РАСЧЕТ РАЗМЕРОВ НЕОБРАТИМОГО РАЗРУШЕНИЯ МОДЕЛИ...

Известия Тульского государственного университетаЕстественные науки. 2010. Вып. 2. С. 44–52

МеханикаУДК 612.76+539.37

Расчет размеров необратимого разрушениямодели коленного сустава человека ∗

А.В. Борисов

Аннотация. Исследуются необратимые деформации в зоне кон-такта при нагрузках, превышающих предельные. Получены зависи-мости размеров площадки и глубины соприкосновения для рассмат-риваемых моделей суставов. Проведены численные оценки радиусазоны контакта, глубины проникновения и контактного давления. По-лученные результаты в целом согласуются с данными, полученнымиэкспериментально.

Ключевые слова: деформации, разрушение, сустав, зона контак-та, напряжения, давление, упругие модули.

В данной работе предлагается один из вариантов разрушения моделиколенного сустава, слома по границе контакта.

При контакте коленном суставе между головкой бедренной кости и ме-ниском вступают в действие упругие силы. Возникают деформации, которыевлияют на механические свойства сустава. Знание распределения деформа-ций и напряжений важно при исследованиях выносливости суставов, опре-делении максимальных нагрузок в спорте, в медицинской практике — длядиагностирования патологий сустава и выборе методов лечений. Это особен-но важно при протезировании суставов, с целью правильного выбора мате-риалов и точного установления протеза. Из клинической практики известныпоследствия неправильной установки протезов, что приводит к повторнымоперациям. Для правильной установки протезов и выбора режима работынеобходимо иметь представление об упругих взаимодействиях и их границах.

Исследование необходимо для того, чтобы:

— избежать разрушения сустава (или его протеза) при нагрузках. Ведьдавление в области контакта может превысить предел прочности, т.к.контактная площадка мала;

— анализировать силы во время движения, которые непосредственновлияют на деформации и разрушение в суставе.

* Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-2524.2008.1.

Расчет размеров необратимого разрушения модели коленного сустава человека 45

В данной работе рассмотрена ситуация уже возникшего разрушения иоценки его параметров.

Для начала введем упрощения и рассмотрим только силу упругости. На-хождение деформаций при локальном соприкосновении тел при воздействиинагрузки F составляет задачу Герца [4].

Сделаем несколько упрощающих предположений [5].1. Допустим, что материалы, из которых состоят поверхности суставов

(гиалиновый хрящ), изотропны, а значит, все их упругие свойства опи-сываются всего двумя парами параметров (в общем случае, разными длявзаимодействующих тел) — модулями Юнга E, E′ и коэффициентами Пуас-сона µ, µ′.

2. Считаем, что вблизи точки соприкосновения недеформированномуучастку поверхности каждого из тел можно приписать два радиуса кривизныr1, r2 для верхней части сустава и r′1, r′2 для нижней части сустава во взаимноперпендикулярных плоскостях, ортогональных самой поверхности в даннойточке (рис. 1).

3. Перемещения малы по сравнению с радиусами кривизны поверхностей.4. Граничные поверхности представляют собой эллиптические парабо-

лоиды.Пусть два твердых тела соприкасаются друг с другом в точке (рис. 2).

Рис. 1. Постановка задачи Рис. 2. Соприкосновение двух телдо деформации

Здесь поверхность контакта односвязная и ее граница — эллипс.Уравнение поверхности вблизи точки касания:

z = kααx2α + kαβxαxβ + kβαxβxα + kββx2

β. (1)

Так как материалы изотропны, то kαβ = kβα. Тензор kαβ характеризуеткривизну поверхности, его главные значения r1

2 и r22 (здесь r1, r2 — главные

радиусы кривизны контактирующих поверхностей в точке O).Аналогично для второго тела:

z′ = k′ααx2α + k′αβxαxβ + k′βαxβxα + k′ββx2

β. (2)

46 А.В. Борисов

Так как материалы изотропны, то k′αβ = k′βα.Предположим, что тела сдавливаются некоторой силой F , в результате

чего они деформируются и сближаются на некоторое малое расстояние h(рис. 3). Теперь областью соприкосновения будет не точка, а участок по-верхности площадью S (πab для эллипса). Пусть uz и u′z — компоненты(соответственно по осям z и z′) векторов смещения точек поверхностей обоихтел при сдавливании (рис. 3).

Рис. 3. Соприкосновение двух тел после деформации

Пунктиром изображены поверхности до деформации, а сплошной линией— поверхности сдавленных тел. Буквы z и z′ обозначают длины, определяе-мые равенствами (1) и (2).

Из рисунка видно, что в точках области соприкосновения имеет месторавенство:

(z + uz) + (z′ + u′z) = h (3)

или(kαα + k′αα)x2

α + (kαβ + k′αβ)xαxβ +

+ (kβα + k′βα)xβxα + (kββ + k′ββ)x2β + uz + u′z = h. (4)

или, в предположении об изотропности

(kαα + k′αα)x2α + 2(kαβ + k′αβ)xαxβ + (kββ + k′ββ)x2

β + uz + u′z = h. (4′)

Последнее равенство записано в предположении о незначительности де-формаций и, соответственно, возможностью пренебречь изменением формыконтактирующих поверхностей. Следовательно, все kαβ остаются прежними.

В точках, где поверхности не соприкасаются, выполняется неравенство

(z + uz) + (z′ + u′z) < h. (5)

Выберем базис таким образом, чтобы тензор kαβ + k′αβ был приведенк главным осям. Обозначая через A и B главные значения этого тензора,перепишем (4):

Ax2 + By2 + uz + u′z = h. (6)


Величины A и B связаны с радиусами кривизны r1, r2 и r′1, r′2 обеихповерхностей следующими формулами, которые приведем без вывода:

2(A + B) =1r1

+1r2

+1r′1

+1r′2

,

4(A−B)2 =(

1r1− 1

r2

)2

+(

1r′1− 1

r′2

)2

+2 cos 2ϕ

(1r1− 1

r2

)(1r′1− 1

r′2

). (7)

где ϕ — угол между нормальными сечениями поверхностей, в которых ра-диусы кривизны r1 и r′1. Знаки радиусов кривизны положительны, еслисоответствующие центры кривизны расположены внутри соответствующеготела, и отрицательны — в обратном случае.

Обозначим через Pz(x, y) давление между сдавленными телами в точкахих соприкосновения. Вне области соприкосновения, очевидно, Pz = 0. Сме-щение uz под влиянием нормальных сил Pz(x, y) определяется выражением(поверхности считаем плоскими):

uz =1− µ2

πE

∫∫Pz(x, y)r(x, y)

dxdy, u′z =1− µ′2

πE′

∫∫Pz(x, y)r(x, y)

dxdy. (8)

Заметим, что из (8) следует, что отношение uzu′z

постоянно и равно:

uz

u′z=

(1− µ2)E′

(1− µ′2)E= const . (9)

Соотношения (7) и (9) непосредственно определяют распределение де-формации uz и u′z по области соприкосновения. Подставим выражения (8)в (6):

1π

(1− µ2

E+

1− µ′2

E′

) ∫∫Pz(x, y)r(x, y)

dxdy = h−Ax2 −By2. (10)

Это интегральное уравнение определяет распределение давления Pz(x, y)по области соприкосновения. Решение его обычно находится по аналогии стеорией потенциала. Однако, мы поступим следующим образом. Сконстру-ируем функцию давления Pz(x, y) так, чтобы она удовлетворяла условиюравенства нулю в центре контакта и максимуму на границе. Такой выборимеет следующее обоснование. Так как мы рассматриваем излом в случаенеобратимого разрушения, то на границе оболочки и возникает максималь-ное давление и т.к. она разрушена внутри, то в центре давление будет равнонулю. Пусть функция, удовлетворяющая сформулированным выше услови-ям, имеет вид:

Pz(x, y) = P0r(x, y)(a + b)

(x2

a2 + y2

b2

)

ab. (11)


Тогда подынтегральная функция принимает вид:

Pz(x, y)r(x, y)

= P0(a + b)

(x2

a2 + y2

b2

)

ab. (12)

Вычислим двойной интеграл, стоящий в выражении (10), подставляявыражение (12) в интеграл вместо подынтегральной функции. Интегрируявначале по y в пределах от − b

a

√a2 − x2 до b

a

√a2 − x2, а затем по x в пре-

делах от −a до a, следующих из эллиптической формы площадки контакта,получаем: ∫∫

Pz(x, y)r(x, y)

dxdy =π

2P0(a + b). (13)

Подставим вычисленный интеграл (13) в уравнение (10):

12

(1− µ2

E+

1− µ′2

E′

)· P0(a + b) = h−Ax2 −By2. (14)

В уравнении (14) на данный момент содержится пять неизвестных. Одна-ко, их количество можно уменьшить. Найдем A и B из формул (7), с учетомперпендикулярного направления между нормальными сечениями поверхно-стей, в которых расположены радиусы кривизны, т.е. угол ϕ = π/2.

A =12

(1r1

+1r′2

), B =

12

(1r2

+1r′1

). (15)

Исходя из граничных условий, можем записать два уравнения:

12

(1− µ2

E+

1− µ′2

E′

)· P0(a + b) = h−Aa2,

12

(1− µ2

E+

1− µ′2

E′

)· P0(a + b) = h−Bb2. (16)

Из выражений (16) следует, что Aa2 = Bb2, откуда, с учетом формул (15),получаем отношение, которое пригодится нам в дальнейшем:

a2

b2=

B

A=

(r′1 + r2)r1r′2

(r1 + r′2)r′1r2

. (17)

Используя геометрические соотношения, из рисунка 3 следуют следую-щие формулы связи между неизвестными a, b и h:

√r21 − a2 +

√r′21 − a2 = r1 + r′1 − h,

√r22 − b2 +

√r′22 − b2 = r2 + r′2 − h.

(18)Дважды возводя в квадрат формулы (18), приводя подобные слагаемые

и группируя, получаем следующее:

a2(r1 + r′1)(r1 + r′1 − 2h) =


= h

(−h3

4− h

((r1 + r′1)

2 + r1r′1

)+ h2(r1 + r′1) + 2r1r

′1(r1 + r′1)

),

b2(r2 + r′2)(r2 + r′2 − 2h) =

= h

(−h3

4− h

((r2 + r′2)

2 + r2r′2

)+ h2(r2 + r′2) + 2r2r

′2(r2 + r′2)

). (19)

Разделим в выражениях (19) первое уравнение на второе, имеем:

t(r′1 + r2)r1r′2

(r1 + r′2)r′1r2

· (r1 + r′1)(r1 + r′1 − 2h)(r2 + r′2)(r2 + r′2 − 2h)

=

=− 1

4 h3 − h ((r1 + r′1)2 + r1r

′1) + h2(r1 + r′1) + 2r1r

′1(r1 + r′1)

− 14 h3 − h ((r2 + r′2)2 + r2r′2) + h2(r2 + r′2) + 2r2r′2(r2 + r′2)

. (20)

Из уравнения (20) находим глубину соприкосновения h тел друг с другом.Так как решение данного уравнения весьма громоздко, приведем графикиповерхностей, построенных в СКМ Mathematica 6.0.3.

Рис. 4. Зависимость глубины проникновения h от r′1 и r′2 прификсированных r1 = 0.020 м и r2 = 0.021 м

Задаваясь конкретными значениями, характерными для коленного суста-ва r1 = 0.020 м, r2 = 0.021 м, r′1 = 0.022 м, r′2 = 0.023 м [2,3], построим графикрешения уравнения (20), изображенный на рис. 4.

График решения является весьма сложной разрывной функцией, чтообъясняется сложностью геометрических связей.


Рис. 5. Зависимость глубины проникновения h от r1 и r2 прификсированных r′1 = 0.022 м и r′2 = 0.023 м

Рис. 6. График решения уравнения (20) относительно неизвестнойглубины соприкосновения h

Уточним значения четырех корней, приведенных на рис. 6. Численнорешая уравнение (20), находим значения для глубины соприкосновения:

h = −0.068м, h = 0.066м, h = 0.043м, h = 0.015м.

Исходя из физической ситуации, следует, что отрицательным расстояниебыть не может, так же глубина слома не может быть больше размеров


самих суставов, следовательно, единственным корнем, подходящим в данномслучае будет значение h = 0.015 м. Отметим, что по порядку величиныполученный в данной работе результат, для ситуации уже имеющегося необ-ратимого слома в суставе и подбором функции давления, удовлетворяющейописанным выше условиям, совпадает с полученным в работе [1], значениемдля необратимых деформаций для тазобедренного сустава (h = 0.012 м),полученным с помощью привлечения теории потенциала.

Зная глубину соприкосновения h, найдем размеры пятна контакта a и b.Для этого разрешим систему уравнений (18) относительно неизвестных a иb, выпишем только подходящие корни:

a =

√h√−h3 + 4h2(r1 + r′1)− 4h(r2

1 + 3r1r′1 + (r′1)2) + 8(r21r′1 + r1(r′1)2)

2√

h2 − 2h(r1 + r′1) + r21 + 2r1r′1 + (r′1)2

,

b =

√h√−h3 + 4h2(r2 + r′2)− 4h(r2

2 + 3r2r′2 + (r′2)2) + 8(r22r′2 + r2(r′2)2)

2√

h2 − 2h(r2 + r′2) + r22 + 2r2r′2 + (r′2)2

.

(21)Подставляя указанные выше численные значения размеров суставов и

глубину соприкосновения h, по формулам (21) получаем: a = 0.0159 м,b = 0.0164 м. По порядку величины эти значения также совпадают, с полу-ченными в работе [1].

Выводы

1. В данной работе впервые предложен метод решения задачи необрати-мого разрушения сустава, с помощью подбора подынтегральной функции,таким образом, чтобы стало возможным аналитическое вычисление интегра-ла (10) и при этом она удовлетворяла бы дополнительным, в том числе играничным условиям.

2. Данный подход позволяет получить аналитически значения глубиныпроникновения и размеры пятна контакта.

3. Численными расчетами оценены интересующие глубина проникнове-ния и размеры пятна контакта и установлено, что по порядку величины онисоответствуют значениям, полученными ранее, исходя из других соображе-ний.

4. Можно получить данные о давлении P0, если из эксперимента найтизначения a, b, h.

Список литературы

1. Борисов А.В., Чигарев А.В. Численная оценка размеров пятна контакта идеформаций под действием нагрузок в тазобедренном и голеностопном суставахчеловека // Теоретическая и прикладная механика. Минск: БНТУ, 2009. Вып.24.С.22–26.


2. Гаврюшенко Н.С. Материаловедческие аспекты создания эрозионностойких уз-лов трения искусственных суставов человека. Дисс. . . . докт. техн. наук. М.:2000. 234 с.

3. Дружинин Г.В. Учет свойств человека в моделях технологий. М.: Наука, 2000.327 с.

4. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.5. Чигарев А.В., Михасев Г.И. Биомеханика. Минск: УП "Технопринт, 2004. 306 с.

Борисов Андрей Валерьевич ([email protected]), к.т.н., доцент,кафедра высшей математики, филиал Московского энергетического инсти-тута (Технического университета),Смоленск.

The calculation of the sizes of irreciprocal destructionof a model of a knee joint of a person

A.V. Borisov

Abstract. The irreciprocal deformations in the contact zone at marginal loadsare investigated. The relations of the sizes of the site and depth of the contact forconsidered models of joints are obtained. The numerical evaluations of radius ofthe contact zone, depth of penetration and contact pressure are conducted. Theobtained result wholly corresponds the data obtained experimentally.

Keywords: deformations, destruction, joint, contact zone, pressure, elasticmodules.

Borisov Andrey ([email protected]), candidate of technical sciences,associate professor, department of higher mathematics, Smolensk Branch ofMoscow Power Engineering Institute.

Поступила 03.06.2010

РАСЧЕТ РАЗМЕРОВ НЕОБРАТИМОГО РАЗРУШЕНИЯ МОДЕЛИ...

Documents