Задачи оптимизации раскроя

• Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, применяя каждый из выбранных способов. Задачи такого типа возникают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабатывающей, легкой промышленности.

• Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории ЛП лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу оптимального раскроя можно назвать классической прикладной оптимизационной задачей.

Этапы решения задачи оптимального раскроя

На первом этапе определяются рациональные способы раскроя материала.На втором этапе решается задача линейного программирования для определения интенсивности использования рациональных способов рас кроя.

1. Определение рациональных способов раскроя материала

• В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала называется рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

2. Определение интенсивности использования рациональных способов

раскроя. • Модель А раскроя с минимальным расходом материалов:

, где k = 1,…,q (1)

(2)

xji ≥ 0, где j=1,…,n; i=1,…,p (3)

• xji - количество единиц j-го материала, раскраиваемых по i-му способу (интенсивность использования способа раскроя);

• ajik — количество (целое число) заготовок вида к, полученных при раскрое единицы j-го материала i-м способом;

• bк — число заготовок вида k в комплекте, поставляемом заказчику; • j - индекс материала, j = 1,..., n;

k - индекс вида заготовки, k = 1, ..., q; i - индекс способа раскроя единицы материала, i = 1,..., р;

• Здесь (1) - целевая функция (минимум количества используемых материалов); (2) - система ограничений, определяющих количество заготовок,необходимое для выполнения заказа; (3) - условия неотрицательности переменных.

Модель В раскроя с минимальными отходами:

(4)

, где k = 1,…,q (5)

xji ≥ 0, где j=1,…,n; i=1,…,p (6) • cji— величина отхода, полученного при раскрое единицы j-ro материала по i-

му способу;

• Здесь (4) - целевая функция (минимум отходов при раскрое материалов); (5) - система ограничений, определяющих количество заготовок,необходимое для выполнения заказа; (6) - условия неотрицательности переменных.

Пример решения задачи• Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной

ширины - по 2 метра. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны и других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в табл.

• Из материала определенного размера необходимо выкроить m = 3 видов деталей i-го вида в количестве bi (150,200, 300) штук. Эти детали могут выкраиваться n=6 способами. При j-м варианте раскроя единицы материала выкраивается aij деталей i-го вида, а стоимость отходов при данном способе раскроя равна cj.

• Задача – свести отходы к минимуму.• Обозначим через xj – количество единиц материала, раскраиваемых j-м

способом. ЭММ задачи:

Заказ Ширина рулона (м)

Количество рулонов

1 0,5 150

2 0,7 200

3 0,9 300

• Рассмотрим все возможные варианты раскроя стандартного рулона, соответствующие данные в табл.:

• Определим переменные: Xj - количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту j, j =1, 2, 3,4,5, 6. Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспечить изготовление требуемого количества нестандартных рулонов. Используя данные табл., получим: 2Х2 + 2 Х3 + 4 Х4 + Х5= 150 - количество рулонов шириной 0,5 м, X1 + Х2 + 2 Х5 = 200 - количество рулонов шириной 0,7 м, X1 + Х3 + 2 Х6 =300 - количество рулонов шириной 0,9 м.

• Таким образом, ЭММ выражения для суммарной величины потерь бумаги (отходы) (в м) имеет вид: min f(x) = 0,4 X1 + 0,3Х2 + 0,1Х3 + 0,1Х5 + 0,2Х6. при ограничениях: 2Х2 + 2 Х3 + 4 Х4 + Х5 = 150 Х 2 + Х2 + 2 Х5 = 200 Х 2 + Х3 + 2 Х6 = 300

• Или 2Х2 + 2 Х3 + 4 Х4 + Х5 >= 150 Х 2 + Х2 + 2 Х5 >= 200 Х 2 + Х3 + 2 Х6 >= 300

Ширина рулона(м)

Варианты раскроя рулонаМинимальное количество рулонов1 2 3 4 5 6

0,5 0 2 2 4 1 0 150

0,7 1 1 0 0 2 0 200

0,9 1 0 1 0 0 2 300

Отходы в м 0,4 0,3 0,1 0 0,1 0,2 -

• В соответствии с ограничениями у нас выходит 2 решения, представленных ниже. В обоих случаях мы минимизировали отходы, но в первом решении мы установили жесткое ограничение на количество получаемых рулонов после раскроя, т.е. «лишние» рулоны приравниваются к отходам, заказ должен быть выполнен точно заданным параметрам. В связи с этим мы получили 41м отходов.

• Во втором решении наша задача максимально минимизировать отходы, а «лишние» рулоны допустимы, главное, выполнить минимальные нормы заказа. Сделаем предпосылку, что оставшиеся рулоны пойдут на следующий цикл производства в будущем. В итоге мы имеем 40м отходов, но у нас имеет перепроизводство рулонов 1го типа (по 0,5м) в количестве 1034 шт. при заданном уровне в 150 шт.

Источники:

• Математические методы и модели для менеджмента - Глухов, Медников, Коробко Уч. Пос. 2005 -528с

• Дубина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю., Хромов А.В. Excel для экономистов и менеджеров. - СПб.: Питер, 2004. - 295с.

• http://math.semestr.ru/