UIcos =UIcos90 =0
QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL
i
u C+
-
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI= I2XC
i
u L+
-
任意阻抗的功率计算
u
i
Z+
-
PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R
QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X
＝ I2(XL ＋ XC)=QL ＋ QC
吸收无功为负
吸收无功为正
0
02
2
CC
LL
XIQ
XIQ
ZIXRIQPS 222222
S
P
Q Z
R
X相似三角形
(发出无功 )
电感、电容的无功补偿作用
t
i
o uL
L发出功率时， C刚好吸收功率，与外电路交 换 功 率 为 pL+pC 。 L 、 C 的无功具有互相补偿的作用。
t
i
ouC
pL
pC
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
电压、电流的有功分量和无功分量：
以感性负载为例 IUUIP R cos
GUIφUIP cos
I
UBI
GI
I
U
RU
XU
IUUIQ X sin
的无功分量为称
的有功分量为称
X UU
UU R
BUIφUIQ sin
的无功分量为称
的有功分量为称
II
II
B
G
RX
+
_
+ _
+
_U
RU
XU
I
G B
+
_GI
I
BI
U
IUUIP R cos
GUIφUIP cos
IUUIQ X sin
BUIφUIQ sin
IUUUIQPS XR 2222
IUIIUQPS BG 2222
S
P
Q Z
R
X
相似三角形
I
IG
IBU
UR
UX
反映电源和负载之间交换能量的速率。
maxmax
2
m
222
π221
21
π2
)2(
WfWLIω
ILωLIXIQ
T
LL
无功的物理意义 :
例 1 三表法测线圈参数。 已知： f=50Hz ，且测得U=50V ， I=1A ， P=30W。 解法
1 VA50150 UIS
var40 3050 2222
PSQ
301
302I
PR 40
1
402I
QX L
H127.0π100
40
LX
L
R
L
+
_U
I
Z
WA
V
**
Ω301
30
22
2 I
PRRIP解法 2
Ω501
50||
I
UZ 又 22 )(|| LRZ
H127.0314
403050
314
1||
1 2222 RZL
cosUIP 6.0150
30cos
UI
P
Ω501
50||
I
UZ
300.650cosZ R
Ω408.050sin||L ZX
解法 3
已知：电动机 PD=1000W ，U=220 ， f =50Hz ， C =30F
cosD=0.8 ，求：负载电路的功率因数。A68.58.0220
1000cos D
DD
φUP
I
例 2
解o
DD 8.36 ,0.8(cos φφ ）感性o0220 U设
08.2jj0220 , 8.3668.5 oo
D CII C o
D 3.1673.433.1j54.4 CIII
96.0)]3.16(0cos[cos oo φ
+
_D CU
I CI
DI
6.6.6 复功率6.6.6 复功率1. 复功
率”功率“来计算功率，引入 复和为了用相量 IU
VA * 单位IUS U
I
负载
+
_
定义：
jsinjcos
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
XIRIX)I(RZIIIZIUS 2222** jj
也可表示为：
)(or *2****
YUYUUYUUIUS
.守恒 视在功率,复功率守恒 不
2121 SSSUUU
结论 S① 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；
0
0
1
1b
kk
b
kk
Q
P 0)j(11
b
kk
b
kkk SQP
注意
把 P 、 Q 、 S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；S
复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即
求电路各支路的复功率
V)1.37(236 010 oo ZU
例
解 1
)15j5//()25j10( Z
VA 1424j1882010)1.37(236 oo 发S
VA 1920j768)25j10
1(236 *2*
1
2
1
YUS 吸
VA 3345j1113 *
2
2
2 YUS 吸
发吸吸 SSS 21
+
_
U
100
∠o A
10
j25
5-j15
1I 2I
A )3.105(77.815j525j10
15j5010 oo
1
I解 2
A 5.3494.14
o
12 III S
VA 1923j769)25j10(77.8 2
1
2
11 ZIS 吸
VA 3348j1116)15j5(94.14 2
2
2
22 ZIS 吸
VA 1423j1885
)25j10)(3.105(77.810 o*
11
SIZIS 发
6.6.7 功率因数的提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos=Scoscos=1, P=S=75kW
cos=0.7, P=0.7S=52.5kW
一般用户： 异步电机 空载 cos=0.2~0.3 满载 cos=0.7~0.85
日光灯 cos=0.45~0.6
①设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；
功率因数低带来的问题：
S75kVA
负载
② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大， I=P/(Ucos) ，线路压降损耗大。
U
I
1 I2
cosUIP cos I
解决办法： （ 1）高压传输 （ 2）改进自身设备 （ 3）并联电容，提高功率因数 。
U
i+
-u Z
分析
CI
U
LI
1 I2
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
特点：
L
RCU
I
LICI
+
_
并联电容的确定：
21 sinsin III LC
补偿容量不同
全——不要求 (电容设备投资增加 ,经济效 果不明显 )
欠
过——功率因数又由高变低 (性质不同 )
代入得将 cos
, cos
12 U
PIU
PI L
)tgtg( 21 UPCUIC
)tgtg( 212
UPC
CI
U
LI
1 I2
并联电容也可以用功率三角形确定：
12
P
QC
QL
Q)tgtg(
)tgtg(
212
2
21C
φφUPC
CUQ
φφPQQQ
C
L
从功率角度看 :并联电容后，电源向负载输送的有功 UIL
cos1=UI cos2 不变，但是电源向负载输送的无功UIsin2<UILsin1 减少了，减少的这部分无功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。
已知： f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6 ，要使功率因数提高到 0.9 , 求并联电容 C ，并联前后电路的总电流各为多大？
o
11 13.53 6.0cos φφ
例
解o
22 84.25 9.0cos φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφU
PC
A8.756.0220
1010
cos
3
1
U
PII L未并电容时：
并联电容后： A5.509.0220
1010
cos
3
2
U
PI
L
RCU
I
LI
CI
+
_
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95 , 试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？
o
22 19.18 95.0cos φφ解
o
11 84.25 9.0cos φφ
F 103 )8.191tg5.842tg(220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφU
PC A8.47
95.0220
1010 3
I
cos 提高后，线路上总电流减少，但继续提高 cos 所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将 cos 提高到 0.9
即可。
注意
6.7正弦稳态最大功率传输6.7正弦稳态最大功率传输
Zi= Ri + jXi ， ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()( ,
XXRR
UI
ZZ
UI
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()(
XXRR
URIRP
有功功率
负载
有源网络
等效电路
S
U
ZL
Zi
I
+
-
正弦电路中负载获得最大功率 Pmax 的条件
①若 ZL= RL + jXL 可任意改变
a)先设 RL 不变， XL 改变显然，当 Xi + XL=0 ，即 XL =-Xi 时， P 获得最大值。
2
Li
2
SL
)( RR
URP
b)再讨论 RL 改变时， P 的最大值
i
2
Smax 4R
UP 2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
讨论
当 RL= Ri 时， P 获得最大值
RL= Ri XL =-Xi ZL= Zi*
最佳匹配条件
②若 ZL= RL + jXL 只允许 XL改变
获得最大功率的条件是： Xi + XL=0 ，即 XL =-
Xi 2
Li
2
SLmax )( RR
URP
最大功率为
③若 ZL= RL 为纯电阻
负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)( ,
XRR
UI
RZ
UI
电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
iiiL
L
ZXRRR
P 22 0
d
d ：获得最大功率条件令
模匹配
电路如图，求： 1.RL=5时其消耗的功率；2. RL=? 能获得最大功率，并求最大功率；3.在 RL 两端并联一电容，问 RL 和 C 为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。
A)6.26(89.055j5
010 1. o
o
I
例
解
5j5
105010j5j 65
Li XRZ
W4589.0 22 LL RIP
+
_U 10 0∠ o V
50
RL
5 I
=105rad/s
获最大功率当 07.755 .2 2222 ＋iiL XRR
A)5.22(766.007.75j5
010 o
o
I
W15.407.7766.0 22 LL RIP +
_10 0∠ o V
50
RL
5 I
CR
YL
j1
3.
+
_10 0∠ o V
50
RL
5 I
C
2
2
2L )(1j
)(1j1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
CR
R
YZ
5)(1
5)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
当
获最大功率 1
10
FC
RL
A110
010
o
I
W5512
max iRIP
求 ZL=? 时能获得最大功率，并求最大功率。例
解 45j15)30//30j(30jiZ045260)30//30j(j4 SU
45j15 *
iL ZZ当
W120154
)260(
2
max
P有
S
U
Zi
+
-
I
ZL
I 490
∠o A
ZL
-j30
30
-j30
本 章 小 结
本章的主要内容章有：正弦交流电路的基本概念及其分析计算。 在学习正弦交流电路的基础上，重点解决四个问题：1 、利用复数概念，将正弦量用复数表示，使正弦交流电路的分析计算，化为相量运算。 2 、阻抗或导纳虽然不是正弦量，也能用复数表示，从而归结出相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律。以此为依据，使一切简单或复杂的直流电路的规律，原理、定理和方法都能适用于交流电路。3 、交流电路的分析计算除了数值上的问题，还有相位问题。
