www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 1

www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 2

ΙΙ. Οι ανισώσεις στο σύνολο

Εισαγωγή

Ως γνωστό στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών έχουµε ορίσει διάταξη: δηλαδή µια σχέση µε

βάση την οποία οι πραγµατικοί αριθµοί µπορούν να τοποθετηθούν σε αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Με αυτό τον τρόπο είναι δυνατό να γνωρίζουµε για δύο τυχαίους πραγµατικούς αριθµούς α και β, τη σχετική τους θέση επάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών.

• Έτσι για την περίπτωση του σχήµατος γράφουµε ………… και διαβάζουµε …… µικρότερο …. ή και …. µεγαλύτερο ….

• Ενώ για την περίπτωση του σχήµατος Γράφουµε ……………… και διαβάζουµε …. µεγαλύτερο ….. ή και ……. µικρότερο ….

Γενικά: Ορισµός:

α β>

Tότε η διαφορά

α-β > 0

Και αντίστροφα

α β<

Tότε η διαφορά

α-β < 0

Και αντίστροφα

α β

β α

www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 3

Ιδιότητες της ∆ιάταξης στο

Παράδειγµα Υπόθεση Ιδιότητας Συµπέρασµα Ερµηνεία

1. 3 0 και 4 0> > τότε και

3 4 0+ > αν α > 0 και β > 0 α +β > 0

Το άθροισµα θετικών

παραστάσεων, παραµένει θετική παράσταση.

2. 3 0 και 4 0− < − < τότε

και ( 3) ( 4) 0− + − < αν α < 0 και β < 0 α +β < 0

Το άθροισµα αρνητικών

παραστάσεων, παραµένει αρνητική παράσταση.

3. 3 2, 2 1> > τότε και

3 1> αν α >β και β > γ α > γ Μεταβατική Ιδιότητα

4. 3 2> τότε και

3 10 2 10+ > + αν α > β και γ∈ α + γ > β + γ

Μπορούµε να προσθέτουµε (ή να αφαιρούµε)και από τα δύο µέλη µιας ανίσωσης τον ίδιο αριθµό. Η φορά της ανίσωσης δεν

αλλάζει.

5. 3 2> τότε και

3 10 2 10⋅ > ⋅ αν α >β και γ>0 α γ >β γ⋅ ⋅

6. 3 2> τότε και

3 ( 10) 2 ( 10)⋅ − < ⋅ − αν α >β και γ 0< α γ <β γ⋅ ⋅

Όταν πολλαπλασιάζουµε ή διαιρούµε και τα 2 µέλη µιας ανίσωσης µε αρνητικό αριθµό, η

φορά της ανίσωσης

αλλάζει.

7.

3 2 και -4>-5> τότε και

1 3

3 ( 4) 2 ( 5)

− −

+ − > + −

αν α >β και γ δ> α+ γ > β + δ

Μπορούµε να προσθέτουµε κατά µέλη ανισότητες της ίδιας φοράς. Προσοχή! Όχι αφαίρεση.

8.

3 2 και 4>1> τότε και

212

3 4 2 1⋅ > ⋅ αν α > β > 0 και

γ δ 0> > α γ >β δ⋅ ⋅

Μπορούµε να πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη ανισότητες της ίδιας φοράς µε θετικές παραστάσεις. Προσοχή! Όχι διαίρεση.

9. 3 2> τότε και

2 2 3 33 2 , 3 2> > αν α > β > 0 και ν∈ ΙΝ* ν να β>

Μπορούµε να υψώνουµε

και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε θετικά

µέλη σε οποιοδήποτε θετικό ακέραιο εκθέτη.

10. 3 2− < − τότε

2 2( 3) ( 2)− > −

αν α < β < 0 και

ν:άρτιος

ν να β>

Όταν υψώνουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε αρνητικά µέλη σε οποιοδήποτε θετικό

www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 4

άρτιο εκθέτη, η φορά της ανίσωσης αλλάζει.

11. 3 2− < − τότε

3 3( 3) ( 2)− < −

αν α < β < 0 και

ν:περιττός

ν να β<

Όταν υψώνουµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας µε αρνητικά µέλη σε οποιοδήποτε θετικό

περιττό εκθέτη, η φορά της ανίσωσης παραµένει ίδια.

12. 2 2( 3) 3 0− = > , αν α∈ , ν: φυσικός 2να 0≥

Άρτια δύναµη οποιουδήποτε πραγµατικού αριθµού, είναι µη αρνητικός

αριθµός.

13.

3 2> τότε 1 1

3 2< αλλά

και 3 2− < − , τότε

1 1

3 2− > −

Ανα β< ,

α,β∈*, οµόσηµοι

1 1

α β>

Μπορούµε να αντιστρέφουµε και τα δύο µέλη µιας ανίσωσης, όταν αυτά είναι οµόσηµα. Τότε αλλάζει και η φορά της

ανίσωσης.

Σχόλια - Επισηµάνσεις 1. Είναι πολύ σηµαντικό να διατυπώσετε και φραστικά τις παραπάνω ιδιότητες. Επίσης να εξετάσετε αν ισχύουν και τα αντίστροφα των παραπάνω ιδιοτήτων. Σηµειώστε µε ένα σύµβολο µπροστά από την αρίθµησή τους σε ποιες από αυτές συµβαίνει κάτι τέτοιο. 2. Ισχύει η ιδιότητα 7 και όταν αφαιρούµε κατά µέλη δύο ανισώσεις; ΝΑΙ ΟΧΙ 3. Ισχύει η ιδιότητα 8 και όταν κάποιος από τους α,β,γ,δ είναι αρνητικός; ΝΑΙ ΟΧΙ 4. Ισχύει η ιδιότητα 10 και όταν ν = 0; ΝΑΙ ΟΧΙ

www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 5

Λυµένα Παραδείγµατα

1. Να δείξετε ότι αν α 0,β≠ ∈ τότε:

2

2βα α β

2α

+ ≥ +

. (1)

Λύση:

Θα κάνουµε πράξεις και τα δύο µέλη µέχρι να καταλήξουµε σε κάποια σχέση που ισχύει. Αρκεί λοιπόν:

2α 2 α+ ⋅β

2α⋅

22

2

βα

4α

+ ≥

β+ ή

β2

2

ββ

4α+ ≥ ή

2

2

β0

4α≥ ή

2β

02α

≥

όπου η τελευταία ισχύει ως τετράγωνο πραγµατικού αριθµού. 2. Αν α β 0+ ≥ να αποδείξετε ότι:

3 3α β αβ(α β)+ ≥ + .

Λύση:

Όµοια µε προηγούµενα θα έχουµε: Αρκεί:

3 3 2 2 3 3 2 2α β α β αβ ή α β α β αβ 0+ ≥ + + − − ≥ ή

2 2 2 2α (α β) β (α β) 0 ή (α β)(α β ) 0− − − ≥ − − ≥ ή

2

0 0

(α β)(α β)(α β) 0 ή (α β) (α β) 0≥ ≥

− − + ≥ − + ≥

που η τελευταία ισχύει γιατί 2(α β) 0− ≥ ως

τετράγωνο πραγµατικού αριθµού και α β 0+ ≥ από την υπόθεση.

3. Για κάθε α,β πραγµατικούς να αποδείξετε

ότι: 2 2α β 2 2(α β)+ + ≥ + .

Λύση:

Αρκεί 2 2α β 2 2α 2β 0+ + − − ≥ (δηµιουργούµε

τώρα ταυτότητες µε κατάλληλες διασπάσεις όρων) ή

( ) ( )2 2α 2α 1 β 2β 1 0− + + − + ≥ ή τέλος

2 2(α 1) (β 1) 0− + − ≥ που ισχύει αφού έχουµε

άθροισµα τετραγώνων, δηλαδή άθροισµα µη αρνητικών αριθµών.

4. Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α και β ισχύει

α β 2+ = , να αποδείξετε ότι: 2 2α β 2+ ≥ .

Λύση:

Στις περιπτώσεις αυτές θα εκφράζουµε τη µία παράµετρο συναρτήσει της άλλης από την υπόθεση α β 2+ = και άρα β α 2= − . Οπότε αρκεί

να δείξουµε τώρα ότι:

2 2 2 2α (α 2) 2 ή α (α 4α 4) 2+ − ≥ + − + ≥ ή 2 22α 4α 2 0 ή (: 2) α 2α 1 0− + ≥ − + ≥ ή

2(α 1) 0− ≥

που η τελευταία ισχύει γιατί έχουµε τετράγωνο πραγµατικού αριθµού. 5. Αν α,β,γ,δ είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να αποδείξετε ότι:

I. 22 2α β α β

2 2

+ + ≥

II. 22 2 2 2α β γ δ α β γ δ

4 4

+ + + + + + ≥

Λύση:

Ι. Αναπτύσσουµε την ταυτότητα στο 2ο µέλος και καταλήγουµε µε πράξεις πως αρκεί

2(α β) 0− ≥ που ισχύει.

ΙΙ. Παρατηρούµε ότι:

2 2 2 2

2 2 2 2 Ι.ερώτ.

2 2 2

Ι.ερώτ.

2

α β γ δα β γ δ 2 2

4 2

α β γ δ α β γ δ

2 2 2 2

2 2

α β γ δ

4

+ +++ + +

= ≥

+ + + + + + ≥ =

+ + +

www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 6

Για εξάσκηση

Θέµατα Σωστού - Λάθους

1. Αν α 0,β 0> < τότε α β 0+ > Σ Λ

2. Αν α β,γ 0> ≠ τότε αγ βγ> Σ Λ

3. Αν α β≤ και β α≤ τότε α = β . Σ Λ

4. Αν α β> τότε α γ β γ− > − . Σ Λ

5. Αν α β> και γ 0< τότε α β

γ γ< . Σ Λ

6. Αν α β> και γ δ> τότε α γ β δ− > − . Σ Λ

7. Αν α β 0< < και γ δ 0< < τότε αγ βδ> . Σ Λ

8. Αν α β> τότε 2 2α β> . Σ Λ

9. Αν α β 0< < τότε 5 5α β< . Σ Λ

10. Αν α 0 β< < τότε 1 1

α β< . Σ Λ

Θέµατα Ανάπτυξης

1. Για κάθε α, β πραγµατικούς αριθµούς να

δείξετε ότι: 2 2 22(α β ) (α β)+ ≥ + .

2. Αν α 0,β 0< < να δείξετε ότι ισχύει:

3 3 2 2α β α β αβ+ ≤ + . Για ποιες τιµές των α

και β έχουµε ισότητα; 3. Αν 2 α 5< < και 3 β 4≤ < να βρείτε τις

τιµές µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή κάθε παράστασης από αυτές που ακολουθούν:

Α. α β+ Β. α β−

Γ. 2 2α β− ∆. α

β Ε.

1 1

α β+

4. Για κάθε x, y ∈ να δείξετε ότι:

2 29x y 5 2(3x 2y)+ + ≥ + .

Ι. 1

4⋅ ≤α β ΙΙ.

1 11 1 9

+ + ≥ α β

.

6. Για κάθε α, β ∈* να δείξετε ότι:

2 2α αβ β 0± + > .

7. Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y , z ισχύει ότι: x y z 0+ + = . Να δείξετε ότι:

xy yz zx 0+ + ≤ .

8. Για τους θετικούς πραγµατικούς x, y, και

z ισχύει: 2 2 2x y z+ = . Να δείξετε ότι:

Α. x y z+ > Β. 3 3 3x y z+ < ,

9. Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y , z ισχύει ότι: x y z α+ + = . Να δείξετε ότι:

www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 7

5. Αν 0, 0a β> > και 1α β+ = να δείξετε

ότι:

22 2 2 α

x y z3

+ + ≥ .

Απαντήσεις & Υποδείξεις στα θέµατα ανάπτυξης

1. Πράξεις και στα δύο µέλη. 2. Οµαδοποίηση όρων. 3. Εφαρµόζεις τις ιδιότητες των ανισώσεων. Τότε: 5 α β 9< + < ,

2 α β 2− < − < ,

2 212 α β 16− < − < , 1 α 5

2 β 3< < ,

9 1 1 5

20 α β 6< + < .

4. ∆ηµιουργείστε ταυτότητες. 5. Είναι β 1 α= − .

6. Αρκεί: 2 22α 2αβ 2β 0± + >

7. Αρκεί: 2(x y z)

2xy 2yz 2zx 0+ +

+ + ≤

8. Α. Από τη υπόθεση είναι:2 2

x y1

z z

+ =

και άρα x y

1, 1z z

< <

οπότε

2 2

x x y y,

z z z z

> >

. Ανάλογα και για το

Β.

9. Αρκεί 2

2 2 2 2

(x y z)

3x 3y 3z α+ +

+ + ≥

www.emathisis.gr

Eεπιµέλεια: Μ. Τσιλπιρίδης 8